Geometria I - Scienza Tecnologia Ricerca Progettazione e ... I.pdf · Quaderno 3 Introduzione V ......

Valter Chiovini

Geometria I

Elementi di geometria Euclidea

QUADERNI

Quaderno numero 3

Geometria I: Elementi di Geometria Euclidea

Quaderno n°3 Indice

I

Indice

CAPITOLO 1 SIMILITUDINE ............................................................................... 7

1.1 Teorema di Talete ........................................................................... 7

1.2 Teoremi di Euclide .......................................................................... 9

1.2.1 1° Teorema di Euclide ................................................................... 9

1.2.2 2° Teorema di Euclide ................................................................. 11

1.3 Teorema di Pitagora ...................................................................... 11

CAPITOLO 2 TRIGONOMETRIA PIANA ........................................................... 14

2.1 Trigonometria piana ...................................................................... 14

2.1.1 Alcuni valori delle funzioni trigonometriche introdotte ............... 17

2.2 Estensione del dominio delle funzioni trigonometriche .................. 18

2.2.1 Angoli percorsi in senso antiorario (positivi) ............................... 18

2.2.2 Angoli percorsi in senso orario (negativi) .................................... 20

2.3 Formule trigonometriche ............................................................... 22

2.3.1 Relazione fondamentale.............................................................. 22

2.3.2 Relazione con tg e cotg ............................................................... 22

2.3.3 Formule di addizione e sottrazione ............................................. 23

2.3.4 Formule di duplicazione .............................................................. 24

2.3.5 Formule di Bisezione .................................................................. 25

2.4 Grafici delle funzioni trigonometriche ............................................ 25

CAPITOLO 3 RISOLUZIONE DI TRIANGOLI ..................................................... 28

3.1 Risoluzione dei Triangoli ............................................................... 28

3.1.1 Teorema dei Seni ........................................................................ 28

3.1.2 Teorema di Carnot ...................................................................... 29

CAPITOLO 4 CERCHIO E CIRCONFERENZA .................................................... 32

4.1 Area del Cerchio............................................................................ 32

4.1.1 Definizione di 흅 .......................................................................... 38

4.2 Perimetro della Circonferenza ....................................................... 40

CAPITOLO 5 MISURA DEGLI ANGOLI ............................................................. 44

5.1 Definizione di unità radiante ......................................................... 44

5.2 Valutazione del rapporto 푳흓 ......................................................... 45

5.3 Legame tra le diverse unità di angolo ............................................ 46

5.4 Osservazione ................................................................................. 46

CAPITOLO 6 DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ................... 50

6.1 Derivata del seno .......................................................................... 50


II

6.2 Derivata del coseno ....................................................................... 51

6.3 Derivata della tangente ................................................................. 52

__________________________________________________


III

Indice delle figure fig. 1.1: teorema di Talete ............................................................................................................................. 7

fig. 1.2: applicazione ai triangoli rettangoli .................................................................................................. 8

fig. 1.3: 1° teorema d Euclide ..................................................................................................................... 10

fig. 1.4: relazione altezza e proeizione cateti ............................................................................................... 10

fig. 1.5: 2° teorema di Euclide .................................................................................................................... 11

fig. 1.6: teorema di Pitagora ....................................................................................................................... 12

fig. 2.1: relazioni tra rapporti di cateti ed angoli ......................................................................................... 14

fig. 2.2: dipednza dalla somma degli angoli ................................................................................................ 15

fig. 2.3: valori particolari del seno e del coseno ........................................................................................... 17

fig. 2.4:estensione al 2° quadrante in verso positivo .................................................................................... 18

fig. 2.5: estensione al 3° e 4° quadrante in verso positivo ............................................................................ 19

fig. 2.6: estensione al 4° quadrante in verso negativo ................................................................................. 21

fig. 2.7: estensione al 2° e 3° quadrante in verso positivo ............................................................................ 21

fig. 2.8: formule di addizione e sottrazione ................................................................................................. 23

fig. 2.9: grafico funzione seno .................................................................................................................... 25

fig. 2.10: grafico funzione coseno ............................................................................................................... 25

fig. 2.11: grafico funzione tangente ............................................................................................................ 26

fig. 2.12: grafico funzione cotangente ......................................................................................................... 26

fig. 3.1:teorema dei seni ............................................................................................................................. 28

fig. 3.2:teorema di carnot ........................................................................................................................... 29

fig. 4.1: approssimazione poligonale dell’area del cerchio ............................................................................ 32

fig. 4.2: successione convergente a 휋 .......................................................................................................... 39

fig. 4.3:approssimazione polinomiale perimetro circonferenza ..................................................................... 40

fig. 5.1:arco di ciroonferenza ...................................................................................................................... 44

fig. 5.2: relazione tra l’arco e segmenti inscritti e circoscritti ...................................................................... 47


IV

__________________________________________________

Quaderno 3 Introduzione

V

Introduzione

Nel presente quaderno vengono analizzate alcune proprietà nell’ambito della Geometria Euclidea piana.

In particolare viene dimaostrata la proprietà di similitudiine ( teorema di Talete) dalla quale si fa discendere:

i teoremi i Euclide, il teorema di Pitagora la trignometria piana

Grazie al teorema di Piagora ed alle funzioni trigonmetriche è possibile risolvere qualsiasi tipo di triangolo piano tramite

il teorema dei seni il teorema di Carnot ( gegeralizzazione del teorema di Pitagora)

Si analizzano inoltre le formule di valutazione dell’area del cerchio e del perimetro della circonferenza (che si dimstrano essere quindi una conseguenza delle proprietà di similitudine), chiarendo

la natura della costante 휋 ed una formula per il suo calcolo esplicito la definizione di radiante.

Quaderno 3 Introduzione

VI

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Quaderno n°3 Capitolo 1–Similitudine

7

CAPITOLO 1 SIMILITUDINE

In questo capitolo vine dimostrato il teorema di Talete e la sua applicazione ai tringoli, in particolare ai tringoli rettaagoli, così da introdurre ile funzioni trigonometriche.

1.1 Teorema di Talete

fig. 1.1: teorema di Talete

Consideriamo i due triangoli 퐴퐷퐸푒퐵퐷퐸 di fig. 1.1, essi hanno al stessa area in quanto hanno

1) la base 퐷퐸 in comune 2) la stessa altezza 퐴퐹 = 퐵퐺

Pertanto per due suddetti triangoli si può porre

1) Area Triangolo ADE = 퐷퐸 ∙ 퐴퐹 = 퐴퐷 ∙ 퐸퐾

2) Area Triangolo BDE = 퐷퐸 ∙ 퐴퐹 = 퐸퐵 ∙ 퐷퐻

Uguagliando le due aree si ha


8

12퐴퐷 ∙ 퐸퐾 =

12퐸퐵 ∙ 퐷퐻

Da cui

eq. 1.1 =

Consideriamo ora l’area del il triangolo 퐷퐸퐶

Area Triangolo DEC = 퐷퐶 ∙ 퐸퐾 = 퐸퐶 ∙ 퐷퐻

Ossia

eq. 1.2 =

Confrontando la (eq. 1.1) con la (eq. 1.2) otteniamo la

eq. 1.3 =

La (eq. 1.3) rappresenta il teorema di Talete. Da tale relazione si deduce anche un’altra uguaglianza:

퐴퐶 = 퐴퐷 + 퐷퐶 =퐷퐶퐸퐶

∙ 퐸퐵 + 퐷퐶 = 퐷퐶 ∙퐸퐵퐸퐶

+ 1 = 퐷퐶 ∙퐸퐵 + 퐸퐶

퐸퐶= 퐷퐶 ∙ 퐵퐶

퐴퐶 = 퐴퐷 + 퐷퐶 =퐷퐶퐸퐶

∙ 퐸퐵 + 퐷퐶 = 퐷퐶 ∙퐸퐵퐸퐶

+ 1 = 퐷퐶 ∙퐸퐵 + 퐸퐶

퐸퐶= 퐷퐶 ∙

퐵퐶퐸퐶

퐴퐶퐵퐶

=퐷퐶퐸퐶

Da cui segue

eq. 1.4 = =

fig. 1.2: applicazione ai triangoli rettangoli


9

Applicando la (eq. 1.4) al triangolo rettangolo ABC a sinistra della fig. 1.2 ed osservando che 퐴퐷 = 퐸퐻 si ottiene la

eq. 1.5 = =

La(eq. 1.5) evidenzia la costanza del rapporto tra cateto verticale ed ipotenusa nei tre

triangoli rettangoli ABC, DEC,HBE, caratterizzati da avere gli stessi angoli 훼푒훽 come illustrato in figura.

Se ora ribaltiamo la figura di sinistra come riportato a destra e su triangoli precedenti (ABC, DEC,HBE) applichiamo la (eq. 1.5) ,osservano che 퐴퐻 = 퐷퐸;

sostituendo il segmento 퐴퐶 con il segmento 퐴퐵; sostituendo il segmento 퐷퐸 con il segmento 퐸퐻;

Si ottiene la

eq. 1.6 = =

Dal confronto con la (eq. 1.5) e la (eq. 1.6) si può dedurre la

eq. 1.7 = =

Ossia sono costanti i rapporti tra cateti che hanno la stessa posizione rispetto agli angoli 훼푒훽.

1.2 Teoremi di Euclide

Applicando le precedenti proprietà ad un triangolo rettangolo si possono dimostrare i cosiddetti teoremi di Euclide riferiti a triangoli rettangoli.

1.2.1 1° Teorema di Euclide

Facendo riferimento alla fig. 1.3 il teorema si esprime tramite la seguente relazione :


10

fig. 1.3: 1° teorema d Euclide

eq. 1.8 퐴퐵 = 퐴퐻 ⋅ 퐴퐶

Ossia

푎 = 푛 ∙ (푚 + 푛) = 푛 ∙ 푐

Analogamente

eq. 1.9 퐵퐶 = 퐶퐻 ⋅ 퐴퐶

푏 = 푚 ∙ (푚 + 푛) = 푚 ⋅ 푐

Infatti considerando i triangoli rettangoli ABH e ABC di cui alla fig. 1.4

fig. 1.4: relazione altezza e proeizione cateti

e quanto stabilito in precedenza si ottiene

푎푛

=푐푎

푎 = 푛 ⋅ 푐

Analogamente per la (eq. 1.9).

Il 1° teorema di Euclide può anche essere enunciato dicendo che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione dei cateto sull’ipotenusa.


11

1.2.2 2° Teorema di Euclide

Il 2° teorema di Euclide si può enunciare dicendo che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

fig. 1.5: 2° teorema di Euclide

Infatti dai triangoli rettangoli ABH e BHC (fig. 1.5) segue

퐵퐻퐴퐻

=퐶퐻퐵퐻

Da cui:

퐵퐻 = 퐴퐻 ⋅ 퐶퐻

In modo equivalente

ℎ = 푛 ⋅ 푚

1.3 Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa (fig. 1.6)


12

fig. 1.6: teorema di Pitagora

In altri termini il teorema può essere espresso come segue

eq. 1.10 퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐵퐶

푐 = 푎 + 푏

Infatti applicando 2 volte il 1° teorema d Euclide si ottiene

퐴퐵 = 퐴퐻 ⋅ 퐴퐶

퐵퐶 = 퐶퐻 ⋅ 퐴퐶

Da cui segue la (eq. 1.10)

퐴퐵 + 퐵퐶 = 퐴퐻 ⋅ 퐴퐶 + 퐶퐻 ⋅ 퐴퐶 = 퐴퐶 ⋅ (퐶퐻 + 퐴퐻) = 퐴퐶 ⋅ 퐴퐶 = 퐴퐶


13

___________________________________________________

Quaderno n°3 Capitolo 3 – Trigonometria Piana

14

CAPITOLO 2 TRIGONOMETRIA PIANA

In questo paragrafo si definiscono le funzioni trigonmetriche a partire dalle proprietà derivate dal teorema di Talete nei triangolo rettangoli. Si proced poi ad una generalizzazone per estendere il dominio delle funzioni su tutto il campo reale

2.1 Trigonometria piana

Dall’applicazione del teorema di Talete ai triangoli rettangoli risulta la possibilità di definire alcune funzioni degli angoli compresi tra i cateti e l’ipotenusa.

Infatti

fig. 2.1: relazioni tra rapporti di cateti ed angoli

Rimangono costanti i seguenti rapporti se rimane costante l’angolo 훼 (e conseguentemente anche l’angolo 훽)1

퐴퐶퐶퐵

=퐸퐶퐶퐹

= 푓(훼)

1 Nel presente capitolo gli angoli veraano espressi in radianti e in grdia sessagesimali. Per la definizione di angolo in radiate si veda il §5.1


15

퐴퐵퐶퐵

=퐸퐹퐶퐹

= 푔(훼)

Si osservi che il ruolo dei cateti rispetto alla definizione dei rapporti sopra indicati può essere scambiato , così come quello degli angoli. In altri termini si può porre:

퐴퐵퐶퐵

=퐸퐹퐶퐹

= 푓(훽)

퐴퐶퐶퐵

=퐸퐶퐶퐹

= 푔(훽)

E quindi risulta

푓(훼) = 푔(훽) e 푓(훽) = 푔(훼)

La costanza dei rapporti e quindi delle funzioni 푓(. )푒푔(. ), permane se rimangono costanti gli angoli 훼푒훽.

Al variare de suddetti angoli si possono dedurre i seguenti andamenti

퐴퐶퐶퐹

= 푔(훽 + 훽 )

퐴퐶퐶퐵

= 푔(훽 )

Dalla fig. 2.2 si evince che essendo

fig. 2.2: dipednza dalla somma degli angoli

퐶퐹 > 퐶퐵

푔(훽 ) > 푔(훽 + 훽 )

Pertanto al diminuire dell’angolo 훽 aumenta la funzione 푔(. ):


16

se 훽 = 0, poiché 퐶퐵 = 퐴퐶, segue 푔(0) = 1

se 훽 → , poiché 퐶퐵 → ∞ ed 퐴퐶 è finito, segue 푔 = 0

se 0 < 훽 < poiché 퐴퐶 ≤ 퐶퐵 ≤ +∞ con 퐴퐵 finito e costante, segue 0 < 푔(훽 ) <1

D’altra parte essendo

퐴퐶퐶퐵

= 푔(훽 ) = 푓(훼)

훼 =휋2− 훽

Si ha

se 훼 = , poiché 퐶퐵 = 퐴퐶, segue 푔 = 1

se 훼 → 0, poiché 퐶퐵 → ∞ ed 퐴퐶 è finito, segue 푔(0) = 0

se 0 < 훼 < poiché 퐴퐶 ≤ 퐶퐵 ≤ +∞ con 퐴퐵 finito e costante, segue 0 < 푓(훼) < 1

Si possono inoltre definire altre due funzioni trigonometriche utilizzando i rapporti tra i cateti (eq. 1.7)

E’ dunque possibile definire due funzioni degli angoli di un triangolo rettangolo 푓(. )푒푔(. ) le quali vengono indicate come

Funzione seno 푓(훼) = 푠푒푛(훼); Funzione coseno g(훼) = 푐표푠(훼).

Applicando il teorema di Pitagora si ottiene la cosiddetta relazione trigonometrica fondamentale:

퐴퐶퐶퐵

+퐴퐵퐶퐵

=퐴퐶 + 퐴퐵

퐶퐵=퐶퐵퐶퐵

= 1 = 푠푒푛(훼) + 푐표푠(훼)

푠푒푛(훼) + 푐표푠(훼) = 1

Funzione tangente

푡푔(훼) =퐴퐶퐴퐵

=퐴퐶퐶퐵

⋅퐶퐵퐴퐵

= 푠푒푛(훼) ∙1

cos(훼) =푠푒푛(훼)cos(훼)

Funzione cotangente

푐표푡푔(훼) =퐴퐵퐴퐶

=퐴퐵퐶퐵

⋅퐶퐵퐴퐶

= 푐표푠(훼) ∙1

푠푒푛(훼) =푐표푠(훼)푠푒푛(훼)

Si ha

se 훼 → , segue 푡푔 → ±∞,푐표푡푔 → 0


17

se 훼 → 0, segue 푡푔(0) → 0,푐표푡푔(0) → ±∞

2.1.1 Alcuni valori delle funzioni trigonometriche introdotte

Si faccia rferimento alla fig. 2.3

fig. 2.3: valori particolari del seno e del coseno

Osserviamo il triangolo di sinistra che risulta retto e isoscele in quanto gli angoli

alla base sono uguali e pari a 45° ( in radianti);

da ciò segue

퐴퐶 = 퐶퐵 e 퐴퐵 = 퐴퐶 + 퐶퐵 = 퐴퐶 + 퐴퐶̅ = √2퐴퐶 e pertanto

푠푒푛휋4

=퐴퐶퐵퐶

=퐴퐶

√2퐴퐶1√2

=√22

푐표푠휋4

=퐶퐵퐵퐶

=퐴퐶

√2퐴퐶1√2

=√22

푡푔휋4

= 푐표푡푔(휋4

) = 1

Osserviamo il triangolo di destra che risulta e quindi ha i tre lati 퐴퐶 = 퐶퐵 = 퐴퐵

ed i tre angoli uguali e pari a 60° ( in radianti),

l’altezza 퐶퐻è bisettrice e mediana e quindi l’angolo al vertice C è pari a 30°( in

radianti) e 퐴퐻 = 퐻퐵 = =

da ciò segue

퐶퐻 = 퐴퐶 − 퐴퐻 = 퐴퐶 −14퐴퐶 =

√32퐴퐶

e pertanto

푠푒푛휋3

= 푐표푠휋6

=퐶퐻퐴퐶

=√32


18

푠푒푛휋6

= 푐표푠휋3

=퐴퐻퐴퐶

=12

Da cui segue

푡푔휋3

= 푐표푡푔(휋6

) = √3

푡푔휋6

= 푐표푡푔(휋3

) =1√3

2.2 Estensione del dominio delle funzioni trigonometriche Di seguito viene illustrata la modalità di estensione del dominio di definizione delle funzioni trigonometriche introdotte.

2.2.1 Angoli percorsi in senso antiorario (positivi)

Finora le funzioni trigonometriche sono state definite come funzioni dell’angolo

훼 ∈ 0, . È possibile estendere facilmente il dominio di applicazione in tutto l’asse

reale introducendo la cosiddetta circonferenza goniometrica.

Essa consiste in una circonferenza riferita ad assi cartesiani ortogonali di centro l’origine e raggio unitario.

Si definisca un verso per la misurazione degli angoli:

Verso positivo quello antiorario Verso negativo quello orario

Valutiamo per il momento solo gli angoli positivi ( quelli che si misurano in senso antiorario sulla circonferenza goniometrica, vedere figura seguente).

Sia ha, essendo 푂푃 = 1, e prendendo 훼 nel primo quadrante, ossia con 0 ≤ 훼 ≤

푠푒푛(훼) =푃퐻푂푃

= 푃퐻

푐표푠(훼) =푂퐻푂푃

= 푂퐻

fig. 2.4:estensione al 2° quadrante in verso positivo


19

In altri termini le funzioni seno e coseno dell’angolo alfa nel primo quadrante sono pari rispettivamente ai segmenti 푃퐻 e 푂퐻, entrambi positivi e minori od uguali a 1.

Seguendo questa osservazione poiché

푃퐻 = 푄퐻 퐾푂 = −푂퐻

si può porre ponendo ≤ 훽 = 훼 + ≤ 휋 (essendo 0 ≤ 훼 ≤ ) e definire le funzioni

anche nel secondo quadrante della circonferenza goniometrica

푠푒푛(훽) = 푠푒푛 훼 +휋2

= 퐾푂 = −푂퐻 = −푠푒푛(훼)

푐표푠(훽) = 푐표푠 훼 +휋2

= 푄퐾 = 푃퐻 = 푐표푠(훼)

In questo modo abbiamo esteso il domino delle funzioni trigonometriche dall’intervallo

0, .all’intervallo [0,휋].

In modo analogo si può estendere il dominio al terzo e quarto quadrante

Infatti per quanto riguarda il terzo quandrante ponendo 휋 ≤ 훽 = 훼 + 휋 ≤ 3 (essendo

0 ≤ 훼 ≤ ) ed essendo

푃퐻 = −푅퐾 퐾푂 = −푂퐻

Si ha

푠푒푛(훽) = 푠푒푛(훼 + 휋) = 퐾푂 = −푂퐻 = −푠푒푛(훼)

푐표푠(훽) = 푐표푠(훼 + 휋) = 푅퐾 = −푃퐻 = −푐표푠(훼)

fig. 2.5: estensione al 3° e 4° quadrante in verso positivo

Infine nel quarto quandrante osservando che 훾 = − 훼 si puoò porre 3 ≤ 훽 = 2휋 −

훾 = 2휋 − − 훼 = 훼 + 3 ≤ 2휋 (essendo 0 ≤ 훼 ≤ ) ed essendo


20

푃퐻 = −퐻푇 Si ha

푠푒푛(훽) = 푠푒푛 훼 + 3휋2

= 푂퐻 = 푠푒푛(훼)

푐표푠(훽) = 푐표푠 훼 + 3휋2

= 퐻푇 = −푃퐻 = −푐표푠(훼)

In questo modo è possibile dunque definire le funzioni trigonometriche di seno e conseno sull’intervallo [0,2휋].

Si può osservare inoltre che è possibile dare un significato anche ad un angolo positivo, ossia percorso in senso orario sulla circonferenza goniometrica, definito come segue:

훽 = 훼 + 2휋 , con 훼 ≤ 2휋.

Infatti 훽 individua semplicemente lo stesso angolo 훼 dopo aver fatto un giro completo di 360° (2휋 rappresenta l’angolo giro espresso in radianti) sula circonferenza goniometrica e pertanto partendo dal punto P su tale circonferenza individuato

dall’angolo 훼 si ritorna dopo un giro completo allo stesso punto P i valori delle funzioni seno valutati i훽 sono gli stessi di quelli valutati in 훼.

In altri termini ha

푠푒푛(훼 + 2휋) = 푠푒푛(훼)

푐표푠(훼 + 2휋) = 푐표푠(훼)

Più in generale considerando invece di fare un solo giro, di farne 푘 = 1,2,3 …푛, …, si ha:

푠푒푛(훼 + 2푘휋) = 푠푒푛(훼)

푐표푠(훼 + 2푘휋) = 푐표푠(훼)

Tale proprietà si esplicita dicendo che le suindicate funzioni sono periodiche di periodo 2휋 ed il loro domino si può estendere quindi all’intervallo [0,+∞)

2.2.2 Angoli percorsi in senso orario (negativi)

Se si percorre la circonferenza goniometrica in senso orario, si indentifica un angolo 훼 che per definizione è posto negativo. Poiché comunque viene ad indentificarci ugualmente un punto P su tale circonferenza, è sempre possibile definire le funzioni seno e coseno, il cui domino viene quindi esteso anche ai valori reali negativi.

Si osservi infatti quanto segue ( si considera 훼 > 0):

se –훼 individua l’appartenenza al quarto quadrante (al primo quadrane) il punto identificato è il punto T( il punto P) nella figura sottostante di sinistra (di destra) ed essendo congruenti i triangoli THO e PHO segue


21

fig. 2.6: estensione al 4° quadrante in verso negativo

푠푒푛(−훼) = 퐻푇 = −푃퐻 = −푠푒푛(훼);푛푒푙푐푎푠표푑푒푙4°푞푢푎푑푟푎푛푡푒

푠푒푛(−훼) = 푃퐻 = −푇퐻 = −푠푒푛(훼);푛푒푙푐푎푠표푑푒푙1°푞푢푎푑푟푎푛푡푒

푐표푠(−훼) = 푂퐻 = 푐표푠(훼);푛푒푙푐푎푠표푑푒푙4°푒1°푞푢푎푑푟푎푛푡푒

se –훼 individua l’appartenenza al terzo(al secondo quadrante) il punto identificato è il punto R (il punto Q) della figura seguente a sinistra (a destra) ed essendo congruenti i triangoli KRO e KQO segue

fig. 2.7: estensione al 2° e 3° quadrante in verso positivo

푠푒푛(−훼) = 푅퐾 = −푄퐾 = −푠푒푛(훼); 푐푎푠표3°푞푢푎푑푟푎푛푡푒;

푠푒푛(−훼) = 푄퐾 = −푅퐾 = −푠푒푛(훼); 푐푎푠표2°푞푢푎푑푟푎푛푡푒

푐표푠(−훼) = 푂퐾 = 푐표푠(훼); 푐푎푠표2°푒3°푞푢푑푎푟푎푛푡푒

Da quanto precede si determina dunque l’estensione del dominio delle funzioni seno e coseno anche all’intervallo (-∞; 0] e pertanto le due funzioni sono definite in tutto l’asse reale (-∞; +∞)in cui risultano periodiche di periodo 푇 = 2휋

Inoltre si evidenzia che

il seno è un funzione dispari 푠푒푛(−훼) = −푠푒푛(훼) Applicando i precedenti risultati alle funzioni tangente e cotangente si deduce

facilmente che la tangente 푡푔(훼) = ( )( )

e la cotangente 푐푡푔(훼) = ( )( )


22

sono funzioni dispari essendo rapporti tra seno e coseno ed essendo il seno una funzione dispari

sono definite in tutto l’asse reale (∞; +∞) ad esclusioni dell’insieme dei punti numerabile

o per la tangente tali punti sono quelli di annullamento del coseno ossia i punti 훼 = (2푘 + 1) con 푘 = ±1, ±2, ….

o per la cotangente tali punti sono quelli di annullamento del seno ossia i punti 훼 = 푘휋 con 푘 = 0, ±1, ±2, ….

Sono periodiche con periodo 푇 = 휋, infatti

푡푔(훼 + 푘휋) =푠푒푛(훼 + 푘휋)푐표푠(훼 + 푘휋) =

(−1) 푠푒푛(훼)(−1) 푐표푠(훼) =

푠푒푛(훼)푐표푠(훼) = 푡푔(훼)

Analogamente per la cotangente essendo l’inverso della tangente

2.3 Formule trigonometriche

2.3.1 Relazione fondamentale

Abbiamo già visto la relazione fondamentale che discende dal teorema di Pitagora che si riporta per completezza

eq. 2.1 푠푒푛(훼) + 푐표푠(훼) = 1

2.3.2 Relazione con tg e cotg

Utilizzando tale espressione si può dedurre

푐표푠(훼) ∙푠푒푛(훼)푐표푠(훼)

+ 1 = 1

cos(훼) ∙ [tg(훼) + 1] = 1 → 푐표푠(훼) =1

[푡푔(훼) + 1]

Analogamente mettendo in evidenza il seno

푠푒푛(훼) ∙ [푐표푡푔(훼) + 1] = 1 → 푠푒푛(훼) =1

[푐표푡푔(훼) + 1]


23

2.3.3 Formule di addizione e sottrazione

Si consideri la fig. 2.8 in cui per costruzione

i due triangoli OQR e OAP sono congruenti

gli angoli 푄푂⏞ 푅 = 퐴푂푃 = 훼 − 훽

fig. 2.8: formule di addizione e sottrazione

Si ha dunque 푅푄 = 퐴푃 e dalle coordinate dei punti e dall’applicazione del teorema di Pitagora segue

[cos(훼 − 훽) − 1] + 푠푒푛(훼 − 훽) = [cos(훼) − 푠푒푛(훼)] + [cos(훽) − 푠푒푛(훽)]

푐표푠(훼 − 훽) + 1 − 2 cos(훼 − 훽) + 푠푒푛(훼 − 훽)= cos(훼) + 푠푒푛(훼) − 2푠푒푛(훼)푐표푠(훼) + cos(훽) + 푠푒푛(훽) − 2푠푒푛(훽)푐표푠(훽)

2− 2 cos(훼 − 훽) = 1 − 2푠푒푛(훼)푐표푠(훼) + 1− 2푠푒푛(훽)푐표푠(훽)

Da cui segue

eq. 2.2 푐표푠(훼 − 훽) = 푠푒푛(훼)푐표푠(훼) + 푠푒푛(훽)푐표푠(훽)

Poniamo ora –훽 al posto di 훽 nella (eq. 2.2) e ricordando che il coseno è una funzione pari ed il seno è una funzione dispari ossia

푠푒푛(−훽) = −푠푒푛(훽)

푐표푠(−훽) = cos(훽)

Segue

cos(훼 + 훽) = cos[훼 − (−훽)] = 푠푒푛(훼)푐표푠(훼) + 푠푒푛(−훽)푐표푠(−훽)


24

eq. 2.3 푐표푠(훼 + 훽) = 푠푒푛(훼)푐표푠(훼) − 푠푒푛(훽)푐표푠(훽)

Ricordando che 푠푒푛(훼) = cos − 훼 ,applicandola alla (eq. 2.2) si ottiene

푠푒푛(훼 − 훽) = cos휋2 −

(훼 − 훽) = 푐표푠휋2 − 훼 + 훽

= cos휋2 − 훼 cos(훽) − sen

휋2 − 훼 sen(훽)

= sen(훼) cos(훽) − cos(훼) sen(훽)

Da cui

eq. 2.4 푠푒푛(훼 − 훽) = 푠푒푛(훼) 푐표푠(훽) −푐표푠(훼) 푠푒푛(훽)

Inoltre ponendo

푠푒푛(훼 + 훽) = 푠푒푛[훼 − (−훽)] = sen(훼) cos(−훽)− cos(훼) sen(−훽)

Segue

eq. 2.5 푠푒푛(훼 + 훽) = 푠푒푛(훼) 푐표푠(훽) + 푐표푠(훼) 푠푒푛(훽)

2.3.4 Formule di duplicazione

Dalle precedenti formule si ottiene facilmente

푠푒푛(2훼) = 푠푒푛(훼 + 훼) = sen(훼) cos(훼) + cos(훼) sen(훼)

eq. 2.6 푠푒푛(2훼) = 2푠푒푛(훼) 푐표푠(훼)

cos(2훼) = cos(훼) cos(훼)− sen(훼) sen(훼) = [cos(훼)] − [sen(훼)]= [cos(훼)] − 1 + [cos(훼)] = 1 − [sen(훼)] − [sen(훼)]

Da cui segue

eq. 2.7 푐표푠(2훼) = 2[푐표푠(훼)] − 1 = 1 − 2[푠푒푛(훼)]


25

2.3.5 Formule di Bisezione

Dalle ultime formule di duplicazione segue

eq. 2.8

⎩⎨

⎧푐표푠 = ± ( )

푠푒푛 = ± ( )

2.4 Grafici delle funzioni trigonometriche

Di seguito sino riportati i grafici delle funzioni seno e coseno limitate all’intervallo [−2휋, 2휋]

fig. 2.9: grafico funzione seno

fig. 2.10: grafico funzione coseno


26

fig. 2.11: grafico funzione tangente

fig. 2.12: grafico funzione cotangente


27

_________________________________________________

Quaderno n°3 Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza

28

CAPITOLO 3 RISOLUZIONE DI TRIANGOLI

3.1 Risoluzione dei Triangoli

Applicando la trigonometria si possono determinare alcune relazioni tra angoli e lati di un triangolo qualsiasi utili alla cosiddetta risoluzione dei triangoli, ossia alla determinazione degli elementi (angoli, lati) incogniti di un triangolo in funzione di elementi noti (angoli, lati).

3.1.1 Teorema dei Seni

fig. 3.1:teorema dei seni

Si prenda un generico triangolo come indicato nella fig. 3.1 e determiniamo l’altezza h riferita alla base 퐴퐵:

ℎ = 푏푠푒푛(훼)

ℎ = 푐푠푒푛(훾)

Uguagliando le due espressioni si ottiene


29

푏푠푒푛(훼) = 푐푠푒푛(훾)

Da cui

푏푠푒푛(훾)

=푐

푠푒푛(훼)

Applicando un analogo procedimento all’altezza relativa al lato 퐴퐶: si ottiene

eq. 3.1 ( )

=( )

=( )

3.1.2 Teorema di Carnot

Il teorema di Carnot generalizza il teorema di Pitagora nel senso che quest’ultimo è un caso particolare del primo quando si tratta di un triangolo rettangolo.

fig. 3.2:teorema di carnot

Riferendoci alla fig. 3.2 si può dedurre:

푏 = ℎ + (푎 +푚) = ℎ + 푎 + 푚 + 2푎푚

Poiché

푐 = ℎ +푚 ; 푚 = 푐 ∙ cos(훼 + 훽) = 푐 ∙ cos(휋 − 훾) =− 푐 ∙ cos(훾) =

Si ha

eq. 3.2 푏 = 푎 + 푐 − 2푎푐 ∙ 푐표푠(훾)

In altri termini

퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐵퐶 − 2퐴퐵퐵퐶 ∙ cos(훾)


30

Se 훾 = essendo cos(훾) = 0 si ottiene il teorema di Pitagora 퐴퐶 = 퐴퐵 + 퐵퐶

Il teorema di Carnot ci permette di sapere quando una terna di numeri positivi (a,b,c) possono rappresentare la lunghezze dei tre lati di un triangolo.

Infatti riprendendo la (eq. 3.2) deve valere la seguente relazione

eq. 3.3 −1 ≤ 푐표푠(훾) = ≤ 1

Ruotando le posizioni di (a,b,c) nella (eq. 3.3) si determinano le relazioni relative agli altri angoli del triangolo

−1 ≤ cos(훼) = 푏 + 푐 −푎

2푏푐≤ 1

−1 ≤ cos(훽) = 푏 + 푎 −푐

2푏푎≤ 1

Con

훼 + 훽 + 훾 = 휋


31

___________________________________________________


32

CAPITOLO 4 CERCHIO E CIRCONFERENZA

Le relazioni trigonometriche trovare nel capitolo precedente ci serviranno stabilire il calcolo dell’area del cerchio e del perimetro della circonferenza, portandoci alla determinazione di 휋 e della misura degli angoli in radianti.

4.1 Area del Cerchio

Si ricopra il cerchio con due serie di poligoni inscritti e circoscritti come riportato nella fig. 4.1.

fig. 4.1: approssimazione poligonale dell’area del cerchio


33

Indichiamo l’angolo giro con 휙 e dividiamolo in 2 parti con 푛 = 1,2,3,4, …. intero

positivo, ottenendo l’angolo 휙 2 . Il valore numerico di 휙 può essere di natura

arbitraria a seconda dell’unità di angolo che viene scelta; ad esempio

nel caso sessagesimale 휙 = 360°, in quanto l’unità è determinata dividendo

l’angolo giro in 360 parti e ad esempio l’angolo piatto è pari a 휙 2 = 360°2 =

180° e l’angolo retto è pari a 휙 4 = 360°4 = 90°

nel caso centesimale 휙 = 400°, in quanto l’unità è determinata dividendo

l’angolo giro in 400 parti e quindi l’angolo piatto è pari a 휙 2 = 400°2 = 200° e

l’angolo retto è pari a 휙 4 = 400°4 = 100°

Lasciando la generica notazione 휙per l’angolo giro, i valori numerici degli angoli espressi in tali unità vengono detti valori in unità generica, ad esempio si ha

휙2 per indicare l’angolo piatto

휙4 per indicare l’angolo retto

휙8 per indicare la metà dell’angolo retto (quello che in notazione sessadecimale

è di 45° ed in notazione centesimale di 50° ecc…

Si considerino ora i due triangoli OAP e ATQ di angolo in O pari a 휙 2 e disposti come

in fig. 4.1

E’ possibile fare un ricoprimento del cerchio prendendo 2 coppie di triangoli

congruenti ai due triangoli OAP e ATQ e ruotando ogni coppia di un angolo 휙 2 . in

senso antiorario rispetto alla precedente coppia.

Poiché siamo interessati al comportamento limite dell’area del poligono inscritto e di

quello circoscritto al cerchio dato, per 푛 ⟶ ∞, supponiamo che 0 < 휙2 < 휙

4, (dove

ricordiamo 푐ℎ푒 휙 4 indica l’angolo retto); allora si ha

푡푔 휙2 = > 푠푒푛 휙

2 , essendo 푐표푠 휙2 < 1

Ponendo 푂푇 = 푟 il raggio al quadrato del cerchio, si ha inoltre

Area (triangolo OAP)= 푟 푠푒푛(휙 2 ),

Area (triangolo OQT)= 푟 푡푔(휙 2 ),

Si deduce

Area (triangolo OAP)<Area (triangolo OQT)


34

Si osservi ora che l’arco 푇푃 è compreso nel trapezio ATQP; infatti

la distanza di un generico punto dell’arco dall’origine O è pari al raggio 푟 del cerchio;

la distanza di un generico punto del segmento 푇푄 è data da

푟 ∙ 1 + [푡푔(휃)] ≥ 푟

dove con 0 < 휃 ≤ 휙2 si è indicato l’angolo che identifica il generico punto del

segmento 푇푄di coordinate [푥 = 푟; 푦 = 푟 ∙ 푡푔(휃)]; la distanza di un generico punto del segmento 퐴푃 è data da

푟 ∙ 푐표푠 휙2 {1 + [푡푔(휃)] } = 푟 ∙ 푐표푠 휙

2cos(휃) + 푠푒푛(휃)

cos(휃) =

푟 ∙푐표푠 휙

2cos(휃)

≤ 푟

dove con 0 < 휃 ≤ 휙2 si è indicato l’angolo che identifica il generico punto del

segmento 퐴푃 di coordinate 푥 = 푟 ∙ 푐표푠 휙2 ; 푦 = 푟 ∙ 푐표푠 휙

2 푡푔(휃)

Tutto quanto precede ci permette di concludere che

Area (triangolo OAP)<Area(settore circolare OPT)<Area (triangolo OQT)

come del resto si può facilmente vedere a dalla figura.

Sommando le aree dei 2 triangoli inscritti (tutte uguali) e dei 2 triangoli circoscritti si ottiene rispettivamente

Area (poligono inscritto)=2 Area (triangolo OAP)=2 푟 푠푒푛(휙 2 ) ;

Area (poligono circoscritto)=2 Area (triangolo OQT)= 2 푟 푡푔(휙 2 )

Poiché l’area del cerchio è anch’essa pari alla somma di 2 aree (tute uguali) pari all’area dell’ Area(arco OPT) si ottiene:

Area (poligono inscritto)<Area(cerchio)<Area (poligono circoscritto)

2 푟 푠푒푛(휙 2 ) <Area(cerchio)<2 푟 푡푔(휙 2 )

Studiamo ora, all’aumentare dell’indice intero 푛 → ∞ , l’andamento delle due successioni numeriche che esprimono le aree dei poligono inscritti e di quelli circoscritti:

{푨풓풆풂푷풐풍풊품풐풏풊푰풏풔풄풓풊풕풕풊}풏 = ퟐ풏 ퟏퟐ풓ퟐ풔풆풏(흓 ퟐ풏)


35

Dimostriamo che tale successione è monotonicamente crescente, ossia che

푛 ⟶ 푛 + 1 ⇒ 2( ) 12푟 푠푒푛(휙 2( )) > 2

12푟 푠푒푛(휙 2 )

Poiché

2( ) 12푟 푠푒푛(휙 2( )) > 2

12푟 푠푒푛(휙 2 ) ⇔ 2푠푒푛 휙

2( ) > 푠푒푛 휙2

E’ sufficiente dimostrare che

2푠푒푛 휙2( ) > 푠푒푛 휙

2

La precedente relazione equivale alla

2푠푒푛12휙

2 > 푠푒푛 휙2

Ricordiamo ora che nell’ipotesi0 < 훼 < ∅

푠푒푛(훼) = 2 ∙ 푠푒푛 훼 c os( 훼)<2 ∙ 푠푒푛 훼

Ponendo 훼 = 휙2 risulta conclusa la dimostrazione.

{푨풓풆풂푷풐풍풊품풐풏풊푪풊풓풄풐풔풄풓풊풕풕풊}풏 = ퟐ풏 ퟏퟐ풓ퟐ풕품(흓 ퟐ풏)

Dimostriamo che tale successione è monotonicamente decrescente ossia che

푛 ⟶ 푛 + 1 ⇒ 2( ) 12푟 푡푔 휙

2( ) < 212푟 푡푔(휙 2 )

Poiché

2( ) 12푟 푡푔(휙 2( )) < 2

12푟 푡푔(휙 2 ) ⇔ 2푡푔 휙

2( ) < 푡푔 휙2

E’ sufficiente dimostrare che

2푡푔 휙2( ) < 푡푔 휙

2

La precedente relazione equivale alla

2푡푔12휙

2 < 푡푔 휙2

Ricordiamo ora che, nell’ipotesi0 < 훼 ≪ ∅ in modo che 푡푔 훼 < 1,

푡푔(훼) =∙

( ) > 2 ∙ 푡푔 훼


36

Ponendo 훼 = 휙2 risulta conclusa la dimostrazione.

A questo punto possiamo dimostrare che le successioni sono limitate.

Infatti ogni temine della successione

{퐴푟푒푎푃표푙푖푔표푛푖퐼푛푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 푠푒푛(휙 2 ) è minore del corrispondente

termine della successione monotonicamente decrescente

{퐴푟푒푎푃표푙푖푔표푛푖퐶푖푟푐표푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 푡푔(휙 2 ) , conseguenza del fatto che

푡푔 휙2 > 푠푒푛 휙

2 da un certo valore 푛 = 푛∗ che renda

휙 2 sufficientemente minore di 휙 4.

Allora si ha che

⋁푛 ≥ 푛∗ ⟹ 212푟 푠푒푛 휙

2 < 2 ∗ 12푟 푡푔 휙

2 ∗ < +∞

e la successione monotonicamente crescente delle aree dei poligoni inscritti risulta limitata superiormente

{퐴푟푒푎푃표푙푖푔표푛푖퐶푖푟푐표푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 푡푔(휙 2 ) è maggiore del corrispondente

termine della successione {퐴푟푒푎푃표푙푖푔표푛푖퐼푛푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 푠푒푛(휙 2 )

monotonicamente crescente conseguenza del fatto che 푡푔 휙2 >

푠푒푛 휙2 da un certo valore 푛 = 푛∗ che renda 휙 2 sufficientemente minore di

휙4

Allora si ha che

∀푛 ≥ 푛∗ ⟹ 212푟 푡푔 휙

2 > 2 ∗ 12푟 푠푒푛 휙

2 ∗ < +∞

E la successione monotonicamente decrescente delle aree dei poligoni circoscritti risulta limitata inferiormente

Quanto precede ci permette di affermare che entrambe le successioni ammettono un limite finito per 푛 → +∞.

Inoltre poiché

per 푛 → +∞, 푐표푠 휙2 → 1 ⟹ 푡푔 휙

2 = ⟶ 푠푒푛 휙2

i limiti delle due successioni sono uguali

lim→ ,

212푟 푡푔 휙

2 = lim→ ,

212푟 푠푒푛 휙

2 =12푟 ∙ 퐿

Dove si è posto


37

퐿 = lim→ ,

2 ∙ 푡푔 휙2 = lim

→ ,2 ∙ 푠푒푛 휙

2

Applicando il teorema del confronto alla relazione per 푛 → +∞ alla relazione

2 푟 푠푒푛(휙 2 ) <Area(cerchio)<2 푟 푡푔(휙 2 )

Si ottiene

eq. 4.1 Area(cerchio)= 푟 ∙ 푙푖푚→ ,

2 ∙ 푡푔 휙2 = 푟 ∙ 푙푖푚

→ ,2 ∙ 푠푒푛 휙

2 = 푟 ∙ 퐿

Per calcolare il valore 퐿 del limite si procede come segue:

detto 훼 un generico angolo ricordiamo dalle formule di duplicazione che

cos훼2 =

1 + cos(훼)2 ; sen

훼2 =

1 − cos(훼)2

In cui supponiamo che 0 < 훼 < ∅, e quindi consideriamo le funzioni seno e coseno

risultano positive (ipotesi non restrittiva in quanto stiamo valutando il limite L in cui l’angolo tende a zero).

Per il calcolo del valore L per 푛 → +∞bisogna incrementare 푛 a passi interi e quindi

bisecare l’angolo 훼 = 휙2 .

Ad esempio

al passo 푛 = 3 si ha 훼 = 휙2 = 휙

8, ed essendo cos 휙8 = √2

2 si ha

cos훼2 = cos

휙16 =

1 + cos 휙8

2 =1 + √2

22 =

12 2 + √2

sen훼2 = sen

휙16 =

1 − cos 휙8

2 =1− √2

22 =

12 2 − √2

al passo 푛 = 4 si ha 훼 = 휙4 = 휙

16, ed essendo cos 휙16 = 1

2 2 + √2, come

calcolato di sopra, si ha

cos훼2 = cos

휙32 =

1 + cos 휙16

2 =1 + 1

2 2 + √22 =

12 2 + 2 + √2


38

sen훼2 = sen

휙16 =

1− cos 휙16

2 =1 − 1

2 2 + √22 =

12 2 − 2 + √2

E’ semplice adesso valutare le precedenti espressioni al generico passo 푛:

cos휙

2 =

1 + cos 휙2푛−1

2 =12 2 + 2 + 2 + ⋯+ √2

sen휙

2 =

1 − cos 휙2푛−1

2 =12 2 − 2 + 2 + ⋯+ √2

A questo punto possiamo concludere che

퐿 = lim→ ,


→ ,2 ∙ 푠푒푛 휙

2 =

= lim→ ,


→ ,2

12⎣⎢⎢⎢⎡

2− 2 + 2 + ⋯+ 2

푛−2푣표푙푡푒 ⎦⎥⎥⎥⎤

eq. 4.2 퐿 = 푙푖푚→ ,

2 2− 2 + 2 +⋯+ √2

푛−2푣표푙푡푒

4.1.1 Definizione di 흅

La precedente espressione permette di ottenere facilmente una stima numerica di L e nella fig. 4.2 sono riportate le stime numeriche con 푛 = 3. .15, mentre nel grafico sono riportate le simulazioni numeriche delle due successione delle Aree dei Poligono Inscritti e di quelli Circoscritti sempre con 푛 = 3. .15 e raggio 푟 = 1


39

fig. 4.2: successione convergente a 휋

Poiché abbiamo visto che

Area(cerchio)= 푟 ∙ 퐿

Al simbolo ∙ 퐿 si dà il nome di 휋, la cui stima numerica approssimata si ottiene dai

dati della precedente tabella dividendoli per due e quindi possiamo porre

eq. 4.3 = 휋 ≅ 3,14159263퐿 = 2 ∙ 휋 ≅ 6,283185

e porre

eq. 4.4 Area(cerchio)= 푟 ∙ 퐿 = 푟 ∙ 2휋 = 휋 ∙ 푟

Per quanto riguarda il calcolo dell’aera di un generico settore circolare si ha ricordando che 휙 indica l’angolo giro nelle unità generiche

l’area del semicerchio è la metà dell’aera del cerchio, ossia

Area (semicerchio)= 휋 ∙ 푟 = 푟 ∙ 퐿 = 푟 퐿휙 ∙ ;

si osservi nella formula che rappresenta l’angolo piatto in unità generica

l’area del settore definito dall’angolo retto è un quarto dell’aera del cerchio, ossia

n L3 5,6568544 6,1229355 6,242896 6,2730977 6,2806628 6,2825559 6,283028

10 6,28314611 6,28317512 6,28318313 6,28318514 6,28318515 6,283185


40

Area (settore retto)= 휋 ∙ 푟 = 푟 ∙ 퐿 = 푟 퐿휙 ∙

si osservi nella formula che rappresenta l’angolo retto in unità generica

l’area di un generico settore circolare definito dall’angolo 훼 in unità generica è dato da

Area (settore circolare)= 푟 ∙ 퐿 ∙ 훼휙 = 푟 ∙ 2휋 ∙ 훼

휙 = 휋푟 훼휙 =

휋푟 2훼휙

Se ad esempio 휙 = 360°( ossia si usano le unità sessagesimali, la precedente formula assume il seguente aspetto:

Area (settore circolare)= 휋푟 훼360° = 휋푟 훼

180° = 휋180° 푟 훼

4.2 Perimetro della Circonferenza

Si vuole ora valutare la lunghezza di un circonferenza di raggio푟 > 0. A tale scopo riconsideriamo la fig. 4.3 con i poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza:

fig. 4.3:approssimazione polinomiale perimetro circonferenza

Abbiamo già dimostrato nel precedente paragrafo che

l’arco 푇푃 è compreso nel trapezio ATQP;

푡푔 휙2 > 푠푒푛 휙

2 , essendo 푐표푠 휙2 < 1 con 푛 > 2

per 푛 → +∞, 푐표푠 휙2 → 1 ⟹ 푡푔 휙

2 = ⟶ 푠푒푛 휙2


41

Si valuti ora per ogni 푛 la successione dei Perimetri dei Poligoni Inscritti e quella dei Perimetri dei Poligono Circoscritti.

Essendo

퐴푃 = 푟 ∙ 푠푒푛(휙 2 ) ⇒ successione {푃푒푟푖푚푒푡푟표푃표푙푖푔표푛푖퐼푛푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 ∙

푠푒푛(휙 2 )

푇푄 = 푟 ∙ 푡푔(휙 2 ) ⇒ successione{푃푒푟푖푚푒푡푟표푃표푙푖푔표푛푖퐶푖푟푐표푠푐푟푖푡푡푖} = 2 푟 ∙

푡푔(휙 2 )

Poiché pern → +∞

le due successioni {푃푒푟푖푚푒푡푟표푃표푙푖푔표푛푖퐼푛푠푐푟푖푡푡푖} e {푃푒푟푖푚푒푡푟표푃표푙푖푔표푛푖퐶푖푟푐표푠푐푟푖푡푡푖} si comportano allo stesso modo delle successioni delle Aree di cui al paragrafo precedente ed hanno quindi lo stesso limite;

푡푔 휙2 ⟶ 푠푒푛 휙

2 , ossia per 퐴푃 ⟶ 푇푄 e quindi l’arco 푇푃 → 퐴푃 e 푇푃 → 푇푄

ossia l’arco di circonferenza si confonde con in due segmenti dei triangoli inscritti e circoscritti in quanto, si ricordi, che tale arco è compreso nel trapezio

la cui area tende a zero poiché se 퐴푃 ⟶ 푇푄 ⇒ 퐴푇 ⟶ 0푒푃푄 ⟶ 0

Allora si può concludere che il perimetro Cr della circonferenza di raggio 푟 è dato da:

eq. 4.5 Cr= 푟 ∙ 푙푖푚→ ,

2 ∙ 푡푔 휙2 = 푟 ∙ 푙푖푚

→ ,2 ∙ 푠푒푛 휙

2 = 푟 ∙ 퐿

Ricordando che si è posto 퐿 = 2 ∙ 휋 possiamo concludere

eq. 4.6 Cr= 푟 ∙ 퐿 = 2휋 ∙ 푟

Il perimetro della circonferenza è dunque proporzionale al raggi secondo un coefficiente di proporzionalità pari a valore del limite 퐿 = 2 ∙ 휋.

Pertanto posto Cr1= 2휋 ∙ 푟 ; Cr2= 2휋 ∙ 푟 ;Cr0= 2휋

Si ha

Cr2/Cr1= 푟푟 = 2휋=Cr0

dove Cr0 indica la circonferenza di raggio 푟 = 1

Per quanto riguarda la lunghezza di u arco definito da un angolo di 훼 unità generiche si ha:


42

L(arco)= 푟 ∙ 퐿 훼휙 = 푟 ∙ 2휋 훼

휙

Se ad esempio 휙 = 360°( ossia si usano le unità sessagesimali, la precedente formula assume il seguente aspetto:

L(arco)= 푟 ∙ 퐿 훼360° = 푟 ∙ 휋

180° 훼


43

___________________________________________________

Quaderno n°3 Capitolo 5– Misura degli angoli

44

CAPITOLO 5 MISURA DEGLI ANGOLI

5.1 Definizione di unità radiante L’unità radiante per la misura degli angoli (piani) è quel valore per cui si pone

휙 = 퐿 = 2휋

In altri termini l’angolo giro viene diviso in 퐿 = 2휋 parti e pertanto una unità radiante di angolo è pari a

1푟푎푑 = 1퐿 = 1

2휋

Tale unità possiamo chiamarla anche unità naturale in quanto semplifica le formule viste precedentemente dove 훼 è espresso in unità radianti:

Area (settore circolare)= 푟 ∙ 퐿 ∙ 훼휙 = 푟 ∙ 퐿 ∙ 훼 퐿 = 푟 ∙ 훼

L(arco)= 푟 ∙ 퐿 훼퐿 = 푟 ∙ 훼

Le due precedenti formule sono importanti in quanto permettono determinare una analogia tra le formule dei triangoli iscritti e circoscritti e quelle del settore circolare.

Infatti riferendoci alla fig. 5.1 si ha

fig. 5.1:arco di ciroonferenza


45

1. Nel caso dell’area:

Area (triangolo OQT)= 푟 푡푔(훼),

Area (triangolo OAP)= 푟 푠푒푛(훼),

Area (settore circolare)= 푟 ∙ 훼: tale formula è molto simile a quella dei

triangoli inscritti e circoscritti, semplicemente al posto delle funzioni tangente e seno dell’angolo si sostituisce il valore 훼 dell’angolo espresso in radianti.

2. Nel caso della lunghezza dei segmenti per il calcolo del perimetro:

Segmento 푇푄 = 푟 ∙ 푡푔(훼), Segmento 퐴푃 = 푟 ∙ 푠푒푛(훼) L(arco 푇푃) = 푟 ∙ 훼: tale formula è molto simile a quella per il calcolo dei lati

dei triangoli inscritti e circoscritti, anche in questo caso al posto delle funzioni tangente e seno dell’angolo si sostituisce il valore 훼 dell’angolo espresso in radianti.

Riprendendo la formula L(arco) = 푟 ∙ 훼 si può osservare che la lunghezza di un arco è

semplicemente

Il prodotto del raggio della circonferenza per l’angolo espresso in radianti

5.2 Valutazione del rapporto 푳 흓

La valutazione degli angoli in unità radianti porta alla semplificazione del rapporto 퐿 휙

che rappresenta un importante limite notevole.

Si ricordi infatti che si era posto

퐿 = lim→

2 ∙ 푠푒푛 휙2

Da ciò si deduce che

lim→

푠푒푛 휙2

휙2

= 퐿휙 = 2휋

휙

Siccome per 푛 → +∞ l’angolo 휙2 → 0 il precedente limite ci dice che detto 휃 un

angolo misurato in unità generiche

eq. 5.1 푙푖푚 →( ) = 퐿

휙 = 2휋휙

Pertanto abbiamo

se 휃 è misurato in gradi sessagesimali, ossia se 휙 = 360° segue


46

lim→

푠푒푛(휃)휃

= 퐿360° = 휋

180°

se 휃 è misurato in gradi centesimali, ossia se 휙 = 400° segue

(lim→

푠푒푛(휃)휃

= 퐿400° = 휋

200°

se 휃 è misurato in radianti , ossia se 휙 = 퐿 = 2휋 segue

lim→

푠푒푛(휃)휃

= 퐿퐿 = 1

Allora la misura degli angoli in unità radianti è quella che rende unitario il suindicato limite notevole. Anzi tale proprietà potrebbe essere utilizzata anche come definizione alternativa di unità radiante a quella fornita precedentemente.

5.3 Legame tra le diverse unità di angolo

Si indichi con

훼(푟푎푑) la misura di un angolo in radianti

훼(휙)la misura dello stesso angolo in unità genica

Siccome 2휋푒휙 rappresentano l’angolo giro nei due tipi di unità , avremo che il

rapporto 휙 2휋 indica a quante unità generiche corrisponde una unità radiante, per cui

a 훼(푟푎푑) radianti corrispondono

eq. 5.2 훼(휙) = 휙2휋 ∙ 훼(푟푎푑) unità generiche

Ad esempio nel caso sessagesimale 휙 = 360°, 훼(휙) = 훼°

훼° = 360°2휋 ∙ 훼(푟푎푑) = 180° 휋 ∙ 훼(푟푎푑)

5.4 Osservazione

Riprendiamo la disuguaglianza analizzata precedentemente per il calcolo dell’area del cerchio, riferendoci alla fig. 4.1

Area (triangolo OAP)<Area(settore circolare OPT)<Area (triangolo OQT)

Inserendo le formule trovate in precedenza la precedente relazione assume la forma

푟 푠푒푛(훼) < 푟 퐿 훼휙 < 푟 푡푔(훼),,

Dividendo per 푟 si ottiene

푟 ∙ 푠푒푛(훼) < 푟퐿 훼휙 < 푟 ∙ 푡푔(훼),


47

Nel caso in cui 훼 fosse espresso in radianti si avrebbe

푟 ∙ 푠푒푛(훼) < 푟훼 < 푟 ∙ 푡푔(훼),

푠푒푛(훼) < 훼 < 푡푔(훼),

Ricordando il significato geometrico dei termini

Segmento 푇푄 = 푟 ∙ 푡푔(훼), Segmento 퐴푃 = 푟 ∙ 푠푒푛(훼) L(arco 푇푃) = 푟 ∙ 훼 si ha

Si ha

퐴푃 < L(arco 푇푃)<푇푄

Ossia l’arco è maggiore del segmento del triangolo inscritto e minore di quello circoscritto ed inoltre l’angolo è maggiore del corrispondete seno e minore della corrispondete tangente.

Inoltre, riferendoci alla fig. 5.2

fig. 5.2: relazione tra l’arco e segmenti inscritti e circoscritti

Essendo 푃푅 = 2퐴푃; 푄푉 = 2푄푇 e L(arco 푃푅)=2 L(arco 푇푃

Si ha

2퐴푃 <2 L(arco 푇푃)<2푇푄

Da cui

푃푅 < L(arco 푃푅)<푄푉


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La precedente relazione ci dice che

la corda sottesa ad un angolo 훼 è sempre minore dell’arco di circonferenza sotteso allo stesso angolo

il segmento tangente sotteso ad angolo 훼 sempre maggiore dell’arco di circonferenza sotteso allo stesso angolo

Tali proprietà sono conseguenza diretta delle proprietà delle funzioni trigonometriche, le quali discendono dai teoremi sulla similitudine dei triangoli (teoremi di Talete) che sono conseguenti agli assiomi della geometria euclidea. In ultima analisi non è necessario introdurre l’Assioma di Archimede (sulle lunghezze delle curve con curvatura non nulla rispetto alle rette) per dimostrare le proprietà del cerchio e della circonferenza. Infatti quanto espresso in tale assioma (almeno nel caso della circonferenza) discende dagli assiomi che definiscono la geometria euclidea.


49

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Quaderno n°3 Capitolo 5– Derivate funzioni trigonmetriche

50

CAPITOLO 6 DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Si vuole ora procedere al calcolo delle derivate del seno e del coseno, facendo uso del

valore del limite notevole lim →( ) = 퐿

휙 = 2휋휙

6.1 Derivata del seno

Dalla definizione di derivata segue

퐷푠푒푛(푥) = lim∆ →

푠푒푛(푥 + ∆푥) − 푠푒푛(푥)∆푥

Ricordiamo le seguenti formule

푠푒푛(훼 − 훽) = sen(훼) cos(훽)− cos(훼) sen(훽)

푠푒푛(훼 + 훽) = sen(훼) cos(훽) + cos(훼) sen(훽)

Da cui sottraendo la seconda dalla prima si ottiene

푠푒푛(훼 + 훽)− 푠푒푛(훼 − 훽) = 2 cos(훼) sen(훽)

Si ponga ora

훼 + 훽 = 푥 + ∆푥훼 − 훽 = 푥

Dalla cui soluzione segue

훼 = 푥 +12∆푥

훽 =12∆푥

Sostituendo


51

퐷푠푒푛(푥) = lim∆ →

2푠푒푛 12∆푥)cos(푥 + 1

2∆푥

∆푥

퐷푠푒푛(푥) = cos(푥) lim∆ →

푠푒푛 12∆푥

∆푥2

= cos(푥) ∙ 2휋휙

La precedente espressione è quella in unità di angolo generiche.

Nei casi specifici si ha

se 푥 è misurato in gradi sessagesimali, ossia se 휙 = 360° segue

퐷푠푒푛(푥) = 휋180° ∙ cos(푥)

se 푥 è misurato in gradi centesimali, ossia se 휙 = 400° segue

퐷푠푒푛(푥) = 휋200° ∙ cos(푥)

se 푥 è misurato in radianti , ossia se 휙 = 퐿 = 2휋 segue

퐷푠푒푛(푥) = cos(푥)

6.2 Derivata del coseno Ricordiamo che

cos(푥) = 푠푒푛(휙4− 푥)

푠푒푛(푥) = 푐표푠(휙4− 푥)

퐷푐표푠(푥) = 퐷푠푒푛휙4− 푥 = − 2휋

휙 cos휙4− 푥 == − 2휋

휙 sen(푥)

La precedente espressione è quella in unità di angolo generiche.

Nei casi specifici si ha

se 푥 è misurato in gradi sessagesimali, ossia se 휙 = 360° segue 퐷푐표푠(푥) = − 휋

180° ∙ sen(푥)

se 푥 è misurato in gradi centesimali, ossia se 휙 = 400° segue

퐷푐표푠(푥) = − 휋200° ∙ sen(푥)

se 푥 è misurato in radianti , ossia se 휙 = 퐿 = 2휋 segue

퐷푐표푠(푥) = −푠푒푛(푥)


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6.3 Derivata della tangente

퐷푡푔(푥) = 퐷푠푒푛(푥)cos(푥)

=퐷푠푒푛(푥) ∙ cos(푥) − 푠푒푛(푥)퐷푐표푠(푥)

[cos(푥)]

퐷푡푔(푥) =푐표푠(푥) ∙ cos(푥) + 푠푒푛(푥)푠푒푛(푥)

[cos(푥)]2휋

휙 = 2휋휙

1[cos(푥)]

Se si usano le unità radianti si ha

퐷푡푔(푥) =1

[cos(푥)]


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