G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE MOD.10 CAP.1.

G. Barbaro interpolazione1

INTERPOLAZIONE

MOD.10 CAP.1


In Statistica e in genere nelle scienze sperimentali, si studiano o si osservano “relazioni” fra grandezze


Per esempio si può pensare allo studio della relazione fra reddito e risparmio di una popolazione oppure alla relazione tra altezza e peso dei militari, ecc.


Di solito, i punti osservati si dispongono su un diagramma chiamato diagramma a dispersione:

0

200

400

600

800

1000

1200

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

REDDITO

RIS

PA

RM

IO


Partendo da queste coppie di dati (x, y), si vuole determinare la funzione

y = f(x)

che descrive il fenomeno


Definizione:

per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che

approssima l’andamento di un insieme di punti.


Per trovare la funzione si può procedere in due modi:

1)determinare la funzione che assuma esattamente i punti (x, y) osservati (interpolazione per punti noti, o interpolazione matematica);

2) determinare la funzione che si accosti il più possibile ai punti (x, y) osservati (interpolazione fra punti noti, o interpolazione statistica).


Interpolazione MATEMATICACalcola una funzione che passa PER tutti i punti

Interpolazione STATISTICACalcola una funzione che passa FRA i punti

TIPI DI INTERPOLAZIONE


A CHE COSA SERVE ? inserimento di uno o più dati in una serie

che presenta dei vuoti (INTERPOLAZIONE in senso stretto).

ESTRAPOLAZIONE (valutazione di valori esterni, vicini alla serie dei dati).

PEREQUAZIONE (livellazione o “regolazione” dei dati di una serie non regolare attraverso la “sostituzione” al posto dei dati rilevati, di dati ottenuti dalla funzione matematica trovata).


INTERPOLAZIONE MATEMATICA SI UTILIZZA QUANDO LA FUNZIONE Y=f(X) DEVE PASSARE

PER TUTTI I PUNTI OSSERVATI.

La scelta della funzione interpolante dipende dai casi, ma la funzione più usuale è quella espressa da un polinomio di grado pari a superiore a n-1 se i punti sono n:

y= a0 + a1x + a2x2 +...+ an-1 xn-1

in cui, le “a” sono i parametri e sono in numero uguale ai punti attraverso i quali bisognerà interpolare.

Per esempio, se i punti fossero 3, la funzione sarebbe: y=a0+a1x+a2x2


ESEMPIO

Esempio: Un insegnante deve trasporre delle valutazioni degli scritti

dell’esame di stato da punteggio grezzo, in formato percentuale, a punteggio finale, in 15esimi; vuole mantenere le seguenti corrispondenze:punteggio grezzo (x) punteggio finale (y) 0% 4 50% 10 100% 15

Si tratta di determinare l’equazione di una funzione di secondo grado y=a0+a1x+a2x2 in quanto i punti da interpolare sono 3: A(0;4), B(0,5;10), C(1;15).


Si costruisce un sistema imponendo le condizioni di passaggio della funzione per i 3 punti:

passaggio per A:4=a0

passaggio per B:10=a0 + 0,5²a2 + 0,5a1

passaggio per C:15= a0 + 1²a2 + 1a1

Il sistema, risolto, da la seguente funzione: y=-2x²+13x+4


Il polinomio interpolatorele formule di Lagrange e di Newton

Supponiamo di avere n punti sul piano cartesiano, (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn).Come si può fare per scrivere una funzione polinomiale y = P(x) che passi per tutti i punti dati?


La formula generale di Lagrange, scritta per esteso, è la seguente:

Equazione della curva polinomiale di grado (n-1), passante per i punti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)


INTERPOLAZIONE STATISTICA

Mentre nella interpolazione matematica la funzione interpolante deve passare per tutti i punti sperimentali, nell’interpolazione statistica la funzione passa attraverso i punti osservati.


0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

X

Y

L’interpolazione statistica viene utilizzata quando il numero di punti sperimentali è elevato


E’ necessario che la funzione interpolante passi il più vicino possibile ai valori interpolati.

Ci sono vari metodi per attuare ciò, ma il più usato è quello dei minimi quadrati


Questo metodo consiste nel determinare i parametri della funzione interpolante prescelta in modo che sia minima la somma dei quadrati degli scostamenti dei punti dalla funzione

La condizione di accostamento è dunque la seguente:

x i

y i

ŷ

minimaˆ1

2

n

iii yy


La funzione teorica può assumere differenti aspetti; alcuni dei più usati sono:

RETTA

PARABOLA

FUNZIONE ESPONENZIALE

IPERBOLE EQUILATERA


CASO DELLA RETTAŶ = bx + a i parametri da determinare sono quindi a e b

minima,1

2

n

iii abxybaf

Questa è una funzione a due variabili di cui occorre trovare il minimo

012'

02'

iia

iiib

yabxf

xyabxf

ii

iiii

ynaxb

yxxaxb 2

Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca di eventuali punti critici:


2)(2

)( 22

2

ix

ixn

iy

ix

iyixn

b

xxn

xyxxya

ii

iiiii

Utilizzando il metodo di Cramer si giunge alle soluzioni del sistema


E’ evidente che è difficile memorizzare le precedenti soluzioni.

Esistono allora due procedimenti che è possibile seguire:

1° procedimento

Si calcola il fattore b utilizzando la formula

2)(2ix

ixn

iy

ix

iy

ixn

b

Mentre il fattore a si può ricavare dalla seconda equazione del sistema

xbya xy Sono le medie delle X e delle Y


ESEMPIO X Y X Y x2

1 12 12 1

2 13,5 27 4

3 14,8 44,4 9

4 16,5 66 16

5 18,2 91 25

TOT. 15 75 240,4 55

38,10354,115

155

753

5

15

54,115555

75154,24052

XbYa

YX

b


2° Procedimento

XbYa

Xix

YiyX

ix

x

yxb

i

ii

22 )(

)()(

)'(

''

Con questo procedimento si procede al calcolo delle medie dei valori sperimentali di X e Y e successivamente si calcolano gli scarti dalla media


ESEMPIO

X

Y

= 15/5 =3

= 125/5 = 25

5235725

5710

752

,,

,)(

)()(

XbYa

Xix

YiyX

ix

b

X Y X' Y' X'Y' X'2

1 10 -2 -15 30 4

2 17 -1 -8 8 1

3 26 0 1 0 0

4 32 1 7 7 1

5 40 2 15 30 4

tot 15 125 0 0 75 10


PERTANTO LA RETTA INTERPOLATRICE HA EQUAZIONE

Y = 2,5+ 7,5 X

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 1 2 3 4 5 6


INDICI DI ACCOSTAMENTO

Per valutare la bontà dell’accostamento tra i dati sperimentali e la funzione ottenuta con i minimi quadrati si utilizzano alcuni indici

Indice lineare:

Indice quadratico

niyniy

iy

I

iy

yiy

I

ˆ

2)ˆ(

2

ˆ

ˆ

1

I valori degli indici devono essere molto piccoli inferiori a 0.1


cbxaxy 2

La condizione di accostamento è la seguente:Si tratta dunque di calcolare il minimo di una funzione a tre variabili [f(a,b,c)].Si procede con la soluzione del sistema che pone le derivate parziali prime uguali a zero per la ricerca del punto critico (minimo relativo, in questo caso):

minima,,1

22

n

iiii ycbxaxcbaf

012'

02'

02'

2

2

22

iiic

iiiib

iiiia

ycbxaxf

xycbxaxf

xycbxaxf

CASO DELLA PARABOLA


iii

iiiii

iiiii

yncxbxa

yxxcxbxa

yxxcxbxa

2

23

2234


Esempio:

Calcolare e rappresentare graficamente la parabola interpolante a minimi quadrati per i seguenti punti:

x 1 2 4 6 8 12

y 9 5 4 5 6 10

Svolgimento:Conviene sviluppare i calcoli per le varie sommatorie in tabella (facilmente adattabile ad un foglio elettronico) come segue:


39633265

23333265529.2

097.2265529.2401.26

cba

cba

cba

Si imposta e si risolve il seguente sistema

ottenendo la seguente funzione

y = 0,1448x² - 1,6363x + 9,1052

x y x2 x3 x4 xy x2y y teorico

1 9 1 1 1 9 9 7,61

2 5 4 8 16 10 20 6,41

4 4 16 64 256 16 64 4,88

6 5 36 216 1296 30 180 4,5

8 6 64 512 4096 48 384 5,28

12 10 144 1728 20736 120 1440 10,3233 39 265 2529 26401 233 2097


y = 0,1448x2 - 1,6363x + 9,1052

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12 14

y

y teorico

y teorico


REGRESSIONE E CORRELAZIONE

Lo studio della regressione e della correlazione si occupa della ricerca del legame tra due variabili statistiche.

Nel nostro corso si tratta della regressione e della correlazione lineare intendendo che viene ricercato tra le variabili statistiche un legame di tipo lineare

Lo studio può esser condotto in due modi: o attraverso la regressione o attraverso la correlazione.


Il termine regressione fu introdotto da Galton (1886) a seguito di uno studio sull’ereditarietà dei caratteri biologici di tipo quantitativo.

In particolare Galton prese in esame due variabili costituite rispettivamente dalle altezze dei padri e dalle altezze dei figli.

Egli rilevò che le altezze dei figli di padri molto alti erano mediamente inferiori

a quelle dei padri, o più precisamente, regredivano verso la media generale delle altezze della popolazione

Galton chiamò regressione tale tendenza

REGRESSIONE


In generale in statistica lo studio della regressione consiste nella determinazione di una funzione matematica che esprima la relazione tra due variabili

Siano X e Y due variabili statistiche misure di due caratteri quantitativi di popolazione statistica (ex: X = Reddito e Y = Risparmio)

La REGRESSIONE: studia come una variabile varia al variare dell’altra

determina una funzione matematica che esprima come una variabile varia al variare dell’altra


Si parla di regressione lineare se la funzione è di tipo lineare

Utilizzando il metodo dei minimi quadrati si determinano due rette di regressione:

La retta che esprime Y come funzione della X : y = b1 x + a1

E la retta che esprime la X come funzione della Y : x= b2 y + a2

b1, b2: coefficienti di regressione


2

1

11

)(

))((

xn

iix

n

iy

iyx

ix

b

xbya11

2

1

12

)(

))((

yn

iiy

n

iy

iyx

ix

b

ybxa22

FORMULE PER IL CALCOLO


b1 E b2 HANNO SEMPRE LO STESSO SEGNO

Se b1 e b2 sono positivi esiste un legame lineare diretto (all’aumentare di una variabile aumenta l’altra)

Se b1 e b2 sono negativi esiste un legame lineare inverso (all’aumentare di una variabile diminuisce l’altra)

2

11 bb Se

esiste un legame lineare perfetto (diretto o inverso in base al segno dei coefficienti) e le due rette sono coincidenti

Se b1 = b2 =0 esiste indipendenza lineare( le due rette sono parallele agli assi cartesiani)


CORRELAZIONE LINEARE

La CORRELAZIONE studia quanto le variabili sono collegate fra di loromisurando l’intensità del legame di interdipendenza fra le due variabili

Talvolta lo studio della correlazione precede quello della regressione in quanto una variabile viene confrontata con tante altre per vedere con quale risulti più connessa


Nello studio della correlazione si procede al calcolo di un indice:

r = Indice di Bravais-Pearson = 21 bb

dove b1 e b2 sono i coefficienti di regressione

Si usa il segno + se b1 e b2 sono positivi

Si usa il segno – se i coefficienti b1

e b2 sono negativi

IL coefficiente r ha un campo di variazione: 11 r


yx

xyr

Un altro modo per definire il coefficiente di Bravais –Pearson è quello di definirlo come rapporto tra la covarianza di x e y e il prodotto degli scarti quadratici medi di x e di y.

n

yyn

xx

n

yxxy

2)'(2)'(

''

Dove :

covarianza

s.q.m.


11 r

se r= -1 esiste una correlazione lineare perfetta negativa

Le due rette sono sovrapposte(‘l’angolo tra le rette è nullo)

se r= +1 esiste una correlazione lineare perfetta positiva

Le due rette sono sovrapposte(‘l’angolo tra le rette è nullo)


se r= 0 esiste INDIPENDENZA LINEARE fra le due variabili

01 r

10 r

G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE MOD.10 CAP.1.

Documents

Transcript of G. Barbaro interpolazione1 INTERPOLAZIONE MOD.10 CAP.1.