Gara - Newmark Beam e SL - Bozza 01

Modello di trave composta con effetto Shear-lag in soletta

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Modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione deformabile ed ingobbamento della soletta per

effetto shear-lag

1 INTRODUZIONE

Nello spirito del metodo degli spostamenti il modello cinematico di Newmark [1951] viene arricchito definendo una o più funzioni di forma [Reissner, 1946] atte a descrivere l’ingobbamento della soletta (effetto shear-lag) dovuto alla presenza della connessione trave-soletta e di eventuali forze longitudinali in soletta. Il modello dapprima orientato all'analisi di una semplice trave composta viene poi generalizzato per descrivere un impalcato da ponte reale costituito da due travi parallele e una soletta molto larga, modificando opportunamente l’espressione della funzione di forma. L’equilibrio è espresso da un sistema di equazioni integro-differenziale con associate le condizioni al contorno. La risoluzione è ottenuta per via numerica con una discretizzazione dell’asse temporale, per applicare il metodo generale di step-by-step [Bazant, 1972] e dell’asse geometrico per risolvere le equazioni differenziali con il metodo delle differenze finite.

2 CINEMATICA

2.1 Geometria e sistema di riferimento

Si sceglie un sistema di riferimento globale zyx ,,,0 tale che l’asse della trave è parallelo alla direzione z e il piano di simmetria della trave giace sul piano coordinato yz. La figura 1 si riferisce al caso di impalcato monotrave.

0

0 X

Y

Z

i j

k

L

Gs

Gch

X

Y

yc

ys

(a) (b)

B

Fig. 1. Geometria della trave e sistema di riferimento: (a) trave composta; (b) sezione trasversale

Posizione di un generico punto P della trave

kjir zyxzyx ,, sc AAyx , e z [0, L] (1)


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2.2 Campo di spostamenti

Con riferimento alle tre direzioni indicate dai versori i j e k, si definiscono gli spostamenti della soletta di calcestruzzo, con il pedice ‘c’, e della trave di acciaio, con il pedice ‘s’:

Soletta in calcestruzzo

kju xt;zft;zvyyt;zwt;zvt;z,y,x cc

, ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2a)

Trave in acciaio

kju tzvyytzwtzvtzyx ss ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2b)

dove v è lo spostamento verticale, uguale per tutti i punti della sezione, wc e ws sono le componenti di spostamento longitudinale della soletta in cls. e della trave in acciaio rispettivamente, f è la funzione di intensità di shear-lag che modula la componente di ingobbamento descritto dalla funzione di forma , in accordo all’approccio alla Reissner; si fa notare che l’ingobbamento della soletta è considerato uniforme sullo spessore.

Scorrimento all’interfaccia trave-soletta

t;zft;zvht;zwt;zwt;z dcs (3)

dove si è definito dd x e cs yyh .

Zyc

vj

v'

v'

(a)

ys (wcdfc)k

wsk

vj

i, Z

X O

(b)

xd 0

Fig. 2. Componenti di spostamento della sezione trasversale


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2.3 Deformazioni

In accordo con la teoria lineare, le uniche componenti di deformazione non nulle sono le seguenti:


;,, vyywtzyx cccz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (4a)

f,t;z,y,x xcxz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (4b)

vyywtzyx sssz ;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (4c)

3 CONDIZIONE DI BILANCIO

La condizione di bilancio viene imposta tramite il principio dei lavori virtuali (P.L.V.), uguagliando il lavoro interno ed esterno compiuto per una variazione virtuale ammissibile del campo di spostamento introdotto in precedenza.

3.1 Lavoro interno e risultanti delle sollecitazioni interne

È il lavoro compiuto dalle tensioni interne per una generica deformazione virtuale compatibile con il campo di spostamento introdotto:

L

dcsz

L

A

ssz

L

A

xxzccz

LL

A

zz

L

A

xzxzzz

V

ijiji

zfvhwwqzavyyw

zaf,fvyyw

zqzaza

VL

s

c

sc

00

0

000

d d d

d d

d d d d d

d

(5)

L

dcsz

L

sss

L

ccci

zfvhwwq

zvMwNzffvMwNL

0

00

d

d d

(6)

L lunghezza dell’impalcato; Nc e Ns sollecitazione normale su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; Mc e Ms momento flettente su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; e bimomento e bitaglio sulla soletta; qz forza longitudinale per unità di lunghezza all’interfaccia trave-soletta, con direzione Z.


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3.2 Risultanti interne delle tensioni

cA

czc atzN d; cA

czcc ayytzM d; (7a,b)

sA

szs atzN d; sA

szss ayytzM d; (7c,d)

cA

z at;z d cA

xzx a,t;z d (7e,f)

dove: Ac dominio di integrazione della sezione trasversale della soletta; As dominio di integrazione della sezione trasversale della trave in acciaio.

3.3 Lavoro esterno e risultanti delle sollecitazioni esterne

È il lavoro compiuto dalle azioni esterne per un generico spostamento virtuale compatibile con il campo di spostamento introdotto:

AVV

e aavL ddd ususub (8)

Lsscc

L

sszcczye fvMwNwNvTzfbvmwpwpvpL 00

d (9)

dove: b forze di volume; V volume dell’impalcato; s forze di superficie;

V superficie laterale dell’impalcato; A superficie delle sezioni trasversali per z = 0 e z = L; u campo degli spostamenti virtuali.

3.4 Risultanti delle azioni di volume e di superficie applicate lungo la trave composta

sscc A

y

A

y

A

y

A

ysycyy lsablsabtzptzptzp dddd;;; (10a)

cc A

z

A

zcz lsabtzp dd; (10b)


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ss A

z

A

zsz lsabtzp dd; (10c)

sscc A

zc

A

zs

A

zc

A

zcsc lsyyabyylsyyabyytzmtzmtzm dddd;;; (10d)

cc A

z

A

zc lsa bt;zb d d (10e)

py azione verticale (lungo y) distribuita sull’impalcato; pcz azione assiale longitudinale distribuita lungo la soletta in calcestruzzo; psz azione assiale longitudinale distribuita lungo la trave in acciaio; m azione flettente distribuita sulla trave; b azione bimomenti distribuiti sulla soletta.

3.5 Risultanti delle sollecitazioni esterne applicate sulle sezioni trasversali finali della trave

sc A

y

A

y asastT dd (11a)

cA

zc astN d (11b)

sA

zs astN d (11c)

sc A

zs

A

zc asyyasyytM dd (11d)

cA

z ast d ψμ (11e)

T è la risultante delle azioni di taglio applicate sulla sezione composta;

cN è la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo;

sN è la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della trave in acciaio;

M è la risultante dei momenti flettenti agenti sulla sezione composta; è la risultante dei bimomenti agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo.

3.6 Equazione di bilancio

Il PLV fornisce

0uusubuS

ˆdˆdˆdˆVVV

avV (12a)


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congr.

d

d

d

0

0

0

0

f,w,w,vfvMwNwNvT

zfbvmwpwpvp

zfvhwwq

zffvMMwNwN

sc

L

sscc

L

csszcczy

L

dcsz

L

scsscc

(12b)

3.7 Equilibrio locale (in termini delle risultanti delle tensioni interne)

Integrando per parti e invocando il lemma fondamentale del calcolo variazionale si ottiene:

Equazioni differenziali

czzc pqN (13a)

szzs pqN (13b)

mpqhMM yzsc (13c)

cbqzd (13d)

Condizioni al contorno

0 ccc wNN cw , 0, L (14a)

0 sss wNN sw , 0, L (14b)

0 vMMM sc v , 0, L (14c)

0 vmThqMM zsc v , 0, L (14d)

0 αα f f , 0, L (14d)

Le equazioni di campo (13) esprimono l’equilibrio del concio di trave. Le prime due assicurano l’equilibrio alla traslazione longitudinale, in direzione Z, della soletta e della trave in acciaio considerate separatamente; la terza, l’equilibrio in direzione Y della trave composta; la quarta, coinvolgendo il bimomento ed il bitaglio sulla soletta relativi alla forma di ingobbamento, esprimono un bilancio tra le tensioni normali z e tangenziali xz indotte dall’effetto shear-lag. Le condizioni al contorno (14) descrivono in forma sintetica le condizioni essenziali e naturali nelle due sezioni di estremità della trave. Si ha la condizione essenziale nel caso di spostamento imposto, nella sezione di estremità, ovvero per variazione di spostamento nulla (sj 0, essendo sj uno degli spostamenti wc, ws, v', v, f). Viceversa, nel caso di spostamento libero, essendo la variazione di


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spostamento non nulla (sj 0), le condizioni naturali richiedono l’annullarsi del termine fra parentesi quadra, il quale esprime la reazione del vincolo nella direzione dello spostamento. Infatti, se la variazione dello spostamento è nulla il vincolo esercita una reazione diversa da zero, nella direzione del vincolo; viceversa se il vincolo non è idoneo ad esercitare reazione nella direzione del vincolo, può aversi una variazione non nulla dello spostamento in quella direzione.

4 ANALISI VISCO-ELASTICA

4.1 Legame costitutivo (tensioni e forze di connessione in funzione degli spostamenti)

Si ipotizza: comportamento elastico lineare per la connessione a taglio, con rigidezza , legame elastico lineare per la trave di acciaio con modulo di Young sE ; legame viscoelastico

lineare per la soletta in calcestruzzo con ,tR e

,tR,tRG 12

1 funzioni di rilassamento

normale e tangenziale; quest’ultima valida in ipotesi di coefficiente di Poisson costante nel tempo. Le tensioni attive sono solo le seguenti:


t

t

ccc

t

t

cczcz fvyyw,tR,tRt;z,y,x00

d d

(15a)

t

t

x

t

t

xzGxz f,,tR,tRt;z,y,x00

d12

1d (15b)

Trave in acciaio

vyywEEtzyx sssssszssz )(;,, (16)

Connessione flessibile

fvhwwt;zt;zq dcsz (17)

4.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)

t

t

ccc

A

czc fSwA,tRat;zNc 0

d d (18a)

t

t

c

A

czc vItRaytzMc 0

d ,d ; (18b)

t

t

cc

A

zc fIwS,tRat;zc 0

d d (18c)


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t

t

d

A

xzxc fI,tRa,t;zc 0

d 12

1d (18d)

)(d ; ssss

A

szs wAEatzNs

(18e)

vIEaytzM ss

A

szs

s

d ; (18f)

4.3 Inerzie

cA

c a yI d2 sA

s ayI d 2 (19a,b)

cA

aS d

cA

T aI d

cA

Txxd a,,I d (19c,d,e)

4.4 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti)


czdcs

t

t

ccc pfvhwwfSwA,tR

0

d (20a)

szdcsssss pfvhww)w(AE (20b)

mpvItRvIEhvwwh y

t

t

csscs 0

d, (20c)

cc bfI

fIwS,tRt

t

dcc

012

d (20d)


0d 0

cc

t

t

ccc wNfSwA,tR cw , 0, L (21a)

0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (21b)

0d,0

vMvIEvItR ss

t

t

c v , 0, L (21c)


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0d0

vmTfhvwwhvIEvI,tR dcsss

t

t

c v , 0, L (21d)

0d 0

ffIwS,tRt

t

cc f , 0, L (21e)

4.5 Condizione di equilibrio locale (in funzione degli spostamenti e della funzione di viscosità)

Utilizzando l’equivalenza che caratterizza gli integrali di Volterra [CEB, 1984]:

t

t

GtRtH0

d, t

t

HtJtG0

d, (22a)

dove i nuclei J e R devono soddisfare la relazione integrale

t

t

dtJ

tRttRttJ0

0000

,,,,1 (22b)

il problema può essere riformulato in funzione della funzione di viscosità invece di quella di Rilassamento. Equazioni differenziali

t

t

cz

t

t

dcsccc p,tJfvhww,tJfSwA00

d d c (23a)


t

t

y

t

t

dcs

t

t

ssc mp,tJfhvww,tJhv,tJIEvI000

ddd (23c)

t

t

dcsc b,tJ

fIfIwS

0

d 12 c (23d)


0d0

c

t

t

cccc wN,tJfSwA cw , 0, L (24a)


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0d,0

vMvIEtJvIt

t

ssc v , 0, L (24c)

0d0

vmTfhvwwhvIE,tJvIt

t

dcsssc v , 0, L (24d)

0d 0

f,tJfIwSt

t

csc v , 0, L (24d)

4.6 Tensioni attive (espresse in funzione delle caratteristiche di sollecitazione)

Le tensioni possono essere espresse in funzione delle risultanti interne. Dalle espressioni delle sollecitazioni in funzione degli spostamenti (18) si ricava

t;z

t;zN

t;zf

t;zt;zw,tR c

t

t

csc

c

A 1

0

d (25a)

t;zIt;zf,tR d

t

t

c

1

0

d 12

1 (25b)

c

ct

t I

t;zMv,tR

0

d (25c)

ss

ss AE

t;zNw (25d)

ss

s

IE

t;zMv (25e)

dove

IS

SA TcA (26)

Sostituendo le (25) nelle (15, 16, 17) si ottengono le espressioni delle tensioni in funzione delle caratteristiche della sollecitazione



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c

cc

cTcz I

t;zMyy

t;z

t;zN

xt;z,y,x

11A (27a)

t;zIx,t;z,y,x dxxz 1 (27b)

Trave in acciaio

ss

s

s

ssz yy

I

M

A

N (27c)


sszz Npq (27d)

5 ANALISI ELASTICA

5.1 Legame costitutivo

Oltre al comportamento elastico della connessione con rigidezza e della trave di acciaio con modulo elastico Es si considera che si comporti in modo elastico lineare anche la soletta in calcestruzzo con modulo di Young cE . Quanto segue può essere desunto semplicemente dal caso

viscoelastico considerando t = t0. Risulta:

cEttR 00 , (28)


fvyywEEz,y,x ccccczccz (29a)

f,E

,tRt;z,y,x xc

t

t

xzGxz

12d

0

(29b)

Trave in acciaio

vyywEEzyx ssssszssz )(,, (30)


fvhwwt;zt;zq dcsz (31)

5.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)

fSwAEat;zN cccc

A

czc

c

d (32a)

vIEayzM cc

A

czc

c

d (32b)


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fIwSEat;z ccc

A

zc

c

d (32c)

fIE

a,t;z dc

A

xzxc

c

12

d (32d)

)(d ssss

A

szs wAEazNs

(32e)

vIEayzM ss

A

szs

s

d (32f)

5.3 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti)


czdcscccc pfvhwwwAE (33a)


mpvIEIEhvwwh yccsscs (33c)

cc bfI

fIwSE dccc

12 (33d)


0 cccccc wNfSwAE cw , 0, L (34a)


0 vMvIEIE ccss v , 0, L (34c)

0 vmTfhvwwhvIEIE dcsccss v , 0, L (34d)

0 ffIEwSE ccscc v , 0, L (34d)

5.4 Tensioni reattive

Generalmente, a causa della non completezza del campo di spostamenti, le tensioni attive sopra ricavate non sono sufficienti a garantire l’equilibrio globale per il quale sono necessarie anche le tensioni reattive. Mentre per una trave generica le condizioni di equilibrio locale non sono sufficienti per calcolare le tensioni reattive ed il problema rimane indeterminato, nel caso di travi in parete sottile, è possibile calcolare lo stato tensionale reattivo partendo dall’espressione delle


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tensioni assiali z date dal legame costitutivo, secondo una procedura che costituisce una generalizzazione del metodo di Jourawski.

Ipotizzando che le tensioni tangenziali yz e le forze di massa bz e di superficie fz sono nulle, l’equazione di equilibrio locale in direzione Z fornisce

0

zxzxz

zz

xz Cxz

t;z,y,xt;z,y,x

d (35)

Analogamente, ipotizzando che le tensioni tangenziali xy e le forze di massa by e di superficie fy siano nulle, l’equazione di equilibrio locale in direzione X fornisce

0

zxxzx

xxz

x Cxz

t;z,y,xt;z,y,x

d (36)

Le costanti di integrazione Cx e Cz dipendono dalle condizioni al contorno lungo i bordi laterali. Nel caso di bordi laterali liberi le condizioni al contorno sono

0 bxxz t;z,y,x (37a)

0 bxx t;z,y,x (37b)

Per la trave in acciaio la tensione normale longitudinale sz è costante nella direzione X. Pertanto la tensione tangenziale xz è lineare e la tensione normale trasversale sx è una funzione parabolica. Per la soletta in calcestruzzo la tensione normale longitudinale cz non è costante in direzione X a causa dell’effetto shear-lag. Se si sceglie una funzione di ingobbamento parabolica, la tensione tangenziale cxz è una funzione di terzo grado e la tensione normale trasversale cx è una funzione di quarto grado.

Nel caso in esame, anche l’interazione trave-soletta è composta, oltre che dalla parte attiva qz, anche da una parte reattiva qy che può essere dedotta attraverso condizioni di equilibrio.

dz

qy

qz

ms

psz

MsdMs

NsdNs

TsdTs

Ns

Ms

Ts

psyh

Fig. 3. Forze sull’elemento di trave in acciaio

Pertanto, considerando l’elemento di trave in acciaio, le condizioni di equilibrio alla

traslazione verticale e alla rotazione forniscono la relazione


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szsysy mhqpMq (38)

che può essere espressa in termini di funzioni di spostamento come

ssydcsssy mpfhvwwhvIEq (39)

5.5 Procedimento per valutare le funzioni di forma

Definire a priori una funzione di forma x significa introdurre un vincolo interno nella cinematica della trave e, di conseguenza, un certo grado di approssimazione dei risultati. L’ipotesi di mantenimento di sezione piana si trasforma, in sostanza, in ipotesi di deformazione secondo la forma . La bontà dei risultati dipende dalla capacità di prevedere la forma del reale ingobbamento della sezione e quindi di definire una funzione di forma adeguata.

Una forma approssimata dell'ingobbamento può essere ricavata tramite integrazione dell'equazione di equilibrio locale della soletta considerata come un elemento di trave in parete sottile.

dz

0

B2

B

si

NdN

N qzi

O

YX

Z

s

t

Fig. 4. Soletta con una linea di carico longitudinale

Per cogliere solo gli effetti di carichi longitudinali, si considera la soletta isolata dal resto della trave, e caricata solo da una linea di forze longitudinali qz applicata in si (fig. 4). In ipotesi di forze di massa nulle (bz 0) e trascurando le tensioni tangenziali sulla soletta in direzione Y (yz 0) l’equazione di equilibrio locale della soletta fornisce la tensione tangenziale xz sul piano medio della stessa

zxb

zyxzxz

zzyzxz

(40)

Inoltre, dall’equilibrio in direzione longitudinale Z, di una striscia di soletta dz, discende

0d 0

zqa

z

z,y,xzqzN z

A

zzc

c

(41)

Considerando, in prima approssimazione, la tensione normale z costante sulla sezione della soletta (ipotesi di mantenimento della sezione piana) la condizione di equilibrio (41) diventa

c

zz

A

zq

z

z

(42)


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e, sostituendo la (42) nella (40), si ottiene

c

izxz

A

zq

x

z,x

(43)

da cui risulta l’andamento lineare, in direzione trasversale X, delle tensioni tangenziali sulla soletta. L’equazione di congruenza, ricordando l’ipotesi di spostamenti trasversali u nulli, fornisce la relazione

z,xGx

z,xw

x

w

z

uGG xzxzxz

1

(44)

che, derivata rispetto a x e sostituita nella (43) stabilisce il legame tra gli spostamenti e la linea di forze applicate

zqGAx

z,xwz

c

12

2

(45)

Pertanto, la sezione retta, per effetto di una linea di carico qz, si deforma assumendo un andamento parabolico in direzione trasversale X. L'espressione delle tensioni tangenziali si ricava integrando la (43) ed imponendo la condizione di tensione nulla ai bordi della soletta, per motivi di equilibrio locale.


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6 SOLUZIONE NUMERICA PER L’ANALISI VISCOELASTICA: METODO STEP-BY-STEP E METODO DELLE DIFFERENZE FINITE

6.1 Introduzione

Il sistema integro-differenziale (23) con associate le condizioni al contorno (24) descrive con rigore matematico il problema fisico in esame. La sua integrazione in forma chiusa, tuttavia, è particolarmente complicata, se non impossibile nel caso di funzioni di viscosità generiche. Pertanto risulta conveniente dare una veste completamente numerica al problema definendo due discretizzazioni standard: la prima, dell’asse temporale per applicare il metodo generale di step-by-step [Bazant, 1972]; la seconda, dell’asse geometrico per risolvere numericamente le equazioni differenziali col metodo delle differenze finite.

6.2 Discretizzazione temporale

La discretizzazione dell’intervallo temporale [t0, tf] in nt parti consente l’applicazione del ben noto metodo generale di step-by-step. Gli integrali di sovrapposizione nel tempo vengono approssimati con serie finite di somme utilizzando la regola dei trapezi

tn

iiii

t

t

t,tJt,tJHH,tJ1

12

1d

0

(2.1)

dove è la variabile di integrazione nel tempo, H è una generica funzione del tempo t e iH Hti Hti1 è l’incremento della funzione H valutata fra gli istanti ti e ti1.

Sottraendo termine a termine le equazioni (23) e (24) calcolate all’istante tk1 da quelle relative all’istante tk, si ottiene un sistema differenziale, con le associate condizioni al contorno, che permette di determinare l’incremento di ciascuna funzione di spostamento nell’intervallo di tempo tk – tk1. Il sistema risolvente discretizzato rispetto al tempo assume la seguente forma:

Equazioni di campo ( k 1,…, nt)

1

1

11

1

k

icziidicisi

icczk

kkc

kdkcksk

kkckcskckc

pfvhwwE

pE

vhwwE

fSwA f

(2.2a)

szkkdkckskskss pfvhwwwAE (2.2b)

1

1

1

1

1

k

iiyii

Tdicisiiss

ic

kyk

kkck

Tdkckskkss

kkckc

mpfvhwwhvIEE

mpE

fvhwwhvIEE

vI

(2.2c)

1

1

11

12

k

ii

ick

kkc

kdkcskck b

Eb

E

fIfIwS cc (2.2d)


17/26

Condizioni al contorno (k 1,…, nt)

011 1

1

c

k

ici

icck

kkckkcskckc wN

EN

EwA fS

cw , 0, L (2.3a)

0 sskskss wNwAE sw , 0, L (2.3b)

011

1

1

vMvIE

EMvIE

EvI

k

iiiss

ickkss

kkckc

v , 0, L (2.3c)

0 1

1

1

1

vTmvIEfvhwwh

E

TmvIEfvhwwhE

vI

k

iiiissidicisi

ic

kkksskdkcksk

kkckc

v , 0, L (2.3d)

011

1

1

f

EEfIwS

k

ii

ick

kkckcskck

f , 0, L (2.3e)

dove

1

2

ikikkic t,tJt,tJ

E (2.4)

1111

2

ikikikikic t,tJt,tJt,tJt,tJ

E (2.5)

Se il carico viene applicato all’istante iniziale t0 e mantenuto costante, il sistema integro-differenziale (23), con le condizioni al contorno (24), si trasforma in una successione di nt + 1 sistemi differenziali; il primo sistema, per t t0, coincide con quello del problema elastico (33) e (34) con Ec0 1 Jt0, t0; i successivi, all’istante generico tk con k 1,…, nt, presentano termini che tengono conto della completa storia di deformazione della struttura fino a quell’istante, ossia termini che dipendono dalle soluzioni dei precedenti sistemi, rendendo così necessaria una soluzione a cascata.


18/26

Poiché gli integrali presenti nelle equazioni sono integrali di Stieltjes, gli effetti di discontinuità della generica funzione H sono colti automaticamente scegliendo una suddivisione dell’intervallo temporale in modo da far coincidere un istante ti con l’istante in cui si verifica la discontinuità e, successivamente, imponendo ti1 ti. In tal modo è possibile cogliere automaticamente gli incrementi elastici degli spostamenti incogniti dovuti ad un carico applicato all’istante generico tk, con k 0,…, nt, essendo

kkc t,tJ

Ekk

1 (2.6)

01

icE (2.7)

La discretizzazione dell’intervallo di tempo t0, tf in nt parti, viene eseguita secondo i criteri fissati da Bazant (1972) con una successione esponenziale caratterizzata da istanti molto ravvicinati all’inizio dell’analisi. Ciò consente di cogliere al meglio gli effetti della viscosità e del ritiro che nei primi periodi sono particolarmente accentuati. Si può utilizzare la seguente successione di istanti temporali:

fn

tmm

k

tt

n,...,ktttt

.tt

tt

t

12 10

010

001

01

00

(2.8)

con

01

0101

1

tt

ttlog

nmm f

t

(2.9)

dove il tempo è espresso in giorni.

6.3 Discretizzazione geometrica e metodo delle differenze finite

Discretizzazione geometrica significa considerare un insieme discreto di punti scelti opportunamente nello spazio continuo di origine, in questo caso l’asse monodimensionale della trave; ogni grandezza del problema viene calcolata solo in tali punti ed il grado di approssimazione dipende dalla scelta dell’insieme di punti.

La discretizzazione dell’asse geometrico consente l’utilizzo, tra gli altri, del metodo delle differenze finite. Con tale metodo il valore assunto in una generica sezione zj dalla funzione derivata viene approssimato con una relazione lineare tra i valori della funzione in quel punto e in alcuni punti adiacenti. Valutando l’equazione in ciascun punto j, ciascuna equazione differenziale diviene un sistema di equazioni algebriche lineari di semplice risoluzione.


19/26

Sia gz una funzione qualsiasi di classe C4. Per determinare le espressioni approssimate delle derivate prima, seconda, terza e quarta, calcolate in zj, si tronca lo sviluppo della funzione in serie di Taylor nell’intorno dell’ascissa zj trascurando gli infinitesimi del quinto ordine. Calcolando tale espressione approssimata in quattro sezioni adiacenti zj si ottiene un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite che fornisce le espressioni di g'zj, g''zj, g'''zj, g''''zj, in funzione dei valori di g calcolata in zj e nei quattro punti adiacenti.

L’applicazione del metodo richiede due fasi preliminari: la scelta dell’insieme di punti con cui discretizzare la trave (maglia di discretizzazione) e la definizione delle espressioni approssimate delle derivate.

Scelta dell’insieme di sezioni della trave

Il grado di approssimazione dipende dalla maglia di discretizzazione. Riducendo l’ampiezza del passo aumenta la precisione ma anche il numero delle incognite del problema. A parità del numero di punti, il passo regolare assicura una migliore approssimazione. Comunque è conveniente adottare un passo ridotto, cioè raffittire la maglia, in corrispondenza dei tratti in cui le funzioni hanno maggiore variabilità, in genere vicino agli estremi della trave. Fissata la discretizzazione, la migliore approssimazione si ottiene considerando i quattro punti più vicini alla sezione zj.

La trave viene discretizzata considerando np sezioni zj, per j 0,…, np1 (fig. 2.1a). Per valutare le derivate della funzione vz si utilizzano anche due punti esterni, in z1 e znp (fig. 2.1b).

Z 0 L

0 j1 2 np2np3wc, ws, f (a)

0 j 1 2 np np2np3v (b)

1

np1

trave

asse della trave

np1

Fig. 2.1. Discretizzazione della trave: (a) funzioni wc, ws, f; (b) funzione v

Il numero totale delle incognite uguaglia così il numero delle equazioni. Le incognite sono i

valori delle quattro funzioni di spostamento valutate nei punti considerati per ciascuna funzione; complessivamente si hanno

2423 ppp nnn incognite.

Le equazioni di campo forniscono 4 equazioni algebriche lineari in ogni sezione zj interna alla trave, con j 1,…, np2; quelle al contorno, 4 n equazioni algebriche lineari nei due estremi della trave; in totale si hanno

245224 pp nn equazioni.


20/26

Si sono assegnati i punti esterni alla funzione vz poiché è la funzione che viene derivata al massimo grado rispetto alle altre. Il punto esterno consente di considerare un insieme più raccolto attorno al punto di estremità e quindi di ottenere una migliore approssimazione delle derivate calcolate nei punti estremi.

Derivate delle funzioni nei punti interni della maglia di discretizzazione

Fissata la maglia di discretizzazione, il grado di approssimazione del metodo dipende dalle espressioni utilizzate per approssimare le derivate delle funzioni. Si ottiene una migliore approssimazione considerando più termini dello sviluppo in serie, cioè prendendo in considerazione derivate di ordine superiore. Per determinarle occorre considerare più punti attorno al punto di riferimento zj, in modo da avere a disposizione tante equazioni quante sono le incognite. A parità di termini considerati, la migliore approssimazione si ottiene considerando l’insieme di punti più raccolto possibile attorno a zj. In questa sede si utilizzano cinque punti.

Quando è possibile, ossia nei punti interni della maglia di discretizzazione, si utilizzano i due punti immediatamente a destra ed i due a sinistra della sezione zj (fig. 2.2).

zj2

gz

Zzj1zj2 zj1 zj

gzjgj

Fig. 2.2. Discretizzazione della zona centrale della trave

Valutando la funzione g, approssimata con lo sviluppo in serie di Taylor, nei quattro punti

zj2, zj1, zj1, zj2, si ottiene il seguente sistema algebrico lineare

423

22

222 !4!3!2 jjj

jjj

jjj

jjjjj zzg

zzg

zzg

zzggg

(2.10a)

413

12

111 !4!3!2 jjj

jjj

jjj

jjjjj zzg

zzg

zzg

zzggg

(2.10b)

413

12

111 !4!3!2 jjj

jjj

jjj

jjjjj zzg

zzg

zzg

zzggg

(2.10c)

423

22

222 !4!3!2 jjj

jjj

jjj

jjjjj zzg

zzg

zzg

zzggg

(2.10d)

in cui si è posto gzj gj. Il sistema ha la soluzione

jgjjgjgj gCgBAd 1 (2.11)

in cui i pedici g e j indicano che la grandezza è relativa alla funzione g calcolata nel punto j, e dove


21/26

T

jjjjgj zgzgzgzg d (2.12)

423

22

22

41

31

211

41

31

211

42

32

222

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

jjjjjjjj

jjjjjjjj

jjjjjjjj

jjjjjjjj

gj

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

A (2.13)

10100

01100

00110

00101

B (2.14)

T

jjjjjj zgzgzgzgzg 2112 g (2.15)

Si ottengono così le espressioni delle derivate in un generico punto zj espresse come combinazione lineare dei valori della funzione calcolata in cinque punti secondo i coefficienti dati da

BAC 1 gjgj (2.16)

Derivate delle funzioni nel punto di estremità e in quello adiacente Come già detto, stabilita la maglia di discretizzazione, la migliore approssimazione delle

derivate si ottiene considerando i quattro punti più vicini alla sezione zj. Per calcolare le derivate di wc, ws e f si utilizzano i risultati del paragrafo precedente per

j 2,…, np3. Per j 0 si considerano i punti 1, 2, 3, 4. La matrice Agj ed il vettore gj del sistema algebrico lineare (2.11) diventano


22/26

4043

042

0404

403

303

20303

402

302

20202

401

301

20101

0

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

g

A (2.17a)

Tzgzgzgzgzg 430210 g (2.17b)

dove, g indica una delle funzioni di spostamento incognite wc, ws e f. Per j 1 si considerano i punti 0, 2, 3, 4 e si ha

4143

142

1414

413

313

21313

412

312

21212

410

310

21010

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

g

A (2.18a)

Tzgzgzgzgzg 431201 g (2.18b)

Analogamente, nel secondo estremo, per j np1 e j np2, occorre considerare rispettivamente i punti np2, np3, np4, np5 e np1, np3, np4, np5. Si ha, nei due casi,

4123

122

1212

413

313

21313

414

314

21414

415

315

21515

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

pppppppp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

p

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

ng

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

A (2.19a)

T

nnnnnn ppppppzgzgzgzgzg 231451 g (2.19b)


23/26

4213

212

2121

423

323

22323

424

324

22424

425

325

22525

2

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

pppppppp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

p

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

ng

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

A (2.20a)

T

nnnnnn ppppppzgzgzgzgzg 132452 g (2.20b)

Per calcolare le derivate di v si utilizzano i risultati del paragrafo precedente per j 1,…, np2. Si ricorda che la discretizzazione riguardante v (fig. 2.1b) prevede anche un punto esterno ai due estremi della trave. Per j 0 si considerano i punti 1, 1, 2, 3. La matrice Agj ed il vettore gj del sistema algebrico lineare (2.11) diventano

4033

032

0303

402

302

20202

401

301

20101

401

301

20101

0

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

24

1

6

1

2

1

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

v

A (2.21a)

Tzvzvzvzvzv 320110 v (2.21b)

Per j np1 si considerano i punti np, np2, np3, np4 e si ottiene

41

31

211

412

312

21212

413

313

21313

414

314

21414

1

24

1

6

1

2

124

1

6

1

2

124

1

6

1

2

124

1

6

1

2

1

pppppppp

pppppppp

pppppppp

pppppppp

p

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nnnnnnnn

nv

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzz

A (2.22a)

T

nnnnnn ppppppzvzvzvzvzv 21341 v (2.22b)


24/26

6.4 Sistema risolvente discretizzato

Ciascuna equazione di campo (2.2) deve essere valutata nei punti interni della trave, ovvero nei punti zj con j 1,…, np2; le equazioni al contorno (2.3) si utilizzano per i due punti estremi, j 0, L. Le derivate delle funzioni si approssimano secondo la (2.11). Il procedimento va ripetuto per ciascun istante di calcolo tk con k 1,…, nt.

Equazioni di campo (j 1,…, np2), (k 1,…, nt)

jczk

kkc

k

ijczijidvjicjisji

ic

jkdvjkcjksjk

kkcfjkjkjwkc

pE

pfdhwwE

fdhwwE

dSddAcsc

1

1

1

1

1

1

1212

(2.23a)

jszkjkdvjkcjksjkjwkss pfdhwwdAEs

12 (2.23b)

jkjyk

kkc

k

ijijyifjidvjijwijwivjiss

ic

fjkdvjkjwkjwkvjkss

kkcvjkc

mpE

mpddhddhdIEE

ddhddhdIEE

dI

cs

cs

1

1

1

1

1

12114

121144

(2.23c)

jk

kkc

k

i ic

jijkdfjkjkjwk b

EE

bfIdIddS

csc c

c

1

12

1

1

212 (2.23d)

Condizioni al contorno (j 0, np1), (k 1,…, nt)

0 1

1

11

jc

k

i ic

jci

kkc

jck

fjkjcskjwkc wE

N

E

NdSdA

c

jcw , j 0, L (2.24a)

0 1 jsjskjwkss wNdAEs

jsw , j 0, L (2.24b)

0 1

1

1

222

vj

k

i ic

jivjiss

kkc

jkvjkssvjkc d

E

MdIE

E

MdIEdI

1 vjd , j 0, L (2.24c)


25/26

0

1

1

31

31

3

j

k

i ic

jijivjissjidvjijcijsi

kkc

jkjkvjkssjkdvjkjckjsk

vjkc

vE

TmdIEfdhwwh

E

TmdIEfdhwwhdI

jv , j 0, L (2.24d)

0 1

1

11

j

k

i ic

ji

kkc

jkfjkjcskjwk f

EEdIdS

c

jf , j 0, L (2.24e)

dove: k g gtk gtk1 indica la differenza di una generica funzione g valutata agli istanti tk e tk1; igjd è la componente i-esima del vettore colonna dgj, ossia la derivata i-esima della funzione g

calcolata nel punto j, col metodo delle differenze finite; ijfc

d è il vettore colonna le cui componenti

sono i valori ijfcr

d per r 1,…, n. Si osserva che il termine igjd , dato dalla (6.11), contiene una

combinazione lineare dei valori assunti dalla funzione g in cinque punti attorno a zj, ovvero alcune incognite del problema.

6.5 Espressioni discretizzate delle caratteristiche della sollecitazione

Risolto il problema tramite le (6.23) e (6.24), sono noti gli spostamenti nelle sezioni zj (j 0,…, np1) della trave agli istanti di calcolo tk (k 0,…, nt). Per conoscere le caratteristiche della sollecitazione in quei punti e in quegli istanti è sufficiente discretizzare le espressioni (3.19) e sostituirvi gli spostamenti determinati.

La discretizzazione nel tempo, eseguita secondo i criteri del paragrafo 6.2, fornisce le seguenti espressioni delle caratteristiche della sollecitazione all’istante generico tk (k 0,…, nt):

1

111

k

ii,kicici,kkckkcskcckkckc JNNJNwAEN cfS (2.25a)

1

111

k

ii,kicici,kkckckkckc JMMJMvIEM (2.25b)

1

111

k

ii,kicici,kkckkcskckkckc JJwE cfIS (2.25c)

1

11112

1 k

ii,kicici,kkckdkkckc JJE cfI (2.25d)


26/26

ksssks wAEN (2.25e)

kssks vIEM (2.25f)

dove

2

1 ikik

i,kt,tJt,tJ

J (2.26)

La discretizzazione geometrica e l’applicazione del metodo delle differenze finite, eseguite secondo i criteri del paragrafo 6.3, forniscono le seguenti espressioni delle caratteristiche della sollecitazione all’istante generico tk (k 0,…, nt), nella sezione zj (j 0,…, np1):

1

111

1

1k

ii,kicjicji,kkcjkjfkjcskjwckkckcj JNNJNdAEN

ccdS

(2.27a)

1

111

2k

ii,kicjicji,kkcjkvjckkckcj JMMJMdIEM (2.27b)

1

111

1

1k

ii,kicjicji,kkcjkjfkjcskjw

Tkkckcj JJdE

cc dIS (2.27c)

1

11112

1 k

ii,kicjicji,kkcjkjdkkckcj JJE cfI (2.27d)

kjwssks s

dAEN 1 (2.27e)

kvjssks dIEM 2 (2.27f)

Gara - Newmark Beam e SL - Bozza 01

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