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Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile ‐ Architettura

Geotecnica e Laboratorio

Teoria della consolidazione monodimensionaleTeoria della consolida ione monodimensionale

Prof Ing Marco FavarettiProf. Ing. Marco Favarettie‐mail: [email protected]

b i f iwebsite: www.marcofavaretti.net

1

Che cos’é la consolidazione?Quando un’argilla satura è soggetta ad un carico esterno

p.c.L’acqua viene espulsa dallo strato argilloso. La durata del fenomeno

Argilla satura

dipende dalla permeabilità del terreno e dallo spessore dello strato. Il fenomeno può durare da pochi p pgiorni a molti anni.

men

tocedi

tempo2

Consolidazione nei terreni granularinto

cedimen

tempo

A causa della elevata permeabilità delle terre granulari (ghiaie e sabbie) la dissipazione dell’eccesso di pressione neutrale causata dal carico esterno avviene pressoché istantaneamenteavviene pressoché istantaneamente.

Anche il cedimento dello strato granulare avviene immediatamente dopo l’applicazione del carico.l applicazione del carico.

3

Durante la consolidazione …

A causa del carico q (uniforme e infinitamente esteso), applicato sul piano campagna, le tensioni totali, neutrali ed efficaci su un generico punto A variano nel tempo

q (kPa)

tempo.

u

p.c.

u

’

A

Argilla satura’ q

’

u

I di t t d l’ li i d l i t l i tImmediatamente dopo l’applicazione del carico esterno q, la pressione neutra u aumenta di un valore pari a q. La tensione efficace ’ inizialmente non varia. Nel corso del processo di consolidazione si assiste ad un graduale trasferimento del carico esterno q dalla fase liquida (u) alla fase solida (’). Al termine della consolidazione l’eccesso di pressione neutrale u sarà completamente annullato.4

Consolidazione monodimensionale

Il drenaggio dell’acqua e le deformazioni si sviluppano esclusivamente lungo la direzione verticale.

Non sono considerati fenomeni di filtrazione e di deformazione in orizzontale.

p c

q (kPa)

p.c.

Acqua espulsa

Argilla satura

La semplificazione è accettabile quanto più

il carico è esteso i ll H

q p

rispetto allo spessore H dello strato argilloso

5

Consolidazione monodimensionalee

eo

00 e1

eHH

1

o

1

q kPa

Tempo = 0+ Tempo =

p.c.

p.c.

q kPaH

Argilla saturaArgilla sat ra

Ho

Argilla satura

e = eo e = eo ‐ e

tempo = 0+ tempo = 6

Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi

carico

pistone

caricovalvola t = 0+ t =

acqua dei pori

molle tempo

acquaacqua

solido solido

7


Carico uniforme

Piano di falda

sabbia

argilla

sabbia

8


Portata uscente

Portata entrante

9

Portata entrante


l d bl d fl f d lEquazione generale di un problema di flusso confinato e monodirezionale.

hPortata entrante dalla faccia inferiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz

dxdyzhkdxdyikqz

22

Portata uscente dalla faccia superiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz

dxdxdzzh

zhkdxdydz

zhkdzdy

zhkdqq 2

2

2

2zz

dddhkd2 dzdydxz

kdq 2z

Differenza di flusso attraverso l’elemento:

10


Il volume di acqua nell’elemento è pari a:Il volume di acqua nell elemento è pari a:

dzdydxeSVnSV totw

dzdydxe1

VnSV totw

L i i d l l eSVLa variazione del volume dell’acqua Vw nell’intervallo di tempo dt è pari a:

dzdydx

e1eS

ttVw

Se il volume occupato dai grani di terreno (costante nel costante

1dzdydxVs

g (tempo) è pari a: e1s

E scrivendo una relazione di continuità si ottiene:

eSte1

dzdydxdzdydxzhk 2

2

te1z

11


eSSe1hk

2

tS

te

e1zk 2

S t bi l’i di d i ti “ ” d il d di h2Se entrambi l’indice dei vuoti “e” ed il grado di saturazione “S” sono costanti nel tempo, l’equazione è quella di un flusso stazionario unidirezionale e diventa:

0zhk 2

unidirezionale e diventa: z

Se “S” è costante nel tempo mentre “e” varia, il problema diventa quello di un flusso transitorio (consolidazione).diventa quello di un flusso transitorio (consolidazione).

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IPOTESIIPOTESI

• Terreno omogeneo e completamente saturo • Flusso di acqua e deformazione solo in direzione z• Particelle di acqua e di terreno incompressibili• Validità della Legge di Darcy• Assenza di deformazioni di tipo viscoso• Coefficiente di permeabilità costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato• Compressibilità del terreno costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato e d fi i i l l idefinita tramite la relazione seguente:

'mHV

'zvme

zv00

mHV

zv0

me1

teS

tSe

e11hk 2

2

tm

te

e11

zhk

'z

v02

2

tte1z2 tte1z 0

13


uu2

w

uzh

ttu

zuc 2v

w

u'

zSe è costante nel tempo

u

2

tu

tm

zuk

v2

2

tuuc 2

2v

1

ttzw

k

tz2v La [1] vale anche per gli incrementi di

vwv m

kc

La [1] vale anche per gli incrementi di

stato tensionale ’ e u indotti dal carico

applicato. Nel seguito si indicano con , ’

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ed u gli incrementi di stato tensionale.


v, ’vq

t = 0 t = 0+

H

v, v

z

dzH

dz

satH

wH’H

15


t 0 t > 0

qu/w u + ’v = v

t = 0 t > 0

z

dz

u ’vu0 = v

16

/

t = 0


z

qu0/w

u0 = v

v

z

dz

0 v

t > 0

u + ’v = v

t > 0qu/w v

u ’vz

dz

17


t =∞t

z

q ’v = vu = 0

’vz

dz

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Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in sommità,esiste una soluzione analitica (estendibile al caso di drenaggio solo in sommità).

Ponendo Z = z/H (con Z e z misurate dallasommità dello strato) e T = cvt/H2, ossiadi i li d l i bili i l

2uu

adimensionalizzando le variabili spazialee temporale, l’equazione della consolida‐zione diviene:

2ZT

con soluzione(Taylor, 1948): TM

0m

0 2eZMsen

Mu2T,Zu

2

dove: 1m2M

19

dove: 1m22

M


Il progresso della consolidazione può essere mostrato plottando una serie di curve “u vs. z” per differenti valori di t.Q t hi t ISOCRONE

H

Queste curve sono chiamate ISOCRONE.

La loro forma dipenderà dalla distri‐buzione iniziale dell’eccesso di pressione

strato impermeabile

buzione iniziale dell’eccesso di pressione neutrale e dalle condizioni di drenaggio al contorno dello strato argilloso.

Uno strato che possa drenare da ambo i lati (superiore e inferiore) viene detto “strato aperto” (o a doppio drenaggio)

2H

strato aperto (o a doppio drenaggio), mentre qualora lo strato possa drenare da un solo lato esso viene detto “strato mezzo chiuso” (o a singolo drenaggio).

strato drenante

( g gg )

20

Teoria della consolidazione

Esempi di isocrone sono riportate nella figura a fianco. (a) Distribuzione iniziale di u0

t t t t t dicostante; per strato aperto di spessore 2H l’isocrona è simmetrica rispetto alla linea mediana. La parte superiore dell’isocrona rappresenta il caso didell’isocrona rappresenta il caso di strato mezzo chiuso di spessore H. La pendenza dell’isocrona a qualsiasi profondità fornisce il gradienteprofondità fornisce il gradiente idraulico in quel punto e la direzione del flusso dell’acqua.

(b) e (c) distribuzione iniziale di u(b) e (c) distribuzione iniziale di u0triangolare nei casi di strato aperto e mezzo chiuso.

( ) l l f è b l(c) il lato inferiore è impermeabile; per un certo intervallo di tempo si manife‐sta un fenomeno di rigonfiamento

ll t i f i d ll t t

21

nella parte inferiore dello strato.


2u2 TM

0m

0 2eZMsen

Mu2T,Zu

1m2

2M

2

00

0v u

tu1u

tuutU

3m = 0, 1, 2, ...

00 uu

Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE Uv alla profondità z ed al tempo t può essere ottenuto sostituendo il valore di u (eq.2) nella eq.3:

TM

0mv

2e

HzMsen

M21U

22


Durante la consolidazione l’incremento di

tensione verticale efficace è in valore

assoluto uguale alla diminuzione della

pressione neutrale dell’acqua.

u'u0'0

'1

Grado di consolidazione U In fase di consolidazione

00

0v u

tu1u

tuutU

3

23

00


M2 TM

0mv

2

eHzM

senM2

1U

Questa soluzione di U è riportata in forma grafica in figura in funzione dei parametri adimensionale Z e T. Le curve sono dette isocrone.

Subito dopo l’applicazione del carico esterno il gradiente idraulico è:esterno il gradiente idraulico è:

1) elevato alle estremità dello strato

2) pressoché nullo nella parte interna dello strato

3) sempre nullo a metà strato, con assenza di flusso attraverso il piano mediano.

24

ed a o.


Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE alla profondità z ed al tempo t può essere espresso in termini di indice dei vuoti (e0, e1, e rispettivamente indice dei vuoti iniziale, finale e intermedio):

10

0v ee

eeU

10

oppure in termini di tensione efficace, qualora le relazione “e vs. ” sia lineare nello intervallo di tensioni considerato (’ ’ e ’ rispettivamente tensione efficace inizialeintervallo di tensioni considerato, ( 0, 1 e rispettivamente tensione efficace iniziale, finale e intermedia):

'0'U

'0

'1

vU

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E’ di interesse la diminuzione di spessore totale sct in ogni fase del processo di consolidazione. Tale diminuzione può essere determinata sommando le deformazioni verticali alle varie profondità.Può essere opportuno e conveniente conoscere come varia nel tempo il rapporto tra sct e il cedimento totale sc alla fine della consolidazione.Tale rapporto, definito GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO, può essere così espresso:

0m

TM2m

2e

M21U 4

Il significato geometrico di U è indicato nella figura aIl significato geometrico di Um è indicato nella figura a fianco. L’area ABCE = diminuzione di u nel tempo –L’area ABCD = pressione iniziale.

26

Um = ABCE/ABCD


La funzione U = f(T ) per strato aperto (doppio drenaggio) è graficata come curva (a). LeLa funzione Um f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è graficata come curva (a). Le curve b e c si riferiscono rispettivamente a strato di notevole spessore con drenaggio solo superiore e a strato aperto che consolida sotto l’azione del peso proprio.

27


La funzione U = f(T ) per strato aperto (doppio drenaggio) è riportata in tabella per alcuniLa funzione Um f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è riportata in tabella per alcuni gradi di consolidazione medi.

U (%) TUm (%) Tv10 0.008

20 0 03120 0.031

30 0.071

40 0 12640 0.126

50 0.197

60 0.287

70 0.403

80 0.567

90 0.848

28

100


L’equazione (4) può essere rappresentata quasi esattamente attraverso le due seguentiLequazione (4) può essere rappresentata quasi esattamente attraverso le due seguenti equazioni empiriche:

2 2vv U

4T

53.0Uv

530U vv U1log933.0781.1T 53.0Uv

Se la distribuzione delle u0 è non costante con la profondità, il grado di consolidazione medio è dato da (per strato mezzo chiuso integrare tra 0 e H):

H2

dzuArea posta al disotto dell’isocrona al generico tempo t

H20

0v

dzu1U

al generico tempo t

Area posta al disotto dell’isocrona

29

0 iniziale


La variazione iniziale di u in eccessoLa variazione iniziale di u in eccesso in uno strato argilloso viene generalmente considerata lineare.

(i)Prova edometricaVariazione livello faldaVariazione livello falda (innalzamento + abbassamento ‐)

(ii)( )Consolidazione vergine

(iii)Carico applicato in superficie

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