Giuliano Comoglio - Topografia e Cartografia (2008)

7/15/2019 Giuliano Comoglio - Topografia e Cartografia (2008)

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POLITECNICOI TORINO

TOPOGRAFIA

CARTOGRAFIA

a curadi:Prof.Giuliano omoglioDipartimentoi Ingegneriael Terri torio,

del l 'AmbientedelleGeotecnologieDITAG)

EDIZIONEOO8

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SISIEI,IA IBLIOTECARIO

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ristampa ebbario2008

O Celid, febbraio2007via Cialdini,26 - 10138Torinotel.011.44.74.714

rsBN 978-88776r 134-8

I d ir in i di r iproduzione.i memorizzazionee di adattamento otale o parziale conqualsiasimezzo compresimicrofi me copie otoslal iche)ono iservat i .

StampaDigitalPrintService,SegrateMi)



INFORMAZIONIENERALI

Queste ispense,edattencollaborazioneon docenti: . Bellone, .Cina,A.Lingua, . Manzino, . Rinaudo,annooscopo i acilitare'allievo el avoro i

apprendimentoelle ozioniondamentaliella opografiadella artografia.

PRESENTAZIONEELCORSO

La opografiatudia listrumenti glischemi perativii misura,metodi i calcolodi disegno heservono erdefinirea orma le dimensionii unoggetto.L'oggettorincipaleelle ecniche el il ievoopograficodella ua appresentazionepiana lasuperficieerrestre.La opografiarae esuebasi cientifichealla eometriaer adefinizioneelleoperazionii misura, allastatisticaer 'ulilizzoritico eirisultati, alla isicaedall'elettronicaer principi i unzionamentoegli trumentii misura dalcalcolo

numericoer asoluzioneeipiùcomplessiroblemii calcolo di compensazionedellemisure.

Restanteso hequanto errà llustrato,elativamentel rilevamentoella uperficiefisicaerrestre,uòessere til izzato,acendo pportunideguamenti,nche er lrilevamentoi unqualsiasiltro ggettoadesempio randi truttureuali ighe, ontie gallerie ppure iccoli ggetti uali difici, onumenti,eperti rcheologici,cc.).L' ingegnereheopera ul erritorioecessitai questo trumentoi conoscenzageometricaelle ose nquantoappresentaa igura rofessionalehepiùdirettamententeragisceon l territorio tesso. asuaopera i esplica, orrettamente,attraversoue asidistintema entrambe i capitalemportanzaer a buona iuscitadell' intervento:

È faseconoscitiva:aconoscenzael erritorio,iadalpuntodi vistamorfologicoheantropico,uòawenire oloattraversol suo ilievo d è la premessassenzialeperunacorretta rogettazioneecnica;

F fase nterattiva:a opografa ritorna ssenzialeuando i deve racciare ulterritorio'opera rogettata.

E chiaro heunerrorenunasoladi questeasipuòdeterminarelcompletoallimentoditutto ' intervento.È perquestomotivo he ostudio i questa isciplina obbligatorioergl iallievi eicorsi i Laurean Ingegneriadile, ivile per 'Ambienteil Territorio.

l l corso he niziamouole ornire lielementi i baseessenzialiermetteren

condizionel futurongegnere i organizzareverificareeoperazionii rilievo ditracci mentoopog af co.

Per aggiungereuesto copo i occuperemoi:F la orma ella erra Geodesia)F la rappresentazioneianadel errenoCartografia)F metodi strumentierdeterminarea orma el erreno per ocalizzarneunti

caratteristiciTeoria trumentale metodologie i rilievoe tracciamento)F metodi tatisticierstabilirel gradodi affidabilitàgl ierrori ttesi alleoperazioni

topografche Statistica).

Eventuali pprofondimentiu alcuni spetti heverranno oloaccennati urantel corsovengonoorniti eicorsidi specializzazioneellaLaurea dellaLaureaSpecialistica.



CORSODI TOPOGRAFIA CARTOGRAFIACAPITOLO: GEODESIAPROBLEMA ELLARAPPRESENTAZIONEELTERRENOLAGEODESIALA FORMADELLA ERRADEFINIZIONEELLA UPERFICIEIRIFERIMENTOCOORDINATEEOGRAFICHEEQUAZIONIARAMETRICHEELL'ELLISSOIEESERC|Z |-2 -3RAGGIDICURVATURAELL'ELLISSOIDE.EZIONI ORMALISEZIONI ORMALI GEODETICHEEQUAZIONIELLEGEODETICHEESERCIZIOSVILUPPI I PUISEUX-WEINGARTENESERCIZIOMISURE OPOGRAFICHE:NCONGRUENZERATEORIA PRATICATEOREMI ELLAGEODESIA PERATIVAESECUZIONEEICALCOLI ULLA UPERFICIEIRIFERIMENTOCAMPOGEODETICOCAMPO OPOGRAFICOESERCIZIOILTEOREMA ILEGENDRECOORDINATEEODETICHEOLARI RETTANGOLARIESERCIZI- 8

CAPITOLO : ELEMENTI l CARTOGRAFIA

13

45151618222628303132323435353739404144

45SVILUPPOELL'ELLISOIDEULPIANO

PROI ZIONI ROSPETTICHEPROIEZIONIERSVILUPPORELAZIONINALITICHEDETERMINAZIONENALITICAEIMODULI IDEFORMAZIONEPRINCIPALIISTEMI ARTOGRAFICI.CARTADI MERCATOREPROIEZIONETEREOGRAFICAOLAREOARTA tGAUSSRAPPRESENTAZTONENALOGTCA)EQUAZIONIIFFERENZIALIELLERAPPRESENTAZIONIONFORMILA CARTADI GAUSSFORMULE IHIRVONENCALCOLO ELMODULO I DEFORMAZIONEINEARE ELLA ARTACALCOLO ELLA ONVERGENZAELMERIDIANOELLA ARTADI

TRASFORMATEELLEGEODETICHEULPIANO IGAUSSLA CARTOGRAFIAFFICIALETALIANAILSISTEMA NIVERSALETMILSISTEMA I RIFERIMENTONIFICATOUROPEOEDsO)ESERCIZI VOLTIDI CARTOGRAFIAESERCIZ I- 10 11 12 13ESEMPIDI CARTOGRAFIAAZIONALELTRATTOTAVOLE LLEGATE

CAPITOLO : CENNIDl STATISTICA

DIGAUSSGAUSS

45

474748Àn

5454565759o l

OJ

6567

69t , 5

8182B5B993

102

103PROBABILITADEFINIZIONIPROBABILITALASSICA

PROBABILITAMPIRICAPROBABIITAASSIOMATICAPROBABIITASOGG TTIVATEOREMA ELLAPROBABILITAOTALE

103104

105106106107



TEOREMA ELLA ROBABIITACOMPOSTAVARIABII TATISTICHECASUALI EMPLICILA DISUGUAGLIANZAITCHEBYCHEFFLAVARIABILEASUALE ONTINUAVARIABILETATISTICACASUALE DUEDIMENSIONILACORRELAZIONEINEARECOMBINAZIONEIVARIABILIASUALINDIPENDENTIALCUNI SEMPI IDISTRIBUZIONIDISTRIBUZIONEIBERNOULLIBINOMIALEDISTRIBUZIONEORMALE DIGAUSSTEOREMINERENTIA DISTRIBUZIONEIGAUSSDISTRIBUZIONEORMALE DUEDIMENSIONI

CAPITOLO : lL TRATTAMENTOTATISTICO ELLEMISURE

108109116118't ' t9122124126126130135137

139CONCETTO IMISURALEMISURE IRETTELEMISURENDIRETTE

IL PROBLEMAELLA TIMAPROPRITADEGLI TIMATORIILPRINCIPIOIMASSIMAEROSIMIGLIANZAMISURE IRETTE IUGUALE RECISIONEMISURE IRETTE IDIVERSARECISIONEMISURANDIRETTAIUNAGRANDEZZAMISURANDIRETTAIPIUGRANDEZZEONEQUAZIONISUBERANTIILCASOCONEOUAZIONIINEARIILCASODI EQUAZIONIONLINEARI

CAPITOLO: LA MISURA EGLIANGOLI

139140143

143144144146151156162163167

169DEFINIZIONEIANGOLO ZIMUTALE,ENITALE ISTANZA DISLIVELLOILTEODOLITE

CANNOCCHIALELUNGHEZZAOSTANTECARATTERISTICHEELCANNOCCHIALELAMINA IANO ARALLELALE LIVELLELA LIVELLA FERICALA LIVELLA ORICALA LIVELLA ORICA COINCIDENZAI MMAGINELA BASETTA OPOGRAFICACONDIZIONII RETTIFICAELTEODOLITECONDIZIONEPERATIVAELTEODOLITEMESSA NSTAZIONE ELTEODOLITEMEZZIDI LETTURA I CERCHI EGLI TRUMENTITTICO.MECCANICI

LETTURA STIMASTRUMENTI ICROMETRICIMEZZIDI LETTURA I CERCHI EGLI TRUMENTILETTRONICILA LETTURA SSOLUTALETTURANCREMENTALEESEMPI ISISTEMI ILETTURAMISURA EGLI NGOLI ZIMUTALIINFLUENZAEGLI RRORI ESIDUIERRORE IECCENTRICITAERRORE IGRADUAZIONEEICERCHIREGOLA IBESSELMISURA EGLI NGOLI ENITALIERRORI HE NFLUENZANOE LETTUREENITALI

ACCESSORIERGLISTRUMENTIOPOGRAFICI

t o Y

170

173176178179t / Y

180183183184185185186

1861BB190190191192197198199200202203205

208



CAPITOLO : LA MISURADELLEDISTANZE 213DEFINIZIONEI DISTANZASTRUMENTIERLA MISURA ELLEDISTANZEI DISTANZIOMETRIMISURA I FASELA MISURA ELLA ASE

MISURA ELL'AMBIGUITAMISURA ELL'AMBIGUITAON L METODO ELLEDECADIMISURA ELL'AMBIGUITAONTRELUNGHEZZE'ONDAPRECISIONEEGLI ODML'ONDAPORTANTE L'ONDAMODULANTEI DISTANZIOMETRID IMPULSIRIFLETTOREASSIVO

CAPITOLO: LA MISURA EIDISLIVELLISTRUMENTIERLA MISURA EIDISLIVELLI 229LA STADIA 230IL LIVELLO 231LIVELLI TTICO-MECCANICI 231AUTOLIVELLI 235LIVELLI LETTRONICI 239QUOTAE DISLIVELLO 245METODI ERLA MISURA EIDISLIVELLI 246INFLUENZAELLA URVATURAERRESTRE DELLARIFRAZIONETMOSFERICA 246LA LIVELLAZIONEEOMETRICA 247PRECISIONEELLA IVELLAZIONEEOMETRICA 251LA LIVELLAZIONEEOMETRICAECIPROCA 253LALIVELLAZIONERIGONOMETRICA 254PRECISIONEELLA IVELLAZIONERIGONOMETRICA 259LA LIVELLAZIONEELERIMETRICA 260

CAPITOLO : METODIDl RILEVAMENTO 261

213216217217

219221221222223224228

229

METODI I RILEVAMENTOLERETIPLANIMETRICHECALCOLI ICOMPENSAZIONEPRECISIONEEIVERTICIIUNARETECONSIDERAZIONIPERATIVEERLACONDOTTAEICALCOLILERETIALTIMETRICHELIVELLAZIONIEOMETRICHEIPRECISIONETECNICHECOMPENSAZIONEIUNARETEDILIVELLAZIONELASIMULAZIONEELLERETI OPOGRAFICHEESEMPI ICOMPENSAZIONEIRETI OPOGRAFICHERETI OCALI RETIGEODETICHEAZIONALIRETIGEODETICHEONDAMENTALIPRECISIONEELLE ETINAZIONALICAPITOLO : RILIEVO l DETTAGLIO

261262263269270271271271275276280281285

287RILIEVO CALCOLO ELLERETIDI DETTAGLIORICHIAMI IGEOMETRIANALITICA ELPIANOANGOLO IANOTRASPORTOEGLI NGOLI I DIREZIONETRASPORTOELLE OORDINATEUNGO NASPEZZATALE POLIGONALIPOLIGONALEHIUSAPOLIGONALEPERTA INCOLATAGLIESTREMILE INTERSEZIONI

INTERSEZIONEEMPLICENAVANTIIL RILIEVO I DETTAGLIOESECUZIONEI UNASTAZIONE ELERIMETRICA

2872BB291292293294294297299

300303304



G.COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA

Capitolo1GEODESIA

Capitolo 1GEODESIA

1.1. PROBLEMA ELLARAPPRESENTAZIONEELTERRENO

La superficieisica errestre on manufattiostruiti all 'uomo a una ormamoltoirregolarediscontinuaquindi ondefinibilenaliticamenten modoesatto.In questomodo diventapraticamentempossibiletabilirea posizione elativaoassoluta i punti,calcolare ree o misurare istanze angolidirettamenteullasuperficieerrestre.

E' necessarioostituirea superficieisicadella erracon una superficiei riferimentoche pur approssimandolael miglioredei modi, presentidelle caratteristicheiregolarità, ontinuità levigatezzaali da consentirne'impiego ella trattazione

matematica.ll legame ra questedue superfici eve esserenoto e facilmenteealizzabilenqualunque untodella erra.La scelta i proiettareullasuperficiei riferimentouttipunti aratteristiciel errenoungo a verticale,hesi può acilmenteealizzareonunfiloa piombo mediante na ivella unpendolo,isponde queste sigenze.

Questa uperficie i riferimentodealeè chiamata eoideed è definita omequellasuperficiehe nognipunto normale lladirezioneella erticale coinciderebbeonlasuperficieeimari, pportunamenterolungataotto e erreemerse, ualora'acquaavesse a stessa emperatura,a stessadensitàe non esistesseroe perturbazionidovute llecorrenti.i venti allemaree.




CapitoloGEODESIA

Fig.1.1 Superficieisicaerrestre geoide'

Ognipuntoproiettatoullasuperficiei riferimentoaràunivocamenteeterminatoauna coppiadi coordinate urvilinee dalla distanza ra il punto reale e la suaproiezione.La distanzara superficieisica errestre il geoideè chiamata uotaed è misuratalungoaverticale.Con queste premessesi può delineare a seguenteproceduradi rilievo e dirappresetazione elasuperfcie sica errestre

F poiché l terreno a una ormamoltocomplessa,isognerà escriverloon unnumero imitatoma sufficientei punti ad esempio n edif icio ettangolareindividuatoediantesuoiquattro ertici);

F ognipunto isico ovrà ssere roiettatoulgeoideungoa verticale;) la posizioneelativa eipunti ulgeoide aràdeterminatattraversoa misura i

angoli distanze he dovranno lorovoltaessere efinitin quanto l geoideunasuperficieurva;

D la posizioneei puntiproiettatiul geoide aràdefinitamediante nacoppiadicoordinateurvilineeu, v); a questo copoè necessarioonoscere'equazionedelgeoide;

Fig.1.2 Coordinateurvilinee coordinateartografiche

congiungendopportunamenteon inee puntiproiettatiulgeoide indicandoaccantoaquota, i otterràadescrizioneompleta el erreno;




F la rappresentazioneosì ottenuta aràper gli usi pratici piùconvenientenstabilire na corrispondenzaiunivoca

coppia i coordinateiane:X = X(u ,v )Y =Y(u ,v )

CapitoloGEODESIA

disegnata u un supporto urvo,mentresupporto iano;a questoscoposi potràtra le coordinateurvilineeu, v) e una

Le operazioni i misuradi angolie distanzeprimadescritte, on sono realizzabilipraticamenten quanto l geoideè una superficiedeale. e misuredevono nveceessere seguiteulla uperficiereale"isicaerrestre.Comevedremomeglio n seguito, metodi i misura egliangoli delledistanze headotteremo aranno ali da fornire li stessi aloriqualisi sarebbero ttenuti perandodirettamenteulgeoide.

Permotivi naloghi,nchea misuraopograficairetta i unaquota impossibile.Glistrumentiopografici nostra isposizioneisuranodislivellissia e differenzeiquotarapunti hestanno ulla uperficieerrestre.Le quotesi otterranno uindi indirettamente"ome sommadei dislivellimisuratipartire a unpunto i quota ota.

Fatte ueste onsiderazionierottenerel ril ievo la rappresentazioneella uperficiefisica errestre ccorre:

F definire'equazioneelgeoide lasuperficiei riferimento);F definirel sistema i coordinateurvilinee,v;) definirea natura egli ngoli delle istanze a misurareulgeoide;

F definirel modoper

rasformarealimisurencoordinateurvilinee;D definirel modoper rasformareecoordinateurvilineencoordinateiane.

1,2. LA GEODESIA

LaGeodesiadalgreco erra+ ripartisco)la scienza hestudia ertiaspettiisicifisico matematiciella erra e dello spazio mmediatamenteircostanteeso oggiaccessibile ll ' indagineirettagrazieai dati rilevatidai satelliti rtificial i. ompitiessenzialiellaGeodesiaono:

F ladefinizioneelgeoide ella ua orma nelle uedimensioni;F partendoalla efinizionei "intensità"elcampo ravitazionalen unpunto ome

b forza gravitazionaleer unità di massa,oppure, iferendoci lla massa mo(massa esploratrice")satacomesondadel campogravitazionale,'intensità el

campo isulta =L, potremo ssociare ciascun unto n prossimitàella erramo

un vettoregche rappresenta'accelerazioneubita a un corpo, asciatoiberodicadere,nquelpunto;

F la deduzione i ipotesi conclusionieneralielative llacostituzionetessa elglobo terrestre, lla distribuzionenternadelle masse,ai loro movimentivariazioni el empoe nello pazio, llecaratteristichelastiche ellacrosta, cc.

Gliultimi uepunti ono ntimamenteonnessi l primo nquantoa forma elgeoide

localmenten stretta elazione on il vettoreg , e questo,a sua volta,dipendedalladistribuzioneellemasse ltre heda altrifattori.

t1l




CapitoloGEODESIA

Quindi l problema entraledella Geodesia esta la definizione el geoide e,successivamente,i dovranno efinire nche e posizionielative i puntie la lororappresentazioneulpiano.L'aspettoeometricoella eodesiaonsideralgeoide nasuperficielgebricarecisae di semplice efinizionenaliticasfera, ll issoidei rotazione),a studia alpuntodivista ella eometriaelle uperfici,nsegna sviluppareu di essa e riangolazioniacalcolaree relazionii posizionera suoipunti.L'aspetto inamico tudianvece ssenzialmentel campogravitazionaleerrestre,iainbasea ipotesi ulla atura distribuzioneellemasseerrestriia nbaseallemisuredi gravitàeffettuate ullasuperficie ffettiva nellesue adiacenze; efiniscel geoidecomeunaparticolareuperficiequipotenzialei detto ampo, estudia liscostamentirispetto delle uperficieometriched nsegna tenere onto elle oroconseguenzeoperative.

L'evolversielle nformazionicquisibiliai satelliti,ichiede i distinguerencora a

geodesiangeodesialassica tridimensionale.La geodesia lassica vincolata, er lo meno nellasua parteoperativa, unasuperficiei riferimentoi natura eometrica dinamica quindia un'impostazioneessenzialmenteidimensionaleei suoi problemi, ellaquale a lerza dimensioneintervieneoltanton orma ubordinataviene er o piùestromessappena ossibileconcomplicatespesso rtificioseiduzioni correzioni.La geodesiaridimensionalerattanvece problemi ello pazio isico ridimensionaleevitando l ricorsoa qualsiasi uperficie i riferimento. uestopuò essereattuatoimpiegandoei sistemi i riferimentontrinseci cioèdefinibili ediante lementiisiciconnaturation l campogravitazionaleaccessibilillamisura iretta.Questo iversoapproccio a senzadubbiouna notevole oerenzaogicae appareparticolarmente

idoneo trattare problemi perativi ellageodesia eiquali a terzadimensioneaentità importanzauantomeno omparabilion ealtre ue.

1.2.1. A FORMA ELLA ERRA

In basea quanto ià detto a superficie ffettiva ella errapuòessere pprossimatacondiversi riteri finalità a rediverse uperfici:

1. superticie llissoidica: una- figuraastratta, i comodo, ntrodotta nicamentecome supportomatematicoul qualesviluppare naliticamentel ril ievodellasuperficie ffettiva. ssanonha alcuna ealtà isicae nonè pertanto ccessibilenalcunmodo ll 'osservazione;

2. superticie inamica eorica:è una particolare uperficie i livellodel campogravitazionalehesi hanell' ipotesihe a erra iaun corpo ontinuo,mogeneodi densità niforme, nimato sclusivamentea un motodi rotazione ttorno lsuo asse polare,con velocitàangolare ostante.Per quantoancoradi naturaipoteticauesta uperficie menoastratta ella uperficiellissoidican quantolegataa entitàche hanno una effettiva ealtà isica(i l vettore ) e una assaiprossima ispondenza l vero. Questa superficie chiusa, iscia e priva disingolarità;

3. superticiedinamica eale'.è una particolare uperficiedi livellodel campogravitazionale.ssacoincide on l pelo ibero eimarisuppostin equilibrio inassenza i azioniperturbatriciocali onde,maree, alinità,emperatura,cc.),

mentre otto continentiuò

mmaginarsiontinuatan canalidealirivi

di attrito,nei quali 'acquamarina luisce ino all'equilibrio.n questomodo e curvature

4



G. COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA

Capitolo1GEODESIA

subiscono otevolidiscontinuitàn corrispondenzaelle linee di costa. Lasuperficie lisciae la sua formaè complessivamenteferoidale a presentacontinue ndulazioni gibbositàonseguentil levariazioniocali i densità di

dislocazioneellemassemateriali. i eleva n corrispondenzaei continenti siabbassa n corrispondenzaei mari pur restando a sua curvaturaglobaleovunque ositiva. uesta uperficie,uiListing1873) a dato l nomedi geoide,ha dunqueuna sia pureapprossimataealtà isicaper buonapartedellasuaestensione può essere materializzatan corrispondenzai un mareografo(strumento tto a fornire,attraverso n lungoperiododi osservazioni,l livellomedio elmare nun determinatounto ella osta).

Perappropriatialori eiparametrihedefinisconoueste uperfici la loroposizionerelativa, liscostamentiadiali onoassaipiccoli dell 'ordineelladecina i metri); ertale attoè lecita, determinatiinied entro erti imiti,a sostituzionei unasuperficieall 'altra inparticolareell 'ell issoidel geoide.

Fig.1.3 Approssimazioneella uperficieisicaerrestre

ll fattoche a terraabbia orma feroidale assaiprossima un ellissoide,uòessereteoricamenteiustificatoell ' ipotesii una primitivaluidità ellamassa errestrenrotazioneheè andata rogressivamenteiminuendoon l raffreddamentoenza hene risultasseroccessivamentelteratee superficii ivello riginarie.

1.3. DEFINIZIONEELLASUPERFICIEI RIFERIMENTO

La meccanicatudia l motodeicorpimateriali otto 'azione elle orzeapplicate hesonoessenzialmentei due ipi:

) le forze gravitazionalihe ubbidiscono lla legge di gravitazione i Newton,secondo a quale due particelle i attraggonoeciprocamenteon una forzaproporzionale l prodottodelle loro masse e inversamente roporzionale lquadrato della loro distanza;queste forze sono dirette secondo la rettacongiungenteeparticellesono ndipendentialla resenzai corpi icini;

F le orzeelastiche heseguonoa eggedi Hooke.

Altroconcettoondamentaleer a trattazionei questoargomento, quellodi campo.lllustriamoloon un esempio: onsideriamo n ambientee supponiamo he latemperaturaia misuratan ognisuo punto.L'insieme ei valoridella emperaturanfunzione ellaposizionei chiama ampo , piùpropriamenle,ampo calare, ssendola temperatura na grandezza calarecioè completamenteeterminatamediante lnumero hene orniscea misura.Comesecondo sempio, onsideriamonaregione ellaqualeun liquido ia n motostazionario.nognipunto ello pazio possibileefinire nvettore herappresenti,n

direzione, ersoe ampiezzaa velocità ellaparticellaluidache si trova nel puntoconsiderato.n generale vremo ettori iversi eidiversi untidella egione;'insieme

ellissoide



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA GEODESIA

di questi ettori escrive nivocamentel motodel luidoe si chiama ampodi velocità.Questoè un esempio i campovettoriale.

Nelcasodeicampi ettoriali, utile a rappresentazioneedianteineedi flusso, hedanno n ognipuntodellospazioa direzione el vettore ampo. a tangenten ogniloropuntondividuaadirezioneelvettore ampo elpunto onsiderato.Le ineedi flusso i un campouniforme onouna amiglia i retteparallele il vettoreha a stessaampiezza vunque.ln generale,e lineedi campo arannonvece ellecurvee l'ampiezzaarierà a puntoa punto ello pazio.ln meccanica,e forzeagenti u corpimateriali i distinguononoltre n conseruativenonconseruativeper eprime i può ntrodurrel concetto i energia otenziale.Ricordiamoa condizione enerale he deveessere oddisfatta ffinché na orzasiaconservativa d esistaquindiun'energia otenziale: na forza isultaconseruativae illavoroda essacompiutosu di un corpo è nulloquando l corpopercorreuna traiettoria

chiusaqualunque.Lo stesso concettopuò essere espressonel seguentemodo: consideriamo naparticellahepassida unaposizioneniziale ad unaposizioneinaleQ; se il lavorocompiuto dalla forza agente sulla particella è /o sfesso qualunquesia la lineacongiungenteP con Q, la forzasaràconseruativa.

Esaminiamora e proprietà i un campodi forzaconservativo:a orzaF che l campoesercitau di uncorpo funzioneella osizione;

F

+BFig.1.4 Energia otenziale

Se l corpo i sposta a un puntoA ad un puntoB lungo na inea rbitrariavediFig.1.4), la ar iazioneel la uaenergiaotenzialedata a:

dtu e - u a = I o F r d , d o v e F r = F c o s 9

Doveune usr?ppr€sentano'energia otenzialeispettivamenteeipuntiA e B.ln tal modo,ad ognipuntodel campodi forzacorrisponden valoreu dell 'energiapotenziale.Se l corpoacquista nergia otenzialeelpassaggioaA a B,si diceche l puntoB è

a maggioreotenzialeelpuntoA,e viceversa.Si notichesi tratta empre i variazionei energia otenziale.Perdefinire'energiaotenzialen unpunto ello pazio i sceglie i norma npuntoncui s i pone 'energiaotenziale=0e si avrà n al modouna unziot lè =g(X,Y,Z)cioè unzioneelle oordinateelpunto.ll vantaggiohesi ottienentroducendoa unzionenergia otenzialeerdescriverencampodiforzaconservativo,ta nel attoche si sostituisce d un campovettoriale ncampo calare i energia otenziale.L'equazionei unasuperficie quipotenzialeuòessere spressa alla elazione:u = rp(X,Y,Z)costante

l2l

t3l




CapitoloGEODESIA

Poiché erdefinizione,onsi compieavoro erspostare n corpoda un puntoad unaltrosullastessa uperficiequipotenziale,n ognipuntodellospazioe lineedi forzadevono ssere erpendicolaril lesuperficiquipotenziali.

Ne derivaquindi

che, date le superficiequipotenziali,ipossono

costruireimmediatamentee inee i orza racciandoecurve he e ntersecanortogonalmente.Supponendohe,ad esempio,esuperficiquipotenzialiiano ostituitea una amigliadi superficiferiche oncentriche,e inee i forza oincidonovidentementeon raggidi alisfere.

Applichiamouesti oncetti l ladefinizioneisica elcorpo terra".Stabiliamon sistema i riferimentoartesianoO,XYZ] vente 'origine elbaricentrodella erra, 'asse coincidenteon 'asse i rotazionegliassiX e Y coincidentiongliassiprincipali i inerzia sistema eocentrico).ll campogravitazionale in un generico untoP è una unzione ellaposizione elpunto tesso si puòconsiderareome isultanteidue orze vediFig.1.5):

F la forza r; di attrazione ewtonianaullamassaD?ohe è la risultante i tutte eforzeelementari he ogni elemento i massadella erra esercita ull 'unità imassa ostan P (vediFig.1.5);

F la forza entrifuga . sullamassa osta n P (vediFig.1.5)dovuta lla otazionedella erra ntorno ll'asse olareZ, rolazione he awienecon velocità ngolarea=7.29.10-5ad/s, ercui 'accelerazioneisulta aria c =@2ri

il vettore ha modulo ,lxr'+Yr' ed è diretto econdoa normale ll 'assepassante erP e orientatoerso 'esternoella erra.

- | r

Fig.1.5 Forza centrifuga,ewtonianadi gravitàLe tre forze in oggettosono conservative quindi potremodefinire l potenzialeassociato ciascuna i esse:

F la forzacentrifuga e il relativo otenziale

F la forzanewtoniana, e il relativo otenzialeF la forzagravitazionale e il relativo otenziale

ll potenziale è quindi ariallasomma elpotenziale e delpotenziale(i potenziali,inquantounzionicalari, ossono ssere ommati).

Ricaviamora eespressioninalitiche ellegrandezze heabbiamo ppena efinito.




CapitoloGEODESIA

Consideriamon corpo i prova ituaton unpuntoP delcampo i forzae supponiamo

di spostarlo i un trattods ungo a direzione ella orza i gravità ; in basealla 2]diremo he a variazioneelpotenzialeelcorpo ale:

dw=E.à, l4 lGeneralizzando,ossiamo ireche a componentei un campo econdo nadirezionequalsiasi uguale llavariazioneelpotenzialeungo uella irezioneiferita ll 'unitàilunghezza.l vettore ampo isultal gradiente el potenzialed è direttonormalmenteafa superficiequipotenzialesi indica on a notazione: = gradW che, n basealla

[4],possiamocrivere ome:òw òwòX

=l*Ay

=î,

Se lo spostamento srisulterà:

dW= E-d ,=0da cui si deduce ancora una volta I'ortogonalitàdi I rispetto alla superficieequipotenziale enerica.

SiaW che esuederivate rime, ono unzioniontinue prive i singolarità,ercui esuperficiquipotenzialiono iscee prive i spigoli punti ingolari.n ogni oropuntoesistedunqueuna sola normale uperficialenivocamenteefinita variabile oncontinuità.

La distanza i due superfici quipotenzialissaiprossimeW = C e W'=C+AWvediFig.1.7) empre er a

4]e considerandoaquota crescenteerso 'esternoale:

- m=^Y l7lSe F e F'sono valoridel campo ravitazionaleeiduepuntiP e P' sullasuperficieequipotenzialeWC potremonche criverehe FAh= F'Ah'= cost. quindi o ichéÈ e d'non sonomaiugualira oro, i sulta he e superfici quipotenzialion sonogeometricamente arallelema sono avvicinateove a gravità più orte; a gravitàvaria a punto punto diminuiscendandoerso 'equatorevediFig.1.7).

W ' = C + A

Fig.1.7 Superficiquipotenziali

Ricaviamocira eespressionieipotenzialie V.

Per ricavarel potenzialeella orzacentrifuga ricordiamouanto iàdettoè cioèche a derivata elpotenzialeispettoadirezioneforniràa componenteella orza nquel la irezionevedi ig. .8):

d v ;

, =Lc t9]clr

I

òwa,

=îr tsl

è tangente lla superficie quipotenzialeassante er P,

l6 l




CapitoloGEODESIA

Fig.1 8 Forza entrifugapotenzialeentrifgo

ll potenzialeelle orza entrifuga. saràquindi:

dv=Frdrequ ind i =fa Ì rd r= !a ] r '=* r , (x ,

+v ' )

Piùcomplessa ladeterminazioneel potenzialeelativo llaforza ewtoniana.Consideriamon elementonfinitesimoi massadm posto n un puntoQ(Xo,Yo,Zo)(vedi ig. .9).Se con ò indichiamoa densitàdella erra nel puntoQ, si avrà che I'elementoinfinitesimoi massa aràdatodalprodotto elladensità er 'elementonfinitesimoivolume:d. = 6. duo,_u*

Questo elemento nfinitesimo i massa d, provocasu una massa rnp posta inP(Xp,Yp,Zp)na orzadi attrazionehe segue a leggedi gravitazionei Newton ià

enunciata,l cuimodulo ale:

versoQ

[10 ]

[ 11 ]

dF \ , G . j - - - dm 'mo_ \ . =G 4 t12 ]r N

- " - u

l ,

dove G è la costantegravitazionaleari a 6,67 x 10-11

m3 kg s2; dF61è irettada P

Fig.1.9 Definizioneelcampo ravitazionale




latorzagravitazíonale il relativo otenziale

laÍorzadi gravitàe il relativo otenziale

Capitolo1GEODESIA

Ricordandohe a derivata elladirezionedelpotenzialeelativo lla orzadFrvornirà

la componenteella orzainquella irezione,vremo:+=dF, dacui l potenziale

dVdovuto llamassa mvale:

4v!ar*r=ffit=ry t13Ie quindi l potenzialeovuto tutta a massa ella erra:

, " " r 1v(x.Y.z)=Gllz- - I [14 ]

dove,ovviamente,'integrale esteso tutto l volume ella erra.

Dopoaverdefinitoe orzee i relativi otenziali,heagiscono u tutti puntidella erra:

la forzacentrifuga il relativo otenziale Fc= mo(ùz| , .

v = - C ù - r -z

W

F.

o

F,

=OII#

oò

[15 ]

v=c lll!-

cerchiamo'equazíonei unasuperficiequipotenzialehe a rappresentiisicamente.

P v

F N

Fig.1.10 Forze potenziali

ll potenzialeW risultadalla sommadel potenziale relativo lla forza di attrazionegravitazionale del potenziale relativoalla forzacentrifuga i potenziali ossonoessere ommati erché ono unzioni calari).

Sepon iamoW=cos t . V(X,Y,Z) v(X,Y) cost.definiamo'equazionei una amiglia i superficiquipotenziali.

Lesuperficiquipotenzialielcampo ravitazionaleono nfiniten unzioneegli nfinitivalori he l potenziale puòassumere.Definite e superficiequipotenziali el campo gravitazionale,ossiamocostruireimmediatamentee linee di forzadella gravità racciandoe curve che intersecanoortogonalmentee suddette uperfici.Queste inee sono curve gobbe cioè nonappartenenti unpianoperchéesuperfici quipotenzialionsono ra oroparallele.La verticale, he possiamomaterializzaren qualunque unto della terra con unsempliceilo a piombo,ndicheràa direzione ellacampogravitazionale e saràtangente lla ineadi forzapassante er l punto.La superficie quipotenzialeel campogravitazionalehe passaper i l punto diquotazero,definitodal ivellomediodel mare, i chiamaGEOIDE:W = V(X,Y,Z) v(X,Y) Wo

[16]

1 0




y= gradu

Capito lo ' lGEODESIA

Per determinarel primo ermine ell 'equazione16] occorrerebbeonoscere omevaria a densità n ognipunto ella erra.Purtroppouesto onè possibile;e ndaginifatte ornisconoatiabbastanzattendibiliulla ariazioneella ensità alla uperficie

al nucleo,masonocomunquensufficientier a dettagliataonoscenzael enomeno,richiestaall 'operazionei ntegrazione.Risulta uindi mpossibile eterminareigorosamente'equazioneelgeoide.Dobbiamorovare n'espressionepprossimataelpotenziale(X,Y,Z).

L'integrale er i l calcolodel potenziale ella forzadi attrazione niversale,ienedeterminato ediante nosviluppon seriedi funzioni feriche opoaversostituitoecoordinateeocentricheon ecoordinateolari , ry ,1. .

Dopo o sviluppon serie,imitato i ermini i secondo rado, vremo: = V'+ T doveT indical potenzialeesiduo i grado 3

ll potenzialeelativo llaforza ravitazionaleiventa uindi:W=V+vW=V'+v+TW=U+T [J= potenzialeormale

f = potenzialenomalo

ll gradiente el potenziale si indicacon e vienedefinita ravitànormale:dU dU dW

_ - a l _ - 1 t _ - a /

dx - r , dY - r , dz - r t

La differenzalral modulo ei duevettori (gravita) i@ravità

ormale) i chiamaanomalia i gravità oggiè l a grandezzaiùdiffusamenteisurata er l calcolo elgeoide.

Dopoaversostituitoecoordinateeocentricheon ecoordinateolari , y, 1. .,ì ,

_________>y

X = O cost/t cosA.

Y = o cost// sin ).

Z = o s i n V

Fig.1.11 Sistemi i riferimentoeocentricopolare

1 1

117l




CapitoloGEODESIA

a menodi termini ell 'ordinei 1lo4 o = 6370kme 1lo4= 6.07.10-28)l potenziale'risulta spressoalla eguenteelazionepprossimata:

r t r f 1 ( A r p \ e R _ A

v ' (o ,v ,À)=o '11* ^ . lc - " rB l ( r -g . r i r ' v )+-3 B-A 2. o | 2 .6 . .M \ 2 ) . G , 'cos ' ry 'cos2)v l t181doveM è la massàotale ella errae A,B,C momenti i nerziaispetto gliassi ,,Y,2deducibilionottima pprossimazioneallameccanicaeleste.Poiché, omeabbiamo isto,unagrande uantità i osservazioniimostranohe laterraha una ormamolto rossima quella i un solido i rotazione,i puòporreA = Be ricordando he 12= x' +Y2= 02 cos2 si potrà assumerequale espressioneanaliticapprossimataelgeoide'equazione:U =V'+v

, =o !1,*-_! "' -o(t -3.sin2lr l .+ú),r , cost . t19l | 2 .o ' M " l 2

La superfiàie osìdefinitaè una superficiedi rotazione rappresentao sferoide.Poichél nostro ntento quello i definire na superficiei riferimentoer ril ievi iformae di dimensioneella erra, ccorre liminaree costantimeccaniche, M, A, Csostituendoleondeiparametrieometrici.Lo sferoideè una superficie i rotazione quindigli unici parametri eometriciutil izzabiliono l semiasse quatorialee il semiasseolare .L'equazioneello feroiden coordinate olari isulta unque:o = o(t- asin 'y) t2o]

dovecrè uncoefficienteenominatochiacciamentodefinito alla elazíone:A _ C . C

( f = - = l - -a a

Nelsistema eocentricoo sferoide aequazionevedi20]e Fig.1.12):

F ig " 12f - - - - - - - a - - - - - - - ' i

- Sferoidene l sistemageocentrico

l21l

(X ' +Y ' +22 ) ' ' ' = n ( t -oZ 2

X : + Y 2 + 2 2 l22l

Consideriamora un ellissoide i rotazione ventegli stessisemiassi e c dellosferoide;sso aràdefinito elsistema eocentricoalla eguentequazione:

x 2 + Y 2 2 2

++ ,= l [23]a - c -

1 2




Dalla 21] isulta hec = a(1-o) ercuiabbiamo:c ' = a' ( l - a) = a' ( l+ a' - 2a1

ct = a' (t- o)' = o' (t+ a' - za)

c '=a t ( t - o ) ' =a ' (1 -2a )

Capitolo1GEODESIA

124lLo schiacciamentovalecirca1/300 quindi rascurandol terminen u2,paria circa

1/90.000=1.10-5sicommetteràn errore ella eterminazioneelsemiasse inore dicirca35 m (errore el uttoaccettabile):

dacui c = 6.357.126,7

dacu i c = 6 .357 .091 ,1

E quindi opoquesta pprossimazione:c ' = a ' ( l - 2 a )

Con aleapprossimazione'equazioneell'ell issoideiviene:x 2 + Y 2 + 2 2 ( t _ 2 a ) - ' = o t

2Svifuppandon seriebinomialel coefficienteellaZ- (lo sviluppon seriebinomiale

del launzion" t ")" è pari r+ m.(:)U. [ : l ' ' +. . . . . . . )quindirascurandol sol i to\2 ) \ .3 '

i terminin cr 'epotenzeuperior iiot t iene:t-Za)t =(t+Za)Conqueste ssunzionicriviamo'equazioneell'ell issoidei rotazione el riferimentopolare:

( ' 22 \

o'=a ' l t -2" ! , - lI a' ) l27l\ /

I terminia e o sonodellostessoordinedi grandezza, er cui si può accettarea

seguenteostituziont + =1= sin2y e quindi'ellissoidei rotazioneiene spressoa - o -

dall'equazione:/ . \ r / 2o = all -2asin' w)"' [28]

Utilizzando ncora o sviluppobinomiale er il secondomembrodella l27l econtinuandotrascurareterminin cr-e superiori,i ottiene'equazioneell'ell issoidedi rotazionencoordinateolari:o = o( t -as in 'y ) t29 l

checoincide on a [20] equazioneello feroidencoordinateolari).Quindi'ellissoide i rotazione oincide on lo sferoide menodi termini n a2.Lageometriallissoidica,eppur omplessa,piùsemplice ella eometriaferoidica.Inoltre ome abbiamo isto,moltistudisperimentalianno ndicato ell ' ell issoidei

rotazione na superficiedonea rappresentarea formadella erra.Si è convenuto,pertanto, i adottare 'ellissoidei rotazione omesuperficie i riferimentoer i rilievidella uperficieisicaerrestre.ll compito eigeodeti quello i determinarel semiasse aggiore il semiasse inoreowero l semiassemaggiore loschiacciamentor.I metodi i basano u misure eometrichemisure i archidi meridiano di parallelo),su misure i gravità di tracciamentoi orbite i satelliti rtificiali.Nel corso degli anni i moltigeodeti he hanno avorato u tale problema, annodeterminatoalori iversi i a e o. Ricordiamoprincipali:

[25]

126l

BESSEL1841)HAYFORD1909)

wGS84 1e84)

a = 6.377.397a = 6.378.388

a = 6.378.137

a = 11299,2u= 11297,O

a = 11298.257223563

1 3




L'UnioneGeodetica Geofisicanternazionaleel 1924haHayfordcome ellissoide nternazionale, attualmente,

CapitoloGEODESIA

adottato 'ellissoideiutilizzatopressoché

universalmenten utte ecarlografíefficiali.z normale ll'ellissoide

passante er P

I parametri rincipalihe caratterizzanon ellissoide ono l semiassemaggiorea) , lsemiasse inorec),o, nalternativa,oschiacciamentordefinito alla 21].Per quanto detto, possiamodefiniredue superficidi riferimento he meglioapprossimanoasuperficieerrestre:l GEOIDE l'ELLISSOIDE.In un puntoP della uperficieerrestrei potranno uindi efinire ue normali l leduesuperficii riferimento:a normale lgeoide overticale) la normale ll 'ell issoide.Le due normaliormerannon angolo chiamato eviazione ellaverticale.E' unangolo iccolopoche ecine i secondi essagesimali)varia apunto punto.

normale l lellissoicle --),Ie - lu,i normale lgeoide verticalejj

P!i

suoerficieerrestre

geoide

ellissoide

Fig.1 14 Superficieerrestre superficii riferimento

La normalen P al geoide verticale,ncontreràl geoide tesson Po.La distanza Posi definisce uota (o quotaortometrica)si indica onH.La normalen P all 'ell issoide,ncontrerà'ellissoidetesso n P'. La distanza P' sidefinisce ltezza ll issoidica si ndica onh (vedi ig.1.14).Lo scostamentora allezzaellissoidicah) e quota (H) si chiamaondulazionedelgeoidee si indica on a etteraN. Potremo empre criverea relazione:h=H+N [30 ]In ltalia, 'ondulazioneel geoide ariada circa+37 m in Calabria circa+52 m in ValD'Aosta.

IL1-

s l

- / h \ -

1 4




1.3.1.COORDINATEEOGRAFICHE

Considerandon ellissoide i rotazione i semiassi e c noti, estanoseguentiuantità umeriche:

schiacciamento: primaeccentricità: seconda ccentricità:, , A ' - C '

e - =c 2

CapitoloGEODESIA

definitee

a - c , a ' - c 'Q = - g " - - - - : -

a a t

Fra aliquantitàussistonoeseguentielazioni:, 2

,' ' - -!-1 - e '

e t = 2 d - a '

ellissemeridiana.Consideriamonstesso untoP.

o=^1un'C

L

a=J1-e '=1-c [

Lageneratrice,di conseguenzagnimeridiano,un'ellissei semiassi e c detta

^ t 2

s2 = -: -7 + e "

( r - r 'Xr e '2)=1 o=1-. ' . t t-

puntoP sull'ell issoidevedi ig. 1.15) la normale passante er o

Z+ I N = normaleal l 'el l issoide

t i

parallelo

meridiano

Fig.1 15 Coordinateeograficheull'ell issoide

Questa ormalencontrerà'asse i rotazioneZ)nelpuntoC cherappresenteràncheilcentro i curvaturaell 'ell isseeridianan P.L'angolo cuto che la normaleN formacon il pianoequatorialeXY] con segnoconcorde ll 'asse elleZ,prendel nome i atitudine pdelpuntoP.L'angolo iedro he il semipiano eridiano assante er P formacon un semipianomeridiano rigine ad esempio uellodefinito al pianoZX) contato n un sensopositivo,rendel nomedi ongitudine u i P.Le linee, racciate ull 'ell issoide,i uguale atitudinei chiamano aralleli, uellediugualeongitudine eridiani.I parametrip l" individuanonivocamentel puntoP e la direzione , e costituisconoun sistema di coordinatecurvilineesuperfciali dette coordinategeograficheellissoidiche.

I I

i, tc.

1 5




1.3.2.EQUAZIONIARAMETRICHEELL'ELLISSOIDE

CapitoloGEODESIA

Data 'equazioneell'ell issoidei rotazioneel iferimentoartesianoeocentrico:X 2 + Y 2 , 2 2 ,______t_____ = I

a - c -scelti parametrip,"ci proponiamoi scrivereeequazioniarametricheell'ell issoide.ln unpianomeridianoZr]l 'equazioneell'ell isseeridianaisulta:

4*4=,a - c '

lcosenidirettori ellanormale d unacurva i equazionef(r,Z)0, sonoproporzionaliallederivate arziali i questaunzioneungo e due direzioni i riferimentovediFig.1.16), ercui isul tano:

[31 ]

l32l

[33]

[34]

[35]

. d f . 2 rcosp=R ;= k -

Z t ftqg= ; .7

( t r Ld f .22.o t [ t -Q)=s tnP-rAz=nF

.16 El l isse erid iana

sin2g l- e2 sin2g

i l valore ellaZ in

d ac u i Z = r . t g g ' ) = r . , g r p . ( l " ' )'

a ' c o s t g _ a' cos' cp

o

Fig.

Introducendoa [33]nell 'equazione32] i ottiene:, ' * , ' t g ' g ( l - " ' ) ' - n 2

a , c ,- I d a c u i , ' + \ r t t | t r p ( - n ' ) t = o '

Ricordando"n" , \= ,7 n s iha n f ine :' [+ ry 'e ( r - r ' ) ]=

c " 7 - e 'Ricaviamoalla recedenteelazioneaquantità.Consemplici assaggii ottiene:

2a

2 2

Sostituendoa [34]scelti:

cost g+ sin2 p- e'

nella 33]si ricava

dacu i = a cos(p

funzione ei due parametri

z= r tge ( t -u t )=acos(2

La 3a]e la 35] appresentanoeequazioniarametricheell'ell isseeridiana.

. , . _ r r )îsa(-" ')=%. -

.Jl-" '

sin'g

l -e2 s in2

l- e2sinz

1 6




Poiché elsistema eocentricognimeridiano individuatoalla ongitudine, e poichérisul ta nche vediFig. 1.17a) X =rcos)"e Y=rsin). le equazioniarametr iche

dell'ell issoideiventanoavendo osto V= 1 - e2s i r t 2 ) ' .

acostpcos,X_

Y_

wacosgsin.tr"

w

, _ o(t , ') t in rpw

Leequazioniarametricheisolvononproblemai trasformazionei coordinate oltoimportante,precisamente,ote ecoordinate eografiche i unpuntoP (longitudinel, e latitudine),si possonoicavaree corríspondentioordinategeocentricheXp,Yp,

Zp ved i ig . .17 ) .Se il puntoP' di cui si vogliono alcolaree coordinateeocentriche,ongiacesullasuperficiei riferimentoellissoide)a stasulla uperficieerrestrevediFig.1.17b el'ingrandimento.17 c), avremoche, note le sue coordinate eografichel,q,h),potremoalcolaree corrispondentioordinateeocentriche.

Fig.1.17 Coordinateeografchee geocentriche

Con ifer imentol laFig. .17 , r isul ta videnteher'= r + hcosgè Zr,- 7+hsing.Comenelcasoprecedente,vremo he X",= r'cosl a Yr,= r'sen)".LeequazioniarametrichehedefinisconoecoordinateelpuntoP'saranno llora:

Capitolo1GEODESIA

[36]

1 7




/ \X r, = (r + hcos ) cos =[ * * nlcosp. cos2

\w)

CapitoloGEODESIA

YP'

zP'

- (r + hcosg)sen)"(# +h)cosv.srn

= z hsens)=[# tt "')+ )-,t ,

[37]

Esercizi onsigliati, a svolgere til izzando er l calcoloun foglioelettronico

es*re[e]* o'! - determinaree la seconda

c = a( l - a)

it semiasse otare , t'eccentricitàeccentricità'2 eiseguenti ll issoidi:

gz

l - ez

a

lm l6.378.388,0006.378.137,000

6.377.397,1556.376.985,0006.377.397,0006.378.249,0006.378.140,0006.378.140,000

0,ctmI

0,003367003 .356.911,90,00335281

osogg427730,0032404410,0033244680,0034662050,0034071550,003352330

éen

0,006722670 0,006768102

€2 =2A-Az

f a

€ z =

ellissoide

HayfordWGS84BesselDelambreEveresiFisherClarkeHelmert

1 8




Capitolo1GEODESIA

s$ercizis '* - determinaree coordinate eocentricheellissoide i Hayford)di un puntoP noto n coordinate eografiche llissoidiche:

( a= l - t

\w- l u '[w -

tr=l -h

LW'

l ) .o , q-cos .

/ r ) . " , q . s i n "

- , ' )+ n) s ,n t

Igradi primi

| - ez sinz p

secondi mi secondi mlrigadi calcolo 44 4 5 1 1 , 0 3 9 3 1 7 24 29.20335 322,4909

h{AYFORDo = [m ] 6.378.388,000

cr: 0,003367003

e' = 0,006722670calcoliq lradì =

l. [rad]=

W=a l W =

risultatigeocentriche

X [ m ] =Y [ m ] =Z [ m ] =

0,7810398790,1 92959460,998332592

6.389.041139

4.499.734,14585.061,27

4.467.990,36

ll passaggionverso he prevedea trasformazionea coordinateeocentricheXp,Yp,Ze) a coordinate eografichelp, gp, h), è più complesson quantonon sonodirettamentesplicitabilie relazionii e di h.ll passaggiowiene n orma terativamasonopossibilinche ltre oluzioni).

l l valore i ),è immediatamenteeducibilealle rime ueequazionielle 37]:^YA= afctg

x

dalle tesse ueequazioni tenendo resenteal42l,avremo:,=Jx \y , = ( l r+ h)cosrp

1 9



G.COMOGLIO CaoitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA GEODESIA

avendondicatoon N il raggio i curvaturaelmeridianon P (vedi1.3.3.) dividendolaterzadelle37 per l valore i r si ottiene:

r ^ ' lz _LNO-e2 )+h l senp_ N+ h l . -ezN^- . ^ ( ,

" 'N l .

;= @+D#a

=-- -w in tanq=l r -** ) tana

( ^ 2 r r \trascurandonprima pprossimazionel valore I -:-N - I si ottienerp=arctg

I N+hJ Í - - ' - -r

da cui l calcolo pprossimatoel aggio i curvatur1 J= L =w

dallaprimadelle 37]si può icavare nvalore pprossimatoi /z=X

^ - Ncos 4cosA

che nserito ella ormulaigorosai q: g = arctT, (r- " '* )\ N+h )

ll nuovo alore osìottenuto ermetteràn calcoloterativo i N, h e nuovamente.Le terazionierminano uando, ostoun ntervalloi convergenza,accade he:

lg,, g,,-,1..o e lh,, h,,-rl< o

Sonosufficientioche terazioninell 'esempioeguentee iterazionii calcolo ono7)perottenerealori tabili iadi g chedi h.

*senmimimn3 - determinaree coordinate eografiche llissoidiche p, ,,(ellissoideWGS84) ei seguenti unti

l, = arcte{l ú

r=l*+y'

N=aw

h= x -Ncos pcos "

Zq = a r c f g

/ 2 ^ , ,, f t - "N lI N + / t J

I- e2sint q

20



x Y zlml lml lmI

riga di ca lc olo 4.499.525,4271 5 85 .0 34 ,1 293 4. 46 7.9 10 .3 59 6


CapitoloGEODESIA

catcoli

a = [ m ]0 ( =

tÀ - -' l " l

À. rad] =

r [ m ]=

w*ss46:378:137,0000,0033528110,006694380

0,129295946484.537.399,476iterazione it*r*:i*ne? ileraz!*ne

0,777681856fe 0,781051038fe0,7810398420,998350872I 0,998339577 I 0,998339615

6.388.672,738I 6.388.745,01916.388.744,779-20767,51115| 392,9325441 | 322,25645040,781051038-r 0,781039842- 0,781039879

4445

1,03937

2429,2ú33322,49

Z

w-N -

h =Z

/ - ' 1 v ì =i l I - - J

I N + i r ,

i leraaÍ*r:e0,7810398790,998339614

6.388.744,780

322,49094020,781039879

risultati ', ' .-.,'go = lgradi]g' = [primiì

g" = [secondi]fo = [gradi]]u ' = [primi]

|, " = [secondi]h = [ m ]

21




1.3.3.RAGGIDICURVATUHA ELL'ELLISSOIDE.EZIONI ORMALI.

CapitoloGEODESIA

ConsideriamonpuntoP giacenteu di unasfera la normale llasfera assanteper ostesso untoP.Tutti piani hecontengonoa normale,ssia l ascio i piani

aventi ercostolaa normale,ntersecherannoasfera econdo elle irconferenzeiraggioR.Quando nvece l puntoP giacesu di un ellissoidel raggio i curvaturan P delleanaloghe ezioninon sarà più unicoe pari ad R è non sarà più così immediatocalcolarlo.Distinguiamoubito ra sezioninormaliesezionioblique.Consideriamon puntoP giacente ull 'ell issoidela sua normale;utti pianichecontengonoa normale,ossia il fasciodi piani aventiper costola a normale,intersecheranno'ellissoideecondodelle ineepianechiamate ezioninormali vediFig.1.18). utte e altre ntersezionira 'ellissoideun ascio i piani henoncontienela normale aranno hiamate ezioni blique.

normaleall'ellissoide

Fig. .18 El l issoidesezioniormal i

Lesezioni ormali vranno elpuntoP,raggi i curvaturaiversin unzioneell'angoloche a sezione ormale enericaorma on l piano hedefiniscea sezione ormale"meridiano".I raggi i curvaturaelle ezioni ormaliarierannooncontinuitàa un valoreminimo(p)ad unvaloremassimoN).Le sezioni ormalihehanno ispettivamentel minimoil massimo aggiodi curvaturasono dette sezioninormaliprindpalie i loro raggidicurvaturaraggi principalidi curvatura.Le sezioni normali principalisono tra loro

ortogonali.In particolareellesuperfici i rotazione,omenelcasodell'ell issoideerrestre, nasezione ormale rincipaleoincideempre on l meridianoassante er l puntoP eI'altra perpendicolarel meridianovediFig. 1.18), orrispondeioèal pianochecontienea angente l paralleloassanteempre erP.

Nello tudio i unasuperficie importanteefinire nche seguenti lteriori arametriche acaratterizzano:

F curvatura C) n un punto efinita ome 'inversoelraggio i curvaturaalcolatoinquelpunto, desempio elpunto delmeridianoi Fig.1.18la urvaturaaràpar i C=1 lp

22




CapitoloGEODESIA

) curvaturamedia (CM)della superficien un punto a mediaaritmetica ellecurvature i tutte e sezioni ormali er quelpunto, empre on,riferimentolla

ione):cM=1f* ' ì

zlp' wF curvatura otale (CT)dellasuperficien un punto 'inverso el quadrato ellamedia ritmeticai tutti raggi i curvatura,empre onriferimentollaFig.1.18

saràparia (relazioneatasenza imostrazione):T= IpN

Applicandoueste efinizionid alcune uperficiarticolariediamohe:) il piano è una superficie on curuaturaotaleovunquenulla;due qualunque

direzionirtogonaliossono ssere onsiderateirezionirincipaliF il cilindro e il cono sonosuperfici curuaturaotale vunque ulla; n entrambe

una delle direzioni rincipaliquella on il massimo aggiodi curvatura) ladirezione ellageneratrice,'altraè la direzione d essa perpendicolarenel

cilindro efinirà nacirconferenzanelconodefinirà naconica);F la sfera è unasuperficie curuaturaotalecostantear ia at = * (in qualunqueR Z

puntosi verifica he p = N = R = raggiodellasfera); ue qualsiasi irezioniortogonaliossono ssere onsiderateirezionirincipali;

F l'ellissoide i rotazione unasuperficie curuaturatotaleariabileècostante u

ciascun arallelo)vale, ome iàdetto;CT= +pNQuesti oncettiroveranno iretta pplicazioneuando arleremo i cartografia,weroquandollustreremol problemaello viluppo ell 'ell issoideulpiano.

ll raggio i curvatura odi unasezione ormale enericahe ormaun angolo (vediFig.1.19), hiamato zimut, on l meridiano,n unzione el aggio i curvatura inimop e massimo è ricavabileon l eorema i EULERO hedice:

I cos'd sin' a_=_ [38 ]R o p N

piano he definiscea sezione

normale rincipaleon raggiodi curvaturan Pparia N

piano hedefiniscel meridiano(sezione ormale rincipaleheharaggio i curvaturan P paria p

Fig.1 19 Raggi i curvaturan P

23



Passiamora alladeterminazioneelle spressioniei raggiprincipalii curvaturaelcasoche la superficieonsiderataia I'ellissoidei rotazionehe abbiamo ssuntocome uperficiei riferimento.

tn questo aso, meridianionoellissiutteuguali ra oroconequazion" +4 = ta ' c 'Ricordandohe n unacurvapiana l raggio i curvatura il l imite el rapportora unelemento i arcods e I'angoloompresora e normali l lasuperficieondotte ergliestremi i taleelem_entovediFig.1.20) ricordandonoltre he aleangolo pariaitadifferenza i latitudine ei due estremi n quantopuntiavente graI" longitudine,otteniamo:

Fig.1.20 Definizioneel aggio i curvatura

^ ds"[dt-\

dlP - -

' drp drp

Derivandoe [3a]e [35] ispetto q e ponendoW_-

- cs i n ew +n ro rg l _ 2e :s i n cose_ 2 rÀ / ' ' _

w2

a sin p ae2sin3 p ae2sinrpcos2w3

a(t- n')sing


w3

in modoanalogo i ott iene:

Sostituendoella 39] i ricava:

e quindi:oh r')

P =*,t-

drdq

si ottiene:

a sintpW2 acosz p in pe2

w3

CapitoloGEODESIA

[3s]sin2g

_a .;in,,p- e' .;in,eGin'p+ cosz p)w3

az -o(t-" ' )rorrpdg w3

24

[40]




Capitolo1GE ODE S IA

Per trovare l valoredel raggiodi curvaturamassimoN, applichiamol teoremadiMeusnier he dice: il raggiodi curuaturan un punto P di una sezioneobtiqua r) èugualeal raggio di curuaturadella sezione normale (N) corispondenteat piano'che

contiene a tangente n P alla sezioneobliqua mottipticato er il cosenodell'angoloformato aipianidelleduesezioni. vediFig.1 21)

sezione bliqua

Fig.1.21Teorema i MeusnierNel nostro aso pensiamo l parallelo assante er P come una sezione bliqua(sezione he noncontienea normale) cheavrà aggio i curvatura ar ia r espressodalla 34] nell'ellissoidei rotazioneparalleli onodellecirconferenze).Definiamoa angente l paralleloelpuntoP e consideriamol fascio i piani heavràpercostolaa tangente ppena efinita. ragl i nfiniti ianidel ascio i troverà nche lpiano heconterràa normale llasuperficie;uesto ianodefinisce ncheunadelledue sezioninormaliprincipali assanti er P e precísamenteuellaavente l raggiomassimo aria N.

Per l eorema i Meusnier,unque i puòscrivere:r '=Ncosg t4l l

dacui, icordandoa 3a]siottiene:r acos(p I a

cosgwcosewl42 lDalla a0]e dalla a2] i può icavareaseguenteelazione:N - p

= 1 _ L = 1 _ ( 1 - e _ ' ) _ w 2 - ( 1 - e 2 )_ l - e 2 s i n 2 g - l + e 2 _ e r ( l _ s i n r g ) _

N N w 2 w 2_

l _ t s _ l n r g_

1 _ ; r r ; ,=

e'cos' (o= ------:-------

l - e - s i n - g

inbaseallaquale i possonorarreeseguentionsiderazioni:> N è sempremaggiore uguale p

D ladifferenzalradue aggiprincipali icurvatura massima ll'equatoreg = 0)F ladifferenzatradueraggiprincipalii curvatura nullaai poli g = nl2)) ladifferenzaelatívara dueraggiprincipali i curvatura dell'ordinei e2 owero

1/150 circaldoppio ello chiacciamento).

25




1.4. SEZIONI ORMALI GEODETICHE

CapitoloGEODESIA

Ricordiamol procedimentoi ril ievo heabbiamo escrittoelparagrafo.1:definita a superficie i riferimentoellissoide) proiettati ulla stessa utti punti

signifcatividel terrenoda rilevare,bisogneràmisurareangoli e distanzeperdeterminarneaposizioneeciproca.

Possiamommaginarei congiungereutti puntiproiettati ull 'ell issoideon lineeappartenenti lla superficie i riferimento er ricostruirea formadeglioggetti hestanno ulla uperficieerrestre.Conquale riterio olleghiamouesti unti?. eoricamente,duepuntiA e B, giacentisullasuperficiei riferimento,ossono ssere niti n infinitimodi.Se la superficieiriferimentoosse npiano, onavremmo ubbii uniremmoonun segmentoi retta.Abbiamoappena definito a sezione normale.Possiamoadottarla ome lineacongiungenteduepuntiA e B?

superficiei riferimento(ellissoide)

Fig.1.22Defnizioneella eodetica

NOperchéra puntiA e B, asezione ormale onè unica.Ne esistono,nfatti, ue:quellaottenuta ome ntersezioneon I'ellissoideel pianocontenentea normalenel punto A e passante er B e quellaottenuta omeintersezioneellostesso ll issoideon l pianocontenentea normale elpuntoB epassante erA. LeduenormaliperA e perB) sono ra orosghembe quindie duesezioninormalinon saranno ra loro coincidenti. ifferirannoi poco ra loro, marendono onunivocaa inea ongiungentepuntiA e B.

L'univocitàellacongiungente due puntisi avrà invecese tracciamo na lineaparticolarehiamata eodetica.La geodeticaviene definitaanaliticamente ome quella linea appartenente llasuperticie di riferimento che gode della proprietà di avere in ogni suo punto la

normale alla linea coincidente con la normale alla superticie.

Percapiremeglio hecos'èquesta tranainea hiamataeodetica,ensiamo questiduesemplic isempivedi ig. .23):

F se a superficiei riferimentoosse ferica, lloraa inea ongiungenteduepuntiA e B, tracciata econdoa definizione i geodetica ata(geodetica ellasfera)sarebbe n arcodi cerchiomassimo;

F se la superficiei riferimentoosseun piano, l loraa linea ongiungenteduepuntiA e B, tracciata econdoa definizionei geodetica ata (geodeticaelpiano) arebbel segmento i rettaAB. In questo aso,qualsiasi ltra inea, nognipunto, vrebbe emprea normale iacente ul pianostesso quindinon

conforme lladefinizioneigeodetica.

26




CapitoloGEODESIA

Fig.1.23Geodeticaella fera delpiano

Le geodeticheel

pianoe dellasfera

segmentoi rettae arco di cerchiomassimo)rispondonoositivamentenche lladefinizionei distanzara duepunti. ono ioè e

congiungentii minorunghezza.Nelcasodi superficiiùcomplesseellissoide)i puòdimostrarehe,se duepunti onsonomolto istantira oro, ageodeticahe i congiungeunica rappresentanchelpercorsoi minimaunghezza.Sempre on iferimentoll 'ell issoideinbasealledefinizioniate, i puòaffermareheunmeridiano contemporaneamenteiaunasezione ormaleheunageodeticavediFig.1.24):

D è unasezione ormale erchél piano ,Zche o definisce,ontiene olonormaliall 'ell issoide;

F è una geodetica erché n tutti puntidel meridiano,oincidonoa normaleall 'ell issoidela normale lla inea.

Per le stesse agioni, nvece, l parallelo on è né una sezionenormalené unageodeticavediFig.1.24):

) in ciascun unto hedefinisce n parallelo,a normale llasuperficieellissoide)noncoincideon a normale lla inea,ma ormano n angolo arialla atitudine;

F soloall 'equatoree duenormali oincidonoquindi'equatore,ome l meridiano,sarà ontemporaneamenteiaunasezione ormaleheunageodetica.

I normale ll'ellissoide,' normale l meridiano

. normale ll 'ellissoide

'normale ll a

{ - - - ' l inea paral le lomeridiano

parallelo

,, equatore

Fig.1.24Sezione ormale geodeticaiferiti l meridianoal parallelo

27




CapitoloGEODESIA

e quindi

Sempre elcasodell'ell issoidei puòaffermarehe e geodeticheonocurvegobbe,cioè ineeche non giaccionou di un piano vedi eorema i Clairaut el prossimoparagrafo).Questo atto non rappresenta n problema al puntodi vista eorico,ma lo diventa

quando ensiamonvece llamisuraopograficai un angolo di una distanza hedovrebbe vvenirera angenti geodetiche definireunghezzei geodetiche.Le geodetiche on sono "praticamente" aterializzabiliul terreno e, in più, peraggravarea situazione,o strumentohemisura liangoli teodolite)uòsolodefiniredelle sezioninormalie non dellegeodetiche. hiariremo eglioquesticoncettivedremo ncheesoluzioniratichea adottareeiparagrafi.4.3 1.4.4.

1.4.1.EQUAZIONI ELLEGEODETICHE

Traducendon formule a definizioneata nel paragrafo recedentei possonoricavaree equazioni ifferenzialiellegeodetiche.n generale, ata una superficiegenericaQ\X Y,Z)= 0, sappiamo he i cosenidirettori ellanormale lla superficie

, I aó | aó | dó l(ao\' ( da\' ( dó\'Va lqono :-= ; - - : - ; - -= OoVeV= . l l ^ | + l -= | + l -= | Ndx NdY Ndz \ \dx ) \dy ) \dz )Consideriamo ra una ineaappartenente talesuperficiee cui equazioni arametriche

fx =x(s)siano:r =r(s)

IlZ = Z ls )

i coseni irettoriellanormale i ale inea alqono: d'{ , L4, L !?' ' K d s 2 ' K d t ' ' K d t '

Per mporre he tale ineasia la geodeticaellasuperficiecelta e due normali radefinite evono oincidere,ercuisi dovrannoerificareeseguentielazioni:

òQ ò0 ò0ax _òY _az;ry=;+=;t r43ldf ,t"' ,l"t

La primaequazione ifferenzialeontenuta ella 43]:òp a'Y òQd'?x= 0 esprimeòx ds' òY ds'

unacaratteristicaolto mportanteelle eodetiche.ediamo i definirla:la superficieQ(X,Y,Z)=0 nel nostro aso è quelladell 'ell issoidei rotazione on

. X 2 + Y 2 ' 7 2 ^ n 2equazione+1-= I chepuòessereiscr i t tael laorma'.X2Y'+\zt -at =0a t c t

xz +Y2(o -5r)= o e sapendohe 2

a(x.Y,z)=: +r ' - [ r ' - f t ) : o

A partireda questaequazioneisulta:4 = r" edX

nella quazioneifferenzialeonsideratai ottiene:

a ' - c ' 4 L ' l - q

a -

a ' I- = -c t l - e 2-

4=2Y.dv

28

Sostituendoali relazioni



G.COMOGLIOTOPOGRAFIACARTOGRAFIA

- -dzY - .d ' x , . d ( , , dY . .dx lX - - - L - = ( . 1

ds , ds ,e qu ind i

; [ t * - , e )=oper ui ntegrandoi ottiene:

_.dv -.dxx- - r - -cos Ì .ds ds

Perquanto istonellascri ttura el leequazioni arametricheell 'el l issoide:X=X(s )= rcos ) .Y = I(s)= rsin).z= .......avremo:dX " i l " "d r . .d t r "d r = -r. sln t- + cos ,-ds ds ds ds ds

dY .d ) " ^d r - . i l . . d r = f . COs/ t - + s , ln l t - = x -+ Stn t -ds ds ds ds dsSostituendoaliespressioniella 45)abbiamo:, , , d l . , . dr , , , d) . drX '

* ' -+ X .s in . : -+y- -Y .cos) . = cos t .da cu i

ds ds ds ds, , ) ' ) ) . .( x t + Y t l ! ! + ( x s i n - Y c o s ) . \ a = . o r r' ' d s ' d s

, d ) " / a . ^ ^ r d rr - -+ ( rcos / ts ln- rs tn cos l ) , = cos t

dS dS

" d)"r- - - cost

ds

Consideriamoraun riangolonfinitesimoBPsull'ell issoide.Conbuona pprossimazionessopuòessere onsideratoiano.

Fig.1.25 Triangolonfinitesimoull'ell issoidei rotazione

CapitoloGEODESIA

144l

[45]

[46]

Se a è I'azimut ellageodetica B, si ha:

sostituito ella 45]portaalla elazione:rsind, = cost.

r .d \u=ds .s i ncx ,qu ind i = t ' nods r

l47l

29





La fi71 esprimel teoremadi Clairaut, l qualeafferma he in ogni punto di unageodetica,racciatasu una superficidi rotazione, costante l prodottodel raggiodel parallelo er l senodell'azimut ellageodetica.La costante tipicadi ognigeodetica vienechiamata ostante i Clairaut.

Questo teorema è molto importante erché permettedi definirecon semplicitàI'andamentoelle ineegeodetichei unasuperficiei rotazione.Adesempio e da unpuntoP esceunageodeticaonazimut = 50eoncioè i sviluppain direzione ord Est), 'azimut resceràman manoche il puntosullageodetica iallontanaa P, nquantol raggio elparalleloiminuisce.

emwncEeim",4-determinare elpuntoP, raggi principali i curvatura,l raggiodellasfera ocale, l raggiodel parallelo la costante i Clairaut

N:Lw

woN

r\n - ---------;------

" Ncos- + psin-

r sen&= cost

HAYFORDa= [m] 6.378.388,000

o( : 0,003367003.'= 0,006722670

9 [rad]= 0,780685774l. [rad]= 0,128242915u [rad] 0,785398163

W = 0,998333784risultati

p - 6.367.283,01f,l= 6.389.033,51Pl= 6.378.148,99r = 4.538.967,98

Rc t 6.378.139,71cost. i Claìraut 3.209.535,04

oí-

r')D= -#wr

p = J pu

acos a

caleoli

q ?t azimutagradi pflml secondi gradi pnml secondi gradi pflml secondi

riga di calcolo 44 43 48 7 20 52 45 0 0

30




1.4.2.SVILUPPI I PUISEUX.WEINGARTEN

CapitoloGEODESIA

Notevolemportanzan geodesia,ivestono li sviluppi i Puiseux Weingartenqualiconsentonoi determinaree coordinate ,Y,Z di un puntoP appartenented

una geodetica,n un riferimento ulerianoO,XYZ] a cui origineappartiene llageodetica onsiderata,n funzionedell'arcodi geodetica che unisceO e P edell'azimutdi alegeodeticaelpuntoO.

i z

Fig. .26 Terna uler iana

Per ernaeuleriana vediFig.1.26) i intende na ernaortogonaleartesianaventeI'asseZ coincide on la normale ll 'ell issoiden O, I'assedelleY coincide on latangente l meridiano assante er O e I'assedelleX coincide on la tangente lparallelonO.

Gli sviluppi i Puiseux-Weingartenervonoa facilitareo studiodelle proprietà icurvatura ellageodetica in definitiva caratterizzarel gradodi approssimazioneraggiungibile,n relazione lladistanza, ella oluzione ei più mportantiroblemi iGeodesia perativa.A meno i ermini iquarto rdine, uesti viluppivalgono:

X- t

X =.s in"l

t - : -( , - e's in '-ac9st)- l

| 6pN( l -e 's in 'g ) )

y= .orol t - - : - f ,* " 'cos 'acos'P] l| 6pt't 1 "' ))

Z=-s(-:_.-L\2R" 6R;

[48]

3e 's in 'ecosdl- e' sin' g - e' sint d

3 1




es€rcizie oS* calcolaree coordinate el puntoP nella ernaeuleriana

CapitoloGEODESIA

X =s inolr-L(t -L 0plr l

Y=s"oro [ , - t ' ( r *

L 0pnI

e2sin2a cos' cp

e ' c o s ' d c o s t g

I - ezs in2 p l)l- e 2

s azimuto lat o dell'oriqine

lm Igradi p nm l

secondigradi primi

secondiriqa di calcolo 11.943,82 53 55 1,95 44 46 48,075

$.{&vpftwCIsemiassequatoriale= [m] 6.378.388,000

schiacciamento ,= 0,003367003eccentricitàe' = 0.006722670

calcoli

rieultati

A [rad]=W =p =N =

azimuta [rad]=R ' [m]=

X [ m ] =Y [ m ] =Z [ m ] =

0,7815588030,9983308456.367.339,256.389.052,32

0,9410328096.381.504,03

9.652,597.034,35

-11, ' l

1.4.3.MISURE OPOGRAFICHE:NCONGRUENZERATEORIAE PRATICA

La geometriaulla uperficiei riferimentoellissoide)i puòcostruireonsiderandodelle igure cui atisiano rchi i geodetica.aràdunque pportunoefinire,alpunto

di vistapratico perativo,e misure he l topografo otràeseguire ella ealtà.Vedremomeglionei paragrafi uccessivihe il teodolitestrumentoprincipe"ellemisure opografiche), in gradodi definireesclusivamenteei "piani"di misuramediantel proprio ssedi collimazionela rotazioneelcannocchialevediFig.1.27).ll teodolite, uindi,NON è in grado di operaresecondo a definizione ata digeodetica,ma può ndividuare sclusivamenteellesezionipiane.Come ulteriore ggravante questoschemadi misura opografica, iciamo he nelteodolite,mediante'usodi sempliciivelle, i dispone 'asseprincipaleecondoaverticaleche a riferimentol geoide) NONsecondoa normale ll 'ell issoideheè lasuperficiei riferimento.Le misure opografiche quivalgono uindia misureeseguite ull 'ell issoidera

sezioni blique.

32

b--.




. . 1

Capitolo1GEODESIA

le misure,hannoche si dovrebbero

verticale

(riferìtalgeoide)

Fig.1.27 Schema i misuraopografica

Lemisureopograficheseguibiliella ealtà perativa,arannoe seguenti:

DtsrANzARADUE uNTt: onsideratiue puntiA e B sullasuperficieerrestre, li

strumenti i metodi i misurampiegatiermettonoi definirea lunghezzaell'arco i

sezione ormale he congiungee proiezioni ' e B' sullasuperficie i riferimento.

Ricordiamouiquanto iàdettonelpar.1.4e cioèche a sezione ormalendividuata

tra duepunti onè univoca.

ANGoLoZ1MUTALE:onsideratiuepuntiA e B e un terzopuntoS (punto i stazione

del teodolite),'angolo zimutale SB,che si può misurare I'angolora le sezioninormali Ae SB.

AZIMUTtuNpuNTo. onsideratiuepuntiA e B, I'azimut i B rispetto A, misurabilecon osservazionistronomiche con teodoliti iroscopici, I 'angolo he la sezionenormale B formacon la tangente l meridianon A diret ta ersoNord.L'azimut i

valutansenso rario par.tirealla irezioneelNorde puòassumereutti valori a0

a2n.

Teoricamentei potrebbe rocederenquestomodo:F inizialmentei accetia'incongruenzaellemisure iferite llaverticale nonalla

normale ll'ellissoidesi proCedel calcolo ellecoordinate ei puntioggetto elril ievo;

F successivamente,er ogni punto,sicorreggonoutte le misureeseguitecoordinateeiPunti el rilievo.

determinaa deviazione ellaverticale, ie si ripetono calcoliper ridefiniree

Gli errori strumentali,he inevitabilmenteccompagnanoutteun'influenzaello stessoordinedi grandezza elle correzioniapportare rocedendoelmodoprima ndicato.Llincongruenza ienequindi accettata si procedenell'ipotesi he tutte le misureeseguitésullasuperficie isica errestre ianoeffettivamenteiferiteall'ellissoide.

J

33




1.4.4.TEOREMI ELLAGEODESIA PERATIVA

Capitolo' lGEODESIA

Resta ncora nproblemaa superare. ome iàdetto i possonomisurarengolidistanzeolo rasezioni ormali non rageodetiche.

Consideriamoue puntisull 'ell issoide e Q, I'arcodi sezionenormale ' che licongiungevente zimut ' e I'arco di geodeticahe i congiungei azimut .Perarchi i alcune entinaiai chilometri,rascurandoermini ell 'ordinei (s/N)8 i puòdimostrare,til izzandolisviluppi i Puiseux-Weingartenaseguenteelazione:

- r 2' '- '=+*t+l ,in, acosop I49ls 360N'R; [ l - r ' . )

Per s = 1.000km, la quantità opra iportata dell'ordinei 10-8 circa10 pm alchilometro). oiché metodidi misurautil izzati on consentono i raggiungereprecisioni uperiori 10-6+1'7 pertettamente iustificatoitenere he misureeseguitesecondoarchi di sezionenormaledianogli stessi isultatidellemisureeseguitesecondoarchi di geodetica.

Perquanto iguardaa differenzara i due azimut i l primosul geoide I'equivalentesull 'ell issoide),empre icorrendoglisviluppin seriedi Puiseux-Weingarten,i puòdimostrarehesussisteaseguenteelazione:

. s t e 'd'-d = ,:_-:=sin2acos2 rp t50]l2NRo- e-Si notiche a paritàdi s, tale differenza massima ll'equatore nullaai polidovesezioni ormali,eodetichemeridiani,oincidono.Considerandonageodeticai 100kme cx nl4la [50] ornisceseguentiisultati:

c['-c[ = 0.03" all 'equatore

cr' cf,= 0.01" alla atitudineinl4Talidifferenzeumentanoi 10volte onsiderandorchi igeodeticai circa 00km.Se si iene onto he aprecisionei misura egli ngoli aggiungel massimo ualchedecimodi secondo essagesimaleche nonè possibile,er effetto ellacurvaturaterrestre,ffettuare isure ra puntidistanti iùdi 200 km,si puòconcluderehe unamisuradi azimut,anchese effettuata on riferimento una sezione ormale uòsempre onsiderarsiiferita unageodetica.Analoga onclusionei può rarre er a misura egliangoli zimutali atocheperunangoloazimutale, he può essereconsideratoome differenzara due azimut,almassimo i potrebbero verediscrepanze oppie ispetto quelleappenamesse nevidenza.

Quanto inqui esposto ostituiscea sostanza ei teoremidellageodesiaoperativaowero, in sintesi, l fattoche qualunquemisura di azimut, angolo o distanzaeseguita con i mezzta disposizionedei topografi puo ritenersi eseguita conriferimento d archidi geodetiche ell'ell issoidei riferimento.

34




1.5. ESECUZIONEEICALCOLI ULLASUPERFICIEI RIFERIMENTO

CapitoloGEODESIA

Accettatiteoremi ellageodesia perativa,a risoluzionei un qualsiasi roblemadeveessere seguitaonglialgoritmiropri ella rigonometria llissoidica.

Questa isulta eròpiuttostoomplessa,ercuiè opportunosaminarea possibilitàieseguire calcolin maniera iùsempliceimitandopportunamentee lunghezzeeilaticonsiderati.D'oran poiconsidereremoa quantità 0-2 omequantità iccola elprimo rdine. erle formule heseguirannoi esprimerannoe approssimazionin termini i potenze italequantità.Adesempio,onsiderandorchi i geodetica= 50km,sonoquantità iccole elprimo

ord ine:t t t

" t dN R "A conclusioneellabreve rattazioneheseguirà i vedrà hese gliarchidi geodeticachecompongonoe figure ggetto elcalcolo oneccedono100km, calcolieseguiti

congl ialgoritmi ella rigonometriaferica isultanopraticamenteguali" quelli he siotterrebberosandoa rigonometriallissoidica.

Ancora, e le dimensioni on eccedono 15 km i risultati he si ottengono on latrigonometriaianasono "praticamenteguali"a quelliche si otterrebberoon latrigonometrial lssoidica.

Si definisconopraticamenteguali"risultatii duecalcoli seguiti onalgoritmiiversitutte e volteche e differenzeonodecisamentenferiori lle ncertezze erivanti allemisure.

1.5.1.CAMPOGEODETICO

Riscriviamolisviluppi i Puiseux-Weingartenheesprimonoe coordinateuleriane(X, Y, Z) di un puntoPs;; ppartenentell'ellissoiden funzione ellesue coordinategeodetiche olari (arcodi geodetica) azimut r rascurandol secondo ddendo ellaZ perchè uantità iccola elquarto rdine:

x . = s .s ina . [ t- - | . , - e 's in ' -a 9s ' ] - l' e

l 6 p N \ l - e ' s i n ' q ) )

yo = s cosa t ---| ,, * "'cos' costP"ll

'e ' ì

L5pN l-" '

) l

[51 ]

s t7

2R o

Se ora consideriamona sfera angente ll 'ell issoideel puntooriginedella ernaeuleriana,hiamata feralocale,vente aggiop="[pN, possiamoefinire u di essaun nuovo untoPsreon estesse oordinateeodeticheolari s,cr )de lpuntoPerr.

35





S /

Fig.1.28 Terna uler ianaul l 'e l l issoidesul la fera

ll sistema i riferimentoocale, ioè a ternaeuleriana,on ha subito postamentiseguito ellasostituzioneell'ellissoideon a"sfera ocale" quindi ossiamoalcolarele coordinate uleriane el nuovopunto Psls or'r e stesse elazioni i Puiseux-Weingarten.

Infatt i e l lasferadiaggio r isul tano:=N -Ro=R ed noltre ? 0L'errore he si commette onsiderandol puntoP proiettatoullasfera ocaledi raggioR anziché ull 'ell issoidei ottiene alutandoe differenzeelle oordinateulerianeiP.1"ispetto ll'equivalerìteerr.

x^ =s.s inor- j - - l=r . r int l , - - l l{!L 6R'_l l. 6pN

y. = ..o.o.[r j-. l =s.cosal-j- l' ' 'èL 6R- \, 6pN

z =-" =--L2R zJpN

) 1 . ) 1

x , - x . = -s 's ing s- e-stn--acos-r' ' 6pN | - e' sin' g

-, s ' e'cos' acos' g- J l U J g- - - - - 6 P N

l - e 2

l52l

Is3]r," - Y.",,

2o,,, Zr"u

l l massimo elle ifferenzeella 53] i haperg = 0 e cx 0 o a= xl2ivalori inmm)sono iassuntiella tabella:

S

tkml10

Ikmì15

tkml30

lkml50

Ikml100fkml

200tkml

I Xprt"- p"lr lmm]I Yprr"- p"rrlmm]lzr",o-2o",,[mm]

00

27

00

s0

11

240 664

2S28

2.657

223223

10.629

Comeappare vidente, li scostamentira ellissoide fera ocale iventanoensibilinmaniera ifferenteer aZ e per ecoordinatelanimetricheXe Y).

36

1

--_^!Pws ' l I

I

2 [R"




CapitoloGEODESIA

A 15 kmdall'origineo scostamenloZ giàdi 60 mm,mentre praticamenteullo erlaXe laY.A 100km dall'origine,o scostamento è superiore i 2,6 m e quindi naccettabile,

mentre uellonX e Y è solodi 28 mm.Definiamounque omecampogeodeticoquell' intornoell'origineocaleO entro lqualesaràpossibile pprossimare'ellissoideon una sfera angentesfera ocale)quindi isolvereutti problemi i calcolo emplicementeon a rigonometria ferica.Naturalmenteuestontorno differenteer ecoordinatelanimetricheXe Y) e per aZ;nelprimo aso aràdi 100kme nelsecondoaràdi15 m.

1.5.2.CAMPO OPOGRAFICO

Se ora consideriamol piano angente llasfera ocale elpuntoorigine ella erna

eulerianapiano Y),possiamo efinire u di essoun nuovo untoPpi3oo e stessecoordinateeodeticheolari s,c) delpuntoP"11.

Fig.1.30 Terna ulerianaulla fera sulpiano

Anche n questocaso l sistema i riferimentoocale, ioè a ternaeuleriana, on hasubito postamenti seguito ellasostituzioneellasfera ocale on l "piano angente"e quindi ossiamoalcolaree coordinateulerianeel nuovo untoPpi6orì e stesserelazionii Puiseux-Weingarten.

=, tcosa

- 0

L'errore he si commette onsiderandol puntoP appartenentel pianoXY nziché llasfera ocale i ottiene alutandoe differenze ellecoordinate uleriane i Pplsispettoall 'equivalente"1".

t55l

).s-

^ D - x o ' . t . s l n a'

tra' sli A altlv P t r

1

Yo -Yr.

Z r . - Z o . = - =-t' ' '{t '2tlpN

,S= - . . t . c o s a6pN

II

i la geodetica OPpi"

,/ sta sul piano X, Y

37

[56]




l l massimo elle ifferenzeella 56] i hapere = 0 e cr= 0 o u= nl2ii valori inmm)sono iassuntiella eguenteabella:

CapitoloGEODESIA

S

Ikml0 .1Ikml

0.5tkml

1tkml

2lkml

5tkml

10lkml

15lkml

50tkml

100Ikml

IXro'uIYro,uIz rn^

Xprr" [mm]Yp"r" [mm]Zp*" mml

001

00

20

00

79

00

3 1 5

'l

1t . Y o o

4

4

7.865

1 41 4

17.697

5 1 65 1 6

4.1204.120

Anche n questocaso, appareevidente he gl i scostamentira sfera ocalee pianotangente ssumonoalori iversi er aZ e per ecoordinatelanimetricheXe Y).Giàa 100m dall'origineoscostamenloZèi 1 mm,mentre nullo er a X e la Y.A 15 km dall'origine,o scostamento è superiore i 17,6m e quindi naccettabile,mentre uel lonX e Y è solo i 14mm.

Definiamouindi omecampo opografico uell' intornoell'origineocaleO entro lqualesarà possibile pprossimarea sfera ocalecon un piano angente quindirisolvereutti problemi i calcolo on a rigonometria iana.

Naturalmenteuestontorno significativooloper e coordinatelanimetrichevale15km.Invece, er quanto iguardaa Z, NONsi puòmaiapprossimarea sfera ocale on lpiano angente erché 'errore he si commette sempremaggiore ellaprecisionestrumentale quindi, er quanto iguarda'altimetria ONè definibileun "campotopografico".

Jt t




*$ercizion" 6Verificarenumericamenteuanto definitocome "campotopografico"ell ' ipotesihe 'ellissoideia quello i Hayford

abbia r ig ine elpunto i at i tudine=

0"0'0" .st e2sin'acos' g

CapitoloGEODESIA

geodetico"e "campoche la ternaeuleriana

X^ -X^ =rr" rtll

_s.s t t t (4- . - - - - - - - ; - -- -" ' - -6PN 1-e2 sin'

r , __ ^ . s ' e ' cos ' dcos ' gl e - t o = J ' s u 5 u -P q , ' P a r " - - " - ' 6 p N

l _ e 2

Z^ _Z^rst. ren

X , - X o =" ' s ' s i n dr io .{(

6p N

.a2Y" -Y, = ' s ' cosa

,pi" ' \, i6p N

Z, -Zo.=-LP"2^lPN

rl6)

t ( I_ t _ _

2 [n,

/\, \I

ellissoide

" tIII

sfera ocale piano

s azimutc,latitudine dell'origine ella

ternaeulerianapunto lmI gradi primi secondi gradi primi secondi

rigadi calcolo

P 15.000 0 0 0 0 0 0

I.N&VPORDsemiassé = [m] 6.378.388

schiaccìamento= 0,003367003eccentricità2= 0,00672267002

calcoliq [rad]=

W =p =N =

azimut [rad]=

R" m]=

risultati ,'distanzas [m]

Xpsfera' Xperrissoid" [mm]

Ypsrera Yp.nisoic. = [mm]

Zps{era Zpelis:oictu [mm]

01

6.335.508,206.378.388,00

0

6.335.508,20

15.0000o

60

ù !

15.000-olo!

6 0 l^ j!

x ll:: -x,"',"= l**1]Yoo:".:Y-î:::::I*l"JZ ppianc - Zp*1"r, . [m{fi]

0 ,- -r ì :

17.697..

0 ,1 4 ì

- - - - - - ' . " 1

17.697. : , : 1 ì Ìl : i . r . t

a ..............

39




1.5.3. L TEOREMA ILEGENDRE

CapitoloGEODESIA

l l teorema i Legendre ermette i risolveren triangolo ferico dunque ontenutonelcampo eodetico)onglialgoritmiella rigonometriaiana.

Innanzituttoccorre recisarehe n un riangolofericoa somma ei re angolinternieccede l valore di unaquantità ettaeccesso ferico 3e).Si puòdimostrarehe I'eccessoferico numericamentealutabileon l rapportoraI'area el riangoloferico il quadratoel aggio ella fera ui l riangoloppartiene:^ superficieJt=---i---_

R .

ll teoremadi Legendre fferma: ia datoun triangolo ferico cui ati sianounapiccolafrazionedel raggio R della sfera di appartenenzae si assuma a quantitàI/R comequantitàpiccoladel primo ordine;commettendo n errore del|ordhe di (l/R)4gli angolidel triangolopiano che ha i lati della sfessa unghezzadei lati del triangolosferico si

possono derivaredagli angoli di quest'ultimosottraendoad ognunodi essi un terzodell'eccesso ferico.

[57]

Fig. .31 Teoremai Legendre

Ad esempio n triangoloferico on atiparia 60 km ha unasuperficiei circa1.600km2e un eccesso ferico r = 0eon,0025.'errore on cui si ricavano li elementi el

triangoloiano pari circa:+l'= ( ,22:f )".2000q'',000000s-- (n)lont*m) î

Volendoimitare'errore assimo mmissibile 10-6, cioèponendolR)4 < 10-6 ipuòdedurre he latidel riangoloferico ondevono ccedere200kmcirca.( r \ aI I =1 .10-óacu i =200km\ R /Quindi l teorema i Legendre uò essereapplicato tutt i i triangolicontenutinelcampogeodetico.Per a valutazioneell'areael riangoloferico, i puòdimostrarehe,sempre meno

( r \ odi termini n | - | essa si può calcolare on le formule ella rigonometriaiana

lR lutil izzandotieteíentisferici oti.

"y-€

B- e

a+B+y-n=3e

40

E




1.6. COORDINATEEODETICHEOLARI RETTANGOLARI

CapitoloGEODESIA

Mentre e coordinate eografiche , ì, (latitudine longitudine)efinisconoaposizione ssoluta i un puntoP sull'ellissoide,valori (distanza olare) cr azimut)

(vediFig. 1.32)definisconoa posizioneelativa i P rispetto d un altropuntoOdell'ell issoideresocome origine; e q sonoquindicoordinateocalie vengonochiamate oordinate eodetiche olari.

O'triangoloulpiano

Fig.1.32 Coordinateeodeticheolari rettangolari

Un altro modo per definire a posizione elativadi P rispettoad un altro puntodell'ellissoiderappresentatoallecoordinate eodeticheettangolari e Y.Si consideri n puntoO sull 'ell issoidessunto omeorigine el sistema i riferimentolocale un secondo untoP chesi vuole iferire taleorigine. i consideri ncoraageodeticaassante erP e normale l meridianoassante erO (perquanto iàvisto

si ricordache tale geodeticaNON è il parallelopassanteper P) ; tale geodeticaintersecal meridianoonsideratonunpuntoQ.In questo aso, a coordinataeodeticaettangolare è I'arco i geodetica Q mentreI'arco i meridiano Q rappresentaa coordinataeodeticaettangolare.Limitando e operazioni l campo geodetico i possono rovare e relazionicheconsentono i passaredalle coordinate eodetiche olari a quelle rettangolariviceversa.Applicandol teorema i Legendre l tri angolo fericoOPQ(vediFig.1.32), ossiamocostruire'equivalenteriangolo ianoO'P'Q'avente latiuguali quellidel triangolosferico gli angolipari a quellidel triangolo ferico iminuiti iascuno i un terzodell'eccessoferico e.

Secone si ndica n angolo aria 1/3dell'eccessoferico, l iangoli el riangoloianovalgono:

q 'Ó'P '= - t

Applicandol eorema eisenia tale riangolo,tteniamo:

X_--.-.;--------i

sin(a e)

y,Q,o,=_ o,È,q,=,lt" n.(+_,)]|_tozu)

s i n ( c r - e ) . [ n , r / * \' s r n r - - r c r - 2 e ) l s i n l - e lt2 ' l \2 )

S

cos [58]

L'eccesso ferico3e = superficielRzvedi 57])è una quantitàpiccoladel secondoordine,per cu i mantenendo 'approssimazioneccettataapplicandol teorema diLegendre,ssia rascurandoterminiminori ie2 bbiamo:

t r l 2 - @ - 2 € )

triangoloulla fera ocale

4 1



G. COMOGLIO CapitotoTOPOGRAFIACARTOGRAFIA GEODESIA

. € 2cost=l- - +.. . e quindimediantee relazioni58] ipossonoicavareesoluzioni:2

i x = ss in (a - r )

lr = cos(a- r)[59]

relazionihepermettonol calcolo elle oordinateeodeticheettangolarin funzionedelle oordinateeodeticheolari.Per calcolare'eccesso ferico3e sarànecessarioalutare a superficie el triangolosfericoOPQutilizzandoe grandezzeotes e o. A menodi termini elquarto rdine ipuòconsiderareale riangolo ome ossepianoe quindia superficiearàdatadalla

^ s ' s i n cosAref zlone: -5€ -

2pN

Per ricavare e relazioni nverse, i procedenel seguentemodo.Sviluppiamoe [59]:X = ssin( x-€)= s(s ins.cose-cosusine)Y = scos( - 2e = s(cos cos2e+ inasin2ee ricordando he a menoditermini n e2

cos r=cos2 t=1 s ine=e s in2e=2esi ott iene:

X =ss in - * cosar = scosa zr"s ina [60]

Ricavando .cosodallaseconda el le 60]e sosti tuendo ellaprima,a menodi terminiin e2 i ott iene:scosa Y -2sss ina

X=

ssina. e(Y 2t ssirz )=

ssina-

tY + 2e2 sina= ssirz x, rI e quindiss i na=X*eYAnalogamente icavando l termine s.sina dal la prima delle [60] e sosti tuendo el laseconda i ott iene:ssina= X +sscosaY = scosg.*k(X +er.rrcx)= sco.rcx,+eX+2e2scosa"=coscr+2EXe quind i : co.rcx,Y -2eX

ln definit iva uindisi avrà:ssino= x +eY

,rcosCX,Y -2eX

da cui si r icavano e seguenti elazioni he consentono l passaggio al le coordinategeodetiche ettangolari quellepolari:

r, .. -r1r = (X + ey ) '+ y - 2 * ) ' px + €Y [61]

d - arcfan_y -2€XIn questo aso 'eccesso ferico uòesseredeterminatoon a seguente elazione:^ X .Yr€ - -

162lpN

42



7


Capitolo1GEODESIA

e$er*ieis io7 - calcolare e coordinate eodetiche ettangolari X,Y)di un punto Pnoto n coordinate eodetiche olari s,a)

[ ,= t . s i n ( a - e )

f r=s .cos(a-2e)

3€=s 'sena cosa

2pN

gdAVTgRD

a = [m] 6.378.388,000schiacciamento= 0,003367003

e'= 0,006722670calcoli

q [rad]=W =p =N =

cr rad]=3 e :

t -

risultati'..:

geodeticheettangolariX [ m ] =Y [ m ] =

0,781 588030,9983308456.367.339,256.389.052,320,9410328090,0000008350,000000278

9.652,607.034,36

Con riferimentoi valorinumerici ell 'esercizio" 5, siconcettualera le coordinate eodeticheettangolarieuleriane,hiamateon o stesso ome Xe Y).

notino e differenzeon solole corrispondentioordinate


s azimut a latitudi eg dell 'originedella ernaeuleriana

lmI gradi p ri mi secondi gradi pnml secondirigadi calcolo 11.943,82 53 55 1,95 44 46 48.075

43



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA GEODESIA

eserciuo n" I - calcolare e coordinate eodetiche olari s,a)di un puntoPnoto in coordinate eodetiche ettangolari X,Y)

[ , ' , , . r Ès: [X + tY)-+ (r - 2d7- 1:

X +eYd- arcfan_

Y-2sX

3€=XY

2pN


coordinate eodeticherettanqolari

latitudine dell'originedella ernaeuleriana

X [m ] Y tml qradi pnml secondirigadi calcolo 9.652.60 7.034,36 44 46 48,075

calcoli

risullati

a = [ m ]eccentricitàr=

,a - -

I [rad]=

W =p =N =

3 e =t -

s [ m ] =azimut r rad]=azimut [rad]:

az imut [1=azimuta ['] =azimuto [" ] =

H A V F S È U t l

6.378.388,0000,0033670030,006722670

0,781558803

0,9983308456.367.339,256.389.052,320,0000008350,000000278

11.943,820,9410328090,941032809

6 q

1 , 9 5

44




Capitolo2ELEMENTIDI CARTOGRAFIA


2.1. SVILUPPO ELL'ELLISSOIDEULPIANO

La teoriadellecarte ratta,da l puntodi vistamatematico,l problema i rappresentaresulpianoa superficiei riferimentoellissoide).ll modo olquale i stabiliscel egamera punti ella uperficieell 'ell issoideon punticorrispondentiul pianodella arta, aratterizzalaroiezioneartograficasata.

Questoegame definito edianteelazioninalitichehepermettono,ate e coordinatedi un qualsiasi unto ull 'ell issoide,i determinaree coordinateelcorrispondenteuntosulpiano ella arta.

Talecorrispondenzaeve essere, wiamente, iunivoca,ale cioè che ad ognipuntodell'ell issoideorrispondanoed unosolopunto ella appresentazioneviceversa.Si notiche l termine roiezione ondeveessere nteso emplicementeelsuo significatogeometrico, acomecorrispondenzanaliticara eduesuperficin questioneellissoidee pianocartografico).nchenelcaso n cui la corrispondenzaia di tipoproiettivovedi




CapitoloELEMENTI ICARTOGRAFIA

par.2.1.1.2.1.2.),nfatt i , onsi usamaiunacostruzioneraf ica a si r icorreempredelle spressioninaliticheheprendonol nome i equazioniella arta da esse, omesi vedrà, i potranno edurreutte e proprietà ella appresentazione.Nelcasogenerale ella appresentazionei unasuperficieu di un'altranelnostro aso

l'ellissoide ul piano), stabilita a legge di corrispondenzale equazioni) aràimplicitamentenche eterminatol modo n cuiuna igura ellaprima arà appresentatasulla econda.Ingenerale onè possibilehe a figura appresentataiasimile lla igura riginale,ioèconservinalteratil i angoli i lati nelsolo apporto i scala).Gaussha dimostratoheciòè possibileoloquandoe duesuperfici onoapplicabiliosviluppabili)'una ull'altra.Duesuperfici onoapplicabilin un punto,quandohanno a stessacuruaturaotale vedipar . .3 .3 . )Comegiàdettonelpar.1.3.3.,l piano unasuperficieoncurvaturaotale vunque ulla,il cil indro il cono onosuperfici curvaturaotale vunque ulla,asfera unasuperficieconcurvaturaotale ostante I'ellissoideunasuperficieoncurvaturaotale ariabile.

In basealledefinizioniate,ne conseguehe l cilindro il conosonosuperfici vunqueapplicabilira loro e con il piano;ne consegue he ad una figura su una di essecorrisponderàna igura imile u unadelle ltre.Ognipuntodellasuperficie ell'ellissoidearà, pplicabiled una sferadi paricurvaturatotalementre on o saràmaiper l piano.Appareevidente, uindi, he nellacartografiaiana,qualunque ia la corrispondenzadefinita on punti ell 'ell issoidequalunqueiano, ioè, eequazioniella arta),e iguresulle uesuperficiubirannoelle eformazioni.ln terminipiù semplici iremoche I'ellissoideè una superficienon direttamentesviluppabile ul piano.

Mentre i è un solomodopersvilupparea superficiei un cilindro di un conosulpiano, i sarannonfiniti odiperdeformare'ellissoideulpiano.E ovvio che le rappresentazioniartograficheovrannoaveredeformazioniontenuteentro imiti endefiniti.È anche ntuitivo ensare he,stabilitol mododi rappresentazioneianadell'ell issoide,due igure guali ull 'ell issoide,a n posizioniiverse,aranno iversamenteeformate;inaltri erminiadeformazioneella arta arierà apunto punto.

Le proiezioni artografiche,ioè le diversemodalità i stabilire a corr ispondenzaraI'ellissoideerrestre i l pianodellacarta,possono ssere lassificateecondo iversicriteri:

D secondol mododi stabilireacorrispondenzaistinguiamoeproiezioni eometriche

e quelleanalitiche.Nel primo caso la corrispondenza di tipo proiettivo, ioè la carta si ottieneproiettandoa un centrodi proiezioneo puntodi vista) a porzione i ellissoidedirettamenteulpiano artografico.Nelsecondo aso acorrispondenzara e superficiellissoide piano artografico)puramentei ipoanalitico,i definiscono,ioè, e ormule hepermettonoi ricavarelecoordinateartograficheotechesianoquelle llissoidicheviceversa.

} secondoa supeficie i rappresentazionecartografia)istinguiamo:le proiezioni rospetticheellequali a superficie i rappresentazionedirettamenteil piano cartografico le proiezioniper svilupponelle quali la superficiedirappresentazionequelladi un solidodi rotazioneviluppabileul pianosenza

deformazioneomead esempio

ncilindrouncono.

46

E--




2.1.1.PROIEZIONIROSPETTICHE


Comegià detto, e proiezioni rospetficheono ottenute ramite a proiezione a unpunto ellospazio C)di unaporzione ellasuperficiei riferimentoellissoide)u di un

piano piano ella arta).A secondo ellaposizionei quest'ultimoi distinguonon polari pianoangente d unpolo), meridiane piano angenteall'equatore) blique(piano angente n un puntoqualsiasi).A secondo ellaposizione el centrodi proiezione i distinguonon centrografichenelcentro dell'ellissoide) ,tereografichenel punto diametralmenteppostoa quello ditangenza el pianocartografico),cenografichesullanormale l pianocartografico aal 'estenodel 'el ssoide), tog afche (dall'nfnito), edi gg.seg enti.

scenograficaC = -

ortografica

Fig.2.1 Proiezionirospettiche

2.1.2. ROIEZIONIERSVILUPPO

Una proiezione er svilupposi ha quando, nvecedi proiettare a superficiediriferimentoellissoide)irettamenteul pianodellacarta,si proietta u una superficieausiliariacono cilindro)he,a suavolta, arà viluppabileulpiano vediFig.2.2).A seconda he 'asse elcilindro delconocoincidaon 'asse i rotazioneell'ell issoideoppure tiasulpiano quatorialestia nposizioneualsiasi,a proiezioneiene hiamatarispettivamenleiretta, nversao traversa,obliqua.

cilindricanversa

Fig.2.2 Proiezioniersviluppo

Nellaproiezione ilindrica iretta,a proiezione vvienesul cilindroa sezionecircolaretangenteungo 'equatore,n quella ilindricanversa,la roiezionevviene ul cilindro

sezione llitticaangenteungo nmeridiano.

oiano ella arta

centroorafca

conica irettacilindricairetta

47





2.1.3.RELAZIONI NALITICHE

Si deve stabilire na corrispondenzaiunivocara le coordinatelatitudine elongitudine,)deipunti hestanno ulla uperficiei riferimentoellissoide)le coordinate

cartesiane rtogonaliX,Y)dei corrispondentiuntisul pianodellacarta.Le relazionianalitichehedefinisconouestoegame aranno eltipo:

lx =x(o,1)r "

t1 llv =r(rp,1)

Le funzioni e Y possono sseree piùsvariate quindi aràpossibile efinirenfiniterappresentazioniiane ell'ell issoide.Inognicaso, omegiàdetto n 2.1,questo spianamento"ell 'ell issoideonpuòavveniresenza 'introduzionei deformazioni quindi,per ogni cartasi dovranno efinirecalcolaremodulidi deformazione.Nedefiniamore: l modulo i deformazioneineare,uello uperficialequello ngolare.

Consideriamoull'ell issoiden elementoineare nfinitesimos" e sullacartografiaacorrispondenterasformatas, vediFig.2.3).Perdefinizionel modulodi deformazionelineare datodal apportora due nfinitesimi:

ds,l/11 = -

'dt"

Fig.2.3 Modulo i deformazioneineare

Consideriamo ra sull 'ell issoiden elementosuperficialenfinitesimo o" e sullacartografiaa corrispondenterasformatao,(vediFig.2.4).Perdefinizionel modulodideformazione uperficiale datodalrapportora due nfinitesimi:

do"

rrl^=-

" do"

pianodellacarta

piano ella arta

48

Fig. .4 Modulo i deformazioneuperficiale




CaoitoloELEMENTIICARTOGRAFIA

Consideriamoull'ell issoiden elementoineare i azimut e sulla artografiaacorrispondenterasformatai azimut ' (vediFig.2.5).Perdefinizioneadeformazioneangolare datadalla ifferenzalradueazimut.

ò = 0 ' - c t

Fig.2.5 Deformazionengolare

ln base alle definizioni ate prima,classificheremoa cartografian funzionedelledeformazionihe sarannontrodotten fasedi costruzioneella artastessa:

F proiezioneonformeo isogonicanellaqualegli angoli ra due qualsiasiineesull'ell issoideonouguali gliangoli ra le trasformateellestesse ineesul pianodella arta quindiadeformazionengolarearànulla ò= 0).In particolarei meridianid ai paralleliull 'ell issoideorrispondonoulla artaduefamiglie i linee rtogonalira oro.La ormadi questeinee ipende alleequazionidella arta.

F proiezione quivalentenella quale ad un elemento uperficialeull 'ell issoide,corrispondeul pianodellacarta un elemento uperfici ale,wiamentedi formadiversa,ma di area uguale o ridotta i un rapporto i scalacostante) quindi lmodulo i deformazioneuperficialearàpariall 'unitàm"= 1).

F proiezionefilattica ellaqualesonopresentiutti tipidi deformazionernr,mo,ò)ognuno eiquali peròmantenutoei imiti iùpiccoli ossibili.

Se fossepossibileo sviluppo ell'ell issoideul piano, arebbe nchedefinibile nasuarappresentazionedeale, 'unica a adottare, onsistenteellasimilitudineigorosaraellissoidecarta, econdo n sempliceapportoi scala.La cartacosìottenuta arebbe quidistante rn,= 1) e, perconseguenzaarebbe ncheconforme d equivalente.Si puo dimostrare he è possibilecostruirecarte conformi,carte equivalentima

NONcarteequidistanti.La condizione i equidistanza,mpossibile a otteneresu tutta la carta, può essereimpostasolo su particolari inee anche contemporaneamentella conformitàoall 'equivalenza.

oiano ella arta

49




rdL = ds"send

p d q = d s " c o s a


2.2. DETERMINMIONENALITICA EIMODULI I DEFORMMIONE

Le funzioni he definisconoa rappresentazioneell'ell issoideul pianocartograficosonodel ipo:

lx =x(rp,l.)\ ,lY=Ylp .1 . )

e passando i differenzialiotali:. Ax Ax

d x = - d Q + * O nd(0 dA

. A v A vd) ' = -^-d (P + =- d l

d(0 ctL

Per l modulodi deformazioneineare vremo:

Fig.2.6 Elementoinearenfinitesimolasua rasformata

l2l

t3l

t4l

ds l=dx2+dyzt5l

e qu ind i :

d x=l+l ' , t 'e*f+ì ' ct " ++dedÀ\ dQ ) \ dA t d (p d^

d'y=l+ì ' d 'e*l+ì ' d ' .+,. !40,pot\ d Q ) \ d A ) d Q d A

dacui e relazioniisultantial riangolonfinitesimoulpiano ella appresentazioneono:l - , ^ . l z - r 2 l T , ^ . z , - ' : l t r -d's,l+l .l+ì' o'ql +l' l+l' o' ++*44foro,, l\att \ae ) l\dt ) \dL) I ldrp t dqaÀl

t6l

17l

indicandoon e ettere , f, g leespressioniacchiuseraparentesiuadra, vremo:

d2s ,=s d '?g+2 f dg i l . + g d22 t8l

pianodellacarta

50




Dal riangolonfinitesimoi Fig.2.6e dalle 5]si ottiene:cos

Cl(P= dS"p

, . , sena,clA = clso

r

e quindil quadratoelmodulo i- 1 C O S ' A

e d ' s " , * p '

, ) , ) C O S ' dd - g = d s " tp-

, . ) . , . ) s e n t dC l - / v = d - 5 " ,

deformazioneineare arà:^ ^ , ) C O SA S e n d . rl J d - s " - + g d - s "

pr


sen 'a2r

le l

mi =d t ' ,

=d " " d " "

e quindi emplificando:

* , = ^' \p ' p r r '

Per adeterminazioneelmodulodi deformazioneuperficiale vremo:

[10 ]

[13 ]

do" = pdg+ rdl

do =dp dmsirn

Fig.2.7 Quadrilateronfinitesimoull'ell issoide

Lasuperficieo"delquadrilateronfinitesimoull'ell issoidearàparia:do"= p dg. r l " [11 ]

Sul piano cartografico i rappresentazioneo stesso quadrilateronfinitesimo aràrappresentatoalle rasformateei meridiani de iparalleli he odefiniscono:

Approssimandoa superficieelquadrilateronfinitesimoonquella i un trapezio ventelebasiuguali ra oroe parià dp,aVr€nìo he asuperficie o.saràparia:do, = dp.dm.sina [12]

La trasformata ell ' infinitesimoi meridiano ulla cartografia dm) sarà pari alcorrispondentenfinitesimoull'ell issoideoltiplicatoer l modulo i deformazioneineare(ottenutoalla 10] icordandohecx 0):

rd m = p d g m , = p d g l ' = d e J i

p

In modo analogosi può ricavare 'espressioneella trasformata ell ' infinitesimoi

parallelodp)che saràparial corrispondentenfinitesimoull'ell issoideoltiplicatoer lmodulo i deformazioneineare ottenuto alla 10]) icordandohea = nl2):

pianodellacarta

51




t;dp = rd).m, = rd).! 6 = dÀ J I

r

e quindil modulo i deform, " -

dO, d(p dA.Je I sen t)

Lasuperficienfinitesimaorsulla artografiaalla 12] aràquindi ari

a:do, = dp'dm'sina= rpl^fes sin0)

"-odo" p r dg dtr

La deformazioneangolareè stata definitagrandezzeulpiano artograficovremo:

calcoliamora l ermine

pdq


comeE=c[ ' cxe quindiesplicitandoali

dp

inf nitesimoull'ell issoide

[ 14 ] )

[15 ]

[ 16 ]

aztone

ie8p r

areale:

sen ú)

ds .

Fig.2.9 Trasformatai un elementoinearenfinitesimoulla arta

. clo ^lsa)' E a,lt ena =

d m, l r d q

\ e d e

dm

d . 1

d g

ds "

Fig.2.10 trasformatai un elementoineareDallaFig.2.10si ricavanoeseguentielazioni:r d2 = ds" sina da cu i r 7 ds"sena

d A =,

p dg = ds"cosd, da cu idr .=dt " "o tdp

e qu ind i :d). p- = - f a n dd r p r

52

E-




ricordandoa 16] i avrà:

f - ' n. l P d 4 I 2 p

f a n d ' = - 1 " - - 1 " t a n d

\ ede \ e r

Ladeformazionengolare = cr' o e l'espressioneella angente arà:

tand=n(a'-a)=ffi

L'espressioneinale del modulo di deformazione ngolaremo edeformazionengolare saràquindi:

(Ep .lI 1 / i :

- tl tana

m a = l a n 5 = \ 1 " ' )

| +, lL P *n: d\ e r


la conseguente

117l

53




2.3. PRINCIPALISISTEMICABTOGRAFICI.

Esaminiamoe principali roiezioni til izzateCartografa Uf fciale taliana.

CaPitoloELEMENTIICARTOGRAFIA

nel mondoed in particolare er la

2.3.1.CARTADl MERCATORE1569)

Consideriamoa proiezioneilindricaura.Lasuperficiei riferimentoellissoide)ieneproiettata, partire al suo centrogeometrico,u un cilindroangente lla superficiestessaungo 'equatorevediFig.2.11\.ll piano cartografico arà ottenutosemplicementeagliando l cilindro ungo unageneratricesviluppandoloulpiano.

45" 90 ' 135' 180"

Fig.2.11 Proiezioneilindricapiano artografico

La proiezione afilattica avrà e seguenti quazioni:X P = a 2

Yu= afang

dovea rappresental semiasse aggioreell 'ell issoide,, la longitudineelpuntoP e 9 lalatitudine.Inquesta roiezionei impone he 'ascissa delpuntoP sia uguale ll 'arco i equatore

compresora l meridianoassanteer

lpunto

dl meridianoondamentale.

I meridiani i paralleliono appresentati,ello viluppo,a rette arallelegliassiX e Y.La distanzara e retteche appresentanoo sviluppo ei parallelia crescendoerso policon egge angenziale.

Mercatoreamodificatoeequazioniella roiezioneilindricaer enderlaonforme.Le equazioniono eseguenti:X = a ) "

f r . 1 e / 2 , - . 1

v =ot , l [ l -es inp ] ' ' ' un (o r " .q l[1e ]

l \ l+es inp l \ 2 / l

Poichéu 1uppr".entazione.oiforre il modulo i deformazioneinearem1 uòessere

calcolaton unadirezioneualsiasid esempioulparallelo.

54

[18]




Per definizionel modulodi deformazioneineareè pari a mr

(infinitesimoineare ullacarta)e ds"=v'4i1 infinitesimoineare

semiassemaggiore ell 'ell issoide,= raggiodel parallelovediquindi:

_ ( l -" t

, rn ' ,p) t ' '

cos (p


ds,= *" 'dove ds-=a d)"

dt"

sul l 'e l l issoide),è i l

[34]del capitolo ) e

ds ad).f f i t = -- ] -_=--- ;=

ds"

rdA r cos p [20]

di deformazioneineareè costante.ma variaungo l parallelo<pfortementeon a atitudi

cost) modulo

Non è conveniente sare a rappresentazionei Mercatore er zone troppo ontanedall'equatore.l modulo i deformazioneineareende ll ' infinitoerg tendente nlZ.ll successo ellacartadi Mercatore dovutoal fattoche una lineasull'ell issoideonazimut ostantelossodromia)i rasformaulla artan un segmentoi retta.Questa roprietà assaiutile n navigazioneerché onsente i tracciareacilmenteullacarta na otta d azimut ostante til izzandon sempliceighello.

angolodi rottavariabile

ou -0"

Fig.2.12 Lossodromiaortodromia

ll percorsora P e Q, secondoa lossodromiavediFig.2.12a), è facilmenteealizzabileperché è ad angolo di rotta costantema risultapiù lungo di quello relativoalla

corrispondentertodromia.Al contrariol percorsora P e Q seguendoa geodetica ortodromia)vediFig. 2.12b)risulta iùbrevema richiedenacontinuaariazioneella otta vedi a7]delCap.1).

La proiezione i Mercatore ancorausatanellecartenautiche d aeronautiche. ltre elatitudinii+ 80" nonè praticamentesata causa elle normi eformazioni.

400

20.0 "

40'

2000 0

con ra ne comeseque:Q = 0 o 1 0 0 2Q" 40 ' 60 ' 80"Í ì t = 1 1 , 01 1 ,06 1,30 1 , 99 5,74

55




2.3.2.PROIEZIONETEREOGRAFICAOLARE


Questa roiezioneieneutilizzataer appresentarea erradalla atitudine 80 'a * 90'(cartografiaelle alotte olari) d è l 'unica roiezioneeometricaonforme.

I puntidell 'ell issoideono proiettati u un piano angente l ' polo,con il centrodiproiezioneull'altroolo vediFig.2.13).

pianodellacarta

ortodromia

I2

Fig.2.13 Proiezionetereograficaolare

Leequazioniella roiezionetereograficaolare ono:

x =ts in ; X =ZRtan l1 - ! l ' i " l

)o 'l

y :rcos)" Y 2RanlL ! l "oú.\4 2)

l21l

Facendol rapportoelle ueequazionii elimina p si ottiene:X =Y tan "

percuicon .=cost i ha 'equazionei una etta; meridianionopertantoappresentatiarette scenti all 'origne. limrnando. dalle ueequazionii ottiene:

xz + y ' = l 2Rtur lf t a l l. | '[T-tJl

e perq = a*, è l'equazionei-.unairconferenza.I parallelii trasformanouindin circonferenzeoncentricheon l centro ell 'origineegliassi.

Laortodromiahecollega uepuntiA e B sulla uperficieerrestre,ssia a geodetica,ipuòconsiderareettil inea.Perquestomotivo ieneulilizzataer a navigazione arittimadaerea.

56

P'

.7q.r

P

4' /

C



G.COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA Capitolo2

ELEMENTIDI CARTOGRAFIA

2.3.3.CARTADl GAUSS rappresentazionenalogica)E' la cartografiaiùdiffusa elmondo iapureconnomidiversi ome:Gauss Boaga(in ltalia),Gauss Krueger in gran partedell'Europa),TM - universal ransverse

Mercator rojectionin utto l mondo).'Le rincipaliaratteristichei questa artografiasono eseguenti:

D è unacartografiaonforme;) le trasformate el meridianoangente dell'equatoreonoretteche definisconoliassi de l sistemadi riferimento rtogonale artesiano NorJ

"É.t) o sistemacartografco;

F sulmeridianoangentearappresentazíoneequidistante;) le trasformate ei meridiani dei paralleli ono famigliedi curve fra loroperpendicolarisimmetricheispettogliassiNorded Est;

Questaproiezione dettaancheconforme ilindricanversa i Gaussperchéa formadelreticolato eografico. similea quellache si otterrebbe roiettando'ellissoideal suocentro u uncilindronversovediFig.2.14.) poisviluppandoloulpiano.

meridianoangente l cilindro

equatore

Fig.2.14 Proiezioneilindricanversa

40

30e b l \- - i - i -î 0 ' l I

\ ( \

;\\b U

\70

Fig.2.15 Reticolatoeografico

57





In igura .16.è rappresentatol reticolatoeograficoelativo l semiellissoideompresotra e ongitudini90'e +90o. e rasformateeimeridianiono inee hesi approssimanoa sinusoidi le rasformateeiparalleliono inee lquantoimili d un'ellisse.Le trasformate del parallelo O'di latitudine (equatore)e del meridiano 0' di

longitudine meridiano angente) ono rappresentate a lineerette,rispettivamentechiamateEste Nord X e Y) (vedi ig.2.15).Le rasformateeimeridiani90'e +90'di longitudineegeneranon dueretteparalleleall 'asse st.ll modulo i deformazioneineare aràpariad 1 neipunti hedefinisconoa trasformatadel meridianoangente l cilindroasseNord)e maggiore i 1 in tutt igli altripuntidellaproiezione crescerà apidamente llontanandosiall 'asseNord; tutte le distanzesaranno uindi ilatate.

Per conteneree deformazioni ella carla entro limiti accettabili, isognerà uindiproiettare'intero llissoide tilizzandoiù fusidi ampiezzaimitata, uotando gnivolta l

cil indro i unaquantità ota.

80'

30?

20"

Fig.2.16 Fusi i rappresentazione

Ogni fuso avrà un'ampiezza i 6o, e definirà n sistemadi riferimentoEst, Nord)indipendentea uttigl ialtri.L'intero llissoidearàquindi viluppatoulpiano artograficoutil izzando0 usidi ampiezzaaria 6oe e coordinateEst,Nord) i utti punticontenutiin un usosi ripetonoigorosamentedentichen utti l ialtri usi; iòsignificaheduepuntisu due fusi contigui vranno oordinateartograficheefiniten sistemi i riferimentodiversi quindi onsaranno ongruentira oro.Nei prossimi aragrafi edremo e soluzioni dottate er superare uestoproblema onbanale.

\:lr''L/\ l iv]-l'#!/

20 '

-ti]

U\ i /.V40 '

FrlHIJ

Vu

r l lì+\frV

58





2.3.4.EQUAZIONI IFFERENZIALIELLERAPPRESENTAZIONIONFORMI

Per determinaree equazioni ellacartadi Gaussdobbiamo icordare he questarappresentazione conforme. n una rappresentazioneonforme a deformazione

angolareeveessere ullanognipunto perognidirezione inbasealla 17]avremo:t t : ^ IlJr L-rl t^a\ Y s r )

tanó=------l=0l p p

l + . 1 : L t a r ) ' ql e r

e quindi nnullandol numeratore

E+-'=o 8 = " o =) Ò

e p -

da cui icordandoa [7]:, - r . 2 - r 2 , [ , ^ . 2 , ^ r 2 - ]

l4l *l4l :r=lf l . l+l I r23lat1 \d , t ) o ' l \ao) \ae) )

Per comoditàdi calcolo conviene rasformarea [23] introducendon luogo dellacoordinataurvilinea la coordinataurvilinea , chiamataatitudineidotta legataa g

dalla elazione d<prdndacuiavremo'..u = p

d ( p r

P d q = r

Fi1.2.17 Latitudineidotta

ll sistemadi coordinate ull 'ell issoide,À è chiamatosotermo erchéconsente iesprimerel quadrato ell 'elementoineare s.2 n modo he coefficientii du e dl. siano

uguafe cíoè: ls2 v16fu2r2dfu v:(duz aLr)

r ', ep -

Sulpiano ella appresentazionearà:

e quindi on aderivazioneomposta:Ax AxAu A" p- : = - -Aq AuAcp Au rAy =AyAu =Ay pAg AuAg Au r

DopoI'introduzione

ellalatitudine idotta

rappresentazionionformi23]diventa:

doveu = u(q)

equazione ifferenzialeelle

x = x(u, ")y = y(u, ,)

u,la prima

59



l#)'(#);llh)'(H)) *lr(#)'+l#)'lCapitolo

ELEMENTIICARTOGRAFIA

(a r ) ' ( d r \ '=[; i . l^) t24l/ ) - \2 (4 \ ' , =(L \ ' , * (4 \ ' ,laQ\l;)

*\u ) \au \d,)

può sserecrittaome:

. t (dr. . ' l I rrr l ' ]f+l ' l ' . !1'1. l-l4l ' l '*t 'a'a, 1=o psl\ a , ) l ' l r r l ' I \ i l ) l ' t d" l ' l

I la,) I t ld^) l

La seconda quazioneifferenzialeelle appresentazionionformi i ricava mponendoche le trasformate ei meridiani dei paralleli i incontrino d angolo etto.Questacondizionei esplicita,icordandoa [7]come:

r=o ##.##=' 126lE introducendoa atitudineidotta:

oAxAx oAvAv AxAx AvAv- - - a - a - : : - n a - : - n

r Au AA r Au A)" du A) Au A)"che possoscrivere ome:


ln baseallal2Tl termini ntro eparentesiuadre ella 25] onoquindi guali:

f 4Ll ' - i 4 - l '= o\ 4 , ) \ d À )

ln basealla 28]si dimostrahe denominatoriprimo secondomembro ella 27] onouguali quindiosaranno nche numeratori:

+=-+ I2eld)" Au

Le t28] e t29l rappresentano e equazioni di fferenziali delle rappresentazioni

conformi.Poichée rappresentazionionformi onodefinite a un sistema i equazioni llederivateparziali,e soluzionii possonorovare meno i funzioni rbitrarie,l chevuoldirechesipossonoavere nfinite appresentazionionformi; vari ipi di cartesi ottengono uindiimponendoondizioni l contorno, tabilendoioè come si vuoleche si trasformi nmeridianod un'altrainea, meglio uali alori eveassumerel modulo i deformazionelineareungo a rasformatai una determinatainea.E' possibilenche erificarehenelle appresentazionionformil modulo i deformazionelineare indipendenteall 'azimut.

A y A xA ) . A u- = - -d x d y

d A d ,

dacui:Ay Ax- : - -= *d u d À

127)

[28]

60




2.3.5.LA CARTADIGAUSSle relazioni28]e [29]rappresentanoe equazioni ifferenzialielle appresentazioni

conformihecoincidonoon econdizionii monogeneitài Cauchy hedicono:

condizioniecessariesufficientiffinchéa variabileomplessa + ix sia unzione ellavar iab i lecomplessau+i l ,sonodef in i teda l le re laz ion i, = a" eda ay _ _axA u A . 1 d l A u

Tuttee rappresentazionionformivranno uindi quazioniicavabilialla elazione:Y+ix=f (u+ i7" ) [30 ]

dove a unzioneè arbitraria.

Sviluppandoa [30] in serie di TAYLORassumendo ome incrementoa quantitàimmaginarial, con " espresson radianti, vremo:

I " ttrtt i l t '!í" ' tt,ttiÀr'!.y' ' {trx,).',0! fv ttrt\úts...e ricordandohe: i2= -1 i3= -i


i a=1 l - = l

v+ix= ' (u ' )+' tu t i . l , - ! "do l - ! y '@l i î + ! f ' u ) l + ! f 'u t i l + . . .2 " 3 t " 4 t " 5 l '

uguagliandoe parti eal ied i coefficientiel l ' immaginarioi ha:

t l, ' = tu) - - . f " {u tÀ : ; f ' ' ( t t \10. . .

a a :

| . r . . [31 ]y= ' tuV" - ] . f " '@r '+, . Í ' tu t î

- . . .

Tutte e rappresentazionionformi i possono ttenere efinendo er la [31] a funzionef(u)e le suederivate.Definirea f(u)equivale stabilire quale alore ella devecorrisponderel valore ellalatitudineerognipuntodelmeridianoondamentale),=0)o, n altreparole tabilireomesi deve rasformarealemeridiano.fl numero elle appresentazionionformi teoricamentenfinitoma, n pratica,l numerodi rappresentazioniemplici che si adattano enealla rappresentzione artograficamoltoimitato.

La grande ntuizionedi GAUSSè stataquelladi sviluppare l meridianocentrale(1,=0)n veragrandezza,mponendogli uindi

unadeformazioneulta.Dalla31]per "=0si avrà.

,V1;-o)"f(u)= f,' du= ( Oar l

Questa ondizione sufficiente definirea rappresentazioneerchénota a f(u) sipossonoeterminareederivatehecompaionoelle 31]:r' @ =

* f, du=, = "'u*' =Ncosp ricordandoa [32]de lcapitolo dove:a = semiassequatoriale<p latitudineW = (1 - e2sen2g)%e'= eccerìtricità

N = raggio rincipalei curvatura

6 1




dr dr drpr \ u ) = - = - - j

du drp du

asenrpW' ae' sengcosz

w 3


asenrp-ae2 entg - aez engcoszg

w 3

^^^ . . . ^ t , t 2e t sengcosg- asen(pw acosg2Wr

d9 w zasen(p- e2 eneGenrp+ cos'g) n(t r'\rrr,p=- -T- -Pset t (P

w3d(P= r per definizione id u p

latitudine idotta rdu=pds

dr dr drp r1 Vtl=

*= 49 du=-pseft(p-=-75eng--Nsenrry,osrp

t "'u=ft{-,,"n) 6l,*, )# =i h, , " l= ;(h*n, ,.o.)= |?or"n ' (p cosr),{ r .n ' , i*r r)

e cosìviaper e derivate uccessive.

Le espressioniinalidelleequazioni he definisconoa rappresentazioneonforme iGAUSS ono:

l r. r= ' ru t t r - , I " ' tu l î

+4f v ru \ î . . .

= l N c o s t * ! , î r t I ' ' r \ I, 6

cos . ( l - r ' + qr )+^î

N coss ( . . . .F . . .

I r - [32 ]t = tul 1f ,,(u\E 4tfn'\utî_...

= t p \Àt N rrnrporg lio N se n rcos'5 -, ' + 91724r7o+ ....

dove:=tan e q,=ry=4:!rorr rPLimitando'ampiezza el fuso a pochigradi (longitudineu + 3' rispetto l meridianocentrale),aserie onvergeapidamentesi possonorascurareterminimaggiori i 1,5.

E' possibile nche icavaree formulenverse ella appresentazionehe fornisconoecoordinate eografichep 1. n unzione elle oordinateartografichee y:t io=rN,vllv=)'{ X,Y )

oz

-b---





Vorrei ichiamare'attenzioneel lettoresul significato ella ongitudine riportatain molte ormule iguardanti a cartografia i Gauss.Purtroppo consuetudinendicare emprecon î, i l valoredella ongitudine nche

quando ambia 'orientamentoell 'ell issoide il meridiano i riferimento.Questocreanotevoleconfusionenei ettoriancorapocoesperti.

In queste dispense ndicheremo riferimentidella longitudinecome "pedice",almenonelle ormuleprincipali, elseguentemodo:

Lnc= longitudine iferita l meridiano entrale el usoÀnqo longitudine iferita al meridianodi Roma Monte Mario ed ellissoide

orientatoa RomaMonteMario?unaocwlongitudine iferitaal meridianodi Greenwich d ellissoideorientatoa

RomaMonteMario),,eoso longitudine iferitaal meridianodi Greenwiched ellissoideorientatoa

Potsdamlwcsea longitudine riferita al meridiano di Greenwich ed ellissoide WGS84

geocentrico

2.3.6.FORMULE I HIRVONEN

Le equazioni 32] che definisconol calcolodelle coordinate artograficheellaproiezione i Gauss, hanno il difetto di essere complicate al punto di vistacomputazionaleerchéormulatettraversonosvilupponserie.Molti eodeti i sono imentatiel entativoi daredelle ormule iùsemplici er l calcolodegli tessi alori.Lasoluzionendividuatad esempio a Marussi1950) artiva alprincipiohe l calcolodella appresentazionei Gaussdi una superficieferica nonellissoidica)ra possibileutil izzandoelle ormule ompatte.l passo uccessivo statoquindi uello i eseguireunaproiezioneonforme ell 'ell issoideu unasfera.

Si riportano ome esempio e formuledate da HIRVONEN 1970)sia nella loroformulazioneiretta i calcolo ellecoordinateartografiche,Ya partire allecoordinategeografiche,q (vediFig.2.18), he nella oro ormulazionenversa cioècalcolo ellecoordinateeografiche.,g a partire alle oordinateartografiche,Y.

Note ecoordinateeografichei un punto longitudineiferita l meridianoentrale ." €la latitudineg) possiamoricavare e sue coordinatecartografichedistanzadallatrasformata el meridiano entralex e distanzadalla trasformata ell'equatore )util izzandoeseguentielazioni:

, D - , , , , c o s { Í a n ) . , , ,x = R, arcsenlt '' v [33]

I = q (AÉ - A, sin 2( + Aosin4( - Ausin6()

dove:n 2

R, =L = raggio i curvatura olarec

63



G. COMOGLIO CapilotoTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOdRAFIA

. tan(oC = a r c t P - . -

cos(v,2,,,.

v=0+" ' r "o " r6 ) ' ' '

v, = (1+ e'rcos,Q)"'

,=oJl+qr-2a dove a è i l semiassemaggiore a loschiacciamento

. 9 2s'2- " = €ccentr ic i tàseconda

l - e z

I coefficienti;sono unzioneell'ell issoideonsideratovalgono:s2 3ea 5eo

l L = I- - -' 464256

, 3ez 3eq 45et- { _ _ + _ + _'

8 32 1024. l5ea 45e6A ^ - + _

-256 1024

^ 35eor u - -" 3072

Le relazioninverseorniscononvece valoridellecoordinateeografich€lr. , q), apartire allecoordinateartografichee yi

t, senhx

1 . , - a r c tgRP

"* É[34]

(p = arctg [ton f cos (v A.-, )f

Est X^

mc

Xo= falsa rigine elmeridianoentralevedi ar.2.4.)rrc= rilodulo i contrazionear ia 0,9996 vedipar.2.4.)

Nord

mc

6 = ú + Brsen2ú+ Bosen4ú Buseníú+ BrsenSú

t9= !aA,

B._34 _27E?'232

D _2181 55ErJD a - - --1632

B^= l5 lE l"96

B, _1097El" 512

^ a - c1 1 ,= -' a + c

64

y=




meridianoentrale


trasformataelmeridianoentrale

Fig.2.18 Ellissoidepiano i Gauss

2.3.7.Galcolo el modulodi deformazioneineare ellacartadi GAUSS

Poiché a rappresentazioneconforme, asta icavarel modulodi deformazionelinearemr ungo l parallelo. bbiamoicavatovedi 10] :

*z = \ cos2 *! ror or.n a+{r"n' ap - p r -

lungol parallelo ovea= nl2 sara:

, R r f la') ' la ul ' l* i =7=7lld r) . ln) )dove e y sono eespressioniinali ella arata i Gauss 32):

t lx= ÀÌ ' !cose+; lNcosrAt- r ' +n=)

, , r fNcoss( . . . . )+ . . .

t ly= t tp+

, .1NsenpcospV, t Nsentpcos3pt5- t ' +9q ' +4r7a+. . . . . . .

calcolandoederivate,rascurandoterminin "4 superiori i termini 'e rlosi ottiene:d l ' L , ? r ^ / " " r n " n . t r n ( s - , 2 + l - l r u . " n r n " n . r r (

' 2 Ì) l

, : ^ *s e n p c o s p

u îr l s e n p c o s ' g ( s - t ' + . . . . . . . ) = A N" n g . o . ( t + f , c o s ' g ( 5 - t ' + . . . . . , ,

f+ ì '=2 'N 'sen 'g ru r ' ,p ( t *4 .o r '(5 - t ' * . . ) ' l 2 'N 'sen 'ro r ' ,p ( t+0+4.or 'e (s - , ' *l\ d 1 )

' [6 ) [ 3

' )

= 1'N'sen' gcos' g+ termini rascurabili

e I'analogaerivata er a x:t / " r \

d x A - | l f ^ , l

n:N cosp f lucos 't ( t t ' + . . . .1=v ord[ l fcos ' q( t | + . . . . )

)

65




CaoitoloELEMENTI ICARTOGRAFIA

la r ) ' . . , , ( , Ì , t - , , l 'l ; i )

= N ' cos ' r [ r+ i .o t ' 9 l - t ' + . . . 1 )=N2cos r l +o+ l cos ' 9 l - " * " ' ) )=

( .. ,.r3*...1= N ' cos'

\ l+

r cos' (2- ,1 cos' 2-* r .

, )= N' cos2p(t+ cos'g- I sen'g+...)

/ , \ 2 / , \ 2I d x I l a \ t )

l; ).l;) = N2 cos2 l+ r cos' - r sen'9) + N'r cos' rpsen' =

= N2 costg$+,t cos'g - f sen'e + I sen'z) =

= N2 cos2 fi+ f cos'g)

e quindi:

^l =+l(+l ' . l+l ' l= =-r-----N,cosp(r ., .o,,)= + t2 os,p r ' l \ i l , ) \ i l ) ) N ' c o s ' t p

*, =(l+.t cos' ) t ' ' =t+lcos' g+ termini trascurabi l i

i l modulo di deforóazione ineareespresso nfunzionedella longitudine . e della latitudinegsaràparia:

Xe ponendo= __ (dal la 'del le 32lameno itermini

N c o s @

^ ,= l * l . * ' - cos ' tp=r* f4 2 N ' c o s ' t o 2 N '

o meglio er enere onto elle pprossimazioniccumulate

il modulo di deformazioneineare espresso nfunzione ell 'ascissa saràparia:

f f i L 7 * h - " o r ' ,

in ),3) i ottiene:

[35]

si adottaaseguenteormula:l x 2

f f i , = l + ^ - [ 3 6 ] 2pN

dove rappresentaadistanza elpunto almeridianoentrale assedelle orde p ed Nsono raggi rincipalii curvaturaalcolatielpuntoP.

L'espressionepprossimatael modulo i deformazioneineare i un segmento i rettachecongiunge,ulla appresentazione,n puntoP1di coordinater yr ed un puntoPzdicoordinatezYzvàle:

2. .ì';+'r,,f,, t';f f i , - .= l+ :# l37 l

6p -N^dove con X1e X2si indicano ispettivamentee distanzede i punti Pr e Pz da l meridianocentraledel fuso e con pmed N, si indicano raggiprincipal i i curvatura alcolatinelpuntomediodel segmento i rettacongiungentedue punti.Per le approssimazionintrodotte, uesta espressioneè valida per segmentidi retta nonsuperiori 20 km.

66




CapitoloELEMENTIICARTOGRAFIA

2.3.8. alcolodellaconvergenzael meridiano ellacartadi GAUSSInunpuntoP della roiezione,a rasformataelmeridiano una inea urva he orma

un angoloT con la parallela ll'asseY. Questoangolo è notocome convergenzael

meridiano: tangenten P alla rasformatael

parallelall'asse

trasformataelmeridianoassanteper lpunto

Fi1.2.19Convergenzaelmeridiano

L'asseY è quello elsistema i riferimentoartografico,appresenta,omegiàdetto, atrasformataelmeridianoentraleel uso.L'angolo , definito rima, uguale ll 'angolohe a tangenten P alla rasformataelparalleloorma on a parallelall 'asse delsistema i riferimentoartografico,atocheper essere a rappresentazioneonforme,e trasformateel meridiano del parallelopassanti erun punto ormano nangolo etto.

XFi1.2.20

ConvergenzaelmenotanoConsiderandol triangolo ettangolonfinitesimohe ha per lati un elemento D ditrasformatael parallelo percateti " e dusi ha:

trasformatael parallelopassanteer l puntoP

Fig.2.21Triangolonf nitesimo

67





d' , ! '. d , d ^ " ^ d Àt a n ( -

d , = d , ,=

d ,

qo^ d^

. d , d ,le espressioni

n " Osonogià statecalcolate elladeterminazioneel modulodi

deformazioneineare.

#"= ^*senpcos[t.**r ' e6-, '* ))

dx ( n ^ , ^ , ld) ,=N

cos( l+ tcos ' e \ l - r ' * . . . ) )

e quindi acendo l rapporto, fruttandoli sviluppi inomiali,onsiderando, piccolotrascurandoterminin ,ae superiorii ha:

îi iy 'senr.o,r[ ,("o, ' r ( t - , \ )

' "7 =c t ,

=

d ) N c o s ( l + 7 c o s ' ' P \ l - r ' l )

. ( r \ r 22 )rany2senl r +f cos ' $- i ) i

[ '-

rLcos ' ,p( t, ' ) )

r y 1 , . t . ,1tan :zsen [r -] ro t '

q( t t ' )+f

cos 'p(s- ' ))

, t . ( 5 r ' ì , t . ,- jcos'4'

- , ' - i+;)=;cos' p(r ' )

( P \tanyZsenr[ r+fcos 'g f i + t ' ) *

J "v is tohe =tane

tan 'l,r"r{t. +. )

sviluppandonseriea unzione rcotangentei ottienel valore iy:T= tanr \ tun ' y * !a r ' y - . . . .

trascurandoterminin .ae superiorii ha:

T= .senr*Ir sen(p-!î"n' te qu ind i :

- ( l ^ ' , ly = ).,,, en l t +- 2i, cos'g) [38]

68

--r




CapitoloELEMENTIDI CARTOGRAFIA

Conmaggiore pprossimazione,on ostesso rocedimentoi ottienea relazione:( t / '> .' \ \

y=2. ,seng[ t * ! l l . , ror 'g [ t+ f . rc or ' r I[ 3 -\ c ' / /

Peravere any in unzioneelle oordinateiane asta icordarehe:

b:J dovex è l'ascissaettasullacartografiaepurata ella alsaorigine dalN cos@

coeffciente i contrazione/ t \

x l x ' ltanY=- tan( i , l * - |

N' \

3N' cos' p)

o conmaggiorepprossimazione:

* ( x ' "( e t - c ' " ì l

f a n v = - t a n t o l l * . . c o s - r a l+ 3 . c o s - r z l l N

'\ 3 N ' c o s ' p

' \c '

') )

[3e]

[40]

[41 ]

2.3.9. RASFORMATEELLEGEODETICHEULPIANODIGAUSS

Se issiamo ul errenore punti Ps1u.ione,avanri,inoi"r,-o)misuriamo'angolo zimutaleIPA= cx,acendo tazionen P e collimandouccessivamenten A e poi n l, i l valore heotteniamo,razieai teoremi ellageodesia perativa, del tuttoequivalentell 'angoloformatoalle angenti l legeodeticheAe Pl.Lo stessoangoloc sul pianodella appresentazionecartografiaonforme i Gauss)dovrebbe sseremisuratora e angenti lle rasformateellegeodetiche Ae Pl.

La rasformatai unageodetica

ra duepunti,

uttavia, onè facilmenteappresentabile,mentre immediataa rappresentazioneella orda raglistessi unti.Un semplicemetodoche consente i definire 'andamentoella rasformata i unageodeticaul pianodella appresentazionela "regola el vento" he semplicementeiceche a rasformataellageodeticai ottiene ensando comesi gonfia navela esa ragl i estremiPA sotto 'effetto el ventoche per la parteche sta a destradal meridianocentrale offia ersoESTe per a parte he staa sinistra offia ersoOVEST:

Fi1.2.22 Trasformatai unageodetica

69




CaPitoloELEMENTI ICARTOGRAFIA

Se determiniamo'angolo ra la trasformata ella geodetica la relativacorda, saràpossibileidurre 'angolo zimutale isurato ul terreno trageodetiche)ll 'equivalenteangolo ullacartografia isuratora le rispettivecorde" d operare uindi u figurea latirettil ineinziché u igure laticurvilinei.

Lo scostamento uddetto ienechiamato riduzione llacorda".

Percomprendere eglio 'operazionei riduzionellacorda, onsideriamonageodeticaPA sull 'ell issoideome 'angolo ompresora il meridianoassante er P e la tangenteallageodeticatessavedi ig.2.23)

Fig.2.23 Azimut ulla uperficiei riferimento

Lo stesso zimut saràdefinito ul piano artograficoomeangolo ra la tangente llatrasformataelmeridiano,assante erP, e la tangente lla rasformataellageodeticaPA:

Sulla artografiaono acilmenteeterminabilie coordinateEst,Nord) elpuntoP e delpuntoA. Inbasea queste oordinatepossibilealcolare'azimut 'p6 ofiìei

t

. E n - E nU,,^ = OfCtSt l-

N n - N u

Per rendere mogeneo'azimut 'pA,efinito ttraversoe coordinateartografiche,onquello , individuatoull 'ell issoide,necessariopportareecorrezioniiadi convergenza

delmeridianochedi riduzionella orda pa:

70





Fig.2.24 Azimut ulpiano artografico

Laconvergenzaelmeridianoe la riduzionellacorda paSorìo alori otati i segnoquindi a relazione hepermettel calcolo orretto ell'azimut a partire allecoordinatecartograficheeipuntiP e A sarà a seguente:

ct,= O'pA+T - 0pn

l l segno ell 'angoloi riduzionellacorda€pn àfàdatodalla eguenteegola mpirica:segno se ruotandon sensoorarioa direzioneositiva ell 'asse si incontra rima acordae poi a rasformata;egno+ il viceversa.Laconvergenzaelmeridianosaràpositiva uandol puntoP si trovaa destra ell 'asseY (Nord) sarànegativauandol puntoP si rova sinistra.

Dallo tudio ella rasformataellageodeticai puòdedurre he I'angolo pn riduzioneallacorda) paria:

^(Y, -y^ ) (zx ,+xo)

C o r - -

6prN,dovep6e N6 Soro raggi rincipalii curvaturaalcolati elpuntoC della ordaPA,chedista a P 1/3della unghezzaA(vediFig.2.2q.L 'ascissaelpuntoC è faci lmentealcolabi leometXr=(2Xr+XA)/3 e analogamentel'ordinatael puntoC saràY, = (2Y,+Y) /3

l42l

[43]

71




'*---..---.'''.'-.''...'.

e.r..î.


Alla ucedi quanto etto opra, n angolo (traduegeodetiche) isuratoulla uperficieterrestre on la strumentazioneopografica lassica orrisponderàll'angoloB' (tra lecorde)misuratoulla artografiai Gauss econdoaseguenteegola:

i '-B = angolomisuratoF'= angolo alcolatoon ecoordinate

de ipuntiP IA lette ulla arta

) ,B'

---ì

A- - -_{

Fig.2.25 Riduzionelle orde i unangolo zimutale

0=0ro-0r;0ro+ero-0r, rr, -B+eoo-e.

Vedíamo'ordine i grandezzai queste orrezíonionsiderando, < 3oe p5= Nc= 6,3103 me unadiffereózaelle oordinateeipuntiP A e | (vedi 43l)di 200km,100km 10km:

A y = [ y = 200km 100 m 10kmg" 100" 25 0,25"

Nellecondizioniiù sfavorevolier atidi 15 km il valore B' B)è di 0,5"ed è dunquelogico, l disotto i queste istanze,ioèentro l campo opografico,on enere ontodiqueste orrezioni.Sarà quindipossibile ompensarena rete geodetica i estensione assima ari alcampoopograficoenza pplicaree ríduzioningolari l lacorda.

Si può dimostrare oi che fra la lunghezza ella rasformata la lunghezza ella ordavale a relazione:/ \ r rs, - s. _ rp\rp + sr senA/s; cos' a

,t, 24N4

e ponendo i 1 100 km ,o .=45oe Xp 22Okms i t t i ene ne r ro re' -5 '

d i C i rca 08 ,sr

sensibilmentenferioreglierrori i misura elle istanze quinditrascurabile.

144l

[45]

72



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOGRAFIA

2.4. LA CARTOGRAFIAFFICIALETALIANA

Esistonomoltiprowedimentiegislativin materia i cartografia,manati all 'unitàd'ltalia d oggi.La egge21211960'68 definisce li organi artograficielloSfafo:

> l.G.M. lstituto eografico ilitare> l.l.M. lstitutodrograficoellaMarinaI > C.!.G.A. Centro i Informazionieotopograficheell'Aeronautica

F Catasto- DirezioneCentrale el Catastoe dei serviziGeotopocartograficidellaconservazioneei egistrimmobiliari

F ServizioGeologicoLa cartografia fficiale quindi ostituita allecarte opografiche,autiche, eronautiche,catastali geologiche.

Nel1970nasconoe Regioni statuto rdinario conessenascono nche programmii, cartografiaecnica grande cala C.T.R.) 10.000 1 5.000.

i Anche le102 Provincie taliane hanno

competenza artografica.loro programmi

' prevedono, ormalmente,a costruzionei cartografiaecnica tradizionale/e numerica)al la cala :5.000.Gli 8.102Comunitaliani anno rogrammii produzionei cartografiatecnicallescale1 500 1 1.000 1 2.000.La realizzazionei cartografiaradizionale/enumerica estremamenteisomogenea:ivadalnulla llacoperturaotale.

rrincipaliistemi ici uti l izzatin l tal iasono entiproiezioneonica onforme i Lambert: IGM arta :500.0001:1.000.000

proiezioneonforme i Mercatore: l lMcarta scale arie a 1:100.0001:1 .000 .000

proiezioneonforme tereografcaoolare:

IGM arta1:1.000.000er ecalotte olari

proiezionei Cassini Soldner(afilattica):

CATASTOarte scale ariabilia 1:5001:4 .000

rappresentazioneonformei Gauss:

IGM artanscala :25.0001:50.0001 100.0001:200.0001:250.000

CATASTO uove artea scale ariabili a1 :500 1 :4 .000

cartoqrafiaecnica variescale

Tutta a cartografia fficialetalianaè nellarappresentazioneonformedi Gausscosì

come a praticaotalità ellacartografiael mondo.Lacartaufficialeell ' lGMn scala1 100.00028a ogli) stataultimata lla nedelsecoloscorsomentre uella n scala1:25.000o fu solo negliannicinquantaon le seguenticaratteristiche:

F origine elle ongitudini:eridianoi RomaMonteMarioF origine elle atitudini:quatoreF ellissoidei riferimento:ESSELF proiezione:aturale olicentricai Sanson Flamsteed;i noti vedi ig .2.26\che e

longitudini ono positivenel verso Est e negativenel versoOvest a partiredalmeridianoi riferimentoMonteMario) che nonsi limitano i valoridi + 3'o -3ocomenelcasodella roiezionei Gauss erché,nquesto aso, onsi consideranofusimazonemolto iù imitateonmolte rigini iverse.

73



À*oo o'

À*oo



Fig.2.26 Laprima artografiafficialetaliana

Nel 1940 a Commissione eodeticataliana ecise i adottare'ellissoidenternazionale

(Hayford)omesuperficie i riferimento.'ellissoide stato "orientatoa Roma MonteMario" cioè è stato reso tangente al geoide in questo punto, annullando ladeviazione ellaverticale.

Nel 1941 a retegeodetica azionaleu ricalcolataul pianodi Gaussdal Prof.Boaga(come iconoscimentoi ciò, a proiezione stata hiamata roiezione i Gauss Boaga).

Nel 1948 u stabilito i adottarea proiezionei Gaussancheper la cartografia.atrasformazione avvenuta onseryandoutto l vecchiomateriale artograficodisegno),sovrastampandovioltantol nuovo eticolatoaussianocioè e nuove oordinate).L'origine ei fusi che caratterizzanouestacartografia il meridiano i Greenwichpartire alquale ono tatitracciatiutti fusidi ampiezzaaria 6'.

74



G. COMOGLIOTOPOGRAFIAE CARTOGRAFIA

CapitoloELEMENTIDI CARTOGRAFIA

Tra 'estremoveste l'estremostdel erritorioazionaleontiamo irca12",quindiuttal'ltalia contenibilen due usie, per ortuna, uesti ue usi,a lorovolta, onomultipliinteri ella uddivisioneheparte almeridianoi Greenwich.

ll primo usova da 6oa 12"di ongitudineiferita Greenwichonmeridianoentrale aria 9 ' ; i l secondousova da 12'a 18'di longitudineifer i ta Greenwichon meridianocentralearia 15'.

Perragioni he vedremomeglio n seguito,l primo usosi estende d oriente ino almeridiano i Roma MonteMario,per cui si crea una zonadi sovrapposizioneon ilsecondo uso, utile per eliminare e difficoltà i collegamentora punti vicini maappartenentii due usicontigui.Anchelsecondousosi estende oriente ercirca 0'percoprire napiccola arte ellapenisolaalentinahe altrimentindrebbeappresentatatil izzandon terzo uso(vediFig.2.27).

41e 5'?5",

f-ruso^ou.tt_{-- FUso s

I I E : ' z ' s 2 o k m: 1 .500m

Fi1.2.27 La nuova artografiafficialetaliana

Tutto l territorio azionaleacchiuson un fuso non può essere appresentatou di ununicooglio i carta,bisognerà,er ragioni i comodità i consultazione,uddividerlontante orzioni.Questaperazionerendel nome i aglio ei ogli.Tutti foglidellacartografiataliana ono"tagliati",econdo ntervalliegolari,ungo etrasformate ei meridianie dei paralleliche definiscono a porzionedi territoriorappresentata.

II

Àn+ocw12'27'08 ' ,40EG^ - 18'30 '

rfly

, 4 (q"] \I ' /

/ t \w

75





I margini inistro destrodi unacartasono e trasformateei meridiani, i margini assoe altosono e trasformateeiparalleli.valori umericihedefinisconouesti imiti, onosempre iportati margine ellacarta.Questo modo di tagliare a cartografia iene comunementendicatocome "taglio

geografico".

La igura eguentellustral taglio fficialeella artografiataliana,on 'indicazioneelladenominazioneei fogliallevariescalee la porzione i territorioappresentato,ntesocomedifferenzara la longitudineel margine estro on l sinistro la differenzalralalatitudineelmarginenalto onquellonbasso.

nome scala Al, ACIFOGLIO 1: 100.000 30' 20'

QUADRANTE l: 50.000 15 ' l 0 'TAVOLETTA l :25 .000 ,7 ,30, , 5 '

Fig.2.28 Taglio ei ogli ella uova artografiafficialetaliana

Comeabbiamo ià detto,gli assiortogonaliartesianiella appresentazionei Gausssono definiti ispettivamentealla rasformata el meridiano entrale el fuso (asseY oNord) dalla rasformataell 'equatoreasseX o Est):

Non acciamo iferimentod un fusoparticolare erché utti fusisono denticira loroequindi uantollustratoeruno, aleper utti.

Restano a risolvere ue problemi,l primo,che interessan particolarel territorionazionale,quello i darecontinuitàartograficanche i territori i confinera due usi,chiamatiusoOveste fusoEst.La soluzionea questo primo problemaè stata trovata producendouna zona disovrapposizionei circa30' che ungeda "sutura"vediFig.2.27), ellaquale i ha unadoppia appresentazioneel territorio, rimacome appartenente d un fuso e poi al

successivo viceversa.

N o i N ESUDDIVISIONE

DELLE"'--- '-tit '-"-"

ravolelrsAL ll0@

s o i s e

o

-o

c.(ú'=oE




larocw = 6" 9"+ 1500km


l l secondo roblemavalido er utti fusi)è che e coordinate stdi tutti punti he sitrovano sinistra elmeridianoentrale ononegative. alpuntodi vistaaritmetico oncisarebbe ulla a eccepire, a dalpunto i vistapratico, i intuisce napossibileontedi

errori er adimenticanzaelsegno.Questosecondoproblema statorisoltosemplicementeando una traslazioneittiziaall 'asse ord.

Per ar comprenderemmediatamentel lettore ellacarta n quale uso(Esto Ovest)sitrova l punto n esame, onostatedefinite ue diverseraslazioni,nacaratteristicaelfusoEst 1.500 m)e I'altra el usoOvest 2.520 m).In questomodo, a prima cifra della coordinataEst di un qualunque unto iportaimplicitamentenche 'indicazioneel usodi appartenenza'.1er l fuso Oveste 2 per lfuso Est.

Tutto l territorio azionale i trova,per ortuna,n un soloemisferoquelloNord)e quindi

nonsi pone l problemai eventualioordinateordnegative.

lnrocw,= 6"

ln+ocw= I 2o 1 5 .+ 2.520 nr

Fig.2.29 Fusinelsistema auss Boaga

Per rendere gevole ll 'utentea lettura ellecoordinate i un punto Est,Nord)che,ricordiamo,appresentano, parte a falsa origine, a distanza el punto rispettoallatrasformata el meridiano entrale dell'equatore,u ognicartaè sempresovrappostaunagriglia on latiparalleli gl iassidel sistema i riferimentoEst,Nord) con magliaregolare.

Questa riglia i chiama,mpropriamente,eficolato hilometriconchese nonsempreadimensioneellamaglia pariad unchilometro.





Nella artografiagrande cala i adotta namaglia i 10cm di lato, ndipendenteallascala.Quello he è importanteicordare che le coordinateei lati dellamagliadelreticolatohilometricoonosempre eivalori nteri sono iportati margine ella arta.

reticolato chilometrico

taglio geografico della carta

Fig.2.30 Carta onreticolatohilometricoracciato

ln un usodi 6"di ampiezza,omenelnostro aso, lmodulo i deformazioneinearevedi[35]e [36])è sempre rescente variada un valoreminimoparia 1 (sul meridianocentrale ove .r. = 0o)a unvaloremassimo aria 1,0008suimeridianistremi el usodove ,r. = + 3oo ,r. = - 31.ll territorio artografato,rossimo l meridianoentrale el fuso,è quindi privilegiato"perché ubirà nadeformazioneineareminoreispetto quello osto gliestremi.Questo attonon ci stupisce erché appiamo sserempossibilea costruzionei unacartografiaquidistantevedi ar.2.1.3.) lacarta i Gauss on a eccezione.

Possiamoontenereuesto ffetto i "distorsione"mponendoei imiti l ladeformazionelineare. aturalmenteonpossiamoare iferimentotutto l territorioappresentaton unfusoma ad unaporzioneendefinita.Questoerritorio quello i una avolettaell ' lGMn scala1 25.000 ostonelpuntopiùsfavorevoleioèall 'estremitàel uso À..= + 3oo - 3') :

lunghezza assimamisurabile 14km

Fig.2.31 TavolettaGM nscala :25.000

Ladistanza assima isurabileu una avoletta lasuadiagonaleariad a circa14 km.Questa unghezza orrisponde,u una carta ideale (senzadeformazioni)n scala1:25.000,d unsegmentoi 560mm.Sulla arta i Gauss, osta ll 'estremitàel uso, aràparia:14.000m * 1,0008 14.011m corrispondente,l lascala1:25.000,d un segmento i560,45mm.Ladeformazioneartograficaineare ubita quindi aria 0,45mm.

Nord

78





Se questadeformazioneossecontenuta ntro o spessore ella ineache traccia ldisegno ella carta,potremmo ccettarla on maggiore assegnazione risolvere osìl'assillo he perseguitaa semprel cartografoioèquello i poterdisegnare na carta

equidistante.nquestomodo acartadiventerebberaticamentequidistante.Lo spessoreminimodi una lineadisegnata assunto,per ragionistoriche,pari a0,2mm e prende l nomedi erroredi grafÍcismo.

Ritornandol nostro sempio, erdimezzarea deformazioneineare rimacalcolatarientrare uindinei imitidell'errore i graficismo,ovremodimezzare nche l modulodideformazioneineare.Questo biettivo aràraggiunto e applichiamo tutto l pianodella appresentazionencoefficientei contrazionearia 0.9996.Dopo uesta forzatura",l modulo i deformazioneineare ulmeridianoentrale onsaràpiùpariall 'unità avarrà ,9996 alleestremitàel usosaràparia:1,0008 0,9996 1,0004 , r i tornandol lanostraavolettavedi ig.2.31), ossiamo

ricalcolarea unghezzaella iagonalei 14km:D all'estremitàel uso14.000m * 1,0004 14.006m corrispondenteulla artaa un

segmentoi 560,22mmD sulmeridianoentrale 4.000m * 0,9996 13.994m corrispondenteulla artaa un

segmentoi559,78mmEntrambi i valori calcolati soddisfano, praticamente, a condizione che ladeformazione assima ia nferiore ll 'errore i graficismo.

I nostri adricartografi annoadottato uesto rtificio i imporre nacontrazionei 4 partisu10.000 aria 0,9996 tutta a cartografiarodottaecondoa proiezionei Gauss erlimitaree deformazioniineari. on buonapacedi Gauss he prevedevao sviluppon

veragrandezza elmeridianoentralevedi2.3.5.).Alla ucedi questo piccolo ggiustamento"utte e espressioninalitiche,isteprima,dovrannoenerne onto. ediamoeprincipali:

l l modulo i deformazioneinearevedi35]e [36]) arà alcolatoon e nuove elazioni:

nt, o,eee{t.!** ,t) ffi1 Spr€sson funzione ella ongitudine1," € della atitudine

( tmt=0 ,99961+-

(fst -falsa ori

r \

I)

gine)

ntl espr€SSon funzione della

distanza del punto dalmeridiano entraledel fuso

[46]

l47lpN0,99962

ll modulo di deformazioneineare di un segmentodi rettarappresentazione,n puntoP1di coordinate r Nr ed un punto(vedi 37]) aràdatodallanuova elazione:

/( n? + F E. + r.'Jn t1_ ,0 .99961+1t

'.7 t7 t==- i . ' , t+a l

| 6p^N^0,9996'dove on Er e Ezsi indicanoispettivamentee distanze ei puntiPr e Pzdal meridianocentrale el fuso e con pmed N, si indicano raggiprincipali i curvaturaalcolati el

puntomedio elsegmentoi retta ongiungenteduepunti.

cheP2di

congiunge,ul lacoordinate z Nz

79



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOGRAFIA

Anche a relazioneelativa lla riduzione lla cordadovràesseremodificata er tenerecontodel coefficientei contrazionevedi 43]):

^ ( N " - N o ) ( 2 E p + E o )t , , =

[49jA6prN ro.99g6'z

L'applicazioneel coefficientei contrazione,9996equivale sostituiredealmentelcilindroangente l meridianoentraleonun cilindro ecante.

Ci l indrOangenteur r r r rurueuarr te

Fig.2.32 Schema eometricoella roiezioneiGauss Boaga

Permeglio omprendereo schema eometricoella appresentazionei Gauss Boagaimmaginiamoi sezionare'ellissoideecondolpianoY-2.Allanostraatitudineisulta he lcilindro ecantepiano i Gauss)ntersecherà'ellissoidea circa180kmdalmeridianoentraleel usosecondol seguentechema:

fusodi 6 'd i ampiezza

mr= 0,9996 superficieerrestre

mr= 1,0004

pianodi Gauss

ellissoide i Havford

meridianoehtrale

Fig.2.33 Sezione i un

Se rappresentiamol modulo i deformazionegrafico d andamentoarabolico:

fuso i 6 'd i ampiezza

linearemr n funzione ellaEstavremo

meridianoentrale el uso

un

1,0004

cilindroecante

80

Fig.2.34 Variazioneelmodulo i deformazioneineare



Y



2.4.1, L SISTEMA NIVERSALETMDurante dopo a seconda uerramondialemoltenazioni, er ragionidi uniformità,

adottaronoa rappresentazionei Gauss come propriacartografia azionale. 'idea

originale ra quelladi dar vita ad un sistemauniversalehe fosse a base per lacartografiai tutto l mondo. alesistema stato hiamato niversal ransverse ercatorProjectionUTM).La ter ra fusudd iv isa in60fus ii6 'd i ampiezza ,numera t ia l a60procedendodaOvestYerso sta partire all 'antimeridianoiGreenwichil uso1 si rova uindinpieno ceanoPacifico).L' ltalia,n questo istema, contenutaei usi32 e 33 e grazie lle elici celte atte nfasedi costruzioneellapropria artografiaGauss BoagaJ,i trovava ià perfettamenteallineataon a definizioneil posizionamentoeinuoviusiurM.lmeridianientral ieiduefusi anno empreongitudine,ispett ivamente,i 9"e 15"EstdiGreenwichvediFig.2.30).Naturalmente,

rattandosii un sistema niversale,on hannopiù senso e specificitàdellacartografiataliana ome l nomedei fusi (Este Ovest)e le traslazioni articolaridell 'origine.Anchen questo asosi è deciso i applicarencoefficientei contrazionei 0,9996 siè adottato n aglio ei ogliuguale er utte e nazionidiversoa quellotaliano auss-Boaga).Perevitare ossibili rrori dimenticanzael segno) tílizzandoe coordinateei puntiasinistrael meridianoentrale, nche n questo aso 'origineel sistema i riferimentocaftograficostata raslata i unacostante. uesta raslazione uguale er utti fusiedè pari 500km.

Àuoro

9 " 1+ 500km

Fig.2.36

Àsoso 12 o 15 "+ 500km

- Fusinelsistema TM

8 1



2.4.2. L STSTEMArRTFERTMENTONtF|CATOUROPEOED50)

Comegiàdettonelprecedentearagrafo,el 1940 a Commissioneeodeticatalianadecise i adottare'ellissoidenternazionalei Hayford omesuperficiei riferimentodi

orientarloell 'osservatoriostronomicoi RomaMonteMario ioèdi renderloangente lgeoidenquesto unto, nnullandoneadeviazioneella erticale.Analogamentell'ltalia,utte e altrenazionieuropeeadottarono n propriosistemadiriferimento,er orza i cose, oncongruenteonquellotaliano.Dopo a seconda uerramondialeu decisodi unificare diversi istemi i riferimentonell'ambitoell 'AlG Associazionenternazionalei Geodesia)mediante n calcolodicompensazioneeneraledi tutte le reti geodetiche uropee eseguito al Coast andGeodetic urvey ArmyMapService tatunitensi)on seguenti riteri:

F superficiei riferimento:ll issoidenternazionaleHayford)ts origine ella ongitudine:eridianoi Greenwich

Naturalmenteonsarebbe tato orrettomantenere'orientamentoell 'ell isoideRoma

MonteMario, ioè l puntodi tangenza ell'ell issoideon l geoide, quindi i è scelto nnuovoosservatoriostronomicobicaton una ocalità iù baricentricaispetto lla otalitàdel territorio a cartografare.uesto untodi tangenza "centro i emanazione"ellacartaè stato ndividuatonuna ocalità eipressi i Bonn hiamata ostdam.Nel centrodi emanazione on è stataannullata ompletamentea deviazione ellaverticale aè stato asciato npiccoloesiduon mododa minimizzareleeviazioniellealtre etinazionaliiùperiferiche.Si è definito n questomodoI'orientamentomedio europeo o EuropeanDatum 1950(ED50).Anchequestonuovo datum" ED50), ome l precedente oma 40, si definisce d"orientamentoocale", ioè nonè adottabile er la rappresentazioneell'intera uperficie

terrestre, a valesolo n un intorno el centrodi emanazione puntodi tangenzaraellissoidegeoide nelnostro aso utto l erritoriouropeo).

ll nuovo rientamentoell 'ell issoidei riferimentoomportalavariazioneelle oordinatedi tutti punti appresentati.d esempioe coordinateeografichei un puntoparticolarecheè il verticerigonometricoi RomaM.Mario eiduesistemi i riferimentoaranno:

orientamentollissOide longitudine latitudine

RomaMonteMario ÀR+o 0o

),orn^w 12" 27' 08".4041 55',25",51

ED50 Potsdam) Iew = 12"27' 10",93 41 55 ' 31" ,49


Dopo le operazioni i compensazioneeneraledelletrigonometricitalianihannoovviamente ssunto alorinazionale.Tra le coordinate i uno stessopunto,nei due sistemi,definire elle elazioninalitichei rasformazione.


reti, le coordinatedei puntidiversida quellidel sistema

non vi è alcunapossibilitài

La igura eguente ostrae differenzen atitudine in ongitudineespressen secondi)riscontratera i due sistemi ellissoide i Hayfordorientato Roma MonteMarioedellissoidei Hayford rientato Postdam)

82



Y



*.._,J. ìiII

!I

Fig.2.37 Curvesotransitivei conversionea Gauss-BoagaUTM

ll sistema uropeo statoadottaton parteanche a alcune azioni fricane d asiatiche:

ED50

Pulkovo 2

de lCapo

indipendenti

Fig.2.38 -Nazionihehanno dottatol sistema D50

Anche l sistemaUTM prevede n tagliogeografico ei fogli (secondoe trasformate imeridiani di paralleli)osì omeeraprevistoalla artografiaazionaletaliana.Naturalmentel taglioè diverso a quello dottato allanuova artografiafficialetaliana.La cartografiaGMche vieneprodotta ggi,seguequestonuovo aglio UTM)che hacome iferimentol oglionscala1:50.000 tutti relativiottomultipliome ndicaton Fig.2 .57 .

IN

r:-::-lt . ' l|-

83





Ladimensioneeograficaella artografiafficiale laseguente:

tiPo scala A}- ÀsFOGLIO 1:50.000 20' 12',SEZIONE 1:25.000 10 ' 6',SEZIONE 1 10 .000 5' 3',ELEMENTO 1:5.000 2 ' ,30" 1' , 0"MAPPA 1:2 .000 . 1 ' 36"MAPPA 1:1 .000 30" 18"

Attualmenteccantoal sistemanazionaleGauss-Boaga internazionaleTM, si èaffiancato vienesemprepiù utilizzatol sistemaUTM-WGS84,he ul ilizza 'ellissoideWGS84 on e convenzioninternazionaliTM.La caratteristica fondamentale di questo nuovo sistema cartografico è cheI'ellissoide (WGS84)perde la caratteristicadi superficie di riferimentoorientatalocalmente erassumere uelladi superficie i riferimento alidaper utto l mondoe quindigeocentrica.Questosistema isultaparticolarmenteomodoper utilizzare irettamentel sistemasatellitarePSnelle pplicazioniartografiche.

Riportiamointeticamentee convenzioniei sistemi eodetici cartograficiazionale(Gauss-Boaga)internazionaleUTM):

Sistema eodeticocartograficonazionale

Sistema eodeticocartografico

internazionale

Sistemaeodeticocartografco

UTM.WGS84ell issoide Havford Hayford WGS84

datum orientamento*emfsRoma 940

orientamento**eleED5O

orientamentowmcw*tri*aWGS84

orioine ellaonqitudine RomaMonteMario Greenwich Greenwichamoiezza elfuso o - 6 0 6 0coordinateaftoorafche Gauss Boaqa UTM UTM_ WGSB4denominazioneei usirelativi ll 'ltalia Ovest EST óz 32 J J

longitudineelmeridianocentrale

-3"27' 08",4Estdi RMM

2'32' 51",6Estdi RMM

9 o

Est iGW1 5 0

Es tdi GW9 o

Es tdi GW1 5 0

Es tdi GWfalsaorioine 1.500 m 2.520 m 500km 50 0km 50 0km 50 0kmcoefficientei contrazione . 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996

84



Esercizio volto di calcolodel modulo di deformazioneineare m1) n un puntoindividuato u una cartadisegnata ellaproiezione i GAUSS.

Consideriamon puntoarticolare

appresentatoella avoletta 7 l l S.E.e precisamenteilverticerigonometrico. BRACCO2'ordine).Lecoordinatei questo unto onomisurabiliirettamenteulla artografia, trattandosidi unverticerigonometrico,ononote allamonografiaelpunto:

5'ru7 ' : g t t


coordi atecartog af chedi M. Bracco

coordi ategeografchedi M. Bracco

Nord= 4.948.869,84 Q= 44" 40' 49",072

Est= 1.368.365,55 ÀR+o - 5" 06' 47",543

H = 1.306.56

depuroacoordinatastdella alsa rigine:


longitudine iferitaal meridiano iRomaM. Mario

= -131.634.45

er lfusoovestper l usoest X

=Est 1.500.000X = Est 2.520.000

la X rappresentaa distanza al meridianoentrale el uso.

calcolo eiparametri, N,e R:a = 6.378.388m

c = a( l -a) = 6.356.91 95m

2 2t Q - C

? - = -2a o,ooazzza7o022

= 0.99833676

o - o \ t : ' ) = 6 .367 .227 , i2rw3

N =3 = 6 '389 .014 ,81W

p=, [pW =6 .378 .111 ,66m

85



m, o,sss{r.

u#r*)

=o,eeea12

fl modulo i deformazioneineare uòessere alcolato ncheutilizzandoecoordinategeografichelatitudinee longitudine.):la ongitudine"deveessere iferita l meridianoentraleel usoe deveessere spressain radianti:per l usoovestper l usoest

G,COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA

calcolo elmodulo i deformazioneinearem,

verttci ' ici,sononotedallemoM. BRACCO(2'ordine)

coordinate

Nord= 4.948.869.84Est= 1.368.365,55

H= 1.306,56( P = 44" 40' 49".072

l,nao = 5006' 41",543

Àrc = ÀR+o 12"27 ' 08",4 9"Àrc = ÀB+o 12"27' 08",4 15"

39" ,143 l r " tud=- 1 ' ,66087g0561I

0,028987703


nografieeipunti:M. PAGLIANO

(1 ordine)coordinate

Nord= 4.933.038,81Est-- 1.376.791.92

H= 988,77m( ! = 44"32',21".594

ì,non = 5"00'11",276

nell'esempioarà:Imc= - 5 '06 ' 47" ,543 12"27 ' 08" ,4 - - '1o39 '39" ,1439 0

e quindi:

À m c = - 1 o 3 9 '

e qu ind i :( t \

m, 0.999011+,tr;, cos' l =0,999gt\ 4 /

Viste e approssimazionintrodotte er ricavarea formula ndicata opra,si consideravalidol modulo i deformazioneineareicavatonun ntorno onsuperiore 10km.

Esercizio voltodi calcolodel modulodi deformazioneinearemldi un segmento i

retta.Consideriamgnparticolareegmento i rettadefinito a duevertici rigonometrici:.Bracco M. Pagliano.Lecoordinatei questi unti onomisurabiliirettamenteulla artografia, rattandosii

calcolo ei parametri e N, ^ -9snncco*9pec l rexo, I t ( u t ( l

w = ^l l - e2 inzg_"0'o

a \ t - e t

w3

nelpuntomediodel segmento

= 44"36' 35",333

= 0,99834084

= 6.367.1 7,88m

= 6.388.988,31

= 6.378.058,75

M. Bracco M.Pagliano:

p-

N^

R _

u

w

"tpN

ò b




depuroecoordinatestdella alsa rigine:MonteBraccoMonte agliano


X = Est -1 .500 .000 = - 131.634,45X = Est -1 .500 .000 =-123.208.08

laX rappresentaadistanza almeridianoentrale el uso.

calcoloelmodulo i deformazioneinearemrdelsegmento .Bracco M. Pagliano:( v 2 + Y Y + v 2 I

nr =0.99961+# I = 0,9997997 t 6p^ N^ 09996'

Esercizio volto di calcolodi un azimuto in un verticedi coordinatenote.Con iferimentoquanto sposto elparagrafo.3.9.,icaviamol valore ell 'azimutmisurabileraM. Braccopunto )e M. Paglianopunto ).Lecoordinateeivertici ononote inquesto aso)o misurabiliullacartografia

consentonoi calcolare'angolo i direzionep4 iferito l Nord el eticolatohilometricoo asseY:parallelall 'asse

tangente l la rasformataelmeridiano

trasformataelmeridiano

P (monteBraccocorda

trasformataellageodetica Atangente lla rasformata y''...della eodetica A J

'\.. A (monte agliano)

Le coordinatei M. Bracco chiamatoP) e M. Pagliano chiamatoA) sono e stessedell'eserciziorecedente.

0 ' ,o arc tp ,Es to Est t

- +8 '426 '37m=151o,9750014=151o58 '30"" Nordo - Nordo -15.831,03m

Laconvergenzael meridiano nelverticeP saràdeterminatatilizzandoa [39]:

( t

a I" l ì= ., , , .senfr*)n, .o. ' /+3a rc cos-g

\ 3 '\ c' ))

Àmc - 5 '06 ' 47 " ,543 12"27 '08" ,4 9o= - 1"39 '39" ,143

À'.'"0 = - 1o,660873056#

= - 0,028987703

9 = 44" 40' 49",072a = 6.378.388c = 6 .356 .911 ,95

( r / 1 ' \ ly=)", , ,sen{plt* lr l l^ , .ortpfa3o--lcos'gl = -o,ozo384184rad--1"10'04",54

\. 3 [ c' ))

87



G. COMOGLIO CapitotoTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOGRAFIA

l l calcolo ella iduzionella orda pn afà seguito til izzandoa 49]:(yo-y ) (zx^+x) j ._€,, , oove:

6p^N^ .0.9996'

Xp=Este' .u.co1.500.000 = 1.368.365,551.500.000- 131.634,45Xn=Estp"gl iano-.500.000 = 1.376.791,92-1.500.000-123.208,08Yp = Nordaracco 4.948.869,84mYn= Nordpastiano 4.933.038,81p, = giàcalcolato 6.367.1 7,88mN6 = già calcolato 6.388.988,31tpn= - 0,000025087 '^d- 0o0 '05" ,17e quindi 'azimut r, econdo a relazione42]saràparia:cL O 'pA T '€pn= 151 58 '30" 1o10 '04 " ,54 0o0 ' 05" ,17 150o48 '30" ,63

88



G.COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOGRAFIA

Esercizi ropostiall 'all ievo a risolveremediante'usodi un foglioelettronico:

€SER*EZI* t 'Scalcolodel modulodi deformazioneineare ungoun parallelo

en373839404142434445464748

9 [rad]0,64577180,66322510,68067840,69813170,71558500,73303830,75049160,76794490,78539820,80285150,82030470,8377580

0 o 0 0 ' 0 ' 3 0 ' ' 1 o 0 0 ' 1 ' 3 0 ' 2 " 0 0 ' 2 o 3 0 ' 3 " 0 0 ' i ' f l0,00000000,00872660,01745330,02617990,03490660,0436332 ,0523599 ,[rad]0,99960 0,99962 0,99970 0,99982 0,99999 1,00021 1 00047

0,99960 0, 99 962 0,99968 0,99977 0 ,99 99 0 1,0 00 08 1,00029

1,00041,00031,0002't,0001

1,0000o qqqq

0,9998n oooT

n ooo^A à A A A A

o o o o o o oo o c ! N e )

longitudine dal neridiano centrale

89





*$ffiffiffif itrtCI" l0 - calcolodelmodulodi deformazioneinearen un punto

m=

o,eeeu[ t -

I (Est - falsa origine)' )

t@)

HSffi$E*lZlO' 11 calcolodel modulodi deformazioneineare i un segmento

t, t , = 0.9996(* E|+ E' E ,+ El, \\ 6p,,N 0,9996' )

calcoli

risultati

a = [ m lcI,-

e ' =calcolifalsaorigine

X a =

X o =

9medio =

Wmedio=

P medioN r"oio --

risultati!Î l =

a = [ m ]C ( =g ' =

falsa rigineW =p =N =

lfÙ =

R*ma406.378.388

0,0033670030,0067226700

1.500.0000,9984353466.365.340,146.388.383,61

{},99960

trt*s:sr{*6.378.388,0000,003367003

0,0067226701.500.00041.410,7684.105,96

0,724311639690,99852306366

6.363.662,756.387.822,41

0,99965

Est Nord da NETOGElml Im] latitudineo tradl

r iqa di calcolo 1.500.000.00.760.900,54 0.75049157841

PUNTOA PUNTOEst Nord da NETOGE Est Nord da NETOGEIml lml latitudineo fradl Im] Im] latitudineo fradl

riqa di calcolo 1.541.410.76 .649.979,51 0,73303828587t.584.105.964.539.317.71 0,71 58499353

90




HSEHCIZI0 "'l? - calcolodella iduzione llacorda

'pa -


calcolifalsaorigine= [m ] 1.500.000

EST6= [m] 1.555.642,49NORD6= [m ] 4.613.092,24

96 = [rad] 0,72722484862ESTp m] 41.410,76ESTa m] 84.105,96

W = 0,998513327pc = [m] 6.363.848,92N6 = [m] 6.387.884,70

epa= [rad] 0,0000757958risultati

segnoep o [gradiJepa [primi]

ep a= [secondiJ

a = [ m ]c [ :e ' =

ffi*r:'rs4S6.378.388,000,0033670030,006722670

+00

15,634

(+ -lr^X2Er+Eo)

6pcNcq9996'

Npe Nnsono ecoordinateord eiPuntiP e AEpe Ensono ecoordinatest depurateella alsa rigine) eipuntiP e Apce Ncsono raggi rincipalii curvaturaelpuntoC

PUNTOP PUNTOEst Nord Est NordlmI lml lmI fml

riqa di calcolo 1.541.410.764.649_979.511.584_r05,96.539.317.71

9 1



G. COMOGLIOTOPOGRAFIACARTOGRAFIA

ESERCIUICI'13 - calcolodellaconvergenzael meridiano

l r \T = ).sen l I +

=l"' costp

I\ 3 ' )longitudine, riferita l meridianoentralelatitudine piferita l pianoequatorialetutti risultationoespressingon


I I"l3738394041

42434445464748

0 . 0 0 ' 0 . 3 0 ' 1 . 0 0 '9 [rad] 0,000000 0,008726 0,017453

0,6457718 0,0000 0,3343 0,66870,66322510,68067840,69813170,7155850

0,733m840,75049160,76794490,7853982 0,0000 0,3929 0]8570,80285150,82030470,8377580

1 30 ' 2"00 '0,026179 0,034906

1,0032 1,3377

2"30 ' 3 '00 ' , l [ " ]0,043633 0,052359 ?r,rad]

1,6724 2.0072'

1,1786 1,5717 1,9648 2,3581

v*ríeni*n* *91* *ni , '* rgenzs*l n:*r id i*n* *ng* i lp*ral l* lo $' ' '

troB

nrutroùr{$

cerJ

2 , 5 0 0 0

2,0000

1 , 5 0 [ D

1 , 0 0 0 0

8 , 5 [ 0 0

0,0000

longitudinedal meridiaRo Èntrr le

92




ESEMPI ICARTOGRAFIA AZIONALE L TRATTOTuttol erritorioazionalesuddivisonS3Sogli * scala :50.CI00.acarta incorso iallestimentod è inquadrataelsistema TM ED50.Deriva

aiil ievin scala1:25.000per foltimentoriduzione)stampata 6 o 3 colori

con 'orografiasfumo curve i ivello


reticolato auss Boaga nondisegnato)

50GLt09157-TRlN0S l f r l tM 79? . rQúL l0'1112 -$ -a l] i : l t t l I i - r t v i

PROIEZIÓNECONFORr4E UNIVgRSAL€D I H É R C A T O R EU, f . M . )

r r : ì i l J . ; a t o i t i î 4 1 ! 4 r r t . r l n n

reticolatoUTM(tracciato)

:1. \- "'*i

r i r c a i ù R D r B ^ Î a C É C C i a a r c t s É t c N o i r F l i r f a a r ! t l ! i 5 i o r o E

r \ r t t \ I ì a N À l r e l D ' C ! r ( o P r o , l U i ) : n r

rCiCrrUùNl ù 8OhÀ {Í. HA{|O,. DÀ Ci!ÉNWICH L}tt il 9ì

L^ l l l uu la 9 ì A Ol l l x . H ^ F r c ) , . ! 5 5 l i .9

i h bnc ' 'r io. d.l iq ..ú.r ,n4e d.' v .7hci. .( r ibùú. r , .ònr i*cgnL rr tó i s,rgii '

r ,ll8 .l',,io: k a i

Ii i

TRASVgRSA

t1! l .1prc r t )€sr{;NA:tùN€ ì uti rJuTÒ(î3pr<rs ,11: . icné . Ì l ,x ] 6. Í : ìat!.lt\4. a+ I iir{itt li iLrlsl:r;al

{.: ,ie rÈr?,r ;S '-.r-,.

F5{,,1- , \ ì ! ,

,, . ; i1- _, : *, r

ffi;lill""e; :

Fig.2.39 Estrattoi un oglionscala :50.000

--"-'.' Ì]t"11. : I

r l i t q ì , { r l r N r o r ! ! 9

ii . i n , , L t r ò ' d ! Ji ù ,h in t r r r ih i

93



G.COMOGLIO CapitotoTOPOGRAFIACARTOGRAFIA ELEMENTI ICARTOGRAFIA

Tutto l erritorioazionalesuddivison i.?98 sr;onins*ala1:25.000acarta incorsodiallestimento.inquadrataelsistema TM ED50.Deriva a restituzioneotogrammetrica.E stampata 4 colori on trografiaa sfumoo curvedi livello.

ISTITUTO EOGRAFICO ARECarta ulf ic iale dello Stato (Legge n"68 "2-1960)@Copyrighl lGMlFironze - Edizione

risèrvati"utt i i dir i l t i di r ioroduzione o di l lotale o parziale solto qualunquo

reticolatoUTMrriícoìalogeografico

Fig.2.40 Estratto i unasezionenscala 25.000

94



Tuttol erritorioazionale suddivison 3.545 avoìe{t*n scaNa:?5.*S*serie )Lacarta tuttapubblicata.E nquadrataelsistema auss Boaga reticolatohilometricoTM.

Derivanparteda restituzioneotogrammetrica.Èstampatandiverse ersioni a 1 a 5 colori.


cm.dinar. g.osdfi .h. 6ono .iferiìe all'ElI*roide

IntcrD.zimal€ oli.nt.ro a Rom. (bl- Mario)

line di Roma M, Merio da Greenwich r*27'o8",4o

0 4 6

Fi1.2.41 Estratto i una avolettan scala :25.000

Caoitolo2ELEMENTIDI CARTOGRAFIA

stilt l.t891r0GU0 lcllltTo'sEll l Ì0t0 f l t0 i l t . rGMl

RETICOLATO C}trLOMETRICONELLA PROIEZIONE CONFORME

UNIVER5ALE TRASVERSA DI MERCATORE

SistemaU. T. M.

SOVRAPPOSIZIONE DEI DUE FUStr : 30' (d. * o' !o' IRomr M. M

ORIGINE DELLE COORDINATE.;Coordimtc Ert : il mcridbno entnlc dcl fw on vatorc

vmzionelc + 5m m,, Nord : I'cqutorc

Lr prcnt orte topognfige rpprdiac rlb

ZONA327cd ri qurdnti di roo lm di hto

RETICOLÀTO CHILOMETRICO

T{ÉLLA PROIEZIONE CONFORò{E

UNIVERSALE TR,{,SVERSA DI MERANTORE

S;o*-uU. T. M.

lDatieurcp€i r95o)

I T L I N T É C O È T À A 5 5 ! G N A I E D A N U H E R I N I R I I N D I C A N I

{ t T t € o l a î o u . T . a f u S o 1 2 , t L t s s o r D É r N r t R N A z r o N

E S f I P I O O I D É 5 I 6 N A Z I O N E D I U N

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Fi1.2.42 Estratto i una avolettan scala :25.000

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REGION

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E PIEMONTESEHVIZIOÒARTOGBAFICO

CTRCARTA ECNICAREGIONALE

sEz,oNE.115010

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CARTA AL TRATTO

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COMPAGNIA ENERALE IPRESEAEREE

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COOROINAIE OEI V€RIICI OELU SSIONE

GEOGPAFICHE GAUSS.gOAGA U f,M

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45c3600"

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8'0000'

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8'00'm"

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1421 53

1 424452

1 421981

1428349

5050008

5049930

5044453

5044375

422004

428501

421939

428144

5050187

505010

5044632

5044555

96

Fig.2.43 Estratto i unasezionenscala1 1 .000





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F*q..tPROVINCIA DI TOFINO

CARÍA fECNìCAEbrenlo n' l55O€2

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Fi1.2.44 Elementonscala :5.000

07




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S c a l a 1 : 2 . 0 0 0?0 o 10 30 160 2m

RÀPPRESENIAZIONÉ ONFORMTDI GAUSSBOAGA

Ahim6Ùta tlért3 at hvelto madio det tuaG (hareog.dlo dt Genova)

Equtdtstanza tta le cutva ú tvatjo: mèt1 2

MOD!LO OI D€FORMAZIONE LIN€ARE ].OOOOO'6

R TIRME NII DE L RE I1COLA IO CA IA S IA LE- a1 mary)De

- útena logro +

:1 4:)

98

Fig.2.45 Estrattoi mappanscala :2.000




CaPitolo2

ELEMENTIDI CARTOGRAFIA

REGIOf\EIEMON.IE

PROVNqA I ORINO

fficwrc tx

tìIVOLICA,ìTAECNICA UMERICA

MAPPA 155112F

Sc{A 1: 0ú

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QUADRO 'UNIONE-q l tli ' - - ! l l

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Fig.2.a6 Estrattoi mappan scala :1'000

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Mffiii+lb-t - -

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99





Correzionin metri a aggiungerellecoordinateeipuntinella appresentazioneauss-Boaga Roma 940), erottenereecoordinateegli tessi unti elsistema TMED50.

Foglion o

CoordinataORD Coord inata ST Foglion o

Soordinata ORD Ooordinata ST

fuso32 fuso33 fuso32 fuso33 iuso32 fuso33 fuso32 fuso331 +171 -999948 404 1 6 9 934

1 A 171 +167 949 -201 936 408 1 6 9 9342 175 945 41 +1 1 -999946

J 1 7 4 946 42 1 8 0 9464 173 947 43 179 945

4A 173 948 44 179 94548 1 7 2 168 949 93 6 45 178 9454C 1 6 8 936 46 178 9455 179 944 47 178 946

5A 179 944 48 1 7 7 9476 178 945 49 1 7 7 947

1 7 7 94 5 50 1 7 7 9488 176 945 5 1 176 + 1 7 2 948 -201 935o 175 94e 52 171 9351 0 175 941 53 171 93 51 1 1 7 4 948 534 17 C oaR

1 2 174 1 6 9 948 oaÀ 53 8 17 0 93 51 3 1 6 9 53C 170 93 51 4 1 6 9 934 54 82 947

144 1 6 8 934 55 81 9463269 167 oae 56 80 946

1 5 17 9 944 80 9451 6 179 944 58 80 9451 7 178 944 59 7A 94 5

1 8 1 7 7 945 60 t v 9461 9 1 7 7 946 61 I V 94620 t / o 946 62 t ó 94721 175 947 63 78 94722 175 948 64 78 94 823 175 170 948 935 65 77 173 949 93624 17 0 93 4 654 1 7 2 93625 17 0 934 658 171 YJO

26 1 6 9 933 bb 182 947264 1 6 8 933 O T 182 94€27 1 8 1 945 68 1 8 1 94e28 1 8 1 945 69 1 8 1 94529 1 8 0 945 1 8 1 945

30 179 945 71 1 8 C 94e. t l 179 94 5 72 1 8 C 94€32 178 945

'7e1 8 C 94€

33 178 945 74 180 94734 1 7 7 946 75 I J 94735 1 7 7 94 6 7^ 179 948EA 176 947 77 179 175 948 93637 176 948 774 174 Y JO

38 176 171 948 935 778 173 oaA

39 171 oe6 78 1 8 3 94 740 170 934 '7 0 82 947

1 0 0



Y



Foglion o

Coordinata ORD Coordinata ST Foglion o

Coordinata ORD Coordinata ST

fuso32 fuso33 fuso32 fuso33 fuso32 fuso33 fuso32 fuso33

80 1 8 1 946 130 1 8 5 1 8 0 949 93€81 1 8 1 946 1 3 1 1 8 1 93€82 1 8 1 946 132 1 8 1 oa t

83 1 8 1 946 133 1 8 1 93€84 + 1 1 -999946 134 182 94 C85 ' t 81 946 1 3 5 185 94886 1 8 1 947 1 3 6 1 8 5 94887 1 8 1 948 137 1 8 5 1 8 1 949 93€88 1 8 0 948 1 3 8 +1 1 -201 93 689 1 8 0 +17e 949 -201 93€ 1 3 9 182 93790 182 947 140 182 93 891 182 947 14'l 1 8 3 94 092 1 8 1 946 1 4 2 +186 -999948

93 1 8 1 946 143 1 8 6 182 949 93694 1 8 1 946 144 182 93 795 1 8 1 946 1 4 5 1 8 3 93896 1 8 1 946 ' t46 1 8 3 938o7 1 8 1 946 147 184 94 098 1 8 1 947 148 184 94 099 1 8 1 948 149 187 1 8 3 949 93 6100 8 1 1 7 7 949 936 150 1 8 3 9371 0 1 1 7 7 93 6 1 5 1 18 4 938102 82 947 152 1 8 4 938103 8 1 947 1 5 3 1 8 5 939104 82 947 154 185 94n105 óz 948 1 5 5 1 8 5 941

106 82 948 1 5 6 1 8 5 940107 82 94 8 157 1 8 5 940108 82 1 7 7 949 936 158 184 937109 178 936 1 5 9 1 8 5 9381 1 0 1 7 7 93 7 161 r85 9391 1 1 1 8 3 948 162 1 8 5 940112 1 8 4 94€ 1 6 3 1 8 5 9411 1 3 1 8 3 94S 164 1 8 5 9411 1 4 1 8 3 94€ 1 6 5 186 9411 1 5 1 8 3 178 94 8 93€ 1 6 6 n .d . n.d .1 1 6 178 93€ 167 n.d. n.d .117 178 93 7 1 6 8 n .d . n.d .1 1 8 178 93 € 1 6 9 n .d . n.d.

1 1 9 18 4 94 8 170 1 8 6 93 8120 1 8 4 949 171 186 938121 1 8 4 948 172 1 8 6 939122 1 8 4 179 949 936 17 3 1 8 6 940123 179 vó b 174 186 940124 1 8 0 93 8 1 7 5 186 941125 1 8 0 939 176 186 941126 184 948 1 7 7 1 8 6 942127 184 948 17 8 187 942128 1 8 4 948 179 n.d . n.d.129 1 8 4 948 1 8 0 n .d . n.d.

1 0 1



Foglion o

CoordinataORD Coordinata ST Foglion o

Coordinata ORD Coordinata ST

fuso32 fuso33 fuso32 fuso33 fuso32 fuso33 fuso32 fuso331 8 1 n .d . n.o. 231 1 8 5 94 4182 n.o. 232 n.d. n .d .183 187 938 233 n.d. n .d .184 1 8 6 939 234 n.d. n.d .1 8 5 1 8 6 940 235 n.d. n .d .1 8 6 1 8 6 941 236 187 944187 1 8 6 941 237 1 8 6 94 51 8 8 1 8 6 941 238 1 8 6 9451 8 9 187 942 239 n .d . n .d .1 9 0 187 942 240 n.d . n .d .1 9 1 1 8 8 941 241 1 8 8 945192 n .d . n .d . 242 187 945193 n .d . n .d . 243 1 8 6 946194 n .d . n .d . 244 1 9 0 9421 9 5 n .d . n .d . 245 1 8 9 94 5196 187 93 9 246 1 8 8 946197 187 940 247 1 8 8 946198 187 942 248 1 9 5 oaq

199 1 8 6 942 249 1 9 5 93 7200 1 8 6 942 250 +1 5 -201 938241 1 8 6 942 251 194 94 0242 187 941 252 942203 1 8 8 941 253 1 9 1 944204 +1 9 -201994C 254 1 9 C 94 6205 n .d . n.o. 255 1 9 C 94 6206 n .d , n.o. 256 197 93 4207 n .o . n.d. 257 197 oaE

208 n .o . n.d. 258 1 9 6 937249 187 942 259 93 9210 187 943 260 I Y : 94121 1 1 8 6 942 261 194 942212 186 943 262 1 9 3 944213 1 8 8 94C 263 1 9 1 94 6214 1 8 9 94C 264 1 9 1 94 6215 1 9 0 939 265 1 9 8 93 6216 n .d . n.o . 266 197 93 82 1 7 n.d . n .o . 267 1 9 6 94 0218 n .d . n.o . 268 1 9 5 941219 n.o . n .o . 269 1 9 5 942220

1 8 6 943 270 1 9 5 942221 1 8 6 943 271 1 9 € 940222 1 8 6 943 272 1 9 5 942223 1 8 6 943 273 1 9 5 94 3224 n.d. n .d . 274 19 4 94 3225 n.d . n .d . 275 1 9 5 94 3226 n.d . n .d . 276 1 9 5 94 3227 n .d . n.d . 277 194 94 3228 1 8 6 943229 1 8 6 943230 1 8 6 944



102




Capitolo 3CENNIDI STATISTICA

CapitoloCENNI ISTATISTICA

3. PROBABILITA DEFINIZIONI

La teoriadelleprobabilità una scienzamatematicahe studia a regolarità eglieventi asuali aleatori. i diceche un eventoè aleatorio e, durante n esperimentoripetuto iùvolte, 'evento i verifica gnivolta n manieraeggermenteiversa allaprecedente.Se ad esempio onsideriamoomeesperimentol lancio i un dadoe comeevento,lrisultatoel ancio, oteremohe ripetendo iùvolte l lancio,l ri sultato arierà n modoaleatorio. ueste ariazionionodovute ll'azione i tanti attori, voltapoco mportantio anche mpercettibili,he intervengonod ogni ancio, omead esempio'impulsoiniziale,l movimentoell 'aria,a rugositàelpiano ove ade, cc..La conclusione che,pur ripetendoempre li stessigesti quindi enzabarare),risultatiell 'esperimentolancio eldado" aranno empre iversira oro.Queste ariazioni ono dovutealla presenza i fattorisecondari, he influenzanolrisultatoel 'esperimento.Risulta uindi vidente he utti problemi perimentalionpotranno ssere isoltinmodo"deterministico"ediante metodiclassicidelle scienzeesatte,ma bisognerà

introdurre uovi concettiche possiamodefiniregenericamenteome "teoriadelleprobabilità".

103




3.1. PROBABILITALASSICA

La definizionelassica i probabilitàisale l XVll secolo d è dovuta Laplace;poistata ipresa el1910 a Pierce si puòenunciarenquestomodo:

laprobabilità

P(A)di un eventoA è il rapporto ra il numeroN di casi"favorevoli" cioè lmanifestarsi i A) e il numeroM deicasi "possibili" mutuamente scludentesi.N Ip(n)= t1lM

Questaprobabilità anchedettaprobabilità priori. l motivo ell'appellativoa priori"deriva dal fatto che è possibile timare a probabilità i un eventoa partiredallasimmetriaelproblema.Ad esempio, elcasodel dadoavremo he a probabilitài ottenere a un lancio l 3saràparia:h,^\ casifavorevoli1r t v , -

casipossibi l i 6

Analogamente,elcasodi unapuntata ul colore ossoallaroulettea probabilitài. 18vincere paria

U=0,486 cioècirca l 49% infattinumeri ossi ono18su un otale

di 37,essendociltre i 18 numeri eri, ncheo zero heè verde).

Per chiarireancora l concetto i probabilità, pplicato i giochid'azzardo, ediamocomeesempiol SuperEnalotto.Bastagiocare ei numericompresira 1 e 90 e confrontarlion la combinazionevincente,omposta a 6 + 1 numeri stratti. i vince ndovinando, S+jolly, , 4 o 3numeri stratti.Per regolamentoi possono ffettuare iocate ingole minimo ) di sei numerio

sistemi heprevedano

a un minimoOiZ, .O nmassimo i20 numeri orrispondenti:persette umeri ombinati seia sei= |

'.)=,giocate;

\ o // rn\

per enti umeriombinatiseia sei=[ f J=

Sa.Z00iocate.

ll numerodeicasipossibili,seon nteìesia'ordineiestrazioneeinumeri,pari lnumeroelle ombinazionii90elementiresi eia sei:

90 89 88 87 .8685= 622.614.630ombinazioniossibili

1 .2 -3 .45 .6ll numero ei casi avorevoliè aturalmentea vincita tessa quindi1

Laprobabilitài vincere onun 6 è quindi i ^=+ ^ (auguril).622.614.630

Peravere a certezza i vincere on5 numeri iù l ollydobbiamoonsiderarehe lnumero eicasi avorevoliumenta a unoa seipoiché i possonobagliarenoallavolta seinumerimasono ostituibilion ljolly; aprobabilitài centrarel5+jolly

quindi: =: --=--)- (sempreanti uguril). 622.614.63003.769.10sPer ealtre incite ivuole empreanta ortuna iùcheunavalutazionetatistica.

L'estensioneal caso di eventi con risultati continui si attua attraversounarappresentazioneeometricancui aprobabilitàell 'eventoasuale datadal apporto

tra 'area avorevolell'evento I'areaotale eglieventi ossibili.

104

Capitolo3CENNIDI STATISTICA

b-.




CapitoloCENNIDISTATISTICA

Ad esempio, upponiamohe un bambino ancidei sassicontrouna parete oratasenza renderea mirae che forisullaparete ianodistribuiti caso.Persemplicitàsupponiamonche he sassi ianomolto iccoliispetto i ori.

Qualearà aprobabilità che

un sassopassi

dall'altraarte?

Se "A"è I'area ellaparete "a" 'area i ciascuno ei "k" ori, a probabilitàhe unsasso assi aràdatadall'areaavorevoleivisa 'areaotale:o -ka

ASi noti bene che questadefinizione ggettiva i probabilità iventadi difficileapplicazioneellenumerose ituazionin cui la densità i probabilitàon può piùessere onsiderataniforme,vvero uando engonomeno e condizionii simmetria.Ad esempio, elcasodel bambino he ancia sassi ontrol muro, uòverificarsiheledimensioniei orivarino alcentro erso bordi elmuroe che l bambino erchi imirare l centro.

3.2, PROBABILITAMPIRICA

La definizionei probabilitàmpirica dovutaargamente R. Von Misesed è ladefinizione perimentale i probabilità ome limitedella frequenzamisurabilen unaserie i esperimenti.Essa ricalca a definizione lassica, ntroducendoerò un'importanteariazione,sostituendol rapportonumero as i avorevoli"u "numero i casipossibili"l rapporto"numero i esperimentiffettuati on esito avorevole"u 'humerocomplessivo iesperimentiffettuati".l l vantaggioi questamodifica chequesta efinizionei applica enza ifficoltàncheai casi n cui la densità i probabilitàon sia uniforme, wero,per quanto iguardaesperimention risultati iscreti, onè necessariopecificarehe risultati ebbanoessere gualmenteossibili mutuamentescludentesi.La probabilitàmpirica "probabilitàposteriori"i un evento definita ome l l imitecui endea requenzaelativa i successoll'aumentareelnumero i prove.In pratica, e ripetiamo n esperimentom"volteed un certo isultatoA"si presenta"n" volte, a probabilitài "A" è datadal imite ella requenza /mquando m" tendeall' infinito:

nP(A)=l im- l2l

m+_ lî

Gli m tentativi ossono ssereeffettuati ia ripetendon sequenzam volte o stessoesperimentoiamisurandoimultaneamenteesperimentidentici.

L'insiemeeglim tentativi rendel nomedi gruppo.Esistonolcune elicate uestioniiguardo'esistenzail significatoel imite resentenella efinizionei probabilitàmpirica:

F la probabilitàosìdefinita onè unaproprietàolodell'esperimento,a è anchefunzione el particolareruppo u cuivienecalcolata. d esempioa probabilitàisoprawivenza d unacertaetà,calcolata u diversi ampioni i popolazione cuiuna stessa personaappartiene maschi, emmine, umatori,non fumatori,deltaplanisti,cc.), isulterà iversa;

F la probabilità mpirica i può rigorosamentepplicare oltantoagli esperimentiripetibili,er quali l l imite, er m tendente ll ' infinito,a significato.i deducequindiche moltesituazioni ellavita quotidiana,on sonosoggette ll 'usodi

questadefinizione i probabilità,d esempio l risultato i una paftitadi calcio,quello i una ouletteussa iltempo tmosfericoi domani.

10 5



-



Inoltre, er venire ncontro d una necessità perativa, uasi utti sono concordine ldefinirea probabilitàome l valore ella requenzaelativa i successou un numerodi prove non necessariamenteendenteall ' infinito, a giudicato ufficientementegrande.Ad esempio,e si ancia namoneta on ruccata,a requenzai croci oponumerosilancisi assesteràn generale ul 50%.Tuttavia, nchese estremamentemprobabile,esistea possibilitàheperun certonumero i lanci onsecutivii presenti empreastessaaccia. questoldifettoogico ella efinizionerequentista.

3.3. PROBABILITASSIOMATICA

Ladefinizioneellaprobabilità atematicadovuta Kolmogorov.iaS un nsiemedi possibi l iisul tat i i d i un esperimento = {Ar,Az, As,. . . . } .Se al i event i onomutuamente scludentesi lloraper ognunodi essi esisterà na probabilità(Ai),

rappresentataa unnumeroeale, hesoddisfaseguenti ssiomi:l. p(Ai) 0;ll . se, come potizzato,r e Azsonoeventimutuamentescludentesi,llora eve

valereche: p(41oppureAz)= p(Ar)+ p(A2) ove p(Ar)è la probabilitàiottenere r e p(Az) la probabilitài ottenere z;

ll l. Xp(Ai)= 1, dove la sommatoria estesaa tutti gli eventi mutuamenteescludentesi.

Leconseguenzeei reassiomi ono:F la probabilitài non ottenere'evento ;è uguale ll 'unitàmeno a probabilitài

ottenerlo;

> p(Ai)< 1 cioè a probabilità un numero ealeappartenentell ' intervallo0,1]; npratica:0 < p(Ai) < '1dove 1 rappresentaa cerlezzadi ottenere 'evento t e 0quella i nonottenerlo.

Diseguito lcune sservazioni:F la definizionei probabilità atematicauò essereestesa enzaproblemi lle

variabiliontinue;D gli assiomillustrati le loroconseguenzeonosufficienti farequalsiasionto,

anche complicato, i probabilità ad ottenereun risultatonumerico orretto.D'altra arteessinondicono iente u cosasia a probabilità qualesia a suanatura:per questosi vedano e definizioni i probabilitàlassica, robabilitàempirica probabilitàoggettiva;

F tutte e definizioni i probabilitàoddisfanoe condizioni spresse a questiassiomi.

3.4. PROBABILITAOGGETTIVA

Laconcezioneoggettivistaellaprobabilitàortaad unadefinizionehe si potrebbeformulareelmodo eguente:la probabilitàdi un evento A è la misuradel gradodi fiduciache un individuocoerenteattribuisce, econdo e sue nformazioni opinioni,all'awerarsidi A.l l campo i applicabilitài questa efinizionemolto asto; ccorre ggiungerehe a"coerenza"ignificaa corretta pplicazioneellenorme i calcolo che a misura elgradodi fiducia, ioè la valutazione i probabilità,iene atta sull ' intervallo0,1)

106





attribuendoa probabilità all'eventompossibile 1 a quello erto.Circa l fattoche avalutazioneia qui un atto soggettivo, oltosi potrebbe ire; nteressa sservare hesoggettivo on significa rbitrario.Di fatto,appenavi sianopremesse ufficienti,e

valutazionindividualioncordanoerquanti ianonteressatil medesimoroblema.Facciamo n esempio:Pippoè disposto scommettere contro20 sul fattoche nelpomeriggio rrivi inalmente'idraulico riparare l rubinetto he perde da unasettimana;ttribuisceioèa taleevento naprobabilitàar iad 1121meno el 5%).E' comese ci trovassimo d effettuare n sorteggio a un'urna on 1 pallina ossa(evento ositivo= arrivodell'idraulico) 20 pallinenere (eventinegativi= ?sserìZ?dell' idraulico).Ricapitolando:ippo sta implicitamenteando una valutazione iverificarsiell'eventoositivo arrivo ell'idraulico.Perquanto l dominiodellaprobabilità oggettiva ppaia ncertoe arbitrario, ale lapena i osservarehe proprio uesta la definizionei probabilità cui più spessoricorriamo elle nostreconsiderazioniuotidiane"domani ioverà, questavolta

passerò'esame",cc.).

3.5.TEOREMA ELLAPROBABILITAOTALE

Dimostriamouestoeorema, anche l seguente,ell ' ipotesiemplificativaheglieventi iano ra loro indipendenti,ioè che il verificarsi i un eventonon alteri aprobabilitài verificarsiell 'altro.a nozione i indipendenzauòessere stesa unnumero ualsiasi i eventi.Più eventisi diconomutuamentendipendentiuandonessunoi essidipende a tuttiglialtri.Dimostriamouestoeorema onun esempiopratico.Supponiamoi avere n'urna ontenente palline i vario olore adesempio: gialle,

4 bianche, verdi, rosse, nere) di estrarne na.L'eventoE) estrazione i una pallina all 'urna uò presentarsiottovariemodalitàindipendenti:1 giallo), 2 bianca), s verde), 4 rosso), s nero).Nell'esempio:

al

b!ancaneragiallarOSSA

verdétóiaté

probabititài ,Pb= 4/19 lPr = 5/18 lPs= 4!18P' = 3/18

Pu= 2118 i

n o

4543

2i8

In basea quantoenunciaton precedenzaossiamo eterminarea probabilitàeisingoli ventiEr,E2,....E,on a relazione:

Pn=no al le ia l le

P o =n 'pa l leb ianche

n"palleotali n'palle otaliSe consideriamoome evento avorevoleE) I'estrazionei una pallabianca o neraindifferentemente, aremo n grado anche di associarea probabilità i uscitadi

questo vento empre pplicandoe regole iàviste:

ro7




n obianche 4nere 5gial le 4rosse 3verdi 2

totale 18

probabilitàPn= 4118Pn= 5/18Ps= 4118P'= 3/18P' = 2118

n obianche 6nere 4gialle '1

rosse 2verdi 2

totale 15

Capitolo3CENNIDISTATISTICA

probabilitàRo= 6/15Rn= 4/15Rs= 1/15R,= 2115Ru= 2115

P e =no as i avorevolino asipossibi l i

Generalizzandouest'ultimo aso deriveremommediatamentel teoremadella

probabilitàotale:quando un evento E si può presentare otto modalitàdiverse,indipendentira loro,Erdi probabilità l, Ez di probabilità z,Endi probabilità n,la probabilità ell 'evento è datodallasommadelleprobabilità orrispondenti.PE Pr+ P2 . . . . . . . . n t3 I

3.6. TEOREMA ELLAPROBABILITAOMPOSTA

Secondo'ipotesiattanelparagrafo recedente,imostriamonchequesto eoremaconun esempio. upponiamoheun eventoE possa isultarealconcorsoimultaneoo successivoi dueo piùeventi 1, 2,.....E,i probabilitàpr,2,....p,.Ad esempio, vendo disposizioneue urnedi composizioneota, ontenentialline

di variocolore, onsideriamo vento avorevole'uscita ontemporaneai due pallinebianche a unasingola strazionealle ueurne.

n' pal lebianche n' pal lenere_ D rDn. palle otati

= rb t rn

La probabilitàssociata ll'eventoavorevole (estrazionei duepallebianche, nadaciascuna rna) uòessere alcolatanbasealla 1]:

n"casi favorevoli= noassociazionii unapallabianca ellaprimaurna 4)con unapalla ianca ella econda rna 6)= 4 x 6.n" casipossibili= noassociazionii unapalla ella rima rna 1 ) conunapalla ella

secondarna 15) 18x 15.

Laprobabilitàell 'evento saràquindi: .=no as i avorevoli 4xG 4 6

PoRono as i oss ib i l i 18x15 18 15

Generalizzando,erivammediatamentel eorema ella robabilitàomposta:quandoun eventoE risultadal concorsosimultaneo successivo i due o piùeventiE1di probabilitàPr Ez di probabilità 2,En di probabilità n, ndipendentilra loro, la probabilità dell'evento E è data dal prodotto delle probabilitàcorrispondenti:

Pe= PrPz . . . . . . . . n t4 l

108

urnan" 1 urnan"2

b,-.





4D

' reg lneI regina

-

40"r_

L'insieme egli ndividui il'attributo , nquestomodo:

l 'x. "x^ .... .x-x { t . o r l

LF, , F. . . . . .F.

Unsecondo sempio uòchiarire ncorameglio uestoeorema:se 'evento consiste ell 'estrazionei una egina a unmazzo i 40carte I'eventonell'estrazione

el"seme"

iquadri,

vremo he I'eventoestrazione

i una regina iquadri" a un mazzo i 40 carteavràprobabilità:41

P reginadiquadri404E la conferma i quanto apevamo ià a priorie cioèche a probabilitài estrarre na

determinataartada un mazzodi 0carteè paria'l

' 40

Applicheremouesto mportanteeorema utte e volteche gl i eventisaranno ra loroindipendentiesempio: isura ipetuta i un angolo), che conterà nche 'ordine oncui si presenterannorisultatinello tessoesempio:a sequenza ei risultati ellemisure).

3.7. VARIABILI TATISTICHECASUALI EMPLICI

Dopo le definizioni lementari i "probabilità",ediamoadesso le principaliapplicazioniel campodella statistica".a terminologiaomunementedottata laseguente:

D popolazione: è un insieme ben definito di individuiognuno dei quali ècaralterizzato a un attributoX (ad esempio 'allezza)che può assumere aloridiversi;

F individui: ono soggetti ell ' indaginetatistica;F attributo:è unacaratteristicaegli ndividuihevieneanalizzalatatisticamente;

F valoreargomentale: la misura ell 'attributo.Studiare na popolazioneal puntodi vistastatistico ignifica saminare ome sidistribuisconoli individui l proprionterno. er poter aggiungereuestoscopoènecessariohesiverifichinoeseguentiondizioni:

D ciascunndividuoevepossederen solo alore rgomentaleell 'attributo;> più ndividuiossono vereostesso alore rgomentaleell 'attributo;F I'attributoeveessere resente,ondiversi alori rgomentali,n tuttigli ndividui

della opolazione;D devonoesistere lmenodue individui ellapopolazionen possesso i valori

argomentaliiversi.una popolazione ossono

essereclassificati,econdo

Dove Fi è la frequenza ssoluta el l 'evento ;, cioè il numerodi individui ellapopolazione arallerizzali al valore Xi ed n è il numero delle forme diversedell'attributo.n pratica, navariabiletatistica il risultatoi unaclassificazione, piùingenerale,i un esperimentooncluson se stesso, ioèoperato u unapopolazionetotalmenteota.L'argomento puòassumere un numeroinito i forme, n tal casoè dettodiscreto,

oppurepuò presentarsion un numero nfinito i forme, utteperò contenute oncontinuitànun ntervalloimitatoa-b)ed llora detto itipocontinuo.

D - 1."r"I cuadri ll ' seml

1= -40

,l

Ii =t't t5l

109





Nellapraticaperò,avremo emprea che farecon argomenti i tipo discreto, iacchétutti risultati ellemisure, ersensibilehesia o strumentotil izzato, sempre naserie iscreta,nche e numerosa,ivalori umericihedifferisconora orodiquantitàfinite.Perora prendiamon considerazioneolo a successioneei valori rgomentali

discreti i X.Nellaprima igadella 5]sono ndicativalori rgomentali,entre ella econda onoriportati valoridellenumerosità;degli ndividuiellapopolazionehepossiedonolrispettivoaloreargomentale.Lequantità 1 i chiamanorequenzessoluteella opolazione.ConN si ndical numerootale eglindividuiella opolazione.

Un altro ipo di rappresentazionenalitica i ottiene alla 5] sostituendolle requenzeassolute valori i = FilNdelte requenzeelative.

xfx,x, Xr. . . . . .Xnl f , f 2 f . . . . . . . . f n I f , =t

Le sommatorieiportate ella 5]e nella 6]nonsono nutil i ggiunte, a esprimonoagaranzia he la popolazioneia stata analizzataer interoe che tutti i suoi ndividuisianosinteticamenteappresentatin X.La X rappresentataalla 5] o dalla 6] prende l nomedi variabilestatisticaa unadimensione.In alcuni asi,percomodità,'analisi i unapopolazioneuòessere attausando onpiù singoli aloriargomentaliell'attributo,adelle lassi di opportuna mpiezza.Ad esempio i può determinarel numero i individuil cui valoreargomentaleiacompresora Xi e Xj estreminclusi, associare llaclasseX;l---lX;alenumero, heverràquindi hiamatorequenza ssoluta ella lasse.Ogni lasse arà noltre ontraddistintaa unvaloremedio puntomedio ella lasse

da due imiti i classe hegeneralmenteoncoincidonoon datiosservati.La variabilestatisticaX si può rappresentaren svariate orme grafichechiamateistogrammi, til izzandoemplicementee funzioni i un foglioelettronico. uesterappresentazionionoanchemolto iùefficaciispetto lladoppia erie i numeri istaprima.L'esempio ella Fig. 3.1 riporta a variabile tatistica i una popolazioneesaminata econdo'attributo llezza suddivisanclassi i ampiezza i 4 cm.

llra l20

1 5

164- ' f68 168-172 172-176 176-180 180-184

Ateze suddivise in classi di 4 cm

Fig.3.1 Possibiliappresentazionii unavariabiletatistica

Se invece elle requenze ssolute,ostruiamo'istogrammatilizzandoe frequenzerelative, 'area acchiusa all'istogrammatessosarà pari all'unità in questocasoparleremo i istogrammaormalizzalo.

Si definisce unzione cumulativa di frequenza o funzionedi distribuzionedella

variabiletatistica laseguenteoppia uccessionencorrispondenzaiunivoca:

1 1 0

t6l

164-1 8

6%

ooÈo

Ili

Clasd in %




I x , x2 x ,I

C t \ ^ \ n + F 2 \ + F 2 + . . . + F nI N ' N " N


17l

cioè una variabile tatistica vente medesimi aloriargomentali ella variabilestatistican esamee frequenzeelative ar iallasommadelle requenzeelative i tuttivalori rgomentali inori uguali quellonesame.Si dice diagrammacumulativodelle frequenzeo diagrammadi distribuzioneI'istogrammaella unzioneumulativai frequenza.

17G180 18G184

Fig.3.2 Diagrammaumulativoi requenza

Nellaseriedi valoriargomentalie ne sono alcunidi particolaremportanzaer ladescrizioneella ariabiletatisticacuiessisi riferiscono.Quando a variabile tatistica rappresentataella orma[5] si possonodefinire eseguentiaratteristiche:

ugual i .

Esercizio volto sullavariabile tatistica:consideriamoavariabile tatistica cherappresenta'attributoallezza"espressancm)degli ndividuii unapopolazione:v J l55 - 5 i 157r59 159-161 6 l -163 163- t65 165-167167- t69 169- t ' n t ' 71 - t ' 73 73-175

1 2 7 2 2 1 3 4 4 3 6 3 2 1 3 2 1 1 0nella rima iga roviamo valori rgomentaliincm) che descrivonoa popolazionementre ella econdaroviamoe requenzessolute i.F La sommatoriaelle requenzessoluteappresental numerootale i individuihe

compongonoapopolazione:=ìoF le frequenzeelative a associare ciascuna lasse i otterrannoome apportora

frequenzassoluta il numerootale i individuihe compongonoa popolazione:t : = r

F l'ampiezza xidegli ntervalliomedifferenzara il valore imite uperiore quelloinferiorei ciascunaclasseinquesto aso 'ampiezzauguale ertuttigl i ntervalliepar i 2cm) ;

F ledensità i requenza,wero eordinate egli stogrammi,=t;' À{,

D i valori ella unzioneumulativai requ nza i=Zf r .fr=l

1,000,900,80o,700,600,500,400,300,200 , 1 0

0,00

l l l




classe limite limiteinferiore uperiore

1 155

2 1573 1594 1615 1636 1657 167I 1699 17110 173

157 156

159 158161 160163 162165 164167 166169 168171 170173 172175 174

f equenzeassolute

Fi2

72213443632132110

N=200

frequenzerelative

f i0,01

0,030,110,060,220 ,180 ,160,070 ,110,051 ,00

allezzabarraistogramma

hi0,005

0,0180,0550,0330,1100,0900,0900,0330,0530,025


f equenzecumulate

Gi0,01

0,050,16O,220,440,620,780,850,95

1

Ximedio

ISTOGRAf'llìlA

0 ,1200 ,1000,t180

h i 0 , 0 6 [

0,0400,0200,tuu

t 5 E 1 5 8 1 6 01 6 21 6 4 1 6 61 E E 7 [1 7 21 - t 4valori rgomental i

diagrammaumulativoi requenza

oÈ t,ooo:t

il o,so

156158160162164166168170172174

valoriargornentali

11 2

E--




Capitolo3CENNID ISTATISTICA

Per introdurrel concettodi variabilecasuale ad una dimensione ccorredefinirealcuniermini :

F evento aleatorio:si definisce leatorio n eventodi cui non si può prevederea

modalità on la qualesi presenteràes. 'uscita i un numeronel giocodellaroulette)estrazione caso: 'estrazionecasodi un individuoa unapopolazioneunevento leatorioacilmenteealizzabile.erché i abbiaunaeffettiva strazionecaso occorreche all'attodell'estrazioneutti gl i individui iano perfettamenteidentici che a modalitàell 'attohedetermina'estrazioneia mprevedibile.leggeempiricadel caso:quando i effettua n numero (grande piacere) iestrazioni a una popolazione ognivoltasi rimette 'individuostratto ellapopolazione,i constata he tuttii valoriargomentaliellapopolazioneonostatiestratti le requenzeelative ella ariabile tatisticaendono stabilizzarsi.

Nelcasodi fenomeni leatori on è maiprevedibilea modalità i uscitadi un singolo

evento,mentresi può quasi sempreottenere na buonaprevisione i come sidistribuirannorisultati i un grandenumero i estrazioni. i può affermare he unfenomenoleatorioarà onosciutouando arànota a suadistribuzione.Ad esempio:elgioco ella oulettei puòaffermarehenonsi haalcuna ossibilitàiprevisionei uscita el singolo umero che,dopoun grande umero i estrazioni,ciascunalore rgomentalenumero a 0 a 36)avràunafrequenzaelativa aria1137(se l tavolononè truccato).l gestore i un Casinò otràcontare uindi ul guadagnostatisticamenteertoparia 1/37dellegiocate orrispondentella requenzaelativa iuscita el numero ero. l giocatore otràcontarenvece oloed esclusivamenteulla. . . . . ropriaortuna.Scientificamentetecnicamentefenomeni leatori ono definiti uandoè nota a

distribuzionehe permette i prevedere risultati i numerose rove.La distribuzioneche definisce n fenomeno leatorio ienechiamatavariabile asuale.La variabilecasuale formalmentedentica d unavariabile tatistica:

fx, x. x, . . . . . .xX ]

I Z J '

f P ' P z P t " " " P ,fo,=,

Ognidefinizioneatae ogniproprietàistaper evariabili tatistícheevevalereancheper e variabiliasuali. asostanzialeifferenza di contenuto:ulla ariabileasualenumeripi associati i valori ; misurano n gradodi possibilitàprobabilità)he ilrisultatoell'esperimentobbia alore i.Nel asodella ariabiletatistical numerof egistravanvece, posteriori,olamentelfattochesu N ripetizionii eranoottenuti ; risultati i valore ;. La probabilità,egataallavariabile asuale, un enteaprioristicossiomatico, entre a frequenza,egataallavariabile tatistica, un indice he misura posteriori risultati i una ndaginestatistica.Dire heun evento aprobabilità.3ed l suocontrario.7significaheeffettuandongrande umero i estrazionii constateràhe a frequenzaelprimo enderà 0.3 equella elsecondo 0.7.All 'attodi ogni estrazione due eventisono ugualmentepossibili. ' intuizioneorta concluderehe 'individuoegato llamaggiorerobabilitàpossa ssere stratto iù acilmente. uesto verosolosu numerose strazioni entrenonha alcun ondamentoullasingola strazione.i può pertanto ffermare he laprobabilità i l l imite elle requenzeelative i unavariabileasuale on l numero iestrazionicaso he ende ll' infinito:, = l i f l l f , .

t8l

I 3





La definizionei unavariabile asuale semplice e I'evento leatorio effettivamenteun'estrazione caso da una popolazionei distribuzioneota; n questocaso lavariabile statistica, ottenuta facendo il censimento della popolazione,puòsemplicementeonvertirsin variabileasuale i previsione.' questol casodeigiochi

d'azzardoroulette,adi, estao croceed altri).In moltialtricasi a determinazioneellapopolazioneossibile onè così acilmentefattibile omead esempiol casodellemisure ipetute i una grandezzatopografica.nquesti asio si sfruttanorisultatimpirici ell 'esperienzappure,acendo elle potesi,si costruisce n modellomatematicohedovràessere uccessivamenteerificato airisultati ellemisure seguite.n questo asosi puòdireche a variabileasuale ilmodello atematicoi previsionei un enomenoleatorio.

Le variabili asuali he si incontranoeiproblemi tatisticiossono ssere iscretecontinue. elcasodi variabiliasuali iscrete,ualiquelle inora til izzate,ssesonocompletamenteescritte icendo he perogni la probabilità i ottenere = xi è pi , il

cheviene ndicato elseguente odo: (x= x) = pi.Perognivariabileasuale iscretasidefiniscena unzionei distribuzionecuivalori ono:

F(x , = p(x3 x , =Zp i i =1 ,2 , . . . ,n t9 ]

dove asommatoria estesa tutti valori iltali chex1s xi.La unzione i distribuzioneuna unzione gradini,ostantenogni ntervallohenoncontiene aloriargomentali-rche nogni r,haunoscatto i allezza i.

Per consentire na descrizioneiù "matematica" più "sintetica"i una variabilestatistica,i possono efinire calcolaremomenti.Si definiscemomento -esimo ispetto l polo d di una variabile tatistica una

dimensionea seguentespressione:-11- ,f f i k .e : / ,1x , -A)" , t10 ]

í='l

I momenti i unavariabile tatistica,alcolati ispetto d un particolarealoredel polo(adesempioo0) sono ufficientierdescrivereutte esuecaratteristicherincipali.I momenti iùs ignif icat iv iono seguenti :

nsr

f t t , n = > x , f ,2

n\ l ) ^

m n n = > x , f ,4

Dalla variabile tatisticaX sarà possibile nchederivareuna nuovavariabite tatisticascartoV avente a stessadistribuzione ella X e valori argomentali efinitidallaseguenteelazione:i=xi- tn j .oQuesta ariabile cartoV avrà o stessostogrammaellavariabile ma I'origine elleascisse oincideràon l valore ellamediam1,emedia ulla).Un parametro aratteristico fondamentale i questa nuovadistribuzione è ilmomento i secondo radoo varianzao2:

^ -r-,f f i2 ,n=" î= I ( " , - - , ' ) " f , t13 ]

r= 1

La radicequadratadella varianzaprende l nomedi scarto quadratico medio o

deviazione tandard:

tr4

momento i 1" grado media

momento i 2"gradoo valorequadraticomedio

[11 ]

Í121

LÈ.-





o=GT

Dalle efinizioniatederivanoeseguentiroprietà:1. La mediam è il valoredel polo per cui è minimo l valorequadraticomedio;proponiamoci i voler trovare l valoredi 0 per il quale è minima a funzione

-!_ .ff i2.0:)(x,

- Q)' ,deriviamoa funzione ispetto l lavariabi le e cerchiamo l valorei.=1

per cui talederivatai annul la: zi ! , - I ) f ,=0da cui ,=f*, f , valore hei=1 i= 1

coincideon a media ella opolazione.2. La mediam dellapopolazioneagliscartiè nulla; nfatti er a definizioneatadi

mediaisul ta:f i r , , fG, -*)f , =f* , f , - m=o

3.Tra tre ndici rima efinitiale a relazione:

ol = mr.o(x)-*?.r(t)

infatti viluppandolquadratoontenutoella efinizioneivarianzai ottiene:^ -f- , \^

tl t1 n

o? = I(", -*,,r)' f , =lxl 1,+ ' lf , -2mlx,f , = ffi2,0ml.ozml.o:m^o mî,0

[14 ]

[15 ]

Media varianza escrivono inteticamentea popolazione.

La media può essereconsideratal valorea cui tendono utti gl i individui ella

popolazionea ha un significato olto imitatonquanto icequasi ulla ulla trutturainterna ella ariabiletatistican esame.In molti asi,e in particolaren quelli he ci riguarderannoiù da vicino, llamediaviene eròattribuito n significatohe rascendel suosensodescrittivo.La media ieneutilizzalaomese fosse l valoreargomentaleosseduto nivocamenteda uttigl i ndividuiella opolazione.

Questo ignificatoelativo i mediaè d i usomolto requente elparlare omune. eresempio, gnivoltache si parladi consumomedioperabitante i un certoprodotto,talevaloremedionon vienecalcolaton vistadel consumatorehe nonsi sentepernulla appresentatoa tale numero, é tantomeno n vistadi una indagine ulla

distribuzionetatisticaeiconsumi, asolamentealpuntodi vistadellenecessítàiapprowigionamentoelprodotto.Inquesto ontesto on nteressaome l prodottoiene uddivisora diversindividui,masolo l consumomedio erogni ndividuo.gni olta hesi sente arlare i mediaimportanteverepresenti uesti ignificati saperli pplicare orrettamente.

La varianza ndica nvece a maggiore minoredispersioneegli ndividui ttornoalvalore ellamedia.Confrontandoue distribuzionihe hanno a stessamediae varianza iverse, i puònotareche gli individui ono più dispersi, ispettoal valore della media, nelladistribuziona varianzamaggiore.

1 1 5




CapítoloCENNIDISTATISTICA

Percomprendere eglio l significatoi mediae di varianza ensiamo d un'analogiameccanica. e le frequenze i una variabile tatistica engono istecome massedisposteungoun asse X e il valoreargomentaleomedístanza elle massestessedall'origine,a media, osìcomeè statadefinita,oincide on l baricentroi questosistema i masse vediFig.3.3).

iFig.3.3 Analogia eccanicaellamedia

Analogamentea varianzaappresenteràl momento 'inerziai un sistema elquale iinterpretinoe frequenze elativecome massee i valoriargomentali ellavariabilescarto associatacome distanzedal baricentro i tale sistema.Come noto dallameccanicaazionalel momento 'inerzia umenta ll 'aumentareella ispersioneellemasse ttorno l lorobaricentrolamedia) quindiavarianza propriamenten ndicedi dispersione ei valoriargomentali ttornoal valoredella mediadellavariabilestatistica.noltre icordandohe la sommadelle requenzeelative pariall'unità,avarianza appresental rotore,cioè quelladistanzadall'assedi rotazionen cui sipotrebbe oncentrareutta a massa ermantenerenvariatol momento 'inerzia.

Per e variabili asuali i definiscono,n analogia i formulazionedi significatoonquanto ppena ettoa proposito elle ariabili tatistiche,momenti.

Nella abella eguente ono iportatee formulazioninalitichei tal iquantità elcasodivariabiliasuali iscrete variabiliasuali ontinue:variabili asuali iscrete var iabi liasuali ontinue

m srm : ) x , D ,

4 I I It n = l x . î ( x ) d x

flì2\-a )

m . = ) x l D , 2 t ' r

t lf f i . = l x - . Í \ x ) d x

62

il) s - -

O - = > ( x ,L / ' I

r 2- m )P i

) | ) ^ ,o ' = l ( x - m ) - f ( x ) d x

3.8. LA DISUGUAGLIANZAITCHEBYCHEFF

Vogliamo imostrarehe la maggior artedegli ndividui i una distribuzione,onocontenuti ell ' intervall o + 3o e m - 3o qualunque ia la distribuzionen esame.Partiamoalla efinizioneivarianza:

2 s - l \ 2oi = L \x ,- * , .0 ) ' f corrispondente o1 = rÎ ,

avremo:

o1:uÎ ,+vîf ,+vtfr+" ' r l f ,

l l 6

b-_



v

G. COMOGLIOTOPOGRAFIACARTOGRAFIA

Capitolo3CENNIDISTATISTICA

fissiamo n valoredelloscartoyn compresora vr e vne poniamoazero tutti valoridegli cartinferiori uguali vn e uguali v_ uttigliscàrti uperiori:

o t r=^ r? f r * r3 f , + v '^ f . + v t^ * r . f ^ * , v ,^ * r f . * , + . . . . . . v : f , ,

î î î î î î ' "l l r t lo o o vl, v,. ,,,t,

Al la ucedi questa potesi, aràquindi:î 1 I

î ^ \o; >ví \J^u*. f , , ,*z+. . . .. . f , , )

La sommadei termini ra parentesi,efiniscea frequenzaelativa eqliscartichehanno n valore ssolutouperiore v,,,;ndichíamolaon ltermine .

- --

Poichéa sommadi tutte e frequenzeelative uguale 1, a frequenzaelativa egliscarti nferiori uguali v, (che ndichiamoon .) saràparia f. =1- f

.e quindi a

varianza aràparia:

o1>r?"(tf, )a a

O- > v; , -v ;J .

'Î,f. >

"^

- o1 aucui ossiamoicavarea requenzaelativaegli cart< a v,:.6 '

f.>l-+ e seponiamom .o*avremov;

Ladisuguaglianzasígnifícativaervalori i "> I

f . . t * ;> o,7s

f .>1_1-o,sq

Abbiamodimostrato uindiche in una distribuzionepopolazionei distribuirannottornoal valoredellapercentuali:

D il75/" degli ndividui aranno ontenuti ell ' intervailo + 2o) l'89"/o egli ndividuisarannocontenutinell'intervallom + 3o

f.>r-+n- [16 ]

per "= 2

per "= 3

v *= 2 O ,

V r r = 3 O ,

qualsiasi,gl i individui ellamedia secondo e seguenti

117





3.9. LA VARIABILE ASUALE ONTINUA

Unavariabile asuale i dirà continua e la sua unzionedi distribuzioneF(x)sarètovunque ontinua se la suaderivala '(x)= f (x) esisterà,aràpureessacontinua

nell' intervalloí definizioneella e ovunquemaggiore uguale zero.La unzione = f( X ) è nota omedensità i probabilità iX.LaFig.3.4 iporta nesempio i densità i probabilitàdi unzionei distribuzione.

Fig. .4 Densitài

X

probabilitàfunzionei distribuzione

La unzionedensità i probabilità"onè definita a singoli alori rgomentaliquindila probabilitài estrarre nparticolarealore è nullaper utte e-r.La probabilitànfinitesima p= f (x )dx rappresenta,nvece,la robabilitài estrarre nind viduo ell'ntervallonf nitesimox, +dx).Laprobabilitài estrarlo ell ' intervalloinitoA, rp] ell 'esempioi Fig.3.4,sarà nvece:

P(A<.r xo1=f,"

7{x )ctx

La "funzione i distribuzione"i può generare alla densità i probabilità"acendovariare 'individuo lungo utto l campodi definizioneella unzionenell'esempioiFig.3.4da A a + -) e calcolandouttigl i nfinitintegralihe esprimonoa densità iprobabilitàon a [17].lnoltre, oichéa densità i probabilitàella(x),su tutto l campodi definizione,eve

esserepariall 'unità[ ff -)dx=1, avremo he a funzione i distribuzionearàuna

curva sintotical valore .In questomodosarà moltosemplice alcolarea probabilitàhe un individuor siacompresonun ntervalloinito o nfinito)a,b]:

b

P(a< x 3b )= l f ( , ) dx=F(b ) - F (a )

+ 1

117l

[ 18 ]

'I

Fr

v=f (x )

v=f (x ) =F(x )

1 t 8



G. COMOGLIO CaoitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA CENNIDISTATISTICA

3.10. VARIABILE TATISTICA CASUALE DUEDIMENSIONI

Supponiamohe gl i individui i unapopolazioneianocarallerizzatia due attributiche possonoassumereormediverse ad esempioper ogni abitante i una città si

possono onsiderarel pesoe I'allezza).altezza

peso

I valori rgomentalissumonol significatoi coordinateell ' individuoell'ambitoellapopolazione.nalogamentequanto isto er a variabiletatisticadunadimensione,tutt i l i ndividuievono ssereaggruppatinclassi, gnuna elle uali caratterizzatada duevaloriargomentalii e yx ln ciascuna lasse aranno aggruppatiuttigl iindividuihehanno alori rgomentaliompresinun ntervallo*nell ' intornoi x ed nun ntervallo , nell'intornoiya.

altezza

nrî

- t - - T -t li - - T -

I l 'T---T-- L - I _

t l- t - - + -

t l

- î - -1-- lr t l

J;-1. r

-..|--1.-lI . l I

: t - - r -Jt t l

- r - - l - - lr t l

peso

l l risultato i un censimentoellapopolazioneonsiderandoue attributi uÒessereraccolton una abella doppia ntrata el ipodi quella uisotto appresentata.

distribuzioneondizionataellaYperx = x2

distribuzionemarginaledel la

distribuzionemarginaleellaY

distribuzionecondizionataellaPer)= )2

r- numerositàellapopolazione

Fig.3.5 Tabelfa doppia ntrata

Ogni r della abella appresentaa frequenza ssoluta egli ndividui aratterizzatiaivaforiargomentali1, 1, .l risultato i taleclassificazionei chiamadistribuzione duedimensioni.ell 'ultimaolonna ella abella i sono e somme elle requenze i ogniriga;questidati rappresentanoa distribuzionearginale ella cioè una variabilestatistica unadimensionehe definiscea distribuzioneell'attributosenza enereconto dei valori argomentali ssuntidall'attributo . Analogamente valori riportati

nell 'ultimaigadefinisconoa distribuzionearginale ell 'attributo, cioè a variabilestatisticamonodimensionalehe si sarebbe ttenuta ensendoa popolazioneei soli

vAlx= ' Y t r l ^-t xr

j t Ftt Fzt Fst F,t l7l 1

yl Ftz Ft't Fsz F,r -t1T-

Y3 F t s Fzs Fss Frs m3

, /s Ft, Fz, Fs, F,, ms

n l n2 n3 nr N

u9





riguardi ell 'attributo. Owiamente,a sommadei valoridell 'ultimaigao dell 'ultimacolonna, ,è parial numerootale i ndividui.Una generica iga della tabellaè una distribuzioneondizionata ella X, cioèrappresental modo n cuisi distribuisce'attributo tragli ndividuiellapopolazione

caralterizzatia un unicovaloredell'attributo . Analogamentena generica olonnarappresentaadistribuzioneondizionataell 'attributo.Ai valori elle requenzessolute,ossono ssere ostituitee requenzeelative. ellecaselledella abellaa doppiaentratapossono sserescritte e frequenze elaliveil,ottenute ividendoe frequenze ssolute p per l numerootaleN di individui ellapopolazione.

Perotteneree frequenzeelativete v delledistribuzioniarginali,numeri ell 'ultimacolonna quellidell 'ultimaigavannodivisianch'essi er l numeroN e si ottienenparticolarehe:

s ì ^U, .= ) 1.,.

Inoltreisulta videntehe:

S - f - t - rL / r J i A

_ '

; ; distribuzioneduedimensioni,y vatgonoeseguentielazioni:

il momento i primo rado mediadellaX:\ - \ - r - \ - . . \ ' r - \ - - ,mt \x )= L L x iJ i r =

/ , r i /_J i r =LX,v ,

i = l À = l i =l

momento i 2" grado valorequadraticomediodellaX:r , t r s r

m,(x)t I x?n=lxilf ,r=L"?r,i= l t= l i= l

lavarianzadellaX:r , t r s t

o, =F F {* , m, (x ) )2 . f ,L (x , -m, (x ) ) : l f , *= f t r , -m, (x ) t :v ,. \ a L r t K a \ t

i =l t= l i= t À= 1 i= l

Analoghe elazioni i possono icavare er la variabileY. Comesi può notare, e trestatistichei unadelle ariabili i unadistribuzioneduedimensionioincidonoon eanaloghetatistichealcolatenbasealledistribuzioniarginali.

v,=í [20]

l21l

[23]

l24l

l22l

vA /x= Xl Y r X3

lt .f t fzt Jtt .Ir l ilt

Y) .f z .fzz .fsz .f,z Fz!s fi : .fzs .fss .f,s ilt

_/s fr fz, ft, tPt

Vt V2 Vj vr I

t20

r




Sipuò noltre alcolarel momentomisto:+èm, = LLxi irJ*i = l t = l

e il momentomisto ispetto llemedie hiamatoovarianza:+èo, = LL(x i

- mt(x)Xyr m,(y) ) f t

Sviluppandoa [26]e ricordandoa [15]e I'analogaspressioneellamedia erl'attributosi puòdimostrarehesussisteaseguenteelazione:

o\, = mn m,(x)mr(t) l27l

Nellaabella eguente ono iporlatee formulazioninalitichei taliquantità elcasodivariabiliasuali iscrete variabiliasuali ontinue:

varíabili asuali iscreten

s-m . ( x ) = ) , T , v ,

r I L l t l

i-1flì rm

mlv)=)&F*( = l

+.)m ^ ( x ) = ) - r l v ,L / l

ms a 2tT12 m2( )= LYk l I k

r Jsr sa

tn, , =LLxi l tPi*i=1 t=1

f

of ,= l( x , m,( r ) 'p i = mz( ) - n t l ( )i= 1

" î=

ì fl i -m t ( t -D2p , = mz( ) - * Î ( y )

+-\6, = LL1 x,-m.( x ) ) (y* -n t l y ) )p , t=

i=1 t=1

= rn^_ tT\( x )ml y )

Caoitolo3CENNID ISTATISTICA

variabili asuali ontinueF

f

mr( )= lx f ( x ,y )dxdyJ

;f ^

mJ y )= ly f ( x .y )dxdy- "

b

I c ^ .ntr(x )= lx ' . f x,1' d.rdyJ

; | 2 ^ .m,( y )= ly ' . f ' ( x .y )dxdy

J -

* - -m ^ = l l j J ( x . 1 . ) d x d y

^ t

o í = l (x - m, ( . \ f f ( x .y )dxdyr t .

;c f . . . t ^

oi = f l y-mJ y ) f . f x.y )dxdy' J "

;I

o^,= l ( - * . , ( x ) )(y-mt( y ) ) f x , l ' )dxdyJ '

[25]

[26]

I momenti i secondo rado i unavariabiletatisticaduedimensioniossono ssereconsideratiualielementi i unamatrice uadrata immetricahiamatamatricedivarianza covarianza:

ld o"l| ^.1

[29]loo 4l

121




In unavariabile tatisticad n dimensioni


matrice i varianza covarianzaes.n=3)sara:

d, orz

oz, 4ott ozz

3.11. LA CORRELAZIONEINEARE

La correlazionera le due variabili i una distribuzione due dimensioni unaspecie i dipendenza,iversa eròda quellaunzionalen quanto d un valore i unavariabile ossono orrispondereiù valoridella seconda ariabile, ell 'esempioivariabileasuale duedimensionihedescrivenapopolazioneecondodueattributidi "peso"e di "altezza", ossono sisterendividui on lo stessopesoe con allezza

diversa. y

Fig.3.6 Concettoi correlazione

La correlazioneuò essere orteo debole; nacorrelazioneebole caratterizzataalfattoche e distribuzioniondizionateariano ocoal variare ell 'altraariabile;n unacorrelazioneorte valoridelledue variabili onoquasi egateda una dipendenzafunzionale.

Correlazioneineare ebole CorrelazioneineareorteFig.3.7 Correlazioneineare

La misuradellacorrelazioneeve essere ndipendenteal valoreche assumonoevariabili onsiderate questo vviene onsiderandoe variabili carto tandardizzate:

r , t - x - f f i r ( r ) , - ! - f f i \ . - )o, o,

Si definisce oefficiente icorrelazioneineare aquantità:s / V \L \ x t - m t ' " , 4 ! , - f f i t , , , )

r =

qrl

I6r^l;lql

[2e]

t22

No,o,-

[30]




l l termine l numeratoreella 30]è uguale l momentocoefficientei correlazioneineare ssumea orma:

o*,


mistoo covarianza,ercui l

[31 ]o*6,

l l valore i r è sempre ompresora 1 e -1; l valore ero ndica he ra e duevariabilinonesiste ipendenzainearema nondicenulla ul attochepossaesistere n altrotipodi correlazioneparabolica,perbolica,cc.).Se l coefficientei correlazioneineare nullo l lora isulta ,,- 0 e quindi,icordandota l27 l :mx,- mt(x) .m\,- ) [32]

I z )




CaoitoloCENNI ISTATISTICA

3.12. COMBINAZIONEI VARIABILI ASUALINDIPENDENTI

Inparticolarisperimentiipetitivii possono resentareontemporaneamenteueopiùvariabiliasuali hevanno costruirenavariabileasualemultidimensionalehetiene onto elcomportamentoelle variabili

asualimonodimensionalioncorrenti.Rimandandotestidi statisticaenerale er a rattazioneeorica elle ariabili asualimultidimensionali,nquesto ontesto i interessa nalizzareuelle ariabili asualicostruiteersomma prodottoi n variabiliasualimonodimensionali.dueo piùvaloriargomentaliossono ssere ssoggettatid unaoperazionehedia uogoad ununico isultatoadesempioasomma einumeri sciti elcasodel ancio eidadi);l 'evento leatorioisultantealla ombinazioneeidueo piùvalori rgomentalidefinito a unavariabileasuale dunadimensione.

L'ipotesi i base è che i fenomenialeatori he compongono'eventoaleatoriocombinato iano ndipendenfi.l problema di determinarea variabile asualechedefinisce'evento leatorioombinato,ote e variabiliasuali hedefinisconolieventi

aleatori omponenti.Nelcasodel ancio i 2 dadioccorre eterminareomesi distribuisconorisultati al2al12,suppostohesi eseguaasomma eivalori rgomentali.Per calcolarea probabilitàa associare ciascun ndividuo ellanuovavariabilecasuale, ttenuta ome somma" el ancio i due dadi, icordandoa [1],bisogneràdeterminarel numero ei casipossibili i l numero ei casi avorevoli.a probabilitàcercata aràdatadal oro apporto.l numero ei casipossibili i otterrà onsiderandoche ciascunaacciadel primodado può combinarsion una qualsiasiacciadelsecondo adoe quindi aràparia 6 x 6 = 36:

somma eiduedadi

caslfavorevoli

probabilitàdi uscita

2 1+1 1 1/363 1+2 2+1 2 2t364 1+3 2+2 3+1 3 3/365 1+4 2+3 3+2 4+1 4 4t366 1+5 2+4 3+3 4+2 5+1 5 5/367 1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1 6 si Js

8 2+6 3+5 4+4 5+3 6+2 5 5/369 3+6 4+5 5+4 6+3 4 4t3610 4+6 5+5 6+4 3 3/3611 5+6 6+5 2 2t3612 6+6 1 1/36

ln generale obbiamoefinirel valore ellamedia, elvalore uadratico edio dellavarianzadi una variabile asualeottenuta ome somma(differenza) prodottodivariabili asuali, oteche siano e medie, valori uadratici edie le varianze ellevariabiliasuali omponenti.eprincipaliegole ono eseguenti:

1. ll valore medio della somma (differenza)i due variabili asualiè la somma(differenza)eivalorimedi elle ariabiliasuali omponenti:m, (s )=mJx)+mr(y ) m, (c t ) m, ( * ) ^ , (y )

2. ll valoremediodel prodotto i duevariabiliasuali i l prodottoeivalorimedi ellevariabiliasuali omponenti^ , \ q ) = m , ( x ) t , ( Y )

124

[33]

[34]




3.13. ALCUNIESEMPI I DISTRIBUZIONI


Fra e variabili asuali e ne sonoalcune e cui funzioni i distribuzioneengonocalcolate on algoritmimatematici, artendo a alcune potesi eoriche. re di esse

sono particolarmenteotevoli er il loro interesse ratico. n ordinecronologicoistudio,esse sono: a binomialeJ. Bernoulli, 1700), a normale De Moivre, iùfrequentementessociata i nomidi Laplace Gauss he se ne occuparonolla inedel XVll secolo)e la poissonianaS.D. Poisson, 837).Alcunealtre funzionididistribuzioneurono tudiate el secolo corso,ma soloverso a finedi esso uronointrodotte ltrenumerosissimeistribuzionierivanti erò uttedalle re sopra itatee inparticolare ododallanormale.Le distribuzionievonoessere onsiderateomeun modellomatematicohe permettedi indagarel comportamentoi esperimentiipetitivihe presentanoelle egolaritàstatistiche. olti enomeni isici,biologici, conomici socialiche si presentanoall' indagineon 'aspettopparentementeabile indefinitoi unavariabileasuale, irivelano, lungoandare,dotatidi una rigidità i comportamentoropriasolo difenomenil cui rapporto i casualità ben definito.Questa endenza i una certacaratteristicaenomenicaattributo) variare, empre eròcon e medesimemodalità,in modo ioèchesi abbia na ondamentaletabilitàella uavariabilitàaturale,ienechiamata ariabilitàtrutturale,elsenso he a variabilitàel enomeno,appresentaunacaratteristicantima profondainquesto enso, trutturale)el enomenotesso.l l problema tatisticoondamentalen questi asiè perciò uello i determinare,erdiversienomeni,a strutturaella orovariabilità,tabilendol tipodi distribuzionehemeglio a rappresenta. na volta stabilita ale corrispondenza,ccorrerà icavaremezzi logici e analiticiper determinare on poche prove i valori dei parametricaratteristiciella articolareunzione i distribuzionessociabilel enomeno.Limitandoci l caso di nostro nteresse la misuradellegrandezzaisiche)dovremo

dunqueper primacosa stabilirel modellomatematico he descrive l meglio lfenomeno in seguito rocurarciuegli trumentihe ci consentirannoi ricavareparametriondamentalielladistribuzionea un numeroimitato i misure. elseguitodescriveremorevementee distribuzioniinomiale normale he costituisconoefunzioni i distribuzioneti l i l nostro copo.

3.13.1.DISTRIBUZIONEI BERNOULLI BINOMIALE

La distribuzione i probabilità inomialeconsente di prevederecome sidistribuiscono risultatidi prove aleatorie ipetuteeseguitesu una popolazionecaralterizzataa due solivaloriargomentali. n eventoaleatorio arallerizzato a duemodalità rappresentatoa unavariabileasuale el ipo:

(x, x.X4 p*q=lgp

Ad esempio e in un'urna ono stateposte30 palline ianche 70 pallinenere,possiamoostruircia variabileasuale:

ibianca neraX ] p+q= l

I 0,3 0,7

Per semplicitànella conduzionedei calcol i ,conviene assumerevalori argomental inumerici d esempiQt 1= Q Xz= I

126




t'o 1X1 p*q= l

gp

I parametri i questa articolareariabile asuale aranno:mediavalore uadratico ediovarianza

mr l x )=0 .q+1 .=mr (x )=02 'q+1 ' ' p=

Caoitolo3CENNID ISTATISTICA

p

p

Così acendo, on un semplice umero ompresora 0 e n saràpossibileiportarelrisultato i una provaconsistente el ripetere volte 'esperimentoleatorio. e adesempio el ancio i unamoneta ssociamol valore rgomentalel'uscita i "testa"e al valoreargomentale I'uscita i "croce" combiniamo volte a stessavariabilecasuale,n altri ermini ffettuiamolanci i unamoneta registriamorisultatin unanuova ariabileasuale. vremo:

a testa T testa

lacrocelacrocet r t rt0 1 , t0 1

x] + x |gpgp

2 lanci i unamoneta

a cuipossiamossociarevalori rgomentali:0123

o ' ( x ) = * r ( x ) , r i ( x ) = p - p2= p ( t - p )= p ' q

CCCC

4

il risultatoeidue anci i unamoneta otrà are ome isultato:TT TC CC


la nuova ariabileasualeisultatoeidue anci i unamoneta aràquindi:l '0 12

Yt,t " '

l l risultatoi re anci i unamoneta otrà arecome isultato:TTT TTC TCC ccc


la nuova ariabileasualeisultatoei re anci i unamoneta aràquindi:fo1z3Y1t " '

il risultato ei quattro ancidi una monetapotràdarecome risultato:TTTT TTTC TTCC TCCC

lanuovaariabileasualeisultatoeiquattroanci iunamonetaarà uindi:

lo t234Y1t " '

127





nn voltecroce0 volte esta r^

t38l

p n

Le probabilitàa associare i valoriargomentaliella ariabile asuale costruita onnlanci i unamoneta aranno:

F si presenta roce i voltee quindi, er l teorema elleprobabilitàomposte,aprobabilitàaràparia p'p'p'p....=p'

F si presentaesta(n-r) oltee quindi, er l teorema elleprobabilitàomposte,aprobabilitàaràparia q'Q'Q'Q....=g'

La probabilità ssociataagli eventi volte croce e (ndall'applicazioneel eorema elle robabilitàomposte.La probabilitàssociata ll'evento:

i) volte testa è ottenuta

n lancidellamonetai voltesi presenta roce

(n- i) voltesi presentaestasarà: ' . {-' , \

ma a modalità opradescrittai voltecrocee (n - i)volte esta) i potrà erificarer I I\ 1 , /

maniere iverse. d esempio e su4 lanci i unamoneta i presentanavoltaTestae3 volteCroce le modalità i presentazionearanno:

TCCC crcc CCTC CCCTL'applicazioneel teoremadelle probabilitàotali consente uindidi calcolareaprobabiitàassociata ll'evento

n lancidellamonetai voltesi presenta roce

(n- i) voltesi presentaesta

( n \ , . _ , n l i k_ iP( ) =l . lP'q"-' = -:l:-----=P'q"-'\ r / r t l n - r ) l

e quindi er avariabileasuale (ricordandohe0! = 1j =0

i=1

i=2

0 voltecrocen volte esta1 voltacroce n- 1)volte esta

2 voltecroce n- 2) volte esta

n voltecroce0 volte esta

e1 !=1 ) :P( i )=q'P(i)= npqn

(' \ ^P(i7=lrP'n'-'

i = O P( i )= p"

00 voltecrocen

volte esta

q "

121 volta 2 volta rocecroce n -2volte

n -1volte testatesta

, - l l n ì

n?q I '^ l 'q"\ t )

33 voltacroce

n -3voltetesta

l n l , , ,l - l P ( l

128



I


Capitolo 3CENNID ISTATISTICA

Applicandoe regoledellacombinazionei variabili asuali ndipendentiossiamodeterminareamedia lavarianzai Y note a media la varianzaiX:

m1(Y)=p p + p * . . . . - . .=np [39 ]dg l = pq+ pq+. . " . . '=npq t40 l

ln Fig.3.8 sonoriportati grafici i una distribuzionevente = 0,1 a q = 0,9 (peresempio n'urna ontenente 00palline i cui 10 bianche 90 nere)e numero iestrazioni paria 4, 10,50 e 100; graf ic isonocostrui t iongiungendopunti d iprobabilità (i) calcolati on e [38].La distribuzioneinomialeipende ai dueparametri e p. Sep=Q.$a distribuzionesimmetricandipendentementeal valoredi r. Se p è moltopiccolo ispetto n ladistribuzione fortemente simmetrica. ale asimmetriaende però a diminuireall 'aumentarein.

Nell'esempioell 'urna ontenente 0 pallineesempio estrazionin = 4) potremo alcolarepallina ianca:

bianchee 90 nere, eseguendo erla probabilitàhe si presenti volte a

voltenero 3 voltenero 2 voltenero 1 voltanero

Q' =0.6s npq"-' 0.29 [l) ,,r. , =005 [l) ,,r.r=0004

010 volte 1volta

bianco bianco

P ( i )

22 voltabianco

33 voltabianco

44 voltebianco

0 voltenero

P' =0.0001

variabileasuale riqinale[" 'obianco

o meotiof0I

l q p -[0 ,e0 .1

lavariabile asuale isultato ellequattro strazioniarà:

Fig.3.8 Distribuzionii Bernoulli

r29




3.13.2.DISTRIBUZIONEORMALE DIGAUSS

tlp

ci costruiamoadistribuzioneegli cartiargomentale:

togliendol valore ellamedia ciascun alore

3-rp 4- np n-np


Questa istribuzionei puòconsiderarena appresentazionepprossimatai quella iBernoulli.ern tendente ll ' infinito,adistribuzionei Gauss oincideonquella i

Bernoulli.anecessitài ricorrered una appresentazionepprossimataelladistribuzioneinomiale eriva alladifficoltà i calcolarefattoriali uando valoridi nsonomolto randi:

( r \ ì - - : n ! i n - iP( i = l . lp 'q ' - '= : : . . . .. . . 'Q"- '\ t i t : ( n - t J !

Partendoalla istribuzioneinomiale:01

n n lq npq

234n

( r \ 2 n-2

l r )Pq

Iout- np 7-np 2 -up

Tralasciandoa dimostrazione,a densità i probabilitàssociata ciascuno carto ;èdatadalla elazione:

P(r,)=-+e42no '

Jz o -

Pern moltogrande i puòconsiderarea variabileasuale egliscarti V)continuaquindia probabilitàonsaràpiùassociatad un singoloalore rgomentaleasarà aprobabilitànfinitesimanassociatadunoscarto ompresorav e v + d,..ln efinítivaadensità i probabilitài una variabile asuale ormale gaussianar di median evarianzaé è:

' 1 - ( r i - m ) 2

f (r)= -+e 2o' l41l4 2no'

Fig.3.9 Distribuzioniormali

Leprincipaliaratteristicheiquesta istribuzioneono:

r30



Y


x - mo


F è simmetricaispetto lla ella = m:F haduef less incor r ispondenzade iun t i - rmr oex=m- o ,F al crescere i o2 a curva i appiattisceviceversa l diminuirei d diventa iù

aguzza;È è def in i taa-- à *ae quindi: |Q)a* =t

l n m = 0

Fig.3.10 Distribuzioneormale standardizzala

Unproblema olto mportantea risolvere quello i verificareomegli ndividuiellapopolazionesi distribuisconottorno l valore ellamediam. n altri ermini alcolarequal'èa probabilitàhe un ndividuo siacompreso ell' intervallo-B(vediFig.3.10).Perquanto iàvisto n precedenza secondoa [30], aprobabilitàercata aràparia:

B

P(A< x< B = F(B - F(A)= [ f { , )a ,

il calcolodell' integraleeve essereeseguito er ciascuna istribuzionen quantosaranno empre iversi ia valori i mediam chedi varianza .

Per risolvere na volta per tutte l problema el calcolodi questo ntegrale,necessario ostruirsi, artendodalla X, una nuova variabilecasualeZ chiamata"standardizzafa"he sia indipendentea questidue parametri. iascun ndividuo iquestanuova ariabile asuale sarà. enerato partire a quellidellax depurandolodeivalori ime o:

- , - ( ' - ' ) 2

dove la / ( . t )= #e2o2

..l2xo'

dz1-= -dxo

dx=o dz

La distribuzionetandardizzalaquivale d unavariabile ormale ventemedianullae

varianza 1 (vedi Fig.3.10). La probabilità he un individuo sia compresonell' intervallo-B della distribuzione ormalesarà uguale a quella calcolatanel' ntervallo -bdelladistri uzione tandardizzata:

u - 'P(a< <b)=G(b) -G1a1: ' ! f )a , dove a f ( r )=

l r - ;42nSfruttandoa simmetria elladistribuzioneormale,'integralea calcolarera limili -bsarà pari al doppiodello stesso ntegrale alcolato ra I'origine e I'estremo edessendo nche ndipendenteai parametri i mediam e varianza saràda calcolareuna olta er utte vediabella ).

l 3 t



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA CENNIDI STATISTICA

Cerchiamol valore iquesta robabilitàra imiti ignificativi:

m - osx sm + om-o -m =- l -12 * to -^ =+ l

F(A)<x sF(B) 6 o

G(-1)<z<G(+1)m- 2o<x sm + 2o

m-2o-m =-2 sz <* *2o-* =+2F(A)<x <F(B) o 6

G(-2) z <G(+2)

m- 3osx lm + 3om-3o m

=-3 sz <m+3o m

=+3F(A) <x -<F(B) 6 6

G(-3)<z -<G(+3)e quindi a probabilitàhe un individuo ia compreson uno dei tre intervalliopraindicatiarà vedi ab.1):

m- oSx -<m+o 2.G(+1)2O.34130.683m- 2o Sx -<m+ 2o 2.G(+2) 2O.4772 0.954

m - 3o Sx Sm + 3o 2.G(+3) 20.4987 0.997

Ciò significa he gli individui i una qualunqueariabile asuale i tipo normale idistribuisconottorno lvalore ellamedia econdoeseguentiercentuali:

if 68,3% compreso ell' intervallo - o€m + oil 95,4"/" compresonell'intervallom - 2o e>m+ 2oil 99,7"/" compresonell' ntervallom - 3o e>m +3o

Questi alori onosuperiori quelli orniti alladisuguaglianzai Tchebycheff;nfattiquest'ultima fornisce analoghi valori per una distribuzionequalsiasi, non

specificatamentei unavariabileasuale i iponormale.

Esercizio voltosulladistribuzione ormale tandardizzata:

Un campione i 74 tondinidi ferrosottoposti una provadi snervamentoa datoseguentiisultaticarico i snervamentospresson kg/mm2 le requenzesprimonolnumero elle otture ei ondini):

lzs 36 37 38 39 40 4t 42 43 44 46 47 48 49 55^ 13 | 4 l l 15 6 9 5 7 4 3 3 1 I 1

Calcolarel caricomedio i snervamentolavarianza elcampione:1 - j - n

m=| ls ,F , dove ru=IF i=74 m=40,8 kg /mmzA I Ht \ i = 1 t . . 1

-2 1 + ) - -2 o2 =1 .676 ,8 -1 .664 ,612 ,2 kgz mmao =- ) s ,1 ' , -m

. t 4 |

1v ,=1 o = {o' = +3.4g kg mmz

Ammessa 'ipotesi i normalità ella distribuzione,i calcoli a probabilitàhe unqualsiasiondino, reso caso, i snervi d uncarico uperiore 48 kg/mm' inferiorea37 kglmm':

132





laprobabilitàhes siamaggiorei 48 kg/mm2arà dentica llaprobabilitàhez (della

variabile ormalizzata)iamaggiorei z=48-m =2.06 e quindi ell ' ipotesii effettiva

6

normalitàella si avrà vedi abella ottostante):2,06

P(z>2.06)=l f k )ar= f ( r )ar - l f @dz=0.5-0.48030.01972/o2.06 0 0

Analogamentea probabilitàhe s sia minore i 37 kg/mm2 identica llaprobabilità

che s iaminore i ,=31:" '=-r.09 acui:- 1 .09 0 0

p(z<L 9)= [ fQ)ar= l f Q)az- f@rtz=0.5-0.3621=0.137e13.8/"

qè

13 ,8 f x

(z)

Z-1,09 0 2,06

r33




CaoitoloCENNIDI STATISTICA

b 0 1 2 3 4 5 6 7 I 90 .0 0 .0 00 0 0. 00 40 0 .0 080 0 . 0 12 00 . 01 6 00 .0199 0.0239 0.0279 0.031 90.03590.1 0.0398 0 .0438 0.0478 0.051 70.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.071 40.07540.2 0.0793 0.0832 0.08710.0 9100.0948 0.09870.10260.10640.1 03 0.1 410.3 0 . 1 7 9 0.1217 0.12550.12930.13310.13680.14060.14430.14800.15170.4 0 .1 55 40 . 15 9 10 .1 62 80 .1664 0 .1 0 0 0 . 17 3 60 . 17 7 20 . 18 0 8 0 .1 84 4 0 . 18 7 9

0.5 0 .1 91 50.195 00 .1985 0.201 90.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 00.22240 .6 o.2258 0 .2291 0 .23240 .2357 0 .2389 0 .2422 0 .2454 0.2486 0.25180.2549o.7 0.25800.2612 o.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0 .2764 0 .2794 0.2823 0.28520.8 0. 288 1 0 .2 91 00 .29 39 0.2967 0 .2996 0.30230.30510.30780.31060.31330.9 0.31590 .3186 o.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.33150.3340 0.33650.33891.0 0.34130.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.35310.3554 0.35770.3599 0.36211 . 1 0.3643 0.3665 0.3686 0.37080.37290.37490.37700.37900.38100.38301 . 2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.39250.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151 . 3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0 . 4 1 5 0 . 41 3 1 0 . 41 4 7 0 .41 62 0 . 41 7 71 . 4 0.4192 0.4207 o.42220.4236 o.4251 o.4265 0.4279 0.42920.4306 0 .43191.5 0.4332 o.4345o.43570.4370 0.4382 0.4394 o.4406 0 .4 41 8 0. 44 29 0 .4 44 11.6 0.4452 0.4463 0.4474 o.4484 0.4495 0.4505 0.451 50.4525 0.45350.45451 .7 0.4554 0.4564 4573 0.4582 0 .4 59 1 0 .4 59 9 0 .4 60 8 0 .4616 0.4625 0.4633

1 . 8 0.4641 0 .4649 0 .4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061 . 9 0 . 4 7 1 3 0 . 47 19 0.4726 0.4732 o.4738 0.4744 0.47500.4756 0.4761 0.47672.O 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 o.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0 .4812 0 .48172.1 o.4821 o.4826 0.4830 0.4834 0.4838 o.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572. 2 0.4861 o.48640.4868 o.48710.4875 0.4878 0 .4 88 1 0. 48 84 0. 488 7 0.4 8902. 3 0.4893 0.4896 0.4898 0.49010.4904 0.4906 0. 49 09 0 . 49 1 1 0.49130 .49162. 4 0 .4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.49270.4929 0 . 49 31 0.4932 0 .4934 0 .49362. 5 0.4938 0.4940 o.4941 0 .49 43 0 .49 45 0. 49 46 0. 49 48 0.4949 0.49510.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 o.4957 0 .4959 0 .4960 0.49610.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0 .4966 0 .4967 0 .4968 0 .4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 o.49740.4975 0.4976 0 .49 77 0 .4 97 7 0. 49 78 0. 497 9 0.4979 0.4980 0.49812-9 0.4981 o.4982 0.4982 0 .4 98 3 0 .4 98 4 0. 49 84 0. 498 5 0. 498 5 0.4 98 6 0.49863.0 0.4987 0.4987 o.4987 0. 49 88 0. 49 88 0. 498 9 0. 498 9 0. 498 9 0.4990 0.4990

3.1 0.49900.4991 0.4991 0 .4 99 1 0. 49 92 0.4992 0.4992 0.4 99 2 0 .4 99 3 0.4993

3.2 0.4993 0.4993 0 .49 94 0. 49 94 0. 49 94 0. 499 4 0. 499 4 0.4995 0.49950.49953.3 0.4995 0 .4 99 5 0 .4 99 5 0 .4 99 6 0.4996 0.4996 0 .4 99 6 0 .4 99 6 0 .4 99 6 0.49973.4 0.4997 0.4997 0.4997 o.4997 o.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0 .4 99 83. 6 0.4998 0.4998 0. 49 99 0. 499 9 0. 499 9 0.4 99 9 0. 499 9 0.4 99 9 0 .4 999 0 .49 993. 7 0.4999 0.4999 0 .4 99 9 0. 499 9 0. 499 9 0.4 99 9 0.4 999 0 .4 999 0 .4 999 0 .49 993. 8 0.4999 0.4999 0.4999 0 .4 99 9 0.4 99 9 0.4 99 9 0.4 999 0 .4 999 0 .4 99 9 0 .49 993.9 0.5 00 0 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

Tabella - areesottese alla urvanormale tandardizzata

134

L




3.13.3. EOREMINERENTIA DISTRIBUZIONEIGAUSS

Caoitolo3CE NNIDIS TA T IS T ICA

Accenniamo ra ad alcuni eoremi ondamentalit i l iper spiegare ome mai lagaussianasia di gran unga a funzione i distribuzioneiù mportante ellastatistica

applicata.Siano aten variabiliasuali aussiane,ndipendentira oroe si consideria variabilecasuale ommaX. Si puòdimostrarehe aX è unadistribuzioneaussianaonmediae varianza alcolabili econdo e [30]e [32] e che viceversa e la somma X di nvariabili casuali indipendentiè una normale, ciascuna variabile casualecomponente anch'essa na normale.

Questo nunciato fferma onsoloche la distribuzione ormalesi riproduceperaddizione,ma anche che ogni distribuzione ormale non può mai provenireesattamenteallasommadi componenti henon sianoanch'esse ormali.Ingenerale, e la distribuzionei unavariabile asualeX dipende a un parametro e

se sipossono

rovare uequantità

m e otali che a distribuzioneella ariabile cartostandardizzataendaad esserenormale uandon tendeall' infinito,i dirà che X èasintoticamenteormale in questo enso a distribuzioneinomiale asintoticamentenormale). uest'ultimatfermazione,ervea chiarire'enunciatoel teoremacentraledella statisticanotoanchecome eoremaondamentaleellaconvergenzatocasticao teorema i Laplace- chebycheff-iapounoff.Questo teorema afferma:qualunque siano le distribuzioni delle variabiliindipendenti oggettead alcunecondizionimoltogenerali,a variabile ommaèasintoticamenteormale. inteticamente,econdizionieneraliuidevono oddisfarele variabili asuali omponenti,i possonoiassumereel attoche nessuna i essedeveprevalereullealtrenelladeterminazionei X.

l l teorema entrale ella tatisticaà unaspiegazioneelperché,n ungrannumero iapplicazioni,i trovinodistribuzionihe sono almenoapprossimativamenteormalicome,ad esempio, el casodeglierroridi misuradi una grandezzaisicae in tanticampidella biologia dell 'economia.imitandocira al caso di nostro nteresse,secondoa teoria eglierrori lementariHagen Bessel)'erroreotale ommessonuna misurasi può pensare ome sommadi un gran numerodi errorielementari,indipendentiradi loro.Se contributii ciascuno i essihannoutti o stesso rdine igrandezza, llora la variabilecasuale somma dei singoli effetti si comporteràapprossimativamenteomeunavariabile i tiponormale.

Ingeneralei puòsupporrehequesta onsiderazioneiaveranelcasodellamisura i

unagrandezzaisica,perchése qualcuna ellecausedi errore ossepreponderanterispetto llealtre,ciò nonpotrebbe on essereavvertito all'operatorel quale, n talesituazione,ovrebbe rowedere pportando lcune orrezioni isolandoe operazionidi misura al fenomeno i disturbo. li errori accidentali i misura,entro i l imit iprevistidal teoremacentraledella statistica,possonoperciòessereconsideratietrattaticome una variabilecasualedi tipo normale.Questoassunto, ncheseoggigiorno rimesson discussionea molti tudiosi,iene orrettamentepplicatonquanto onsente i risalire on pochemisurazionil lastimadei parametri i mediaevarianza ecessari definire l modellomatematicoappresentatoalladistribuzionenormale.

1 3 5





ln definitiva ossiamo ireche I'operazione i misuradi unagrandezzaisica, navolta depuratadall' infuenza degli errori grossolani sistematici, orrispondeall'estrazioneasuale a unadistribuzione i probabilità ormale.

Quindi l risultatoell 'operazionei misura arà appresentatoonda un numero,mada una densi tà di probabilità i cui si devono determinaremedia e varianza.Analiticamentel risultatoellamisura i unagrandezza sarà ndicato ella eguenteforma:

L : r f l t t O t

dovecon mr si intendel valoremediodelladistribuzionecon or=Jd il relativoscarto uadratico edio.

1421

1 3 6




3.14. DISTRIBUZIONEORMALE DUEDIMENSIONI

Consideriamoue variabili asualidi tipo normale X e y) fra loro indipendenti;aprobabilitàegataall'individuoaratterizzaloai valori argomentali e y è data dal

prodotto ellesingole robabilità:


Z=f(.r,t ' )=+rV',l2noi

\t--."Y1 --ia-

* , - P

ltTEo;

r | { ' . . ) ' , - ' ' ) ' I1

-rl-;- .1-]2'tÍo,o u

[43]

144l

[45]

E piùcomplessoeterminare'espressioneella ensità i probabilitaormale duedimensioniell ' ipotesihe eduevariabili;ry siano orrelate distribuiteon egge

normale. iamo uesta spressioneenza imostrazione:

_ , = lr-.,, \ ' 2rr-,\,,. !-,,,*f r,",1'l1 2 1 - p ' t l 6 , ) o , o , \ o \ r '

Z = j t . r , . l , f - - _ - - .

Zno,o, l1-P'

ll parametro che nterviene definirea distribuzione espresso al seguenterapporto:

o,"P=-o . .o .

x

Fig . .11 Rappresentazionerafica i unadistribuzioneormale duedimensioni

Si può dimostrare he la t44l è in accordo on tutte e definizioni proprietà elledisiribuzioniontinue duè dimensioni.noltre evidente he la [44]è I'equazione

z=f(x,.y)i una superficiea cui rappresentazionerafica ispetto tre assicoordinatix,y,z riportatan Fig.3.1pór le applicazionilla teoriadellemisure utilestudiaree curvedi intersezioneiquesta uperficieon pianiz= K. Comesi può acilmenteimostraressesonodelle

ellissiecuidimensioniariano lvariare ella ostante .

t3'l





L'ellisse he corrispondel valoreK = I si chiamaellisse tandardFig.3.12) cuisemiassi aggiore minoreae b) sono orniti alle eguentielazioni:

"'=)(o:+oi)+M-4 *q[46]

fnoltre 'angolo che l semiasse aggiore ell 'ell isseorma on 'asse elle r si puòdeterminareon a seguenteelazione:

2o-tan2rp --::'- l47l

o ; -o ;

Si può dimostrare nfine che se un ellissestandardha gli assi paralleliagli assicoordinati, on vi è correlazionera le due variabili.Da un puntodi vista statistico

l'ellisse tandardappresenta'area ll ' internoellaquale i ha l 39"/o i probabilitàitrovare n ndividuostratto casodalla opolazione.nun'ellissei dimensionioppietale probabilitàale a circa '80o/o, entre n un'ellisse i dimensioniaria 3 voltel'ellissetandardaprobabilitàuperal 99%.

- o: f + ao'z*

Fig.3.1 - Parametriell 'ell issetandard

1 3 8




Capitolo4IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Capitolo4IL TRATTAMENTO TATISTICODELLEMISURE

4. CONCETTO I MISURA

Misurare na grandezzaignifica aragonarlaon un'altra ellastessa pecieedesprimerel rapportora le due mediante n numero he costituiscel risultato ellamisura.L'associazione del tutto arbitraria,nfattiuna stessagrandezza uò essereassociata numeri iversi enzacreareambiguità. na stessa unghezza uò essereespressa, d esempio,n metrio in pollici, n angolo ettopuò essereespressonradiantinl2'^o),elsistema essagesimale90") quello entesimale100son).ll numero funzione el sistema i misura.Definitol sistema i misura, ienemenoI'arbitrarietàella celta elnumero he a rappresenta.Nellaeoria ellemisure i definisconossenzialmentere ipidi operazionii misura:amisuradiretta, a misuradiretta ondizionata la misura ndir etta.

139




CapitoloILTRATTAMENTOTATISTICO ELLEMISURE

4.1. LE MISURE IRETTE

La misura iretta i unagrandezza definitaogicamenteelseguentemodo:F si costruisce nagrandezzaellastessa pecie i quella a misurare ostituita a

un numero nterodi

quantitàuguali

unitàdi misura)definendo elle unitàcampione;

F si sommano pportunamentee unità ampioneunità ostruita)n mododa avereunaquantità guale quella a misurare til izzandonostrumentohepermettail confronto i uguaglianzalrauantità a misurare quantità ostruita;

F si conta l numerodi unitàcampione ontenute ellaquantità ostruita:alenumero i chiamamisura iretta ella randezza.

Fig.4.1- Misura iretta i unagrandezza:apesata i un oggetto

Spessoe misure irette hesi eseguono onosoggette condizionieometricheadesempioa sommadegliangoli nterni i un triangolo eve esserepari a rc,ecc.).Queste ondizioni,he a volteassumonoormeanchemolto omplesse,onoutiliperverificarea presenzai eventualirrori i misura rossolani.La misuradirettaassocerà n numero llagrandezzan esame.A prioriè impossibileprediren mododeterministicol risultato ellamisura.Se ripetiamo'operazionen un momento uccessivo se lo strumento i misurasufficientementereciso roveremo n secondonumero,diversodal precedente, aassociare llastessa randezza.

Nell'esempioellapesata otiamo he se vogliamo timarel pesodell'oggettol mg,ripetendoa misura iùvolte, tterremo umeri iversira oro,mentre, e limitiamoaprecisionelg, l risultatoelle ariemisureornirà empreostesso alore.Questo fatto non è spiegabile azionalmente:ipetendopiu volte la misuradi unagrandezza i dovrebbe ttenere empre osfessovalore.Nellapraticaoperativa iò nonsi verifica mai. Dobbiamo concludere che esiste una misura vera. mairaggiungibile,d nfinite timedi talemisura he I'approssimano.

Per chiarire lteriormentea discrasia sistentera la praticaoperativa ellamisurae

140

Fig.4.2 Errori istematici,rossolaniaccidentali





Se ipotizziamoi sparare,n un tiro a segno,un certonumero i piombini on unacarabina successivamentesaminiamol bersaglio,oteremohe:

F la maggior artedei forisi addensan una certazona(R) abbastanza iccola i

centroC;il centroC di questa onaè spostatoispettol centro el bersaglio;gli scostamentii tutti fori rispetto l centroC sonodistribuitin modoabbastanzauniforme;

F i grossi costamenti,ispetto l centroC, sono ar i Ae B).

Possiamooncluderehe:F esistonoerrori che comportano no spostamento ella rosa di tiro in modo

sistematicoowero che agiscesu ogni tiro).Ad esempio e si util izza nacarabinacon la canna storta, 'operatoremira nel modo correttoma i colpirisultanoutti postati.al ierrori rendonol nome i sistematici;

F i piccoli rrori ono nevitabilid hanno nadistribuzioneel utto asuale ttorno

al centro ella osa.Possono ssere ausati, d esempio, al remolio el iratore.Talierrori i definisconoccidentali;) gl i erroridi grossa ntità vvero ono ari.Possono ipendere,d esempio, a

effettivi rrori i mirao da unoscorrettosodella arabina. ssiprendonol nomedi errorigrossolani.

Glierrori istematiciono ausati ssenzialmenteasrettifichetrumentali.La naturadi questierrori a sì che possanonfluire ullemisuresemprecon unadeterminataegge,mapresentarsionvalori segni iversi seconda elle ondizionioperative ellequalivieneeseguitaa misura.Duranteo studio eglistrumenti deimetodi perativi i misura aranno videnziatiar i ip idi errori istematiciadesempio:

errori esiduidi inclinazione di collimazioneel teodolite, cc.) e gli opportuniaccorgimentiperativier a oroeliminazione.ln particolaree strade eguite er 'eliminazioneeglierrori istematiciossono sserecosìsintetizzale:

F si esegue a taratura la rettifica eglistrumenti i misura on una precisionedecisamenteuperiore quella perativa;

D si adottano elle rocedureperativehe i elimininoutomaticamente;F si rendono ariabilinvalore segno n modo hemediandorisultatiellemisure,

si "autocompensino".d esempio,nella misuradegli angoli azimutali, ereliminare'erroreesiduo iverticalitài rimette iùvolte nstazionel eodolite.

Fig.4.3 Eliminazioneegli rrori istematici

t4 l




CapitoloIL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Glierrori rossolaniono piùbanali nche e spesso ono piùdifficil i a ndividuare.Si parladi errorigrossolaniquandoa lorocausa isiede ssenzialmenten distrazionidell 'operatoreppurenusononcorretto ello trumentoi misura.Solitamente uestierrori sono di entitànotevoleper cui è sufficiente ottoporre

verificheeriodicherisultatii misura erpoterli videnziaredunque liminare.In topografia in fotogrammetriaeneralmentei adottano chemi i misura ali daconsentiren sistematicoontrollo ellemisure seguiteadesempio i un triangolo,invece i misurare olo due angoli determinarel terzocomesupplementareellasommadei due misurati, i misuranoutti e tre gli angolie si controlla he la lorosomma ispetti, menodi errori ccidentali,acondizioneeometricaotaa priori).

s+B 1=n

Fig.4.4 Individuazioneegli rrori rossolani

Quandonon è possibile dottare no schema i controllo, i ricorre lla ripetizioneindipendenfeellemisure es.:poligonaleperta i tracciamentoi unagalleria).

Sia gli errorigrossolani he quellisistematici evonocomunque ssereeliminatidall 'operatorerima i unaqualsiasilaborazioneei isultatiellemisure.

Quandosi misuracorrettamentena grandezza, liminando ioè gl i eventuali rrorigrossolanisistematici,a ripetizioneella tessa videnziaseguentienomeni:

F i risultatiellamisura ambianon modo asuale;È le differenze onopiccole ispetto llaprecisionetrumentale lo scartomassimoè tantopiù piccolo uanto iùè accurataa metodologiai misura dottata;

F se e ripetizioniono n numeromolto levato, i nota he l rapportora l numerodi volte n cui ognivaloresi è presentato il numero otaledi misure frequenzarelativa)endea stabilizzarsi.

Inquesto asosi dice he a misura affetta a unerroreaccidentale,ntendendoontale ermine'effettoi unaserienondefinita i cause heprovocanorrori ullemisurenonprevedibilipriori di imitata ntità.A questopunto l problema onsiste eldeterminareualesarà, ra utti valoriottenuti,quelloda util izzaren fase di calcolo. a scienza he studiaquesti enomeni lastatistica atematica.Possiamodefinire a statistica ome la scienzache tentadi descrivere on certezzal'incertezza.Questi rrori onsonoeliminabili asi possonoontrollareolo n modo tatistico.

Le misure dirette condizionate ono misuredirette egate ra loroda un legamefunzionale; d esempio a misuradirettadi tre angolidi un triangolo ianodeveverificarea egge: + B + y =v

142




4.2. LE MISURENDIRETTE

CapitoloILTRATTAMENTOTATISTICOELLEMISURE

La misurandirettai unagrandezzadefinita a un egameunzionalehe ega alegrandezza d altregrandezzemisurabili irettamente.n questocontesto l legamefunzionaleostituisceostrumento i misura ellagrandezzanoggetto.L'equazionehe egagrandezzencognite grandezze isurate irettamentei chiamaequazionellemisure.Ad esempio, el riangolo BCse misuriamoirettamentel latoa e gli angoli re B,possiamoicavarea misurandiretta el atob tramitea relazione:

6=-J - r inBsma

Fig.4.5 misurarendirettamente

La misura ndiretta imultanea i più grandezze realizzabilettraverso n sistema iequazioni he egano e grandezzemisurabili irettamentelle grandezzencognite aricavarendirettamente.d esempio elle eti opografichei triangolazione,oligonali,intersezionii misurano irettamentengoli distanze si ricavanondirettamenteecoordinateeivertici ella ete.

4.3. IL PROBLEMA ELLASTIMA

Abbiamo etto heognioperazionei misura i unagrandezzaisica, urché ffettada soli erroriaccidentaliventimediamenteo stesso rdinedi grandezza,quivaleall 'estrazioneasuale a unadensità i probabilitàormale gaussiana.Inoltre bbiamo istoche per definiren modocompleto na qualsiasi istribuzionenormale ccorre eterminarel valoredei due parametri i mediae di varianza.evidente'impossibilitài definirevalori eorici elle uestatistichenquanto arebberorichiestenfinitemisurazioni.'unica trada ercorribile quella i definire ei metodiche consentanoi giungere deivalori l più possibile rossimi quelli eorici on lminor forzo ossibile. 'ora navanti efiniremo:

F stima l valore umericoheassoceremom e 6,F stimatore a relazione nalitica,unzione i un campioneimitato i estrazioni

casuali,heconsente i definireastima.

Partiamo all'assuntohe perognigrandezzasistaun uniconumero he ne esprimela misura era, che e fluttuazioniei risultati ianodovuti d erroriaccidentalipresentiin manieramprevedibilen ognioperazionei misura. ecniche i misura iùraffinatedovrebberoidurre lierrori ntro imiti empre iùstretti ndeawicinarsi empre i piùallasituazionedeale i biunivocitàragrandezza misura. ellapratica perativa dognigrandezza orrispondeempreuna molteplicitài valori eggermenteiversi raloro.Occorre isolverel problema i comecombinare uesti isultatin mododa ricavare nunico alore hesia l piùvicino llamisura erae la suaattendibilità.l risultatoi unasingola perazionei misura un evento leatorio,he si puòconfigurareomeuna

estrazionecasodalla opolazionei misure ossibili.

143





Misurareuna grandezzaequivalea definire parametri mediae varianza)delladistribuzioneellemisurepossibili ullabasedi un certonumero,molto imitato, imisure ipetute. i stabilisce osì una relazione iunivocara la grandezza ladistribuzioneellemisure ossibili.

Misuraredirettamenteuna grandezza ignifica quindi individuare l modellomatematico (la distribuzione)che la rappresentaadeguatamente stimare iparametridellapopolazionemediae varianza).

4.4. PROPRIETA EGLISTIMATORI

Si possononventare oltiprocedimentierstimare parametri i unadistribuzionedi probabilità.nparticolareer dueparametri e é chedefiniscononadistribuzionegaussiana,ualunqueunzione el campione stratto l, X2, .., Xnpuò fornire ellestime.Genericamentel procedimentoi stimadei parametri i una distribuzionenormale arà ndicato elseguente odo:m = h(xr ,x r , . . . , x ,

- t1 lo- = g( 4 ,x2, . . . , x ,

dove e funzioni e g rappresentanogenerici timatori.Owiamente ra utte e possibili timedeiparametri ellapopolazioneccorre ceglierei valorida ulilizzareeguendo lcuni riteriogici.Si stabilisconouindi elleproprietàui e stime enerate agli timatori e g devonosoddisfare.Unabuona tima eveessere:

D consistenteD nonaffettada erroresistematico

Y efficienteUna stima si dice consistente e al tendereall ' infinitoel numeron di elementicostituentil campione tilizzatoendeal valoreeorico elparametrotimato.Osservandoe [1] si può notare he ogni stimaè una quantità leatorian quantodipende a un campione leatorioossiaogni campione i n elementi onsente iottenere n diverso alore ella tima elparametro).uindi gni unzioneegli valoriestrattidefinisceuna popolazione elle stime da campionidi n elementi, vvero unavariabileasuale.Per e distribuzionielle time i potrannoefinire, nalogamentequanto wieneperunaqualsiasiariabileasuale,a media lavarianza.Una stimasi dice non affetta da errore sistematicose la mediadellapopolazionedelle time oincide on a media ella opolazionea cuisonoestratticampioni.Una stima si dice efficiente se, rispetto tutte e possibili time del parametro,apopolazioneuiappartienea a varianza inima.

4.5. IL PRINCIPIO I MASSIMA EROSIMIGLIANZA

La ricerca del modello matematicoche rappresentaadeguatamente nadistribuzionei misure ossibilievenecessariamenteartire arisultatiperimentali.Questa ndagine ortaad affermare he a distribuzionegaussianasi prestabenearappresentarenapopolazionei misure ossibili.d una egge i distribuzionei t ipogaussianoonduce nche na ndagineeorica asata ulla potesi he l prodursi ellefluttuazioniccidentalii misurasia dovutoal sommarsi i numerosi iccolieffettialeatori,gnuno eiquali aunadistribuzioneualsiasi.

14 4



Y



Lastima eiparametriella istribuzione,n unzione eivalori i un campionestrattoa caso, wieneattraverso'applicazionei principi ssiomatici,nodeiquali quello imassima verosim g anza.

Consideriamonadistribuzioneeorica(x/dipendentearparametri , 02,'... . . . ,Consideriamonaennupla t , x2 '..... . n i individuistratti casodalla istribuzioneteorica. adensità i probabilitài questa istribuzionearà:

P(x . , ,x2 ; . . . . .xn /e1 ,e2 , - . . . .e , )=(* . , ) ( * r ) f ( " , ) t21

Perunadeterminataeriedi valoriXl , X2,"..."Xn a densità i probabilitàassumeràvafori iversi seconda eivalori ei parametri , 02 ....... , ' onsiderati. aggioreverosimiglianzaplausibilitàannoquellestimedei parametri , 02 '..... .0, cherendono assimaa P.Applichiamol principioi massimaerosimiglianzad unadistribuzioneaussiana.

I parametri a stimare er una distribuzioneaussiana ono a mediam e la varianzao' .

Fig.a.6 Distribuzioneaussiana

Laprobabilitài estrazioneegata l singolondividuordella nnupla i valori stratticasoXr X2 .'.... . , dalla istribuzioneeorica arà: p,= 7lx,)clxLa probabilità i uscitadell ' intero ampione 1,X2,.."..- n si ottieneapplicandolteorema elle robabilitàomposte:ap = f (x.,). (*,) ..7Q^lrax")Le /(x,) dipendonoaiparametrincogniti i mediae di varianza. lvariare i questiparametri,arieranno nche e /(x,) e quindi a dP. L'applicazioneel principio imassima erosimiglianza

ifarà

assumereomemigliore

timastima iùplausibile)

im e o'quellache enderà assimaa dP.Se a /(x,) ,comepotizzato,unagaussianavremo:

' 1 - k ' - ^ ) 2

. f ( . . , ) e 'o '

42no'la probabil i tà i uscitadell ' intero ampioneXl,X2,.. ' .".x, arà:

1 - ' ^ - I ( r , . ) t

PG, , r , xn m ,o ' )= / ( r , ) . ( r r ) . . . . f ( * , )= , - - l - , 2c2 ' /L t ^ i' '

\ 2no ' )' -

che diventamassima uandoè minimo 'esponenteell 'esponenzialeowero quandor

-1t (x , ml '=min2o'A ' '

145





che per / = costdntediventa'i{r,-*)'=min che rappresenta PHNC|P\ODEt

l= l

MINIMIQUADRATI.

Se la f(x) è una distribuzioneaussiana,

lprincipio

di massima verosimiglianzaconduceal principiodei minimiquadratie la direttaapplicazione i questo principioporta lladeterminazioneella tima iùplausibileelparametro edia:

_!_ .

)(", - mf = min t3l

4.6. MISURE IRETTE IUGUALE RECISIONE

Per trovare uno stimatoredella media applichiamol principiodi massimaverosimiglianza, ricordandoa [3]determiniamoerquale alore i z (media timata)taleequazionessumelvaloreminimo._lt- .l(^,- ^)' =min derivandoispetto ll ' incognitaed uguagliandozero aderivata:

) n n

+I (x, ,n)'=21(x,-m)=dm - ,o ' ' ' , - ,

ú n

Ir,- mL=ol = l I = l

I " , - nm O

da cui la stimapiù plausibileel parametro edia la stimadel parametro ediaèsopra egnata erdistinguerlaalvaloreeorico):

\-L ^, t4]= 1m = >

n

Dobbiamo erificare e la stimadella mediaottenuta ttraverso'applicazioneelprincipioeiminimi uadrati unabuona tima meno.Estrarre alla ariabileasuale l 'ennupla i valoriX1 X2,.......Xnpoi arne a mediaaritmeticaquivale calcolare n individuo i una nuova ariabile asuale hiamatadellemedie vediFig4.7):

x l + , t 2 f . . . . f ,

Fig.a"7 Calcolo ellamedia ritmeticai unaennupla

Ripetendo nfinitevolte questaoperazione, eneriamonfinitivalori , e quindi,implicitamente,ostruiamoadistribuzioneellemedie hesarànormaleomequella ipartenza:

t46

LÉ





distribuzioneellemedie

Fig.4.8 Costruzioneella istribuzioneellemedie

Per erificareabontà meno ella tima ellamedia, ttenuta ttraverso'applicazionedelprincipioei minimi uadrati,obbiamoalcolarel valore ellamedia eorica elladistribuzioneellemedie popolazioneelle time).Ciascun aloredi questadistribuzione stato icavato omemediaaritmetica i unacampionei ndividuixr,xz,..'xn)stratti alla istribuzioneriginale (vedi a]):

il

sr) rL " iì = 1

IT I

n

x 1 + x 2 * . . . . x ,

x,x t x3 i X, X2

m

tsll x ' x= - - - - l - ! z r . . . . - j -

n n npossiamopotizzare i ripetere nfinite olte questaoperazione i estrazione i uncampione 1,X2,--'.X,di calcolarnel valoremedio r;a primoe a secondomembrodella 5]costruiremouindi elle ariabiliasuali.

La elazioneram è X1,X2,...x,aràquindi na elazioneravariabiliasualindipendentidi tiponormale quindi, pplicandoe regole isteprima vedi 33]e [37]del Cap.3),saràpossibilealcolarel valore ellamediaeorica ella istribuzioneellemedie hestaa primomembro.

Utilizzando'operatoreM[a] con l significato i "calcolo l valoredellamedia eoricadella istribuzione":

l l lM[rn] t M[x,]+- M[x2]+--.-....M[x,]

nnnOsservandohe:

F ladistribuzioner è costituitaa nfinitialori estrattierprimi" alla istribuzione

X e avràquindimedia eorica tna varianza 2) la distribuzione z è costituitada infiniti valori "estrattiper secondi"dalladistribuzionX e avràquindimedia eorica tn è varianza '

F la distribuzione, è costi tuita a infiniti alori estratti er ultimi" alladistribuzioneX e avràquindimedia eorica tn e varianza 2

Si ottiene:l l l

M[m1= tnxm=!m+-m+ rn= tn t 6 ]nnn

La media teorica della distr ibuzionedelle medie coincide con la media teoricadelladistr ibuzioneorigine e quindi la stima non è affettada errore sistematico.

147





Per quanto iguardaa determinazioneellavarianzaoi della distribuzioneellemedie, artendo alla 5] e applicandoempre e regole ellacombinazionei variabilicasualindipendentii iponormalevedi 33]e [37]delCap.3),avremo:

o'- Io '* 1o ' +. . . . .. \o ' =o ' t7 l" ' n ' n t n t n

In base alle definizioniate prima,possiamo ire quindiche la stima rn è ancheefficiente. n altreparole 'effettuare osservazionii una stessagrandezza,weroI'effettuare estrazioni a una distribuzionei varianzaé, e costruirea media

aritmeticaelcampio e m = àt'

equivaled eseguiren'unica sservazionea una

distribuzionedistribuzioneeltLmeOie) he ha la stessamedia eorica m) e unaa

varianzan oltepiùpiccolaal .n

ll significatopratico di quantodimostratoè che per misurarecorrettamente nagrandezzaes:distanza, ngolo,ecc...)è necessario ipeterepiù volte a misuraeassumerecome valore della grandezzaquello espressodalla media aritmeticadellemisureeseguite.

La stimadellavarianza elladistribuzioneriginale,empre solamente n basealcampione strattoX1,X2,...-Xn,inveceaffetta a erroresistematico.nfatti, econdoa

definizioneata a varianzavale:2= Ik,- ^) ' f , = lf(r, -;Y

- ' n A '

e sommando sottraendol valoreeoricoOettameOía:'

,' =li k - ffi * -;)' = i {,, *)'+1 (,, ;)' *?tG,- ù(s *)n f , n f i n f i n? ,

,'= i{", -*)' (* *)' ?f{r, *\*-*)r t l n l

a t l

i l erminei(", -*)0"-^) vate:n a

=-2(* - * ) 'e qu ind i :

\ ' l , -\ / - \- rm l=a \^ -^ ) .V* -nm)=) n '6-^E(x,*)=|{* ;)lf ,,

,' =];{", - *)' *(* - ^) ' - 2Qnm)'= IZt", - *)' -(^-;)' che uò sserecritta

ancheome:, ' 1 i { r , - *) ' - !>(^ - ; ) 'nf i f i t |

I terminia secondomembrodellaprecedentespressioneono pari, secondo edefinizioniate, ispettivamentellavarianza elladistribuzioneriginale t e a quella

della istribuzioneellamediao,] e quindi: z= o' -o' - ozn-1

La distribuzioneellevaria zeé non coinciOeuilOicon fiuetta elladistribuzioneoriginale e pertantoa stimaè affetta a errore istematico.er ottenere na stimanonaffetta a taleerrore aràsufficiente oltiplicareuttigl i ndividui el campione er

148



Y



i l termine orrettivo , La stimadellavarianza elladistribuzioneriginale aràn - l

quindi:

iC _;Yo '= n 1 i l r , - ^Y = /L \ i - r , l t 8 ]n - 1 n A ' '

n - 1

La stimadella arianza elladistribuzioneellemedie, partire al campione strattoX1,X2, . . . .Xn,a fà qu ind i :

-2 fG -;Y- 2 o = , '- -

n n ln -1)

Misurare irettamentena grandezzaignifica uindi:

F eseguire osservazioni1,x2,....x,i calcolarea media ritmeticarF calcolareavarianzaella istribuzioneellemedie i,

Lamisura ella randezzasísprímeràome:m +6- [10 ]

l l segno+ non ha alcunparticolareignificato,tasoload indicare he l numero hesegue lo scarto uadratico edio elladistribuzionea cui è statoestratto n.

Perquanto isto n precedenzaa probabilitàotale eivalori ompresira:

tel

ii-6,,, e fr +6. è del 68%n -26_ e m+2o_^ è del 95%m -36,,, e -n+36,, è praticamentedel lOOo/"

L'intervallo 3o. rappresenta uindi a massim variazione ossibiledei valori *ottenutiacendo a mediaaritmetica i n misure.La massima ariazione i una solamisurax; è invecepari a t3o ; si può quindiassumere ome affettada erroregrossolanouellamisura hedifferisceallamedia perpiùdi t 3-.fl vantaggio i eseguire misuree di calcolarea mediaaritmetica si concretizza

nella iminuzionei J; volte ell ' intervalloivariabilitàellemisure; uesto umento iprecisione on può peròesseremoltospintoperché l beneficio rescecon la radicequadrata el numerodi ripetizioneelle misure.Per ridurre lla metà l campodivariabilitàastano misure,mentre er idurlo i 1/3neoccorrono e cosìvia.Se si è eseguita n'unícamisuradi una grandezza dísponibile n solovalorecherappresentaa stimadellamedia; onsi ha alcunmododi verificaree talevaloreèaffetto a errore rossolano.Come aloreo delladistribuzionea cuiè stato strattaa misura, onviene ssumerequello ellaprecisionetrumentalearatteristicoello trumento i misura.Anche quandosi eseguonomisurecon strumenti i bassa precisione onvieneassociare l valore appresentativoellamisuraun 7 pariallaprecisione trumentaleperché, robabilmente,

a ripetizioneellamisura arebbe n valoreuguale quelloprecedente sarebbe rrato tt ribuire llamisura noscarto uadratico edionullo.

149




CaoitoloILTRATTAMENTOTATISTICO ELLEMISURE

Esempiosvolto di misurae di calcolodi una grandezzaopografica.

Un angolo zimutale statomisurato voltee si sonoottenuti seguentialori:g

54s,654254r,659254s,653954s,654754c.6544

misure scarti scarti254,6542 -0,001 0,0000011754,6592 0,0039 0,0000153754,6539: -010014 0,0000019054,6547 -0.0006 0,00000034

54,6544 -O,0OOg0,00000077E= 0,0000 0,00001955

m - 3 o = 5 4 , 6 4 8 6trl = 54,6553

m + 3o = 54,6619o = 0,00221

om= 0,00099ll topografo pocoesperto" he guarda risultati el calcolo enzaspiritocriticoe silimita sclusivamented applicaree ormule, irebbe he l valore ell 'angolo isuratoè paria 54s, 553 0,00099 ioèa : m! o..Se esaminiamoli scarti ellemisure ispetto llamedia, otiamo he almeno no di

essiè anomalo ispetto tuttigl ialtri scarto 0,0039).Proviamollora d eliminarea misura heprovoca uello carto calcoliamol nuovovalore el lamedia del lo .q.m.

misure scarti scarti254,6542 -0,0001 0,00000001

54,6s3e -0,000; 0,0000001;54,6547 0,0004 0,0000001654,6544 0,0001 0,00000001

X,= 0,0000 0,00000034m - 3 0 = 5 4 , 6 5 3 3

lll = 54,6543

m + 3 o = 5 4 , 6 5 5 3o - 0,00034

om= 0,00017Verifichiamoosìche l valore 4,son6592,on ientr a ell ' intervallo-3o ...m+3o edè quindi a considerareffetto a errore rossolanogiustamenteliminabile.ll valore angolarecorretto, isultante alle misureeffettuate, arà quindi pari a:S ,oonUUOt0,00017ll metododi calcoloe di verifica ei risultati ppenaproposto, on risolve n manieraesaustivaa ricerca eglierrori rossolanin unaserie i misure, uole oltanto ttirareI'attenzioneel ettore ullanecessità i verificareriticamenterisultati.Esistono iversies tstatisticiheaffrontanouesto robleman modo igoroso, aesulano agli rgomentiiquesto orso.

r50




4.7. MISURE IRETTE I DIVERSA RECISIONE

Se unagrandezzaperesempio n angolo zimutale)ienemisurata iùvolteconstrumenti venti iversa recisionei misura in condizioniperativeifferenti,onè

possibileicavarel valorepiù rappresentativoellagrandezzafacendoemplicementela mediaaritmeticaellemisure seguite. e n distribuzionivediFigura .9)avrannotutte la stessamedia eoricam in quanto appresentanoa stessagrandezza,maavranno arianza f diversa erché i precisioneiversa.

{Jr m *(}, ( } , ' m

Fig.4.9-Misura i unagrandezzafattaonstrumenti i diversa recisione

Da ciascuna istribuzioneieneestratto n individuo (misura) quindi, vremodisposizionel campione 1,02,.....Or.Ciascunvalore Oi può essere considerato ome singolo ndividuoestrattodalladistribuzionei misure ossibili , a suavolta, omevaloremedio i un certonumeromisure seguite on a stessa istribuzione.iascun aloreQ rappresentana stimadellamedia eoricam, comune tutte e distribuzioni,a è evidente he se la stimadella media eoricam viene atta sulla base di tutti gl i Oi si otterràun valorepiùattendibile.Laprobabilitài estrazioneelsingolondividuo idallaelativa istribuzionedatada:

( o , , ^ ) '. J

z o i -

Ciascunndividuo si può anchepensare ome isultato ellamediadi pi individuiestratti a unadistribuzioneventea stessamediaeoricam delle ingole istribuzionie varianza aria of a cuisi dà il nomedi varianza ell'unità i peso; ssarappresentalavarianza i unadistribuzionecuiè statoarbitrariamentettribuito npesounitario.


tî ot2

[ 1 ]

oo2

4P'-et\ , *

Fig. .10 Estrazionealla istribuzioneriginale dalla istribuzioneellemedie

Estrarre n ndividuoOr)dalladistribuzionehe ha varianza y2equivaled estrarre 1individuialla istribuzioneivarianza s2 farne oi a media.Mediante pesi, utte le dist ribuzioniengono iferitealla distribuzione e2di peso

unitario.pesidelle ingolemisureOisaranno seguenti,ssumendo2o n mododeltuttoarbitrario.

m ,-.( J ]

l 5 l




o: o: o: o:Pr= -- . P : ----;P t= ___1..P = _i

o l ' - 6 ; ' ' o ; o :La probabílitài estrazioneel

oo2 dataquindi a:

ain,(o,-*)'

Capitolo4IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLEMISURE

112j

singolondividuo dalladistribuzionehe ha varianza

f (o ) = -+ r- { " , : ' l t '' ' 2. J Z l f O o -

La probabilità i uscitadell ' interoampioneOt,O2,......O,arà dato,applicandolteoremadefleprobabilitàomposte, al prodotto efleprobabilità i uscitadei singoliindiv idui:

V O,O,,... .On,m,ot)@ffi):,

Qualunqueia l valore i os2l massimo i Vsiavràquando'esponentei e sarà.t-minimo:\ n,(o, ,n)'= min ll minimo ella unzione siottiene erivandoa unzionei= t

stessa uguagliandozero:

[13 ]

-0-rEp,(o,-*,,):o ln,o,-*nLp,=o

i =l j = l

dnt

| ,,o,, 1 " ' p ,O , rpzoz+ . . . . . pno ,mo=-t -=F [14JZo '

Pt+Pz+"" 'P"

ll valore osìottenuto i chiamamediaponderata ellen osservazioni1,Oz,.....Ordidiversa recisione.Se i pesi vengonomoltiplícatiutti per una stessacostante, l valoredella mediaponderata oncambia.Si giustificaosì^ilattoche,se sononote e varianze f si potràassumere rbitrariamentel valoredi of per a definizioneei pesio, analogamente,esononoti pesi,questipotranno sseremoltiplicatiuttiperunacostante rbitraria.Dobbiamo dessoverificare e la stimadella mediaponderata ttenutaattraversoI'applicazioneelprincipioi massimaerosimiglianzaunabuona tima.I parametridi giudiziosulla bontà della stima che abbiamodefinitosono: laconsistenza, 'efficienza la verifica henon sia affettada erroresistematico.Per fare questo

dobbiamocostruire a distribuzione elle medie ponderateimmaginandoi ripeterenfinite olte 'estrazioneel campione 1, or,.....òn allendistribuzioni costruendo gni volta un individuo ella distribuiioné ettemedieponderate.ndicandoraparentesi uadreuttigl i ndividui i unadistribuzioneinfiniti)stabilito he la media (indicata on la lettera vf )degli nfiniti aloriestrattida unadistribuzioneparial valore eorico i avrà:ulo,]=Mlo,] . . .u[o, l=e quindia mediadelladistribuzioneellemedie onderatearà:

- I pL / - t_+_=m

T p/ - ) ' i

no[ ] p,M o,f+ " uto.)+.. ' .p,u [o,, ]" ' Y " r J

P r - t p z * " " ' p n

152




CapitoloIL TRATTAMENTOSTATISTICODELLEMISURE

Si dimostra osìche astimadi moè consistente nonè affetta a errore istematico.

Perquanto iguardaavarianza elladistribuzioneellemedieponderate,pplicandoeregole

35]e

[37]delCap.3 sulla ombinazioneivariabiliasuali:

( , l t ( - \ ' ( ^ \ ' P i " io;=l+:1";*lí; lo;+ l$;lo:=;:-- ' r15l

\LP, ) \L r , / \ LP, )| , IO ,

Questo timatore,he si dimostra ssere .o ìiil"óre corretto, sauriscel problemacheci siamopostine lcaso n cui sianonote e varianze ellesingole sservazionihehanno ontribuitollastima ellamedia onderata. elcaso n cui si conoscanoolopesi, a relazione he consente i stimare avarianzadellamediaponderata i ricavadalla [15] sostituendo lle quantitàd I'equivalentespressioneicavabile allarelazione12]percuisi ottiene:

" I p,-63 Zp, o?o r =

r , t " = ú ó- V

= *

f f" l f i r, l Lp,.LY i I\ i r t \ Í ) i = 1

Perpoterutilizzareuestanuovaespressione,ccorre timarea quantità o2.Questopuòessere attoutil izzandol campione i misure til izzateer a stimadellamediaponderata.i notiche al variare elcampionearieràa stimadella arianza ell'unitàdi peso, per cui quest'ultima uantità isultaanch'essauna variabilealeatoriacaratlerizzala a una determinata istribuzione. er trovare uno stimatoredellavarianzadell'unitàdi peso utilizziamonuovamente l principiodi massima

verosimiglianza.onviene, n questocaso, utilizzarel logaritmo ella funzionediverosimiglianzaefinita alla 13].Otteniamo:

lnv=frn(pt .pz . ' . . ., ) !nz , - lnol - l f ,0 , . (o , r) '2 " ' 2 2 " 2o ; ,1 ' ' \ r

Questa unzione isultamassimaper quel valoredi o62 he soddisfaalla seguentecondizione:A h V n l ' 1

i l =- : - - - i * - r I p , (o , - r l ) t =gdo, 2o, 2oo ,=r

percuisostituendollamediaeorica,a media onderatatimata on a [1a] i ottiene:+)L p t ' v i

6l = ,=rnLa relazione opra icavata uno stimatore on corretto n quantoaffettoda erroresistematico. i può dimostrare he, analogamente quantoabbiamo isto nel casodella timadella arianza i unaseriedi misure irette i uguale recisione,a mediadefa distribuzíonespressa alla 17]noncoincíde on l valore eorico el parametroche ogliamotimare. pplicando'operatoresi ottienenfatti:

r ^ r n - 7Ml6;l= " 'o(

nQuindia miglior timadellaquanlitàro2 ricavabileon a seguente spressione:

-r-

Lp, ' í

- , :- 1

o" - - "" n -1

[16 ]

117l

r53

[18 ]



Esempiosvolto di calcolodi unamediaponderata:il dislivellora puntiA e B è statomisuratoon due ineedi livellazioneeometriche,unadellequali i è snodata erunpercorso i 4 km ed ha ornitol dislivellona aria18,3712m; l'alLra,seguitaungoun percorso iverso on sviluppo aria 9 km, haforni to ndis l ivel loari 18,3633 .

La precisione elle due misureè diversa n quanto o s.q.m.del dislivello resce

proporzionalmentella radicequadratadella unghezza ella ivellazionevedi par.7.7.1) quindi l dislivello na ìon aràparisemplicementellamediaaritmeticaelleduemisure.Applicandouanto etto ullemisure irette i diversa recisione,vremo:


CaPitoloILTRATTAMENTOTATISTICOELLEMISURE

p.*Oi v. =(O1 mp ) pi(Oi - mp)2

o,., kJ4

o,,= kJg

e quindi o?, k ' '4

e quindi o?, k' '9

Levarianze onsononote,mapossonossere alcolatipesi:oÎ ol oZ

h= ,rz je Pz=F S

ePonendo=l avremo:

1 1P' ,=4=0,2500e Pz=n =0,1111

lamedia onderataarà uindi:

m^-18 ,3712-t + 18 ,3633p ,= 18,3688

2,2500 41,3352

1 000018,36333,2500 59,6985

L'allievoerifichi he l risultato el calcolo ellamediaponderata oncambia e si. ' ì 2 9 - g

pon" *=9 e qu ind i i u t i l i zzanopes ipar i : , r= í=2 ,25 e Pz=ó=1"

s ich ieda

perché.

l l calcolo ello .q.m. ella istribuzioneellemedie onderatei calcola pplicandoerelazioni16] [18]:

P t + P z

dislivello ; sviluppo; pesip,

lm l [km]l r = 18,3712 4

lz= 18!3633 92,-

0,002 0,0000133-0,005 0,0000299-0,003 0,0000432

n

\ - - . r , 2L v i

oÍ =-L , =0,0000432varianza ell'unitài peso calcolatan baseagliscarti).i

n - l

154




CapitoloIL TRATTAMENTOTATISTICOELLEMISURE

^ <'ri6;-- =0,0000133 arianzaellamedia onderata.

Zp

op=0,0036462 .q.m.del la edia onderata.ll dislivelloaràdunque aria: 18,3688 0,0036m

Altroesempio voltodi calcolodi unamediaponderata:vogliamonterpolarea quota i un puntoS, util izzandoe quote eipunti ircostanti,B,C e D,dispostiome n igura distanti alpuntoS rispettivamenter,dz,dse d+.Fra tanticriteri i calcolo ossibili, ppare ogico aremaggior esoai puntiche sonopiùvicinia S e minorpesoperquelli iù ontani. uello hecertamente sbagliatofareunasemplice edia ritmeticaelle uattro uote ote.

Questo oncetto,radotton una elazionenalitica arà:p,=4= 1ol di

. distanzaquorada s

p€so ,r

tml tmlA = 120,15 18,5 0,054054B = 123,20 8,5 0,117647c = 121,18 12,0 0,083333D = 122,35 11,0 0,090909r- 0.345944

n -1

( Q i - m p ) p i ( Q i - m p ) 2i P i

6,49459514,4941210,0983311 ,1227342,20977

- 1 , 8 6

1 , 1 9-0,83

0,34

0,18770,16560,05790,01030,4215

La mediaponderataheci fornirà aquota ercata el puntoS sarà:k

2Q,p,m, =Qs =-d- =122,01nt

ZP,- * r ) '

o 0 = =0,140506 arianza ell'unità i peso calcolatanbaseagliscarti).I o ,@,

^ d :6i. =* =0,406154 arianzaellamedia onderata.

\-Z' Pi

60.=0,6373 .q.m. ellamedia onderata.Laquota i S saràquindi aria: 122,01+ ,64m

155





4.8. MISURANDIRETTA IUNAGRANDEZZA

Consideriamona grandezza e n grandezze r, X2,..., Xn ra le qualiesistaunlegameunzionaleel ipo:

Y =7(x.,,xr,...x,) ttglLe grandezzeXi possonoessere misuratedirettamente quindi essere ra lorostocasticamentendipendenti;n questo asoognuna i loroè rappresentataa unastima ellamediae dellavarianza he ha carallerizzato'operazioneella oromisura.Se invecee grandezze isonomisuratendirettamentesse isultano eneralmentestocasticamenteorrelate quindi ono appresentateai valoristimati elle ispettivemedie da unamatrice ivarianza-covarianzaella istribuzionen dimensionir,Xz,"',Xr"

oln

oz,[20]

La relazione19]definiscea grandezza comeunavariabileasuale cui parametridipendonodai parametridelle distribuzioni i probabilità elle Xi. Misurareindirettamentea grandezza significa unque efinirea distribuzioneellemisurepossibiliellaX a partire alle ariabiliasualindipendentihedefinisconoe n misuredirette ppurea variabileasuale n dimensioniipendenteallen variabili r, Xz, ..,Xrchedefinisce lobalmentee misurendirette i questegrandezze.ll problema facilmenteisolvibileon le nozioniino ad ora apprese, e il legamefunzionale è una combinazioneinearedelleXi. Infatti n questocaso a grandezzaXrisulta spressa alla eguenteelazione:

X = a r X , - f a r X , * . . . * a n X n

e ricordando uantodetto a proposito ei sistemidi variabili asuali, a stima dellamediadi X nel caso n cui le grandezze sianostocastimentendipendenti,isultaessere spressa alla eguenteelazione:

X . = arX - * arX r^ ! . . . * a , ,X ,^

e lavarianza:

o" = o?ol+ alol +...+a,',ol

l21l

l22l

[23]

Se le variabili sonocorrelate,a stimadellamedia oincide onquella eterminatadalla1221,mentre a stima della varianza ienecalcolata on la seguente elazione(omettiamoa dimostrazione)o t *=a?o? a lo l+ . . .+a lo l+Zararor r+2araror r+ . . .+2aranorn+2a2a3o23+. . .+

?41+ 2a a,,o ,,+ ...+ 2ar,,_rra,6,_r),

Generalizzando enza fare nessuna potesi sulla forma del legame funzionale ,proviamo ragionareelmodo eguente.

ot z

oi

1 5 6

b---.



SiaOr,Oz,..,Onncampionestratto a ciascuna elle istribuzionii misure ossibilidiX1,X2,...,Xr.gnivalore lè il risultatoi un'estrazioneasuale alle istribuzioniimedia eoricaXi*.

Fig. .11- strazioneelcampione

Quindi possibilesprimeree Oinelseguente odo:

O r = X r . + v , O r = X r ^ + v , O n = X , , ^ + v n

Se gl i scarti v; sorìosufficientementeiccolida poterconsiderarerascurabili loroquadrati, ossiamoinearizzarea [19] n unosviluppon seriedi Taylorattorno l puntodefinito allemedieeoriche i,. Risulta:f (o ,o r , . . . , o , , )=(x r^ v , ,x r . *v2 , . . . ,x , , v , , )=

= (x, , ,x2. , . . . ,x, , )*(#)^yr. . . (*)_r, ,

Ripetendonfiniteolte 'estrazioneelcampione r,02,..,O,nsiemeon

eoperazioniprimadescritte, ostruiamoe distribuzioni primoe a secondomembro ella 26].

Applichiamouindi 'operatore alledistribuzioniosì ostr?,":.

u lf (o, .2. . . . ., ,) - [ X,^.2n, . . . . ., ,^) l= l I M r, l+.. 4- | m r, , l\ i l , ) ^\ d X , , ) .


La mediadelladistribuzionel primouna combinazionei variabili cartoteorica ulla quindi:M[f(Or,Oz,...,Or)] f(Xr^,Xzr,...,Xrr)


membro nulla n quantol secondomembroche per definizioneono distribuzioni media

perchégl i infiniti alori eorici (X1p,X2,n,....Xrr)sono uttiugualira oro

Xn t

[26]

[25]

Ogni ennuplaOt, O2,..,O, estratta una stima di X=f(Or,Oz,.....Or).e infiniteennupletteeneranoa distribuzioneellaXche avràmediaeorica ,n

x^ = (x , . .x r . . . . . .x ,^ )

Concludendo,ell ' ipotesihegliscarti isiano iccolin modo aledapoter onsiderareininfluentitermini i ordine uperiorel primo questo verose valoriOiderivano auna operazione i stimacorretta ellemediedelledistribuzioni), la mediadellagrandezza può essere timatantroducendoella 27l le stimedellemediedelledistribuzioni.

t _ \

X - = f lX m,X z^ , . . . , X )

l27l

Xr. il1

t57

[28]



G.COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA IL RArrAMNrorArstco or,_rffiîJiifi

Per astimadella arianza ellaXricordando he:

o'r=u[{f o,, .r,...,u) f (x ,, 2,,,...,, )}r] f +ll \ d x , lr m

otteniamo,elcaso.in ui e grandezze lsianoncorrelate,a seguente spressioneper astimadellavarianza ellàgrandezza

- ,_( a f \ '_ ,_( a f \ '_2 . ( a \ ' ,í = l - ! - | .o i -i l , ) .

- r r ld r , )^ 'o ;+"' * l * , ) . ' " , [29]

Nel caso n cui le grandezzeXisianocorrelate,a [29]assume a formufazíoneiùgenerale:

"o=(*l '

oi (+)' -o; .(g-) '

.o,+ 2r( -\( ar

^lx,). " '-(ù,)^ -, "" l*,). 'o;+ràlrr_)14)", [30]

l-e zsl e [30]sonoespressioniella osiddettaeggedi propagazione ellevarianze.In pratica nche n questo asosaranno isponibN.iàroellest'íme non-;" grandezzeteoríche.

u[,,]+(#).rb.+

1 5 8





Esempiosvolto di calcolodi unamisura ndirettadi una grandezza.Di un riangolo onostatimisurati latia, b e I'angolora essicompreso .

Lemisure seguiteannoornitoseguentiisultati:a = 1500 0.03mb = 1600 0.07my = 54s,796 0s,00118 oanche 0'ud,000018535)

Calcolareasuperficieel riangolo il relativocarto uadratico edio:j =laUr"n-y gg9.985,152

2-2 l ò f l ' - , l a r l 'o s = l _ l o , + l ; - l

\ Ò a ) . \ Ò b ) , ,

- ( b s " r T l ' - , , ( a s e nT l ' - - r ( a o c o s \ 'f , ,, " ' - ( . 2 ) " ' [ 2 J

l6 / l 'l : - l

\ Ò f i _

= 33112+ 1.584,98 210,22 2.126,44 a quindi:6, = +^[2:l26,44= +46.1 m2

lasuperficieel riangoloaràdataquindi a: S = 909.985,1546,11m2

Calcolarel valore el ato C'e l relativocarto uadratico edio:e =,,{ i \ -o '-z-oo ,^7 = 1.296,52

;: = gl' ': .(Yl' oî gl' G?,(a6:n'tl'6,'*(u-al:ost\',(au"'1)',\òa l . \òb l . \òy i_ \ a ) [ a , / " \ . c )

'

= 0,0001181+ 0,001 28409 0,0006769480,001 17m26.=1J0001917=+0,043m

il erzo atoc incognitoaràquindi aria: c = 1296.52 0.043m

r59



Altroesempiosvolto di misuradirettae indirettadi grandezze:Abbiamomisurato na resistenza 1sei volteottenendo valoriespressin ohm (A)sotto iportati. alcolarel valore heesprimea Rr.Facciamo ltrettantoon unasecondaesistenza ze calcoliamoestessegrandezze.

Si devono pplicareprincipillustratin3.4.3 ullemisure irette i uguale recisione:


resistenza scartiRl (xi-m)


sr) Y .

L " '

n

scarti2

(x-m)'

-0,04 0,00160,o7 0,0049-0,o7 0,0049

-0,02 0,00040,05 0,00250,01 0,0001

0,00 0,0144

n" individuimedia

ton z

OmR2

R2= 75.13 0.024O

n

\ - '- \ r

^ , t l x , - m fz L t 'o

"* __ì__;G_r)

resistenza scarti scarti 2

R2 (x,-m) , (x-m)t

7 5 , 1 275,0875,05

7 5 , 1 575,2075,18

675,13

0,0580,024

ik, -rFE' = t= t

n - 1

n" individuimedia

LoRr

OmRt

5 0 , 1 250,2350,09

50,1450,2150,17

o

50,16

0,054o,o22

-0,01 0,0001-0,05 0,0025-0,08: 0,0064

0,02 0,00040,07 0,00490,05 0,0025

.0,00 0,0168

I valori ercati aranno uindi:R1= 50.16 0.022O

Se colleghiamon serie e dueresistenzeossiamoalcolarel valore ella esistenzarisultante totur"pplicandouanto isto n 3.1.7 ulla ombinazionei variabiliasualiindipendenti :R ,o ,o t "Rt+R, =50 '16+75 '13=125 '29O

6?,uur" o?, + 6tr,= 0'0222+ 0'0242 0,001 6

La resistenzattenuta ettendoa Rr e la Rz nserie aràquindi atada:Rtot"l" 125.29 0.032O

160

L-..




CaoitoloILTRATTAMENTOTATISTICOELLEMISURE

Secolleghiamoedue esistenzen parallelootremoalcolarel valore ella esistenzarisultante tot"t"on a relazione: ,o,o,"=t#. La relazionera le variabiliasuali he

rappresentanoa R1e la R2 non è più lineare quindibisognerà pplicare uantoillustraton 4.8 sullamisura ndiretta i una grandezza, ell'ipotesihe le grandezzesiano ra di loro ncorrelate:

x. = F,^,Vr^,. . . ,V,,) , , ,"=ft =3o,o8oR 1 + R 2

/ lar) ' , (òr\ ' " (Ì '"ox = . l l ; : ; | ' o i -+

\l\d^r/.#").";. lft ). î=I r , , r 2 / , , r 2

. / fRr(Rr+Rr)-=RrR,

I or-",* fR,(Rr+Rr)--R'R,I ot-", 0.00g7o

l f . (R,+R.)t (R,+Rr)' )- 'nRz

La resistenzattenutamettendoa Rr e la Rz nparalleloaràquindi atada:Rtot"r" 30.08 0.0087Ct

t 6 l



r



4.9. MISURANDIRETTA I PIUGRANDEZZEONEQUAZIONI SUBERANTI

ll problema he affronteremon questoparagrafoappresental casodi gran ungapiùutilizzaton tutte e applicazioniopografiche fotogrammetriche.uesto roblema uò

essereormulatoelseguente odo:vogliamo timarea mediae la matrice i varianza-covarianzai una distribuzione-dimensionaleunzione i rgrandezzendirelle r,X2,...,X,partire a uncampione i nmisure irette appresentatea n distribuzionincorrelate,i mediaevarianza ote,L1,L2, ..,Lr.(con > ).ll risultato he stiamocercando ovràdipendere a tutto l campione isponibile sipuòdireche essosarà l frutto i unacompensazioneellemisure irette seguite.egrandezzeXr 'ono egateallegrandezzeLida legami unzionali enerici, ipendentisolitamenteacondizionieometriche/o isiche.Percapirci,onsideriamon semplice sempio:vogliamoeterminareecoordinatelanimetriche,Ydi unpuntoP visibile a duepuntiAe B di coordinateote problemai intersezioneemplicen avanti);a soluzioneelproblema wiene ramitea misura egliangoli zimutalin A e in B. In questomodoperò,qualsiasi rrore ellamisura eidue angoli zimutali,rovocheràn errore elladeterminazioneellecoordinateelpuntoP senza lcuna ossibilitài accorgersene.lnfatti ualunqueia l valore i q e B,le due etteAP e BPsi incontrerannoemprenunpunto.

Fig.a.8 Determinazioneelle oordinateelpuntoP

Se nvece, d esempio, i esegue nchea misura el atoAP, avremoa possibilitàiindividuareventuali rrorinellamisure egliangoli viceversa. gnimisura irettaeffettuata aràcaratterizzalaa una certaprecisione , comegià vistonelcasodellemisuredirettedi diversaprecisione,gnunadi esse dovràpartecipareon il proprio

pesoallasoluzioneelproblema. hiaramentee misure hevengonoatte n esuberorispetto quelleminime ecessariella oluzioneelproblemaeometricoondevonodipendere allealtremisure: ell 'esempioopracitatonon avrebbe enso ntrodurreunanuovamisura egli tessi ngoli dellamedesimaistanza.Al solitoaffronteremol problema er gradi niziando al casopiù semplicen cui i llegame funzionale ra le grandezze ndirettee le grandezze irette sia unacombinazioneineare iqueste ltime.

162

L-.



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA ILTRATTAMENTOTATISTICO ELLEMISURE

4.9.1. L CASOCONEQUAZIONIINEARI

Consideriamon sistema i n equazioniinearí he legar grandezzencognite y,X2,...,X,l len grandezze isurabiliirettamenle1,L2, ..,Lr,conn > r nell ' ipotesihe

ogni equazionecontenga come termine noto una sola grandezzamisurabiledirettamente.

conn>r [31 ]

doveai,bi .......1tiono oefficientioti.Nelsistema utte e grandezze, irettee indirette, ono ndicate on i rispettivi aloriteorici i media L). Inquesto aso, el utto eorico, naqualsiasierie i r equazioni,

scelte ra le n disponibili, in gradodi fornire na soluzione he soddisfa nche erestanti -r equazioniche isultano ssereuna combinazioneineare elleprecedentisecondol eorema i Rouchè-Capelli).

In ormamatricialel sistema i equazioniineari uòessere critto ome:A.X=T [32]dove:

4u tb2 Lt2

b,, Lln

X_

Convenzionalmente viene chiamatamatricedisegno,X vettoredelle incognite,Tvettoredei termininoti.Nella ealtàsappiamo he non disporremomai dei valori eoriciLi delle grandezzemisurateirettamenteaal massimo elle orostime ,. La relazionera valorieoricie quelli timati, aràespressaa: L,=1, + v, dovev; appresentaoscartora a misurastimata lamisura eorica.Più correttamenteo realisticamente)l sistema 31] andrà riscrittonella seguente

forma:

[33]

Le quantità r rappresentanoli scarti eoricidi ogni equazione sarannoanch'essiincogniti.Ci troviamo unquedi frontea un sistemadi n equazionin r+n incognite, ioè un

sistemandeterminato;uindi

arà mpossibile,a unpunto

i vistamatematico,rovare

[arX,+ b,X, + . . .+ tt . ,X, \

lor*,+b"X, ... urX,= I.

1",.:;,;;.;"++,.x,=L.

"'l lI"*'1,l';,1 :i"

lo'la^

a - l '

"- l Ila ,

larxt+.,X+.. .*urX =l ' , +r. ,

7or*,* brX

"+ ...*urX,= Lz vz

1", ,1, .utr* nu,x,=îu+r, ,

r63





i valoriX1che soddisfino ontemporaneamenteutte e n equazioni. ossiamo eròaffrontarel problema a un puntodi vistastatistico.Proponiamociioèdi stimaree mediedellemisurendirette -,a partire allestime

dellemisure irette ,. ll sistema33]assume unqueaseguenteorma efinitiva:fo ,V ,+ b ,V + . . .+ tV =1, r v ,

lorV + brV + . . .+ rV =lz i vz in ormamatr ic ia le:l * 2 - - ,

' . . ' , * 2 1 1 - D z ' v zA . X = T + V [ 3 4 ]

I

t " " " " " " " " "

l a , , X + b , X z t . . . * u , , X , = L n + v , ,

Lostimatoreellemedie o ricaveremopplicando,nchen questo aso, l principioimassima erosimiglianzaquindil principioeiminimi uadrati,ioè a stimamiglioredellegrandezzemisurate ndirettamentea sì che la sommatoria el quadrato egli

scart i aràminim" ir i = min .Vediamo ttraversol

"r"rpiosempliceome i sviluppanocalcoli.

Supponiamo i doverstimare a mediadi due grandezze r, Xz legatea tre misuredirette r,Lz,L3da combinazioniineari econdol sistema:

la . ,X . ,+b ,Xr=I

l o rX r+b rX r= [35 ]

l a rX r+beXr=j

Perquantoabbiamoappenavisto l sistemadeve essere iscritto ella orma

la rX ,+ b ,X .= L t - f v ,Il o rF ,+b rF r=Lz rv ,t -l a r x ,+b r Í r=L t *v ,"

in ormamatriciale:

A.X= T+V [36]

[37]

l l sistema spresson unzioneegli cartincognitisarà:

l a ,X ,+b ,X . -L r=v ,l * r ' -

" r ' -__

' rin o rmama t r i c i a l e :

lor* , + brx, - Lz =vz AX-T=V

fo rX ,+ b r î , - l t =v t

la sommatoria el quadratodegli scartiv;sarà:

ì r i =a ix i +u ix i + l i +Za,b,X,x ,-2a,x ,1,2b,x , l t+

+aix +ojx +ri +2abrX,F,2a rX, l , 2brTrlz +

+a ix i +u ' rx ]+ l i +2a .b rX,Xr -2arX, l ,2brXr l t

La ricerca elminimo i questaunzioneiri

i l sistema elledueequazionihe esprimonocalcolateispetto lleduegrandezzencognite

forma:

164

= min a duevariabilivvieneisolvendo

l'annullamentoelleduederivate arziali

1 " n. l l s is temassumeaseguente

L-_




CapitoloIL TRATTAMENTOSTATISTICODELLEMISURE

Questoè un sistemaineare i due equazioni elledue incognite r.Ìr, che puòessere iscritto sandoa notazione atricialeelseguentemodo:

Lasoluzioneelproblemaiotterrà ome:X = N-1.Tn

Comesi può subitonotare a matricedei coefficienti el sistemanormaleN (dettamatricenormale) una matricequadrata i ordine2, nell 'esempioroposto,simmetrica i suoi ermini ipendonoolodaicoefficientielsistema riginario.ncheil vettoredei termininoti normal izzali, n, dipendesolo dai coefficienti el sistemaoriginariodalla tima ellemisure irette.Per le proprietà elle matrici, a matricenormale nversaN'1, risulterà nch'essasimmetrica.Si può subito osservare che con questo approccio, direttamentederivatodall'applicazioneel principio ei minimiquadrati, gni volta che si presenta nproblemai stima ccorre apprimacrivere'equazioneella ommatoriaelquadratodegli scarti,quindiderivarla solo a questopuntorisultapossibile pplicare nprocedimentoi calcoloautomatico er l' inversione ella matricenormalee ilconseguentealcolo ella oluzione.Sesi pensa he nellamaggior arte elleapplicazioniopografichefotogrammetrichele grandezze a stimare ontemporaneamenteossonoancheessere n numeroconsiderevole> 100)si intuisce ubito a pratica mpossibílitài applicazionei talemetodo.Fortunatamentepossibile iungere llascrittura el sistema ormalen modomoltopiùagevole,enendo ontodellaosservazionehe abbiamo ppena atto,e checioè amatrice ormale il termine otonormalizzaloipendono olodallamatrice isegnodal vettoredei termininoti del sistemaoriginale.nfatti ra le matriciA, T, N e Tnsussistonoeseguentielazioni:N = Ar.A

Tn= Ar'T

Dimostriamoueste ffermazionielcasodell'esempiohestiamoanalizzando:

Grazie lle elazionihe abbiamo ppena imostratoelcasosemplice reso n esame(ma valideper sistemi on qualsiasi umerodi equazioni) possibile ffrontarel

N.X= Tndove:

"= l a l+a l+a ' , a ,b ,+arbr+arbr l

"=1" - ,1 , lo ,L ,+or i r+orLr lY - l ^ | - l _ | r , , - l _ |

lo ,b ,+a ,b ,+arb ,i+$+a! l ' l& l' '

l u , l ,+u ,1 ,+brLr l

, , lo . b . l , ^.e= lo ' az ot l lo '^

b" l= l a i+a i+ai arbr+arbr+a"b,o=lu,bz ,l l: ' ,7,1=V0.,*o"i,*o,u,l+bl+b!=, , Zt l

.r=lo,a2"'ll;,1 1o,7,o,L,o,!' l=,W, b2 nl

l t. llb,Lt+b,Lz+b"Ltl

[38]

[3e]

A,

A'

165





problema ellastimadi r misure ndiretten funzione i n misuredirette n modocompletamenteutomatico.Sarà suffciente infatti conoscere valori degli elementi della matrice disegno(coefficientielle ombinazioniineari he eganoe r misurendirette unasolamisura

diretta) del vettore ei termini oti (valori ellemisure irette), er determinarenmodoautomaticoa matrice ormaleN e il vettore ei ermininotinormalizzatinche,come abbiamo imostrato,sprimonol sistema he risolve l problema ellastimasecondol principioi massimaerosimiglianza.Anche n questocaso occorre enerecontoche le n misuredirettesono in generecaralterizzatea precisioni iverse, ercu i l lorocontributo llastimadellemediedellemisure ndirette, eve esserepesato.Questo, omenoto,significa he ogni misuradiretta eveesseremoltiplicataer i l suo pesoe quindinel sistema 31]occorreràmoltiplicareiascunaquazioneer lpesodellamisura irettanteressata.

In notazione atricialeuesta perazionei pesaturawienenelseguente odo:

P.AX= P'T [40]dove a matrice è una matrice iagonaleelementiuttinulliad eccezione i quellidella iagonalerincipale)i ordine così trutturata:

P-

h 0 0l0 Pz ol

; ;

Le relazioniper il calcolodella matricenormalee del termine noto normalizzatoassumonounquea orma efinitiva:N = A' 'P .A

Tn= Ar'P'T

1421

Comeabbiamo istoneiparagrafirecedenti,l problemaonsi esaurisceui;accantoallastimadellamedia elle ncogniteccorre iungere nche llastima ella arianza.Inquesto aso, ove e r misurendiretteono e variabilii unadistribuzioneormalerdimensioni, ccorre unque eterminarea matrice i varianza covarianza.ssasaràuna matrice uadrata i ordine nellaqualegli elementi elladiagonale rincipalesaranno e varianzedelle r misure ndirette gli altri elementi sprimerannoecovarianze.Si descrivono olamente olo le formuleper il calcolodella matricedi varianzacovarianze di altrematrici he saranno tilinellepratiche pplicazionii questometodo i stima, imandandoo studente dei testispecialisticii trattamentoelleosservazionier a orodimostrazione.Avendo ntrodotto pesi,per primacosa occorredeterminarel valoredellavarianzadell'unitài peso n unzioneellemedie timate ellemisurendirette. isulta:

V I . P . V[43]

[41]

-2o ;=

dove l vettore egli cartiV si calcola elseguentemodo:v=A.X-T Í441La matrice i varianza-covarianzaaràottenuta alprodotto ellavarianza ell'unità ipesoper a matricenversa elsistema ormale:

166

>__





C * = -ol ' lr-'

Questamatrice unamatrice immetricai ordine , nquanto bbiamoisto heanchela matrice ormale e di conseguenzaa sua inversa) una matrice immetrica iordine .Un'altra uantità mportante a calcolare la matricedi varianza covarianza egliscarti siccomea matrice oluzione contiene ellestimedellemediedellemisureindirette, nche l vettoredegliscarti appresenteràa stimadi unavariabile carto -dimesionalearatterizzatanch'essa a unamatrice i varianza covarianza). uestasipuòdeterminareon aseguenteelazione:

c , "=d i . (p - t -

a .x r. t r

) t46 l

4.9.2. L CASODI EQUAZIONI ONLINEARI

Nelcaso n cui e equazionihe eganoe r incognitellen misure irette onsianolineari, i può arrivarealla soluzione el sistemamediante a loro linearizzazionenell' intornoi unpunto oto svilupponserie iTaylor rrestatoi ermini i 1 grado).

Lastima elle ncognite,ome edremo,werràpersuccessiveterazioni.

ll sistema i equazionion ineari genericamente:

f , ( x , X , . . . . . . . . ., / L , ) g

|"?'- lot, t ,l

1o",",

o . .2

6|,

" : .r ^ 2

6 . .

6 * r" ,

:'6'r.

[45]

l47l

Nell' ipotesihe x,o, :, '.....xf sianodeivalori ufficientementepprossimati elleincogniten modo ale che quadrati egliscartie le potenze uperiori ossano sseretrascurati,vremo:X r = X Î + x t

X, =X2+ zt4gl

X,=X l+x r+

f,(x,,x,,......x,.1,)=r,k:.x:.......x?.1,)-[,+l,*l* ' ) f ar'l" \dx , /o \dx ; ,J rxz Í "' " [ "q J .* ' *+ terminirascurabili;conpotenzamaggiore uguale due= 0

Se ndichiamoiascuna quazione,on:

-f,(x?.x',.xo.L,)=v,+l =r, 9l =r, f+l =r,| ' :\dx, /n (dX, n \ òx, ),

Otterremo n sistema i equazioniinearizzateel uttoanalogo l sistema i equazioni[31 ] :

167




a.,x., b.,x" ...1 u,x, = Ia

a2\ + brx, + ... ttrx,= I-


[4e]

an\ + bnx, + ...* Lt,x, = Lu

L'unica ifferenza che, n questo aso, e incogniteono e correzionii da sommareai valori pprossimati: perotteneree grandezzencognite.l sistemaa9]si chiama"sistemadi equazionialle correzionÌ'.In questo aso termini noti L, non sonomisure irette omenel sistema 31],mamisurendirette.La matrice i varianza covarianzaelladistribuzioneellecorrezioni1,X2,.......Xrcoincidecon la matricedi varianza covarianza ella distribuzione elle stimeVr^,Vr* . . . . . .V,^ erchévalor i pprossimatiro, l , - . - . . .Xf ono el le ostant i .

Se ivalori approssimatielle ncognite ,9, ontrariamentell ' ipotesiatta,nonsianosufficientementepprossimatier limitareo sviluppon seriedelleequazioni i soliterminiineari, isognerànnescaren procedimentoterativo i soluzione el sistemacheconsiderivalor i e l lencognite , =Xf +x, ottenut in unasoluzioneome nuovivalori pprossimatier asoluzioneuccessiva.La convergenza el procedimentoterativo iene accertatamediante 'analisidellecorrezioni i apportateda ogni singola terazione il procedimento otrà essereinterrotto uando e ultimecorrezioni eterminateono di un ordinedi grandezzainferiorellaprecisioneaggiungibile.Un altro criterioper testare a convergenza el metodo terativo quindidecidere

l'interruzioneel procedimentoi calcolo i basasullostudio el comportamentoelparametro f . Si puòdimostrarenfatti hequesto arametroaggiungel suovaloreminimoncorrispondenzaellamiglior oluzioneaggiungibile.Vedremonel capitolo iguardantee reti opografiche,omequesticoncetti otrannoessere til izzatierunacorretta estione interpretazioneei isultati.

t 68

E-_




Capitolo 5LA MISURADEGLIANGOLI

CaP.LAMISURA EGLIANGOLI

5.1. DEFINIZIONEIANGOLO zIMUTALE,ENITALE, ISTANZA DISLIVELLO

Si definisce ngolo azimutalea l'angolo iedro ormatodai due pianinr e nnappartenentil fasciodi pianiche ha per generatricea verticale assante er l puntodi stazione e passantiispettivamenteer l punto (puntondietro) per l puntoA(punto vanti),vediFig.5.1).

169




Cao. 5LA M ISURADEGLIANGOLI

Si definisce ngolozenitale elpuntoA, I'angolo aappartenentel piano ndefinitotra la verticale assante er S e la rettacongiungentel puntoS con il puntoA (vediF is .5 .1 ) .Definiamonoltrel dislivelloAsncorne a differenzai quota ra il puntoA (Qn)ed ilpuntoS (as) intendendoome quotao quotaortometrica,I'allezzael puntosulgeoide.Definiamonfine a distanzamisurata ,SA ome a lunghezza el segmento i rettacongiungenteduepuntiS edA.

verticale

Figura .1 angolo zimutale,istanzaenitale dislivello.

5,2. IL TEODOLITE

ll teodolite lo strumentoopograficon grado i misurareiagliangoli zimutalihele distanzezenitali.E' costituito a tre parti principali: asamento,alidada ecannocchiale.ll basamento una struttura i supporto he racchiude l proprio nterno l cerchioazimutaleheserve er a misura egli ngoli zimutali.Nellaparte nferiore el basamentoroviamore perniche consentonoi bloccareostrumento llabasettaopografica,al dispositivoi centramentoorzato.L'alidada una strutturameccanicaa formadi U) che ruotaattornoa un asseperpendicolarel basamento. ull 'alidadai trovano li indicidi lettura el cerchioazimutalesolidali on I'alidada) anchegli indicidi lettura i un secondo erchiochiamatoerchio enitale.

l l cerchiozenitaleè incorporato ll ' interno ell'alidada,ollegato igidamente lcannocchiale disposton un pianoperpendicolarell 'asse ttorno l quale uota lcannocchialeello trumento.ull 'alidadai trovaancheuna ivellaorica he servearendere erticale'asse i rotazioneell'alidadatessa.

Le rotazioni ell 'alidadattornoal proprio sse,sono controllate a due viti: unapreposta impedire meno a rotazione anuale ella tessa vite i bloccaggio)laseconda n gradodi effettuare iccole otazioni d alidadabloccata vitedei piccolispostamenti).Neglistrumenti ttico-meccanicii precisioneolitamentel cerchio zimutale on èfisso, ma può ruotaremedianteuna vite ad accessoprotetto vite reitereatrice),indipendentementeallaposizione el basamento dall'alidada.uesti eodoliti ichiamanoeiteratori.

170

L




Cao.LAMISURA EGLIANGOLI

Esistononche teodolitiipetitori eiquali,l cerchio zimutaleuòessereissato albasamento all 'alidada ediante'azionei un bottone i bloccaggiosterno.

Figura .2 teodolite ttico-meccanicod elettronico

ll cannocchiale montato ull 'alidadan mododa poter uotareiberamentettornoun asse ortogonale llo stessoasse di rotazione ell'alidada.ali rotazioni onocontrollatea duevitidel utto imili quelle til izzateer 'alidadavite i bloccaggiovitedeipiccoli postamenti).La rotazione ontemporaneaell'alidada del cannocchialeermettequindi acollimazionei unqualsiasiunto ello pazio ircostante.

I moderni eodolitielettronici vedi Fig. 5.2) hanno conservato a strutturadeltradizionaleeodolite ttico-meccanico;miglioramentiiguardanossenzialmenteatecnologiaeimateriali i sistemi i ettura.

171




Cap.5LAMISURA EGLIANGOLI

r r r i :\* : . \ ìlru*i$rr\\ù\ìi

ì

L'awento ell 'elettronicaonha di persé aumentatoa precisioneellamisura ellegrandezzeopografiche a ha resopossibile'automazioneelle asi operative iùpesanti.l l teodolite lettronicoermettea lettura utomatica elledirezioni ngolari,a lorovisualizzazioneu un piccolo chermo la registrazioneu un supportomagnetico.I primi entativi i costruzioneei eodoliti lettroniciisalgonoglianni 50,anche eoccorre rrivareinoaglianni 80 pervedere eprime ealizzazioniommerciali.

Per stazione totale si intende nvece un teodoliteelettronico ntegratocon undistanziometro,n gradoquindi i misurare irettamenteia e direzioningolari he adistanzavediFig.5.3).

172

L

Figura .3 stazioneotale





5.3. CANNOCCHIALE LUNGHEZZA OSTANTE

I cannocchialionodegli trumentittici hepermettonoi osservareggettiontanie di essipossonoorniremmaginiapovoltecannocchialestronomico)ppure iri tte

(cannocchialeerrestre di Galileo)omequelli ti l izzatiegli trumentiopografici.Uncannocchialecostituitossenzialmentea unobiettivo,n oculare unreticolo.Consideriamo,er semplicità,ia l'obiettivohe 'oculare ostituiti a due lentisottil i(vedi Fig. 5.a). Se l'oggettoè posto davantiall'obiettivo una distanzad, moltomaggiore el doppio elladistanzaocale l ' immagineeale, apovolta rimpicciolitasi ormerà d unadistanza chevale, econdo'equazioneelle enti:

1+1_1dq f

Se l'immagineornitadall 'obiettivoi formerà ra il primo uocoe il centrootticodell'oculare,uest'ultimoarà uogoa una secondammagine he risulterà irtuale,diritta e quindi ncora apovoltaispetto ll'oggetto) ingrandita.

Variandoa distanzara obiettivo oculare ariano ia la posizione ell' immaginedell'oculareia l suo ngrandimento.Nei modernicannocchiali,'obiettivo un sistema ottico complessoottenutodall'accoppiamentoi più lentiche dannocomerisultantena lenteconvergente,nmododa eliminare, ridurre l più possibile, l i effettidelleaberrazioni.n genere,essendol campo isivo el cannocchialeiuttostoimitato, sufficienteorreggerelcromatismoccoppiandona entebiconvessai vetro rown on una entemenisco-divergentei vetro lint.

Figura .4 Schema ttico-geometricoi un cannocchiale

Anche 'oculare composto a più lentiche formano n sistema tt icocomplessoconvergente,l finedi correggeree aberrazionii cromatismodi sfericitàovute llanotevolenclinazioneei raggi uminosi he giungono all'obiettivoal fattoche perottenereorti ngrandimenti necessarioveredistanzeocalicortee quindi urvaturedelle uperficiifrangentiilevanti.edueo più enti he ormanol sistema onopostea piccola istanzara oroe la ente ivolta erso 'obiettivo dettacollettiva.

ll reticolo isulta ndispensabileei cannocchialiopograficin quantonei metodidiril ievoerrestre necessarioefinire elle irezioniello pazio.

ll reticolo, ella ua ormapiùsemplice, costituitoa un vetrino ulquale ono ncisiduesottil issimiratt i forma i croce vediFig.5.5).

_l_d _______1 0 __1*_[

173




l l punto i ntersezioneeidue ilimedianindividualcentroC del eticolo.Unadirezione enericanellospazioè definitadalla ettache unisce l centrodelreticolo con il centro ottico dell'obiettivo: ale retta prende l nome di asse dicollimazione el cannocchiale.

Collimarenpunto ignificaarpassare er l punto tesso'asse i collimazione.

,--T-\,/ ---r-- \/ r - f t \fl-frrTl\r

-r t/\_E--'

r{l\ ll-l

flìt'.-]-7

,'-I\ /-l\

F@ffi\T-l \L/

Figura .5 Esempi i reticoli i cannocchialiopografici

Neicannocchialilunghezzaostante til izzatiegli trumentitopografici,'obiettivoilreticolovedi ig.5.6)sonomontati unadistanzaissa u un unico ubo.Tra I'obiettivo il reticolo montata na entedivergente obile, etta entecollettiva,montata n un tubocoassiale l precedented entro l qualepuòessere attoscorreredall'esternoedianten dispositivocremagliera.

* ÀFigura .6 Schema i montaggioi uncannocchialelunghezzaostante

Un terzo ubo coassiale orta 'oculare; uesto ubo può scorrere viteo per attritoall ' interno el tuboprincipale er consentireievispostamentiell 'oculareispetto lreticolo.ll reticolo onè fissaton modo igido ul uboprincipale, a 'armaturahe o portaècollegataad esso mediantequattroviti a contrastodiametralmenteppostechepermettono postamentimicromelrici rizzontali verticali, iù una quintavite checonsente i porre filide l reticolo erfettamenterizzontale verticalevedi ig.5.7).ll reticolo eveesseremontato icino l uoco elsistema culare.l pianodel reticolodeve coincidere on il piano sul qualesi forma I'immagine ealegeneratadalsistemaobiettivo.

C a p . 5LAMISURA EGLIANGOLI

t74

Figura .7 Schema i montaggioel eticolo

L--




CaP.LAMISURA EGLIANGOLI

Questa ondizioneuòessere erificataollimandon oggetto d effettuandoiccolispostamenti ell 'occhio avantiall 'oculare sservando on attenzione n filo del

D se l ilo imaneermo ispetto ll ' immagine,acondizionesoddisfatta;F se l f i losembra postarsiispetto ll ' immagineonsi haperfettaoincidenzafraipiani el eticolo quello ell ' immaginelacollimazionesoggetta un errore iparallasse i fili. ln questocaso occorremigliorare'adattamentolla distanzadell'oggetto,gendo ugli postamentiella ente ollettiva.

l l sistema biettivo,n un cannocchialelunghezzaostante,uòessere onsideratocome ostituitoall 'obiettivoeroe proprio11) dalla ente ollettiva12).e ndichiamocon r a distanzaocale elsistema ttico 1,orì z a distanzaocale ella ente 2,ohf la distanzaocaledel sistema tt ico omplessivoormato a lr e 12 conA la distanzavariabilera sistemir e lz,si possonoarealcune onsiderazioniirca e relazioniheintercorronoraquesti lementi:

F ladistanzaocale puòessere alcolataon a relazionef . f

f =-.!Y t2l f ' t + f r -Lessendo variabile,nche risulteràariabile;

D il sistema elledue enti r e lzdeveessere onvergenten quanto ul reticolo ideve empreormare n'immagineeale, ercuideve isultare> 0.Essendor > 0 (11 convergente)ez< 0 (12 divergente),l numeratoreella 2]sarà negativo; ovendo ssere positivo i dovràverificare empre a seguentedisuguagl ianza:f . ,+ . f " -A<0 > f , -Vr l -A<O = f ,< l f r l+ t = f >A

) l'immagineeale atadalsistemar e lzdeve isultaresterna l sistema tesson

mododapoter osizionarel reticolo;F f1devesempre isultare aggiore i A perchén casocontrario'immagineealefornita alla r si formerebberima ella zche,essendo ivergente,rodurrebbeun'immagineirtuale non a necessariammagineeale ul eticolo;

F tenendo ontoche r è positiva fzè negativa,a[2]puòancheessere critta ellaforma:

, _ f, lfrl/ =^:GTfl t4ldalla qualesi deduceche la distanzaocale varia n modo inversamenteproporzionalelladistanza , e piùprecisamentehe assumel valoremassimoquandol cannocchialeiene dattato lladistanza inima i focamento1+2m),

mentreassume l valoremassimo uando ienecollimato n puntoall ' infinitotenendopresenteche per oggettia distanzesuperioria 20+25 m (distanzaiperfocale),l valore i A si può itenere raticamenteostante.

L'adattamentolladistanza i ottieneacendo ariarea distanza spostandoa lentecoilettivaramite n bottone sterno un anello igrinatooassialeon l tubocheportaI'obiettivo il reticolo.Nelloschema ino ad ora descritto,'immagineisultante all 'azioneombinata elsistemaobiettivoe del sistemaoculareè capovolta ispettoall'oggetto ollimato,mentre, erpraticità'uso, necessariohe 'immagineiadiritta.Per aggiungereuesto copo,ra a ente ollettiva il reticolo i dispone n prisma

sezione entagonaleon le facceAE e CD parallele perpendicolaril l 'asse icollimazione,entre a facciaDE è normale lleprimedue.Le facceAB, BC e DE

t3l

t75




sono lavoratea specchio. l funzionamentoiosservandoa ig.5.8.

C a p . 5LAMISURA EGLI NGOLI

tale prismaè facilmententuibile

5.3.1. CARATTERISTICHEDELCANNOCCHIALE

L'ingrandimentongolare i un cannocchialeienedefinito ome l rapportora etangenti ell'angolootto l quale 'operatoreede 'immagineell'oggettoollimato onil cannocchialel'angolo otto lquale edrebbel medesimoggetto enza'ausilioelcannocchiale.

L'ingrandimento ormaledi un cannocchialeil valore heassume 'ingrandimentoangolare uando 'oggetto sservato postoa una distanza uperiore lla distanzaiperfocale el cannocchiale> 20 + 25 m) . Esso isulta ar ial rapportora le distanzefocali rispettivamenteei sistemiobiettivo oculare.Abitualmente cannocchialiutilizzali eglistrumenti opografici anno ngrandimentiormali he varianoda 20x(strumentii bassa recisione)inoa 40x.

La chiarezza i un cannocchiale definita ome l rapportora a chiarezza ell'oggettovistoattraversol cannocchiale la chiarezza ell'oggettoistoa occhionudo.Talerapporto generalmenteinore ell 'unità.eD è ildiametro ell 'obiettivo,i ldiametrovisibile el reticolo / I ' ingrandimentoormale el cannocchiale,a chiarezzaisultaessere spressa alla elazione:

D2C= K' ----:-------;-

b ' . I 'La chiarezzadunqueè direttamente roporzionale l quadratodel diametroutiledell 'obiettivoinversamenteroporzionalelquadratoell ' ingrandimento.

ll campo di un cannocchiale rappresentatoall'ampiezzangolare el conoche ha

pervertice l centrootticodel sistema biettivo perbase l forodell'anellohe porta lreticolo. e case costruttriciefinisconol campodel cannocchialeando a distanzatrasversalehe è visibile 1 km attraversolcannocchiale.antopiùè piccolol campotantomaggiore l' ingrandimento.

La portatadi un cannocchiale rappresentataalladistanzamassima llaqualeunoggetto isulta isibile ttraversol cannocchiale.erun singolo annocchialeonpuòesseredefinitan quanto a portata ipende all'ingrandimento,allachiarezza dalledimensioni ell 'oggetto. egli strumentiopograficil ivelli), on il cannocchialeidevono ollimare trumenti etrici ome e stadie aste unghe a 1.5 m a 4 m consuddivisionin metri, ecimetri centimetri con codicia barre) ui qualisi devono

effettuareetture iretteinoal centimetroonstima elmillimetro riprese i mmagini

176

tsl

Figura .8 Schema eometricoi uncannocchialelunghezzaostante



-Il

I


C a p . 5LA MIS URADE GLIA NGOLI

per operazioni i autocorrelazioneei codici a barre: nei normalicannocchialitopograficiaportata di circa100m + 120m.

ln alcuni trumentiopograficiteodoliti)ccorre ollimare egnali he materializzanonpuntomediante naseriedi lineedel ipodi quelle tilizzateer a malerializzazioneelcentro el reticolovedi ig.5.5). n questi asi a portata i un cannocchialessumescarsa importanza ispetto a un'altra caratteristica, etta potere risolutivo oseparatore, er la qualedue puntioggetto istinti orniscono ue punti mmagineanch'essi istinti perfettamenteistinguibilioloquando a distanzara i due puntiimmagineisultamaggiorei un certo alore .

l l potere isolutivo fornito all ' inversoi tale distanza ed è un valore initochecostituiscenadellecaratteristichei ognistrumento ttico. l potere isolutivo limitatoda diverse ause,ma principalmentealladiffrazionefenomeno er il qualea unoggetto untiformeoncorrisponden'immagineuntiforme,ensì naserie i coronecircolari oncentrichehiare scurealternate,etta iguradi diffrazione).

La sensibilità i un cannocchialerappresentataall 'angolo inimo ormato a duevisualipassanti er due puntidistinti, l di sottodel qualeall 'occhio, ttraversolcannocchiale,embra he duepunti on isultinoiùseparati.Considerandohe l potere eparatoreell 'occhioudoè d i circa60", a sensibilitàiun cannocchialeisulta:^,,_ 0"_0.000291radJ = - = - i ó jI I

dove rappresenta'ingrandimentoomplessivoelcannocchiale.In baseal valoredellasensibilità, possibile eterminarea dimensione inima el

segnale isibile ttraversolcannocchialen unzioneella istanza i collimazione.elcasodell'occhiomano elquale "= 0.000291ad,si hapertanto:d"= 0.000291.D, l7 l

Quindi possibilesservare occhio udooggetti i dimensioni aggiori ugualicirca cm a distanze onsuperiori 100m.

n7




5.4. LAMINAPIANOPARALLELA

Un altrodispositivotticoche trovaapplicazioneei teodoliti la lamina pian-parallela.

Questaè costituita a un mezzodi densitàdiversa ispetto ll'ambienteircostante,separatoaduesuperfici iane parallelevediFig.5.9).Un raggio uminoso ttraversaa lamina d emergeparallelamentella direzione iincideÀzapostato i unaquantità proporzionalell 'angoloi ncidenza:

dalla ig.5.9 isulta,s

Fig.5.9 amina ian-Parallela

applicandolteorema eisenialtriangolo BC:

COS TI . \ *

sen\ t - r ) , rn !2

d , t- = -

sen(t r) co srSe e r sonoangoli iccoli, i possono ffettuaree seguentiemplificazioni:

s e n i = is e n r = r

c o s r = 1

c o s = l

s e n ( i - r ) = s e n ' c o s r - c o s i ' s e n = s e n - s e n r


= n = indice di rifrazione

I

I

I

I

I

e quindi:

d = s (sen- sen )= s sen ,-yo+) dove\ s e n i

sen I

sen r

a=, r ( l -11= in- | =ki t8 l\ n ) n

La raslazione risulta unque roporzionalell'angolo i incidenza'Neglistrumentiopograficie laminepian-paralleleono ulilizzatecomesi vedrà nseguito) er a misura elle razioni i graduazioneeicerchi.

178

^E





5.5. LE LIVELLE

Le livellesono strumenti emplici he in topografia ono utilizzate er rendereorizzontalen asse o un piano,oppureper rendere erticale n asse.Essesono

presentin tuttigl i strumentiopografici dal orocorretto til izzo ipenden massimaparteaprecisioneel il ievo.Le livellepossono sserecontrollate vistadall 'operatorelivelle feriche livelletoriche) ppuremediante pportuni ispositivittico-meccanicilivelle coincidenzaiimmagini) .

5.5.1. LA LIVELLA FERICA

E' costituita a una fiala cilindrica i vetro,delimitata uperiormentea unasuperficie calotta ferica, he riporta no o piùcerchi oncentriciv. ig.5.10) l cuicentro appresental centro ella alotta centro ella ivella).

La ialaè riempita arzialmentea un iquido onbasso unto i congelamentoalcool,benzina, teresolforico,cc.). o spazio ella ialache nonviene iempito al iquidovienesaturato ai suoi vaporiche formanouna bollache, per effettodellagravità idisponesemprenellaparte più alta della fiala. La fiala di vetro è contenutanun'armatura etallicahepuòpresentarenabasepiana uandoa ivella impiegataper rendereorizzonlale n piano (comenel caso di tutti gl i strumenti opografici),oppurepresentaateralmenten pianoo un angolare he consentono i fissare alivella d aste che devonoesseredisposteungo a verticalepaline a segnalazione,stadie er ivellazionieometriche,cc.).Facendoiferimentolla ig.5.10, 'asse -atangentellacalotta ferica elsuocentroC rappresenta'assedella ivella;l piano angente llacalotta ferica el suoverticeC

è dettopiano angente entrale; l raggio della calottasfericasi chiama aggiodicurvaturaella ivella.- r - ' I

-- l -: - . . . . . . . . . i

i r " { i ' *1 f r r-" -ì ,

iìi ,},.1_":r"'

r ' ; ' l l . j . i+ ' . 1 - . 4

Figura .10 Schema eometricoella ivella ferica

Si definisce ensibilitàella ivellal'ampiezzaell'angolo i cui ruota 'asse ella ivellaper o spostamentoella olla i 1 mm ungo 'arco ella alotta ferica.Le ivelle feriche til izzaten opografiaanno alori i sensibilitàuperiori 1'.Una ivella ferica i dice ettificatauandol piano angente entrale perpendicolareall 'asse -b,cioèparallelol piano i appoggioella iala ivetronell'armatura.In una ivella ferica ettificata,uandoa bolla isulta entrata ssiaquando i inscrive

perfettamentel centrodella iala, l piano angente entrale isulta rizzontale. e la

i

'ìi1 r

..iL.

r19




C a p . 5LA MIS URADE GLIA NGOLI

l ivellanon è rettificata,uando a bollaè centrata,l piano angente entrale aràancora rizzontale,a alecondizioneonvarrà er l piano iappoggioell 'armatura.Nei eodoliti nei ivelli,a livella ferica ienemontatan aggiunta unao più ivelletoricheaffidando lla prima 'operazionei disporren modoapprossimatol pianoorizzonlaleo I'asse erticale) gendo uccessivamenteon a livellaoricaperaffinareI'operazione.

5.5.2. LA LIVELLA ORICA

Una ivellaorica costituitaa una ialadi vetroquasi ompletamenteiempitaonalcool, tere benzina,acuisuperficienterna a a orma i unasuperficieorica.La parte nterna onoccupata al iquido riempita aivapori el iquido he ormanounabolla aquale, ereffetto ellagravità, i dispone empre ella artepiùaltadellafiala.l l puntodi intersezione (vedi ig. 5.11)dell 'asse i rotazione -a cen l piano4perpendicolarell'asse tessoe passante er il centrog del cerchiogeneratore eltoroide ui appartienea fiala, appresental centro i curvaturaella ivella.l pianoapassante er l puntoC intersecaa livella econdo'arcoA8, dettoarcodirettore, onraggio = CMche appresental raggio i curvaturaella ivella.

-i1-{.t-t1."-,=-*.-*': .ù

: 41:

" ' : , *

Figura .11 Schema i una ivel laorica

Lazonasuperioreella ialaporla ncisa nagraduazioneon ratti distanzaostante(generalmenle mm):ognispazio ompresora due rattisuccessiviienedettoparfe.Le paftisono disposte immetricamenteispetto l puntoM cherappresental puntocentrale ell'arco irettore.La angente all'arco irettore elpuntoM è detta angente entraledella ivellaorica.

La fiala di vetroè racchiusan un'armatura etallica he presenta na base diappoggio iana.L'armatura fissata llabasedi appoggiomediante nacernieraunaestremità, d è munita i un dispositivo doppia ite(Vr,Ve vedi ig.5.11)direttifica he permette iccolispostamenti rizzontali verticali ella ivellaall'internodell'armatura.Lecaratteristichei una ivellaorica onoquelle iàdefinite er a ivella ferica cioèlapronlezza la sensibilità.Se s rappresentaa dimensioneellaparte 2 mm) l valore ell 'angoloorrispondenteal trattodi arcodirettore ompresoradue ratti uccessiviellagraduazionvarra /r esi chiama aloreangolaredellaparte.La sensibilitàdi una livella oricaè convenzionalmentespressa ome il valoreangolare orrispondente un trattodell'arco irettore i 1 mm. Essavieneespressacon a notazione /b dovea indica l valoreangolare ellapartee b il valoredellaparte

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in millimetri.d esempio na ivellaorica,ndicataomeda 30"/2, vràunasensibilitàparia 15".Le livelleoriche pplicate egli trumentiopograficiannouna sensibilitàvariabilia /'fino a pochi econdi essagesimali.Una livella orica è rettificata uando a tangente entraleè parallela lla rettad'appoggio.Labolla i una ivellaorica i dicecentratauandoamezzeriaellabolla oincide onil centroM dellagraduazione.uando a bollaè centrata a tangente entrale isultaorizzontale.Poiché isulta iù facile ndividuaremenischiaterali ellabolla,ossia e sue partiestreme,a centraturaellabollaawiene acendon modoche due menischi ianoequidistantial ratto entrale ella raduazione.a valutazionei questa quidistanzaè semplificataallapresenza ellagraduazioneomesi puònotare sservandoa fig.5 .11 .

Descriviamoadesso le operazioninecessarieper rettificareuna livella torica e

rendereorizzontale n asse.Consideriamona ivellaoricanon rettificatacioèconpiedini 'appoggioi allezza iversa);isponiamoa ivella ull 'asse -m vedi ig.5.13)e, ruotandoostesso sseattorno l puntoO, centriamoa bolla.

F ig . .13

-zè-te--

La tangente entrale ella ivella f)saraorizzontale formerà n angoloq con 'asse

m-m che, a sua volta sarà inclinato ello stesso angolo a rispettoall'orizzontale.lnvertiamodessoa ivella ugli ppoggi,uotandolai un angolo aria x.La bolla si spostadi una quantitàpari a n.s (vedi fig. 5.14) cui corrispondeun'inclinazioneella angente entrale i unaquantità aria 2adovula ermetàal fattoche la livellanon è rettificata per la restantemetàal fatto che I'assem-m non èorizzontale.Dovremo uindi gire ulla itedi retti fica ella ivellaacendon modoche a bolla isposti, erso l puntoM,diuna quantitàpari /zn.se ancora, er a restante età, ulsegmentoi appoggio -m entrandoefinitivamenteabolla.

F ig . .14

ln questomodootterremo ial'orizzontali tàel segmento i appoggiom-mche a ivella

rettificata.

c )

_\\ l- -

$ti!IT

r 8 l





Le operazionida compierecon una livella oricaper rendereorizzontale n pianosono nvece e seguenti:unpiano uòesserendividuatoa repunti ppure a due ette iacentiu di esso.Dinormagli strumentiopografici resentanon supporto i base ornitodi tre razze

disposte 120",alle estremità ellequalisi t rovano re viticalantiCt , Cz,Q (vedi ig .5 .15) .Leduerettea e b indicaten ig.5.15definisconol piano i appoggioello trumento.Affinché uestopianosia orizzontalearàsufficienteerificarehe e due rettea e b,chegliappartengono,o siano. I

Figura .15 Livellaoricaper endere rizzonlalenpiano

Ricordandouanto ettosopra i procede elseguentemodo:F si disponea livella econdo uevitidel basamentoadesempioCr e Cz)e si

centraabolla onmoto imultaneocontrarioelle ueviti;F si ruota a livelladi un angolopari a n nellaposizione , comevisto nel caso

precedente,e la bolla imane entrata uoldireche essaè rettificata,ioèche asua angente entrale parallelal piano a rendere rizzontale;

F se la bollasi sposta, i correggeo spostamentoer metàcon a vitedi rettifica re permetàagendo uovamenteonmotosimultaneocontrarioulle uevitiCre Cz. nquestomodo a retta risulta ertamenterizzontale;

F infine i ruota a livella i un angoloparia tr/2disponendolaerso alerza vitedelbasamentoCs) I'eventualepostamentoellabolla i corregge perando ullavite V3.A questopuntoanche a rettab è orizzontale di conseguenzal pianochecontienee rette e b risulterànch'essorizzontale.

Le operazioni appena descritte, servono anche per rendere verticale un asse(asse principaledi uno strumento) he è sempreperpendicolare l piano delbasamento.

182



G.COMOGLIO Cap.5TOPOGRAFIACARTOGRAFIA LAMISURA EGLIANGOLI

5.5.3. LA LIVELLA ORICA COINCIDENZAI MMAGINI

Purnonessendo iùpresente eimoderni trumentitopografici,escriviamolprincipiodi funzionamentoi questaparticolareivella, n quanto rova applicazioneegli

strumenti tticomeccanicii altaprecisionehe n alcuni asipossono ncora ssereutil izzati.Questo particolare ispositivo ermetteuna maggiorecomoditàe una maggioreprecisionen quantol centramentoellabolla iene iudicato ediantea coincidenzadi particolarirattiosservati ediante n microscopioemplice.

Figura .16 Livellaorica coincidenzai mmagini

Sulla iala, henon iporta lcuna raduazione,montato n sistema i prismi vedi ig.5.16)attraversol quale isulta isibile ll 'operatore,a bolladivisaa metà n sensolongitudinale.La ivella isulta entrata uandoe duemetàdellabolla oincidonoormando nasolaimmagine.L'errore i centramentoaleper una normaleivellaoricaagraduazione =0.Ir/v"€

per a livella coincidenzadimmagine =0.06# in cui V = s€rìsibilitàspressansecondi essagesimali.

5.6. LA BASETTA OPOGRAFICA

Abbiamo iàaccennato come,abasettaopografica,iaun dispositivoheserve ercollegareostrumentoopograficol treppiede.Essaè composta a un basamento da unapiastra asculantel cui assetto ispetto lbasamento controllato a tre viti calantidisposte i verticidi un triangolo quilateroinscritto elbasamento.ll basamentoviene rigidamente ollegatoalla piastradi appoggiodel treppiede

mediantea vitedi issaggio.La piastra asculanteerveda supportoisicoper o strumento. ssaè dotata itre foriposti n corrispondenzaelleviti calanti oppure i un unico oro centrale) qualiospitano tre perni o I'unico erno entrale) i cui sonodotati basamenti i tutt iglistrumentiopografici.l centrodellabasetta il centrodel cerchio assante er centridei re or i odel orocentrale).La piastra asculante dotatadi una ivella ferica, tilizzataer rendere rizzontaleapiastra asculantetessa, di un piombino tticoperconsentirei disporrel centrodellabasettaungo a verticale assante erun puntoa terra.Pergl istrumenti otati ipiombinoaser a basetta sprowista i dispositivier l centramento.

L'operazione i messa in stazionedella basetta consiste nel raggiungere,contemporaneamente,ia a condizionei centramentoella ivella ia a collimazione

183




attraverso l cannocchiale el piombinoottico del puntoposizionareostrumento.


a terra su cui si vuole

Figura .17 basetta i un eodolite

5.7. CONDIZIONII RETTIFICA ELTEODOLITE

Nel eodolitei possonondividuareseguentitressi ondamentalivediFig.5.18):F asseprincipaledi rotazioneell'alidadaat)F asse econdariodi rotazioneelcannocchialeaz)D asse erziario di collimazioneelcannocchialea3)

Figura .18 assi ondamentalii un eodolite

Le reparti hecompongonon eodolitebasamento,lidada cannocchiale)evonoessere ssemblaten modo aleche si realizzinoe seguenti ondizionieometriche,dette ondizioni i rettifica el eodolite:

1. tre assi fondamentali evono avere come unico punto d'intersezionelcentrostrumentale;

2. I'asseazdeveessereperpendicolare ll'assea1;3. I'asseasdeveessereperpendicolare ll'asseaz.

184

br--




5.7.1. CONDIZIONEPERATIVAELTEODOLITE


Per arsi che l teodoliteossamisurareorrettamenteliangoli zimutali zenitali,è necessariohe 'asse r siaverticale.nquesta ituazione,nfatti, e lo strumento

rettificato,i realizzanoeseguenti ondizioni:D ilcerchio zimutaleiacenunpiano rizzontaleD i lcerchio enitale iacenunpiano erticaleF l'assea2è orizzonlaleF I'asse sdescrive iani erticali assanti er l centro trumentale.

5.8. MESSA NSTAZIONE ELTEODOLITE

Da quanto isto inora, appiamo he l teodolite in grado, navoltaverificateecondizioni i rettificae realizzataa condizione perativa, i misurareun angoloazimutaleosìcomeè stato efiniton5.1.

L'asse rincipaleassedi rotazioneell'alidadaar)oltre l rispetto ella ondizioneiverticalità, ovrà anche passareper il punto di stazione ndividuato ul terreno.L'insieme i questeoperazioni i dice di messa in stazione del teodolite. Laprocedura he descriveremon seguitoè consigliabilegli utenti "poco esperti"nell 'usoel eodolite:malerializzatol puntodi stazione terra, i procede apprima on a messa n stazionedi un reppiede di una basettaopograficaotata i livella ferica di piombino ttico;questaoperazione onsiste el far si che il centrodella basetta ia postoall'incircasullaverticale el puntoa terra e che il pianod'appoggio el la basettastessasiaall ' incircarizzontale.gendo ulle re viti calanti ellabasetta i collima oi con ilpiombinotticol puntoalerra.

Aquestopunto

a livella fericadellabasetta arà certamente centrata quindi, iprocederàl suocentramentoariando pportunamentea lunghezzaelle regambedel treppiede. i controlla,er scrupolo, he l piombino ttico ontinui collimarelpuntodi stazione terra.Se la collimazione tropposcadente, i ripetedaccapoaprocedura rimadescritta.Si inserisceuindi l teodolite ellabasetta:n questa ondizione'asse rincipaleelteodolite i troverà ullaverticale el puntodi stazione terracon a precisioneipicadella ivella ferica ella asetta.Successivamente,i perfezionaa verticalitàell 'asse rincipale ediantea livellatorica montatasull 'alidadaeguendoe procedure ià viste nel paragrafo .5.2.util izzandoe reviticalanti ella asetta heora orma, on l eodolite,n corpo igido.Al terminedi questeoperazioni,l centrostrumentaleel teodolite i troverà ulla

verticaledel puntodi stazionea terra con la precisione ropriadella livella oricaulilizzala.

r85





5.9. MEZZIDI LETTURA I CERCHINEGLISTRUMENTI TTICO.MECCANICI

Abbiamo iàdetto he l cerchio rizzontalesolidale llabasamento, entre relativiindici i ettura onosolidali l l 'alidada;l cerchioerticale solidale l cannocchiale,i

relativindicidi lettura ono nterni ll'alidada.cerchigraduati onodi vetroottico;agraduazione,inissimalospessore ei ratti dell 'ordinei 1/10o 1/100 m),è incisadirettamente ul vetro,o riprodottaotograficamente.lraggio i alicerchi aria a4 ad 8 cm.L'osservazione i cerchi si esegue con microscopicomposti, l cu i percorsoè notevolmente omplesso;all ' internoel eodolite i trovano ei prismi he portanole immagini ei cerchinel cannocchialettoi lettura,specchi he illuminano cerchistessi, onvogliandoaluceesternavedi ig.5.19).Si leggono irettamentegradie le frazioni i gradoincisesul cerchio si valutanoe frazioni i intervallosecondo uemodalità:

F medianteonteggio stima strumentistima)> mediantemisuradella frazione tessa strumenti

micrometrici).

Fig. .19 l luminazionelettura elcerchio

5.9.1. LETTURA STIMA

ll nonio (o verniero, ai nomidei suoi nventori,l portoghese unes d il franceseVernier) il piùantico istema erstimare n ntervalloi graduazione.ll nonio ircolare costituitoa un settore i corona ircolarevediFig.5.20)applicatoal lembodel cerchiograduato concentrico questo, ul qualeè riportata nagraduazioneon originen 0 e crescente elsenso oncorde onquella el cerchio.Indicandoon n il numerodegli ntervalli ellagraduazioneel nonio,ognuno onvalore1 la sua ampiezzaotaleè n /e abbraccia n arcodel cerchio omprendenten-1) parti,ognuna onvaloreL > l, di ampiezza uindi aria (n - 1) L; poiché e dueampiezze ono ugualisi avrà:n . t=(n - t ) r

Figura .20 nonio

Sviluppandoa (9)si avrà:T

L - l = an

Ladifferenza -lrappresenta'approssimazioneelnonio.

186

tel

[10 ]



L'indice i lettura la acca tessa he ndividuao zerodella raduazioneelnonio; ileggono irettamentee parti ntere ul cerchio raduato la porzioneesidua aràpariall 'approssimazioneel nonio,moltiplicataer il numerodi partiche portanoalla

coincidenzai un ratto ella cala elnonio onunodella raduazionerincipale.

fettura= 289on,72

Figura .21 lettura on l nonio

ll nonio osìdescritto on è più util izzato ei eodoliti ttico meccanici, ase ne èparlato in quanto negli strumentielettroniciattuali viene spesso ulilizzatounmeccanismoi stimadellaparte razionariaellagraduazionerincipalehe è simile.

Un sistema hepermette i aumentarea precisionei lettura quello he util izza nmicroscopioer ingrandire'intervallora due tratticonsecutiviellagraduazioneelcerchio. a lettura iene atta eggendoe parti nteredi angolo he precedono'indice

di ettura stimando,olitamente,omepercentualehevienetradotta mentalmenten termini di frazionidi angolo, aporzioneesiduavediFig.a fianco).

Dato, eresempio, n cerchio raduato i 10cm di diametro,suddiviso l decimodi gradocentesimale,sso avrà 4000tratt i n i formementeistr ibui t iui100"3.14=314mdel la uacirconferenza,on un ntervallora rattoe trattodi 314/40000.078mm.Con I'osservazioned occhionudo non sarebbepossibilealcunapprezzamentoella razione i grado.

Utilizzandonvece n microscopioomposto 30 ingrandimenti,' intervallopparenterisulta ell 'ordinei 0.078.30 2.4mm, l cui decimopuò essere acilmentetimato;l'approssimzione ella ettura elvalore i 0.01sonisulta osìgarantita.


lettura= 21 son64

letturazenitale 94,065

letturaazimutale: 14,965

Cap. 5LA MIS URADE GLIA NGOLI

l l microscopioa scala

(vediFig.a fianco)è unavariantedel metodo precedente. l microscopio

dotatodi un reticolo ormatonon solo da un trattobensìda una scalagraduataa tratti equidistanti. alunghezzaella cala el eticolo pariall ' intervalloradue ratti onsecutiviel cerchio raduato.Solitamente'intervalloellagraduazionedi leon lascalaè divisa n 100 parti,per cui un solo ratt opuòcadere ell ' intervalloella cala.L'indicedi letturaè rappresentatoallo stesso rattodella graduazione. a letturaè pertantopari allasommadel valore ellascalaprincipale quello etto

sulla cala elreticolo. onquesto istema possibilela ettura inoal centesimoi gon.

187




5.9.2. STRUMENTI ICROMETRICI

Nei sistemi i lettura n cuidell 'occhiomanonel realizzare

l e î l u raor i zzon la le : 34 ,318 on


si ricorreai micrometri vienesfruttataa sensibilitàun puntamento la coincidenzai due ratti. 'occhio

umano ha la proprietàdi aumentare l potereseparatore i ci rcaquattro oltequando ebbastimarela coincidenza i due trattio la bisezione i un trattoall ' internoi altr idue.Le letture ossono wenireperbisezioneo per coincidenza i immagini.Questi sistemisfruttano e proprietàottiche di unalaminapiano parallela vedi par. 5.4.), posizionatalungo il camminoottico di letturadei cerchi che,mediante a sua rotazione, posta I'immagine elcerchio ino ad ottenereuna coincidenza unabisezione.NellaFig.a fianco i il lustra n esempio i letturacon

micrometroottico) per bisezione dei tratti dellagraduazioneel cerchio.l reticolo costituitoa duetrattiparalleliissiche normalmenteadonon unaposizionentermedianterna d untrattodi graduazionerincipaleel cerchio.Manovrandopportunamentea laminapiano parallela, i sposta 'immagine elcerchio ino ad ottenerea bisezione ei due tratti isside l reticolo on un trattodellagraduazionerincipale.a rotazione,orrispondentequesto postamento,i leggeràdirettamenteulmicrometron razioni i gon.

ll sistema i lettura coincidenza'immagine stato deato a Wilde oggiè impiegatosulla otalità ei eodoliti ttico meccanici i altaprecisione.

Nel campo di letturadel microscopio engono iportate, ttraverso n opportunopercorso ttico, e immagini ellegraduazioniel cerchio i misura orrispondentiposizioniiametralmentepposte,n modo he isultinoontemporaneamenteisibiliconfrontabili.ngenereedue mmaginiono ovrappostecapovoltevediFig.5.25).

lettura140.son4235

primadellacoincidenza dopo acoincidenza

Figura .25 microscopiocoincidenza'immagine

Sulpercorso i ognuna elledue mmagini inserita na amina iano parallela,heun semplicemeccanismod ingranaggiegola n modoche la rotazione i una siauguale di verso pposto quella ell 'altra.Normalmenteeduescale hesonoaccostatepecularmene,oncombaciano.

I

l ' u * l

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141

r 8 8

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CaP.5LA MIS URADE GLIA NGOLI

Se ad esempio u quella he si legge iritta ediamoa taccadi un angolo ntero uquella uperiore apovolta'angolo he si dovrebbeeggere cioè l precedente iùI'angolo iatto) onè perfettamenten coincidenza;iò nquanto raro areuna ettura

esattaall'angolontero. a distanzara questedue acche appresentanfatti l doppiodella parte frazionaria ella letturada stimareche, sommataalla parte intera,costituiscea ettura ngolareorretta.Permisuraree nonstimare d occhio) uesta artepossiamo eviarel percorso tticodi entrambee semi immagini inoa portarle coincidenza,tlraversoa rotazione iunavitechecomandaa rotazioneontemporaneaelle ue astre iano parallele.ll risultato che ad un apparentepostamentorizzontalen un sensodell' immagineinferiore orrisponden egualespostamenton sensoopposto i quellasuperiorecapovolta. o spostamento he realizzaa coincidenza,orrispondente metà deltrattoancorada stimare, a sommato lla ettura nteradellapiù piccola uddivisioneprincipalehe si leggedirettamenteul cerchio nchesenza 'aiuto i un indicedilettura.Questo ndice di letturapotrebbe nfattianche essere omesso,perchéè

evidente uale ncisione ellagraduazioneiritta oincida onquella uperioreu unangolo iùgrande in.Anchequi,come nel casoprecedente,a rotazione elle aminepiano paralleletrasformatan un valoreangolareettosu una seconda calamicrometricaisualizzataaccanto llascalaprincipale.

r r t t l t t t t l t t t

lettura 105,son8224

Fig.5.26 esempi i ettura coincidenzai mmagini

Altrecasecostruttricinziché lilizzare uestometodonserisconoul percorso ttico,che proviene ai lembiopposti el cerchio, ellecoppie i cuneiotticiemisimmetricitraslabilin altezza.Lo spostamentoineare ra le facce prospicienti uesti cunei si traduce n uno

spostamentongolare gualee contrariora leporzioni

i cerchio isualizzateirittaecapovolta.La sensibilitàellamisura intesa ome a più piccolarazione i gon leggibile llostrumento;ei eodoliti i altaprecisioneuòessere aria una razione i 0.0001 on(s< 0,1mgon).La precisione,ntesa omesensibilitàapportatal fondoscala trumentale,elcaso,

adesempio,ncuis siaparia 0,1 mgonsarài p =qg = 2.5.10 . 400Questa ensibilitàonè ancora tata aggiuntaon modernieodoliti igitali cerchiocodificato.E da mettereuttavian evidenza ome a precisionei misura ngolare oncoincidaconquella i lettura er a presenzaongiuntai numerose ltrecausedi errore, hevedremonseguito.

lettura 147,son2536

1 8 9





s.1O.MEZZI I LETTURA I CERCHINEGLISTRUMENTI LETTRONICI

I metodi i misura lettronicaegliangoli, engono pesso lassificatiecondoatecnica on cuivengonoetti cerchi di conseguenzaallemodalitàoncuivengono

incis i .Vi sono eodoliti lettronicihe utilizzanoerchi odificati hepermettono i conoscereautomaticamentea posizionessoluta ell ' indicei lettura ll ' internoelgoniometro,quindi ella ettura erodello tesso, d altri heeseguonoa ettura cerchi raduati,che n genere onsentonoi misurare naposizionengolareelativaispetto d unaprecedente.Nelprimo asoawieneunamisuraassolutadelladirezione ngolare nelsecondounamisura ncrementale.Una seconda lassificazionebasata ullemodalità i misura ngolare: uestapuòawenire taticamente dinamicamente.elprimo aso lcerchioimane, ome n unteodoliteradizionale,olidale llabase,mentre ell 'altroaso l cerchio ubisce narotazionehenonè quella ell 'alidadaaè prodottaa deimicromotoriontinuamente

attivi urantea misura.Parliamo rimadi alcuni oncetti ulla ettura lettronica,odificata graduata si puòchiamaren sintesiettura igitale) er po i entraren meritoa particolariipi di teodol itielettronici stazioniotalied ai relativi istemi i lettura.Comeanticipato,iamo n ognicaso n presenza i strumenti el uttosimilia quellitradizionali,on cerchidi cristallo ui quali a graduazione,odificata numerataottenuta ncora ttraversorocessi i fotoincisione.

5.10.1. LA LETTURA SSOLUTA

Supponiamoradi distendereu un ratto ettil ineo'interairconferenzaullaquale

è incisa naparticolareraduazioneFig. .27).Definiamou un'origineell ' incisionelvalore eroe sulla ine a ettura sviluppoellacirconferenza)= Znr.Cerchiamoi capire onqualimezzi, ome aràpossibilea ettura igit ale elcerchio.

c : 2 n r

Figura .27Principio ella ettura ssoluta

Supponiamoi dividere uesto ratto ungoc in due parti.Unapartesia anneritanmododa renderla pacaalla ucee I'altrametàsia rasparente. osìsi è operataunaprimasuddivisioneer due del cerchio. o spessore i queste igheopachesia diqualche ecimo i mm,cosìche n pochimmse ne possano isegnared esempio 6o 32.Nella iga successiva i divida o stesso ntervallo in quattropartie si anneriscanoalternativamenteue di questequattro arti.Supponiamoi fare a stessaoperazionein una erza iga, ividendolan 8 parti d ancoran unaquarta igaove e suddivisionisaranno 6.In unaposizione ualsiasielcerchio, u queste uddivisioniarallele,upponiamoisianoquattro otodiodi di frontea questi, ull'altraacciadel cerchio i cristallo, na

sorgenteuminosa.mmaginiamoi dover are una ettura uando uesti otodiodi itrovano d esempio ella ezione -A.

190

L.





Leggendo segnali i luce e di buio provenientiai fotodiodi ossiamo,n modoassoluto, nchese con unaprecisione bbaslanza carsa n questoesempio, aperedove si trovano fotodiodi ispettoal cerchio, ioè all'interno i questabandache

abbiamo isteso.Nelcasoesaminaton igura fotodiodihepermettonol passaggioella uce, gnunoa seconda ellapresenza i una zona rasparented opaca, egnalanol primo apresenzai unazona cura 0), l secondoapresenzai unazona hiara 1), l erzo apresenzai unazona cura(O)lquarto uella i unazona rasparente1).Questo isultato, n inguaggioinario,l numero quivalentella ettura ngolare.Possiamonfatti enderci ontocheattraversol primo otodiodo iamo n gradodi direcheeseguiamona etturaminore i clZ.Con il secondootodiodo ossiamo ireche la letturaè maggiore i cl4 ma sempreminore i cl2.Con l erzo i puòdirecheè maggiorei 2cl8maè ancheminore i 3cl8e con l quartootodiodoi puòdirecheè maggiorei 5cl16maancheminore i 6cl16,quindinell 'esempioa lettura ngolareinale, ssendo = 400 gon,saràun numeromaggiorei 125gone minore i 150gon.In manieraapprossimataiamoora gradodi fare queste ettureangolari; 'erroremassimon questo sempio oco ealistico, la metàdellapiù piccola uddivisione,cioè+12,5 on:è chiaro heuna ettura ngolareonerrore osìaltoè insufficiente.Occorre rascendere alprincipioi unzionamentollapratica pplicazione.Non è possibile umentare i molto,per problemi isicidi spazio, l numerodeifotodiodi, ome pure non si può suddividere ll'infinitoa larghezzadella coronacircolareelcristallo.Questosistemadi misuraassoluta, ome pure quello ncrementalevrà bisognonecessariamentei un secondo istema i letturaine,che permetta ioè a letturadifrazioni ellepiù piccole arti nterenellequaliè suddivisol cerchio,n analogia

quanto weniva ei eodolititradizionaliolsistemamicrometrico.Deisistemimicrometricii lettura igitale arleremo iù avanti, n cennose ne feceparlandoelnonio, eroraci basti apere hesononecessari.Abbiamo arlato i ettura igitale ssoluta elcerchio,nquesto aso nfatti possibilesapere esattamente ove si trova I'ipotetica ettura di zero rispettoall'assedicol l imazione.

5.10.2. LETTURAINCREMENTALE.

Supponiamoi suddividerel cerchion un certonumero i partichepossono sserespinte inoad unasuddivisioneinima comune ncheneicerchi raduatiradizionali

analogici),d esempio d 1/10di gone supponiamohenonesista nanumerazionema che esistauna piccola orgente i luce soprauna zona dei cerchi la zonadell' indicei ettura igitale).Sottoquestae sotto l cerchio n fotodiodo,ensibile l passaggioella uce, rasmettead uncircuito lettronicoi conteggiosegnali i chiaro-scurohe,durantea rotazionedell'alidada,onopassati causadei ratti rasparentilla ucee dei rattiopachi.Questondice i lettura erconteggio solidale ll 'alidada misura osì a rotazionetra il sensoreed una posizione onvenzionaleel cerchioche è solidale on ilbasamento.Si è in gradocioè,a partire a questo erodel uttoconvenzionale,perché ssume desempioa ettura eroall 'accensionetrumentale)i sommare di sottrarrel numerodi volte he l sensorevede" nodi questi assaggitral chiaro loscuro.Unodeiproblemi capire utomaticamenteual'èadirezionei somma quale uelladi sottrazione i questi conteggi,ad esempio 'orariadi somma e I'antioraria i

l 9 l



G.COMOGLIO Cap.5TOPOGRAFIACARTOGRAFIA LA MISURA EGLIANGOLI

sottrazione,n altri terminioccorrecioè capirequal'è a direzione i rotazione elcerchio.Ciòsi risolve tilizzandoiù sensori fotodiodo, fasati ngolarmentei quantità ote,cioèposti n partidiverse el cerchio. vendo ollocato ttorno l cerchio iù otodiodi

con un certosfasamento oto,a seconda ella otazione raria antioraria ell'alidada,un segnale rr iva ul ratto paco luminoso rima dopo 'arrivoell 'analogoegnaleproveniente a altri fotodiodia secondache si ruoti I'alidada n senso orario odantiorario.a sequenza i tratti rasparentid opachi acioèun certoordine e si ruotainsenso rario I'ordinenverso e si ruota nsenso ntiorario.In genere utti metodidi letturadigitale sanopiù seriedi fotodiodi ispostin partidiverse elcerchio.Vi è poi l problemadentico quello ella ettura nalogicaeicerchi raduati:uello isaperarrivare d una approssimazioneellamisura ngolare iùspinta ellaminimasuddivisione;erve ioèun nterpolatore.l l sistemanterpolatorein genere ostituitoa unaseconda raduazionencisa u un

piccolo etrino i cristallo olidale on I'alidadao con il cannocchialeer le misurezenitali)nterpostollagraduazionerincipalen prossimitàelsensore ttico,n modotaleche a luce,passante er l cerchio questa econda calaproduca elle rangediinterferenza. uestevengono ette a loro voltacon altri sensoridigitali CCD)chericevono misuranolivelli i grigio elle range osìprodotte.A secondadellaserie di livellidi grigiodella iguradi interf renzache è un trattoabbastanzampio ispetto l leminime uddivisionirn", adesempio i 16m,32m),permeglio ire,a seconda ellaposizioneei ivelli i grigio dell ' intensitàei ivelli igrigio, i ha a possibilitài interpolarell ' internoellaminima uddivisioneullaqualecade 'indicei ettura.Questoawiene n quanto l segnale ttico ieneconvertiton formadigitale vienemisuratoo sfasamento <p ell'ondanterferometricaosìosservataon unasensibilità

pari o migliore i 1/100 del minimo ntervallo ella graduazione rincipale. i èrealizzaloosìun micrometroigitale.

5.11.ESEMPIISISTEMI I LETTURA

ll primosistema he esaminiamo quello ellaLeica-Wilddottato egli trumentiTheomat 2002 e nelTheomat 3000.Si trattadi un sistema i lettura inamica i altaprecisione,he essenzialmentei basasu misure i fase,per cui la misura i unadirezionei rasformaellamisura i un ntervalloi empo.Uno degli erroridi cui è affetta a misuraangolare I'errore esiduo i graduazione.Questo rrore pressochénevitabile,asi riduceradizionalmenteon l metodo ellalettura strati, ttraversoa reiterazionela ripetizione.Nelmetodo i lettura inamica invece ossibileeneren considerazionemisurarenun certosenso),utte e suddivisionii ognipartedel cerchio d ognisingolaetturagoniometrica,iducendo on ciò in teoria a zerc sia questoerrore,sia I'erroredieccentricitàell 'alidada.uesto wienead esempio ello trumento ildT2002.Entrambi cerchidi 52 mm di diametro onodivisi n 1024 ntervalli,uttiosservati dogni misuraattraverso na rotazione ompletadel cerchiodi cristallograduato nidentici ntervalli rasparenti opachi. l segnale uminoso,radottodai fotodiodi nsegnaleelettrico, on è più un segnalestaticoma una vera e propriaondaelettromagnetican quantol cerchio uota ontinuamente.Questo egnale,ariabileel empoe dipendentealla otazioneelcerchio, roviene

da duepredispostearriere i fotodiodi,nasolidale ll 'alidadaR)e posizionataulla

t92

U



G,COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA

parte nterna el cerchio la seconda S) issaalesterna ello tesso erchio.


basamentod esaminantea parte

Q = n . 9 L r + ^ l T = n . T r + A T

Figura .28Sistema ssoluto inamico eicaWild

Durantea rotazioneel cerchiol segnaleuminoso d ondaquadra,rasformatoaifotodiodi n segnaleelettrico, ermette d ogni istante (la completa otazione elcerchio wiene n 338ms),di misurareo sfasamentora due segnali e R mediaretutte e numerosissimeisuredi sfasamento seguiten questobreve ntervallo itempo.La misura i questo fasamentoostituiscea misura fine" ell 'angolo.imilmenteidistanziometrid onde, 'angolo p hedal centro i rotazione sottesora il sensoresolidale l basamentoquello olidale ll 'alidadaaràparia:{p= rz{poA*

t11ldoven è una costantentera he si ricava al conteggio el numero i chiaroscuriosservati a Lg o da Lp.Nel caso n esamego = 2n11024,ssen66 o a più piccolapartedi graduazioneelcerchio.Esistedunqueuna misuraapprossimata<pod una misura ine A<p. er eliminarel'errore i eccentricità,ia sensori g che sensori p sono n realtà oppie i sensoridiametralmentepposti.Un unicoprocessore resiede media e numerosissimemisure he dannopoi uogoalla ettura zimutale zenitale. a misura d il calcoloawieneperentrambicerchin meno i un secondo.E anchepossibile redisporreo strumentoeruna ettura ontinua hepuòawenirecon cadenza i 0,1 s o di 0,15 s, diminuisceerò n questomodo a precisioneilettura.Per il cerchio zimutale, g è postonellaposizioneonvenzionaleellozerodellagraduazione,er il cerchio enitale g è in direzione ellozenitmentreLp è nelladirezioneelcannocchiale.l sistema i ettura,unque, un sistema ssoluto.

Percorreggeree etture enitali all'errorei verticalità,l percorso ella uce nfrarossadeisensori enitaliiene reventivamenteeviato a uncompensatoreliquido.Quandoviene mpartito'ordine i misura, n motore uota l cerchioazimutalezenitale d una velocità igorosamenteostante ntro imitidi tolleranza emprecontrollati.l conteggio el numero nteron di suddivisionira i sensori g e Ln èsemplicen quanto ra le graduazionisiste namarcadi riferimento,uranteutto l

193





giro del cerchioun contatore onta l numero i graduazioniopo l passaggio elriferimentoa Lq sinoal comparireello tessonLg.La misurainedellaparteAq awienedopoaverconvertitol segnale ompletodi338ms di durata)n formadigitale.l segnale iene

analizzatottraverso n contatore onfrequenzai campionamentoi 1,72MHz.Dunque 38 ms osservati 1,72MHzcorrispondonod un numero i campioniC' n400gon:c = 33g 10-3 1 72"106 591*103 l12lLaquantità inimavisibile"alsistema igitale allora i1= (400.163lSA1* 103= ,68mgon t13ll l periodo i chiaro curo di T=338ms/1024 339Ur.In realtànon si deveconsiderarea tolleranzaimite t"della etturama il suo scartoquadraticomedioo. lpotizzandoagionevolmentea funzionedensitàdi probabilitàabbia a formadelladistribuzioneettangolare che il supporto i variazione ia

appunto i 0.68mgon,l valore i o si ottiene a:.0,68mpono = +::ff: =t},2mgonÍ41

"112inquanto i hanno sensori iametralmentepposti.Dobbiamoonsiderarencora he e misure i faseconteggiateonoben1024e, nelvalutarea misura, i iene onto i uttiquesti onteggi;erquestoaprecisioneeorica

limite umenta i un attore !3-^11024

La radicedi due al numeratore dovutaal fattoche a lettura ngolare ottenuta erdifferenzaelle asiprovenientiaisegnali e S.In almodo i ottiene ero il valoreimiteminimo:d=+(O,zmgon23)= 10,01 gon [15 ]

Loscarto uadratico ediominimo ttenuton aboratorio,uindincondizionidealimanon eoriche i misura, stato uttavia i 0,05mgon.La casacostruttriceornisce nadeviazionetandard i 0,15mgonperentrambee letture i cerchi econdoe normeDIN1872111). a risoluzionei ettura tuttaviapinta 0,01mgon.ll compensatoreliquido iliconicogisce uentrambi l iassidi rotazioneel eodolite:principale secondario,d ha una precisionei rettifica i 0,03mgon,diminuendoI'influenzaell'erroreiverticalitànche ulle etture zimutali.

Di seguito illustratol sistema i misura ontinua, tatica concodificatoressolutoadottato ei eodolitiTl000 T1600 ella ittaLeica-WildFig.5.29).

lcerchiazimutale zenitale i 78 mmdi diametroonosuddivisin 1152graduazioni,raggruppabilin maniera istinguibilen 128settorida0 a 127).ln ciascun ettore ioèvi sono 11521128 9 informazionilementario divisioniseconda i come e si intendono)i 0,27mmdi interasse.n maniera inaria uestesuddivisioniontengono:n "marker",ioèuncodice hesegna 'inizioelsettore, bitcontenentil numero i settore d un bitdi parità er lcontrolloelle etture.I cerchi,issi ispetto l basamentod all 'asseecondarioel eodolite,ono lluminatiin prossimitàell ' indicei lettura lettronicoon un leda luce ossa he llumina napiccola artedel cerchio: irca4 gon,di pocosuperiore lladimensionei un settorecheè 40011283.125 on,proiettandoa uceal di àdelcerchio.

rchesonodivenuteo standardervalutaree precisioni i teodoliti radizionali d elettronici.

194




C a P . 5LAMISURA EGLIANGOLI

La luce, dopo il passaggio ttraverso na lente ngrandente,ade su un sensoreformato a unaserie i 128 otodiodi. uestiotodiodionogovernatia unprocessoreche converte l segnale nalogicouminoson formadigitale osicché n numero

binarioraduceostato uce/buioer

ognuno ei otodiodi.Su4 gondi ampiezzaelsegnaleuminosoonoposti128 otodiodi,werovi sonosuunsettore i 3.125gon,esattamente00 otodiodi: questol sistemamicrometricoilettura ll ' internoi ciascun ettore.

3.2mm (A =0.025 nm

Figura .29 l sistema i ettura el eodoliteeicaWildTi1600

ll diodo ed illumina unquesemprealmenoun markerdi settoree permette lprocessore i capiresottoqualedei due o tre settorisi trova l centrodel led ed ilmarker ecessarioer a etturamicrometrica.Chiamiamounque on N" l numero i settoreiconosciuton maniera ssoluta,er aparte i letturamicrometrical processoreraducen mododigitalel numero i razionedi settore dazeroa 100corrispondentel numero i pixelal di fuoridellamarca iriconoscimentoel settore. a ettura ngolare orretta aràallora:

T _(N - f ) .400

128Nell'esempioifiguraa ettura aràN=0 =128; = 0.55cioèè il55-esimootodiodou100 t i l i .

,- [l zs o'ss+ool 398.2815e-\128)

Ci domandiamo raqualesarà a precisione i lettura.Notiamo apprima he e novesuddivisioniroiettateu 100 otodiodi onsentono i stimare a parte razionaria elsettore on una approssimazioneuperiore l pixel, ioècon scartoquadraticomediodi circa 0,15 ixel.Perogni ettura i avràquindi:

o = * o,'1/1oo.4oo= +4.7n8on128

Ogni 3 ms awiene una lettura.La misurasi ricavadalla mediadi 133 letturecorrispondentid un ntervalloi di 400ms; lvaloreeorico i o si riduce uindi :

4 7o-,. .1- : =*Q,4'e"n

.,/133

2.45mm

vertoredi 12 8 otodiodi

4 g = - l l t a c c h e

195





La casa ornisce er l T1600uno sqmstandarda normeDIN 18723) i +0,5mgon,mentre a risoluzionerrivaa 0.1 mgon.Lo strumento dotatodi un compensatorependolo er 'indiceenitale.

Vengono i seguito itati revementelcuni lterioriistemi i ettura.Nelsistema ssoluto tatico OPCON cerchi, ia I'orizzontalehe l verticale, i 71mmdi diametro,ono n realtàormati all 'accoppiamentoi duedischi i cristallolintdi 4 mm di spessore oncentrici rispettivamenteolidali llaparte issaed allaparterotantenelcasodelcerchio rizzontalell 'alidadad al basamento).cerchi uddivisiin 1 gon l primo d n 2 gon l secondo onoosservatiroiettandoon un ed e raccedi entrambi u un fotodiodo CDche ungeda micrometron maniera imile quantodescritto er o strumento1600. e etturen realtà onodoppien quanto iametrali.Losqmdi lettura eicerchi anormeDIN18723 è per ostrumento TS6o GTSGA i+0,6 mgon e la misuraavviene n 0,3 s. Questistrumenti ono dotatidi doppiocompensatore.

Lostrumento OKKIA ET2C è di caratteristicheprecisioniimili.Anche listrumenti GAsfruttanouecerchi oncentriciissi olidali l laparte issaedallaparte uotante.ll sistemadi letturaè incrementale.l principio i letturamicrometrica induttivoessendo e suddivisioniei cerchiconduttrici percorse a corrente.È possibilemisurare a differenza i potenziale V fra i due cerchi,massimanel caso diricoprimentominima metàgraduazione.er a misura ngolarei contanol numerodi lunghezze'ondantere si interpolaa porzione i lunghezza'onda ermezzo iconvertitori/Danalogiciigitali.ln questomodo,pur raggiungendono sqm (a normeDIN 18723)di +0,6 mgon,

comune d altri trumenti,i tiene n realtà onto i tutta a suddivisioneelcerchio,nmodoche queste etture iano eoricamentesenti all 'errorei suddivisione.nchequesti trumentionodotati i doppio ompensatore.Infine itiamo l sistema inamiconcrementaleellaNIKON ullostrumento TMA6ulilizza n sistema he è simileal sistema inamico eica-Wild.n questo aso a dittafornisce nosqmdi ettura i +0,2mgon.

r96




5.12.MISURAEGLIANGOLI ZIMUTALI

In base alla definizionei angoloazimutalevedipar. 5.1.)e a quantodetto nprecedenzaui eodoliti, ossiamo ttenerel valore i un angolo zimutaleome a

semplice ifferenzara due ettureattesul cerchio zimutale ollimandol puntoavantie poi l puntondietro.In generale ellemisure i grandezzeopografichei possono ommettererroridilettura,di trascrizione di individuazioneel punto.Questierrorigrossolani ipresentanoiù raramenteuando i util izzanoeodoliti lettronici uniti i sistema iregistrazioneellemisure.Tuttavia olo se il teodoliteosseperfettamenteettificato perfettamentenla misura ell 'angolozimutaleiotterrebbeelmodo escrittorima.Ingenerale,nvece,n un teodolite esso n stazione,onoancora resentiseguentierrori esiduie precisamente:

F i = €rforedi inclinazione,'angolohe 'asse z orma on a normale ll 'asse r;

) c=

errore d collimazione,'angolo he I'asseas formacon ilpiano

normaleall 'asse zF y = erroredi verticalità,'angolo he 'asse r forma on a verticale elpunto i

stazione;Prima i esaminareomeglierrori esiduinfluenzinoe etture, necessarioicordareche I'alidadae il cannocchiale ei teodolitisono costruiti n modo tale che lacollimazione d un generico untoP sia eseguibilen due posizioni iversedellostrumento posizioni oniugate), na con il cerchiozenitalea sinistra rispettoall 'osservatore, no con il cerchio a destra.Comunementeono ndicate ome"lettura cerchio sinistra" "lettura cerchio destra" "letture oniugate''.

C a o . 5LA MIS URADE GLIA NGOLI

cerchiozenitalea sinistra cerchio enitalea destra

Figura .30 ollimazionecerchio sinistra a cerchio destra

Lo studiodegli erroriè moltocomplessa,uttavia, ualoranon si intendacalcolarel'influenza lobaledegli errori,ma semplicemente,potizzandohe gli errorisianoabbastanza iccolida poterne rascurare quadrati le potenze uperiori, tudiarlinprima pprossimazione,i determina'influenzaitalierrorin modo eparato.

197



Nel caso n cui I'assesecondario 2 (o assedi rotazione el

cannocchiale)on sia ortogonale ll 'asseprincipale 4 e.-__ uindi, strumenton stazione,onsiaorizzontale,i dimostrache I'errore esiduodi inclinazione (vedipar.precedente)porta ad un errore sistematico ; nella lettura azimutalesecondoaseguenteelazione:

, . E ,=+ ic tgz [16 ]= dove conz si indica a misura ell 'angoloenitale ul puntocollimato.Ít L'errore i ha valoree segnocontrario el caso si effettui a1f ettura ul cerchio zimutale ellaposizionecerchio sinistra"^ o"cerchioadestra".

Daquesta elazionei deduce he l suovalore massimo uando i collimano untimolto elevatio molto depressied è inveceè nullo quandosi collimano untiall'orizzonte. empredalla elazione, i deduceche questoerrore esiduo i eliminafacendoa mediadelle /effureoniugafe"ulcerchio zimutale.

Quando 'assedi collimaziones non è ortogonale ll 'assesecondario z siamo n presenza i un errore residuo dicollimazione . Si dimostra hequestoerrore esiduo , cioèil valore he mancao che eccede 'angoloetto ormatora gl iassi az € ?3,port?ad un erroresistematico " nella etturaazimutaleecondoaseguenteelazione:

€. = t-j-senz


5.12.1. INFLUENZAEGLI RRORI ESIDUI

collima

198


[18 ]

dovecon z si indica a misura ell 'angoloenitale ul puntocollimato.

Comenelcasoprecedente,'errore "ha valoree segno ontrario elcasosi effettuialettura ulcerchio zimutale ellaposizionecerchio sinistra" "cerchio destra".Dalla elazionei deduce he 'erroreesiduo i collimazionemassimo erpuntimoltoelevati moltodepressiispetto'orizzonte.nche nquesto aso, a mediadelle ettureconiugate ermette i eliminare'influenzai questo rrore esiduo.

Anchedopo a migliormessa n stazione i questomondo,

I'asse rincipale1 o assedi rotazioneell'alidada)onsaràmai perfettamenteerticale,ma si scosterà a quest'ultimaiun angolo hiamatorrore esiduodi verticalità aria v.Si dimostra che l'errore residuo v, ha come direttaconseguenzan erroresistematico unella etturaazimutalesecondoaseguenteelazione:€y=v sen6 cotgz [20]

dovecon z si indica a misura ell 'angoloenitale ul puntocollimato, on ò si indica l'angolo ormato ra il pianocontenentea verlicale il punto ollimato il piano ontenentela verticale I'asse i rotazioneell'alidadar.

Daquesta elazionei deduce he 'errore u nullo uando ipunto ull 'orizzontalez = 100son)anche uando = 0 ma, n quest'ultimo

^LÉ-





caso,non possiamorarredelle conclusioni perative erchéò, in pratica, estaunangoloncognitonquanto onè facilmentendividuabilel piano ontenentea verticalee I'asse rincipaler.

Dei re errori esidui he abbiamo escritto,uest'ultimo

certamentelperché oneliminabileonsemplici etodi perativii misura.Quandol ril ievoopograficompone i misurare ngoli ra puntimoltoelevati moltodepressi ispettoall'orizzonle,'unicapossibilità er limitare u,è quelladi rimetterenstazioneo strumento d ogni misuradi angoloazimutale.n questomodosi puòipotizzarehe I'erroreesiduo i verticalitàambi n modulo segnoad ognimessa nstazione quindi 'erroreullamisura zimutaleiventi ccidentale.

5.13. RRORE I ECCENTRICITA

L'erroredi eccentricitàdell'alidada dovutoal fattoche I'asse 1 or'rpassaper l

centro eometrico del cerchio zimutalema n un puntoQ di eccentricità. (vediFig.5 .31)

tracciadell'asse 1

lo

eccentricità

Figura .31errore i eccentricitàPersemplicitàonsideriamo'origineellagraduazioneel cerchio16)oincidenteonla retta ongiungentel puntoO con l puntoQ.Inquesta ituazioneercollimaren puntoP dovremouotare'alidadai un angolo .La rotazione aturalmentewerrà nel puntoQ, tracciadell'asse rincipale r sulcerchio zimutale: P

c = angolo i cui uota 'alidada

0 = angoloetto ulcerchio zimutale

Figura .32errore i eccentricità

La letturasul cerchioazimutale, orrispondentella rotazione ell'alidada i u, saràriferitanvece l proprio entro eometrico .Ne consegue he ad una rotazione dell'alidadaorrispondenamisura ngolarediversa a o. Questo r rore dovuto ll 'eccentricitàdel cerchio zimutale.

La relazioneraa e Bsarà: =B+e

centro eometricoelcerchio

o

199





Se effettuiamoa lettura ulcerchio zimutale iametralmentepposta t terremo nvalore 'chesaràparia: p'- B + n +2e

Figura .33errore i eccentricità

F'=F+n+2e dacui , = F'-[-n chesostituitaella rimaorniràl valore orretto i o:2

*=B+F ' -F- i r -F+F ' - i r22 1211

Pereliminare'errore istematicoi eccentricitàell 'alidadaaràsufficienteuindi, erognidirezioneollimata,ffettuareedue etture iametralmentepposte poi arne amedia ritmetica.

5.14.ERRORIIGRADUAZIONEEICERCHI

Altra onte,non trascurabile,i erroridi misuraangolare quelladeglierroriditracciamentoella raduazioneelcerchio iaclassicoheelettronico.Questa uddivisione,uressendomolto recisa, uòessere onuniforme.La sommadeglierrori i tracciamentoellagraduazioneel cerchio, alutati u tuttol'angolo iro è nulla, nfattise in una zona del cerchi o a distanza radue trattisuccessivi minoredi quantodovrebbe ssere, n un'altra ona sarà owiamentemaggiore.Perattenuarne'effetto,uando i misura n angolo zimutale,isognaarlopiùvolteutil izzandoonediverse el cerchio comevalore ngolare iù plausibilei prenderàpoi lvaloremedio ella erie i misureatte.I metodi i misura egli ngoli zimutali,ti l izzatier imitare uestoipodi errore, onoduee fanno iferimentodue ipologieiverse i eodoliti:

) ripetitoriF reiteratori

I teodoliti ripetitori,normalmente enoprecisidegli altri,hanno a possibilità ibloccareigidamentemedianten comandomeccanico)l cerchio zimutalel labase(comenellenormali ondizioni i lavoro) alternativamentell 'alidada,n modochecerchio alidadaestino olidali.Dopoaverdeciso l numero i ripetizioniellamisura a eseguiren),si procede elmodo eguentevedi ig.5.34):

a. portiamoo Osonella raduazionenprossimitàelpuntondietro;b. collimiamol punto ndietro on il cerchio zimutale loccato l basamento,

facciamoa ettura1:

200

b-_




Cao.5LAMISURA EGLIANGOLI

l22l

si è superatol

due etture ul

c. collimiamol puntoavanti facciamoa lettura 1.Ladifferenzara e due ettureforniràl primo alore ell 'angolop;

d. blocchiamol cerchioazimutale ll 'alidada ricollimiamol punto ndietro.nquesto

modo rascineremonchea etturaatta Ar)sulpuntondietro.La lettura ul cerchio zimutale ellaseconda ollimazionel punto ndietro(lz)saràquindi ariadAr;

e. collimiamo er la seconda olta l puntoavanti Az)con il cerchioazimutalebloccato l basamento;

f ricominciamoa sequenza elleoperazionialpuntod per l numero i volte heabbiamo eciso i ripeterea misura ell 'angolozimutale.

Figura .34metodo ella ipetizione

Alla inedelle perazioni,'angolozimutale,ripetuto"volte, aràparia:

9=A" -I, +k400e""

n

ovek è il numero i volteche,nella otazione el cerchio zimutale,valore 0Oson.Con questometododi misura, aràquindi ufficienteseguire olo

cerchio zimutale,a prima I'ultima.Questa una semplificazioneotevolema,per e misure i precisione,i util izzanoteodolitieiteratorierché annomaggiori aranzie i precisione.

I teodoliti eiteratori ispongononvece i unavite normalmenteenprotetta a uncoperchio er evitare otazioni el cerchionon volute) he fa ruotare,arizione,lcerchio zimutaleulbasamento nel microscopioi lettura ei eodolitiradizionalisu ldisplay eglistrumenti lettronici,omparirà na ettura ompresara 0son 400son.Unavolta ecisol numero i reiterazioniaeffettuarenormalmentea duea quattro),dettianchestrati, ccorre ollimarel punto ndietro imporre na ettura 11) rossimaOson gendoopportunamenteullavite di reiterazione. consigliabileominciareI'operazionei misura ella osizionecerchio sinistra"vedi ig.5.30).Si aràpoi a collimazionel puntoavanti la letturaAr . La differenzara e due ettureforniràlprimo alore ell 'angolo1.

Figura .35metodo ella eiterazione

20r





La secondamisuradell'angolo zimutale, i f arà ricollimandol punto ndietro

imponendona ettura 2uotandol cerchio zimutalei circa200e""

agendo ulla iten

di reiterazione.i faràpoi a collimazionel puntoavanti la letturaAz.Ladifferenzatra edue ettureornirà l secondo alore ell'angolop2.E cosìviaper l numero i misure hesi è deciso i effettuare.

5.15.REGOLAI BESSEL

Tutti teodoliti, nchequellidi maggior recisione, antengonoellecondizionicostruttivei nonperfetta rtogonalitàragl iassio I'impossibilitàratica mediante'usodi ivelle) i rendere erfettamenteerticale'asse rincipale.Sonoerrorimolto iccoli, oneliminabili,, perquesto,iabbiamo hiamatoresidui".Questi rrori, nitamentenchea quelli i eccentricitàdi graduazioneelcerchio, i

ripercuotonoegativamenteulle etture quindi ullamisura egli ngoli zimutali.La procedura i misura evequindi enercontodella oropresenza er eliminarlilimitarne otevol ente 'effetto.

Sidevonoare:F letture oniugatepereliminare'influenzaeglierrori esidui i collimazionedi

incl inazione;F letturediametralmente pposte per eliminare 'influenzaell'eccentricitàel

cerchioispetto ll 'asse i rotazioneell'alidada;D lettureeiterateo ripetute)ereliminarelierrori i graduazioneelcerchio.

Sinteticamentei diceche gli angoli zimutaliannomisuratimediante'applicazionedella egoladi BESSEL Friedrich ilhelmBessel1784-1846 llustre stronomogeodetaedesco).Owiamente, uesta egola i applica uando 'è la necessità i misurare li angoliazimutali on la massimaprecisione ossibileperché richiestadell'operazionetopografca.Soloeccezionalmentea un puntodi stazione ienemisurato n soloangoloazimutale(è l casodellepoligonali);ormalmenteelle perazionii triangolazione,a un puntodi stazioneengonomisurateiverse irezioni quindi iversi ngoli zimutali.La procedurai misura iùcomunementetil izzata quella el "metodo strati" heprevede, aturalmente,'applicazioneella egola i Bessel la collimazionei tuttipuntiprimaa cerchio sinistra poia cerchio destra vedi igura otto iporlata).

202



G.COMOGLIO Cap.STOPOGRAFIACARTOGRAFIA LAMISURA EGLIANGOLI

Lasequenzaelle etture ulcerchio zimutalearà aseguente:

collimazioneon collimazioneoncerchio sinistra u: cerchio destra u:

1 strato2ostrato

n" strato

BCDEBCDE

BCDE

EDCBEDCB

EDCB

E opportunorocedereome ndicato ello chema cioèeseguiree etture oniugatepartendoall'ultimounto ello trato E)e concludereulprimo B).ln questomodosi avrà a conferma ellastabilità ellostrumento uranteo stratoo ladenunciai anomalie.Solo fra uno strato e I'altrosi potrà intervenire er , eventualmente,ettificareaverticalitàell 'asserincipale.AIdurantee etture i un singolo trato.

5.16.MISURAEGLIANGOLI ENITALI

Si è definiton precedenza'angolo enitaleowero adistanzaenitale)elpuntoPrispetto l puntoO (centro ellostrumento) omeI'angolo ompresora la direzionedella erticalenO e l'asse elcannocchialehecollima .Possiamo efinireoperativamenteale grandezza ome a differenzara le direzionizenitalimisurate ollimandol punto n oggetto il puntopostosullaverticale. adistanzaenitale psarà,arialladifferenzatrae etture ulcerchio enitale ffettuateincorrispondenzaelladirezione ollimata della erticale: , = lr-loPer misurareali angoli teodoliti onoprowistidi un cerchio erticalezenitale)

graduazioneeneralmenteraria, olidale on il cannocchiale, quindimobile onessoe indici i letturaissati ull 'alidadaunacoppia i indici iametralmentepposticonsente i eliminarelieffetti ell 'errorei eccentricitàelcerchio).

Figura .36 definizionei angolo enitale

In realtànei teodolitil cerchio enitale ieneposizionaton mododa far coinciderel'origine ellagraduazionezero on)con a direzioneell'asse rincipalear),percuiin assenza i errori vremo: e= lp .l l cerchio enitale posizionaton modo aleche, ollimandoadirezioneello enith, ileggaun valoreugualea zerogon; I'eventuale iffe(enza i letturasi chiama zenitstrumentale""errore 'indice"vedi ig.5.37):

203





zenit trumentale

Figura .37 zenit trumentale

Comeabbiamo ià detto a graduazioneel cerchio enitale crescenten senso

orarioe le letture ossono ssereeffettuate elledueposizioni oniugate i "cerchiosinistra"CS)e "cerchio destra"CD).

Figura .38 misura i un angolo enitale

Nell' ipotesihe 'asse rincipaler coincidaon averticale,ndicandoonS la etturafatta ulcerchio enitale ella osizionecerchio sinistra" conD quellaattanellaposizionecerchio destra" vremo:S=Z+e D=400s- (Z-e)

Facendoadifferenzaelledue etture cerchio sinistraS)e cerchio destra D)otterremol valore iZ depurato ello enit trumentale:

S=Z+eD=400s-Z+t

e qu ind i : =

S-D =22-400sS+4008-D

CSal = verticale al = verticale

204

[23]

^>.-



G.COMOGLIOTOPOGRAFIA GARTOGRAFIA

Facendoa sommadelledue letture cerchiootterremol valore ello enit trumentale:

S=Z+e

D=400s-Z+e

a sinistraS)e

C a o . 5LAMISURA EGLIANGOLI

cerchio destra D)

e quindi: =

S+D=2e+400s

s+o-400s124l

Esempio i calcolo:letturanposizioneerchio sinistra = 83s,4326letturanposizioneerchio destraD = 316s,5814Sicalcolilvalore ella istanzazenitalee dello enit trumentale:

,_S +4008 D _ 83s ,4326+4008316,5814=g3s .4256

22S+D-4008 838 ,4326+316s ,5814-4008= 08,007-

22Lo zenitstrumentalea preso n considerazioneer le misure peditivedi bassaprecisione)elledistanze enitali:e infatti nullo,avremo he:D = 400s S e quindiZ=S.La misura peditivai esegue lloraacendo nasola ettura ollimandol puntocon l cerchio sinistra.Pereliminareozenit trumentale,i determinaa distanza enitaleorretta,i ricollimail puntonellaposizione .S.e si spostano li ndici i lettura on 'appositaite inoadimporrea ettura orretta.

5.16.1. ERRORI HE NFLUENZANOE LETTURE ENITALI

La misura i un angolo enitale affetta a erroriderivati a difetti i montaggio,dallanon perfetta ettifica el teodolite, a erroridi graduazioneel cerchio enitale,dall ' influenzaella ifrazionetmosferica.Si è già parlato ell 'eccentricitàdell 'errataosizione ell'origineellagraduazione(zenit trumentale).erquanto iguardaa rifrazione,i puòdimostrarehe 'angolo irifrazioneipende alcoefficientei rifrazione ediantea seguentespressione:

,=x* esl2Rin cui K dipendedalla pressione tmosferica,alla emperatura dall'escursione

termica.l coefficientei rifrazioneariada luogoa luogo,e durante l corsodellagiornata. erdistanze uperiori 0.5 km, I'effetto ella iÍrazione on è trascurabilenmisure i altaprecisione.La misuradella distanza enilalenon può essere eiterata er ragioni ostruttiveilcerchio collegatol cannocchialen modo igido), el esto 'effettoneliminabileellarifrazionetmosfericaende e misure enitalimenoprecise i quelle zimutali perciòinutile 'ideadi correggereli erroridi graduazioneel cerchio.La ripetizioneellemisure iceversa consigliabile,er idurre'influenzai errori i collimazione).Perquanto iguarda lierrori i rettifica,i puòdimostraregevolmentehe 'influenzadegli rrori esidui i collimazione e di nclinazionesullamisura ell 'angoloenitaledipende ai quadrati da iprodotti i i e c, si trattaquindi i un fattorepiù piccolo egli

errori tessi quindi rascurabile,uandol teodolite soddisfacentementeettificato.

205



G. COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA C a p . 5

LAMISURA EGLIANGOLI

L'errore esiduov di verticalità,provocanveceun errore n Z dellostessoordinedigrandezza,ercui nonè trascurabile:Persemplicitàonsideriamon eodoliteelqualeozerodella raduazioneelcerchiozenítaleoincidaon 'asse rincipale1 iìaQU€st'ultimooncóincidaon averticale,esista íoèun errore esiduo i verticalità.

Se applichiamoemplicementea relazione he calcolaZ ulilizzandoe lettureattealcerchio enitale elleposizioni oniugate e D otterremo n valoredelladistanzazenitale rrata ella uantità (errore siduo):

Figura .40 errore esiduo i verticalità

S=Z+v D = 400s (z +v)

S=Z+vD=400s-Z-v

e quindi:S+4008 D

S-D=22-400s+2v

=Z+v

Se l'asseprincipale 1 è inclinaton una direzione ualsiasi on v si intendeacomponenteell 'errorei verticalitàelpiano icollimazione.

206

residuo i verticalità

126l




C a P . 5LAMISURA EGLIANGOLI

L'errore i verticalità,he nfluisceirettamenteullamisura, dell 'ordinei grandezzadella sensibilità ella ivella oricaservitaper la messa n stazione el teodolite.(10"+30"),ercu iè necessarioredisporrenaprocedurahe riduca 'effetto i v.

Nei teodolitiautomatico.

zI

otticomeccanici i ricorre d una livellazenitaleo all ' indicezenitaleInfatti isulta ninfluentea giacitura ell 'asse rincipale,e gli indicidi

letturapossono uotare ntornoallaverticale nchese I'alidadaruota intornoall'asseprincipale,nclinato i v rispettoallaverticale tessa.Nel primo caso si disponeuna livella torica di adeguatasensibilità osta sulla traversadell'alidada,a cui rotazionesposta nche li ndici i ettura enitalila angente entraleellalivella parallela l pianodel cerchio). e lettureCS e CD algoniometroerticale i eseguono oloa bollacentrata.n questomodo i due indicidi letturasaranno omandati alla ivella,qualoraessa sia centratadopo ogni collimazione, le letturesarannoriferiteall 'orizzontalendividuata alla livella oricastessa, quindi 'influenzaell'erroreiverticalitàerrà liminata.

Figura .41 livella enitale

L'operatorehe util izza n eodoliteon ivella enitale evecentrarea livella enitaleprima i eseguirea ettura.Infatti ettaS la letturanellaposizione .S. dopo l centramento ella ivella, he hadunque a tangentecentraleorizzonlale,uotandodi 200son'alidada a tangente

centrale ella ivella enitale i nclina i 2v, se si ricentraa ivella rima i effettuarealetturaD, I' indice i lettura i sposteràn mododa far aumentarea lettura i 2v,indicandoon D' a nuova ettura i avrà:

S=Z+vD'= 400sZ- v+2v

S-D '=22-400s

e qu ind i :S+4008D ' _Z

L'indice zenitale automatico, invece, realizzaautomaticamente'eliminazionedell'erroreesiduo i verticalità attraverso n meccanismo pendolo una superficieliquida.Questimeccanismi tticio meccanici, d altrevariazioni iùcomplesse he eliminanoI'influenza ell'erroreesiduodi verticalità,anno parte cosiddetti ompensatori(util izzationaltrifini nche ei ivelli).L'operatorehe util izza n teodolite otato i indice enitale utomatico,uòeseguirele misure enza lcun ccorgimentoreventivo.Nei eodoliti lettronicii sfruttanvece a presenza eirilevatori ell'errorei verticalità:il valoredella etturaornito allostrumento corretton basealla ilevazioneell'erroredi verticalità.

207




5.l7,ACCESSORIERGLISTRUMENTTOPOGRAFICI


5.17.1. ILTREPPIEDE

L'impiego i uno strumentoopografico,ello viluppo elledifferenti perazioniimisura, onpuòessere isgiuntoalladisponibilitài un doneo upporto i sostegnoche, situando o strumentoa una opportunaallezzada terra, possa consenlireall 'operatore'esecuzioneelle iverse perazioni.

Questa funzioneviene svolta daltreppiede:esso è costituito a tregambe a lunghezza egolabileofissa. treppiedi gambe igide onoutilizzatiolocon strumenti i elevataprecisione elleoperazioni ove lastabilità el sostegno iocaun ruolo

determinantenell'affidabilità ellemisure es. ivellazioneeometricaialtissimarecisione).Le gambe del treppiede sonoincernierate alla piastra diappoggio. a piastra i appoggio ala formadi un triangolo quilaterospigoliarrotondati d è prowistadiun foro centraleattraverso l qualepassa a vite di fissaggioche servea vincofare igídamente l treppiedeuno strumento (la basetta

topografica)hecollegal reppiedellostrumento.La vitedi fissaggio uò scorrere ll'interno i un collare ncernieratol di sottodellapiastra i appoggio. uotandol collare traslandoa vitedi fissaggio ll ' internoelcollare, possibileortareavitedi fissaggion unqualsiasiunto elJoro ellapiastradi appoggio.L'operazionei messa n stazione el treppiede onsiste el arsì che l centro ellapiastra ia all ' incircaulla erticaleelpuntoa terra vertice egliangoli a misurareestremodelladistanza) che la piastradi appoggio ia orizzontale. er far ciò, sisfrutta 'azione ombinata i un filo a piombo ollegato lla vitedi fissaggio , ovepossibile,a possibilitài variaren modo ndipendentee unghezzeelle regambe eltreppiede.

Se i punti di stazionesono materializzatiu manufatti, pilastrinin muratura, lsostegno ellostrumento i misurapuò essereassicuratoall ' impiegoi opportunepiastreo basiper pilastrino he, una voltacentrate ul puntodi stazione, ffionounduraturo stabile ostegnollostrumentouranteutto 'arco elle perazionii misuraprogrammate.'impiego i piastre basiperpilastrino particolarmenteonsigliabilenello sviluppodi misuredi grandeprecisione er lo studíodi piccolimovimentideformazionin strutture onchéper o sviluppo i retidi inquadramentoi particolareinteresse.

208

L




5.17.2. IL FILOA PIOMBO I PIOMBINI PECIALI

Cao.5LAMISURA EGLIANGOLI

l l f i lo a piomboè costituitoa un ilo lessibilel quale legata unaestremitànamassametallicaon pesovariabile a 150g a 300g aventea formadi un solido i

rivoluzioneche ermina punta,lcuiasse oincideon adirezioneel ilo.Tenendol fi losospeso er 'estremouperiore,opouna breveoscillazioneibera,lfi lo a piomboassumeuna posizione i equilibriodisponendosiecondo a direzione el campo digravità errestre verticale) assanteper la puntadellamassametallica.ll filo a piomboconsentedi rendereverticaliaste(qualiad esempio e paline) a riportare iù puntisullamedesimaerticale. uesta lt ima pplicazioneè in quasi tutti i casi ulilizzalaquando vengonoimpiegati l i strumenti opograficinferiormentei

quali iene gganciaton iloa piombo heconsentedi porre sulla medesima erticale l centro dellostrumentoverticeegliangoli a misurare estremadi una distanza a misurare) on il puntoa terra(punto i stazione).Si sospendel fi lo a piombo ollegandolol centrostrumentale si regola a lunghezzael filo, inoaquandoapunta elpiombinofioral erreno.La precisioneel i loa piombo piuttostoimitata

causa dei disturbi ausatidall 'arian movimento. i può ritenere he l'errore iverticalitàesiduo iaparia circa 0'.Considerandoi posizionarelistrumenti circa1.5m da terraquesto rrore esiduo i verticalitàomporta rrori i individuazioneel

puntoa terradi circa4 mm.

ll piombinoottico è costituitoa un piccolo annocchiale,ontato ulbasamentoi

quel l idel piombinoI'operatore.

quasi uttigl i strumentiopografici,l cui assedi collimazioner vienedeviato d angolo ettoda un prismaa riflessioneotale

e facendo n modoche essosia sul prolungamentoell 'asseprincipaleello trumento.

Gli errori esidui i centramentoelpiombino ttico onosimilia quelli iscontration 'uso eipiombini bastone.Recentemente l piombino ottico è stato sosti tuito dal

piombino aser.Nello trumentoienemontato n diodocheemetteun raggio aser ungo a direzione ell'asse rincipaledello trumento.Lo schema i funzionamentoglierrori esidui ono dentici

ottico,ma I'operazionei centramentoisultapiù agevoleper

209





5.18.SEGNALI

ll ri l ievomediantemetodiopograficierrestriwienemedianteadeterminazioneellecoordinate i un numerodiscreto i puntisufficiente descrivernea formae le

dimensionin unzione ei uturi sidelril ievo tesso. er 'esecuzioneelleoperazionidi misura quindinecessariohe puntioggetto el ril ievo ianobenvisibili;noltre,come vedremoesistonodei punticaratteristicipuntidi inquadramento)sati comecentri i emanazioneel rilievo i dettaglio hedevono ssere intracciation sicurezzaper tutta a duratadel rilievo in molticasianche n epoche uccessive er eventualiintegrazioniaggiornamentielle perazionii ril ievo seguitenperiodi recedenti.

Per poter soddisfarequeste due esigenzeoccorreprowederea una opportunamalerializzazioneei punti a meno che i punti sceltinon sianogià definiticon lanecessariarecisionea particolariaturali /o artificialireesistenti.In entrambi casi manufattippositamenteostruiti giàesistentihe definiscononmodoprowisorio /opermanentenpunto engono enominatiegnali.

I segnalipossonoessere di vario tipo; alcune ipologie tandard i trovano ncommercio possono enire ealizzaliul posto,ma in molticasioccorre rogettaresegnali iùadatti l l 'oggettoa rilevare,enendo resenteeseguentionsiderazioniicarattere enerale:

F caratteristiche ell 'ambiente el qualesi trovano puntida rilevare in zonaaperta chiusa,lluminatiaturalmenteda lluminareon dispositivirtificiali,nzonesecche umide, cc.)e dellostrumentohe i deve ndividuareneinostricasisolitamenten cannocchialeunito i reticolo i collimazione);

> caratteristiche isiche e naturalidell'oggetto terrenoriabile, tradaasfaltata,parete n mattoni, arete regiata, cc.);

F distanza ffettiva i collimazione.ln funzione el loropermanenti.I segnali rowisori

uso, segnali ossono ssere lassificatin segnali rowisori

util izzati ono essenzialmenteostituiti a chiodi,picchetti,paline, tadie mire opografiche.I chiodi sono particolarmentempiegati n terrenimoltocompatti rocciosi, u strade sfaltate lastricaten pietraanche n terreni ncoerenti nnegandolin un massettoncalcestruzzo;anno n genere na estagrossa eresserefacilmentendividuabilisu di essaviene nciso n bollinouna crocetta he individua pazialmentel punto n modoesatto.I picchettiono segnali iùcomunementetil izzatin erreni

incoerenti sono costituitida palettidi legno,tondini tubi n acciaiounghi irca60 cm + 80cffi, appuntitia una estremità,che vengonopiantati el errenon modo hene sporga olo atesta. I picchettin legno hanno una sezionequadrata on atodi circa5 cm, oppure ircolareper ndividuaresattamentel puntomaterializzatovienepiantato n chiodosulla estadel picchettostesso, ppure ienencisa nacroce.

più

d^-t-F-

t i l

IttY

210

b.--*



G.COMOGLIOTOPOG AFIAE CARTOGRAFIA


Allo scopo di facilitarea loro individuazione,a partedel picchetto he emergedalterreno iene erniciataon inte ncontrastoonquelle ell 'ambienteircostante.

Lepaline

ono aste a sezione olitamenteircolare,on dimensionerasversaleicirca3 cm e di lunghezzaariabile a 1 m a 5 m, verniciate,ellamaggior artedeicasi, strisce ianche rosse lte20 cm per enderle iùvisibili. olitamenteengonorealizzalen alluminio in leghemetallicheeggere sonomunite una estremità i

una puntametallica er facilitarnea penetrazionenterrenincoerenti.Le paline,per poter essereutilizzate evonoessererese verticalie per questoscopo solitamente ieneusatauna ivella ferica hecontrollal'orizzontalitài unpiano perpendicolarella palinastessa. n assenzadella ivella ferica, a verticalità uò essere aggiuntamediante 'uso di un filo a piombocontrollandoa

verticalitàungo uedirezionirtogonali.All'estremitàuperiore ellepalinevengono issate emire opografichehe ndividuanon filoverticale unfiloorizzontaleer acilitaree misure ngolarimedianteun cannocchialeopografco. Per la misura delledistanze, l centrodi tali segnali iene montato nprisma etrorifettente.Le dimensioni ellemire opograficheevonoesserescelte n mododa garantirnea visibilità lla relativadistanza i collimazione.

Le mire topografichereperibili in commerciosonosolitamenteuadratecon ativariabili a 10 cma 15 cm ed eventualmentemunite di piastre diallargamenton modo daconsentire una primalocalizzazione el segnalea occhio nudo da partedell'operatore.

I 21 1





I segnali ermanentier eoperazionii rilievoopograficoerrestre evono resentareleseguenti aratteristiche

F essere ispostin posizioneominanten mododa risultareisibili a qualunquelatoanchea distanze otevoli;

F essere uraturi el empo, rotetti agli genti tmosferici,al raffico da azioni,anchenvolontarie,egli omini.

Sepossibile,opportunoisporre uesti egnalin modo hecoincidanoongliassiditorri, campanili manufatti i acquedotti, pigolidi fabbricati, pallette i ponti,ciminiere,upareti i muridi sostegno di dighe.Quando a zona è montagnosa segnali engonodispostianche sulle cime dimontagne realizzali on pali,capredi legnoo grossipilastrin mododa poteresserefacilmentendividuaticollimati.Le materializzazioni,uando i rendono ecessarie,engono ealizzaleon pilastrininmuratura,nacciaio piùcomunementencalcestruzzo,ll i irca1,2m,oppure a

*'fî1-,+

+

t-:-

frfraiì\\l/

+-E- |l i T l

+ F 3I" ' t

Figura .49 Esempio i pilastrinocentrini i supedicie di profondità

blocchin calcestruzzoulla ommità eiquali iene issatol centrino i superficieheriporta'esatta osizioneelpunto.Nell'eventualitàhe l segnale ermanenteossa sseremanomessodanneggiato,circa80 cm di profonditàiene ealizzalanaseconda truttura,ndipendentea quelladi superficie,ullaquale iene issato n altro entrinodetto i profondità)osto ullamedesimaerticalei quello uperiore.

Abbiamo iàaccennato d un'alt raprecauzioneheconsente i ripristinarel punto ncaso di manomissione:i posano nelle suevicinanze, on materializzazioniimili,due o tresegnali econdari on centrini i spia dispostinmodo he,con unaserie i triangoli i latinoti, iapossibileipristinarel vertice rincipale.

212

Figura .50 Disposizioneeicentrini i spiaattorno lvertice rincipale

L




Capitolo6LA MISURA DELLE DISTANZE

CapitoloLA MISURADELLEDISTANZE

6.1. DEFINIZIONEI DISTANZA

La distanzaopograficara duepuntipostisullasuperficieerrestreA e B) è definitadalla unghezza ell'arco i geodeticahe congiungee proiezioni oe Bodei duepuntisull 'ell issoidei riferimentovediFig.6.1).I teoremi della geodesiaoperativaaffermanoche I'arco di geodeticaAoBoèpraticamenteoincidenteon le due sezioni ormali efinitera gli stessipuntiper

distanze nchedi 1.000 m.Tutta a strumentazioneopografica tilizzataer a misura

213




Capitolo6LA MISURADELLEDISTANZE

delle istanze,pera ersezioni ormali quindinmodo ompatibileon adefinizionedidistanza.

As Bo

Fig.6.1 Definizioneidistanzaraduepunti

Nell'ambito el campogeodeticoa superficie i riferimentoellissoide) uò essereapprossimataonquella i unasfera sfera ocale)i raggioR="[pl'{ tangenten unpuntontermedioraA e B. Inquestomodo,a riduzioneelle istanze llasuperficieiriferimentootràavvenire emplicementeomecalcolo ell 'arco i cerchiomassimo

(AoBo)ullasfera ocale.Loschema perativoellamisura i unadistanza indicato g .6 .2 .n Fi

Dove:

CBABAo BoAAoBBoOAo

OBo

Fig.6.2 Lariduzionei unadistanza

distanzaidottaal 'orizzonte do)distanzanclinata isurata d)distanzaidottaallasuperficiedi riferimento d.)quota elpuntoAquota elpuntoBraggio ella fera ocaleR=

"[pN

= raggio ella fera ocaleR= ,[ p N

La distanzara puntiA e B,chenormalmenteienemisurata, quellanclinatad).Sedal puntoB si conduce narettaortogonalellaverticale assante er l puntoA siottieneuna distanza odettadistanza idottaall'orizzonte.

Per effettuarea riduzioneall'orizzontedo)e alla superficie i riferimento dn)ènecessario isurareadistanza enitale "e calcolare:

2t4

h.--



La riduzione elladialla uperfíciei riferimentoi effettua elseguentemodo:


do = d, sinZo

d,

tabella tabella ono iportativalori iQo Ab/R

60m'10

600m 106.000m 10-"

CapitoloLA MISURADELLEDISTANZE

la distanzadn è pari alla lunghezzadell'arco i cerchiomassimo, ppartenentella sfera ocale n Aodi raggioB,sotteso all'angolo

sinò=+== ò perché è un angoto iccoloR+ Q^

r-

, Rd ^

" R + Q n

. dn . ( . o, \-' considerandohe a massima uota errestre ossibile din, =:î-roIt . ;) c irca km, l ermine B/Rèdel l ;ordinei 10-3.

t*; \ ' l\ 'Trascurandotermini

n (eB/fl2, ioè rascurandoterminidell 'ordinei 10-o,ale a seguentelterioreemplificazione:

, - - l

[ t .?.)=r-92+ rerminirascurabit i

Quindia formula er a riduzioneella istanza lla uperficiei riferimentoelcampogeodeticossumeaseguenteorma efinitiva:

d r=do[ r -? ì ? ] v | 'R /

alvariare ella uota elpuntoB.

Si può osservare he la riduzione elladistanzaallasfera ocaledeve essere attasolamente uando l termine orrettivo olFassume alorisuperiori l lo s.q.m.dimisura elladistanza. erquote nferiori i 6 m, il termine orrettivoO/R è inferiore10-6 quindi emprerascurabile.Questa iduzione llasuperficie i riferimentoelledistanze ovràessereeseguita ertutti i rilievi a scopo cartografico,mentre n ambito locale (rilievodi reii per iltracciamentoi gallerie,univie cc..) ale riduzione on dovràessereapplicata errendere mmediatamente

onfrontabili risultati el calcolodi compensazioneon lemisure idotteall'orizzonleul piano ocale.

215




CapitoloLAMISURA ELLE ISTANZE

6,2, STRUMENTI ERLA MISURADELLEDISTANZE

La misuradirettadelle distanzen topografia a sempre ostituito n problemapraticamenterrisoltoinoallacomparsa ei distanziometriondeelettromagnetiche(EDM

o EODM)awenutaagli nizideglianni

60.

Prima i taledata a misura irettadelle distanze eniva realizzala on apparatimoltocomplessi ad es. I'apparato iJàderin) heconsentivanoa misuramediantel riporto i grandezzeampioneungoadistanzancognita,materializzateon fili n invar unghi24 m circae opportunamentetesati.Questimetodi ranomolto ispendiosiunasquadra i tre operatorimpiegavamediamentegiorno ermisurare nadistanza i circa1 km)e molto imitati ell 'uso,inquanto ipotevanotilizzareolo u errenimolto ianeggianti.

Finoa pochidecennia erano omunque li unicimetodin gradodi supportareeoperazionii inquadramentovesi richiedonorecisionielative ell 'ordinei 10-'.Nelril ievo i dettaglio,er l quale ono ichiesteolitamenterecisioninferiori,onostatiutil izzati etodi i misurandirettaelle istanzehe mpiegavanoste entimetratelestadie)e teodolitimodificati on I'aggiunta i particolarieticoli teodoliti d angolo

parallatticoostante tacheometriutoriduttori).uestimetodi onconsentonoerò amisuradi distanze uperiori 20Qm e comunquee precisioni ono al massimodel l 'ordinei 10-3.

Già nel 1933 il sovieticoBalaicov revettòun distanziometrod onde ed ilconnazionaleebedevnel 1938 ne costruìun prototipo.Nel 1943 lo svedeseBergstrandostruìl primo trumentoommerciale:l "Geodimeter",onportatainoa10 km. Nel dopoguerra,l sudafricano adlei nventònfine l primodistanziometromicroonde MDM)(chiamatoTellurometer)on portatasino a 150 km e precisione2*10o.Questi trumenti ranoancoramolto ngombranti,ocoprecisi il metodo imisura ra elativamenteento,maunpassonavantiormidabile.La misuraelettromagneticaelladistanza on distanziometriEDM= Elettromagnetic

DistanceMeter)awenne inizialmente on strumenti he impiegavano ome ondeportantie onde uminoseEODM ElettroOpticalDistanceMeter)o che impiegavanoondecentimetricheMDM= MicrowaveDistanceMeter).

A partire aglianni 70,sonostatiposti n commercio,prezzi ccessibilinche llapiccola tenza, distanziometriondechehanno efinitivamenteecretatoa finedeimetodi i misurandirettaelle istanze,arantendonpiùampio aggio i azione, napiùelevata recisioneunapiù apida secuzioneellemisure tesse. apossibilitàimisurare istanze on estrema acilitàha portatocome logicaconseguenza unarivoluzioneeimetodi i ril ievo di calcolo onsentendoglioperatorii svincolarsiaivecchischemidi ril ievo he privilegiavanovviamentee misureangolari ispettoquelle i distanza.

Nei paragraf seguenti ci soffermeremo revementesui principi generali di

funzionamentoei distanziometriondeelettromagnetiche,imandandotesti lassicidi topografia er gli altrimetodisopracitati. distanziometri oderni ossono ssereclassificatinstrumentiheprevedonoamisuradellosfasamentora 'onda messaquella icevuta strumenticherevedonoa misuradi tempitrascorsitraue mpulsitra due renid'onda.Questo econdometodo teoricamenteiùsemplice a,sinoaqualcheempo a,difficilea attuare er ascarsa recisioneon aquale rapossibilemisurareuestintervallii empo.

21 6

L-_




6.3. I DISTANZIOMETRIMISURADI FASE


Questi istanziometrionooggi piùdiffusi.l funzionamentoi basasull'emissionedi unaradiazione ttica on unghezza 'onda orrispondentell'infrarossoicino 2 =

0,78pm)chevienemodulata trasmessaersoun prisma etro iflettore;uest'ultimoriflette na partedell'onda erso 'apparecchioicevente ell 'EODM he interpretaadifferenzai ase ra 'onda messa quella icevuta. uesto fasamentoipende alladistanzasistentera ldistanziometroil prisma.

Nell'EODM ono dunquepresenti ue parti,una trasmittented una ricevente.L'esigenzai mantenereoncentrata'energiaell 'onda messa, quindidi poternericevernei ritorno nabuonaparte, a sì chesi debbano lilizzare ndecon unghezzad'ondamoltopiccola infrarossoicino). nveceper poterdiscriminarea fase conprecisione necessario lilizzare na lunghezza 'ondametricae quindibisogneràmodulare pportuamente'onda lettromagetica.

6.3.1. A MISURA ELLAFASE

Un'onda inusoidaleieneemessa a un estremo delladistanza da misurare,chesi supponenferiorellametàdella unghezza'onda ",si riflette ull 'altrostremoB e ritorna elpuntoA (vediFigura .3).Losfasamento isurabilera 'ondarasmessae I'ondaicevutaarà unzionei D.

E

3 a6 ^

o i: q

"t , /

ú

, o n d a uscen t e da Aa l l ' i s t a n t e

Fig.6.3 Principioellamisura ella istanzaongliEODM casoD <ll2)

Quale arà l valoredell'oscillazionenelpuntoA allostesso stante sia dell 'ondaemessa hedi quella ientrantegià iflessaa B) ?.Sempren Figura .3è indicatol puntoA'simmetricoiA rispetto B,percui nvece iconsiderare'onda iflessa i può mmaginare'onda heproseguea B versoA' ed A'coincidentedealmenteonA; I'oscillazionen A saràquindia stessa i A', simmetricodiA rispetto B. Nell' istanteinA'avremo er 'onda messa:S " = A s e n ( o / + g o )

dove:S = ampiezzaell'onda4r=pulsazione Znfgs= Îase nizialec = velocità i propagazione

t3l

A = ampiezza assimaf = frequenza2 = lunghezza 'onda clf

l i onda r ien { r an t e n n/! a i l , i s t a n t e d o p o

./ ;r l a r i l l e s s i o n e n I

i

2 1 7





Per 'onda iflessa,enuto onto he un determinatoalore ell 'oscillazionei propagacon a velocità ella ucec e che quindi 'onda ientranteiproducevaloridell 'onda

uscente onunritardo i a, - 2D ^ur"^o'.

cS , = A s e n ( @ ( t - L , ) + g o )

S, = Asen( r l /-ro4, +qo )

S , = A s e n ( o / - q + q o )

dovecone = o Atsi indica osfasamento ra I'onda scente l'onda ientrante.ll doppio elladistanza B (inandata ritorno) aràpariallavelocità i propagazione

delsegnaleer l empompiegato:D=cLt-.-9 - ,+=$i '(ù 2nf 2n

e quindiadistanza :

o =9\ t4 l2n2Da cui si può dedurre he misurandoo sfasamentop ra l'ondauscente I'onda

rientrantei può ottenerea distanzaD come una razione i metàdella unghezza

d'ondampiegatail apporto varia ra0 e 1).2n

Lo strumento he misura o sfasamentora due onde si chiamadiscriminatorecomparatore ifase.Se ora si sposta l puntodi riflessione di un numero nterodi mezze unghezzed'onda A' si spostadi un numero nterodi lunghezze 'onda)è evidente he losfasamentooncambiaperché ungo l percorso D si vienead inserire n numerointero i unghezze'onda si potrà uindi crivere:

D= I L *nL2n2 2 D=L+rL2 t5l

La 5] rappresental'equazioneondamentaleeidistanziometrid onde.ll numerontero si chiama mbiguità.Permisurare na distanza on un distanziometrod ondeoccorre uindimisurareosfasamentop valutare,enza rrore,l numerontero i mezzeunghezze'onda.E' bene puntualizzarehe con qualunque istanziometrod onde la misuradellosfasamento permette empree solo di valutare uellaporzione i distanza heeccedel numerontero i mezzeunghezze'ondan essa ontenuto che l numerosi puòvalutareonmodalitàiverse.

I problemi i misura onsistonouindi el icavareosfasamentoe l'ambiguità.La frequenza elleondedi modulazione,ornite a oscillatori quarzoermostatizzati,ha unaprecisioneelativa ompresara 10-6 10-7 il valore ella unghezzad'onda.puòquindi ssere eterminatoonunaprecisioneiùchesufficienteatoche o s.q.m.relativo i2 è uguale llos.q.m. elativoella requenza.La frequenza otrebbe vereanchestabilità uperiorema taleprecisioneisulterebbeinutile e nonsi prevede i dover timaren maniera iù precisa i 10-' 'effetto ellarifrazionetmosferica.er endere mogeneee precisionii misura beneche L siamisurata on ncertezzaminore uguale l contributoellapartenon modellabileellarif azione tmosf rica.

218

-E----



I

I discriminatorii fase utilizzati ei distanziometriopografici announa precisione

compresa r" -1-"

+ di 2r , owero la misuradellosfasamento eseguita on 1000 2000

unos.q.m. qcompresora al i imit i : ,=t* + I+* 1000 2000lltermine ,come iàdetto, eveesserentero determinatoenza rrore.Perdeterminareo s.q.m. elladistanza , ottenuta on a [5],dobbiamoicordarea

lesse ipropagazioneellearianzevediap. ]:";

=f *l'oî * l*l'"1 .l*'l '";\ d q l

.\ d ^ / \ d n )

Levar ianzede ie rmin ie la t iv il la lunghezzad 'onda)" (o i )a l l 'amb igu i tà(o Î ) ,perquanto ettoprima i possonoonsiderarerascurabiliquindio s.q.m. elladistanza

. aD l .2 r l .Dsarà , =*f o,=;ffi- =,o*-

da ui:

6, .= +11g- t"2

Possiamo ra calcolarea lunghezza 'onda . chedobbiamo enerare er mantenereunaprecisioneellamisura ella istanza parià op= + 1 cm;dalla 6] icaviamo:)" = 2.1d cffi = 20 rfi.Le onde elettromagnetichetil izzate ai distanziometri,edremo n seguito, onogenerate on una )" di circa1 pm e quindiper poteressereutil izzate ellamisuradovrannorima sseremodulaten ampiezzainoad assumere na unghezza'ondad i20m.

6.3.2.MISURA ELL'AMBIGUITASe ipotizziamo i misurare a distanzamodulando'onda nfrarossa on due

frequenzei lunghezza.re 22prossime,n modo aleche 'ambiguitàsiaeguale erentrambeella istanza ,si potrà sprimereadistanza attraverso:

D=L,* r \=1 ,^apLz2 '2


22

L'ipotesi u cui si

lunghezze 'onda


[7] e cioè che si abbiaun ugualenumeron di mezze

è valida ino ad una distanzaimite Dtw)nellaquale l

t6l

t7l

doveL, e L, sono e parti razionariei I ( t, t ,=*). Si r icava l tora:(P '44iT

L r - L ,l l = - #

At 42 l8l

numero i mezze unghezze'onda superiore i una unitàal numero i mezze

basa laL ),"----i- o ----:-22

42

)""e2

lunghezze'onda (vediFig.6.4).

219





Fig.6.4 Distanzaimite

Nell' ipotesihe .2 iaminore i )q e di misurare nadistanza ultipla i 2r (quindi onsfasamentoullo Lr=6;'

1 l,^D , , ^ n * ! = ( n - + 1 ) ' " 22 '2

dacui:* )\,

h t - L z

chesostituitaella 9] ornisce:n L . L ,

Entro a distanzaimite, 'ambiguità può essere alcolata orrettamentetil izzandosolo e due unghezze 'onda e ).2.Oltre a Dy11asiotterràa misura elladistanzaDa menodi un numero ntero i Duu. l risultato ttenuto laborandoa [8], nonè unnumerontero,mentre'ambiguitàltro onpuòessere heunnumerontero.Occorre llora he a [8] ornisca n.valoreeale on unos.q.m. aleda consentireifissare'ambiguitàenzancertezze.necessariohe lvaloreornito alla 8]differiscadall' interoi unaquantità assima aria 0.2.Traducendon termn statisticiuest' tima affermazionebbi mo

tel

[10 ]

[1 ]

3o,<+0.2 P,,l<Jro.z)=0,067Propagandoa varianza ella 8]e supponendootecon cerlezza.1e ).2 otteniamo

dunque: r1= o12= or = t1 cm e quindi 4_," +1Jdcm

la olleranzaelnumeratoreella 8]sarà3or-, =3Jî|| l

-o"-l =l- 2- l=10.2^1 l "z l lÀ r l " r l 3z-Tl lT-Tl

^ a n l ÀL' r_hz uo, ' tz =21t.m220,2

112l

e quindi . ,-Lr> 42cm [13]

Se ad esempio i assume l= 20 m, dalla 13]si ottiene 2= 19.58m edalla 11],Duu = 466 m. Quindiutil izzandoue sole lunghezze 'ondanon saràpossibile isurareistanzeuperiori 466m.

2(?,\ ),,2 )

220



6.3.3.MISURADELL'AMBIGUITACON L METODO ELLEDECADI

Questamisura onsiste ell 'util izzoi più unghezze'ondamultiple i un fattore 0.Come sempio ssumiamo.=20 m e suoimultipli i 10.

Qualunqueia a distanza da misurarea [5] ornirà nvalore ompresora 0 e 10 mperchél termine i ambiguità nonè noto. l valore elladistanza osìottenuto vràunaprecisioneatadalla 6]paria 6p= * 1 cm :


CaoitoloLAMISURA ELLE ISTANZE

la distanza sarànotaa menodi 10 m e relativimultipli; arannoquindi esatte le sole cifrerelative i m ai dm e ai cm

1.=20m 0<DS10m

or=t4rc-3=*1cm2

) "=200m 0-<D<100m la d is tanza sarànotaa menod i 100

ou=!*rc',= r0cm:?,.11:lYX'Xl'ajff"nnouindisatteeL

) "=2000m 0<D<1.000m

oo==4rc -3 *1m2

2=20000m 0<D<10.000m

or=!4 rc -3 = t lom2

mesole

la distanzaD sarànotaa menodi 1.000m erelativimultipli; arannoquindiesatte e solecifre elative glihmla distanza sarànotaa menodi 10.000m erelativimultipli; arannoquindiesatte e solecifre elative i km

Ladistanza saràottenutaombinandopportunamente'insiemeelle ifre esatte"ottenute tilizzandoevarie unghezze 'onda".

6.3.4.MISURADELL'AMBIGUITAONTRELUNGHEZZE'ONDA

Si impieganore lunghezze'onda i cui due pocodiversen mododa fornire naDurv ufficientementerande, una terzasensibilmenteiversa allealtredue chepermette i eliminaree incertezzeull'ambiguità. Un esempio umerico uòchiariremegliol metodo.

Ir = 10,00m 2z= 9,97m 2s= 9,52m

La Dtw corrispondentelle unghezze'ondau e )"2 secondoa [11 di circa2.000mmentrequellacorrispondente)q e Asè di circa100 m. La precisioneon cui sidetermina'ambiguitàè datadalla eguenteelazionevedi 8]):

'J1o,on=*z= * 0.9 ipotizzandoomeal solito L= f 1cm e fu e 22' ht -hz oeneratir abiliZ-Z

generati enzaerrori pprezz

Se assumiamoa tolleranza elladeterminazionei n paria 3o, potremo bagliareI'ambiguitài unaquantitàmassima ar ia tre unità, n altreparolea distanza alcolatapuòdifferire a quella orretta i massimo 0 m.Utilizzando4 e ).savremonvece:

' J-zo,o' = ff i =+ 0'06 con e stessepotesiatte er .te )"22-T

ln questo aso l valoredi n è calcolato enzaerrore atoche 30, = 0.18e la tolleranzacheavevamomposto paria 0.2.La precisionei misura elladistanza saràparia

4,

(vedi 6])o,,=*?lo-3= 0.005mz

221





ln sintesi on21 e ).2si ottieneadistanza corretta eikm (fino l limite i 2) e nellecentinaia i m, con)"1e ).9si determinanoon cerlezzae cifre elative i dam,dei m,deidme deicm.

6.4. PRECISIONEEGLIEODM

La precisione ella distanzamisurata on un distanziometrod onde, si valutaattraverso ue costantica e cr. L3 prima, ndipendentealla distanzamisurataD edovutaal discriminatorei fase, a seconda, ipendente alla distanzaD, dovutaall ' incertezzaella unghezza'onda . Si è soliti crivere:o, = *(co c., .D) t14l

I valoridellecostanti oe c7praticamenteaggiungibiliono:c o= l + l 0 m m c r= l = 5 . 1 0 - 6 p p m )

I valori nferiori ellacostaflt€

a,ipossonoaggiungereei

distanziometrihe usano lmetodo i misura ella ase,mentre valori nferiori i cr si possono ttenere on idistanziometrihesfruttanol metodo i misura d mpulsi.L'errore i misura ello fasamento è indipendentealla istanza isurata e comedetto n [6], nfluenzaolamentea costante o.La requenzaelleondedi modulazione,ornite a oscillatori quarzoermostatizzati,ha unaprecisioneelativa ompresara 10-6 10-7.l valore ella unghezzad'onda"puòquindi ssere eterminatoonunaprecisioneiùchesufficienteatoche os.q.m.relativoi )"è uguale llos.q.m. elativoella requenza.L'incerlezzamaggiore i ha nelladeterminazioneell'effettiva elocità i propagazionedelle ndenell'ariahe,a suavolta,nfluenzal valore i 2.L'effettoell ' indicei rifrazioneell'ariaullaunghezzad'onda"è paria:

ì "=L t15lnf

dovecè lavelocitàdi ropagazioneella ucenelvuoto, è I' indice i rifrazione f è lafrequenzai modulazione.'indice i rifrazionedipendengenere:

F dalla omposizionetmosfericache i potizzaostanteerdislivelli odesti)D dalla emperatura:n errore ellamisura ella emperaturaaria 1 grado t) fa

variare di 1 p.p.mD dallapressione:n errore ellamisura ellapressionearia 1 torr avariare "di

0 ,4p .p .m.F dall'umiditàelativa:n errore ellamisura ella ensione i vapore iocaun orte

ruolo nell'errore ella determinazioneell'indice i ritrazione olo quandosiutilizzano nde centimetrichecirca 100 volte superiore)ed è praticamentetrascurabileeidistanziometrid onde uminose;uesta una delle agioni ercuisi sono mposti l istrumentihe mpieganoa modulazioneella uce.

ln defnitiva si assume I'errore massimoquale errore dovuto al fatto che lapropagazionelettro-magneticaluminosa infrarossa) on avviene nel vuoto manell'atmosfera.onpotendo onoscerevaloridi temperatura,ressione tensione ivapore ungo utto 'arco chedefiniscea distanza a misurare,i usano alorimeditra quellimisurati gliestremi i valorimisurati ella olastazione ercorreggereadistanzaD.

222

b.---



6.5. L'ONDAPORTANTE L'ONDAMODULANTE

L'energia rodotta a un fenomeno scillatorioi propagan tutte e direzioni sidistribuisceu unasuperficiehecresce on l quadrato elladistanza alla orgente.

L'energianoltre i dissipaungo l percorso atoche, ngenerale,onsi puòsupporreche l comportamentoel mezzo n cui I'onda i propaga ia perfettamentelastico inun mezzoperfettamentelastico,'energiaicevuta a ognipuntooscillanteerrebbetotalmenterasmessa l punto ontiguo).Un'altra ausadi dissipazione dovutaal fenomeno elladiffusioneer cui piccoleparticelleontenute el mezzoed aventi imensionirossime lla unghezza 'ondadiventanoededi riflessioni rifrazioniisordinatehe disperdono'energiaontenutanel lusso rincipaleelle nde.Da quantoabbiamo isto,è necessariohe una partedell'energiaitorni l la partericeventenquantità ufficiente misurarea aseo i tempidi ritorno.Questosi ottienevantaggiosamentesandoonde ottiche . = 0.3 + 1 pm e, più

vantaggiosamentencora, con I'uso di luce coerente(laser).Spesso la sceltadell ' infrarossoicino r=0.85 m),miglioral segnale i ritornon condizionii visibilità(del ampo ell 'occhiomano) oneccellentidebolioschie des.).Con 'uso el asersi puòanche oncentrarenadiscreta otenzan piccoli ngoli olidi iminuendoosì lconsumo nergeticoell 'apparato.Abbiamo erògià dimostratohe perdiscriminareasio misurareempidi ritorno elsegnalecon precisione ufficiente, ccorrono unghezze 'onda metrichee nonmicrometriche.ersuperare uesta ontraddizione,a soluzione dottata onsiste elmodularea portante ttica on unghezze 'ondametriche decametriche.La modulazione el segnaleottico può awenire in ampiezza negli EODM), nfrequenzaper e microondeegliMDM), d n polarizzazione.La modulazioneiùsemplice, modulazioneiretta, tilizza fotodiodi ll'arseniuroigallio GaAs) he hanno a proprietà i emettere na uce nfrarossa,?= .85pm)conenergiaproporzionalella corrente he li attraversa: = K /. Questacorrentepuòesserevariataalla frequenza orrispondentelle lunghezze 'onda metricheedecametricheecessarie l la misuradelle distanze, ttenendo osì un segnaleluminoso odulatonampiezzavediFigura .5).


Neidistanziometridel segnaleotticobirifrangenza.

Capitolo 6LA MISURADELLEDISTANZE

Fig.6.5 Ondamodulatanampiezza

a laserElio-Neona modulazionevvienen modo ndiretto valleprodottoattraverso n oscillatore l'utilizzo el fenomenodella

223





6.6. I DISTANZIOMETRID IMPULSI

ll principiosu cui si basa questo metodo di misura della distanzarisultaconcettualmenteemplice, i tr attadi misurarel tempoAt impiegato a un impulsoluminoso er andare al

distanziometrolriflettore viceversaFigura

.6).Nota

avelocità i propagazioneell'impulso,adistanza ercorsa aràdatada:2D: cLt [16]

Le primeapplicazionii questometodo ono staterealizzaten campomilitare neisistemi i misura atellitari .L.R. Satellite aserRanging). 'impulso messo, i tipolaser, possedeva uttaviapotenze al i da non essere applicabilen campo civilecostituendo n pericolo er la vista.Ma se la potenza messapuò essere acilmenteresacompatibileon e esigenze egli mpieghi ivil i, i maggioreilievo il problemadellaprecisioneichiesta er e applicazionii tipogeodetico_-opografico.Affinchéa distanzaD abbiauna precisione inima i 10-", ccorre he sia v sia /fsianomisurabilion taliprecisioni. ell ' ipotesihe c = 2.9979.108/s,costante otaconestrema recisione,i ha cheAtdeve ssere reciso irca10-5, cioè asensibilitàdeveessere:6Ar=10-5= òAl=1g-u4r t17lLt

Perunadistanza = 3 msi hache l segnalei tornadopo:t=2D/c:6/ 3.108 =20nse lasensibilità17]dovrebbessere At= 10- .20ns 0.2ps cioèdi circa .10- 13s ottenibileolo onorologi tomici. Prismaiflettente

Figura .6 Misura d mpulsi

Nel distanziometrosisteun oscillatore oltostabile i precisioe p =3.10 I s afrequenza = 14.985MHz paria )"=20 m. Un diodoGa As vieneattraversatoer untempo istrettissimo,2 ns, da una ortecorrente i 20 + 30 A ed emette n fascio iluce aser.La corrente costante stabilizzatan questo revissimontervallo. opounintervallo i tempoAt arriva l ricevitorel segnale i ritorno.Questo ntervallo i tempopermettel calcolo i unvalore pprossimatoella istanzaons.q.m. aria:

on=

p'c=

13. 0-8 .3-rc8= *9m

J

Perdistanze uperiori'orologioi riferimentoeterminan modoesatto olo l numerodi lunghezze'onda ontenuteell ' intervalloi tempoAt ra l segnale messo quelloricevuto. hiamandoonT i l periodo ella requenzaondamentale(il periodo saràparia 1/f), 'intervallot tra o Start partenza el segnale) lo Stop arrivo el segnale)sarà vediFigura .7):L t = n T + t o - t b

[18]

Trasmettitore

Ricevitore

a a ^

[1e]

L-





Oscillatorei riferimentocirca 5Mhz

Start

Stop

Fig.6.7 Misura el empo rascorso

Perdistanze inori i 10m i l valore i n è uguale zero. l lvalore i n è noto nquantoladistanza pprossimatanota onprecisione iglioreeldecametrovedi 18]).E' necessariorocedered un affinamentoellamisura el empoentroun periodo ioscillazioneT); il tempo mpiegato all ' impulso pari al numerodi periodi nteritrascorsi nT) e dai tempi residuicompresi ra lo start (fr) e lo stop (to)e la primaoscillazionei riferimentommediatamenteuccessiva.Ciò è dovutoal fattoche I'oscillatorei riferimentoieneattivato ll'accensioneellostrumento nonal comando i startdell ' impulso,on il quale,quindi, on risultan

genere incronizzato.Permisurare onprecisionea e tbsi usaun convertitoreempo ensione; ssoècostituito a un condensatorehe si carica,per i tempi n oggetto, a una correntecostante; ssendo ota a tensioneaggiuntaerun tempodi carica orrispondenteun periodo i oscillazioneT),è facile, on unasemplice roporzione,icavaretempiresiduiichiestin unzioneella ensionenessi aggiuntealcondensatore.

start

Oscillatoreriferimento

Convertitoretempotensione

Misura el empo "

Indicandoonq la ensioneaggiuntaalcondensatoreel empo e conQ la ensioneraggiunta elperiodo ompleto si avrà:

At

II

Fig.6.8

225



[20]T

qO



Con si indicano uccessivamentee poi 6.Dopo gnimisura i ensione d entro n ntervalloheal massimoevedurare nciclo, l condensatoreienescaricato. uesto ondensatoreiene ioèaperto alsegnale i start chiuso alla rima ampa elsegnale ell 'oscillatorevediFigura .8).Per a misura i t ' essendol segnaleicevuto olto ebole, i preferisceare a misuradopoavermodulato uesto egnale on a frequenza atadallostesso ircuito ioscillazione.n"circuitoivelatorei zero"misuraàcome l primo erodella inusoidesmorzata hesi ottiene ome isultato i dettaoperazione.Perpotereffettuare isure i tempocosìprecise, onsi puòprescindereai ritardi ifasedell'orologionterno ovuti i ritardi arassiti ell'elettronicaeicircuitinterni dialtri istematismiuinonpiù rascurabili.erquestomotivo, ltre l lamisuraesterna"del empo, ioèdelsegnale i ritorno, vviene nche namisuranterna i calibrazione,catturandorima ell'uscita,naparte elsegnale messo misurandonel empo ipercorrenzaeicircuiti,ioèa distanza ulla.Questiempi ssumonoalori i levantinrelazionei empinormalmentengioco; d esempio i possono vere itardi i 100pscuicorrisponderebbenadistanza isuratai circa15km.Poiché ntrambisegnalipercorronoo stesso ircuitonterno,ottraendoltempomisuratouello i calibrazioneè possibileicavarel tempodelsolopercorso sterno.

La misura ella istanza vvieneenendo onto ei empi i nvio i migliaia i mpulsiemessi 2000Hzdi requenzaocentinaian modalitàracciamento)ciòconsente iricavare fornire nchel numero i misureatte los.q.m. elle tesse. nosolodiquestimpulsi ermetten eoria i determinarea distanza ciòconsente i seguire

agevolmentenche ggettin movimento.Attualmenteulmercato listrumentii questoiposonoad esempiol Dl 3000DIORdella eica,'ELDI 0dellaZeiss d l modello 01dellaFennel.vantaggi i questistrumenti onounamaggior ortata parità i potenza, i possonoaggiungere6 kmconunprisma,ngenere namaggior recisionela possibilitàerpiccole istanze iessere sati enzaprismi.E' sufficienteinoa200+ 250m di solito 'energiai ritorno ella uperficieolpitaanche e os.q.m.nquesti asidecresce t(5+10)mm.

Sonomoltee applicazionihepossono eneficiareell 'assenzaelprisma vediFigura5.9)anche egrande ttenzionea postanella omprensionei qualeparticolaredell'oggettoollimatoi misural segnale i ritorno.Lamisura isulta iù apida elmetodo ella asee ladistanzaimite desempio elDl3000è di 75 Kmanche e aportatamassima di 14Km.Essendongenereaseconda ostante i precisioneiùpiccolaheneidistanziometrimisura i asesi puòdirechegliEODM d mpulsi iano iùprecisi er unghe istanze.

Nella econdametàdel 1998 onostate ommercializzaÍee prime tazioniotalidotatedi distanziometriimpulsi. EICA, IKONE TOPCON ommercializzanotazionitotalireflector-le,ssonpossibilitài misurare istanze enzaprisma etroriflettenten unraggio ariabile a 100m a 150m attorno l puntodi stazione.l loroambito pplicativopiùvantaggiosoaràsenz'altroel il ievo i dettaglioi edifici di nterniminiere,cave, ondotteorzale, allerie, cc.)e prevedibilmenteostituirannoe stazíonitotali

dotate i distanziometridifferenzai fase.

226

L-_




Fig.6.9 Misura ella istanza enza risma


227




CaoitoloLAMISURA ELLE ISTANZE

6.7. RIFLETTORE ASSIVO

L'estremo ella distanza a misurare on occupato allo strumento, eve essereindividuabile quindisegnalizzatopportunamente.noltre, e vengono til izzati l i

EODMè necessario orresu questoestremo n sistema iflettenten gradodi inviareverso l distanziometroa maggior artepossibile ell 'energiaa questoemessa;asuperficieiflettenteell 'ondalettromagneticacostituitaa unoo piùprismi.Nel caso di strumenti d impulsi i possono sareanchespeciali atarifrangentisegnaliiflettentid ancora ulla enon asuperficietessa ell 'oggetto.ll motivo ell 'uso ei prismi semplice:idirigerea maggior artedel segnale ersoI'EODM; iò awerrebbe olo n piccola arteutil izzandopecchi altrimezzi.Laquantità i energia heritorna l distanziometroeveessere i potenzalale a eccitareil circuito he ordinaal discriminatorei fase la misuradello sfasamentoispettoall 'onda messa.

Fig.6.1 - prismaetro-riflettenteschema i unzionamento

ll principioi funzionamentoelprisma schematizzaton Fig.6.10) ermette,nfatti, iridirigere n fasciodi luce parallelamentella direzione i incidenza.l prismapiùsemplice i ottieneagliando no spigolo i un cubodi cristalloon un pianodi taglionormale lladiagonaleelcubo.ll numero i prisminecessariod assicurarena buona isposta ipende al tipo didistanziometrodalla istanzada isurare.

228

L-_




Capitolo 7LA MISURADEI DISLIVELLI

Capitolo7LA MISURADEI DISLIVELLI

7.1. STRUMENTIERLA MISURADEIDISLIVELLI

ll ivelloè lostrumentohevienemaggiormentetil izzatoer a misura eidislivelli.La prima onsiderazionea fareè che l livello onpuòessere onsideraton veroeproprio strumento i misura" anchese così continueremo chiamarlo) oichéènecessarioisporre nchedi un'unità ampione ostituita a una scalagraduatastadia.In questocapitolo escriveremoe caratteristicheostruttive di funzionamentoei

livelli le piùdiffuseipologiei stadie.

229




7,2. LA STADIA


La stadiaè un'asta di egnoo metallica),raduata, sezione ettangolare conlunghezzaariabile i 2, 3 o 4 m. Comeabbiamo opraaccennatoengono tilizzate

nelle operazioni i l ivellazione eometrica ssolvendo lla duplice unzionedisegnalizzazionerovvisoriai un puntoe di veroe proprio trumento i misura. erfacilitarel trasporto engono olitamenteostruiten più pezzi esi solidali a unacerniera.

Sulla acciaanteriore ella stadiaviene riportata na graduazione edianterattialternati i colorebianco nero o bianco rosso), ellospessore i un centimetro.Sullagraduazioneengono iportatee cifreche rappresentanometrie i decimetri.

Questeultimecifresonoposizionateell'intervalloi graduazioneuccessiva l trattoche ne rappresental valore ffettivo.n ognipuntodellastadia, i puòeseguire nalettura omprensivai metrie decimetrilettidirettamenteallecifre mpresse ullastadia),centimetri contatigrazieall'alternarsiei tratti a colori diversi)e millimetri(stimatiolitamentell ' internoi un ntervalloella raduazione).La stadiadeve essereposizionata ulla verticale el punto con lo zero dellagraduazionen basso. l controllo ella erticalitàvvienemediante na ivella fericamontata ulcorpo ella tadia ,quando ecessario,til izzandoostegniarticolari.Da alcuni nni a graduazionestata ostituitaa unacodifica barreperconsentireI'util izzoei ivelli igitali, i cuiparleremoelseguito i questo apitolo.

230

^L.--




CapitoloLAMISURA EIDISLIVELLI

7.3. IL LIVELLO

ll l ivello unostrumentoopograficoheconsente i disporre'asse i collimazionedi un cannocchialenassetto rizzontale.

Questostrumento ieneutilizzalo elleoperazioni i livellazioneeometrica, no deimetodi heanalizzeremoermisurarel dislivellora duepunti.

Un ivello costituitoalle eguentiarti:F basamento: una struttura ealizzalaon unapiastra ecante l centroun foro

filettatoheconsentel bloccaggioello trumentoultreppiededa unasecondapiastra,munitadi livellasferica, l cui assetto ispettoalla prima piastradelbasamento,controllabileediantereviticalanti;

F traversa:è una strutturameccanica imile all 'alidada i un teodolite,manotevolmente emplificata ispetto a quest'ultima. nfatti la traversa deveconsentiresolamente a rotazionedel cannocchialeattorno ad un asseperpendicolarel basamento;

F cannocchiale: dello tessoipodi quelli ti l izzatieiteodoliti.F livelle:per poter endere rizzontale'asse i collimazionelivelli evono ssere

dotatio di una livellaoricadi altaprecisioneolidale on il cannocchiale didispositiviutomatici.

L'operazionei messanstazione i un ivello piùsemplice ellamessan stazione iun teodoliten quanto, omevedremo arlando i livellazioneeometrica,ccorresolamenteentrarea ivella ferica el basamento.

ll primoivello i concezione odernaisale lla inedel1660 Chézy): dotato i ivellatorica. gli nizidel 1800comparel livello otato i cannocchialelivella igidamente

fissata d una raversaEgault).In seguito enneprogettatol modello i Wild,cui si sono spirati n grannumero imodelliinoa metàdel 1900,dotato i cannocchialeissato lla raversa, di livellatoricaissata l cannocchailetipo nglese).A partiredaglianni 50 compaiono livelliad orizzontamentoutomatico, etti ancheautolivelli. ntrambi uesti ivellidevonoessereutil izzati on stadiea graduazione,mentre recentiivelli igitali evono ssere tilizzationstadie odificate.

7.3.1.L|VELL|OTTTCOMECCAN|CI

I livelli ttico meccanicii distinguonon:

F f velli orizzonlamentoell'asse i collimazione edianteivellaorica) livelli orizzonlamentoutomaticoell'asse i collimazioneQuestiultimihannoassunto empremaggioremportanza diffusione,ostituendoquasi otalmenteprecedenti.Diseguito i accenneràapprima i ivelli hehanno isogno i una ivellaorica livellia vitedi elevazione)i precisione,onsiderandoue varianti mportantira le diversesoluzioni.

Lagamma elle oluzionitrumentali infatti ssai mpia: uesti ivelli i differenzianoin baseallecaratteristicheelladisposizioneel cannocchiale,he è fissoo mobile,alladislocazioneella ivella.

23r



G.COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA LAMISURA EIDISLIVELLI

Laclassificazione,omegiàaccennato,attaper ipologiaostruttiva la seguente:

livelli cannocchialeisso ono senza itedi elevazionedettiivellinglesi);l ivelli cannocchialeobile livellaissa lla raversa;

livelli cannocchialeobile livellaissa l cannocchialedettiivelli hézy);livelli cannocchialeobile livellamobiledettiivelli enoir);livellicon livellea doppiacurvatura cannocchialeuotabile ttornoal proprioassea manicotto.

ennocchúm{e

p:csospss

Figura .2 schema i ivello ttico-meccanicoonvitedi elevazione

Laclassificazione,omegiàaccennato,attaper ipologia ostruttiva laseguente:

F livelli cannocchialeisso ono senza itedi elevazionedettiivellinglesi);) l ivelli cannocchialeobile livellaissa lla raversa;

F livelli cannocchialeobile livellaissa l cannocchialedettiivelli hézy);F livelli cannocchialeobile livellamobiledettiivelli enoir);) livellicon livellea doppiacurvatura cannocchialeuotabile ttornoal proprio

assea manicotto.

Loschema i igura .3 iguarda n ivelloradizionaleonvitedi elevazione.ll l ivello costituitoa una raversa irevole ttorno d un asseZ e imperniatau unabaseconviticalanti heconsentonoi rendere erticalealeasse.ll cannocchialecollegatolla raversaonun sistema ostituitoa un perno da unavitedi elevazione,n modo hepossa ubire iccoleotazionintorno i suoiappoggi.Al cannocchiale rigidamente ollegatauna livella,munitadi viti di rettifca,

generalmentei ratta i una ivella coincidenza'immagine.

23 2

L--




CapitoloLA MISURADEI DISLIVELLI

Un livellosi dice rettificato uando 'assedi collimazione la tangente entraledella ivella ono ra oroparalleli vediFig.7.3).Per un livello ettificato,entrarea livellaorica quivale uindi rendere rizzontaleI'asse icollimazione.

l r a v e r s a

---\-rrl!f1d!. jigr

b a s a m e n t o

Figura .3 Schema el ivello hiale onvitedi elevazione

La "messa n stazione"consistedunque solamentenel centrare a livella sfericasofidale on il basamento,'orizzontalitàella ineadi mirasi ottiene rimadi ogniletturaalla stadiacentrando a livella torica attraversoa vite di elevazione aldispositivoutolivellante.

Se al livellomancaa vitedi elevazione,l cannocchialearà igidamenteollegato llatraversavediFig.7.4);inquesto aso l ivello i dirà ettificatoe I'asse i collimazionesarànormale ll 'asse i rotazioneella raversa.

La ivellaorica le treviticalanti onsentonoi realizzarea verticalitàell 'asse, diconseguenza'orizzontalitàell'asse i collimazione. uestoè lo schemacostruttivocaratteristicoei ivelli i minor recisione.

i

Figura .4 schema i ivello cannocchialeenza itedi elevazione

È immediatohiedersin cosadifferisce uesto trumentoal eodolite:sono scomparsi cerchie I'alidada, sisteancoraun'asseprimario Z), ma ilcannocchiale incernierato ulla raversae la vite di elevazionepermette a suarotazione i pochigonrispetto i puntidi appoggio.

L'errore i rettifica i un livello,è I'angolo che I'assedi collimazioneormacon

la tangente entrale ella ivella orica vediFig.7.3).



Ancheeseguendoon estrema ccuratezzalaettifica i un ivello n errore esiduo irettifica ermane empre,e può essereconsiderato ullosolo neglistrumentimenoprecisi,mentrenei livelli i precisione, i aftae altissima recisiorie ccorreoperaretenendo resente he 'influenzaell'errorei rettifica onpuòessererascurata.ll metodo iùsemplice sicuro ereliminare'influenzadell'errorei rettificaonsistenelporre o strumentod eguale istanza alleduestadie vediFig.7.5). n tal casol'errore i lettura h_ei commette, ar ia d tange, è uguale ulleduestadie n valoreesegno, ercui adifferenzaelle etture seguiten l, è uguale lladifferenza ,4 l,gdelle ettureeoriche hesi sarebbero seguitenassenza i errore i srettifica.



Figura .5 influenzadell'errorei rettifica

ln g,enere oichée è piccolo na differenzadi ualchemetro ra le distanze elleduestadienon comporta n sensibile rrorenel dislivello,ma è opportuno,pecie nelleliv_ellazionii altaprecisione,erificare correggere'eriore i sretiifica.I

I l ivelli i rettificano ediante'esecuzionei duebattute i livellazionehepermettonoil

calcolo ell 'errorei rettifica nelseguente odo:) datiduepuntiA." B,suiquali oìo poste uestadie, d unadistanza i 60-70m,si effettuauna battutadi livellazione al mezzoper determinare,on il livellosrettificato,l dislivelloorretto ae vediFig.7.5).

D si spostapoi il l ivello n una posizione rossima l puntoA e si effettua nalivellazioneraglistessi unti, alcolandouesto econdo islivello ,ou=(to_uche è differente al primo,perchén B è concentratoutto 'errore i srettifica ell ivel lo vediFig.7.6).

a

Figura .6 rettificai un ivello

Data a modesta ntità elladistanzaîrastrumentostadie, ípuò rascurare,errore icurvatura di sfericitànentrambi puntie rimane oltanto'effettoell'erroreesiduo isrettificaelpunto iùdistante.

23 4

A




Dalla igura .6sipuòverificareemplicementehe:L a u Io - l o = ( A+ t d ) - ( t ' u e D )

L o o = l o - l o - e ( D - d )

L o u = A o u € ( D - d )da cui

L ^, , L' , ,,D-d

L'angolo i srettifica,naturalmente,espresson radianti.Se il livello ossestato ettificato,ullastadia n B si sarebbe ovuta areuna lettura:l 'n= ln -ED '

Calcolatopertanto 'erroreeD che si commettenell'effettuarea letturasu B, perrettificarel ivello, i procede ll' imposizioneella ettura sattan B,agendo ulle it idi

rettificael reticolo trumentale.

7.3.2. AUTOLIVELLI

Gli autolivelli realizzano utomaticamente'orizzonlalitàell'asse i collimazioneattraverso n meccanismo ttico meccanico hiamato ompensatore,on appenaI'assedi rotazione ella traversasia stato posto sufficientementerossimoallaverticale.Gli schemi ostruttivi dottati ono piùdisparati vengono hiamati tticio meccanicia seconda he l reticolo iasolidale on l cannocchialeppuremobile ll ' internoellostrumento.l compensatoredotato i componentiiaottiche hemeccaniche.

Loschema emplificatoi unzionamentoi un autolivelloriportaton Fig.7 7Sia OR I'assedi collimazionerizzontale, O sia il centrodell'obiettivoin realtàsecondo untonodale);rascurando,er l momento,'esistenzaalla ente i messafuocoe ipotizzando n oggettopuntiforme posto praticamente distanza nfinita,l ' immagineelpunto i ormeràn R.Sevi è una otazione dell'asse i collimazionealmassimo i 0.5son),'immagineelpuntoP si ormeràn R'.Per iportare'immaginen R possiamoeguire uestrade:

) util izzaren'astaigidancernieratanC e avente ll 'altro stremol reticolo chealla otazionerdell 'assei collimazioneealizzi utomaticamentena otazionedell'asta tessa sistema eccanico);n questo asoè il reticolo he si spostanR' ;

F fare n modoche a radiazioneuminosa ia semprenviata a C a R anche n

presenzai una otazione dell'assei collimazionesistemattico).


t1 l

Figura .7-schema i unautolivello

235




La relazione_trae grandezzengiocoè assaisemplice:RR'=f cr= s0

f

F=La ,=na "J

In realtà la situazione più complessa, oprattutto causa della presenzadeldispositivoi messa fuoco.Infattialla condizíonemeccaníca ccorreràaggiungere nche condizíoni i naturaottica, mpostedal fattoche si usa una lenteJóhe quindi a distanzara il re ticoloI'obiettivoonè costante,madipende alladistanza ell'oggettoall'obbiettivo.Si.consideril puntoP sull'orizzontaleerO; I' immagineoéi orma lladistanza datadalla rima ormulaondamentaleelle enti:

1 1 1 d=d is tanzaogget to len te+ - dove: Q= distanzammagineented q -f f = distanzaocale ella ente

Tenendo resenteapredettaormula d l seguenteviluppo:111 _ = _

dcosu qcosa" f1 1 f

= - l 1

qc ls (J f dcoss" '

E con iferimentollaFig.7.6:qcosa ,=m+ lcos \

I sin$tana=

m+ lcos$s inp - ' s \ f n t+ l cos$ )= to ! !q ro ra= to "a f r1 - f r ,

I I r - - - - -I " ' d cosa . '

{ t :

B=!-s (1+ l t I d 'si ottiene osìche 'angolo di cu ideve uotarel braccio funzione iadi crchedi dI disposítivíendolariono al ida mporre l braccio la rotazione ,correttd erd = oo.

B.= ío ,cheè funzioneolamenteell 'angoloi rotazione.,

Figura .8 Condizionittichen un ivello utolivellante

di orizzontalità ipendente alla distanza

totale ecessaria: B= p"* {oId


Ne deriva dunqueun errore

collimato,nquantoa rotazione

23 6

dal punto



-



La rotazioneaggiuntivapuò essere evitata,senza peraltro ntrodurreun erroresistematico,mpiegandon cannocchialeentralmentenallattico,ponendol fuocoanterioreell 'obiettivoisultanteull 'assei rotazione dello trumento.Si icorda he

un cannocchialenallattico fornitodi una lenteconvergente herealizza na lenteobiettivaisultanteventel uoco nteriorenunpunto refissatoelcannocchiale).

Uncompensatorecomunqueefinito a reelementi:F unelementoisso prisma ttico)F un elementomobile (pendolo), he fornisce a direzione ella verticaleo

dell'orizzontaleF un dispositivoer o smorzamentoelleoscillazioniel compensatore,he può

essere d ariao magnetico.

Pertanto li autolivelli i distinguono seconda el tipo di compensatoredottato aseconda el sistema ttico i trasporto elle adiazioniuminose tilizzato, olteplici

sono esoluzioni dottate alle asecostruttrici.Si possonodistinguere ompensatori eccanici d ottico meccanici pendolo,ecompensatori liquido: primi ornisconoa direzione ellaverticale, oi legataall 'orizzontalea schemi ttici, l ialtri ornisconoirettamenteuest'ultima.

ll ivello adellaAskaniamonta ncompensatorependoloosì oncepito:l'immagine rovenienteall'obbiettivointercettataa uno specchio isposto 45";aldi sopravi è un prisma ettangolarehe ormacon o specchio n sistema doppiariflessione;e l'asse el ivello orizzontale,e faccedelprisma dello pecchio onoparallele paralleliaranno nche raggi ncidentedemergente.Se I'asse i collimazioneel ivelloorma on 'orizzontalen piccolo ngolo allora l

compensatoreormato a pendolo specchioinvierà'immaginella accia elprisma,nonpiùa essoparallelo,eviata i cr vediFig.7.9). l raggio mergentearàdeviato i2cre ricadrà ul reticolon R. Lo smorzamentoui è pneumatico,ioèdovuto ll 'ariacontenuta elpozzettoncui è contenutol pendolo.

Figura .9 Schema i ivello skania

Altre case costruttrici tilizzano n compensatore nalogoma con smorzamentomagnetico Automdella ditta Breihtaupt).noltre è possibileutilizzare n pendolorovescioastatico)nvece hedritto BNAdelladittaErtel).L'angoloB, dato dalla rotazione ella strutturaelastica,secondo e equazionidi

elasticità data da B=al - l c o s ( N / E J ) 2

in cui | è la lunghezza ell 'asta, ventel- cos(N / EJ )2

momento 'inerzia e modulo i elasticità, edN è ilcarico i punta.vediFig.7.8).

z ) t





Figura .10 Schema i ivello onpendolo statico

La Kern(ora Leica)ha costruitolivelli GKO-A,GK1-Ae GK2-A,basati u sistemidiversi.l l principioheschematicamenteil piùsemplice quello dottato ell 'autolivelloK1-A del laKern,che ut i l izza no specchioS in Fig.7.11) ncernieratol corpodelcannocchialehe rimane empre erticale, che è postoa metàdella unghezzafocale

del sistema biettivo.L'immagineienedeviata i un angolouguale contrario ll ' inclinazioneell'asse icollimazioneel cannocchiale,, messaa fuocosul reticoloR, vieneda qui portataopportuamente ll 'oculare.ll cannocchiale a lunghezza ostante, osìche è presente el precorso tticounalentedivergenteheservea mettere fuoco 'immagine,ioèa portarla ul pianodelreticolo.Ogni meccanismoompensatoreeve essereestremamenteensibile er esserealtrettantoreciso; e deriva he e oscillazioniel sistema ompensatoreotrebberodurare nche arecchiecondi; erowiarea ciòquesti istemi onodotati i organi ismorzamentohe sfruttanoe proprietà i un liquidoviscoso,un gas od un attrito

magnetico.

Figura .11 Principioi unzionamentoell ' utolivelloernGKl A

ll dispositivo ompensatorentra normalmenten azioneper piccole nclinazionidell 'asse i collimazioneel cannocchiale.aràquindisemprenecessarioendereorizzontalea traversa raziead una ivella ferica d essasolidale in questi trumentiè owiamente ssentea ivellaorica).

Di solitoè possibilear oscillare olutamentel sistema ompensatorettraverso nbottoncino sternoopportunamenteituato ullostrumento. uestaoperazione ienefattasaltuariamenteerverificare'efficienzaelcompensatore.

Vi sono nfine ei compensatorittici hedeviano'asse i collimazioneraziead unpendolo iritto ostituitoa unapiccola sta lessibile,ulla uale posta omemassaunprisma iflettente.vediFig.7.12)Tuttiquesti ompensatorimpongono'orizzontalitàell 'asse i collimazioneons.q.m.

che variada +0.1"a r2"; più avanti aremouna distinzionei questistrumentinfunzioneella recisionelobale ella rocedurai ivellazioneeometrica.

238




7.3.3.LIVELLI LETTRONICINellosviluppo ell 'automazioneei livelli,

strumention ettura scansione lettronica,che 'operatoreebbaeggereulla tadia.

Figura .12- Compensatorettico pendolo iri t to

CaoitoloLAMISURA EIDISLIVELLI

anche alla realizzazione ila misuraè realizzata enza

si è giuntiin cui cioè

Figura .13 livello lettronico

ll principiogeneraleconsistenell'util izzo i appositi ri levatorisensorialiche

sostituiscono'occhiodell'osservatoreell 'apprezzamentoella graduazione ellastadia: i trattadi un dispositivoilevatore,he rendepossibilea misura utomaticael

239





dislivello delladistanzara il puntodi stazione ellostrumento la posizioneellamira.Dalpuntodi vistaottico meccanico,livelli igitali i basano u principi naloghi gliautolivelli,i cui si è discusso elparagraforecedente. anca ioè a livellaorica i

precisione,hecaratlerizzalivelli lassici, entre invece resente n compensatoreil cui unzionamentobasato u diversi rincipi iàdescritti.Ci si occuperà llora ellecaratteristichettico elettronicheel sistemaivello stadia.Occorrenfatti hiarire he di digitale d elettronicoi è solo a ettura llastadia.I meccanismiu cui è fondataa lettura ellestadie ei ivelli lettronicionosvariati,così come la relativa nterpolazione,ome del restoawiene per quanto iguardateodoliti lettronici.

Nonessendo ossibilesaurirea rattazione,i aranno oloalcuni sempi.In generalel principio i lettura ellastadiaè simileal principio i letturadi unasequenza i codici barre, erciòe stadie bbinate llostrumentoonostadie ullequaliè incisauna particolareequenza odificata.o strumento uò uttavia ssereabbinato nchea tradizionalitadie raduate.ll percorso er a digitalizzazioneellemisure eidislivelli statopiù ungodi quelloperautomatizzarea misuradelle distanze degli angoli, orse perché o strumentopreposto questoipodi misura compostoa organi eparati uali astadia il ivello.ll primo progetto i livellodigitale isaleagli anni 60, ma per le prime realizzazionipratiche isogna rri vare inoaglianni 80,quandoa Zeiss ostruì nsistemangradodi leggere utomaticamentee parti ini,mentre uellepiù grosse enivanomisuratedall'operatoreer via ottica: a tecnologia ei CCD e l'introduzioneelle stadiecodifcateportaro oalleprime realizzazioncommerci li.I l ivelli igitali eicaWild N42000e N43000sono oggi moltodiffusi: ssi hanno emedesime aratteristichettiche meccanichei un normale utolivello;n questo

modopossono ssereutilizzati ncheabbinati lle radizionalitadie raduate.Le stadie n dotazione ono di legnocentimetrated in fibreottiche; u questesonoincise a un ato e graduazionin formato inarioa barre) dall 'altroe graduazioninformatoradizionale.

ln Fig.7.14è raffiguratooschema el ivello igitale eicaWildN42000.L'aperturangolare elsistema ttico el ivello di 2o,dunquea massimaunghezzadellastadia i 3,5 m è visibile circa100m ed il minimo ampoalladistanzafocaleminima i 1,8m,corrispondecirca 0cm sulla tadia. 1obietri\o

2 Encoder i messaafuoco

3 Lenteanallattica

4 Spia di controllo ompensato

5 Acqui sitore igitale

6 Oculare

7 Sistemammoensatore

8 Divisore i immagine

Figura .14 Schema el ivello lettronicoeicaWildNa2000

240

^b.-_



-



Unamatrice i diodi che,comegià osservato,ostituiscono'occhio ell'osservatore)riceve 'immagineel codice barredellastadia, vediFig.7.15)dopoche è statadeviata a un prisma emiriflettentehe provvede separarea componenteuminosa

dalla omponentenfrarossa riesce derivare n segnale aratteristico.ll ri levatorenfatti rasforma'immagineel codicea barre n un segnale ideo; alesegnale ienepoi amplificato digitalizzatoon un convertitore nalitico igitaleperprodurre n segnaledi misuraconsistenten 256 pixelscon dinamica a I bit,corrispondente256valori igrigio.

Figura .15 stadia odificata

Unaprocedurai correlazionell ' internoel ivellonterpretaa orma i questo egnaleriuscendo stimareadistanzara l livello la stadia contemporaneamentea etturaallastadia.Vienecalcolata na distanzaapprossimatattraversoa letturadi un encoderchemisurao spostamentoelleenti i messa fuoco ell ' immagine.Questadistanza serve a stabilire pprossimativamentena scaladell' immagine

digitale icevuta:1=L in cui k è unacostante trumentale, entre é la posizione,sdellaente i messa fuoco.

241





L'immagine el codicea barregiungeattraversoe lentiad un vettore i diodi icevitoridopoesserepassata a un prisma emi iflettentehe deviaunapartedi luminositàlacomponentenfrarossa)u un sensoredigitale articolarmenteensibile questacomponente lasciando assarea parte isibile ll'occhiomano.

ll segnale ieneamplificato digitalizzatottenendo lla ineun segnale isponibilelprocessorehedovrà alcolarea ettura llastadia.ll sensore costituito a un vettore i 256 otodiodi paziatiradi lorodi 25 pm perunalunghezzaotale i 6,5mm.Lacorrelazioneonsiste elcompararel segnalemmagine el ratto i stadia onuncodice i riferimentoesidente el ivello preventivamenteidotto llastessa cala.La ecnica ermettel calcolo ell'altezza della cala.Di fatto l processorealcola i quanto l segnale, orrispondentell ' immagineellaporzione i stadia, ada raslato partire all'originecuicorrispondea lettura ,0000m sulla tadia) erpoterloarcoincidereon l campionei riferimentosistente.La scalada dareal codicememorizzato proporzionalelladistanzaivello+stadia.a

funzione i correlazionehe egaquesti uevalori ed h è datada:1 N

r \d ,h )= _LQ(y) -P(d .y+/z ) ove :N ?-"

P è il segnale i riferimentoQ è il segnalemisurator è la unzione i correlazionea massimizzare.N è la unghezzaon a quale i è discretizzatol segnale inario 256).

Figura .16 Massimizzazioneella unzione i correlazione

La Fig.7.16mostra l t ip icopiccodel la unzione i correlazioneidimensionale;ecoordinateel picco ornisconoispettivamentea distanza e la ettura allastadia.Percercarel valoremassimo i rconsiderandoi usare n numero iscreto ivalori i

(d,h),occorre n teoriaeseguire uestiprodotti irca50.000 oltecon tempidi attesainaccettabili.Si ovvia ciòconunacorrelazioneatta due ivelli, rossa fine.Già adistanza pprossimataerivata all 'encodernterno uisi è giàaccennato,iducedell'80% 'area i ricerca,e operazionii riducono rasticamenteimitandoa dinamicadel segnaleda 8 bi t ad 1 bit in quanto l prodottoP O consisten una velocissimaoperazioneinaria xnol checonsiste elporread 1 il risultato el prodotto erPi+Qi.

tla funzione nor è estremamenteapida: d esempio'operazioneèxnor ù) = f' Si ha nfatti n terminibinari:è= 10001010 carattereSCII 138ù= 1001011= carattereSCII 151f= I 1100010 carattereSCII22 6Il valoremassimo i (x xnory) si avràsempre uando = y. h stessoagionamentouòessere steso i numeridilunghezzauperiore d I byte=8bit.

242

..<:r::lillh t \

- , ' : - : : r : ^ : ,

. .,:; , , ,.,, '.,,.1,;

'' ....i',,,.,1,,1,..-- .

L--_



--


r (4 ,É )= ( i , ) = Q( )exnorP( i ,)

Di seguitoè fornitoun esempiodi operazione nor.P=001 10001 . . . . 0010

Q=1 001 0010 . . . . 1100r=000011110 . . . . . . 0011 .l l segnale i riferimento nella spressionei sopra ovviamentecalato traslatonfunzione i d e di h.Ricavativalori timati i d ed h, a correlazioneineutilizzauttigl i8 bitdel segnalemasoloall ' internoi una imitata readi ricerca.Siccome 'ampiezzamassima minimadel segnale icevuto quelladel segnalediriferimentoonodiverse seconda ella uminosità,a funzione i correlazioneienenormalizzata ll'interno ell'intervallo0-1]. Ciò permetteanche di capire se si èraggiunta tatisticamentena buonacorrelazione. iene utilizzal.aome funzionedi


correlazione'espressioneel coefficientei correlazione

ottiene:

rrn(d,h ) =

l ineare: =ot

da cui s i o ro l

1 - ---LO,P, -O PN

l , r ,

ltrn:-o'l )zr; F'

La procedura i valutazioneieneconto,oltreche delladistanza del conseguentefattoredi scala,anche del fatto che i pixel ndividuali el rilevatoremostranounasensibilitàrapezoidalella uminosità:l segnale i riferimentollora, rimadi esserecorrelatoon l segnaleornito al sensoreineare, modificatoa una convoluzione

della unzione i codice on a unzione i sensibilitàel ilevatore.ll calcolo onsideraa possibilitài possibiliscuramentii parte ella tadia causa iostacoli hepossono ssereolleratienza roblemi ercirca 20%dell' immagine.Se si desidera ompieree operazioni i ril ievon condizioni i luminosità rtificialeoccorre he ospettro ella uce omprendancheecomponentinfrarosse.ll software nterno permettedi riconoscere nche dove sono localizzalezonedell'immagineoperte contrastatea ortiombre.E beneperòcheper 'affidabilitàellamisura ueste onenonsiano uperiori l 20'/"dell ' immagine.erdiscriminaren modo nequivocabilea zonaoscurataononecessarisolo70 mmdi codice, erciò l di sotto i 5 m di distanza onè possibilehe a stadiasiacoperta a alcunostacolo.ll l ivelloNA3000 ifferisceal ivelloNA2000 er adensità i ricerca ell 'areainecheè maggiorei circa l40%.

ll codice nciso sulle stadieabbinate i l ivelli igitali onsisten una sequenza iintervalli ianco/nero d è un unico numerobinariopseudostocasticosenzasottor ipet iz ioni)i 2000elementi ,c iascunoi2,025 m: astadiapiùaltachesiossausareè dunque i4,05m.La precisione el risultato ipendedal segnale icevuto, megliodal rapportosegnale/rumoredalladiscrelizzazione,nche e la qualità ell'ottica,a precisioneelcompensatore,anno wiamentea oro mportanza.Per livellazioni i bassa precisione i possonousare e stadie n fibra di vetrocomponibilin tre pezzidella unghezzaotaledi 4,05m e di 50 mmdi larghezzainoa

100m di distanza alla tazione.

z+ J




Capitolo7LA MIS URADE IDIS L IV E LL I

Nei livelli DLl01 e 1O2Topcon, a stadiaha un triplice odice he corrispondedaltrettantenformazioni.a primaparteè a tratti,distanti empre3 cm: i segnalicorrispondonovariazionii spessore i alistrisce.Vi sono poi sulla parte lateralealtre due informazioni,orrispondenti segnalisinusoidali,fasati i +n all ' inizioella tadia, erpermetterei nonavere mbiguitàifase per la lunghezza ellastadia.Dalla requenza alla fase dei tre segnalisiottengonoa distanza la scala: a prima nformazionei ottiene alla requenza elprimo odice, heaumenta on 'aumentareella istanza.

Nei ivelliDiNi 10/20 i Zeiss, a porzione i stadianquadrata sempre aria 30 cmindipendentementealladistanza ra stadiae livello. a stadiaha tratti n codicedi 2cm,checostituiscono'unità i misura a nterpolare.'operazionei misura revedeastima della distanza ra stadiae livellomediantea valutazione el fattoredi scaladell' immagineella orzioneissa i stadia roiettataall 'otticaulsensore CD.Quindimediante n semplice alcolodi interpolazioneienedeterminataa quota

dell'assei collimazione.uesti trumentiossonoollimaretadie a 1.5m a 100m didistanza.

In generale'impiegoei ivelli igitali bbassal tempo i esecuzionei unabattuta il ivellazione;noltre possibileseguireirettamentelcalcolo eldislivello,egistrandodatiautomaticamentetrasferendolid allromezzo nformatico.Gli strumenti ono nfatti otatidi un registratorehe permettea memorizzazioneelleletture seguite llestadie.Nella abella eguente,engono iassuntee principaliaratteristicheecniche ei trelivelli igitali iùprecisi ggipresentiulmercato:

CaratteristicaLeica

N43003ZeissDiN i l0

TopconDL1 1

Precisioneonstadian nvar mm/km) 0.4 0 .3 Q . 4Precisione isura ella istanzamm) 10 10 10Precisioneelcompensatore 0.3" 0.2" 0.3"Campodelcompensatore + 15 ' + 1s', + 15',Tempo i misuras) 4 4 4Campo i misura onstadian nvar m) 1 .8 60 1.5+100 2+60Peso kq) 2.5 3 2.8

244

^L--




7.4. QUOTAE DISLIVELLO


Primadi affrontarea descrizioneei metodi til izzatier a misura ei dislivelli,necessariopprofondirel concetlo i quotadi unpunto vedipar. 1.3).

Abbiamo iàvisto heper equote, necessarioiferirsi l campo eale ellagravità,quindial geoide, nvece he a superficieoriche otesolo matematicamente,ualil 'ell issoidevediFig.7.17).

superficieerrestre

geoide

ellissoide

Fig.7.17 Quota rtometrica,llezza ll issoidicaondulazioneelgeoide

In termini on rigorosi ossiamo efinirel geoide omequellaparticolareuperficieequipotenzialehepassaper l l ivellomediomarino; evidente he l puntodi quotazeropuòessere eterminatoncorrispondenzaelmare.L'operazionei eseguecon I'aiuto i opportuni trumenti etti mareografin gradodicalcolaree anche rappresentare raficamente'andamento ltimetricodel maredepurato al motoondoso mediato aisuoimotiperiodici.Con iferimentollaFi1.7.17, efiniamo:

F quotaortometrica semplicementeuota H= PPo) i unpuntoP (indicatanormalmenteonQp) asuadistanzaalgeoidemisurataungo a inea i orzacheè anche rtogonalelgeoide;

F altezza ll issoidica ello tesso untoP (h= PP') asuadistanza all 'ell issoide,misurataungoa normale ll 'ell issoidetesso;

F ondulazione elgeoide adifferenzara eduequote N= PoP").

Definiamoislivello raduepuntiA e B ladifferenzaiquota rtometricaraduepunti:

superficie errestre

Lt, = Qu Qo l2l

Comesi vede l dislivello positivo negativo seconda he a quotadelsecondopunto iamaggiore minore i quella elprimo.Questa unascelta el uttoarbitraria

chesi adotta erconvenzione.

Fi1.7.18 Dis l ivel lo

1 A <




7.5. METODI I MISURADEIDISLIVELLI

CapitoloLA MISURADEI DISLIVELLI

Con l termine i l ivellazione i intende'insiemeelleoperazionii misura seguiteperdeterminarel dislivelloraduepunti.

Le metodologiempiegate er la livellazionei differenzianoal puntodi vistadelleprocedureeguite deglistrumenti ti l izzati, in base alla naturadellegrandezzeosservate rilevate.I metodi i misura oncuisi eseguonoe ivellazionionodirettio indiretti,ntendendocon questo termine quei metodi di livellazione he richiedono a preventivadeterminazioneconoscenzaelladistanzara i punti, ei qualisi vuolecalcolareldislivello.

Tra e ivellazionindipendentialla istanzalivellazioniirette),icordiamo:) la ivellazioneeometrica: i util izza nostrumentohiamatoivello, orredatoa

duestadie, n eventuale icrometrolamina iano parallela variaccessori;F la livellazionedrostatica: i util izza n sistema i vasicomunicanti si sfruttal

principioisicoche in questi asi l pelo ibero i disponeungouna superficieequipotenziale;

D la livellazionearometrica: basata ul principiohe l dislivellora due punti,relativamenteicini, funzione ella ifferenzai pressionetmosfericasistentetradi essi,misurataonun barometro.

Tra le livellazionihe presuppongonoa conoscenza la misuradella distanza(livellazionindirette),icordiamo:

F la livellazione elerimetrica distanziometrica, he utilizza l teodoliteed undistanziometrod onde;

È la livellazionerigonometrica, he util izzal teodolite un distanziometroi

grandeportata,ma più spesso frutta a misura ndiretta elladistanza la suaconoscenzapriori prevedeastima ella ifrazione.

7.6. INFLUENZA ELLACURVATURAERRESTRE DELLARIFRAZIONEATMOSFERICA

Nelle ivellazioniheoperanorapunti a cuidistanza superiore 100m nonè piùpossibilepolizzare nasuperficie i riferimentoiana.Inquesti asi metodi i l ivellazioneeterminanodislivelli menodi errori istematicidovuti l lacurvaturaocale ella uperficiei riferimento.'errore ovuto llacurvaturaterrestrevediFig.7.19a) datoda:

R ( t \- r - " - R = R . l - 1 !cos ù \ cas o )

sviluppandonserie l coseno arrestandosil primoermine i ha:1 1 o ) ' a '' - '

_ ' l - í r * - ' l - *

R r @ ' 2 2

2da cui

x d 2 d z..._=---------=, ^= -R 2R- 2R t3 l

246




- t r -y = ( 1 - k )d 2

' 2R


Fig.7.19a Errore icurvaturaerrestre ig.7.19b Errore i rifrazione

Perdistanze superiori 500 m bisogna onsiderarencheun effetto i rifrazione

atmosfericavediFig.8.19b) ovuto l atto he a radiazioneuminosa onattraversalvuotoma si propagan un luido ifrangente,uale 'atmosfera,heha un coefficienteirifrazioneariabile decrescenteai ivelli iùprossimil suolo i ivelli iùalti nquota.

Volendo uddividere'atmosferan unaserie i sfere oncentricheoncoefficienteirifrazione ostante decrescenteon la quota,si vede dalla igurache il raggioluminoso he partesecondouna direzioneangente l geoide n un punto (cioèorizzontale)ienedeviato erso a erra.Si è ricavato perimentalmentehe I'angolo i deviazione è proporzionale,ttraversounacostante ,all'angolo l centro hesottende n arcoparialladistanza , cioè:

. ( ù dG - r , - I -c - ^ -

22R

Questo rrore a segno ontrario quello ellacurvaturaerrestre,er cui 'errore icurvatura omplessivo di rifrazioneerrestre arà:

!=ed=k* (0 ,1<k<0,2)

perd = 100m avremo -y= 0,7mmperd = 200 m avremo -y= 2,7 mm l4l

7.7. LA LIVELLAZIONEEOMETRICA

La livellazione eometrica una procedurahe operaper visualiorizzontali,indipendente a qualsiasioperazionedi rilevamento lanimetrico utilizzaunostrumento hiamatoivellocon e relative tadie.

ll principiou cuisi basa a ivellazioneeometrica intuitivo:caturisceall ' ipotesiiparallelismora ediverse uperficii ivello lasuperficiei riferimento.Nell'ambitoellaportata trumentale,ale potesi ortaa ritenere ressoché rizzontalie fra loroparalleleali superfici.l dislivellouò essere acilmenteeterminatoomedifferenzara e ettureatteallestadieenute erticali uipuntidi dislivelloncognito.

ll metodo ella ivellazioneeometricai dividen:F livellazione eometrica emplice, he permette i determinarel dislivelloon

un unicostazionamentoel ivello, d è impiegatauandoa distanzara puntirisultaminore uguale 100m, n modo a considerarel pianoopograficoomesuperficiei riferimento;

1 4 1





F livellazione eometricacomposta,che permette i determinarel dislivellomediante na serie di livellazioniemplici ra loro collegate, d è impiegataquandoadistanzara punti isulta uperiore 100m.

A secondadellaposizione ssuntadal livello ispetto lle stadiesi possonoancoradistingueree ivellazionieometricheemplicin:

F livellazioneeometrican prossimità i un estremoD livellazione eometrica eciprocaF livellazione eometrica al mezzo

ll l ivello, ia di tipo classico he digitale, on costituisceunqueda quantosopraosservato,n vero e proprio trumento i misura; olodisponendoi stadie i puòottenerea misura eldislivello quindiestadie ono l verostrumentoi misura.Per livellazioniecnicheo da cantiere, i util izzano elle stadie n legno, astecentimetrateeneralmenteellaunghezzai dueo tremetri.

Nelcasodi ivellazionii precisionee stadie ono ormate a unacustodian egno dialluminio, ontenente n nastrodi acciaio entimetrato mezzo entimetratoostruitoin nvar lega i Ferro Nichel oncoefficientei dilatazioneermicanferiore t 0-6).Inentrambicasi, egraduazioniononumeratedognidecimetro.Le stadie ispongononche i una ivella ferica er a orocorretta osizioneungo averticale.

*%i J \ J É - ? n _ \ J \ , '

3 3 0* - r i A* * 4 S

?r la -U ' U - A A- * c $

326-*- . * t {+

;#"_, _ * l n , ;

e*i #^*Ù .

. \

$sgÉwffi

WM

m

nInITI:nn ffii::=.,sw1ii:.

' 2?

120: . 18* l t r

l l q:,},2

:10- U

: 6

:411::

248

Fig.7.20 stadien nvar odificatatradizionale

L-



Le stadiedi precisione onodotatedi due graduazioniosteai bordide l nastro ninvar vediFig-7'20)sfalsatera loroe con lò scalegraduate umerate on diverseorigini.Eseguendoa doppia ettura lledue graduazioni,i evitano osìerrorigrossolani

ilettura si mediano uelli ccidentali.Questestadievengonoutilizzate bbinate strumenti otatidi un reticoloa cuneo,comequello llustraton Fig.7.21,e un micrometro laminapianoparallela,hepermette i spostare'immagineel reticolo ínoallacollimazion"

"r"grit"comesivedenella tessaigura.


l l tamburo generalmenteiviso n 100massime evíazionionodi+ 0.05mm.L'operatore egge direttamenteuna dicorrispondented uncentesimoi mm.


WINA MICROMIITRICA

S] AI)IA CI :NI METRATA

,/

-f<=-

lPosizionedel reticolo

a collimazioneavvenuta

=l

FI[1tiig.7.21 Collimazionei unastadianvar

parti,per cui le letture orrispondentille

queste parti e si stima una frazione

ll più dellevolte l tamburo el micrometro una piccola oronadi crístallo raduatoche, lluminatasternamente,osservataonuncannocchiale;'oculareòoloiatopercomodità fianco ell'oculareelcannocchialerincipaleel ivello.

Le ivellazionii precisionevvengonotilizzandouesti ccessori,onchée modalitàinparteaccennate.

Fi1.7.22 Tripode 'appoggioella tadia

249





riferimentoossaerrori istematici

Lungo a lineadi livellazionea stadia ieneappoggiatau capisaldi pportunamentepredispostiulpercorso, calotta emisferican acciaionossidabile,elcasociònonfossepossibile conveniente,i utilizzano ei pesanti upporti i ghisa,dotatidi trepunteche si conficcano l suolo, u questiè postoun grosso hiodod'acciaio testasemisferica.uesti upporti tripodi),ollevati er una maniglia, i trasportanoungotutta a inea i ivellazionevediFig.7,22).

Nei ivelli lettronici,utte ueste perazionii ettura,ome iàdetto, onoautomatizzate.

Facciamo'ipotesi he nelladistanza tazione stadia a superficie iessere chematizzataa un pianoorizzontale che sianoesentialtrichevedremonseguito.

Fig.7.23 Schema ella ivellazioneeometricaalmezzo

lldislivellora puntiA e B (vediFig.7.23)arà:

Q o + l o = Q u l l o L o u = Q o - Q o = l o - l o

La distanzara e stadie ipende allaprecisionehesi vuoleottenere;er ivellazionitecnichenon supera 200 m, mentreper livellazionidi precisioneo di altaprecisione on superamai 40 m.ll puntoA viene hiamatopunto ndietro" d l puntoB "puntoavanti".Perdeterminarel dislivellora duepunîiC e D nondirettamenteisibili distanti iùdi100 m, occorreeseguireuna serie di battute ungoun percorso etto linea dilivellazione.ll dislivellosistente llorara puntiC e D saràdatodalla omma eidislivelliarziali

delle ingole attute i ivellazione.Nello chema i misura ella ivellazionealmezzo vedi ig.7.24), l i errori ovuti

allarifrazione tmosferica,llacurvaturaerrestre quello esiduo i rettifica, elcasoin cui il l ivello ia postoequidistanteallestadie, aranno ellostesso egnoe dellastessa ntità quindi, elcalcolo eldislivellone i annullerannovedi 5]).

t5l

250

L-




Caoitolo7LA MISURADEI DISLIVELLI

Fig.7.24 Schema i misura i undislivelloon ettura almezzo

7.7.1.PRECISIONEELLALIVELLAZIONEEOMETRICA

Lecaratteristicherincipaliel ivello delle tadie ono:F I'ingrandimentoelcannocchiale;)> l diametro ell 'obiettivo elcannocchiale;F lasensibilità ella ivella orica;

Tutti uestireelementionodeterminantier aprecisioneella ivellazione.I tre parametri ariano n intervalli mpi, n quanto e esigenze i precisione ellelivellazionionodiverse.fngrandimentodiametro ell'obiettívoevonoessere celtiarmonicamente,n quantola possibilitài apprezzare misuraree frazioni i graduazioneipendonoia dallagrandezzapparente ell ' immagineellastadia funzioneell' ingrandimento),iadalpotere isolutivocheè funzione el diametro). ei ivelli i precisioneeresempio ihannongrandimentia40xa 60xe diametr i i 50mm.Nella ivellazioneeometricae unichegrandezze isurate ono e lunghezzera ilpuntod'appoggioellastadia ul caposaldo il punto n cui I'assedi collimazioneincontraa stadia, uindi a precisioneel dislivello isurato ipende ssenzialmentedalla recisioneoncui ali unghezzeengono eterminate.Seol è los.q.m. ella ettura ulla tadia,os.q.m. batrutaeldislivelloarà:ob"ttrru+J2 o,

datoche ldislivelloisulta alla ifferenzai due unghezze.ll dislivelloradue caposaldi ollegati onn battute i livellazioneeometrica ottenutoquindi ome omma i n dislivelli saràparia:ol,n"u=o| ol +oi + ol = noî

drin"u Ji ou

Se conL indichiamoo sviluppoineare ella inea i l ivellazionevremo he l numero

ndi battute aràdato da:n=:- e quindidrin"u 7* or .l00m \l100

Si puòdedurre uindi he o s.q.m. eldislivelloraduecaposaldi proporzionale llaradicequadrata ellosviluppoL della inea i ivellazioneeometricahe i collega.Los.q.m. i ettura ulla t adia i puòconsiderareisultantea due attori hesono:

D precisionei ettura;F precisionei centramentoella ivellaorica di funzionamentoelcompensatore

pergliautolivelli.

25 1





La prima ausadi erroreha valoridiversi secondo he a ettura ia eseguita stimaocon un micrometro comunque ipendeanche dalla distanza ra livelloe stadia,dall'ingrandimentoel cannocchialedalpotere eparatoreell'obbiettivo.Quandoa ettura i effettua stimae ladistanzara ivello stadia inferiore i 50 m si

può itener€ r + 1 mm.Se si usaun micrometro,elle tesse ondizioniperative,1saràparia * 0,1mmPervalutare 'errore i lettura lla stadia ovutoal centramentoella ivellaoricao delcompensatore egliautolivelli, i deve partiredallaprecisione i centramento ellalivella tessa. i usadi solito na ivellaorica coincidenza,l cuis.q.m i centramentoè datoda:o"= *0.06Jv

dovevè lasensibilitàspressan secondi essagesimali.Nei ivelli i altaprecisionea sensibilitàale5"+10", ercuio" =O.2" hecorrispondead unos.q.m. i ettura ulla tadia aria:6t =t0,2" 'arc1"'D

DoveD è ladistanzara ivello stadia. ssumendo = 50m avremo:or= 10,00000096950 m = + 0,048mmLo s.q.m.ordi lettura ullastadia ovuto ll 'errore i centramentoella ivella i puòritenere uindi rascurabileer livelli i bassae mediaprecisione;iò nonvaleperlivelli i altae altissima recisioneotati i micrometroer quali l centramentoellalivellaorica a curato n maniera articolare.La livella orica deve esser ben protettada bruschisbalzidi temperatura, he nepotrebberoar variare o statodi rettifica.

L'erroredi verticalità ellastadia i traducen un errore i lettura istematicoullastadia si può acilmentealutare sservandolaFig.T.25

Fi1.7.25 Errore i verticalitàellastadia

Indicandoon / la lettura seguita ullastadia nclinata i co ispetto lla posizioneverticale con 'la lettura hesi sarebbeattasulla tadia erticale. vremo:// ) \ 2

l ,= cos(ù=f l-9 Ie quindi'errorei ettura:,-1 1!| 2 ) 2

Considerando=2m e {D;1sonerrore i verticalità edioottenutoendendo erticaleastadia enzaalcuno trumento usiliario)ale errore isulta aria 0.25mm,che nelcasodi livellazionei altaprecisioneonè accettabile.Normalmenteale erroreè contenuto ttorno 0.1 + 0.2son,til izzandona livellasferica olidale on astadia.

252



-


l ivel l i a ngegnerialivelli i precisionelivelli i altaprecisione


La classificazioneei ivelli della ivellazioneeometricaiene atta n relazione llaprecisioneellostrumento: basata ull 'erroreuadratico edio i una ivellazionenandata ritorno u un ratto i un chilometros.q.m. hilometricod.

Sihanno:livelli i bassa recisionedacantiere: o1> 5 mm2 mm<o1<5 mm1 mm<o1<2 mmo1< 1 mm

Per raggiungereueste recisionin realtà ssieme llostrumento evono til izzarsiaccessori metodi pecifici i rilievo.

Un ivellodi precisione di altaprecisione,eresempio, hesi contraddistingueerl'alta ensibilitàella ivellaorica coincidenza dall 'altoumero i ingrandimentielcannocchiale,i abbina empre d una adeguataaminapiano parallela ad unastadia raduata u un nastro i invar.Le livellazionidi precisione ichiedono on solo strumenti deguatima ancheprocedurettead eliminarelierrori hepossononfluenzarea misura eldislivello.ll l ivello i precisione di altaprecisionea un cannocchialei grandeuminosità dimolti ngrandimentid è costruitoi solito onvitedi elevazione.La "messaa fuoco", ioè 'adattamentolladistanza ellastadia, un'operazionehedeveawenire on estrema ura,perché uòpregiudicarea precisioneelmetodo, erimangonoelle arallassiuperioril laprecisioneellamisura.

Le stadieda util izzareer livellazionii precisioneonoquellea nastrodi invar evannoposte u puntialtimetricamentenivoci sicuri ualipilastrinionchiodi testa

semisferica tripodicon chiodi n acciaioa testa semisfericave sia sufficientestazionarerowisoriamente.

7.8. LA LIVELLAZIONEEOMETRICAECIPROCA

Quando onè possibile osizionarel livellon un puntoequidistanteallestadiequindieseguire na sempliceivellazioneal mezzo, i può eseguire uesto ipo dilivellazionevediFig.7.26).Percalcolarel dislivellone i aranno uestazioniuccessive.Laprima tazionearàpostan prossimitàelpuntoA e da questa,siarannoe etturealledue stadie(/'4 I's) si misurerannonche e due distanzed e D) tra il puntodi

stazione le duestadie l"ae l"s).Siposizionaoi l ivellonprossimitàelpuntoB in modo immetricol precedentesirifannoe etture lleduestadie.l l dislivelloorretto aràdatodallamedia ritmeticaei duedislivellial nel le uestazioni.

I tt A

t E

òz

___q___

t ^ \r ù 1 k -t \r f

-I l -

t \ -) + - - - - - - - - - - - - - - =

253





Fig.7 26 Schema i una ivellazioneeciproca

Dalla tazione r si ha:L o o = ( / o E , ) - ( l ' u - 6 r )

e da Szsi ottiene:Lou=( t 'o -6 r ) - ( i ; -6 r )

sommandomembro membro i ricava:

^ _ ( l o - l n ) + 1 l o - t , , )A t B -2

La mediadei due dislivellimisurati ei due puntidi stazioneorniscel valoredeldislivello orretto, rivocioèdeglieffetti ell'erroreesiduo i rettifica.La ivellazioneeciproca quivale lla ivellazioneal mezzo,uttavia caratterizzataa

unaprecisionenferiore,n quanto e

distanzellequalisi collimanoe

stadieono

generalmenteiùgrandi.La ivellazioneeciprocaonsentenoltre i calcolarel valore ell 'angoloi srettifica,qualora ianonote,ancheapprossimativamente,e distanze e D di un puntodistazione aipuntincuisonoposteestadie:

^ _ l ' o - l ' o 1 l " A - 1 " )

2(D-d )

7.9. LA LIVELLAZIONERIGONOMETRICA

Le operazionidi inquadramento lanimetrico ell'lstitutoGeograficoMilitare,

cominciate iù di un secoloor sono, furono condottecon teodolitidi precisioneadeguata ll'importanzaelvertice i rete.Apparvesubitoche, mentresi conducevano isureazimutali, vertici rigonometricipotevanoessere nquadrati nche altimetricamenteediantea misuradegli angolizenitali.Per ar ciò occorrevaisolvere lmeno ue problemi: uello i potere sufruire i unqualche iferimentoltimetricoenmaterializzalou vertici he spesso onocampanili,tralicci ciminiere quello i poter alcolarel dislivelloenendon debito onto ia acurvatura errestreche la rifrazione tmosferica, ome necessario elle distanzeabitualmenteoinvolte ella ete rigonometrica.È soprattutto 'incertezzasu quest'ultimavariabile che, come dimostreremo,

consiglierebbe,enon

sihanno iferimentirecisi, i nonestendereuestometodo

distanze aggior ii 10+ 15km.

254

t6l

171




geoide sfera ocale


ln questoambitopossiamo are altre mportantipotesi: e operazioni i misuradidislivellianno iferimentol geoide he,per soliscopiplanimetrici,approssimabileall 'ell issoiderima dallasferaocale oinell ' intornoelcampo eodetico.'lpotizziamohe nell ' intornoi 15 km le superfici

quipotenziàliianosferiche d i lgeoide ia unasferadi raggiop=^[p.u conp e Npari ai valorimedideidue raggiprincipalii curvaturaell 'ell issoidei riferimento.lpotizziamohe equote eipuntiA e B (vedi ig.7.27)sianoe distanze i A e B dallasfera ocale;edeviazioniella erticalearanno,nquestapotesi,rascurabili.Poniamonfine he puntiA e B, tra quali i devecalcolaiel dislivello,ppartenganoallarete rigonometricada cui il nomedel metodo) quindi a distanza sia nòtaoricavabile.Per l momentorascuriamo'effetto ella ifrazionetmosferíca.

Fig.7 27 Livellazionerigonometricaeciproca

se è possibile isurareia<p4he<ps,pplicandol eorema i Nepero vremo:7 ,

Bo_ Ao ta;(a_ f)

B O + A O I tv ' r ' vtan^ (a+ F)

L

BO-AO=AAB

BO + AO = R + ee + R + eR = 2R + ee + eR = , [ o *Qu+Qo)=\ 2 )

avendo osto ^ =t pariallaquotamedia eiduepunti e B

,u")1"- f) =an:QT eo r * r,1= tun|(e eo)

,nn! fu*B)= n( ! - s l - ^^ . - 1.u, t2 \e Vt u, ,12-à

)=rO,

,=;e

sviluppandonseriea angentei ha:

, r I=: .*- maE=2 per ui*=#=10-e

zn(+9-)\ R /

255





t rascurandouindil termineubico ipuòapprossimre glr=*e quindi:

nn!fu+B)=2 ' Dil dislivello na aràparia:

Lou=z(n+g^ \ run |@r-ù*

( o I rLoo=Dll+=! lnn; lrpn-ge) t8l( R) 2" "

In questa ormulaappareevidenteche non occorreconoscereQ, con eccessivaprecisione.Infatti e Q, fossenotoapprossimativamenteon+10m di indeterminazione,l termine

Q/nsarebbe giàprecisoon 9.to- ' .6

Anche e Q, fossemenoprecisa i potrebbe,alla ormula8], icavarel dislivellonecondue terazionii calcolo.l dislivelloosìcalcolato inteso a centro centro ellostrumento.Se si cerca l dislivellora i due puntistrumento toglierequelladell 'altrocollocataull 'altrounto:

( o \ rA ,o= Dl +J l ' tan7 \g r -eo)+ho-ho\ R ) 2 " "

a terra, occorresommare 'allezzadi unodella mira che eventualmenteuò essere

teI

In realtà pesso punti ono almente istanti a non iuscired ntravedereemmenol

treppiede, la collimazione fattasu particolariiù grandie visibili omegugliedimontagne,arapetti i finestroni gronde.Se a ivellazionefatta a un estremo sull'altroonvi è segnale strumento owiochehs= Q.Riprendendoa 8]nell ' ipotesii nonpoteremisurareB, sservandoa fi1.7.27 iottiene:Q o = & t 6 = n - Q o + 6

e sostituendoella 8]abbiamo:

- ( . o l (n f ò) l4 , , = D l1+ ' ' l . t an l- l <p - | |

\ R ) \ 2 \ ' . " 2 ) )

A,^.=(.*9-)-, r slI R 'slq^-z)

( . o l I r lLo,=Dl1+ l l ' c ts l . - - | [10 ]( R, / " \ ' 2R)

Abbiamo ia ricordato he per distanze uperiori 500 m non è possibilerascurarel'effetto ellarifrazionetmosfericaellamisura elledirezionienitali.La densità ell 'aria iminuiscell 'aumentareellaquotae di conseguenzaiminuisce

l'indice i rifrazione;raggi uminosiropagandosin

unmezzo

aventeun indicedi

2s6

L--




rifrazioneariabileubiscono(vediFig.7.28).


traiettoriei incurvano erso l bassoelle ifrazioni le

Fig.7 28 |nf uenza ella iîr zio eatmosf rica

Gli angolizenitalimisurati (apparenti)aranno iù piccoli i quelli eali<p i unaquantità che si può

dimostrare ssereproporzionalella distanzaD a sua voltaproporzionalell 'angolo

u=*ldoveK viene hiamato oefficientei rifrazione dipende alle ondizioni tmosferiche.NeiduepuntiA e B avremo uindi:

e,=K^!^2

t a = t s

g t^ = K,, !" "2Se a misura egli ngoli enitali pn eaawienesimultaneamentei può itenereheduecoefficientii rifrazionene Kasiano guali.

6= [aJéa

2Vediamo ra 'influenzaella ifrazioneella ivellazionerigonometricaeciproca.Sostituiamoella 8]agliangoli enitalieri,gliangoli enitali pparenti i relativi rroridi rifrazione.on e solite potesi ulla onoscenzai R, D, Ze,Zae le ulterioripotesisulla ifrazionea 8]diventa:

( o \ 1A^ ,= Dl1+" l . tan-12 , , -Z^ l

\ R) z ' , " A ' , [11 ]

Figura .29 Livellazionerigonometricaeciprocanpresenza i rifrazione

25 1



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA LAMISURA EIDISLIVELLI

Quindi l calcolodel dislivello on la livellazionerigonometricaeciproca on èinfluenzatoall'effettoella ifrazione tmosferica puòessere alcolato tilizzandoedirezioni enitali pparentimisurate irettamenteon l teodolite.Vediamo ra comesi modificaa formula er l calcolo el dislivelloon a livellazione

trigonometricaa un estremo.Sostituiamoella 10], l posto ell 'angolop4,'angolo ae il relativo rrore i rifrazioneensi ottiene:

_ ( . o l ( - D lA , = Dl1+ '^ l .c tp l , +e - -

|\ R i " \ 2R)

e ooiché . = K9 = KD

si avrà nfine:22R

_( . o_ l (_ . ,D Dl ( . o ì ( ^1 -À ' lAoo D l1+=- t - l .c tn l +K- . - - - . - l= Dl1++ l .c tg l o - D- | [12 ]D\ R / " \ " 2 R 2 R ) \ R i " \ . " 2 R )

Possiamoncorantrodurrelcune emplificazioni.

l l termine: (:{ ) esprime n angolo i ampiezzaimitata pochi econdi2Rcentesimali.Inquestapotesi ammissibileccettareaseguenteemplificazione:

úg( -rE = ctgu, -Jr-+ t ' . . . .sen-A

per ui al12l i semplifica:

, ,n( , -D1-Kì =ctsz , - l 1-* ," \ ^ 2R) "^ sen 'Z^ 2R

dove l termine +- =1perché aè prossimo ll'angoloetto.

sen-L ALa relazione12ldiventa uindi:

L^,=o( t*9- ) l , ,n r^*o1,Kì\ R i \ 2R)

Sviluppandol prodotto trascurandoncoral termine% ,"formulazioneinale ellaR

[12] arà:

Lon="[ t .%ì -cryZo* '^ !o ' I13 lI R l "^ 2RLa deteràinazióne perimentale el coefficiente i rifrazione , può essereutileper

calcolarel dislivello i altrivertici rigonometriciltreaquelli

u cui necessariamentesonostate atteosservazionieciproche. ella1i9.7.29, al riangolo BOsi ricava:Zo+eo+ Zo+€u= Bl6+c t ,+ò n+ ò

Zo+Zr+( Ke+ , ) l= ru*ò2

K o + K u _ n + 6 - Z o - Z o2ò

Ko+K, = K =1-(z , +2 , -n ) .L2"D

Se la distanzara i puntinonè eccessiva le misure onopressochéontemporanee,si può itenere A= KB = K e riutilizzareuesto oefficienteeraltrivertici ollimati.

25 8





ll coefficientei rifrazione variada luogoa luogoe peruno stesso uogovariacon ltempo;n particolarei hanno elle ensibiliariazioniiurne ovute l fatto he l solescalda 'aria n maniera iversa seconda elleore delgiorno quindi ariaanche adensità ell'atmosfera.L'esperienza ostra he l coefficientei rifrazione massimo l mattino K = 0,19),decresce resentandon minimo elleorepomeridianeK = 0,14), urantee quali imantiene ll ' incircaostante, torna d aumentareinoal ramonto elsole K= 0,16).

ll valore iùbasso elcoefficientei rifrazione si riscontra elle egioni quatoriali,si ha un progressivo umentoprocedendo erso i poli. Alla latitudine ell ' ltaliasettentrionaleuòesseremediamentessunto ar ia 0,17.

7.9.1.PRECISIONEELLALIVELLAZIONERIGONOMETRICA

Applicandoa ormulaipropagazione

egli rrori l la 13]avremo:( o \ r ú'A , = o l l+u ' l .c tez+ ' - n D '

\ R/ - ^ 2R

valutiamouale arà 'erroreuadratico edio eldislivello.

Levariabilindipendentiella ormula oprandicataonolF ladistanzaD

, la l l ' ,6'o^,[;J "í

e quindios.q.m.

ipotizzando{?:;i#-l.o,=0'3tn

F il coefficientei rifrazione :

6'n=l9l '* equindios.q.m.,a\ drK,

oa.. 9o, =(,*$)r,gz^ou =*ooA Bò D "

\ R ) " D

o^- 5oo

o3=1.scmAB 10 .000

aAO^ = : - - O .

"^ B òK

D2=2Ro*

F l'angolo zenilale Zp,:

, ( aAl 'eoÍ.-=l J I o',. e quindirascurando'" R)"AB

\òZ o )

ipotizzandox= 10.01

6t osen'zo

o 7 .

D= 0.5km 1km 5km 10km 20 kmozr = oson,oooG O,roo= 0.5cm 1cm 5.4cm 12.9 m 37.9cmozA = oson,oo15 Olnn = 0.8cm 1.6 m 8.2cm 16.5 moZA = oson,ol O lac = 5.5cm 11cm 55 cm

Si può constatareuindi he per distanzeinoa 10 km I'influenzai o6 per quantoproporzionaleD', è bassa si può itenereheentro ale imite,os.q.m. eldislivellosiaproporzionalelladistanza si puòassumere ediamente:o oo" +1,2D [14]

D= 1km 5km 10k m 20 km 30 km6^ot = 0.1

cm2cm 8cm 32cm 72 cm




CapitoloLA MISURA EIDISLIVELLI

doveoaè espresson cm e D in km.Si puòconstatarenoltre he 'apporto el ermine oè inferiore quello el ermine 7,oweroche o s.q.m.della istanzanfluenze,66oltomenodi quantoaccia o s.q.m.dell 'angoloenitale.L'influenzael erminen ox diventa redominanteopo 10 km,e dopo ale imite ipuò itenere he os.q.m. eldislivelloresca on l quadratoella istanza. erquestomotivoè sconsigliabileffettuaremisuredi dislivellora punticon distanza ccedentetale alore.

7.1O. A LIVELLAZIONEELERIMETRICA

Questometodo i livellazioneieneutilizzataelle perazionii ril ievo i dettagliorichiede 'uso di una stazione otale(o di uno strumento ntegrato) er la misuracontemporaneaell'angoloenitale della istanza.Inquesto asosi consideranpiano ome uperficiei riferimentoer equote, vendol'accorlezza i correggere'angolo enitale alle nfluenze istematicheella ifrazioneatmosferica dellacurvaturaerrestre osìcomediscussonprecedenza.lndicandoon:

F s: distanzanclinatamisurata oldistanziometro;F p;angolo enitale isuraton A;Y h:altezza trumentaleioè adistanzara l centro trumentale il puntoA;Y l: altezza el segnaleposto n B;F d; distanza idotta ll'orizzonte.

Fig.7.30 Livellazioneelerimetrica

dalla ig.7.30appare videntehepercostruzioneeometricaldislivellona paria:L o o = h + s c o s g - l

Oppure onsiderandoadistanzaidotta ll 'orizzonteavremo:Aou= h+ dc tgg- l

[15 ]

[16 ]

260




Capitolo IMETODIDI RILEVAMENTO

CapitoloMETODI IRILEVAMENTO

8.1. METODI IRILEVAMENTO

I metodidi rilevamentoerrestre i basano ullamisuradirettadi direzioni ngolariazimutali zenitali, i distanze di dislivelli. uestemisure, pportunamentelaborate,consentonoa determinazioneellecoordinate ei puntidel ril ievo n un opportunosistema i riferimento.eneralmente,l ri l ievoerrestrei separan due asi, l ri l ievo i

inquadramentoraffittimentoil rilievo i dettaglio.

1 A l



G. COMOGLIO CaPitolo

TOPOGRAFIACARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

Tali fasi si differenzianossenzialmenteer finalità, recisioniichieste, chemidi

ril ievo, trumentii misura,ecniche i misura,ecnichei calcolo'

ll rilievo d'inquadramento raffittimentoostituisce 'ossatura ortantedel rilievo

generalmenteormata a unnumeroimitato i punti a rilevare onelevata recisione(spessomillimetrica).a finalità ondamentale definire n sistema i riferimento

univocodisponibile u tutta I'estensioneel ril ievostesso.A causa di queste

caratteristichei preferisconochemi i misura ontrollabilionmisure suberantireti

miste angolie distanze, eti di poligonalin funzionedell'estensioneel ril ievo)

util izzandotrumenti i precisionemedianteecniche i misurazionehe riducono

I'influenzai errori trumentaliregola i Bessel,metodo strati,ivellazioneeometrica

dalmezzo).A causa elleelevate recisioniichiesteella efinizioneelle uote i separal ril ievo

in dueparti: a reteplanimetricamisurazionei angoli distanze) la retealtimetrica

(livellazioneeometrica). er ambiti i rilievoimitati100+200m di raggio) precisioni

centimetriche possibile omunqueevitare questa separazione ricorrerealivellazionerigonometrica.ll calcolo el ril ievo i attuamedianteecnicheigorose econdol principio eiminimiquadrati.

8.2 LE RETIPLANIMETRICHE

Per la determinazioneelle coordinate lanimetricheei verticidi una rete di

inquadramentoe uniche randezzeopograficheecessarieono e direzionizimutali

e le distanze,pportunamenteidotte llasuperficiei riferimento.elseguitoaremo

riferimento superfici i riferimentoiane.Questa potesi validaper tutte e retidi

estensioneimitata 10km(campoopografico).La stima delle coordinate ei verticiviene eseguita n un'unica perazione i

compensazione tilizzandol metodo dei minimi quadratinel caso più generale

analizzato el cap. 4. Si utilizzerà ioè il metododi stimadi più grandezzendirette

dipendentia un numeroesuberantei misuredirette; icordiamohe la soluzione

analizzala suo empoprevede he ogniequazione el sistema isolutivo ipenda a

unasolamisura iretta.Prima ell ' inizioelleoperazionii ri l ievo compensazione,ccorre empre efinire

con precisionel sistema i riferimentoll ' interno el qualesi intende icavarea

soluzione.erdefinire n sistema i riferimentoartesianon un piano, ccorreissare

tre gradi di libertà:due traslazioniparallele gli assi) e una rotazione attorno

all'origine).uesti incoli ossono ssereorniti issando rbitrariamentee coordinate

X, Y di un puntodella etee unadirezioneadesempioa direzione ellozerodellagraduazioneel cerchioazimutale el teodolitemesso n stazione u uno dei vertici

della ete).In alternativa possibileefinirel sistema i riferimentonserendora vertici ella

rete,almeno ue vertici i coordinateotenel sistema i riferimentohe si intende

utilizzarequesta econdapotesi percorribilevviamenteel casodelle et idi ordine

inferiore l primo). uttavia, nche n questi asi,è consigliabileompensaree reti n

sistemi i riferimentoocali cioèdefiniti rbitrariamenteall 'operatoreelmodoprima

descritto)e, successivamente,oto-traslarea rete compensatanel sistema di

riferimentoinale, til izzandopunti i coordinateote n entrambisistemi.

262

,




8.2.1.CALCOLIDICOMPENSAZIONE

Definitol sistema i riferimento,necessarioeterminarevalori pprossimatiellecoordinatencogniteperquanto ettoprimase n sono verticidella ete e incognite

saranno n-3).Questa perazionefattibiletil izzandolcune ellemisure seguitenmododa poter mpostare n trasporto i coordinateartesiane.n alternativa, anchepossibile ffettuare n semplice alcolo rafico leggereecoordinate eivertici a unacartografa esistente.Bisognerà oidefiniree equazionihe eganoe quantitàncognitecoordinale e Ydei vertici)alle misuredirette angoli distanze che saranno termininoti delleequazioni. onsideriamouepuntiPr e Pzdi coordinate t, Yre X2,Y2.

Fig. .1 Angolo i direzione distanza

L'angolodi direzione PrPù sarà espressodalla seguente elazione indicandonel l 'equazioneon1e 2i punti 1e P2):

( P,R - or r tonX"-'

Y,Y,

mentreadistanzara duepunti datada:

d,r=ffi

Quando i fa stazione on l teodolite ul puntoP1, 'origine el cerchio zimutale idisporrà econdouna direzione ualunque he ceftamente on coinciderà on ladirezione ell 'asse elleY del sistema i riferimentocelto.n altri ermini 'angolo idirezionePrPz) on è misurabile irettamente.Sia z (vediFigura .2.) a lettura zimutale isurata al eodoliteinstazione u P1)

quando i collimal puntoP2;questaettura zdifferiràall 'angoloi direzionePrPz)per una quantitàpari a 4 chiamata orrezioneazimutaledi stazione, anch'essaincognita:

L, =6+(p,pr) t3l

La correzione zimutale i stazione dettaancheorientamentodella stazione)saràuguale er utte e direzionizimutali isurateon l eodolitenstazione ulpuntoP1purché, urante'esecuzioneellemisure, onsi modifichia posizioneell'originedellagraduazione el cerchioazimutale. e per un qualsiasimotivoquestodovesseaccadere nei teodofiti ttíco-meccaniciuesto atto può verificarsi el caso di usoscorrettoelmetodo ella eiterazione,entren alcuniteodolitilettroniciuòawenire

anche in caso di spegnimento ello strumento), ccorreràntrodurre n nuovoorientamentoncognito,ppure icondurreutte e direzioni zimutali, isurate opo o

CaoitoloMETODI IRILEVAMENTO

t1 l

l2l

rettaparallela ll'asseY

(PPz)




( P.tP"-( P,P, -a=0


spostamentodell'originedella graduazione,alla posizionedella prima origine(operazioneattibile e tra le due seriedi misureazimutaliattecondiversa riginàneesistonoue iferite l medesimounto ollimato).

0gon

Figura .2 Angolo i direzione distanza

Considerandoa [1] e la [2], per ogni direzione zimutalemisurata arà possibilescrivereaseguentequazione:

P2

Lz

(P . ,P " )+ò -L r=g

dove e ncogniteono ecoordinateXe Y)deipuntiPre Pze óangolo i orientamentodefastazione,mentre l termine otosarà a direzione zimutalemiÀurataz.

Perognidistanza isuratai puòscrivereaseguentequazione:,_

dove e incogniteono e coordinateX e Y dei puntiPr o Pz mentrel termine otodell'equazionearà adistanzamisurata rz .Infine, elcaso n cuiconsiderinoliangoli

zimutalivedi

Figura .3) ra vertici ellarete, gniangolo misuratoenera n'equazioneel ipo:

orr.onlt- ! :-+E-r. =gYr-Y',

Figura .3 Angolo zimutale

orrtonX'-X' - orr lorrX,

X,-CI'= 0

Yr-Y , Yr-Y . ,

l4l

t6l

Le relazioni4], [5] e [6] definisconoe equazionira le coordinate lanimetricheeiverticidi una retee le grandezzearatteristicheella etestessa, ngolodi direzione,distanza angolo zimutale,hepossono sseremisurate irettamentó.l problema elcalcolo dellacompensazionei una retedi n vertici onsiste uindinellamisuraindirettadelle 2n coordinate ffettuata ulla base delle misuredirettedi angolididirezione, istanze angoliazimutalin numero trettamenteufficíente ín numeroesuberante.

264

(PPz)

I




Caoitolo8METODIDI RILEVAMENTO

Comeabbiamo iàdetto problemielativi l calcolo allacompensazionei unarete sono così ricondotti quelli rattatinel cap. 4. Per la determinazioneelle 2ncoordinate i deve definire risolvere n sistemadi 2r (con r > n) equazioni, sidevonoquindimisurare irettamenler grandezze aralteristicheella eteche sianoindipendenti.Nelcaso n cui si util izzinoomemisure irettetenere conto che per ogni stazioneeseguita,orientamento.

Occorrenoltre otare heognipuntodella ete,per poteressere eterminato,eveessere nteressatolmeno a duedírezionizimutalio un angolo zimutale) da unadistanza, ppure a redirezionizimutaliodueangoli zimutali).nfine, oichén uttii tipi di equazione saminati ompaionoe differenze ellecoordinatencognite,necessariohe esistaalmenouna misuradi distanza quest'ultimaondizione uòessereomessa elcaso n cuinella eteesistano lmeno uepuntidi coordinateotenelsistema i riferimentotilizzatoer calcoli).

Riprendiamorevementel procedimentoi calcolo suo empo imostratocap. ).

Poiché e equazioní tilizzate on sono ineari, arànecessario rocedere d una orolinearizzazionealcolando terminide l primoordinedello sviluppon serie di Taylornell ' intorno ei valoriapprossimatielle incognite. 'ipotesi he facciamoè cheXl,X:, . . . - . .X: s iano eivalor i e l le ncogniteuff ic ientementepprossimatin modotalechesiano rascurabiliquadratiegli carti lepotenzeuperiori:X, = Xl + x, dove& = incognita, ! =valore pprossimatoxr= Scarto

Consideriamo'equazionell'angoloi direzione:

f ( X., ,Y,,X2,Y2,6,L2= arcmn*+ò-L, =g l7lY, Y,

SianoXto,Yio,Xzo,Yzo, o ivaloriapprossimatielle ncognite.o sviluppon seriediTayfor,ermato iterminiineari, ella 7]saràparia:

dove:

Y f (Xi',Yr",Xr",y,",6",1.)rappresental terminenotodell'equazioneinearizzala

saràparialla differenzatral valore he a funzione ssume ntroducendovaloriapprossimatielle ncognite la quantità ota z;Y xt , yt , xz , !2 , & sono le correzioni a apportareai valori approssimati elle

incognite;F i coefficientira parentesiondesono valoridellederivate alcolate on i valori

approssimatielle ncognite.

Con le coordinate pprossimatei P1 e P2 (nell'esempioi Fig. 8.4) si potràdeterminare 'angolo di direzione approssimato Pf)" riferito alla direzíoneapprossimata di f. L'angolo efinitoragl i assi e / rappresenteràa correzione"alvalore pprossimato dell'angoloi orientamentoella tazionen p1.

Questa orrezionearàuguale er utte edirezionizimutali isuraten Pr.

angolarie direzioni zimutali ccorresi introduce na nuova ncognita i

f (x1" Y1o, ro , Yro ,òo,Lr ;

[#), ,.[#.).,*[#),,.[#).,*[*),.=0

265



-


(& x,)'*(%

Capitolo8METODIDIRILEVAMENTO

Figura .4 Angoro"j'rrrule

e coordinatepprossimate

Si può acilmenteerificarehe coefficientielle orrezionissumonoseguenti alori:,. l. ìI ar I _ l 1 -1 | y , "_y i I ar I y j -y :(.ax'J.

l;g'." l:y-y,

|

=- d5u-=''[*,J,=-ft;p=''t,' A;;- )"

[#).=ìfifl=',( * ) , = '

/ ^ t f

rd f ì II _ I

- t

l.dX'o lz

I ar x;-x:r - l - l - r =--;---;-=-,

\ dY, /o (di, ).

L'equazione7] inearizzataaràquindi ar ia:a rx ,+b . ,y r *c rx r td ,y "+6 ,+(4pr )o ò0 Lz=0Quandounodei dueverticidella ete(Pr o Pz)è un vertice i coordinate ote verticefisso),'equazione8]si semplificheràerchéecorrispondentiorrezioniaranno ulle.

Analogamenteer '"q,u".ionu lludit risulterà:

f (X.,,Y,,2,Y2,1 = tl8, - X,)' + (y, y,)2 d..,, g

chesviluppatanserie iJaylor,imitatamentei erminiineari,aràparia:

r(X,o.y,o,X,o.y,o,dî,).fì ^, f f l , , . l j l l -" l j l ì vo 0-[dX, /o IEY, /o (ax rJo .

[Ayr )0"

dove l primoaddendo termine otodell'equazioneineare isultante)appresentaadifferenzara il valoredelladistanza alcolata on valoriapprossimuii dtiencognite

(di) e la distanzamisuratad,r). noltrèXr, r, X2, 2,sono e correzionia apportare ivaloriapprossimatielle ncognite.coefficientiellosviluppon seriesonoespressidalle eguentielazioni

t8l

tel

I ar I y"" yi_ _ _ = u 1

[aY,r, dfu

X; _X Î- - =c .d i l ,

Y"'- Yi - = c l .di ,

rd f ìt : - t

IdX,Jo

Ioeì[a",.].

PPz)o

266




L'equazione9] inearizzalaaràquindi aria:a.,x, b.y., c$z* dùz+dl , - d. "=g

CapitoloMETODI I RILEVAMENTO

[10 ]

Quandounodei dueverticidella ete Pr o Pz)è un vertice i coordinate ote verticefisso), 'equazione10] si semplificheràerché e corrispondentiorrezioni arannonul le.Infine,'equazioneell'angolozimutaleisulta:

J '(X,Y,X2,Y2,X3,Y3,a)=ur.1un4LJ( '-ur"run*,:- l t t d=o t11]Yr -Y , Yr -Y ,

chesviluppatanserie iTaylor,imitatamentei erminiineari, aràparia:f (x jo x2o, Y1o, ro, c[o;+

larl larl lar) larl lar) larl1 , " ^ | . x ,+ l , " ^ | . x "+ l " ^ l . v .+ l= : -1 .v "+ l = : ] - l . x " * l " ' | .Vo=0

(ax ,Jo'

\ .aXr .Jo \ .aY,ro ( .aYrJo'

(axrJo " (a%)o ' "dove l primoaddendo termine otodell'equazioneineare isultante)appresentaadifferenzara l valoredell'angolo zimutaled) calcolatoon valoriapprossimatielleincognite il valoredell'angoloa) misurato irettamenten campagna.noltre t, t, X2,y2,Xa, 3 appresentanoe correzioni a apportare i valoriapprossimatielle ncognite.I coefficientiello vilupponserie onoespressi alle eguentielazioni:

la t l Yf -Y, " Y"" -Yf

I ax,Jo-

(di32 (dL 'larl _xl-xi x;-xi_*[a",J. ro;f {.1"y

=o'

larì

Ia&r,larlIao.,,

larl: - |

( dY, ,/.larl= - I

\ dY' /o

Y^" Y:- _ a | - î

(dL) 'Y." Yi

_ v ' _ è

(dL) ,

L'equazioneinearizzalaaràquindi aria:a . ,x . ,+b . ,y ,+céz*dyz+eú3+ys+cxoo=0 1121

Inquesto asoè possibileheunoo anche uedeivertici ella ete racuisi è misuratoI'angoloazimutale siano fissi, cioè con coordinate ote da non compensare;I'equazione i semplificherà erché i corrispondentiermini di correzionesi

annulleranno.Le coordinatedei vertici della rete saranno ricavateattraversoun calcolocompensazionehe util izzal criterio ei minimiquadrati, pplicato lla matrice(matrice isegno) ei coefficientielle ncognitevedi ap.4) .Perognimisura i distanza, i angolo di direzione,seguitara i vertici ella ete,vienescritta a corrispondentequazioneinearizzalaome iportaton precedenza icoefficienti elle incognite arannoopportunamente emorizzati ella matriceA. llsistemaA presenteràempreun numerodi equazionimaggiore el numerodelleincognite raggrupperàquazioniinearizzalei tipologia iversaperchéottenute amisure i grandezzeopograficheiverse ualiunadistanza n angolo unadirezioneazimutale.adiretta onseguenzai ciòè che pesidi ciascun ruppo i equazionihe

si riferisconollediverseipologiei misureangolari

di distanza),onogeneralmente

costanti asonodiversi er duegruppi.

diA

267



G. COMOGLIO CapitotoTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

I pesisarannonversamenteroporzionalii quadrati eglierrorimedidei ermini otidelle quazioni:

(4)"=+ @),=*

IndicandoonA la matrice eicoefficientielle ncognite,onP la matrice eipesi, onX la matrice olonna elle ncognite con T la matrice olonna ei ermini otidelleequazioni,vremovedi ap.4):AX- -T

Ar.P.A.x= Ar.P.T

Indicandoon N la matrice ormale ttenuta alprodotto i Ar.P.Ae conTn a matricecolonna eitermini otidelsistema ormale ttenuta alprodotto i Ar P T avremo:

N.X Tne quindiasoluzione:X = N-I.T'

ll vettore oluzione conterràe correzioni i, yiche, sommate i valoriapprossimatidelle ncognite f, Yf darannolvalore elle ncognile i Yi :X ,=X! +x ,

Y,=Y,o Y,Poiché utte le equazioni ono state inearizzateviluppandolen seriedi Taylor,

nell ' intornoei valoriapprossimatielle ncognite,ma limitatamentei soli termini

lineari,asoluzionendrà icercata ediantenaserie i terazionii calcolo.Anche l metodopoco rigoroso er la determinazioneei valoriapprossimatielleincogniteadesempioa lettura ellecoordinate eivertici ella etesu unacartografia)impone i ricercarea soluzione elproblema empre ttraverso n calcoloterativo. dogni iterazione, l sistemarisolvente errà riscrittoutilizzando ome nuovi valoriapprossimatiuelli alcolatiell ' iterazioneppena seguita.Questasequenza i cicli di calcolo arà nterrotta uando e correzioni ,;yi sarannopraticamenteulle comunquei un ordine i grandezzanferiorellaprecisioneellecoordinatencognite.Ladecisionei nterromperee terazioniuòanche ssere resa elmomenton cui astima ella arianzaell'unitài peso aggiungel suovaloreminimo.

Lasoluzioneelproblemaaràdataquindi a:X!"=x! +x!"x!" =xl" +x!"

Yl"=Y,o y|"

Y,'"=Y,t" y?"

X'," '=x!"-t t"r !" Y,'"=Y," tl' + yi"

Normalmentea convergenzaerso a soluzioneinaledel sistema i ottiene onpoche iterazioni i calcolo (4+10). n presenzadi errori grossolani ei valoriapprossimatielle ncognite i avrà un rallentamentoellaconvergenza20 o piùiterazioni)unadivergenza olto apida ella oluzione.

268




8.2.2.PRECISIONEEIVERTICI IUNARETE

Capitolo8METODIDI RILEVAMENTO

La posizione i un verticeè definita a due coordinateicavateramitemisurediangolie distanze da un procedimentoi calcolo; er stabilirea precisionei un

verticepotrebbe embrarenaturale efinireun erroredi posizione ome differenzavettoriale ra la posizione ffettivamenterovatae quellache si sarebbeottenutaqualorae misure ossero tateeseguiten maniera satta, cercare i dare n qualchemodoun'idea ell 'entitài questo rrore. ullabaseperòdi quanto iàaffermatoulladefinizione i misuradiretta i una grandezza,he è rappresentataalladistribuzionedellemisure ossibili,ccorreiferirsi lladistribuzioneelleposizioniossibili,efiniteda unavariabileasuale duedimensioni.

Percomprendereene aleposizionei consideri na etedi n vertici efinita uindida 2n misure, i supponga i avereseguitoe 2n misuree di avereffettuatol calcolodelle oordinateeivertici. naseconda erie i misure di calcoliornirà wiamentedelle coordinatediversedato che il risultatodi ogni misuradiretta equivaleadun'estrazione caso dalladistribuzioneellemisurepossibili. ipetendo isuree

calcoliun numerodi volte grandeoltre ogni limitesi otterràper ogni vertice adistribuzioneelle posizioni ossibili, efinita ome schemamatematico a unavariabileasuale duedimensioni.

Se la distribuzionedi tipogaussiano,a variabileasuale definita a duemediemr(x),mr(y),duevarianze 1x1,éM

"da una covarianza rr. n effetti econdoale

posizionea rete di n verticiè definita a una variabile asuale 2n dimensioni,conosciuta uandosono note le 2n medie e la matricedi varianza-covarianza;desempioper una rete di tre verticiPt , Pz,P3, e sei medie m(Xn), m(Yn), m(Xpz),m(Ypz),m(Xps),m(Ype), efinisconoe posizioni ei verticie la matricedi varianzaecovarianza efinisce e caratteristicheella distribuzione 6 dimensioni wero laprecisioneella ete.

La matricedi varianza-covarianzax, sarà ottenutadal prodottodella varianzadell'unità i pesoper a matricenversa el sistema ormalevediCap.4 ).

C* . = o--t N- t =

In pratica peròpiùconvenienteiferirsi lledistribuzioniduedimensioni efiniteognuna a duemedie, hedanno aposizione elvertice, dallasottomatricex2 chedà a varianza lacovarianzaelleduecoordinate che nella 13]sonostateindividuateondeicontornitratteggiati.l ialtritermínihecompaiono,n manierasimmetricaellamatrice,onopoco ignificativiquinditrascurabili.termini ontenutinelle ottomatricividenziateono nvece ecessarier l calcolo eiparametridell'e//rssetandardelativo ciascun ertice.

[13 ]

269




CapitoloMETODIDI ILEVAMENTO

8.2.3.CONSIDERAZIONIPERATIVEERLA CONDOTTA EICALCOLI

ll calcolo i una eteplanimetricaieneeseguito on opportuni rogrammi utomaticiche al terminedelle operazioni onsentono ll'operatore i analizzareutti i risultatiintermedi finali l inedivalutareabontà ella oluzionettenuta.

ll primocontrollo a faresi basasull'osservazioneel valoreassunto allavarianzadell'unità i pesostimata l termine ellacompensazione:e oe2 inferiore pocosuperiorelvaloreissato ll ' inizioella ompensazioneasoluzionerovata uòessereconsiderata ccettabileei limitidi precisioneisultanti. e invece alevaloreè moltosuperiore quello issato nizialmenteignifica he all ' interno el sistema i sonoproblemi he possonoessere egatia errorigrossolani elladeterminazioneellecoordinate pprossimateei puntioppure, iù frequentemente,llapresenza i errorigrossolaninalcune ellemisure irette til izzate.

La ricerca ellemisure he disturbanoa soluzioneelsistema uòessereacilitatadall 'analisiellemedie degli .q.m.delleopolazioniegli carti.Come riterio eneralei opera elseguente odo:

) le equazionihepresentanocarti esidui uperiorii 2+3volteallos.q.m. elativovengono ntrodotte el sistema on un peso nversamenteroporzionalell'entitàdello carto esiduo;

F quandoun'equazione,ur essendostata sottopesata,ontinuaa fornirescartiresidui uperiori i 2+3 volteallo s.q.m. elativo, uestavienedefinitivamenteeliminata.

Owiamenten questaoperazione ccorreràareattenzione che siano ispettateecondizionieometriche inime er a determinazionei ognisingolo ertice. quindiopportuno niziare a compensazione i una rete con un numeroconsistente iequazioni suberanti e quindidi misureeseguite),n modo da poter ottenere

comunque nasoluzioneccettabileenza over ipetere'interaampagna i misure.

27 0




8.3. LE RETIALTIMETRICHE

CapitoloMETODIDI ILEVAMENTO

L'impiego rincipaleelle ivellazionieometriche quellodi determinareon lamassima recisioneossibileequote i punti istribuitiu un determinatoerritoriohe

costituiscono,n analogialle eti rigonometriche,riferimentiltimetriciondamentalicuisi possono ollegareesuccessiveperazionii ril ievo ltimetrico.Le livellazioni eometricheollegano aposaldi ispostiungo inee(vedi ig. 8.5), elinee ntersecandosieterminanoeipoligonihiusi, venti viluppi iùo meno unghiseconda eicasi.

8.3.1.LIVELLAZIONIEOMETRICHEI PRECISIONETECNICHE

Le livellazionieometrichei precisionei eseguonoonglistessi riteri ti l izzatinquelledi altaprecisione,olo a strumentazioneuò essere i minorprecisione lebattute i l ivellazíoneiù unghe.Questo ipodi livellazioneiene n genere seguito

con unoscopo ecnico enpreciso nonvi è bisogno uindi i determinaree quoteassolute ei caposaldi, on è necessario ioè collegare no dei caposaldi ella retelocale con un caposaldodi quota assolutanota, in quanto per le informazionialtimetricheichiesteono ufficientidislivelli.

In questi asisi assegna naquotaconvenzionaled unodei caposaldi ella etelocalee si derivanoda questa utte le altre quote. E opportuno are una quotaconvenzionaleoltodiversa a un valoreplausibile,nde evitare quivocin futureoperazioni i livellazionehe implichinoollegamention caposaldi i quotaassolutanota.

8.3.2.COMPENSAZIONEIUNARETEDI LIVELLAZIONE

La compensazionei una rete di livellazione i eseguecon le stessemodalità,qualunque ia il tipo di misura dei dislivelliadottato livellazione eometrica,trigonometricacc.).Quello hevaria I'entità ello .q.m. ellemisure he,nelcasodilivellazioneeometrica resceproporzionalmentella radicequadrata ello sviluppolineare ella inea i l ivellazionevedi ap.7),mentre ella ivellazionerigonometricaipuò assumere, er distanzenferiori 10 km, che crescaproporzionalmentelladistanza tessa.

Una etedi ivellazioneuòessere ollegata unoo piùpunti i quota ota, esserea se stante;n quest'ultimoasopereseguireacompensazionei dovrà ssegnarenvalorearbitrario l la quotadi un punto.L'equazionelle misure he lega e quoteincognite ie QididuepuntiPie P1 llamisura i dislivelloi1 la seguente:

Q1-Q,-4 , =0 [14 ]Se le misure onoquelle trettamenteecessarie,l calcolo ell equotedei punti

della eteè banale,iducendosil lasomma i dislivelli partire alpunto daipunti iquotanota. n pratica, erò,si eseguesempreun numerodi misuredi dislivellosuperiore quellominimonecessario quindi l calcolo ella etesaràquellodellamisurandiretta i n grandezzeonun numero suberantei equazioni.

ll procedimentoi calcolo di compensazioneellemisure aràdel uttoanalogoquanto iàvistoper e retiplanimetriche,on asemplificazionei avereun solo ipodiequazionehe ega e ncognitellemisure seguite pergiunta ià inearevedi 1a]).

ll dislivello qdella1a]puòesserel risultatoi un'unicamisura, di unasomma idislivelliarziali.

271




Caoitolo8METODIDIRILEVAMENTO

Se la quotadi uno dei due punti ra cui si è misuratol dislivello nota, 'equazioneconterràwiamente omeunicancognitauella elpunto iquota ncognita.Se n sono dislivellimisurati ella ete,potremo crivere n sistemadi n equazionilineari. l sistemanon richiederà lcun tipo di linearizzazione non sarà quindi

necessarioonoscerevalori pprossimatiellequotedeipuntidella etee la soluzionesaràottenutamediante nasola terazionei calcolo.A voltepuòessere onvenienteartire omunqueaivalori pprossimatielle ncognitee risolverel sistema i equazioni,osìcomesi era attonelcasodella ompensazionedel le et ip lanimetr iche,onendoQt=Qi+.r, . In questomodo, uandoa l ivel laz ionevieneeseguita er l controllo eglispostamentiltimetrici i un determinatoerritoriosi consideranoomevalori pprossimatielle ncognitee quoteottenute ella eriedimisureprecedente, i otterranno irettamente li spostamenti erticalide i verticidicontrollo.

Permeglio omprenderea sequenza ei calcoli i compensazioneiutiamocion uno

schema emplice i retedi livellazionehe collega uattro aposaldira cui uno diquotanota:

Fig.8.5 Schema i una etedi ivellazioneeometrica

Notao stabilita rbitrariamenteer esempioa quotadel punto1, per l calcolo ellaquotadei restanti re caposaldi arebbero ecessarie olamente ltre re misuredidislivello. e misuresovrabbondantii cautelano allapresenza i eventuali rrorigrossolaniellemisurema annonascerel problemaella ompensazione.Ognimisura i dislivelloenera naequazionei ipo 14]e per utta a retemisurataipotrà criverel seguente istema:

Q t - Q r - 4 , , = 0

Q - ^ - Q r - A z := 0

Q o - Q r - A r + = 0

Q t - Q o - a o r = o

Q o - Q r - L z + 0

Q t - Q t - A r : = 0

ll sistema 15] è incompatibile,vveronon si possono rovare aloriparticolari elle

incogniteQi che soddisfinoompletamentee sei equazionin quanto termininoliAilnon sono quantità eoriche ma sono dei campionialeatoried è estremamente

212

Lzt

[15 ]



G. COMOGLIO CapírotoTOPOGRAFIACARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

improbabilehe,ad esempio,e soluzionihe soddisfanon qualsiasi ruppodi tredelle eiequazionioddisfinonche e rimanenti.Bisogneràmmetterehe utte eequazioniiano oddisfattemeno i unoscarto i.

O" -O. -A , - =v .t z I

Q t - Q , - L z z = v z

Q o * Q r - A : + = v :

o, o^ a. ,=v.Q o - Q r - L z + = v s

Q r - Q t - A r : = v o

[16 ]

l l sistema16]è indeterminatonquanto liscarti isorìoncogniti quindil problemaquellodella soluzione i un sistemadi sei equazioni ineari n nove incognite(Qa,Qg,Q+, 1,V2,V3,Va,V,V ) .

Bisogneràuindi isolverelproblema ediante'applicazionei qualche riterio.Inbasea quanto iàvisto,asoluzioneiùplausibilequella ttenuta all 'applicazionedelprincipioi massimaerosimiglianza.Primadellasoluzione isogna nche icordarehe ciascuna quazioneeveentrarenella oluzioneelsistema econdoapropria redibilità,econdol proprio esopi :

perdefinizionel pesoè paria: ,, =4- varianzaell'unitàipeso'

o! varianzadellamisura(terminenoto)ln base a quanto isto nel cap.7. e cioè che lo s.q.m.di una lineadi livellazionegeometricaiaproporzionalella adice uadrata ello viluppoineare ;:

o f r . : r ^ r - r ' - . , r - : a ! r ! " ) 1

p,=l *

percuidata 'arbitrarietài oo2 i puòassumerek L , l t c l I c l r u l [ l d l l v l ' c l u l( , 0

ù l Puu a l ssu l l l g r l v P, = -

Nella onduzionei calcoli,o sviluppoineare elle ineedi livellazionet) si esprimesolitamenten km per acilitarel calcolo el peso.La soluzione el sistema16]puòessere gevolmenteffrontatoon e tecniche elcalcolo utomaticoquindimediante'util izzoellematrici.lnbasea quanto istonelcap.4avremo:

100-1 t 0

matrice isegno = vettore elle ncognite =-1 1

0 0 -1

010-1 01

lo.lt - ' I

lo.lt l

lQ^l

Q,+ A'r,

L, ,

aro

Q, * L ' ,

Lro

Q,+ A',,

p r0000

}pz 0 0 0

00p t00

000p+0

0000p :

00000

q0l0lq1al

vettoreermine otoT = matrice ei pesiP =



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

La sequenzadei calcoliche prevedono'applicazioneel principio i massimaverosimiglianzaquindi elcriterio eiminimi uadratiaràal solito:

sistemaniziale A.X= T

appficazioneei pesie normalizzazione Ar.p.A.X= Ar.p.Tsistemanormalizzalo N.X= Tnsoluzioneelsistema X = N'l.Tn

Essendo e equazioni i partenza ià lineari, i otterrà a soluzione el sistemamediante na sola terazionei calcolo.l vettore oluzione conterrà irettamentelvaloredellequote dei vertici ncognitiQi o le correzioni ; che, sommateai valoriapprossimatielle ncogniteOf, darannol valoredelle ncogniteQ a seconda elcriterio i calcolo dottato:Q i = x i Q , = Q ! + x ,

Si passerà oial calcolo ellamatrice i varianza covarianza:calcolo egliscarti V = A.X T

calcolo ella arianza ell'unitài peso ;l = Vt 'p'v

n - r

doven rappresental numero i equazionihecompongonol sistema ed rrappresental numero i ncognite.l denominatoresprime uindil grado i"esuberanza"elsistema. a matrice i varianza covarianzaer 'esempiohe stiamosviluppandoaràparia:

t r t

loó. '1

Cr r=4. t l - t= | . . . o 'n . I^ l

| " ' oó"1

Los.q.m. elle ncognitei ricaverà til izzandotermini alla iagonalerincipaleellamatriceCr, ; ne lcasogenerale vremo:

t .oo,=

"Joéon,=^H

on,=^1o3,

Tuttigl i altri erminidellamatrice i varianza covarianza onsonosignificativierchélequotedeivertici ncogniti onsono ra di lorocorrelate.

2'14




8.4. LA SIMULAZIONEELLERETITOPOGRAFICHE


Gl i stessiprogrammi tilizzatier a compensazioneelle eti opograficheossonoessere utilizzali er la simulazione elle compensazionitesse.Con il terminedi

simulazionei intendea compensazionei unaretedellaquale i conosconoolo ecoordinatepprossimateeivertici planimetrichealtimetriche)i tipidi misura hesiintendonoealizzarenon valoridellemisure). a simulazioneella eteè un passofondamentaleella ase di progettazioneelle reti topografiche,urante a qualesipossonoprevedere migliori isultati aggiungibilil variaredel tipo di misuredaeseguire,ella osizioneelativa eivertici del ipodi strumentazionea utilizzareerI'esecuzioneellemisure.Molto mportanten fasedi simulazione,erdeciderea necessità menodi eseguireuna certamisura, la conoscenzaella idondanzaocaledi ogni singolamisuraall ' internoell' interorocesso i compensazione.on l termine i ridondanzai unamisura i intende'apportohe a misura tessa onferiscella idondanzalobale elsistema he,comenoto, spresso alledifferenzera l numero i misure seguite ilnumero i incogniteomplessiveelproblema.Si puòdimostrarehe a matrice:R = I - P - 1 A N - 1 A r

è una matricedi dimensionem.mdettadi ridondanza,ontenente ei numeripuriedindipendentealsistema i riferimentocelto.

La proprietà i questamatrice di indicarel contributohe ognisingolamisura pportaalla idondanzalobale = m-n.Si puòdimostrarenfatti he:

m

t r (n)=| , r , , = (m- n1= yI

dove1, è la ridondanzaocale ell'osservazione.

Osservandoe relazioni critte i notacheè possibileicavare senzaavereseguitole misure; uestodimostra ome sia possibile eterminarevaloridelle idondanzelocali urantee fasidi progettazioneella ete.Ricordando e espressioni he consentono l calcolo della matricedi varianza-covarianza elle ncognite della matrice i varianza-covarianzaegli scarti,si notacheanch'esseon ichiedonoaconoscenzaellemisure seguite.

Riassumendo,el caso in cui i l problema ia la compensazionei una retetopografica,i possono icavare priori e precisioni ei parametri,a precisione ellemisure opo acompensazione,l contributoelle tesse lla igidità ella ete.E cioèpossibile, ià n fasedi progetto ella ete,prevederee precisioniinali, oglierele misurepoco significative, che potrebbero ascondere rroriche più facilmentesfuggono i testdi controllo, igliorarenfine 'affidabilitàella ete.

27 5



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

8.5. ESEMPI ICOMPENSAZIONEI RETITOPOGRAFICHE

Compensazionei una ntersezioneista i distanze direzionizimutali.Sononote ecoordinatex,y) eipunti:

2 (690,60;00,50)m3 (200,10;60,20)

Dalla tazione versoquesti unti onostatemisurateedistanze:dtz=519,15m +1cm dts=650,20m +1cm;

Inoltre i sonomisurateeseguenti irezionizimutali:tr a= 55,7956 so nt 0,7 toon'

trz= 0gon+ 0,7 t9on;

e quindi I 'angolo azimutale 21 3 = 55,7956 eo n 9,7 meon

Date le coordinateapprossimate el punto 1 ricavateper via grafica(Figura8.6):1(450,0; 60,6)m, vogliamo icavare a stimadellecoordinate el punto1 e la loroprecisione.ln questo aso,essendo'angolo 13 'unico ngolomisurato al punto1, è equivalenterisolverel problema on I'equazioneell'angolo zimutale, enzacorrelazionippurecon e dueequazioni lledirezioni. i notianche henelprimo asosi devescrivere nsistema i tre equazioniduedistanze d un angolo) elledue coordinatencognitex1,y1).Nel secondo aso un sistema i quattroequazioniduedistanze due direzioniazimutali) elle re ncognite:ecoordinateelpunto1 e I'orientamento.In entrambi casi a ridondanza lobale ale r=rn-n=1, osìche il metododei minimiquadratiè applicabile on profitto. programmi i calcoloe compensazioneiù evolutiscelgononqueslo aso,pergeneralità,l metodo elledirezioni.

t . , , ,\ l ' "

t\

A3

vo= oo Àsscx0= 100

Fig.8.6 Schema ella ete

62

276



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

Leequazioningolari ella orma 4]si scrivono:/ \

- | X o - X . IÒ+ f13 l a t t t - + f t l= Y l

\ )g - .Yr)

. ( xo -x . IÒ + f 1 2l a l t t - + . Í t l = v 2\ ) z - ) r )

Leequazionielle istanzeono*

d , , - ^ l (xg xr ) ' +( ys- !1 )2 =v ,

d.,r-,1( xz - xt ) ' +( y, - l t )2 = vo

Si noti che essendoe direzioni erso2 e 3 nel secondo terzoquadrante i èsommato d entrambee equazionil valore . Percalcolaretermini otici mancaunvaloreapprossimatoellacorrezione . Essendol cerchioazimutale rientato zero

sul punto2, la correzione il valoredell'angoloi direzione12),che è possibilemisurareraficamente.i ha:ò = 17Q on=2,670354'"o).I termini oti r,12, 3 d 14 algono:. I z+g.gl. = atnl:==:^ l+ r 0.876435 2.670354 -0.010784(ad

\ 600.3. ( 240.él, = atnl - l+n- 0.0 2.670354= -0.010584(ad

\. 460.0)

ts= 1249.92600.32 650.20 0.1 08m

to= ^[240.6\ 460'-519.15 o.o613m

Formiamora a matrice isegno .Sarà di quattro ighe m=4)e di tre colonne n=3),quantesono e incognite he,ricordiamo,ono e correzionia dareaivalori pprossimatiellencognite.La prima igaesprimee derivate ispetto l laprimamisura, a secondae derivaterispetto llaseconda cc.Prima iga:

^ r -ò f ' , - ) ' s - ) ' r -- 600 '3 . n2 -ò f . - - x r - x t - 249 ,9 ^ " -A f r -1"' -

4", dî" 650,238'z "' -a)r dî" 650,238'?

-t -aò

- '

per a seconda iga(e misura) i ha:

- . ,_òf , _) 'z - ! t _

-460.0

-, _òf , _xz-x . r

_240.6

-3 _.1" ' - ò \ - -7T- - 519123 'z - òy . , - - -ú - r - - -519 j r5 t u2 '

per a erzamisura:

^ ' , -ò f" -xg-x t - -249.9^, -ò f" - ) 's ) r - -600.3

n3 n-t -a*, dr" 650.238 "t -

Ay, d," 650.238

per a quartaed ult imamisura:

^ , , ò . fo xz -x . r _ 240 .6 ^ , _A fo_ l z - t t _ -460 .0 ^3_6"o

-ò r r - d -

-51g123 "o

-òy . , - d . ,

-51g123

u4 v

277



G. COMOGLIO CapirotoTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA METODI I RILEVAMENTO

indefinitiva:( -1.+19791o-3 0.591051o-3 1lt .___^ l

A= l-1 .70694*10-30 .89280*10-3

I

| - 0.38432 _0.e2320 0 |( - 0.46s47 _0.88611 0 J

Occorre rapesare iascuna quazionenproporzionenversa llavarianzadi gnimisura. ssumendol = 1

1n = - '

f t 2 ,"o ;

oî= o',=#*il', aZ oZ=0.01,,)'[63.6620

e si ottiene osì:pt=p2.=$,Q7*1As; pj=pa=1*10am2

Cafcofiamo ra la matricenormaleN = A' IpA-

(c.+zst too s.10s2*103 2.s6lz*t0' ìN=l 2.5857*104z.4gsg* toul

\ Simmetrica 1.6542* OtoJ

e lasua nversaVl

(z .ssao*10-41 .2080*10-5

3 .9809*10 'N1=l s.9816*10-51.zg7 l * ro- 'I

I Simmetrica 6.8086 t 0-toJ

llterminenotonormale ale( z.taes*o' ì

b=Atpt= l z .6zz3* to4|[- t.zooeo'J

ed nfine,asoluzione:

l,E", I-o.o8o7m

Iòî=lòr,l=n.a=10.0113'?xI(è/ò/l [-o.oro\3rad

I valori ompensatielle oordinateelpunto1e della orrezione'orientamentoonol

1= (449,919;60,489)m;E=(170 0,01 83.63,662010on1 9,3105on

278




Ricaviamora lvettoreegli carti

(- +.sote o-6adì

î = A6î-t=l 4'5013*10-"ad

II - 0.0046m It - o.oo15,,r

c;;=63N-t;

("?

o,.,"*ìl

C,, l of o, l=lsimmetric, "3J I

(z .oeq*10-112.026*10-112.0s4*10-B 6.6556*104- | 2.034{<10-rr 2.0s4*10-8 6.6556*10*C."^..l I vv

|2.08381o-s 6.7496t o-l

I\ Simmerrica 2.1862*10-'


i dopo acompensazione:

Lo?4 ' i ' j î , r p î ,

Edoracalcoliamoastima6fr:Ofr i=1 - v ' v =0.5677 èadimensionale)m - n m - n

Si noti he6l <ofr issatopriori 1.Ora icaviamoamatrice ivarianza-covarianzaelle oordinate:

.4464 10-{

Simmetrica

e, ndefinitiva:o ,=- rQ.Ql l1* ' o " =+0.0048m oa=112.52*10-o on

Si può nfine alutare posterioria precisioneellemisure opo a compensazione,meglio,a stima ellaprecisioneegli carti opo a compensazionessia a matrice ivarianzaovarianzaegli carti '. ro=63[P-' alr-ta']

ricavandoosì:O"1 O"2= +2.86*10-agon

6,s=!4 .56mm; O,+=*1 .48mm;

Si noti heglis.q.m.angolarionomiglioripiùpiccoli) egli .q.m. ellemisure ngolariipotizzate prioridi t7.10-a on ed anchegl is.q.m.degliscartidelledue distanze onodiversira oroe piùpiccoli egli .q.m.apriori elle istanzeipotizzatii 110mm.nfinericaviamoa matrice i ridondanza: = I- PA N-tAr

Evitando complessi ontimatriciali,e ridondanzeocalipossono ssere alcolate elseguente odo:

-, - P,6?,ri - ---7i-

oò

, l =rr' =0.2965 t3 = 0.367 rî =0'040

Si verifica he 4'+ r] + rl + rl = 1, cheè la ridondanzalobale (r=1 nquesto sempio).Questi alori ndicanol contributoi ognimisura llarigidità omplessivaella ete.

- 6.8301 10-6 -2.2509 * 10-7

2.2513* 0-5 7 .2913 10-s I3 .9497*10 t0

279





Comesi notaquesti aloripossono ssere alcolati enzabisogno ellemisure . Nelnostro asopossiamo ffermare he a quartamisura a pochissimanfluenzaullarigidità ella ete.Ciòeraprevedibilen anticipo,rima i eseguiree misure.n questocaso d'altrapaftenon possiamo ermettercil lussodi progettareeti con ridondanza

nullae quindisenzacontrollonternoalcuno. n altrecircostanze,a un progettopreliminarei una ete, e unamisura isulta vere assa idondanzaocale, i decidedi solito i noneseguirla.

8.6. RETILOCALIE RETIGEODETICHEAZIONALI

Le reti ocalipossono vereuna estensionemoltovariabile. i passadallaretediinquadramentoecessariaer acostruzionei unacartografiai un comune i alcunemigliaia i ettari, quelle i estensionessai idotta, eresempio er l rilevamentoiuna ottizzazione,er a costruzionei un breve ronco tradale, per l rilevamentoarchitettonicocosìvia. La loroconfigurazioneuindi otrà ariare a una semplice

poligonale una etedi poligonali allaclassica truttura i punti, onnessi on ormetriangolari.Quando la rete è contenutanel campo topografco, e non va localizzala

sull'ellissoide,i possonoulilizzare elle coordinate ianeortogonali ssumendo nvertice omeorigine ellecoordinatea questo ertice i possono ttribuire oordinatenulle, coordinateonvenzionaliualsiasi) un latopuòessere ssunto omeassedelleascisse. calcoli la compensazioneella ete,eseguiti on le formule ellatrigonometriaiana ullabasedellemisure egliangoli delledistanze,ornirannoecoordinateartesianei tutti vertici.

Capitaspesso nvece he venga ilevata na rete ocaleper l' inquadramentoi

cartografia mediao grande cala.Questa ete ocaledovrànecessariamentessereinserita elsistema arlograficoazionale.l modopiùowio di procedereembrerebbequellodi considerareella ete ocaleda rilevare nchealcuni ertici rigonometricinazionali se sono due, i l sistemadi riferimentoerrà fissatocon un grado diesuberanza),ontinuare oi con I'esecuzioneelle misure opografiche i angoli edistanze poieseguirecalcoli i compensazione.e coordinateeivertici ella etelocale, opo calcoli i compensazione,aranno utomaticamenteefinite elsistemadi riferimentoazionale. uesta roceduraisultamproponibileerchée finalità oncui sonostatecostruitee retie le sottoreti azionali,ono otalmente iverse iacomeprecisionehe densità ubicazioneei verticie non possono uindiadattarsi l leesigenzei una ete ocale.

Neiparagrafieguenti i daràuna ndicazioneullaprecisionentrinsecaeiverticidelle eti nazionali apparirà hiaro he in molticasiè da ritenersinsufficienteeparagonataon a precisionettenibileelle eti ocali. 'operazionei compensazioneglobaleche preveda 'inserimentoellarete localeanchedi alcuniverticidella retenazionale i minorprecisione,egraderebbel risultato omplessivoinaledi tuttivertici, sarebbe anificatoo sforzodi operare onstrumentazioniopografichei altaprecisione.

D'altra arte 'opportunitài riferireacadografia,nche i zone imitate, l sistema iriferimentoazionaleppare vidente. ertanto consuetudine,el ilevare na etediinquadramentodi appoggio ercartografiaperare elmodoseguente:

28 0





F si rileva a rete ocale on strumenti metodimoderni,n mododa definire noschemageometrico igido ed auto controllatoin altri terminicon misureesuberantiispetto l minimondispensabile);

)>nel rilevare a rete localesi avrà cura di determinarea posizione ei verticitrigonometriciella ete nazionale resentin zona,di solitocon operazioni iintersezioneultiplan avanti;

F si potranno uindi alcolareecoordinateelsistemaocale nche i questi ertici,giànoti ncoordinateazionali;

F se questaoperazione eseguita er almenodue punti,sarà possibile efinireI'orientamentoella ete ocale, ssiacalcolare parametri ella rasformazioneconformeroto{raslazioneonvariazione i scala) he consente i trasformareecoordinateocali nelle coordinate azionali ei due punti util izzati. on taliparametri aràpossibile oi trasformareutti restanti untidellarete ocalenelsistema azionale;

) Se puntinotineidue sistemi i riferimentolocale nazionale)onopiùdi due,

l'orientamentoiene seguitoon l criterio eiminimi uadrati.

8.7. RETIGEODETICHEONDAMENTALI

L'idea i una retedi triangoli,ntrodottaa Snellius el 1600,e ripresa oi da altrigeodetiper stendere ul territorio na maglia i puntistabilie ben determinati,aguidatoper secoli e operazioni i inquadramento di appoggio el rilevamentotopografco. Ci si è scostatida tale schema,semplice, icuro, e bisognoso,praticamente,elle sole mi sureangolari, olo quandoè stato risolto, n manieraefficiente,l problemaellamisura elle istanzeonstrumentazionilettroniche.

Questo oncetto i retegeodetica taulteriormenteradicalmente odificandosiel

momenton cuisi sonoaffermatee nuove ecniche i ril ievoGPSche llustreremoiùavanti.

Fig.8.7 Monografiai unverticerigonometrico

Le grandi reti geodetiche i punti trigonometrici istribuiti u tutto il territorionazionale ono state rilevatemediante riangolazione.n Figura8.8 è riportatooschema ella etegeodeticataliana elprimo rdine. a riangolazionea maglia dlatihanno unghezzeariabili a 30 a 50km,con at ipiùcortidove a conformazioneelterrenoo richiedevapiù unghi100+ 200km)per collegamentielle sole.

Nell'ubicarevertici i una etedel 1oordinenfatti i tendea disporli distanza iùgrande ossibile,nde imitarnel numero,maoccorreenere resente headottando

C o n . " d o R .g la^ . N r l l t t è Nor d - Ov .s t - Îo r lno

CdnL , . To r fno

Pt4n.!.ro DereLo

PP : B as e ìan te .na

O@o l PP B= 72 7 35 I

SUPEFCA Basl l rca)

281





Fig.8.8 Rete eodeticaazionaleel1 ordine

distanzeuperiori 30+40 msi rendono recarieecollimazionieisegnali, quindiamisura egliangoli isultamenoprecisa; i può notare he la formadei triangoli iawicina l piùpossibile quella quilatera.Su tutto l territorio azionale ono stati ndivíduatiirca1.000verticigeodetici el 1ordine; i ciascuno i essiè statapredispostaall ' lGM na monografiahe riportaprincipaliaticome ndicato ellaFigura8.7.Al centrodei triangoli ostituiti ai verticidi 1" ordinesonostati rilevati verticidi 2'ordine, ompensationsiderandorividi errore uelli el 1oordine Figura .9); on ostesso riterioono tati i levati compensativertici el3'e 4oordine.vertici i 1 e

282

Fig.8.9 Rete eodeticael2'ordine




CapitoloMETODIDI RILEVAMENTO

2o ordine sono stati segnalizzation moltacura costruendo n pilastrino er leosservazioni ponendoun centrinodi riferimenfo ulla sommitàdel pilastroed uncentrinon profonditàulla tessa erticaleelprimo. segnali er vertici el3'ordinesonocostruiti on e stessemodalità a nonhanno ilastrinoer e osservazioni,atoche l reppiede sufficientementetabile er aprecisionengolareichiesta.Molti vertici di 4" ordine sono costituitida campanili l cui asse individuaplanimetricamentel punto,e su cui è individualol pianodi paragone er definireaquota.

Nel 1991 'l.G.M. a predispostol progettoGM95 he disegnava na nuova etegeodeticaondamentalei altaprecisioneasata ulsistema PS.

Questanuova eteè stataconcepita er fornireall'utenza n supporto ffidabiletutte e operazioni eodetiche topograficheasate ullemoderneecniche atellitari.Nel 1995 utte e operazionii ril ievo onostateconcluse omeprevistovediFigura8 .10) .

Fig.8.10 Sequenzai ril ievo ella etegeodeticaGM95

I puntidellanuova ete GM95 onostati celti, uando ossibile,n coincidenzaonverticirigonometricii 1", 2" e 3" ordine ella etedi triangolazioneazionale,venticaratteristiche i facile accessibilità on automezzo; n mancanza di questecaratteristiche,statomaterializzaton nuovopunto.La dist3nzaeciprocara i verticidellanuova eteè di circa20 km ( un verticeogni250 km'). La rete GM95è stata

283





inoltre ollegata ltimetricamentella etedi livellazioneondamentale.d ognipuntodellanuova eteè statoassociato n puntosecondario,osto n prossimità i quello,con oscopo i sostituirel punto rincipalencasodi suadistruzione.La sceltadi istituire uestivertici associati",rossimi l verticeprincipale, motivata

anchedal attoche un utente he mpieghimetodi i rilievoradizionaliuò utilizzareanuova ete GM95disponendoi un orientamentoniziale, ltreche di un puntodipartenza, er le proprie eti locali.Oltrealle reti geodetiche ell'lstituto eograficoMilitare onodistribuite u tutto l territoriotalianoe retidi triangolazioneel Catastocollegate i vertici iùvicinidelle etidell ' l.G.M.;nche e reticatastali,he dovendoservireper la produzione i cartea grandescalasonocostituite a numerosi ertici,sonoorganizzalen ordini iversi retiprincipali,econdarie,usiliarie).

La retedi livellazione ell' lGM:un esempio i retedi lineedi livellazione quello i Figura .11relativo l territorionazionaleilevataall ' lGM ercirca18.000 mdi sviluppo.L'|.G.M. a pubblicato er ciascunaineaun fascicolon cui sono state iportateemonografiei tutti capisaldion e ndicazionit i l iper l loro itrovamentoul errenole relative uote.Gli accorgimentisati nel ril ievo ellegrandi ineedi livellazionenazionali engonoadottati nchenel ril ievodelle ineedi livellazionei altissimaprecisione, a di minoreestensione,he vengono i solitoattuateper studiaremovimentielsuolo percontrollarecedimentiigrandi trutture.

Fig.8.11 Rete i ivellazioneGMdi altaprecisione

284




8.8. PRECISIONEELLERETINAZIONALI


Attualmenteacartografiatalianaa riferimentoquattro istemi eodetici iversi:

) i l sistema azionaleM.Mario 940 Gauss Boaga"):è il sistema n cui sono state calcolate e coordinate ei vertici della retetrigonometricaondamentaletaliana, disposizioneell'utenzaeicataloghiGM.Questosistema statoufficialmentedottato nchedal Catasto he, allo statoattuale, o utilizza olo per zone limitate.L'ellissoide i riferimento quellointernazionaleHayford)rientato Roma osservatoriostronomicoi M. Mariodefinizione940).l calcolo ella eteè statoeseguito el 1908 1919 acendoriferimentod un altroellissoideBessel rientato Genova) solonel 1940èstato adottato'ellissoide l'orientamentottuale.A seguitodelle numerosecampagne i triangolazioneell' lGM usseguitesiel tempo,numerosi locchidella etesonostati ideterminatin baseallenuovemisure ai nuovi alcoli icompensazione,on conseguentidistorsioniocali"nella rete; le coordinateattualmentencatalogo,onoquindi pesso iverse nche aquelle el1940.La retegeodeticaondamentale del 1 ordineè statacompensatan bloccodall' lGM el1983 ledimensioneellamatrice ormale ttenuta alcalcolo statadi 1050 1050).Questo icalcolo a permessoi stabiliree precisionieiverticidella eteattraversotermini ellamatrice ivarianza- ovarianza.Con riferimento lla Figura8.12, nella abellaseguente ono riportati, omeesempio, valoridei parametri aratteristiciell 'ell isse'errore i alcuni erticidella ete

Fig.8.12 Ellisse 'erroreete GM calcoloel 1983)

i l sistema uropeoED50 UTM):è il sistema satoper il "taglio" ellamaggior artedellacartografia ttualmenteprodotta. onè impiegatonvece ome istema i inquadramento,nche e sonodisponibilie coordinateeivertici ella ete rigonometricaondamentalenquestosistema.L'ellissoide i riferimento quello internazionaleHayford) on

orientamentoedio uropeo el 1950 ED50).l calcolo i compensazioneelle

Íì = omax

n'punto nome ON

lml

OE

Iml

? = Omax

tml

b = omin

tml

Ilo l057049 Monte rea 0,54 0,60 0,68 0,42 52

056206 Superga 0,59 0,63 0,72 0,47 490561 4 Monte usinè 0,63 0,65 0,75 0,51 4705517 Rocciamelone 0,69 0,69 0,80 0,56 45

285





principalieteeuropee el1oordine stato seguito alU.S.Coast ndGeodeticSurvey el1950Un puntoha coordinatehe differisconoi decine centinaia i metri ispetto llostessopuntorappresentatoel sistemanazionale. ali differenze ono dovute

principalmentel diversoorientamentoell 'ell issoidediverso Datum"),ma inparteancheai differenti alcoli i compensazionehe hannodatoorigine i valorifinalidellecoordinate.l passaggio allecoordinate TM alle Gauss-Boagaviceversa onè eseguibileuindi onprocedimentinaliticiigorosi, a soloconformule mpirichealidengeneren zonedi estensioneimitata.

F il sistema atastale:l l Catastotaliano a ufficialmentedottatol sistema azionaleM. Mario1940Gauss-Boaga da vari anni ma, in pratica,solo in pochezone si è passatieffettivamentetalesistema.Per a maggior artedel erritorio azionalea cartografiaatastale d i relativi ttidi aggiornamentoono ancorariferitial sistemacatastale dottato n fase diformazionedella cartografia dal 1866 in poi), caratterizzato all'uso dellarappresentazionei Cassini Soldner erzone imitate iascunaon unadiversaorigine oincidentepesso on un vertice GM. L'estensionei ogni sistemalimitatan genere d un massimo i 70 km dall'originen direzione stOveste a100km in direzione ordSud.La maggior artedelleprovince compresansistemi i grandeestensione31 origini) i l rimanenteerritorio suddivisonsistemi iùpiccolioltre 00complessivamente).ll sistemadi riferimento eodetico atastalecoincidente on quello adottatodall' lGMnella rima ompensazionelobale el1908-1919)onè stato til izzatoper I'interoerritorio azionale erché lavoridi rilievo el catasto i sonosvolti nmolti asiprima elcompletamentoei avori i riangolazioneell' lGM. empre

causadel ritardo elleoperazioniGM rispetto lle esigenze atastali ono statespesso ssunti aloriprowisori elle oordinateeivertici i 1o,2oe 3o ordine,fornitivoltaper voltadallo stesso GM ma spessodiversidai definitivi. a retecatastaleonè quindi eltutto ongruenteonquella azionale.

) il sistemamondialeWGS8a):è il sistemadi riferimento ttualmente dottatonel posizionamento ediantesatellitiGPS (GlobalPositioning ystem). costituito a una ternacartesianaOXYZcon origine el centro i massa onvenzionaleella erraed asseZ direttosecondo 'assedi rotazioneerrestre. lla terna è associato n ellissoide onparametridiversi da quello internazionaleon centro nell 'origine d assi

coincidentionquelli ella erna tessaellissoideeocentrico).Al sistemaWGS84 non è associatoufficialmente lcun sistemacartografico,anchese è semprepiù frequente'adozioneellarappresentazíoneTM coninquadramento GSSa in analogia ll 'UTMED50).Utilizzandouestanuovatecnica i misura illustrata iùavanti)'lGMha realizzaloa nuova etegeodeticadel 1'ordi ne chiamataGM95 ostituitaa 1236puntimaterializzalitabilmentesul erritorioazionaleonun erroremedioridimensionalenferiore 5 cm.

286




Capitolo 9RILIEVODI DETTAGLIO

Capitolo 9RILIEVODI DETTAGLIO

9.1. RILIEVO CALCOLO ELLERETIDIDETTAGLIO

Comeè statogiàdettonell'introduzioneel cap.8, le retidi dettaglio anno o scopodi creareuna serie di puntidi coordinate ote,che dovranno ssere centridiemanazioneel rilievo i dettaglio. elcasodi utili zzo i tecnicheerrestri,vertici ellereti di dettaglio ovranno ssereposizionatin modo ale che da essi siano visibilidirettamenteutti puntinecessari lladescrizioneompleta ell'oggetto. li schemi iril ievo che vengonoutilizzati n questi casi vengonoclassifcati in metodi dipoligonazionemetodi i ntersezione.

28 7




9.2. RICHIAMI IGEOMETRIANALITICA ELPIANO

Caoitolo9RILIEVODI DETTAGLIO

Perpoter radurre problemi eometricin problemi i calcolo, ccorre appresentarei diversi ntigeometrici ediante umeri equazioni.Questa possibilità i realizza acilmentedefinendounrappresentazionenalitica i un entegeometricoipenderiferimento.In topografia cartografia i utilizzano, ssenzialmente,lriferimentoolare.

sistemadi riferimento. adallasceltadel sistema i

riferimento rtonormale il

pI '', |

Fig.9.1 Riferimentortonormalepolare

ll riferimentortonormaledefinito a unacoppia i rette ra oroortogonali,ullequalisi fissaun riferimentoartesiano,cegliendol puntoO, comune lledue rette, omeorigine.Indicheremo,'ora npoi, ale iferimentoon anotazione [O.XY].Fissato n riferimentortonormale,i può dentificaregnipuntoP mediantee suecoordinate p,Yp.ll riferimentoolare definito a un puntoO, dettopolo,da unasemiretta i origine,

detta asse polare, e da un verso positivo per le rotazioni (in topografiatradizionalmente i considerapositivo l sensoorario).OgnipuntoP del piano adeccezioneel polo),puòessere ndividuatoa un raggiovettoreop coincidente on la lunghezza el segmentoOP e dall 'anomalia pcoincidenteon a rotazione raria hesovrappone'asse olare llasemiretta P.Lequantità p,0p appresentanoecoordinateolari el puntoP.Per convenzionen topografia'anomalia un angolosemprepositivo on valoricompresira0e2n.Consideriamora un sistemadi riferimento olaree un sistemadi riferimentocartesiano [O.XY] on eorigini O]coincidenti con 'asse olare oincidenten versoe direzioneon 'asse delsistema artesiano.

Fig.9.2 Sistema i riferimentoartesianopolare

28 8




Capitolo9RILIEVODI DETTAGLIO

Le relazioninaliticheheconsentonoi trasformareecoordinateolari i un puntoPnelle elative oordinateartesiane viceversaono e seguenti:

X , = 6 r s e n Ù ,

Y p = 6 p c o s g p

0^ - arc tanX P' Y,

Perquanto iguardal calcolo ell 'anomaliapoccorre ompletarea relazioneppenaricavata.Abbiamo isto, nfatti, he 'anomalia perdefinizionenaquantità ositiva, entre lrisultatoumericoella unzionercotangenterappresentataa unnumero ompresoIra-nl2e+n12.Per isolveren modo orrettol problemai operanelseguentemodo.

t \ / l

PoniamoK =arctanl lcatcolaton modulo)lY'l

i l valore ell 'anomaliapsi determinaenendo onto eiseguentiasiparticolari:seXp>0eYp>0sarà0p=Kse Xp> 0 e Yp< 0 sarà0p= n - Kse Xp< 0 e Yp< 0 sarà0p= 7r+ KseXp< 0 e Yp> 0 sarà p=2n-K ra tS€Xp= 0 e Yp> 0 sarà0p 0 tvr

S€Xp=0eYp<0sarà0p=f iS€Xp> 0 e Yp= 0 saràQe nl2SeXp < 0 e Yp= 0 sarà0e= 3nl2

OwiamenteSe Xp e Yp soho entrambe ulle,non sarà possibile efinire lcunasoluzionenquantol puntoP coincideon 'origineelsistema olare.

L'angofodi direzionedi unasemiretta rientata unagrandezzai grande tilità ellosviluppo eicalcolin opografia incartografia.

Si definisceangolodi direzione ella semiretta rientataPA, a rotazione rariache la parallelaall'asse Y del sistema cartesianopassanteper il punto P deve

compierepersovrapporsialla semirettaPA.Esso viene ndicatocon la notazione PA).

Osservandoa fig. 9.3 è facilenotare he l'angolo i direzionePA)coincide onl'anomaliaelpuntoA, n unsistema i riferimentoolare heabbia riginen P e assepolare aralleloll 'asse delsistemaartesiano.

Ricordandouantodefinito alle elazioni3], 'angolo i direzione aràdunqueunaquantità emprepositivae convalore ompresora0 e 2n.L'angolo i direzione ellasemiretta A può essere eterminatoe si conosconoecoordinateartesiane eiduepuntiP e A.

t1 l

l2lX?+Y,?

289





Fig.9.3- Angolo i direzione i unasemiretta rientata

Risulta questopunto mmediatoicavarea formulaper il calcolodell'angolo i

direzionePA)e delladistanza A notechesiano e coordinateartesianeotaladi edi A.

( PA )= orrron* o - * 'Yo Y, l4l

AB=m

Owiamente oiché 'angolo i direzione unaanomalia ccorre onsideraren qualedegli otto casi elencatinella [3] si sta operandoper poter determinarel valoredell'angoloi direzioneecondoadefinizioneataprima.Se si ulil izza xcelper i l calcolo ell 'angoloi direzione, sconsigliabile'usodellafunzione

RCTANperchè orniscel valoredell'arcotangenteell'intervallon/2,+n/2bisognerà oi "sistemarlo"econdoe regole3] .E invece onsigliabilea unzione RCTAN.2onquesta equenzai operazioni:

D calcolo i Ax= Xn XpD calcolo i Ay= Ye YpF calcolo i (PA)= ARCTAN.2(A';Ax)

(ATTENZIONE:I|rimo ermine ella unzione ay e irsecondo ax)la funzioneARCTAN.2 restituisce n valore angolareespresso n radianticompresora -n e +7r on esclusione i -r e supponiamohe questovaloresiacaricato ella asellaB2Sdel oglioelettronico.ll valore ell 'angoloi direzionePA), he ispetta utomaticamentea definizionedata,si otterrà

{tivqndoa

seguenteunzionenefla asellaB2G desempio):=SE(825>0;825;2.Pl.GRECO0+825).aturalmente uesto valore è sempreespresson radianti.

Esercizio:alcolare'angoloi direzionePA)neiseguentiasi:Xp= 123.49 Xn= 103,41Y, = 144.35m Yi= I 82' ,52m (PA) 369s,1695

x:--33?'12nPA)32s'0578Xn= 62,62mYa=37,24m (PA)= 232s'8992

íl = liS',.'1 (PA)1.5s,es86290

l5l



G. COMOGLIOTOPOGRAFIA CARTOGRAFIA RrLrEVorD?T+î31îo

( P A ) = A I C Í A N X N - X 'Yo -Y,

-pe = ^l(Xo- x, )' + (Yo Y, )'

(PA

X

l

Ya

lml

calcoli.,',' ,aX= [m]aY= [m]

(PA)= [rad]

*s.ùLiti(PA)

PA=

-20,08

38,17-0,484284

5,7989018

369,169643,13

ì..1ìiì i:ììiìiì

\ì:ììi.ì .ìi:li"r

Àlìi.l ìr:,,1Jii:ìii.ì .-i,l

iì il I r:ììiì:ì:'t lì:ìlìì.;ì i-r

9.3. ANGOLOPIANO

Si definisce ngolopiano ra due semirette rientate,a rotazione raria che unasemiretta evecompiere ttorno l puntodi intersezioneon a seconda emiretta ersovrapporsiquest'ultima.La fig.9.4 rappresentaue semirette rientate B e AC nonparallele;uesteultimeindividuanoelpiano ueangoli splementari.Per ndicaren modounivoco qualedei due angoli i fa riferimento,n topografiaiusa a regola he ndividua'angoloome otazionerariadellasemirettaefinita al"punto di stazione" A) e dal "punto ndietrd' (B o C) fino alla sovrapposizione llasemiretta efinitadal"puntodi stazione"A)e dal"puntoavanti" Co B).

Fig.9.4 Angolo iano

291




CapitoloRILIEVO I DETTAGLIO

Nel caso della fig. 9.4, se il puntoB è consíderatopLtntondietro'é l puntoC èconsideratopuntoavanti",l'angoloefinito econdoa regolaprimaesposta aràdatodallasequenza"puntondietro""puntoi stazione"punto vanti" quindi arà 'angoloacutoBAC.Se il puntoB è consideralo puntoavanti'é l puntoC è consideralo punto ndietro",I'angolo efinito econdo a regolaprimaesposta arà dato sempredalla sequenza"punto ndietro""puntoi stazione"puntoavanti"equindisarà 'angoloGAB.

Per megliocomprendere l significato i "stazione", indietro"e "avantl' attribuitoaivertici, i adotta a regolache vede un operatoretopografo) osizionato ul "verticedistazione" puntoA) che guardasecondo a bisettrice ell'angolo iano che vuolemisurare;l vertice he sta allasua sinistra definito ome punto ndietrd'e l verticechesta sullasuadestra definito ome punto vantl'.Regolanfallibile.

L'angoto zimutale ad esempioBAC)si può pensare nchecome differenza i due

angolidi irezione:

Fig.9.5 Angolo ianoe angoli i direzione

BAC AC -(AB =orrronlt-Io -or6onffi

9.4. TRASPORTO EGLIANGOLIDI DIREZIONE

Premessaondamentaleer l calcolo ellepoligonali, la comprensionei comesipropagano li angoli ídirezioneungounaspezzata.Consideriamoa spezzata i fig.9.5costituita a n verticiP1,P2,...Pn

Figura .5 Trasportoegli ngoli idirezioneungo naspezzata

Si devepensarea spezzata otatadi un versodi percorrenza,d esempio a Pr aPn, n modoche,gli angoli zimutali isuratin tutti vertici, ianosempre uelli he

292

t6l




Xr = rìotoXz= l r Sen(P1P2)

Xs= lz sen(PzPs)

Xr = DotoXz=X t+XeXs=Xz+Xs


permettonoi sovrapporren atoal successivo ediante na otazione raria in iguraC[2,C[3... Cln).

Se consideriamooto l primoangolo i direzionePrPz), otremo erificare,nchegraficamente,he I'angolodi direzione n un vertice qualunque P;)si ottienesommando ll 'angolo i direzione el verticeprecedentePi-r)'angoloazimutalemisuratonel vertice qi);se la sommadei due terminiè maggiore i rubisogneràsottrarre& se la sommadei due erminiè minoredi n bisognerà ommare t.

Nelcasodella igura .5avremo:

(Pz4 =( 4Pz +ur-n( 4 P 4 = ( P z P s+ u t - n

9.5. TRASPORTO ELLECOORDINATEUNGOUNASPEZZATA

Consideriamoaspezzataifig.9.6costituitaa n verliciPr,Pz,...Pn,iano oti:} gl iangoli i direzione i tutti latidellaspezzala;F le unghezzei utt i lat i11, 2,. . , n;F lecoordinateartesianer,Yr delprimo ertice.

Vogliamoeterminareecoordinateartesianei utti rimanentivertici.Comeprimacosa si determinanoe coordinate arziali i ciascun ertice ispetto lprecedentesandoe 1].

Yr = noto12= 11 os(Pr z)

Ys= lzcos(PzPe)17l

Quindi i procede l calcolo ellecoordinateotalidi ognivertice he, comerisultafacilmenteerificabilesservandoa fig. 9.6, risultano ssereparialla sommadellacoordinateotali elvertice recedentedelle oordinatearziali elverticenesame:

Yr = notoYz=Yt+YzYs=Yz+Ye t8l

Figura .6 Trasporto elle oordinateartesianeungounaspezzata

293





9.6. LE POLIGONALI

La poligonale unaoperazioneopograficalassica hepermette i determinareecoordinate lanimetricheX,Y)di unaseriedi vertici, ollegatira loromediante na

spezzala. escriveremoue ipidipoligonale,uella

hiusaquella

perta.Comeavremomododi chiariren seguito,e poligonali ossono ncheessereutilizzaleper eoperazionii nquadramentoi unrilievoopografico.

9.6.1.POLIGONALEHIUSA

La poligonale i dicechiusase la spezzala he collega utti verticisi richiude ulpuntodi partenza.Consideriamol casopiùgenerale i unapoligonalehiusa i 6 vertici vediFigura .7)tutti di coordinatencognite. a primacosa che occorre are è fissareun sistemadiriferimentoocale.Come abbiamogià visto a proposito elle reti di inquadramentoplanimetrico,uestaoperazioneichiede i fissare e coordinate i un puntodellapoligonaleI'angoloi direzionei unsuo ato.Solitamentei issa 'origineelsistemadi riferimenton un vertice si dispone n suo ato ungo 'asse elleX del sistema iriferimento.Nelcaso appresentaton Figura .7,abbiamo osto 'origine elvertícePr, e abbiamoimposto he l atoPrP2 iacoincidenteon 'asse elle scisse.ln termini i coordinate,l puntoPr àssufit€ràe coordinate pr= 0, Ypr= 0 e il verticePzavràcoordinata pz= 0.

Yî

P3

Fig.9.7 Poligonalehiusa sistema i riferimentoocalell ri l ievo i unapoligonaleichiedea misura i tuttigl iangoli zimutali di tutt i lati

della pezzata. elnostro sempio ovremo uindimisurare1,o'2,...q6ilati lr, z,...loperun otale i 12misure.Le ncognite el nostro roblemaono e coordinatelanimetrichei tutti vertici ellaspezzalamenoquellegià fissate on l sistema i riferimento sonoquindi9 in totale(Xz,Xs,X+,Xs,Xo,Yg,Y+,Ys,Yo).Sipuòverificarehe, ndipendentementealnumero eivertici ella pezzata dal ipodi poligonalechiusa aperta),l numero i misure seguite sempremaggiore i trerispetto lle ncognite. i dice esuberanza"ar ia tre.Questoattopermette uindi i compensaree misure di ricavarevalori iùplausibilidellencognite.

294




CapitoloRILIEVO IDETTAGLIO

Le poligonali ossono unque ssererattate ello tessomododescritto elcapitolodiqueste ispense.

La modestasuberanzaelle

misureispetto l numero elle ncognite

sempresolopari a tre) e la particolare eometriadel rilievo,rendono ecito un calcolo di

compensazioe"sem l f cato" etto com ensa ione mpi ica".Le coordinate ei verticidella poligonale, ttenute n questomodo, sono del tuttoequivalentiquelle ttenibilionunacompensazioneigorosa i minimi uadrati.Questo alcolo emplificatoonpermette erò a stimadellaprecisioneei risultati, éla possibilitài individuareventuali isure ffette a errori rossolani.ediamolo eldettaglio. ominciamoon e misure egli ngoli zimutali.

È notodalla eometriahe a somma egli ngolinterni i un poligono i n latiè paria(n-2).re questo alorenoncoincideràacausadeglierroriaccidentalii misura) on asommatoria egli angolimisurati,ndicata onIa. La differenzara questidue valori

vienedettaerroredi chiusuraangolare.òo=Ecr(n -z ) -n tg l

Se o, è lo scartoquadratico edio trumentaleel teodolite til izzatoer la misuradegli ngoli, notochesi ha l 99%di probabilitàhe agenerica irezionezimutalesia compresa n un intervallo t 3o". Ciascunangoloazimutale ottenuto omedifferenzai duedirezionizimutali isuratea= L6 lsvedi Fig.9.a)e quindi, omenoto,ol =oÎ +o?=2o? e lo s.q.m. ell 'angolo isuratoaràparia oo=J2o,Se n sonogliangolimisurati,utticon e stessemodalità,vremo he a varianza ellasomma i utt i l iangol i arà:o! =o3+o3+. . =noî.e los.q.m , = ooJn

La probabilitàhe la sommatoriaegliangolimisurati ia compresan un intervalloLa!3J2n.o. saràdel99%cioè a pratica erlezza.

La quantità J2no" è chiamataolleranza ngolare.Se il valoreassoluto ell 'err ore i chiusura ngolare 8"),è minoreo ugualeallatolleranzangolare,i avranno uone agioni erpensare he utte e misure seguitesianoaffette a solierroriaccidentali.Sappiamonoltre he 'errore ccidentalei misura i un angolo zimutaleondipendedall'ampiezzaell'angolotesso quindi otremoipartire'errore i chiusura ngolarein partiuguali ra uttigl iangolimisurati.Nelcaso nvece he, 'errore i chiusura ngolare uperia tolleranza,on esterà he

ripetereutte e misure.Dopo acorrezionei tuttigl iangoli zimutali,alcoleremoliangoli i direzionen uttivertici ellapoligonaletil izzandoe regole ià illustrateul trasporto egliangolididirezione potremo osìcalcolare on e [8] ecoordinatearziali i tutti vertici.Lapoligonalechiusa, quindiecoordinateelprimo dell'ultimoertice ovrebberocoincidere quindi a sommatoria ellecoordinate arziali e y dovrebbero sserenul le.Questo olitamenteonawiene nquanto nche e misure ei atidella oligonaleonoaffette a nevitabilirrori ccidentali.lndicando on Ex e Ly le sommatorie elle coordinate arziali i tutti i verticidella

poligonale;a quantità4 = J(r")' + (xy)' rappresent rà,1' rroredi chiusuraineare.

295





coordinate Coordinateparzialicomp. totalicomp.

,. . coordinate, : . parziali

l a t i l sen0 l cos0

tmt t;i tml

494,85494,85 0,0!

6S5,05

Ledistanze,ggi, i misurano edianten distanziometrod ondee tutti latisono, inorma,nferiorid 1 km.È noto he 'errore i misura i unadistanza,seguitaon alestrumentazionevedi6.4),è cost ituito a unaparte issa(0,5+ 1 cm) e da una partedirettamenteroporzionalella distanza ne l nostrocaso < 1 mm).Si può supporrequindi heglierrori ccidentalii misura ondipendanoaffaunghezzaelladistanzastessa ma siano una costantepari a oo : t0,5+1cm in funzionedel tipo didistanziometrotilizzato.Analogamentequanto ettoprima ergliangoli, e a poligonalecostituitaa n latipotremo uindi potizzarena olleranzaaterale ar ia 3Ji .oo.Se l valore ssoluto ell 'errorei chiusuraineareò1) minore uguale lla olleranzalaterale, i potràprocedere llacompensazione,ltrimenti on esta herifare, nche nquesto aso, utte e misure.ll criterio i compensazionea adottare aràdel uttoanalogo quelloangolare cioèsarà ipartiton parti uguali su tutti lati misurati. 'unica wertenzaè che I'errore i

chiusura y sarà da distribuire u tutti lati meno l primoche DEVE estare ull'assedelleascisse quindinonè compensabileecondoadirezione .Lecorrezioni a apportare llecoordinatearziali aranno uindi:

I.xax -_

nAl terminedi questedue semplicioperazioni, i sono così ripristinatee condizionigeometricheellapoligonaleeterminandoecoordinatei tutti suoivertici.

Di seguitoiportiamo'esempioella ompensazionempirica i unapoligonalehiusaconExcel:

Lrav -_' n -1

verrice [3::t Xlffo:'.'-..

[gonl i [gon]P1

199,5644 199,5641

62,0037 62,0034

131,7645 13'1,7642. . . . : . '

234,7485 234,7482

60,1070 60,1067

angoli didirezione

[gon]100,0000

99,5641

361,5676

: :'r' =.

293,3318

328,0800

x y

[ml lml

494,86 0,00

X Y

[m] [m]n n n l n n n

. . . :494,86 0,00

695,03 4,76 695,04 4,76 1.189,90 4,76

-261,06 378,58 -261,05 378,59 928,85 383,35

-522,06 -54,88 -522,05 406.80 328.48

P1 111.813511 . t .8132100 .0000

568,44 ::,'-::-514,O4

581,14107,22

242,68 514,03, . .

-571,1 10 723

242,68 -107,23 57116

-571,16 0,00 0,00

t -

novertici =

t c =tol ler.=

Acr=

800,0016 800,0000o

o,oo160,0021

0,0002667

r = -0,058 -0,027

Ex= -0,058

EY -0,027:

€t= 0'064

tol ler.= 01073

^x = -0,01

Ay= -0,01

0,00

296





9.6.2.POLIGONALEPERTA INCOLATA GLIESTREMIll secondo chema i rilievo erpoligonale, oltoutilizzatoetla ratica perativa,

rappresentatoallapoligonaleperta incolata gl iestremi. necessariohesi possa

farestazioneon ostrumentou duepunti i coordinateote, aiquali iano isibili(ma non necessariamentetazionabili)ltriduepuntianch'essi i coordinateote vediFigura .8).Nellapoligonaleperta incolatagl iestremi,l sistema i riferimentogiàdefinito allapresenza i duevertici icoordinateote ll ' internoella oligonaleteJsa.Cosìcome nelcasodellapoligonalehiusa, o schemadi rilievo revedea misuraditutt i latie di utti l iangoli ella oligonale.Anche n questo asosi puòverificarehe l grado i esuberanzaellemisure ispettoal numero elle ncognite sempre re (indipendentementeal numero ei vertici)quindi iventaecita nacompensazionempirica.

Con iferimentollaFigura .8, 'angolo i direzioneA pr) è noto,n quanto ononotele coordinate i entrambipunti.Mediante valoridegli angolimisurati i trasporta 'angolo i direzioneungo aspezzata,inoa calcolare'angolo i direzionePoB). iqueèt'ultimongolo i dire2ionesi conosce eròanche l valore erivante alle oordinateotede idueóunti.La differenzatraquestedue angolidi direzioneP6B)esprimerà'erroredi chiusuraangolare. e alevaloreè inferiore lla olleranzangolarecalcolataomeabbiamo iàvisto nel paragrafoprecedente) i potrà effettuareuna compensazione ngolàreripartendoaleerrore npartiuguali u uttigl iangolimisuratí.

Y A

i P 3 X - - - - - - - - - - - - - - )

Fig.9.8- Poligonaleperta incolata gl iestremi

Dopo a compensazionengolare, i procederà l trasporto ellecoordinateartesianedalvertice 1 come etto n9.5) inoalvertice 6.Di quest'ultimounto onoperògià note e coordinate quindia differenzare quellecalcolate quellenote Axe Ay)permetterà i determin re 'erroredi chiusura ineare:ò,={^# * (^yf

297





Se alequantitàisultanferiore lla olleranzammissibilecalcolataomeabbiamogiàvistonelparagrafo recedente)i puòeffettuare nacompensazioneineare on gl istessi riteri iàdetti er apoligonalehiusa.Di seguito ieneriportato'esempio ellacompensazionempirica ellapoligonale

aperta incolatagliestremi i Fig.9.8, volto onExcel:

Xn =

Xp r :

Yp r =

x P l - x A =Y P 1 Y A =

(A P1 ) =

5 1 8 , 1 42.8t61?7

845,612.110,37

327,47-750,90

173,8198

Xpo=Ypo=X e =Y e =

x B - x P 6 =Y B - Y P 6 =

(P 6B) =

angolocompensato

tgonl

245,5255:

134,1525

130,2160

160,3724: . j

237,6514. :: ::::.,. 1

147,1713

3.590,322.010,964.795,944.480,851205,62

2.469,8928,9092

0,0000

P1

P2

P3

P4

P5

P6

vertice

B. : : , :

novertici=t c =

tolleranzaAcr -

angolomisurato

lgonl-

245,5256:::::'-:::::

134,1526

130,2161. -

t '

160,3725

237,6515.l

147,1714

angolodidirezionecalcolato

lgonl

173,8198

219,3454

153,498083,7141

:'., , , , : . j i

44,0866

81,7381.-a

28,9095

angolodidirezione

compensato latl

elgonl [m]

173,8198

219,3453 651,34

153,4979 848,9383,7139 1108,15

44,0864 843,21

81,7378 795,29

28,9092

60,0003

0,00210,0001

nodistanzet u =

298




coordinate arziali coordinatetotali

l s e n 0 l c o s 0lml [m]


XYtml tml

coordinate arzialicompensate

l s e n 0 l c o s 0lml lml

-194,90 -621,49

, , , : : , : . : : i : : : : l : l :

566,40 -632,34. - ::::=::j:r l

1.072,08 280,41' j , : , : . . , : : : : . : r : : : : l : : -

538,35 648,98::-.1

762,78 225,03

coordinateotalicompensate

X , Ylml tml518,14 2.861,27

845,6f 2.11A37..,,,,-,,a,,,::a.aa=

650,71 1.488,88

1.217,11 856,54: : : i '

2.289,18 1.136,95.. ,

2.827,54 1.785,93

.::: :3.590,32 2:010,96

4.795,94 4.480,85

,.,, :r:, 845,61-194,89 -621,50

-: i :::,,=.,:.-..,..,50t72566'41 -632'34

1.217,1g1.072,09 280t41

c Dao D1

538,36 648,97c aD7 RA

762,79 225,02 a qon e7

2.110,37

1.488,87:,::::::',,:=856,53

:::.:=1 136,93

1.785,91

-'',....=,.2 .010,93

€x = 0,049€ v =t t = 0'058

toller.= 0,073A X = -0 ,010

^ Y =

-0,030

0,006

9.7. LE NTERSEZIONI

Gli schemidi rilievoper intersezionebberoun grandeulilizzoquandonon eraagevolea misura elledistanze. ellamaggior artedei casi,si trattadi schemi iril ievo he non consentonon controllo ellemisure seguite,n quantoprevedonoI'esecuzionei un numero i misure trettamenteufficientelladeterminazioneellecoordinateeipunti ncogniti.'awento eidistanziometriondee delle tazioniotaliha resoper o piùobsoletial imetodi,ma una oroconoscenzaonsente ll'operatoreirisolvereocalmente roblemi articolari,uando, er motividi accessibilità,on èpossibile isurare istanze piùsemplicementeuando ccorrendividuaren modo

rapido'effettivaossibilità

el il ievon basea unodegli chemi i ntersezione.Qualsiasichema i intersezioneuòsempre sserentegratoa misure i distanzericonducendoosì l calcolo llacompensazionei unarete opograficaibera he, nanalogia lle poligonali,uando l gradodi esuberanzaellemisureè limitato, uòessere oggetta compensazionimpiriche.

Le ntersezioniengono enominatentersezionin avanti uando i prevede i farestazione uipunti i coordinateote,mentre engono enominatentersezioninverse,quando i prevede ifarestazioneuipunti i coordinatencognite.

299




Fig. .e).

calcolo elladistanzaw


9.7.1. NTERSEZIONEEMPLICENAVANTI

Perdeterminareecoordinatelanimetrichei unpuntoP,si a stazionen duepuntidi coordinate oteA (Xa,Ya) B (Xs,Ys) si misurano due angoliazimutali r,B (vedi

Figura .9 intersezioneemplicen avanti

A partire alle oordinateotedeipuntiA e B,sicalcola'angolo i direzioneAB).

( AB - orrrorX-u:J oY u - Y o

L'angolodi direzione AP) si può ricavaredalla seguente elazione,acilmenteverificabilesservandoa Figura .9:

(AP =( AB -u"Del riangolo ABsononotiun ato il atoAB)e i dueangoli diacenti.

Applicandolteorema eisenisipuòdeterminarea unghezzadelatoAP:A RAP = -!!"- t;,rB

smyE quindi e coordinate el puntoP saranno ateda:

X r=Xo+APs in (AP)

Yr=Yo+APro t (AP)

Le coordinatede l puntoP possonoesserecalcolateanchepartendoda l puntoB:

ca lco lo e l f 'angoloi d i rez ion (BA) ( BA)= orr ror l - t : J -z=( AB +nYo Y,,

calcolo elladistanzaBA sA = Jf X u - X o ) ' +(yo -yo )2A '

calcolo ell 'angoloidirezioneBP) (BP = (BA +B

BP= M, i ra

sinyE quindiecoordinateelpuntoP saranno ateda:

Xr=Xu+BPs in (BP)

Yr=Yu+BPcos(BP)In questocaso (intersezioneemplicen avanti)non esistonomisureesuberantiquindi l doppiocalcolo partendo al verticeA e dalverticeB) puòservire olamente

percontrollare'esattezzaeicalcoli.

300




Partendo al puntoC avremo:

calcolo ell 'angoloi direzioneBC)

calcolo iecalcolo ell 'angoloi direzioneCB)calcolo ell 'angoloidirezione Cf;

calcolo ella istanza P

CapitoloRILIEVODI DETTAGLIO

l l metodo dell' intersezioneemplice n avanti può essere util izzato er ladeterminazioneelle oordinatelanimetrichei un puntoda utilizzareomecentro iemanazione el ril ievodi dettaglio,ma viene anche spesso mpiegato er la

determinazioneipunti

nonaccessibili.uesto chema i misura onsente i ottenereelevate recisioniurché'angolon P abbia n'ampiezzarossima nl2.Come i puòfacilmenteotare'intersezioneemplicen avanti onconsente essun ontrolloullabontàdellemisure seguitesieseguono uemisure si determinanoue ncognite)perciò,n molti asi, i determinal puntomediantenaserie i collimazioniseguiteatre o più puntidi coordinate ote,passando uindiad uno schemadi intersezionemultiplanavanti vediFig.9.10).ln questi casi le coordinate el punto P possonoessere ricavatemedianteunacompensazionempirica, emplicementeediando risultati ellevarie ntersezionisempliciiconoscibili.Owiamente sempre ossibileottoporree misure seguite una compensazionerigorosan mododa poter timare nche orrettamenteli s.q.m. ellecoordinateel

puntoncognito. y

Figura .10 intersezioneultiplanavanti

Pzî'-

(BC) -o r r ro rX ' -XoY, -Yu

e= 400e" "( BP +( BC(Ca1=(BC)+n( CP =(CB +6

RP(P - -::- singsirzò

E quindiecoordinateelpuntoP saranno ateda:X r = X c + C P s i n ( C P )

Y r = Y r + C P c o s ( C P )

301




Esempio umericovolto on oglioExcel:

da l puntoA

( A B ) = o r r r o r * u - " oY n Yn

( A P = ( A B - a .

A R4p = ' , "

s inpsmy

X r = X o + A P s i n ( A P )

Y , =Yo+AP cos APl x , = x r + c P

s i n ( c P )

I Y P = Y c + C P c o s ( c P ) .

Yb Xc Yc

6.263,14 36.230,12 11.424,27ò83,6063


da lpuntoB

( BA)=( AB)+n

( B P ) = ( B A ) + p

A pB P - " " s i n a

s iny

X r = X u + B P s i n ( B P

Y r = Y u + B P c o s ( B P )

; d^rpt^t"C1 , ^ ^ , X r - X ul ( B C ) = a r c t a n " "

- - o

IY ' -Y"

le= +oo " -( BP +( BC

t ( C B= ( B C + r .' 1 { c r1 = ( C B+ 6

l 6 p= ! , i , ei s l n Ò

. ì. . i . î

calcoli , ,'Y= [gon]1= [rad]s = [rad]B= [rad]ò = [rad]

X b - X a = [ m ]Y b - Y a = [ m ]

(AB)= [rad](AB)= [rad]

(AB)=

[son]AB = [m ](AP)= [gon](AP)= [rad]

AP = [m ]XP = [m ]YP = [m ]

(BA)= [son](BP)= [son](BP)= [rad]

BP = [m ]XP = [m]YP = [m]

X c - X b = [ m ]y c - y b = [ m ]

(BC)= [rad](Bc) = [rad](BC)= [gon]

6 = [gon]s = [rad]Bc = [m ]

(CB)= [son](CP)= [son](cP) = [rad]

cP = [m ]XP = [m]YP = [m ]

risultatiXP = [m]

YP = [m]

i ì :

Xa Ya

5.212143 16.45116(l

72,4118

45,46180,7141122841,1374418951,290038475'1.313284689

12.938,78-10 .188 ,02

2,2378081572,237808157

142,463316.468,3970,0515

1 1 036626324. 0,126.748,1027.402,20342,4633424.5897

6,66943928522.820,3126.748,1027.402,2018.078,915 . 1 6 1 , 1 3

1.2927151891,29271518982,296857,7071

0,906461111 8 . 8 0 1 , 1 8282,2968365,9031

5.74759253218.579,6726.747,9727.402,16

26.748,05

27.402,19

xb' t8.15'1,21

R|'82,1264

i::]rrli:: l:.r.r\i.ì

.' ' r ' i

, : 'i ' '

: : j ,' r .

: Ì : i : , I

, . i 1 . ì i : . : i ,

i ì :' ' . ' l )

$ li'.:ì"ìi: ,::,.r.1.i,ìì,ìi-ì-.::li. ì -" )

l:ìiii:iì{ì.: }ì:.i\iììi.ì fi\l\."i i::ì, :, ::iì i: ì :, , ::ì,-iì' r' rr . i ' l: ì : '. 'r '

ìii iì:i:ì ::i :':: : . :i iiL' ìili.l' ' l. ì i:rì:: :

lì ii ir :..:.,::,.r:,,,1i.:il-l.\ iì r :\ì ì ," :. : t .

: : : : i' : ì \ . : ,1' l . i : i ì r j : ì :

r:rj :r!lì..::.,:. : :. ì: :

:.:: ilìil.:>ij.i:ì!]i,..i:

ì :: ..ìì,\i ìì:ìiì iìì,ì: r: :

ì:::

-:,ri *.1

.l

Ii.r í:,.

, i i:-\.,l::i-ì:i :::ìl

:ìì'S,::rlì lll-ì ,:'li: " ., i iì \ ì ir i r

302




Esempi i ntersezioneultiplanavanti:

CapitoloRILIEVOIDETTAGLIO

3.215,1410.234,51

8.561 ,2516.538,5716.328,5215.537,62

92s,543272s,4327

102s,608715.170,372.295,38m

X R =Yn-Xa=Y g =Xc=Yc=f l , =

p=E-X p =Y p =

XR=Ye=Xe=Yg=Xc =Yc =([,=

B=ò =X p =Y p =

5.141,153.521,47

12.56124m2.534,56

18.354,278.53129m

97s,157967s,214787s3242

7.300,26m15.60125m

9.8. IL RILIEVO IDETTAGLIO

ll metodo eguito er il ri l ievo i dettaglio on metodi errestri tradizionalmentechiamato elerimensura vieneeseguito onstazioniotalidi precisionedeguatagarantirel raggiungimentoelleprecisioniichieste allascalanominale el ril ievo.Ognipuntodi dettaglio ienedeterminato ediantee suecoordinateferiche ispettoun puntodi coordinateoteS e a unadirezione ota, n generea congiungentei Sconun altro unto i coordinateote. n altreparole er l punto i dettaglio si misurala distanzanclinatad), la direzione zimutale che a rettaSP formacon I'originedella raduazioneelcerchio zimutale I'angoloenitale .

Questemisure engono seguiten un periodo revissimoi tempodallo trumentoe memorizzatensiemead altre informazioni tili quali, ad esempio, 'allezzadelsegnale(ho)ul puntoP,l'allezza trumentalehs)e il nomedel punto ollimatovedischema i F igura.11 .

Fig.9.11 schema i unamisura elerimetrica

ll rilievo i dettaglio resuppone,omesi è detto,una retedi inquadramentoostituitadaiverticidi unarete ilevata on metodi sposti eiparagrafi recedenti, costituitaingenere ell 'ultimordine a retidi poligonali.aturalmente,e azonada rilevare apiccoledimensioni,a rete di inquadramentouò esseremolto ridottaed esserecostituitaoloda poligonali;n qualche asoè sufficientenasolapoligonalehiusa,neicasipiùsemplici uesoli erticiacuidistanzaianota.Le posizioniei vertici ellepoligonalievono ssere celten mododa poter ilevare

tutt i puntinecessari l ladescrizioneella ormae delledimensioniell 'oggettoel

303



G. COMOGLIO CapitoloTOPOGRAFIACARTOGRAFIA RILIEVO IDETTAGLIO

ril ievo;a scelta a fatta n sededi progetto ell ' interaperazionei misura,n manieraoculata,n modo a ridurre l minimol numero elle tazioni.Se durante e operazioni i ri l ievo i rendesse ecessarioualchealtro puntodistazione semprepossibile, d esempiomediantee intersezioni mediante attute

celerimetriche,eterminarneecoordinateispetto ivertici elle oligonali.La distanzara i vertici i inquadramentoa mantenutaonsuperiore l doppio elladistanza assimahesi ntendemisurare.

9.8.1.ESECUZIONEIUNASTAZIONE ELERIMETRICA

Perprima osasi esegue noschizzo,hiamatoidotipo, ellaporzione i territorioda rilevare alla tazione .Sull'eidotipoi riportanoutti particolaria rilevare, efinendonepunti aratteristici;dognipunto ieneattribuitoncodice solitamentennumero rogressivo).Si pone n stazioneo strumento elpuntoS di coordinateote vediFig.9.11)e si

misura 'allezza trumentale s. Poiché uttigl i angolisarannomisurati olo in unaposizione senza 'applicazioneella regoladi Bessel), necessario eterminareozenit trumentale imporre llostrumentoa suacorrezioneutomatica.Negli strumentiprowisti di doppio compensatore ccorre attivare a funzionedicorrezioneeglierrori i inclinazione,ollimazioneverticalità.i impostanonoltrevaloridella emperatura dellapressione tmosferican mododa correggere'errore irifrazione tmosfericaellamisura elledistanze. rmai uttigl istrumenti onodotatidiprogrammi articolari er il rilievo elerimetricoei qualisi prevedea creazione i unrecord er ognistazione; ll ' internoi questo engono efinitil nomedellastazione,l'allezza trumentale le suecoordinate.

Primadi iniziarel ril ievo ccorre efinirea direzione i orientamentoellastazione.Questa perazioneuòessere atta n duemodi.Quello iùutilizzato revedea collimazionei un secondo erticeT di coordinate ote(solitamente n verticedi inquadramento) I'imposizioneel valoredell'angolo idirezioneST)quale alore i ettura elcerchio zimutalevediFig.9.12).Dopo 'orientamentoella stazioneS sul puntonoto T (vediFig.9.12),misurerà irettamente'angolo i direzioneSP).

lo strumento

304

Fig.9.12 orientamentoella tazione




CapitoloRILIEVO IDETTAGLIO

Un secondomododi procedereonsiste el registrareemplicementel valoredelladirezione zimutaleelpuntoT di coordinateotee quindi i correggereoi n ufficiotutti valoridelledirezioni zimutalin mododa ricondurli gli angolidi direzione(ricordiamohe 'angoloormatora 'origineellagraduazionezimutale la direzionedell'asse elleY del sistema i riferimento,ettacorrezione zimutale i stazione,rappresentauesta orrezione si mantiene ostante er utta adurata elrilievo allastazione ).

Se l punto u cui si vuole arestazione onè notoe se da esso ono isibili lmenodue punti di coordinate ote, è possibile eterminarnee coordinatemedianteun'intersezionenversa Cassini Hansen) ppure, fruttandoa possibilità i misuraresenzaatica edistanze, edianten'intersezionenversa ista.Supponiamoi far stazione ul puntoS di coordinatencognite; a esso si sonocollimati puntiT e Q di coordinate otemisurandoe direzioni zimutali, l i angolizenitali ledistanzevediFigura .13).

Fig.9.13 schema i una ntersezionenversa

PerdeterminareecoordinatelanimetricheelpuntoS si procede elseguente odo.Del triangolo QS sononoti tre lati (i l latoTQ è noto n quantosi conosconoecoordinate ei puntiT e Q, mentre li altridue lati si sono misurati) I 'angolo ,anch'esso isurato.Con l teorema i Carnot i determinal valore el atoTQ derivantealleoperazionii

-misura: Q=,lTS2 QS' -2-TS QS cosa

Questo aloredovrà isultare guale a menodeglierroridi misura mmissibili)l ladistanza erivante allecoordinateotedi T e Q./ \

Con l teorema eisenicalcoliamo'anoolo : B= arcsirlOst' ' o

ì l . - rQ)e quindil valore ell 'angoloi direzioneTS)= (Ta)+ I

Infine alcoliamoecoordinateartesianeelpuntoS:X, = X, +TS's in(TSY,=Y, + 7S cos( 'S

305

Giuliano Comoglio - Topografia e Cartografia (2008)

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