Geometria Euclidea e

Geometria non Euclidea

La storia della geometria Euclidea

La nascita della geometria come parte del pensiero scientifico razionale avviene nel III secolo a.C. grazie ad Euclide che nei suoi 'Elementi' riassume e sistematizza tutto il sapere scientifico dell'epoca, dandogli una struttura logica fondata su enti primitivi e proprietà fondamentali, dette postulati.

I concetti fondamentali

TERMINI PRIMITIVI ASSIOMI

NUOVI ENTINUOVE PROPRIETA’

(TEOREMI)

Da cui si deducono

Mediante definizioniMediante dimostrazioni

Termini o enti primitivi

Punto, retta e piano. Qualunque altro oggetto geometrico può essere definito a partire da questi

Assiomi o postulati

Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

- Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette

- La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

-Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta determinano un piano ed uno solo che li contiene

I 5 POSTULATI DI EUCLIDE:

I) si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad ogni altro punto;II) si possa prolungare indefinitamente una linea retta ;III) si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi;IV) tutti gli angoli retti siano uguali fra di loro; V)se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette.

Per il quinto, detto postulato delle parallele, che in forma più semplice equivale a dire che:" Per un punto è possibile tracciare una sola retta parallela ad una retta data"Lo stesso Euclide dubitò della validità di esso: infatti lo utilizzò nella dimostrazione del teorema della somma degli angoli interni di un triangolo ed evitò il più possibile di richiamarlo in altre dimostrazioni.Per molto tempo i matematici furono convinti che il quinto postulato di Euclide non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema: ci furono tanti tentativi di dimostrarlo e di sostituirlo con nuovi postulati ma tutte le sostituzioni si rivelarono equivalenti ad esso.Ma alcuni matematici arrivarono persino alla negazione di tale postulato, dando vita alle GEOMETRIE NON EUCLIDEE.

Una geometria non euclidea è:una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. (Viene detta anche metageometria).

La Geometria non Euclidea

Il quinto postulato di Euclide, delle parallele” è quello che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse. La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da Hilbert, che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei).

Tentativi di dimostrazione del quinto postulato

Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: Proclo nel suo Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide ci riferisce delle "dimostrazioni" di Posidonio e Tolomeo, proponendone poi una sua.

Altri tentativi furono compiuti dai matematici arabi, tra cui Nasir al-Din al-Tusi che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un triangolo e Omar Khayyam che nei suoi Commenti sui difficili postulati del libro di Euclide dimostrò accidentalmente alcune proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee.

In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un assioma equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione. Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "due rette che non s'incontrano mai". Per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il luogo dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo.

La Geometria ellittica o riemanniana si ottiene “depennando” il V postulato e ponendo al suo posto il postulato:

Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata.

Essa sarà “non contradditoria“, ossia non porterà mai ad affermare un asserto e contemporaneamente il suo opposto, se è possibile trovare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato.

La Geometria Ellittica

Gli enti primitivi della Geometria di Riemann sono:

Il pianoEsso è costituito da una qualunque superficie sferica

Il puntoEsso è costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica

Il rettaEssa è costituita da una qualsiasi circonferenza massima

Modello di Riemann

Nel modello di Riemann come enti primitivi consideriamo il piano costituito da tutti i “punti” P di una qualunque superficie sferica; P, il “punto” costituito da una coppia di punti simmetrici della sfera rispetto al centro appartenenti alla superficie sferica, la “retta” R che è la circonferenza di raggio massimo. In queste condizioni data la retta R ed un punto P esterno ad essa non si può trovare nessuna retta R’ passante per P e parallela ad R.

La Geometria iperbolica o di Bolyai- Lobacevskij cancella il V postulato e pone al suo posto il postulato

Esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r.

Essa sarà “non contradditoria“ se è possibile individuare un modello che soddisfi sia ai primi quattro postulati scritti da Euclide che al postulato.

Geometria iperbolica

Gli enti primitivi della Geometria di Bolyai-Lobacevskij sono:

Il pianoEsso è costituito dalla superficie di una qualunque sella

Il puntoEsso è costituito da un qualsiasi punto interno alla superficie curva

Il rettaEssa è costituita da una qualunque geodetica

Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180° e dipende dalla grandezza del triangolo.

Modello di Klein

Sia C un cerchio privato della circonferenza, i “punti” sono i punti di tale cerchio, mentre le “rette” siano le corde della stesso cerchio.

Considerando la retta AB, un punto M fuori da essa, esistono infinite rette passanti per M che non intersecano AB, che sono rappresentate da tutte le corde per M e per C dell’arco AP e BQ.

B

QA

C

M

P

FINE