017 il restauro

della scala

il ldquotemperinordquo

di js Bach

Nicola Chiriano Docente al liceo scientifico ldquol Sicilianirdquo di Catanzaro

sIaMo alla seConda puntata del nostro vIaggIo tra nuMerI e note In quella preCe-

dente desCrIvevaMo CoMe nonostante zarlIno fosse rIusCIto a ModIfICare la sCala

pItagorICa In Modo da renderla ldquoanCora pIugrave naturalerdquo persIstessero tuttavIa fortI

dIffIColtagrave pratIChe dI aCCordatura deglI struMentI MusICalI gtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgtgt

[MANOSCRITTO ORIGINAlE DE Il ClAVICEMBAlO BEN TEMPERATO IMMAGINE DI PuBBlICO DOMINIO]

018

Questo valore dal punto di vista matematico risol-ve tutti e cinque i problemi visti prima1 esistendo unico lrsquointervallo di semitono (12radic2) saragrave unico anche lrsquointervallo di tono (12radic22 = 6radic2) 2 il tono risulta cosigrave diviso in due semitoni uguali3 per come lrsquoabbiamo determinato questo rapporto fa sigrave siano equivalenti le coppie di note alterateDo = Re Re = Mi Fa = Sol Sol = la la = Si 4 il ciclo delle quinte si chiude dopo 12 passi pari a 7 ottave Infatti mentre con la pitagorica si ha

ne 27

con una quinta pari a sette semitoni

= k7 = 12radic27

si ha la chiusura esatta e definitiva

(12radic27)12 = 27

5 riguardo le sequenze di toni e semitoni scale che iniziano da note diverse non risultano piugrave differenti

Ecco come dai numeri razionali tanto cari a Pitago-ra e Zarlino si passa ldquomusicalmenterdquo ai numeri ldquosurdirdquo che non sono esprimibili come ratio rapporto fra-zione Sono appunto i numeri irrazionali

un ritocco in questo senso dei gradini della scala naturale appare almeno di buon senso chiunque in-ciamperebbe su una scala dai gradini diseguali Nel mondo fatto a scale della fine del XVI sec la ratio egrave perograve anchrsquoessa un gradino difficile da superare no-nostante i numeri ldquosurdirdquo fossero giagrave usati nella riso-luzione delle equazioni algebriche

[NICOlA ChIRIANO] Nicola Chiriano egrave docente di Matematica e Fisica al liceo scientifico ldquoSicilianirdquo di Catanzaro Si occupa di didattica e ICT egrave formatore in diversi corsi per docenti e studenti di vari ordini di scuola ha allrsquoattivo diverse collaborazioni con Ansas (e-tutor corsi Pon Tec) e Invalsi (piano di formazione Ocse-Pisa) egrave appassionato di matematica della musica e di musica della matematica

[PREMESSA]

[uNA SCAlA SENZA BARRIERE]

Ecco i problemi indotti dallrsquouso della scala naturale1 lrsquoambiguitagrave tra le due coppie di intervalli di tono (minore e maggiore) e di semi-tono (diatonico e cromatico)2 il tono non era diviso in due semitoni uguali3 le note alterate introdotte per completare la scala risultavano enarmoniche (ad es Do ne Re) ossia separate da un comma pitagorico (312219)4 il ciclo delle quinte non si chiudeva dopo 12 applicazioni ma generava una spirale5 non era possibile modulare la tonalitagrave senza stonature iniziando la scala da una nota diversa dal Do non si generavano sequenze equivalenti di toni e semitoni Ad esempio le seguenti quinte differiscono per un comma sintonico (8180)

= ne =

Si tratta di effetti generati da unrsquounica causa nella scala cromatica i semitoni tra una nota e la precedente non risultavano tutti e 12 uguali fra loro

Ostinarsi ad usare le frazioni portava ad un vicolo cieco la soluzione del problema egrave infatti esterna allrsquoinsieme Q dei numeri razionali Forse anche per questo neacute Pi-tagora neacute lo stesso Zarlino vi si cimentarono piugrave di tanto nonostante lrsquointuizione avuta da aristosseno di taranto giagrave nel IV sec aC

Richiedere infatti che i semitoni siano uguali

= = = = k

con k costante da determinare equivale a dire che

= k12

ovvero poicheacute i due Do distano fra loro unrsquoottava a

k12 = 2

e quindi per definizione di radice n-ma

k =12radic2 asymp 1059463 asymp 106

quinta giusta quinta calanteDo

Sol

Do

Sol

Do1

Do1

Do1

Do2

Si1

Do2

Do1

Re1

Re

la

2

3 2

3

27

40

12 quinte

12 quinte

7 ottave

7 ottave

12

019

Nel 1691 il musicista tedesco andreas Werckmeister (1645-1706) scoprigrave un temperamento composto da cinque quinte mesotoniche e sette quinte pitagori-che con cui riuscigrave a chiudere il ciclo delle quinte qua-si perfettamente

quinte mesotoniche

4radic5 = = = = quinte pitagoriche

= = = = = = =

ciclo di quinte

(4radic5)5 = 5 4radic5 asymp 12775 asymp 128 = 27

la piccola differenza tra i due valori che viene la-sciata nella quinta MiSol egrave detta schisma

Non si trattava pertanto di un temperamento equa-bile rigoroso steviniano poicheacute lrsquoottava non risul-tava divisa in parti uguali Si basava perograve su ben noti rapporti ldquogiustirdquo la quinta pitagorica (32) e la terza maggiore mesotonica (54) ed era quindi utilizzabile in pratica Fu indicato come temperamento buono o inequabile e gli strumenti accordati con tale tecnica si dissero di conseguenza ldquoben temperatirdquo In essi poicheacute differenti tra loro anche se di pochissimo le varie tonalitagrave assumevano caratteri tipici diversi

[TEMPERAMENTO PATERNO]

[Il COMPROMESSO (S)TONICO]

Fu cosigrave che un discepolo di Zarlino dal figlio famoso vincenzo galilei precursore della musica barocca propose di modificare la scala naturale adottando un semi-tono costante ma razionale pari a

asymp 1058823 asymp 12radic2 Vennero fuori con le tecniche di accordatura dellrsquoepoca strumenti fino a 31 tasti per ottava rendendo decisamente fallimentare questa scelta

la soluzione adottata da Galilei fu contestata ai primi del rsquo600 dal matematico simone stevino padre della polifonia fiamminga secondo cui lrsquounica scala esatta era quella con dodici scalini uguali prima descritta ossia il diagravetonon syntonon di Aristosseno che passograve alla storia come temperamento equabile

la scala di Stevino era a quei tempi impossibile da costruire in modo esatto come effettivo temperamento (accordatura ciclica) per lrsquoassenza di intervalli ldquogiustirdquo di riferimento la sua introduzione risolse tanti problemi ma ne aprigrave uno duplicebull lrsquoaccordatura ldquonaturalerdquo per quinte egrave comoda per i musicisti ma non permette di chiudere il ciclo e quindi non soddisfa i matematicibull la divisione ldquoequabilerdquo della scala egrave matematicamente possibile ma non soddisfa lrsquoorecchio fine degli accordatori nonostante i tanti vantaggi visti

un altro tentativo noto come temperamento mesotonico era stato proposto agli inizi del rsquo500 Si basava su un unico intervallo di tono pari a radic52 di modo che lrsquointervallo di terza risultasse ldquogiustordquo = = =

Inoltre mentre nella scala pitagorica il Mi si ottiene con quattro quinte dal Do di frequenza unitaria

Mi3 = (Sol1)4 = = asymp 5062 nella mesotonica esso ha un valore ldquozarlinianordquo

Mi3 = 5 essendo il 5deg armonico del Do1 da esso si ricava a ritroso la quinta che risulta un porsquo piugrave ldquostrettardquo

Sol1 = 4radic5 asymp 1495 lt

la soluzione mesotonica non ebbe fortuna percheacute pur essendo ldquomeno irraziona-lerdquo dellrsquoequabile usando radicali di indice 4 invece che 12 non eliminava le diffe-renze tra i due semitoni o tra le note alterate la spirale di quinte inoltre generava la ldquoquinta del lupordquo laDo stonata di circa un quarto di tono

2

3

16

81

17

18

Do

MiDo

Sol

2

3

Sol

Re

MiSi

la

Mi

Re

la

Si

Fa

Mi

Si

Si

Fa

Fa

Do

Do

Sol

Fa

DoDo

Re

Re

Mi

2

radic5

2

radic5

4

5

2

3 4

2

3 7

2

3 7

Percheacute proporre un temperamento basato sulla terza giusta lrsquoottava della scala naturale si ottie-ne da una quarta e una quinta giuste 43 32 = 2

ma a sua volta la quinta giusta si ottiene com-ponendo due terze una maggiore e una minore 54 65 = 32

Storicamente prima di passare alla scala equabile ldquoesattardquo ci fu il passaggio intermedio attraverso un compromesso tra i vari temperamenti

quarta

terzamaggiore

terzaminore

quintagiusta

quinta ottava

020

la scala temperata di Werckmeister fu molto ap-prezzata dai musicisti in particolare da Johann sebastian bach (1685-1750) che la utilizzograve nel suo ldquoClavicembalo ben temperatordquo una pietra miliare nel-la storia della musica croce e delizia degli studenti di pianoforte Quando al Conservatorio si scherza dicendo che Bach ldquoaveva un buon temperamentordquo o che scriveva buona musica percheacute ldquoaveva un buon temperinordquo ci si dimentica del fatto che fosse solo lrsquoutilizzatore finale della scoperta di un suo conterra-neo e che le matite in legno furono commercializza-te da Faber solo nellrsquo800

la svolta che Werckmeister diede alla musica tre secoli fa prima dellrsquoavvento definitivo del sistema equabile fu davvero epocale Sostituendo intervalli naturali matematicamente ldquogiustirdquo e piugrave piacevo-li allrsquoorecchio con intervalli impuri imprecisi e non costanti comunque basati sullrsquoirrazionalitagrave (dei nu-meri) in qualche modo ruppe il rapporto con le ar-monie delle sfere celesti celebrate da Pitagora egrave una svolta descritta magistralmente dal regista beacutela tarr in un suo film di qualche anno fa

Eszter uno dei protagonisti incolpa Werckmeister di aver corrotto lrsquoarmonia interiore dellrsquouniverso separando la musica dal divino se si vuole di nuovo lrsquoordine nel mondo bisogna abolire il suo sistema tonale alla base della musi-ca moderna dopo Bach Questa egrave la sua ossessione

Comrsquoegrave possibile suonare qualsiasi musica con il piano Tra due tasti bianchi ci sarebbe bisogno di due neri invece di uno solo egrave un trucco Il piano egrave uno strumento falso al contrario del violino Questo ldquonormale compromessordquo fa parte della cultura europea degli ultimi 300 anni

la reazione di Eszter egrave quella dei ldquopuritanirdquo coevi di Werckmeister quella furiosa degli dei verso Prometeo che dona il fuoco agli umani o quella dei pitagorici scon-volti dallrsquoincommensurabilitagrave della diagonale del quadrato rivelata da Ippaso di Metaponto Ma egrave la storia bellezza la musica (come i numeri su cui essa si basa) inizia ad assumere i contorni del continuo sua proprietagrave intrinseca ben piugrave che il discreto Intanto il temperamento ldquobuonordquo apre le porte a quello ldquoequabilerdquo vero e proprio

A sinistra Locandina de ldquoLe armonie di Werckmeisterrdquo (2000)

Sopra JS Bach

021

[METTIAMOlI DrsquoACCORDO]Data lrsquoimpossibilitagrave di una rappresentazione geometrica ldquocon riga e compassordquo di 12radic2 (gli abitanti di Delo ebbero seri problemi giagrave con 3radic2) il temperamento equabi-le pur essendo ldquolardquo soluzione a livello teorico non era perfettamente realizzabile in pratica la suddivisione esatta di una corda si puograve ottenere solo con numeri razionali o con radici quadrate Ecco percheacute forse si passograve attraverso il sistema mesotonico radic5 e 12radic2 sono entrambi radicali ossia irrazionali algebrici ma radic5 si puograve anche ldquodisegnarerdquo

Tra il rsquo600 e il rsquo700 alcuni autori come Mersenne rameau e drsquoalembert basando-si sulla teoria dei suoni armonici ben prima di von helmholtz diedero la giustifi-cazione scientifica della ldquonaturalitagraverdquo della scala di Pitagora e Zarlino

lrsquoalternanza di giudizi pro o contro il sistema equabile da parte di matematici o musicisti contograve anche il contributo di due ldquomostri sacrirdquo uno per parte Secondo leibniz (1709) per cui lrsquoestetica musicale egrave frutto di un inconsapevole esercizio aritmetico solo orecchi allenati potevano cogliere le ldquostonaturerdquo della scala equa-bile tartini (1754) invece bollograve il temperamento equabile come inaccettabile la maggioranza dei musicisti comunque continuograve a considerarne i vantaggi supe-riori agli svantaggi Il compromesso si rivelograve efficace e fu assorbito pian piano dalla sensibilitagrave musicale occidentale

Nel 1743 lo svedese straumlhle trovograve un sistema di accordatura per chitarra che ap-prossimava quasi alla perfezione il temperamento equabile ma tale tentativo fu stroncato a causa di un calcolo errato dal matematico faggot

Metodi sempre piugrave precisi per accordare uno strumento in modo equabile furono trovati verso la fine dellrsquo800 Bisogna perograve attendere fino al 1917 percheacute William braid White arrivi a sviluppare un metodo pratico per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso Oggi con lrsquoelettronica non si hanno piugrave certi problemi

Con uno strumento accordato in modo equabile si puograve facilmente modulare da una tonalitagrave ad unrsquoaltra ma ancora oggi alcuni strumenti sono accordati in modo naturale just intonation

Il violino viene accordato ad intervalli di quinta giusta le sue quattro corde emettono le note Sol2 - Re3 - la3 - Mi4

dove il Do3 egrave quello centrale del pianoforte Non avendo tasti ad intonazione fissata con il violino e con tutti gli strumenti a corda si possono emettere suoni di qualsiasi frequenza tra la piugrave bassa e la piugrave alta riproducibili (valori ldquocontinuirdquo e non ldquodiscretirdquo)

Non essendoci piugrave ldquopersonalitagraverdquo diverse tra le varie tonalitagrave ciascuna di esse ha dignitagrave pari alle altre Tale assenza di ldquogerarchierdquo tra le note egrave il fondamen-to della musica dodecafonica di arnold schoumlnberg (1874-1951) o della musica esatonale di Claude de-bussy (1862-1918) questrsquoultima basata su unrsquoottava suddivisa in sei toni uguali pari a 6radic2

[NON egrave SEMPRE lA SOlITA SOlFA]Chiudiamo con alcuni confronti numerici tra il tem-peramento equabile e quello naturale

Intervalli Come giagrave detto le distanze ldquoassoluterdquo tra le note non sembrano poi cosigrave abissali tra i due sistemi

Sistequabile vs Sist

naturale

Semitono

12radic2 asymp 1059

poco piugrave grande del

Semitono pitagorico

asymp 1053

Tono

6radic2 asymp 1122

poco piugrave piccolo del

Tono maggiore naturale

asymp 1125

Quinta

12radic27 asymp 1498

poco piugrave piccola

della

Quinta naturale

asymp 1500

243

256

8

9

2

3

022

[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

(Hz)

()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09

018

Questo valore dal punto di vista matematico risol-ve tutti e cinque i problemi visti prima1 esistendo unico lrsquointervallo di semitono (12radic2) saragrave unico anche lrsquointervallo di tono (12radic22 = 6radic2) 2 il tono risulta cosigrave diviso in due semitoni uguali3 per come lrsquoabbiamo determinato questo rapporto fa sigrave siano equivalenti le coppie di note alterateDo = Re Re = Mi Fa = Sol Sol = la la = Si 4 il ciclo delle quinte si chiude dopo 12 passi pari a 7 ottave Infatti mentre con la pitagorica si ha

ne 27

con una quinta pari a sette semitoni

= k7 = 12radic27

si ha la chiusura esatta e definitiva

(12radic27)12 = 27

5 riguardo le sequenze di toni e semitoni scale che iniziano da note diverse non risultano piugrave differenti

Ecco come dai numeri razionali tanto cari a Pitago-ra e Zarlino si passa ldquomusicalmenterdquo ai numeri ldquosurdirdquo che non sono esprimibili come ratio rapporto fra-zione Sono appunto i numeri irrazionali

un ritocco in questo senso dei gradini della scala naturale appare almeno di buon senso chiunque in-ciamperebbe su una scala dai gradini diseguali Nel mondo fatto a scale della fine del XVI sec la ratio egrave perograve anchrsquoessa un gradino difficile da superare no-nostante i numeri ldquosurdirdquo fossero giagrave usati nella riso-luzione delle equazioni algebriche

[NICOlA ChIRIANO] Nicola Chiriano egrave docente di Matematica e Fisica al liceo scientifico ldquoSicilianirdquo di Catanzaro Si occupa di didattica e ICT egrave formatore in diversi corsi per docenti e studenti di vari ordini di scuola ha allrsquoattivo diverse collaborazioni con Ansas (e-tutor corsi Pon Tec) e Invalsi (piano di formazione Ocse-Pisa) egrave appassionato di matematica della musica e di musica della matematica

[PREMESSA]

[uNA SCAlA SENZA BARRIERE]

Ecco i problemi indotti dallrsquouso della scala naturale1 lrsquoambiguitagrave tra le due coppie di intervalli di tono (minore e maggiore) e di semi-tono (diatonico e cromatico)2 il tono non era diviso in due semitoni uguali3 le note alterate introdotte per completare la scala risultavano enarmoniche (ad es Do ne Re) ossia separate da un comma pitagorico (312219)4 il ciclo delle quinte non si chiudeva dopo 12 applicazioni ma generava una spirale5 non era possibile modulare la tonalitagrave senza stonature iniziando la scala da una nota diversa dal Do non si generavano sequenze equivalenti di toni e semitoni Ad esempio le seguenti quinte differiscono per un comma sintonico (8180)

= ne =

Si tratta di effetti generati da unrsquounica causa nella scala cromatica i semitoni tra una nota e la precedente non risultavano tutti e 12 uguali fra loro

Ostinarsi ad usare le frazioni portava ad un vicolo cieco la soluzione del problema egrave infatti esterna allrsquoinsieme Q dei numeri razionali Forse anche per questo neacute Pi-tagora neacute lo stesso Zarlino vi si cimentarono piugrave di tanto nonostante lrsquointuizione avuta da aristosseno di taranto giagrave nel IV sec aC

Richiedere infatti che i semitoni siano uguali

= = = = k

con k costante da determinare equivale a dire che

= k12

ovvero poicheacute i due Do distano fra loro unrsquoottava a

k12 = 2

e quindi per definizione di radice n-ma

k =12radic2 asymp 1059463 asymp 106

quinta giusta quinta calanteDo

Sol

Do

Sol

Do1

Do1

Do1

Do2

Si1

Do2

Do1

Re1

Re

la

2

3 2

3

27

40

12 quinte

12 quinte

7 ottave

7 ottave

12

019

Nel 1691 il musicista tedesco andreas Werckmeister (1645-1706) scoprigrave un temperamento composto da cinque quinte mesotoniche e sette quinte pitagori-che con cui riuscigrave a chiudere il ciclo delle quinte qua-si perfettamente

quinte mesotoniche

4radic5 = = = = quinte pitagoriche

= = = = = = =

ciclo di quinte

(4radic5)5 = 5 4radic5 asymp 12775 asymp 128 = 27

la piccola differenza tra i due valori che viene la-sciata nella quinta MiSol egrave detta schisma

Non si trattava pertanto di un temperamento equa-bile rigoroso steviniano poicheacute lrsquoottava non risul-tava divisa in parti uguali Si basava perograve su ben noti rapporti ldquogiustirdquo la quinta pitagorica (32) e la terza maggiore mesotonica (54) ed era quindi utilizzabile in pratica Fu indicato come temperamento buono o inequabile e gli strumenti accordati con tale tecnica si dissero di conseguenza ldquoben temperatirdquo In essi poicheacute differenti tra loro anche se di pochissimo le varie tonalitagrave assumevano caratteri tipici diversi

[TEMPERAMENTO PATERNO]

[Il COMPROMESSO (S)TONICO]

Fu cosigrave che un discepolo di Zarlino dal figlio famoso vincenzo galilei precursore della musica barocca propose di modificare la scala naturale adottando un semi-tono costante ma razionale pari a

asymp 1058823 asymp 12radic2 Vennero fuori con le tecniche di accordatura dellrsquoepoca strumenti fino a 31 tasti per ottava rendendo decisamente fallimentare questa scelta

la soluzione adottata da Galilei fu contestata ai primi del rsquo600 dal matematico simone stevino padre della polifonia fiamminga secondo cui lrsquounica scala esatta era quella con dodici scalini uguali prima descritta ossia il diagravetonon syntonon di Aristosseno che passograve alla storia come temperamento equabile

la scala di Stevino era a quei tempi impossibile da costruire in modo esatto come effettivo temperamento (accordatura ciclica) per lrsquoassenza di intervalli ldquogiustirdquo di riferimento la sua introduzione risolse tanti problemi ma ne aprigrave uno duplicebull lrsquoaccordatura ldquonaturalerdquo per quinte egrave comoda per i musicisti ma non permette di chiudere il ciclo e quindi non soddisfa i matematicibull la divisione ldquoequabilerdquo della scala egrave matematicamente possibile ma non soddisfa lrsquoorecchio fine degli accordatori nonostante i tanti vantaggi visti

un altro tentativo noto come temperamento mesotonico era stato proposto agli inizi del rsquo500 Si basava su un unico intervallo di tono pari a radic52 di modo che lrsquointervallo di terza risultasse ldquogiustordquo = = =

Inoltre mentre nella scala pitagorica il Mi si ottiene con quattro quinte dal Do di frequenza unitaria

Mi3 = (Sol1)4 = = asymp 5062 nella mesotonica esso ha un valore ldquozarlinianordquo

Mi3 = 5 essendo il 5deg armonico del Do1 da esso si ricava a ritroso la quinta che risulta un porsquo piugrave ldquostrettardquo

Sol1 = 4radic5 asymp 1495 lt

la soluzione mesotonica non ebbe fortuna percheacute pur essendo ldquomeno irraziona-lerdquo dellrsquoequabile usando radicali di indice 4 invece che 12 non eliminava le diffe-renze tra i due semitoni o tra le note alterate la spirale di quinte inoltre generava la ldquoquinta del lupordquo laDo stonata di circa un quarto di tono

2

3

16

81

17

18

Do

MiDo

Sol

2

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2

radic5

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2

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3 7

2

3 7

Percheacute proporre un temperamento basato sulla terza giusta lrsquoottava della scala naturale si ottie-ne da una quarta e una quinta giuste 43 32 = 2

ma a sua volta la quinta giusta si ottiene com-ponendo due terze una maggiore e una minore 54 65 = 32

Storicamente prima di passare alla scala equabile ldquoesattardquo ci fu il passaggio intermedio attraverso un compromesso tra i vari temperamenti

quarta

terzamaggiore

terzaminore

quintagiusta

quinta ottava

020

la scala temperata di Werckmeister fu molto ap-prezzata dai musicisti in particolare da Johann sebastian bach (1685-1750) che la utilizzograve nel suo ldquoClavicembalo ben temperatordquo una pietra miliare nel-la storia della musica croce e delizia degli studenti di pianoforte Quando al Conservatorio si scherza dicendo che Bach ldquoaveva un buon temperamentordquo o che scriveva buona musica percheacute ldquoaveva un buon temperinordquo ci si dimentica del fatto che fosse solo lrsquoutilizzatore finale della scoperta di un suo conterra-neo e che le matite in legno furono commercializza-te da Faber solo nellrsquo800

la svolta che Werckmeister diede alla musica tre secoli fa prima dellrsquoavvento definitivo del sistema equabile fu davvero epocale Sostituendo intervalli naturali matematicamente ldquogiustirdquo e piugrave piacevo-li allrsquoorecchio con intervalli impuri imprecisi e non costanti comunque basati sullrsquoirrazionalitagrave (dei nu-meri) in qualche modo ruppe il rapporto con le ar-monie delle sfere celesti celebrate da Pitagora egrave una svolta descritta magistralmente dal regista beacutela tarr in un suo film di qualche anno fa

Eszter uno dei protagonisti incolpa Werckmeister di aver corrotto lrsquoarmonia interiore dellrsquouniverso separando la musica dal divino se si vuole di nuovo lrsquoordine nel mondo bisogna abolire il suo sistema tonale alla base della musi-ca moderna dopo Bach Questa egrave la sua ossessione

Comrsquoegrave possibile suonare qualsiasi musica con il piano Tra due tasti bianchi ci sarebbe bisogno di due neri invece di uno solo egrave un trucco Il piano egrave uno strumento falso al contrario del violino Questo ldquonormale compromessordquo fa parte della cultura europea degli ultimi 300 anni

la reazione di Eszter egrave quella dei ldquopuritanirdquo coevi di Werckmeister quella furiosa degli dei verso Prometeo che dona il fuoco agli umani o quella dei pitagorici scon-volti dallrsquoincommensurabilitagrave della diagonale del quadrato rivelata da Ippaso di Metaponto Ma egrave la storia bellezza la musica (come i numeri su cui essa si basa) inizia ad assumere i contorni del continuo sua proprietagrave intrinseca ben piugrave che il discreto Intanto il temperamento ldquobuonordquo apre le porte a quello ldquoequabilerdquo vero e proprio

A sinistra Locandina de ldquoLe armonie di Werckmeisterrdquo (2000)

Sopra JS Bach

021

[METTIAMOlI DrsquoACCORDO]Data lrsquoimpossibilitagrave di una rappresentazione geometrica ldquocon riga e compassordquo di 12radic2 (gli abitanti di Delo ebbero seri problemi giagrave con 3radic2) il temperamento equabi-le pur essendo ldquolardquo soluzione a livello teorico non era perfettamente realizzabile in pratica la suddivisione esatta di una corda si puograve ottenere solo con numeri razionali o con radici quadrate Ecco percheacute forse si passograve attraverso il sistema mesotonico radic5 e 12radic2 sono entrambi radicali ossia irrazionali algebrici ma radic5 si puograve anche ldquodisegnarerdquo

Tra il rsquo600 e il rsquo700 alcuni autori come Mersenne rameau e drsquoalembert basando-si sulla teoria dei suoni armonici ben prima di von helmholtz diedero la giustifi-cazione scientifica della ldquonaturalitagraverdquo della scala di Pitagora e Zarlino

lrsquoalternanza di giudizi pro o contro il sistema equabile da parte di matematici o musicisti contograve anche il contributo di due ldquomostri sacrirdquo uno per parte Secondo leibniz (1709) per cui lrsquoestetica musicale egrave frutto di un inconsapevole esercizio aritmetico solo orecchi allenati potevano cogliere le ldquostonaturerdquo della scala equa-bile tartini (1754) invece bollograve il temperamento equabile come inaccettabile la maggioranza dei musicisti comunque continuograve a considerarne i vantaggi supe-riori agli svantaggi Il compromesso si rivelograve efficace e fu assorbito pian piano dalla sensibilitagrave musicale occidentale

Nel 1743 lo svedese straumlhle trovograve un sistema di accordatura per chitarra che ap-prossimava quasi alla perfezione il temperamento equabile ma tale tentativo fu stroncato a causa di un calcolo errato dal matematico faggot

Metodi sempre piugrave precisi per accordare uno strumento in modo equabile furono trovati verso la fine dellrsquo800 Bisogna perograve attendere fino al 1917 percheacute William braid White arrivi a sviluppare un metodo pratico per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso Oggi con lrsquoelettronica non si hanno piugrave certi problemi

Con uno strumento accordato in modo equabile si puograve facilmente modulare da una tonalitagrave ad unrsquoaltra ma ancora oggi alcuni strumenti sono accordati in modo naturale just intonation

Il violino viene accordato ad intervalli di quinta giusta le sue quattro corde emettono le note Sol2 - Re3 - la3 - Mi4

dove il Do3 egrave quello centrale del pianoforte Non avendo tasti ad intonazione fissata con il violino e con tutti gli strumenti a corda si possono emettere suoni di qualsiasi frequenza tra la piugrave bassa e la piugrave alta riproducibili (valori ldquocontinuirdquo e non ldquodiscretirdquo)

Non essendoci piugrave ldquopersonalitagraverdquo diverse tra le varie tonalitagrave ciascuna di esse ha dignitagrave pari alle altre Tale assenza di ldquogerarchierdquo tra le note egrave il fondamen-to della musica dodecafonica di arnold schoumlnberg (1874-1951) o della musica esatonale di Claude de-bussy (1862-1918) questrsquoultima basata su unrsquoottava suddivisa in sei toni uguali pari a 6radic2

[NON egrave SEMPRE lA SOlITA SOlFA]Chiudiamo con alcuni confronti numerici tra il tem-peramento equabile e quello naturale

Intervalli Come giagrave detto le distanze ldquoassoluterdquo tra le note non sembrano poi cosigrave abissali tra i due sistemi

Sistequabile vs Sist

naturale

Semitono

12radic2 asymp 1059

poco piugrave grande del

Semitono pitagorico

asymp 1053

Tono

6radic2 asymp 1122

poco piugrave piccolo del

Tono maggiore naturale

asymp 1125

Quinta

12radic27 asymp 1498

poco piugrave piccola

della

Quinta naturale

asymp 1500

243

256

8

9

2

3

022

[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

(Hz)

()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09

019

Nel 1691 il musicista tedesco andreas Werckmeister (1645-1706) scoprigrave un temperamento composto da cinque quinte mesotoniche e sette quinte pitagori-che con cui riuscigrave a chiudere il ciclo delle quinte qua-si perfettamente

quinte mesotoniche

4radic5 = = = = quinte pitagoriche

= = = = = = =

ciclo di quinte

(4radic5)5 = 5 4radic5 asymp 12775 asymp 128 = 27

la piccola differenza tra i due valori che viene la-sciata nella quinta MiSol egrave detta schisma

Non si trattava pertanto di un temperamento equa-bile rigoroso steviniano poicheacute lrsquoottava non risul-tava divisa in parti uguali Si basava perograve su ben noti rapporti ldquogiustirdquo la quinta pitagorica (32) e la terza maggiore mesotonica (54) ed era quindi utilizzabile in pratica Fu indicato come temperamento buono o inequabile e gli strumenti accordati con tale tecnica si dissero di conseguenza ldquoben temperatirdquo In essi poicheacute differenti tra loro anche se di pochissimo le varie tonalitagrave assumevano caratteri tipici diversi

[TEMPERAMENTO PATERNO]

[Il COMPROMESSO (S)TONICO]

Fu cosigrave che un discepolo di Zarlino dal figlio famoso vincenzo galilei precursore della musica barocca propose di modificare la scala naturale adottando un semi-tono costante ma razionale pari a

asymp 1058823 asymp 12radic2 Vennero fuori con le tecniche di accordatura dellrsquoepoca strumenti fino a 31 tasti per ottava rendendo decisamente fallimentare questa scelta

la soluzione adottata da Galilei fu contestata ai primi del rsquo600 dal matematico simone stevino padre della polifonia fiamminga secondo cui lrsquounica scala esatta era quella con dodici scalini uguali prima descritta ossia il diagravetonon syntonon di Aristosseno che passograve alla storia come temperamento equabile

la scala di Stevino era a quei tempi impossibile da costruire in modo esatto come effettivo temperamento (accordatura ciclica) per lrsquoassenza di intervalli ldquogiustirdquo di riferimento la sua introduzione risolse tanti problemi ma ne aprigrave uno duplicebull lrsquoaccordatura ldquonaturalerdquo per quinte egrave comoda per i musicisti ma non permette di chiudere il ciclo e quindi non soddisfa i matematicibull la divisione ldquoequabilerdquo della scala egrave matematicamente possibile ma non soddisfa lrsquoorecchio fine degli accordatori nonostante i tanti vantaggi visti

un altro tentativo noto come temperamento mesotonico era stato proposto agli inizi del rsquo500 Si basava su un unico intervallo di tono pari a radic52 di modo che lrsquointervallo di terza risultasse ldquogiustordquo = = =

Inoltre mentre nella scala pitagorica il Mi si ottiene con quattro quinte dal Do di frequenza unitaria

Mi3 = (Sol1)4 = = asymp 5062 nella mesotonica esso ha un valore ldquozarlinianordquo

Mi3 = 5 essendo il 5deg armonico del Do1 da esso si ricava a ritroso la quinta che risulta un porsquo piugrave ldquostrettardquo

Sol1 = 4radic5 asymp 1495 lt

la soluzione mesotonica non ebbe fortuna percheacute pur essendo ldquomeno irraziona-lerdquo dellrsquoequabile usando radicali di indice 4 invece che 12 non eliminava le diffe-renze tra i due semitoni o tra le note alterate la spirale di quinte inoltre generava la ldquoquinta del lupordquo laDo stonata di circa un quarto di tono

2

3

16

81

17

18

Do

MiDo

Sol

2

3

Sol

Re

MiSi

la

Mi

Re

la

Si

Fa

Mi

Si

Si

Fa

Fa

Do

Do

Sol

Fa

DoDo

Re

Re

Mi

2

radic5

2

radic5

4

5

2

3 4

2

3 7

2

3 7

Percheacute proporre un temperamento basato sulla terza giusta lrsquoottava della scala naturale si ottie-ne da una quarta e una quinta giuste 43 32 = 2

ma a sua volta la quinta giusta si ottiene com-ponendo due terze una maggiore e una minore 54 65 = 32

Storicamente prima di passare alla scala equabile ldquoesattardquo ci fu il passaggio intermedio attraverso un compromesso tra i vari temperamenti

quarta

terzamaggiore

terzaminore

quintagiusta

quinta ottava

020

la scala temperata di Werckmeister fu molto ap-prezzata dai musicisti in particolare da Johann sebastian bach (1685-1750) che la utilizzograve nel suo ldquoClavicembalo ben temperatordquo una pietra miliare nel-la storia della musica croce e delizia degli studenti di pianoforte Quando al Conservatorio si scherza dicendo che Bach ldquoaveva un buon temperamentordquo o che scriveva buona musica percheacute ldquoaveva un buon temperinordquo ci si dimentica del fatto che fosse solo lrsquoutilizzatore finale della scoperta di un suo conterra-neo e che le matite in legno furono commercializza-te da Faber solo nellrsquo800

la svolta che Werckmeister diede alla musica tre secoli fa prima dellrsquoavvento definitivo del sistema equabile fu davvero epocale Sostituendo intervalli naturali matematicamente ldquogiustirdquo e piugrave piacevo-li allrsquoorecchio con intervalli impuri imprecisi e non costanti comunque basati sullrsquoirrazionalitagrave (dei nu-meri) in qualche modo ruppe il rapporto con le ar-monie delle sfere celesti celebrate da Pitagora egrave una svolta descritta magistralmente dal regista beacutela tarr in un suo film di qualche anno fa

Eszter uno dei protagonisti incolpa Werckmeister di aver corrotto lrsquoarmonia interiore dellrsquouniverso separando la musica dal divino se si vuole di nuovo lrsquoordine nel mondo bisogna abolire il suo sistema tonale alla base della musi-ca moderna dopo Bach Questa egrave la sua ossessione

Comrsquoegrave possibile suonare qualsiasi musica con il piano Tra due tasti bianchi ci sarebbe bisogno di due neri invece di uno solo egrave un trucco Il piano egrave uno strumento falso al contrario del violino Questo ldquonormale compromessordquo fa parte della cultura europea degli ultimi 300 anni

la reazione di Eszter egrave quella dei ldquopuritanirdquo coevi di Werckmeister quella furiosa degli dei verso Prometeo che dona il fuoco agli umani o quella dei pitagorici scon-volti dallrsquoincommensurabilitagrave della diagonale del quadrato rivelata da Ippaso di Metaponto Ma egrave la storia bellezza la musica (come i numeri su cui essa si basa) inizia ad assumere i contorni del continuo sua proprietagrave intrinseca ben piugrave che il discreto Intanto il temperamento ldquobuonordquo apre le porte a quello ldquoequabilerdquo vero e proprio

A sinistra Locandina de ldquoLe armonie di Werckmeisterrdquo (2000)

Sopra JS Bach

021

[METTIAMOlI DrsquoACCORDO]Data lrsquoimpossibilitagrave di una rappresentazione geometrica ldquocon riga e compassordquo di 12radic2 (gli abitanti di Delo ebbero seri problemi giagrave con 3radic2) il temperamento equabi-le pur essendo ldquolardquo soluzione a livello teorico non era perfettamente realizzabile in pratica la suddivisione esatta di una corda si puograve ottenere solo con numeri razionali o con radici quadrate Ecco percheacute forse si passograve attraverso il sistema mesotonico radic5 e 12radic2 sono entrambi radicali ossia irrazionali algebrici ma radic5 si puograve anche ldquodisegnarerdquo

Tra il rsquo600 e il rsquo700 alcuni autori come Mersenne rameau e drsquoalembert basando-si sulla teoria dei suoni armonici ben prima di von helmholtz diedero la giustifi-cazione scientifica della ldquonaturalitagraverdquo della scala di Pitagora e Zarlino

lrsquoalternanza di giudizi pro o contro il sistema equabile da parte di matematici o musicisti contograve anche il contributo di due ldquomostri sacrirdquo uno per parte Secondo leibniz (1709) per cui lrsquoestetica musicale egrave frutto di un inconsapevole esercizio aritmetico solo orecchi allenati potevano cogliere le ldquostonaturerdquo della scala equa-bile tartini (1754) invece bollograve il temperamento equabile come inaccettabile la maggioranza dei musicisti comunque continuograve a considerarne i vantaggi supe-riori agli svantaggi Il compromesso si rivelograve efficace e fu assorbito pian piano dalla sensibilitagrave musicale occidentale

Nel 1743 lo svedese straumlhle trovograve un sistema di accordatura per chitarra che ap-prossimava quasi alla perfezione il temperamento equabile ma tale tentativo fu stroncato a causa di un calcolo errato dal matematico faggot

Metodi sempre piugrave precisi per accordare uno strumento in modo equabile furono trovati verso la fine dellrsquo800 Bisogna perograve attendere fino al 1917 percheacute William braid White arrivi a sviluppare un metodo pratico per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso Oggi con lrsquoelettronica non si hanno piugrave certi problemi

Con uno strumento accordato in modo equabile si puograve facilmente modulare da una tonalitagrave ad unrsquoaltra ma ancora oggi alcuni strumenti sono accordati in modo naturale just intonation

Il violino viene accordato ad intervalli di quinta giusta le sue quattro corde emettono le note Sol2 - Re3 - la3 - Mi4

dove il Do3 egrave quello centrale del pianoforte Non avendo tasti ad intonazione fissata con il violino e con tutti gli strumenti a corda si possono emettere suoni di qualsiasi frequenza tra la piugrave bassa e la piugrave alta riproducibili (valori ldquocontinuirdquo e non ldquodiscretirdquo)

Non essendoci piugrave ldquopersonalitagraverdquo diverse tra le varie tonalitagrave ciascuna di esse ha dignitagrave pari alle altre Tale assenza di ldquogerarchierdquo tra le note egrave il fondamen-to della musica dodecafonica di arnold schoumlnberg (1874-1951) o della musica esatonale di Claude de-bussy (1862-1918) questrsquoultima basata su unrsquoottava suddivisa in sei toni uguali pari a 6radic2

[NON egrave SEMPRE lA SOlITA SOlFA]Chiudiamo con alcuni confronti numerici tra il tem-peramento equabile e quello naturale

Intervalli Come giagrave detto le distanze ldquoassoluterdquo tra le note non sembrano poi cosigrave abissali tra i due sistemi

Sistequabile vs Sist

naturale

Semitono

12radic2 asymp 1059

poco piugrave grande del

Semitono pitagorico

asymp 1053

Tono

6radic2 asymp 1122

poco piugrave piccolo del

Tono maggiore naturale

asymp 1125

Quinta

12radic27 asymp 1498

poco piugrave piccola

della

Quinta naturale

asymp 1500

243

256

8

9

2

3

022

[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

(Hz)

()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09

020

la scala temperata di Werckmeister fu molto ap-prezzata dai musicisti in particolare da Johann sebastian bach (1685-1750) che la utilizzograve nel suo ldquoClavicembalo ben temperatordquo una pietra miliare nel-la storia della musica croce e delizia degli studenti di pianoforte Quando al Conservatorio si scherza dicendo che Bach ldquoaveva un buon temperamentordquo o che scriveva buona musica percheacute ldquoaveva un buon temperinordquo ci si dimentica del fatto che fosse solo lrsquoutilizzatore finale della scoperta di un suo conterra-neo e che le matite in legno furono commercializza-te da Faber solo nellrsquo800

la svolta che Werckmeister diede alla musica tre secoli fa prima dellrsquoavvento definitivo del sistema equabile fu davvero epocale Sostituendo intervalli naturali matematicamente ldquogiustirdquo e piugrave piacevo-li allrsquoorecchio con intervalli impuri imprecisi e non costanti comunque basati sullrsquoirrazionalitagrave (dei nu-meri) in qualche modo ruppe il rapporto con le ar-monie delle sfere celesti celebrate da Pitagora egrave una svolta descritta magistralmente dal regista beacutela tarr in un suo film di qualche anno fa

Eszter uno dei protagonisti incolpa Werckmeister di aver corrotto lrsquoarmonia interiore dellrsquouniverso separando la musica dal divino se si vuole di nuovo lrsquoordine nel mondo bisogna abolire il suo sistema tonale alla base della musi-ca moderna dopo Bach Questa egrave la sua ossessione

Comrsquoegrave possibile suonare qualsiasi musica con il piano Tra due tasti bianchi ci sarebbe bisogno di due neri invece di uno solo egrave un trucco Il piano egrave uno strumento falso al contrario del violino Questo ldquonormale compromessordquo fa parte della cultura europea degli ultimi 300 anni

la reazione di Eszter egrave quella dei ldquopuritanirdquo coevi di Werckmeister quella furiosa degli dei verso Prometeo che dona il fuoco agli umani o quella dei pitagorici scon-volti dallrsquoincommensurabilitagrave della diagonale del quadrato rivelata da Ippaso di Metaponto Ma egrave la storia bellezza la musica (come i numeri su cui essa si basa) inizia ad assumere i contorni del continuo sua proprietagrave intrinseca ben piugrave che il discreto Intanto il temperamento ldquobuonordquo apre le porte a quello ldquoequabilerdquo vero e proprio

A sinistra Locandina de ldquoLe armonie di Werckmeisterrdquo (2000)

Sopra JS Bach

021

[METTIAMOlI DrsquoACCORDO]Data lrsquoimpossibilitagrave di una rappresentazione geometrica ldquocon riga e compassordquo di 12radic2 (gli abitanti di Delo ebbero seri problemi giagrave con 3radic2) il temperamento equabi-le pur essendo ldquolardquo soluzione a livello teorico non era perfettamente realizzabile in pratica la suddivisione esatta di una corda si puograve ottenere solo con numeri razionali o con radici quadrate Ecco percheacute forse si passograve attraverso il sistema mesotonico radic5 e 12radic2 sono entrambi radicali ossia irrazionali algebrici ma radic5 si puograve anche ldquodisegnarerdquo

Tra il rsquo600 e il rsquo700 alcuni autori come Mersenne rameau e drsquoalembert basando-si sulla teoria dei suoni armonici ben prima di von helmholtz diedero la giustifi-cazione scientifica della ldquonaturalitagraverdquo della scala di Pitagora e Zarlino

lrsquoalternanza di giudizi pro o contro il sistema equabile da parte di matematici o musicisti contograve anche il contributo di due ldquomostri sacrirdquo uno per parte Secondo leibniz (1709) per cui lrsquoestetica musicale egrave frutto di un inconsapevole esercizio aritmetico solo orecchi allenati potevano cogliere le ldquostonaturerdquo della scala equa-bile tartini (1754) invece bollograve il temperamento equabile come inaccettabile la maggioranza dei musicisti comunque continuograve a considerarne i vantaggi supe-riori agli svantaggi Il compromesso si rivelograve efficace e fu assorbito pian piano dalla sensibilitagrave musicale occidentale

Nel 1743 lo svedese straumlhle trovograve un sistema di accordatura per chitarra che ap-prossimava quasi alla perfezione il temperamento equabile ma tale tentativo fu stroncato a causa di un calcolo errato dal matematico faggot

Metodi sempre piugrave precisi per accordare uno strumento in modo equabile furono trovati verso la fine dellrsquo800 Bisogna perograve attendere fino al 1917 percheacute William braid White arrivi a sviluppare un metodo pratico per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso Oggi con lrsquoelettronica non si hanno piugrave certi problemi

Con uno strumento accordato in modo equabile si puograve facilmente modulare da una tonalitagrave ad unrsquoaltra ma ancora oggi alcuni strumenti sono accordati in modo naturale just intonation

Il violino viene accordato ad intervalli di quinta giusta le sue quattro corde emettono le note Sol2 - Re3 - la3 - Mi4

dove il Do3 egrave quello centrale del pianoforte Non avendo tasti ad intonazione fissata con il violino e con tutti gli strumenti a corda si possono emettere suoni di qualsiasi frequenza tra la piugrave bassa e la piugrave alta riproducibili (valori ldquocontinuirdquo e non ldquodiscretirdquo)

Non essendoci piugrave ldquopersonalitagraverdquo diverse tra le varie tonalitagrave ciascuna di esse ha dignitagrave pari alle altre Tale assenza di ldquogerarchierdquo tra le note egrave il fondamen-to della musica dodecafonica di arnold schoumlnberg (1874-1951) o della musica esatonale di Claude de-bussy (1862-1918) questrsquoultima basata su unrsquoottava suddivisa in sei toni uguali pari a 6radic2

[NON egrave SEMPRE lA SOlITA SOlFA]Chiudiamo con alcuni confronti numerici tra il tem-peramento equabile e quello naturale

Intervalli Come giagrave detto le distanze ldquoassoluterdquo tra le note non sembrano poi cosigrave abissali tra i due sistemi

Sistequabile vs Sist

naturale

Semitono

12radic2 asymp 1059

poco piugrave grande del

Semitono pitagorico

asymp 1053

Tono

6radic2 asymp 1122

poco piugrave piccolo del

Tono maggiore naturale

asymp 1125

Quinta

12radic27 asymp 1498

poco piugrave piccola

della

Quinta naturale

asymp 1500

243

256

8

9

2

3

022

[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

(Hz)

()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09

021

[METTIAMOlI DrsquoACCORDO]Data lrsquoimpossibilitagrave di una rappresentazione geometrica ldquocon riga e compassordquo di 12radic2 (gli abitanti di Delo ebbero seri problemi giagrave con 3radic2) il temperamento equabi-le pur essendo ldquolardquo soluzione a livello teorico non era perfettamente realizzabile in pratica la suddivisione esatta di una corda si puograve ottenere solo con numeri razionali o con radici quadrate Ecco percheacute forse si passograve attraverso il sistema mesotonico radic5 e 12radic2 sono entrambi radicali ossia irrazionali algebrici ma radic5 si puograve anche ldquodisegnarerdquo

Tra il rsquo600 e il rsquo700 alcuni autori come Mersenne rameau e drsquoalembert basando-si sulla teoria dei suoni armonici ben prima di von helmholtz diedero la giustifi-cazione scientifica della ldquonaturalitagraverdquo della scala di Pitagora e Zarlino

lrsquoalternanza di giudizi pro o contro il sistema equabile da parte di matematici o musicisti contograve anche il contributo di due ldquomostri sacrirdquo uno per parte Secondo leibniz (1709) per cui lrsquoestetica musicale egrave frutto di un inconsapevole esercizio aritmetico solo orecchi allenati potevano cogliere le ldquostonaturerdquo della scala equa-bile tartini (1754) invece bollograve il temperamento equabile come inaccettabile la maggioranza dei musicisti comunque continuograve a considerarne i vantaggi supe-riori agli svantaggi Il compromesso si rivelograve efficace e fu assorbito pian piano dalla sensibilitagrave musicale occidentale

Nel 1743 lo svedese straumlhle trovograve un sistema di accordatura per chitarra che ap-prossimava quasi alla perfezione il temperamento equabile ma tale tentativo fu stroncato a causa di un calcolo errato dal matematico faggot

Metodi sempre piugrave precisi per accordare uno strumento in modo equabile furono trovati verso la fine dellrsquo800 Bisogna perograve attendere fino al 1917 percheacute William braid White arrivi a sviluppare un metodo pratico per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso Oggi con lrsquoelettronica non si hanno piugrave certi problemi

Con uno strumento accordato in modo equabile si puograve facilmente modulare da una tonalitagrave ad unrsquoaltra ma ancora oggi alcuni strumenti sono accordati in modo naturale just intonation

Il violino viene accordato ad intervalli di quinta giusta le sue quattro corde emettono le note Sol2 - Re3 - la3 - Mi4

dove il Do3 egrave quello centrale del pianoforte Non avendo tasti ad intonazione fissata con il violino e con tutti gli strumenti a corda si possono emettere suoni di qualsiasi frequenza tra la piugrave bassa e la piugrave alta riproducibili (valori ldquocontinuirdquo e non ldquodiscretirdquo)

Non essendoci piugrave ldquopersonalitagraverdquo diverse tra le varie tonalitagrave ciascuna di esse ha dignitagrave pari alle altre Tale assenza di ldquogerarchierdquo tra le note egrave il fondamen-to della musica dodecafonica di arnold schoumlnberg (1874-1951) o della musica esatonale di Claude de-bussy (1862-1918) questrsquoultima basata su unrsquoottava suddivisa in sei toni uguali pari a 6radic2

[NON egrave SEMPRE lA SOlITA SOlFA]Chiudiamo con alcuni confronti numerici tra il tem-peramento equabile e quello naturale

Intervalli Come giagrave detto le distanze ldquoassoluterdquo tra le note non sembrano poi cosigrave abissali tra i due sistemi

Sistequabile vs Sist

naturale

Semitono

12radic2 asymp 1059

poco piugrave grande del

Semitono pitagorico

asymp 1053

Tono

6radic2 asymp 1122

poco piugrave piccolo del

Tono maggiore naturale

asymp 1125

Quinta

12radic27 asymp 1498

poco piugrave piccola

della

Quinta naturale

asymp 1500

243

256

8

9

2

3

022

[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

(Hz)

()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09

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[BIBlIOGRAFIA E SITOGRAFIA]bull N Chiriano Pitagora e la musica alice amp bob n15 dicembre 2009bull A Frova Fisica nella Musica Zanichelli Bologna 1999bull P Odifreddi penna pennello e bacchetta laterza Bari 2005bull L Berio T Regge F Tibone Vicino alla musica (cd-rom) Zanichelli Bolognabull M Degiovanni et al Matematica per la vita Fonda-zione Achille e Giulia Borioli Milano 2009bull P Italia Musica e matematica In nuova umanitagrave XXVI n 152 (20042)bull W Maraschini Sette note e infiniti numeri Su wwwtreccaniitbull FOR Laboratorio di Matematica e Musica Su httpforindireitbull wwwwikipediaorg Portale Musica )

[RIFlESSIONE FINAlE]I detrattori della scuola italiana la definiscono a volte ldquoda Medio Evordquo Ma in quellrsquoepoca in realtagrave si studiavano le arti liberali del trivio (Grammatica Retorica e Dialettica) e del quadrivio (Aritmetica Geometria Astronomia e Musica) Senza basi culturali comuni matematici e musicisti del Rinascimento non avrebbero mai dato il la alla musica moderna Per non parlare delle scuole dellrsquoantichitagrave clas-sica come quella pitagorica una scuola che non preveda lo studio della Musica come disciplina scientifica oltre che artistica sarebbe forse da definire piugrave pro-priamente preistorica

Note Passiamo alle differenze (e ai rapporti) tra le frequenze delle note tra i due sistemi Scegliendo in entrambi la3 = 440 hz cosa accade alla solfa

ldquobattere la solfardquo = solfeggiare leggere le note (come Sol e Fa) di uno spar-tito scandendone il tempo con la mano = ripetere una cosa fino alla noia ldquoSolfardquo egrave per estensione un qualsiasi insieme di note musicali come ad es una scala

In effetti eccezioni a parte non sembrerebbe che le frequenze varino poi cosigrave tanto tra i due sistemi

Comrsquoegrave che allora esse ci suonano tanto ldquostonaterdquo tra loro da non sembrare della stessa solfa Il fatto egrave che le orecchie non contano come le dita conosceremo il loro sistema numerico alla prossima puntata

Sopra Ritratto di Arnold Schoumlnberg realizzato da Richard Gerstl

(1883-1908) - particolare Immagine di pubblico dominio

Naturale Equabile Equ vs Nat

Nota Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

Freq (Hz)

Nota Do

(Hz)

Nota prec

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()

Do 3 2640 100 - - 2616 100 - - -24 09 Do 2750 104 110 104 22 -08 Reb 2851 108 101 104

2772 106 156 106 -79 28

Re 2970 113 119 104 2937 112 165 106 -33 11 Re 3094 117 124 104 18 -06 Mib 3168 120 74 102

3111 119 175 106 -57 18

Mi 3300 125 132 104 3296 126 185 106 -04 01 Fa 3520 133 220 107 3492 133 196 106 -28 08

Fa 3667 139 147 104 33 -09

Solb 3802 144 135 104 3700 141 208 106 -102 27

Sol 3960 150 158 104 3920 150 220 106 -40 10 Sol 4125 156 165 104 28 -07 Lab 4224 160 99 102

4153 159 233 106 -71 17

La 3 4400 167 176 104 4400 168 247 106 - - La 4583 174 183 104 78 -17 Sib 4752 180 169 104

4662 178 262 106 -90 19

Si 4950 188 198 104 4939 189 277 106 -11 02 Do 4 5280 200 330 107 5233 200 294 106 -47 09