Gargnano, Storia della logica - WordPress.com · 2013-10-05 · della logica, di metodologia, di...

Lezioni di storia della logica: Gargnano, 26-31 agosto 2013

Massimo Mugnai

Scuola Normale Superiore, Pisa

e-mail: [email protected]

Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 1 / 93

LOGICA ANTICA E MEDIEVALE


Paulus Bor (1600-1669): Allegorie du Syllogisme


Logica e matematica nell’antichita

Euclide (323-286 a.C.) Elementi

Aristotele (384-322) Organon


LOGICA ARISTOTELICA

LOGICA STOICAI logica dei termini (delle classi)I logica degli enunciati (proposizioni)


Organon

Il titolo venne attribuito da Andronico da Rodi (I sec. a.C.) a unacollezione di testi di argomento affine:

Categorie

Topici

De interpretatione

Analitici primi

Analitici secondi

Confutazioni sofistiche

Importanti riflessioni di logica e di filosofia della logica sono presentinel libro IV (Γ) della Metafisica.


Categorie

Contengono un elenco di quelli che potremmo chiamare ‘i dieciconcetti fondamentali’ sotto i quali e possibile classificare tutto cioche esiste. Data una qualsiasi ‘cosa’, questa e classificabile, infatti, ocome sostanza o come qualita o quantita, ecc. Nella tradizione deicommenti permarra a lungo il problema di stabilire se siffattaclassificazione abbia carattere prevalentemente logico-linguistico,oppure se, nelle intenzioni di Aristotele, corrisponda a una distinzionedi tipo ontologico, se, cioe, pretenda di descrivere come veramentestanno le cose nella realta, indipendentemente dal nostro modo diclassificarle.


Categorie

L’ elenco delle dieci categorie si trova all’inizio del capitolo 4 (Cat. 1b 25):

“Delle cose dette senza alcuna connessione, ciascunasignifica o sostanza o quantita o qualita o un relativo odove o quando o l’essere in una posizione o avere o agire opatire”.

Soltanto nei Topici (I, 9), quindi in un altro testo giovanile,Aristotele elenca nuovamente tutte e dieci le categorie. In altre operecompaiono elenchi ridotti.


De interpretatione

Ha carattere composito e contiene:

riflessioni sul significato delle espressioni linguistiche (nome,verbo, negazione, ecc.);

uno studio dei rapporti reciproci tra i quattro enunciaticategorici fondamentali (la prima determinazione del ‘quadratodelle opposizioni’);

una complessa analisi di enunciati contingenti che concernono ilfuturo.

Quest’ultimo tema viene affrontato nel capitolo IX dell’opera, e sarasottoposto a un numero incalcolabile di commenti, fino ai nostrigiorni. In termini estremamente semplificati, la questione affrontata inquesto capitolo puo essere riassunta nella domanda: com’e possibileche la verita di un enunciato concernente il futuro sia determinata(indipendentemente dal fatto dal fatto che noi lo conosciamo comevero), senza che tale enunciato risulti necessariamente vero?


Topici

Trattano dell’inferenza che muove da premesse che non sono prime evere di per se ma che sono ritenute tali. E una sorta di prontuarioper orientarsi nelle dispute, ed e probabile che sia l’opera logica diAristotele maggiormente influenzata dall’insegnamento platonico. Vicompaiono tipi di inferenze non sillogistiche e, per certi versi, l’analisilogica e piu varia e articolata rispetto a quella degli Analitici primi.


Topici

Chiediamoci se gli elementi a, b, c . . . di una classe di oggetti Cabbiano una determinata proprieta P; supponiamo, inoltre, di sapereche gli oggetti in questione appartengono alla specie B e che B especie di un determinato genere A. Consultando i Topici al capitoloche tratta dei rapporti tra un genere e le sue specie, si trovera laregola

“tutto cio che si predica con verita degli individuiappartenenti a un determinato genere, si predica con veritadegli individui che appartengono a una delle sue speciesubalterne”.

Applicando la regola al caso in questione, se risultera che gli oggettidel genere A hanno la proprieta P, allora anche gli oggetti a, b, c . . .avranno P.


Topici

Si puo dire, percio, che i Topici sono una raccolta di ‘luoghi’ (ingreco topoi ) o temi, in corrispondenza dei quali vengono specificatevarie regole o prescrizioni. Coloro che disputano, in baseall’individuazione del luogo, possono scegliere la regola che, riguardoal particolare argomento della loro discussione, dev’essere applicata.

Luogo (topos);

Regola o massima (prescrizione del tipo: se ti trovi in questasituazione, fai questo e quest’altro!)


Analitici primi e Analitici secondi

Gli Analitici primi introducono e studiano l’argomentazionesillogistica: definiscono le figure e i modi; svolgono un’analisi delsillogismo modale, vale a dire del sillogismo che contiene leespressioni ‘possibile’, ‘impossibile’, ‘necessario’, ecc. E questa laparte dedicata allo studio di quelle che Aristotele ritiene siano leprocedure dimostrative in senso proprio.

Gli Analitici secondi concernono soprattutto questioni di filosofiadella logica, di metodologia, di ontologia e di quella che oggichiameremmo ‘filosofia della scienza’. In quest’opera Aristotelecerca di definire il concetto proprio della conoscenza scientifica.


Confutazioni sofistiche

Discutono sia argomentazioni costruite di proposito per essere fallaci(‘sofistiche’, appunto) sia veri e propri paradossi, cioe argomenti checonducono a genuine contraddizioni, cercando di fornire soluzioni. Inquesto testo, Aristotele (El. 180 b) accenna al cosiddetto ‘paradossodel mentitore’, concernente un enunciato del tipo ‘io sto mentendo’:

“Simile alle suddette e inoltre l’argomentazione secondo laquale la medesima persona puo dire al tempo stesso il falsoe il vero; dato pero che non e facile vedere se il discorso inquestione debba venire stabilito come vero in senso assolutoo come falso in senso assoluto, la risoluzione risulta ardua”.


Sillogismo ‘classico’ - di origine

aristotelica

Un sillogismo e un argomento composto da tre enunciati: duepremesse e una conclusione. Ciascun enunciato ha formasoggetto-copula-predicato e nei tre enunciati occorrono soltanto 3termini, uno dei quali, detto termine medio compare nelle premesse enon nella conclusione.La forma generale di un argomento sillogistico e la seguente:

A,B |= C;

con ciascuna lettera ‘A’, ‘B’ e ‘C’ sostituibile da uno dei quattroenunciati categorici tradizionali.


I 4 enunciati categorici

A. Tutti gli S sono P

I. Qualche S e P

E. Nessun S e P

O. Qualche S non e P.

AdfIrmoNegO.


Quadrato aristotelico


Inferenze dirette

(1) (2)Nessun S e P Qualche S e PNessun P e S Qualche P e S

(1) e (2) erano chiamate regole di conversione semplice(conversio simplex)

ad esse veniva affiancata la regola di conversione per accidens,applicabile agli enunciati universali affermativi (A):

(3)Tutti gli S sono PQualche P e S


Il termine medio ha la funzione di stabilire un nesso tra gli altridue termini che entrano nelle premesse del sillogismo:

I termine maggiore (predicato della conclusione);I termine minore (soggetto della conclusione);

la premessa che contiene il termine maggiore e chiamatapremessa maggiore

la premessa che contiene il termine minore e chiamata premessaminore.


Se poniamo:

‘S’ = termine minore;

‘M’ = termine medio;

‘P’ = termine maggiore

e rispettiamo la condizione che il termine medio debba comparire unasola volta in ciascuna premessa, data la struttura generale delsillogismo si avranno soltanto quattro possibili disposizioni, che latradizione chiama

FIGURE [SILLOGISTICHE] :

(I) (II) (III) (IV)MP PM MP PMSM SM MS MSSP SP SP SP


Poiche le figure sono 4, e

ciascun enunciato che entra in ciascuna figura puo assumere unadelle quattro forme categoriche:

A, E, I, O,

da cio segue che, sulla base delle figure, si possono generare

43 x 4 = 256 sillogismi

detti modi del sillogismo.


Usuale convenzione

Universale affermativa = ‘A(SP)’

Universale negativa = ‘E(SP)’

Particolare affermativa = ‘I(SP)’

Particolare negativa = ‘O(SP)’


Per esempio, il sillogismo:

A(PM) E(SM)

I(SP)

e riconoscibile come un sillogismo di seconda figura, con premesse,rispettivamente, universale affermativa e universale negativa, econclusione particolare affermativa.


Dei 256 possibili modi sillogistici, quelli che risultano validi sono,infine, soltanto 24 (6 per ciascuna figura). Il loro numero, tuttavia,puo essere ridotto fino a 19, se si eliminano i 5 modi cosiddettisubalterni, che derivano da modi validi per ‘subalternazione’ (ilpassaggio, per esempio, da SaP a SiP).


Versi mnemonici

Prima figura: Barbara, Celarent, Darii, Ferio;

Seconda figura: Cesare, Camestres, Festino, Baroco;

Terza figura: Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo,Ferison;

Quarta figura: Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

I 5 modi subalterni sono:

Prima figura: Barbari, Celaront;

Seconda figura: Cesaro, Camestrop;

Quarta figura: Camenop.


Sillogismi di prima figura

I sillogismi di prima figura hanno un ruolo privilegiato rispetto aglialtri. A questi sillogismi e attribuito un grado di evidenza che li ponecome veri e propri assiomi: da essi sono ricavabili, mediante l’uso diregole logiche accettate, tutti i restanti.


La consonante iniziale del nome mnemonico indica a quale mododella prima figura e riconducibile il modo in questione (es.Bramantip (quarta figura)/ Barbara).‘m’ indica che, per operare la riduzione, bisogna scambiare lepremesse (mutatio praemissarum);‘s’ indica che all’enunciato designato dalla vocale che la precede(e oppure i) va applicata la regola della conversione semplice(conversio simplex);‘p’ indica che all’enunciato designato dalla vocale che la precede(a) si deve applicare la regola della conversione per accidens;‘c ’ indica che al modo va applicata la dimostrazione indiretta(per contradictoriam).‘s’ posta in finale di una parola mnemonica, indica che allaconclusione ottenuta sulla base delle premesse del modocorrispondente di prima figura deve essere applicata laconversione semplice.Le rimanenti consonanti non hanno significato, rispetto alletrasformazioni logiche.


esempio di riduzione

Camestres (seconda figura):

A(PM) E(SM)

E(SP)

1 scambio premesse (m): E(SM) A(PM)

2 conversione semplice (s) applicata alla maggiore:E(MS) A(PM)

3 si ottiene Celarent:E(MS) A(PM)

E(PS)

4 si converte la conclusione E(PS), ottenendo E(SP) laconclusione di Camestres.


altro esempio di riduzione

Festino (seconda figura):

E(PM) I(SM)

O(SP)

1 Conversione semplice della prima premessa (s): E(MP) I(SM);

2 si ottiene Ferio (prima figura), che permette di inferire O(SP),conclusione di Festino.


ultimo esempio di riduzione

Dimaris (quarta figura):

I(PM) A(MS)

I(SP).

Scambiando le premesse:

A(MS) I(PM)

I(PS),otteniamo, mediante Darii della prima figura, la conclusione I(PS); emediante conversione semplice otteniamo I(SP), vale a dire laconclusione di Dimaris.


Baroco; Bocardo

Baroco:

A(PM) O(SM)

O(SP).Supponiamo che il modo sia invalido:

Ipotesi: A(PM) e O(SM) sono veri e O(SP) falso.

Se O(SP) e falso, sara vero A(SP), l’enunciato ad essocontraddittorio.

A(SP) congiunto con A(PM) da luogo alla coppia di premesse inBarbara:A(PM) A(SP)

dalle quali si ricava A(SM).

Contraddizione con l’ipotesi (che A(SM) sia vera)!!

Percio l’ipotesi che Baroco sia non-valido e falsa.


Teoria della distribuzione dei termini

Un termine si dice distribuito se compare

come soggetto in A;

come soggetto o predicato in E;

come predicato in O.


Si dice non distribuito se figura

come soggetto in I o O

come predicato in A o I

Nella tradizione aristotelico-scolastica, la teoria della distribuzione deitermini era utilizzata per definire alcune condizioni fondamentali circala validita dei sillogismi.Venivano percio distinte due serie di regole sillogistiche: sui termini esulle proposizioni.


Regole sui termini

1. Nel sillogismo devono entrare soltanto tre termini: maggiore,minore e medio.

2. Il medio deve comparire nelle premesse e non nella conclusione.

3. I termini nella conclusione non devono avere estensione maggioreche nelle premesse.

4. Il medio deve essere distribuito almeno una volta nelle premesse.


regole sulle proposizioni

5. Due premesse affermative non possono generare una conclusionenegativa.

6. Da premesse entrambe negative non segue alcuna conclusione.

7. La conclusione segue sempre la parte piu debole.

8. Da premesse particolari non segue alcuna conclusione.


due regole fondamentali, desunte da

sopra

il termine medio dev’essere distribuito almeno in una premessa;

se un termine e distribuito nella conclusione, allora dev’esseredistribuito nella premessa nella quale occorre


Dibattito sulla teoria della

distribuzione

Peter Geach, Reference and Generality, Cornell University Press,New York, 1962;

P. Geach, Distribution: A Last Word?, in Logic Matters, Oxford,1981;

D. Makinson, Remarks on the Concept of Distribution inTraditional Logic, in “Nous”, vol. 3, 1969, pp. 103-8;

V. Sanchez Valencia, Monotonicity in Medieval Logic, in“Language and Computation”, vol. 4, 1994, pp. 161-74;

W. Hodges, The Laws of Distribution for Syllogisms, in “NotreDame Journal of Formal Logic”, 39, 2, 1998, pp. 221-230;

T. Parsons, The Doctrine of Distribution, “HPL”, 27, 2006, pp.59-74.


Geach rifiuta la teoria della distribuzione, prevalentemente inbase a considerazioni di tipo semantico in Ref. and Gen. e poi inbase a problemi legati a inferenze in A Last Word;

gli altri rivalutano la teoria facendo riferimento alla nozione di‘monotonicita’ e all’idea che esista una sorta di ‘logica naturale’che sottende le inferenze che vengono svolte nel linguaggioordinario.

Tema della logica naturale e della logica artificiale


esempio di applicazione della regola

Nella prima figura:

(MP) (SM)

(SP)

la premessa minore deve essere affermativa e la maggiore universale.Infatti, se la minore fosse negativa, cio implicherebbe che laconclusione (per 7) dovrebbe essere negativa. Se pero la conclusionefosse negativa, la maggiore (per 6) dovrebbe essere affermativa: cosıil termine maggiore (predicato della conclusione) sarebbe distribuitonella conclusione e non distribuito nella premessa maggiore, contro laregola 3. D’altra parte, se la minore e affermativa, in essa il terminemedio, che funge da predicato, sara non distribuito, percio per laregola 4, dovra essere distribuito nella premessa maggiore, nella qualefunge da soggetto: dunque, la maggiore dovra essere universale.


altro esempio

Nella terza figura:

(MP) (MS)

(SP)

la premessa minore deve essere affermativa e la conclusioneparticolare.Se infatti la minore fosse negativa, anche la conclusione dovrebbeesserlo, e la premessa maggiore dovrebbe essere affermativa: cosı,pero, il predicato della conclusione risulterebbe distribuito nellaconclusione e non distribuito nella prima premessa. D’altra parte, sela minore e affermativa, per la regola 3, il soggetto della conclusionenon deve essere distribuito.


Gli enunciati singolari

La sillogistica aristotelica ammette anche enunciati singolari, vale adir enunciati che, per soggetto, possono avere: un nome proprio; untermine ‘indicale’ (‘questo’, ‘quello’); una descrizione definita (‘ilmaestro di Platone’, . . . ).Problema di come inserirli nel quadro dell’inferenza sillogistica.Di solito venivano equiparati agli enunciati universali (‘Socrate efilosofo’ = ‘Ogni Socrate e filosofo’). C’era pero chi li consideravaequivalenti a enunciati particolari oppure a entrambi.


Gli enunciati singolari

Gli enunciati singolari nella sillogistica hanno una posizione ‘ambigua’(‘anomala’):

Da un lato forniscono la base per l’analisi della strutturadell’enunciato elementare (soggetto-copula-predicato), che vieneestesa a tutti gli enunciati categorici;

dall’altro, vengono ‘forzati’ dentro lo schema dei 4 enunciaticategorici fondamentali.


ARISTOTELE

Aristotele conosce le inferenze immediate: conversione semplice econversione per accidens; e ne da una dimostrazione basandosi su dueregole, che assumono un ruolo fondamentale nel suo sistema:

esposizione (ektesis)

‘sillogismo espositorio’ [nome dato dai medievali]


Ekthesis

(1) (2)Qualche S e P Qualche S e Pi e S i e P

Che e una regola analoga alla ‘esemplificazione esistenziale’:

∃x(Px)Pa;

con a non impiegata prima.

NB. Problemi interpretativi!R. Smith, “What is Aristotelian Ecthesis?”, HPL, 3, 1982, 113-27.


Sillogismo espositorio

In forma positiva:

(i e P) (i e Q)

Qualche P e Q

In forma negativa:

(i non e P) (i non e Q)

Qualche P non e Q

Analogo alla ‘generalizzazione esistenziale’:

Pa∃x(Px);


An. Pr. I, 25a 7-14

1 “E necessario che una premessa universale privativadell’appartenere si converta rispetto ai suoi termini. Per esempio,se nessun piacere e un bene, nessun bene sara un piacere.

2 Mentre la premessa positiva si converte necessariamente,sebbene non universalmente, ma solo parzialmente. Per esempio,se ogni piacere e un bene, allora qualche bene sara un piacere.

3 Tra le premesse particolari, quella affermativa si deve convertireparzialmente (poiche se qualche piacere e un bene, alloraqualche bene sara un piacere);

4 ma la premessa privativa non e necessario che si converta(poiche, se uomo non appartiene a qualche animale, non e ilcaso che animale non appartenga a qualche uomo).”


dimostrazione di (1)

“Ora, se A non appartiene ad alcuno dei B, allora neppure Bappartiene ad alcuno degli A. Poiche, se appartenesse a qualcuno(per esempio a C), non sarebbe vero che A non appartiene ad alcunodei B, poiche C e uno dei B.”



1 E (BA)

2 I (AB)

3 Ac

4 Bc

5 I (BA)

6 E (AB)



“Se ogni B e A, allora qualche A sara B. Poiche, se nessun A e B,allora nessun B sara A, ma si era assunto che ogni B fosse A.”



1 A(BA)

2 E (AB)

3 E (BA)

4 I (AB)

NB: al passo 3 presuppone la dimostrazione di (1)


Sillogismo aristotelico

Aristotele e il primo a impiegare sistematicamente letteredell’alfabeto al posto di termini qualsiasi, con lo scopo di ricorrere aschemi generali per rappresentare esempi concreti di sillogismi (validie invalidi) e mettere cosı in risalto la forma dell’inferenza sillogistica.Quest’uso delle lettere richiama da vicino la moderna nozione di‘variabile’: Aristotele, tuttavia, non poteva avere il nostro concetto divariabile ed e piu opportuno considerare le lettere che egli impiegacome semplici ‘segnaposto’ per termini generali del linguaggio.


Sillogismo aristotelico

1. Contrariamente a quanto accade col ‘sillogismo classico’, ilsillogismo aristotelico fa un uso limitato di nomi propri; pertanto unsillogismo del tipo: “Tutti gli uomini sono mortali; Socrate e uomo;Dunque, Socrate e mortale” non puo essere considerato un esempiotipico di sillogismo come lo intende Aristotele.


An. Pr. I 27 39-42a

“Ne possono gli individui esser predicati di altre cose, altrecose, invece, sono predicate degli individui. E chiaro,tuttavia, che per cio che sta nel mezzo e possibile lapredicazione in entrambi i sensi (poiche tali cose possonoesser dette di altre cose e queste di esse). E gli argomenti ele indagini concernono quasi sempre in grado eminentequeste cose.”


sillogismo aristotelico

2. In quella che potremmo chiamare ‘presentazione canonica’ delsillogismo, Aristotele preferisce impiegare il verbo ‘appartenere’(uparchein ), invece del verbo ‘essere’. Cosı, l’universale affermativaassume la forma: ‘P appartiene a tutti gli S’; la particolare negativadiventa: ‘P non appartiene a qualche S’, ecc. Sebbene Aristoteleimpieghi anche locuzioni piu naturali per la lingua greca, come ‘Tuttigli S sono P’, ‘Qualche S non e P’, ecc., ritiene, tuttavia, che larappresentazione del rapporto tra soggetto e predicato in termini diappartenenza sia piu consona a esprimere i quattro enunciaticategorici fondamentali. Cio comporta, rispetto alla tradizionesuccessiva, un’inversione: dal punto di vista schematico, la primafigura sillogistica della tradizione diventa la quarta secondo lapresentazione aristotelica.



3. Aristotele conosce e usa la quarta figura sillogistica, si limitatuttavia a teorizzare l’esistenza delle sole prime tre figure. Circa leragioni di questo comportamento si e molto discusso: e probabile chesia da imputarsi al fatto che la prima e la quarta figura, per la lorostruttura, gli apparissero sostanzialmente analoghe, quasi che laquarta non fosse altro che una variante della prima.



4. Aristotele chiama ‘sillogismo’ prevalentemente la coppia dipremesse che determinano figura e modo; e tende a presentarel’inferenza sillogistica in due maniere differenti, senza distinguerlechiaramente tra loro: da un lato come un insieme di tre enunciati(due premesse e una conclusione: “A; B; Dunque C”), dall’altrocome un unico enunciato condizionale, costituito dalla congiunzionedelle premesse che inferisce la conclusione (“Se A e B, allora C”)


questione storiografica

Contrapposizione: sillogismo come regola o come proposizione(condizionale).

J. Lukasiewicz, Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint ofModern Formal Logic, 2nd ed., Oxford, Clarendon Press, 1957;

J. Corcoran, Aristotle’s Natural Deduction System, in AncientLogic and Its Modern Interpretations, Dordrecht-Boston, Reidel,1974;

T. Smiley, What is a Syllogism?, in “Journal of PhilosophicalLogic”, 2, 1973, 136-154.

P. Thom, The Syllogism, Munchen, Philosophia Verlag, 1981.


5. Negli Analitici primi, per trovare le coppie di premesse che nondanno luogo a sillogismi validi, Aristotele impiega un metodo cheavra scarso seguito nella tradizione sillogistica successiva. Dopo averespecificate le premesse che determinano un modo, Aristotele, permostrare che tali premesse sono ‘sterili’, sceglie due opportune ternedi termini che, sostituite alle lettere nello schema sillogisticoprefigurato dalle premesse, danno luogo a conclusioni distinte, traloro incompatibili. Per avere un’idea del procedimento aristotelico, siconsideri il seguente esempio, tratto dal quarto capitolo del primolibro degli Analitici primi.


metodo del contro-esempio

Partiamo dal modo di prima figura con premesse A(MP) e E(SM), eprendiamo in considerazione le due terne di termini:

a) A = ‘animale’; U = ‘uomo’; C = ‘cavallo’

b) A = ‘animale’; U = ‘uomo’; P = ‘pietra’

in modo da formare le due coppie di premesse:(a) (b)A(UA) E(CU) A(UA) E(PU)


Consideriamo, quindi, due altre asserzioni:

1 A(CA) ‘Ogni cavallo e un animale’, compatibile con A(UA),E(CU);

2 E(PA) ‘Nessuna pietra e un animale’, compatibile con A(CA),E(PU).


Supponiamo, cioe, con (1), che il termine maggiore si predichi di tuttigli oggetti che cadono sotto il termine minore; e che, con (2), iltermine maggiore sia escluso da tutti gli oggetti che cadono sotto iltermine minore. Cosı, si vengono a creare 2 situazioni, che possiamorappresentare mediante diagrammi:

1 una nella quale i due insiemi C ed U sono sottoinsiemi propridell’insieme A e sono totalmente disgiunti tra loro (privi dielementi comuni);

2 un’altra nella quale U e un sottoinsieme proprio di A, mentre P enel complemento di A.


(a) (b)A(UA), E(CU), A(CA) A(UA), E(PU), E(PA)


Se valgono le relazioni specificate in (a) [A(UA), E(CU),A(CA)], allora dalla coppia A(UA), E(CU) non si puo inferire neE(CA) ne O(CA);

Se valgono le relazioni specificate in (b) [A(UA), E(PU), E(PA)],allora dalla coppia A(UA), E(PU) non si puo inferire ne A(PA)ne I(PA).

Di conseguenza la coppia di premesse A(UA) E(CU) e sterile e nonda luogo a sillogismi validi.


J. Lear, Aristotle and Logical Theory,

Cambridge, Cambridge UP, 1980, p. 55

“Si noti che la dimostrazione di sterilita non elimina lapossibilita che la coppia di premesse abbia una qualcheconseguenza semantica, bensı si limita a escludere lapossibilita che le premesse abbiano una conseguenzasillogistica che connetta i termini maggiore e minorenell’ordine prescritto”.

Per esempio, la coppia A(UA) E(CU) non ha una conseguenzasillogistica, ma ne ha una semantica: O(AC). (Nel nostro esempio:‘Ogni uomo e un animale; Nessun cavallo e uomo; Dunque: Qualcheanimale non e un cavallo’).


An. Pr. 26a 36-39

Caso controverso:

“Di nuovo: se B non appartiene ad alcun C e A appartieneo non appartiene a qualche B, oppure non appartiene a ogniB, non ci sara neppure in questo caso un sillogismo. Siprendano i termini: bianco-cavallo-cigno;bianco-cavallo-corvo.”

Le coppie sono:1 Qualche cavallo e bianco; Nessun cigno e un cavallo.2 Qualche cavallo non e bianco; Nessun corvo e un cavallo.

I termini:Bianco = ACavallo = BCigno = C; Corvo = D.

A (1) va associato: ‘Ogni cigno e bianco’; a (2): ‘Nessun corvo ebianco’.


6. Nel capitolo VII degli Analitici primi, Aristotele ha l’intuizione diuna procedura che potremmo definire ‘di tipo assiomatico’: assunticome primitivi due soli modi della prima figura (quelli che, in seguito,verranno designati come Barbara e Celarent), mediante le regoleammesse mostra come sia possibile ricavare da essi tutti gli altrisillogismi validi. In generale, tuttavia, per determinare la validita deisillogismi, Aristotele ricorre sia alla derivazione diretta dagli ‘assiomi’(dai sillogismi assunti come validi), sia al metodo della dimostrazioneper assurdo, senza limitarsi ad applicare tale metodo a (quelli che inseguito saranno chiamati) Baroco e Bocardo.


Logica stoica

La fondazione della scuola megarica (dalla citta di Megara) si farisalire a Euclide (non il matematico), discepolo di Socrate, di pocopiu anziano di Platone (427-347 a. C.). Tra i discepoli di Euclide visarebbero Eubulide, al quale viene attribuita la scopertadell’antinomia del mentitore, Diodoro Crono (IV secolo a. C) e Filone.Gran parte dell’eredita logica dei megarici verra accolta dalla scuolastoica, il cui fondatore fu Zenone di Cizio (Cizio, Cipro: 333 - Atene:263 a. C.). Successori di Zenone nella conduzione della Stoa furonoCleante (304 - 232) e Crisippo (Soli, Cipro: 281/277 - Atene 208/04)


Gli stoici sono soprattutto interessati ai rapporti tra enunciati; ed eper questo che sviluppano un’approfondita analisi delle espressionilinguistiche che legano tra loro gli enunciati, come (i corrispettivi ingreco di) ‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se..., allora...’. L’intuizione che sta alla basedella trattazione stoica consiste nell’idea di determinare ilcomportamento di siffatte espressioni mediante le condizioni di veritadegli enunciati connessi. Cosı, per esempio, il comportamento dellacongiunzione ‘e’ e stabilito in base alle seguenti condizioni: Unenunciato della forma ‘A e B’, per ‘A’ e ‘B’ enunciati qualsiasi, e verosolo nel caso in cui entrambi gli enunciati componenti siano veri ed efalso nei casi restanti. ‘A o B’, per ‘A’ e ‘B’ enunciati qualsiasi, hainvece condizioni di verita differenti, a seconda che la ‘o’ siaconcepita con significato esclusivo o inclusivo.


Fonti:

Sesto Empirico (160-210) (Contro i matematici; Lineamentidella dottrina di Pirrone);

Diogene Laerzio (180-240) (Vite dei filosofi);

Galeno (129-216) (opere varie);

Testi di riferimento:B. Mates, Stoic Logic, Berkeley, 1953 [1973]M. Frede, Stoische Logik, Gottingen, 1974.W. M. Kneale, The Development of Logic, Oxford, 1962


Esempio tipico di argomento:

Se e giorno, allora c’e luce;

e giorno;

Dunque c’e luce.

Che veniva reso anche come:

Se il primo, allora il secondo;

il primo;

Dunque il secondo.

Argomento e schema di argomento


i 5 indimostrabili

Primo indimostrabile:Se il primo, allora il secondo; Se e giorno, allora c’e luce;il primo; e giorno;Dunque il secondo. Dunque c’e luce.

Secondo indimostrabile:Se il primo, allora il secondo; Se e giorno, allora c’e luce;non il secondo; non c’e luce;Dunque non il primo. Dunque non e giorno.

Terzo indimostrabile:Non: il primo e il secondo; Non: e giorno ed e notte;il primo; e giorno;Dunque non il secondo. Dunque non e notte.


i 5 indimostrabili

Quarto indimostrabile:O il primo o il secondo; E giorno o e notte;il primo; e giorno;Dunque non il secondo. Dunque non e notte.

Quinto indimostrabile:O il primo o il secondo; E giorno o e notte;non il primo; non e giorno;Dunque il secondo. Dunque e notte.


analisi degli argomenti

1 Se entrambi, il primo e il secondo, allora il terzo;

2 Non il terzo;

3 Il primo;

4 Dunque, non il secondo.

L’argomento e composto da un indimostrabile di tipo 2 e da uno ditipo 3. Da (1) e (2) mediante il secondo ind. otteniamo:‘Non entrambi, il primo e il secondo’. Da questa conclusione, assuntacome premessa, e (3) otteniamo (4).


“Gli stoici ritengono ci siano tre tipi di discorsi, tra loroconnessi: il discorso concludente, quello vero e quellodimostrativo. Il dimostrativo e assolutamente vero eassolutamente concludente; quello vero e assolutamenteconcludente, ma non necessariamente anche dimostrativo;quello concludente non e ne assolutamente vero neassolutamente dimostrativo.”


Da Adv. Math. VIII, 415-417

“Quando e giorno, il discorso : ‘se e notte c’e tenebra; ma enotte; dunque c’e tenebra’ diciamo che non e vero, poicheporta al falso. Tuttavia e concludente. [. . . ] il discorsoconcludente, quindi, e valido quando, congiunte le premessee formata una proposizione condizionale che ha perantecedente la congiunzione delle premesse e perconseguente la conclusione, siffatta proposizionecondizionale risulti vera.”

Da questo passo si vede chiaramente che gli stoici distinguono veritada validita, attribuendo la prima agli enunciati e la seconda agliargomenti, e che ritengono plausibile che un argomento falso, vale adire composto da almeno un enunciato falso, sia, ciononostante,valido.


L’argomento dimostrativo

“il discorso dimostrativo e differente da quello vero, inquanto, mentre questo puo avere tutto evidente, premesse econclusione, quello pretende qualcosa in piu, cioe che laconclusione, di per se non evidente, sia svelata dallepremesse. Percio, mentre l’argomento ‘se e giorno, c’e luce;ma e giorno; dunque, c’e luce’, siccome ha evidenti lepremesse e la conclusione, e vero e non dimostrativo,l’argomento ‘se questa donna ha latte alle mammelle, allorae incinta; ma ha latte alle mammelle; dunque e incinta’,oltre a esser vero e anche dimostrativo, poiche laconclusione non evidente ‘questa donna e incinta’ vienesvelata mediante le premesse.”


Gli stoici affidavano le loro dottrine logiche a testi in forma di veri epropri manuali. Si trattava, con ogni probabilita, di testi a caratteretecnico, e autori dell’anitichita poco interessati alla logica, che ebberomodo di leggerli, si lamentano per la loro aridita e per il linguaggioostico in cui erano scritti. Non e da escludere che uno dei motivi per iquali abbiamo perduto queste preziose fonti risieda proprio nelcarattere estremamente tecnico, che poco doveva concedere al lettorenon iniziato. In ogni caso, gia nei primi secoli dell’era cristiana, lalogica stoica aveva assunto i contorni di una dottrina autonoma: suoielementi erano confluiti in una dottrina eclettica, composta da unabase aristotelica con occasionali innesti stoici.


Dalla logica antica alla logica

medievale


Tra il quinto e il nono secolo d. C. si assiste a una pressoche totalescomparsa delle fonti antiche greche e, in gran parte, latine. Lacultura medievale si sviluppa a partire da compendi e centoni, cheveicolano porzioni di cultura antica: esemplare, a questo propositol’Etymologicon di Isidoro di Siviglia, una sorta di enciclopediacomposta nel secolo VII.


Per cio che concerne le fonti delle dottrine logiche medievali, siindividuano di solito tre classi di testi, su ciascuna delle quali siimpernia una peculiare tradizione:

logica vetus [logica vecchia];

logica nova [logica nuova];

logica modernorum [logica dei moderni ]

Sebbene ciascuno di questi tre tipi di logica si sviluppi nell’ordine incui e stato menzionato, non si escludono a vicenda, ma convivonol’uno accanto agli altri come differenti strati geologici in un medesimoterreno.


Fra i testi che fanno parte del patrimonio al quale attinge la logicamedievale figurano numerose opere di Severino Boezio (sec. V), trale quali un’introduzione ai sillogismi categorici; uno scritto dedicatointeramente ai sillogismi ipotetici; un commento ai Topici di Ciceronee i commenti al De interpretatione e alle Categorie di Aristotele. Distraordinaria importanza sono lo scritto sui sillogismi ipotetici e quellosui Topici : entrambi, infatti, veicoleranno nella cultura logicamedievale concetti e idee mutuati dalla tradizione stoica. Tra i meritidi Boezio, inoltre, vi e quello di aver preparato una versione latinadell’Organon, versione che costituira un punto di riferimentoobbligato per la cultura medievale.


Altri testi importanti

De interpretatione di Apuleio (sec. II);

Isagoge di Porfirio (sec. III), discepolo di Plotino. L’espressioneIsagoge e la traslitterazione della parola greca Eisagoghe, chesignifica ‘introduzione’ (alla dottrina aristotelica relativa alleCategorie) [disputa sugli universali];

Categoriae decem, attribuite ad Agostino (una sorta di parafrasicon commento delle Categorie di Aristotele;

De divisione, sulla divisione dei concetti in generi e specie;

Liber sex principiorum (sec. XII circa), di carattere affine alprecedente, nel quale compare una discussione di sei categorietratte dall’elenco aristotelico.


Logica vetus e Logica nova

:

Logica vetusI CategorieI De interpretatione di Aristotele;I Isagoge e il commento alle Categorie di Porfirio;I De divisione;I liber sex principiorum

Logica nova.I Organon privo di Categorie e De interpretatione.


Aspetti originali della logica

medievale

:

teoria della suppositio

teoria delle consequentiae

Obligationes

Insolubili


suppositio

L’espressione latina suppositio, e il sostantivo corrispondente al verbosupponere, che significa ‘stare per’: la teoria della suppositio siproponeva, infatti, di indagare in modo sistematico per cosa stessepropriamente un termine all’interno dell’enunciato, affinchequest’ultimo risultasse vero. In altre parole, la teoria dellasupposizione concerneva il significato di un termine, in rapporto alvalore di verita dell’enunciato in cui il termine compare.


esempio

Nell’enunciato: ‘Uomo ha quattro lettere’: se ‘uomo’ vi comparesecondo il suo significato ordinario, l’enunciato e falso (non ha alcunsenso affermare che Pietro, Marco, ecc. ha quattro lettere). Seinvece ‘uomo’ sta per la parola ‘uomo’, allora e vero, in quanto e veroche la parola italiana ‘uomo’ ha quattro lettere. I medievalichiamavano suppositio materialis [supposizione materiale] il tipo disupposizione che ha ‘uomo’ in ‘uomo ha quattro lettere’. In unenunciato come ‘uomo corre’ ‘uomo’ suppone per uno o piu uominiin carne e ossa, e l’enunciato e vero o falso a seconda cheeffettivamente qualche individuo umano corra: in tal caso, il termine‘uomo’ sta per il suo significato ordinario e i medievali dicevano che ein supposizione personale [suppositio personalis].


Problemi con la teoria della suppositio

mescolanza di teoria del significato e condizioni di verita;

legami (incerti) con la teoria della quantificazione

problema generale di ‘traducibilita’ nelle categorie della logicacontemporanea.


suppositio e quantificazione

In un enunciato come

‘Tutti gli uomini sono animali’

per esempio, il termine ‘uomini’ si diceva che si trovava insupposizione confusa e distributiva, in quanto da ‘Tutti gli uominisono animali’ e legittimo inferire la congiunzione finita di enunciatisingolari: ‘Socrate e animale e Platone e animale e Pietro eanimale...’.“Tutti gli uomini”, cioe, sta indistintamente (‘confusamente’) perqualsiasi individuo umano e ‘Tutti’ e preso in senso distributivo, colvalore di ‘ogni’.


Da

‘Qualche uomo e animale’

e legittimo inferire, invece, la disgiunzione finita di enunciati singolari:‘Socrate e animale o Platone e animale o Pietro e animale...”.Sia nel caso dell’enunciato universale sia di quello particolare venivaammessa l’inferenza nella direzione opposta: quella cioe che va dallacongiunzione degli enunciati singolari all’enunciato universale e dalladisgiunzione degli enunciati singolari all’enunciato particolarecorrispondente: in tal modo era sanzionata l’equivalenza logica tral’universale e la congiunzione finita degli asserti singolari e tra laparticolare e la disgiunzione finita degli asserti singolari.


suppositio e fallacie

Un’importante funzione svolta dalla teoria della supposizione eraanche quella di determinare le condizioni di validita degli argomenti equindi di mettere in luce il carattere fallace di inferenze, come laseguente:

Uomo e specie; Socrate e uomo; Dunque Socrate e specie.

Questa inferenza era ritenuta invalida, poiche in essa il termine‘uomo’ ha differente supposizione nelle due premesse e, quindi, non epreso nel medesimo significato: ha supposizione semplice nella primapremessa e supposizione personale nella seconda.


I logici medievali erano soliti pagare il loro tributo all’autorita diAristotele, sostenendo che il sillogismo e l’unica vera forma diargomentazione scientifica. Si rendevano conto, tuttavia, che ilsillogismo non esaurisce tutte le possibili forme di argomentazione: ladottrina delle consequentiae concerneva, appunto, gli argomentivalidi che non sono in forma sillogistica. Naturalmente, rimaneva ilproblema del rapporto che lega tra loro il sillogismo di derivazionearistotelica e conseguenze.Presso alcuni autori, tuttavia (Walter Burleigh, per esempio, oGiovanni Buridano), sembra di cogliere l’embrione di unaconsapevolezza che lo stesso sillogismo sia soltanto una possibileforma di argomento.


sillogismo e consequentiae

Tutti i C sono BTutti gli A sono CTutti gli A sono B

‘A’, ‘B ’, ‘C ’ sono lettere segna-posto per termini generali come‘uomo’, ‘mortale’, ‘greco’.

‘Se il primo, allora il secondo’

‘primo’ e ‘secondo’ sono espressioni segna-posto per enunciati(proposizioni).


Con la fine dell’antichita si perde il senso pregnante della differenza e,con rare eccezioni, il condizionale:

‘Se A, allora B ’

viene perlopiu ricondotto entro la teoria dei termini:

‘Se e A, allora e B ’

‘Se e uomo, allora e animale’.

[Dove si sottintende il soggetto, qualcosa del tipo:

‘Se x e A, allora x e B ’

‘Se x e uomo, allora x e animale’.]


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