Interpolazione Polinomiale a tratti -...

Dipartimento di Matematica Università di Bologna

Serena Morigi

Interpolazione Interpolazione Polinomiale a tratti Polinomiale a tratti

Serena Morigi Dipartimento di Matematica Università di Bologna

Dai polinomi ai polinomi a tratti…..

I polinomi sono funzioni regolari, I polinomi sono funzioni regolari, facilmente calcolabili, con derivata ed facilmente calcolabili, con derivata ed antiderivata ancora in forma polinomiale, antiderivata ancora in forma polinomiale, approssimano funzioni continue..approssimano funzioni continue..I polinomi possono presentare la I polinomi possono presentare la caratteristica di oscillare all’aumentare del caratteristica di oscillare all’aumentare del grado;grado;Buon comportamento su piccoli intervalli Buon comportamento su piccoli intervalli e grado basso (n <4,5);e grado basso (n <4,5);


Dai Dai polinomipolinomi …..…..aiai polinomipolinomi a a trattitratti

Si suddivide l’intervallo in tratti più piccoli e si lavora su qSi suddivide l’intervallo in tratti più piccoli e si lavora su questi uesti con polinomi di grado relativamente basso;con polinomi di grado relativamente basso;


Interpolazione Polinomiale a Interpolazione Polinomiale a trattitratti

Siano assegnate Siano assegnate m+1m+1 osservazioni osservazioni yyii, , i=0,..,mi=0,..,m nei nei punti (punti (NODINODI):):

Un polinomio interpolante a tratti consiste Un polinomio interpolante a tratti consiste di m polinomi di grado n<<m: di m polinomi di grado n<<m:

1,...,0)()(soddisfa],[sudefinito)(

),(),...,(),(

...

11

1

110

210

−===

=<<<<=

++

+

−

mkyxpyxpxxxp

xpxpxp

bxxxxa

kkkkkk

kkk

m

m


Polinomi a tratti di interpolazione di grado 1

],[;)()()( 11

1+

+

+ ∈−−

−+== kkkk

kkkkk xxx

xxyyxxyxpxp

a=x1 x2 xk xk+1 xm+1=b


Polinomi a tratti di interpolazione

•• Si è però persa un’ importante proprietà: Si è però persa un’ importante proprietà: i polinomi a tratti non sono necessariamente funzioni i polinomi a tratti non sono necessariamente funzioni

regolari: regolari:

•• ESEMPIO: se n=1, p(xESEMPIO: se n=1, p(x) è funzione continua, ma ) è funzione continua, ma p’(x) non è continua, p’(x) non è continua, assume unassume un valore costante valore costante ddk k

susu ogni sottointervallo, con salti nei nodi.ogni sottointervallo, con salti nei nodi.

kk

kkk xx

yyd−−

=+

+

1

1


Pendenza nei puntiPendenza nei punti


Interpolazione cubica (n=3) atratti di Hermite

Dati i valori Dati i valori yy00,..,y,..,ymm corrispondenti ai parametri corrispondenti ai parametri xx00,..,x,..,xmm,, e le corrispondenti tangenti e le corrispondenti tangenti dd00,..,d,..,dmm

Determinare un polinomio Determinare un polinomio cubico Ccubico C11 a tratti che a tratti che interpoli i dati:interpoli i dati:

ii

ii

dxpdtd

miyxp

=

==

)(

,..,0,)(


kkkk

kk

kk

k

k

kk

kkk

k

k

kkkk

kkkk

xxhxxs

dh

hssdh

hss

yh

sshhyh

sshxp

dxpdxpyxpyxp

−=−=

−+

−

++−

+−

=

⎩⎨⎧

====

+

+

+

++

++

1

2

2

12

2

3

323

13

32

11

11

)()(

2323)(

)(';)(')(;)(

m polinomi cubici --> 4m incognite, su ciascun tratto risolvere il sistema 4x4:

Polinomio cubico interpolante a tratti:


Stime Stime delle derivatedelle derivate

hhkk=x=xk+1k+1--xxkk

ffkk=y=yk+1k+1--yykk k=0,..,mk=0,..,m--11

ddkk=f=fkk/h/hkk

Es. (stima di BesselEs. (stima di Bessel) no oscillazioni) no oscillazioni

kk

ki

kkkkk

hhhc

dcdcD

−=

+−=

−

−

−

1

1

1)1(

yk

yk-1

yk+1

xk-1 xk xk+1


Interpolazionepolinomiale a tratti

Siano assegnate m+1 osservazioni Siano assegnate m+1 osservazioni yykk k=0,..,mk=0,..,mnei punti distinti xnei punti distinti xkk in in [a,b][a,b]

xx00 xx1 1 xx22 xxkk

un polinomio interpolante a tratti consiste di m un polinomio interpolante a tratti consiste di m polinomi ppolinomi pkk(x),k=0,..,m(x),k=0,..,m--1, di grado n<<m : 1, di grado n<<m :

nodia b

1,...,1,..,0)()()2

1,..,1,)()()1],[sudefinito)(

)()(1

1

1

−===

−==≡

−

−

+

mkNlxpxp

mkyxpxpxxxp

kl

kkl

k

iikik

kkk

L’interpolante a tratti è di classe CL’interpolante a tratti è di classe CN N ,funzione continua fino alla ,funzione continua fino alla derivata di ordine N≤nderivata di ordine N≤n--11


Def. Def. FunzioneFunzione SplineSpline s(x)s(x)

II0 0 II1 1 IIkk--11 IIkk

xx0 0 xx1 1 xx2 2 xxk k xxk+1k+1

))((1,..,0),()(

:.2

)(,,..,0,),()(.1

1)(1

)( −− ∈−=≡

∈=∈≡

njj

ljj

l

njjj

CxsnlxsDxsD

nodisuicontinuità

PxskjIxxsxs

Spline polinomiale: polinomio a tratti con condizioni di massima regolarità nei nodi


Esempio: Esempio: spline spline cubica naturalecubica naturale

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+=++=+

++=++=+++=+++=+++=+++

+++=+++=

0620626262

3232

)()(

343143

243243

224232

224232

33

342

3332123

242

23221

23

242

2322113

142

13121

34

23212

34

23211

xbbxaaxbbxaa

xbxbbxaxaayxbxbxbbyxbxbxbbyxaxaxaayxaxaxaa

xbxbxbbxpxaxaxaaxp

x1 x3x2

Risolvere il sistema 8x8 nelle incognite aRisolvere il sistema 8x8 nelle incognite aii, b, bii, i=1,4, i=1,4

Spline Interpolante i dati (xi,yi), i=1,..3 è definita da due pol. cubicisu intervalli [x1,x2] e [x2,x3] che si raccordano C2.


Esempio: Esempio: spline spline cubica naturalecubica naturale

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

+++=+++=

0000

62000000000062006200620032103210

1000010000

0000100001

)()(

3

2

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

3

1

22

222

222

33

233

32

222

32

222

31

211

34

23212

34

23211

yyyy

bbbbaaaa

xx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xbxbxbbxpxaxaxaaxp

Funzioni di base diverse da quelle polinomiali qui utilizzate portano a sistemi con matrici coefficienti con strutture a banda.


Interpolazione di funzioniInterpolazione di funzioni

Assegnati i punti PAssegnati i punti Pii(t(tii,,yyii) con valori ) con valori trovare la funzione che passa per trovare la funzione che passa per tali punti tali punti f(tf(tii)=)=yyii i=0,..,ni=0,..,n

Risolvere il sistema lineare:Risolvere il sistema lineare:

YVa =


Curve in formaparametrica

Una curva parametrica nello spazio è definita da tre funzioni x(t) y(t) e z(t) del parametro t. Al variare di t, le coordinate(x(t),y(t),z(t)) individuano un punto che si sposta sulla curva.

F(t)=(x(t),y(t),z(t))ti

z

xy ti

F(a)

F(b)

a b

F(t)

t in [a,b] individua un segmento di curva


Interpolazione con curve in Interpolazione con curve in forma parametricaforma parametrica

Assegnati i punti PAssegnati i punti Pii((xxii,,yyii) con valori ) con valori dei parametri corrispondenti tdei parametri corrispondenti tiitrovare la curva trovare la curva c(t)=(cc(t)=(cxx(t),c(t),cyy(t))(t))cheche passa per tali punti passa per tali punti

c(tc(tii)=P)=Pii i=0,..,mi=0,..,m

Risolvere in RRisolvere in R2 2 i due sistemi lineari:i due sistemi lineari:

ii yVaxVa == 21


Curve Curve splinespline di interpolazionedi interpolazione

Problema:Problema:Determinare una curva Determinare una curva s(t)=(s(t)=(ssxx(t),(t),ssyy(t))(t))di grado p tale che passi nell’ordine per di grado p tale che passi nell’ordine per m+1m+1 punti Ppunti Pii=(=(xxii,,yyii) ) i=0,..,mi=0,..,m del piano del piano preassegnatipreassegnati..Algoritmo:Algoritmo:

Determinare i valori dei nodi di Determinare i valori dei nodi di interpolazione tinterpolazione tii

Risolvere le due funzioni Risolvere le due funzioni splinespline di di interpolazione interpolazione ssxx e e ssyy : : ssxx(t(tii)=)=xxii; e ; e ssyy(t(tii)=)=yyii;;


Esempio:Esempio:Controllo di un robot 2DControllo di un robot 2D

Le equazioni che regolano il Le equazioni che regolano il braccio sono le seguenti:braccio sono le seguenti:posizione della fine del primoposizione della fine del primo linklink(x(x11,y,y11))

posizione della fine del secondoposizione della fine del secondolinklink (x(x22,y,y22))

quindi, le coordinate (x,y) della quindi, le coordinate (x,y) della mano del robot sono date damano del robot sono date da

)sin()cos(

111

111

θθ

LyLx

==

)sin()cos(

21212

21212

θθθθ

++=++=

LyyLxx

)sin()sin()cos()cos(

212112

212112

θθθθθθ

++=++=

LLyLLx


Esempio:Esempio:Controllo di un robot 2DControllo di un robot 2DQueste due equazioni sono risolte per angoli in Queste due equazioni sono risolte per angoli in funzione di x ed y in modo tale che si possa funzione di x ed y in modo tale che si possa determinare gli angoli necessari per spostare determinare gli angoli necessari per spostare la mano ad una posizione specificata da (x,y). la mano ad una posizione specificata da (x,y). Le relazioni risultanti sono le seguenti:Le relazioni risultanti sono le seguenti:

⎩⎨⎧

≥−<+

==

−+=

−−=

+=

00

)arctan(

2)cos(

2)cos(

2

21

1

22

21

2

21

22

21

2

2

222

θβαθβα

θα

βθ

sese

xy

RLLLR

LLLLR

yxR


Esempio:Esempio:Controllo di un robot 2DControllo di un robot 2D

Funzioni Funzioni spline spline interpolano i valori di interpolano i valori di θθ11(t(tii) e ) e θθ22(t(tii) in corrispondenza ) in corrispondenza degli istanti tdegli istanti tii prefissati;prefissati;

θθ11(t(tii) e ) e θθ22(t(tii)) corrispondono agli corrispondono agli angoli che permettono di angoli che permettono di posizionare il link2 del robot nelle posizionare il link2 del robot nelle posizioni posizioni (x(t(x(tii),y(t),y(tii)))) assegnate assegnate agli istanti tagli istanti tii..

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