GEOMETRIA
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GEOMETRIA
TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI
CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
E SUE CONSEGUENZE
FIGURE CONGRUENTI
• Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere.
• Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.
C C1
A B B1 A1
• ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1
Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa).
Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.
PROPRIETA’
• L’inverso di un teorema è una proprietà
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA
• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti.
• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.
C C1
A B B1 A1
• IPOTESI: AC A1C1 lato AB A1B1 lato CABC1A1B1 angolo
• TESI: ABCA1B1C1 triangolo
Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.
DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale)
• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,
anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno.
• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1.
• AB si sovrappone ad A1B1.• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,
Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.
• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo
A1B1C1.
TEOREMA
• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C
IPOTESI: ACBC
TESI: CABCBA
A E B
DIMOSTRAZIONE
• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.
• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:
CE in comune
CA CB per ipotesi
ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice
• I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.
Il triangolo ACE CBE, quindi l’angolo CAB ABC,
C.V.D.(come volevasi dimostrare)
ANGOLI SUPPLEMENTARI
• Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro.
1. Angoli supplementari di uno stesso angolo.
i due angoli supplementari sono uguali π -
π - π -
2. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro.
a b a1 b1
o o
Angoli
Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti
PROPRIETA’
• Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.
1. + + 2. - -
TEOREMA• Angoli opposti al vertice sono congruenti
A B
OAngolo AOB
Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB
π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari
2. π π AOB AOB
π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti
SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA
• Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti.
C C1
D
A B A1 B1
IPOTESI:
Angolo A A1 Angolo B B1 AB A1B1
TESI:
Triangolo ABC A1B1C1
DIMOSTRAZIONE per assurdo
• IPOTESI: vera
• (Nego la TESI) non TESI: vera
• Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa
• Vuol dire che la TESI è vera
• TESI: vera
DIMOSTRAZIONE
1. IPOTESI: lato AB A1B1 angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1
TESI: triangolo ABC A1B1C12. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1
ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversiACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1
Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:AB A1B1 per ipotesiCAB C1A1B1 per ipotesiAD A1C1 per costruzione
Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza.I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:
angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.
• Angolo CBA C1B1A1 ABD A1B1D1
per la proprietà transitiva della congruenza.
3. Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC.
4. Resta dimostrata la verità della TESI.
C C1
D
A B A1 B1
2° TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO
• E’ UNA PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI
1. In ogni triangolo un angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso “non adiacenti”.
2. La somma degli angoli interni di un triangolo qualuncue è congruente ad un angolo piatto.
- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
- in ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente a 60°.
- se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti hanno congruenti anche gli angoli rimanenti (per differenze di angoli congruenti)
Pag. 79 n° 17
• IPOTESI: ABC triangolo DAC angolo esterno
• TESI: angolo DAC angoli CAB + ACB• DIMOSTRAZIONE:Traccio un asemiretta di origine A parallela a BC e interna all’angolo
CAD. Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale BD. Esse formano:
- gli angoli corrispondenti DAH e ABC per la proprietà delle rette parallele.
Considero le rette AH//BC tagliate dalla trasversale AC. Esse formano:- gli angoli alterni interni HAC e BCA per la proprietà delle rette
parallele.Essendo gli angoli DAC= angoli DAH+HAC allora, DAC CBA +
ACB perché somme di angoli congruenti.
LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO È CONGRUENTE A 180°
• La conseguenza è che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a 180° (pag. 80 n°18):
- gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari, per la proprietà del triangolo rettangolo;
- In ogni triangolo equilatero ciascun angolo è congruente alla 3^ parte di un angolo piatto, per la proprietà del triangolo equilatero;
- Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, hanno congruenti anche gli angoli rimanenti; per differenza di angoli congruenti.
Di conseguenza: abbiamo il 2° criterio generalizzato
2° CRITERIO GENERALIZZATO
• Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi, purché ugualmente disposti, sono congruenti.
1° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE
• Sapendo che un triangolo ha 2 angoli congruenti, il triangolo è isoscele, per il 1° criterio
2° CRITERIO DEL TRIANGOLO ISOSCELE
• Sapendo che un triangolo ha 2 lati congruenti, il triangolo è isoscele, per definizione
2^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è pure altezza e mediana relativa alla base.
3^ PROPRIETA’ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele la mediana alla base è pure altezza e bisettrice al vertice.
4° PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
• In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice dell’angolo al vertice.
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO
• La somma degli angoli interni di un poligono convesso è congruente a tanti angoli piatti quanti sono i lati del poligono meno 2.
CONGRUENZA DI 2 TRIANGOLI RETTANGOLI
Per essere congruenti devono avere:1. un cateto : secondo il 1° criterio2. un cateto e l’angolo acuto adiacente : per il 2°
criterio3. L’ipotenusa e un angolo acuto: per il 2° criterio
generalizzato4. un cateto e l’angolo acuto opposto: per il 2°
criterio generalizzato5. L’ipotenusa ed un cateto
PARALLELOGRAMMO
• È un quadrilatero avente i lati opposti paralleli
PROPRIETA’ DEL PALALLELOGRAMMO
• In ogni parallelogrammo:
1. Ciascuna diagonale divide il parallelogrammo in 2 triangoli congruenti
2. I lati opposti sono congruenti
3. Gli angoli opposti sono congruenti
4. Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
5. Le due diagonali hanno lo stesso punto medio
CRITERI DEL PARALLELOGRAMMO
• In ogni parallelogrammo:
1. Se le diagonali hanno lo stesso punto medio
2. Se i lati sono congruenti
3. Se gli angoli opposti sono congruenti
4. Se gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari
5. Se ha due lati opposti congruenti e paralleli
PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL
RETTANGOLO
• Parallelogramma avente 4 angoli retti
PROPRIETA’ DEL QUADRATO E DEL
RETTANGOLO
• Le diagonali sono congruenti
• Il centro è equidistante dai vertici
CRITERIO DEL RETTANGOLO
• Un parallelogramma, avente le diagonali congruenti, è un rettangolo