Formule per la verifica ed il progetto del rinforzo in FRP ... · Edifici in c.a. progettati...

Formule per la verifica ed il progetto del rinforzo in FRP di pilastri

rettangolari soggetti a pressoflessione deviata

Giorgio Monti, Silvia AlessandriUniversità di Roma “La Sapienza”

ContenutiApproccio approssimato per la costruzione della superficie di collasso 3D Equazioni in forma chiusa per la verifica di pilastri esistenti (dominio di interazione)Equazioni in forma chiusa per il progetto del rinforzo in FRP (dominio di interazione)Procedura di verifica del pilastro e di progetto del rinforzo in FRP.

IntroduzioneEdifici in c.a. progettati secondo i vecchi codici normativi possono andare incontro a situazioni pericolose con effetti catastrofici. Una tipica inadeguatezza risiede nel meccanismo di “trave forte-pilastro debole”.

Introduzione

Obiettivo: rinforzare tutti i pilastri nelle zone di potenziale formazione delle cerniere plastiche Metodo: applicare fogli di FRP lungo le facce del pilastro, con le fibre parallele all’asse, nelle zone terminali.

Obiettivi e MetodiObiettivi:

Trovare una procedura semplice per il progetto del rinforzo flessionale in FRP per pilastri sotto dimensionati Controllando il relativo modo di collasso.

Metodi: Sviluppo di equazioni in forma chiusa per la verifica di pilastri esistenti (sezioni rettangolari con armatura doppia simmetrica) soggetti a pressoflessione deviataEstensione al caso di pilastri rinforzati con FRP

Uso per il progetto del rinforzo in FRP.

Verifica agli SLU (Approccio classico)La verifica della sezione è basata sul dominio di interazioneCiascun punto limite (NSd, MRd,x, MRd,y) è definito da:

inclinazione dell’asse neutro (β) posizione dell’asse neutro (d’)

La valutazione avviene per integrazione

ε yd

β

f

ε s

ε c

d'

cd

yd

ydf

N sd0

MxMy

M sd

Interaction curves N sd - Msd

M Rd

Failure domain N, M x, M y

YesNo

N sd0

MxMy



Approccio approssimatoLa superficie di collasso può essere approssimata analiticamente mediante sezionia sforzo assiale costante (the load contourmethod, Bresler,1960):

21

0 01uyux

x y

MMM M

αα ⎛ ⎞⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠N sd0

MxMy

Plane at costant N sd


M Rd


M0y M0x

Approccio approssimatoGli esponenti α1 e α2 nell’equazione dipendono da:

Geometria della sezione trasversale, Percentuale di armaturaSforzo assiale Percentuale di rinforzo (per sezioni con FRP)

Bresler indicò per le sezioni in c.a.:1.15 ≤ α1 = α2 ≤ 1.55

Valutazione dell’esponente αUna relazione tra α e i parametri adimensionali della sezione trasversale può essere espressa come:

b = larghezza della sezione, h = altezza della sezione, μsx, μsy = percentuale meccanica di armatura disposta nella direzione dell’asse x e y, rispettivamente,nsd= sforzo assiale normalizzato, dato da:

0 85=

⋅ ⋅ ⋅Sd

Sdcd

Nn

. f b h

0.070.030.030.011.15ωηsyηsxγc

pilastri esistentisysxsx sy Sdbc nh

γηη ω⎛ ⎞α = ⋅ ⋅μ ⋅μ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Valutazione dell’esponente α

sysxsx sy Sdbc nh

γηη ω⎛ ⎞α = ⋅ ⋅μ ⋅μ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠pilastri esistenti

Una relazione tra α e i parametri adimensionali della sezione trasversale può essere espressa come:

nfx, nfy = numero di fogli di FRP parallelamente agli assi della sezione

fx fysysxsx sy Sdfx fybc n n nh

γε εηη ω⎛ ⎞α = ⋅ ⋅μ ⋅μ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠pilastri rinforzati con FRP

−0.07ω

−0.03γ

0.02−0.0150.02−0.0451.27εfyεfxηsyηsxc

Comparazione tra l’approccio esatto approssimato per pilastri non rinforzati

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8normalized bending moment mx

norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my

m exact failure domain

approximate failure domain

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my exact failure domain


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen



0.30.10.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h 1.00.40.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h0.80.20.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h

nSd = 0.5

0.30.20.2

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h 1.00.40.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h0.50.30.2

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h

nSd = 0.4

0.30.20.2

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h 1.00.40.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h0.80.40.2

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h

nSd = 0.2

0.30.10.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h 1.00.40.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h0.80.20.4

II

⊥

=μ =

μ =s

s

b h

nSd = 0.1

Comparazione tra l’approccio esatto approssimato per pilastri rinforzati con FRP

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6normalized bending moment mx

norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my


failure domain approximatewhit least squares method

failure domain fromapproximated equations

0.50.10.2

2

2

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =μ =

=

=

n Sd = 0.1

1.00.40.2

2

2

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =μ =

=

=

0.80.40.4

1

1

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =μ =

=

=

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45normalized bending moment mx

norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my

m

exact failure domain

failure domain approximatewhit least squares method

failure domain fromapproximated equations 0 .4

0.10.3

2

3

sx

y

fx

y

b h

n

n

=

μ =μ =

=

=

n Sd = 0.2

0.40.20.2

2

2

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =

μ =

=

=

1.00.20.2

1

1

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =

μ =

=

=

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my


failure domain approximatewhit least squares methodfailure domain fromapproximated equations

0.50.30.4

1

2

s x

s y

fx

fy

b h

n

n

=μ =

μ =

=

=

n Sd = 0.4

1.00.40.4

2

2

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =

μ =

=

=

0.60.20.2

1

1

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=μ =

μ =

=

=

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


norm

aliz

ed b

endi

ng m

omen

t my


failure domain approximatewhit least squares methodfailure domain fromapproximated equations

0.50.10.2

2

2

sx

sy

fx

fy

b h

n

n

=

μ =μ =

=

=

n Sd = 0.5

1.00.40.22

2

II

II

s

s

f

f

b h

n

n

⊥

⊥

=

μ =

μ =

=

=

0.80.40.41

1

II

II

s

s

f

f

b h

n

n

⊥

⊥

=

μ =

μ =

=

=

Calcolo dei momenti resistentiI momenti resistenti uniassiali possono essere ottenuti mediante equazioni approssimate in forma chiusa basate sulle seguenti ipotesi:

Armatura uniformemente distribuita lungo il contorno della sezione Leggi tensione – deformazione non lineari per:

acciaio (bilineare) calcestruzzo (parabola-rettangolo)

Rapporto di copriferro δ=0.05Limite campo 1a:

si trascura l’armatura superiore parallela tesal’armatura ortogonale si considera interamente snervata

Equazioni di equilibrioLe equazioni di equilibrio possono essere scritte in forma adimensionaleForze e momenti nell’acciaio nel calcestruzzo e nell’FRP possono essere espresse in funzione dei diagrammi equivalenti delle tensioni.

d' = ξ h

AsAs

IIAs

αcfcd +

αs⊥ f yd-

δy

ξs⊥-

ξs⊥+

δy

model whit uniformly distributed steel reinforcement

IIAs

ξs⊥-

ξs⊥+

εydb

h

εyd

αs⊥ f yd

εs

ε'sεc

ξc

h = 1

f ydfcd

f yd

d h

cy

cx

x

y

x

y

c

IIA f

IIA f

A f A f

ε

- -α f ⊥ fξ f ⊥ fddf fddf

section strains stressesconcrete steel FRP

Approccio approssimato

Per evitare la soluzione iterativa dell’approccio classico:

La posizione dell’asse è ottenuta in funzione dello sforzo assiale normalizzato

Diverse funzioni sono state sviluppate per i diversi modi di collasso della sezione

Posizione dell’asse neutro per sezioni non rinforzate

Modo di collasso 1a:La relazione quadratica tra la posizione dell’asse neutro, ξc, e nSd può essere approssimata con il metodo della secante:

Modo di collasso 1b:Assumendo αc costante la posizione dell’asse neutro è:

Modo di collasso 2:La posizione dell’asse neutro è nota:

εcu

εsu

s1a

23

ε'1b

εyd

yd

εcu

εsu

s1a

23

ε'1b

εyd

yd

εcu

εsu

s1a

23

ε'1b

εyd

( )

( )1

2.2

0.8 4.4

II

II

sd s sc

ss

n ⊥

⊥

+ μ + μξ =

μ+ μ +

ξ

2.20.8 4.4

sd sc

s

n ⊥

⊥

+ μξ =

+ μ

2.20.8 4.4

sd sc

s

n ⊥

⊥

+ μξ =

+ μ

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

normalized axial load

norm

aliz

ed u

niax

ial b

endi

ng m

approximate domain

exact domain0 0( , )d Rdn m

1 1( , )d Rdn m2 2( , )d Rdn m

3 3( , )d Rdn m

Comparazione tra metodo esatto e metodo approssimato

Posizione dell’asse neutro per sezioni rinforzate in FRP

La posizione dell’asse neutro è ottenuta in funzione dello sforzo assiale normalizzato per i diversi modi di collasso della sezioneSi utilizza il metodi della secante tra i limiti dei modi di collasso i e i+1:

( )( )( ) ( )( )

1

1 1( , 1)

4.4sd i i i

c ii i i i s f

n ni i +

+ + ⊥ ⊥

− ξ − ξξ + = ξ +

η − η + ξ − ξ μ + μ

Posizione dell’asse neutroModo di collasso 1a:

Modo di collasso 1b:

Modo di collasso 2:

( )( )

1

2.2

0.8 4.4

II II

II

sd s s f fc

ss f

n ⊥ ⊥

⊥ ⊥

+ μ + μ + μ + μξ =

μ+ μ + μ +

ξ

2.20.8 4.4

IIsd s f fc

s f

n ⊥ ⊥

⊥ ⊥

+ μ + μ + μξ =

+ μ + μ

( )( )

22.2

0.8 4IIsd s f f

cs f

n A

A⊥ ⊥

⊥ ⊥

+ μ + μ + μ + ξξ =

+ μ + μ +

( ) 3

3 2

1 (1 )

( )IIf fr

A ⊥⎡ ⎤− μ − ξ + μ⎣ ⎦=ξ − ξ

εcus

d

1b

2

c0ε

ε'

0ε

ε > εs yd

fdε

x = dξ

εyd

1a

yd

d''

d'=δd

Comparazione tra metodo esatto e metodo approssimato

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

sforzo assiale normalizzato

mom

ento

flet

tent

e no

rmal

izza

to

dominio esatto - modello afibre

dominio approssimato

Procedura per la verifica ed in progetto della sezione a pressoflessione deviata

Consideriamo un pilastro esistente in c.a. avente RC:

una sezione rettangolare con base b e altezza hl’armatura è simmetrica rispetto agli assi

b

d

PROCEDURA DI VERIFICA PER LA SEZIONE NON RINFORZATA

Passo 1: Calcolo dello sforzo assiale normalizzato in corrispondenza dei limiti tra i modi di collasso

Passo 2: Calcolo della posizione dell’asse neutroPasso 3: Calcolo dei momenti resistenti uniassiali Passo 4: Calcolo dell’esponente αPasso 5: Verifica della disuguaglianza:Passo 6: Se la disuguaglianza al Passo 5 non risulta

soddisfatta o si vuole incrementare la capacità resistente del pilastro occorre progettare il rinforzo in FRP

( ) ( )0 01

αα ⎛ ⎞⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

SdySdx

x Sd y Sd

mmm n m n

PROCEDURA DI PROGETTO DEL RINFORZO IN FRP

Passo 1: Scelta dello spessore e della larghezza dei fogli da utilizzare

Passo 2: Calcolo dei valori dello sforzo assiale normalizzato in corrispondenza dei limiti tra i modi di collasso

Passo 3: Calcolo della posizione dell’asse neutroPasso 4: Calcolo dei momenti resistenti uniassiali Passo 5: Calcolo dell’esponente αPasso 6: Verifica della disuguaglianza:Passo 7: Se la disuguaglianza al Passo 6 non è

soddisfatta si aggiunge un altro foglio di FRP e si ricomincia dal Passo 2.

( ) ( )0 01

αα ⎛ ⎞⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

SdySdx

x Sd y Sd

mmm n m n

ConclusioniE’ stato proposto un metodo per:

la verifica di una sezione rettangolare in c.a. con armatura doppia simmetricaper il progetto del rinforzo in FRP

Il metodo introduce equazioni semplificate in forma chiusaDato lo sforzo normale agente:

Si determina il modo di collasso della sezioneSi calcolano i corrispondenti momenti resistenti

I domini d’interazione approssimati si discostano poco da quelli ottenuti con un modello a fibre della sezione

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