Formazione delle strutture su larga scala

La formazione delle strutture: ingredienti

Una cosmologia di base e una statistica in grado di descrivere uno scenario su larga scala.

Uno spettro iniziale delle fluttuazioni : forma, scelta del modo delle fluttuazioni, statistica delle fluttuazioni iniziali, normalizzazione.

Evoluzione dello spettro iniziale con conseguente formazione di strutture.

Controllo statistico dell’evoluzione: previsioni e test osservativi.

La statistica: come descrivere le disomogeneità dell’universoLe disomogeneità cosmiche sono solitamente descritte dal campo di fluttuazioni

Dove (x) è la densità dell’universo in un punto x.

Una caratterizzazione statistica molto popolare delle disomogeneità è fornita dalla funzione di correlazione a due punti che descrive l’eccesso di una fluttuazione rispetto a una distribuzione uniforme. Essa è descritta a partire dalla probabilità congiunta di trovare oggetti nei due volumi:

e

La sua trasformata di Fourier è lo spettro di potenza

Se il clustering è isotropico entrambi dipendono solo dal modulo della variabile(separazione e vettore d’onda rispettivamente).

⟩⟨=⟩⟨= ⋅−+∞

∞−∫

23 )()()( kerkdkP rik δξ€

⟨δP⟩= n2δV1δV 2⟨1+ξ (r)⟩

€

δ(v x ) =

ρ(v x )− ρ ρ

€

ξ(r) = δx1δx2

La statistica: come descrivere le disomogeneità dell’universo

Un’altra importante caratterizzazione statistica è fornita dalla varianza

2R delle fluttuazione di densità di massa in una sfera di raggio R

(Media su Vu)

Il valore della varianza è normalizzato a 8h-1 Mpc per i conteggi di galassie

(8),spesso quindi si normalizza lo spettro di potenza su questa scala. La variazione del valore dall’unità

b=1/ 8

è detto parametro di bias e misura la discrepanza tra la distribuzione della massa osservabile e della Dark Matter.

€

2R =

ΔMM

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

R

= δ2

R

Vu → ∞+ isotropia

=1

2π 2P(k)k2dk

0

∞∫

Lo spettro primordiale

Modelli teorici di formazione delle strutture ipotizzano uno spettro primordiale delle fluttuazioni di densità generate durante la fase inflazionaria.È molto utilizzata l’ipotesi semplificativa che lo spettro di potenza iniziale abbia un’espressione a legge di potenza P(k) ~ kn .

In particolare durante un processo inflazionario è previsto che da fluttuazioni quantistiche su scale microscopiche sorga uno spettro della forma P(k,tp)=Apk (np=1) detto spettro di Zel’dovich; le fluttuazioni inoltre sarebbero in origine gaussiane.Variazioni da questa forma sorgono durante le successive fasi dell’evoluzione cosmica e scale caratteristiche sono impresse sulla forma dello spettro all’avviarsi della formazione delle strutture. A causa dell’evoluzione delle fluttuazioni rimane invariato fino alle scale della ricombinazione, per poi evolvere in modo diverso a seconda della natura della particella che domina l’espansione.Lo spettro post-ricombinazione è scritto come

Prec(k)=P0(k)T2(k)

Dove T(k) è la funzione di trasferimento. La semplice moltiplicazione è giustificata dal fatto, già menzionato, che durante l'evoluzione lineare i singoli modi di oscillazione del campo evolvono indipendentemente.

Perché piace lo spettro di Zel’dovich

Nell’era radiativa le fluttuazioni crescono linearmente come t~R2.

Ora le perturbazioni entrano nell’orizzonte quando r= ct e la massa nell’orizzonte è M~r3~t3~R-3 (R2)3~R3

Fluttuazioni similari su tutte le scale significano assenza di una scala preferenziale oggi consistente con l’omogeneità osservata su larga scala

€

R∝ t1

2

€

δ∝ R2M−(n+3)

6

€

δ∝ M2

3M−(n+3)

6COSTANTE SE n=1!

Come vedere lo spettro

La fluttuazione di densità primordiale viene amplificata dalla gravità e da origine all’anisotropia osservata nel CMBI primi dati osservativi sono stati quelli di COBE. Sulle grandi scale i dati hanno mostrato valori di n= 1.1 ± 0.1 (n=1 è la previsione dell’inflazione)

Si ricostruisce lo spettro delle fluttuazioni con le survey di ammassi di galassie e calcolando il clustering (funzioni di correlazione) delle galassie come una funzione della scala. Sulle piccole scale invece sappiamo che la funzione di correlazione delle galassie ha una pendenza di -1.8 (negativa: il clustering è più forte man mano che la scala decresce)

Spettro dal CMB

Survey recenti

Due importanti survey hanno permesso di vedere lo spettro di potenza•Sloan Digital Sky Survey: fotometria multibanda di tutti gli oggetti visibili per un quarto dell’intero cielo nord

•2dF Galaxy Redshift Survey: redshift e spettri di un vasto numero di galassie nel cielo sud (AAT).

Risultati spettro

Lahv et al. (2003) hanno comparato l’ampiezza delle fluttuazioni provata dalla 2dF Galaxy Redshift Survey con le recenti stime dal CMB. Il risultato è un valore del parametro di normalizzazione 8 compatibile con alcune determinazioni dell’abbondanza dei cluster. La derivazione è ottenuta assumendo un modello ΛCDM e questi risultati ne proverebbero indirettamente l’accordo con i dati sperimentali.

La comparazione con misure indipendenti per esempio dalla SDSS ha portato a un accordo dei dati delle differenti survey.

La linea rossa rappresenta i contorni della funzione di likelihood nell’analisi

CMB+2dF. 8 =0.73±0.05, valore minore di quello di COBE ma

risolverebbe problema sovraprevisione galassie satellite.

Evoluzione : modello lineare per fluttuazioni totalmente barioniche

Si parte da equazioni della fluidodinamica

Dal modello di background statico di Jeans si definisce una grandezza caratteristica che stabilisce il limite oltre il quale la gravità predomina sulla forza di pressione che tende a contrastare l’evoluzione della fluttuazione:

E la massa di jeans corrispondente:

),()(4),(

),(),()),((),(

)(

)(2

),(

0),(),(),(

22 txtatx

t

txtxvtxvtxv

ta

ta

t

txv

txtxvt

tx

δπ

δδ

=Φ∇

∂Φ∂

−=∇⋅++∂

∂

=⋅∇+∂

∂

&

€

λ j= csπ

Gρ

€

M j =16

πρλ3j

Conti…un metodo generale

• Si definisce la dipendenza del background dal tempo

, , , (Lifshitz)

• Si definiscono le equazioni della fluididinamica in base all’ambiente(es:in ambiente radiativo si introducono i termini di pressione della radiazione)

• Si introduce una perturbazione

= B+δ , p=pB+δp , g=gB+δg , v=vB+v1

e si ottengono 3 equazioni differenziali al I ordine in δ/.

• Si passa alla descrizione di Fourier introducendo δ/=δk(t)eik·r

• Si combinano le 3 equazioni così trasformate in un’unica equazione del II ordine della forma

che si studiano ai limiti per k o di kjeans.

€

B = ρ0R0

R

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟3

€

vB =r r

R.

R

€

gB = −r r

4π3

Gρ

€

pB = 0

€

A ˙ δ + B˙ a a

˙ δ +ω2δ = 0

Evoluzione lineare delle fluttuazioni barioniche

Se M>Mj(zeq)

Se M<Mj(zeq)

€

δ∝tti

€

δ∝tti ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟23

equivalenza ricombinazione

€

δ∝tti

€

δ∝t−13cost−t0λ

⎡ ⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

equivalenza ricombinazione

Entrata nell’orizzonte prima dell’equivalenza: regime sonoro ad ampiezza costante

Funzione di trasferimento : spettro barionico post-ricombinazione

T(k) è la funzione di trasferimento che fornisce l’ampiezza delle fluttuazioni trasmesse alla ricombinazione in funzione della scala k. Tale funzione tiene conto della modulazione subita dallo spettro delle perturbazioni, dopo l’entrata nell’orizzonte, a causa di vari processi come la dissipazione sotto la massa di Silk, l’effetto di free streaming, l’effetto di stagnazione.

ricombinazione

€

T(a)(k;t≥trec)=1 per

€

k<k(a)J,rec

€

T(a)(k;t≥trec)≈aeqarec≈ 130Ωh2 per

€

k>k(a)J,rec

€

T(a)(k;t≥trec)≈k−2

Evoluzione delle fluttuazioni barioniche

Le perturbazioni barioniche cominciano a crescere subito dopo il disaccoppiamento.

Poiché le perturbazioni della componente oscura della materia, la componente dominante la massa dell’Universo, hanno cominciato a crescere prima per la minore interazione con la componente di radiazione, il contrasto di densità della materia oscura è più alto di quello dei barioni.

La crescita delle perturbazioni barioniche è allora guidata dalle disomogeneità già esistenti nella distribuzione di materia oscura. E’ come se la materia barionica appena disaccoppiata trovasse già formate le buche di potenziale e vi cadesse dentro immediatamente.

Problemi di un modello totalmente barionico

• Riconciliare le previsioni del modello di nucleosintesi primordiale.

• Viene previsto bh2≤0.1.

• Lo spettro barionico dà fluttuazioni troppo grandi sulla scala di 10-20 h-1 Mpc rispetto a quanto osservato nella distribuzione delle galassie .

• Il modello puramente barionico predice fluttuazioni di temperatura nel CMB troppo grandi rispetto a quanto osservato. (COBE)

Cosa fluttua?

La maggior parte della materia sembra essere non sotto forma di barioni ma di una componente debolmente interagente, la materia oscura. Questa materia non può essere descritta come un gas perfetto, perchè non interagisce in modo significativo neanche con se stessa; essa è non collisionale. Di conseguenza l'unica interazione è quella gravitazionale. In questi casi la resistenza all'attrazione gravitazionale viene data semplicemente dal moto delle particelle di materia oscura, che fornisce un termine di pressione efficace. Nel caso cosmologico di materia non collisionale, se v* è la velocità casuale tipica delle particelle (escludendo naturalmente il termine di espansione di Hubble), l'equivalente della lunghezza di Jeans, detta lunghezza di free streaming (flusso libero), viene espressa come:

L'interpretazione del fenomeno è la seguente: se le particelle di materia oscura hanno una dispersione di velocità v*, tutte le perturbazioni su scala inferiore alla lunghezza di free streaming verranno cancellate dal semplice moto delle particelle: una sovradensità non può persistere se le particelle che la compongono sfuggono prima

che questa riesca a crescere.

€

λ j = v *π

Gρ

Lo spettro delle perturbazioni alla ricombinazione dipende quindi dalla

lunghezza di free streaming, perché tutte le perturbazioni di scala inferiore verranno

cancellate. Questa dipende a sua volta da v*, la quale

e determinata dallo stato termodinamico delle particelle al momento del disaccoppiamento dalle altre specie.

Evoluzione delle fluttuazioni

Evoluzione delle fluttuazioni

R or t

Radiation dominated

Matter dominated

Post-recombination

Dark m

atter

Baryons

Baryons collapse into potential wells of DM

Funzione di trasferimento

Log k

Log

Tk

CDM

MDM

HDM

Small scalesLarge scales

Baryons

P(k) Post-Ricombinazione

Log k

=

P(k

)k3

Small scalesLarge scales

HDM

CDM iso-curvatura

CDM

Modelli non barionici : il modello HDM

Se la particella si disaccoppia mentre è ultrarelativistica, si avrà v*~ c; questo porterà alla cancellazione di tutte le perturbazioni su scala uguale alla distanza percorsa dalla particella dal momento del disaccoppiamento ad oggi. Si parla in questo caso di materia oscura calda. (Hot Dark Matter).Un ottimo esempio di materia oscura calda viene dato da una specie di neutrini massivi, con massa 10 - 30 eV. Questa massa è superiore ai limiti sperimentali per i neutrini elettronici, ma non si può escludere per i neutrini e .

Per i neutrini massivi la lunghezza di free streaming ammonta a diversi Mpc, per cui le prime strutture che si formano sono ammassi di galassie di ~1015 M. Negli anni '70 (quando l'Universo a z > 0 era sostanzialmente ignoto) la scuola sovietica portò avanti questo modello, sostenendo che le galassie potevano formarsi dal collasso e successiva frammentazione della struttura a grande scala (i “pancake”).

Questo scenario, chiamato top-down, non riproduce la distribuzione delle galassie a z = 0, né tantomeno la formazione delle galassie osservata a z ~ 3 - 5.

Modello CDM

La più probabile forma di materia oscura non barionica capace di dominare la densità di massa è conosciuta come “Cold Dark Matter” (CDM, materia oscura fredda) così chiamata per via della debole interazione con il campo di radiazione che ne anticipa il disaccoppiamento e quindi il raffreddamento. I candidati primari di CDM sono ricercati tra le particelle massive debolmente interagenti ( WIMPS da Weakly Interacting Massive ParticleS) come i leptoni super-simmetrici associati ai bosoni (e.g. Photino, Gravitino or Higgsino), che hanno masse predette dell’ordine dei GeV. Se il costituente principale della ΩM dell’Universo fosse sotto forma di CDM, allora la crescita delle perturbazioni inizia prima del disaccoppiamento: la materia non barionica si disaccoppia dalla radiazione in epoche precedenti e poiché non risente del campo di radiazione può collassare e formare buche di potenziale anche durante l’era dominata dalla radiazione. Al momento del disaccoppiamento il gas barionico, che fino a quell’epoca era stato legato al campo di radiazione dalle forze elettrostatiche, cade molto velocemente nelle buche di potenziale create dalla materia non barionica.

Modello CDM :lo scenario gerarchico

Dal modello CDM consegue uno scenario di formazione delle strutture detto “gerarchico” o “bottom up”: gli aloni si formano prima a scale piccole e poi, per aggregazione gravitazionale, a scale via via crescenti. In altre parole, un ammasso di galassie si forma attraverso il collasso di molte galassie, contenute in aloni di materia oscura formati in precedenza. Questa caratteristica rende i modelli CDM molto più aderenti all'evidenza osservativa rispetto ai modelli di materia oscura calda. La storia di accrescimento e fusione degli aloni è un ingrediente fondamentale per la formazione delle galassie.

In contesto cosmologico, sotto l’ipotesi che la materia oscura sia fredda, la formazione di strutture e’ gerarchica a qualunque scala alla quale lo spettro di potenza abbia indice spettrale locale n-3.Non e’ possibile confutare il modello gerarchico senza confutare anche il modello di formazione della struttura a grande scala dell’Universo, e di conseguenza l’intero modello standard della cosmologia

Modello CDM: lo scenario gerarchico

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Modello CDM

I modelli ΛCDM sono costruiti a partire dall’ipotesi che la somma della densità attuale di materia Ωm e della costante cosmologica espressa in unità di densità critica ΩΛ sia uguale a uno (Ωm + ΩΛ = 1) per produrre l’Universo piatto generato dai modelli inflazionari.

Questi modelli assumono che le fluttuazioni primordiali siano adiabatiche (tutte le componenti fluttuano assieme) e gaussiane, che lo spettro delle fluttuazioni sia uno spettro di Harrison-Zeldovich

(Pp(k) = Ak n, con n ≈ 1) e che la materia oscura sia completamente fredda.

Test osservativi (Primack J.R. 2002)

• Predice correttamente l’abbondanza di cluster a z<1• Consistente con P(k) dalla Lyman alfa forest e anisotropie CMB• Modelli CDM (a basso m) predicono che l’ampiezza dello spettro di potenza

siano molto grandi per scale k<0.02hMpc (cioè per k più piccoli del picco acustico) e questo sembra confermato da risultati preliminari 2dF e SDSS.

• Prevede la corretta funzione di correlazione• Predice la densità numerica di galassie• Modellando gli aloni con il profilo di NFW, la dispersione degli aloni prevista

produce un a dispersione di Tully Fisher consistente con quella osservata

Problemi:• Il modello prevede che la densità degli aloni delle singole galassie abbia

l’andamento ~r- con ~1 quindi la velocità di rotazione al centro delle galassie ~r0.5. I dati mostrano una crescita della velocità lineare con il raggio cioè densità circa costante al centro.Questo problema è ancora aperto.

• Il modello prevede inoltre che gli aloni galattici debbano essere pieni di sottostruttura.

Entrambe queste predizioni non risultano verificate: gli aloni di materia oscura che ospitano le galassie sembrano significativamente piùf piatti di quelli CDM, e la grande abbondanza di sottostruttura prevista non trova riscontro nelle osservazioni.

Creazione degli aloni: collasso sferico

L’evoluzione delle fluttuazioni passa poi in regime non lineare (δ>1). La crescita della disomogeneità può essere molto complicata, ma è possibile considerare analiticamente il caso di collasso sferico (anche se non realistico).

•La soluzione della RG per una sfera è esattamente la stessa per una cosmologia di Friedmann-Robertson-Walker chiusa.

con hp:

Si trova una soluzione per cui

€

˙ a a

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

=83

πGρ −k

a2

€

˙ a a

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

= H 2i Ωi

ai

a− Ωi −1( )

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

€

Hi =˙ R R

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟i

=˙ a a

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟i

€

R = RiΩ

2(Ω −1)(1− cosθ )

t =1

H i

Ω

2(Ω −1)3

2

(θ −sinθ )

r

= π

Suppongo la virializzazione

δvir (lineare)~1.68

La funzione di massa : Press&SchechterLa funzione di massa permette di seguire in maniera statistica la distribuzione

degli aloni:Press&Schechter 1974: a partire dal collasso sferico uniforme, calcolano il

numero di aloni di massa M dato uno spettro di fluttuazioni di densità P(k) (distribuite in modo Gaussiano):

• La F(>M) di oggetti gravitazionalmente legati con massa >M può essere stimata come la frazione di massa che soddisfa la condizione di collasso a questa scala: δM> δc.. δc e’ il contrasto di densità estrapolato dalla teoria lineare di una fluttuazione sferica collassata per cosmologie critiche (senza costante cosmologica)

• La condizione di collasso è locale e può essere espressa in termini di quantità in un punto.

• Si assume che il collasso del modello top-hat sferico corrisponda alla virializzazione dell’alone

• Buon accordo con N-Body; accordo ancora migliore con formule modificate (es.: Sheth-Tormen (2000), ) che risolvono problemi ai limiti di scala. (ref. Shandarin, 2000)

€

∂n∂M

(M ,z)dM = −2ρ M

∂P(δM > δcrit )∂M

dM =2π

ρ M

∂c(z)

σ 2(M )

dσdM

exp −∂2

c(z)

2σ 2(M )

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Test osservativi: la survey REFLEX

L’abbondanza di ammassi di galassie come funzione della massa pone uno dei limiti più forti sull’ampiezza delle fluttuazioni di massa su 8 h-1 Mpc(8),cioè la normalizzazione dello spettro, e sul parametro di densità m. Il legame tra sigma 8 e la funzione di massa proviene da (White et al. 1993):

NMA è un’osservabile. La survey REFLEX ha stimato questi due parametri combinando due test osservativi

1.Calcolo delle fluttuazioni spaziali dei cluster2.Calcolo dell’abbondanza media dei cluster

La combinazione dei test avviene con un metodo particolare (KL) che restituisce una likelihood tra

1.Il modello di Pobs(k) e lo spettro osservato2.Il modello di abbondanza media(funzione di massa Jenkins) e quella osservata.

€

NM A=

2π

δc

2σ 8

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

3

yy−3/ y exp(−y2 )dy

ymax

∞∫

Risultati

Si ottiene m=0.341 8=0.711. Questo valore permette il fit dello spettro utilizzando il modello CDM.Si ha buon accordo con altre misure indipendenti tra cui:• Il valore ottenuto con 2dF• CMB data

Il valore di 8 ottenuto è inferiore di quello ottenuto con COBE, ma valori più piccoli aiutano a ridurre il problema del modello CDM nella previsione di un numero troppo grande di galassie satellite di piccola massa(Bullock).

BibliografiaEVOLUZIONE DELLE STRUTTURE• Peebles 1980, “Large scale structure of the Universe• Coles, Lucchin 2002, “Cosmology”

OSSERVAZIONI SPETTRO• Percival et al. 2001 astro-ph/0105252• Lahav et al. 2003 astro-ph/0112162• Cole et al. 2005 astro-ph/0501174• Tegmark et al., The Astrophysical Journal (2003) astro-ph/0310725

TEST CDM• Primack J.R. 2002 astro-ph/0205391

FUNZIONE DI MASSA• Press W.H., Schechter P. , The Astrophysical Journal 187, 425-438 (1974)• Shandarin S.F., (2000)

REFLEX• Schuecker P et al. A&A 398, 867-877 (2003)• White S.D.M. et al.,MNRAS, 262, 1023-1028 (1993)

CDM: evoluzione di tipo bottom up

Se lo spettro alla ricombinazione ha una pendenza logaritmica meno ripida di P(k) k-3, la formazione delle strutture procede in modo cosiddetto bottom-up o gerarchico: si formano prima gli aloni piccoli, che poi si fondono in aloni sempre più grandi.

In altre parole, un ammasso di galassie si forma attraverso il collasso di molte galassie, contenute in aloni di materia oscura formati in precedenza.

Questa caratteristica rende i modelli CDM molto più aderenti all'evidenza osservativa rispetto ai modelli di materia oscura calda.

La storia di accrescimento e fusione degli aloni è un ingrediente fondamentale per la formazione delle galassie.

Possibili soluzioni