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Corso introduttivo pluridisciplinarePolinomi

anno acc. 2013/2014

Univ. degli Studi di Milano

Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 25

Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali

index

1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali

2 Divisione di polinomi

3 Riducibilità, fattorizzazione

4 Radici o zeri di un polinomio

5 Criteri di irriducibilità

6 Osservazioni



All’interno del tema "Calcolo letterale, polinomi, . . . " il capitolo su cuiconcentrare la propria attenzione deve sicuramente essere quello dei polinomiin una variabile a coefficienti in Q o in R (U.M.I. - Matematica 2003 - Abilitàe conoscenze matematiche per la Scuola Secondaria di secondo grado).

Breve revisione teorica delle nozioni base dell’argomento (spesso i libri ditesto sono carenti da questo punto di vista). Finalità:

scegliere la modalità giusta per introdurre l’argomento in funzione deltipo di scuola e classe,aver sempre presente che lo studio dell’algebra deve avere una finalitàformativa,evitare di trasmettere l’impressione che l’algebra si riduca a una serie diregole, o, peggio, trucchetti.



Definizione

Un polinomio in una indeterminata a coefficienti nel campo K èun’espressione della forma

p(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn

(che si scrive anche come p(x) = a0x + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn) ove n è unintero non negativo, a0, a1, · · · , an ∈ K e x è un simbolo puramente formale(le espressioni xi servono solo da "segnaposti").

Quando non diversamente specificato supporremo K = Q.

Due polinomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn eq(x) = b0 + b1x + b2x2 + · · ·+ bmxm si dicono uguali se (supponendo m ≤ n)si ha a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, · · · , am = bm e ai = 0,∀i > m.

Ad esempio quindi 0 + 1x + 3x2 = 0 + 1x + 3x2 + 0x3.



L’insieme dei polinomi a coefficienti in K viene denotato con K[x].

K viene visto come sottoinsieme di K[x] tramite l’identificazione di a ∈ Kcon il polinomio

Nel polinomio p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn, il massimo dei k(≤ n)tali che ak 6= 0 viene detto grado di p(x) e denotato con deg(p(x)).

Il polinomio 0 + 0x + 0x2 + · · ·+ 0xn viene detto polinomio nullo, denotatocon 0, e per convenzione si dice abbia grado −1.



Si definiscono la somma e il prodotto di due polinomip(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn e q(x) = b0 + b1x + b2x2 + · · ·+ bmxm,con m ≤ n, come seguep(x) + q(x) =(a0+b0)+(a1+b1)x+(a2+b2)x2+· · ·+(am+bm)xm+am+1xm+1+· · ·+anxn.

p(x)q(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + · · ·+∑i+j=h aibjxh + · · · anbmxn+m.

Con queste operazioni K[x] risulta essere un anello commutativo, privo didivisori dello zero.



Altre definizioni possibili

1) Polinomi come sequenze dei coefficienti

2) Polinomi come funzioni polinomiali

1) Si possono definire i polinomi senza far ricorso alla x. Un polinomio èallora una successione infinita di elementi di K

(a0, a1, a2, · · · , an, 0, 0, · · · , 0),in cui tutti gli elementi, da un certo posto in poi, sono nulli. Questadefinizione è del tutto equivamente a quella precedente. Ha il vantaggiodi rendere più chiaro il fatto che le xi hanno solo significato simbolico. Èmeno comoda dal punto di vista operativo e non mette in luce il legametra polinomio e funzione polinomiale (v. sotto)

2) Un polinomio individua una funzione (funzione polinomiale)p : K→ K. In generale però il polinomio non può essere identificato conla funzione polinomiale associata.



Ad esempio, nel caso K = Z2, classi di resti modulo 2, i polinomip(x) = x + 1 e q(x) = x3 + 1 sono diversi, eppure p e q, come funzioniZ2 → Z2, sono la stessa funzione.

Lo stesso esempio mostra anche che, se si fa riferimento solo alla nozione dipolinomio come funzione polinomiale, non si può parlare di grado di unpolinomio.

Nel caso di campi infiniti però due polinomi sono distinti se e solo se lo sonole rispettive funzioni polinomiali.

La nozione di funzione polinomiale si presta meglio ad introdurre il concettodi zero o radice di un polinomio.


Divisione di polinomi

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6 Osservazioni



Nell’anello K[x] si sviluppa una teoria per molti aspetti parallela a quelladell’anello Z degli interi (la nozione di grado permette di svolgere argomentiper induzione, analoghi a quelli con cui si dimostrano i teoremi per gli interi:ad es. teoremi di fattorizzazione unica, . . . ).

Algoritmo della divisione per polinomi - Siano a(x), b(x) ∈ K[x], conb(x) 6= 0. Allora esistono e sono univocamente determinati due polinomiq(x), r(x) ∈ K[x] tali che sia:

1 a(x) = b(x)q(x) + r(x);2 il grado di r(x) sia minore di quello di b(x).

q(x) e r(x) si dicono quoziente e resto della divisione di a(x) per b(x). Ser(x) = 0, si dice che a(x) è divisibile per b(x)., o che b(x) divide a(x).



Sempre in analogia con il caso degli interi, si può introdurre la nozione dimassimo comun divisore.

Un massimo comun divisore tra a(x) e b(x) è un qualsiasi polinomiod(x) ∈ K[x] tale che

1 d(x) divide a(x) e b(x)2 se c(x) ∈ K[x] divide sia a(x) che b(x), allora divide anche d(x).

Il massimo comun divisore è determinato a meno di una costantemoltiplicativa non nulla, e può essere trovato (come per gli interi) conl’algoritmo euclideo delle divisioni successive.

Un massimo comun divisore in Q[x] tra a(x) = 12x− 12x2 e b(x) = 6x2 ètanto 6x quanto x, o quanto 2

5 x.


Riducibilità, fattorizzazione

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6 Osservazioni



Un polinomio a(x) di grado > 0 si dice riducibile (in K[x]) se esistono duepolinomi f (x), g(x) ∈ K[x] di grado positivo tali che sia a(x) = f (x)g(x);irriducibile in caso contrario.

Il polinomio 25 + 25x2 è irriducibile in R[x].

La nozione di riducibilità / irriducibilità si introduce solo per polinomi digrado positivo.

La nozione di riducibilità dipende strettamente dal campo K in cui siprendono i coefficienti.

x2 − 2 è irriducibile in Q[x], ma riducibile in R[x].



Come nel caso degli interi si ha un teorema di fattorizzazione essenzialmenteunica.

Teorema - Ogni polinomio a(x) ∈ K[x] di grado n > 0 può essere scrittocome prodotto di s ≥ 1 polinomi irriducibili (non necessariamente distinti).Inoltre se

a(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x) = q1(x)q2(x) · · · qt(x)

con pi(x), qj(x) polinomi irriducubili, allora s = t e si possono ordinare ifattori in modo che sia pi(x) = hiq(x), con hi ∈ K, ∀i.

Il termine più appropriato da usare è fattorizzare, non scomporre.

Una fattorizzazione di 12x + 12x3 in Q[x] è (12x)(1 + x2) o anche,equivalentemente x(12 + 12x2), oppure (6

7 x)(14 + 14x2).


Radici o zeri di un polinomio

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6 Osservazioni


Radici o zeri di un polinomio

Una radice o zero di a(x) ∈ K[x] è un elemento k ∈ K tale che, per lafunzione polinomiale a : K→ K si abbia a(k) = 0.

Teorema (di Ruffini) - Sia a(x) ∈ K[x] e k ∈ K. k è una radice di a(x) se esolo se il polinomio x− k divide a(x).

La regola di Ruffini è poco significativa: quello che conta è il teorema diRuffini! (evitare di sottolineare eccessivamente la regola di Ruffini:Matematica 2003, l’U.M.I.)


Criteri di irriducibilità

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6 Osservazioni



Teorema fondamentale dell’Algebra - Ogni polinomio in C[x] di grado ≥ 1ha almeno una radice in C.

Conseguenza: Un polinomio di grado n in C[x] è prodotto di n fattori lineari.

Gli unici polinomi irriducibili in C[x] sono quelli di primo grado.

Osservazione: Un polinomio p ∈ R[x] è anche un polinomio di C[x].Se α è una radice complessa di p ∈ R[x] allora anche il numero α complessoconiugato di α è radice di p.

Conseguenza: Un polinomio p ∈ R[x] di grado dispari ha almeno una radicein R.

I polinomi irriducibili in R[x] hanno grado ≤ 2.



L’anello degli interi Z non è un campo. Alcune delle proprietà viste sopraNON valgono per polinomi di Z[x] (in particolare non sempre si puòeffettuare la divisione).

Ad ogni polinomio di Q[x] è possibile associare un polinomio di Z[x],moltiplicando tutti i coefficienti per il m.c.m. dei denominatori dei suoicoefficienti (in realtà, il polinomio così definito non è unico).

Se p(x) = a0x0 + a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn è un polinomio a coefficienti interi(con an 6= 0) e a

b ∈ Q è radice di p(x) (con a, b primi tra loro), allora a dividea0 e b divide an.



ESEMPILa fattorizzazione in irriducibili di p(x) = 10x4 − 7x2 + 1

in Q[x] è (2x2 − 1)(5x2 − 1)

in R[x] è (√

2x− 1)(√

2x + 1)(√

5x− 1)(√

5x + 1)in Z3[x] è (x2 + 1)2

in Z7[z] è 2(5x2 − 1)(x− 2)(x− 5)


Osservazioni

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6 Osservazioni


Osservazioni

Relativamente all’approccio didattico:

dichiarare esplicitamente gli insiemi numerici in cui vivono le costanti e lavariabile (non sempre nei testi è così):

nel caso di polinomi a coefficienti letterali spiegare la differenza tra le lettereusate come coefficienti e l’indeterminata;

suggerire strumenti che aiutino gli studenti ad avere un controllo sulla materia(verifiche di corenza, ad esempio, controllare man mano grado, terminidirettori, termini noti, radici, . . . );

evitare esercizi ripetitivi;


Osservazioni

pretendere la verbalizzazione (giustificare i passaggi, esplicitare iragionamenti, . . . );

fare attenzione a non trasmettere l’impressione che l’algebra sia unacollezione di trucchetti e artifici (come già detto per i polinomi di unavariabile);

evitare di presentare gli esercizi di manipolazione (ad esempio i metodi difattorizzazione) attraverso ricette da applicare;

privilegiare sempre gli aspetti teorici della disciplina.


Osservazioni

Polinomi: caso di più variabili

Anche in questo caso, ricordare che l’oggetto matematico significativo è ilpolinomio (non il monomio!)

Anche in questo caso, sono possibili diverse definizioni (non sempre tra loroequivalenti).

Ci si può limitare a trattare qualche esempio.

Ottima palestra e fonte di esempi: polinomi di secondo grado in due variabilia coefficienti reali (coniche).

Necessità di dichiarare esplicitamente quali lettere rappresentano leindeterminate.

Chiarire la differenza tra grado complessivo e grado in una variabile.


Osservazioni

Aver presente che il concetto di polinomio è fondamentale per tutto ilpercorso scolastico:

strutture algebrichefunzioni razionaliequazioni algebricheconiche e polinomi di secondo grado in due variabilicurve algebricheconcetto di retta tangentemolteplicità di intersezionepolinomi di Taylorintegrazione di funzioni razionali


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