Funzioni reali di due variabili reali

Andrea Cammarota

V ITC Montagnana

Definizione

Una funzione reale di due variabili reali è un’applicazione che associa ad ogni punto P di un dato sottoinsieme del piano cartesiano un numero reale

Esempio:

La funzione f(x,y)=4x-2y+3 associa al punto P(5,6) del piano il valore reale f(5,6)=4·5-2·6+3=11.

La stessa funzione associa al punto Q(1,4) il valore reale

f(1,4)=4·1-2·4+3=-1

Una funzione in due variabili è generalmente indicata con la seguente notazione

L’intero insieme dei punti del piano si indica con , cioè, l’insieme di coppie ordinate di numeri reali (che si può indicare anche come

)

L’insieme D del piano è detto dominio della funzione ed è un sottoinsieme di

Più brevemente, la funzione può essere indicata anche come z=f(x,y)

NOTA BENE: ad ogni COPPIA di numeri reali (x,y) appartenente a D corrisponde UN SOLO numero reale z.

Notazioni

RR zDyxf 2),(:2R

RR2R

Dominio di una funzioneNon a tutte le coppie di numeri reali è detto che corrisponda un numero reale: il dominio è il sottoinsieme di piano dei punti per cui è possibile calcolare un numero z che vi corrisponda

Esempi:a) : è possibile calcolare il valore di questa

funzione solo quando è definita la radice, il che accade quando il radicando è non negativo (x≥0). Il dominio sarà, pertanto costituito dai punti (x,y) con ascissa non negativa, cioè dai punti del primo e del quarto quadrante, compreso l’asse y.

b) : è possibile calcolare il valore di questa funzione per qualunque punto del piano. Il dominio sarà, pertanto l’intero piano cartesiano.

yxyxf ),(

2),( yxyxf

Rappresentazione di una funzione reale di due variabili reali Considereremo due diverse modalità di

rappresentare le funzioni in due variabili: La rappresentazione nello spazio; La rappresentazione mediante curve di livello.

Rappresentazione nello spazio -1 Assegnata una funzione

reale di due variabili reali f, possiamo scegliere una coppia di valori (x,y) e calcolare il valore della funzione in corrispondenza di tale coppia f(x,y). La terna (x,y,f(x,y)) la si può rappresentare in un sistema di coordinate spaziali: il valore assunto dalla funzione si può leggere dalla quota (coordinata verticale) del punto nello spazio.

Rappresentazione nello spazio -2 Ripetiamo questa stessa operazione per diversi punti del dominio (fig. a sinistra): il risultato finale sarà una superficie di punti (x,y,f(x,y)) (fig. a destra):

Rappresentazione nello spazio -3

Rappresenta nello spazio le seguenti funzioni

2210),( yxyxg

22),( yxyxh

Piano

Paraboloide

Iperboloide

123),( yxyxf

Rappresentazione mediante le curve di livello - 1 Per comprendere il concetto di curve di livello, consideriamo

l’esempio geografico di un’isola

Definiamo il livello 0 quello del mare

Rappresentazione mediante le curve di livello - 2 Riportiamo su un diagramma piano una proiezione dei margini delimitati dall’acqua (cioè il bordo

delle terre emerse)

Supponiamo che l’acqua salga di 10m: i margini della terra emersa si restringono; riportiamo su un diagramma piano i nuovi margini che rappresentano la curva di livello 10m

Rappresentazione mediante le curve di livello - 3 Ripetiamo la stessa operazione per i casi in cui l’acqua salga di 20 e 30m rispetto al livello 0

Rappresentazione mediante le curve di livello - 4 Riportiamo, infine, tutte le proiezioni su uno stesso diagramma piano

Il risultato finale, sebbene bidimensionale, offre una visione piuttosto chiara della forma dell’isola

Rappresentazione mediante le curve di livello - 5 Quanto più fitte sono

le curve di livello, tanto più precisa è l’immagine fornita della superficie tridimensionale. Il metodo delle curve di livello è comunemente adoperato in geografia per riprodurre altitudini e profondità sul globo terrestre. Molto spesso si usano colorazioni diverse per livelli diversi, in modo da facilitare la leggibilità del grafico.

Rappresentazione mediante le curve di livello - 6 Vi riporto un’animazione che spiega in maniera chiara

come si tracciano le curve di livello: Si sceglie una quota e si considera il piano perpendicolare

all’asse z per tale quota; Si individua l’intersezione della superficie che è grafico

tridimensionale della funzione e il piano suddetto; Si ripete questa stessa operazione per quante più quote è

possibile; Si riportano i risultati in proiezione sul piano xy.

CurveLivello.mpg

Rappresentazione mediante le curve di livello - 7 La stessa strategia

descritta si può applicare anche alle funzioni in più variabili: consideriamo, ora, la funzione

il cui grafico nello spazio è qui a destra

22),( yxyxh

Rappresentazione mediante le curve di livello - 8 Scegliamo un valore di z, ad esempio -0,5 e tracciamo il piano

parallelo al piano xy a quota -0,5. L’intersezione tra questa due superfici fornisce la curva di livello -0,5.

Rappresentazione mediante le curve di livello - 9 Ripetiamo lo stesso procedimento per z=0…

Rappresentazione mediante le curve di livello - 10 …e per z=0,5

Rappresentazione mediante le curve di livello - 11 Aggiungendo ulteriori curve di livello e riportando tutto su un

diagramma piano, otteniamo

Le zone chiare sono quelle a quota maggiore, quelle scure a quota minore

Rappresentazione mediante le curve di livello - 12

Rappresenta con le curve di livello le seguenti funzioni

123),( yxyxf

2210),( yxyxg

22),( yxyxh

Determinazione analitica delle curve di livello - 1 Per determinare le curve di livello si sostituisce z con un

parametro k: al variare del parametro k nell’insieme dei numeri reali, ottengo

una famiglia di curve di livello ciascuna delle quali ha livello proprio pari a k.

EsempioSe la funzione è z=x2+y2, allora la famiglia delle curve di

livello è data da x2+y2=k. La curva di livello k=1 è la x2+y2=1 che è una

circonferenza di raggio 1La curva di livello k=4 è la x2+y2=4 che è una

circonferenza di raggio 2

x2+y2=k

kr

Determinazione analitica delle curve di livello - 2Esempio (continuazione)

Per ogni k>0 ottengo che la linea di livello è una circonferenza di raggio kr

Il piano - 1

Un’equazione lineare in 3 variabili rappresenta un piano dello spazio cartesiano.

ax+by+cz+d=0

in cui a, b e c non sono contemporaneamente nulli

Il piano - 2

Se nell’equazione

ax+by+cz+d=0

il coefficiente c è diverso da 0, allora si può ricavare la forma esplicita del piano

che può essere riscritta come

che è una funzione reale di due variabili reali

c

dy

c

bx

c

az

dbyaxcz

0dczbyax

pnymxz

Piani particolari - 1

Se l’equazione del piano manca del termine noto, il piano passa per l’origine degli assi

Se l’equazione del piano manca del termine in x, il piano è parallelo all’asse x

Piani particolari - 2

Se l’equazione del piano manca del termine in y, il piano è parallelo all’asse y

Se l’equazione del piano manca del termine in z, il piano è parallelo all’asse z

Piani particolari - 3

Se l’equazione del piano manca dei termini in x e y (del tipo z=k), il piano è parallelo al piano coordinato xy (e ortogonale all’asse z)

In particolare z=0 è l’equazione del piano coordinato xy

Se l’equazione del piano manca dei termini in x e z (del tipo y=k), il piano è parallelo al piano coordinato xz (e ortogonale all’asse z)

In particolare y=0 è l’equazione del piano coordinato xz

Piani particolari - 4 Se l’equazione del piano manca dei

termini in y e z (del tipo x=k), il piano è parallelo al piano coordinato yz (e ortogonale all’asse z)

In particolare x=0 è l’equazione del piano coordinato yz

Piani paralleli

Due piani

sono paralleli se i coefficienti delle incognite sono proporzionali, cioè se esiste un numero k tale che

se, inoltre anche

allora i piani sono coincidenti Esempio

I piani 2x+3y-4z+1=0 e

4x+6y-8z+8=0 sono paralleli poiché

4=2∙2; 6=2∙3; -8=2∙(-4) ma non coincidenti visto che 8≠2∙1

0dzcybxa

0dzcybxa

2222

1111

kcckbbkaa 212121

21 kdd

Piani perpendicolari

Due piani

sono perpendicolari se la somma dei prodotti dei rispettivi coefficienti delle incognite è nulla, cioè se

Esempio

I piani 2x+3y-4z+1=0 e

x+2y+2z+8=0 sono perpendicolari poiché

2∙1+3∙2+(-4)∙2=0

0dzcybxa

0dzcybxa

2222

1111

0ccbbaa 212121

Linee di livello del piano Dato un piano in forma esplicita

z=mx+ny+qin cui m e n non siano contemporaneamente 0 (cioè, una funzione non costante), le linee di livello si ricavano, al solito, diagrammando le curve che si ottengono per z=k, dove k è un parametro che varia nell’insieme reale.In questo caso, le curve suddette sono date dall’equazionemx+ny+q=kche descrive un fascio di rette improprio.Le curve di livello di un piano non costante sono, dunque, un fascio di rette parallele

Elementi di topologia in R2 -Intorno Dato un punto P del

piano, si definisce intorno circolare di P di raggio r (e si indica con I(P,r)) l’insieme dei punti del cerchio di centro P e raggio r esclusa la circonferenza di bordo

P

Esempio: Intorno del punto P(1;1) di raggio 0.1

Elementi di topologia in R2 –Punto di frontiera di un insieme Dato un insieme S del

piano, si dice che un punto P è di frontiera per S se in ogni intorno circolare di P vi sono punti che appartengono ad S e punti che non vi appartengono

P

Esempio: L’insieme rosso S ammette P(1;1) come punto di frontiera S

Elementi di topologia in R2 –Insieme chiuso Un insieme S del

piano si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Esempi:Il semipiano S è chiuso perché contiene la sua frontiera (retta rossa).

Il semipiano T non è chiuso perché non contiene la sua frontiera

S

T

Elementi di topologia in R2 –Insieme aperto Un insieme S del piano si dice aperto se per

tutti i punti P di S c’è almeno un intorno circolare di P interamente contenuto in S.

Si può anche affermare che un insieme è aperto se il suo complementare è chiuso.

N.B.: gli intorni circolari sono insiemi aperti

Elementi di topologia in R2 –Insieme limitato Un insieme S del

piano si dice limitato se esiste una palla del piano (un intorno circolare di un punto del piano) che lo contiene interamente. Se tale proprietà non si verifica, l’insieme si dice non limitato

Esempio: L’insieme S è limitato, l’insieme T non lo è

S

T

Teorema di Weierstrass

Anche per le funzioni in due variabili vale il teorema di Weierstrass che può essere esposto come segue:Una funzione definita e continua nell’insieme D chiuso e limitato ammette in D massimo e minimo assoluto.Occorre dunque che l’insieme di definizione sia chiuso e limitato e che la funzione sia continua per garantire l’esistenza degli estremi assoluti.Notate che non abbiamo dato la definizione di continuità per le funzioni in due variabili: vi basti avere la nozione intuitiva che la funzione è continua se la superficie che ne descrive il grafico non ha “buchi”.

RR zDyxf 2),(:

Programmazione lineare – 1

Programmazione lineare è la branca della ricerca operativa che risolve i problemi di ottimizzazione con funzione obiettivo e vincoli lineari.

Se le variabili di scelta sono due, la funzione obiettivo lineare z=mx+ny+q ha come grafico un piano dello spazio cartesiano e le sue linee di livello sono un fascio di rette parallele se essa non è costante.

Se variabili di scelta sono due, i vincoli lineari definiscono una regione di piano delimitata da segmenti, semirette o rette.

Programmazione lineare - 2

La formulazione generale di un problema di P.L. è la seguente

n1,2,...,icon 0

......

...

...

...

2211

22222121

11212111

2211

i

mnmnmm

nn

nn

nn

x

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

I coefficienti c1, c2,…, cn si chiamano coefficienti economici o prezzi;

I coefficienti aki con k=1,2,…, n e i=1,2,…,m si chiamano coefficienti tecnologici;

I coefficienti b1, b2,…, bn si chiamano richieste. La regione del piano delimitata dai vincoli si chiama regione ammissibile.

Programmazione lineare - 3

Siccome le funzioni lineari sono sempre continue, l’esistenza degli estremi assoluti è garantita se l’insieme definito dai vincoli e chiuso (cioè contiene la sua frontiera) e limitato (cioè è contenuto in una palla di diametro finito).

I punti in corrispondenza dei quali si ha il massimo e il minimo assoluto sono dei punti di frontiera dell’insieme, di norma i punti d’intersezione delle rette di frontiera dei vincoli (quelli intercettati dalla linee di livello più alta e più bassa).

Se l’insieme definito dai vincoli non è chiuso oppure non è limitato, non è garantita l’esistenza degli estremi assoluti. Comunque, qualora essi esistessero, si otterrebbero ancora in corrispondenza di punti della frontiera di tale insieme.