Variabile statistica e variabile casuale

Le variabili casualiLe variabili casualiUniversità di Macerata – Dipartimento di Scienze Politiche, della Comunicazione e delle Relaz. Internazionali

Cristina DavinoCristina Davinoa.a.a.a. 20142014--20152015

Una variabile casuale è una variabile che assume

Le variabili casuali

Una variabile casuale è una variabile che assumedeterminati valori con determinate probabilità;

Ad una variabile casuale è associata una regola cheassegna a ciascun valore che la variabile può assumere lacorrispondente probabilitào po d p obab à

Esempio: lancio di 3 monete; v.c.X= numero di teste uscite

X P(X) X P(X)

P(X)TTT 3 ⅛TTC 2 ⅛TCT 2 ⅛

0 ⅛1 ⅜2 ⅜

0 1 2 3 X

TCT 2 ⅛CTT 2 ⅛TCC 1 ⅛CTC 1 ⅛

2 ⅜3 ⅛

CTC 1 ⅛CCT 1 ⅛CCC 0 ⅛



• Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati

Variabile statistica e variabile casuale

• Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati,

cioè viene definita empiricamente una volta conosciuti i dati ed averli classificati.

• Variabile casuale (X): assume valori nello spazio dei numeri

reali secondo una funzione di probabilità P(X)

Il concetto di variabile casuale è strettamente legato a quello dig qesperimento, a quello, cioè, di una prova il cui risultato è incerto.

E’ diverso dunque dal concetto di variabile definita su una popolazioneE diverso, dunque, dal concetto di variabile definita su una popolazione,di cui io posso conoscere o meno il valore che questa assume sullesingole unità, ma rispetto alla quale non c’è nulla di incerto.



Distribuzione di probabilità della v.c X:

ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità

f P XX P(X)

0 ⅛

f x P X x

v.c. 0 ⅛

1 ⅜

2 ⅜

discreta

2 ⅜

3 ⅛

Assumono un numero finito di valori x1, x2, …, xn, con probabilità p p pcon probabilità p1, p2, …, pn



Distribuzione di probabilità della v.c X:

ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità

f P XX P(X)

0 ⅛

X P(X)

TTT… 50 ?

f x P X x

v.c. 0 ⅛

1 ⅜

2 ⅜

TTC… 49 ?

TCT… .. ?

CTT… .. ?

discreta

2 ⅜

3 ⅛

CTT… .. ?

TCC… .. ?

CTC… .. ?

CCT… 1 ?

CCC… 0 ?

Esistono delle formule algebriche che consentono di calcolare, per ciascun valore di una variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi



Le variabili casuali discreteAssumono un numero finito di valori x1, x2, …, xn,

con probabilità p1, p2, …, pn

Nel caso discreto, la funzione f(x) definisce la funzione di probabilità della v.c. Xh t ll f i h i d d i ibili l i lche rappresenta quella funzione che associa ad ognuno dei possibili valori xi la

corrispondente probabilità: ii xXPxf

Esempio: Lancio di tre monete v.c. X Numero di teste uscite

1 1 1 1 0 0f x P X P C C C 1 1 1 12 2 2 8

1 1f x P X P T C C C T C C C T 38

8 2 2f x P X P T T C T C T C T T

38

3f P X P T T T 1 1 1 1 3 3f x P X P T T T 1 1 1 12 2 2 8



L i bili li di tLe variabili casuali discreteEsempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite

0 0f x P X 18

1f P X 3

f(x)

1 1f x P X 38

2 2f x P X 3 2

8

3 3f x P X 18

0 1 2 3 X(numero8 (numerodi teste)

à

0f x 1if x 1 2

. La funzione di probabilità f(x) di tipo discreto soddisfa le condizioni:

0if x ii1. 2.



Le variabili casuali discreteIn molti casi, può essere necessario trovare la probabilità che la v.c. X assumaun valore inferiore o uguale ad un dato valore x Tale probabilità viene definitaun valore inferiore o uguale ad un dato valore xk. Tale probabilità viene definitaprobabilità cumulata ed è descritta dalla funzione di ripartizione, che vieneindicata con F(xk).

Quindi se x x x sono i valori possibili di X ordinati in senso crescente laQuindi, se x1, x2, …, xn sono i valori possibili di X ordinati in senso crescente, laprobabilità cumulata sarà: 1 2k kF x f x f x f x

Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite

1 F 1 0 0f x P X

18

1 1f x P X 38

0F x 18

1 38 8

1F x

F(x)

8 2 2f x P X 3

8

3f 1

8 81 3 38 8 8

1

2F x0 1 2 3 X 3 3f x P X 1

8 1 3 3 1

8 8 8 8 3F x

0 1 2 3 X(numerodi teste)



Le variabili casuali continue

Una variabile casuale continua è una v c che può assumere unUna variabile casuale continua è una v.c. che può assumere unnumero infinito di valori compresi in un intervallo di ampiezza finita oinfinita.

A differenza di quanto accade nel caso discreto, non è possibileottenere la probabilità che la variabile assuma un qualsiasi valoreinterno all’intervallo sommando le probabilità dei singoli punti che locompongono, in quanto i punti sono infiniti e una somma infinita divalori finiti non può dare l’unitàvalori finiti non può dare l unità.

Il c.d. paradosso della continuità viene risolto ricorrendo al concetto diarea, assegnando probabilità a singoli intervalli piuttosto che a singolipunti e rappresentando le probabilità come delle aree su degliintervalli.intervalli.



L i bili li tiLe variabili casuali continue

Una variabile casuale X è, allora, continua se esiste una funzione f(x)Una variabile casuale X è, allora, continua se esiste una funzione f(x)tale che:

b

aP a X b f x dx

F n ione di densità di probabilità la f n ione matematica f( ) per c i

dove a e b sono numeri reali qualsiasi, con a<b.

Funzione di densità di probabilità: la funzione matematica f(x) per cui l’area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è uguale alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo



Le variabili casuali continueProprietà della funzione di densità di probabilità (f d p ):Proprietà della funzione di densità di probabilità (f.d.p.):

1) f(X=x)=0(la probabilità di ottenere esattamente il risultato x è generalmente

nulla anche se l’evento x non è strettamente impossibile)

2) f(x)0

3) 1

dxxf

(l’area sottesa alla funzione è uguale a 1)

1

dxxf



Le variabili casuali continue

F i di i ti iFunzione di ripartizione:

x

F P X f d F x P X x f x dx



L i bili liLe variabili casuali

n

X PXE ii xxValore atteso di una v c discreta: i

X PXE1

ii xxValore atteso di una v.c discreta:

n

ii xx1i

2X

2X PVarianza di una v.c discreta:

Valore atteso di una v.c continua: X E X x f x dx

Varianza di una v c continua: 22X Xx f x dx

Varianza di una v.c continua: X Xx f x dx



EsempioU i i i i i i lt ti A B C b bilitàUn amico ci propone un gioco i cui risultati possono essere A, B o C con probabilitàdi realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,1, 0,2 e 0,7. Se esce A, si vincono 20 euro,se esce B se ne vincono 10 mentre se esce C se ne perdono 10.

àCi si chiede quale sarà il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per unnumero elevato di giocate.

E’ chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall’ammontare che si vince quando sipresenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommatoall’ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettivaprobabilità.

Avremo dunque: 20 0,1 10 0,2 10 0,7 3

Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di 3€ a partita.I 3 euro non rappresentano l’ammontare che si perde in una singola giocata ma ciòI 3 euro non rappresentano l ammontare che si perde in una singola giocata ma ciòche si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte(infatti, nella singola giocata o si vincono 10 o 20 euro o se ne perdono 10, ma nonse ne potranno mai perdere 3). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesise ne potranno mai perdere 3). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesidei diversi risultati del gioco, i quali portano a perdere, in media, 3 euro ognigiocata, e quindi non si avrà interesse a giocare perché il gioco non è equo.



La variabile casuale di Bernoulli

E’ h t i i d ll l

X ~ Ber(p)

E’ una v.c. che trae origine da una prova nella qualeinteressa verificare se l’evento E si è verificato o meno. E’legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui duelegata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui duepossibili risultati vengono indicati con i termini “successo”(1) e “insucesso” (0), (senza per questo intendere chel’evento successo sia necessariamente un eventopiacevole!…)

Formalmente, una v.c. X discreta si definisce v.c. di Bernoullise assume il valore 1 con probabilità p e il valore 0 con

11 xxP X x p p

probabilità 1-p. La sua distribuzione di probabilità è:

1P X x p p



La variabile casuale di Bernoulli X ~ Ber(p)

I suoi momenti caratteristici risultano essere:

; 1 ; E X p Var X p p

N.B. – La varianza della v.c. di Bernoulli assumevalore massimo (1/4) quando è p=1/2. E’ questo,a o e ass o ( / ) qua do è p / questo,infatti, il caso di massima incertezza, in cui risulta piùdifficile prevedere il risultato.



L bi i lLa v.c. binomiale

• Esperimento binomiale: n prove bernoulliane (ogni prova può avere solo due possibili risultati) indipendenti, ognuna delle quali ha la stessa probabilità di successo

successo o insuccesso;

probabilità costante in tutte le prove

estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione) estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione).

V.C. Binomiale X: numero di successi in n prove

p: probabilità di successo in una prova1-p: probabilità di insuccesso in una prova1 p: probabilità di insuccesso in una prova



U i Un esempio (Borra S., Di Ciaccio A. – Statistica)

Da un collettivo di donne incinte ne sono state estratte a caso tre.Da un collettivo di donne incinte ne sono state estratte a caso tre.Ciascuna di loro aspetta un solo bambino.La probabilità che nasca un maschio a ciascuna di loro è nota epari a 0,503.1) D1: possibili esiti M o F2) D2: possibili esiti M o F2) D2: possibili esiti M o F3) D3: possibili esiti M o F

n=3 prove bernoulliane

1) D1 ~ Ber(0,503)

femmina una nasce 0

maschioun nasce 11D

2) D2 ~ Ber(0,503)

femmina una nasce 0

maschioun nasce 12D

3) D3 ~ Ber(0,503)

femmina una nasce 0

maschioun nasce 13D



U iUn esempio-qual è la probabilità che si abbiano 0 maschi?qual è la probabilità che si abbia 1 maschio?-qual è la probabilità che si abbia 1 maschio?

-qual è la probabilità che si abbiano 2 maschi?-qual è la probabilità che si abbiano 3 maschi?q p

Sequenza 1:D1(femmina), D2(femmina), D3(maschio)

(1-p) (1-p) p= (1 - p) 2 p= 0,124Sequenza 2:Sequenza 2:D1(femmina), D2(maschio), D3(femmina)

(1-p) p (1-p) = (1 - p) 2 p= 0,124Sequenza 3:D1(maschio), D2(femmina), D3(femmina)

( ) ( ) ( ) 2 0 2p (1-p) (1-p) = (1 - p) 2 p= 0,124



U iUn esempio

P(1 maschio)= P(Sequenza 1 o Sequenza2 o Sequenza3)=P(1 maschio) P(Sequenza 1 o Sequenza2 o Sequenza3)= 3 p (1 - p) 2 = 0,373

Numero di possibili sequenze di 1 maschio e 2 femmine: 3

312123

!13!1!3

!!!

xnx

nNumero di prove: n=3

Numero di successi: x=1u e o d success

n x n xx xn n!x 1 1

x x! n-x !P X p p p p

x x! n x !



U iUn esempio

Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare,immagazzinare e distribuire informazione al fine di facilitare iprocessi di pianificazione decisione e controllo Uno dei compitiprocessi di pianificazione, decisione e controllo. Uno dei compitidel sistema informativo consiste in una revisione degli ordini divendita della società per individuare eventuali errori nellapforma o nell’informazione contenuta.

Presso una casa farmaceutica la probabilità che un ordinevenga giudicato insoddisfacente dal sistema informativo èstimata pari a 0 1 Sulla base di questa informazione lastimata pari a 0,1. Sulla base di questa informazione, lasocietà vuole calcolare la probabilità che si abbia un certonumero di segnalazioni in un dato campione di ordini dig pvendita.



U iUn esempioPer esempio se in un giorno vengono realizzati quattro ordini dip g g qvendita,

-qual è la probabilità che si abbiano 0 ordini scorretti?-qual è la probabilità che si abbia 1 ordine scorretto?-qual è la probabilità che si abbiano 2 ordini scorretti?-qual è la probabilità che si abbiano 3 ordini scorretti?-qual è la probabilità che si abbiano 3 ordini scorretti?-qual è la probabilità che si abbiano 4 ordini scorretti?

Primo ordine

Secondo ordine

Terzo ordine

Quarto ordine

Segnalato Segnalato Non segnalato SegnalatoSequenza 1

Segnalato Segnalato Non segnalato Segnalato p=0,1 p=0,1 1-p=0,9 p=0,1

P(3 ordini segnalati nella sequenza precedente)=( g q p )p p (1-p) p = p3 (1 - p) = 0,009



U iUn esempioSequenza 1:qsegnalato, segnalato, non segnalato, segnalato

p p (1-p) p = p3 (1 - p) = 0,009

Sequenza 2:segnalato, segnalato, segnalato, non segnalato

p p p (1-p) = p3 (1 - p) = 0 009p p p (1-p) = p3 (1 - p) = 0,009

Sequenza 3:segnalato, non segnalato, segnalato, segnalatog , g , g , g

p (1-p) p p = p3 (1 - p) = 0,009

Sequenza 4:non segnalato, segnalato, segnalato, segnalato

(1-p) p p p = p3 (1 - p) = 0,009



U iUn esempio

di ibiliNumero di possibili sequenze: 4

P(3 ordini scorretti) = 4 0,0009 = 0,0036



L bi i lLa v.c. binomialenumero di combinazioni in cui possono presentarsi x

successi in n proveDistribuzione di probabilità di X:

successi in n prove.

n x n xx xn n!x 1 1


numero di prove effettuate

proporzione di casi che realizzano un successo nella popolazione

XE XV

p p(0<p<1)

npXE pnpXVar 1

( )X ~ Bin(n,p)



L bi i lLa v.c. binomialeEsempi per n=7 e n=20 (p=0,5)p p (p )



L bi i l l tiLa v.c. binomiale relativa

Xproporzione di successi in n prove

nX

pnXE

npp

nXVar

1



L bi i l i

• Esperimento: 50 lanci di una moneta

La v.c. binomiale: un esempio

Esperimento: 50 lanci di una moneta

• v.c X: numero di teste uscite in 50 lanci

numero di prove effettuate: 50 (n)• numero di prove effettuate: 50 (n)

• probabilità di successo in un lancio: 1/2

50 36 50 3636 3650 1 1 50! 1 136 1 1P X

36 1 136 2 2 36! 50-36 ! 2 2

P X

n x n xx xn n!x 1 1x x! n x !

P X p p p p

x x! n-x !



L bi i l i

Dall'inventario di 48 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori

La v.c. binomiale: un esempio

Dall inventario di 48 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori, risulta che 12 automobili avevano difetti nell'installazione della radio.

Q al è la probabilità che n particolare ri enditore che abbia rice toQual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto8 automobili:

) L i t tt di dif tt ?a) Le riceva tutte con radio difettose?

b) Non ne riceva nessuna con radio difettosa?

c) Ne riceva almeno una con radio difettosa?

8 bili d ll d i i bi i l• 8 automobili estratte a caso dalla produzione esperimento binomiale

• probabilità di successo (la radio è difettosa) p=12/48

• v.c X: numero di radio difettose in 8 auto estratte a caso dalla produzione



a) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbiaricevuto 8 automobili le riceva tutte con radio difettose?

• P(X=8) ?

• n= 8n 8

• p=12/48=0,25

• 1-p= 0 751 p 0,75

n x n xx xn n!x 1 1P X p p p p x 1 1


8 8 8 88 88 8!8 0,25 0,75 0,25 0,75P X 8 0,25 0,75 0,25 0,75

8 8! 8-8 !P X



b) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbiaricevuto 8 automobili non ne riceva nessuna con radio difettosa?

• P(X=0) ?

• n= 8

• p=12/48=0,25

• 1-p= 0,75

! n x n xx xn n!x 1 1x x! n-x !

P X p p p p

8 0 8 00 08 8!0 0 25 0 75 0 25 0 75P X 0 0,25 0,75 0,25 0,75

0 0! 8-0 !P X



c) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbiaricevuto 8 automobili ne riceva almeno una con radio difettosa?ricevuto 8 automobili ne riceva almeno una con radio difettosa?

•n= 8

• p=12/48=0,25p ,

• 1-p= 0,75

P(X>=1) =P(X=1)+P(X=2)+…P(X=8)=1-P(X=0)



La variabile casuale di PoissonSi consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamatiSi consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamati,successo e insuccesso. Si è interessati a contare quante volte siverifica l’evento successo in un certo arco temporale prefissato(oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un’area(oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un areaprefissata).

La v c di Poisson misura la probabilità di ottenere x successiLa v.c. di Poisson misura la probabilità di ottenere x successiriferendosi però non più a n prove bernoulliane ma ad un ambitocircoscritto, temporale o spaziale.

Es.:• Clienti ad uno sportello bancario in ungiorno

• n° di globuli rossi per mm3 di sangue• n° di errori tipografici per pagina

ma anche…

• Telefonate al centralino VV.FF. inun’ora• Auto al casello autostradale ogni ora

n di errori tipografici per paginastampata• …



La variabile casuale di Poisson

Una v.c. di Poisson soddisfa i seguenti postulati che valgono perqualsiaisi sottointervallo considerato

La probabilità del manifestarsi dell’evento è costante su tutta la duratadell’osservazione (in qualsiasi sottointervallo).

1.

L’intervallo può essere suddiviso in sottointervalli sui quali la probabilità delverificarsi di un evento è piccola e la probabilità del manifestarsi di più di unsuccesso in un sottointervallo (o in una sottoarea) è trascurabile (di fattopossiamo porla pari a zero) rispetto alla probabilità che se ne verifichi uno solo

2.

possiamo porla pari a zero) rispetto alla probabilità che se ne verifichi uno solo

Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilità3 Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilitàdel manifestarsi di un evento in un altro sottointervallo. Gli eventi sono, cioè,indipendenti.

3.



La variabile casuale di PoissonAl t li d i Vi ili d l F di M t i i di 2Al centralino dei Vigili del Fuoco di Macerata arrivano in media 2chiamate in un’ora

V.C di Poisson: numero di chiamate che arrivano al centralino deiVigili del Fuoco di Macerata in un’ora

X

0 1 2 3 ………

1 ora P(x) 0.135335 0.270671 0.270671 0.180447044

1 minuto P(x) 0.967216 0.032241 0.000537 0.00000597



La variabile casuale di Poisson X ~ Po()

Se si osserva un processo di Poisson, il numero di eventi che si manifestano inp ,ogni intervallo è una v.c. di Poisson. Se tali eventi si manifestano al tassocostante , il valore di indicherà il numero di eventi che, in media, simanifesterà per ogni sottointervallo.

Definizione:di di ib i di i

In una v.c. di Poisson gli eventi si manifestano al tasso costante .

Una v.c. X, discreta, segue una distribuzione di Poisson conparametro se X assume i valori 0,1,2,… con probabilità definitedalla funzione:

!

x

P X x ex

; E X Var X

(e è il numero di Nepero, pari a 2.7183)




x

P X

Esercizio:I t i l t l 18 l 20 i i di 7 li ti l

!

P X x ex

In un centro commerciale, tra le 18 e le 20 arrivano, in media, 7 clienti al minuto. Supponendo che il numero di clienti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si calcoli:

• la probabilità che in un minuto arrivino 3 clienti

• la probabilità che in un minuto arrivino meno di 2 clienti

• la probabilità che in tre minuti arrivino 20 clienti• la probabilità che in tre minuti arrivino 20 clienti

Esercizio:Un libro di 200 pagine contiene 10 errori di stampa. Scegliendo a caso una pagina, si calcoli:

• la probabilità che ci siano 2 errori

• la probabilità che ci siano più di 2 errori




Differenza tra la distribuzione di Poisson e la binomialeDifferenza tra la distribuzione di Poisson e la binomiale

Per una distribuzione binomiale il numero n di prove è finito e il numero x di successi non può superare n.di successi non può superare n.

Per una distribuzione di Poisson, il numero di prove è essenzialmente infinito e il numero di successi può essere infinitamente grande anche se la probabilità di avere x successi diventa molto piccola al crescere di x

Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale

Quando n ∞ la distribuzione di Poisson con parametro =np può servire come approssimazione alla legge binomiale di parametri n e p



Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale

Esercizio:L b bilità h i ll i d f è i 0 002 La probabilità che una persona sia allergica ad un farmaco è pari a 0,002. Scegliendo a caso un gruppo di 1000 persone, determinare:

• la probabilità che più di 2 persone siano allergiche

• la probabilità che nessuna sia allergica



La v.c. normale



Spessore di 10000 rondelle di ottone prodotte da

La v.c. normalep p

un’azienda

Spessori FrequenzeSpessori (in cm)

Frequenze relative

<0.0180 0.0048 Da 0.0180 a 0.0182 0.0122 Da 0.0182 a 0.0184 0.0325 Da 0.0184 a 0.0186 0.0695 Da 0.0186 a 0.0188 0.1198 Da 0 0188 a 0 0190 0 1664Da 0.0188 a 0.0190 0.1664 Da 0.0190 a 0.0192 0.1896 Da 0.0192 a 0.0194 0.1664 Da 0.0194 a 0.0196 0.1198 Da 0.0196 a 0.0198 0.0695 Da 0.0198 a 0.0200 0.0325 Da 0.0200 a 0.0202 0.0122 > 0.0202 0.0048 0.0202 0.0048

Totale 10000



La v.c. normale

1 Curva degli errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica1. Curva degli errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica

2 Distribuzione di una caratteristica di una popolazione2. Distribuzione di una caratteristica di una popolazione

3. Dimensione effettiva di oggetti prodotti in serie, che si cerca di produrre in modo identicoprodurre in modo identico



La distribuzione NormaleUna variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media e varianza 2, seg , ,la sua funzione di densità di probabilità è data da:

2

212

2

12

x

f x e

22

1 Forma campanulare e simmetricaf(x) Caratteristiche della distribuzione Normale

1. Forma campanulare e simmetrica

2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza dalla media

X




2

212

2

12

x

f x e

22

68%

1 Forma campanulare e simmetricaf(x) Caratteristiche della distribuzione Normale




4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo ±

X




2

212

2

12

x

f x e

22

Caratteristiche della distribuzione Normale95%

1 Forma campanulare e simmetricaf(x)





5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo ±2

X




2

212

2

12

x

f x e

22

1 Forma campanulare e simmetrica

Caratteristiche della distribuzione Normale99%

f(x)1. Forma campanulare e simmetrica





6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo ±3 ±3X




2

212

2

12

x

f x e

22


Caratteristiche della distribuzione Normalef(x)1. Forma campanulare e simmetrica





6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo ±3 X

7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento, a parità di forma, della curva sull’asse delle X.



La distribuzione NormaleUna variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media e varianza 2, se la sua funzioneg , ,di densità di probabilità è data da:

2

212

2

12

x

f x e

22


Caratteristiche della distribuzione Normalef(x)1. Forma campanulare e simmetrica






X

7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento della curva, a parità di forma, sull’asse delle X.

8. Un aumento o una diminuzione della varianza determina, rispettivamente, una minore o una maggiore concentrazione di valori attorno al valore medio.



N~XLa v.c. normale

,N~X

2 x

22

21

x

exf

Proprietà:• =media; = sqm• =media; = sqm• f(x) è simmetrica intorno a

il i di f( ) ( d ) i h i i d di• il massimo di f(x) (moda) si ha in corrispondenza di x= • punti di flesso: • = Mo = Me• i valori della curva normale dipendono da e



La distribuzione NormaleUna macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso ècompreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?

f(x) 2

2212

x

y e

2

X ~ N(5;0,04)

5 5,12 5,30 X = 5 = 0,2

22

5,3021 x

e

5 12 5 30P X 5,12 2

e

5,12 5,30P X



La distribuzione Normale standardizzataUna macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale,con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso ècompreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?

Qualsiasi distribuzione Normale può essere ricondotta ad una distribuzione con media nulla e varianza unitaria mediante la trasformazione:

f(x)

varianza unitaria mediante la trasformazione:

XZ

X

E Z xE 0 xV E Z E

0 Var Z xVar

1

Z ~ N = 0 2 = 1

Le aree sotto la curva Normale standardizzata possono essere calcolate e tabulate una volta per tutte!



La tavola della distribuzione normale standardizzata



X 1N 0XLa v.c. normale standardizzata

XZ ,1N~ 0X

2

21

21 Z

exf

2

Proprietà:• 0• = 0• = 1

il i di f( ) i h 0• il massimo di f(x) si ha per x=0• punti di flesso: x=1• i valori della curva normale standardizzata sono tabulati



La distribuzione Normale standardizzata

X ~ N = 5 = 0,2f(x)

Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30 grammi?

5,12 5,30Fr X P

5 5,12 5,30 X

= 0 = 1 XZ

~ Nf(x)

Quali sono i valori standardizzati di X1=5,12 e X2=5,30?

11 XZ

5,12 5

0,2

0,6

0,6 1,5

0,2

2 XZ

5,30 5

0,2

1,5

0 Z




X ~ N = 5 = 0,2f(x)

5,12 5,30Fr X 0,2075

Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30 grammi?

P

5 5,12 5,30 X

= 0 = 1 XZ

~ Nf(x)

Qual è la probabilità compresa tra Z1=0,6 e Z2=1,5?

0 6 1 5Fr Z

Quali sono i valori standardizzati di X1=5,12 e X2=5,30?

P

0 0,6 1,5 Z

0,6 1,5Fr Z

0,4332 0,2257 0,2075

P



Un’impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato

La distribuzione Normale standardizzatap p p p

regolato in modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media,

una quantità di pomodori pari a 13 etti Lo s q m del peso nettouna quantità di pomodori pari a 13 etti. Lo s.q.m. del peso netto

effettivo è 0,1 etti e si suppone che i pesi siano distribuiti normalmente.

Si d t i i l b bilità h b tt l tSi determini la probabilità che un barattolo preso a caso contenga una

quantità di pomodori compresa tra 13 e 13,2 etti.

• X: peso inscatolato X~ N(13; 0,1)

13X• N(0,1) ~,10

13

XZ

• P(13<X<13,2) ??



20132,13131321313

ZPZPXP

La distribuzione Normale standardizzata 20

1,01,02,1313

ZPZPXP




L’altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media

180cm e scarto quadratico medio 10cm. Calcolare la probabilità che

un ragazzo scelto a caso dal gruppo abbia una statura superiore a

190cm.



La distribuzione Normale

I parametri e sono noti si vuole conoscere la probabilità che I parametri e sono noti, si vuole conoscere la probabilità che la v.c. X assuma valori compresi all’interno dell’intervallo a, b (a<b).

bXa ba zZzPbXaPbXaP



Approssimazione della distribuzione binomiale

X ~ 0 1npZ Z ~ 0,1Z Z

npq

Se n è grande

Xn 0 1

pZ Z

~ 0,1Z Z

pqn



Approssimazione della distribuzione binomiale

Esempio: determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5 compaia almeno 60 volte

• Lancio di un dado esperimento binomiale

• probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) p=1/6=0,17

• v.c X: numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci

06,183,017,0400

17,04006060

ZPZPXP



Dove e come studiareS B A Di Ci i (2008) St ti ti M t d l i l• S. Borra, A. Di Ciaccio (2008) – Statistica – Metodologie per le

scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.6, 9.8.3, 9.8.4, 9.8.5, 9.11).

• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.7, 9.8, 9.9), Cap. 10.

File “esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf”



RiepilogoLe variabili casuali V i bili li di t

Riepilogo

Variabili casuali discrete Funzione di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Varianza

Variabili casuali continue Funzione di densità di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Valore atteso Varianza

Distribuzione di Bernoulli, binomiale, binomiale relativa Di ib i di P i Distribuzione di Poisson Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale Distribuzione Normale Distribuzione Normale standardizzata Approssimazione della distribuzione standardizzata alla Binomiale

Variabile statistica e variabile casuale

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