Funzioni reali di variabile reale - unibo.itcagliari/agraria/teoria/funzioni.pdf · 2010. 10....

Funzioni reali di variabile reale

Lezione per Studenti di AgrariaUniversità di Bologna

(Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50

Funzioni

DefinizioneSia A un sottoinsieme di R. Si chiama funzione reale definita suul’insiemeA,una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e un solo numeroreale.

In questo modo viene definita una funzione f da A in R che è indicata :

f : A→ R.

• L’insieme A è detto dominio di f .• Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è dettoimmagine di x attraverso f .• L’insieme f (A) = {y ∈ R :esista almeno un x ∈ A tale chef (x) = y}, èdetto immagine di f .


Funzioni



f : A→ R.

• L’insieme A è detto dominio di f .

• Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è dettoimmagine di x attraverso f .• L’insieme f (A) = {y ∈ R :esista almeno un x ∈ A tale chef (x) = y}, èdetto immagine di f .


Funzioni



f : A→ R.

• L’insieme A è detto dominio di f .• Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è dettoimmagine di x attraverso f .

• L’insieme f (A) = {y ∈ R :esista almeno un x ∈ A tale chef (x) = y}, èdetto immagine di f .


Funzioni



f : A→ R.

• L’insieme A è detto dominio di f .• Per ogni x di A il numero associato ad x si indica con f (x) ed è dettoimmagine di x attraverso f .• L’insieme f (A) = {y ∈ R :esista almeno un x ∈ A tale chef (x) = y}, èdetto immagine di f .


Variabili dipendenti e indipendenti

Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è dettavariabile dipendente.Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuatadal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la suaimmagine.A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quelladipendente nomi diversi da x e y.Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa ingenere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s(lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo).



Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è dettavariabile dipendente.

Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuatadal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la suaimmagine.A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quelladipendente nomi diversi da x e y.Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa ingenere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s(lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo).



Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è dettavariabile dipendente.Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuatadal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la suaimmagine.

A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quelladipendente nomi diversi da x e y.Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa ingenere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s(lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo).



Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è dettavariabile dipendente.Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuatadal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la suaimmagine.A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quelladipendente nomi diversi da x e y.

Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa ingenere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s(lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo).



Con queste notazioni x è detta variabile indipendente, mentre y è dettavariabile dipendente.Si osservi che le variabili sono variabile mute cioè la funzine è individuatadal dominio e dalla legge che associa ad un elemento del dominio la suaimmagine.A seconda delle necessità, si daranno alla variabile indipendente e a quelladipendente nomi diversi da x e y.Ad esempio se si vuole descrivere uno spostamento in fisica, si usa ingenere, t = f (s) che rappresenta una funzione con variabile indipendente s(lo spazio) e variabile dipendente t (il tempo).


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.

Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,

• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,

• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,

• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.

In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,

su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Grafico

DefinizioneL’insieme G(f ) = {(x,y) ∈ R2 : x ∈ A e y = f (x)} è detto grafico dellafunzione f : A→ R.Il grafico di una funzione fornisce una descrizione geometrica dellafunzione e ne visualizza le proprietà: in particolare nel caso di funzionereale di variabile reale qui considerato,• il grafico è un sottoinsieme del piano cartesiano,• il dominio è un sottoinsieme dell’asse delle ascisse,• l’immagine f (A) è un sottoinsieme dell’asse delle ordinate.In particolare il grafico è un sottoinsieme di punti del piano cartesiano taleche,su ogni retta parallela all’asse y passante per un punto (a,0) del dominio,c’è uno e un sol punto del grafico.


Il seguente grafico rappresenta una funzione:

Il seguente grafico non rappresenta una funzione:


Esempi

La funzione f : R→ R. f (x) =−1è una funzione costante che associa ad ogni numero reale il numero −1Il suo dominio è l’insieme dei numeri reali, la sua immagine è l’insieme{−1}


La funzione f : [−4,5)→ R f (x) = 1− xè una funzione con dominio [−4,5) e immagine f ([−4,5)) = (−4,5].

Si noti che il punto (−4,5) appartiene al grafico di f , mentre il punto(5,−4) non appartiene al grafico di f .


Funzione identità

La funzione f : R→ R cos̀ı definita f (x) = x è chiamata funzione identità,ha dominio e immagine l’insieme dei numeri reali R.


Funzione quadrato

La funzione f : R→ R con f (x) = x2 è una funzione con dominio R eimmagine f (R) = [0,+∞)


Funzione definita a pezzi

La funzione f : R→ R cos̀ı definita f (x) =

x2 se x

Funzione cubo

La funzione f : R→ R con f (x) = x3

è una funzione con dominio R e immagine f (R) = R.(Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 11 / 50

Funzioni iniettive

Una funzione f : A→ R è tale se ad ogni punto del dominio, corrispondeuno e un solo elemento nell’immagine,

ma dato un elemento dell’immagine può provenire tramite f da di più diun punto del dominio.Quando ogni elemento dell’immagine di f proviene da un solo elemento diA, la funzione f si dice iniettiva . Quindi

Definizionef : A→ R è iniettiva se ogni volta che

f (x1) = f (x2)allora x1 = x2


Funzioni iniettive

Una funzione f : A→ R è tale se ad ogni punto del dominio, corrispondeuno e un solo elemento nell’immagine,ma dato un elemento dell’immagine può provenire tramite f da di più diun punto del dominio.

Quando ogni elemento dell’immagine di f proviene da un solo elemento diA, la funzione f si dice iniettiva . Quindi




Funzioni iniettive

Una funzione f : A→ R è tale se ad ogni punto del dominio, corrispondeuno e un solo elemento nell’immagine,ma dato un elemento dell’immagine può provenire tramite f da di più diun punto del dominio.Quando ogni elemento dell’immagine di f proviene da un solo elemento diA, la funzione f si dice iniettiva . Quindi




Grafico di funzioni iniettive

Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà :

ogni retta orizzontale passante per un punto dell’immagine, interseca ilgrafico in un solo punto.Ad esempio la funzione f : R→ R : f (x) = x2 non è iniettiva, infattif (x) = 9 ha due soluzioni: x =−3 e x = 3



Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà :ogni retta orizzontale passante per un punto dell’immagine, interseca ilgrafico in un solo punto.

Ad esempio la funzione f : R→ R : f (x) = x2 non è iniettiva, infattif (x) = 9 ha due soluzioni: x =−3 e x = 3



Una funzione è iniettiva se il suo grafico gode della seguente proprietà :ogni retta orizzontale passante per un punto dell’immagine, interseca ilgrafico in un solo punto.Ad esempio la funzione f : R→ R : f (x) = x2 non è iniettiva, infattif (x) = 9 ha due soluzioni: x =−3 e x = 3


La funzione f : R→ R : f (x) = 2x−1 è iniettiva, infatti siaf (x1) = f (x2) cioè2x1−1 = 2x2−1implicax1 = x2


Anche la funzione f : R→ R : f (x) = x3 è iniettiva, infatti siaf (x1) = f (x2) cioè(x1)3 = (x2)3 implicax1 = x2.


Somma, prodotto, quoziente di funzioni reali

Sia f : A→ R e e g : B→ R due funzioni reali di variabili reale.

Definiamo somma il prodotto di f e g come segue:

f +g : A∩B→ R , (f +g)(x) = f (x)+g(x),

f .g : A∩B→ R , (f .g)(x) = f (x).g(x),

fg : A∩B\{x : g(x) = 0}→ R ,

fg(x) =

f (x)g(x)


Esempi

Siano f (x) = 3x+1 e g(x) = x2 .

f , g : R→ R

Allora f + g, f .g : R→ R efg : R\{0}→ R

(f +g)(x) = x2 +3x+1 ,

(f .g)(x) = (3x+1)x2 = 3x3 + x2

fg(x) =

3x+1x2


Esempi

Siano f (x) = 3x+1 e g(x) = x2 .

f , g : R→ R

Allora f + g, f .g : R→ R e

fg : R\{0}→ R

(f +g)(x) = x2 +3x+1 ,

(f .g)(x) = (3x+1)x2 = 3x3 + x2

fg(x) =

3x+1x2


Esempi

Siano f (x) = 3x+1 e g(x) = x2 .

f , g : R→ R

Allora f + g, f .g : R→ R efg : R\{0}→ R

(f +g)(x) = x2 +3x+1 ,

(f .g)(x) = (3x+1)x2 = 3x3 + x2

fg(x) =

3x+1x2


Composizione di funzioni

Consideriamo due funzioni f : X→ Y e g : Y→ Z.

Risulta naturale considerare la funzione h : X→ Z definita come:f seguita da g.


Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale.

Date due funzioni f : A→ R e g : B→ R.Se f (A)⊆ B, all’ elemento x in A si associal l’elemento t = f (x) di B e aquesto a un elemento si associa y = g(f (x)) di g(B). Ciò porta allaseguente

DefinizioneDate due funzioni f : A→ R e g : B→ R, con f (A)⊆ B,definiamo funzione composta : g◦ f la funzione g◦ f : A→ R che associaad x in A il valore g(f (x)).

Quindi:

(g◦ f )(x) = g(f (x)).


Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale.Date due funzioni f : A→ R e g : B→ R.

Se f (A)⊆ B, all’ elemento x in A si associal l’elemento t = f (x) di B e aquesto a un elemento si associa y = g(f (x)) di g(B). Ciò porta allaseguente


Quindi:

(g◦ f )(x) = g(f (x)).


Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale.Date due funzioni f : A→ R e g : B→ R.Se f (A)⊆ B, all’ elemento x in A si associal l’elemento t = f (x) di B e aquesto a un elemento si associa y = g(f (x)) di g(B). Ciò porta allaseguente


Quindi:

(g◦ f )(x) = g(f (x)).


Calcolo della funzione composta

Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valoredella funzione g◦ f in un punto x di A

prima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamentesi calcola il valore g(t) di g in t.Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x→ g(f (x)),operiamo:

x→ f (x)→ g(f (x)).



Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valoredella funzione g◦ f in un punto x di Aprima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamente

si calcola il valore g(t) di g in t.Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x→ g(f (x)),operiamo:

x→ f (x)→ g(f (x)).



Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valoredella funzione g◦ f in un punto x di Aprima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamentesi calcola il valore g(t) di g in t.

Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x→ g(f (x)),operiamo:

x→ f (x)→ g(f (x)).



Prima di esaminare qualche esempio, ribadiamo che per calcolare il valoredella funzione g◦ f in un punto x di Aprima si calcola il valore t = f (x) di f in x e successivamentesi calcola il valore g(t) di g in t.Operiamo cioè al seguente modo: per ottenere la legge x→ g(f (x)),operiamo:

x→ f (x)→ g(f (x)).


In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quandoapplichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell’ipotenusadi un triangolo rettangolo di cateti 1 e x.

Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1+ x2

cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato esomma il quadrato di 1(questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l’area del quadratosull’ipotenusa)mentre g(x) =

√x (cioè la funzione che prende un numero reale positivo o

nullo e ne fa la radice quadrata,ovvero all’area di un quadrato associa illato),La funzione composta, ossia la funzione che associa alla lunghezza delcateto la lunghezza dell’ipotenusa è data da

(g◦ f )(x) = g(1+ x2) =√

1+ x2


In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quandoapplichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell’ipotenusadi un triangolo rettangolo di cateti 1 e x.Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1+ x2

cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato esomma il quadrato di 1(questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l’area del quadratosull’ipotenusa)

mentre g(x) =√

x (cioè la funzione che prende un numero reale positivo onullo e ne fa la radice quadrata,ovvero all’area di un quadrato associa illato),La funzione composta, ossia la funzione che associa alla lunghezza delcateto la lunghezza dell’ipotenusa è data da

(g◦ f )(x) = g(1+ x2) =√

1+ x2


In un certo senso usiamo già la nozione di funzione composta quandoapplichiamo il teorema di Pitagora per dedurre la lunghezza dell’ipotenusadi un triangolo rettangolo di cateti 1 e x.Dapprima consideriamo la funzione f (x) = 1+ x2

cioè la funzione che prende un numero reale ne considera il quadrato esomma il quadrato di 1(questa funzione f associa alla lunghezza del cateto x l’area del quadratosull’ipotenusa)mentre g(x) =

√x (cioè la funzione che prende un numero reale positivo o

nullo e ne fa la radice quadrata,ovvero all’area di un quadrato associa illato),La funzione composta, ossia la funzione che associa alla lunghezza delcateto la lunghezza dell’ipotenusa è data da

(g◦ f )(x) = g(1+ x2) =√

1+ x2


Esempio

Consideriamo le funzioni: f (x) = 3x2 +6 e g(x) =−x+3

Calcoliamo (g◦ f )(−1), (f ◦g)(−1),(g◦ f )(x),(f ◦g)(x),(g◦g)(x)

Si ha f ,g : R→ R , f (R) = [6,+∞)⊆ B = R ,quindi g◦ f , f ◦g e g◦g sono definite su tutto R

f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio



Si ha f ,g : R→ R , f (R) = [6,+∞)⊆ B = R ,

quindi g◦ f , f ◦g e g◦g sono definite su tutto R



Esempio






Esempio




f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6

g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio




f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.

la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio




f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.la funzione composta g◦ f è definita da

(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio




f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3

(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio




f (−1) = 3(−1)2.+6 = 9 e g(9) =−9+3 =−6,pertanto (g◦ f )(−1) =−6g(−1) =−(−1)+3 = 4 e f (4) = 3(4)2 +6 = 54 pertanto (f ◦g)(−1) = 54.la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f ) (x) = g(3x2 +6) =−(3x2 +6)+3 =−3x2−3(f ◦g)(x) = f (−x+3) = 3(−x+3) 2 +6 = 3x2−18x+33

(g◦g)(x) = g(−x+3) =−(−x+3)+3 = x


Esempio






Si noti che g◦ f è diverso da f ◦g; questo significa che la composizioni difunzioni non è commutativa,

vale invece la proprietà associativa, ossia

h◦ (g◦ f ) = (h◦g)◦ f .


Si noti che g◦ f è diverso da f ◦g; questo significa che la composizioni difunzioni non è commutativa,vale invece la proprietà associativa, ossia

h◦ (g◦ f ) = (h◦g)◦ f .


Dominio per la composizione di funzioni

Consideriamo le due funzioni f (x) = 2− x2 e g(x) =√

x. Possiamo semprefare (g◦ f )(x)?

E se lo possiamo fare, qual’è il dominio di questa funzione composta?La funzione f è ha R come dominio.La funzione composta è data da(g◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(2− x2) =

√2− x2

e quindi per poterla calcolare devo assicurarmi che l’argomento della radicesia maggiore o uguale a zero. Quindi dobbiamo prendere in considerazionesolamente l’insieme: {x ∈ R : 2− x2 ≥ 0}= [−

√2,√

2].In sostanza, nonostante f abbia R come dominio, il fatto che poi si debbaapplicare la funzione g (il cui dominio è più piccolo dell’immagine di f )obbliga a restringere il dominio di f per potere applicare la funzione g.In conclusione,il dominio della funzione composta g◦ f è

dom( g◦ f ) = {x ∈ dom f : f (x) ∈ dom g}




x. Possiamo semprefare (g◦ f )(x)?E se lo possiamo fare, qual’è il dominio di questa funzione composta?

La funzione f è ha R come dominio.La funzione composta è data da(g◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(2− x2) =

√2− x2


√2,√






x. Possiamo semprefare (g◦ f )(x)?E se lo possiamo fare, qual’è il dominio di questa funzione composta?La funzione f è ha R come dominio.

La funzione composta è data da(g◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(2− x2) =

√2− x2


√2,√






x. Possiamo semprefare (g◦ f )(x)?E se lo possiamo fare, qual’è il dominio di questa funzione composta?La funzione f è ha R come dominio.La funzione composta è data da(g◦ f ) (x) = g(f (x)) = g(2− x2) =

√2− x2


√2,√

2].

In sostanza, nonostante f abbia R come dominio, il fatto che poi si debbaapplicare la funzione g (il cui dominio è più piccolo dell’immagine di f )obbliga a restringere il dominio di f per potere applicare la funzione g.In conclusione,il dominio della funzione composta g◦ f è






√2− x2


√2,√

2].In sostanza, nonostante f abbia R come dominio, il fatto che poi si debbaapplicare la funzione g (il cui dominio è più piccolo dell’immagine di f )obbliga a restringere il dominio di f per potere applicare la funzione g.

In conclusione,il dominio della funzione composta g◦ f è






√2− x2


√2,√




Esempio

Consideriamo le funzioni: f (x) =√

x, definita in A = [0,+∞) eg(x) =−|x|−1,definita in tutto R.

f (A) = [0,+∞)⊂ R e la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f )(x) = g(

√x) =−|

√x|−1 =−

√x−1.

D’altra parte la funzione f ◦g non esiste per nessun valore reale di x,poiché l’immagine di g è (−∞,−1] e non ha nessun punto in comune conil dominio [0,+∞)di f .


Esempio

Consideriamo le funzioni: f (x) =√

x, definita in A = [0,+∞) eg(x) =−|x|−1,definita in tutto R.f (A) = [0,+∞)⊂ R e la funzione composta g◦ f è definita da(g◦ f )(x) = g(

√x) =−|

√x|−1 =−

√x−1.

D’altra parte la funzione f ◦g non esiste per nessun valore reale di x,poiché l’immagine di g è (−∞,−1] e non ha nessun punto in comune conil dominio [0,+∞)di f .


Gli esempi che seguono mostrano come individuare le funzioni componentidi una funzione composta.In qualche caso c’è un solo modo di scomporre una funzione, in altri no.Se si scompone una funzione per poter fare su di essa “dei conti” (adesempio, ricerca dell’insieme di definizione o, come vedremo negliargomenti successivi, calcolo di limiti o derivate) si favoriscono lescomposizioni più semplici.In qualche caso invece una scomposizione apparentemente più complicatapuò aiutare a vedere meglio particolari proprietà o evidenziare unaparticolare costruzione.


Esempi

La funzione F(x) =√

x−1 si può descrivere solo come segue:

“prendi un qualunque numero reale x≥ 1: ad esso sottrai 1; poi calcola laradice quadrata del risultato”. In simboli:

x(−)−1−−−−→ x−1

√−→√

x−1e quindi si può vedere come la funzione composta (g◦ f )(x) = g(f (x)) conf (x) = x−1, g(t) =

√t.


Esempi

La funzione F(x) =√

x−1 si può descrivere solo come segue:“prendi un qualunque numero reale x≥ 1: ad esso sottrai 1; poi calcola laradice quadrata del risultato”. In simboli:

x(−)−1−−−−→ x−1

√−→√

x−1e quindi si può vedere come la funzione composta (g◦ f )(x) = g(f (x)) conf (x) = x−1, g(t) =

√t.


La funzione F(x) = 3(x−2)+1,che si può leggere come: “al triplo delladifferenza tra x e 2 aggiungi 1”, è ottenuta attraverso i seguenti 3 passaggi:

x(−)−2−−−−→ x−2

3(−)−−→ 3(x−2)

(−)+1−−−−→ 3(x−2)+1

e quindi è la funzione composta(h◦g◦ f )(x) = h(g(f (x))) con f (x) = x−2, g(t) = 3t, h(z) = z+1.

Ma la stessa funzione si riscrive F(x) = 3x−5 e si può dunque ottenerefacendo solo i seguenti due passaggi:

x3(−)−−→ 3x

(−)−→−5

3x−5e quindi si può vedere come la funzione composta (g◦ f )(x) = g(f (x)) conf (x) = 3x,g(t) = t−5.


FUNZIONI SIMMETRICHE

Sia A⊆ R simmetrico rispetto all’origine: questo significa che se

x ∈ A, allora −x ∈ A

DefinizioneUna funzione f : A→ R si dice pari se:

f (−x) = f (x), per ogni x ∈ A.

Una funzione f : A→ R si dice dispari se

f (−x) =−f (x), per ogni x ∈ A.


Grafici di funzioni simmetriche

Una funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.Ad esempio le funzioni f (x) = x2,x4, . . . ,x2k definite su R, sono pari.

Una funzione dispari ha il grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.Ad esempio le funzioni f (x) = x3x5, . . . ,x2k+1 definite su R, sono dispari.


Grafici di funzioni simmetricheUna funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Ad esempio le funzioni f (x) = x2,x4, . . . ,x2k definite su R, sono pari.



Grafici di funzioni simmetricheUna funzione pari ha il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.Ad esempio le funzioni f (x) = x2,x4, . . . ,x2k definite su R, sono pari.




Una funzione dispari ha il grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

Ad esempio le funzioni f (x) = x3x5, . . . ,x2k+1 definite su R, sono dispari.


grafici di funzioni per simmetria

Considerata la funzione g(x) =−x,e data una funzione f : A→ R, sipossono considerare le composizioni:

g◦ f : A→ R f ◦g :−A→ R

.dove −A = {−x : x ∈ A}

Si avrà

(g◦ f )(x) = g(f (x)) =−f (x) (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (−x)

Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f .Il grafico di −f (x) è il simmetrico al grafico di f rispetto all’asse delleascisse.Il grafico di f (−x) è il simmetrico del grafico di f rispetto all’asse delleordinate.




g◦ f : A→ R f ◦g :−A→ R

.dove −A = {−x : x ∈ A}Si avrà






g◦ f : A→ R f ◦g :−A→ R



Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f .

Il grafico di −f (x) è il simmetrico al grafico di f rispetto all’asse delleascisse.Il grafico di f (−x) è il simmetrico del grafico di f rispetto all’asse delleordinate.




g◦ f : A→ R f ◦g :−A→ R



Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f .Il grafico di −f (x) è il simmetrico al grafico di f rispetto all’asse delleascisse.

Il grafico di f (−x) è il simmetrico del grafico di f rispetto all’asse delleordinate.




g◦ f : A→ R f ◦g :−A→ R





Esempof1(x) = 2+ x e f2(x) =

√x (rosso) allora

−f1(x) =−2− x e −f2(x) =−√

x (verde)mentre f1(−x) = 2− x e f2(−x) =

√−x (bleu)


grafici di funzioni per translazioni

Considerata la funzione g(x) = x+ c, data una funzione f : A→ R, sipossono considerare le composizioni:

g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}

Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di fIl grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.




g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre

(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di fIl grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.




g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)

Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di fIl grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.




g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f

Il grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.




g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di fIl grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.

Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.




g◦ f : A→ R f ◦g : A′→ R

dove A′ = {y : y+ c ∈ A}= {x− c : x ∈ A}Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x)+ c, mentre(f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (x+ c)Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di fIl grafico di f (x)+ c è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ordinate di c.Il grafico di f (x+ c) è il il grafico di f translato nella direzione dell’assedelle ascisse di −c.


Per esempio,sia e f (x) =√

x (rosso) e c1 = 2, c1 =−3 alloraf(x)+2 =

√x+2 e f(x)−3 =

√x−3 (bleu)

mentre f(x+2) =√

x+2 e f(x−3) =√

x−3 (verde)


Grafici di funzioni con valore assolutoConsiderata la funzione g(x) = |x| , e una funzione f : A→ R, si possonoconsiderare le composizioni:

g◦ f : A→ R f ◦g : A∪−A→ R

.

Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = |f (x)| , mentre (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (|x|)

Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f

|f (x)| ={

f (x) se f (x)≥ 0−f (x) se f (x)< 0

Il grafico di |f (x)| si ottiene dunque lasciando invariato il grafico di f che sitrova nel primo e secondo quadrante, perchè in questo caso, essendof (x)≥ 0 |f (x)|= f (x).Quindi, per i punti in cui il grafico di f si trova nel terzo e quartoquadrante, si ha f (x)≤ 0 e |f (x)|=−f (x) pertanto si sostituisce il graficodi f in questi quadranti con il suo simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.


Grafici di funzioni con valore assolutoConsiderata la funzione g(x) = |x| , e una funzione f : A→ R, si possonoconsiderare le composizioni:

g◦ f : A→ R f ◦g : A∪−A→ R

.Si avrà che (g◦ f )(x) = g(f (x)) = |f (x)| , mentre (f ◦g)(x) = f (g(x)) = f (|x|)

Costruiamo i due grafici supponendo di conoscere il grafico di f

|f (x)| ={

f (x) se f (x)≥ 0−f (x) se f (x)< 0

Il grafico di |f (x)| si ottiene dunque lasciando invariato il grafico di f che sitrova nel primo e secondo quadrante, perchè in questo caso, essendof (x)≥ 0 |f (x)|= f (x).Quindi, per i punti in cui il grafico di f si trova nel terzo e quartoquadrante, si ha f (x)≤ 0 e |f (x)|=−f (x) pertanto si sostituisce il graficodi f in questi quadranti con il suo simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.


Il grafico di f (|x|) è il simmetrico all’asse delle ordinate essendo f (|x|) unafunzione pari.

f (|x|) ={

f (x) se x≥ 0f (−x) se x < 0

Quindi per ottenere il grafico di f (|x|) si lascia invariato il grafico di f perx≥ 0 e si simmetrizza questo grafico rispetto all’asse delle ordinate perx < 0.


Per esempio siano f (x) =−x2 + x+2 = (1+ x)(2− x) (rosso ) allora

|f (x)| ={−x2 + x+2 se −1≤ x≤ 2x2− x−2 se x 2 (bleu)

mentre f (|x|) ={−x2 + x+2 se x≥ 0−x2− x+2 se x < 0 (verde)


FUNZIONI PERIODICHEUna funzione f : A→ R si dice periodica se esiste T ∈ R tale chef (x) = f (x+T),per ogni x ∈ A

Il più piccolo numero reale positivo per cui è valida la relazione precedenteè detto periodo di f .

Ad esempio le funzionif (x) = sinx; f (x) = cosx e f (x) = tanx = sinxcosx sono periodiche.


Il periodo di f (x) = sinx (blu) e f (x) = cosx (rosso) è 2π

Il periodo di f (x) = tanx è π


FUNZIONE INVERSA

Sia f : A→ R una funzione iniettiva, allora per ogni elemento y di f (A)c’è un solo x in A tale che risulti y = f (x)Si può definire allora una funzione g : f (A)→ A⊆ Rponendo, per ogni y di f (A),g(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.

La funzione cos̀ı definita è tale che per ogni x ∈ A si ha g(f (x)) = x e perogni y ∈ f (A) si ha f (g(y)) = y: per questo di solito si indica con f−1.

DefinizioneSia f : A→ R una funzione iniettiva. La funzione f−1 : f (A)→ R definitaponendo per ogni y ∈ f (A)

f−1(y) = x⇐⇒ f (x) = y

si chiama funzione inversa di f .


FUNZIONE INVERSA

Sia f : A→ R una funzione iniettiva, allora per ogni elemento y di f (A)c’è un solo x in A tale che risulti y = f (x)Si può definire allora una funzione g : f (A)→ A⊆ Rponendo, per ogni y di f (A),g(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.La funzione cos̀ı definita è tale che per ogni x ∈ A si ha g(f (x)) = x e perogni y ∈ f (A) si ha f (g(y)) = y: per questo di solito si indica con f−1.

DefinizioneSia f : A→ R una funzione iniettiva. La funzione f−1 : f (A)→ R definitaponendo per ogni y ∈ f (A)

f−1(y) = x⇐⇒ f (x) = y

si chiama funzione inversa di f .


Si ha quindi che, per ogni x ∈ A:x

f−→ f (x)

f−1−→ f−1(f (x)) = x

e per ogni y ∈ f (A) si hay

f−1−→ f−1(y)

f−→ f (f−1(y)) = y

Non sempre, anche se esiste, si può ricavare esplicitamente la funzioneinversa.Nel caso dell’ esempio che segue è possibile: basta scrivere f (x) = yrisolvere questa come un’equazione in x cioè“ricavare la x in funzione di y”.


Esempio

Si consideri la funzione f : R→ R f (x) = 2x+3.

f è iniettiva.

Quindi poniamo y = 2x+3, ; otteniamo x = 12 y−32 .

Pertantof−1(y) = 12 y−

32 .

verifichiamo che la funzione trovata è effettivamente l’inversa di f

f−1(f (x)) = f−1(2x+3) = 12(2x+3)−32 = x+

32 −

32 = x

f (f−1(y)) = f (12 y−32) = 2(

12 y−

32)+3 = y−3+3 = y


Esempio

Si consideri la funzione f : R→ R f (x) = 2x+3.f è iniettiva.

Quindi poniamo y = 2x+3, ; otteniamo x = 12 y−32 .

Pertantof−1(y) = 12 y−

32 .

verifichiamo che la funzione trovata è effettivamente l’inversa di f

f−1(f (x)) = f−1(2x+3) = 12(2x+3)−32 = x+

32 −

32 = x

f (f−1(y)) = f (12 y−32) = 2(

12 y−

32)+3 = y−3+3 = y


Anche la funzione f (x) = x3 è iniettiva e la sua immagine è R

La sua funzione inversa si chiama radice cubica e si indica f−1(y) = 3√

y

Si ha quindi3√

x3 = x, mentre ( 3√

y)3 = y o ricordando che le variabili di unafunzione sono mute ( 3

√x)3 = x.

A questo proposito si osservi che la variabile della funzione inversa e anchedi quella diretta può essere espressa da qualunque lettera,dunque la funzione inversa dell’esempio precedente può essere scritta comef−1(x) = 12 x−

32 , mentre la funzione inversa di f (x) = x

3può essere scrittaf−1(x) = 3

√x


Abbiamo già visto che f (x) = x2 non è iniettiva se si prende come dominiotutto R.

Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+∞): (verificarlo sul grafico)

Quindi : f (x) = x2 considerando f : [0,+∞)→ R è iniettiva e la suaimmagine è di nuovo [0,+∞),( f : [0,+∞)→ [0,+∞))

In questo caso f−1(y) =√

y. f : [0,+∞)→ [0,+∞)

Si può fare lo stesso ragionamento anche se x≤ 0: ma in questo caso lasoluzione è f−1(y) =−√y, quindi l’inversa della funzionef (x) = x2 f : (−∞,0]→ Rè f−1(y) =−√y.


Abbiamo già visto che f (x) = x2 non è iniettiva se si prende come dominiotutto R.Lo diventa però se si restringe il dominio a [0,+∞): (verificarlo sul grafico)

Quindi : f (x) = x2 considerando f : [0,+∞)→ R è iniettiva e la suaimmagine è di nuovo [0,+∞),( f : [0,+∞)→ [0,+∞))

In questo caso f−1(y) =√

y. f : [0,+∞)→ [0,+∞)

Si può fare lo stesso ragionamento anche se x≤ 0: ma in questo caso lasoluzione è f−1(y) =−√y, quindi l’inversa della funzionef (x) = x2 f : (−∞,0]→ Rè f−1(y) =−√y.


Grafico delle funzioni inverse

Per quanto riguarda il grafico della funzione f−1, osserviamo che un puntoP = (t,s) appartiene al grafico di f−1 se e solo se s = f−1(t);

questo è equivalente ad affermare che f (s) = tcioè P0 = (s, t) appartiene al grafico di f .

P = (t,s) ∈ G(f−1)⇔ P0 = (s, t) ∈ G(f ),

ciò significa che ogni punto P del grafico di f−1 si ottiene da un punto P0del grafico di f scambiando le coordinate.

Scambiare le coordinate di un punto nel piano equivale ad operare unasimmetria rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante.

Di conseguenza il grafico di f−1 è simmetrico del grafico di f rispetto allabisettrice del primo-terzo quadrante.


Grafico delle funzioni inverse

Per quanto riguarda il grafico della funzione f−1, osserviamo che un puntoP = (t,s) appartiene al grafico di f−1 se e solo se s = f−1(t);questo è equivalente ad affermare che f (s) = tcioè P0 = (s, t) appartiene al grafico di f .

P = (t,s) ∈ G(f−1)⇔ P0 = (s, t) ∈ G(f ),

ciò significa che ogni punto P del grafico di f−1 si ottiene da un punto P0del grafico di f scambiando le coordinate.

Scambiare le coordinate di un punto nel piano equivale ad operare unasimmetria rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante.

Di conseguenza il grafico di f−1 è simmetrico del grafico di f rispetto allabisettrice del primo-terzo quadrante.


L’idea è illustrata in ciascuna delle due figure sottostanti accostando igrafici di f (rossa) e di f−1 (verde). In particolare nella prima figura sonorappresentati i grafici di f (x) = 2x+3 e di f−1(x) = 12 x−

32 .


Disegniamo anche i grafici di delle potenze e delle radici sopra illustratef : [0,+∞)→ [0,+∞) f (x) = x2 (rossa) e f−1(x) =

√x (verde)


f : (−∞,0]→ [0,+∞) f (x) = x2 (rossa) e f−1(x) =−√

x (verde)


f (x) = x3 (rossa) e f−1(x) = 3√

x(verde)f : R→ R e f−1 : R→ R


Funzioni reali di variabile reale - unibo.itcagliari/agraria/teoria/funzioni.pdf · 2010. 10....

Documents

Transcript of Funzioni reali di variabile reale - unibo.itcagliari/agraria/teoria/funzioni.pdf · 2010. 10....