1

FORMULE DI ADDIZIONEConsideriamo l’angolo con lato origine OA, successivamente l’angolo con lato

origine OB

B

OR=1

AC sin

cos

D

sin co

s

cos sen sen cos

sen(+) = sen cos + sen cos cos(+) = cos cos sen sen

cos cos sen sen

dividendo membro a membro e semplificando:

tg + tgtg(+) = 1 tg tg cotg cotg 1cotg(+) = cotg + cotg

sin(+)

cos(+

)

2

FORMULE DI SOTTRAZIONESostituendo nelle formule di addizione all’angolo l’angolo , si ottiene:

sen() = sen cos sen cos cos() = cos cos + sen sen

tg tgtg() = 1+ tg tg cotg cotg 1cotg() = cotg + cotg

FORMULE DI DUPLICAZIONEPonendo nelle formule di addizione = , si ottiene:

sen(2) = 2 sen cos cos(2) = cos2 sen2

2tgtg(2) = 1 tg2 cotg2 1cotg(2) = 2cotg

3

FORMULE DI BISEZIONEConsideriamo il sistema composto dall’equazione fondamentale e dalla formula di duplicazione

del coseno:

cos 2 = cos2 sen2 1 = sen2 + cos2

sottraendo la seconda dalla prima: 1 cos2 = 2sen2

ponendo /2 al posto di : 1 cos = 2sen2(/2)

evidenziando sen(/2):

sin

2

1 cos2

sommando la seconda alla prima:

cos

2

1cos2

dividendo membro a membro:

tg

2

1 cos1cos

LE TRE ALTEZZELe tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro.

A

B

Cb

c

a

H

ha = b sen = c sen hb = c sen = a sen hc = b sen = a sen

ha

hc

hb

Considerando i triangoli retti definiti dalle tre altezze ha, hb, hc, si può scrivere:

4

LE TRE MEDIANELe tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo.

A

B

C

M

G

a2

c2 = ---- + ma2 - a ma cos

4 a2

b2 = ---- + ma2 + a ma cos

4

mamc

mb

a--2

a--2

b--2

b--2

c--2

c--2

Consideriamo i due triangoli ABM e AMC

’

’=200C- a2

b2 + c2 = ---- + 2 ma2

2

Sommando membro a membro:

1ma = ---- 2b2 + 2c2 – a2

2 1mb = ---- 2a2 + 2c2 – b2

2 1mc = ---- 2b2 + 2a2 – c2

2

Il baricentro G si trova a una distanza dal vertice corrispondente pari ai 2/3 della mediana, e a 1/3 della mediana dal punto medio del lato oppostoAG = 2/3 ma - GM = 1/3 ma

5

LE TRE BISETTRICI Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto.

A

B

C

N

---2

O

1 1 1

--- bc sen = --- cn sen ---- + --- bn sen ----

2 2 2 2 2

nanc

nb

b

c

Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta come somma di quelle dei due triangoli ABN e ANC

---2

---2

--- 2

---2 ---2

1 1

bc sen --- cos --- = --- cn sen ---- + --- bn sen ---- 2 2 2 2 2 2

Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro:

1 1 1 bc cos --- = --- cn + --- bn = --- n (b + c)

2 2 2 2

Dividendo per sen(/2):

2 b c n = ------------ cos --- c + b 2

2 a c n = ------------ cos --- a + c 2

2 a b n = ------------ cos --- a + b 2

a

6

LA RETTA DI EULERO

A

B

Cb

c

a

H

In un triangolo i seguenti punti sono allineati: baricentro G (intersezione delle tre mediane), ortocentro H (intersezione delle tre altezze), circocentro O (intersezione degli assi dei tre lati). La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero.

OG

retta di Eulero7