LEZIONE 2

2.1. Prodotto di matrici.In questo paragrafo introdurremo una nuova operazione detta prodotto. Definiremo

prima il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna, per poi procedere alladefinizione generale.

Definizione 2.1.1. Siano R = (r1,j)1≤j≤p ∈ R1,p e C = (ci,1)1≤i≤p ∈ Rp,1. Definiamo ilprodotto delle matrici R e C come la matrice di R1,1, indicata con RC, definita da

( r1,1 r1,2 . . . r1,p )

c1,1

c2,1

...cp,1

= ( r1,1c1,1 + r1,2c2,1 + · · ·+ r1,pcp,1 ) ∈ R1,1 .

Siano ora A = (ai,h) 1≤i≤m1≤h≤p

∈ Rm,p e B = (bh,j) 1≤h≤p1≤j≤n

∈ Rp,n. Per ogni i = 1, . . . ,m ej = 1, . . . , n poniamo

Ri = ( ai,1 ai,2 . . . ai,p ) ∈ R1,p, Cj =

b1,j

b2,j

...bp,j

∈ Rp,1 .

Definiamo il prodotto delle matrici A e B come la matrice di Rm,n, indicata con AB, lacui entrata in posizione (i, j) e RiCj .

Si noti che, perche il prodotto di due matrici sia definito, occorre e basta che il numerodi colonne della prima coincida con il numero di righe della seconda.

Esempio 2.1.2. Diamo alcuni esempi di prodotto di matrici. Siano

A1 = ( 1 2 −1 ) , B1 =

32−5

.

Poiche A1 ∈ R1,3 e B1 ∈ R3,1 sono definiti entrambi i prodotti A1B1 e B1A1. Si haA1B1 ∈ R1,1 e risulta

A1B1 = ( 1 2 −1 )

32−5

= 1 · 3 + 2 · 2 + (−1) · (−5) = 12.

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1

2 2.1. PRODOTTO DI MATRICI

Sia ha B1A1 ∈ R3,3 e risulta

B1A1 =

32−5

( 1 2 −1 ) =

=

3 · 1 3 · 2 3 · (−1)2 · 1 2 · 2 2 · (−1)

(−5) · 1 (−5) · 2 (−5) · (−1)

=

3 6 −32 4 −2−5 −10 5

.

Siano

A2 =(

1 11 −1

), B2 =

(1 3 −10 2 1

).

Poiche A2 ∈ R2,2 e B2 ∈ R2,3 solo il prodotto A2B2 e definito. Si ha A2B2 ∈ R2,3 e risulta

A2B2 =(

1 11 −1

)(1 3 −10 2 1

)=

=(

1 · 1 + 1 · 0 1 · 3 + 1 · 2 1 · (−1) + 1 · 11 · 1 + (−1) · 0 1 · 3 + (−1) · 2 1 · (−1) + (−1) · 1

)=(

1 5 01 1 −2

).

Siano

A3 =(

11

), B3 =

(1 3 −10 2 1

).

Poiche A3 ∈ R2,1 e B3 ∈ R2,3, nessuno dei due prodotti A3B3 e B3A3 e definito.

Da quanto visto nell’esempio precedente si deduce che il prodotto di matrici ha uncomportamento “inusuale”: date due matrici A e B non e detto che siano moltiplicabili,se anche e definito uno dei due prodotti AB o BA non e detto che sia definito l’altro e seanche sono definiti entrambi non e detto che coincidono (infatti non e detto nemmeno cheabbiano le stesse dimensioni!).

Esempio 2.1.3. Nel seguente esempio vedremo che, anche se sono definiti entrambe iprodotti AB e BA ed hanno le stesse dimensioni, non e detto che sia AB = BA. Siano

E1,1 =(

1 00 0

), E1,2 =

(0 10 0

).

Poiche E1,1, E1,2 ∈ R2,2 entrambe i prodotti E1,1, E1,2 e E1,2E1,1 sono definiti ed appar-tengono a R2,2. Risulta

E1,1E1,2 =(

1 00 0

)(0 10 0

)=

=(

1 · 0 + 0 · 0 1 · 1 + 0 · 00 · 0 + 0 · 0 0 · 1 + 0 · 0

)=(

0 10 0

)= E1,2,

E1,2E1,1 =(

0 10 0

)(1 00 0

)=

=(

0 · 1 + 1 · 0 0 · 0 + 1 · 00 · 1 + 0 · 0 0 · 0 + 0 · 0

)=(

0 00 0

)= 02,2.

LEZIONE 2 3

In particolare E1,1E1,2 = E1,2 6= 02,2 = E1,2E1,1.

Una prima osservazione interessante e che il prodotto di due matrici non nulle puo esserela matrice nulla, cioe non vale per il prodotto di matrici la cosiddetta legge di annullamentodel prodotto.

Una seconda osservazione interessante e che la non commutativita del prodotto dimatrici non permette di utilizzare gli usuali “prodotti notevoli” nel fare i calcoli di prodottidi matrici. Per illustrare questa osservazione diamo la seguente

Definizione 2.1.4. Sia A ∈ Rn,n: poniamo A1 = A. Per ogni intero p ≥ 2 poniamoAp = Ap−1A.

In particolare A2 = AA, A3 = A2A = AAA e cosı via.

Esempio 2.1.5. Non e vero che, data una coppia di matrici A,B per cui abbiano sensoentrambe le espressioni matriciali (A+B)2 e A2 + 2AB +B2, queste coincidano. Infatti

(E1,1 + E1,2)2 =(

1 10 0

)2

=(

1 10 0

)(1 10 0

)=(

1 10 0

).

Invece

E21,1 + 2E1,1E1,2 + E2

1,2 =(

1 00 0

)2

+ 2(

1 00 0

)(0 10 0

)+(

0 10 0

)2

=

=(

1 00 0

)+(

0 20 0

)+(

0 00 0

)=(

1 20 0

).

In maniera simile verificare che, in generale, A2 − B2 6= (A + B)(A − B), A3 ± B3 6=(A±B)(A2 ∓AB +B2) e cosı via.

Nonostante quanto visto sopra, il prodotto di matrici ha varie proprieta notevoli.

Proposizione 2.1.6. Valgono le seguenti proprieta:(PM1) per ogni A ∈ Rm,p, B ∈ Rp,q, C ∈ Rq,n si ha A(BC) = (AB)C (il prodotto e

associativo);(PM2) la matrice identita Ip ∈ Rp,p e l’unico elemento neutro per il prodotto, cioe e l’unica

matrice tale che IpA = A e BIp = B, per ogni A ∈ Rp,n e B ∈ Rm,p;(PMP) per ogni A ∈ Rm,p, B ∈ Rp,n, α ∈ R si ha α(AB) = (αA)B = A(αB);

(PMS1) per ogni A,B ∈ Rm,p, C ∈ Rp,n si ha (A + B)C = AC + BC (il prodotto edistributivo a destra);

(PMS2) per ogni A ∈ Rm,p, B,C ∈ Rp,n si ha A(B + C) = AB + AC (il prodotto edistributivo a sinistra);

(PMT) per ogni A ∈ Rm,p, B ∈ Rp,n si ha t(AB) = tBtA. �

2.2. Inversa di una matrice quadrata.Quando si ha un prodotto e naturale porsi il problema dell’esistenza dell’elemento

inverso.

4 2.2. INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA

Definizione 2.2.1. Sia A ∈ Rn,n. A si dice invertibile se esiste B ∈ Rn,n tale cheAB = BA = In.

Non e detto che una matrice quadrata, pur non nulla, abbia inversa come mostra ilseguente esempio.

Esempio 2.2.2. Si consideri una qualsiasi matrice A ∈ Rn,n tale che Ap = 0n,n. in talcaso A si dice nilpotente. Esistono molte matrici non nulle con tale proprieta: per esempiola matrice

E1,2 =(

0 10 0

)e tale che che E2

1,2 = 02,2. Se esistesse una matrice B tale che AB = In allora

Ap−1 = Ap−1In = Ap−1AB = ApB = 0n,nB = 0n,n.

Poiche Ap−1 = 0n,n, sostituendo Ap−1 ad Ap in quanto scritto sopra, otteniamo Ap−2 =0n,n. Ripetendo il ragionamento otterremo alla fine A = 0n,n, il che e assurdo in quantoabbiamo supposto A invertibile.

Invece la matrice

A =(

1 −21 −1

)e invertibile. Sia infatti

B =(−1 2−1 1

):

allora BA = AB = I2.

Proposizione 2.2.3. Sia A ∈ Rn,n. Valgono le seguenti proprieta:(MI1) B ∈ Rn,n e tale che AB = In se e solo se BA = In;(MI2) se esistono B,C ∈ Rn,n tali che AB = BA = In e AC = CA = In allora B =

C. �

Definizione 2.2.4. Sia A ∈ Rn,n invertibile. L’unica matrice B ∈ Rn,n tale che AB =BA = In viene detta inversa di A e viene indicata con A−1. In tal caso si pone A0 = Ined A−p = (A−1)p per ogni intero p ≥ 1.

Osservazione 2.2.5. Sia A ∈ Rn,n una matrice invertibile. Cosa si puo dire circa l’inverti-bilita di tA? In forza della condizione (MI1) della Proposizione 2.2.3 si tratta di stabilirese l’equazione matriciale

tAX = In

ha soluzione e, in caso affermativo, di determinarla. Trasponendo entrambe i membri siottiene tXA = tIn = In, sicche, moltiplicando a destra per A−1, che sappiamo esistereperche A e invertibile per ipotesi, si ottiene

tX = tXIn = tX(AA−1) = (tXA)A−1 = InA−1 = A−1

LEZIONE 2 5

da cui si deduce per trasposizione del primo e dell’ultimo membro che l’equazione hasoluzione e che questa e X = t(A−1), cioe se A ∈ Rn,n e invertibile allora tale e tA e si ha(tA)−1 = t(A−1). Poiche t(tA) = A si deduce anche il viceversa, cioe A ∈ Rn,n e invertibilese e solo se tale e tA.

Sia poi B ∈ Rn,n un’altra matrice invertibile. Cosa si puo dire circa l’invertibilita diAB? In modo analogo a quanto visto sopra si tratta di determinare l’eventuale soluzionedell’equazione matriciale

ABX = In.

Si verifica facilmente che X = B−1A−1 e soluzione di tale equazione. Deduciamo allorache se A,B ∈ Rn,n sono invertibili allora tale e AB e si ha (AB)−1 = B−1A−1.

E vero o falso che vale il viceversa, cioe che se A,B ∈ Rn,n e AB e invertibili, alloraanche A e B lo sono?

2.3. Algebra lineare su C.Concludiamo questa Lezione osservando che le nozioni introdotte e le operazioni definite

sulle matrici a coefficienti in R si possono estendere a matrici a coefficienti nel campocomplesso C. Poiche R ⊆ C,segue che Rm,n ⊆ Cm,n.

Per questo motivo, da adesso in poi, nelle definizioni e negli enunciati delle proposizionispesso sostituiremo al simbolo R il simbolo k che indichera o il campo reale R o il campocomplesso C.

Diamo solo un esempio.

Esempio 2.3.1. Si considerino le matrici in C2,2

A =(

1− 2i 2− i1− i 1− i

)B =

(1 ii 1

).

Risulta allora (1− 2i 2− i1− i 1− i

)(1 ii 1

)=(

2 42 2

).

Si noti che A,B ∈ C2,2 \R2,2, mentre AB ∈ R2,2(⊆ C2,2).