geom1i,

PIANI, RETTE E ISOMETRIE

Parte I - Sistemi di riferimento e vettori

Sezione 1 - Sistemi di riferimento

1 - Concetti primitivi

Con termini come punto, retta, piano, spazio, verso, direzione, unita di

misura, distanza, ortogonalita intenderemo concetti primitivi derivanti dalla nostra

intuizione geometrica e definibili come oggetti che soddisfano agli assiomi della geometria

euclidea.

Nel seguito ricordiamo come si definiscono i sistemi di riferimento sulla retta e nel piano e

estendiamo questo procedimento allo spazio.

2 - Sistemi di riferimento sulla retta

Un sistema di riferimento Ox su una retta r e stabilito come segue:

1) fissiamo un punto O r detto origine, un verso di percorrenza ( da destra a sinistra, da sinistra a destra) e una unita di misura m;

2) associamo a un punto P r il numero reale x (la coordinata di P ) tale che |x| e ladistanza da O di P rispetto a m e il cui segno e dato dal verso: se per esempio e fissato

, x > 0 o x < 0 secondo che P si trovi a destra o a sinistra di O.

Ovviamente O ha coordinata 0.

3 - Sistemi di riferimento nel piano

Un sistema di riferimento Oxy nel piano si ottiene fissando una coppia ordinata di rette

ortogonali (r1, r2) (gli assi cartesiani ) intersecantesi nel punto origine O = r1 r2 escegliendo sistemi di riferimento Ox e Oy su r1 e r2 rispettivamente (per semplicita con la

stessa unita di misura).

Dato un punto P del piano, consideriamo le rette r1 e r2 per P ortogonali a r1 e r2

rispettivamente. Se poniamo P1 = r1 r1 e P2 = r2 r2 e se x e la coordinata di P1 in Ox

1

e y e la coordinata di P2 in Oy, allora associamo a P la coppia ordinata (x, y) delle sue

coordinate.

Tradizionalmente x si dice ascissa mentre y si dice ordinata. Quindi r1 sara lasse delle

ascisse mentre r2 quello delle ordinate. Lorigine ha coordinate (0, 0).

4 - Sistemi di riferimento nello spazio

Un sistema di riferimento Oxyz nello spazio si ottiene fissando una terna ordinata di rette

ortogonali (r1, r2, r3) (gli assi cartesiani ) intersecantesi nel punto origine

O = r1r2r3 e scegliendo sistemi di riferimentoOx, Oy, eOz su r1, r2 e r3 rispettivamente(per semplicita con la stessa unita di misura).

Dato un punto P dello spazio, sia il piano nello spazio contenente le rette r1 e r2 e

consideriamo su il sistema di riferimento Oxy.

Se r e la retta ortogonale a passante per P e se e il piano per P ortogonale a r3,

poniamo P = r e P = r3.Se (x, y) sono le coordinate di P in Oxy e se z e la coordinata di P in Oz, associamo a

P la terna ordinata (x, y, z).

5 - Sistemi di riferimento e Rn

Si puo vedere che fissare un sistema di riferimento significa stabilire una corrispondenza

biunivoca tra la retta e R, tra il piano e R2 o tra lo spazio e R3.

Lidentificazione del piano con R2 o dello spazio con R3 tramite un sistema di coordinate

costituisce il fondamento della geometria analitica.

Dora in poi quindi supporremo di aver stabilito un sistema di riferimento e Rn indichera

il piano o lo spazio a seconda che n = 2 o n = 3. Gli enunciati concernenti Rn con n

indeterminato saranno intesi validi sia per il piano che per lo spazio.

Sezione 2 - Vettori applicati

1 - Definizione di vettore applicato

Se P e un punto del piano o dello spazio, il segmento OP di estremi lorigine O e P con

verso da O a P si dice vettore applicato nellorigine associato a P . Se P = O, associamo

a P il segmento degenere OO (con verso indefinito).

2

2 - Vettori applicati e Rn

I vettori applicati in O sono in corrispondenza biunivoca con i punti del piano o dello spazio,

quindi possiamo identificare linsieme dei vettori applicati in O con Rn. Il formalismo dei

vettori applicati trova ampio uso in fisica. Nel seguito interpreteremo geometricamente le

operazioni vettoriali usando i vettori applicati.

3 - Versori canonici

In R3, i vettori applicati associati ai punti (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) rispettivamente sono

spesso indicati con i, j e k e detti versori canonici. La terna i, j, k si identifica con la base

canonica e1, e2, e3 in R3. Possiamo scrivere

(x, y, z) = xe1 + ye2 + ze3 = xi+ yj + zk.

Analogamente, in R2 abbiamo e1 = (1, 0) = i, e2 = (0, 1) = j e (x, y) = xe1+ye2 = xi+yj.

4 - Prodotto per scalare

Se P Rn, se R e se Q = P , allora OQ e il segmento con estremo in O sulla rettapassante per O e P di lunghezza || volte la lunghezza di OP e verso concorde o discordecon OP secondo che sia > 0 o < 0. Se = 0, OQ = OO.

5 - Esempio

Se P = (1,2), allora P , 12P , 3P si rappresentano rispettivamente comeFIG.4

Osserviamo che 12P e il vettore applicato associato al punto di mezzo del segmento OP .

6 - Direzione di un vettore

Due vettori X1, X2 Rn non nulli si dicono paralleli se sono linearmente dipendenti, cioese X2 = X1 con R diverso da 0. La relazione di parallelismo e evidentemente unarelazione di equivalenza: la classe di equivalenza di un vettore non nullo X si dice direzione

di X.

7 - Somma di vettori paralleli

3

Consideriamo ora due punti P1 e P2 in Rn. Se P1 e P2 sono paralleli, esiste R taleche P2 = P1. In tal caso i due punti sono allineati con O e la somma P1 + P2 coincide

con il prodotto (1 + )P1.

8 - Regola del parallelogramma

Se P1 e P2 non sono paralleli, consideriamo il parallelogramma di vertici O, P1, P2 con

P1 e P2 opposti. Allora il vettore somma P1 + P2 corrisponde al quarto vertice Q di

(regola del parallelogramma).

Infatti allora i segmenti P1P2 e OQ si intersecano nel punto di mezzo M . Dalla geometria

euclidea abbiamo chele coordinate di M sono la semisomma delle coordinate di P1 e P2,

quindi M = 12 (P1 + P2) e Q = P1 + P2.

9 - Differenza

La differenza Q = P1 P2 e la somma tra P1 e P2, quindi il vettore applicato OQ e ilsegmento con estremo O avente stessa lunghezza, direzione, verso della diagonale P2P1 di

.

10 - Esempi

1) Se P1 = (1, 2) e P2 = (3,1), abbiamo P1 + P2 = Q = (4, 1).

2) Se P1 = (1, 2) e P2 = (3,1), abbiamo P1 P2 = Q = (2, 3).

Sezione 3 - Prodotto scalare e ortogonalita

1 - Prodotto scalare canonico

Ricordiamo che, se X = (x1, x2, . . . , xn) e X = (x1, x2, . . . , x

n) sono vettori di R

n il

prodotto scalare X X e la norma X sono rispettivamente definiti come:

X X = x1x1 + x2x2 + + xnxn, X =X X =

x21 + x

22 + x2n.

Studiamo tali concetti dal punto di vista geometrico quando n = 2, 3.

2 - Distanza

4

Se P Rn, P e la lunghezza del segmento OP (distanza di P dallorigine) e, se P1, P2 Rn, P1 P2 e uguale a

(x1 x2)2 + (y1 y2)2,

(x1 x2)2 + (y1 y2)2 + (z1 z2)2

a seconda che n = 2 o n = 3. Quindi P1 P2 e la distanza d(P1, P2) tra P1 e P2.

3 - Disuguaglianza di Schwarz

Se X1, X2 Rn, vale la seguente

|X1 X2| X1X2.

Osserviamo che la disuguaglianza e ovvia se X1 = O o X2 = O, quindi basta provarla nel

caso che X1 e X2 siano entrambi non nulli.

4 - Prova della Disuguaglianza di Schwarz

Comunque dati a, b R abbiamo

(aX1 + bX2) (aX1 + bX2) = a2X12 + b2X22 + 2abX1 X2 0.

Ponendo a = X22 e b = X1 X2, otteniamo

X24X12 + (X1 X2)2X22 2(X1 X2)2X22 0.

Poiche X2 6= 0 possiamo semplificare ottenendo

X22X12 (X1 X2)2 0 da cui |X1 X2| X2X1.

5 - Disuguaglianza della norma

Se X1, X2 Rn, vale

X1 +X2 X1+ X2.

Infatti, per la disuguaglianza di Schwarz,

5

X1 +X22 = X12 +X22 +2X1 X2 X12 +X22 +2X1X2 = (X1+X2)2.

6 - Disuguaglianza triangolare

Se P1, P2 e P3 sono punti di Rn, vale

d(P1, P3) d(P1, P2) + d(P2, P3).

Questa disuguaglianza si ottiene dalla disuguaglianza della norma sostituendo X1 = P1P2e X2 = P2 P3 e equivale al fatto che in un triangolo la lunghezza di un lato e minoredella somma e maggiore del valore assoluto della differenza delle lunghezze degli altri due

lati.

7 - Angolo tra vettori

Siano X1, X2 Rn vettori non nulli. Allora la Disguaglianza di Schwarz implica

1 X1 X2X1X2

1.

Quindi esiste un unico angolo compreso tra 0 e tale che

X1 X2 = X1X2cos.

viene detto langolo tra X1 e X2.

8 - Esempio

Se X1 = (1, 1, 0) e X2 = (0, 1, 0), X1 X2 = 1, X1 =

2, X2 = 1. Quindi

cos =12

e =

4.

9 - Osservazione

Langolo tra due vettori X1, X2 Rn non nulli e /2 se e solo se X1 X2 = 0, ilche corrisponde geometricamente alla definizione di vettori ortogonali come vettori il cui

prodotto scalare e nullo.

6

Si puo inoltre provare che X1 e X2 sono paralleli se e solo = 0 o = . In questi casi

X2 = X1 con > 0 se = 0, < 0 se = .

Sezione 4 - Prodotto vettore

1 - Definizione di prodotto vettore

In R3 possiamo introdurre una operazione che associa a ogni coppia ordinata di vettori

(X1, X2) un terzo vettore indicato con X1 X2 e detto prodotto vettore o prodotto esternodi X1 e X2. Se X1 = (x1, y1, z1) e X2 = (x2, y2, z2), poniamo

X1 X2 = (y1z2 y2z1, x2z1 x1z2, x1y2 x2y1).

2 - Calcolo del prodotto vettore

Poiche X1 X2 = (y1z2 y2z1)i (x1z2 x2z1)j + (x1y2 x2y1)k, abbiamo la seguenteformula mnemonica per il calcolo del prodotto vettore:

X1 X2 = det i j kx1 y1 z1x2 y2 z2

dove si deve sviluppare formalmente il determinante lungo la prima riga utilizzando le

operazioni di prodotto per scalare e somma di vettori.

3 - Esempio

Se X1 = (1,1, 2) e X2 = (3, 0, 2), abbiamo

X1 X2 = det

i j k1 1 23 0 2

= 2i+ 4j + 3k = (2, 4, 3).4 - Proprieta del prodotto vettore

Se X1, X2, X3 R3, allora

1) per , R, X1 (X2 + X3) = (X1 X2) + (X1 X3);

7

2) X1 X2 = X2 X1.

3) X1 X2Xi, i = 1, 2;

4) X1 X2 = X1X2sen dove e langolo tra X1 e X2;

5) X1 e X2 sono paralleli se e solo se X1 X2 = O.

5 - Osservazione

I multipli di X1 X2 sono tutti e soli i vettori ortogonali sia a X1 che a X2 e quindi allecombinazioni lineari di X1 e X2.

ViceversaX e ortogonale aX1X2 se e solo se esistono c1, c2 R tali cheX = c1X1+c2X2.

6 - Esempi

1) Si ha i j = k e che j i = k.

2) I vettori X1 = (1, 1,1) e X2 = (1, 0, 1) sono ortogonali. Poiche il vettore X3 = X1 X2 = (1,2,1) e ortogonale a entrambi, normalizzando la base ortogonale {X1, X2, X3}otteniamo una base ortonormale di R3.

7 - Formula del prodotto misto

Se Se X1, X2, X3 R3 e se M e la matrice 33 le cui righe sono [M ]1 = X1, [M ]2 = X2,[M ]3 = X3, dalla definizione di prodotto vettore abbiamo

(X1 X2) X3 = D(M).

8 - Esempio

Se X1 = (1,1, 2), X2 = (3, 0, 2), X3 = (1, 1, 1)

(X1 X2) X3 = (2, 4, 3) (1, 1, 1) = 5 = det

1 1 23 0 21 1 1

.

8

Parte II - Rette

Sezione 1 - Rette parametriche

1- Rette per lorigine

Sia A = (1, 2) R2. Per linterpretazione geometrica del prodotto per scalare, linsieme{(t, 2t)| t R} rappresenta una retta per lorigine.In generale A Rn e un vettore non nullo, linsieme dei multipli tA al variare di t Rrappresenta una retta r passante per lorigine. Dunque

r = {P (t) = tA | t R}.Indichiamo questa rappresentazione con

r : P (t) = tA oppure r : tA.

Osserviamo che {tA | t R} e il sottospazio vettoriale di Rn generato da A (quindiha dimensione 1) e coincide anche con linsieme dei vettori paralleli a A (con la stessa

direzione) piu lorigine.

2 - Esempio

Siano P0 = (1,1) e P1 = (2, 1) in R2. Sia r la retta per P0 e P1 e sia r0 la parallela a rpassante per O. Per la regola del parallelogramma, per ogni Q r0 esiste un unico t Rtale che Q = t(P1 P0) = t(1, 2). Quindi r0 : t(P1 P0) = t(1, 2).Se ora P r, sempre per la regola del parallelogramma, esiste un unico Q r0 tale cheP = Q + P0. Quindi esiste un unico t R tale che P = t(P1 P0) + P0. Allora r puoessere rappresentata al variare di t in Rn come linsieme di punti

P (t) = t(P1 P0) + P0 = t(1, 2) + (1,1).

3 - Parametrizzazioni

Se r e una retta in Rn, esiste un vettore non nullo A Rn tale che, per ogni P0 r, rcoincide con linsieme dei punti P (t) = tA+ P0 al variare di t R.

9

In altre parole r e limmagine dellapplicazione P : R Rn definita da P (t) = tA + P0.Tale applicazione viene detta parametrizzazione di r e la variabile t e detta parametro.

Viceversa, assegnati A, P0 Rn con A 6= O, linsieme di punti P (t) = tA+ P0 al variaredi t in R e una retta r in Rn passante per P0 = P (0).

Una retta cosi rappresentata r si dice retta in forma parametrica (o retta parametrica) di

direzione A e passante per P0.

Tale rappresentazione si indica con

r : P (t) = tA+ P0 oppure r : tA+ P0.

4 - Rette parametriche e moti rettilinei

Possiamo vedere una retta parametrica r : P (t) = tA + P0 come il dato di un ente geo-

metrico (la retta r) e un ente algebrico (la parametrizzazione tA+P0). Dal punto di vista

fisico, linterpretazione piu naturale e quella di un moto rettilineo uniforme di un corpo

che ha come traiettoria la retta r e legge oraria P (t): A e il vettore velocita , t e il tempo

e P0 la posizione iniziale (al tempo t = 0).

In base alle considerazioni precedenti risulta che, dovendo operare con parametrizzazioni

differenti della stessa retta o di rette distinte, e opportuno indicare i parametri con lettere

differenti. Infatti, in un moto non conta solo sapere in che posizione si trova il corpo ma

anche in che momento tale posizione viene occupata.

5 - Rette parallele

Se r : P (t) = tA+P0 e s : Q(u) = B+Q0 sono rette parametriche in Rn, per la definizione

di parametrizzazione r e s sono parallele se e solo B = A per un R non nullo, cioe see solo se A e B sono hanno la medesima direzione. Questo giustifica il termine direzione

di r con cui sono indicati A e B.

6 - Cambiamenti di parametro

Il caso precedente comprende quello di due parametrizzazioni della stessa retta (r = s). In

tal caso Q0 r, cioe esiste t0 R tale che Q0 = t0A+ P0. Quindi

Q(u) = uB +Q0 = uA+ (t0A+ P0) = (u+ t0)A+ P0

10

e

P (t) = Q(u) per t = u+ t0.

7 - Esempio

Consideriamo la retta parametrica in R3 data da r : P (t) = t(1, 2,1) + (2,1, 0).

1) s : Q(u) = u(2,4, 2) + (1, 1, 1) e la parallela a r passante per (1, 1, 1);

2) le parametrizzazioni di r sono tutte e sole della forma

Q(u) = u(1, 2,1) + (t0(1, 2,1) + (2,1, 0)) = (u+ t0)(1, 2,1) + (2,1, 0)

con 6= 0.

8 - Retta per due punti

Abbiamo visto che, dati due punti P0, P1 Rn , lunica retta r passante per tali puntiammette la parametrizzazione

r : P (t) = t(P1 P0) + P0.

Possiamo chiamare tale parametrizzazione di r la parametrizzazione riferita alla coppia

ordinata (P0, P1).

Viceversa, se P (t) = tA + P0 e una parametrizzazione di una retta r e se poniamo

P1 = P (1) = A + P0, allora evidentemente A = P1 P0 e tale parametrizzazione e laparametrizzazione di r riferita a (P0, P1).

Quindi abbiamo per una retta infinite parametrizzazioni determinate dalle coppie ordinate

di punti distinti di r

9 - Esempio

Se r e la retta in R2 per P0 = (1,1) e P1 = (2, 1), allora

P (t) = t(1, 2) + (1,1), Q(u) = u(1,2) + (2, 1)

o, piu esplicitamente,

11

P (t) :{x = t+ 1y = 2t 1 e Q(u) :

{x = u+ 2y = 2u+ 1

sono le parametrizzazioni di r riferite a (P0, P1) e (P1, P0) rispettivamente.

10 - Segmenti

Il segmento P0P1 di estremi P0, P1 Rn si puo rappresentare con la parametrizzazioneriferita a (P0, P1). Infatti tale segmento e linsieme dei punti

P (t) = t(P1 P0) + P0, 0 t 1.

11 - Punti allineati

Se P0, P1, P2 sono punti distinti di Rn, allora tali punti sono allineati se e solo se P2appartiene alla retta r passante per P0, P1, quindi se e solo se esiste t tale che

P2 = t(P1 P0) + P0 cioe P2 P0 = t(P1 P0).

In conclusione, P0, P1, P2 sono allineati se e solo se i vettori P2P0, P1P0 sono paralleli.

12 - Esempio

Siano P0 = (1,2, 1), P1 = (3, 0, 3), P2 = (2,1, 2) e P3 = (0,2, 1) punti di R3.

1) P2 e allineato con P0, P1 in quanto P2 P0 = 12 (2, 2, 2) = (1, 1, 1) =12 (P1 P0);

2) P3 non e allineato con P1, P2 in quanto P3P0 = (1, 0, 0) e P1P0 non sono paralleli.

14 - Angoli tra rette

Se r : P (t) = tA + P0 e s : Q(u) = uB + Q0 sono rette parametriche in Rn, langolo

convesso tra r e s e dato dallangolo tra A e B definito dallequazione

cos =A BAB

, 0 .

15 - Rette ortogonali

12

Quindi r e s sono parallele se e solo se = 0, mentre r e s sono ortogonali se e solo se

= /2, il che equivale a AB e a A B = 0.

Sezione 2 - Rette nel piano

1 - Esempio

Se r e una retta parametrica nel piano con r : P (t) = (x(t), y(t)) = t(1, 2) + (1,1),possiamo scrivere(

x(t)y(t)

)= t(

12

)+(

11

)=(t+ 12t 1

)da cui

{x(t) = t+ 1y(t) = 2t 1

2 - Equazioni parametriche

Se A = (a, b) 6= (0, 0) e P0 = (x0, y0) allora le equazioni parametriche della retta di direzioneA passante per P0 sono

r :{x = at+ x0y = bt+ y0

Per semplificare la notazione, si sottointende la dipendenza da t delle coordinate del punto

P (t).

3 - Esempi

Gli assi cartesiani rx, ry hanno parametrizzazioni rx : te1 e ry : ue2 e quindi equazioni

parametriche

rx :{x = ty = 0 , ry :

{x = 0y = u

4 - Forma cartesiana

Sia r una retta in Rn per lorigine e sia (a, b) 6= O un punto di r. Allora r si puo anchedefinire come linsieme dei vettori ortogonali a (a, b), cioe r = {(x, y) R2 | ax+ by = 0}.Se ora r e una retta qualsiasi e se P0 = (x0, y0) r, sia r0 : ax + by = 0 la parallela a rper O. Allora, per la regola del parallelogramma, X = (x, y, ) r se e solo se X P0 r0,

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cioe se e solo se a(x x0) + b(y y0) = 0. Posto c = ax0 by0, abbiamo lequazionecartesiana ax + by + c = 0 di r, con a, b non entrambi nulli (ricordiamo che lequazione

cartesiana e determinata a meno di multiplo 6= 0).Poniamo r : ax + by + c = 0 e diciamo che r e in forma cartesiana. Da quanto precede,

abbiamo che, se r : ax + by + c = 0, allora la direzione ortogonale a r e data da (a, b) e

quindi r ha direzione definita da (b,a).Se b 6= 0 il coefficiente angolare di r e ab .

5 - Passaggio dalla forma cartesiana alla forma parametrica

Se r : 2xy+1 = 0, allora r ha direzione ortogonale (2,1), e quindi direzione A = (1, 2).Poiche P0 = (1,1) r, abbiamo che r : tA+ P0. Le equazioni parametriche sono

r :{x = t 1y = 2t 1

Alternativamente, e possibile esplicitare una variabile e assumere come parametro laltra :

per esempio y = 2x+ 1 (forma esplicita), da cui

r :{x = ty = 2t+ 1

6 - Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana

Viceversa se

r :{x = t 1y = 2t 1

possiamo ricavare t da una equazione e sostituire nellaltra: t = x + 1, da cui y = 2(x +

1) 1 = 2x+ 1 e

2x y + 1 = 0.

7 - Esempio

Consideriamo le rette parametriche

r : P (t) = t(1,3) + (2, 1) e s : Q(u) = u(3, 1) + (3, 2).

14

Possiamo determinare r s imponendo P (t) = Q(u), cioe

{t 2 = 3u 33t+ 1 = u+ 2

Dunque abbiamo il sistema quadrato

S :{t 3u = 13t u = 1

da cui t = 25 e u =15 . Sostituendo otteniamo

r s = P ( 25 ) = Q( 5 ) = (125 ,

115 ).

8 - Intersezione di rette parametriche

Se r : P (t) = tA+ P0 e s : uB +Q0, la condizione P (t) = Q(u) equivale al sistema

S : tA uB = Q0 P0.

La matrice dei coefficienti di S ha colonne A e B.

1) Se A e B non sono paralleli, S e determinato e le rette sono incidenti.

2) Se A e B sono paralleli, S e impossibile (rette parallele) o indeterminato (r = s).

9 - Intersezione di rette in generale

Lintersezione di due rette in forma cartesiana si studia con il sistema formato dalle due

equazioni. Diamo un esempio nel caso in cui una sola delle due rette sia in forma cartesiana.

Se

r :{x = t 1y = 2t 1 e s : 3x 2y + 5 = 0

sostituendo P (t) = (t 1, 2t 1) nellequazione di s si ha 3(t 1) 2(2t 1) + 5 = 0 dacui t = 4 e r s = (3, 7).

10 - Proiezione ortogonale

Se r e P sono una retta e un punto nel piano, la proiezione ortogonale pr(P ) di P su r e

lintersezione dellunica retta ortogonale a r passante per P . Per il Teorema di Pitagora,

abbiamo P pr(P ) P Q per ogni Q r, con = se e solo se Q = pr(P ).

15

11 - Distanza punto/retta

Quindi pr(P ) e il punto di r con minima distanza da P . La distanza d(P, r) di P da r e

definita da d(P, r) = d(P, pr(P )) = P pr(P ).Ricordiamo che, se P = (x0, y0) e r : ax+ by + c = 0, vale

d(P, r) =|ax0 + by0 + c|

a2 + b2

12 - Esempio

Se r : t(1, 2)+(1,1) e P = (2,4), abbiamo r : 2xy3 = 0, quindi la retta s ortogonalea r per P e s : u(2,1) + (2,4) e pr(P ) = r s = (0,3). Abbiamo

d(P, r) = d(P, pr(P )) =

5 e d(P, r) =|2 (2) 1 (4) 3|

5=

5.

Sezione 4 - Rette nello spazio

1 - Equazioni parametriche

Se A = (a, b, c) 6= (0, 0, 0) e P0 = (x0, y0, z0), allora le equazioni parametriche della rettadi direzione A passante per P0 sono

r :

{x = at+ x0y = bt+ y0z = ct+ z0

Esempi.

1) La retta nello spazio di direzione A = (3,1, 2) passante per P0 = (1, 0, 4) ha equazioniparametriche {

x = 3t 1y = tz = 2t+ 4

2) Gli assi cartesiani nello spazio hanno equazioni parametriche

rx :

{x = ty = 0z = 0

, ry :

{x = 0y = uz = 0

, rz :

{x = 0y = 0z = v

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2 - Posizione reciproca di rette

Siano r : P (t) = tA+ P0 e s : Q(u) = uB +Q0 con equazioni parametriche

r :

{x = 3t 1y = tz = 2t+ 4

, s :

{x = u+ 1y = uz = u 2

Studiamo r s: come nel piano, la condizione P (t) = Q(u) equivale a un sistema lineareS a due incognite, ma in questo caso vi sono tre equazioni. Il sistema

S :

{ 3t u = 2t+ u = 02t u = 6

e impossibile, quindi r s = : le rette non si intersecano. Daltra parte r e s non sonoparallele, in quanto A = (3,1, 2) e B = (1,1, 1) non sono paralleli.Ricordiamo che due rette nello spazio si dicono complanari se esiste un piano che contiene

entrambe. Dalla geometria euclidea sappiamo che due rette r1 e r2 (distinte) nello spazio

possono essere in tre posizioni reciproche:

incidenti se r1 r2 e un punto;

parallele se r1 r2 = e r1 e r2 sono complanari;

sghembe se r1 e r2 non sono complanari (e ovviamente r1 r2 = ).Se

r1 : P1(t) = tA1 + P1, r2 : P2(u) = uA2 + P2

con

A1 = (a1, b1, c1), A2 = (a2, b2, c2), P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2),

possiamo studiare le posizioni reciproche di r1 e r2 usando lalgebra lineare.

Infatti da tA1 + P1 = uA2 + P2 otteniamo tA1 uA2 = P2 P1 da cui il sistema

S :

a1 a2b1 b2c1 c2

( tu

)=

x2 x1y2 y1z2 z1

Indicata con A la matrice 3 2 dei coefficienti di S, B la colonna dei termini noti e MS lamatrice 3 3 associata a S, applichiamo il Teorema di Rouche -Capelli.

17

Se A1 e A2 sono paralleli, allora r(A) = 1. Quindi

1) se r(MS) = 2, S e impossibile e le rette sono parallele;

2) se r(MS) = 1, S e indeterminato e le rette sono coincidenti.

Se Se A1 e A2 non sono paralleli, allora r(A) = 2. Quindi

1) se r(MS) = 3 (equivalentemente D(MS) 6= 0), S e impossibile e le rette sono sghembe;

2) se r(MS) = 2, S e determinato e le rette sono incidenti.

3 - Esempio

Sia r : P (t) = t(1,1, 2) + (0, 1,1). Se consideriamo al variare di k R la famigliadi rette sk : Qk(u) = u(2, k, 4) + (k, 0, 1), lintersezione r sk sara data dal sistema conparametro

Sk :

1 21 k2 4

( tu

)=

k12

Se indichiamo con Ak la matrice dei coefficienti di Sk, abbiamo che r(Ak) = 2 se k 6= 2mentre r(A2) = 1.

Inoltre, se Mk e la matrice associata a Sk,

D(Mk) = det

1 2 k1 k 12 4 2

= (1 k)(2 + k)che si annulla per k = 1, 2. Quindi

1) se k = 2 abbiamo r(Mk) = 2 e le rette sono parallele (non coincidenti);

2) se k = 1 le rette sono incidenti;

3) se k 6= 1, 2 le rette sono sghembe.Nel caso k = 1, abbiamo la soluzione (t, u) = (1, 0). Sostituendo t = 1 in P (t) otteniamor s1 = (1, 0, 1).

4 - Rette ortogonali

Osserviamo che, mentre nel piano due rette ortogonali sono sempre incidenti, nello spazio

due rette possono essere ortogonali e sghembe.

18

Comunque data una retta r nello spazio e un punto Q0 / r, esiste ununica retta s per Q0ortogonale e incidente a r.

5 - Esempio

Sia r : P (t) = t(1,1, 2) + (1, 1,1) e sia Q0 = (3,1, 0). Allora vi sono infinite (precisa-mente2) rette ortogonali a r e passanti per Q0: sono tutte le rette con parametrizzazionedel tipo Q(u) = u(a, b, c)+(3,1, 0) con (a, b, c) (1,1, 2) = a b+2c = 0. Determinianotra queste rette quelle incidenti a r.

Le rette per Q0 incidenti a r sono le rette per Q0 e per un punto P (t) di r, quindi le rette

per Q0 con direzione P (t)Q0. Imponendo P (t)Q0A = 0 abbiamo

[t(1,1, 2)+(1, 1,1) (3,1, 0)] (1,1, 2) = (t2,t+2, 2t1) (1,1, 2) = 6t6 = 0

da cui t = 1. La retta s ortogonale a r passante per Q0 ha quindi direzione P (1)Q0 =(1, 1, 1) e parametrizzazione Q(u) = u(1, 1, 1) + (3,1, 0).Osserviamo che lunicita di s dipende dal fatto che Q0 / r: diversamente vi sono comunqueinfinite ortogonali incidenti.


Per lesempio precedente, possiamo dire che, se r : P (t) = tA+P0 e una retta parametrica

e se P / r, allora il punto di r avente minima distanza da P e il punto P (t0) tale cheP (t0) PA.La condizione precedente si esprime con

(tA+ P0 P ) A = tA2 + (P0 P ) A = 0 da cui t0 =(P P0) AA2

.

Il punto P (t0) si dice proiezione di P su r e si denota con pr(P ). Come nel caso piano,

pr(P ) e il punto di r con minima distanza da P e la distanza tra P e r e definita da

d(P, r) = d(P, pr(P )) = P pr(P ). Nellesempio precedente

pr(Q0) = P (1) = (2, 0, 1) e d(Q0, r) = (2, 0, 1) (3,1, 0) =

3.

7 - Distanza tra rette sghembe

19

Consideriamo le rette

r1 :

{x = 3t 1y = tz = 2t+ 4

, r2 :

{x = u+ 1y = uz = u 2

e determiniamo una retta s ortogonale e incidente a entrambe. Abbiamo

r1 : P1(t) = t(3,1, 2) + (1, 0, 4), r2 : P2(u) = u(1,1, 1) + (1, 0,2).

Le rette incidenti a r1 e r2 sono tutte e sole le rette passanti per le coppie di punti P1(t) e

P2(u) al variare di t e u. Quindi, tali rette hanno direzioni del tipo

At,u = P1(t) P2(u) = (3t u 2,t+ u, 2t u+ 6).

La retta s sara ortogonale a r1 e r2 se e solo se At,u (3,1, 2) = At,u (1,1, 1) = 0, dacui il sistema

S :{ 7t 3u = 3

6t 3u = 4S ha come unica soluzione (t, u) = (1, 103 ), da cui otteniamo che s e la retta per i punti

P1 = P1(1) = (2,1, 6) e P2 = P2( 103 ) = (133 ,

103 ,

43 ), cioe

s : Q(v) = v(73,7

3,14

3) + (2,1, 6)

E evidente che la distanza d(P1, P2) = P1 P2 = 7

23 e la minima distanza possibile

tra un punto di r1 e uno di r2, quindi puo essere considerata la distanza d(r1, r2) tra le

due rette.

20

Parte III - Piani nello spazio

Sezione 1 - Equazione del piano

1 - Piani per lorigine

Sia R3 un piano passante per O. Per ogni X e per ogni R abbiamo X ;inoltre, per la regola del parallelogramma, se X1, X2 allora X1 +X2 . Quindi e un SSV di R3 di dimensione 2.Il piano puo essere individuato come lunico piano per O contenente dati vettori X1 e

X2 non allineati con O: tale condizione e evidentemente equivalente al fatto che X1 e X2sono LI. Quindi tali vettori formano una base di e dim = 2.

Se X1 X2 = (a, b, c), dalle proprieta del prodotto vettore abbiamo che (a, b, c) 6= O e che

= {(x, y, z) R3 | (a, b, c) (x, y, z) = ax+ by + cz = 0}

da cui lequazione del generico piano per lorigine, che denotiamo con : ax+ by+ cz = 0.

Tale equazione e unica a meno di un fattore non nullo.

Esempio. Se e lunico piano per O e per X1 = (1, 1,2), X2 = (0, 2, 2), alloraX1 X2 = (6,2, 2) e

: 3x y + z = 0.

2 - Piani per un punto e equazione cartesiana

Sia un piano in R3 e sia P0 = (x0, y0, z0) . Allora esiste ununico piano 0 :ax+ by+ cz = 0 per O e parallelo a . Per la regola del parallelogramma X se e solose X P0 0. Otteniamo quindi lequazione del generico piano per P0:

: a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0.

Ponendo d = (ax0 + by0 + cz0) abbiamo equazione cartesiana di

: ax+ by + cz + d = 0

21

In tal caso si dice che e rappresentato in forma cartesiana.

Osserviamo che:

1) Le equazioni ax+ by+ cz+d = 0 e ax+ by+ cz+d = 0 rappresentano lo stesso piano

se e solo se esiste 6= 0 tale che a = a, b = b, c = c, d = d;

2) il vettore (non nullo) A = (a, b, c) rappresenta la direzione ortogonale a e che e

determinato assegnando A e un punto P0

Esempi.

1) I piani determinati dagli assi coordinati si dicono piani coordinati e hanno equazioni

z = 0, y = 0 e x = 0.

2) Lequazione x + y 1 = 0 se considerata come equazione a 3 variabili rappresenta unpiano nello spazio con direzione ortogonale (1, 1, 0) (parallelo allasse z), e non una retta!

Vedremo che le rette sono rappresentate da almeno due equazioni.

3) Se A = (2,1, 3) e P0 = (1, 1, 1), il piano con direzione ortogonale A e passante perP0 ha equazione

: 2(x 1) (y 1) + 3(z 1) = 2x y + 3z 3 = 0.

3 - Piano per tre punti

Se P0, P1, P2 sono punti non allineati e se e il piano per essi, i vettori X1 = P1 P0 eX2 = P2 P0 sono una base del piano parallelo a per O. Quindi lequazione cartesianadi puo essere espressa in forma vettoriale nel modo seguente:

[(P1 P0) (P2 P0)] (P P0) = 0.

Se P = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0), P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2), applicando la

Formula del prodotto misto otteniamo lequazione

det

x x0 y y0 z z0x1 x0 y1 y0 z1 z0x2 x0 y2 y0 z2 z0

= 0.Esempio. Se P0 = (1, 0,1), P1 = (1, 1, 1), P2 = (2,1, 1)), il piano passante per talipunti ha equazione

22

det

x 1 y z + 10 1 21 1 2

= 4x+ 2y z 5 = 0.Come applicazione possiamo determinare il piano contenente una retta r e un punto P / r:se r : P (t) = tA + P0 e se P / r, il piano contenente r e P e il piano per i tre punti nonallineati P0, P1 = P (1) = A+ P0 e P .

Sezione 2 - Intersezione tra piani e rette in forma cartesiana

1 - Intersezione di piani

Siano 1 : a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0 e 2 : a2x+ b2y+ c2z+ d2 = 0 piani in R3. Il sistema

lineare formato dalle due equazioni

S :{a1x+ b1y + c1z = d1a2x+ b2y + c2z = d2

definisce linsieme 1 2.

Se A1 = (a1, b1, c1) e A2 = (a2, b2, c2), abbiamo tre possibilita :

1) se A2 = A1 per un R ma d2 6= d1, S e impossibile e 1 e 2 sono paralleli;

2) se esiste R tale che A2 = A1 e d2 = d1, S ha 2 soluzioni e 1 = 2;

3) se A1 e A2 non sono paralleli, S ha 1 soluzioni e 1 2 e una retta.Esempio. Consideriamo i piani 1 : x+ y + z 1 = 0 e 2 : 2x y + z = 0. Allora

S :{x+ y + z = 12x y + z = 0 ha risolventi

{x = 2z + 1y = 3z + 2

.

Ponendo z = t abbiamo che 1 2 = sol(S) e la retta parametricar : t(2,3, 1) + (1, 0, 2).

2 - Rette in forma cartesiana

Se una retta r in R3 viene rappresentata come intersezione di due piani 1 : a1x+ b1y +

c1z+d1 = 0, 2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 diciamo che r e in forma cartesiana (brevemente

retta cartesiana) e scriviamo

23

r :{a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

Esempi.

1) Gli assi hanno forme cartesiane:

rx :{y = 0z = 0

, ry :{x = 0z = 0

, rz :{x = 0y = 0

2) Passaggio dalla forma parametrica alla forma cartesiana: consideriamo la retta para-

metrica

r :

{x = 2t+ 1y = 3t+ 2z = t+ 2

Ricavando t = z 2 e sostituendo otteniamo

r :{x+ 2z 5 = 0y 3z + 4 = 0

Dagli esempi fatti abbiamo che, data una retta nello spazio, si puo passare dalla forma

cartesiana a quella parametrica e viceversa.

3 - Direzione di una retta cartesiana

Se r = 1 2 con

1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, 2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0,

abbiamo che la direzione di r deve essere ortogonale alle direzioni ortogonali dei piani date

da A1 = (a1, b1, c1) e A2 = (a2, b2, c2), quindi r ha direzione A1 A2.

Esempio. Consideriamo ancora la retta

r :{x+ y + z 1 = 02x y + z = 0

Allora A1A2 = (1, 1, 1)(2,1, 1) = (2, 3,1) e la direzione di r, come si puo verificarepassando alla forma parametrica.

4 - Piano per rette complanari

24

In generale, se abbiamo due rette r1, r2 in R3 incidenti in P e con direzioni A1, A2, il

piano che le contiene e il piano per P ortogonale a A1 A2. Osserviamo che se le rettesono in forma parametrica il calcolo risulta semplificato.

Se r1 e r2 sono parallele, per ottenere il piano che le contiene conviene determinare un

punto P r1 e calcolare il piano contenente r2 e P (o viceversa).Esempio. Se

r1 :{x+ y + z 1 = 02x y + z 2 = 0 e r2 :

{x+ y + 2z 4 = 03x 2y z = 0

allora P = r1 r2 = (1, 1, 1) e il piano contenente r1 e r2 ha direzione ortogonale

[(1, 1, 1) (2,1, 1)] [(1, 1, 2) (3,2,1)] = (2, 3,1) (3, 7,5) = (8, 7, 5)

da cui

: 8(x 1) + 7(y 1) + 5(z 1) = 8x+ 7y + 5z 4 = 0.

Sezione 3 - Fasci di piani

1 - Esempio

Data una retta r in R3, le possibili forme cartesiane di r sono date dalle coppie di piani

distinti contenenti r. Sia

r :{x+ y + z 2 = 02x y + z + 3 = 0

.

Poniamo 1 : x+ y + z 2 = 0 e 2 : 2x y + z + 3 = 0.Se : ax+ by + cz + d = 0 e un piano tale che r , abbiamo 1 2 = r. Quindiil sistema {x+ y + z = 2

2x y + z = 3ax+ by + cz = d

ha 1 soluzioni. Per il Teorema di Rouche -Capelli cio equivale a

25

(a, b, c, d) = 1(1, 1, 1) + 2(2,1, 1) = (1 + 22, 1 2, 1 + 2,21 + 32)

con 1, 2 non entrambi nulli.

Dunque

: (1 + 22)x+ (1 2)y + (1 + 2)z + 21 32 = 0

da cui

: 1(x+ y + z 2) + 2(2x y + z + 3) = 0.

Viceversa, r e contenuta in ogni piano con equazione di questo tipo per ogni scelta di

1, 2 R non entrambi nulli.

2 - Fasci di piani

Siano 1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e 2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0 piani non paralleli in

R3. La famiglia di piani 1,2 di equazioni

1(a1x+ b1y + c1z + d1) + 2(a2x+ b2y + c2z + d2) = 0

al variare 1, 2 R non entrambi nulli si dice fascio di piani generato da 1 e 2.Il fascio 1,2 consta di tutti e soli i piani contenenti la retta r = 1 2 e si dice anchefascio dei piani per r. Osserviamo che 1,0 = 1 e 0,1 = 2.

Per analogia, linsieme dei piani

: ax+ by + cz + = 0, R, formato dai piani paralleli ortogonali al vettore (a, b, c)si dice fascio di piani paralleli.

3 - Piano per una retta e un punto

Siano

r :{x+ y + z 2 = 02x y + z + 3 = 0 e P = (1,2, 2).

Allora il piano contenente r e P deve stare nel fascio

26

1,2 : 1(x+ y + z 2) + 2(2x y + z + 3) = 0

e passare per P . Quindi 31 + 92 = 0, da cui 1 = 32 con 2 6= 0. Lequazione di sara

32,2 = 32(x+ y + z 2) + 2(2x y + z + 3) = 2(x+ 2y + 4z 3) = 0

da cui : x + 2y + 4z 3 = 0, in quanto possiamo sempre dividere lequazione per uncoefficiente non nullo.

Sezione 4 - Intersezione tra rette e piani

1 - Posizione di rette e piani

Se r e sono rispettivamente una retta e un piano nello spazio allora abbiamo una delle

seguenti:

1) r e un punto (r e incidenti);

2) r = (r e paralleli);

3) r .

2 - Esempio 1/4

Dati il piano : x+ y + z + 1 = 0 e la famiglia di rette parametriche

rh,k :

{x = t+ hy = ktz = t 1

studiamo rh,k al variare di k e h in R. Sostituendo nellequazione del piano otteniamo

(t+ h) + kt+ (t 1) + 1 = kt+ h = 0.

Esempio. Posto rh,k : Ph,k(t) = t(1, k,1) + (h, 0,1), abbiamo1) se k = h = 0, P0,0(t) per ogni t: r0,0 ;

2) se k = 0, h 6= 0, P0,h(t) / per ogni t: rh,0 e sono paralleli;

27

3) se k 6= 0, Ph,k(t) per t = hk : rh,k e sono incidenti.

Per esempio, se k = h = 1, r1,1 = P1,1(1) = (0,1,3).

Se rh,k e data in forma cartesiana, per esempio

rh,k :{x+ z + 1 h = 0y + kz + k = 0

possiamo usare lo studio dei sistemi. Abbiamo che rh,k = sol(S) con

S :

{x+ z = h 1y + kz = kx+ y + z = 1

Il sistema e determinato per k 6= 0 (incidenza), impossibile per k = 0, h 6= 0 (parallelismo)e indeterminato per k = h = 0 (inclusione).

Lesempio precedente ci dice che un piano : ax + by + cz + d = 0 e una retta r con

direzione A sono paralleli se e solo se A(a, b, c) e r = .Per esempio : 2x y + z + 1 = 0 e parallelo a

r : t(1, 1,1) + (1, 0,1), e a r :{x+ 2z 1 = 03x y + 3z + 2 = 0 .

2 - Intersezione di rette in forma cartesiana

Siano



rette in forma cartesiana. Se

A1 = (a1, b1, c1), A2 = (a2, b2, c2), A3 = (a3, b3, c3), A4 = (a4, b4, c4),

allora r e r hanno direzioni A = A1 A2 e A = A3 A4 rispettivamente. Abbiamo cher r = sol(S), dove S e il sistema

S :

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0a2x+ b2y + c2z + d2 = 0a3x+ b3y + c3z + d3 = 0a4x+ b4y + c4z + d4 = 0

Qunidi

28

1) se A e A sono paralleli e S e risolubile, allora r = r;

2) se A e A sono paralleli e S e impossibile, allora r e r sono parallele;

3) se A e A non sono paralleli e S e risolubile, allora r e r sono incidenti;

2) se A e A non sono paralleli e S e impossibile, allora r e r sono sghembe.

Esempio. Se

r :{x+ y + z 1 = 02x+ z = 0

r :{x+ y + 3z + 1 = 0x+ 2y + z + 2 = 0

r e r hanno direzioni

A = (1, 1, 1) (2, 0, 1) = (1, 1,2), A = (1, 1, 3) (1, 2, 1) = (5, 4,3)

rispettivamente.

11 - Esempio 2/2

A e A non sono paralleli. Inoltre il sistema

x+ y + z = 12x+ z = 0x+ y + 3z = 1x+ 2y + z = 2

e impossibile, quindi le rette sono sghembe.

Sezione 5 - Piani e rette ortogonali

1 - Piani ortogonali

Due piani

1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0, 2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

sono ortogonali se e solo se i vettori A1 = (a1, b1, c1), A2 = (a2, b2, c2) sono ortogonali.

Esempi.

1) I piani x+ y + z 1 = 0 e 2x y z = 0 sono ortogonali.

29

2) Se : x 2y + z + 3 = 0, r : t(2,1, 1) + (0, 1, 0) e P = (3, 1,1), il piano :ax+ by+ cz+ d = 0 ortogonale a , parallelo a r e passante per P e dato dalle condizioni

a 2b+ c = 0 ()

2a b+ c = 0 (r)3a+ b c+ d = 0 (P )

.

Quindi : x+ y + 3z + 5 = 0.


Se e P sono un piano e un punto nello spazio, la proiezione ortogonale p(P ) di P su

e lintersezione dellunica retta ortogonale a passante per P . Per il Teorema di Pitagora,

abbiamo P p(P ) P Q per ogni Q , con = se e solo se Q = p(P ).Quindi p(P ) e il punto di con minima distanza da P . La distanza d(P,) di P da e

definita da d(P,) = d(P, p(P )) = P p(P ).Esempio. Consideriamo il piano : x + y + z 1 = 0 e sia P = (1, 2, 1). PoicheA = (1, 1, 1) e la direzione ortogonale a , la retta r ortogonale a passante per P ha

equazioni parametriche

r :

{x = t+ 1y = t+ 2z = t+ 1

Quindi p(P ) = r = (0, 1, 0) e d(P,) = d((1, 2, 1), (0, 1, 0)) =

3.

3 - Formula della distanza

Se e un piano e P e un punto nello spazio, vale una formula per la distanza analoga a

quella per la distanza di un punto nel piano da una retta.

d(P, r) =|ax0 + by0 + cz0 + d|

a2 + b2 + c2

per P = (x0, y0, z0) e : ax+ by + cz + d = 0.

Nellesempio precedente d(P, r) = |11+12+111|3

= 33

=

3.

Prova. Posto A = (a, b, c), la retta ortogonale a per P ha parametrizzazione P (t) =

tA+ P , quindi equazioni parametriche

30

r :

{x = at+ x0y = bt+ y0z = ct+ z0

Sostituendo nellequazione del piano otteniamo

a(at+x0)+b(bt+y0)+c(ct+z0)+d = (a2+b2+c2)t+ax0+by0+cz0+d = A2t+AP+d = 0

che ha soluzione t0 = AP+dA2 . Sostituendo nella parametrizzazione della retta otteniamo

p(P ) = P (t0) = A P + dA2

A+ P

da cui

d(P,) = P p(P ) = A P + dA2

A = |ax0 + by0 + cz0 + d|a2 + b2 + c2

.

Sezione 6 - Piani in forma parametrica

1 - Esempio

Consideriamo il piano : x + y + z 1 = 0. Il piano 0 parallelo a passante per O eun sottospazio vettoriale di R3 di equazione x + y + z = 0, quindi una base di 0 si puo

ricavare dalla risolvente z = x y: per esempio X1 = (1, 0,1) e X2 = (0, 1,1).Allora X 0 se e solo se esistono t1, t2 R2 tali che X = t1X1 + t2X2.

Sia P0 = (1,1, 1). Allora P0 e, per la regola del parallelogramma, un punto P R3

appartiene a se e solo se P P0 0. Dunque P se e solo se P P0 = t1X1 + t2X2,cioe

P = t1X1 + t2X2 + P0.

Il piano e allora linsieme dei punti

P (t1, t2) = t1(1, 0,1) + t2(0, 1,1) + (1,1, 1)

al variare di (t1, t2) R2.

31

Osserviamo cheX1X2 = (1, 0,1)(0, 1,1) = (1, 1, 1) determina la direzione ortogonalea 0 e quindi a .

2 - Piani parametrici

Se e un piano in R3 esistono X1, X2 vettori non paralleli tali che, per ogni P0 , coincide con linsieme dei punti

P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0

al variare di (t1, t2) R2.In altre parole e limmagine dellapplicazione P : R2 R3 definita da P (t1, t2) =t1X1 + t2X2 + P0. Tale applicazione viene detta parametrizzazione di e le variabili

(t1, t2) sono dette parametri.

Viceversa, assegnati X1 e X2 vettori non paralleli di R3 e P0 R3, linsieme di punti

P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0

al variare di (t1, t2) R2 e un piano passante per P0 = P (0) con direzione ortogonaleX1 X2.Un piano cosi rappresentato r si dice piano in forma parametrica (o piano parametrico)

e tale rappresentazione si indica con

: P (t1, t2) = t1X1 + t2X2 + P0.

Se P (t1, t2) = (x, y, z) possiamo scrivere le equazioni parametriche del piano del prece-

dente esempio.

:

{x = t1 + 1y = t2 1z = t1 t2 + 1

3 - Passaggio alla forma cartesiana

Se : t1X1 + t2X2 + P0, allora e il piano passante per P0 = (x0, y0, z0) con direzione

ortogonale X1X2 = A = (a, b, c), quindi con equazione a(xx0)+b(yy0)+c(zz0) = 0.La forma cartesiana e

32

ax+ by + cz + d = 0 con d = (ax0 + by0 + cz0).

Esempio. Se

:

{x = 2t1 t2 + 1y = t1 + t2 1z = t1 + 3t2 + 2

allora X1 = (2, 1,1), X2 = (1, 1, 3) e X1 X2 = (2, 1,1) (1, 1, 3) = (4,5, 3).Quindi

: 4(x 1) 5(y + 1) + 3(z 2) = 4x 5y + 3z 15 = 0.

33

Parte IV - Cambiamenti di coordinate e isometrie

Sezione 1 - Coordinate polari

Sia r una retta nel piano e sia O un punto di r. Per ogni punto P 6= O del piano e definitolangolo convesso (misurato in senso antiorario) tra la retta r e la retta per O e P . Se

la lunghezza del segmento OP , allora P e determinato univocamente da e .

Se P = (x, y) R2, abbiamo =x2 + y2. Inoltre, se P 6= O, esiste un unico angolo

[0, 2) tale che

n(P ) = (x

x2 + y2,

yx2 + y2

) = (cos, sen).

dove n(P ) indica il normalizzato di P . Quindi R2 \{O} e in corrispondenza biunivoca conlinsieme delle coppie (, ), con > 0, [0, 2). Se P = (x, y) R2, abbiamo

{x = cosy = sen .

(, ) sono le coordinate polari di P .

Osserviamo che per = 0 otteniamo (0, 0) per qualsiasi .

Esempio. Se P = (1,1), abbiamo =

2, n(P ) = ( 12, 1

2) da cui = 74. Infatti

(1,1) = (

2cos74

,

2sen74

).

Sezione 2 - Cambiamenti di riferimento nel piano

1 - Considerazioni preliminari

Abbiamo visto che un sistema di riferimento Oxy nel piano permette di identificare il

piano con R2. Considerare un altro sistema di riferimento Oxy significa quindi dare una

nuova identificazione del piano con R2. Nelle applicazioni della geometria e spesso utile

poter di esprimere le nuove coordinate (x, y) di un punto P in funzione delle coordinate

originarie (x, y).

2 - Esempio

34

Le rette ortogonali r1 : x y = 0 e r2 : x + y 2 = 0 definiscono 4 sistemi di riferimentopossibili con origine O nel punto P0 = r1 r2 = (1, 1): tali sistemi differiscono solo perlorientamento degli assi, e quindi le possibili nuove coordinate differiranno tra loro solo

per i segni.

Per fissare lorientamento del nuovo sistema di riferimento e sufficiente indicare quale deve

essere il quadrante positivo H+ in tale sistema, cioe linsieme dei punti

H+ = {(x, y) | x > 0, y > 0}.

H+ sara espresso in Oxy come intersezione di uno dei semipiani determinati da r1 con uno

di quelli determinati da r2.

Per esempio, porre

H+ = {(x, y) | x y < 0, x+ y 2 > 0

significa che i punti con coordinate (x, y) positive dovranno essere quelli di le cui coordi-

nate originarie (x, y) soddisfano alle disequazioni di H+.

Per determinare nel piano il quadrante H+ in Oxy e sufficiente osservare che se un punto

soddisfa alle disequazioni date allora tutto il quadrante contenente quel punto le soddisfa:

nel nostro caso basta verificare per (0, 3).

Dato P = (x, y), per la definizione di sistema di riferimento le nuove coordinate (x, y) di

P soddisferanno a

{|x| = d(P, r2) = 12 |x+ y 2||y| = d(P, r1) = 12 |x y|

In base alla scelta di H+ abbiamo

{x = 1

2(x+ y 2)

y = 12(x+ y)

cioe

(x

y

)=

12

(1 11 1

)(xy

)+(

20

)Posto

35

N =12

(1 11 1

)=

(12

12

12

12

)possiamo verificare che N e una matrice ortogonale di ordine 2, cioe che tNN = I2, e che(

20

)=

12

(1 11 1

)(11

)= NP0.

3 - Formula di cambiamento di riferimento

In generale, se Oxy e Oxy sono sistemi di riferimento nel piano e P0 = (x0, y0) e il vettore

di R2 che rappresenta O in Oxy, esiste una matrice ortogonale N =(a bc d

) O(2) tale

che

X =(x

y

)=(a bc d

)((xy

)(x0y0

)) = N(X P0).

Sezione 3 - Cambiamenti di riferimento in generale

1 - Sistemi di riferimento e matrici ortogonali

Siano dati:

1) un sistema di riferimento Oxy nel piano;

2) una matrice ortogonale N di ordine 2

N =(a bc d

);

3) P0 = (x0, y0) R2.Allora la relazione (

x

y

)=(a bc d

)((xy

)(x0y0

))

definisce un sistema di riferimento Oxy nel piano tale che O ha coordinate (x0, y0) in

Oxy e gli assi hanno in Oxy equazioni

r1 : c(x x0) + d(y y0) = 0, r2 : a(x x0) + b(y y0) = 0.

36

Poiche N O(2), le righe di N sono versori ortogonali tra loro, cioe (c, d) = (b, a).Questo ci dice che r1 e r2 sono le rette passanti per P0 di direzioni (a, b) e (b, a) rispet-tivamente.

Osserviamo che le direzioni degli assi sono definite dalle righe di N . Tali righe formano

una base ortonormale B di R2 e la matrice di cambiamento di coordinate MB relativa a Be tN .

Esempio. Se

N =15

(1 22 1

), P0 = (1, 0), posto

(x

y

)= N(

(xy

)(

10

))

le equazioni in Oxy degli assi di Oxy sono r1 : 2x y 2 = 0 e r2 : x + 2y 1 = 0(mentre in Oxy sono ovviamente r1 : y = 0, r2 : x = 0!).

2 - Cambiamenti di riferimento nello spazio

Siano Oxyz e un sistema di riferimento nello spazio, N O(3) una matrice ortogonale diordine 3 e P0 = (x0, y0, z0) R3. Analogamente a quanto visto per il piano, la formulaxy

z

= N(xyz

x0y0z0

definisce un nuovo sistema di riferimento Oxyz nello spazio.

Lorigine O di Oxyz e il punto di coordinate (x0, y0, z0) in Oxyz mentre gli assi r1, r2, r3sono rette per P0 con direzioni le righe [N ]1, [N ]2, [N ]3 di N .

3 - Esempi

1) Sia xyz

= 12 12 0 1

212

00 0 1

(xyz

11

0

)Allora O = P0 = (1,1, 0), r1 : t(1, 1, 0) + (1,1, 0), r2 : u(1, 1, 0) + (1,1, 0), r3 :v(0, 0, 1) + (1,1, 0).

2) Consideriamo le rette r1 : t(1, 1, 1)+(0, 1, 0), r2 : u(2,1,1)+(0, 1, 0) e r3 : v(0, 1,1)+(0, 1, 0). Tali rette sono ortogonali e si intersecano in P0 = (0, 1, 0). Sia

37

N =

13

13

13

25 1

5 1

5

0 12 1

2

la matrice ortogonale la cui riga [N ]i e il versore ottenuto normalizzando il vettore di

direzione di ri, per i = 1, 2, 3.

Posto X = (x, y, z) e X = (x, y, z), X = N(X P0) e un cambiamento di coordinatecon O = P0 e assi r1, r2,, r3.

Osserviamo che possiamo ottenere tutti i cambiamenti di coordinate con r1, r2, r3 come

assi x, y, z rispettivamente cambiando segno ai versori [N ]i.

Poiche per ogni direzione ci sono due possibili versi, abbiamo 6 cambiamenti di questo

tipo.

Sezione 4 - Isometrie

1 - Cambiamenti di riferimento come applicazioni

Se N O(n) e P0 Rn, la formula di cambiamento di coordinate definisce unapplicazionef : Rn Rn: se X Rn, poniamo f(X) = N(X P0).

Se f1(X) = X P0 e f2(X) = NX, abbiamo che f e composizione di f1 e f2, cioef(X) = f2(f1(X)) = f2 f1(X).

Questa considerazione ci porta a studiare piu in dettaglio le applicazioni di tipo f1 e f2.

2 - Traslazioni

Se P Rn, lapplicazione tP : Rn Rn definita da tP (X) = X + P si dice traslazione diP .

Esempi.

1) tO e lapplicazione identica Id;

2) se P = (2,1), tP ((x, y)) = (x+ 2, y 1);

3) se P = (1, 1,3), tP ((x, y, z)) = (x 1, y + 1, z 3).

Proprieta delle traslazioni

38

1) la composizione di traslazioni e la traslazione di vettore la somma dei vettori delle

traslazioni: tP tQ = tQ tP = tP+Q;

2) le traslazioni sono invertibili con inversa la traslazione di vettore opposto: tP tP =tP tP = tO = Id e (tP )1 = tP ;

3) le traslazioni conservano le distanze in Rn: d(tP (X), tP (Y )) = d(X,Y ).

3 - Applicazioni ortogonali

Se N O(n) e una matrice ortogonale, lapplicazione lN : Rn Rn definita da lN (X) =NX si dice applicazione ortogonale associata a N : osserviamo che per N = In, lN e

lapplicazione identica Id.

Le proprieta delle applicazioni ortogonali derivano direttamente da quelle delle matrici

ortogonali.

4 - Proprieta delle applicazioni ortogonali

1) La composizione di applicazioni ortogonali associate a N1, N2 O(n) e lapplicazioneortogonale associata al prodotto delle matrici:

lN2 lN1 = lN2N1 .

2) Le applicazioni ortogonali sono invertibili e linversa dellapplicazione ortogonale asso-

ciata a N O(n) e lapplicazione associata a N1 =t N :

lN lN1 = lN1 lN = Id da cui(lN )1 = lN1 .

3) Le applicazioni ortogonali conservano le distanze in Rn: d(lN (X), lN (Y )) = d(X,Y ).

3 - Isometrie

Una isometria di Rn e una applicazione invertibile f : Rn Rn che conserva le dis-tanze,cioe tale che d(f(X), f(Y )) = d(X,Y )per ogni X, Y Rn. Valgono le seguentiproprieta :

1) la composizione di isometrie e una isometria:

2) linversa di una isometria e una isometria.

Le traslazioni e le applicazioni ortogonali sono isometrie. Quindi, se N O(n) e P Rn,lapplicazione f : Rn Rn definita da f(X) = tP lN = NX + P e una isometria.

39

Viceversa vale il seguente

Teorema. Se f : Rn Rn e una isometria, allora esistono una matrice ortogonaleN O(n) e P Rn tali che f(X) = NX + P .

4 - Composizione e inversa di isometrie

Siano f(X) = NX + P e g(X) = MX +Q isometrie di Rn.

1) (g f)(X) = MNX +MP +Q;

2) f1(X) = N1(X P ) =t N(X P ) =t NX t NP .

5 - Cambiamenti di riferimento e isometrie

Se X = N(X P0) e un cambiamento di riferimento in Rn, lapplicazione f(X) =N(XP0) = lN tP e una isometria che possiamo scrivere f(X) = NXNP0 = NX+P ,con P = NP0.

Viceversa, una isometria f(X) = NX + P determina il cambiamento di riferimento X =

N(X P0) ponendo X = f(X) e P0 = tNP .

Conseguenza importante: tutte le proprieta metriche di un sottoinsieme del piano o dello

spazio restano invariate cambiando il sistema di riferimento.

6 - Osservazione

Abbiamo visto che le isometrie coincidono con i cambiamenti di riferimento. Possiamo

pensare a due interpretazioni equivalenti dello stesso concetto:

1) con un cambiamento di riferimento, il piano o lo spazio sono identificati in due modi

diversi con Rn;

2) con una isometria, stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra due copie di Rn in

modo che siano conservate le distanze.

7 - Esempio

Consideriamo lisometria

f((x, y)) =15

(1 22 1

)(xy

)+(

11

)40

.

Allora f definisce il cambiamento di riferimento{x = 1

5(x+ 2y) + 1

y = 15(2x y) 1

da Oxy a Oxy. Lasse delle x e dato dallequazione y = 15(2x y) 1 = 0 mentre

quello delle y da x = 15(x+ 2y) + 1 = 0.

Dunque f rappresenta il cambiamento di riferimento con nuovi assi le rette r1 : 2x y 5 = 0, r2 : x+2y+

5 = 0 e quadrante positivo H+ = {2xy

5 > 0, x+2y+

5 > 0}.

Sezione 5 - Simmetrie

1 - Simmetrie centrali

Se P0 Rn, il simmetrico di un punto P Rn rispetto a P0 e il punto P0(P ) tale che ilpunto medio di P e P0(P ) e P0.

Lapplicazione P0 : Rn Rn e una isometria detta simmetria centrale di centro P0.

Se E Rn e P0(E) = E, si dice che P0 e centro di simmetria per E e che E e simmetricorispetto a P0.

Dalla definizione precedente abbiamo P0 = 12 (P + P0(P )), da cui P0(P ) = P + 2P0.Abbiamo quindi lisometria

P0(X) = (In)X + 2P0.

Esempi.

1) (0, 0)((x, y)) = (x,y), (3,1) = (x+6,y2) e (1,2,0)((x, y)) = (x+2,y4,z).

2) E = {(x, y) R2 | x2 + 4y2 = 1} e simmetrico rispetto a O ma non rispetto a (3,1).

2 - Simmetrie assiali

Se r e una retta in Rn, il simmetrico di un punto P Rn rispetto a r e il punto r(P )tale che, se s e la retta per P e r(P ), allora sr e r s e il punto medio di P e r(P ).

Lapplicazione r : Rn Rn e una isometria detta simmetria assiale di asse r.

41

Se E Rn e r(E) = E, si dice che r e asse di simmetria per E e che E e simmetricorispetto a r.

Esempi.

1) Se r : y = 0, r((x, y)) = (x,y).

2) E = {(x, y) R2 | x2 + 4y2 = 1} e simmetrico rispetto agli assi x = 0 e y = 0 ma nonrispetto alla retta x y = 0.

3 - Simmetrie rispetto a un piano

Se e un piano in R3, il simmetrico di un punto P R3 rispetto a e il punto (P )tale che, se s e la retta per P e (P ), allora s e r e il punto medio di P e (P ).

Lapplicazione : R3 R3 e una isometria detta simmetria rispetto al piano .

Se E R3 e (E) = E, si dice che e piano di simmetria per E e che E e simmetricorispetto a .

4 - Osservazione

Le condizioni che definiscono r(P ) sono equivalenti alle seguenti:

1) r(P ) Pr;

2) Il punto medio di P e r(P ) giace in r.

Sostituendo un piano a r abbiamo lanalogo per (P ): queste condizioni ci permetter-

anno di rappresentare esplicitamente tali isometrie .

Sezione 6 - Isometrie del piano

1 - Richiami sulle matrici ortogonali di ordine 2

Ricordiamo che le matrici ortogonali 2 2 sono di due tipi:

R =(cos sensen cos

)oppure S =

(cos sensen cos

).

per 0 < 2. Valgono le seguenti:1) D(R) = 1 e D(S) = 1;

42

2) R0 = I2, S0 =(

1 00 1

), R = I2, S = S0, R/2 =

(0 11 0

), S/2 =

(0 11 0

);

3) RR = RR = R+, (R)1 = R2 e (S)1 = S.

4) R hanno autovalori cosisen = ei, che per 6= 0 sono complessi coniugati. Quindise 6= 0 lunico vettore fisso (cioe tale che RX = X) e O.

5) Le S sono simmetriche e hanno autovalori 1. Quindi lautospazio relativo a 1 eformato da vettori fissi.

Dato [0, 2), identificheremo con R e S le applicazioni ortogonali definite da talimatrici.

2 - Rotazioni di centro lorigine

Per studiare il significato geometrico di R, usiamo le coordinate polari: sia (x, y) =

(rcos, rsen) con r > 0 e [0, 2). Allora

R

(xy

)=(cos sensen cos

)(rcosrsen

)= r

(coscos sensensencos+ cossen

)= r

(cos(+ )sen(+ )

)Quindi R e una rotazione (in senso antiorario) di centro O e angolo .

Per esempio, per = 0, 2 , abbiamo rispettivamente lidentita , la rotazione di un angolo

retto e la rotazione di .

R0

(xy

)=(xy

), R

2

(xy

)=(yx

), R

(xy

)=(xy

).

3 - Rotazioni in generale

In generale, consideriamo la rotazione f nel piano di centro P0 e angolo . Se X R2, ilsegmento f(X)P0 forma un angolo con XP0. Per la regola del parallelogramma abbiamo

f(X) P0 ottenuto da X P0 con una rotazione di attorno a O, cioe f(X) P0 =R(X P0). Quindi e lisometria f e data da

f(X) = R(X P0) + P0 = RX RP0 + P0.

Osserviamo che, se 6= 0, f ha P0 come unico punto fisso. Infatti il sistema R(X P0) +P0 = X e equivalente a R(XP0) = XP0: poiche lunico punto fisso di R e O, lunicopunto fisso di f e X = P0.

43

Viceversa, sia f(X) = NX + P una isometria che ha un unico punto fisso P0. Allora

il sistema NX P = X, equivalente a (N I)X = P , e determinato e quindi N I einvertibile. Questo ci dice che N non ha 1 come autovalore, cioe N = R con 6= 0. InoltreNP0 + P = P0 implica che P = P0 NP0, da cui

f(X) = RX RP0 + P0.

Quindi f e la rotazione di angolo attorno a P0.

Osserviamo che, se f(X) = RX + P con 6= 0, allora P0 = (I R)1P e lunico puntofisso di f , quindi f e una rotazione.

Esempio. La rotazione di centro (1, 1) e angolo 4 e

f((x, y)) = R/4

(x 1y 1

)+(

11

)=

12

(1 11 1

)(xy

)+(

2 + 11

).

Osservazione. In R2 la simmetria centrale P0 di centro P0 e la rotazione di angolo e

centro P0. Infatti R = I2, quindi R(X P0) + P0 = X + 2P0 = P0 .

4 - Simmetrie con asse passante per lorigine

Sia f(X) = S: allora lautospazio di S relativo allautovalore 1 e una retta di punti fissi.

Consideriamo una base ortonormale di autovettori B = {X1, X2} relativi agli autovalori1 e 1 rispettivamente (S e simmetrica!). Allora per ogni X R2 abbiamo

X = c1X1 + c2X2, con (c1, c2) = [X]B.

Quindi f(X) = SX = c1X1 c2X2, dunque f(X) X = c2X2r e 12 (f(X) + X) =c1X1 r. Le considerazioni precedenti implicano che f e la simmetria assiale r di asse r.Viceversa sia r una retta per lorigine: se X1 e un versore di direzione r e se X2 e un

versore ortogonale a X2, consideriamo la base B = {X1, X2}. Allora la matrice MB =M(X1, X2)1 e ortogonale e la matrice

N =t MBS0MB =t MB

(1 00 1

)MB

e ortogonale e ha come autovettori X1 e X2 con autovalori 1 e 1 rispettivamente, quindiN = S per un qualche [0, 2). Poiche lautospazio di S relativo a 1 e r, abbiamoche r = S.

44

Osserviamo che, se 6= 0, allora r : (cos 1)x+ seny = 0 mentre r : y = 0 se = 0.

In conclusione, le simmetrie assiali con asse passante per lorigine coincidono con le appli-

cazioni f(X) = SX associate alle matrici S: in tal caso lasse e lautospazio relativo a

1.

Esempi.

1) Se f(X) = S/4X, lasse ha equazione (1

2)x+ y = 0;

2) le simmetrie assiali con assi gli assi cartesiani y = 0, x = 0 e la bisettrice x y = 0 sonorispettivamente

S0

(xy

)=(xy

), S

(xy

)=(xy

), S

2

(xy

)=(yx

).

5 - Simmetrie assiali in generale

In generale, data una retta r nel piano, sia f la simmetria assiale r. Se r0 e la parallela a

r per lorigine e se P0 r, allora per ogni X R2 abbiamo che f(X) P0 e il simmetricodi X P0 rispetto a r0. Quindi esiste [0, 2) tale che f(X) P0 = S(X P0).Posto P = P0 SP0, otteniamo che ogni simmetria assiale e della forma

(X) = SX = P.

Osserviamo che, se f(X) = SX + P , allora i punti fissi di f sono dati dal sistema (S I2)X = P . Poiche 1 e un autovalore di S, il sistema e impossibile oppure ha comesoluzioni una retta r: in questo caso f = r.

Quindi f e una simmetria se e solo se P = (I2 S)P0 dove P0 un punto fisso di f .

6 - Esempio

Sia r : 2x + y 1 = 0 e sia r la simmetria assiale di asse r. Se r((x, y)) = (x, y), lecondizioni

r(P ) Pr,12

(r(P ) + P ) r

si esprimono col sistema

45

x x = 2y y = 2(x

+x2 +

y+y2 1 = 0

Quindi = 15 (4x+ 2y 2) e {x = 15 (3x+ 4y 4)y = 15 (4x 3y 2)

Ponendo

N = 15

(3 44 3

), P =

15

(42

)abbiamo r(X) = NX + P . Osserviamo che N e ortogonale con D(N) = 1, quindiN = S per un [0 2).

Sezione 7 - Isometrie dello spazio

1 - Rotazioni assiali

Sia r R3 una retta e [0 2). Se P R3 e se e il piano per P ortogonale ar, consideriamo il punto Rr,(P ) ottenuto da P con una rotazione in di centro r eangolo (in senso antiorario) .

Lapplicazione Rr, : R3 R3 e una isometria detta rotazione assiale di angolo e asse dirotazione r. Se E R3 e Rr,(E) = E per ogni , si dice che E e una figura di rotazionecon asse r.

2 - Rotazioni attorno agli assi coordinati

Se rz e lasse delle z, abbiamo

Rrz,((x, y, z)) =

cos sen 0sen cos 00 0 1

xyz

= (R (xy), z).

Infatti, se P0 = (x0, y0, z0), il piano per P0 ortogonale allasse delle z ha equazione

: z z0 = 0 e Q = r = (0, 0, z0). Il punto ottenuto con una rotazione di centro Q eangolo e allora dato da

46

(cosx0 seny0, senx0 + cosy0, z0)

da cui la formula per Rr,.

Analogamente 1 0 00 cos sen0 sen cos

, cos 0 sen0 1 0sen 0 cos

definiscono le rotazioni attorno agli assi delle x e delle y rispettivamente.

5 - Simmetrie rispetto a un piano

Sia : x y + z 1 = 0. Posto ((x, y, z)) = (x, y, z), analogamente alle simmetrieassiali nel piano abbiamo:

x x = y y = z z = 12 (x + x) 12 (y

+ y) + 12 (z + z) 1 = 0

da cui = 23 (x+ y z + 1).Sostituendo otteniamo

((x, y, z)) =13

1 2 22 1 22 2 1

xyz

+ 23

111

= NX + P.Si verifica che la matrice N e ortogonale e che D(N) = 1.Esempio. Le simmetrie rispetto ai piani z = 0, y = 0 e x = 0 sono date rispettivamente

da 1 0 00 1 00 0 1

xyz

= xyz

, 1 0 00 1 0

0 0 1

xyz

= xy

z

,1 0 00 1 0

0 0 1

xyz

=xy

z

.47

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