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CURVE E SUPERFICI

Parte I - Curve nel piano

Sezione 1 - Forme cartesiane e parametriche

1 - Richiami sulle applicazioni 1/3

Se m, n sono numeri interi positivi, una applicazione a n variabili a valori in Rm e una

applicazione f : Rn Rm.

Se X = (x1, . . . xn) Rn, abbiamo

f(X) = f(x1, . . . xn) = (f1(x1, . . . xn), . . . , fm(x1, . . . xn)).

Le funzioni fi : Rn R si dicono le componenti di f .


Se f : Rn Rm, il dominio (o campo di esistenza) Df di f e il sottoinsieme di Rn dovef e definita.

In generale Df 6= Rn: per esempio, se f(x, y) =x y allora Df = {(x, y) Rn| x y}.

Se D Df e se consideriamo f solo su D, diciamo che f e ristretta a D. In tal casoscriviamo f : D Rn.


Se f : Rn Rm, il luogo di zeri di f e il sottoinsieme Z(f) di Df definito da

Z(f) = {X Df | f(X) = O}.

Ricordiamo che limmagine di f e il sottinsieme Im(f) di Rm definito da

Im(f) = {Y Rm| X Df tale che f(X) = Y }.

4 - Esempi 1/4

1

Sia f : R2 R definita da f(x, y) = x 2y + 1. Allora

Z(f) = {(x, y) R2| x 2y + 1 = 0}

e una retta r in forma cartesiana: r : x 2y + 1.

5 - Esempi 2/4

Sia f : R R2 definita da f(t) = (t 1,3t+ 2). Allora

Im(f) = {(x, y) R2| t R tale che (x, y) = (t 1,3t+ 2)}

e una retta r forma parametrica:

r : t(1,3) + (1, 2).

6 - Esempi 3/4

Sia f : R3 R2 definita da f(x, y, z) = (x 2y + 1, x+ y + z). Allora Z(f) e la retta informa cartesiana in R3 di equazioni{

x 2y + 1 = 0x+ y + z = 0

7 - Esempi 3/3

Sia f : R2 R3 definita da

f(t1, t2) = (2t1 + t2 1, t1 t2,t1 + 3t2 + 2)

.

Allora Im(f) e il piano in forma parametrica{x = 2t1 + t2 1y = t1 t2z = t1 + 3t2 + 2

8 - Considerazioni generali

2

Gli esempi precedenti si generalizzano ai due modi fondamentali per rappresentare un

oggetto geometrico in R2 o R3. Tali modi saranno utilizzati per studiare quelle che sono

usualmente chiamate curve (nel piano e nello spazio) e superfici (nel piano).

9 - Forma cartesiana e forma parametrica 1/2

Siano m, n numeri interi positivi con 1 m < n 3 e sia E un sottoinsieme di Rn.

1) se E = Z(f) con f = (f1, . . . , fm) : Rn Rm, E si dice in forma cartesiana conequazione/i

E : f1 = f2 = = fm = 0.

2) se E = Im(P ) con P : D Rn e D DP , E si dice in forma parametrica conparametrizzazione

E : P (t1, . . . , tm), (t1, . . . , tm) D.

10 - Forma cartesiana e forma parametrica 2/2

Casi generici:

1) n = 2, m = 1: curve in forma cartesiana in R2;

2) n = 3, m = 1: superfici in forma cartesiana in R3;

3) n = 3, m = 2: curve in forma cartesiana in R3;

4) n = 1, m = 2: curve in forma parametrica in R2;

5) n = 1, m = 3: curve in forma parametrica in R3;

6) n = 2, m = 3: superfici in forma parametrica in R3.

12 - Osservazione

Il termine generico indica che il precedente e uno schema per rappresentare oggetti

geometrici e non una definizione formale.

Altrimenti i sottoinsiemi di R2 E1 : x2 + y2 = 0 e E2 : x2 + y2 + 1 = 0 consistenti

rispettivamente nella sola origine e nellinsieme vuoto sarebbero curve, in contrasto con la

nozione intuitiva di curva.

3

Sezione 2 - Circonferenze

1 - Circonferenze come luoghi geometrici

Ricordiamo che, dati un punto P0 nel piano e un numero reale R > 0, la circonferenza

C(P0, R) di centro P0 e raggio R e il luogo dei punti la cui distanza da P0 e R.

2 - Equazione della circonferenza 1/3

Fissato un sistema di riferimento, se P0 = (x0, y0) R2 e R > 0, abbiamo lusualeequazione di C(P0, R) riferita a centro e raggio:

C(P0, R) : (x x0)2 + (y y0)2 = R2


1) La circonferenza di centro O = (0, 0) e raggio 1 ha equazione x2 + y2 = 1 (circonferenza

unitaria).

2) La circonferenza di centro (1,2) e raggio 2 ha equazione (x 1)2 + (y + 2)2 = 4.


Sviluppando i quadrati nellequazione della circonferenza e ponendo a = 2x0, b = 2y0e c = x20 + y

20 R2 otteniamo

C(P0, R) : x2 + y2 + ax+ by + c = 0.

Nellesempio precedente abbiamo C((1,2), 2) : x2 + y2 2x+ 4y + 1 = 0.

5 - Circonferenze come luoghi di zeri 1/3

Viceversa consideriamo linsieme E = Z(f) R2 definito da unequazione del tipo

f(x, y) = x2 + y2 + ax+ by + c = 0.

con 6= 0. A meno di dividere per possiamo assumere che = 1.

4


Abbiamo f(x, y) = (x2 + ax) + (y2 + by) + c:

per completamento dei quadrati,

x2 + ax = (x+a

2)2 a

2

4e y2 + by = (y +

b

2)2 b

2

4.

Posto x0 = a2 , y0 = b2 e d =

a2+b2

4 c,

E : (x x0)2 + (y y0)2 d = 0.


Abbiamo tre casi:

1) se a2+b2 > 4c allora d > 0 e , posto R =d, E e la circonferenza di centro P0 = (x0, y0)

e raggio R;

2) se a2 + b2 = 4c, allora d = 0 e E e il punto P0 = (x0, y0);

3) se a2 + b2 < 4c, allora d < 0 e E = .

8 - Esempio

Consideriamo la famiglia di insiemi

Ek : x2 + y2 + 2x 4y + k = 0

al variare di k R.

Poiche x2 + y2 + 2x 4y+ k = (x+ 1)2 + (y 2)2 + k 5, Ek e una circonferenza di centro(1, 2) e raggio

5 k se k < 5, coincide col punto (1, 2) se k = 5 e e vuoto se k > 5.

9 - Circonferenza per tre punti 1/2

I tre punti P1 = (1, 1), P2 = (1,1), P3 = (0, 1) sono non allineati. Sappiamo che lunicacirconferenza passante per tali punti ha equazione del tipo

C : x2 + y2 + ax+ by + c = 0.

5

Sostituendo nellequazione le coordinate dei punti otteniamo un sistema lineare S.

10 - Circonferenza per tre punti 2/2

Abbiamo

S :

{a+ b+ c = 2a b+ c = 2b+ c = 1

.

La condizione di non allineamento implica che S e determinato e l unica soluzione e

(1, 0,1).Quindi C : x2 + y2 x 1 = 0 e la circonferenza di centro ( 12 , 0) e raggio

54 .

Sezione 3 - Circonferenze e rette

1 - Intersezione tra circonferenze e rette 1/2

Se C = C(P0, R) e una circonferenza e r e una retta abbiamo tre casi:

1) se C r = , allora r e esterna a C;

2) se C r = P e un punto, allora r e tangente a C in P ;

3) se C r = {P1, P2} e formato da due punti, allora r e secante C in P1, P2.

2 - Intersezione tra circonferenze e rette 2/2

Rispetto a C(P0, R), una retta r e :

1) esterna se e solo se d(P0, r) > R;

2) tangente se e solo se d(P0, r) = R;

3) secante se e solo se d(P0, r) < R.

3 - Esempio 1/3

Sia C : x2 + y2 2x + 2y + 1 = 0 e rk : x + y + k = 0 al variare di k R. Allora C hacentro P0 = (1,1) e raggio R = 1 e abbiamo

d(P0, rk) =|k|

2.

6

Quindi rk e esterna per |k| >

2, tangente per k =

2 e secante per |k| R1 +R2 o d < R1 R2 , C1 e C2 sono disgiunte;

2) se d = R1 +R2 o d = R1 R2, C1 e C2 sono tangenti internamente o esternamente;

3) se R1 R2 < d < R1 +R2, C1 e C2 si intersecano in due punti.

Sezione 4 - Circonferenze in forma parametrica

1 - Curve semplici e curve chiuse

Una curva parametrica : P (t), t D si dice semplice se P (t) e iniettiva su D. SeD = [a, b] e se P (a) = P (b), si dice chiusa. Infine, se e chiusa e se P (t) e iniettiva

su (a, b), si dice semplice e chiusa.

2 - Esempio

Sia C = C(O, 1) : x2 +y21 = 0. Poiche x2 +y2 = 1 implica che esiste (unico) [0 2)tale che x = cos, y = sen, possiamo parametrizzare C come curva semplice e chiusa con

C :{x = cosy = sen , [0 2].

3 - Equazioni parametriche della circonferenza 1/3

In generale, se C = C(P0, R), allora

C :{x = Rcos + x0y = Rsen + y0

, [0 2].

Infatti C : (xx0)R22

+ (yy0)R22

= 1.


8

P1(t) = (cos2t, sen2t), t [0 1], P2(u) = (2u

u2 + 1,u2 1u2 + 1

), u R.

sono altre parametrizzazioni di C = C(O, 1).

Osserviamo che Im(P2) = C \ {(0, 1)}.


Se parametrizziamo C : x2 + y2 1 = 0 con

C : P () ={x = cosy = sen , [0 4].

abbiamo una parametrizzazione non semplice in quanto P () = P ( + 2) per ogni .

Questo prova limportanza del dominio della parametrizzazione scelta.

Sezione 5 - Esempi di curve in forma cartesiana e parametrica

1 - Grafici

Se f : R R e una funzione continua, il grafico Gf = {(x, y) R2| x Df , y = f(x)}ha equazioni parametriche

Gf :{x = ty = f(t) , t Df .

2 - Esempio

La semicirconferenza C+ = {(x, y) R2| x2 + y2 1 = 0, y 0} e il grafico di f(x) =

1 t2, quindi ha equazioni parametriche{x = ty =

1 t2 , t [0 1]

Osserviamo che unaltra parametrizzazione di C+ e P () = (cos, sen), [0 ].

3 - Folium di Cartesio 1/2

La curva parametrica

9

: P (t) ={x = t(t 1)y = t(t 1)(2t 1) , t R

si dice folium di Cartesio. non e semplice, in quanto P (0) = P (1) = (0, 0), ma se

consideriamo P (t) ristretta a [0, 1] abbiamo una curva semplice e chiusa.

4 - Folium di Cartesio 2/2

Dalle equazioni parametriche otteniamo t2 t x = 0 e y = x(2t 1), da cuit = 1

1+4x2 e y = x

1 + 4x. Quindi una equazione cartesiana di e 4x3 +x2 y2 = 0.

5 - Strofoide

La curva cartesiana : x3 + xy2 + x2 y2 = 0 si puo rappresentare in forma parametrica.Infatti, per x 6= 1 possiamo scrivere : y2 = x2 1+x1x . Ponendo y = tx e sostituendootteniamo

:

{x = t

21t2+1

y = t3tt2+1

, t R

Questa curva e detta strofoide.

6 - Lemniscata

La curva cartesiana : (x2 +y2)2x2 +y2 = 0 si puo studiare usando le coordinate polari.Infatti, sostituendo x = cos e y = sen abbiamo 4 2cos2 = 0, da cui 2 = cos2.Quindi

:{x =cos2cos

y =cos2sen

, [4,

4] [ 3

4,

54

].

Questa curva e detta lemniscata.

7 - Forma polare

Possiamo generalizzare lesempio precedente: se : f(x, y) = 0 e una curva in forma

cartesiana, sostituendo x = cos, y = sen otteniamo una equazione : f(, ) = 0.

Tale rappresentazione si dice forma polare di .

Se possiamo esprimere in funzione , cioe = (), abbiamo la parametrizzazione

10

:{x = ()cosy = ()cos

8 - Esempi

1) Se r e una retta per O e e langolo tra r e lasse delle ascisse, allora r ha forma polare

= ;

2) Una circonferenza di centro O e raggio R ha forma polare = R.

Osserviamo che circonferenze non centrate in O e rette non passanti per O non hanno

forme polari cosi semplici.

9 - Spirali 1/2

Se a > 0, abbiamo le:

1) spirali logaritmiche date da = ea, R;

2) spirali di Archimede date da = a, 0;

3) spirali iperboliche date da = a , > 0.

12 - Spirali 2/2

Spirale di Archimede con a = 1.

FIG.6

11

Parte II - Coniche

Sezioni 1 - Coniche geometriche

1 - Coniche come luoghi geometrici

1) Ellisse: insieme dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti F1 e F2,

detti fuochi, e costante. Il caso F1 = F2 corrisponde alla circonferenza.

2) Iperbole: insieme dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti F1 e

F2 detti fuochi, e costante.

3) Parabola: insieme dei punti dei punti equidistanti da una retta d, detta direttrice e da

un punto F , F / d, detto fuoco.

2 - Coniche in forma canonica 1/3

Sia C una conica. Scegliamo un sistema di riferimento Oxy nel piano in modo che:

1) se C e una ellisse o una iperbole, allora F1 = (c, 0) e F2 = (c, 0) con c 0;

2) se C e una parabola, F = (0, c) e d : y = c con c > 0.

3- Coniche in forma canonica 2/3

Nei sistemi di riferimento del tipo descritto le coniche sono rappresentate da equazioni

cartesiane di forma particolamente semplice. Si dice in tal caso che le coniche sono in

forma canonica.

4 - Ellisse in forma canonica 1/2

Se C e una ellisse, C e rappresentata in Oxy da unequazione del tipo:

x2

a2+y2

b2= 1

dove a b > 0 sono i semiassi e c =a2 b2.

Per a = b C e la circonferenza di raggio a e centro O.

5 - Ellisse in forma canonica 2/2

12

C ha un centro di simmetria (lorigine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati).

Le intersezioni di C con gli assi, dette i vertici di C, sono i punti V1 = (a, 0), V2 = (a, 0),V3 = (0, b), V4 = (0,b).

6 - Iperbole in forma canonica 1/2

Se C e uniperbole, C e rappresentata in Oxy da unequazione del tipo:

x2

a2 y

2

b2= 1

dove a > 0, b > 0 sono i semiassi e c =a2 + b2.

Per a = b C e una iperbole equilatera.

7 - Iperbole in forma canonica 2/2

C ha un centro di simmetria (lorigine) e due assi di simmetria (gli assi coordinati) dei

quali uno secante (quello delle ascisse).

I vertici di C sono i punti V1 = (a, 0), V2 = (a, 0). Le rette bx ay = 0 sono gli asintotidi C.

8 - Parabola in forma canonica

Se C e una parabola, C e rappresentata in Oxy da unequazione del tipo:

y = ax2

dove a > 0 e la concavita e c = 1/4a.

C ha un asse di simmetria (lasse delle ordinate) e un vertice (lorigine).

Sezione 2 - Coniche algebriche

1 - Premessa

Le coniche si possono rappresentare come luoghi di zeri di particolari polinomi di secondo

grado in due variabili.

Invertendo tale procedimento, studieremo i luoghi di zeri Z(p) dei generici polinomi di

secondo grado in due variabili. Chiameremo tali luoghi di zeri coniche algebriche.

13

2 - Polinomi a due variabili

Il generico polinomio di grado 2 in due variabili a coefficienti reali ha forma

p(x, y) = a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + 2b1x+ 2b2y + c,

con i coefficienti ai,j R non tutti nulli.

3 - Coniche come luoghi di zeri 1/2

Il luogo di zeri C = Z(p) = {(x, y) R2 | p(x, y) = 0} di p si dice conica (algebrica) in R2

di equazione p(x, y) = 0. Quindi

C : a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0.

Se k 6= 0, il polinomio kp(x, y) definisce la stessa conica, quindi lequazione di C e deter-minata a meno di un fattore non nullo.

4 - Coniche come luoghi di zeri 2/2

In questa lezione per conica intenderemo conica algebrica in R2. Questa definizione,

oltre a ellissi, iperboli o parabole, comprende altri insiemi, come si vede dai seguenti esempi.

5 - Esempi

1) Se C : x2 + y2 + 1 = 0 o C : x2 + 1 = 0, allora C = ;

2) se C : x2 + y2 = 0, allora C e il punto (0, 0);

3) se C : x2 y2 = 0, allora C e la coppia di rette incidenti y = x;

4) se C : x2 1 = 0, allora C e la coppia di rette parallele x = 1;

5) se C : x2 = 0, allora C e la retta x = 0. 3) se = 0 e > 0, C e una coppia di rette

parallele.

6 - Coniche degeneri e non degeneri

Le ellissi, iperboli e parabole si dicono coniche non degeneri mentre il , i punti, le rette,le coppie di rette (incidenti o parallele) si dicono coniche degeneri .

14

7 - Coniche isometriche

Se C, C sono coniche e se esiste una isometria f tale che f(C ) = C, C e C si dicono

isometriche (tramite f). Essere isometriche e una relazione di equivalenza:

1) C e isometrica a se stessa tramite Id;

2) se C e C sono isometriche tramite f , allora C e C sono isometriche tramite f1;

3) se C e C sono isometriche tramite f e se C e C sono isometriche tramite g, allora C

e C sono isometriche tramite f g.

8 - Elementi fondamentali

Poiche le coniche non degeneri sono definite da condizioni metriche, se C e C sono isomet-

riche tramite f e se C e non degenere, anche C lo e e gli elementi fondamentali (fuochi/o,

assi/e, centro, vertici/e, asintoti, semiassi, concavita ) di C sono trasformati da f in quelli

di C.

9 - Riduzione e riconoscimento

Proveremo che ogni conica C e isometrica a una conica C in forma canonica tramite una

isometria f detta riduzione di C a C .

Poiche C puo essere inserita in uno degli 8 tipi di coniche individuati (tra non degeneri e

degeneri), otteniamo un procedimento di classificazione di C detto riconoscimento di C.

Sezione 3 - Coniche e matrici

1 - Matrice associata

Sia C : a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0.

La matrice simmetrica 3 3

MC =

a1,1 a1,2 b1a1,2 a2,2 b2b1 b2 c

si dice matrice associata alla conica C.

2 - Equazione matriciale 1/2

15

Posto

A =(a1,1 a1,2a1,2 a2,2

), B =

(b1b2

), X =

(xy

),

abbiamo lequazione matriciale

C :t XAX + 2tBX + c = 0.

3 - Equazione matriciale 2/2

La forma quadratica qA(X) =t XAX si dice parte quadratica , lapplicazione lineare

lB(X) =t BX si dice parte lineare mentre c e il termine noto.

C e univocamente determinata da MC a meno di un fattore non nullo.

4 - Esempio

Se C : 4x2 + 4y2 4xy + 6x 2y + 2 = 0, allora

A =(

4 22 4

), B =

(31

)e

C : (x, y)(

4 22 4

)(xy

)+ 2(3,1)

(xy

)+ 2 = 0.

5 - Coniche traslate

Sia C :t XAX + 2tBX + c = 0 una conica. Se A e diagonale, diremo che C e una conica

traslata. In particolare, se A = aI2 con a 6= 0,

C : ax2 + ay2 + 2b1x+ 2b2y + c = 0.

Quindi C e una circonferenza, un punto o il vuoto.

6 - Coniche a centro

Le ellissi e le iperboli in forma canonica sono coniche traslate con parte lineare nulla. In

generale, le equazioni del tipo

16

x2 + y2 = 0

con , non entrambi nulli definiscono le coniche a centro in forma canonica.

Queste coniche (se diverse dal ) hanno lorigine come centro di simmetria e gli assi comeassi di simmetria.

7 - Parabole

Le parabole in forma canonica sono coniche traslate con parte quadratica dipendente solo

da x, parte lineare solo da y e termine noto nullo. In generale, le equazioni del tipo

x2 y = 0

con , non nulli definiscono le parabole in forma canonica.

Queste coniche hanno lorigine come vertice e lasse delle ordinate come asse di simmetria

, mentre lasse delle ordinate e la parallela alla direttrice passante per il vertice.

Sezione 4 - Coniche e isometrie

1 - Equazioni di coniche e isometrie 1/2

Sia C : p(X) =t XAX+2tBX+c = 0 e sia f(X) = NX+P una isometria di R2. Per ogni

X R2 esiste un unico X =(x

y

) R2 tale che X = f(X ). Allora X = NX + P C

se e solo se

t(NX +P )A(NX +P )+2tB(NX +P )+c =t X NANX +2tN(AP +B)X +p(P ) = 0.

2 - Equazioni di coniche e isometrie 2/2

Osserviamo che p(P ) =t PAP + 2tBP + c e il valore che il polinomio p assume nel punto

P . Posto A =t NAN , B =t N(AP +B) e c = p(P ), la conica

C :t XAX + 2tBX + c = 0

17

e tale che f(C ) = C e f1(C) = C .

3 - Scambio di variabili

Se N =(

0 11 0

)= S/2, lN scambia le variabili: N

(xy

)=(yx

).

Per esempio le coniche

C : x2 + 2y2 + xy 3x+ y 1 = 0, C : 2x2 + y2 + xy + x 3y 1 = 0

sono isometriche tramite lN .

Quindi nello studio delle coniche possiamo sempre scambiare le variabili.

4 - Matrice di riduzione 1/3

Sia C :t XAX + 2tBX + c = 0. Poiche A e simmetrica, esiste N O(2) tale che

tNAN = A =( 00

)dove , R sono gli autovalori di A. Per ipotesi A 6= O, quindi e non sono entrambinulli.


Ricordiamo che:

1) le colonne [N ]1 = X, [N ]2 = X di N sono autovettori di A con autovalori e

rispettivamente e formano una base ortonormale di R2;

2) D(A) = D(A) = , tr(A) = tr(A) = + .


La matrice N si dice matrice di riduzione della conica C. Osserviamo che N non e unica

ma che, se 6= e se fissiamo lordine degli autovalori, vi sono quattro matrici di riduzioneottenute cambiando i segni di X e X .

Se = , A = I2, ogni matrice N O(2) e di riduzione (caso delle circonferenze).

7 - Convenzioni sugli autovalori

18

Adotteremo le seguenti convenzioni:

1) se D(A) > 0, allora || ||;

2) se D(A) < 0 e D(MC) > 0, allora > 0 e < 0;

3) se D(A) < 0 e D(MC) < 0, allora < 0 e > 0;

4) se D(A) = 0, allora 6= 0 e = 0.

Sezione 5 - Riduzione

1 - Riduzione a coniche traslate

Se C : p(X) =t XAX+2tBX+c = 0 e se N e una matrice di riduzione di C, dato P R2

lisometria f(X) = NX + P trasforma la conica traslata

C :t X(tNAN)X + 2tN(AP +B)X + p(P ) = 0

in C. C e una conica in forma canonica a centro se tN(AP + B) = O. Cio equivale a

AP +B = O in quanto N e invertibile.

2 - Coniche a centro

La conica C : p(X) =t XAX + 2tBX + c = 0 si dice conica a centro se il sistema

AX = B

e risolubile. In tal caso, se P e una soluzione di AX = B e se f(X) = NX + P , posto = p(P ) abbiamo la conica in forma canonica

C : x2 + y2 = 0.

Quindi f e una riduzione di C a C .

3 - Parabole 1/5

Se C : p(X) =t XAX + 2tBX + c = 0 e se il sistema AX = B e impossibile, alloraD(A) = 0 e A ha autovalori 6= 0, = 0.

19

Se B = {X, X0} e una base ortonormale di autovettori per A, prendiamo come matricedi riduzione N la matrice ortogonale che ha come colonne tali versori.

4 - Parabole 2/5

Se f(X) = NX + P e unisometria con P qualsiasi, e se C = f1(C)

C : x2 + 2tN(AP +B)(xy

)+ p(P ) = 0

Allora si prova che esistono unici P e 6= 0 tali che p(P ) = 0 e tN(AP +B) = (0,) =e2.

5 - Parabole 3/5

Siccome Ne2 = X0, tali condizioni equivalgono al sistema (non lineare!) parametrico

S :{tXAX + 2tBX + c = 0AX = B X0

.

Si prova che esiste un solo 6= 0 per cui S ha soluzione P e che tale soluzione e unica.

6 - Parabole 5/5

Scegliendo per definire f(X) = NX + P il punto P e il numero che soddisfano alle

equazioni di S otteniamo la conica in forma canonica

C : x2 2y = 0.

Quindi C e una parabola, e f e una riduzione di C a C .

7 - Teorema di Riduzione

Se C e una conica, allora esiste una riduzione di C a una conica in forma canonica C .

Osserviamo che questo teorema assicura che le coniche possono essere riconosciute utiliz-

zando le coniche in forma canonica e permette di ottenere gli elementi fondamentali di

una conica C come trasformati degli elementi fondamentali di una sua forma canonica C

tramite la relativa riduzione f .

8 - Centro e assi di una conica a centro

20

Sia C 6= una conica a centro e sia f(X) = NX + P una riduzione di C a una formacanonica C . Allora f trasforma lorigine e gli assi coordinati in centro e assi di simmetria.

Quindi

1) Se P e soluzione del sistema AX = B, allora P e centro di simmetria di C.

2) Le rette passanti per P e con direzione gli autovettori di A sono assi di simmetria di C.

In particolare se D(A) 6= 0 vi e unico centro di simmetria, detto il centro di C; se inoltreC non e una circonferenza, vi sono due assi di simmetria, detti gli assi di C.

9 - Vertice e asse di una parabola

Sia C e una parabola e sia f(X) = NX + P una riduzione di C a una forma canonica

C . Allora f trasforma lorigine nel vertice e lasse delle ordinate nellasse di simmetria.

Quindi:

1) Se P C e soluzione di AX = B X0, con X0 autovettore di A relativo a 0 eX0 = 1, allora P e il vertice di C.

2) Lasse di simmetria di C e la retta passante per P e con direzione X0.

Sezione 6 - Invarianti

1 - Teorema di Invarianza

Siano C :t XAX + 2tBX + c = 0 e C :t XAX + 2tBX + c = 0 coniche isometriche.

Allora D(A) = D(A), tr(A) = tr(A), D(MC) = D(MC), r(MC) = r(MC).

I numeri D(A), tr(A), D(MC), r(MC) si dicono numeri invarianti di C.

2 - Matrici di forme canoniche

I numeri invarianti e i Teoremi di Riduzione e di Invarianza ci permettono di riconoscere

una conica C :t XAX + 2tBX + c = 0.

Se C e una forma canonica di C,

MC =

0 00 00 0

o MC = 0 00 0

0 0

.21

3 - Parabole

Posto MC = M e M = MC , osserviamo che nel primo caso D(A) = = 0 D(M) = = 0 mentre nel secondo D(A) = 0 e D(M) = 2 6= 0.Quindi se D(A) = 0 e D(M) 6= 0 allora C e una parabola.

4 - Coniche a centro 1/3

Se D(A) > 0, e hanno lo stesso segno (che e il segno di tr(A) = + ) mentre ha il

segno opposto a D(M).

1) Se tr(A)D(M) < 0, ha lo stesso segno di e e C e unellisse;

2) Se tr(A)D(M) > 0, ha segno opposto a e e C = ;

3) Se D(M) = 0, = 0 e C e un punto (lunica soluzione di AX = B).

5 - Coniche a centro 2/3

Se D(A) = < 0, e hanno segni opposti.

1) Se D(M) 6= 0, 6= 0 e C e una iperbole;

2) Se D(M) = 0, = 0 e C e una coppia di rette incidenti.

Se D(A) = = 0, 6= 0 e = 0 e D(M) = 0.

1) Se r(M) = 1, allora = 0 e C e una retta;

2) Se r(M) = 2, allora 6= 0 e C e una coppia di rette parallele o il a seconda del segnodi e .

7 - Riconoscimento e caso degenere

Riassumendo, ogni conica e classificabile in uno dei seguenti tipi:

1) Coniche non degeneri: ellisse, iperbole, parabola;

2) Coniche degeneri: punto, retta, coppia di rette incidenti, coppia di rette parallele, vuoto.

Dallo studio dei numeri invarianti otteniamo che:

Se C e una conica e C 6= , allora C e non degenere se e solo se D(MC) 6= 0.

8 - Forma canonica con invarianti

22

1) Se C e una conica a centro e D(A) 6= 0, abbiamo = D(M)D(A) ;

2) se C e una parabola, = D(M)tr(A) .

Quindi possiamo ottenere una forma canonica C di C senza calcolare esplicitamente la

riduzione di C a C .

Sezione 7 - Studio di coniche

1 - Parabola 1/5

Sia C : p(x, y) = x2 + y2 + 2xy 2x+ 1 = 0. Allora

MC = M =

1 1 | 11 1 | 0 1 0 | 1

, D(A) = 0, D(M) = 1,quindi C e una parabola.

2 - Parabola 2/5

Lautospazio di A relativo a 0 ha equazione x + y = 0. Se X0 = 12 (1,1), il vertice esoluzione di

S :{p(X) = 0AX = B X0

cioe S :

(x+ y)2 2x+ 1 = 0x+ y = 1 1

2

x+ y = 12

3 - Parabola 3/5

Quindi = 12

e S e equivalente a

{(x+ y)2 2x+ 1 = 0x+ y = 12

da cui P = ( 58 ,18 ).

4 - Parabola 4/5

23

Poiche = tr(A) = 2, abbiamo la forma canonica C : 2x2

2y = 0, quindi C : y =

2x2. X e un versore ortogonale a X0: sia X = 12 (1, 1). Allora una riduzione di C a

C e

f((x, y, )) =12

(1 11 1

)(xy

)+

18

(51

).

5 - Parabola 5/5

1) Lasse di simmetria e la retta r : t(1,1) + 18 (5,1).

2) Il fuoco di C e F = (0, 14

2), quindi il fuoco di C e F = f(F ) = (34 ,

14 ).

3) Poiche f((0, 14

2)) = (12 , 0), la direttrice di C e la retta d : t(1, 1) + (

12 , 0).

6 - Iperbole 1/5

Sia C : x2 + y2 + 4xy + 6x 4 = 0. Allora

MC = M =

1 2 | 32 1 | 0 3 0 | 4

, D(A) = 3, D(M) = 3,quindi C e una iperbole.

7 - Iperbole 2/5

Gli autovalori di A sono = 3 e = 1 e = D(M)D(A) = 1, quindi abbiamo la formacanonica C : 3x2 y2 = 1, da cui

C :x2

a2 y

2

b2= 1

con a = 13, b = 1.

- Iperbole 3/5

Il centro P di C e lunica soluzione di AX = B: P = (1,2).Scegliendo gli autovettori X = 12 (1, 1) e X =

12(1, 1) abbiamo la riduzione di C a

C :

24

f((x, y, )) =12

(1 11 1

)(xy

)+(

12

).

- Iperbole 4/5

Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t(1, 1) + (1,2) e r2 : t(1, 1) + (1,2).

I fuochi di C sono F 1,2 = (a2 + b2, 0) = (2 1

3, 0), quindi i fuochi di C sono F1,2 =

f(F 1,2) = (

23 + 1,

23 2).

- Iperbole 5/5

Gli asintoti di C sono le rette s1,2 : y = bax =

3x, quindi gli asintoti di C sono le

rette

s1 = f(s1) : t12

(1

3, 1 +

3) + (1,2),

s2 = f(s2) : t12

(1 +

3, 1

3) + (1,2).

9 - Ellisse 1/4

Sia Ck : 2x2 + 2y2 + 2xy + 6x+ k = 0 con k R. Allora

MCk = Mk =

2 1 | 31 2 | 0 3 0 | k

, D(A) = 3, tr(A) = 4, D(Mk) = 3k 18,quindi Ck e una ellisse per k < 6, un punto per k = 6 e il vuoto per k > 6.

10 - Ellisse 2/4

Sia C = C5 : 2x2 + 2y2 + 2xy + 6x + 5 = 0. Gli autovalori di A sono = 1 e = 3 e

= D(M)D(A) = 1, quindi abbiamo la forma canonica C : x2 + 3y2 = 1, da cui

C :x2

a2+y2

b2= 1

25

con a = 1, b = 13.

10 - Ellisse 3/4

Il centro P di C e P = (2, 1). Scegliendo gli autovettori X = 12 (1,1) eX = 12 (1, 1) abbiamo la riduzione di C a C

:

f((x, y, )) =12

(1 11 1

)(xy

)+(21

).

11 - Ellisse 4/4

1) Gli assi di simmetria di C sono le rette r1 : t(1,1) + (2, 1) e r2 : t(1, 1) + (2, 1).

2) I fuochi di C sono F 1,2 = (a2 b2, 0) = (

23 , 0), quindi i fuochi di C sono

F1 = f(F 1) = (13 2, 1

3+ 1), F2 = f(F 2) = ( 13 2,

13

+ 1).

13 - Coniche degeneri 1/2

Sia Ck : x2 + y2 + 2xy 2x 2y + k = 0 con k R. Allora

MCk = Mk =

1 1 | 11 1 | 1 1 1 | k

, D(A) = D(M) = 0,quindi Ck e una retta per k = 1 (r(Mk) = 1) mentre Ck e o una coppia di rette paralleleper k 6= 1.

14 - Coniche degeneri 2/2

Poiche

Ck : (x+ y)2 2(x+ y) + k = (x+ y 1)2 + k 1 = 0

1) C1 e la retta x+ y 1 = 0;

2) Ck e la coppia di rette parallele x+ y =

1 k per k < 1 mentre Ck = per k > 1.

Sezione 8 - Intersezione con rette e tangenti

26

1 - Intersezione tra coniche e rette 1/2

Dallo studio precedente otteniamo che intersecando una conica C con una retta r del piano

abbiamo uno dei seguenti casi:

1) C r = ;

2) C r e un punto;

3) C r sono due punti;

4) C r = r (solo se C e degenere).

2 - Intersezione tra coniche e rette 2/2

Se C : p(X) =t XAX + 2tBX + c = 0 e r : P (t) = tL+ P , si determina C r sostituendoX = P (t) nellequazione della conica.

p(P (t)) = (tLAL)t2 + 2t(AP +B)Lt+ p(P ) = 0.

3 - Esempio 1/2

Se C : p((x, y)) = x2 + y2 + 2xy + 2x + 2 = 0 e se rk : Pk(t) = t(0, 1) + (k, 0) per k R,sostituendo abbiamo

p(Pk(t)) = t2 + 2kt+ k2 2k + 2 = 0

che ha soluzioni t1,2 = k

2k 2.1) Se k > 1, C rk = {Pk(t1), Pk(t2)};

2) se k = 1, C r1 = {P1(1) = (1,1)};

3) se k < 1, C rk = .

4 - Tangente a una conica

Sia C : p(x, y, ) = 0 una conica non degenere e sia P C. Una retta r : P (t) passante perP si dice tangente a C in P se lequazione p(P (t)) = 0 e di secondo grado con due soluzioni

coincidenti.

Per ogni punto di C passa una e una sola retta tangente a C in P , che indichiamo con

tgP (C).

27

5 - Equazione della tangente 1/3

Se C : p(x, y) =t XAX + 2tBX + c = 0, P C e r : P (t) = tL + P , si verifica chelequazione p(P (t)) = 0 diventa

p(P (t)) = (tLAL)t2 + 2t(AP +B)Lt = 0

in quanto p(P ) = 0. Allora r = tgP (C) se e solo se tLAL 6= O e t(AP +B)L = (AP +B) L = 0.


Quindi tgP (C) e la retta per P di direzione ortogonale a AP +B. Poiche p(P ) = 0 implica

tPAP t BP =t BP + c, abbiamo lequazione:

tgP (C) :t (AP +B)(X P ) =t (AP +B)X +t BP + c = 0.


Se P = (x0, y0), lequazione della tangente si puo scrivere in modo esplicito:

tgP (C) : (a1,1x0 + a1,2y0 + b1)x+ (a1,2x0 + a2,2y0 + b2)y + b1x0 + b2y0 + c = 0.

Per esempio, se C : 2x2 + y2 4xy 4x + 2y 1 = 0, il punto P = (1,1) C etgP (C) : x+ y = 0.

8 - Tangenti nei vertici

Sia C una conica non degenere e sia P un vertice di C. Per il Teorema di Riduzione

abbiamo:

1) Se C e una conica a centro, tgP (C) e la retta per P parallela allasse di simmetria non

contenente P .

2) Se C e una parabola, tgP (C) e la retta per P parallela alla direttrice.

Sezione 9 - Coniche in forma parametrica

28

1 - Ellisse in forma canonica

Se C : x2

a2 +y2

b2 = 1, postoxa = cos e

yb = sen, abbiamo la parametrizzazione

P () ={x = acosy = bsen , [0, 2].

2 - Iperbole in forma canonica

Se C : x2

a2 y2

b2 = 1, postoxa = cosh(t) e

yb = senh(t), abbiamo le parametrizzazioni

P (t) ={x = acosh(t)y = bsenh(t) , t R.

Liperbole e unione di due curve in forma parametrica, dette i rami di C.

3 - Parabola in forma canonica

Se C : y = ax2, posto x = t, abbiamo la parametrizzazione

P (t) ={x = ty = at2 , t R.

4 - Caso generale

Sia C una conica qualsiasi e sia f(X) = NX + P e una riduzione di C a una forma

canonica C . Se Q(t) e una parametrizzazione di C , allora P (t) = NQ(t) + P e una

parametrizzazione di C.

5 - Esempio 1/2

Sia C : 2x2 + 2y2 + 2xy + 6x+ 5 = 0. C e una ellisse e

C : x2 + 3y2 = 1, f((x, y, )) =12

(1 11 1

)(xy

)+(21

)sono rispettivamente una forma canonica di C e una riduzione di C a C .

6 - Esempio 2/2

Poiche C : Q() = (cos, 13sen), abbiamo la parametrizzazione di C:

29

P () = f(Q()) =

x =12cos +

16sen 2

y = 12cos +

16sen + 1

30

Parte III - Sfere e circonferenze

Sezione 1 - Sfere

1 - Sfere come luoghi geometrici

Ricordiamo che, dati un punto P0 nello spazio e un numero reale R > 0, la sfera S(P0, R)

di centro P0 e raggio R e il luogo dei punti la cui distanza da P0 e R.

2 - Equazione della sfera 1/3

Fissato un sistema di riferimento, se P0 = (x0, y0, z0) R3 e R > 0, abbiamo lequazionedi S(P0, R) riferita a centro e raggio:

S(P0, R) : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2


1) La sfera di centro O = (0, 0, 0) e raggio 1 ha equazione x2 +y2 + z2 = 1 (sfera unitaria).

2) La sfera di centro (1, 2, 3) e raggio 3 ha equazione (x+ 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = 9.


Sviluppando i quadrati nellequazione della sfera e ponendo a = 2x0, b = 2y0, c = 2z0,d = x20 + y

20 + z

20 R2 otteniamo

S(P0, R) : x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0.

Nellesempio precedente abbiamo S((1, 2, 3), 3) : x2 + y2 + z2 + 2x 4y 6z + 5 = 0.

5 - Sfere come luoghi di zeri 1/4

Viceversa consideriamo linsieme E = Z(f) R3 definito da unequazione del tipo

f(x, y) = x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0.

31

con 6= 0. A meno di dividere per possiamo assumere che = 1.


Per completamento dei quadrati abbiamo

x2 + ax = (x+a

2)2 a

2

4y2 + by = (y +

b

2)2 b

2

4z2 + cz = (z +

c

2)2 c

2

4.


Posto x0 = a2 , y0 = b2 , z0 =

c2 e h =

a2+b2+c2

4 d,

E : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 h = 0.


Abbiamo tre casi:

1) se a2+b2+c2 > 4d, allora h > 0 e , posto R =h, E e la sfera di centro P0 = (x0, y0, z0)

e raggio R;

2) se a2 + b2 + c2 = 4d, allora h = 0 e E e il punto P0 = (x0, y0, z0);

3) se a2 + b2 + c2 < 4d, allora h < 0 e E = .

9 - Esempio

Consideriamo la famiglia di insiemi Ek definiti da

Ek : x2 + y2 + z2 + 2x 4y 6z + k = 0.

Poiche

Ek : (x+ 1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 + k 14 = 0,

Ek e una sfera di centro (1, 2, 3) e raggio

14 k se k < 14, coincide col punto (1, 2, 3)se k = 14 e e vuoto se k > 14.

Sezione 2 - Coordinate sferiche e sfere in forma parametrica

32

1 - Coordinate sferiche

In R3 consideriamo il seguente cambiamento di coordinate:

{x = sencosy = sensenz = cos

con > 0, 0 e 0 2.La sfera S(O,R) : x2 + y2 + z2 = R2 in coordinate sferiche ha equazione = R

2 - Parametrizzazione della sfera 1/3

La sfera

S(P0, R) : (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2

di centro P0 = x0, y0, z0) e limmagine di S(O,R) tramite la traslazione tP0(X) = X +P0.

3 - Parametrizzazione della sfera 2/3

Abbiamo la parametrizzazione di S(P0, R)

P (, ) =

{x = Rsencos + x0y = Rsensen + y0z = Rcos+ z0

, 0 , 0 2

Le coordinate e si dicono rispettivamente latitudine e longitudine.

4 - Esempio

Per P0 = (2,5, 1) e R = 3 abbiamo

S(P0.3) : P (, ) =

{x = 3sencos + 2y = 3sensen 5z = 3cos+ 1

, 0 , 0 2

5 - Esempio

Se S : x2 + y2 + z2 = 1, le seguenti sono parametrizzazioni della semisfera

S+ = S {z 0}:

33

P1(, ) =

{x = sencosy = sensenz = cos

, 0 2, 0 2, P2(t, u) =

{x = ty = uz =

1 t2 u2, t2+u2 1.

Sezione 3 - Sfere, rette e piani

1 - Intersezione tra sfere e piani 1/5

Se S e una sfera di centro P0 e raggio R e e un piano, esiste un sistema di riferimento

Oxyz tale che : z = 0 e P0 = (0, 0, z0) con z0 > 0.

Poiche i cambiamenti di riferimento sono isometrie, abbiamo z0 = d(P0,).


In tale sistema di riferimento S ha equazione

S : x2 + y2 + (z z0)2 = R2.

Quindi S e linsieme delle soluzioni del sistema{x2 + y2 = R2 z20z = 0

.


Abbiamo tre casi:

1) se z0 > R, S = ;

2) se z0 = R, S = {(0, 0, R)} e un punto;

3) se z0 < R, S = C e la circonferenza contenuta nel piano z = 0 di centro O e raggioR2 z20 .


Dati una sfera S = S(P0, R), un piano e posto d = d(P0,) si ha:

1) se d > R, e esterno a S;

34

2) se d = R, allora S e un punto P e e tangente a S in P ;

3) se d < R allora S e la circonferenza C di centro p(P0) (proiezione di P0 su ) eraggio

R2 d2 in .

4 - Piano tangente

Se S = S(P0, R) e una sfera e P S, il piano tangente tgP (S) a S in P e il piano passanteper P con direzione ortogonale a P P0.

Infatti in questo caso d(P,) = d(P, P0) = R, quindi P = p(P0) e d(Q,P0) > R se Q e Q 6= P . Dunque S = {P}.

5 - Esempio

Se S : x2 +y2 + z22x+ 4y6z+ 3 = 0, S ha centro P0 = (1,2, 3) e P = (2,1, 0) S.Poiche P P0 = (1, 1,3),

tgP (C) : x+ y 3z 1 = 0.

6 - Intersezione di sfere 1/4

Se S1 : x2 +y2 + z2 +a1x+ b1y+ c1z+d1 = 0 e S2 : x2 +y2 + z2 +a2x+ b2y+ c2z+d2 = 0

sono sfere,

S1 S2 :{x2 + y2 + z2 + a1x+ b1y + c1z + d1 = 0x2 + y2 + z2 + a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

.


Sottraendo la prima equazione alla seconda abbiamo il sistema equivalente{x2 + y2 + z2 + a1x+ b1y + c1z + d1 = 0(a2 a1)x+ (b2 b1)y + (c2 c1)z + d2 d1 = 0

.

Il piano

(a2 a1)x+ (b2 b1)y + (c2 c1)z + d2 d1 = 0

si dice piano radicale di S1 e S2.

35


Siano S1 = S(P1, R1), S2 = S(P2, R2) e d = d(P1, P2) con R1 R2.

1) Se d > R1 +R2 o d < R1 R2 , S1 e S2 sono disgiunte.

2) Se d = R1 +R2 o d = R1 R2, S1 e S2 sono tangenti esternamente o internamente.

3) Se R1 R2 < d < R1 +R2, S1 S2 e una circonferenza.

9 - Esempio 1/2

S1 : x2 + y2 + z2 2x+ 4y 6z 2 = 0 e S2 : x2 + y2 + z2 2x+ 2y 4z 3 = 0, sonole sfere di centri P1 = (1,2, 3), P2 = (1,1, 2) e raggi R1 = 4 e R2 = 3 rispettivamente.Quindi R1 R2 = 1 < d(P1, P2) =

2 < R1 +R = 7 e S1 S2 e una circonferenza C.

10 - Esempio 2/2

Il piano radicale di S1 e S2 e : 2y 2z + 1 = 0 da cui

C :{x2 + y2 + z2 2x+ 4y 6z 2 = 02y 2z + 1 = 0

Osserviamo che si puo studiare S1 S2 tramite questa rappresentazione.

11 - Intersezione tra sfere e rette 1/2

Se S = S(P0, R) e una sfera e r e una retta, possiamo ragionare come nel caso dei piani.

1) se d(P0, r) > R allora S r = e r e esterna a S;

2) se d(P0, r) = R allora S r e un punto P e r e tangente a S in P ;

3) se d(P0, r) < R allora S r sono due punti e r e secante S.

12 - Intersezione tra sfere e rette 2/2

Osserviamo che un retta r passante per P e tangente a S se e solo se r tgP (S).

Per determinare i punti di intersezione quando esistono, conviene parametrizzare la retta

e sostituire nellequazione di S.

13 - Esempio

36

Siano S : x2 + y2 + z2 + 2x 2z 1 = 0 e r : t(1, 1, 1) + (1, 0, 1). Sostituendo otteniamo3t2 3 = 0, da cui t = 1 e S r = {(0, 1, 2), (2,1, 0)}.

Sezione 4 - Circonferenze nello spazio

1 - Circonferenze in forma cartesiana 1/3

Siano S : x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 la sfera di raggio R e centro P0 e :

x+ y + z + = 0 un piano tale che d0 = d(P0,) < R.

Quindi S e la circonferenza C di centro Q0 = p(P0) e raggio r =R2 d20 in .


Il sistema {x2 + y2 + z2 + ax+ by + cz + d = 0x+ y + z + = 0

rappresenta la circonferenza C in forma cartesiana


Viceversa, assegnati : x+y+z+ = 0, Q0 = (x0, y0, z0) e r > 0, la circonferenzaC di centro Q0, raggio r in si puo rappresentare in forma cartesiana con il sistema{

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = r2x+ y + z + = 0

.

4 - Cerchi massimi

Se S e la sfera di centro P0 e raggio R e se e un piano tale che P0 , la circonferenzaC = S si dice cerchio massimo di S in .

E immediato che C ha centro P0 e raggio R.

5 - Esempio 1/3

S : x2 + y2 + z2 + 2x 2y 2 = 0 e la sfera di centro P0 = (1, 1, 0) e raggio R = 2. Se : 2x 2y + z + 1 = 0, allora d0 = d(P0,) = 1 < R e C = S e una circonferenza in di equazioni

37

C :{x2 + y2 + z2 + 2x 2y 2 = 02x 2y + z + 1 = 0

6 - Esempio 2/3

Il raggio di C e r =R2 d20 = 1.

Se s : t(2,2, 1) + (1, 1, 0) e la retta ortogonale a per P0, il centro di C e Q0 = s =( 13 ,

13 ,

13 ).

7 - Esempio 3/3

Viceversa, la circonferenza C di centro Q0 = ( 13 ,13 ,

13 ) e raggio r = 1 in

: 2x 2y + z + 1 = 0 si puo rappresentare come cerchio massimo in della sfera constessi centro e raggio:

C :{

(x+ 13 )2 + (y 13 )

2 + (z 13 )2 = 1

2x 2y + z + 1 = 0

8 - Circonferenza per tre punti

Se P0, P1, P2 sono punti non allineati, esiste una sola circonferenza C passante per tali

punti. Per i = 1, 2, siano:

1) il piano per P0, P1, P2;

2) Mi il punto medio tra P0 e Pi;

3) i il piano per Mi con direzione ortogonale Pi P0.Allora C e la circonferenza di centro Q0 = 1 2 e raggio R = d(P0, Q0) in .

9 - Esempio 1/2

Se P0 = (1, 1,2), P1 = (1,1, 0), P2 = (1, 3,2), allora

1) : x+ y + z = 0;

2) P1 P0 = (0,2, 2) e P2 P0 = (2, 2, 0);

3) M1 = (1, 0,1) e M2 = (0, 2,2).Quindi 1 : y z 1 = 0 e 2 : x y + 2 = 0.

38

10 - Esempio 2/2

Si verifica che

Q0 = 1 2 = (1, 1, 0) e R = 2

2.

Quindi

C :{

(x+ 1)2 + (y 1)2 + z2 = 8x+ y + z = 0

11 - Retta tangente a una circonferenza

Se C = S e un circonferenza e se P C, allora la retta tgP (C) tangente a C in P elintersezione del piano con il piano tangente tgP (S) alla sfera S in P .

12 -Esempio

Se

C :{x2 + y2 + z2 2z 2 = 0x+ y + z = 0

e P = (1,1, 0),

P C e tgP (S) : x y z 2 = 0, quindi

tgP (C) :{x y z 2 = 0x+ y + z = 0

Sezione 5 - Circonferenze in forma parametrica

1 - Circonferenze in forma parametrica 1/5

Sia C R3 una circonferenza di centro O e raggio R nel piano . Poiche O , abbiamo : ax+ by + cz = 0, quindi e un sottospazio vettoriale di R3 di dimensione 2.

Allora esiste una base ortonormale di , cioe una base {X1, X2} tale che X1 = X2 = 1e X1 X2 = 0.


39

Se X , esistono unici c1, c2 R tali che X = c1X1 + c2X2. Abbiamo

X2 = (c1X1 + c2X2) (c1X1 + c2X2) = c21X12 + c22X22 + 2c1c2X1 X2 = c21 + c22


Si ha che X C se e solo se X e X2 = R2, quindi se e solo se

X2 = c21 + c22 = R2

Pertanto X C se e solo se X = RcosX1 +RsenX2 per [0, 2).


In generale, se C e la circonferenza nel piano di centro P0 e raggio R, siano

1) 0 il piano parallelo a per O;

2) C0 la circonferenza di centro O e raggio R in 0 ;

3) {X1, X2} una base ortonormale di 0.


Se tP0(X) = X + P0 e la traslazione di P0, vale tP0(C0) = C.

Quindi abbiamo la parametrizzazione di C

P () = RcosX1 +RsenX2 + P0, [0, 2].

6 - Esempio 1/2

Sia C la circonferenza di centro P0 = (1,1, 1) e raggio R = 3 in : x+ y + z 1 = 0 .

Una base ortonormale di 0 : x+ y + z = 0 e {X1 = 12 (1,1, 0), X2 =16(1, 1,2).

7 - Esempio 2/2

Abbiamo la parametrizzazione

C : P () =

x = 3

2cos +

32sen + 1

y = 32cos +

32sen 1

z =

6sen + 1

40

Parte IV - Superfici e curve nello spazio

Sezione 1 - Quadriche

1 - Equazione di una quadrica

Una quadrica (algebrica) Q e una superficie di R3 definita in forma cartesiana come luogo

di zeri di un polinomio p(x, y, z) di grado 2 in tre variabili a coefficienti reali. Quindi Q

ha equazione del tipo

a1,1x2 +a2,2y2 +a3,3z2 +2a1,2xy+2a1,2xy+2a1,3xz+2a2,3yz+2b1x+2b2y+2b3z+c = 0.

con i coefficienti ai,j non tutti nulli.

2 - Equazione matriciale

Lequazione in forma matriciale di Q e

Q :t XAX + 2tBX + c = 0,

con A simmetrica e 6= O, B R3 e c R che definiscono rispettivamente la partequadratica, la parte lineare e il termine noto.

3 - Matrice associata

La matrice associata a Q e

MQ =

a1,1 a1,2 a1,3 b1a1,2 a2,2 a2,3 b2a1,3 a2,3 a3,3 b3b1 b2 b3 c

.

4 - Esempio

Se Q : 3x2 y2 + 5z2 + 6xy + 2yz 2x+ 4y 2

2z + 1 = 0,

41

MQ =

3 3 0 13 1 1 20 1 5

2

1 2

2 1

.

5 - Considerazioni generali

Si possono studiare le quadriche con le stesse tecniche di algebra lineare utilizzate per le

coniche nel piano ottenendo sia superfici in forma cartesiana (compresi i piani) sia insiemi

di altro tipo (il , punti, rette, piani, coppie di rette o di piani). Non approfondiremo taleteoria, che risulta notevolmente piu complessa di quella delle coniche ma studieremo alcuni

casi importanti.

Sezione 2 - Quadriche in forma canonica

1 - Ellissoidi

Se a, b, c > 0, le quadriche

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

si dicono ellissoidi in forma canonica con semiassi a, b, c. Osserviamo che per a = b = c

abbiamo le sfere di centro O e raggio a.

2 - Iperboloidi

Se a, b, c > 0, le quadriche

x2

a2+y2

b2 z

2

c2= 1,

x2

a2 y

2

b2 z

2

c2= 1

si dicono iperboloidi, rispettivamente a una falda e a due falde, in forma canonica con

semiassi a, b, c.

3 - Paraboloidi

Se a, b > 0, le quadriche

42

x2

a2+y2

b2 2z = 0, x

2

a2 y

2

b2 2z = 0

si dicono paraboloidi rispettivamente ellittici e iperbolici, in forma canonica con semiassi

a, b.

4 - Osservazioni

Gli ellissoidi e gli iperboloidi hanno lorigine come centro di simmetria e gli assi coordinati

e i piani coordinati come assi e piani di simmetria.

I paraboloidi hanno lasse delle z come asse di simmetria e i piani coordinati x = 0 e y = 0

come piani di simmetria.

Sezione 3 - Quadriche in generale

1 - Quadriche traslate

Se Q :t XAX + 2tBX + c = 0 e una quadrica, Q e una quadrica traslata se A e diagonale.

Quindi abbiamo

Q : a1x2 + a2y2 + a3z2 + 2b1x+ 2b2y + 2b3z + c = 0.

In particolare, se A = aI3 con a 6= 0, Q e una sfera, un punto o il vuoto.

2 - Esempi 1/3

SeQ : 2x2+4y2+z2+4x2z1 = 0, abbiamo 2x2+4x = 2((x+1)21), z22z = (z1)21da cui

Q : 2(x+ 1)2 + y2 + (z 1)2 = 4

.

3 - Esempi 2/3

Se f e la traslazione di (1, 0, 1), e

43

Q :x2

2+y2

4+z2

4= 1,

allora f(Q) = Q. Quindi Q e un ellissoide con semiassi a =

2, b = c = 2 e centro

(1, 0, 1).

4 - Esempi 3/3

Se Q : x2 2y2 + 2x 4z 3 = 0, allora Q : (x+ 1)2 2y2 4(z + 1).Se f e la traslazione di (1, 0,1) e

Q :x2

2 y2 2z = 0,

abbiamo f(Q) = Q. Quindi Q e un paraboloide iperbolico con semiassi a =

2, b = 1.

5 - Quadriche e isometrie 1/2

Se ora Q :t XAX + 2tBX + c = 0 e una quadrica qualsiasi, sappiamo per il Teorema

Spettrale che esiste una matrice ortogonale N di ordine 3 tale che A =t NAN e diagonale.

Sia f(X) = NX lapplicazione ortogonale associata a N : f e una isometria e valgono le

stesse formule di trasformazione delle coniche.

6 - Quadriche e isometrie 2/2

Se Q :t XAX + 2tNBX + c = 0, allora f(Q) = Q. Poiche Q e una quadrica traslata,

possiamo studiarla con metodi di completamento dei quadrati e di raccoglimento dei coeffi-

cienti per determinare una opportuna traslazione che la riduca a una delle forme canoniche

o a una superficie riconoscibile.

7 - Esempio 1/3

Sia Q la quadrica con

MQ =

3 0 1 |

2

0 3 0 | 01 0 3 |

2

2 0

2 | 1

.8 - Esempio 2/3

44

Se

Se N =

12 0 120 1 0 1

20 1

2

, tNAN = 2 0 00 3 0

0 0 4

e tNB = 20

0

.9 - Esempio 3/3

Allora

Q : 2x2 + 3y2 + 4z2 + 4x 1 = 0, da cui Q : 2(x+ 1)2 + 3y2 + 4z2 3 = 0.

Q e un ellissoide di semiassi a =

32 , b = 1, c =

23

e centro (1, 0, 0).

Sezione 4 - Coni e cilindri

1 - Definizione di cono

Una superficie S e un cono di vertice P0 se P0 S e se per ogni P S, P 6= P0 la rettaper P e P0 e contenuta in S.

Quindi S e unione di rette passanti per P0. Tali rette sono dette generatrici di S.

Una curva S non passante per P0 e una direttrice di S se interseca ogni generatrice.

2 - Definizione di cilindro

Una superficie S e un cilindro di direzione A se per ogni P E la retta per P di direzioneA e contenuta in S.

Quindi S e unione di rette parallele di direzione A. Tali rette sono dette generatrici di S.

Una curva S e una direttrice di S se interseca ogni generatrice.

4 - Coni di vertice lorigine

Una funzione f : Rn R con Df = Rn e omogenea di grado d > 0 se f(tX) = tdf(X)per ogni t R.

Se f : R3 R e omogenea e se S = Z(f) e una superficie in forma cartesiana, allora S eun cono di vertice O.

45

Infatti, P S equivale a f(P ) = 0, quindi f(tP ) = tdf(P ) = 0 per ogni t R e la rettaper O e P e contenuta in S.

5 - Esempi

1) La quadrica Q : p(x, y, z) = x2 + y2 z2 + 4xy xz + 3yz = 0 e un cono di vertice O,in quanto p e omogeneo di grado 2;

2) La superficie S : f(x, y, z) = xy2z3 = 0 e un cono di vertice O, in quanto f e omogeneadi grado 3.

6 - Cilindri in direzione canonica 1/2

Sia S = Z(f) una superficie in forma cartesiana. Se f non dipende da una delle variabili,

per esempio dalla z, possiamo porre f(x, y, z) = f(x, y). Se P = (x0, y0, z0) S, si haf(x0, y0, t + z0) = f(x0, y0) = 0 per ogni t R, quindi la retta per P di direzione e3 econtenuta in S e S e un cilindro di direzione e3.

7 - Cilindri di direzione canonica 2/2

In generale, chiamiamo un cilindro di questo tipo cilindro di direzione canonica ei, per

i = 1, 2, 3.

1) La quadrica Q : y2 + z2 + 4yz + 2y 1 = 0 e un cilindro di direzione canonica e1.

2) La superficie S : x3 z2 = 0 e un cilindro di direzione canonica e2.

Sezione 5 - Curve nello spazio

1 - Curve in forma cartesiana

Una curva R3 in forma cartesiana e il luogo di zeri di una applicazione f : R3 R2.Se f = (f1, f2), le equazioni di C sono

:{f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z, ) = 0

Possiamo vedere come intersezione delle superfici S1 = Z(f1) e S2 = Z(f2). In prece-

denza abbiamo rappresentato rette e circonferenze in questo modo.

46

2 - Curve piane

Una curva nello spazio si dice piana se esiste un piano che contiene . Se non e un

segmento di retta (o una retta), allora e unico: infatti se e con 6= ,abbiamo che e contenuta nella retta .

Rette e circonferenze sono curve piane.

3 - Eliche 1/2

La curva in forma parametrica

: P (t) =

{x = cos2ty = sen2tz = t

, t R

non e piana. Infatti i punti P (0) = (1, 0, 0), P (1) = (1, 0, 1), P ( 12 ) = (1, 0,12 ) non sono

allineati e lunico piano per essi e y = 0, che non contiene .

4 - Eliche 2/2

Se a, b, c > 0, le curve parametriche del tipo

: P (t) =

{x = acos2ty = bsen2tz = ct

, t R

si dicono eliche cilindriche. Tali curve non sono piane ma sono contenute nei cilindri con

equazione x2

a2 +y2

b2 = 1.

5 - Esempio

In generale le intersezioni di quadriche non sono curve piane: per esempio

:{x2 + y2 + z2 8 = 0xy z = 0

contiene i punti (2

2, 0, 0), (2

2, 0, 0), (0, 2

2, 0) e (

2,

2, 2), che non sono compla-

nari.

6 - Sezione cilindrica 1/3

Sia : ax+ by + cz + d = 0 un piano e sia una curva piana di equazioni:

47

{f(x, y, z) = 0ax+ by + cz + d = 0

Se c 6= 0, z = Ax+By + , con A = a/c, B = b/c, C = d/c.


Posto f0(x, y) = f(x, y,AX +By + C), abbiamo

:{f0(x, y) = 0ax+ by + cz + d = 0

Quindi = Z(f0) , dove Z(g) e un cilindro di direzione canonica e3.

Se a 6= 0 o b 6= 0, potremo avere cilindri con direzioni canoniche e1 e e2 rispettivamente.


Se = S con S cilindro in direzione canonica ei e non parallelo a ei, diciamo che e in sezione cilindrica.

Osserviamo che e una direttrice di S. In particolare, se e il piano coordinato ortogonale

a ei chiamiamo la direttrice principale di S.

9 - Esempio

Se

:{x2 y2 + 2z2 3y + 3z 1 = 0y z = 0

ponendo z = y si ottiene la sezione cilindrica

:{x2 + y2 1 = 0y z = 0

10 - Osservazione

Osserviamo che la direttrice principale del cilindro nellesempio precedente, cioe

0 :{x2 + y2 1 = 0z = 0

48

si puo identificare con la circonferenza unitaria nel piano.

In generale la direttrice principale di un cilindro S di direzione canonica puo essere iden-

tificata con la curva nel piano definita dallequazione del cilindro S.

11 - Sezioni piane

Possiamo studiare e descrivere una superficie S per mezzo delle curve piane ottenute in-

tersecando S con un fascio di piani passanti per una retta o di piani paralleli (sezioni

piane).

Per esempio, le figure delle quadriche in forma canonica si possono ottenere con sezioni

con i piani paralleli a uno dei piani coordinati.

12 - Esempio

Intersecando lellissoide con semiassi 2, 1, 1 con i piani z = k otteniamo:

1) per |k| < 1 la famiglia di ellissi {x2

4(1k2) +y2

1k2 = 1z = k

con semiassi decrescenti al crescere di |k|;

2) per k = 1 i punti (0, 0,1);

3) per |k| > 1 il .

Sezione 6 - Coniche nello spazio

1 - Esempio 1/2

Consideriamo la famiglia di quadriche Qk : k(k 1)x2 + z2 + 2xz + 2ky + 1 = 0. Se : z = 0, allora Ck = Qk si rappresenta in sezione cilindrica come

Ck :{k(k 1)x2 + 2ky + 1 = 0z = 0

2 - Esempio 2/2

C0 = e C1 e la retta

49

{y = 12z = 0

Per k 6= 0, 1 , Ck e una parabola nel piano identificato con il piano con sistema diriferimento Oxy.

3 - Coniche come sezioni cilindriche 1/3

Se Q e una quadrica e se e un piano non contenuto in Q, lintersezione C = Q euna conica nello spazio. Infatti, se Oxyz e un sistema di riferimento in cui : z = 0 e se

Q : p(x, y, z) = 0 in Oxyz, posto p0(x, y) = p(x, y, 0), abbiamo C come sezione cilindrica:

C :{p0(x, y) = 0z = 0


Il polinomio p0 e non nullo e ha grado 2 in x, y. Quindi nel piano : z = 0 identificatocon il piano con sistema di riferimento Oxy, linsieme C : p0(x, y) = 0 e una conica, una

retta o il vuoto a seconda che il grado di p0 sia 2, 1 o 0. Pertanto possiamo riconoscere C

come conica nel piano.


Sia Q : p(x, y, z) = 0 una quadrica. Se Q e un cilindro di direzione A, allora per ogni

piano non parallelo a A la conica Q dello stesso tipo. In particolare diremo che Q eellittico, iperbolico o parabolico se Q e una ellisse, iperbole o parabola rispettivamente.

Possiamo usare queste proprieta per studiare le coniche nello spazio.

6 - Cono circolare

La quadrica Q0 : x2 + y2 z2 = 0 si dice cono circolare retto. Per ogni k 6= 0, Q {z = k}e una circonferenza di centro (0, 0, k), raggio k nel piano z = k.

7 - Esempi 1/2

Sia : x y 2z+ 1 = 0. Allora la conica C = Q0 in sezione cilindrica si rappresentacome

50

C :{

3x2 + 3y2 2xy 2x+ 2y 1 = 0x y 2z + 1 = 0

La superficie Q : 3x2 + 3y2 2xy 2x+ 2y 1 = 0 e un cilindro di direzione canonica e3con direttrice principale unellisse, quindi C e una ellisse.

8 - Esempi 2/2

In modo analogo si verifica che:

1) se 1 : x+ y + z 1 = 0, Q0 1 e una iperbole;

2) se 2 : x z 1 = 0, Q0 2 e una parabola.

9 - Sezioni coniche

Quindi tutti i tipi di coniche non degeneri possono essere ottenuti come intersezioni di Q0con un piano non passante per lorigine.

Intersecando Q0 con un piano per O otteniamo coniche degeneri: un punto

( : z = 0), una retta ( : x = z) o una coppia di rette incidenti ( : y = 0).

Le coniche sono state in origine introdotte in questo modo e il loro nome deriva da sezioni

coniche.

10 - Parametrizzazione 1/3

Come applicazione, parametrizziamo la conica

C :{x2 + y2 + z2 + xy 3xz + 1 = 0x+ y z = 0

Sostituendo z = x+ y abbiamo la sezione cilindrica

C :{x2 + 2y2 1 = 0x+ y z = 0

.


Il cilindro ellittico S : x2 + 2y2 1 = 0 ha direttrice principale

51

CS :{x2 + 2y2 1 = 0z = 0

che si parametrizza con Q(t) = (cos, 12sen, 0), [0 2].


Quindi una parametrizzazione di C ex = cosy = 1

2sen

z = cos + 12sen

[0 2].

Sezione 7 - Coni e cilindri in forma canonica e parametrica

1 - Coni e cilindri con assegnata direttrice

Sia e una curva piana contenuta nel piano di direzione ortogonale N . Se P, A R3

sono tali che P / e A N 6= 0, allora esistono un unico cono K(, P ) di vertice P e ununico cilindro H(,A) di direzione A con direttrice .

Illustriamo con un esempio come ottenere coni e cilindri in forma canonica e parametrica

con vertice o direzione e direttrice assegnati.

2 - Direttrice assegnata

Se e un curva piana, in generale conviene rappresentare in sezione cilindrica. Sia

:{x2 2y2 1 = 0x+ y z = 0

3 - Cono in forma cartesiana 1/3

Se P = (1, 0, 0) e se K = K(, P ), X = (x, y, z) K se e solo X giace in una rettaper P e un punto di , cioe se e solo se esistono X = (x, y, z) e t R tali cheX = t(X P ) + P .


52

Abbiamo il sistema

x = t(x 1) + 1y = ty

z = tz

x2 2y2 1 = 0x + y z = 0

Dalle prime 3 equazioni ricaviamo (per t 6= 0): x = (x1+t)t , y = yt e z

= zt .


Sostituendo nelle ultime 2 equazioni abbiamo:{(x 1 + t)2 2y2 t2 = 0x+ y z + t 1 = 0

Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo:

K : x2 + 2y2 + 2xy + 2xz 2x 2y + 2z 1 = 0.

6 - Cilindro in forma cartesiana 1/3

Se A = (1, 0,1) e se H = H(, P ), X = (x, y, z) H se e solo X giace in una retta didirezione A per un punto di , cioe se e solo se esistono X = (x, y, z) e t R taliche X = tA+X .


Abbiamo il sistema

x = t+ x

y = t+ y

z = t+ zx2 2y2 1 = 0x + y z = 0


Sostituendo nelle ultime 2 equazioni x = x t, y = y t e z = z abbiamo:{(x t)2 2y2 1 = 0x+ y z 2t = 0 .

53

Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo:

H : x2 7y2 + z2 2xy + 2xz 2yz 4 = 0.

9 - Direttrice in forma parametrica

Se e in forma parametrica, per esempio

:

x = cosh(t)y = 1

2senh(t)

z = cosh(t) + 12senh(t)

, t R.

possiamo parametrizzare le superfici K e H.

10 - Cono in forma parametrica

K :

x = (cosh(t) 1)u+ 1y = 1

2senh(t)u

z = (cosh(t) + 12senh(t))u

, (t, u) R2.

11 - Cilindro in forma parametrica

H :

x = u+ cosh(t)y = 1

2senh(t)

z = u+ cosh(t) + 12senh(t)

, (t, u) R2.

12 - Parametrizzazione del cono

Se : P (t) = (x(t), y(t), z(t)), t D e se P0 = (x0, y0, z0), allora

K :

x(t, u) = (x(t) x0)u+ x0y(t, u) = (y(t) y0)u+ y0z(t, u) = (z(t) z0)u+ z0

con t D e u R.

13 - Parametrizzazione del cilindro

Se : P (t) = (x(t), y(t), z(t)), t D e se A = (a, b, c) 6= O, allora

54

H(,A) :

x(t, u) = au+ x(t)y(t, u) = bu+ y(t)z(t, u) = cu+ z(t)

con t D e u R.

Sezione 8 - Superfici di rotazione

1 - Definizione di superficie di rotazione

Siano r e una retta e una curva nello spazio rispettivamente. Se P , sia P il pianoper P ortogonale a r e sia CP la circonferenza di centro P r = pr(P ) e raggio d(P, r)in P (se P r, sia CP = P ).Allora lunione delle CP per P e una superficie S detta superficie di rotazione di asser generata da : si dice generatrice di S

2 - Meridiani e paralleli

Una superficie S di rotazione di asse r e trasformata in se da tutte le rotazioni di asse r.

Se [0 2) e se e limmagine di C tramite la rotazione di asse r e angolo , alloraS e unione delle curve th per 0 < 2.Le circonferenze CP si dicono paralleli e le curve si dicono i meridiani. Osserviamo che

i meridiani sono le intersezioni di S con i piani del fascio per r.

3 - Superfici di rotazione di asse z

Studiamo le superfici di rotazione nel caso in cui lasse r e lasse delle z e la generatrice

e una curva piana in y = 0. Indicheremo con S la superficie di rotazione attorno allasse

z generata da una tale .

Se e piana possiamo sempre ricondurci a questo caso con un cambiamento di riferimento.

4 - Esempio 1/2

Consideriamo la circonferenza

:{

(x 2)2 + z2 1 = 0y = 0

55

.

Se P0 (x0, 0, z0) , (x, y, z) CP0 se e solo se z = z0 ex2 + y2 = |x0|.

5 - Esempio 2 /2

Sostituendo nella prima equazione abbiamo la forma cartesiana

S : (x2 + y2)2 + z4 + 2(x2 + y2)z2 10(x2 + y2) + 6z2 + 9 = 0.

6 - Coordinate cilindriche

Per studiare la superfici di rotazione si puo utilizzare il seguente cambiamento di coordinate

in R3: {x = cosy = senz = t

con > 0, t R e 0 2.Il cilindro x2 + y2 = R2 in coordinate cilindriche ha equazione = R.

7 - Esempio 3/3

Una parametrizzazione di e P () = (cos+ 2, 0, sen), [0 2]. Passando alle co-ordinate cilindriche e sostituendo = cos+2 e t = sen, otteniamo la parametrizzazione

S :

x = ((cos+ 2)cosy = (cos+ 2)senz = sen

, , [0 2].

8 - Toro

Un superficie di rotazione con generatrice una circonferenza e con asse una retta com-

planare e esterna a si dice toro.

9 - Forma cartesiana

Se

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:{f(x, z) = 0y = 0

, e se F (x, y, z) = f(x2 + y2, z),

allora

S : F (x, y, z) = 0.

10 - Forma parametrica

Se : P (t) = (x(t), 0, z(t))), t D,

S :

x(t, ) = x(t)cosy(t, ) = y(t)senz(t, ) = z(t)

, t D, [0 2].

11 - Esempi 1/2

Se : x z = 0, y = 0, S : x2 + y2 z2 = 0 e il cono circolare retto. Poiche : (t, 0, t),abbiamo

S :

{x = tcosy = tsenz = t

12 - Esempi 2/2

Se : P () = (Rcos, 0, Rsen), 0 (semicirconferenza di centro O), allora

S :

{x = Rsencosy = Rsensenz = Rcos

, 0 , 0 2

e la sfera di centro O e raggio R.

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