COSMOLOGIAIn che Universo viviamo?

Nicola VittorioDip.Fisica, Universita’ di “Tor Vergata”Nicola.Vittorio@roma2.infn.it7259/4498

†

V = H0r

†

H0 = 500 km/sMpc

Hubble original estimate

La legge di Hubble

r

a

p

La distanza r corrispondente ap=1’’ e’ stata assunta comeunita’ di misura delle distanzestellari

Poiche’ a = 1.5 1013 cm

1 parsec=3 1018 cm

1 1 Mpc Mpc =3 10=3 102424 cm cm

Il Megaparsec

…to measure Ho to10% accuracy….….

†

H0 = 70 ± 7( ) km/sMpc

HubbleConstant

W. Freedman et al. (1999)

The Hubble KeyProject

On the curvature of spaceA.Friedmann, 1922

“The purpose of this note is ...to demonstrate the possibilityof a world in which thecurvature of space isindependent of the threespatial coordinates, but doesdepend on time”

Aleksandr Aleksandrovich Friedman: 1888- 1925

Un universo inespansione

Modelli cosmologici

ct

y

x

Coordinate gaussiane

Gauge sincrona

Coordinate comobili

†

g00 =1;g0k = 0;

†

ds2 = dx 02 - R2(t) dr2

1- kr2 + r2dW2È

Î Í

˘

˚ ˙ ; k =

+10-1

Ï

Ì Ô

Ó Ô

Modelli Cosmologici

ct

y

x

ct

y

x

Teorema di BirkhoffTeorema di Birkhoff Analogia newtonianaAnalogia newtoniana

†

˙ ̇ R = -GMR2 ¤ 1

2˙ R 2 -

GMR

= e

M =43

pR3

˙ ̇ R R

= -43

pGr ¤ ˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

-2eR2 =

83

pGr

˙ ̇ R R

= -43

pGr ¤ ˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

+kc 2

R2 =83

pGr

Modelli cosmologici

MR

MR

Modelli cosmologici

M

†

UT 0

=GM /R

˙ R 2 /2 0=

8pGr3

R˙ R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

0

=8pGr0

3H02 =

r0

rcrit

= W0

rcrit = 2 ¥10-29 h2 gcm3 ; h = H0

100 km s-1

Mpc

>0<1-1

=0=10

<0>1+1

EEWW00kk

†

-2e = kc 2

t

t

Wo< 1< 1

Wo=1=1

Wo> 1> 1

k= -1k= -1

k= 0k= 0

k= +1k= +1

a(t)

a(t)

a(t)

t

†

a(t) =tto

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2 3

†

a(t) =Wo /21- Wo

1- cosh[ ]

Hot =Wo /2

1-Wo( )3 2 h - sinh[ ]

†

a(t) =Wo /21- Wo

coshh -1[ ]

Hot =Wo /2

1-Wo( )3 2 sinhh -h[ ]

Cosmologia relativistica

Costante cosmologica: L

“Cosmological considerationson the general theory of

relativityA.Einstein,1917

“In order to arrive at thisconsistent view, we admittedlyhad to introduce an extensionof the field equations ofgravitation which is notjustified” by

Costante cosmologica: L

†

˜ r = r +c 2L8pG

; ˜ p = p -c 2L8pG

;

u Modifica delle equazioni di campo dellarelativita’ generale

u E’ come avere un fluido con

†

˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

+kc 2

R2 =83

pGr +13

Lc 2 ¤ ˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

=c 2

3L - Q R( )[ ]

L ≥ Q(R) ≡3kR2 -

8pGc 2 r +

Costante Cosmologica: k=+1Costante Cosmologica: k=+1

0

Q(R)Q(R)

RRRREE

L=0

L3

L2

L1

L4

L5

†

Consideriamo un universo di polvere, p = 0. Abbiamo visto che

Q R( ) =3

R2 -8pGc 2 r

ha un massimo in corrispondenza di1

RE2 =

4pGc 2 r0

Scegliamo

LE = Q RE( ) =3

RE2 -

8pGc 2 r0 =

1RE

2

Otteniamo la soluzione statica di Einstein˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

E

2

=c 2

3LE - Q RE( )[ ] = 0;

˙ ̇ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

E

2

= -4pG

3˜ r 0 = -

4pG3

r0 +13

LEc 2 = 0

L & k=+1

†

Assumiamo come ordine di grandezza r0 ª10-30 gcm-3; allora

RE2 =

c 2

4pGr0

ª 3 ¥1028cm LE =1

RE2 @10-57cm-2

La massa dell'universo di Einstein e'M = 2p 2r0RE

3 ª 5 ¥1056 gLa densita' media del sistema solare (SS) e'

rSS ª3MSole

4pRPlutone3 =

34p

2 ⋅1033 g40 ¥1.5 ⋅1013cm( )

ª 2.2 ⋅10-12 g /cm3

L'influenza di L sulla dinamica del sistema solare e' trascurabile :r0

rss

ª 5 ⋅10-19

L & k=+1

de Sitter model

k=0, r=0

†

˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

=13

Lc 2 fi R µexp L3

ctÈ

Î Í

˘

˚ ˙

Costante Cosmologica: k=0,-1Costante Cosmologica: k=0,-1

0

Q(R)Q(R)

RR

L2

L=0

L1

Equazione diFriedman

†

˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

+kc 2

R2 =8pG

3r0

R3 +13

Lc 2

Tassodiespansione

Fase cinematica:domina la curvatura

Fase decelerata:domina la materia

Fase accelerata:domina la costantecosmologica

time

time

Problema dellapiattezza

†

Per definizione

W t( ) ≡8pG

3H 2(t)r t( )

Dall'equazione di Friedman, con L = 0 e a(t) = R(t)/R(t0), si ottiene

H 2(t) ≡˙ R R

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

2

= H02 W0

a3(t)+

1- W0

a2(t)È

Î Í ˘

˚ ˙

si ricava

1W t( )

-1=1

W0

-1Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ¥ a(t)

Quindi in un universo di Friedman limt Æ0W t( ) =1

Problema dellapiattezza

t

W(t)

1

Espansionedecelerata

†

W(t) =1-E

T (t)

t

W(t)

1

Espansioneaccelerata

Espansionedecelerata

†

W(t) =1-E

T (t)