Fondamenti di Probabilità - unisi.it...matematico, tanto che nel (scritto verso il 1560, maLiber de...

Fondamenti diProbabilità

LucioBarabesi

Pagina intenzionalmente vuota

Capitolo 1

Eventi e classi di eventi

1.1. Nozioni preliminari

Si consideri un (o un ) nei confronti del quale ci si trovaesperimento fenomenoin condizioni di . L'incertezza è determinata dal fatto che l'esperimentoincertezza(o il fenomeno) in questione sia suscettibile di verificarsi secondo una pluralitàdi risultati, tali che uno (e uno solo) di essi si deve necessariamente realizzare. Inquesto caso, l'esperimento (o il fenomeno) è detto .aleatorio

L'insieme i cui elementi rappresentano i possibili risultati dell'esperimentoHaleatorio, è detto (o ) e il genericospazio fondamentale insieme delle eventualitàelemento di è anche detto . Ogni parte di identifica un= H Heventualità Ievento e il risultato realizza se . Inoltre, un evento composto da= = =I − I Ö ×un solo risultato è detto . Infine, l'evento viene anche dettoevento elementare Hevento certo, in quanto si realizza sempre, mentre l'insieme vuoto è dettogevento impossibile.

Per quanto riguarda la di , vi sono tre principali situazioni dicardinalità Hinteresse. Nel primo caso, è finito con card , ovvero contiene unH HÐ Ñ œ 8numero finito di risultati e dunque . Nel secondo caso, è8 œ Ö ßá ß ×H = = H" 8

numerabile, ovvero contiene una infinità numerabile di risultati e dunqueH = = Hœ Ö ß ßá×" # . Infine, nel terzo caso, è non numerabile, ovvero contieneun'infinità non numerabile di risultati.

Esempio 1.1.1. Si consideri una moneta con le facce contrassegnate dai simboli“testa” e “croce”, che viene comunemente adottata nel più semplice giocod'azzardo, detto appunto . Questa terminologia deriva dalle sagometesta e croceche erano coniate su molte monete italiane dei secoli passati, in quanto unafaccia usualmente raffigurava il volto del re, mentre l'altra riportava il simbolocristiano della croce. Simili terminologie sono comuni a molte culture, con unnome generalmente derivante dalle raffigurazioni sulle facce dei conii. Adesempio, nell'antica Roma i due simboli venivano denominati “navis” e “caput”,dal momento che su alcune monete romane era rappresentata una nave su una

2 Eventi e classi di eventi

faccia e la testa dell'imperatore sull'altra. Analogamente, l'uso nel mondoanglosassone dei termini “head” e “tail” per i simboli sulle due facce derivaprobabilmente dalla moneta da dieci centesimi di sterlina, su cui eranorappresentate la faccia del monarca regnante, ed un leone araldico con una codain evidenza.

Figura 1.1.1. Una lira del 1863 raffigurante i simboli “testa” e croce”.

Com'è noto, il gioco consiste semplicemente nello scommettere su una delle duefacce e nel lanciare in aria la moneta. La faccia vincente è quella mostrata dallamoneta dopo la caduta. Dunque, il gioco è in effetti un esperimento aleatorio. Sesi indicano rispettivamente con e i risultati relativi al verificarsi delle facce= =" #

contrassegnate dalla testa e dalla croce, lo spazio fondamentale è dato daH = = H Hœ Ö ß × Ð Ñ œ #" # e quindi è finito con card . Si noti che esiste una certaarbitrarietà nella scelta della codifica dei risultati. Ad esempio, molti autoripreferiscono indicare in modo più esplicito i due risultati solamente con i simboli> - e . In questo caso, lo spazio fondamentale viene scritto semplicemente comeH œ Ö ß ×> - .

Esempio 1.1.2. I dadi sono stati adottati a scopo di gioco d'azzardo finodall'antichità. La loro origine sembra risalire a circa 5000 anni fa nella regionedell'attuale India. Riferimenti al gioco dei dadi sono contenuti nella Bibbia, e ilgioco d'azzardo con tre dadi era molto popolare nell'antica Grecia e soprattuttonell'antica Roma. Nel Medioevo il gioco con i dadi era uno dei passatempipreferiti dei cavalieri. Molti problemi classici di calcolo delle probabilità si sonooriginati dal gioco dei dadi (si veda Gordon, 1997, Hald, 1990). Addirittura, inquello che può essere considerato il primo trattamento della Teoria dellaProbabilità, ovvero nel dell'italiano Gerolamo CardanoLiber de Ludo Aleae(1501-1576), il gioco dei dadi è centrale nell'esposizione. Cardano ebbe una vitaavventurosa e molto travagliata, e fu anche un giocatore d'azzardo oltre chematematico, tanto che nel (scritto verso il 1560, maLiber de Ludo Aleaepubblicato postumo solo nel 1663) esiste addirittura una sezione dedicata ai

3Capitolo 1

metodi per barare efficacemente (per una biografia di Cardano si veda Ore,1953).

Figura 1.1.2. Gerolamo Cardano (1501-1576).

I dadi comunemente adottati nel gioco d'azzardo sono cubi con le facce marcateda punti, dove , e le somme dei punti su due facce contrapposte3 3 œ "ßá ß 'sono pari a sette (si veda la Figura 1.1.3). Si suppone che dadi di questo tiposiano stati adoperati anche dagli antichi etruschi, non solo per gioco, ma ancheper divinazione.

Figura 1.1.3. Comuni dadi da gioco e “sviluppo” di un singolo dado.

Se si considera un singolo dado, il gioco consiste nel far rotolare il dado su unasuperficie piana e convenzionalmente viene preso come esito del lancio il valoreche si viene a trovare sulla faccia rivolta verso l'alto quando il dado termina ilproprio movimento. Anche in questo caso il gioco è dunque un esperimentoaleatorio. Se si indica con il risultato relativo al verificarsi della faccia=3

contrassegnata da punti, si ha e quindi è finito3 œ Ö ß ß ß ß ß ×H = = = = = = H" # $ % & '

con card . Tenendo presente la discussione nell'Esempio 1.1.1, la codificaÐ Ñ œ 'H


dello spazio fondamentale può essere data da , interpretandoH œ Ö"ß #ß $ß %ß &ß '×tuttavia le cifre come simboli piuttosto che come numeri naturali. In questo caso,l'evento che si verifichi un numero pari di punti è dato da , ovveroI œ Ö#ß %ß '×I è la parte di costituita da tutti i risultati relativi al verificarsi di una facciaHcontrassegnata da un numero pari di punti. Inoltre, l'evento che si verifichi unnumero di punti maggiore o uguale a è dato da , che è effettivamente' I œ Ö'×un evento elementare e che non deve essere ingenuamente confuso con ilrisultato . Infine, l'evento che si verifichi un numero di punti maggiore di è' )dato da , ovvero è un evento impossibile. I œ g I

Esempio 1.1.3. Si consideri l'esperimento aleatorio che consiste nell'inserire inmodo casuale palline in celle. In questo caso, gli elementi di sono in7 Q Hcorrispondenza biunivoca con tutte le possibili configurazioni di palline nellecelle. Se le palline sono distinguibili, allora è finito con card ,H HÐ Ñ œ Q7

mentre se le palline sono indistinguibili, allora card . Al fine diÐ Ñ œH Q7"7

rappresentare le varie configurazioni, almeno per valori modesti di e , si7 Qadottano di solito spazi fra barre per indicare le celle, mentre leQ ÐQ "Ñpalline vengono indicate come simboli differenti all'interno delle barre se sonodistinguibili e con un asterisco se sono indistinguibili. Ad esempio, supponendoche e , nel caso di palline distinguibili (che vengono indicate diQ œ $ 7 œ #seguito con i simboli e ), si ha card . Dunque, in modo+ , Ð Ñ œ $ œ *H #

leggermente informale anche se efficace, i possibili risultati dell'esperimentoaleatorio possono essere rappresentati come

= = =

= = =

= = =

" # $

% & '

( ) *

œ ± +, ± ± ± ß œ ± ± +, ± ± ß œ ± ± ± +, ± ß

œ ± + ± , ± ± ß œ ± + ± ± , ± ß œ ± ± + ± , ± ß

œ ± , ± + ± ± ß œ ± , ± ± + ± ß œ ± ± , ± + ±

.

Nel caso di palline indistinguibili si ha card , e in questo caso siÐ Ñ œ œ 'H %#

ottiene

= = =

= = =" # $

% & '

œ ± ‡‡ ± ± ± ß œ ± ± ‡‡ ± ± ß œ ± ± ± ‡‡ ± ß

œ ± ‡ ± ‡ ± ± ß œ ± ‡ ± ± ‡ ± ß œ ± ± ‡ ± ‡ ±

.

Si supponga che sia possibile inserire al più una pallina per cella. Assumendoche , se le palline sono distinguibili si ha card ,7 Ÿ Q Ð Ñ œ QxÎÐQ 7ÑxH

mentre se le palline sono indistinguibili allora si ha card .Ð Ñ œH Q7

Considerando di nuovo e , nel caso di palline distinguibili si haQ œ $ 7 œ #card , e i possibili risultati dell'esperimento aleatorio possonoÐ Ñ œ $xÎ"x œ 'Hessere rappresentati come

5Capitolo 1

= = =

= = =" # $

% & '

œ ± + ± , ± ± ß œ ± + ± ± , ± ß œ ± ± + ± , ± ß

œ ± , ± + ± ± ß œ ± , ± ± + ± ß œ ± ± , ± + ±

.

Al contrario, nel caso di palline indistinguibili si ha card , e siÐ Ñ œ œ $H $#

ottiene

= = =" # $œ ± ‡ ± ‡ ± ± ß œ ± ‡ ± ± ‡ ± ß œ ± ± ‡ ± ‡ ± .

Per i dettagli relativi al calcolo combinatorio relativo alle configurazioni dipalline nelle celle del presente Esempio e per le corrispondenti applicazioni allameccanica quantistica, si veda Feller (1968, p.9).

Esempio 1.1.4. Si consideri una moneta con le facce contrassegnate dai simboli“testa” e “croce” e l'esperimento aleatorio che consiste nel lanciare ripetutamentela moneta fino a quando non si presenta il simbolo “testa”. Se si indica con il=8

risultato relativo al verificarsi del primo simbolo “testa” all' -esimo lancio, lo8spazio fondamentale è dato da e quindi è numerabile.H = = Hœ Ö ß ßá×" #

Tenendo presente la discussione fatta nell'Esempio 1.1.1, una codifica piùimmediata dello spazio fondamentale è data da . ConsiderandoH œ Ö"ß #ßá×una situazione specifica, l'evento tale che si verifichi il primo simbolo testa adIun numero pari di lanci è dato da . Dunque, anche l'evento èI œ Ö#ß %ßá× Inumerabile.

Esempio 1.1.5. Si consideri il tempo di attesa per un evento sismico in unadeterminata zona. Ogni risultato relativo a questo fenomeno aleatorio è del tipo“il tempo di attesa è pari a unità temporali”, dove . Dunque, una> > !formalizzazione dello spazio fondamentale è data da , per cui non èH Hœ Ò!ß∞Ònumerabile. Considerando una situazione specifica, l'evento tale che il tempo diattesa sia compreso tra 1 e unità temporali è dato da e quindi anche$ I œ Ò"ß $Ól'evento non è numerabile.I

1.2. Classi di eventi e operazioni sugli eventi

Un insieme costituito da eventi di è detto . La classeX H classe di eventicostituita da tutti gli eventi di , e dagli eventi e , è detto H Hg insieme delle partidi ed è indicato con la notazione . Una classe di eventi verrà talvoltaH c HÐ Ñindicata con , dove è un opportuno insieme di indici, eventualmente nonÐI Ñ M3 3−M

numerabile. Se , per indicare la classe si adotta la notazioneM œ Ö"ßá ß 8×


ÐI Ñ M œ Ö"ß #ßá×3 3œ"8 . Se , la classe è detta e vienesuccessione di eventi

indicata con la notazione . Inoltre, se , per indicare laÐI Ñ M œ Ö!ß "ßá×8 8 "

successione di eventi si adotta anche la notazione .ÐI Ñ8 8 !

Dal momento che in effetti gli eventi sono insiemi, le usuali operazioniinsiemistiche possono essere immediatamente considerate sugli eventi di .HTuttavia, è opportuno dare a queste operazioni una lettura nel presente ambitocon adeguate terminologie e definizioni. Dati due eventi e , si dice che I I I" # "

implica e si adotta la notazione , quando il verificarsi di I I § I I# " # "

comporta necessariamente il verificarsi di , ovvero se e solo se un risultato cheI#

realizza è anche un risultato che realizza . Inoltre, due eventi e sonoI I I I" # " #

detti e si adotta la notazione , quando il verificarsi dell'unouguali I œ I" #

implica il verificarsi dell'altro e , ovvero se si ha contemporaneamenteviceversaI § I I § I I" # # " e . Infine, l' (o ) di è dato daevento opposto evento contrario

I œ Ö − À Â I×- = H = ,

ovvero l'evento si verifica quando non si verifica . In particolare, si haI I-

H- œ g.Data una classe di eventi di , l' è dato daÐI Ñ3 3−M H evento unione

3−M

3 3I œ Ö − À b3 − Mß − I ×= H = ,

ovvero l'evento si verifica quando si verifica almeno uno degli eventi3−M 3I

della classe. Nel caso in cui la classe è costituita da eventi di ,8 ÐI Ñ3 3œ"8 H

l'evento unione viene usualmente scritto come , e se l'evento3œ"8

3I 8 œ #unione viene indicato semplicemente con la notazione . Infine, quando siI ∪ I" #

considera una successione di eventi , l'evento unione viene indicato conÐI Ñ8 8 "8œ"∞

8I .Data una classe di eventi di , l' è dato daÐI Ñ3 3−M H evento intersezione

3−M

3 3I œ Ö − À a3 − Mß − I ×= H = ,

ovvero l'evento si verifica quando si verificano tutti gli eventi della3−M 3I

classe. In modo simile a quanto fatto per l'evento unione, nel caso in cui la classesia costituita da eventi, l'evento intersezione viene scritto come , e se8 I

3œ"8

3

8 œ # I ∩ I si adotta la notazione . Infine, nel caso di una successione di" #

eventi, l'evento intersezione viene indicato con .8œ"∞

8IEsistono due utili relazioni, che prendono nome dal matematico inglese

Augustus De Morgan (1806-1871), autore fra l'altro del testo An Essay on

7Capitolo 1

Probabilities (1838), e che permettono di esprimere un evento intersezione comeun evento unione (e ), ovveroviceversa

3−M 3−M

3

-

3-I œ I

e

3−M 3−M

3

-

3-I œ I .

Dati due eventi e , l' (o di I I I" # #evento differenza evento complementare rispetto ad ) è dato daI"

I Ï I œ Ö − À − I Â I ×" # " #= H = =, ,

ovvero l'evento si verifica quando si verifica e non si verifica . InI Ï I I I" # " #

particolare, si ha , mentre risulta evidente la relazioneI œ Ï I- H

I Ï I œ I ∩ I" # " #- .

Si noti che se , allora si ha , in quanto non è possibile che siI § I I Ï I œ g" # " #

verifichi e non si verifichi quando il verificarsi di implica il verificarsiI I I" # "

di . Inoltre, è ovvio che , in quanto è impossibile l'evento che siI I Ï I œ g#

verifica quando contemporaneamente si verifica e non si verifica . Infine, seII § I I Ï I# " " #, allora l'evento è detto .differenza propria

Esempio 1.2.1. Si consideri l'esperimento aleatorio che consiste nel lancio di undado. Dati gli eventi e , si ha . Inoltre,I œ Ö"ß #× I œ Ö"ß #ß $ß %× I § I" # " #

risulta e , mentre si haI œ Ö$ß %ß &ß '× I œ Ö&ß '×" #- -

I ∪ I œ Ö"ß #ß $ß %×" # ,

e

I ∩ I œ Ö"ß #×" # .

Dato l'ulteriore evento , risultaI œ Ö"ß &×$

3œ"

$

3I œ Ö"ß #ß $ß %ß &× ,


e

3œ"

$

3I œ Ö"× .

Infine, si ha , mentreI Ï I œ g" #

I Ï I œ Ö$ß %×# " .

Gli eventi della classe sono detti quando il verificarsi diÐI Ñ3 3œ"8 incompatibili

uno di essi esclude il verificarsi di tutti gli altri, ovvero quando perI ∩ I œ g3 4

ogni . Ovviamente, due eventi e sono incompatibili se3 Á 4 œ "ßá ß 8 I I" #

I ∩ I œ g I I" #-. In particolare, e sono eventi incompatibili, così come

ciascun evento elementare è incompatibile con tutti gli altri eventi elementari diH. Inoltre, l'evento impossibile è incompatibile con tutti gli altri eventi. Infine, seI I I Ï I œ I" # " # " e sono incompatibili, allora .

Gli eventi della classe sono detti quando uno di essi si deveÐI Ñ3 3œ"8 esaustivi

necessariamente verificare, ovvero quando

3œ"

8

3I œ H .

Si dice che gli eventi della classe costituiscono una di ÐI Ñ3 3œ"8 partizione finita H

quando sono incompatibili e esaustivi. In modo analogo, gli eventi dellasuccessione , sono detti quando per ogniÐI Ñ I ∩ I œ g8 8 " 8 7incompatibili8 Á 7 œ "ß #ßá I œ, mentre sono detti quando . Gli eventiesaustivi

8œ"∞

8 Hdella successione costituiscono una di quandoÐI Ñ8 8 " partizione numerabile Hsono incompatibili e esaustivi.

Esempio 1.2.2. Si consideri il lancio di un dado. Gli eventi ,I œ Ö"ß $×"

I œ Ö#ß %ß &× I œ Ö'×# $ e costituiscono una partizione finita di . Gli eventiHI œ Ö"ß $ß %× I œ Ö#ß %ß &× I œ Ö%ß '×" # $, e sono esaustivi, anche se noncostituiscono una partizione finita di .H

Data una successione , si dice della successioneÐI Ñ8 8 " limite inferiorel'evento

9Capitolo 1

lim inf8

8 5

8œ"

∞ ∞

5œ8

I œ I ,

ovvero l'evento appartiene a tutti gli eventi della successione stessalim inf8 8Iad esclusione al più di un numero finito di questi. Inoltre, si dice limite superioredella successione l'evento

lim sup8

8 5

8œ"

∞ ∞

5œ8

I œ I ,

ovvero l'evento appartiene ad una infinità numerabile di eventi dellalim sup8 8Isuccessione stessa. Se i due eventi e coincidono, allora silim inf lim sup8 8 8 8I Idice della successione l'eventolimite

lim lim inf lim sup8 8

8 8 88

I œ I œ I .

Inoltre, se per ogni , la successione è detta ,I § I 8 œ "ß #ßá8 8" crescentementre se per ogni , la successione è detta .I § I 8 œ "ß #ßá8" 8 decrescenteSuccessioni crescenti o decrescenti sono dette . Dalle precedentimonotonedefinizioni risulta facile verificare che una successione crescente ammettesempre limite, dato da

lim8

8 8

∞

8œ"

I œ I ,

così come una successione decrescente ammette sempre limite, dato da

lim8

8 8

∞

8œ"

I œ I .

Esempio 1.2.3. Si supponga di considerare un esperimento aleatorio che consistenello scegliere casualmente un punto su un segmento di lunghezza unitaria. Inquesto caso, lo spazio fondamentale associato all'esperimento aleatorio è dato daH œ Ò!ß "Ó ÐI Ñ I. Si consideri la successione il cui generico evento risulta8 8 " 8

I œ Ò!ß Ð" Ð "Ñ ÑÎ%Ó88 .

Dunque, si ha I œ Ò!ß "Î#Ó 8 I œ Ö!× 88 8 se è dispari, mentre se è pari, da cui


lim inf8

8 5

8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞

5œ8

I œ I œ Ö!× œ Ö!× e

lim sup8

8 5

8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞

5œ8

I œ I œ Ò!ß "Î#Ó œ Ò!ß "Î#Ó .

Non esiste dunque il limite della successione in quanto e lim inf lim sup8 8 8 8I Inon coincidono. Se si considera invece la successione decrescente il cuiÐI Ñ8 8 "

generico evento risulta

I œ Ò!ß 8 Ó8" ,

il suo limite è dato da

lim8

8 8

∞

8œ"

I œ I œ Ö!× ,

in quanto, verificandosi l'evento elementare , si verifica ciascun evento Ö!× I8

della successione. Se si considera invece la successione crescente il cuiÐI Ñ8 8 "

generico evento è dato da

I œ Ò!ß Ð" 8 ÑÎ#Ó8" ,

il suo limite risulta

lim8

8 8

∞

8œ"

I œ I œ Ò!ß "Î#Ó ,

in quanto, se si verifica l'evento , si verifica almeno un evento dellaÒ!ß "Î#Ó I8

successione.

Si noti che le operazioni definite per gli eventi possono essere estese in modogenerale alle classi di eventi, dal momento che in effetti classi di eventicostituiscono insiemi di insiemi. In particolare, date due classi di eventi e ,X X" #

si dice che è in e si adotta la notazione , se e solo se perX X X X" # " #contenuta §ogni evento si ha . Due classi di eventi e sono dette eI − I −X X X X" # " # ugualisi adotta la notazione , quando si ha contemporaneamente eX X X X" # " #œ §

11Capitolo 1

X X X# " 3 3−M§ Ð Ñ M. Se rappresenta una classe di classi di eventi, dove è uninsieme eventualmente non numerabile, la rispettiva è definita comeunione

3−M

3 3X c H Xœ ÖI − Ð Ñ À b3 − MßI − × ,

mentre la rispettiva è definita comeintersezione

3−M

3 3X c H Xœ ÖI − Ð Ñ À a3 − MßI − × .

Se , in modo simile a quanto fatto per le successioni di eventi, siM œ Ö"ß #ßá×adotta la notazione , mentre l'unione e l'intersezione vengono indicateÐ ÑX8 8 "

rispettivamente con e . 8œ" 8œ"∞ ∞

8 8X X

1.3. -algebre5

Dato un esperimento aleatorio, anche se ogni parte di può essere interpretataHcome un evento, certe parti potrebbero non essere interessanti ai fini di undeterminato problema, oppure potrebbero essere troppo complicate per essereanalizzate. In ogni caso specifico, è conveniente dunque scegliere una classe dieventi non vuota, in modo che possieda caratteristiche di stabilità rispetto alleprincipali operazioni insiemistiche. Una importante classe di eventi che gode diquesta proprietà è la cosiddetta -algebra.5

Definizione 1.3.1. Si dice di eventi una classe non vuota di5-algebra Yeventi di tale che:Hi) se , allora ;I − I −Y Y-

ii) se è una successione di eventi di , allora .ÐI Ñ I −8 8 " 88œ"∞Y Y

In pratica la -algebra è una classe di eventi “chiusa” rispetto alle operazioni5di complementazione e unione numerabile. Dunque, esempi immediati di -5algebre sono la classe , oppure la classe .c H HÐ Ñ Ögß ×

Esempio 1.3.1. Si consideri lo spazio fondamentale . LeH = = =œ Ö ß ß ×" # $

possibili -algebre che si possono costruire da sono date da5 H

Y H" œ Ögß × ,


Y = = = H# " # $œ Ögß Ö ×ß Ö ß ×ß × ,

Y = = = H$ # " $œ Ögß Ö ×ß Ö ß ×ß × ,

Y = = = H% $ " #œ Ögß Ö ×ß Ö ß ×ß × ,

Y = = = = = = = = = H c H& " # $ " # " $ # $œ Ögß Ö ×ß Ö ×ß Ö ×ß Ö ß ×ß Ö ß ×ß Ö ß ×ß × œ Ð Ñ .

Si noti che è contenuta in tutte le altre -algebre, mentre contiene tutte leY 5 Y" &

altre.

Teorema 1.3.2. Ogni -algebra contiene la -algebra .5 Y 5 HÖgß ×Dimostrazione. Dal momento che ogni -algebra è non vuota, esiste almeno5

un evento . Allora, dalla Definizione 1.3.1, si ha anche eI − I −Y Y-

I ∪ I œ − œ g −- -H Y H Y. Di conseguenza, .

Tenendo presente il precedente Teorema, la -algebra è detta la più5 HÖgß ×piccola -algebra su . Al contrario, dal momento che per ogni -algebra su5 H 5 YH Y c H c H 5 H si ha , allora è detta la più grande -algebra su .§ Ð Ñ Ð Ñ

Teorema 1.3.3. Se è una successione di eventi di , alloraÐI Ñ8 8 " Y8œ"∞

8I − Y .Dimostrazione. Dal momento che è una successione di eventi di ,ÐI Ñ8

-8 " Y

si ha e di conseguenza . Dalla relazione di De 8œ" 8œ"∞ ∞

8 8- - -I − Ð I Ñ −Y Y

Morgan si ha , da cui segue la tesi. 8œ" 8œ"∞ ∞

8 8- -I œ Ð I Ñ

Teorema 1.3.4. Se , allora .I ßI − I I −" # " #Y YÏDimostrazione. Dal momento che , anche . La tesiI ßI − I ∩ I −" "# #

- -Y Ysegue dalla relazione .I Ï I œ I ∩ I" # " #

-

Attraverso i precedenti Teoremi si deduce che la -algebra è una classe di5eventi “chiusa” rispetto alle principali operazioni insiemistiche considerate nellaSezione 1.2, ovvero rispetto alla complementazione, all'unione e all'intersezionenumerabile, e alla differenza. Inoltre, se è una successione di eventi diÐI Ñ8 8 "

Y 5 anche gli eventi , e appartengono alla -lim inf lim sup lim8 8 8 8 8 8I I Ialgebra, in quanto sono definiti tramite unioni e intersezioni numerabili di eventi.

13Capitolo 1

Teorema 1.3.5. Se è una classe di -algebre, allora l'intersezioneÐ ÑY 53 3−M

Y Y 5œ 3−M 3 è una -algebra.

Dimostrazione. L'intersezione è non vuota, dal momento che contiene almenola -algebra . Se , allora per ogni . Dunque, 5 H Y Y YÖgß × I − I − 3 − M I −3 3

-

per ogni e quindi . In modo simile, se , allora3 − M I − ÐI Ñ −-8 8 "Y Y

I − 8 " 3 − M I − 3 − M8 3 8 38œ"∞Y Y per ogni e . Dunque, per ogni e quindi

8œ"∞

8I − Y .

Anche se il precedente Teorema assicura che l'intersezione di -algebre è5ancora una -algebra, si noti che l'unione 5

3−M 3Y 5 non è in generale una -algebra.

Nella Teoria della Probabilità risulta fondamentale considerare inizialmenteuna classe di eventi con una struttura semplice con proprietà minimali esuccessivamente considerare una -algebra che la contiene. Più esattamente, data5una classe di eventi su , si dice da , e si indica conX H X5-algebra generata5 X 5 X YÐ Ñ Ð Ñ, la più piccola -algebra che contiene . Dunque, se è la classe di3 3−M

5 X Y-algebre tali che , allora§ 3

5 X YÐ Ñ œ 3−M

3 .

Evidentemente contiene, oltre a tutti gli eventi di , anche tutti gli eventi5 X XÐ Ñche si possono ottenere al più da un insieme numerabile di operazioni effettuatesugli eventi di .X

Esempio 1.3.2. Si consideri di nuovo l'Esempio 1.3.1. Data la classe di eventi

X = =œ Ögß Ö ß ××# $ ,

allora e . Quindi si haX Y X Y§ §# &

5 X Y YÐ Ñ œ œ3−Ö#ß&×

3 # .

Si noti inoltre che

3−Ö#ß$×

3 " # " $ # $Y = = = = = = Hœ Ögß Ö ×ß Ö ×ß Ö ß ×ß Ö ß ×ß ×

non è una -algebra. Ad esempio, la precedente classe non contiene l'evento5I œ Ö ß × ∩ Ö ß × œ Ö ×= = = = =" $ # $ $ .


1.4. Spazi probabilizzabili

Se è una -algebra su , la coppia è detta .Y 5 H H YÐ ß Ñ spazio probabilizzabileUno spazio probabilizzabile può essere costruito a partire da una classe iniziale Xdi eventi di , in modo tale da considerare la -algebra generata da , ovveroH 5 Y XY 5 X X 5 Xœ Ð Ñ Ð Ñ. Se la classe è scelta in maniera appropriata, soddisfa qualsiasiesigenza di carattere pratico, nel senso che contiene tutti gli eventi sui qualinormalmente si opera. In ogni caso, sussiste una certa arbitrarietà nella sceltadella classe iniziale, in quanto dipende dal criterio con il quale si consideranoalcuni eventi interessanti e altri eventi non interessanti.

Se è finito, si può scegliere la classe degli eventi elementariH = =œ Ö ßá ß ×" 8

X = Y 5 X c Hœ ÐÖ ×Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ3 3œ"8 come classe iniziale. In questo caso, . Risulta

facile verificare che contiene eventi, ovvero card . In modoY Y# Ð Ñ œ #8 8

analogo, se è una partizione finita di , allora e si ha diX H Y 5 Xœ ÐI Ñ œ Ð Ñ3 3œ"8

nuovo card .Ð Ñ œ #Y 8

Esempio 1.4.1. Se si considera il lancio di un dado, allora si può scegliereX Y c H Yœ ÐÖ3×Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ # œ '%3œ"

' ', in modo tale che si ha con card .Tuttavia, se l'interesse dell'esperimento aleatorio è focalizzato solamente sulverificarsi di una faccia pari o dispari, si potrebbero considerare solamente glieventi e , in modo tale che I œ Ö"ß $ß &× I œ Ö#ß %ß '× œ ÖI ßI ×" # " #Xcostituisce una partizione finita di . In questo caso, si haH

Y 5 X Hœ Ð Ñ œ ÖgßI ßI ß ×" # ,

con card .Ð Ñ œ # œ %Y #

Esempio 1.4.2. Un esperimento aleatorio consiste nello spezzare casualmente unsegmento di lunghezza unitaria in due parti. Anche se in questo caso lo spaziofondamentale contiene una infinità non numerabile di eventiH œ Ò!ß "Óelementari, si può considerare gli eventi , eI œ Ò!ß "Î$Ò I œ Ò"Î$ß #Î$Ò" #

I œ Ò#Î$ß "Ó$ , che rappresentano rispettivamente l'evento che il segmento siastato spezzato nella parte inferiore, centrale o superiore. Evidentemente,X Hœ ÖI ßI ßI ×" # $ costituisce una partizione finita di , per cui

Y 5 X Hœ Ð Ñ œ ÖgßI ßI ßI ßI ∪ I ßI ∪ I ßI ∪ I ß ×" # $ " # " $ # $ .

Tuttavia, la ricchezza di eventi contenuta in non viene effettivamenteHconsiderata a causa della estrema semplicità della classe iniziale.

15Capitolo 1

Se è numerabile, ovvero , si può scegliere di nuovo laH H = =œ Ö ß ßá×" #

classe degli eventi elementari come classe iniziale. Dunque, si haX =œ ÐÖ ×Ñ8 8 "

ancora .Y 5 X c Hœ Ð Ñ œ Ð ÑSe è non numerabile, allora non è opportuno considerare l'insieme delleH

parti , in quanto questa classe risulta troppo ampia da probabilizzare (sic HÐ Ñveda il Capitolo 3). Quindi, ci si deve limitare a scegliere una opportuna classeiniziale, in modo tale che contenga gli eventi di interesse per l'analisi5 XÐ Ñdell'esperimento aleatorio.

Esempio 1.4.3. Si consideri lo spazio fondamentale . In questo caso, laH ‘œclasse iniziale può essere scelta come la classe degli eventi del tipo X Ó+ß ,Ó. Se siconsidera dunque la -algebra generata da , ovvero , è opportuno5 Y X Y 5 Xœ Ð Ñanalizzare alcune categorie di eventi che appartengono a . La successione diYeventi , dove appartiene a , ed essendo questaÐI Ñ I œ Ó+ 8 ß ,Ó8 8 " 8

" Ysuccessione decrescente, il suo limite è dato da

lim8

8

8œ"

∞"I œ Ó+ 8 ß ,Ó œ Ò+ß ,Ó .

Quindi, contiene eventi del tipo . Dunque, dal momento che Y Ò+ß ,Ó Ò+ß +Ó œ Ö+×appartiene ad , contiene anche tutti gli eventi elementari. Inoltre, laY Ysuccessione di eventi , dove appartiene a , ed essendoÐI Ñ I œ Ó+ 8ß ,Ó8 8 " 8 Yquesta successione crescente, il suo limite è dato da

lim8

8

8œ"

∞

I œ Ó+ 8ß ,Ó œ Ó ∞ß ,Ó .

Quindi, contiene eventi del tipo . In generale, si può verificare che laY Ó ∞ß ,Ó5 Y X-algebra generata da contiene tutti gli eventi del tipo , , eÓ+ß ,Ò Ó+ß ,Ó Ò+ß ,ÒÒ+ß ,Ó Ó ∞ß ,Ó Ó ∞ß ,Ò Ò+ß∞Ò Ó+ß∞Ò, gli eventi del tipo , , e , oltre a tutti glieventi elementari. Inoltre, contiene tutti gli eventi ottenibili da un insiemeYnumerabile di operazioni insiemistiche su questi eventi.

Nel linguaggio della Teoria della Misura, la -algebra discussa nell'Esempio51.4.3 è detta , che prende nome dal matematico francese5-algebra di BorelÉmile Borel (1871-1956), uno dei pionieri della Teoria della Misura e delle sueapplicazioni alla Teoria della Probabilità. Generalmente, la -algebra di Borel è5indicata con e i suoi elementi sono detti . Inoltre, la coppiaU ‘Ð Ñ BorelianiÐ ß Ñ‘ U ‘ 5Ð Ñ è uno . spazio misurabile Si può dimostrare che la costruzione della -


algebra di Borel può anche essere fatta a partire dalla classe degli insiemi apertidi , dal momento che ogni insieme aperto di può essere espresso come‘ ‘unione numerabile di insiemi del tipo (si veda Dudley, 2004, p.98). QuestaÓ+ß ,Òcostruzione è equivalente a quelle fatte partendo da una qualsiasi classe diinsiemi del tipo Ó+ß ,Ò Ó+ß ,Ó Ò+ß ,Ò Ò+ß ,Ó, , e , o da una qualsiasi classe di insiemi deltipo , , e . Se , si adotta anche la notazioneÓ ∞ß ,Ó Ó ∞ß ,Ò Ò+ß∞Ò Ó+ß∞Ò §“ ‘U “ 5 “Ð Ñ F ∩ F − per indicare la -algebra i cui elementi sono del tipo con U ‘Ð Ñ.Si noti infine che la costruzione di insiemi che non sono Boreliani è moltolaboriosa (si veda Dudley, 2004, p.496) e dunque soddisfa pienamente alleU ‘Ð Ñesigenze di carattere pratico.

Figura 1.4.1. .Émile Borel (1871-1956)

1.5. Prodotto cartesiano di spazi fondamentali

Si considerino esperimenti aleatori, a ciascuno dei quali risulta associato lo5spazio fondamentale , dove , e si combinino in modo da ottenereH3 3 œ "ßá ß 5un unico esperimento aleatorio. In questo caso, lo spazio fondamentale prodottorisulta essere il prodotto cartesiano

H H Hœ ‚â‚" 5 ,

ovvero gli elementi di sono tutte le possibili -ple tali cheH 5 Ð ß Ñ= =" 5á ß= =" " 5 5 " " 5 5− ßá ß − I § ßá ßI §H H H H. In questo caso, se , si dice eventorettangolare un evento dello spazio fondamentale prodotto i cui elementiI Hrisultano essere tutte le possibili -ple con ,5 Ð ß Ñ − I ßá ß − I= = = =" 5 " " 5 5á ßovvero

17Capitolo 1

I œ I ‚â‚I" 5 .

Inoltre, l'evento è detto dell'evento rettangolare suI § I3 3H evento proiezioneH H3. Infine, se è una scelta di indici di , un evento è detto N M I § eventocilindrico se si verificano gli eventi con , ovveroI § 3 − N3 3H

I œ J ‚â‚ J" 5 ,

dove se , mentre se .J œ I 3 − N J œ 3 − M Ï N3 3 3 3HSe sono spazi probabilizzabili corrispondenti ai Ð ß Ñßá ß Ð ß Ñ 5 5H Y H Y" " 5 5

esperimenti aleatori, la relativa allo spazio fondamentale5-algebra prodotto Yprodotto è la -algebra generata dalla classe dagli eventi rettangolari di e siH 5 Hscrive

Y Y Yœ ŒâŒ" 5 .

La coppia è detta . Inoltre, Ð ß ÑH Y spazio probabilizzabile prodotto per quantoriguarda la costruzione dello spazio probabilizzabile Ð ß ÑH Y H, se è finito onumerabile, allora si può scegliere . Se invece almeno uno degli spaziY c Hœ Ð Ñfondamentali è non numerabile, allora anche è non numerabile. In questoH H3

caso, può essere scelta come la -algebra generata dagli eventi rettangolari diY 5H.

Nella Teoria della Misura si considera usualmente lo spazio prodotto‘ ‘ ‘ 5 ‘5 5œ ‚â‚ . In questo caso, la -algebra di Borel su è data daU ‘ U ‘ U ‘Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ5 œ ŒâŒ e può essere costruita a partire dagli insiemirettangolari di del tipo ‘5 Ó+ ß , Ó ‚â‚ Ó+ ß , Ó" " 5 5 (o in modo simile a quantovisto nella Sezione 1.4, dal prodotto cartesiano di ogni tipo di intervallo osemiretta). è Nel linguaggio della Teoria della Misura, la coppia Ð ß Ñ‘5 U ‘Ð Ñ5

uno . Infine, se , si adotta la notazione spazio misurabile prodotto “ ‘ U “§ Ð Ñ5

per indicare la -algebra i cui elementi sono del tipo con 5 “F ∩ F − U ‘Ð Ñ5 .In generale, se si considera una classe di spazi fondamentali , dove èÐ Ñ MH3 3−M

un insieme eventualmente non numerabile, allora lo spazio fondamentaleprodotto è dato da

H Hœ 3−M

3 ,

ovvero in questo caso gli elementi di risultano essere tutte le famiglie del tipoHÐ Ñ − 3 − M= H3 3−M 3 3 tali che per ogni . Inoltre, si dice un= evento rettangolareevento dello spazio fondamentale prodotto i cui elementi risultano essereI Htutte le possibili famiglie tali che per ogni , ovveroÐ Ñ − I 3 − M=3 3−M 3 3=


I œ I3−M

3 .

Infine, se è una scelta di un numero finito di indici di , un evento èN M I § Hdetto se si verificano gli eventi con , ovveroevento cilindrico I § 3 − N3 3H

I œ J3−M

3 ,

dove se , mentre se .J œ I 3 − N J œ 3 − M Ï N3 3 3 3HSe è la classe di spazi probabilizzabili corrispondente alla classeÐÐ ß ÑÑH Y3 3 3−M

di esperimenti aleatori, la sullo spazio fondamentale5-algebra prodotto Yprodotto è la -algebra generata dalla classe degli eventi cilindrici di e vieneH 5 Hscritta come

Y Yœ 3−M

3 .

Anche in questo caso, la coppia è detta .Ð ß ÑH Y spazio probabilizzabile prodotto

Esempio 1.5.1. Si considerino due lanci di una moneta. Poichè ogni lancio è unesperimento aleatorio che ha come spazio fondamentale , con H3 œ Ö ß × 3 œ "ß #> -(dove al solito e rappresentano gli esiti relativi al verificarsi delle due facce> -della moneta), lo spazio fondamentale prodotto relativo all'esperimento aleatoriocombinato risulta

H H Hœ ‚ œ ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñ×" # > > > - - > - - .

La -algebra prodotto è data da , dove e5 Y Y Y c H Y c Hœ Œ œ Ð Ñ œ Ð Ñ" # " "

Y c H Y# #%œ Ð Ñ Ð Ñ œ # œ "', con card . Dunque, risulta

Y œ Ögß ÖÐ ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß

ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×ß

ÖÐ ß Ñß

> > > - - > - - > > > - > > - >

> > - - > - - > > - - - - > - -

> > Ð ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñ×ß ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñ×ß

ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñ×ß ×

> - - > > > > - - - > > - > - -

> - - > - - H .

L'evento

I œ ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñ×> > - >

è rettangolare, dal momento che può essere espresso come , doveI œ I ‚I" #

I œ Ö ß × I œ Ö × I" " # #> - > è un evento di , mentre è un evento di . L'evento èH H

19Capitolo 1

anche cilindrico, dal momento che , e può essere rappresentato dunqueI œ" "Hcome . Al contrario, l'eventoI œ ‚IH" #

I œ ÖÐ ß Ñß Ð ß Ñß Ð ß Ñ×> > > - - >

non è rettangolare, in quanto non può essere espresso come prodotto cartesianodi eventi di e .H H" #

Esempio 1.5.2. Si analizza ora la generalizzazione dell'Esempio 1.5.1. Siconsideri un esperimento aleatorio con esito dicotomico, ovvero suscettibile diassumere due soli risultati e del tipo “successo” e “insuccesso”. Uno= =" #

schema che sta alla base di molti modelli probabilistici è appunto la ripetizionedi questo esperimento aleatorio per volte. Lo spazio fondamentale prodotto5H H Hœ ‚â‚ 5" 5 relativo alla combinazione dei esperimenti aleatori risultaallora composto da elementi del tipo , dove e# Ð ß Ñ œ "ß #5

3= =4 4"á ß 4

5

3 œ "ßá ß 5 Ð ß Ñ. In effetti, è il risultato dell'esperimento combinato= =4 4"á ß

5

tale che “ si è verificato nel primo esperimento, , si è verificato nel -= =4 4" 5á 5

esimo esperimento”. In pratica è costituito da tutte le possibili -pleH # 55

composte dai risultati e . Quindi, la -algebra prodotto è data da= = 5" #

Y Y Y c Hœ ŒâŒ œ Ð Ñ #" 5# ed è pertanto costituita da eventi. Lo schema5

appena considerato può essere ulteriormente generalizzato considerandoun'infinità numerabile di ripetizioni dell'esperimento aleatorio. In questo caso, lospazio fondamentale prodotto relativo alla combinazione degliH Hœ

8 " 8

esperimenti aleatori risulta allora composto dalle successioni del tipo ,Ð Ñ=4 8 "8

dove . Inoltre, la -algebra prodotto può essere costruita48 88 "œ "ß # œ5 Y Ya partire dalla classe degli eventi cilindrici. Risulta interessante notare che seH H8 œ Ö!ß "× !, allora ogni elemento di è in effetti una successione di simboli e" Ò!ß "Ó. Tenendo presente la rappresentazione binaria dei numeri in , ogni eventoelementare di può essere quindi messo in corrispondenza con un numero inHÒ!ß "Ó. Lo schema considerato è quindi equivalente all'esperimento aleatorio checonsiste nello scegliere in modo casuale un punto su un segmento di lunghezzaunitaria (per un approfondimento di questi argomenti si consideri Billingsley,1995, p.1). Si deve infine sottolineare che il cosiddetto “schema delle proveripetute” ora descritto è anche detto schema di Bernoulli, dal momento che fuintrodotto dal matematico svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705), un membrodella famosa famiglia di matematici e fisici che include fra l'altro il fratelloJohann Bernoulli (1667-1748) e il nipote Daniel Bernoulli (1700-1782). JakobBernoulli è l'autore di (pubblicato postumo nel 1713), l'operaArs Conjectandi


che ha posto le basi del calcolo combinatorio e introdotto alcuni risultatifondamentali della Teoria della Probabilità.

Figura 1.5.1. Jakob Bernoulli (1654-1705) efrontespizio di (1713).Ars Conjectandi

Esempio 1.5.3. Si consideri il tempo di attesa per un evento sismico in duedeterminate zone. Ogni risultato di questo fenomeno aleatorio è del tipo “i tempidi attesa sono rispettivamente pari a e unità temporali”, dove .> > > ß > !" # " #

Quindi, dal momento che lo spazio fondamentale relativo a ciascun fenomenoaleatorio è del tipo , lo spazio fondamentale prodotto risultaH3 œ Ò!ß∞Ò

H H Hœ ‚ œ Ò!ß∞Ò ‚ Ò!ß∞Ò" # .

L'evento

I œ ÖÐ> ß > Ñ − À > − Ò"ß $Óß > − Ò%ß∞Ò×" # " #H

è rettangolare dal momento che , dove e sonoI œ I ‚I I § I §" # " " # #H Hdati da e . Al contrario l'eventoI œ Ò"ß $Ó I œ Ò%ß∞Ò" #

I œ ÖÐ> ß > Ñ − À > > − Ò!ß $Ó×" # " #H ,

ovvero “la somma dei tempi di attesa non supera le unità temporali”, non è$dato dal prodotto cartesiano di eventi di e . Infine l'eventoH H" #

I œ ÖÐ> ß > Ñ − À > − Ò!ß $Ó×" # "H ,

ovvero “il tempo di attesa nella prima zona non supera le unità temporali”,$risulta esprimibile come prodotto cartesiano , dove è datoI œ I ‚ I §" # " "H Hda . Quindi, rappresenta l'evento cilindrico che si verifichi nelI œ Ò!ß $Ó I I" "

primo esperimento aleatorio. Per quanto riguarda infine la -algebra prodotto, 5 Y

21Capitolo 1

è in questo caso la -algebra generata dagli eventi rettangolari del tipo ,5 I ‚I" #

dove e , mentre e sono -algebre di eventiI − I −" " # # " #Y Y Y Y 5rispettivamente costruite come nella Sezione 1.4 nel caso di un solo esperimentoaleatorio con spazio fondamentale di cardinalità non numerabile. Se si considerainfine il tempo di attesa per un evento sismico per zone situate lungo un interomeridiano, allora lo spazio fondamentale prodotto risulta , dove H Hœ M

3−M 3

rappresenta l'insieme di posizioni sul meridiano. In questo caso, è un insiemeMche contiene un'infinita non numerabile di indici può essere scelta come la e Y5 H-algebra generata dalla classe degli eventi cilindrici di .

1.6. Riferimenti bibliografici

Per quanto riguarda la storia della Teoria della Probabilità, si suggerisce diconsultare i testi di Hald (1998, 2003). L'approccio alla probabilità basato sullaTeoria della Misura è estesamente considerato nei testi avanzati di Ash eDoléans-Dade (2000), Billingsley (1995), Borovkov (2013), Gut (2005), Rao eSwift (2006), Resnick (2014) Walsh (2012) e e nei testi introduttivi di Jacod eProtter (2004), Letta (1993), Rosenthal (2006) e Venkatesh (2012). Basandosisul medesimo approccio, i testi di Dudley (2004) e Kallenberg (2002) fornisconorisultati e dimostrazioni in modo dettagliato e sono opportuni per un lettoreesigente. Per un approccio classico alla probabilità, si dovrebbe consultare ilfondamentale testo di Feller (1968).

Capitolo 2

Misure di probabilità

2.1. Definizione assiomatica di probabilità

Il trattamento rigoroso della Teoria della Probabilità è stato introdotto intornoal 1930 dal matematico russo Andrej Nikolaevic Kolmogorov (1903-1987).Kolmogorov sviluppò il concetto di probabilità assumendo la Teoria dellaMisura come metalinguaggio per la Teoria della Probabilità, in modo da superareil dibattito fra quanti consideravano la probabilità come limite di frequenzerelative, ovvero la cosiddetta impostazione frequentista, e quanti cercavano unfondamento logico della stessa (per un'analisi approfondita dei vari concetti diprobabilità, si veda von Plato, 1994). Al contrario, l'approccio proposto daKolmogorov semplicemente definisce la probabilità in modo assiomatico,postulando in effetti che la probabilità sia una misura normalizzata(Kolmogorov, 1933). Risulta quindi opportuno definire inizialmente il concettodi misura prima di introdurre quello di probabilità.

Figura 2.1.1. Andrej Nikolaevic Kolmogorov (1903-1987).

24 Misure di probabilità

Definizione 2.1.1. Una applicazione è una su se per. Y YÀ Ä Ò!ß∞Ò misuraogni successione di eventi incompatibili si haÐI Ñ −8 8 " Y

. . 8œ" 8œ"

∞ ∞

8 8I œ ÐI Ñ .

La precedente definizione stabilisce che una misura è una funzione nonnegativa su con la cosiddetta proprietà della (o Y 5-additività additivitànumerabile additiva). Una misura è detta invece se dati eventi incompatibili8ÐI Ñ − Ð I Ñ œ ÐI Ñ Ð Ñ œ "3 3 33œ"

83œ" 3œ"8 8Y . . . H, allora . Inoltre, se la misura è

detta . Nel linguaggio della Teoria della Misura, la terna ènormalizzata Ð ß ß ÑH Y .detta .spazio misurato

Data l'importanza del concetto di probabilità, in modo leggermente ridondante,viene data di seguito anche la classica definizione assiomatica di probabilitàattraverso tre assiomi (che evidentemente definiscono di nuovo la probabilitàcome misura normalizzata).

Definizione 2.1.2. Una applicazione è una T À Ä Ò!ß∞ÒY misura diprobabilità probabilità (o semplicemente ) se:i) per ogni ;TÐIÑ ! I − Yii) ;TÐ Ñ œ "Hiii) per ogni successione di eventi incompatibili si haÐI Ñ −8 8 " Y

T I œ TÐI Ñ 8œ" 8œ"

∞ ∞

8 8 .

In effetti, gli assiomi ) e ) della Definizione 2.1.2 stabiliscono che lai iiiprobabilità è una misura -additiva, mentre l'assioma ) stabilisce che questa5 iimisura è normalizzata a . La terna è detta . Si" Ð ß ß T Ñ H Y spazio probabilizzatonoti che l'approccio assiomatico non fornisce il modo con cui selezionare lamisura di probabilità . In pratica, l'individuo che analizza l'esperimento o ilTfenomeno aleatorio esprime un “grado di fiducia” nei confronti degli eventi diY , che lo portano a definire una data misura di probabilità. Ovviamente, undifferente individuo potrebbe essere incline a specificare un diverso “grado difiducia” nei confronti degli stessi eventi di , in modo tale da definire unaYdifferente misura di probabilità rispetto al primo individuo. Quindi, la scelta di

25Capitolo 2

T , ovvero la costruzione di uno spazio probabilizzato, ha per sua natura uncarattere arbitrario e sarà discussa in dettaglio nella Sezione 2.3.

2.2. Alcune proprietà della probabilità

Come conseguenza della definizione assiomatica di probabilità derivanonumerose proprietà. Alcune di queste proprietà sono enunciate di seguito sottoforma di altrettanti Teoremi.

Teorema 2.2.1. Se è uno spazio probabilizzato, si ha .Ð ß ß T Ñ T Ðg œ !H Y ÑDimostrazione. Dal momento che , essendo e incompatibili,H H Hœ ∪ g g

per l'assioma della Definizione 2.1.2 si ha e quindiiiiÑ Ñ Ñ ÑT Ð œ TÐ T ÐgH Hrisulta tenendo presente l'assioma ) della Definizione 2.1.2.TÐg œ !Ñ ii

Teorema 2.2.2. Sia uno spazio probabilizzato. Se , alloraÐ ß ß T Ñ I −H Y Y

TÐI œ " TÐI-Ñ Ñ .

Dimostrazione. Dal momento che , essendo e H œ I ∪ I I I- -

incompatibili, per l'assioma della Definizione 2.1.2 si haiiiÑT Ð œ TÐI TÐIHÑ Ñ Ñ- , da cui si ha la tesi tenendo presente l'assioma ) dellaiiDefinizione 2.1.2.

Esempio 2.2.1. In modo simile all'Esempio 1.1.3, si considerino palline7distinguibili inserite in modo casuale in celle. Si supponga che ogniQconfigurazione di palline nelle celle sia ugualmente probabile, ovvero che perogni evento elementare di si abbia H =TÐÖ × Q3

7Ñ œ . Si vuole determinare laprobabilità di avere una configurazione con almeno due palline in una cella. Inquesto caso, se rappresenta l'evento di ottenere una configurazione con al piùIuna pallina per cella, dal momento che esistono QxÎÐQ 7Ñx di taliconfigurazioni se 7 Ÿ Q , si ha

TÐI œ QQx

ÐQ 7ÑxÑ 7 ,

mentre se . Dunque, la probabilità richiesta è data daTÐIÑ œ ! 7 Q


TÐI œ " QQx

ÐQ 7Ñx- 7Ñ

se , mentre se . Risulta inoltre facile verificare che7 Ÿ Q TÐI Ñ œ " 7 Q-

TÐI-Ñ 7 Q è una funzione crescente di per un dato . Questi risultati possonoessere utilizzati nella soluzione del cosiddetto problema dei compleanni.Supponendo che persone siano riunite in una stanza, questo problema consiste7nell'ottenere la probabilità di avere almeno due persone con il compleanno nellostesso giorno dell'anno. Se si assume che tutte le configurazioni di compleannisiano ugualmente probabili e di avere un anno pari a giorni, laQ œ $'&probabilità richiesta si ottiene immediatamente dalla precedente espressione. Inmodo piuttosto controintuitivo, è sufficiente che persone siano presenti7 œ #$nella stanza per ottenere che questa probabilità sia maggiore di . In effetti in"Î#questo caso si ha TÐI TÐI- -Ñ ¶ !Þ&!( Ñ. Si noti che cresce rapidamente alcrescere di . In effetti se 7 7 œ &! persone sono presenti nella stanza, si haTÐI-Ñ ¶ !Þ*(!. Per curiosità relative al problema dei compleanni si vedaOlofsson (2015, p.61).

Teorema 2.2.3. Sia uno spazio probabilizzato. Se eÐ ß ß T I ßI −H Y Ñ " # YI § I" #, allora

TÐI Ï I œ TÐI TÐI# " # "Ñ Ñ Ñ .

Inoltre, si ha .TÐI Ÿ TÐI" #Ñ ÑDimostrazione. Dal momento che , può essere scritto comeI § I I" # #

I œ I ∪ ÐI Ï I# " # "Ñ ,

dove e sono tra loro incompatibili. Dunque, per l'assioma dellaI I Ï I" # " iiiÑDefinizione 2.1.2 si ha

TÐI œ TÐI TÐI Ï I# " # "Ñ Ñ Ñ ,

da cui segue immediatamente la prima parte. Essendo perTÐI Ï I !# "Ñl'assioma Definizione 2.1.2, si ha la seconda parte.iÑ della

Come conseguenza del Teorema 2.2.3, dal momento che per ogni I − Y si haI § TÐI Ÿ TÐ "H H, allora . Tenendo presente l'assioma ) dellaÑ Ñ œ iDefinizione 2.1.2, si può quindi concludere che per ogni .! Ÿ TÐI Ÿ " I −Ñ Y

27Capitolo 2

Teorema 2.2.4. Sia uno spazio probabilizzato. Se ,Ð ß ß T I ßI −H Y Ñ " # Yallora

TÐI ∪ I œ TÐI TÐI TÐI ∩ I" # " # " #Ñ Ñ Ñ Ñ .

Dimostrazione. Tenendo presente le relazioni

I ∪ I œ I ∪ ÐI Ï I" # " # "Ñ

e

I œ ÐI ∩ I ∪ ÐI Ï I# " # # "Ñ Ñ ,

dal momento che i secondi membri delle due uguaglianze sono dati dall'unionedi eventi incompatibili, per l'assioma della Definizione 2.1.2 risultaiiiÑ

T ÐI ∪ I œ TÐI TÐI Ï I" # " # "Ñ Ñ Ñ

e

TÐI œ TÐI ∩ I TÐI Ï I# " # # "Ñ Ñ Ñ .

Sottraendo membro a membro queste relazioni si ottiene la tesi.

Esempio 2.2.2. Il gioco del bridge è stato frequentemente analizzato in terminiteorici dai matematici. Émile Borel è stato addirittura l'autore, insieme algiocatore di scacchi e di bridge André Chéron (1895-1980), di un manualespecifico, ovvero (1940).Théorie Mathématique du Bridge à la Portée de TousNel gioco del bridge viene assegnata ad ogni giocatore una mano composta da"$ &# carte scelte casualmente da un mazzo di carte. Quindi, se si considera lamano di carte assegnata ad un singolo giocatore, i possibili risultati sono dati datutte le scelte di carte dal mazzo, ovvero card . Se si assume che"$ Ð Ñ œH &#

"$

nessun baro sia presente al tavolo di gioco, si può supporre che ogni mano dicarte sia ugualmente probabile, ovvero che per ogni evento elementare si abbia

TÐÖ ×=3&#"$Ñ œ "

. Si consideri dunque la probabilità di ottenere una mano checontiene l'asso, il re, la regina, il fante e il dieci di almeno un seme di cuori o diquadri. Se si indica con e gli eventi tali che le cinque carte descritte sianoI I" #

presenti nella mano rispettivamente per il seme di cuori e di quadri, allora si ha

TÐI œ TÐI œ%( &#

) "$" #

"

Ñ Ñ .


In effetti vi sono mani equiprobabili che contengono le cinque carte %()

d'interesse per il seme di cuori e altrettante mani per il seme di quadri. Inoltre siha

TÐI I œ%# &#

$ "$" #

"

∩ Ñ ,

dal momento che vi sono mani equiprobabili che contengono %#$

contemporaneamente le cinque carte d'interesse del seme di cuori e del seme diquadri. Dunque la probabilità richiesta è data da

TÐI ∪ I œ # ¶ !Þ!!"%( &# %# &#

) "$ $ "$" #

" "

Ñ .

Questo esempio richiede la conoscenza elementare dei metodi di enumerazione(per una introduzione all'argomento si veda Graham , 1994). Ulterioriet al.problemi relativi al gioco del bridge sono considerati da Ash (2008) e da Feller(1968).

Figura 2.2.1. Frontespizio dell'edizione originale e dell'edizione inglese diThéorie Mathématique du Bridge à la Portée de Tous (1940).

Il Teorema 2.2.4 può essere utilizzato in maniera ricorsiva per ladeterminazione della probabilità dell'unione di eventi. Ad esempio, dati tre8eventi , tenendo presente le proprietà associativa e distributivaI ßI ßI" # $

dell'unione di eventi e applicando tre volte il Teorema 2.2.4, si ottiene

29Capitolo 2

TÐI ∪ I ∪ I œ TÐÐI ∪ I ∪ I Ñ

œ TÐI ∪ I TÐI TÐÐI ∪ I ∩ I Ñ

œ TÐI TÐI TÐI ∩ I TÐI

TÐÐI ∩ I ∪ ÐI ∩ I Ñ

œ TÐI TÐI TÐI TÐI ∩ I

" # $ " # $

" # $ " # $

" # " # $

" $ # $

" # $ " #

Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ Ñ T ÐI ∩ I

TÐI ∩ I TÐI ∩ I ∩ I" $

# $ " # $

Ñ

Ñ Ñ .

In generale, si può ottenere la probabilità dell'unione di eventi mediante la8Formula di Inclusione ed Esclusione considerata nel seguente Teorema. Laformula è stata introdotta da Abraham de Moivre (1667-1754), uno dei padridella Teoria della Probabilità, anche se è comunemente legata al nome delmatematico francese Jules Henri Poincaré (1854-1912). Abraham de Moivrenacque in Francia anche se passò la maggior parte della sua vita in esilio inInghilterra, dove scrisse quello che può essere considerato il primo manuale diTeoria della Probabilità, ovvero pubblicato nel 1718.The Doctrine of Chances

Figura 2.2.2. Abraham de Moivre (1667-1754) efrontespizio di (1718).The Doctrine of Chances

Teorema 2.2.5. (Formula di Inclusione ed Esclusione) Sia unoÐ ß ß TH Y Ñ spazio probabilizzato. Dati eventi , allora8 ÐI Ñ −3 3œ"

8 Y


T I œ TÐI TÐI ∩ I

TÐI ∩ I ∩ I á

Ð " TÐI ∩ I ∩á ∩I

3œ" 3œ" "Ÿ34Ÿ8

8 8

3 3 3 4

"Ÿ345Ÿ8

3 4 5

8"" # 8

Ñ Ñ

Ñ

Ñ Ñ .

Dimostrazione. La relazione è ovviamente verificata per ed è valida per8 œ "8 œ # sulla base del Teorema 2.2.4. Ancora per il Teorema 2.2.4, considerandol'ulteriore evento , si haI −8" Y

T I œ T I ∪ I

œ TÐI Ñ T I T I ∩ I

œ TÐI Ñ T I T ÐI ∩ I Ñ

3œ" 3œ"

8" 8

3 8" 3

8" 3 8" 3

3œ" 3œ"

8 8

8" 3 8" 3

3œ" 3œ"

8 8

.

Applicando la formula di Inclusione ed Esclusione al secondo e terzo addendodella precedente espressione, con un calcolo laborioso anche se ovvio, si ottienela stessa formula con al posto di . Il Teorema è quindi dimostrato perÐ8 "Ñ 8induzione.

Esempio 2.2.3. Si considerino celle numerate in cui vengono inserite in modo8casuale palline a loro volta numerate, in modo tale che una cella contenga una8sola pallina. I possibili risultati sono dati da tutte le configurazioni di pallinenelle celle e quindi risulta card , ovvero gli elementi di sono inÐ Ñ œ 8xH Hcorrispondenza biunivoca con le possibili permutazioni dei primi interi.8Supponendo che ogni configurazione sia ugualmente probabile, ovvero che perogni evento elementare si abbia , si vuole determinare laTÐÖ ×=3 Ñ œ "Î8xprobabilità che almeno una pallina sia in una cella con un numero identico. Se I3

è l'evento per cui la configurazione è tale che la pallina numerata con è nella3cella numerata con , allora la probabilità in questione risulta . Dal3 T I

3œ"8

3

momento che esistono configurazioni per cui la pallina numerata con èÐ8 "Ñx 3nella cella numerata con , allora si ha3

31Capitolo 2

TÐI3Ñ œ œÐ8 "Ñx 8

8x " "

.

Inoltre esistono configurazioni per cui la pallina numerata con è nellaÐ8 #Ñx 3cella numerata con , mentre la pallina numerata con è nella cella numerata con3 44. Dunque si ha

TÐI ∩ I3 4Ñ œ œÐ8 #Ñx " 8

8x #x # "

.

Iterando, risulta

TÐI ∩ I ∩ I3 4 5Ñ œ œÐ8 $Ñx " 8

8x $x $ "

,

e così via. In base alla Formula di Inclusione ed Esclusione, la probabilitàrichiesta è quindi data da

T I œ 8 Ð "" "

#x 8x

œ " Ð "" " "

#x $x 8x

3œ"

8

38"

8"

8 8 8 8

" # # 8 á Ñ

á Ñ

" " "

.

Figura 2.2.3. Frontespizio diEssay d'analyse sur les jeux de hazard (1708).

Per abbastanza elevato la precedente probabilità può essere approssimata da8" Ð "Ñ ¶ !Þ'$#exp e quindi, in modo piuttosto controintuitivo, la probabilitàche almeno una pallina sia inserita in una cella con lo stesso numero risulta


piuttosto elevata. Per ulteriori problemi relativi a giochi di si vedarencontreFeller (1968). La prima analisi del presente problema è dovuta al matematicofrancese Pierre Raymond de Montmort (1678-1719), autore di Essay d'analysesur les jeux de hazard (1708), una delle prime trattazioni del gioco d'azzardo conmetodi probabilistici.

Teorema 2.2.6. Sia uno spazio probabilizzato. Dati eventiÐ ß ß T 8H Y Ñ ÐI Ñ −3 3œ"

8 Y , allora

T I ÐTÐI 3œ"

8

3 33

max ÑÑ .

Dimostrazione. Dal momento che per ogni , alloraI § I 33 33œ"8

TÐI Ÿ TÐ I3 33œ"8Ñ Ñ per il Teorema 2.2.3. Se la disuguaglianza è valida per ogni

TÐI3Ñ, allora risulta valida anche per il corrispondente massimo.


8 Y , allora

T I Ÿ ÐTÐI 3œ"

8

3 33

min ÑÑ .

Dimostrazione. Dal momento che per ogni , allora3œ"8

3 3I § I 3TÐ I Ÿ TÐI

3œ"8

3 3Ñ Ñ per il Teorema 2.2.3. Se la disuguaglianza è valida per ogniTÐI3Ñ, allora risulta valida anche per il corrispondente minimo.

Il prossimo Teorema fornisce due utili disuguaglianze sulla probabilitàdell'unione di eventi. Queste disuguaglianze hanno importanti applicazioni8nella statistica matematica e furono introdotte dal matematico italiano CarloEmilio Bonferroni (1892-1960).

Teorema 2.2.8. (Disuguaglianze di Bonferroni) Sia uno spazioÐ ß ß TH Y Ñ probabilizzato. Dati eventi , allora8 ÐI Ñ −3 3œ"

8 Y

T I Ÿ TÐI 3œ" 3œ"

8 8

3 3Ñ

e

33Capitolo 2

T I TÐI TÐI ∩ I 3œ" 3œ" "Ÿ34Ÿ8

8 8

3 3 3 4Ñ Ñ .

Dimostrazione. La prima disuguaglianza è ovviamente verificata per ed8 œ "è valida per per il Teorema 2.2.4. Inoltre, dal Teorema 2.2.4 si ha8 œ #

T I œ T I ∪ I Ÿ TÐI Ñ T I 3œ" 3œ# 3œ#

8 8 8

3 " 3 " 3 .

Applicando di nuovo il Teorema 2.2.4 si ha

T I Ÿ TÐI Ñ T I ∪ I

Ÿ TÐI Ñ TÐI Ñ T I

3œ" 3œ$

8 8

3 " # 3

" # 3

3œ$

8

.

Iterando il procedimento si ottiene la prima disuguaglianza di Bonferroni perinduzione. Di nuovo, la seconda disuguaglianza è ovviamente verificata per8 œ " 8 œ # ed è valida per per il Teorema 2.2.4. Ancora per il Teorema 2.2.4 etenendo presente la dimostrazione del Teorema 2.2.5, considerando l'ulterioreevento , sulla base della prima disuguaglianza di Bonferroni si haI −8" Y

T I œ TÐI Ñ T I T ÐI ∩ I Ñ

TÐI Ñ T I I ∩ I Ñ

3œ" 3œ" 3œ"

8" 8 8

3 8" 3 8" 3

8" 3 8" 3

3œ"

8 3œ"

8

T Ð .

Applicando la seconda disuguaglianza di Bonferroni al secondo membro dellaprecedente disuguaglianza, si ottiene la seconda parte per induzione.


8 Y , allora

T I TÐI 3œ" 3œ"

8 8

3 3Ñ Ð8 "Ñ.


Dimostrazione. Dalla relazione di De Morgan, si ha

T I œ " T I 3œ" 3œ"

8 8

3 3- .

Dalla precedente relazione e dal Teorema 2.2.8, si ottiene inoltre

T I " TÐI œ " Ð" TÐI Ñ

œ TÐI Ð8 "

3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8

3 33-

3œ"

8

3

Ñ Ñ

Ñ Ñ ,

che è quanto si voleva dimostrare.

Nel caso che vengano considerate successioni di eventi, si possono ottenere uninsieme di ulteriori interessanti proprietà per la probabilità. I seguenti dueteoremi provano la “continuità” della misura di probabilità.

Teorema 2.2.10. Se uno spazio probabilizzato e se è unaÐ ß ß T ÐI ÑH Y Ñ è 8 8 "

successione crescente o decrescente di eventi di , alloraY

lim lim8 8

8 8T ÐI Ñ œ T I .

Dimostrazione. Si consideri una successione crescente. Si ha eI § I8 8"

quindi , ovvero la successione numerica TÐI Ÿ TÐI ÐT ÐI ÑÑ8 8" 8 8 "Ñ Ñammette limite essendo crescente e limitata superiormente da . Si esprima " I8

come unione di eventi incompatibili, ovvero

I œ I ∪ ÐI Ï I ∪á ∪ ÐI Ï I œ I ∪ ÐI Ï I8 " # " 8 8" " 3 3"

3œ#

8

Ñ Ñ Ñ ,

da cui

lim8

8 8 " 3 3"

8œ" 3œ#

∞ ∞

I œ I œ I ∪ ÐI Ï I Ñ ,

essendo dal momento che la successione è crescente. Inoltre,lim8 8 88œ"∞I œ I

si ha

35Capitolo 2

TÐI Ñ œ TÐI Ñ TÐI Ï I8 " 3 3"

3œ#

8 Ñ ,

e quindi, data la -additività di ,5 T

lim

lim

8

88

T ÐI Ñ œ TÐI Ñ TÐI Ï I

I ∪ ÐI Ï I

8 " 3 3"

3œ#

∞

" 3 3"

3œ#

∞

Ñ

œ T Ñ œ T I .

Si consideri una successione decrescente. Risulta dunque e quindiI § I8" 8

T ÐI Ÿ TÐI8" 8Ñ Ñ, ovvero la successione numerica ammette limiteÐT ÐI ÑÑ8 8 "

essendo decrescente e limitata inferiormente da . Se è decrescente la! ÐI Ñ8 8 "

successione è crescente, per cui si haÐI Ñ8-

8 "

lim lim8 8

8 8- -T ÐI Ñ œ T I

e quindi dalla relazione di De Morgan

lim lim lim

lim

8 8 88 8 8

- -

∞ ∞

8œ" 8œ"8-

8 88

T ÐI Ñ œ Ð" TÐI ÑÑ T I

œ T I œ T I T I

œ "

" œ

,

essendo dal momento che la successione è decrescente.lim8 8 88œ"∞I œ I


successione di eventi di , alloraY

T I Ÿ TÐI Ñ Ÿ TÐI Ñ Ÿ T I lim inf lim inf lim sup lim sup8 8

8 8 8 88 8

.

Se la successione ammette limite, allora

lim lim8 8

8 8T ÐI Ñ œ T I .


Dimostrazione. Posto e , è unaG œ I H œ I8 5 8 55œ8 5œ8∞ ∞ ÐG Ñ8 8 "

successione crescente di eventi e è una successione decrescente diÐH Ñ8 8 " eventi. Inoltre, si ha . Dunque, risultaG I § H8 8 8§

lim lim inf8 8

8 8 8

8œ"

∞

G œ G I œ

e

lim lim sup8

8 8 8

8œ"

∞

8H œ H I œ ,

mentre dal Teorema 2.2.10 si ha

lim lim8 8

8 8T ÐG Ñ œ T G œ T I lim inf8

8

e

lim lim8 8

8 8T ÐH Ñ œ T H œ T I lim sup8

8 .

Dal momento che per ogni , allora si ha la primaTÐG Ñ Ÿ I Ñ Ÿ TÐH Ñ 88 8 8T Ðparte del Teorema. La seconda parte del Teorema segue immediatamente dallaprima, in quanto se la successione di eventi ammette limite, allora

T I œ T I lim inf lim sup8

8 88

.


successione di eventi di tale che per ogni , alloraY TÐI Ñ œ ! 88

T I œ ! 8œ"

∞

8 .

Inoltre, se è una successione di eventi di tale che perÐI Ñ T ÐI Ñ œ "8 8 " 8Yogni , allora8

T I œ " 8œ"

∞

8 .

37Capitolo 2

Dimostrazione. Dalla prima disuguaglianza di Bonferroni (Teorema 2.2.8) perogni si ha8

T I Ÿ TÐI 3œ" 3œ"

8 8

3 3Ñ œ ! ,

e quindi dal Teorema 2.2.10 e dall'assioma ) della Definizione 2.1.2 segue laiprima parte del Teorema. Dal momento che se allora ,TÐI Ñ œ " TÐI Ñ œ !8 8

-

dalla relazione di De Morgan e dalla prima parte del Teorema si ha

T I œ " T I œ " 8œ" 8œ"

∞ ∞

8 8- .

2.3. Costruzione di spazi probabilizzati

Dato uno spazio probabilizzabile , al fine di ottenere il relativo spazioÐ ß ÑH Yprobabilizzato , occorre assegnare a ogni evento un numeroÐ ß ß T Ñ I −H Y Yreale mediante una applicazione in modo coerente con i tre assiomiTÐI TÑdella . A questo fine, è conveniente operare in modo che,Definizione 2.1.2assegnate le probabilità a certi particolari eventi di , risultinoYconseguentemente determinate le probabilità di tutti gli altri eventi di .Y

Se card , allora ed è sufficiente assegnare leÐ Ñ œ 8 œ Ö ßá ß ×H H = =" 8

probabilità a ciascuno degli eventi elementari, ovvero

TÐÖ × œ : 3 œ "ßá ß 8=3 3Ñ , ,

affinchè risultino determinate le probabilità di tutti i eventi di . Ovviamente,#8 Yle probabilità di ogni evento elementare devono essere assegnate in modo dasoddisfare i tre assiomi. In altri termini, occorre che per ogni : ! 3 œ "ßá ß 83

e che . In questo caso, infatti, poichè ogni evento è costituito3œ"8

3: œ " I − Ydall'unione di una scelta di eventi elementari ed essendo gli eventi elementari traloro incompatibili, si ottiene che

TÐI œ Ð Ñ:Ñ 3œ"

8

I 3 3" = ,


dove rappresenta la funzione indicatrice dell'insieme , ovvero"EÐBÑ E" "E EÐBÑ œ " B − E ÐBÑ œ ! se e altrimenti.

Nel caso in cui gli eventi elementari siano considerati equiprobabili, ovvero sesi assegna per ogni , allora occorre che risulti : œ : 3 œ "ßá ß 8 : œ "Î83

affinchè . Quindi, risulta evidente che8: œ "

TÐI œ Ð Ñ œ" ÐIÑ

8 8Ñ

3œ"

8

I 3" =card

.

Questo tipo di assegnazione di probabilità è detta di Laplace, in quanto futeorizzata in particolar modo dal matematico Pierre-Simon, marchese de Laplace(1749-1827), autore di alcune delle prime opere sistematiche di Teoria dellaProbabilità, ovvero (1812) e Théorie analytique des probabilités Essaiphilosophique sur les probabilités (1814).

Figura 2.3.1. Pierre-Simon, marchese de Laplace (1749-1827) efrontespizio di (1812).Théorie analytique des probabilités

Esempio 2.3.1. Si consideri il lancio di un dado. Se il dado non è truccato risultanaturale assegnare a ciascuno dei sei eventi elementari corrispondenti aÐciascuna faccia del dado la stessa probabilità . In questo caso, l'eventoÑ : œ "Î'I œ Ö"ß $ß &× T ÐIÑ œ "Î# $ ha probabilità , essendo composto dall'unione di eventi elementari. Se invece il dado è stato truccato e si assegnano le probabilitàTÐÖ × œ : : œ : œ "Î$ : œ : œ : œ : œ "Î"#=3 3 " & # $ % 'Ñ tali che e , si ottiene

TÐI œ : : : œ$

%Ñ " $ & .

39Capitolo 2

In modo analogo si procede nel caso in cui è numerabile, ovvero seHH = =œ Ö ß ßá×" # . Di nuovo, se si assegnano le probabilità a ciascuno deglieventi elementari, ovvero

TÐÖ × : 8 œ "ß #ßá=8 8Ñ œ , ,

rispettando i vincoli per ogni e , risultano: ! 8 œ "ß #ßá : œ "8 88œ"∞

probabilizzati tutti gli eventi , in quanto ciascuno di essi è costituitoI − Ydall'unione di una scelta di un numero finito o di una infinità numerabile dieventi elementari. In altri termini, si ha

TÐI œ Ð Ñ:Ñ 8œ"

∞

I 8 8" = .

Si noti che, in caso di spazi fondamentali che contengono un'infinitànumerabile di risultati, non è possibile assegnare a ciascun evento elementare lastessa probabilità . In questo modo, infatti, non converge la serie .: ! :

8œ"∞

Viceversa, assegnando ad ogni evento elementare, la serie in questione: œ !converge ma risulta . In effetti, in questo caso l'equiprobabilità degliTÐ œ !HÑeventi elementari risulta possibile solo quando la misura di probabilità non è -5additiva, ma semplicemente additiva, come risulta dal seguente esempio.

Esempio 2.3.2. Si consideri uno spazio fondamentale che contiene una infinitànumerabile di risultati, ovvero e si supponga di considerareH = =œ Ö ß ßá×" #

per ogni , l'applicazione tale cheI − À Ä Ò!ß∞ÒY . Y

.ÐI œÐI ∩ E Ñ

5Ñ lim

5

5card ,

dove . L'applicazione rispetta l'assioma della E œ Ö ßá ß ×5 " 5= = . iÑ Definizione2.1.2 in quanto, trattandosi del limite di un rapporto tra quantità non negative,risulta per ogni . Inoltre, l'applicazione rispetta anche. .ÐI ! I −Ñ Yl'assioma della Definizione 2.1.2, in quanto card e quindiiiÑ ÑÐ ∩ E œ 5H 5

. HH

Ð œ œ "Ð ∩ E Ñ

5Ñ lim

5

5card .

Tuttavia, l'applicazione non rispetta l'assioma .. iiiÑ della Definizione 2.1.2Infatti, per un evento elementare si ha card seÖ × ÐÖ × ∩ E œ != =8 8 5Ñ8 œ 5 "ß 5 #ßá ÐÖ × ∩ E œ " 8 œ "ßá ß 5, e card se , per cui=8 5Ñ


. ==

ÐÖ × œ œ !ÐÖ × ∩ E Ñ

58

5

8 5Ñ lim

card ,

ovvero assegna la stessa probabilità ad ogni evento elementare e dal. : œ !momento che

8œ"

∞

8. = . HÐÖ × œ ! Ð Ñ œ "Ñ ,

l'applicazione non è -additiva. L'applicazione risulta invece finitamente. 5 .additiva, ovvero dati eventi incompatibili , si ha8 ÐI Ñ −3 3œ"

8 Y

.

.

3œ"

8

35

3œ"8

3 5

3œ" 3œ"

8 8

5

3 53

I œÐ ÐI ∩ E ÑÑ

5

œ œ ÐI ÑÐI ∩ E Ñ

5

lim

lim

card

card ,

dal momento che

card card . 3œ" 3œ"

8 8

3 5 3 5ÐI ∩ E Ñ œ ÐI ∩ E Ñ

Si noti che se , allora si ha , mentre seI œ Ö ß ßá× ÐI œ "Î#= = .# % ÑI œ Ö ß ßá× ÐI œ "Î$= = .$ ' , allora risulta .Ñ

Infine, se è non numerabile, in genere si sceglie un'opportuna classe inizialeHdi eventi e si assegna la probabilità a ciascun evento in modo daX XTÐI I −Ñsoddisfare i tre assiomi della Definizione 2.1.2. In questo caso, se la classeiniziale è scelta appropriatamente, si può infatti dimostrare che esiste una solaestensione di da alla -algebra . In altri termini, esiste un solo modo diT ÐX 5 5 XÑassegnare le probabilità agli eventi di in modo da rispettare gli assiomi e5 XÐ Ñsenza modificare le probabilità assegnate agli eventi di . Questo implica inXpratica che, una volta probabilizzati gli eventi di , risultano probabilizzatiXunivocamente anche tutti gli eventi di Dudley, 2004, p.91). SiY œ Ð5 XÑ (si veda noti che esistono eventi in a cui non è possibile assegnare una probabilità,Hanche se la dimostrazione dell'esistenza di tali eventi richiede addirittural'Assioma della Scelta (si veda Dudley, 2004, p.105).

41Capitolo 2

Esempio 2.3.3. Si consideri lo spazio fondamentale . In modo simileH œ Ó!ß "Óall'Esempio 1.4.3, la -algebra può essere costruita a partire dalla classe 5 Y Xdegli eventi del tipo , dove . In questo caso, si può verificareÓ+ß ,Ó ! Ÿ + Ÿ , Ÿ "che

TÐÓ+ß ,ÓÑ œ , +

è una misura di probabilità su che ha un'unica estensione a X Y 5 Xœ Ð Ñ (si vedaDudley, 2004, p.94). Dunque, tenendo presente l'Esempio 1.4.3, in base alTeorema 2.2.10 si ha

TÐÒ+ß ,ÓÑ œ T Ó+ 8 ß ,Ó œ TÐÓ+ 8 ß ,ÓÑ

œ Ð, + 8 Ñ œ TÐÓ+ß ,ÓÑ

lim lim

lim8 8

" "

8

" .

In modo analogo, si ha

TÐÓ+ß ,ÓÑ œ TÐÒ+ß ,ÓÑ œ TÐÒ+ß ,ÒÑ œ TÐÓ+ß ,ÒÑ .

Inoltre, si ha , ovvero tutti gli eventi elementari hannoTÐÖ+×Ñ œ TÐÒ+ß +ÓÑ œ !probabilità nulla. Di conseguenza, anche un'unione numerabile di eventielementari ha probabilità nulla. In generale, mediante le proprietà viste nellaSezione 2.2, si possono ottenere le probabilità di tutti gli eventi ottenibili da uninsieme numerabile di operazioni insiemistiche sugli eventi del tipo , ,Ó+ß ,Ò Ó+ß ,ÓÒ+ß ,Ò Ò+ß ,Ó e , ovvero si possono ottenere le probabilità di tutti gli eventi di . Y

Figura 2.3.2. Henri Léon Lebesgue (1875-1941).

Nel la -algebra di Borel su può esserela Sezione 1.4 è stato visto che 5 ‘costruita a partire dalle classi di intervalli Nella Teoria delladel tipo . Ó+ß ,Ó


Misura, la misura che assegna la lunghezza ad ogni intervallo di ,- ‘Ó+ß ,Óovvero , è detta . Le basi della Teoria della-ÐÓ+ß ,ÓÑ œ , + misura di LebesgueMisura, che hanno permesso l'approccio assiomatico alla Teoria della Probabilitàda parte di Kolmogorov, sono state appunto introdotte dal matematico franceseHenri Léon Lebesgue (1875-1941) nella sua tesi di laurea Intégrale, Longueur,Aire (1902) sviluppata sotto la supervisione di Émile Borel.

Infine, una volta costruito lo spazio probabilizzato si dice che unÐ ß ß T ÑH Yevento si verifica ( ) rispetto a se .I ;Þ-Þ T T ÐIÑ œ "quasi certamenteAnalogamente, nel linguaggio della Teoria della Misura, si dice che unaproprietà è valida ( ) rispetto alla misura di Lebesgue se laquasi ovunque ;Þ9Þproprietà è verificata eccetto che su insieme di misura di Lebesgue nulla.

Esempio 2.3.4. Dato lo spazio fondamentale e la misura di probabilitàH œ Ó!ß "ÓT dell'Esempio 2.3.3, si consideri l'evento , dove rappresentaI œ ∩H l'insieme dei numeri razionali. Dunque, è l'insieme dei numeri razionali inIÓ!ß "Ó. Dal momento che card card , allora l'evento è una unioneÐIÑ œ Ð Ñ Inumerabile di eventi elementari anche se. Di conseguenza, si ha TÐIÑ œ !l'insieme è denso in Quindi, l'evento si verifica I I ;Þ-ÞÓ!ß "Ó. -

Figura 2.3.3. Georg Cantor (1845-1918) ele prime cinque iterazioni per la costruzione dell'insieme di Cantor.

Esempio 2.3.5. Dato lo spazio fondamentale e la misura di probabilitàH œ Ó!ß "ÓT I dell'Esempio 2.3.3, si consideri l'evento di costruito in modo iterativoHcome segue. Si rimuove l'intervallo centrale da , ottenendo l'eventoÓ"Î$ß #Î$Ò H

I œ Ó!ß "Î$Ó ∪ Ò#Î$ß "Ó" ,

43Capitolo 2

per cui risulta Successivamente, si rimuove l'intervallo centrale daTÐI"Ñ œ #Î$. Ó!ß "Î$Ó Ò#Î$ß "Ó e , ottenendo l'evento

I œ Ó!ß "Î*Ó ∪ Ò#Î*ß "Î$Ó ∪ Ò#Î$ß (Î*Ó ∪ Ò)Î*ß "Ó# ,

per cui risulta TÐI#Ñ œ %Î* 8. Continuando il procedimento, alla -esimaiterazione l'evento è composto dall'unione di intervalli disgiunti, per cui siI #8

8

ha . Si consideri dunque l'evento TÐI I œ I8 88œ"∞Ñ œ # Î$8 8 , che nel

linguaggio di Teoria della Misura è detto insieme di Cantor. In effetti, questoinsieme è stato introdotto dal matematico tedesco Georg Cantor (1845-1918),uno dei padri fondatori della Teoria degli Insiemi. Si noti che eI § I8" 8

quindi la successione di eventi è decrescente, per cui, tenendo presente ilTeorema 2.2.10, si ha

TÐIÑ œ T I œ TÐI Ñ œ œ !#

$ 8œ"

∞

8 88 8

8

8lim lim .

Dal momento che si può dimostrare che è non numerabile (si veda Dudley,I2004, p.105), allora è un evento di probabilità nulla che contiene un'infinitàInon numerabile di risultati. In altre parole, l'evento si verifica I ;Þ-Þ-

2.4. Probabilità condizionata

Dato lo spazio probabilizzato , supponiamo che si sia verificatoÐ ß ß TH Y Ñl'evento . Alla luce di questa nuova conoscenza, è ovvio che lo spazioI −! Yfondamentale si riduce. I risultati possibili, infatti, non sono più tutte leeventualità che compongono ma solo le eventualità che compongono .H, I!

Risultano dunque impossibili, e dovranno quindi avere probabilità nulla, tutti glieventi di che sono incompatibili con , mentre risulta certo, e dovrà quindiY I!

avere probabilità unitaria, l'evento . In pratica, le probabilità dovranno essereI!

riassegnate su in modo da rispettare questi vincoli.Y

Definizione 2.4.1. Sia uno spazio probabilizzato. Se eÐ ß ß T IßI −H Y Ñ ! YTÐI ! I I! !Ñ , la di dato è data daprobabilità condizionata

TÐI ± I œTÐI ∩ I

TÐI!

!

!Ñ

Ñ

Ñ .


Si noti che se , la probabilità condizionata non è definita. Al variareTÐI œ !!Ñdi in , la probabilità condizionata descrive una misura diI TÐI ± IY !Ñ probabilità che è coerente con i tre assiomi della probabilità, comeTÐ † ± I!Ñ risulta del seguente Teorema.

Teorema 2.4.2. Sia uno spazio probabilizzato. Se eÐ ß ß T I −H Y Ñ ! YTÐI ! TÐ † ± I! !Ñ Ñ, allora è una misura di probabilità su .Y

Dimostrazione. Occorre dimostrare che soddisfa i tre assiomi dellaTÐ † ± I!ÑDefinizione 2.1.2. Per ogni I − Y

TÐI ± I œ !TÐI ∩ I

TÐI!

!

!Ñ

Ñ

Ñ

,

in quanto , mentre per ipotesi. Inoltre,TÐI ∩ I ! TÐI !! !Ñ Ñ

T Ð ± I œ œ œ "TÐ ∩ I TÐI

TÐI TÐIH

H!

! !

! !Ñ

Ñ Ñ

Ñ Ñ

.

Infine, data successione di eventi incompatibili , si haÐI Ñ −8 8 " Y

T I ± I œ œTÐ I ∩ I Ñ TÐ ÐI ∩ I ÑÑ

T ÐI TÐI

œ œ TÐI ± ITÐI ∩ I Ñ

TÐI

8œ"

∞

8 !8œ" 8œ"∞ ∞

8 ! 8 !

! !

8œ"∞

8 !

! 8œ"

∞

8 !

Ñ Ñ

ÑÑ ,

in quanto è una successione di eventi incompatibili.ÐI ∩ I Ñ8 ! 8 "

Dalla definizione di probabilità condizionata segue il cosiddetto Principiodelle Probabilità Composte, il quale permette di esprimere la probabilitàdell'intersezione di due eventi nel seguente modoI ßI −" # Y

TÐI ∩ I œ TÐI ± I TÐI" # # " "Ñ Ñ Ñ

o, alternativamente, come

TÐI ∩ I œ TÐI ± I TÐI" # " # #Ñ Ñ Ñ .

Il Principio delle Probabilità Composte può essere applicato in modo ricorsivoper determinare la probabilità dell'intersezione di più di due eventi. Per esempio,la probabilità dell'intersezione di tre eventi risultaI ßI ßI −" # $ Y

45Capitolo 2

TÐI ∩ I ∩ I œ TÐÐI ∩ I ∩ I Ñ œ TÐI ± I ∩ I TÐI ∩ I

œ TÐI ± I ∩ I TÐI ± I TÐI" # $ " # $ $ " # " #

$ " # # " "

Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ .

In generale, dati eventi , si verifica per induzione che la8 ÐI Ñ −3 3œ"8 Y

probabilità della loro intersezione risulta

T I œ TÐI ± I ∩ I ∩á ∩I áTÐI ± I TÐI 8œ"

∞

8 8 " # 8" # " "Ñ Ñ Ñ .

Teorema 2.4.3. (Legge delle Probabilità Totali) Sia uno spazioÐ ß ß TH Y Ñ probabilizzato. Se gli eventi della successione costituiscono unaÐI Ñ −8 8 " Ypartizione numerabile di con per ogni , allora perH TÐI ! 8 œ "ß #ßá8Ñogni si haI − Y

TÐI œ TÐI ± I TÐIÑ Ñ Ñ8œ"

∞

8 8 .

Dimostrazione. Dal momento che , si haI § H

I œ I ∩ œ I ∩ I œ ÐI ∩ IH 8œ" 8œ"

∞ ∞

8 8Ñ .

Inoltre, gli eventi della successione sono tra loro incompatibili e quindiÐI Ñ8 8 "

anche le loro intersezioni con l'evento risultano incompatibili, per cuiI

TÐI œ T ÐI ∩ I TÐI ∩ I œÑ Ñ œ Ñ 8œ" 8œ"

∞ ∞

3 8 8œ"

∞

8 8T ÐI ± I TÐIÑ Ñ .

Dalla definizione di probabilità condizionata si può esprimere la probabilità diun evento, condizionata al verificarsi di un ulteriore evento, in termini dellaprobabilità di quest'ultimo condizionata al verificarsi del primo, ovvero seI ßI − TÐI ß T ÐI !" # " #Y e , alloraÑ Ñ

T ÐI ± I œTÐI ± I TÐI

TÐI# "

" # #

"Ñ

Ñ Ñ

Ñ .

Questa riscrittura della probabilità condizionata dà luogo alla celebrata Formuladi Bayes, che prende nome dal reverendo Thomas Bayes (1702-1761),


matematico inglese autore di un saggio (pubblicato postumo nel 1763) che haposto le basi di moderne correnti di pensiero nella Teoria della Probabilità e nellaStatistica, ovvero Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances(si veda von Plato, 1994).

Figura 2.4.1. Probabile ritratto di Thomas Bayes (1702-1761) e frontespizio

di (1763).Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances

Teorema 2.4.4. (Formula di Bayes) Sia uno spazio probabilizzato.Ð ß ß TH Y Ñ Se gli eventi della successione costituiscono una partizioneÐI Ñ −8 8 " Ynumerabile di con per ogni , allora dato conH YTÐI ! 8 œ "ß #ßá I −8ÑT ÐI !Ñ si ha

TÐI ± I œ œTÐI ± I TÐI TÐI ± I TÐI

TÐI TÐI ± I TÐI8

8 8 8 8

8œ"∞

8 8Ñ

Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ .

Dimostrazione. Dalla definizione di probabilità condizionata, dal Principiodelle Probabilità Composte e dalla Legge delle Probabilità Totali (Teorema2.4.3) si ottiene immediatamente la tesi.

Da un punto di vista formale, la Formula di Bayes sembra essere una merariformulazione della probabilità condizionata, ottenuta sulla base del Principiodelle Probabilità Composte e della Legge delle Probabilità Totali. Tuttavia, acausa di alcune sue interpretazioni logiche, come evidenziato in precedenza, essoha assunto una rilevante importanza applicativa, soprattutto nell'ambito dellastatistica inferenziale (si veda von Plato, 1994). Per quanto riguarda lageneralizzazione della Legge delle Probabilità Totali e della Formula di Bayes, sirimanda al Capitolo 5.

47Capitolo 2

Esempio 2.4.1. Si considerino palline che sono inserite in urne che"!!! $contengono rispettivamente , e palline. Se si suppone di considerare#!! (!! "!!un'estrazione di una pallina da un'urna scelta in modo casuale, allora lo spaziofondamentale risulta , dove rappresenta il risultatoH = = =œ Ö ßá ß ×" "!!! 3

relativo all'estrazione della pallina -esima. Se si indica con 3 I I I" # $, e rispettivamente l'evento che la pallina sia estratta dalla prima, seconda e terzaurna, allora si ha , e . Inoltre, siTÐI œ "Î& TÐI œ (Î"! TÐI œ "Î"!" # $Ñ Ñ Ñsupponga che la prima urna contenga palline rosse, che la seconda urna#!contenga palline rosse e che l'ultima urna non contenga nessuna pallina rossa.$&Se si indica con l'evento che una pallina rossa è stata estratta, allora si haITÐI ± I œ "Î"! T ÐI ± I œ "Î#! T ÐI ± I œ !" # $Ñ Ñ Ñ, e . Dal momento che glieventi , e costituiscono una partizione dello spazio fondamentale,I I I" # $

applicando la Legge delle Probabilità Totali si ottiene

TÐI œ TÐI ± I TÐIÑ Ñ Ñ œ""

#!!3œ"

$

3 3 .

Applicando inoltre la Formula di Bayes, si è in grado di ottenere la probabilitàTÐI ± IÑ 33 , ovvero la probabilità dell'evento che la pallina sia stata estratta dall' -esima urna, condizionata all'evento che sia stata estratta una pallina rossa. Siottengono dunque le seguenti probabilità

TÐI ± I œ œTÐI ± I TÐI %

TÐI """

" "Ñ

Ñ Ñ

Ñ ,

TÐI ± I œ œTÐI ± I TÐI (

TÐI ""#

# #Ñ

Ñ Ñ

Ñ ,

e

TÐI ± I œ œ !TÐI ± I TÐI

TÐI$

$ $Ñ

Ñ Ñ

Ñ .

In pratica, se è stata estratta una pallina rossa, allora la pallina è stata estrattadalla seconda urna con la maggiore probabilità e dalla terza urna con la minoreprobabilità.

Esempio 2.4.2. Si considerino tre scatole in modo tale che la prima scatolacontenga due monete d'oro, la seconda scatola contenga due monete d'argento ela terza scatola una moneta d'oro e una d'argento. L'esperimento aleatorio


consiste nel considerare l'estrazione di una moneta da una scatola scelta in modoequiprobabile. In questo caso, se la moneta estratta è d'oro si vuole conoscere laprobabilità che anche la restante moneta sia d'oro. Ingenuamente, il neofita èportato a pensare che questa probabilità sia pari a , non tenendo presente il"Î#presente contesto di probabilità condizionata. Formalmente, se si indicano conI I I" # $, e rispettivamente gli eventi che la moneta sia estratta dalla prima,seconda e terza scatola, allora si ha . Inoltre, seTÐI œ TÐI œ TÐI œ "Î$" # $Ñ Ñ ÑI TÐI ± I rappresenta l'evento che la moneta estratta sia d'oro, allora "Ñ œ ",TÐI ± I TÐI ± I# $Ñ œ ! Ñ œ "Î# e . Dunque, applicando la Legge delleProbabilità Totali si ottiene TÐI œÑ "Î#, da cui la probabilità richiesta risulta

TÐI ± I œ œTÐI ± I TÐI #

TÐI $"

" "Ñ

Ñ Ñ

Ñ ,

ovvero un risultato controintuitivo. Questo è il motivo per cui il problema è dettoparadosso delle scatole di Bertrand, dal momento che fu introdotto dalprobabilista Joseph Bertrand (1822-1900) nel suo testo ,Calcul des probabilitéspubblicato nel 1889.

2.5. Indipendenza stocastica

Si considerino due eventi tali che . Dal momentoI ßI TÐI ß T ÐI !" # " #Ñ Ñche, sulla base della definizione di probabilità condizionata, il verificarsidell'evento modifica generalmente la valutazione probabilistica relativaI"

all'evento , si può allora concludere cheI#

TÐI ± I œ Á TÐITÐI ∩ I

TÐI# " #

# "

"Ñ Ñ

Ñ

Ñ .

Se questo non avviene, si deve verificare necessariamente che

TÐI ± I œ œ TÐITÐI ∩ I

TÐI# " #

# "

"Ñ Ñ

Ñ

Ñ .

In base a queste considerazioni è naturale introdurre la seguente definizione diindipendenza stocastica.

49Capitolo 2

Definizione 2.5.1. Sia uno spazio probabilizzato. Se ,Ð ß ß T I ßI −H Y Ñ " # Ygli eventi e sono detti (o semplicementeI I" # stocasticamente indipendentiindipendenti) se

TÐI ∩ I œ TÐI TÐI" # " #Ñ Ñ Ñ .

Si noti che la definizione di indipendenza dipende dalla misura di probabilitàche viene adottata. In altri termini, due eventi che risultano indipendenti con unaassegnazione di probabilità, potrebbero non esserlo con una differenteassegnazione di probabilità.

Esempio 2.5.1. Si consideri il lancio di un dado e gli eventi ,I œ Ö"ß #ß $ß %×"

I œ Ö$ß %ß &ß '× I œ Ö#ß %ß '×# $ e . Se gli eventi elementari sono equiprobabili,ovvero se per ogni , allora eTÐÖ3×Ñ œ "Î' 3 œ "ßá ß ' T ÐI œ TÐI œ #Î$" #Ñ ÑT ÐI œ "Î# I I$ " #Ñ . Gli eventi e non sono indipendenti in quanto, risultandoI ∩ I œ Ö$ß %×" # , si ha

TÐI ∩ I œ Á TÐI TÐI œ ‚ œ" # # %

$ $ $ *" # " #Ñ Ñ Ñ .

Al contrario, gli eventi e sono indipendenti in quanto, risultandoI I" $

I ∩ I œ Ö#ß %×" $ , si ha

TÐI ∩ I œ œ ‚ œ TÐI TÐI" # "

$ $ #" $ " $Ñ Ñ Ñ .

Se invece si considera una ulteriore assegnazione di probabilità ,TÐÖ3×Ñ œ :3dove e , allora si ha e: œ "Î# : œ : œ : œ : œ : œ "Î"! T ÐI œ %Î&" # $ % & ' "ÑT ÐI œ $Î"!$Ñ . In questo caso, al contrario di quanto avviene con la precedenteassegnazione di probabilità, gli eventi e non sono indipendenti in quantoI I" $

si ha

TÐI ∩ I œ Á TÐI TÐI œ ‚ œ" % $ '

& & "! #&" $ " #Ñ Ñ Ñ .

Teorema 2.5.2. Sia uno spazio probabilizzato. Se sonoÐ ß ß T I ßI −H Y Ñ " # Yeventi indipendenti, allora anche le coppie di eventi e , e , e I I I I I I" # " #

- - - -# "

sono indipendenti.Dimostrazione. Si considerino gli eventi e . Dal momento cheI I"

-#


I œ ÐI ∩ I ∪ ÐI ∩ I# " # #"-Ñ Ñ ,

dove e sono eventi incompatibili, allora risultaÐI ∩ I Ñ ÐI ∩ I Ñ" # #"-

T ÐI œ TÐI ∩ I TÐI ∩ I œ TÐI TÐI TÐI ∩ I# " # # " # #" "- -Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ ,

da cui

TÐI ∩ I œ TÐI TÐI TÐI œ TÐI Ð" TÐI Ñ œ TÐI TÐI" "- -

# # " # # " #Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ ,

che prova l'indipendenza di e . In modo del tutto analogo, dal momentoI I"-

#

che

I œ ÐI ∩ I ∪ ÐI ∩ I" " # " #-Ñ Ñ ,

si dimostra l'indipendenza di e . Infine, dal momento cheI I" #-

I ∩ I œ ÐI ∪ I" #- - -

" #Ñ , si ottiene

TÐI ∩ I œ " TÐI ∪ I œ " ÐTÐI TÐI TÐI ∩ I Ñ

œ " TÐI TÐI TÐI TÐI

œ Ð" TÐI ÑÐ" TÐI Ñ

" #- -

" # " # " #

" # " #

" #

Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ Ñ Ñ

Ñ Ñ ,

ovvero l'indipendenza di e .I I" #- -

Teorema 2.5.3. Se uno spazio probabilizzato, gli eventi e Ð ß ß T gH Y Ñ è Hsono indipendenti da ogni altro evento .I − Y

Dimostrazione. Si ha

TÐI ∩ g œ TÐg T ÐI TÐgÑ Ñ œ Ñ Ñ ,

mentre

TÐI ∩ œ TÐI TÐI TÐH HÑ Ñ œ Ñ Ñ ,

dal momento che TÐg T ÐÑ œ ! Ñ œ " e .H

Teorema 2.5.4. Se uno spazio probabilizzato, un evento èÐ ß ß T I −H Y Ñ è Yindipendente da se stesso se e solo se .TÐI TÐIÑ œ ! Ñ œ " o

Dimostrazione. Se è indipendente da se stesso si haI

TÐI TÐI ∩ I œ TÐIÑ œ Ñ Ñ# ,

51Capitolo 2

da cui segue che necessariamente che TÐI TÐIÑ œ ! Ñ œ " o . L'affermazioneinversa è immediata.

Definizione 2.5.5. Sia uno spazio probabilizzato. Gli eventiÐ ß ß TH Y Ñ ÐI Ñ −3 3œ"

8 Y sono detti sereciprocamente indipendenti

TÐI ∩ I œ TÐI TÐI3 4 3 4Ñ Ñ Ñ

per ogni , mentre sono detti se per3 Á 4 œ "ßá ß 8 completamente indipendentiogni possibile scelta di eventi con , si ha5 5 œ #ßá ß 8

T I œ TÐI 4œ" 4œ"

5 5

3 34 4Ñ .

Evidentemente l'indipendenza completa è una condizione molto più restrittivadell'indipendenza reciproca. In effetti, al fine di verificare che eventi sono8reciprocamente indipendenti devono essere soddisfatte condizioni, mentre se 8

#

gli eventi sono completamente indipendenti devono essere soddisfatteÐ# 8 "Ñ8 condizioni.

Esempio 2.5.2. Si consideri un'urna contenente palline contrassegnate dai)primi numeri interi. Lo spazio fondamentale relativo all'estrazione aleatoria di)una pallina dall'urna è dato da , dove ogni risultato rappresentaH œ Ö"ßá ß )×l'estrazione della pallina contraddistinta dal corrispondente numero. Se ciascunapallina ha la stessa probabilità di essere estratta, ovvero se perTÐÖ3× œ "Î)Ñogni , gli eventi , e 3 œ "ßá ß ) I œ Ö"ß #ß $ß %× I œ Ö#ß %ß 'ß )× I œ Ö$ß '×" # $

hanno probabilità e . EssendoTÐI œ TÐI œ "Î# TÐI œ "Î%" # $Ñ Ñ ÑI ∩ I œ Ö#ß %×" # , si ha inoltre

TÐI ∩ I œ TÐI TÐI œ"

%" # " #Ñ Ñ Ñ ,

mentre, essendo , alloraI ∩ I œ Ö$×" $

T ÐI ∩ I œ TÐI TÐI œ"

)" $ " $Ñ Ñ Ñ .

Infine, essendo , si haI ∩ I œ Ö'×# $


TÐI ∩ I œ TÐI TÐI œ"

)# $ # $Ñ Ñ Ñ .

Sulla base di questi risultati si può concludere che i tre eventi sonoreciprocamente indipendenti. Tuttavia, gli stessi eventi non sono completamenteindipendenti in quanto essendo , risultaI ∩ I ∩ I œ g" # $

T ÐI ∩ I ∩ I œ ! Á TÐI TÐI TÐI œ"

"'" # $ " # $Ñ Ñ Ñ Ñ .

Con la medesima assegnazione di probabilità, si considerino inoltre gli eventiI œ Ö"ß #ß $ß %× I œ Ö"ß &ß 'ß (× I œ Ö"ß &ß 'ß )×" # $, e , per cui risultaovviamente . In questo caso si haTÐI œ TÐI œ TÐI œ "Î#" # $Ñ Ñ Ñ

T ÐI ∩ I ∩ I œ TÐÖ"× œ œ TÐI TÐI TÐI"

)" # $ " # $Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ .

Tuttavia gli eventi non sono completamente indipendenti in quanto

TÐI ∩ I œ TÐÖ"× œ Á TÐI TÐI œ" "

) %" # " #Ñ Ñ Ñ Ñ .

2.6. Costruzione di spazi probabilizzati prodotto

Si considerino esperimenti aleatori che danno luogo ad altrettanti spazi5probabilizzati dove . Sia dunque ilÐ ß ß T 3 œ "ßá ß 5 œ ‚ ‚H Y H H H3 3 3 " 5Ñ â,relativo spazio fondamentale prodotto. Come evidenziato nella Sezione 1.5, se Hha cardinalità finita o numerabile, la -algebra prodotto può essere scelta5 Ycome l'insieme delle parti per definire una misura dicÐHÑ. In questo caso, probabilità sugli eventi di è allora sufficiente probabilizzare gli eventiT Y ,elementari di Se è non numerabile, allora il problema risulta notevolmenteH H. più complesso. In effetti, se la -algebra prodotto è scelta come la -algebra5 5Y generata dalla classe degli eventi rettangolari, allora si può dimostrare che èXsufficiente probabilizzare gli eventi di per ottenere in modo univoco unaXmisura di probabilità anche sugli eventi di Dudley, 2004, p.255)T Y (si veda .

Una situazione di particolare interesse è quella in cui ciascun esperimentoaleatorio non ha influenza sui rimanenti esperimenti aleatori, ovvero quando sirichiede che

53Capitolo 2

TÐI ‚â‚I Ñ œ T ÐI Ñ" 5 3 3

3œ"

5 ,

per ogni . La misura è detta ed èI − ßá ßI − T" " 5 5Y Y probabilità prodottoindicata con . Si può dimostrare l'esistenza e l'unicità dellaT œ T Œá Œ T" 5

misura di probabilità prodotto Dudley, 2004, p.255). La precedente (si veda relazione definisce in effetti il concetto di indipendenza per la classe di -algebre5Ð ÑY3 3œ"

8 .Nella Teoria della Misura, dato lo spazio misurabile prodotto Ð ß Ñ‘5 U ‘Ð Ñ5 , la

misura di Lebesgue in assegna un “ipervolume” ad ogni - ‘5 5 insiemerettangolare Ó+ ß , Ó ‚â‚ Ó+ ß , Ó" " 5 5

5 di , ovvero‘

- -5" " 5 5 3 3

3œ"

5

ÐÓ+ ß , Ó ‚â‚ Ó+ ß , ÓÑ œ ÐÓ+ ß , ÓÑ .

La terna è uno .Ð ß ß Ñ‘ -5 5U ‘Ð Ñ5 spazio misurato prodottoSe in generale , dove è un insieme eventualmente nonÐÐ ß ß T ÑÑ MH Y3 3 3 3−M

numerabile, è una classe di spazi probabilizzati, si può dimostrare che sulla -5algebra prodotto esiste un'unica misura di probabilità tale cheY T

T I œ T ÐI Ñ 3−N 3−N

3 3 3 ,

dove ÐI3 3−NÑ è una qualsiasi classe di eventi cilindrici di Dudley,H (si veda 2004, p.255). In questo caso, è detta e viene indicata conT probabilità prodottoT œ T

3−M 3. Inoltre, la relazione definisce il concetto di indipendenza per laclasse di -algebre . Si noti infine che la terna è detta 5 Y H YÐ Ñ Ð ß ß T Ñ3 3−N spazioprobabilizzato prodotto.

Esempio 2.6.1. Si lanci in modo indipendente un dado e una moneta e siconsideri come unico esperimento aleatorio la combinazione dei due esperimentialeatori. Si supponga che il dado e la moneta non siano truccati e quindi che leprobabilità nei singoli spazi fondamentali e siano assegnate ad ogniH H" #

evento elementare come , dove , e ,T ÐÖ3× œ "Î' 3 œ "ßá ß ' T ÐÖ4× œ "Î#" #Ñ Ñdove . Per ogni evento elementare , la probabilità4 œ >ß - ÖÐ3ß 4 ‚Ñ× − œH H H" #

prodotto risulta dunqueT œ T Œ T" #


TÐÖÐ3ß 4 Ñ œ T ÐÖ3× T ÐÖ4× œ"

"#Ñ× Ñ Ñ" # .

Una volta assegnate le probabilità agli eventi elementari, risultano determinateanche le probabilità dei eventi che compongono la -algebra # œ Ð Ñ"# 5 Y c Hrelativa all'esperimento aleatorio combinato. In particolare, l'eventoI œ ÖÐ"ß - Ð#ß - T ÐI œ "Î'Ñß Ñ× Ñ ha probabilità , mentre l'eventoI œ ÖÐ$ß > Ð%ß > Ð$ß - T ÐI œ "Î%Ñß Ñß Ñ× Ñ ha probabilità . Si noti comel'assegnazione sia coerente con le probabilità relative ai singoli esperimentialeatori. Per esempio, l'evento cilindrico ha probabilitàI œ ÖÐ#ß > Ð#ß -Ñß Ñ× TÐI œ "Î'Ñ , che equivale appunto alla probabilità che nel lancio del dado si siaverificata la faccia contrassegnata dal simbolo .#

Esempio 2.6.2. Antoine Gombaud (1607-1684), detto Cavalier de Méré, fu unoscrittore francese e accanito giocatore d'azzardo che pose uno dei primi problemidi calcolo delle probabilità al matematico francese Blaise Pascal (1623-1662).

Figura 2.6.1. Blaise Pascal (1623-1662).

Il Cavalier de Méré ripeteva volte il lancio di un dado scommettendo che la%faccia contrassegnata con si sarebbe verificata almeno una volta. In questo'caso, lo spazio fondamentale è dato da , dove rappresentaH H H Hœ ‚ ‚" % 3âlo spazio fondamentale relativo all' -esimo lancio. Supponendo che i lanci siano3effettuati in modo indipendente, si consideri l'evento che non si sia verificataI3

la faccia all' -esimo lancio. Quindi, se è l'evento che non si sia verificata la' 3 Ifaccia a nessun lancio, e considerando un'assegnazione equiprobabile per ogni'lancio, si ha

55Capitolo 2

TÐIÑ œ TÐI ‚â‚I Ñ œ T ÐI Ñ œ&

'" % 3 3

3œ"

% % .

Dunque, la probabilità che la faccia contrassegnata da si sia verificata almeno'in un lancio è data da

TÐI Ñ œ " ¶ !Þ&")&

'-

% .

Il gioco era quindi leggermente favorevole per il Cavalier de Méré, che avevaintuito questo risultato semplicemente dalla sua esperienza di giocatore d'azzardosenza ovviamente conoscere l'esatta probabilità. Ingenuamente, il Cavalier deMéré suppose che, dal momento che i possibili risultati nel lancio di due dadisono (ovvero volte i risultati nel lancio del singolo dado), allora ripetendo$' '% ‚ ' œ #% # volte il lancio di dadi, sarebbe stato ugualmente favorevolescommettere che “il doppio ” si sarebbe presentato almeno una volta. Tuttavia,'con grande sorpresa, il Cavalier de Méré si accorse empiricamente che la giocatanon era favorevole e fu spinto a porre il problema a Blaise Pascal, chesuccessivamente ebbe uno scambio epistolare con l'altro grande matematicofrancese Pierre de Fermat (1601 o 1607/8-1665), in cui viene ottenuta la correttasoluzione.

Figura 2.6.2. Pierre de Fermat (1601 o 1607/8-1665).

Formalmente, lo spazio fondamentale è dato da , dove inH H Hœ ‚ ‚" %â #

questo caso rappresenta lo spazio fondamentale relativo all' -esimo lancioH3 3congiunto dei due dadi e che quindi può essere considerato a sua volta uno


spazio prodotto di due spazi fondamentali. Se rappresenta l'evento che non siIsia verificato “il doppio ” su nessun lancio congiunto dei due dadi,'considerando un'assegnazione equiprobabile per ogni lancio, allora si ha

TÐIÑ œ TÐI ‚â‚I Ñ œ T ÐI Ñ œ$&

$'" #% 3 3

3œ"

#% #% .

Dunque, la probabilità che si sia verificato almeno in un lancio congiunto “ildoppio ” è data da'

T ÐI Ñ œ " ¶ !Þ%*"$&

$'-

#% .

Come aveva intuito il Cavalier de Méré, il gioco era quindi leggermentesfavorevole. Resta comunque sorprendente come il Cavalier de Méré fossegiunto a queste conclusioni solo sulla base dell'esperienza fatta al tavolo digioco. Il problema posto dal Cavalier de Méré viene considerato comunementecome il vero inizio della Teoria della Probabilità. Fra l'altro si deve notare chePascal incoraggiò il matematico, astronomo e fisico Christiaan Huygens (1629-1695) a scrivere il trattato (1657), largamente basatoDe ratiociniis in ludo aleaesullo studio probabilistico del gioco dei dadi.

Figura 2.6.3. Christiaan Huygens (1629-1695) efrontespizio di (1657).De ratiociniis in ludo aleae

Esempio 2.6.3. La è un gioco d'azzardo la cui introduzione è statarouletteattribuita, almeno nella sua forma primitiva, a Blaise Pascal. Nella versione

57Capitolo 2

europea della , detta di tipo Monte Carlo, il gioco è basato su un discoroulettediviso in settori di uguale ampiezza e che sono numerati con i primi interi$( $'e con lo zero. Alternativamente, nella versione americana della , detta diroulettetipo Las Vegas, il disco è diviso in settori di uguale ampiezza e che sono$)numerati con i primi interi, con lo zero e con il cosiddetto doppio zero. I$'settori sono colorati alternativamente in rosso e nero, mentre lo zero, così come ildoppio zero quando è presente, sono normalmente colorati di verde. Il giococonsiste nel far ruotare il disco dal gestore del banco (il cosiddetto ), checroupiersuccessivamente vi lancia una pallina. La pallina viene fatta ruotare in sensoopposto a quello della e il numero vincente è quello relativo al settore inroulettecui cade la pallina. Le puntate vengono effettuate su un tavolo verde, su cui sonoriportati i numeri della , oltre a varie possibilità di differenti scommesse.roulette

Figura 2.6.4. Disposizione dei numeri sulla roulettee sul tavole verde per una di tipo Monte Carlo.roulette

Ad esempio, si può scommettere su , ovvero che il numero uscitoPair ou Impairsia pari o dispari, su , ovvero che sia uscito un numero da aManque ou Passe "") "* $' o un numero da a , o su , ovvero sul colore del numeroRouge ou Noiruscito. Esistono ulteriori possibilità di scommessa, che sono usualmente definitecon termini specifici nel linguaggio caratteristico del giocatore d'azzardo.Ovviamente, la procedura viene ripetuta numerose volte durante una serata digioco. Anche se apparentemente è possibile considerare alla unaroulettepluralità di differenti scommesse, in generale il gioco può essere riportato alloschema delle prove ripetute introdotto nell'Esempio 1.5.2. Ad esempio, se sidecide di puntare sul rosso durante la serata di gioco, allora si ha in effetti unoschema di Bernoulli basato su ripetizioni di un esperimento aleatorio con esito5


dicotomico (si veda l'Esempio 1.5.2), ognuna delle quali con spaziofondamentale , dove è il risultato che rappresenta l'uscita di unH = = =3 " # "œ Ö ß ×numero colorato in rosso, mentre è il risultato che rappresenta l'uscita di un=#

numero colorato in nero o dello zero. Supponendo che il sia onesto e lacroupierroulette sia bilanciata, si può considerare l'assegnazione di probabilitàT ÐÖ × œ ")Î$( T ÐÖ × œ "*Î$(3 " 3 # 3= = HÑ Ñ e sullo spazio fondamentale . Dalmomento che lo spazio fondamentale prodotto ha cardinalità finita, la misuraHdi probabilità prodotto si ottiene probabilizzando i eventi elementariT #5

ÖÐ ß Ñ×= =4 4"á ß

5 di H, ovvero

TÐÖÐ ß Ñ×Ñ œ T ÐÖ ×Ñ= = =4 4 4" 3á ß

53œ"

5

3 ,

dove e . Per un approfondimento delle strategie di gioco43 œ "ß # 3 œ "ßá ß 5ottimali alla (nel senso di strategie che permettono di limitare le perdite)roulettesi consideri la trattazione di Billingsley (1995, p.92). Si noti che nelle case dagioco europee la precedente assegnazione di probabilità può risultare modificatadalla possibilità di recuperare almeno in parte la giocata quando si presenta lozero (mediante le regole basate su o ) e che nel presentela partage en prisonesempio non è stata adottata per semplicità di esposizione.

2.7. Lemma di Borel-Cantelli e Legge zero-uno diKolmogorov

In questa Sezione vengono considerati due risultati molto celebrati cheriguardano successioni di eventi. Il seguente Lemma, che è fondamentale perottenere risultati teorici di convergenza, è dovuto al probabilista italianoFrancesco Paolo Cantelli (1875-1966) e a Borel.Émile

Teorema 2.7.1. (Lemma di Borel-Cantelli) Dato lo spazio probabilizzatoÐ ß ß T ÐI ÑH Y Ñ, se è una successione di eventi di tale che8 8 " Y

8œ"∞

8T ÐI Ñ ∞, allora

T I œ ! lim sup8

8 .

59Capitolo 2

Inoltre, se è una successione di eventi indipendenti di tale cheÐI Ñ8 8 " Y8œ"∞

8T ÐI Ñ œ ∞, allora

T I œ " lim sup8

8 .

Dimostrazione. Tenendo presente i Teoremi 2.2.7 e 2.2.8, si ha

T I Ÿ T I Ÿ TÐI lim sup8

8 5 5

5œ8 5œ8

∞ ∞

Ñ

per ogni . Dal momento che per ipotesi, allora deve risultare8 TÐI Ñ ∞8œ"∞

8

lim8

5œ8

∞

5TÐI Ñ œ ! ,

da cui segue la prima parte del Teorema. Inoltre, tenendo presente la relazione diDe Morgan, si ha

lim sup lim inf8

8

8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞ ∞

5œ8 5œ85 5 8- - -

- -

8

-

I œ I œ I œ I ,

da cui

T I œ " T I lim sup lim inf8

88

8- .

Si noti che , dove , mentre è unalim inf8 8 8 8 8 "8- -

8œ" 5œ8∞ ∞

5I œ G G œ I ÐG Ñ successione crescente di eventi. Dunque, dal Teorema 2.2.10 e dall'indipendenzadegli eventi della successione risulta

T I œ " T G

œ " TÐG Ñ œ " Ð" TÐI ÑÑ

lim sup lim

lim lim

88 8

8

8 88 5

5œ8

∞

.

Tenendo presente la disuguaglianza , per ogni si ha" B Ÿ Ð BÑ 8exp


5œ8 5œ8 5œ8

∞ ∞ ∞

5 5 5Ð" TÐI ÑÑ Ÿ Ð TÐI ÑÑ œ TÐI Ñexp exp .

Quindi dal momento che e che per ogni , allora8œ"∞

8 8T ÐI Ñ œ ∞ TÐI Ñ Ÿ " 8deve risultare

lim8

5œ8

∞

5TÐI Ñ œ ∞ ,

e dunque

lim8

5œ8

∞

5 Ð" TÐI ÑÑ œ ! ,

da cui segue la seconda parte del Teorema.

Esempio 2.7.1. Si consideri lo schema di Bernoulli relativo ad un'infinitànumerabile di ripetizioni del lancio di una moneta bilanciata e il relativo spazioprobabilizzato prodotto . Se rappresenta l'evento di ottenere unaÐ ß ß T Ñ IH Y 8

sequenza di almeno volte il simbolo “testa”, si ha8

TÐI Ñ œ " # œ #8

5œ"

85 8 .

Se si considera la successione di eventi , allora risulta ÐI Ñ T ÐI Ñ œ "8 8 " 88œ"∞

e quindi la prima parte del Lemma di Borel-Cantelli implica cheTÐ I Ñ œ !lim sup8 8 . In altre parole, una sequenza di simboli “testa” di lunghezzaarbitraria si presenta con probabilità nulla. Se inoltre èinfinitamente spesso I8

l'evento di ottenere il simbolo “testa” al -esimo e al -esimo lancio,Ð#8 "Ñ Ð#8Ñsi ha

TÐI Ñ œ"

%8 .

Gli eventi della successione sono indipendenti e risultaÐI Ñ8 8 "8œ"∞

8T ÐI Ñ œ ∞. Quindi, dalla seconda parte del Lemma di Borel-Cantelli siha . In altre parole, una sequenza di due simboli “testa” siTÐ I Ñ œ "lim sup8 8

presenta con probabilità unitaria. Analogamente, si puòinfinitamente spessoverificare che una qualsiasi prefissata sequenza di lunghezza finita di simboli

61Capitolo 2

“testa” e “croce” si verifica infinitamente spesso. Se i simboli “testa” e “croce”vengono messi in corrispondenza biunivoca con i simboli “punto” e “linea” di unalfabeto Morse, allora il risultato appena ottenuto è stato interpretato in manierapittoresca. Infatti, qualsiasi opera letteraria può essere rappresentata come unasequenza di simboli nell'alfabeto Morse. Quindi, adottando uno schema diBernoulli di lanci ripetuti della moneta, questa opera “verrà scritta” dal lanciodella moneta con probabilità unitaria, purché il lanciatore sia abbastanzapaziente.

Teorema 2.7.2. ( )Legge zero-uno di Kolmogorov Dato lo spazioprobabilizzato , se è una successione di eventi indipendenti diÐ ß ß T ÐI ÑH Y Ñ 8 8 "

Y 5 Y, si consideri la successione di -algebre , doveÐ Ñ8 8 "

Y 5 X8 8œ Ð Ñ

e . Se , allora si ha o .X Y8 8 8" 88œ"∞œ ÖI ßI ßá× I − TÐIÑ œ ! TÐIÑ œ "

Dimostrazione. Si veda Gut (2005, p.20).

Esempio 2.7.2. Si consideri una successione di eventi indipendenti e siaÐI Ñ8 8 "

dato l'ulteriore evento

I œ − À Ð Ñ Ÿ B"

8B I

83œ"

8 = H =lim "3

,

dove . In pratica, l'evento si verifica se il limite della frequenza relativaB − I‘ B

degli eventi della successione che si verificano è minore o uguale a . Si noti cheBdalla definizione di limite si ha

I œ − À Ð Ñ Ÿ B " "

8 7B I

7œ"

∞ ∞ ∞ 8

5œ4 8œ5 3œ4

= H ="3

Inoltre, tenendo presente la notazione del Teorema 2.7.2, si ha

= H = Y− À Ð Ñ Ÿ B −" "

8 73œ4

8

I 8"3

.

Dal momento che può essere espresso come unione e intersezione numerabileIB

di questi eventi, allora dal Teorema 2.7.2 si ha o per ogniTÐI Ñ œ ! TÐI Ñ œ "B B

B.



L'approccio assiomatico è quello seguito nella maggioranza dei testi di Teoriadella Probabilità, come ad esempio quelli segnalati nella Sezione 1.6. Si devecomunque evidenziare che l'approccio soggettivo alla probabilità, per quantominoritario nei testi, ha notevole importanza in ambito statistico. Per unatrattazione di questo approccio si dovrebbero consultare i classici testi di deFinetti (1970, volume I e II) e Dubins e Savage (1965). Per una revisione degliapprocci moderni alla probabilità si veda il testo di von Plato (1994). I problemitecnici connessi alla costruzione della misura di probabilità sono estesamenteconsiderati Dudley (2004). Per quanto riguarda l'esemplificazione del calcolo indelle probabilità con spazi finiti o numerabili si dovrebbero consultare i testi diBlom (1994), Gorroochurn (2012), Isaac (1995), PetkovicMosteller (1987) e (2009) Graham , che contengono numerosi problemi classici. Erickson (2010), etal. (1994) e Lovász (2003) sono testi introduttivi al calcolo combinatorio conparti dedicate al per una calcolo delle probabilità con spazi finiti. Infine, trattazione di paradossi e controesempi in probabilità, si veda i testi di Székely(1986), Romano e Siegel (1986) e Wise e Hall (1993).

Capitolo 3

Variabili e vettori aleatori

3.1. Variabili aleatorie

Quando si analizzano esperimenti o fenomeni aleatori, le quantità di interessesono comunemente applicazioni dallo spazio fondamentale all'insieme deinumeri reali, che nella Teoria della Probabilità sono dette variabili aleatorie.Formalmente, si ha la seguente definizione.

Definizione 3.1.1. Se è uno spazio probabilizzato, un'applicazioneÐ ß ß T ÑH Y\ À ÄH ‘ è detta (v.a.) se l'eventovariabile aleatoria

\ ÐFÑ œ Ö − À \Ð Ñ − F×" = H =

è tale che per ogni .\ ÐFÑ − F − Ð Ñ" Y U ‘

Quindi, un'applicazione da a è una v.a. se l'immagine inversa di ogniH ‘F − Ð ÑU ‘ 5 Y appartiene alla -algebra . Nel linguaggio della Teoria della Misurauna v.a. è detta . Inoltre, si noti che la definizione di v.a. nonfunzione misurabilecoinvolge la scelta della misura di probabilità effettuata su . In altre parole, unaYv.a. continua a rimanere tale anche se viene considerata una differente sceltadella misura di probabilità su .Y

Se si considera lo spazio probabilizzato , la misura di probabilitàÐ ß ß T ÑH Yindotta dalla v.a. è data da\

T ÐFÑ œ TÐ\ ÐFÑÑ Þ\"

La misura di probabilità è detta (o ) della v.a. .T \\ legge distribuzionePer quanto riguarda la notazione si noti che le v.a. sono generalmente indicate

con lettere maiuscole (ad esempio , e ) e le rispettive leggi sono\ ] ^indicizzate di conseguenza. Inoltre, per semplicità di notazione, l'evento \ ÐFÑ"

viene semplicemente indicato con e la probabilità èÖ\ − F× TÐÖ\ − F×Ñ

64 Variabili e vettori aleatori

comunemente indicata con . Questi leggeri abusi in notazione sonoTÐ\ − FÑuniversalmente adottati nei testi di Teoria della Probabilità.

Teorema 3.1.2. è uno spazio probabilizzato.Ð ß Ð Ñß T Ñ‘ U ‘ \ Dimostrazione. Occorre dimostrare che soddisfa i tre assiomi dellaT\

Definizione 2.1.2. Per ogni si ha ovviamenteF − Ð ÑU ‘

T ÐFÑ œ TÐ\ − FÑ !\ .

Inoltre, risulta

T Ð Ñ œ TÐ\ − Ñ œ "\ ‘ ‘ .

Infine, data una successione di insiemi disgiunti , dal momentoÐF Ñ − Ð Ñ8 8 " U ‘che è una successione di eventi incompatibili, si haÐÖ\ − F ×Ñ8 8 "

T F œ T \ − F œ T Ö\ − F ×

œ TÐ\ − F Ñ œ T ÐF Ñ

\ 8 8 8

8œ" 8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞

8œ" 8œ"

∞ ∞

8 \ 8

,

da cui segue la tesi.

Se l'interesse è dunque focalizzato sulla v.a. , lo spazio probabilizzato\Ð ß Ð Ñß T Ñ‘ U ‘ \ diventa centrale e, da un punto di vista pratico, lo spazioprobabilizzato può essere tralasciato. Tuttavia, si dovrebbe notare che,Ð ß ß T ÑH Ymentre una v.a. determina univocamente la rispettiva legge, l'affermazionecontraria è falsa. In altre parole, v.a. differenti potrebbero avere la medesimalegge, perfino se sono definite su spazi probabilizzati differenti. In particolare, se\ ] T T T ÐFÑ œ T ÐFÑ e sono v.a. con leggi date da e e se per ogni\ ] \ ]

F − Ð ÑU ‘ , allora si dice che le due v.a. sono e si scriveuguali in legge

\ œ ]_

.

Si noti inoltre che, se si ha un'applicazione , dove è un\ À Ä W W §H ‘insieme numerabile, affinchè sia una v.a. è sufficiente che l'evento\

Ö\ œ B× œ Ö − À \Ð Ñ œ B×= H =

appartenga a per ogni . In questo caso, la v.a. è detta . PerY B − W discretadefinire la legge di una v.a. discreta è sufficiente dunque considerare le

65Capitolo 3

probabilità per , che definiscono la cosiddetta TÐ\ œ BÑ B − W legge essenzialedella v.a. . Inoltre, se card , la v.a. discreta è detta . Una\ ÐWÑ œ " degenereprecisa classificazione delle v.a. sarà considerata nella Sezione 3.2, così come lev.a. discrete saranno considerate in dettaglio nella Sezione 3.3. Si noti inoltre chenel linguaggio della Teoria della Misura una v.a. discreta che assume un numerofinito di valori, ovvero quando si ha card , è detta ÐWÑ œ 8 funzione misurabilesemplice.

Esempio 3.1.1. Si consideri lo spazio fondamentale eH = =œ Ö ß ×" #

l'assegnazione di probabilità per . Si consideri inoltre laTÐÖ × œ "Î# 3 œ "ß #=3 Ñv.a. discreta tale che e . Essendo , la legge\ \Ð œ ! \Ð œ " W œ Ö!ß "×= =" #Ñ Ñessenziale di risulta per . Sia data l'ulteriore v.a.\ TÐ\ œ BÑ œ "Î# B œ !ß "discreta tale che e . Risulta evidente che le leggi] ] Ð œ " ] Ð œ != =" #Ñ Ñ

essenziali di e sono identiche e quindi , anche se le v.a. e \ ] \ œ ] \ ]_

differiscono per ogni evento elementare di . Si consideri l'ulteriore spazioHfondamentale dato da e l'assegnazione di probabilitàH = = = =œ Ö ß ß ß ×" # $ %

T ÐÖ × œ "Î% 3 ^ ^Ð œ ^Ð != = =3 " #Ñ Ñ Ñ œ per ogni . Se è la v.a. discreta tale che e^Ð ^Ð œ " ^= =$ %Ñ œ Ñ , allora la legge essenziale della v.a. è identica a quella

della v.a. e quindi , anche se la v.a. è definita su un differente spazio\ \ œ ^ ^_

fondamentale. La precedente legge è una delle più semplici che si possonoconsiderare e si ottiene per una specifica parametrizzazione della legge diBernoulli, che è stata ovviamente introdotta da Jakob Bernoulli. La legge diBernoulli è un caso particolare della legge Binomiale analizzata nella Sezione6.1.

Dal momento che la costruzione della -algebra di Borel può essere fatta5 U ‘Ð Ña partire dalla classe di insiemi del tipo , allora è una v.a. se l'eventoÓ ∞ß BÓ \Ö\ Ÿ B× œ Ö\ − Ó ∞ß BÓ× B − appartiene ad per ogni . In questo caso, aY ‘T\ è associata in modo unico la cosiddetta (f.r.), chefunzione di ripartizioneviene indicata con ed è data daJ\

J ÐBÑ œ T ÐÓ ∞ß BÓÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ Þ\ \

Dunque, l'uguaglianza in legge equivale all'uguaglianza delle f.r., ovvero se e\

] J J \ œ ] sono v.a. con f.r. date rispettivamente da e , allora se\ ]_

J ÐBÑ œ J ÐBÑ B −\ ] per ogni .‘

Esempio 3.1.2. Si consideri di nuovo la v.a. discreta introdotta nell'Esempio\3.1.1. La f.r. di è data da\


J ÐBÑ œ

! B !

! Ÿ B "

" B "\

"#

o, in forma più concisa, da

J ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ Þ"

#\ Ò!ß"Ò Ò"ß∞Ò" "

Il grafico di è riportato nella Figura 3.1.1.J\

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.1.1. Funzione di ripartizione relativa alla legge di Bernoulli.

3.2. Proprietà della funzione di ripartizione

Per quanto detto nella Sezione 3.1, risulta evidente che la descrizioneprobabilistica della v.a. è incentrata sulle caratteristiche della corrispondente\f.r. Sulla base della definizione, è quindi conveniente ricavare alcune proprietàrelative alla f.r.

Teorema 3.2.1. Se è la f.r. relativa alla v.a. definita sullo spazioJ \\

probabilizzato , si ha per ogni .Ð ß ß T Ñ ! Ÿ J ÐBÑ Ÿ " B −H Y ‘\

Dimostrazione. Per definizione, risulta , doveJ ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ\

Ö\ Ÿ B× − ! Ÿ TÐ\ Ÿ BÑ Ÿ "Y e quindi .


probabilizzato , è non decrescente.Ð ß ß T Ñ JH Y \

67Capitolo 3

Dimostrazione. Occorre dimostrare che se , allora . PerB C ÐBÑ Ÿ ÐCÑJ J\ \

definizione si ha e . Inoltre, seJ ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ J ÐCÑ œ TÐ\ Ÿ CÑ\ \

= =− Ö\ Ÿ B× − Ö\ Ÿ C× Ö\ Ÿ B× § Ö\ Ÿ C× deve risultare . Dunque, si ha ,e dal Teorema 2.2.3 si ottiene infine che .TÐ\ Ÿ BÑ Ÿ TÐ\ Ÿ CÑ


probabilizzato , allora e .Ð ß ß T Ñ J ÐBÑ œ ! J ÐBÑ œ "H Y lim limBÄ∞ \ BÄ∞ \


lim lim limBÄ∞ BÄ∞ 8

8J ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ œ TÐI Ñ\ ,

dove è una successione decrescente di eventi il cui generico elemento èÐI Ñ8 8 "

dato da . Dunque, tenendo presente il Teorema 2.2.10 e laI œ Ö\ Ÿ 8×8

definizione di limite di successione decrescente di eventi, risulta

lim8

8 8

8œ"

∞

TÐI Ñ œ T I œ TÐgÑ œ !T I œ lim8

8 .

In modo analogo, si ha

lim lim limBÄ∞ BÄ∞ 8

8J ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ œ TÐI Ñ\ ,

dove è una successione crescente di eventi il cui generico elemento èÐI Ñ8 8 "

dato da . Dunque, risultaI œ Ö\ Ÿ 8×8

limBÄ∞

8œ"

∞

8J ÐBÑ œ T I œ TÐ Ñ œ "\ H .

Teorema 3.2.4. Se è la f.r. di una v.a. definita sullo spazioJ \\

probabilizzato , allora è continua a destra.Ð ß ß T Ñ JH Y \

Dimostrazione. Per ogni , si deve dimostrare che per si haB − !‘ &

lim&Ä!+

J ÐB Ñ œ J ÐBÑ\ \& ,

ovvero che

lim&Ä!

T Ð\ Ÿ B Ñ œ TÐ\ Ÿ BÑ& .

Per un dato , si consideri cheB − ‘


lim lim&Ä! 8

8T Ð\ Ÿ B Ñ œ TÐI Ñ& ,

dove è una successione decrescente di eventi il cui generico elemento èÐI Ñ8 8 "

dato da . Tenendo presente il Teorema 2.2.10 e laI œ Ö\ Ÿ B 8 ×8"

definizione di limite di successione decrescente di eventi, si ha

lim8

8 8

8œ"

∞

TÐI Ñ œ T I œ TÐ\ Ÿ BÑ ,


Teorema 3.2.5. Sia la f.r. di una v.a. definita sullo spazioJ \\

probabilizzato e per siaÐ ß ß T Ñ !H Y &

˜J ÐBÑ œ J ÐB Ñ J ÐB Ñ œ J ÐBÑ J ÐB Ñ\ \ \ \ \Ä! Ä! Ä!lim lim lim& & &

& & & ,

ovvero rappresenta l'ampiezza del salto di nel punto . Si ha˜J ÐBÑ J ÐBÑ B\ \

˜J ÐBÑ œ TÐ\ œ BÑ\ .

Dimostrazione. Risulta

lim lim lim& &Ä! Ä! 8

8 J ÐB Ñ œ TÐ\ Ÿ B Ñ œ TÐI Ñ\ & & ,

dove è una successione crescente di eventi il cui generico elemento èÐI Ñ8 8 "

dato da . Inoltre, dal Teorema 2.2.10 e dalla definizione diI œ Ö\ B 8 ×8"

limite di successione crescente di eventi, risulta

lim8

8 8

8œ"

∞

TÐI Ñ œ T I œ TÐ\ BÑ ,

da cui

˜J ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ TÐ\ BÑ œ TÐ\ œ BÑ\ .

Teorema 3.2.6. Sia la f.r. di una v.a. definita sullo spazioJ \\

probabilizzato . L'insieme di punti di discontinuità di è al piùÐ ß ß T Ñ JH Y \

numerabile.Dimostrazione. Per ogni punto di salto si consideri l'intervallo apertoB

69Capitolo 3

M œ Ó J ÐB Ñß J ÐBÑÒBÄ!lim&

\ \& ,

dove . Se è un ulteriore punto di salto tale che , allora dal Teorema& ! C B C3.2.2 si ha

J ÐBÑ Ÿ J ÐC Ñ\ \lim&Ä!

& ,

per cui gli intervalli e sono disgiunti. Quindi, l'insieme dei punti di saltoM MB C

può essere messo in corrispondenza biunivoca con un insieme di intervallidisgiunti, che per il Teorema 3.2.1 sono sottoinsiemi dell'intervallo .Ò!ß "ÓQuest'ultimo insieme è necessariamente numerabile, dal momento che ogniintervallo dell'insieme contiene almeno un numero razionale. Dunque, l'insiemedei punti di salto è in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numerirazionali e quindi è finito o numerabile.

Si può quindi concludere che la f.r. di una v.a. non è in generaleJ\ \continua a sinistra e che risulta continua in se e solo se , mentreB TÐ\ œ BÑ œ !l'insieme dei punti di discontinuità, ovvero l'insieme dei punti di probabilità nonnulla, deve essere finito o al più numerabile.

Ogni f.r. può essere espressa in modo unico come la combinazioneJ\

convessa di tre tipi fondamentali di f.r., ovvero

J œ J J J\ α α α. . +- +- = = ,

dove e (si veda Chung, 2001, p.1). In questoα α α α α α. +- = . +- =ß ß ! œ "caso, è una f.r. costante a tratti con un insieme numerabile di punti di salto edJ.

è detta f.r. . Formalmente, è una f.r. discreta se esiste un insiemediscreta J.

numerabile , tale che solo se , per cui si haW TÐ\ œ BÑ ! B − W

J ÐBÑ œ Ð?ÑT Ð\ œ ?Ñ.

?−W

Ó∞ßBÓ" .

Inoltre, è una f.r. , ovvero esiste una classe diJ+- assolutamente continuafunzioni non negative, il cui generico elemento è indicato con , che0\coincidono rispetto alla misura di Lebesgue, integrabili su rispetto alla;Þ9Þ ‘misura di Lebesgue, e per cui si ha

J ÐBÑ œ 0 Ð?Ñ .?+-∞

B \ .


Infine, è una f.r. , se non è identicamente nulla e se la derivata di J J= =singolareesiste ed è nulla Una f.r. singolare è continua, ma non è assolutamente;Þ9Þcontinua e non ammette la precedente rappresentazione integrale.

Risulta immediato verificare che una v.a. , come definita nella Sezionediscreta3.1, possiede una f.r. del primo tipo. Inoltre, una v.a. è detta assolutamentecontinua singolare se possiede una f.r. del secondo tipo. Infine, una v.a. è detta se possiede una f.r. del terzo tipo. Una v.a. è detta se possiede una f.r. che èmistadata da una combinazione convessa di almeno due tipi di f.r. Proprietà ed esempispecifici di v.a. discrete e assolutamente continue saranno discusse a lungo nelpresente capitolo e nei prossimi capitoli. Al contrario, v.a. singolari sono pocoimpiegate nella pratica e non saranno ulteriormente considerate. Tuttavia, si notiche questo tipo di v.a. riveste un'importanza notevole nelle strategie di giocoottimali in giochi d'azzardo quale la roulette. Questi argomenti sono consideratiin grande dettaglio da Billingsley (1995, p.101).

Esempio 3.2.1. Si consideri la v.a. con f.r. data da\

J ÐBÑ œ! B !B ! Ÿ B "" B "

\


J ÐBÑ œ B ÐBÑ ÐBÑ Þ\ " "Ò!ß"Ò Ò"ß∞Ò

Dal momento che

J ÐBÑ œ Ð?Ñ .?\ ∞

B

Ó!ß"Ò" ,

allora è una v.a. assolutamente continua. Evidentemente, in questo caso si è\scelto , anche se sarebbe stata ugualmente corretta una scelta0 œ ÐBÑ\ÐBÑ "Ó!ß"Ò

del tipo In effetti, le due scelte coincidono , dal0 œ ÐBÑÞ ;Þ9Þ\ÐBÑ "Ó!ß"ÒÏ

momento che l'insieme dei numeri razionali in Ó!ß "Ò è numerabile e la sua misuradi Lebesgue risulta nulla. La legge associata a questa v.a. si ottiene per unaparticolare parametrizzazione della cosiddetta legge Uniforme, che a sua volta èun caso particolare della legge Beta, che sarà considerata in dettaglio nellaSezione 6.9. Il grafico della f.r. considerata è riportato nella Figura 3.2.1.

71Capitolo 3

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.2.1. Funzione di ripartizione relativa alla legge Uniforme.


J ÐBÑ œ

! B !

! Ÿ B "

" B "\

#B"%


J ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ Þ#B "

%\ " "Ò!ß"Ò Ò"ß∞Ò

0.0 0.5 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.2.2. Funzione di ripartizione relativa alla legge mista.


Si noti che

J ÐBÑ œ J ÐBÑ J ÐBÑ" "

# #\ . +- ,

dove è la f.r. discreta considerata nell'Esempio 3.1.2, mentre è la f.r.J J. +-

assolutamente continua considerata nell'Esempio 3.2.1. Dunque, è una v.a.\mista. Il grafico della f.r. considerata è riportato nella Figura 3.2.2.

Esempio 3.2.3. Si consideri l'espansione ternaria di , ovveroB − Ó!ß "Ò

B œ-

$8œ"

∞8

8 ,

dove . Se appartiene all'insieme di Cantor analizzato nell'Esempio- œ !ß "ß # B8

2.3.5 risulta , ovvero ha un'espansione ternaria che non contiene la- œ !ß # B8

cifra . Sia inoltre , mentre sia se non esiste" R œ Ö8 − À - œ "× R œ ∞min 8

tale , e si ponga8

, œ- Î# 8 R" 8 œ R88 .

Si consideri la f.r. data da

J ÐBÑ œ ÐBÑ,

#\

8œ"

∞8

8 Ò"ß∞Ò" ,

dove i valori dei (e quindi dei ) sono quelli relativi all'espansione ternaria di- ,8 8

B. Questa f.r. è in effetti la funzione di Cantor, che in modo piuttosto pittorescoviene detta anche “scala del diavolo”. Si può dimostrare che la derivata di èJ\

nulla eccetto che nei punti che appartengono all'insieme di Cantor. Dal momentoche l'insieme di Cantor ha misura di Lebesgue nulla (vedi Esempio 2.3.5), laderivata di è nulla e quindi è singolare (si veda Chung, 2001, p.13).J ;Þ9Þ J\ \

Il grafico (ovviamente approssimato) della f.r. è riportato nella Figura 3.2.3.

73Capitolo 3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 3.2.3. Funzione di ripartizione di Cantor.

3.3. Variabili aleatorie discrete

Come evidenziato nella Sezione 3.1, la v.a. è detta discreta se è a valori su\insieme numerabile . Se si definisce la (f.p.) della v.a.W funzione di probabilità\ come

: ÐBÑ œ TÐ\ œ BÑ\ ,

in base a quanto visto nella Sezione 3.2, la f.r. di può essere scritta come\

J ÐBÑ œ Ð?Ñ: Ð?Ñ\ \

?−W

Ó∞ßBÓ" .

La f.p. è non nulla solo se . L'insieme delle probabilità : B − W Ð: ÐBÑÑ\ \ B−W

costituisce la legge essenziale di definita nella Sezione 3.1. Inoltre, la f.r. \ J\

è costante a tratti, con punti di salto sugli elementi per cui si haB − W: ÐBÑ œ ˜J ÐBÑ\ \ . Per ovvie ragioni di semplicità è in pratica convenientelavorare con la f.p. piuttosto che con la f.r., dal momento che la f.p. definiscecomunque la legge essenziale della v.a. .\

Si noti che la legge della v.a. può essere anche scritta sotto forma di\integrale, ovvero per ogni si haF − Ð ÑU ‘

T ÐFÑ œ : .\F

\ / ,


dove card , ovvero è la misura che enumera gli elementi di un/ /ÐFÑ œ ÐF ∩ WÑsottoinsieme di . Equivalentemente, risulta dunqueW

TÐ\ − FÑ œ ÐBÑ: ÐBÑB−W

F" \ .

Dal momento che , è immediato verificare cheH œ Ö\ œ B×B−W

B−W

: ÐBÑ œ "\ .

Esempio 3.3.1. Si consideri la v.a. con f.p. data da\

: ÐBÑ œ # ÐBÑ\B"" .

In questo caso si ha , mentre la legge essenziale è data dall'insieme delleW œ probabilità . Inoltre, considerando la serie geometrica, per èÐ# Ñ + − Ó!ß "ÒB"

B !

noto che

Bœ!

∞B+ œ

"

" +

e quindi adoperando la precedente relazione per si ha+ œ "Î#

Bœ! Bœ!

∞ ∞B: ÐBÑ œ # œ "

"

#\ .

Tenendo presente che per si ha inoltre+ − Ó!ß "Ò

?œ!

5?

5"

+ œ" +

" + ,

e adoperando questa relazione con , la f.r. di risulta+ œ "Î# \

J ÐBÑ œ Ð?Ñ#

œ ÐBÑ # œ Ð" # Ñ ÐBÑ

\

?−W

Ó∞ßBÓ?"

Ò!ß∞Ò Ò!ß∞Ò

?œ!

?"

"

" "ÚBÛ

ÚBÛ" ,

75Capitolo 3

dove denota il più grande numero intero minore o uguale a . Infine, laÚBÛ Bprobabilità che la v.a. assuma un valore intero dispari è data da\

Bœ! Bœ! Bœ!

∞ ∞ ∞#B# B: Ð#B "Ñ œ # œ % œ

" "

% $\ .

La legge associata a questa v.a. si ottiene per una particolare parametrizzazionedella legge Geometrica, che a sua volta è un caso particolare della leggeBinomiale Negativa considerata nella Sezione 6.3.

Esempio 3.3.2. Sia una enumerazione dei numeri razionali e siW œ ÐB Ñ8 8 "

consideri la v.a. con legge essenziale data dall'insieme delle probabilità\Ð# Ñ8

8 ", mentre la relativa f.r. risulta

J ÐBÑ œ ÐB Ñ#\ 8œ"

∞

Ó∞ßBÓ 88" .

Si noti che le probabilità relative alla legge essenziale sono in effetti identiche aquelle dell'Esempio 3.3.1, anche se definite su un differente insieme . Tuttavia,Wla v.a. del presente esempio è in qualche modo patologica, in quanto prende\valori su una enumerazione dei numeri razionali che non è unica e neppure“cronologica”. Inoltre, è un insieme denso su .W ‘

3.4. Variabili aleatorie assolutamente continue

Come detto nella Sezione 3.2., una v.a. è assolutamente continua se\possiede una f.r. assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue. Inquesto caso, la f.r. della v.a. può essere espressa come\

J ÐBÑ œ 0 Ð?Ñ .?\ \∞

B ,

dove la funzione misurabile non negativa è detta 0 À Ä Ò!ß∞Ò\ ‘ densità diprobabilità densità (d.p.) o semplicemente . Come evidenziato nella Sezione 3.2,la d.p. non è unica e quindi si dovrebbe parlare più propriamente di una versionedella densità. Tenendo presente la mancanza di univocità, per l'utilizzo pratico ècomunque conveniente considerare la d.p. in quanto possiede generalmenteun'espressione molto più semplice della relativa f.r. Per comodità si sceglie disolito la versione continua di o, in alternativa, quella con il minor numero di0\


punti di discontinuità. In questo caso, si dice che ammette una d.p. . Inoltre,\ 0\dal momento che una f.r. è differenziabile su (si veda Chung, 2001, p.11),;Þ9Þ ‘allora risulta

0 ÐBÑ œ J ÐBÑ.

.B\ \ .

Tenendo presente il Teorema di Radon-Nikodym (Teorema A.9), la leggedella v.a. può essere scritta sotto forma di integrale, ovvero per ogni\F − Ð ÑU ‘ si ha

T ÐFÑ œ TÐ\ − FÑ œ 0 ÐBÑ .B\F

\ .

In particolare, se allora risultaF œ Ó+ß ,Ó

T Ð\ − Ó+ß ,ÓÑ œ J Ð,Ñ J Ð+Ñ œ 0 ÐBÑ .B\ \ \+

,

.

Dal momento che per ogni , essendo la v.a. TÐ\ œ BÑ œ ! B − \‘assolutamente continua, allora si ha anche

TÐ\ − Ò+ß ,ÓÑ œ TÐ\ − Ó+ß ,ÒÑ œ TÐ\ − Ò+ß ,ÒÑ œ 0 ÐBÑ .B+

,

\ .

Risulta infine

TÐ\ − Ñ œ 0 ÐBÑ .B œ "‘ ∞

∞

\ .


J ÐBÑ œ

! B !

B ! Ÿ B "" B "

\

$


J ÐBÑ œ B ÐBÑ ÐBÑ Þ\$

Ò!ß"Ò Ò"ß∞Ò" "

La v.a. è assolutamente continua e si ha\

77Capitolo 3

J ÐBÑ œ $? Ð?Ñ .?\ ∞

B#

Ó!ß"Ò" .

Inoltre, è derivabile , dal momento che non è derivabile solo se ,J ;Þ9Þ B œ "\

per cui si ha . Dunque, una versione della d.p. è data daTÐ\ œ "Ñ œ !

0 ÐBÑ œ J ÐBÑ œ $B ÐBÑ.

.B\ \

#Ó!ß"Ò" .

Inoltre, si ha

TÐ\ − Ó!ß "Î#ÒÑ œ TÐ\ − Ò!ß "Î#ÓÑ œ J Ð"Î#Ñ J Ð!Ñ œ"

)\ \ ,

mentre

TÐ\ − Ó "ß #ÓÑ œ J Ð#Ñ J Ð "Ñ œ "\ \ .

La legge associata alla v.a. considerata si ottiene per una particolareparametrizzazione della legge Beta (si veda Sezione 6.9).

3.5. Vettori aleatori

Quando si considera un'applicazione dallo spazio fondamentale a , il‘5

concetto di v.a. può essere esteso immediatamente a quello di vettore aleatorio.Formalmente, si ha la seguente definizione.

Definizione 3.5.1. Se è uno spazio probabilizzato, un'applicazioneÐ ß ß T ÑH Y\ À ÄH ‘5 è detta (v.v.a.) (o semplicementevettore di variabili aleatorievettore aleatorio) se l'evento

\ ÐFÑ œ Ö − À \Ð Ñ − F×" = H =

è tale che per ogni .\ ÐFÑ − F − Ð Ñ" 5Y U ‘

Un v.v.a. è quindi dato da un vettore del tipo , dove\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

\ ßá ß\ \ \" 5 3 sono v.a. La v.a. è detta del v.v.a. ,componente marginalementre la misura di probabilità indotta dal v.v.a. è detta . SeT\ legge congiuntaF œ F ‚â‚F F − Ð Ñ" 5 con , si definisca inoltre l'evento3 U ‘


Ö\ − F× œ Ö\ − F ßá ß\ − F × œ Ö\ − F ×" " 5 5 3 3

3œ"

5 .

In particolare, si definisce

Ö\ Ÿ B× œ Ö\ Ÿ B ßá ß\ Ÿ B × œ Ö\ Ÿ B ×" " 5 5 3 3

3œ"

5 ,

dove . Tenendo presente che la -algebra di Borel suB œ ÐB ßá ß B Ñ" 5T 5 può‘5

essere costruita a partire dagli insiemi rettangolari del tipoÓ ∞ß B Ó ‚â‚ Ó ∞ßB Ó T" 5 \, alla legge congiunta è associata in modo unicola cosiddetta (f.r.c.), data dafunzione di ripartizione congiunta

J ÐBÑ œ J ÐB ßá ß B Ñ œ TÐ\ Ÿ BÑ œ TÐ\ Ÿ B ßá ß\ Ÿ B Ñ Þ\ \ " 5 " " 5 5

Inoltre, la (f.r.m.) della -esima componentefunzione di ripartizione marginale 3marginale è data da\3

J ÐB Ñ œ TÐ\ Ÿ B Ñ œ TÐ\ − ßá ß\ Ÿ B ßá ß\ − Ñ\ 3 3 3 " 3 3 53‘ ‘ ,

per .3 œ "ßá ß 5Si può verificare facilmente che la f.r.c. di un v.v.a. ha proprietà analoghe a

quelle della f.r. di una v.a. In effetti, si ha che per ogni ,! Ÿ J ÐBÑ Ÿ " B −\5‘

mentre se e sono tali cheJ ÐBÑ Ÿ J ÐCÑ B œ ÐB ßá ß B Ñ C œ ÐC ßá ß C Ñ\ \ " 5 " 5T T

B Ÿ C 3 œ "ßá ß 53 3 per ogni . Inoltre, risulta

limB Ä∞

\ " 53

J ÐB ßá ß B Ñ œ !

per ogni , mentre3 œ "ßá ß 5

limB Ä∞ßáßB Ä∞

\ " 5" 5

J ÐB ßá ß B Ñ œ " .

Infine, per si ha& !

lim&Ä!

\ " 3 5 \J ÐB ßá ß B ßá ß B Ñ œ J ÐBÑ& ,

da cui si può dimostrare che è continua nel punto se e solo seJ B\

TÐ\ œ BÑ œ !.In modo simile a quanto fatto per le v.a., si può ottenere una classificazione

dei v.v.a. a secondo delle varie tipologie delle f.r.c. Tuttavia, per brevità saranno

79Capitolo 3

considerate nel seguito solo le due più importanti classi di v.v.a. Per quantoriguarda la prima classe, un v.v.a. è detto se è a valori su insiemediscreto W − ‘5 finito o numerabile. La (f.p.c.) delfunzione di probabilità congiuntav.v.a. è definita come\

: ÐBÑ œ : ÐB ßá ß B Ñ œ TÐ\ œ BÑ œ TÐ\ œ B ßá ß\ œ B Ñ\ \ " 5 " " 5 5 .

La f.p.c. è non nulla solo se e l'insieme delle probabilità: ÐBÑ B − W\

Ð: ÐBÑÑ \\ B−W costituisce la legge essenziale di . Per semplicità di notazione e dicalcolo, risulta generalmente conveniente lavorare con la legge essenziale di unv.v.a. discreto piuttosto che con la relativa f.r.c. In ogni caso, in modo simile aquanto visto nella Sezione 3.3, si può ottenere la legge del v.v.a. , ovvero per\ogni si haF − Ð ÑU ‘5

T Ð\ − FÑ œ : . œ ÐB ßá ß B Ñ: ÐB ßá ß B Ñ F

\ F " 5 \ " 5

ÐB ßáßB Ñ−W

/" 5

" ,

dove card e quindi l'espressione della f.r.c. è data da/ÐFÑ œ ÐF ∩ WÑ

J ÐBÑ œ Ð? ßá ß ? Ñ: Ð? ßá ß ? Ñ\ " 5 \ " 5

Ð? ßáß? Ñ−W

Ó∞ßB Ó‚â‚Ó∞ßB Ó" 5

" 5" .

Se il v.v.a. è discreto, tale è anche ogni componente marginale . In questo\3

caso, la (f.p.m.) della -esima componentefunzione di probabilità marginale 3marginale è data da\3

: ÐB Ñ œ TÐ\ − ßá ß\ œ B ßá ß\ − Ñ

œ : ÐB ßá ß B Ñ

\ 3 " 3 3 5

4Á3œ"

5

B −W

\ " 5

3

4 4

‘ ‘

,

dove rappresenta la proiezione di sull' -esimo asse cartesiano. L'insiemeW W 33

delle probabilità costituisce la legge essenziale della v.a. .Ð: ÐB ÑÑ \\ 3 B −W 33 3 3

Un v.v.a. è assolutamente continuo se possiede una f.r.c. assolutamente\continua rispetto alla misura di Lebesgue in . In questo caso, per il Teorema di‘5

Radon-Nikodym (Teorema A.9), la legge della v.a. può essere scritta sotto\forma di integrale, ovvero per ogni si haF − Ð ÑU ‘5

T ÐFÑ œ 0 ÐB ßá ß B Ñ .B á.B\ \ " 5 " 5F

e quindi la f.r.c. del v.v.a. può essere espressa come\


J ÐBÑ œ á 0 Ð? ßá ß ? Ñ .? á.?\ \ " 5 " 5∞ ∞

B B " 5

,

dove la funzione misurabile non negativa è detta 0 À Ä Ò!ß∞Ò\5‘ densità di

probabilità congiunta densità congiunta (d.p.c.) o semplicemente del v.v.a. .\In modo simile a quanto visto nella Sezione 3.3., la d.p.c. non è unica e quindi sidovrebbe parlare più propriamente di una versione della densità congiunta.Inoltre, dal momento che la f.r.c. è differenziabile su , allora risulta;Þ9Þ ‘5

0 ÐBÑ œ 0 ÐB ßá ß B Ñ œ J ÐB ßá ß B Ñ`

`B á`B\ \ " 5 \ " 5

5

" 5 .

Di nuovo, si deve notare che è conveniente lavorare con la d.p.c. di un v.v.a.discreto piuttosto che con la relativa f.r.c. Se il v.v.a. è assolutamente continuo,tale è anche ogni componente marginale . In questo caso, la -esima\ 33

componente marginale ammette (d.p.m.)\3 densità di probabilità marginaledata da

0 ÐB Ñ œ 0 ÐB ßá ß B Ñ .B á.B .B á.B\ 3 \ " 5 " 3" 3" 535"

‘

.

Esempio 3.5.1. Si consideri il v.v.a. discreto con f.p.c.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

: ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB B Ñ" " "

% # %\ " # " # " #

B B "B B

Ö!ß"× Ö!ß"× Ö!ß"× " # " #

" " " .

Evidentemente, risulta , mentre .W œ ÖÐ!ß !Ñß Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ× W œ W œ Ö!ß "×" #

Dunque, la f.p.m. relativa alla prima componente marginale è data da\"

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ" $

% %\ " \ " # "

B −W

B "B

Ö!ß"×"

# #

" " " ,

mentre la f.p.m. relativa alla seconda componente marginale risulta\#

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ"

#\ # \ " # #

B −W

Ö!ß"×#

" "

" .

La legge associata al v.v.a. è un caso particolare della legge Multinomiale,\mentre le leggi associate alle v.a. e si hanno per particolari\ \" #

parametrizzazioni della legge Binomiale (si veda Sezione 6.5).

81Capitolo 3

Esempio 3.5.2. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo che\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

ammette la seguente d.p.c.

0 ÐB ß B Ñ œ #%B Ð" B B Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB B Ñ\ " # " " # " # " #Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" " " .

Le d.p.m. della prima e della seconda componente marginale sonorispettivamente date da

0 ÐB Ñ œ #%B Ð" B B Ñ ÐB Ñ .B œ "#B Ð" B Ñ ÐB Ñ\ " " " # " # " " "!

"B

Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò#

"

" " "

e

0 ÐB Ñ œ #%B Ð" B B Ñ ÐB Ñ .B œ %Ð" B Ñ ÐB Ñ\ # " " # # " # #!

"B

Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò$

#

# " " .

La legge associata al v.v.a. è legata alla legge di Dirichlet, mentre le leggi\associate alle v.a. e si hanno per particolari parametrizzazioni della legge\ \" #

Beta (si veda Sezione 6.12).

Esempio 3.5.3. Si consideri il v.v.a. che possiede f.r.c.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

J ÐB ß B Ñ œ ÐB ß B Ñ Ð ÐB ß B ÑÑ Ð ÐB ß B ÑÑ\ " # " # " # " #Ò!ß"Ó Ó"ß∞Òmin min min" " .

Il v.v.a. non è ovviamente discreto e non è neppure assolutamente continuo in\quanto la f.r.c. non è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue in‘#

\. In effetti, il gradiente di è nullo Inoltre, si haJ ;Þ9Þ

J ÐB Ñ œ TÐ\ Ÿ B ß\ − Ñ œ B ÐB Ñ ÐB Ñ\ " " " # " " "Ò!ß"Ó Ó"ß∞Ò"‘ " " ,

da cui

0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ\ " "Ò!ß"Ó"" ,

ovvero la prima componente marginale è una v.a. assolutamente continua. Inmodo simile si verifica che anche la seconda componente marginale è

assolutamente continua e che . Dunque, il fatto che le componenti\ œ \" #_

marginali siano assolutamente continue non implica che il v.v.a siaassolutamente continuo.


3.6. Indipendenza di variabili aleatorie

Risulta molto importante estendere il concetto di indipendenza che è statointrodotto per un insieme di eventi ad un insieme di v.a. definite sullo stessospazio fondamentale. Si ha la seguente definizione formale che in effetti è unaconseguenza della Definizione 2.5.5.

Definizione 3.6.1. Le v.a. definite sullo spazio probabilizzato\ ßá ß\" 8

Ð ß ß T ÑH Y sono dette (o semplicementestocasticamente indipendentiindipendenti) se si ha

T Ö\ − F × œ TÐ\ − F Ñ 3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3 ,

per ogni con .F − Ð Ñ 3 œ "ßá ß 83 U ‘

Si noti che la precedente Definizione implica che ogni possibile scelta di v.a.5\ ßá ß\ 5 œ #ßá ß 83 3" 5

con risulta indipendente. Inoltre, posto\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 8

T, dal momento che la costruzione della -algebra di Borel5U ‘Ð Ñ Ó ∞ß BÓ dalla classe di insiemi del tipo , allora lapuò essere fatta a partire condizione data nella Definizione 3.6.1 è equivalente alla condizione

J ÐB ßá ß B Ñ œ T Ö\ Ÿ B × œ TÐ\ Ÿ B Ñ œ J ÐB Ñ\ " 8 3 3 3 3 \ 3

3œ" 3œ" 3œ"

8 8 8 3

.

Teorema 3.6.2. Le v.a. discrete definite sullo spazio\ ßá ß\" 8

probabilizzato sono indipendenti se e solo se la f.p.c. del v.v.a.Ð ß ß T Ñ :H Y \

\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 8T è data da

: Ð Ñ œ : ÐB Ñ\ \ 3

3œ"

8

B ßá ß B" 8 3

,

dove è la f.p.m. della -esima componente.: 3\3

Dimostrazione. Se sono indipendenti, dalla Definizione 3.6.1 si\ ßá ß\" 8

ha come caso particolare

83Capitolo 3

: Ð Ñ œ : ÐB Ñ\ \ 3

3œ"

8

B ßá ß B T Ö\ œ B × œ TÐ\ œ B Ñ œ" 8 3 3 3 3

3œ" 3œ"

8 8 3

.

Inversamente, se è vera la fattorizzazione, se il v.v.a. prende valori su \ W − ‘5

e rappresenta la proiezione di sull' -esimo asse cartesiano, sommandoW W 33

opportunamente si ha

T Ö\ − F × œ á ÐB Ñá ÐB Ñ B ßá ß B

œ á ÐB Ñ

œ ÐB Ñ: ÐB Ñ œ TÐ\

3œ"

8

3 3 F " F 8 " 8

B −W B −W

B −W B −W

F 3

3œ" 3œ"

8 8

B −W

F 3 \ 3

" " 8 8

" 8

" " 8 8

3

3 3

3 3

" "

"

"

: Ð Ñ

: ÐB Ñ

\

3œ" 3œ"

8 8

\ 3 3

3 3− F Ñ .

La precedente relazione è equivalente alla condizione della Definizione 3.6.1 equindi implica la tesi.

Teorema 3.6.3. Le v.a. assolutamente continue definite sullo\ ßá ß\" 8

spazio probabilizzato sono indipendenti se e solo se la d.p.c. delÐ ß ß T Ñ 0H Y \

v.v.a. è data da\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 8T

0 Ð Ñ œ 0 ÐB Ñ\ \ 3

3œ"

8

B ßá ß B" 8 3

,

dove è la d.p.m. della -esima componente.0 3\3

Dimostrazione. Dal momento che la Definizione 3.6.1 è equivalente aJ ÐB ßá ß B Ñ œ J ÐB Ñ\ " 8 \ 33œ"

83

, allora è sufficiente verificare che

0 ÐB ßá ß B Ñ œ J ÐB ßá ß B Ñ`

`B á`B

œ`

`B á`B

œ

\ " 8 \ " 5

8

" 88

" 8

3œ"

8

\ 3

3œ" 3œ"

8 8

3\ 3 \ 3

J ÐB Ñ

.

.BJ ÐB Ñ œ 0 ÐB Ñ

3

3 3 ,



Esempio 3.6.1. Si consideri il v.v.a. che ammette f.p.c.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

: ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ" " $

# % %\ " # " #

B "B

Ö!ß"× Ö!ß"× # #

" " .

Evidentemente, risulta e . LaW œ ÖÐ!ß !Ñß Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñß Ð"ß "Ñ× W œ W œ Ö!ß "×" #

v.a. ammette f.p.m. data da\"

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ"

#\ " \ " # #

B −W

Ö!ß"×"

# #

" ,

mentre la v.a. ammette f.p.m. data da\#

: ÐB Ñ œ : ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ" $

% %\ # \ " # #

B −W

B "B

Ö!ß"×#

" "

# # " .

Incidentalmente, si noti che il v.v.a. possiede componenti marginali che hanno\le stesse f.p.m. del v.v.a. dell'Esempio 3.5.1, anche se la f.p.c. risulta differente.Essendo

: ÐB ß B Ñ œ : ÐB Ñ: ÐB Ñ\ " # \ " \ #" # ,

le v.a. e sono indipendenti. Al contrario, è immediato verificare che le\ \" #

v.a. e dell'Esempio 3.5.1 non sono indipendenti.\ \" #

Esempio 3.6.2. Si consideri il v.v.a. che ammette d.p.c.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

0 ÐB ß B Ñ œ %B B ÐB Ñ ÐB Ñ\ " # " # " #Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" " .

La v.a. ammette d.p.m. data da\"

0 ÐB Ñ œ %B B ÐB Ñ .B œ #B ÐB Ñ\ " " # " # " "!

"

Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" " "

e quindi per simmetria la v.a. ammette d.p.m.\#

0 ÐB Ñ œ #B ÐB Ñ\ # # #Ó!ß"Ò#" .

Essendo

0 ÐB ß B Ñ œ 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ\ " # \ " \ #" # ,

85Capitolo 3

le v.a. e sono indipendenti. Le leggi associate alle v.a. e si hanno\ \ \ \" # " #

per particolari parametrizzazioni della legge Beta (si veda Sezione 6.9).


ammette d.p.c.

0 ÐB ß B Ñ œ ÐB B Ñ"

\ " # Ò!ß"Ò " ## #

1" .

La legge associata al v.v.a. è detta Uniforme sul cerchio unitario. La v.a. \"

ammette d.p.m. data da

0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ .B œ Ð" B Ñ ÐB Ñ" #

\ " " # "Ð"B Ñ

Ð"B Ñ

Ó"ß"Ò Ó"ß"Ò"# "Î#

"

"# "Î#

"# "Î#

1 1" "

e quindi per simmetria la v.a. ammette d.p.m.\#

0 ÐB Ñ œ Ð" B Ñ ÐB Ñ#

\ # ### "Î#

Ó"ß"Ò# 1" .

Le v.a. e non sono indipendenti in quanto\ \" #

0 ÐB ß B Ñ Á 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ\ " # \ " \ #" # .

3.7. Trasformate di variabili aleatorie

In molti casi è necessario considerare una funzione di una certa v.a. (o di uncerto v.v.a.), piuttosto che la v.a. (o il v.v.a.) originale. Formalmente, dato lospazio probabilizzato e la v.a. , se è unaÐ ß ß T Ñ \ À Ä 1 À ÄH Y H ‘ ‘ ‘funzione misurabile, allora è detta della v.a. . Dal] œ 1Ð\Ñ \trasformatamomento che è una funzione misurabile e che per ogni si ha1 F − Ð ÑU ‘

] ÐFÑ œ \ Ð1 ÐFÑÑ" " " ,

allora segue immediatamente che è una v.a. in base alla Definizione 3.1.1.]Inoltre, la legge indotta dalla v.a. è data da]

T ÐFÑ œ T Ð1 ÐFÑÑ œ TÐ1Ð\Ñ − FÑ œ TÐ\ − 1 ÐFÑÑ Þ] \" "


Dalla precedente relazione si può ottenere la f.r. della v.a. qualora si ponga]F œ Ó ∞ß CÓ. Inoltre, identici risultati possono adeguati a trasformate di v.v.a.,assumendo in questo caso che sia una funzione misurabile. Anche1 À Ä‘ ‘5 2

se il problema di determinare la legge e la f.r. di una trasformata èconcettualmente semplice, la gestione di ogni caso specifico può richiederetuttavia una certa abilità di calcolo.

Esempio 3.7.1. Data la v.a. , si consideri la trasformata . In questo\ ] œ l\lcaso, per ogni si haC !

TÐ] Ÿ CÑ œ TÐ\ − Ò Cß CÓÑ

e dunque

J ÐCÑ œ TÐ] Ÿ CÑ œ ÐJ ÐCÑ J Ð CÑ TÐ\ œ CÑÑ ÐCÑ Þ] \ \ Ò!ß∞Ò"

Quando la v.a. è assolutamente continua, allora risulta\

J ÐCÑ œ ÐJ ÐCÑ J Ð CÑÑ ÐCÑ] \ \ Ò!ß∞Ò"

e quindi anche la v.a. è assolutamente continua e ammette d.p. data da]

0 ÐCÑ œ J ÐCÑ œ Ð0 ÐCÑ 0 Ð CÑÑ ÐCÑ.

.C] ] \ \ Ò!ß∞Ò" .

Infine, se la d.p. è simmetrica rispetto all'origine, allora0\

0 ÐCÑ œ #0 ÐCÑ ÐCÑ] \ Ò!ß∞Ò" .

Nel caso particolare in cui

0 ÐBÑ œ ÐBÑ"

#\ Ó"ß"Ò" ,

si ha dunque

0 ÐCÑ œ ÐCÑ] Ó!ß"Ò" .

Esempio 3.7.2. Dato il v.v.a. , si consideri la trasformata\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

] œ \ \" #. Si ha

J ÐCÑ œ TÐ] Ÿ CÑ œ TÐ\ \ Ÿ CÑ Þ] " #

Quando il v.v.a. è assolutamente continuo, dalla precedente espressione risulta\

87Capitolo 3

J ÐCÑ œ 0 ÐB ß B Ñ ÐB B Ñ .B .B

œ 0 ÐB ß B Ñ .B .B

] \ " # " # " #∞ ∞

∞ ∞

Ó∞ßCÒ

∞ ∞

∞ CB

\ " # " #

"

"

e quindi anche la v.a. è assolutamente continua con d.p. data da]

0 ÐCÑ œ J ÐCÑ œ 0 ÐB ß C B Ñ .B.

.C] ] \ " " "

∞

∞ .


0 ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ ÐB Ñ\ " # " #Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" " ,

si ha

0 ÐCÑ œ ÐC B Ñ .B œ ÐCß # CÑ ÐCÑ] " "!

"

Ó!ß"Ò Ó!ß#Ò " "min .

In questo caso, la legge associata alla v.a. si ottiene per una particolare]parametrizzazione della cosiddetta legge Triangolare. Si noti inoltre che unmetodo più elegante per ottenere la legge di una somma di v.a. sarà consideratonel Capitolo 7.

Di seguito vengono considerati alcuni risultati utili per determinare la f.r. e lad.p. di una trasformata di una v.a. assolutamente continua. Successivamente,vengono analizzate estensioni di questi metodi a trasformate di v.v.a.assolutamente continui.

Teorema 3.7.1. Sia data la trasformata della v.a. assolutamente] œ 1Ð\Ñ \continua definita sullo spazio probabilizzato , con funzioneÐ ß ß T Ñ 1H Ymisurabile biunivoca. Se è una funzione crescente, allora si ha1

J ÐCÑ œ J Ð1 ÐCÑÑ] \" ,

mentre se è una funzione decrescente, allora si ha1

J ÐCÑ œ " J Ð1 ÐCÑÑ] \" .

Inoltre, la d.p. della v.a. è data da]


0 ÐCÑ œ 0 Ð1 ÐCÑÑ 1 ÐCÑ.

.C] \

" " .Dimostrazione. Se è crescente si ha1

J ÐCÑ œ TÐ1Ð\Ñ Ÿ CÑ œ TÐ\ Ÿ 1 ÐCÑÑ œ]" J Ð1 ÐCÑÑ\

" ,

mentre se è decrescente si ha1

J ÐCÑ œ TÐ1Ð\Ñ Ÿ CÑ œ TÐ\ 1 ÐCÑÑ œ " ]" J Ð1 ÐCÑÑ\

" ,

in quanto l'immagine inversa dell'insieme risulta . La secondaÓ ∞ß +Ó Ò+ß∞Òparte del Teorema si ottiene immediatamente derivando le precedenti espressionidella f.r. .J]

Il precedente Teorema può essere esteso al caso in cui non sia una funzione1biunivoca, ma risulti biunivoca su ogni elemento di una partizione finitaE ßá ßE E œ" 8 33œ"

8 di , ovvero . Sotto questa ipotesi si ha‘ ‘1ÐBÑ œ 1 ÐBÑ

3œ"

8

3 ,

dove e dunque, applicando opportunamente il Teorema1 ÐBÑ œ 1ÐBÑ ÐBÑ3 E" 3

3.7.1, si verifica che la d.p. di è data da]

0 ÐCÑ 0 Ð1 ÐCÑÑ 1 ÐCÑ.

.C] \ 3 3

" "œ 3œ"

8 .

Esempio 3.7.3. Data la v.a. assolutamente continua, si consideri la trasformata\] œ \ C œ B E œ Ó ∞ß !Ó# #

". Dal momento che la funzione è decrescente in ecrescente in , alloraE œ Ó!ß∞Ò#

0 ÐCÑ 0 Ð CÑ 0 Ð CÑÑ"

# C] \ \œ Ð ÐCÑ "Ò!ß∞Ò .


0 ÐBÑ œ ÐBÑ"

#\ Ó"ß"Ò" ,

tenendo presente la simmetria di rispetto all'origine, si ha0\

89Capitolo 3

0 ÐCÑ œ ÐCÑ] Ó!ß"Ò"

# C " .

Teorema 3.7.2. Sia dato il v.v.a. assolutamente continuo definito sullo\spazio probabilizzato e sia un diffeomorfismo. La d.p.c.Ð ß ß T Ñ 1 À ÄH Y ‘ ‘5 5

della trasformata data dal v.v.a. risulta] œ 1Ð\Ñ

0 ÐCÑ œ 0 Ð1 ÐCÑÑlN Ð1 ÐCÑÑl] \" " ,

dove è lo Jacobiano relativo alla funzione nel punto .N Ð1 ÐCÑÑ 1 C" "

Dimostrazione. Per ogni si haF − Ð ÑU ‘5

T ÐFÑ œ T Ð1 ÐFÑÑ œ 0 ÐB ßá ß B Ñ .B á.B] \ \ " 5 " 5"

1 ÐFÑ

"

.

Tenendo presente il commento successivo al Teorema A.8, allora risulta

T ÐFÑ œ 0 C ßá ß C C ßá ß C .C á.C] " 5 " 5 " 5F

\" "Ð1 Ð ÑÑlN Ð1 Ð ÑÑl ,


In modo simile a quanto visto per una singola v.a., il Teorema 3.7.2 può essereesteso al caso in cui sia un diffeomorfismo su ogni elemento di una partizione1E ßá ßE ]" 8

5 di , ovvero in questo caso la d.p.c. del v.v.a. è data da‘

0 ÐCÑ 0 Ð1 ÐCÑÑlN Ð1 ÐCÑÑl] \ 3 3" "œ

3œ"

8

,

dove .1 ÐBÑ œ 1ÐBÑ ÐBÑ3 E" 3

Esempio 3.7.4. Dato il v.v.a. assolutamente continuo, si vuole\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

determinare la d.p. della v.a. somma . A questo fine è conveniente\ \" #

considerare la trasformata , dove .] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ 1ÐBÑ œ ÐB ß B B Ñ" # " " #T T

Dal momento che , allora , e quindi1 ÐCÑ œ ÐC ß C C Ñ lN Ð1 ÐCÑÑl œ "" "" # "

T

0 ÐCÑ œ 0 ÐC ß C Ñ œ 0 ÐC ß C C Ñ] ] " # \ " # " .

La d.p.m. della componente è dunque data da] œ \ \# " #


0 ÐC Ñ œ 0 ÐC ß C C Ñ .C] # \ " # " "∞

∞

# .

Ovviamente questo risultato coincide con quello ottenuto nell'Esempio 3.7.2. Sinoti che nel caso in cui le v.a. e siano indipendenti, allora si ha\ \" #

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC Ñ0 ÐC C Ñ .C] # \ " \ # " "∞

∞

# " # .

Se si vuole determinare la d.p. della v.a. differenza , in modo simile si\ \" #

considera la trasformata , dove . In] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ 1ÐBÑ œ ÐB ß B B Ñ" # " " #T T

questo caso, la d.p.m. della componente è data da] œ \ \# " #

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC ß C C Ñ .C] # \ " " # "∞

∞

# ,

mentre se le v.a. e sono indipendenti risulta\ \" #

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC Ñ0 ÐC C Ñ .C] # \ " \ " # "∞

∞

# " # .

Esempio 3.7.5. Dato il v.v.a. assolutamente continuo , si vuole\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

determinare la d.p. della v.a. prodotto . A questo fine è conveniente\ \" #

considerare la trasformata , dove . Dal] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ 1ÐBÑ œ ÐB ß B B Ñ" # " " #T T

momento che , allora , e quindi1 ÐCÑ œ ÐC ß C ÎC Ñ lN Ð1 ÐCÑÑl œ lC l" " "" # " "

T

0 ÐCÑ œ 0 C ßC "

C lC l] \ "

#

" " .

La d.p.m. della componente è dunque data da] œ \ \# " #

0 ÐC Ñ œ 0 C ß .CC "

C lC l] # \ " "

∞

∞#

" "# ,

che nel caso in cui le v.a. e siano indipendenti, si riduce a\ \" #

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC Ñ0 .CC "

C lC l] # \ " \ "

∞

∞#

" "# " # .

In modo simile, la d.p. della v.a. rapporto è data da] œ \ Î\# # "

91Capitolo 3

0 ÐC Ñ œ 0 C ß C C lC l .C] # \ " " # " "∞

∞

# ,

mentre se le v.a. e sono indipendenti risulta\ \" #

0 ÐC Ñ œ 0 ÐC Ñ0 ÐC C ÑlC l .C] # \ " \ " # " "∞

∞

# " # .

Nel caso particolare in cui si considera la d.p.c. dell'Esempio 3.7.2, allora lad.p.m. della trasformata risulta] œ \ \# " #

0 ÐC Ñ œ .C œ ÐC Ñ ÐC ÑC "

C C] # " # #

!

"

Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò#

" "# " "log ,

mentre la d.p.m. della trasformata risulta] œ \ Î\# # "

0 ÐC Ñ œ ÐC C ÑC .C œ ÐC Ñ ÐC Ñ" "

# #C] # " # " " # #

!

"

Ò!ß"Ó Ó!ß"Ó Ó"ß∞Ò### " " " .

Esempio 3.7.6. Sia data la legge Uniforme sul cerchio unitario introdottanell'Esempio 3.6.3, e si consideri la trasformata in coordinate polari] œ Ð] ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ 1 ÐCÑ œ ÐC C ß C C Ñ" # " # " #

"T T, dove . Dal momento checos sinlN Ð1 ÐCÑÑl œ C"

", si ha

0 ÐCÑ œ C ÐC Ñ ÐC Ñ"

] " " #Ó!ß"Ò Ó!ß# Ò1

" " 1 .

Dunque, è immediato verificare che le v.a. e sono indipendenti e che la] ]" #

d.p.m. di è data da]"

0 ÐC Ñ œ #C ÐC Ñ] " " "Ó!ß"Ò"" ,

mentre la d.p.m. di è data da]#

0 ÐC Ñ œ ÐC Ñ"

#] # #Ó!ß# Ò# 1

" 1 .

La legge associata alla v.a. si ottiene per una particolare parametrizzazione]"

della legge Beta (si veda Sezione 6.9), mentre la legge associata alla v.a. si]#

ottiene per una particolare parametrizzazione della legge Uniforme. Questirisultati possono essere applicati per illustrare il cosiddetto paradosso delle cordeconsiderato da Joseph Bertrand nel suo testo . Il problemaCalcul des probabilités


consiste nello scegliere “casualmente” una corda nel cerchio unitario e neldeterminare la probabilità che la corda sia più lunga del lato del triangoloequilatero inscritto nel cerchio (ovvero di ). Il paradosso deriva dal fatto che$nella formulazione del problema non è ben definita la v.a. d'interesse, ovvero sihanno differenti risultati a secondo di come viene selezionata la corda. Adesempio, se la corda viene scelta generando uniformemente un punto nel cerchioe in modo tale che il punto corrisponda al punto medio della corda, allora laprobabilità richiesta è data da

TÐ#Ð" Ð\ \ ÑÑ $Ñ œ T ] Ÿ œ # C .C œ" "

# %" ## # "Î#

" " "!

"Î# .

Se invece si genera un punto casuale sul diametro perpendicolare al lato deltriangolo equilatero e si sceglie la corda perpendicolare a questo punto, allora sela v.a. possiede legge uniforme su , ovvero ammette densità data da^ Ò "ß "Ó0 ÐDÑ œ # ÐDÑ^

"Ò"ß"Ó" , la probabilità richiesta è data da

TÐ#Ð" ^ Ñ $Ñ œ T ^ Ÿ œ .C œ" " "

# # ## "Î#

"Î#

"Î#

" | | .

Se infine la corda viene scelta in modo che uno dei suoi estremi coincida con unestremo del lato del triangolo e l'altro estremo abbia una distribuzione uniformesulla circonferenza unitaria, allora la probabilità richiesta è data da

TÐÐ# # ] Ñ $Ñ œ T Ÿ ] Ÿ œ .C œ' ' # $

& " "cos # # #

"Î#

Î'

& Î' 1 1

1 1

1

.

Teorema 3.7.3. Sia dato il v.v.a. con componenti\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

indipendenti definito sullo spazio probabilizzato . SeÐ ß ß T ÑH Y] œ Ð] ßá ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ ] œ 1 Ð\ Ñ" 5 3 3 3

T è una trasformata misurabile tale che ,le componenenti del v.v.a. sono indipendenti.]

Dimostrazione. Dal momento che risulta

T Ö1 Ð\ Ñ − F × œ T Ö\ − 1 ÐF Ñ×

œ TÐ\ − 1 ÐF ÑÑ œ TÐ1 Ð\ Ñ − F Ñ

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3 33"

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3 33"

93Capitolo 3

per ogni con , la tesi segue immediatamente dallaF − Ð Ñ 3 œ "ßá ß 83 U ‘Definizione 3.6.1.


Una trattazione esauriente ed elegante delle proprietà della funzione diripartizione è contenuta nel classico testo di Chung (2001). Numerosi esempi diequivalenze in legge e su trasformate di variabili aleatorie (o vettori aleatori)sono contenuti nei testi con esercizi svolti di Chaumont e Yor (2005), Grimmette Stirzaker (2001) e Hamming (1991). Infine, Devroye (1986) è un testo dedicatoalla generazione di variabili pseudo-aleatorie con numerosi esempi diequivalenze in legge.

Capitolo 4

Valori attesi

4.1. Valore atteso di una variabile aleatoria

Il concetto di valore atteso è fondamentale nella Teoria della Probabilità.Formalmente, si ha la seguente definizione.

Definizione 4.1.1. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T ÑH Y , si dice l'integralevalore atteso

EÒ\Ó œ \ .Tse esiste finito.

La simbologia adottata nella precedente definizione è basata sul termineinglese o sul termine francese . Il valore atteso è ancheexpectation espérancedetto o . Inoltre, il valore atteso della v.a. èvalor medio speranza matematica \spesso indicato con il simbolo , o semplicemente con quando il contesto. .\

non si presta a fraintendimenti.Si noti che se dove , allora risulta\ œ I −"I Y

EÒ Ó œ .T œ TÐIÑ"II

,

ovvero la probabilità di un evento può essere interpretata come un valore atteso.Tenendo presente il Teorema A.8, il valore atteso può anche essere espressocome

EÒ\Ó œ B .T ÐBÑ‘

\ .

Dalla precedente espressione e dal Teorema A.10, se la v.a. è discreta a valori\su insieme numerabile con f.p. , il valore atteso si riduce aW :\

96 Valori attesi

EÒ\Ó œ B: ÐBÑ . ÐBÑ œ B: ÐBÑ ‘

\ \

B−W

/ ,

dove è la misura definita nella Sezione 3.3. Analogamente, se la v.a. è/ \assolutamente continua e ammette d.p. , il valore atteso si riduce a0\

EÒ\Ó œ B0 ÐBÑ .B∞

∞

\ .

Infine, se e sono v.a. tali che , allora si ottiene immediatamente che\ ] \ œ ]_

E EÒ\Ó œ Ò] Ó.

Esempio 4.1.1. Si consideri la v.a. discreta analizzata nell'Esempio 3.3.1. In\questo caso, il valore atteso della v.a. è dato da\

EÒ\Ó œ B: ÐBÑ œ B# Bœ! Bœ!

∞ ∞

\B" .

Tenendo presente che derivando ambo i membri della serie geometrica (si vedal'Esempio 3.3.1) rispetto ad si ottiene+

Bœ" Bœ!

∞ ∞B B

#B+ œ B+ œ

+

Ð" +Ñ ,

allora, ponendo nella precedente relazione, il valore atteso risulta+ œ "Î#

EÒ\Ó œ B# œ ""

#Bœ!

∞B .

Esempio 4.1.2. Si consideri la v.a. assolutamente continua analizzata\nell'Esempio 3.4.1. In questo caso il valore atteso della v.a. è dato da\

EÒ\Ó œ B0 ÐBÑ .B œ $ B .B œ$

% ! !

" "

\$ .

Denotando con e , il valore atteso può\ œ Ð\ß !Ñ \ œ Ð\ß !Ñ max minessere scritto come

97Capitolo 4

E E EÒ\Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó .

Dunque, il valore atteso esiste finito se si ha e . NelE EÒ\ Ó ∞ Ò\ Ó ∞

caso in cui uno dei valori attesi o non sia finito, allora il valoreE EÒ\ Ó Ò\ Ó

atteso non è finito. Infine, se entrambi i valori attesi e nonE E EÒ\Ó Ò\ Ó Ò\ Ó

sono finiti, allora il valore atteso non è definito, in quanto si ha la forma delEÒ\Ótipo .∞∞

0 1 2 3 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 4.1.1. Densità di probabilità relativa alla legge ridotta di Lévy.

Figura 4.1.2. Paul Pierre Lévy (1886-1971).

Esempio 4.1.3. Si consideri la v.a. assolutamente continua che ammette d.p.\data da

98 Valori attesi

0 ÐBÑ œ B ÐBÑ" "

# #B\

$Î#Ó!ß∞Ò

1exp " .

La legge associata a questa v.a. prende nome dal probabilista Paul Pierre Lévy(1886-1971) (la legge è considerata nella versione ridotta, si veda la Sezione6.6). La legge ha interessanti applicazioni nell'ambito finanziario e in fisica (perla genesi, si veda la Sezione 9.4). Risulta immediato verificare che ,EÒ\ Ó œ !

mentre

E exp

exp

exp

Ò\ Ó œ B .B" "

# #B

B .B" "

# #B

B .B œ ∞Ð "Î#Ñ

#

"Î#

!

∞

"

∞"Î#

"

∞"Î#

1

1

1

e quindi non è finito. EÒ\Ó

4 2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

Figura 4.1.3. Densità di probabilità relativa alla legge ridotta di Cauchy.

Esempio 4.1.4. Si consideri la v.a. assolutamente continua che ammette d.p.\data da

0 ÐBÑ œ"

Ð" B Ñ\ #1

.

99Capitolo 4

La legge associata a questa v.a. è legata al nome del matematico Augustin-LouisCauchy (1789-1857) (anche in questo caso la legge è considerata nella versioneridotta, si veda la Sezione 6.6). La legge ha importanti applicazioni in fisica e siottiene per una particolare parametrizzazione della legge di Student (vedi>Sezione 6.10). Data la simmetria di risulta0\

E EÒ\ Ó œ Ò\ Ó œ .B œ ∞B

Ð" B Ñ

!

∞

#1

e quindi non è definito.EÒ\Ó

Figura 4.1.4. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).

4.2. Proprietà del valore atteso

I seguenti Teoremi forniscono un insieme di proprietà, che riguardano alcunedisuguaglianze e le condizioni di esistenza sul valore atteso.

Teorema 4.2.1. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T ÑH Y . Si ha

l Ò\Ól Ÿ Òl\lÓE E

e quindi se esiste finito, allora anche esiste finito.E EÒl\lÓ Ò\ÓDimostrazione. Dal momento che , allora dal Teorema A.6 siÖ Ÿ l l× ;Þ-Þ\ \

ha

EÒ\Ó Ÿ \ \ \l Ò Ól œ \ .T Ÿ l l .T œ Òl lÓE E ,

100 Valori attesi

da cui segue immediatamente anche la seconda parte.

Teorema 4.2.2. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ T Ð\ − Ò+ß ,ÓÑ œ " + ,H Y . Se dove e sono costanti, allora si ha+ Ÿ Ò\Ó Ÿ , +ß , ∞ Ò\ÓE E. Quindi, se , allora esiste finito.

Dimostrazione. Dal momento che , dal Teorema A.6 si haÖ\ +× ;Þ-Þ

EÒ Ó œ \ .T + .T œ +\ ,

mentre, dal momento che , alloraÖ\ Ÿ ,× ;Þ-Þ

EÒ Ó œ \ .T Ÿ , .T œ ,\ ,

da cui segue anche la seconda parte.

Se è una funzione misurabile, risulta banale generalizzare i1 À Ä‘ ‘5

Teoremi 4.2.1 e 4.2.2 alla trasformata del v.v.a. .] œ 1Ð\Ñ \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

Più esattamente, si ha che

l Ò1Ð\ÑÓl Ÿ Òl1Ð\ÑlÓE E

e quindi se esiste finito, allora anche esiste finito. Inoltre, seE EÒl1Ð\ÑlÓ Ò1Ð\ÑÓT Ð1Ð\Ñ − Ò+ß ,ÓÑ œ " + Ÿ Ò1Ð\ÑÓ Ÿ ,, si ha . Infine, il seguente Teorema èEfondamentale in quanto permette di ottenere il valore atteso della trasformata] œ 1Ð\Ñ senza dover prima determinare la distribuzione della v.a. trasformata,come in effetti sembrerebbe necessario dalla definizione.

Teorema 4.2.3. Data la funzione misurabile si consideri la1 À Ä‘ ‘5 , trasformata del v.v.a. definito sullo spazio] œ 1Ð\Ñ \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5

T

probabilizzato . Si haÐ ß ß T ÑH Y

E EÒ] Ó œ Ò1Ð\ÑÓ œ 1 T‘5

ÐB ßá ß B Ñ . ÐB ßá ß B Ñ" 5 " 5\

se l'integrale esiste finito.Dimostrazione. Dal Teorema A.8 si ha

EÒ Ó œ .T œ ÐB ßá ß B Ñ . ÐB ßá ß B Ñ] 1Ð\Ñ 1 T ‘5

" 5 " 5\

101Capitolo 4


In particolare, se è un v.v.a. discreto a valori su un insieme e con f.p.c.\ W:\ , dal Teorema 4.2.3 e dal Teorema A.10 si ottiene che

EÒ] Ó œ 1Ð\ÑEÒ Ó œ 1ÐB ßá ß B Ñ: ÐB ßá ß B ÑÐB ßáßB Ñ−W

" 5 \ " 5

" 5

,

mentre se è un v.v.a. assolutamente continuo che ammette d.p.c. allora si\ 0\ha

EÒ] Ó œ 1Ð\ÑEÒ Ó œ 1ÐB ßá ß B Ñ0 ÐB ßá ß B Ñ .B á.B‘5

" 5 \ " 5 " 5 .

Esempio 4.2.1. Si consideri la v.a. assolutamente continua con legge\Uniforme che ammette d.p.

0 ÐBÑ œ ÐBÑ\ Ó!ß"Ò"

e si consideri la trasformata . Dal momento che la funzione è] œ \ C œ B# #

crescente in , allora dal Teorema 3.7.1 risultaÓ!ß "Ò

0 ÐCÑ œ ÐCÑ] Ó!ß"Ò"

# C "

e quindi

EÒ] Ó œ C0 ÐCÑ .C œ C .C œ" "

# $ ! !

" "

] .

Il medesimo risultato può essere ottenuto in modo più immediato applicandodirettamente il Teorema 4.2.3, in quanto si ha

E EÒ] Ó œ Ò\ Ó œ B 0 ÐBÑ .B œ B .B œ"

$# # #

! !

" "

\ .


ammette la d.p.c. introdotta nell'Esempio 3.7.5. Nel medesimo Esempio è stato

102 Valori attesi

verificato che la d.p. della trasformata risulta] œ \ \" #

0 ÐCÑ œ ÐCÑ ÐCÑ] Ó!ß"Òlog "

e quindi

E logÒ] Ó œ C ÐCÑ .C œ"

%!

"

.

Tuttavia, applicando il Teorema 4.2.3, si ha immediatamente

E EÒ] Ó œ Ò\ \ Ó œ B B .B .B œ"

%" # " # " #

! !

" " .

Il seguente Teorema fornisce un importante risultato sul valore atteso di unacombinazione lineare di v.a., nel senso che il valore atteso di una combinazionelineare di v.a. è dato dalla combinazione lineare dei valori attesi.

Teorema 4.2.4. Se è un v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato , si consideri la trasformata doveÐ ß ß T Ñ ] œ + , \H Y 3œ"5

3 3

+ − Ð, ßá ß , Ñ − Ò\ Ó‘ ‘ e sono costanti. Se esiste finito per ogni" 5 35 E

3 œ "ßá ß 5, si ha

EÒ] Ó œ + , Ò\ Ó3œ"

5

3 3E .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema A.6 si ha

E

E

Ò] Ó œ + , \ .T

œ + .T , \ .T œ + , Ò\ Ó

3œ"

5

3 3

3 3 3 3

3œ" 3œ"

5 5

,


In particolare, quando si considera la trasformata , dove ,] œ + ,\ +ß , − ‘dal Teorema 4.2.4 risulta

E EÒ] Ó œ + , Ò\Ó .

103Capitolo 4

Inoltre, se si ha la trasformata , con , allora segue che] œ \ œ Ò\Ó. . E

E EÒ] Ó œ Ò\Ó œ !. .

Infine, se si considera la trasformata , nelle ipotesi del Teorema] œ \3œ"5

3

4.2.4 risulta

EÒ] Ó œ 3œ"

5

3EÒ\ Ó .

Esempio 4.2.3. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo \ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

introdotto nell'Esempio 3.5.2. Si ha

EÒ\ Ó œ #% B Ð" B B Ñ .B .B œ#

&" " # " #

! !

" "B

"# "

e

EÒ\ Ó œ #% B B Ð" B B Ñ .B .B œ"

&# " # " # " #

! !

" "B "

.

Dunque, la media della v.a. è data da] œ \ \" #

E E E EÒ] Ó œ Ò\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó œ$

&" # " # .

Il seguente Teorema permette di ottenere il valore atteso di un prodotto di v.a.indipendenti, nel senso che il valore atteso del prodotto di v.a. indipendenti èdato dal prodotto dei valori attesi.


probabilizzato a componenti indipendenti, si consideri la trasformataÐ ß ß T ÑH Y

] œ \ Ò\ Ó 3 œ "ßá ß 53œ"5

3 3. Se esiste finito per ogni , si haE

EÒ] Ó œ 3œ"

5

3EÒ\ Ó .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.2.3 e il Teorema di Fubini(Teorema A.11) si ha

104 Valori attesi

EÒ] Ó œ .T œ . Œá Œ

œ .

3œ" 3œ"

5 5

3 3 \ \

3œ" 3œ"

5 5

3 \ 3

\ B T T

B T œ Ò\ Ó

‘

‘

5" 5

3E ,


Si noti che non vale ovviamente l'inverso del Teorema 4.2.5, ovvero, se siverifica che il valore atteso di un prodotto di v.a. equivale al prodotto dei singolivalori attesi, questo non ci permette di concludere che le v.a. sono indipendenti.


dell'Esempio 3.7.2. Inoltre, nell'Esempio 4.2.2 è stato ottenuto il valore attesodella trasformata . Il calcolo di questa quantità può essere] œ \ \" #

ulteriormente semplificato. In effetti, dal momento che

0 ÐB ß B Ñ œ 0 ÐB Ñ0 ÐB Ñ\ " # \ " \ #" # ,

dove e , allora le componenti marginali0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ 0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ\ " " \ # #Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" #" "

del v.v.a. sono indipendenti. Inoltre, si ha e quindi laE EÒ\ Ó œ Ò\ Ó œ "Î#" #

media della v.a. è data da] œ \ \" #

E E E EÒ] Ó œ Ò\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó œ"

%" # " # .


dell'Esempio 3.6.3. Risulta

EÒ\ \ Ó œ B B .B .B œ !"

" # " # " #" Ð"B Ñ

" Ð"B Ñ

1

"# "Î#

"# "Î#

,

mentre, data la simmetria rispetto all'origine della d.p. , si ha0 ÐB Ñ\ ""

EÒ\ Ó œ B Ð" B Ñ .B œ !#

" " ""

"

"# "Î#

1 .

Inoltre, dal momento che e posseggono la medesima legge, allora si ha\ \" #

anche . Risulta quindi anche se le v.a. eE E E EÒ\ Ó œ ! Ò\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó \# " # " # "

\# non sono indipendenti.

105Capitolo 4

Il seguente Teorema introduce una importante disuguaglianza per il valoreatteso di una trasformata di un v.v.a. quando la funzione risulta] œ 1Ð\Ñ \ 1convessa, ovvero se è definita su un insieme aperto e1 G

1Ð ? Ð" Ñ@Ñ Ÿ 1Ð?Ñ Ð" Ñ1Ð@Ñα α α α

per ogni e dove 1 . La disuguaglianza prende nome dal?ß @ − G − Ò!ß Óαmatematico danese Johan Jensen (1859-1925).

Teorema 4.2.6. (Disuguaglianza di Jensen) Data la funzione convessa 1 À Ä‘ ‘5 , si consideri la trasformata del v.v.a. ] œ 1Ð\Ñ \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5

T

definito sullo spazio probabilizzato . Si haÐ ß ß T ÑH Y

1Ð Ò\ÓÑ Ÿ Ò1Ð ÓE E \Ñ .

Dimostrazione. Se è una funzione convessa, per ogni esiste un 1 @ - œ -Ð@Ñtale che

1Ð?Ñ 1Ð@Ñ -Ð? @Ñ

(si veda Billingsley, 1995, p.545). Tenendo presente questa disuguaglianza con@ œ Ò\ÓE e le proprietà del valore atteso, si ha

E E E EE E E E

Ò1Ð\ÑÓ Ò1Ð Ò\ÓÑ -Ð\ Ò\ÓÑÓ

œ 1Ð Ò\ÓÑ - Ò\ Ò\ÓÓ œ 1Ð Ò\ÓÑ ,


Esempio 4.2.6. Si consideri la v.a. e la trasformata . Dal momento\ 1Ð\Ñ œ l\lche è una funzione convessa, allora risulta , ovvero si ha una1 l Ò\Ól Ÿ Òl ÓE E \lulteriore dimostrazione del Teorema 4.2.1, in questo caso basata sullaDisuguaglianza di Jensen.

4.3. Momenti di variabili aleatorie

I momenti sono medie di particolari trasformate della v.a. in oggetto di studio,ovvero medie di potenze, e che servono a caratterizzare la distribuzione della v.a.Più esattamente si ha la seguente definizione.

106 Valori attesi

Definizione 4.3.1. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ < œ !ß "ßáH Y , si dice , dove , l'integralemomento di ordine <

EÒ\ Ó œ \ .T< <se esiste finito. Si dice inoltre l'integralemomento assoluto di ordine <

EÒl\l Ó œ l\l .T< <se esiste finito. Infine, si dicono rispettivamente momento centrale di ordine <l'integrale

EÒÐ\ Ñ Ó œ Ð\ Ñ .T. .< <e l'integralemomento centrale assoluto di ordine <

EÒl\ l Ó œ l\ l .T. .< <se esistono finiti.

Il momento di ordine della v.a. è spesso indicato con il simbolo , o< \ .\ß<

semplicemente con quando il contesto è chiaro. Dalla Definizione 4.3.1 risulta.<

evidente che , mentre si ha . Ovviamente, i momenti e i. . .! "œ " œ œ Ò\ÓEmomenti assoluti (così come i momenti centrali e i momenti centrali assoluti)coincidono quando è pari. Risulta inoltre immediato verificare che il primo<momento centrale è nullo (vedi Sezione 4.2). Il secondo momento centrale èdetto e viene indicato con la notazionevarianza

Var EÒ\Ó œ ÒÐ\ Ñ Ó. # ,

o anche con la notazione , che al solito viene ulteriormente semplificata con5\#

5# quando non vi è possibilità di fraintendimento. Infine, la radice quadrata dellavarianza è detta .scarto quadratico medio

Tenendo presente il Teorema 4.2.4, è immediato verificare che fra i momenticentrali e i momenti esiste la seguente relazione

E EÒÐ\ Ñ Ó œ Ð "Ñ \ œ Ð "Ñ< <

3 3. . . .< <3 3 <3 <3 <3

3œ! 3œ!

< <

3 .

107Capitolo 4

In particolare, si ha

Var E EÒ\Ó œ Ò\ Ó Ò\Ó œ # # ##. . .

Nel linguaggio della Teoria della Misura, i momenti sono evidentementefunzioni di norme, ovvero e .E EÒl\l Ó œ m\m Òl\ l Ó œ m\ m< < < <

< <. .

Esempio 4.3.1. Si consideri la v.a. assolutamente continua analizzata\nell'Esempio 4.2.1. In questo caso il momento di ordine della v.a. è dato da< \

EÒ\ Ó œ B .B œ"

< "< <

!

" .

Si ha dunque , mentre il momento di ordine coincide con il momento. œ "Î# <assoluto di ordine . Per quanto riguarda il momento centrale di ordine della< <v.a., risulta

EÒÐ\ Ñ Ó œ B .B œ Ð" Ð "Ñ Ñ" #

# < ". < <

!

" < Ð<"Ñ e quindi se è dispari, mentreEÒÐ\ Ñ Ó œ ! <. <

EÒÐ\ Ñ Ó œ#

< ". <

<

se è pari. Dunque, si ha . Infine, risulta< Ò\Ó œ "Î"#Var

EÒl\ l Ó œ lB "Î#l .B œ#

< ". < <

!

" < .

Esempio 4.3.2. Si noti che v.a. con leggi differenti possono avere tutti i momenticoincidenti. Come caso specifico si consideri la v.a. assolutamente continua \che ammette densità

0 ÐBÑ œ Ð B Ñ ÐBÑ"

'\

"Î$Ò!ß∞Òexp "

e la v.a. assolutamente continua che ammette densità]

0 ÐCÑ œ Ð C ÑÐ" Ð $C ÑÑ ÐCÑ"

']

"Î$ "Î$Ò!ß∞Òexp sin " .

108 Valori attesi

Incidentalmente, si noti che la legge associata alla v.a. si ottiene per^ œ \"Î$

una particolare parametrizzazione della legge Gamma (si veda la Sezione 6.8).Dal momento che risulta

!

∞< "Î$ "Î$C Ð C Ñ Ð $C Ñ .C œ !exp sin ,

allora segue immediatamente che per ogni .E EÒ\ Ó œ Ò] Ó < œ !ß "ßá< <

Il seguente Teorema fornisce una importante disuguaglianza, che nelsuccessivo Teorema permette di ottenere le condizioni di esistenza per imomenti. La disuguaglianza è comunemente attribuita al matematico eprobabilista russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).

Figura 4.3.1. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918).

Teorema 4.3.2. (Disuguaglianza di Lyapunov) Si consideri la v.a. definita\sullo spazio probabilizzato . Se , allora si haÐ ß ß T Ñ ! = Ÿ <H Y

E EÒl\l Ó Ÿ Òl\l Ó= "Î= < "Î< .

Dimostrazione. Se , dalla disuguaglianza di Jensen (TeoremaÖ] !× ;Þ-Þ4.2.6) con e , si ha1ÐCÑ œ C + "+

E EÒ] Ó Ÿ Ò] Ó+ + .

Dal momento che , ponendo e nella precedente<Î= " + œ <Î= ] œ l\l=

disuguaglianza si ottiene

109Capitolo 4

E EÒl\l Ó Ÿ Òl\l Ó= <Î= < ,

da cui si ha immediatamente la tesi.

Nel linguaggio della Teoria della Misura, la disuguaglianza di Lyapunovstabilisce in effetti che se m\m Ÿ m\m ! = < = Ÿ <.

Teorema 4.3.3. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ Òl\l Ó ∞ Ò\ Ó 3 œ "ßá ß <H Y . Se si ha , allora esiste finito per ogni .E E< 3

Dimostrazione. Dal momento che , dalla disuguaglianza di Lyapunov3 Ÿ <(Teorema 4.3.2) si ha

E EÒl\l Ó Ÿ Òl\l Ó3 "Î3 < "Î< .

Dunque, se , allora si ha . Tuttavia, dal Teorema 4.2.1E EÒl\l Ó ∞ Òl\l Ó ∞< 3

risulta che se , allora si ha anche .E EÒl\l Ó ∞ Ò\ Ó ∞3 3

Tenendo presente la dimostrazione del precedente Teorema, è inoltre facileverificare che se il momento di ordine non esiste finito, allora non esistono<finiti neppure i momenti di ordine superiore. Inoltre, dal momento cheVar EÒ\Ó Ÿ Ò\ Ó# , la varianza esiste finita se esiste finito il secondo momento. Ingenerale, è immediato verificare che il momento centrale di ordine esiste finito<se esiste finito il momento di ordine .<

Si considerano di seguito alcuni Teoremi sulle proprietà della varianza.

Teorema 4.3.4. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ Ò\ ÓH Y . Se esiste finito, si haE #

Var min EÒ\Ó Ÿ ÒÐ\ +Ñ Ó+−

#

‘ .

Dimostrazione. Tenendo presente le proprietà del valore atteso, si ha

E E

E

Var

ÒÐ\ +Ñ Ó œ ÒÐ\ +Ñ Ó

œ ÒÐ\ Ñ #Ð\ ÑÐ +Ñ Ð +Ñ Ó

œ Ò\Ó Ð +Ñ

# #

# #

#

. .

. . . .

.

e, dal momento che non dipende da , il minimo della precedenteVarÒ\Ó ! +quantità si ottiene per .+ œ .

110 Valori attesi

Teorema 4.3.5. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ Ò\ Ó ] œ + ,\H Y . Se esiste finito, la varianza della trasformata ,E #

dove , è data da+ß , − ‘

Var Var VarÒ] Ó œ Ò+ ,\Ó œ , Ò\Ó# .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.2.4 si ha , eEÒ] Ó œ + ,.quindi

Var E E VarÒ] Ó œ ÒÐ+ ,\ + , Ñ Ó œ , ÒÐ\ Ñ Ó œ , Ò\Ó. .# # # # ,


In particolare, se , dal Teorema 4.3.5 si ha] œ + \

Var Var VarÒ] Ó œ Ò+ \Ó œ Ò\Ó .

Inoltre, se si considera la trasformazione

^ œ\ .

5 ,

allora risulta

E EÒ^Ó œ Ò\ Ó œ !"

5. ,

mentre

Var Var VarÒ^Ó œ Ò\ Ó œ Ò\Ó œ "" "

5 5.

# # .

Per questi motivi, la precedente è detta .trasformazione di standardizzazioneIl seguente Teorema fornisce una importante e utile disuguaglianza, che

prende nome dal matematico e probabilista russo Andrey Andreyevich Markov(1856-1922).

Teorema 4.3.6. (Disuguaglianza di Markov) Si consideri la v.a. definita\sullo spazio probabilizzato . Se , allora si haÐ ß ß T Ñ - !H Y

TÐl\l -Ñ Ÿ Òl\lÓ"

-E .


111Capitolo 4

EÒl\lÓ œ l l .T - .T œ -TÐl\l -Ñ \ "Öl l -×\ ,

da cui segue immediatamente la tesi.

Figura 4.3.2. Andrey Andreyevich Markov (1856-1922).

Il seguente Teorema fornisce una famosa e celebrata disuguaglianza introdottadal matematico russo Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894), padre fondatoredella scuola matematica russa e in particolare maestro di Lyapunov e Markov.

Teorema 4.3.7. (Disuguaglianza di Chebyshev) Si consideri la v.a. \definita sullo spazio probabilizzato . Se , allora si haÐ ß ß T Ñ - !H Y

TÐl\ l -Ñ Ÿ-

.5#

# .

Equivalentemente, se si ha5# ∞

T - Ÿ\ "

- .

5 # .

Dimostrazione. Applicando opportunamente la disuguaglianza di Markov(Teorema 4.3.6) alla v.a. trasformata , si haÐ\ Ñ. #

T Ðl\ l -Ñ œ. TÐÐ\ Ñ - Ñ Ÿ ÒÐ\ Ñ Ó"

-. .# # #

#E ,

da cui segue la prima parte del Teorema. La seconda parte si ottiene in modosimile considerando la v.a. trasformata .Ð\ Ñ Î. 5# #

112 Valori attesi

Figura 4.3.3. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894).

La precedente disuguaglianza è anche detta di Bienaymé-Chebyshev dalmomento che in effetti fu congiuntamente formulata da Chebyshev insieme allostatistico francese Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878). Si noti inoltre che ladisuguaglianza può essere facilmente generalizzata con i momenti centraliassoluti, ovvero risulta

TÐl\ l -Ñ Ÿ Òl\ l Ó"

-. .

<<E .

Teorema 4.3.8. Se è una v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ß ß T ÑH Ye se esiste finito, si ha se e solo se è degenere.E VarÒ\ Ó Ò\Ó œ ! \#

Dimostrazione. Se è degenere, allora risulta per una data\ Ö\ œ +× ;Þ-Þcostante . In questo caso, si ha+ − ‘

EÒ\Ó œ +TÐ\ œ +Ñ œ + ,

mentre

Var EÒ\Ó œ Ð+ Ò\ÓÑ T Ð\ œ +Ñ œ !# .

Inversamente, se , applicando la disuguaglianza di Chebyshev, perVarÒ\Ó œ !ogni si ha- !

TÐl\ +l -Ñ Ÿ œ !-

5#

# ,

ovvero Ö\ œ +× ;Þ-Þ

113Capitolo 4

4.4. Covarianza e matrice di varianza-covarianza

Il concetto di momento può essere esteso in modo generale a v.v.a. In effetti, siha la seguente definizione formale.

Definizione 4.4.1. Dato il v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato , si dice , doveÐ ß ß T Ñ Ð< ßá ß < ÑH Y momento misto di ordine " 5

< œ !ß "ßá 3 œ "ßá ß 5ß3 , l'integrale

EÒ\ á\ Ó œ \ á\ .T" "< <

5 5< <" "5 5

se esiste finito. Inoltre, si dice momento centrale misto di ordine Ð< ßá ß < Ñ" 5

l'integrale

EÒÐ\ Ñ áÐ\ Ñ Ó œ Ð\ Ñ áÐ\ Ñ .T" \ 5 \ " \ 5 \< < < <. . . .

" 5 " 5" 5 " 5

se esiste finito.

Si noti che, scegliendo opportunamente gli indici , si possonoÐ< ßá ß < Ñ" 5

ottenere i momenti di qualsiasi ordine di tutte le possibili scelte delle componentimarginali. Ad esempio, ponendo e per ogni , si< œ " < œ ! 6 Á 3 œ "ßá ß 53 6

ottiene . In particolare, rEÒ\ Ó3 isulta fondamentale considerare i momenti pervettori bivariati di v.a. Più esattamente, dato il v.v.a. , il \ œ Ð\ ß\ Ñ" #

T momentomisto è dato dall'integrale

EÒ\ \ Ó œ \ \ .T" # " #se esiste finito. , il , detto usualmenteAnalogamente momento misto centralecovarianza, l'integrale è dato dal

CovÒ ÒÐ\ ÑÐ\ ÑÓ œ Ð\ ÑÐ\ Ñ .T\ ß\ Ó œ" # E " \ # \ " \ # \. . . ." # " #

se esiste finito. La covarianza viene anche usualmente denotata con il simbolo5\ ß\" #

. Tenendo presente il Teorema A.6, risulta immediato verificare che

Cov ,Ò œ Ò\ \ Ó Ò\ Ó Ò\ Ó\ ß\ Ó" # E E E" # " #

114 Valori attesi

mentre ovviamente Cov . In Teoria della Misura, il momentoÒ œ Ò\ Ó\ ß\ Ó" " Var "

misto e la covarianza sono prodotti interni, ovvero eEÒ\ \ Ó œ Ø\ ß\ Ù" # " #

Cov .Ò\ \ Ó œ Ø\ ß\ Ù" # " \ # \. ." #

Il seguente Teorema introduce una famosa disuguaglianza che permette fral'altro di ottenere le condizioni di esistenza della covarianza e che prende nomedal matematico tedesco Otto Ludwig Hölder (1859-1937). Tuttavia, ladisuguaglianza dovrebbe più correttamente essere denominata di Rogers-Hölder,dal momento che è stata introdotta indipendentemente e contemporaneamenteanche dal matematico inglese Leonard James Rogers (1862-1933).

Teorema 4.4.2. (Disuguaglianza di Hölder) Sia dato un v.v.a.\ œ Ð\ ß\ Ñ Ð ß ß T Ñ <ß = − Ó"ß∞Ò" #

T definito sullo spazio probabilizzato . Se H Ysono costanti tali che e se e , allora"Î< "Î= œ " Òl\ l Ó ∞ Òl\ l Ó ∞E E" #

< =

l Ò\ \ Ól Ÿ Òl\ \ lÓ Ÿ Òl\ l Ó Òl\ l ÓE E E E" # " # " #< "Î< = "Î= .

Inoltre, l'uguaglianza si ottiene se e solo se Ö, \ œ , \ × ;Þ-Þ" " # #

Dimostrazione. La prima disuguaglianza segue dal Teorema 4.2.1. Al fine didimostrare la seconda disuguaglianza, si noti che la funzione logaritmica èconcava, ovvero la funzione è convessa. Dunque, se 1B Ä ÐBÑ − Ò!ß Ólog αdalla definizione di funzione convessa si ha

log log log logÐ ? Ð" Ñ@Ñ Ð?Ñ Ð" Ñ Ð@Ñ œ Ð? @ Ñα α α α α α"

per ogni . Inoltre, essendo la funzione logaritmica monotona?ß @ − Ó!ß∞Òcrescente, dalla precedente disuguaglianza si ottiene

? @ Ÿ ? Ð" Ñ@α α" α α .

Infine, dal momento che la funzione logaritmica è strettamente concava,l'uguaglianza si ha se e solo se . Adoperando dunque la precedente? œ @disuguaglianza con e , posto eα αœ "Î< " œ "Î= ] œ l\ l Î Òl\ l Ó" " "

< <E] œ l\ l Î Òl\ l Ó Ò] Ó œ Ò] Ó œ "# # # " #

= =E E E e tenendo presente che , allora si ha

E EÒ] ] Ó Ÿ ] ] œ œ "" " " "

< = < =" #"Î< "Î=

" # .

Sostituendo opportunamente, dalle proprietà del valore atteso si ottieneimmediatamente la prima parte del Teorema. Inoltre, l'uguaglianza si ottiene se esolo se , ovvero, tenendo presente cheÖ] œ ] × ;Þ-Þ" #

115Capitolo 4

l\ l l, \ l

Òl\ l Ó Òl, \ l Óœ

" " "< <

" " "< <E E

e

l\ l l, \ l

Òl\ l Ó Òl, \ l Óœ

# # #= =

# # #= =E E

,

quando si ha Ö, \ œ , \ × ;Þ-Þ" " # #

Nel caso particolare in cui , la disuguaglianza si riduce a< œ = œ #

E E EÒ\ \ Ó Ÿ Ò\ Ó Ò\ Ó" ## # #

" # ,

e viene detta disuguaglianza di Schwarz in onore del matematico tedesco KarlHermann Amandus Schwarz (1843-1921). Anche in questo caso si dovrebbeparlare di disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, in quanto laversione elementare della disuguaglianza è stata introdotta da Cauchy esuccessivamente estesa dal matematico russo Viktor Yakovlevich Bunyakovsky(1804-1889). La disuguaglianza di Schwarz implica inoltre che CovÒ\ ß\ Ó" #

esiste finita se esistono finiti i momenti e . Infine, si noti che inE EÒ\ Ó Ò\ Ó" ## #

Teoria della Misura la disuguaglianza di Hölder stabilisce chelØ\ ß\ Ùl Ÿ m\ m m\ m" # " = # < se "Î< "Î= œ ".

Il seguente Teorema introduce un'altra celebrata disuguaglianza che discendedalla disuguaglianza di Hölder e che prende nome dal matematico tedescoHermann Minkowski (1864-1909).

Teorema 4.4.3. (Disuguaglianza di Minkowski) Sia dato un v.v.a.\ œ Ð\ ß\ Ñ Ð ß ß T Ñ < "" #

T definito sullo spazio probabilizzato . Se e seH YE EÒl\ l Ó ∞ Òl\ l Ó ∞" #

< < e , allora

E E EÒl\ \ l Ó Ÿ Òl\ l Ó Òl\ l Ó" # " #< "Î< < "Î< < "Î< .

Dimostrazione. Se la disuguaglianza è immediatamenteEÒl\ \ l Ó œ !" #<

verificata. Si consideri quindi il caso in cui . Tenendo presenteEÒl\ \ l Ó !" #<

che per ogni vale la disuguaglianza , si ha?ß @ − l? @l Ÿ l?l l@l‘

116 Valori attesi

E E

E

E E

Òl\ \ l Ó œ Òl\ \ l † l\ \ l Ó

Ÿ ÒÐl\ l l\ lÑ † l\ \ l Ó

œ Òl\ l † l\ \ l Ó Òl\ l † l\ \ l Ó

" # " # " #< <"

" # " #<"

" " # # " #<" <" .

Inoltre, dalla disuguaglianza di Hölder applicata alle v.a. e l\ l l\ \ l" " #<"

risulta

E E E

E E

Òl\ l † l\ \ l Ó Ÿ Òl\ l Ó Òl\ \ l Ó

œ Òl\ l Ó Òl\ \ l Ó

" " # " " #<" < "Î< Ð<"Ñ= "Î=

" " #< "Î< < ""Î< ,

dal momento che, essendo , si ha anche e"Î< "Î= œ " Ð< "Ñ= œ <"Î= œ " "Î<. In modo simile risulta

E E EÒl\ l † l\ \ l Ó Ÿ Òl\ l Ó Òl\ \ l Ó# " # # " #<" < "Î< < ""Î< .

Dunque, si ha

E E E EÒl\ \ l Ó Ÿ Ð Òl\ l Ó Òl\ l Ó Ñ Òl\ \ l Ó" # " # " #< < "Î< < "Î< < ""Î< ,

da cui discende immediatamente la tesi.

Nella Teoria della Misura, la disuguaglianza di Minkowski stabilisce in effettila cosiddetta disuguaglianza triangolare, ovvero .m\ \ m Ÿ m\ m m\ m" # < " < # <

Si considerano di seguito alcuni Teoremi sulle proprietà della covarianza.

Teorema 4.4.4. Dato un v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

probabilizzato , se e sono indipendenti e se e Ð ß ß T Ñ \ \ Ò\ Ó Ò\ ÓH Y " # " #E Eesistono finiti, allora si ha CovÒ\ ß\ Ó œ !Þ" #

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.2.5 si ha

E E EÒ\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó" # " # ,

da cui segue immediatamente la tesi.

Si deve notare che non è in generale valido l'inverso del Teorema 4.4.4, ovverose si verifica Cov non si può concludere che le due componenti delÒ\ ß\ Ó œ !" #

v.v.a. sono indipendenti. In effetti, come sarà visto in seguito, la\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

covarianza dipende dal'intensità del legame lineare tra le due componenti delv.v.a. . Se tali componenti sono indipendenti, non esistendo tra loro nessun\tipo di legame, non esiste nemmeno un legame di tipo lineare e quindi la

117Capitolo 4

covarianza risulta nulla. Al contrario, se le due componenti hanno covarianzanulla, si può solamente affermare che non esiste tra loro nessun legame di tipolineare, ma questo non esclude che esista un legame di tipo differente.

Esempio 4.4.1. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo . Si\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

supponga che la componente marginale ammetta d.p. data da\"

0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ"

#\ " "Ó"ß"Ò"

"

e che . Dal momento che\ œ \# "#

EÒ\ Ó œ B .B œ Ð" Ð "Ñ Ñ" "

# #Ð< "Ñ"< < <

"

"e quindi se è dispari, mentreEÒ\ Ó œ ! <"

<

EÒ\ Ó œ"

< ""<

se è pari. Dunque, si ha<

CovÒ œ Ò\ Ó Ò\ Ó Ò\ Ó œ !\ ß\ Ó" # E E E"$ #

" 1

anche se è una trasformata di e dunque e non risultano ovviamente\ \ \ \# " " #

indipendenti.


probabilizzato , se e , doveÐ ß ß T Ñ ] œ + , \ ] œ + , \H Y " " " " # # # #

+ ß + ß , ß , − \ ß\ Ó" # " # " #‘ sono costanti, e se esiste finita, alloraCovÒ

Cov Cov CovÒ] œ Ò+ , œ , , Ò" # " # # # " #ß ] Ó \ ß + , \ Ó \ ß\ Ó" " " # .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.2.4 si ha

CovCov ,

Ò] œ ÒÐ+ , \ Ò+ , \ ÓÑÐ+ , \ Ò+ , \ ÓÑÓ

œ , , ÒÐ\ Ò\ ÓÑÐ\ Ò\ ÓÑÓ œ , , Ò\ ß\ Ó" #ß ] Ó E E E

E E E" " " " " " # # # # # #

" # " " # # " # " #


In particolare, per e , dal Teorema 4.4.5 si ha] œ + \ ] œ + \" " " # # #

Cov Cov Cov .Ò] œ Ò+ \ ß + \ Ó œ Ò\ ß\ Ó" #ß ] Ó " " # # " #

118 Valori attesi

Viene introdotto di seguito un importante indice che risulta fondamentale nelvalutare il grado di dipendenza lineare tra due v.a. Più esattamente, il v.v.a.dato\ œ Ð\ ß\ Ñ Ð ß ß T Ñ \ \" # " #

T definito sullo spazio probabilizzato , se e sonoH Yv.a. non degeneri tali che e esistono finiti, si dice E EÒ\ Ó Ò\ Ó" #

# # coefficiente dicorrelazione tra e la quantità\ \" #

35

5 5\ ß\

\ ß\

\ \" #

" #

" #

œ .

Tenendo presente il Teorema 4.4.5 e il Teorema 4.3.5, se si considera le v.a.standardizzate e , è immediato^ œ Ð\ ÑÎ ^ œ Ð\ ÑÎ" " \ \ # # \ \. 5 . 5

" " # #

verificare che

EÒ^ ^ Ó œ œ œ" # ^ ß^ ^ ß^ \ ß\5 3 3" # " # " #

,

ovvero il coefficiente di correlazione rappresenta in pratica la covarianza tra lev.a. standardizzate. Inoltre, quando le v.a. sono dette .3\ ß\" #

œ ! non correlateOvviamente, questo si verifica se e solo se . Dai seguenti Teoremi5\ ß\" #

œ !risultano le principali proprietà del coefficiente di correlazione.


probabilizzato , se e , doveÐ ß ß T Ñ ] œ + , \ ] œ + , \H Y " " " " # # # #

+ ß + ß , ß , − \ \ Ò\ Ó Ò\ Ó" # " # " # " ## #‘, e se e sono v.a. non degeneri tali che e E E

esistono finiti, allora

3 3] ß] " # \ ß\" # " #œ Ð, , Ñsgn .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 4.4.5 e il Teorema 4.3.5 si ha

3 35

5 5] ß] \ ß\

" # \ ß\

" \ # \" # " #

" #

" "

œ Ð, ,

l, l l, lœ , , Ñsgn ." #


probabilizzato , se e sono v.a. non degeneri tali che eÐ ß ß T Ñ \ \ Ò\ ÓH Y " # "#E

EÒ\ Ó l l Ÿ " l l œ "##

\ ß\ \ ß\ esistono finiti, si ha . Inoltre, se e solo se3 3" # " #

Ö\ œ + ,\ × ;Þ-Þ Ö\ œ + ,\ × ;Þ-Þ + œ Ð Î Ñ# " # " \ \ \ \ o dove . . 5 5# " # "

e ., œ Î5 5\ \# "

Dimostrazione. Se si considera le v.a. e] œ Ð\ ÑÎ" " \ \. 5" "

] œ Ð\ ÑÎ Ò] Ó œ œ " Ò] Ó œ œ "# # \ \ " ## # # #

] ]. 5 5 5# # " #

, dal momento che e ,E Edalla disuguaglianza di Schwarz si ha

119Capitolo 4

EÒ] ] Ó Ÿ "" ## .

La prima parte del Teorema segue tenendo presente che .EÒ] ] Ó œ" # \ ß\3" #

Tenendo presente la dimostrazione del Teorema 4.4.2, l'uguaglianza si ha se esolo se o , da cui segue la seconda parte delÖ] œ ] × ;Þ-Þ Ö] œ ] × ;Þ-" # " #

Teorema.


dell'Esempio 3.5.2. Si ha

EÒ\ \ Ó œ #% B B Ð" B B Ñ .B .B œ"

"&" # # " # " #

! !

" "B

"# "

.

Inoltre, è stato visto nell'Esempio 4.2.3 che e , mentreE EÒ\ Ó œ #Î& Ò\ Ó œ "Î&" #

risulta

EÒ\ Ó œ #% B Ð" B B Ñ .B .B œ"

&" "# $

! !

" "B

" # " # "

,

e

EÒ\ Ó œ #% B B Ð" B B Ñ .B .B œ"

"&# ## #

! !

" "B

" " # " # "

,

Dunque, si ottiene , e , per cui5 5 5\ ß\ \ \# #

" # " #œ "Î(& œ "Î#& œ #Î(&

3\ ß\" #œ 'Î' .

In generale, considerato il v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato , se esiste finito per ogni , il Ð ß ß T Ñ Ò\ Ó 3 œ "ßá ß 5H Y E 3 vettoredelle medie è definito come , mentre se Cov esiste. . .\ \ \ 3 4œ Ð ßá ß Ñ Ò\ ß\ Ó

" 5T

finito per ogni , la è definita3 œ 4 œ "ßá ß 5 matrice di varianza-covarianzacome

O

5 5 5

5 5 5

5 5 5

\

\#

\ ß\ \ ß\

\ ß\ \ ß\\#

\ ß\ \ ß\ \#

œ

á

á

ã ã ä ã

á

" " # " 5

# " # 5#

5 " 5 # 5

.

Il determinante è detto del v.v.a. .detÐ Ñ \O\ varianza generalizzata

120 Valori attesi

Esempio 4.4.3. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo \ œ Ð\ ß\ ß\ Ñ" # $T

che ammette la seguente d.p.c.

0 ÐB ß B ß B Ñ œ Ð" Ð" #B ÑÐ" #B ÑÑ ÐB Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ\ " # $ " # " # $Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" " " .

Si ha

EÒ\ \ Ó œ B B Ð" Ð" #B ÑÐ" #B ÑÑ .B .B .B œ&

")" # " # " # " # $

! ! !

" " " ,

mentre

EÒ\ Ó œ B Ð" Ð" #B ÑÐ" #B ÑÑ .B .B .B œ"

#" " " # " # $

! ! !

" " " e

EÒ\ Ó œ B Ð" Ð" #B ÑÐ" #B ÑÑ .B .B .B œ"

$" "# #

! ! !

" " "

" # " # $ .

Inoltre, per simmetria si ha e . Si noti cheE E E EÒ\ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó œ Ò\ Ó# " # "# #

0 ÐB ß B ß B Ñ œ 0 ÐB ß B Ñ0 ÐB Ñ\ " # $ \ ß\ " # \ $" # $ ,

dove

0 ÐB ß B Ñ œ Ð" Ð" #B ÑÐ" #B ÑÑ ÐB Ñ ÐB Ñ\ ß\ " # " # " #Ó!ß"Ò Ó!ß"Ò" #" "

e

0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ\ $ $Ó!ß"Ò$" .

Quindi, il v.v.a. e la v.a. sono indipendenti. Inoltre, si haÐ\ ß\ Ñ \" # $

E EÒ\ Ó œ "Î# Ò\ Ó œ "Î$ œ Ð"Î#ß "Î#ß "Î#Ñ$ \$# e . Dunque, si ha infine che ,. T

mentre

O

5 5 5

5 5 5

5 5 5\

\#

\ ß\ \ ß\

\ ß\ \ ß\\#

\ ß\ \ ß\ \#

" ""# $'" "$' "#

""#

œ œ

!

!

! !

" " # " $

# " # $#

$ " $ # $

.

Il seguente Teorema fornisce un importante risultato sulla varianza di unacombinazione lineare di v.a.

121Capitolo 4


probabilizzato con matrice di varianza-covarianza data da , siÐ ß ß T ÑH Y O\

consideri la trasformata dove e ] œ + , \ + − Ð, ßá ß , Ñ −3œ"5

3 3 " 55‘ ‘

sono costanti. Se e se esiste finita per ogni, œ Ð, ßá ß , Ñ Ò\ ß\ Ó" 5 3 4T Cov

3 œ "ßá ß 5, si ha

VarÒ] Ó œ , ,TO\ .

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema A.6 e il Teorema 4.2.4, si ha

VarÒ] Ó œ + , \ + , Ò\ Ó

œ , Ð\ Ò\ ÓÑ

œ , Ð\ Ò\ ÓÑ , , Ð\ Ò\ ÓÑÐ\ Ò\ ÓÑ

E E

E E

E E E E

3œ" 3œ"

5 5

3 3 3 3

#

3œ"

5

3 3 3

#

3œ" 3œ"

5 5 5

3#

3 3 3 4 3 3 4 4

4Á3œ"

œ , Ò\ Ó , , Ò\ ß\ Ó œ , , 3œ" 3œ"

5 5 5

3#

3 3 4 3 4 \

4Á3œ"

Var Cov ,TO


Dal Teorema 4.4.8 si deduce che la matrice di varianza-covarianza èsemidefinita positiva. In effetti, dal momento che è una varianza di una, ,TO\

v.a., per ogni diverso dal vettore a componenti nulle si ha , ovvero, , , !TO\

la condizione che definisce una matrice semidefinita positiva. Inoltre, dalTeorema 4.5.1 si ha che la varianza di una somma di v.a., ovvero ] œ \

3œ"5

3,risulta

VarÒ] Ó œ 3œ"

5

\#

\ ß\5 53 3 4

3œ"

5 5

4Á3œ"

e quindi, se le v.a. sono non correlate, si ha

122 Valori attesi

VarÒ] Ó œ 3œ"

5

\#5

3 .

In particolare, per si ottiene5 œ #

Var Var VarÒ\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó # Ò\ ß\ Ó" # " # " #Cov ,

mentre

Var Var VarÒ\ \ Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó # Ò\ ß\ Ó" # " # " #Cov .

Esempio 4.4.4. Si consideri di nuovo il v.v.a. analizzato nell'Esempio 4.2.3 enell'Esempio 4.4.2. I precedenti risultati consento di determinare la varianzadella v.a. trasformata senza doverne determinare la relativa] œ \ \" #

distribuzione. In effetti, tenendo presente i risultati dell'Esempio 4.4.2, si ottieneimmediatamente che . Inoltre, risulta ancheVarÒ\ \ Ó œ "Î#&" #

VarÒ\ \ Ó œ (Î(&" # .

Un v.v.a. definito sullo spazio probabilizzato , è\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ Ð ß ß T Ñ" 5T H Y

detto se la trasformata è degenere. Inlinearmente degenere ] œ + , \3œ"5

3 3

pratica, se un v.v.a. è linearmente degenere, esiste una componente del v.v.a. cheè una combinazione lineare delle rimanenti componenti. Da un punto diÐ5 "Ñvista geometrico questo implica che la distribuzione di probabilità siaconcentrata su un iperpiano a dimensioni. Se è un v.v.a. linearmenteÐ5 "Ñ \degenere, allora dal Teorema 4.3.8 si ha

VarÒ] Ó œ , , œ !TO\ ,

ovvero non è definita positiva. Di conseguenza, si ha che il rango di èO O\ \

inferiore a e quindi . Quanto detto appare evidente nel caso di due5 Ð Ñ œ !det O\

variabili. In effetti, quando , si ha5 œ #

detÐ Ñ œ œ Ð" ÑO 5 5 5 5 5 3\ \ \ \ ß\ \ \ \ ß\# # # # # #

" # " # " # " # .

Dunque, se è un v.v.a. linearmente degenere, dal Teorema 4.4.6 si ha\l3 O\ ß\ \" #

l œ " Ð Ñ œ ! \ e quindi . Al contrario, se non è un v.v.a.detlinearmente degenere, dal Teorema 4.4.7 si ha e quindil3\ ß\" #

l "detÐ Ñ !O O\ \, ovvero risulta definita positiva.

123Capitolo 4


Un approccio non usuale alla Teoria della Probabilità basato su unaassiomatizzazione del valore atteso è contenuto in Whittle (2000). I testiavanzati, quali Ash e Doléans-Dade (2000), Athreya e Lahiri (2006), Gut (2005),Khoshnevisan (2007) e , considerano estesamente il concetto diResnick (2014)valore atteso. Per quanto riguarda una trattazione approfondita delledisuguaglianze nella Teoria della Probabilità, si dovrebbero consultare i testi diBoucheron (2013) e et al. Lin e Bai (2010).

124 Valori attesi


Capitolo 5

Valori attesi condizionati

5.1. Valore atteso condizionato

Prima di introdurre formalmente in modo generale il concetto di valore attesocondizionato è opportuno definire il valore atteso condizionato di una v.a.rispetto ad un evento. Tenendo presente il Teorema 2.4.2, si ha dunque laseguente definizione.

Definizione 5.1.1. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ I − TÐI !H Y Y e l'evento tale che , si dice ! !Ñ valore attesocondizionato all'evento l'integraleI!

EÒ\ ± I Ó œ \ .TÐ † ± I Ñ œ \ .T"

TÐI Ñ! !

! I

!

se esiste finito.

Si noti che dalla Definizione 5.1.1 si ha in effetti

EE

Ò\ ± I Ó œÒ\ Ó

T ÐI Ñ!

I

!

"! .

Se dove , allora risulta\ œ I −"I Y

EE

Ò ± I Ó œ œ œ TÐI ± I ÑÒ Ó T ÐI ∩ I Ñ

TÐI Ñ T ÐI Ñ"

"I ! !

I∩I !

! !

! ,

ovvero la probabilità condizionata di dato può essere interpretata come unI I!

valore atteso condizionato. Inoltre, è immediato verificare che il valore attesocondizionato all'evento esiste finito se il valore atteso esiste finito.I Ò\Ó! E

Esempio 5.1.1. Si consideri la v.a. assolutamente continua analizzata\nell'Esempio 3.2.1 e si consideri l'evento . Dal momento cheI œ \ ÐÓ!ß "Î$ÒÑ!

"

126 Valori attesi condizionati

TÐI Ñ œ .B œ"

$!

!

"Î$ ,

si ha

EÒ\ ± I Ó œ $ B .B œ"

'!

!

"Î$ .

La successiva definizione introduce la definizione di valore attesocondizionato ad una -algebra, nel caso in cui la -algebra sia generata da una5 5classe di eventi che costituiscono una partizione di .H

Definizione 5.1.2. Sia data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ ÐI Ñ T ÐI !H Y H. Sia inoltre una partizione di tale che per ogni8 8 " 8Ñ8 œ "ß #ßá Ò\Óe sia la -algebra generata dalla partizione. Se esiste finito,Y 5! Esi dice alla -algebra la v.a.valore atteso condizionato 5 Y!

E EÒ\ ± Ó œ Ò\ ± I ÓY! 8 I

8œ"

∞ "8

.

Dalla precedente definizione, è immediato verificare che è una v.a.EÒ\ ± ÓY!

che assume valore per ogni , dove . Dunque,EÒ\ ± I Ó − I 8 œ "ß #ßá8 8=E EÒ\ ± Ó W œ Ð Ò\ ± I ÓÑY! 8 8 " è una v.a. discreta che assume valori su con leggeessenziale data dall'insieme delle probabilità .ÐT ÐI ÑÑ8 8 "

Esempio 5.1.2. Si consideri la v.a. assolutamente continua analizzata\nell'Esempio 5.1.1 e si consideri la partizione di data da , doveH ÖI ßI ×" #

I œ \ ÐÓ ∞ß "Î$ÒÑ I œ \ ÐÒ"Î$ß∞ÒÑ œ ÖgßI ßI ß ×" # ! " #" " e . Si ha .Y H

Inoltre, risulta e , mentre eTÐI Ñ œ "Î$ TÐI Ñ œ #Î$ Ò\ ± I Ó œ "Î'" # "EE EÒ\ ± I Ó œ #Î$ Ò\ ± Ó# !. In questo caso, il valore atteso condizionato è unaYv.a. discreta che assume valori su con legge essenziale dataW œ Ö"Î'ß #Î$×dall'insieme delle probabilità .Ö"Î$ß #Î$×

Dalle Definizioni 5.1.1 e 5.1.2, tenendo presente che per un insieme opportunodi indici ogni può essere rappresentato comeM § I − Y! !

127Capitolo 5

I œ I! 8

8−M

,

si ha

I! 8 8 ! 8 8

8œ"

∞

8−M

8−M I I

!

8 !

E E EÒ\ ± Ó .T œ Ò\ ± I ÓT ÐI ∩ I Ñ œ Ò\ ± I ÓT ÐI Ñ

œ \ .T œ \ .T

Y

,

ovvero

E E EÒ Ò\ ± Ó Ó œ Ò\ ÓY! I I" "! !

.

Nel caso in cui , la precedente relazione stabilisce che il valore attesoI œ! Hdella v.a. è pari al valore atteso della v.a. , ovveroEÒ\ ± Ó \Y!

E E EÒ Ò\ ± ÓÓ œ Ò\Ó \ œY! I. Inoltre, se si ha anche e tenendo presente che"EÒ Ó œ .T œ TÐI" "I I

H Ñ, si ottiene la Legge delle Probabilità Totali(Teorema 2.4.3), ovvero

TÐI œ .T œ Ò ± I ÓT ÐI œ TÐI ± I TÐIÑ Ñ Ñ Ñ H

" "I I 8 8 8 8

8œ" 8œ"

∞ ∞

E .

Inoltre, la medesima relazione permette di introdurre la seguente definizionegenerale di valore atteso condizionato.

Definizione 5.1.3. Sia data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ § Ò\ÓH Y Y Y 5 e sia una -algebra. Se esiste finito, si dice ! E valoreatteso condizionato alla -algebra un membro della classe di v.a. che5 Y!

coincidono rispetto a e tali che per ogni soddisfano la relazione;Þ-Þ T I −! !Y

I I

!! !

EÒ\ ± Ó .T œ \ .TY .

L'esistenza del valore atteso condizionato alla -algebra è assicurata dal5 Y!

Teorema di Radon-Nikodym (Teorema A.9). Inoltre, se si ha la trasformata] œ 1Ð\Ñ \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ del v.v.a. definito sullo spazio probabilizzato" 5

T

Ð ß ß T ÑH Y 5 Y, il valore atteso condizionato alla -algebra viene ovviamente!

definito mediante la relazione


I I

!! !

EÒ1Ð\Ñ ± Ó .T œ 1Ð\Ñ .TY

per ogni . Infine, nel caso in cui e si ottiene unaI − I œ \ œ! ! ! IY H "generalizzazione della Legge delle Probabilità Totali (Teorema 2.4.3), ovvero

TÐIÑ œ Ò ± Ó .T œ Ò Ò ± ÓÓ E E E" "I ! I !Y Y .

5.2. Proprietà del valore atteso condizionato

I seguenti Teoremi forniscono un insieme di proprietà che riguardano il valoreatteso condizionato alla -algebra.5

Teorema 5.2.1. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ § \ \ ÐFÑ −H Y Y Y 5 Y e sia una -algebra. Se la v.a. è tale che ! !

"

per ogni , allora si ha F − Ð Ñ Ö Ò\ ± Ó œ \× ;Þ-ÞU ‘ YE !

Dimostrazione. Risulta immediata dalla relazione della Definizione 5.1.3Þ


probabilizzato , si consideri la trasformata doveÐ ß ß T Ñ ] œ + , \H Y 3œ"5

3 3

+ − Ð, ßá ß , Ñ − § Ò] Ó‘ ‘ Y Y 5 e sono costanti. Se è una -algebra e se " 5 !5 E

esiste finito, allora Ö Ò] ± Ó œ + , Ò\ ± Ó× ;Þ-ÞE EY Y! 3 3 !3œ"5

Dimostrazione. Tenendo presente la Definizione 5.1.3 si ha

I I I I3œ" 3œ"

5 5

3 3 3 3

I I3

3œ"

5

I 3œ"

5

3

! ! ! !

! !

!

EÒ] Ó .T œ + , \ .T œ + .T , \ .T

œ + .T , .T

œ Ð+ , .T

±

Ò\ ± Ó

Ò\ ± ÓÑ

Y

Y

Y

!

3 !

3 !

E

E ,


129Capitolo 5

Il seguente Teorema fornisce le versioni condizionate delle principalidisuguaglianze ottenute in precedenza per il valore atteso.

Teorema 5.2.3. Si ha:i) Data la funzione convessa(Disuguaglianza di Jensen condizionata)1 À Ä ] œ 1Ð\Ñ \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ‘ ‘5

" 5, si consideri la trasformata del v.v.a. T

definito sullo spazio probabilizzato e sia una -algebra.Ð ß ß T Ñ §H Y Y Y 5!

Risulta .Ö1Ð Ò\ ± ÓÑ Ÿ Ò1Ð\Ñ ± Ó× ;Þ-E EY Y! !

ii) Si consideri la v.a. definita(Disuguaglianza di Lyapunov condizionata) \sullo spazio probabilizzato e sia una -algebra. SeÐ ß ß T Ñ §H Y Y Y 5!

! = Ÿ < Ö Òl\l ± Ó Ÿ Òl\l ± Ó × ;Þ-Þ, allora risulta E E= "Î= < "Î<! !Y Y

iii) Si consideri il v.v.a.(Disuguaglianza di Hölder condizionata)\ œ Ð\ ß\ Ñ Ð ß ß T Ñ §" # !

T definito sullo spazio probabilizzato e sia unaH Y Y Y5-algebra. Se sono costanti tali che , allora risulta<ß = − Ó"ß∞Ò "Î< "Î= œ "Öl Ò\ \ ± Ól Ÿ Òl\ l ± Ó Òl\ l ± Ó × ;Þ-ÞE E E" # ! " ! # !

< "Î< = "Î=Y Y Y Dimostrazione. Le dimostrazioni sono analoghe a quelle dei Teoremi 4.2.6,

4.3.2 e 4.4.2, dal momento che le dimostrazioni sono basate su disuguaglianzefra numeri reali.

Nel caso in cui si consideri la v.a. e la trasformata , dal\ 1Ð\Ñ œ l\lmomento che è una funzione convessa, allora dalla parte ) del Teorema 5.2.31 irisulta , ovvero si ottiene la disuguaglianzaÖl Ò\ ± Ól Ÿ Òl\l ± Ó× ;Þ-ÞE EY Y! !

condizionata corrispondente a quella del Teorema 4.2.1. Il seguente Teoremafornisce una classica scomposizione della varianza di una v.a.

Teorema 5.2.4. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ § Ò\ÓH Y Y Y 5 e sia una -algebra. Se esiste finito, si ha! E

E E EÒ\Ó œ Ò Ò\ ± ÓÓY! ,

mentre se esiste finito, si haEÒ\ Ó#

Var E Var Var EÒ\Ó œ Ò Ò\ ± ÓÓ Ò Ò\ ± ÓÓY Y! ! ,

dove .Var E EÒ\ ± Ó œ Ò\ ± Ó Ò\ ± ÓY Y Y! ! !# #

Dimostrazione. La prima parte risulta immediata ponendo nellaI œ! Hrelazione data nella Definizione 5.1.3 Per quanto riguarda la seconda parte,Þposto e , si osservi che] œ \ Ò\ ± Ó ^ œ Ò\ ± Ó Ò\ÓE E EY Y! !

Var E E E EÒ\Ó œ ÒÐ] ^Ñ Ó œ Ò] Ó Ò^ Ó # Ò] ^Ó# # # .


Si può facilmente verificare che se è unaÖ Ò] ^ ± Ó œ ^ Ò] ± Ó× ;Þ-Þ ^E EY Y! !

v.a. tale che per ogni . Tenendo presente i Teoremi^ ÐFÑ − F − Ð Ñ"!Y U ‘

5.2.1 e 5.2.2 risulta dunque e di conseguenza si haÖ Ò] ± Ó œ !× ;Þ-ÞE Y!

Ö Ò] ^ ± Ó œ !× ;Þ-ÞE Y! , ovvero dalla prima parte del Teorema si ottiene

E E EÒ] ^Ó œ Ò Ò] ^ ± ÓÓ œ !Y! .

Inoltre, essendo , risultaÖ Ò] ± Ó œ !× ;Þ-ÞE Y!

E E E E Var E VarÒ] Ó œ Ò Ò] ± ÓÓ œ Ò Ò] ± ÓÓ œ Ò Ò\ ± ÓÓ# #! ! !Y Y Y ,

dal momento che

Var E E E EÒ\ ± Ó œ Ò\ ± Ó Ò\ ± Ó œ ÒÐ\ Ò\ ± ÓÑ ± ÓY Y Y Y Y! ! ! ! !# # # .

Infine, dalla prima parte del Teorema si ha

E E E E

E E E Var E

Ò^ Ó œ ÒÐ Ò\ ± Ó Ò\ÓÑ Ó

œ ÒÐ Ò\ ± Ó Ò\ÓÑ ± Ó œ Ò Ò\ ± ÓÓ

# #!

! ! !#

Y

Y Y Y ,


Si noti che dal Teorema 5.2.4 si ha

\ œ ] Ò\ ± ÓE Y! ,

con e dove . In altri termini, la v.a.] œ \ Ò\ ± Ó Ò] Ò\ ± ÓÓ œ !E E EY Y! !

EÒ\ ± Ó \Y Y! ! può essere considerata come la “proiezione” della v.a. su con ilrelativo “complemento ortogonale” dato dalla v.a. .]

Teorema 5.2.5. Sia dato un v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

probabilizzato e sia una -algebra. Se e Ð ß ß T Ñ § Ò\ Ó Ò\ ÓH Y Y Y 5! " ## #E E

esistono finiti, e se la v.a. è tale che per ogni , si ha\ \ ÐFÑ − F − Ð Ñ" !"" Y U ‘

E E Var E EÒÐ\ \ Ñ Ó œ Ò Ò\ ± ÓÓ ÒÐ Ò\ ± Ó \ Ñ Ó# " # ! # ! "# #Y Y .

Inoltre, si ha

E E VarÒÐ\ \ Ñ Ó Ò Ò\ ± ÓÓ# " # !# Y ,

dove l'uguaglianza si ottiene se Ö\ œ Ò\ ± Ó× ;Þ-Þ" # !E YDimostrazione. Posto e , la] œ \ Ò\ ± Ó ^ œ Ò\ ± Ó \# # ! # ! "E EY Y

prima parte si dimostra in modo simile al Teorema 5.2.5. La seconda parte è

131Capitolo 5

immediata, dal momento che e l'uguaglianza èE EÒÐ Ò\ ± Ó \ Ñ Ó !# ! "#Y

ottenuta quando Ö Ò\ ± Ó \ œ !× ;Þ-ÞE # ! "Y

Si noti che il Teorema 5.2.5 fornisce in effetti una versione generale delTeorema di Rao-Blackwell comunemente adottato nell'inferenza statistica. Permaggiori informazioni sul Teorema di Rao-Blackwell, si veda Lehmann eCasella, 1998).

Teorema 5.2.6. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ § § Ò\ÓH Y 5 Y Y Y Y Y e si consideri le -algebre e tali che . Se ! " ! " Eesiste finito, si ha ÖE E EÒ Ò\ ± Ó ± Ó œ Ò\ ± Ó× ;Þ-ÞY Y Y" ! !

Dimostrazione. Posto , tenendo presente la disuguaglianza di] œ Ò\ ± ÓE Y"

Jensen condizionata (Teorema 5.2.3, ), si hai

E E E E E E EÒ] Ó Ÿ Òl] lÓ œ Òl Ò\ ± ÓlÓ Ÿ Ò Òl\l ± ÓÓ œ Òl\lÓ ∞Y Y" " .

Dunque, per ogni dalla Definizione 5.1.3 si haI −! !Y

I I

!! !

EÒ] ± Ó .T œ ] .TY .

Inoltre, di nuovo dalla Definizione 5.1.3 e tenendo presente che ,I − §! ! "Y Ysi ha

I I

"! !

EÒ\ ± Ó .T œ \ .TY .

Dalle precedenti espressioni si ha

I I

!! !

EÒ] ± Ó .T œ \ .TY ,


Il precedente Teorema è anche detto della “Proprietà della Torre” e generalizzain effetti la prima parte del Teorema 5.2.4.


5.3. Valore atteso condizionato ad una variabilealeatoria

Si noti che la v.a. definita sullo spazio probabilizzato induce in\ Ð ß ß T Ñ" H Yeffetti una -algebra data da5 Y Y\"

§

Y Y U ‘\ ""

"œ ÖI − À I œ \ ÐFÑßF − Ð Ñ× .

Di conseguenza, considerato il v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

probabilizzato , si può introdurre il dellaÐ ß ß T ÑH Y valore atteso condizionatov.a. (alla v.a. ) come\ \# "

E EÒ\ ± \ Ó œ Ò\ ± Ó# " # \Y " .

Dunque, tenendo presente la Definizione 5.1.3, se esiste finito,EÒ\ Ó#EÒ\ ± \ Ó ;Þ-Þ T# " è un membro della classe di v.a. che coincidono rispetto a etali che per ogni soddisfano la relazioneF − Ð ÑU ‘

\ ÐFÑ \ ÐFÑ

# " #

" "" "

EÒ\ ± \ Ó .T œ \ .T .

Inoltre, dalla precedente relazione, si può verificare che esiste una funzione2ÐB Ñ œ Ò\ ± \ œ B Ó \" # " " #E , detta della v.a. valore atteso condizionatoall'evento , tale che se risultaÖ\ œ B × TÐ\ ÐFÑÑ !" " "

"

\ ÐFÑ \ ÐFÑ F

# # " " " \ "

" "" "

"\ .T œ Ò\ ± \ œ B Ó .T œ 2ÐB Ñ .T ÐB ÑE .

Si assuma ora che il v.v.a. sia discreto a valori su insieme numerabile\W − : ÐB ß B Ñ : ÐB Ñ : ÐB Ñ‘#

\ " # \ " \ #, con f.p.c. data da e f.p.m. date da e . Siano" #

inoltre e le proiezioni di sugli assi cartesiani. Per , doveW W W F œ ÖB ×" # "

ovviamente , si haB − W" "

\ ÐFÑ

# # \ " #

B −W""

# #

\ .T œ B : ÐB ß B Ñ ,

mentre

F

" \ " # " " \ "2ÐB Ñ .T ÐB Ñ œ Ò\ ± \ œ B Ó: ÐB Ñ" "

E .

133Capitolo 5

Dunque, il valore atteso condizionato della v.a. all'evento con\ Ö\ œ B ×# " "

B − W" ", è in questo caso dato da

EÒ\ ± \ œ B Ó œ B: ÐB ß B Ñ

: ÐB Ñ# " " #

B −W

\ " #

\ "

# #

"

.

Esempio 5.3.1. Si consideri il v.v.a. discreto dell'Esempio 3.5.1.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

Si noti che , mentre . Dunque, dalW œ ÖÐ!ß !Ñß Ð"ß !Ñß Ð!ß "Ñ× W œ W œ Ö!ß "×" #

momento che , si haEÒ\ Ó œ "Î# ∞#

EÒ\ ± \ œ !Ó œ B œ: Ð!ß B Ñ #

: Ð!Ñ $# " #

B −W

\ #

\

# #

"

e

EÒ\ ± \ œ "Ó œ B œ !: Ð"ß B Ñ

: Ð"Ñ# " #

B −W

\ #

\

# #

"

.

Si assuma invece che il v.v.a. sia assolutamente continuo con d.p.c. data da\0 ÐB ß B Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ\ " # \ " \ # e d.p.m. date da e . Inoltre, si consideri l'insieme

" #

H œ ÖÐB ß B Ñ − À 0 ÐB Ñ œ !×" # \ "#‘

" .

Risulta e quindi per ogni , grazie al Teorema di FubiniTÐ\ − HÑ œ ! F − Ð ÑU ‘(Teorema A.11), si ha

\ ÐFÑ ‚F# # \ " # " #

FÏH# # \ " "

\ " #

\ "

F# # \ " "

\ " #

\ "

F" \ "

""

"

"

"

"

"

\ .T œ B 0 ÐB ß B Ñ .B .B

œ B .B 0 ÐB Ñ .B0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ

œ B .B 0 ÐB Ñ .B0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ

œ 2ÐB Ñ .T ÐB Ñ

‘

‘

‘

e dunque


EÒ\ ± \ œ B Ó œ B .B0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ# " " # #

\ " #

\ "‘ "

.


dell'Esempio 3.5.2. Dall'Esempio 4.2.3 risulta e dunque, seEÒ\ Ó œ "Î& ∞#

B − Ó!ß "Ò" , si ha

EÒ\ ± \ œ B Ó œ " .B œ#B B " B

" B " B $# " " #

!

"B# # "

" " "

,

ovvero in questo caso il valore atteso condizionato della v.a. all'evento\#

Ö\ œ B × B" " " è una funzione lineare di . In modo simile, dal momento chedall'Esempio 4.2.3 risulta , se , si ottieneEÒ\ Ó œ #Î& ∞ B − Ó!ß "Ò" #

EÒ\ ± \ œ B Ó œ " .B œ'B B " B

Ð" B Ñ " B #" # # "

!

"B"#

# ##

" # #

,

ovvero il valore atteso condizionato della v.a. all'evento è a sua\ Ö\ œ B ×" # #

volta una funzione lineare di .B#

Nel caso in cui , dal Teorema 5.2.4 si ottieneF œ ‘

E E EÒ\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ# # "

se esiste finito. Inoltre, posto ,E Var E EÒ\ Ó Ò\ ± \ Ó œ Ò\ ± \ Ó Ò\ ± \ Ó# # " " # "## #

di nuovo dal Teorema 5.2.4 si ha

Var E Var Var EÒ\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ Ò Ò\ ± \ ÓÓ# # " # " ,

se esiste finito. Infine, dal Teorema 5.2.5 si haEÒ\ Ó##

E E Var E EÒÐ\ \ Ñ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ ÒÐ Ò\ ± \ Ó \ Ñ Ó# " # " # " "# #

e

E E VarÒÐ\ \ Ñ Ó Ò Ò\ ± \ ÓÓ# " # "# ,

dove l'uguaglianza si ottiene se Ö\ œ Ò\ ± \ Ó× ;Þ-Þ" # "E


dell'Esempio 3.5.2. Tenendo presente l'Esempio 5.3.2. e l'Esempio 4.2.3, si ha

135Capitolo 5

E E E EÒ\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ œ Ð" Ò\ ÓÑ œ" "

$ &# # " " ,

coerentemente con quanto visto nell'Esempio 4.2.3. In modo simile, si ottiene

E E E EÒ\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ œ Ð" Ò\ ÓÑ œ" #

# &" " # # ,

in accordo con quanto visto nell'Esempio 4.2.3. Inoltre, si ha

EÒ\ ± \ œ B Ó œ " .B œ#B B Ð" B Ñ

" B " B #!##

" " #!

"B## #

" "

# " "

,

da cui

VarÒ\ ± \ Ó œ œÐ" B Ñ Ð" B Ñ Ð" B Ñ

' * ")# "

" " "# # #

.

Inoltre, tenendo presente l'Esempio 4.4.2, si ha

E Var E EÒ Ò\ ± \ ÓÓ œ Ð" # Ò\ Ó Ò\ ÓÑ œ" "

") %&# " " "

#

e

Var E VarÒ Ò\ ± \ ÓÓ œ Ò\ Ó œ" "

* ##&# " " ,

da cui risulta

Var E Var Var EÒ\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ Ò Ò\ ± \ ÓÓ œ#

(&# # " # " ,

in accordo con i risultati ottenuti nell'Esempio 4.4.2.


ammette la seguente d.p.c.

0 ÐB ß B Ñ œ ÐB Ñ" ÐB B Ñ ÐB "Ñ

# lB l ##B\ " # "

"

# " "# #

"# ÏÖ!×

1exp "‘ .

Sulla base dei risultati ottenuti, si può ottenere il valore atteso senzaEÒ\ Ó#calcolare esplicitamente la d.p.m. della v.a. (che in questo caso è\#


un'operazione abbastanza complessa). Tenendo presente le proprietà introdottenella Sezione 6.7 per la legge Normale, la d.p.m. della v.a. risulta\"

0 ÐB Ñ œ 0 ÐB ß B Ñ .B

œ .B" ÐB "Ñ " ÐB B Ñ

# # lB l# #B

œ " ÐB "Ñ

# #

\ " \ " # #∞

∞

# # "# #

∞

∞

" "# #

"#

"

1 1

1

exp exp

exp ,

ovvero la legge associata alla v.a. è Normale di parametri e . Si\ œ " œ "" . 5ha

E

exp

Ò\ ± \ œ B Ó œ B .B0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ

œ .B œ BB ÐB B Ñ

# lB l #B

# " " # #∞

∞\ " #

\ "

∞

∞# # "

"

#

"# # "

"

1 ,

ovvero

E E E E

exp

Ò\ Ó œ Ò Ò\ ± \ ÓÓ œ Ò\ Ó

œ B .B œ "" ÐB "Ñ

# #

# # " "

∞

∞

" ""

#

1

,

e dunque il valore atteso della v.a. è stato ottenuto senza conoscere la legge\#

corrispondente. Evidentemente, si può calcolare anche la varianza della v.a. \#

senza determinarne la legge.

5.4. Leggi condizionate

Si consideri il v.v.a. definito sullo spazio probabilizzato\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

Ð ß ß T Ñ \H Y . Si supponga inizialmente che il v.v.a. sia discreto a valori suinsieme numerabile , con f.p.c. data da e f.p.m. date daW − : ÐB ß B Ñ‘#

\ " #

: ÐB Ñ : ÐB Ñ W W W\ " \ # " #" # e . Siano inoltre e le proiezioni di sugli assi cartesiani.

Dato l'evento con , una misuraÖ\ œ B × B − W TÐ † ± Ö\ œ B ×" " " " " " Ñ è in effetti di probabilità (vedi Sezione 2.4) e per F − Ð ÑU ‘

137Capitolo 5

T ÐFÑ œ TÐ\ ÐFÑ ± Ö\ œ B ×\ ÐFÑ ∩ Ö\ œ B ×Ñ

\ œ B Ñ\ ±\ œB #

"" "

#"

" "

" "# " "

Ñ œTÐ

T Ð

è detta della v.a. all'evento . Dunque, si puòlegge condizionata \ Ö\ œ B ×# " "

definire la della v.a. all'evento , con ,f.p. condizionata \ Ö\ œ B × B − W# " " " "

come

: ÐB Ñ œ TÐÖ\ œ B × ± Ö\ œ B × œ: ÐB ß B Ñ

: ÐB Ñ\ ±\ œB # # # " "

\ " #

\ "# " "

"

Ñ .

Risulta facile verificare che è in effetti una f.p. e che la sua: ÐB Ñ\ ±\ œB ## " "

definizione è coerente con con quella di valore atteso condizionato della v.a. \#

all'evento , dal momento che, per quanto visto nella Sezione 5.4,Ö\ œ B ×" "

risulta

EÒ\ ± \ œ B Ó œ B : ÐB Ñ# " " # #

B −W

\ ±\ œB# #

# " " .

Esempio 5.4.1. Si consideri il v.v.a. discreto dell'Esempio 3.5.1.\ œ Ð\ ß\ Ñ" #T

La f.p. condizionata della v.a. all'evento è data dunque da\ Ö\ œ !×# "

: ÐB Ñ œ œ ÐB Ñ: Ð!ß B Ñ # "

: Ð!Ñ $ $\ ±\ œ! Ö!ß"×# #

\ #

\

B "B

# "

"

# # " ,

mentre la f.p. condizionata della v.a. all'evento risulta\ Ö\ œ "×# "

: ÐB Ñ œ œ ÐB Ñ: Ð"ß B Ñ

: Ð"Ñ\ ±\ œ" Ö!×" #

\ #

\# "

"

" ,

ovvero le leggi associate alle v.a. condizionate si ottengono per particolariparametrizzazioni della legge Binomiale (si veda Sezione 6.5).

Il modo con cui è stata costruita la legge condizionata nel caso di un v.v.a. \discreto perde di senso quando l'evento è di probabilità nulla. InÖ\ œ B ×" "

generale, non sempre esiste una legge condizionata della v.a. all'evento\#

Ö\ œ B ×" " , anche se gli esempi di non esistenza sono artificiosi e nonfondamentali nell'uso della teoria (per maggiori dettagli, si veda Wise e Hall,1993, p.159). Nel caso in cui il v.v.a. sia assolutamente continuo con d.p.c.\data da e d.p.m. date da e , si può definire la 0 ÐB ß B Ñ 0 ÐB Ñ 0 ÐB Ñ\ " # \ " \ #" #

d.p.condizionata della v.a. all'evento come\ Ö\ œ B ×# " "


0 ÐB Ñ œ ÐB ß B Ñ0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ\ ±\ œB # " #

\ " #

\ "ÏH# " "

"

#"‘ ,

(vedi Sezione 5.3 per la definizione dell'insieme ). Il Teorema di Radon-HNikodym (Teorema A.9) assicura in questo caso l'esistenza della leggecondizionata della v.a. all'evento , ovvero per ogni si\ Ö\ œ B × F − Ð Ñ# " " U ‘ha

T ÐFÑ œ 0 ÐB Ñ .B\ ±\ œB \ ±\ œBF

# ## " " # " " .

Si dovrebbe evidenziare che la d.p. condizionata non è unica e quindi al solito sidovrebbe parlare di una versione della densità. Inoltre, la sua definizione ècoerente con con quella di valore atteso condizionato della v.a. all'evento\#

Ö\ œ B ×" " , dal momento che per quanto visto nella Sezione 5.4 risulta

EÒ\ ± \ œ B Ó œ B 0 ÐB Ñ .B# " " # # #\ ±\ œB‘

# " " .


dell'Esempio 3.5.2. La d.p. condizionata della v.a. all'evento è\ Ö\ œ B ×# " "

data dunque da

0 ÐB Ñ œ0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ

œ " ÐB Ñ ÐB Ñ# B

" B " B

\ ±\ œB #\ " #

\ "

" "

#Ó!ß"Ò Ó!ß"B Ò" #

# " "

"

" " " ,

mentre la d.p. condizionata della v.a. all'evento risulta\ Ö\ œ B ×" # #

0 ÐB Ñ œ0 ÐB ß B Ñ

0 ÐB Ñ

œ " ÐB Ñ ÐB Ñ'B B

Ð" B Ñ " B

\ ±\ œB "\ " #

\ #

" "

# ## Ó!ß"Ò Ó!ß"B Ò# "

" # #

#

# " " ,

ovvero le leggi associate alle v.a. condizionate si ottengono per particolariparametrizzazioni della legge Beta (si veda Sezione 6.12).

139Capitolo 5

Esempio 5.4.3. Sia data la legge Uniforme sul cerchio unitario introdottanell'Esempio 3.6.3. La d.p. condizionata della v.a. all'evento è\ Ö\ œ B ×" # #

data dunque da

0 ÐB Ñ œ œ ÐB Ñ0 ÐB ß B Ñ "

0 ÐB Ñ #Ð" B Ñ\ ±\ œB # #

\ " #

\ " "# "Î# ÓÐ"B Ñ ßÐ"B Ñ Ò# " "

"" "# #"Î# "Î#" ,

mentre per simmetria la d.p. condizionata della v.a. all'evento \ Ö\ œ B ×" # #

risulta

0 ÐB Ñ œ ÐB Ñ"

#Ð" B Ñ\ ±\ œB " "

## "Î# ÓÐ"B Ñ ßÐ"B Ñ Ò" # # # #

# #"Î# "Î#" ,

ovvero le leggi associate alle v.a. condizionate sono Uniformi (si veda Sezione6.12).


Una trattazione approfondita del concetto di valore atteso condizionato ècontenuto in Williams (1992), Rao (2005) e Steyer e Nagel (2017). Altri testidove è possibile trovare un'esauriente analisi dei problemi tecnici legati al valoreatteso condizionato sono Cohen e Elliott (2015), Dudley (2004), Kallenberg(2002) e Stroock (2013). Per controesempi nell'ambito del valore attesocondizionato si veda Wise e Hall (1993).

Capitolo 6

Principali leggi

6.1. Legge Binomiale

Si consideri un esperimento aleatorio con esito dicotomico, ovvero, utilizzandola terminologia dei giochi d'azzardo, suscettibile di assumere due soli risultati ="

e del tipo “successo” e “insuccesso” di un ipotetico giocatore. Se si ripete =# 8volte l'esperimento aleatorio, il corrispondente spazio fondamentale prodotto èdato da , dove . Quindi, è costituito da H H H H = = Hœ ‚â‚ œ Ö ß × #" 8 3 " #

8

eventi elementari che coincidono con tutte le possibili sequenze di lunghezza 8(distinte anche per l'ordine) di e .= =" #

Si supponga inoltre che gli esperimenti aleatori siano condotti in modoindipendente e che l'assegnazione di probabilità su sia data da eH =3 3 "T ÐÖ ×Ñ œ :T ÐÖ ×Ñ œ " : œ ; : − Ó!ß "Ò3 #= , dove . In altre parole, l'assegnazione diprobabilità è la stessa per ogni esperimento aleatorio. Dunque, la misura diprobabilità prodotto si ottiene probabilizzando i eventi elementariT #8

ÖÐ ß Ñ×= =4 4"á ß

8 di H come

TÐÖÐ ß Ñ×Ñ œ T ÐÖ ×Ñ= = =4 4 4" 3á ß

83œ"

8

3 ,

dove e .43 œ "ß # 3 œ "ßá ß 8Si consideri la v.a. , che ad ogni realizzazione dell'esperimento\ À Ä WH

combinato associa il corrisponente numero di “successi”, ovvero il numero dirisultati del tipo contenuti in ogni . La v.a. è=" Ð ß Ñ − \= =4 4"

á ß8

Hevidentemente di tipo discreto e si ha . Si noti inoltre che laW œ Ö!ß "ßá ß 8×probabilità di ciascun evento elementare di in cui compaiono “successi” eH BÐ8 BÑ : ; B œ !ß "ßá ß 8 “insuccessi” è pari a , dove . Inoltre, vi sono B 8B 8

B

eventi elementari di questo tipo, che sono distinti solo per l'ordine in cui i“successi” e gli “insuccessi” si alternano. Dunque, la f.p. della v.a. è data da\

142 Principali leggi

: ÐBÑ œ : ; ÐBÑ8

B\

B 8BÖ!ß"ßáß8× " .

La legge relativa alla v.a. è detta di parametri e e si\ 8 :legge Binomialedenota usualmente con . Inoltre, nel caso particolare in cui , laUÐ8ß :Ñ 8 œ "legge viene detta di parametro , anche se entrambe le leggilegge di Bernoulli :sono state introdotte da Jakob Bernoulli.

Si noti che è in effetti una f.p., in quanto dall'espressione del binomio di:\Newton si verifica immediatamente che

Bœ! Bœ!

8 8B 8B 8: ÐBÑ œ : ; œ Ð: ;Ñ œ "

8

B\ .

0 10 20 30 40 50

0.00

0.05

0.10

0.15

Figura 6.1.1. Funzione di probabilità per la legge Binomiale eÐ8ß :Ñ œ Ð&!ß "Î&Ñß Ð&!ß "Î#Ñß Ð&!ß %Î&Ñ (rispettivamente in rosso, verde e blu).

La v.a. può essere interpretata anche come una somma di v.a.\ 8indipendenti , ognuna delle quali è caratterizzata dalla legge di Bernoulli di\3

parametro , ovvero si ha . Questa affermazione sarà dimostrata: \ œ \3œ"8

3

con un metodo semplice ed elegante nell'Esempio 7.4.3. Dunque, dal momentoche è immediato verificare che e e, tenendo presente leE VarÒ\ Ó œ : Ò\ Ó œ :;3 3

proprietà relative alla media e varianza di somme di v.a. indipendenti, si ottiene

E EÒ\Ó œ Ò\ Ó œ 8:3œ"

8

3

143Capitolo 6

e

Var VarÒ\Ó œ Ò\ Ó œ 8:;3œ"

8

3 .

Questi risultati saranno anche verificati con un differente metodo nell'Esempio7.2.4.

6.2. Legge di Poisson

Si consideri una successione di elementi di , in modo tale che laÐ: Ñ Ó!ß "Ò8 8 "

successione converga ad una costante e si ponga inoltreÐ8: Ñ − Ó!ß∞Ò8 8 " -; œ " : Ð: Ñ8 8 8 8 ". Dunque, la successione deve necessariamente convergere a! 8 Ð1 ÐBÑÑ. Per ogni si consideri inoltre la successione , dove8 B !

1 ÐBÑ œ: ; B − Ö!ß "ßá ß 8×

! B − Ï Ö!ß "ßá ß 8×8

8B 8 8

B 8B

In altre parole, è il prolungamento su della legge BinomialeÐ1 ÐBÑÑ8 B ! UÐ8ß : Ñ B − Ö!ß "ßá ß 8×8 . Se si ha

1 ÐBÑ œ : ; œ Ð8: Ñ Ð" : Ñ " 8 " 3

B Bx 88 8 88 8

B 8B B 8B

3œ!

B" .

Tenendo presente che se è una successione di numeri reali tale cheÐ+ Ñ8 8 "

lim8 8+ œ + si ha

lim exp8

88 " œ Ð+Ñ

+

8 ,

allora risulta

lim lim exp8 8

88 8

8

Ð" : Ñ œ " œ Ð Ñ8:

8 - .

Inoltre, si ha

lim8

8BÐ" : Ñ œ "

e


lim8

3œ!

B" " œ "3

8 ,

da cui si ottiene infine

lim exp8

8

B

1 ÐBÑ œ Ð ÑBx

--

.

Dunque, si può considerare la v.a. con f.p. limite data da\

: ÐBÑ œ Ð Ñ ÐBÑBx

\

B

exp --

" .

La v.a. è discreta e prende valori su . La legge relativa alla v.a. è\ W œ \detta di parametro e si denota usualmente con . La leggelegge di Poisson - c -Ð Ñprende nome dal matematico francese Siméon Denis Poisson (1781-1840), chene ha considerato le prime applicazioni, anche se la legge era già nota a Abrahamde Moivre. La legge di Poisson sarà ottenuta in modo più elegante nell'Esempio8.1.7.

Si noti che è in effetti una f.p., in quanto dall'espressione della serie:\esponenziale si ha

Bœ! Bœ!

∞ ∞

\

B

: ÐBÑ œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ œ "Bx

exp exp exp- - --

.

La media della v.a. è data da\

E exp expÒ\Ó œ Ð Ñ B œ Ð Ñ œBx Bx

- - - -- -

Bœ! Bœ!

∞ ∞B B

.

Inoltre, essendo

E exp exp

exp

Ò\Ð\ "ÑÓ œ Ð Ñ BÐB "Ñ œ Ð ÑBx ÐB #Ñx

œ Ð Ñ œBx

- -- -

- - --

Bœ! Bœ#

∞ ∞B B

# #

Bœ!

∞ B

,

si ha e dunque . Questi risultati saranno ancheE VarÒ\ Ó œ Ò\Ó œ# #- - -verificati con un differente metodo nell'Esempio 7.2.5.

145Capitolo 6

0 5 10 15 20 25 30

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figura 6.2.1. Funzione di probabilità per la legge di Poisson e- œ #ß &ß "! (rispettivamente in rosso, verde e blu).

6.3. Legge Binomiale Negativa

Si consideri di nuovo un esperimento aleatorio con esito dicotomico,suscettibile di assumere due soli risultati e , che al solito rappresentano= =" #

“successo” e “insuccesso” di un ipotetico giocatore, e si ripeta l'esperimentoaleatorio in modo indipendente sino a quando non si siano verificati 5“successi”. Anche se l'esperimento aleatorio combinato ha termine in praticadopo che si sono ottenuti “successi”, da un punto di vista formale è5conveniente considerare un'infinità numerabile di esperimenti aleatori. In altreparole, si considera lo spazio prodotto , dove ogni singolo spazioH Hœ

3œ"∞

3

fondamentale è dato da . Dunque, gli elementi dello spazioH = =3 " #œ Ö ß ×fondamentale prodotto sono tutte le successioni del tipo , doveH =Ð Ñ4 8 "8

48 œ "ß #. Tenendo presente la discussione effettuata nella Sezione 2.6, se sieffettua l'assegnazione di probabilità su in modo tale che eH =3 3 "T ÐÖ ×Ñ œ :T ÐÖ ×Ñ œ " : œ ; : − Ó!ß "Ò T œ T3 # 33œ"

∞= , dove , la probabilità prodotto esiste ed è unica.

Si consideri la v.a. , che ad ogni elemento di associa il numero di\ À Ä WH Hesperimenti aleatori che si devono effettuare oltre il -esimo esperimento per5ottenere “successi” (in effetti, affinchè si verifichino “successi”, si devono5 5effettuare almeno esperimenti). Si assuma inoltre che . La v.a. è5 5 œ "ß #ßá \evidentemente di tipo discreto e risulta . La probabilità di ciascun eventoW œ elementare di a cui corrispondono “successi” nei primi H Ð5 "Ñ Ð5 B "Ñ


esperimenti aleatori e per cui si ha di nuovo “successo” al -esimoÐ5 BÑ

esperimento aleatorio risulta pari a . Inoltre, vi sono eventi: ;5 B 5B"5"

elementari di questo tipo e che sono distinti solo per l'ordine in cui i “successi” egli “insuccessi” si succedono. Dunque, la f.p. della v.a. è data da\

: ÐBÑ œ : ; ÐBÑ5 B "

5 "\

5 B " .

La legge relativa alla v.a. è detta di parametri e \ 5 :legge Binomiale Negativae si denota usualmente con . Inoltre, nel caso particolare in cui ,Ua Ð5ß :Ñ 5 œ "la legge viene comunemente detta di parametro , anche selegge Geometrica :qualche autore definisce come legge Geometrica quella relativa alla v.a.Ð\ "Ñ.

Si noti che è in effetti una f.p., in quanto dall'espressione della serie:\binomiale negativa si ha

Bœ! Bœ!

∞ ∞

\5 B

5 B 5 5

Bœ!

∞

: ÐBÑ œ : ;5 B "

5 "

œ : ; œ : Ð" ;Ñ œ "5 B "

B .

La v.a. può essere interpretata come una somma di v.a. indipendenti ,\ 5 \3

ognuna delle quali è caratterizzata dalla legge Geometrica di parametro , ovvero:

risulta . Questa affermazione sarà dimostrata molto semplicemente\ œ \3œ"5

3

nell'Esempio 7.4.4. Dunque, dal momento che (si tenga presente l'Esempio 4.1.1)

EÒ\ Ó œ : B; œ;

:3

Bœ!

∞B ,

mentre

EÒ\ Ð\ "ÑÓ œ : BÐB "Ñ; œ #;

:3 3

Bœ!

∞B

#

# ,

da cui

VarÒ\ Ó œ;

:3 #

,

per le proprietà relative alla media e varianza di somme di v.a. indipendenti si ha

147Capitolo 6

E EÒ\Ó œ Ò\ Ó œ5;

:3œ"

5

3

e

Var VarÒ\Ó œ Ò\ Ó œ5;

:3œ"

5

3 # .

Questi risultati saranno anche verificati con un differente metodo nell'Esempio7.2.6.

Risulta inoltre interessante ottenere la f.p. limite per , qualora 5 Ä ∞ Ð: Ñ5 5 "

sia una successione di elementi di , tale che l'ulteriore successioneÓ!ß "ÒÐ5; Î: Ñ − Ó!ß∞Ò ; œ " :5 5 5 " 5 5 converga ad una costante e dove . Si noti-che deve necessariamente convergere a . Per si pongaÐ: Ñ " B −5 5 "

1 ÐBÑ œ : ; œ " " 5 B " " 5; ; 3

5 " Bx : : 55 5 5

5 B 5 5

5 5

B B5

3œ!

B" e per ogni si consideri la successione . Dal momento che5 Ð1 ÐBÑÑ5 B !

lim lim exp5 5

5 5 5

5

5 5 " œ " œ Ð Ñ; 5; Î:

: 5- ,

mentre risulta

lim5

3œ!

B" " œ "3

5 ,

si ha

lim exp5

5

B

1 ÐBÑ œ Ð ÑBx

--

,

ovvero la f.p. limite è quella relativa ad una legge di Poisson . Questoc -Ð Ñrisultato sarà ottenuto in modo più elegante nell'Esempio 8.1.8.

Si noti infine che il parametro può in generale assumere un qualsiasi valore5positivo non necessariamente intero, anche se in questo caso la genesi della v.a.non si ottiene dallo schema degli esperimenti ripetuti. In effetti, la seriebinomiale negativa può essere definita per ogni positivo e le proprietà ottenute5in precedenza possono essere generalizzate.


0 5 10 15 20 25

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Figura 6.3.1. Funzione di probabilità per la legge Binomiale Negativa eÐ5ß :Ñ œ Ð&ß $Î"!Ñß Ð&ß "Î#Ñß Ð&ß (Î"!Ñ (rispettivamente in rosso, verde e blu).

6.4. Legge Ipergeometrica

Si consideri un'urna composta da palline di cui sono rosse e R H ÐR HÑsono nere. Si suppone ovviamente che sia un intero positivo tale che .H H Ÿ RSi consideri inoltre l'esperimento aleatorio che consiste nell'estrarre in blocco 8palline, dove è un intero positivo tale che . Lo spazio fondamentale 8 8 Ÿ R Hrelativo all'esperimento risulta costituito da risultati che corrispondono a R

8

tutte le possibili scelte di palline a gruppi di . Se si suppone che l'estrazioneR 8sia regolare, allora si può considerare un'assegnazione equiprobabile, ovvero la

probabilità di ciascun evento elementare di risulta pari a .H R8

"

Si consideri la v.a. , che ad ogni risultato associa il numero di\ À Ä WHnumero di palline rosse estratte. La v.a. è evidentemente di tipo discreto e si\ha inoltre . Gli estremi dell'insieme W œ Ö Ð!ß 8 R HÑßá ß Ð8ßHÑ× Wmax minderivano dal fatto che, se almeno palline estratte8 R H Ð8 R HÑdevono essere rosse, mentre se si possono estrarre al più palline rosse.8 H HInoltre il numero di eventi elementari per cui si hanno palline rosse estratteBrisulta , che corrisponde al numero di scelte di palline rosse a H RH

B 8B H

gruppi di combinate con le scelte di palline nere a gruppi di .B ÐR HÑ Ð8 BÑDunque, la f.p. della v.a. è data da\

149Capitolo 6

: ÐBÑ œ ÐBÑ\ W

H RHB 8B

R8

" .

La legge relativa alla v.a. è detta di parametri , e ,\ 8 H Rlegge Ipergeometricae si denota usualmente con .\ Ð8ßHßRÑ

Si noti che è in effetti una f.p., in quanto per le proprietà dei coefficienti:\binomiali si ha

Bœ Ð!ß8RHÑ Bœ Ð!ß8RHÑ

Ð8ßHÑ Ð8ßHÑ

\

"

"

max max

min min

: ÐBÑ œR H R H

8 B 8 B

œ œ "R R

8 8

Tenendo presente l'espressione della f.p. relativa alla legge Ipergeometrica\ Ð8 "ßH "ßR "Ñ \, la media della v.a. è data da

EÒ\Ó œ B

œ œ8H 8H

R R

Bœ Ð!ß8RHÑ

Ð8ßHÑ H RHB 8B

R8

Bœ Ð!ß8RH"Ñ

Ð8"ßH"Ñ H" RHB 8"B

R"8"

max

min

max

min

.

Inoltre, tenendo presente l'espressione della f.p. relativa alla leggeIpergeometrica si ha\ Ð8 #ßH #ßR #Ñ

EÒ\Ð\ "ÑÓ œ B ÐB "Ñ

œ8HÐ8 "ÑÐH "Ñ

RÐR "Ñ

œ

Bœ Ð!ß8RHÑ

Ð8ßHÑ H RHB 8B

R8

Bœ Ð!ß8RH#Ñ

Ð8#ßH#Ñ H# RHB 8#B

R#8#

max

min

max

min

8HÐ8 "ÑÐH "Ñ

RÐR "Ñ

da cui


VarÒ\Ó œ8H R H R 8

R R R " .

La legge Ipergeometrica può essere ottenuta anche come legge condizionata.Più esattamente, date v.a. indipendenti ognuna delle quali è caratterizzataR \3

dalla legge di Bernoulli di parametro , si consideri le v.a. e: \ œ \3œ"H

3

] œ \ \ Ö] œ 8×3œ"R

3. La f.p. condizionata della v.a. all'evento è data da

: ÐBÑ œ ÐBÑ: ; : ;

: ;

œ ÐBÑ

\±] œ8

H RHB 8B

B HB 8B RH8B

R8

8 R8W

H RHB 8B

R8

W

"

" .

Risulta interessante ottenere la f.p. limite per , qualora siaR Ä ∞ ÐH ÑR R "

una successione con per ogni e tale che la successione H Ÿ R R ÐH ÎRÑR R R "

converga ad una costante . Per ogni , si consideri l'insieme: − Ó!ß "Ò RÐ1 ÐBÑÑ 1 ÐBÑ Ö!ß "ßá ß 8×R RBœ!

8 , dove è il prolungamento su della leggeIpergeometrica . Se , si\ Ð8ßH ßRÑ B − Ö Ð!ß 8 R HÑßá ß Ð8ßHÑ×R max minottiene

1 ÐBÑ œ œ8

B

ÐH 3Ñ ÐR H 3Ñ

ÐR 3Ñ

œ8

B

ÐH ÎR 3ÎRÑ Ð" H ÎR 3ÎRÑ

Ð" 3ÎRÑ

R

H RHB 8B

R8

3œ! 3œ!B" 8B"

R R

3œ!8"

3œ! 3œ!B" 8B"

R R

3œ!8"

R R

Dal momento che si ha

limR

3œ!

B"R B H 3

R R œ :

e

limR

3œ!

8B"R 8B " œ ;

H 3

R R ,

dove , mentre; œ " :

151Capitolo 6

limR

3œ!

8" " œ "3

R,

si ottiene

limR

RB 8B1 ÐBÑ œ : ;

8

B ,

ovvero la f.p. limite è quella relativa ad una legge Binomiale .UÐ8ß :ÑSi noti infine che se le palline sono estratte dall'urna reimmettendo dopo ogni

singola estrazione la pallina nell'urna, ovvero in caso di estrazioni indipendenti,allora la v.a. che rappresenta il numero di palline rosse estratte possiede una\legge Binomiale .UÐ8ßHÎRÑ

0 10 20 30 40

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

Figura 6.4.1. Funzione di probabilità per la legge Ipergeometrica eÐ8ßHßRÑ œ Ð%!ß &!ß #!!Ñß Ð%!ß "!!ß #!!Ñß Ð%!ß "&!ß #!!Ñ

(rispettivamente in rosso, verde e blu).

6.5. Legge Multinomiale

Nella presente Sezione viene introdotta la generalizzazione dell'esperimentoaleatorio analizzato per la legge Binomiale. Più esattamente, si considera unesperimento aleatorio suscettibile di possibili risultati e si ripete volte5 8l'esperimento aleatorio, in modo tale che lo spazio fondamentale prodottoassociato è dato da con . Quindi, èH H H H = = Hœ ‚â‚ œ Ö ßá ß ×" 8 3 " 5


costituito da eventi elementari che coincidono con tutte le possibili sequenze58

di lunghezza (distinte anche per l'ordine) di .8 ßá ß= =" 5

Si supponga inoltre che gli esperimenti aleatori siano condottiindipendentemente e che l'assegnazione di probabilità su sia la stessa per ogniH3

esperimento aleatorio, ovvero risulti per ogniT ÐÖ ×Ñ œ : − Ó!ß "Ò3 4 4=

4 œ "ßá ß 5 : œ ". Ovviamente, si deve avere . In modo simile a quanto4œ"5

4

visto nella Sezione 6.1, la misura di probabilità prodotto si ottieneTprobabilizzando i eventi elementari di 5 ÖÐ ß Ñ×8 = =4 4"

á ß8

H comeTÐÖÐ ß Ñ×Ñ œ T ÐÖ ×Ñ œ "ßá ß 5 3 œ "ßá ß 8= = =4 4 4" 3

á ß 48

3œ"8

3 3, dove e .Si consideri il v.v.a. , che ad ogni risultato associa il vettore\ À Ä WH

B œ ÐB ßá ß B Ñ B" 5 4 4T, dove rappresenta il numero di elementi del tipo in ogni=

Ð ß Ñ − \ œ Ð\ ßá ß\ Ñ= =4 4"á ß

8H. Il v.v.a. è evidentemente di tipo discreto" 5

T

e è tale cheW § ‘5

W œ ÐB ßá ß B Ñ À B − Ö!ß "ßá ß 8×ß B œ 8 " 5 4 4

4œ"

5

.

Inoltre, la probabilità di ciascun evento elementare di in cui si compare H B"

volte il risultato , , volte il risultato (dove ), risulta pari a= =" 5 5 44œ"5á B B œ 8

: á:"B

5B" 5 . Dal momento che vi sono

8 8x

B á Bœ

B x" 5 4œ"5

4

di tali eventi elementari e che sono distinti per l'ordine in cui gli eventi= =" 5ßá ß \ si succedono, la f.p.c. del v.v.a. è data da

: ÐBÑ œ : ÐB ßá ß B Ñ œ : ÐB ßá ß B Ñ8

B á B\ \ " 5 W " 5

" 5 4œ"

5

4B 4 " .

Si noti che l'insieme è contenuto su un iperpiano di e che in effetti risultaW ‘5

Ö \ œ 8× ;Þ-Þ \4œ"5

4 , ovvero il v.v.a. è linearmente degenere. La legge relativaal v.v.a. è detta di parametri e , e si\ 8 : œ Ð: ßá ß : Ñlegge Multinomiale " 5

T

denota usualmente con . Si noti che è in effetti una f.p.c., in quanto`Ð8ß :Ñ :\per il teorema multinomiale si ha

153Capitolo 6

ÐB ßáßB Ñ−W ÐB ßáßB Ñ−W

\ " 5" 5 4œ"

5

4B

4œ"

5

4

8" 5 " 5

4: ÐB ßá ß B Ñ œ :8

B á B

œ : œ " .

Si può dimostrare facilmente che la componente marginale ha legge\4

Binomiale (si veda l'Esempio 7.4.1). Inoltre, in modo analogo alla leggeUÐ8ß : Ñ4Binomiale, il v.v.a. può essere espresso come somma di v.v.a. indipendenti,\ 8ognuno dei quali possiede legge Multinomiale (si veda l'Esempio`Ð"ß :Ñ7.4.5). Sulla base di questa osservazione, in modo simile a quanto fatto per lalegge Binomiale, si può provare che il vettore delle medie del v.v.a. è dato da\.\ œ 8:, mentre la matrice di varianza-covarianza è data da

O\ œ 8Ð Ð:Ñ :: Ñdiag ,T

con varianza generalizzata che deve necessariamente risultare . IndetÐ Ñ œ !O\

modo alternativo, questi risultati possono essere ottenuti tenendo presentel'Esempio 7.4.2.

Si noti infine che per e la legge è in effetti5 œ # : œ Ð: ß : Ñ Ð8ß :Ñ" #T `

“equivalente” alla legge , dal momento che si ha ,UÐ8ß : Ñ Ö\ œ 8 \ × ;Þ-Þ" # "

mentre risulta e . 8 8B B B # "" # "

œ : œ " :

6.6. Leggi con parametri di posizione e di scala

Si noti innanzitutto che due v.a. e , con rispettive f.r. e , sono dette\ ^ J J\ ^

dello se esistono due costanti per cuistesso tipo +ß , − ‘

\ œ + ,^_

,

ovvero quando per ogni . Si consideri dunque unaJ ÐBÑ œ J Ð+ ,BÑ B −^ \ ‘v.a. con f.r. data da\

J ÐBÑ œ KB +

,\ ,

dove è una f.r., mentre e . In pratica, per una data f.r. , laK + − , − Ó!ß∞Ò K‘precedente relazione descrive una famiglia di leggi al variare di e . Inoltre, è+ , +


detto e è detto . Se si consideri laparametro di posizione parametro di scala,trasformazione , risulta^ œ Ð\ +ÑÎ,

J ÐDÑ œ TÐ^ Ÿ DÑ œ TÐ\ Ÿ + ,DÑ œ J Ð+ ,DÑ œ KÐDÑ^ \

per ogni . In altre parole, le due v.a. e sono dello stesso tipo. Inoltre, èD − \ ^‘evidente che la precedente trasformazione consente di ottenere la v.a. con f.r.^che non dipende dai parametri e . Per questo motivo si dice che la v.a. + , ^possiede la (o ) all'interno della famiglia dilegge ridotta legge standardizzataleggi. Analogamente, la v.a. viene comunemente detta , anche^ standardizzatase in modo leggermente improprio. In effetti, questa definizione dovrebbe esseresolamente adottata per la trasformazione di standardizzazione, ovvero quando siha e . In pratica, risulta quindi conveniente lavorare con la legge+ œ , œ. 5\ \

ridotta e successivamente considerare la famiglia di leggi che si ottiene al variaredei parametri di posizione e di scala (questo è il motivo per cui negli Esempi4.1.3 e 4.1.4 sono state considerate le leggi ridotte). Infine, se la legge ècaratterizzata da altri parametri oltre a quello di posizione e di scala, questivengono detti .parametri di forma

Se è una v.a. assolutamente continua, allora la d.p. di è esprimibile\ \attraverso la d.p. della v.a. standardizzata, ovvero

0 ÐBÑ œ 0" B +

, ,\ ^ ,

mentre per quanto riguarda la f.r. risulta ovviamente

J ÐBÑ œ JB +

,\ ^ .

Si noti infine che il momento di ordine della v.a. è esprimibile attraverso i< \momenti della v.a. standardizzata , ovvero^

.

.

\ß<< <

3œ" 3œ"

< <3 <3 3 <3

^ß<3

œ Ò\ Ó œ ÒÐ+ ,^Ñ Ó

œ + Ð,^Ñ œ + ,< <

3 3

E E

E ,

da cui . Analogamente, il momento centrale di ordine della v.a.. .\ ^œ + , <\ risulta

E E EÒÐ\ Ñ Ó œ ÒÐ+ ,^ + , Ñ Ó œ , ÒÐ^ Ñ Ó. . .\ ^ ^< < < < ,

da cui . In particolare, se e , allora e .5 5 . 5 . 5\ ^# # #

\ \ ^ ^œ , + œ , œ œ ! œ "

155Capitolo 6

Esempio 6.6.1. La legge introdotta dal matematico tedesco Emil Julius Gumbel(1891-1966) è associata alla f.r.

J ÐBÑ œ B +

,\ exp exp ,

dove e . Evidentemente, una v.a. che possiede la precedente+ − , − Ó!ß∞Ò \‘f.r. è assolutamente continua e ammette d.p. data da

0 ÐBÑ œ " B + B +

, , ,\ exp exp .

Se si considera la trasformazione , si ha^ œ Ð\ +ÑÎ,

J ÐDÑ œ Ð Ð DÑÑ^ exp exp ,

ovvero la f.r. della v.a. standardizzata non dipende dai parametri e . Inoltre,^ + ,la v.a. ammette d.p. data da^

0 ÐDÑ œ Ð D Ð DÑÑ^ exp exp .

Si può verificare infine che e , dove. # 5 1^ ^# #œ œ Î'

# œ B Ð BÑ .B ¶ !Þ&((!

∞

ln exp

rappresenta la cosiddetta costante di Eulero-Mascheroni. Si ha dunque. # 5 1\ \

# # #œ + , œ , Î', mentre .

4 2 0 2 4 6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 6.6.1. Densità di probabilità per la legge di Gumbel eÐ+ß ,Ñ œ Ð!ß "Ñß Ð#ß "Ñß Ð!ß #Ñ (rispettivamente in rosso, verde e blu).


Esempio 6.6.2. L'ingegnere e statistico svedese Ernst Hjalmar Waloddi Weibull(1887-1979) ha introdotto la legge a cui è associata la f.r.

J ÐBÑ œ " ÐBÑB +

,\

5

Ó+ß∞Ò exp " ,

dove , e . Evidentemente, una v.a. che possiede la+ − , − Ó!ß∞Ò 5 − Ó!ß∞Ò \‘precedente f.r. è assolutamente continua e ammette d.p. data da

0 ÐBÑ œ ÐBÑ5 B + B +

, , ,\

5" 5

Ó+ß∞Ò exp " .

Se si considera la trasformazione , si ha^ œ Ð\ +ÑÎ,

J ÐDÑ œ Ò" Ð D ÑÓ ÐDÑ^5

Ó!ß∞Òexp " ,

ovvero la f.r. della v.a. non dipende dai parametri e . Tuttavia, la f.r.^ + ,continua a dipendere dal parametro , che quindi risulta essere un parametro di5forma. Inoltre, la v.a. ammette d.p. data da^

0 ÐDÑ œ 5D Ð D Ñ ÐDÑ^5" 5

Ó!ß∞Òexp " .

Si può verificare che e ,. > 5 > >^ ^# #œ Ð" "Î5Ñ œ Ð" #Î5Ñ Ð" "Î5Ñ

dove rappresenta la funzione gamma di Eulero (si veda la Sezione 6.8 per>Ð † Ñuna precisa definizione di questa funzione). Si ha ,. >\ œ + , Ð" "Î5Ñmentre .5 > >\

# # #œ , Ð Ð" #Î5Ñ Ð" "Î5Ñ Ñ

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 6.6.2. Densità di probabilità per la legge di Weibull eÐ+ß ,ß 5Ñ œ Ð!ß "ß "Î#Ñß Ð!ß "ß #Ñß Ð!ß "ß &Ñ (rispettivamente in rosso, verde e blu).

157Capitolo 6

6.7. Legge Normale

Si consideri la v.a. assolutamente continua che ammette d.p. data da\

0 ÐBÑ œ " ÐB Ñ

# #\

#

# 15

.

5exp ,

dove e . La legge associata alla v.a. è detta di. ‘ 5− − Ó!ß∞Ò \ legge Normaleparametri e , e viene indicata comunemente con . La legge è anche. 5 a . 5Ð ß Ñ#

detta Gaussiana in onore del matematico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss(1777-1855) che ne studiò le applicazioni, anche se in effetti la legge fuintrodotta da Abraham de Moivre.

Figura 6.7.1. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Se si considera la trasformazione di standardizzazione , si ha^ œ Ð\ ÑÎ. 5

91

ÐDÑ œ 0 ÐDÑ œ " D

# #^

#

exp ,

ovvero la d.p. della v.a. non dipende dai parametri e , che in effetti sono^ . 5rispettivamente i parametri di posizione e di scala. Si noti che (e di9conseguenza ) è in effetti una d.p. essendo0\

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞# # ##

! !

∞ # #

exp exp

exp

.D œ .D.CD D C

# #

œ < .<. œ #<

#

1

) 1 ,


sulla base della trasformazione in coordinate polari. La legge associata alla v.a.^ 0 è detta . Si noti che la notazione per la d.p. èlegge Normale ridotta 9 ^

universalmente adottata, così come la notazione

F1

ÐDÑ œ J ÐDÑ œ .?" ?

# #^

∞

D #

exp

per la f.r. . Di conseguenza, la f.r. di è data daJ \^

J ÐBÑ œB

\ F.

5 .

Dal momento che è simmetrica rispetto all'origine si ha , mentre9 EÒ^Ó œ !

Var E expÒ^Ó œ Ò^ Ó œ D .D œ "D

## #

∞

∞ # .

Si ha dunque e , che rende più chiaro il motivo per cui siE VarÒ\Ó œ Ò\Ó œ. 5#

adotta la notazione per indicare la legge Normale.a . 5Ð ß Ñ#

4 2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 6.7.2. Densità di probabilità per la legge Normale eÐ ß Ñ œ Ð "ß "Î#Ñß Ð!ß "Ñß Ð"ß #Ñ. 5 (rispettivamente in rosso, verde e blu).

6.8. Legge Gamma


159Capitolo 6

0 ÐBÑ œ ÐBÑ" B + B +

, Ð5Ñ , ,\

5"

Ó+ß∞Ò>

exp " ,

dove e , mentre . La legge associata alla v.a. è+ − , − Ó!ß∞Ò 5 − Ó!ß∞Ò \‘detta di parametri , e , e viene indicata comunemente conlegge Gamma + , 5ZÐ+ß ,ß 5Ñ. Se si considera la trasformazione di standardizzazione^ œ Ð\ +ÑÎ,, si ha

0 ÐDÑ œ D Ð DÑ ÐDÑ"

Ð5Ñ^

5"Ó!ß∞Ò

>exp " ,

ovvero la d.p. della v.a. non dipende dai parametri e , che rappresentano^ + ,rispettivamente i parametri di posizione e di scala, mentre è dunque un5parametro di forma. La legge associata alla v.a. è detta .^ legge Gamma ridottaSi noti che (e di conseguenza ) è in effetti una d.p., essendo0 0^ \

>Ð5Ñ œ ? Ð ?Ñ .?!

∞5" exp

la nota funzione Gamma di Eulero (da cui ovviamente prende il nome anche lalegge). La funzione Gamma è stata introdotta dal matematico svizzero LeonhardEuler (1707-1783), che viene comunemente italianizzato in Eulero. La f.r.relativa alla v.a. è data da^

J ÐDÑ œ Ð5ß DÑ ÐDÑ"

Ð5Ñ^ Ó!ß∞Ò

># " ,

dove

#Ð5ß DÑ œ ? Ð ?Ñ .?!

D5" exp

rappresenta la cosiddetta funzione Gamma incompleta. Di conseguenza, la f.r. di\ è data da

J ÐBÑ œ 5ß ÐBÑ" B +

Ð5Ñ ,\ Ó+ß∞Ò

># " .

Dal momento che risulta , si ha> >Ð5 "Ñ œ 5 Ð5Ñ


E expÒ^Ó œ D Ð DÑ .D œ œ 5" Ð5 "Ñ

Ð5Ñ Ð5Ñ> >

>!

∞5 ,

e

E expÒ^ Ó œ D Ð DÑ .D œ œ 5Ð5 "Ñ" Ð5 #Ñ

Ð5Ñ Ð5Ñ# 5"

!

∞

> >

> ,

da cui si ha anche . Di conseguenza, si ha anche eVar EÒ\Ó œ 5 Ò\Ó œ + ,5VarÒ\Ó œ , 5# .

0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 6.8.1. Densità di probabilità per la legge Gamma eÐ+ß ,ß 5Ñ œ Ð!ß "ß "Ñß Ð!ß "ß #Ñß Ð!ß "ß $Ñ (rispettivamente in rosso, verde e blu).

Si noti che la legge Gamma contiene numerosi casi particolari di rilevanteimportanza sia pratica che teorica. Ad esempio, per si ottiene la cosiddetta5 œ "legge Esponenziale, e in questo caso la v.a. ammette d.p. data da\

0 ÐBÑ œ ÐBÑ" B +

, ,\ Ó+ß∞Òexp " ,

con relativa f.r. data da

J ÐBÑ œ " ÐBÑB +

,\ Ó+ß∞Ò exp " .

Inoltre, per e e se dove , si ottiene la + œ ! , œ # 5 œ 8Î# 8 œ "ß #ßá leggeChi-quadrato con gradi di libertà, che viene indicata di solito con . In questo8 ;8

#

caso la v.a. ammette d.p. data da\

161Capitolo 6

0 ÐBÑ œ ÐBÑ" B B

# Ð8Î#Ñ # #\

8Î#"

Ó!ß∞Ò>

exp " .

Si ha inoltre e . Tenendo presente l'Esempio 3.7.3 e dalE VarÒ\Ó œ 8 Ò\Ó œ #8momento che , è immediato dimostrare che il quadrato una v.a. > 1Ð"Î#Ñ œ \con legge Normale ridotta possiede legge Chi-quadrato . Inoltre, laa ;Ð!ß "Ñ "

#

v.a. con legge Chi-quadrato con gradi di libertà si può esprimere come una\ 8somma dei quadrati di v.a. indipendenti caratterizzate dalla legge Normale8 \3

ridotta (si veda l'Esempio 7.3.4).a Ð!ß "Ñ

6.9. Legge Beta


0 ÐBÑ œ " ÐBÑÐ Ñ B + B +

, Ð Ñ Ð Ñ , ,\

" "

Ó+ß+,Ò> α

> α >

"

" α "

" ,

dove e , mentre . La legge associata alla v.a. è+ − , − Ó!ß∞Ò ß − Ó!ß∞Ò \‘ α "detta di parametri , , e , e viene indicata comunemente conlegge Beta + , α "UX αÐ+ß ,ß ß Ñ" . Se si considera la trasformazione di standardizzazione^ œ Ð\ +ÑÎ,, si ha

0 ÐDÑ œ D Ð" DÑ ÐDÑÐ Ñ

Ð Ñ Ð Ñ^

" "Ó!ß"Ò

> α

> α >

"

"α " " ,

ovvero la d.p. della v.a. non dipende dai parametri e , che rappresentano^ + ,rispettivamente i parametri di posizione e di scala, mentre e sono dunqueα "parametri di forma. La legge associata alla v.a. è detta . Si^ legge Beta ridottanoti che (e di conseguenza ) è in effetti una d.p., essendo0 0^ \

FÐ ß Ñ œ œ ? Ð" ?Ñ .?Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ñα "

> α >

> α

"

"!

"" "α "

la funzione Beta di Eulero (da cui ovviamente prende il nome anche la legge).La d.p. (e di conseguenza la d.p. ) può assumere svariate forme al0 0^ \

variare di e . In particolare, per , è simmetrica, per ,α α α" " "œ 0 ß − Ó"ß∞Ò^

0 ß Ó!ß "Ò 0 0^ ^ ^ è campanulare, per , è a forma di U, mentre è crescente oα " −decrescente se o .α − −Ó!ß "Ò Ó!ß "Ò"

La f.r. relativa alla v.a. è data da^


J ÐDÑ œ M Ð ß Ñ ÐDÑ ÐDÑ^ D Ó!ß"Ò Ò"ß∞Òα " " " ,

dove

M Ð ß Ñ œ ? Ð" ?Ñ .?Ð Ñ

Ð Ñ Ð ÑD

!

D" "α

> α

> α >"

"

" α "

rappresenta la cosiddetta funzione Beta incompleta regolarizzata. Dunque, la f.r.di è data da\

J ÐBÑ œ M Ð ß Ñ ÐBÑ ÐBÑ\ ÐB+ÑÎ, Ó+ß+,Ò Ò+,ß∞Òα " " " .

Si noti che nel caso particolare in cui , la legge associata alla v.a. α œ œ " \"è detta su , e quindi la v.a. ammette d.p. data dalegge Uniforme Ó+ß + ,Ò \

0 ÐBÑ œ ÐBÑ"

,\ Ó+ß+,Ò" ,

con corrispondente f.r. data da

J ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑB

,\ Ó+ß+,Ò Ò+,ß∞Ò" " .

Dal momento che , si ha> >Ð5 "Ñ œ 5 Ð5Ñ

EÒ^Ó œ D Ð" DÑ .D œÐ Ñ

Ð Ñ Ð Ñ

>

> >

α " α

α " α "!

""α " ,

e

EÒ^ Ó œ D Ð" DÑ .D œÐ Ñ Ð "Ñ

Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ "Ñ# " "

!

">

> >

α " α α

α " α " α " α " ,

da cui si ha anche

VarÒ^Ó œÐ Ñ Ð "Ñ

α"

α " α "# .

La media e la varianza della v.a. sono quindi date da\

EÒ\Ó œ + ,

α

α " ,

mentre

163Capitolo 6

VarÒ\Ó œ ,Ð Ñ Ð "Ñ

##

α"

α " α " .

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Figura 6.9.1. Densità di probabilità per la legge Beta eÐ+ß ,ß ß Ñ œ Ð!ß "ß %ß #Ñß Ð!ß "ß #ß #Ñß Ð!ß "ß #ß %Ñα "


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Figura 6.9.2. Densità di probabilità per la legge Beta eÐ+ß ,ß ß Ñ œ Ð!ß "ß "Î#ß #Ñß Ð!ß "ß "Î#ß "Î#Ñß Ð!ß "ß #ß "Î#Ñα "


La legge Beta nella forma ridotta può essere ottenuta considerando la v.a. datadal rapporto , dove e sono due v.a. indipendenti con legge^ ÎÐ^ ^ Ñ ^ ^" " # " #

Gamma ridotta, rispettivamente di parametri e . Si consideri dunque laα "


trasformata , dove . PoichèÐ] ß ] Ñ œ 1Ð^ ß ^ Ñ 1ÐD ß D Ñ œ ÐD ÎÐD D Ñß D Ñ" # " # " # " " # #T T

1 ÐC ß C Ñ œ ÐC C ÎÐ" C Ñß C Ñ lN Ð1 ÐC ß C ÑÑl œ lC lÎÐ" C Ñ" " #" # " # " # " # # "

T, allora , equindi

0 ÐCÑ œ 0 ß CC C lC l

" C Ð" C ÑÐ] ß] Ñ Ð^ ß^ Ñ

" # #

" "# #" # " # .

La d.p.m. della componente è dunque data da] œ ^ ÎÐ^ ^ Ñ" " " #

0 ÐC Ñ œ 0 ß C .CC C lC l

" C Ð" C Ñ

œ 0 0 ÐC Ñ .CC C lC l

" C Ð" C Ñ

] " # #∞

∞

Ð^ ß^ Ñ" # #

" "#

∞

∞

^ ^ # #" # #

" "#

" " #

" #

,

ovvero sostituendo opportunamente

0 ÐC Ñ œ C Ð" C Ñ ÐC Ñ ‚"

Ð Ñ Ð Ñ

‚ C .CC

" C

œ C Ð" C Ñ ÐC ÑÐ Ñ

Ð Ñ Ð Ñ

] " " """ "

Ó!ß"Ò

!

∞

# " #

"#

"" "

" "Ó!ß"Ò

" > >

>

> >

α "

α "

α "

α α

α "

α "

"

"

exp

,

che risulta essere appunto la d.p. relativa ad una legge Beta ridotta di parametri αe ."

6.10. Legge di Student e di Snedecor> J

Le cosiddette leggi sono frequentemente> J di Student e di Snedecor utilizzate nell'ambito della statistica inferenziale classica. Si consideri le v.a.indipendenti e rispettivamente con legge e e la v.a.\ \" # 8 8

# #; ;" #

\ œ œ\ Î8 8 \

\ Î8 8 \" " # "

# # " # .

Risulta evidente che la v.a. è assolutamente continua. Al fine di ottenere la\legge della v.a. , si considera innanzitutto la v.a. . Tenendo\ ] œ \ Î\" #

presente l'Esempio 3.7.5, la v.a. ammette d.p. data da]

165Capitolo 6

0 ÐCÑ œ 0 ÐBÑ0 ÐBCÑlBl .B

œ C ÐCÑ ‚"

# Ð8 Î#Ñ Ð8 Î#Ñ

‚ B .BÐ" CÑB

#

œÐÐ8 8 ÑÎ#Ñ

Ð8 Î#Ñ Ð8 Î

] \ \∞

∞

Ð8 8 ÑÎ#" #

8 Î#"Ó!ß∞Ò

!

∞Ð8 8 ÑÎ#"

" #

" #

" #

" #

"

" #

> >

>

> >

"

exp

#ÑC Ð" CÑ ÐCÑ8 Î#" Ð8 8 ÑÎ#

Ó!ß∞Ò" " # " .

Dunque, la v.a. ammette d.p. data da\ œ Ð8 Î8 Ñ]# "

0 ÐBÑ œ B " B ÐCÑÐÐ8 8 ÑÎ#Ñ 8 8

Ð8 Î#Ñ Ð8 Î#Ñ 8 8\

" # " "

" # # #

8 Î# Ð8 8 ÑÎ#8 Î#"

Ó!ß∞Ò>

> > " " #

" " .

La legge associata alla v.a. è detta con e gradi di\ 8 8legge di SnedecorJ " #

libertà, e viene indicata comunemente con . La legge dovrebbe essere piùJ8 ß8" #

correttamente denominata di Fisher-Snedecor, dal momento che fu inizialmenteintrodotta dallo statistico e genetista inglese Ronald Aylmer Fisher (1890-1962)e poi applicata dal matematico statunitense George Waddel Snedecor (1881-1974).

Figura 6.9.1. Ronald Aylmer Fisher (1890-1962).

Si tenga presente che, se , si ha8 œ $ß %ßá#


E expÒ\ Ó œ .B" B B

% Ð8 Î#Ñ # #

œ œÐ8 Î# "Ñ "

# Ð8 Î#Ñ 8 #

#"

# !

∞ 8 Î##

#

# #

>

>

>

#

,

mentre, se , si ha8 œ %ß &ßá#

E expÒ\ Ó œ .B" B B

) Ð8 Î#Ñ # #

œ œÐ8 Î# #Ñ "

# Ð8 Î#Ñ Ð8 #ÑÐ8 %Ñ

##

# !

∞ 8 Î#$

#

# # #

>

>

>

#

.

Sulla base della definizione della v.a. , dal momento che e sono\ \ \" #

indipendenti, la media della v.a. è data da\

E E EÒ\Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó œ8 8

8 8 ## #

" #" #

"

,

se , e8 œ $ß %ßá#

Var E E EÒ\Ó œ Ò\ Ó Ò\ Ó Ò\Ó œ8 #8 Ð8 8 #Ñ

8 8 Ð8 #Ñ Ð8 %Ñ# ## #

"# " #

# # # " #

" # ##

,

se . Dunque, se la media non è finita, mentre se8 œ %ß &ßá 8 œ "ß ## #

8 œ "ß #ß $ß %# la varianza non è finita.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Figura 6.10.1. Densità di probabilità per la legge di Snedecor eJÐ8 ß 8 Ñ œ Ð&ß &Ñß Ð(ß "!Ñß Ð"&ß "!Ñ" # (rispettivamente in rosso, verde e blu).

167Capitolo 6

In secondo luogo, si consideri le v.a. indipendenti e rispettivamente con\ \" #

legge e legge e la v.a.a ;Ð!ß "Ñ 8#

\ œ\

\ Î8

"

# .

È evidente che la v.a. è assolutamente continua. Al fine di ottenere la legge\della v.a. , si noti che la v.a. possiede una legge , dal\ ] œ \ ÎÐ\ Î8Ñ J"

## "ß8

momento che la v.a. possiede una legge . Dunque, si ha\" "# #;

0 ÐCÑ œ C " ÐCÑÐÐ8 "ÑÎ#Ñ C

8 Ð8Î#Ñ 8]

"Î#Ð8"ÑÎ#

Ó!ß∞Ò>

1> " ,

poichè . Inoltre, tenendo presente che e la> 1Ð"Î#Ñ œ \ œ \ " "_

discussione successiva al Teorema 3.7.1, si ha

0 ÐBÑ œ " ÐÐ8 "ÑÎ#Ñ B

8 Ð8Î#Ñ 8]

# Ð8"ÑÎ#>

1> .

La legge associata alla v.a. è detta con gradi di libertà, e\ 8legge di Student>viene indicata comunemente con . La distribuzione venne introdotta dallo>8statistico inglese William Sealy Gosset (1876-1937), che pubblicò il risultatosotto lo pseudonimo di “Student” dal momento che la birreria presso la quale eraimpiegato vietava ai propri dipendenti di pubblicare articoli, affinché questi nondivulgassero segreti di produzione. Si noti inoltre che per si ottiene la8 œ "legge di Cauchy (si veda Esempio 4.1.4).

Tenendo presente la definizione della v.a. , dal momento che e sono\ \ \" #

indipendenti e che che è finito se , la mediaE EÒ\ Ó œ ! Ò\ Ó 8 œ #ß $ßá" #"Î#

della v.a. è data da\

E E EÒ\Ó œ 8 Ò\ Ó Ò\ Ó œ ! " #"Î# ,

se . Inoltre, dal momento che si ha e per quanto visto in8 œ #ß $ßá Ò\ Ó œ "E "#

precedenza in questa Sezione si ha se , alloraEÒ\ Ó œ "ÎÐ8 #Ñ 8 œ $ß %ßá#"

Var E E EÒ\Ó œ Ò\ Ó œ 8 Ò\ Ó Ò\ Ó œ8

8 ## # "

" # ,

se . Dunque, se la media non è definita, mentre se la8 œ $ß %ßá 8 œ " 8 œ "ß #varianza non è definita.


3 2 1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 6.10.2. Densità di probabilità per la legge di Student e>8 œ #ß &ß #! (rispettivamente in rosso, verde e blu).

6.11. Legge Normale Multivariata

Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo che ammette\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

d.p.c. data da

0 ÐBÑ œ Ð# Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ"

#\ \ \ \

"Î# "\det exp1O . O . T ,

dove , mentre rappresenta il vettore delle medie e B œ ÐB ßá ß B Ñ −" 5 \ \5T . ‘ O

è la matrice di varianza-covarianza, che si assume definita positiva. La leggeassociata al v.v.a. è detta di parametri e , e\ legge Normale Multivariata . O\ \

viene indicata comunemente con .a . O5 \ \Ð ß ÑSi noti che è in effetti una d.p.c., in quanto si ha0\

‘ ‘

‘

5 5

5

0 ÐBÑ .B œ Ð Ñ C C .C"

#

œ Ð Ñ C .C"

#

œ Ð# Ñ Ð Ñ œ Ð# Ñ

\ \"Î#

\"Î# #

4œ"

5

4

5Î# "Î# "Î#\ \

det exp

det exp

det det

O

O

1 O 1O

T

,

considerando il cambio di variabile , dove ,C œ ÐB Ñ C œ ÐC ßá ß C ÑO .\"Î#

\ " 5T

con Jacobiano è dato da . Inoltre, la d.p.c. risulta costante per tutti idetÐ ÑO\"Î#

169Capitolo 6

vettori che appartengono al luogo geometrico ,B ÐB Ñ ÐB Ñ œ -. O .\ \\"T

con , ovvero è costante su un iper ellissoide. Questo iper-ellissoide è- − Ó!ß∞Ò -centrato nel punto , con assi le cui direzioni sono determinate dalle direzioni.\

degli autovettori di e le cui lunghezze sono pari a , dove O - -\ 4 4# -rappresenta il -esimo autovalore di , con .4 4 œ "ßá ß 5O\

Se è un v.v.a. con legge Normale Multivariata, ogni scelta di \ Ð4 ßá ß 4 Ñ 2" 2

v.a. con , possiede ancora una legge NormaleÐ\ ßá ß\ Ñ 2 œ "ßá ß 5 "4 4" 2T

Multivariata con vettore delle medie e matrice di varianza-covarianza costituitirispettivamente dalle medie e dalle varianze e covarianze delle v.a. marginali chelo compongono (si veda l'Esempio 7.3.1). Da questo segue ovviamente che ognicomponente marginale possiede legge Normale . Risulta inoltre\ Ð ß Ñ4 \ \

#a . 54 4

valido per una legge Normale Multivariata il seguente teorema.

Teorema 6.11.1. Il v.v.a. con legge possiede\ Ð ß Ñœ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T a . O5 \ \

componenti reciprocamente indipendenti se e solo se è una matriceO\

diagonale.Dimostrazione. Se possiede componenti marginali indipendenti la\

dimostrazione è immediata in quanto l'indipendenza implica assenza dicorrelazione e quindi per ogni . Inversamente, se5\ \3 4

œ ! 3 Á 4 œ "ßá ß 5

5 1O 15\ \ \ 4œ" \5 #

3 4 4œ ! 3 Á 4 œ "ßá ß 5 Ð# Ñ œ # per ogni , allora risulta edet

O 5 5\ \ \" # # œ Ð ßá ß Ñdiag , da cui

" 5

ÐB Ñ ÐB Ñ œÐB Ñ

. O ..

5\ \\

"

4œ"

54 \

#

\#

T 4

4

.

Sostituendo queste espressioni nella d.p.c. del v.v.a. si ottiene infine\

0 ÐBÑ œ"

#

ÐB Ñ

#

œ œ 0 ÐB Ñ"

#

ÐB Ñ

#

\

4œ"5

\ 4œ"

54 \

#

\#

4œ" 4œ"

5 5

\

4 \#

\# \ 4

15

.

5

15

.

5

4

4

4

4

4

4

4

exp

exp

,


In pratica il Teorema 6.11.1 afferma che nel caso di v.v.a. con legge NormaleMultivariata, l'assenza di correlazione fra le v.a. marginali è condizionesufficiente per l'indipendenza delle stesse.


6.12. Legge di Dirichlet

In questa Sezione viene introdotta l'estensione multivariata della legge Betaridotta. Si consideri il v.v.a. assolutamente continuo che^ œ Ð^ ßá ß^ Ñ" 5

T

ammette d.p.c. data da

0 ÐDÑ œ 0 ÐD ßá ß D Ñ œ D ÐD ßá ß D ÑÐ Ñ

Ð Ñ^ ^ " 5 W " 5

!

4œ"5

4 4œ"

5

4">

>

α

α α4 " ,

dove , è un vettore di parametri per cuiD œ ÐD ßá ß D Ñ œ Ð ßá ß Ñ" 5 " 5T Tα α α

α α4 ! 44œ"5− Ó!ß∞Ò 4 œ "ßá ß 5 œ, , e , mentreα

W œ ÐD ßá ß D Ñ À D − Ó!ß "Òß D œ " " 5 4 4

4œ"

5

.

Si noti che l'insieme è contenuto su un iperpiano di e che in effetti risultaW ‘5

Ö ^ œ "× ;Þ-Þ ^4œ"5

4 , ovvero il v.v.a. è linearmente degenere. La leggeassociata al v.v.a. è detta di parametro , e viene indicata^ legge di Dirichlet αcomunemente con . La legge prende nome dal matematico tedesco JohannWÐ ÑαPeter Dirichlet (1805-1859). Inoltre, è in effetti una d.p.c., essendo0^

4œ"5

4

! W 4œ"

5

4"

" 5

>

>

Ð Ñ

Ð Ñœ D .D á.D

α

αα4

la funzione Beta multinomiale.Al fine di determinare le proprietà del v.v.a. è conveniente estendere un\

risultato visto in precedenza per la legge Beta ridotta. Sia un\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

v.v.a. con componenti marginali indipendenti in modo tale che possiede\4

legge e si consideri la trasformata , doveZ αÐ!ß "ß Ñ ] œ Ð] ßá ß ] Ñ œ 1Ð\Ñ4 " 5T

1ÐBÑ œ ßá ß ß BB B

B B " 5"

4œ" 4œ"5 5

4 4 4œ"

5

4

T

,

e quindi , da cui . Dal1 ÐCÑ œ ÐC C ßá ß C C ß C Ñ lN Ð1 ÐCÑÑl œ C" " 5"5 " 5 5" 5 5

T

momento che

171Capitolo 6

0 ÐB ßá ß B Ñ œ B Ð B Ñ ÐB Ñ"

Ð Ñ\ " 5 4 4

4œ"

5

44

"Ó!ß∞Ò

> αα4 exp " ,

allora si ha

0 ÐC ßá ß C Ñ œ C " C ÐC ßá ß C Ñ"

Ð Ñ

‚ C Ð C Ñ ÐC Ñ

] " 5 4 X " 5"

4œ"5

4 4œ" 4œ"

5" 5"

4"

"

5"

5 5Ó!ß∞Ò

> α

α

α

α

4

5

!

"

"exp ,

dove

X œ ÐC ßá ß C Ñ À C − Ó!ß "Òß C Ÿ " " 5" 4 4

4œ"

5"

.

Tenendo presente che la somma di v.c. indipendenti con legge Gamma5Z α ZÐ!ß "ß Ñ Ð!ß "ß Ñ4 ! si distribuisce con legge Gamma del tipo (si vedaαl'Esempio 7.3.3), allora se si ha] œ Ð] ßá ß ] Ñ‡

" 5"T

0 ÐC ßá ß C Ñ œ C " C ÐC ßá ß C Ñ"

Ð Ñ

‚ C Ð C Ñ .C

œ C " Ð Ñ

Ð Ñ

] " 5" 4 X " 5"

4œ"5

4 4œ" 4œ"

5" 5"

4"

"

!

∞

5"

5 5

!

4œ"5

4 4œ" 4œ"

5" 5

4"

‡4

5

!

4

>

>

>

α

α

α

α

α

α

α

"

exp

"

4 X " 5"

"

C ÐC ßá ß C Ñ

α5

" .

Il v.v.a linearmente degenere Ð^ ßá ß^ Ñ œ Ð] ßá ß ] ß " ] Ñ" 5 " 5" 44œ"5"T T

possiede dunque una legge di Dirichlet .W αÐ ÑDal precedente risultato e tenendo presente quanto detto nella Sezione 6.9,

allora la componente marginale del v.v.a. possiede una legge del tipo^ ^4

UX α αÐ ß Ñ Ð4 ßá ß 4 Ñ 2 Ð^ ßá ß^ Ñ4 ! 4 " 2 4 4α . Inoltre, ogni scelta di v.a. con" 2

T

2 œ #ßá ß 5 ", possiede ancora una legge di Dirichlet. Da questeconsiderazioni si può provare che il vettore delle medie del v.v.a. è dato da\. α α\ !œ Ð"Î Ñ , mentre la matrice di varianza-covarianza è data da


O α α ααα α

\ !!#

!œ Ð Ð Ñ Ñ

"

Ð "Ñdiag ,T

con varianza generalizzata che deve necessariamente risultare .detÐ Ñ œ !O\

Si noti infine che per e la legge è in effetti5 œ # œ Ð ß Ñ Ð Ñα α α W α" #T

“equivalente” alla legge , dal momento che si ha UX α αÐ ß Ñ Ö\ œ " \ × ;Þ-Þ" # # "


Una trattazione enciclopedica delle leggi di probabilità e delle loroapplicazioni nelle varie discipline è contenuta nella serie di volumi di Johnson etal. et al. et al.(2005), Johnson (1994, 1995, 1997) e Kotz (2000). Inoltre, unaesposizione più sintetica di questi argomenti è data in Forbes (2011). Peret al.quanto riguarda le leggi relative a variabili aleatorie discrete, si dovrebberoconsultare anche i testi di Charalambides (2005) e Johnson e Kotz (1977).

Capitolo 7

Funzioni caratteristiche e generatrici

7.1. Funzioni caratteristiche

La funzione caratteristica di una v.a. è una particolare funzione a valoricomplessi, le cui proprietà analitiche sono molto utili per ottenere leggi diprobabilità o momenti di v.a. trasformate. Nel prossimo Capitolo, la funzionecaratteristica sarà anche centrale nello studio del comportamento asintotico disuccessioni di v.a.

Prima di introdurre la definizione di funzione caratteristica è convenienteestendere il concetto di v.a. all'insieme dei numeri complessi. Per quantoriguarda la notazione adottata in questo Capitolo, i 1 rappresenta come alœ solito l'unità immaginaria. Inoltre, dato il numero complesso i , allora la- œ + ,parte reale e immaginaria di sono rispettivamente denotate con e- dÐ-Ñ œ +

eÐ-Ñ œ , - l-l œ + ,, mentre il modulo di è dato da . # #

Definizione 7.1.1. Se è uno spazio probabilizzato, un'applicazioneÐ ß ß T ÑH Y\ À Ä dÐ\Ñ eÐ\ÑH ‚ è detta se e sono variabilivariabile aleatoria complessaaleatorie.

Se è una v.a. complessa, allora il relativo valore atteso è definito come\

E E EÒ\Ó œ ÒdÐ\ÑÓ ÒeÐ\ÑÓi .

Affinchè il valore atteso di una v.a. complessa esista finito è sufficiente che ilvalore atteso

E EÒ \ Ó œ Ò dÐ\Ñ eÐ\Ñ Ó| | # #

esista finito. Infatti, le proprietà del valore atteso di una v.a. complessa sonosimili a quelle di una v.a. reale e in particolare si ha (si vedal Ò\Ól Ÿ Òl\lÓE EBillingsley, 1995, p.218). Inoltre, vale anche per .E EÒ-\Ó œ - Ò\Ó - − ‚

La definizione formale di funzione caratteristica è quindi la seguente.

174 Funzioni caratteristiche e generatrici

Definizione 7.1.2. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ \H Y , si dice (f.c.) della v.a. la funzionefunzione caratteristica: ‘ ‚\ À Ä

:\Ð>Ñ œ Ò Ð>\ÑÓ Ò Ð>\ÑÓ œ Ò Ð >\ÑÓE cos E sin E expi i ,

dove .> − ‘

Nel linguaggio della Teoria della Misura, la f.c. è in effetti la trasformata diFourier (a meno di una costante moltiplicativa). Tenendo presente quanto dettonella Sezione 4.1, se la v.a. è discreta a valori su insieme numerabile con\ Wf.p. , la f.c. si riduce a:\

:\ \ \ \

B−W B−W B−W

Ð>Ñ œ Ð>BÑ: ÐBÑ Ð>BÑ: ÐBÑ œ Ð >\Ñ: ÐBÑ cos sin expi i ,

mentre, se la v.a. assolutamente continua ammette d.p. , la f.c. si riduce a\ 0\

:\ \ \∞ ∞

∞ ∞

∞

∞

\

Ð>Ñ œ Ð>BÑ0 ÐBÑ .B Ð>BÑ0 ÐBÑ .B

œ Ð >BÑ0 ÐBÑ .B

cos sin

exp

i

i .

Esempio 7.1.1. Si consideri la v.a. con legge di Bernoulli . In questo\ Ð"ß :ÑUcaso, la f.c. della v.a. è data da\

:\

Bœ! Bœ!

" "B "B B "BÐ>Ñ œ Ð>BÑ: ; Ð>BÑ: ;

œ ; : Ð>Ñ : Ð>Ñ œ ; : Ð >Ñ

cos sin

cos sin exp

i

i i .

Se si considera più in generale la v.a. con legge Binomiale , tenendo\ Ð8ß :ÑUpresente l'espressione del binomio di Newton in , si ha‚

:\

Bœ!

8B 8B

Bœ!

8B 8B 8

Ð>Ñ œ Ð >BÑ : ;8

B

œ Ð: Ð >ÑÑ ; œ Ð; : Ð >ÑÑ8

B

exp

exp exp

i

i i .

175Capitolo 7

Esempio 7.1.2. Si consideri la v.a. con legge di Poisson . Tenendo\ Ð Ñc -presente l'espressione della serie esponenziale in , si ha‚

:\

Bœ!

∞ B

Bœ!

∞ B

Ð>Ñ œ Ð >BÑ Ð ÑBx

œ Ð Ñ œ Ð Ð Ð >Ñ "ÑÑÐ Ð >ÑÑ

Bx

exp exp

exp exp expexp

i

ii .

--

- --

Esempio 7.1.3. Si consideri la v.a. con legge Binomiale Negativa .\ Ð5ß :ÑUaTenendo presente l'espressione della serie binomiale negativa in , si ha‚

:\

Bœ!

∞5 B

5 B

Bœ!

∞ 5

Ð>Ñ œ Ð >BÑ : ;5 B "

5 "

œ : Ð; Ð >ÑÑ œ5 B " :

B " ; Ð >Ñ

exp

expexp

i

i .i

Esempio 7.1.4. Si consideri la v.a. con legge Normale ridotta .^ Ð!ß "ÑaTenendo presente che ammette una d.p. simmetrica rispetto all'origine, si ha^

E sin sin expÒ Ð>^ÑÓ œ Ð>DÑ .D œ !" D

# # ∞

∞ #

1 ,

e quindi

:^∞

∞ # #

Ð>Ñ œ Ò Ð>^ÑÓ œ Ð>DÑ .D œ " D >

# # #E cos cos exp exp

1 .

In questo caso, è una funzione puramente reale. In generale, risulta:^Ð>Ñimmediato verificare che la f.c. è una funzione puramente reale se una v.a.assolutamente continua ammette d.p. simmetrica rispetto all'origine. La stessa\affermazione è vera se una v.a. discreta possiede f.p. simmetrica rispetto\all'origine.

Esempio 7.1.5. Si consideri la v.a. con legge Esponenziale ridotta .^ Ð!ß "ß "ÑZDal momento che


E cos cos expÒ Ð>^ÑÓ œ Ð>DÑ Ð DÑ .D œ"

" >!

∞

#

e

E sin sin expÒ Ð>^ÑÓ œ Ð>DÑ Ð DÑ .D œ>

" >!

∞

# ,

allora si ha

:^ # #"Ð>Ñ œ œ Ð" >Ñ

" >

" > " >i i .

Più in generale, se si considera la v.a. con legge Gamma ridotta ,^ Ð!ß "ß 5ÑZtenendo presente le espressioni delle serie esponenziale e binomiale negativa in‚, si ha

:^!

∞5"

!

∞

8œ!

∞ 85"

8œ!

∞ 8

!

∞85"

8œ!

∞

Ð>Ñ œ Ð >DÑ D Ð DÑ .D"

Ð5Ñ

œ D Ð DÑ .D" Ð >DÑ

Ð5Ñ 8x

œ D Ð DÑ .D" Ð >Ñ

Ð5Ñ 8x

œ Ð >ÑÐ8 5Ñ

8x Ð5Ñ

exp exp

exp

exp

i

i

i

i

>

>

>

>

>8 8 5

8œ!

∞

œ Ð >Ñ œ Ð" >Ñ8 5 "

8 i i .

Ovviamente, l'espressione coincide con quella ottenuta per la legge Esponenzialeridotta se .5 œ "

Di seguito vengono considerate una serie di proprietà della f.c., che riguardanol'esistenza, la continuità uniforme della f.c. e l'espressione della f.c. di particolariv.a. trasformate.

Teorema 7.1.3. Se è una v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ß ß T ÑH Ycon f.c. , allora per ogni e in particolare .: : :\ \ \l Ð>Ñl Ÿ " > − Ð!Ñ œ "‘

Dimostrazione. Tenendo presente che per ogni si haB − ‘

l Ð >BÑl œ Ð>BÑ Ð>BÑl œ Ð Ð>BÑ Ð>BÑ Ñ œ "exp cos sin cos sini | i ,# # "Î#

177Capitolo 7

allora

l Ð>Ñl œ Ò Ð >\ÑÓ Ÿ Òl Ð >\ÑlÓ œ ":\ | i | i .E exp E exp

Inoltre, si ha

l Ð!Ñl œ .T œ ":\ .

Teorema 7.1.4. Se è una v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ß ß T ÑH Ycon f.c. , allora è uniformemente continua su .: :\ \ ‘

Dimostrazione. Per si ha2 − ‘

l Ð> 2Ñ Ð>Ñl œ l Ò Ð >\ÑÐ Ð 2\Ñ "ÑÓl

Ÿ Òl Ð >\ÑÐ Ð 2\Ñ "ÑlÓ

œ Òl Ð >\Ñl † lÐ Ð 2\Ñ "ÑlÓ

œ ÒlÐ Ð 2\Ñ "ÑlÓ

: :\ \ E exp expE exp expE exp expE exp

i ii ii ii ,

essendo i . Dal momento che si hanno le disuguaglianzel Ð >\Ñl œ "expl Ð 2BÑ "l Ÿ # l Ð 2BÑ "l Ÿ l2Bl B − + − Ó!ß∞Òexp expi e i per ogni , per ‘risulta

E exp E exp

E exp

E E

E

ÒlÐ Ð 2\Ñ "ÑlÓ œ ÒlÐ Ð 2\Ñ "Ñl Ðl\lÑÓ

ÒlÐ Ð 2\Ñ "Ñl Ðl\lÑÓ

Ÿ Òl2\l Ðl\lÑÓ # Ò Ðl\lÑÓ

œ l2l Òl\l Ðl\

i i

i

"

"

" "

"

Ò!ß+Ó

Ó+ß∞Ò

Ò!ß+Ó Ó+ß∞Ò

Ò!ß+Ó lÑÓ #TÐl\l +Ñ

Ÿ +l2l #TÐl\l +Ñ .

Dunque, fissato , se e sono scelti in modo tale che e& & ! 2 + +l2l Î#TÐl\l +Ñ Î%& , si ha

l Ð> 2Ñ Ð>Ñl Ÿ +l2l #TÐl\l +Ñ : :\ \ & ,

da cui segue la continuità uniforme, dal momento che non dipende da .& >

Teorema 7.1.5. Se è una v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ß ß T ÑH Ycon f.c. , allora la f.c. della v.a. trasformata , dove , è:\ ] œ + ,\ +ß , − ‘data da

: :] \Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð,>Ñexp i .



: :] \Ð>Ñ œ Ò Ð >Ð+ ,\ÑÑÓ œ Ð +>Ñ Ò Ð ,>\ÑÓ œ Ð +>Ñ Ð,>ÑE exp exp E exp expi i i i ,


Esempio 7.1.6. Si consideri la v.a. con legge Normale . Tenendo\ Ð ß Ña . 5#

presente l'Esempio 7.1.4, dal momento che , si ha\ œ ^. 5

: :\ ^

# #

Ð>Ñ œ Ð >Ñ Ð >Ñ œ > >

#exp expi i .. 5 .

5

Esempio 7.1.7. Si consideri la v.a. con legge Gamma . Tenendo\ Ð+ß ,ß 5ÑZpresente l'Esempio 7.1.5, dal momento che , si ha\ œ + ,^

: :\ ^5Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð,>Ñ œ Ð +>ÑÐ" ,>Ñexp expi i i .

In particolare, se la v.a. possiede legge Chi-quadrato , dalla precedente\ ;8#

espressione con , e risulta+ œ ! , œ # 5 œ 8Î#

:\8Î#Ð>Ñ œ Ð" # >Ñi .

I seguenti due Teoremi forniscono rispettivamente un'importante relazione frala f.c. e i momenti di una v.a., e lo sviluppo in serie in un intorno di zero dellaf.c. basato sui momenti.

Teorema 7.1.6. Se la v.a. definita sullo spazio probabilizzato \ Ð ß ß T ÑH Ypossiede momento di ordine finito, allora la relativa f.c. è derivabile < <:\

volte e

:\Ð=Ñ = =Ð!Ñ œ Ò\ Ói E

per .= œ "ßá ß <Dimostrazione. Dalla definizione di derivata di funzione complessa si ha

. . .

.> .> .>Ð >BÑ œ Ð>BÑ Ð>BÑ œ B Ð >BÑexp cos sin expi i i i .

Dunque, per ogni , dal Teorema A.7 risulta che> − ‘

179Capitolo 7

:\Ð"Ñ

Ð>Ñ œ Ò Ð >\ÑÓ œ Ò Ð >\ÑÓ œ Ò \ Ð >\ÑÓ. .

.> .>E exp E exp E expi i i i .

La funzione è definita, dal momento che, tenendo presente le ipotesi fatte, si:\Ð"Ñ

ha

lE exp E expE expE

Ò \ Ð >\ÑÓ Ÿ Òl \ Ð >\ÑlÓ

œ Òl l † l\l † l Ð >\ÑlÓ

œ Òl\lÓ ∞

i i | i ii i

.

In particolare, risulta

:\Ð"Ñ

Ð!Ñ œ Ò\Ói .E

In maniera analoga, si ha

:\Ð#Ñ # #Ð>Ñ œ Ò \ Ð >\ÑÓ œ Ò \ Ð >\ÑÓ

.

.>E exp E expi i i i ,

che è definita, essendo per le ipotesi fatte

lE exp EÒ \ Ð >\ÑÓ Ÿ Ò\ Ó ∞i i | .# # #

Dunque, si ha

:\Ð#Ñ # #Ð!Ñ œ Ò\ Ói .E

Iterando il procedimento volte si ottiene la tesi.<

Esempio 7.1.8. Si consideri la v.a. con legge Normale ridotta . La v.a.^ Ð!ß "Ña^ Ò^ Ó œ ! < possiede momenti di ogni ordine, essendo se è dispari, mentreE <

risulta

E expÒ^ Ó œ D .D œ" D <x

# # # Ð<Î#Ñx< <

∞

∞ #

<Î# 1

se è pari. In base al Teorema 7.1.5, la f.c. ammette dunque derivata di ogni<ordine. In particolare, tenendo presente l'Esempio 7.1.4, si ha

:^Ð"Ñ

#

^Ð>Ñ œ œ > Ð>Ñ. >

.> #exp : ,


da cui , mentre:^Ð"Ñ

Ð!Ñ œ !

:^Ð#Ñ

# #

##

^Ð>Ñ œ œ Ð> "Ñ Ð>Ñ. >

.> #exp : ,

da cui da cui . Confermando risultati già noti, si ha dunque:^Ð#Ñ

Ð!Ñ œ "

E Var EÒ^Ó œ Ð!Ñ œ ! Ò^Ó œ Ò^ Ó œ Ð!ÑÎ œ ": :^ ^Ð"Ñ Ð#Ñ# #, mentre i .

Esempio 7.1.9. Si consideri la v.a. con legge di Cauchy ridotta analizzata^nell'Esempio 4.1.4. Dal medesimo Esempio e tenendo presente il Teorema 4.3.3,si ha che la v.a. non possiede momento di ogni ordine. In effetti, dal momento^che la v.a. ammette una d.p. simmetrica rispetto all'origine, la f.c. è data da^

:^∞

∞

#Ð>Ñ œ Ò Ð>^ÑÓ œ Ð>DÑ .D œ Ð l>lÑ

"

Ð" B ÑE cos cos exp

1 ,

che appunto non risulta derivabile in . > œ !

Teorema 7.1.7. Se la v.a. definita sullo spazio probabilizzato con\ Ð ß ß T ÑH Yf.c. possiede momento di ordine finito, allora per si ha:\ < > Ä !

:\Ð>Ñ œ Ò\ Ó 9Ðl>l ÑÐ >Ñ

=x=œ!

< == <i

.E

Dimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.341).

Esempio 7.1.10. Si consideri la v.a. con legge Normale ridotta . Per^ Ð!ß "Ña> Ä ! si ha dunque

:^

# ## # #Ð>Ñ œ " > Ò^Ó Ò^ Ó 9Ð> Ñ œ " 9Ð> Ñ

Ð >Ñ >

# #i .

iE E

In alcune applicazioni della Teoria della Probabilità (ad esempio in moltiproblemi della statistica matematica) risulta piuttosto semplice ottenere la f.c. dialcune v.a. Il problema che sorge di conseguenza consiste nel risalire alla f.r. diqueste v.a., se è nota la corrispondente f.c. I prossimi Teoremi consentonoappunto di ottenere la f.r. di una v.a. (eventualmente la f.p. e la d.p. nel caso div.a. discrete e di v.a. assolutamente continue) a partire dalla f.c.

181Capitolo 7

Teorema 7.1.8. (Teorema di inversione di Lévy) Si consideri la v.a. \definita sullo spazio probabilizzato con f.r. e f.c. Se Ð ß ß T Ñ J Þ Bß C −H Y ‘\ \:sono punti di continuità di tali che , allora si haJ B C\

J ÐCÑ J ÐBÑ œ\ \ limexp exp

XÄ∞ X

X

\" Ð >BÑ Ð >CÑ

# >Ð>Ñ .>

1 i i

i .:


Teorema 7.1.9. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ Þ T Ð\ œ BÑ !H Y con f.c. Se , allora si ha:\

TÐ\ œ BÑ œ Ð >BÑ Ð>Ñ .>"

#Xlim expXÄ∞ X

X

\ i .:


Teorema 7.1.10. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ Þ l Ð>Ñl > ∞ \H Y con f.c. Se , la v.a. è assolutamente: :\ \∞

∞ .

continua e ammette d.p.

0\ \∞

∞

ÐBÑ œ Ð >BÑ Ð>Ñ .>"

#1 exp i .:


Si noti che dal Teorema 7.1.8 segue anche la proprietà di unicità della f.c.,

ovvero, date le v.a. e , allora se e solo se . La f.c. deve\ ] \ œ ] œ_

: :\ ]

appunto la sua denominazione al fatto che “caratterizza” in modo univoco lacorrispondente legge.

Esempio 7.1.11. Si consideri la v.a. con legge di Cauchy ridotta (si veda^l'Esempio 4.1.4). Tenendo presente l'Esempio 7.1.9, si ha

∞ ∞

∞ ∞

\l Ð>Ñl > œ > œ # ∞: . Ð l>lÑ . exp

e dal momento che la f.c. è simmetrica rispetto all'origine, si ottiene:\


0\∞

∞

∞

∞

#

ÐBÑ œ Ð >BÑ Ð l>lÑ .>"

#

œ Ð>BÑ Ð l>lÑ .> œ" "

# Ð" B Ñ

1

1 1

exp exp

cos exp

i

,

come ovviamente doveva risultare.

7.2. Funzioni generatrici

Nel caso in cui si consideri una v.a. discreta a valori su (o su un suo\ sottoinsieme), è conveniente considerare la cosiddetta funzione generatrice diprobabilità piuttosto che la f.c. Formalmente, si ha la seguente definizione.

Definizione 7.2.1. Data la v.a. discreta definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ W © :H Y a valori su e con f.p. , si dice \ funzione generatrice diprobabilità funzione generatrice (f.g.) (o semplicemente ) della v.a. la\funzione tale cheK À Ò!ß "Ó Ä\ ‘

K\ \\ B

Bœ!

∞

Ð>Ñ œ Ò> Ó œ > : ÐBÑE ,

con la convenzione che .! œ "!

Nel linguaggio della Teoria della Misura la f.g. corrisponde alla funzionegeneratrice di Laplace. Risulta immediato verificare che per ciascun punto diÒ!ß "Ó la f.g. coincide per definizione con la somma della serie di potenzeK\

avente come successione dei coefficienti. Inoltre, la serie di potenzeÐ: ÐBÑÑ\ B !

ha raggio di convergenza almeno pari ad dal momento che converge nel punto"> œ " K Ð"Ñ œ " K Ð!Ñ œ : Ð!Ñ, essendo . Dunque, essendo inoltre , la f.g. è\ \ \

definita per ogni valore dell'intervallo ed è crescente in questo intervalloÒ!ß "Óessendo per ogni .E EÒ> Ó Ÿ Ò= Ó > =\ \

Esempio 7.2.1. Se si considera la v.a. con legge Binomiale , tenendo\ Ð8ß :ÑUpresente l'espressione del binomio di Newton, si ha

183Capitolo 7

K\

Bœ! Bœ!

8 8B B 8B B 8B 8Ð>Ñ œ > : ; œ Ð:>Ñ ; œ Ð; :>Ñ

8 8

B B .

Evidentemente, si ha e , mentreK K\ \ \8 8Ð!Ñ œ : Ð!Ñ œ ; Ð"Ñ œ Ð; :Ñ œ "

K\ è una funzione crescente.

Esempio 7.2.2. Si consideri la v.a. con legge di Poisson . Tenendo\ Ð Ñc -presente l'espressione della serie esponenziale, si ha

K\

Bœ! Bœ!

∞ ∞B

B B

Ð>Ñ œ > Ð Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ð> "ÑÑBx Bx

Ð >Ñ exp exp exp- - -- -

.

Esempio 7.2.3. Si consideri la v.a. con legge Binomiale Negativa .\ Ð5ß :ÑUaTenendo presente l'espressione della serie binomiale negativa, si ha

K\

Bœ!

∞B 5 B

5 B

Bœ!

∞ 5

Ð>Ñ œ > : ;5 B "

5 "

œ : Ð;>Ñ œ5 B " :

B " ;>

.

Il seguente teorema mette in relazione la f.p. con la f.g. e giustifica in effetti ladenominazione di .K\

Teorema 7.2.2. Data la v.a. discreta definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ W © : KH Y a valori su con f.p. e f.g. , si ha\ \

: ÐBÑ œÐ!Ñ

Bx\

\ÐBÑ

K

per .B − Dimostrazione. Dal momento che una serie di potenze può essere derivata

termine a termine per ogni valore nel raggio di convergenza, per si ha> − Ò!ß "Ò

K\Ð"Ñ

8œ"

∞8"

\Ð>Ñ œ 8> : Ð8Ñ ,


K\Ð#Ñ

8œ#

∞8#

\Ð>Ñ œ 8Ð8 "Ñ> : Ð8Ñ ,

e in generale

K\ÐBÑ

8œB

∞8B

\Ð>Ñ œ 8Ð8 "ÑáÐ8 B "Ñ> : Ð8Ñ .

Dunque, si ottiene

K\Ð"Ñ

\Ð!Ñ œ : Ð"Ñ ,

K\Ð#Ñ

\Ð!Ñ œ #: Ð#Ñ ,

e in generale

K\ÐBÑ

\Ð!Ñ œ Bx: ÐBÑ .

Tenendo presente che si ha dunque la tesi.K\Ð!Ñ

\Ð!Ñ œ : Ð!Ñ

Dal precedente Teorema segue anche la proprietà di unicità della f.g., ovvero,

date le v.a. e , allora si ha se e solo se . Il seguente\ ] \ œ ] œ_

K K\ ]

Teorema fornisce la relazione fra la f.g. e i momenti di una v.a.

Teorema 7.2.3. Data la v.a. discreta definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ W © : K \H Y a valori su con f.p. e f.g. , se la v.a. possiede\ \

momento di ordine finito, si ha<

K\Ð=ÑÐ"Ñ œ Ò\Ð\ "ÑáÐ\ = "ÑÓE

per .= œ "ßá ß <

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 7.2.2, è positiva e crescenteK\Ð=Ñ

in e quindi ammette un limite sinistro per (che può non essereÒ!ß "Ò > Ä "finito). Si ha

lim>Ä"

K\Ð"Ñ

Bœ!

∞

\Ð>Ñ œ B: ÐBÑ œ Ò\Ó E ,

185Capitolo 7

lim>Ä"

K\Ð#Ñ

Bœ!

∞

\Ð>Ñ œ BÐB "Ñ: ÐBÑ œ Ò\Ð\ "ÑÓ E ,

e in generale

lim>Ä"

K\Ð=Ñ

Bœ!

∞

\Ð>Ñ œ BÐB "ÑáÐB = "Ñ: ÐBÑ

œ Ò\Ð\ "ÑáÐ\ = "ÑÓ

E .

Dal momento che , in quanto E E EÒ\Ð\ "ÑáÐ\ = "ÑÓ Ÿ Ò\ Ó ∞ Ò\ Ó= =

è finito per , si ha quindi la tesi.= œ "ßá ß <

In particolare dal precedente Teorema si ha che

EÒ\Ó œ Ð"ÑK\Ð"Ñ

se è finito, mentreEÒ\Ó

Var E E EÒ\Ó œ Ò\Ð\ "ÑÓ Ò\Ó Ò\Ó

œ Ð"Ñ Ð"Ñ Ð"Ñ

#

\ \ \Ð#Ñ Ð"Ñ Ð"Ñ #K K K ,

se è finito.EÒ\ Ó#

Esempio 7.2.4. Se si considera la v.a. con legge Binomiale , si ha\ Ð8ß :ÑU

K\Ð"Ñ 8 8"Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ œ 8:Ð; :>Ñ

.

.>

e

K\Ð#Ñ

#

#8 # 8#Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ œ 8Ð8 "Ñ: Ð; :>Ñ

.

.> .

Dunque, si ha e , da cui è immediatoE EÒ\Ó œ 8: Ò\Ð\ "ÑÓ œ 8Ð8 "Ñ:#

verificare che , un risultato noto dalla Sezione 6.1. VarÒ\Ó œ 8:;

Esempio 7.2.5. Se si considera la v.a. con legge di Poisson , si ha\ Ð Ñc -

K\Ð"Ñ

Ð>Ñ œ Ð Ð> "ÑÑ œ Ð Ð> "ÑÑ.

.>exp exp- - -


e

K\Ð#Ñ

#

##Ð>Ñ œ Ð Ð> "ÑÑ œ Ð Ð> "ÑÑ

.

.>exp exp- - - .

Dunque, si ha e , da cui , un risultatoE E VarÒ\Ó œ Ò\Ð\ "ÑÓ œ Ò\Ó œ- - -#

verificato nella Sezione 6.2.

Esempio 7.2.6. Se si considera la v.a. con legge Binomiale Negativa\Ua Ð5ß :Ñ, si ha

K\Ð"Ñ

5 5"

Ð>Ñ œ œ. : 5; :

.> " ;> : " ;>

e

K\Ð#Ñ

# #

# #

5 5#

Ð>Ñ œ œ. : 5Ð5 "Ñ; :

.> " ;> : " ;> .

Dunque, risulta e , da cui èE EÒ\Ó œ 5;Î: Ò\Ð\ "ÑÓ œ 5Ð5 "Ñ; Î:# #

immediato verificare che , un risultato ottenuto in precedenzaVarÒ\Ó œ 5;Î:#

nella Sezione 6.3.

Esempio 7.2.7. Si consideri la v.a. discreta con f.p. data da\

: ÐBÑ œ B ÐBÑ"

Ð=Ñ\

'=

Ö"ß#ßá×" ,

dove , mentre rappresenta la funzione Zeta di= − Ó"ß∞Ò Ð=Ñ œ B' Bœ"∞ =

Riemann. La legge associata a questa v.a. è detta di Zipf in onore del linguista efilologo statunitense George Kingsley Zipf (1902-1950), che si occupò delleapplicazioni probabilistiche alle analisi dei testi. Ovviamente, la funzione Zetaprende nome dal matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Dal momento che si ha , per la f.p. della v.a. risulta' 1Ð#Ñ œ Î' = œ # \#

: ÐBÑ œ B ÐBÑ'

\1#

#Ö"ß#ßá×" .

Per questo valore di , la v.a. non possiede momenti finiti di alcun ordine,= \essendo

187Capitolo 7

EÒ\Ó œ B œ ∞'

1#Bœ"

∞" .

In effetti, la f.g. risulta

K\ #Bœ"

∞B #Ð>Ñ œ > B

'

1 ,

da cui, tenendo presente l'espressione della serie logaritmica, si ha

K\Ð"Ñ

# #Bœ"

∞ B

Ð>Ñ œ œ ' > ' Ð" >Ñ

> B >1 1 log

,

e quindi

lim>Ä"

K\Ð"Ñ

Ð>Ñ œ ∞ Þ

7.3. Funzioni caratteristiche multivariate

Viene considerata di seguito l'estensione della f.c. quando si dispone di unv.v.a. Formalmente si ha la seguente definizione.

Definizione 7.3.1. Dato il v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato , si dice (f.c.m.) delÐ ß ß T ÑH Y funzione caratteristica multivariatav.v.a. la funzione \ À Ä: ‘ ‚\

5

:\Ð>Ñ œ Ò Ð> \ÑÓ Ò Ð> \ÑÓ œ Ò Ð > \ÑÓE cos E sin E expT T Ti i ,

dove .> œ Ð> ßá ß > Ñ −" 55T ‘

Dalla Definizione 7.3.1 è ovvio che la f.c.m. possiede la seguente espressionealternativa

: :\ \ " 5 3 3 3 3

3œ" 3œ"

5 5

Ð>Ñ œ Ð> ßá ß > Ñ œ > \ œ Ð > \ ÑE exp E exp i i .


Risulta importante notare che, se nella f.c.m. relativa al v.v.a. si pone \ > œ !6

per ogni , si ottiene6 Á 3 œ "ßá ß 5

: :\ 3 3 3 \ 3Ð!ßá ß > ßá ß !Ñ œ Ò Ð > \ ÑÓ œ Ð> ÑE exp i ,3

ovvero si ottiene la f.c. della componente marginale . In modo analogo,\3

ponendo per ogni , si ha> œ ! 6 Á 3ß 4 œ "ßá ß 56

: :\ 3 4 3 3 4 4 3 4Ð\ ß\ ÑÐ!ßá ß > ßá ß > ßá ß !Ñ œ Ò Ð > \ > \ ÑÓ œ Ð> ß > ÑE exp i i ,3 4

che costituisce la f.c.m. del v.v.a. . In generale, azzerandoÐ\ ß\ Ñ3 4T

opportunamente alcune componenti del vettore , si ottengono le f.c.m. di tutte le>possibili scelte di componenti marginali del v.v.a. .\

Esempio 7.3.1. Si consideri il v.v.a. con legge Normale Multivariata\a . O5 \ \Ð ß Ñ. Tenendo presente quanto visto nella Sezione 6.11, in base al

cambio di variabile con e tenendoC œ ÐB Ñ B œ CO . . O\ \"Î# "Î#

\ \

presente le regole di integrazione di una funzione complessa, la f.c.m. relativa alv.v.a. è data da\

:\ \ \ \"Î# "

\

5Î#\ \

"Î#

5Î#\ \

Ð>Ñ œ Ð > BÑ Ð# Ñ ÐB Ñ ÐB Ñ .B"

#

œ Ð# Ñ > > C C C .C"

#

œ Ð# Ñ > > > ‚"

#

‚

‘

‘

5

5

exp det exp

exp

exp

i

i i

i

T T

T T T

T T

1O . O .

1 . O

1 . O

‘5

exp ÐC >Ñ ÐC >Ñ .C"

#i i .O O\ \

"Î# "Î#T

Effettuando inoltre il cambio di variabile i , con Jacobiano pari aD œ C >O\"Î#

", si ottiene

:\ \5Î#

\

\\

Ð>Ñ œ Ð# Ñ Ð > > >Ñ Ð D DÑ .D" "

# #

œ Ð > Ñ> >

#

1 . O

.O

exp exp

exp

i

i ,

T T T

TT

‘5

dal momento che

189Capitolo 7

Ð# Ñ D D .D œ .? œ "" " ?

# ##1

1

5Î##

5

‘ ‘5

exp expT .

Si ha inoltre

: :\ 3 \ 3 \\# #

33 3

3Ð> Ñ œ Ð!ßá ß > ßá ß !Ñ œ > >

#exp i ,.

5

ovvero ogni componente marginale possiede legge Normale . In\ Ð ß Ñ3 \ \#a . 5

3 3

modo simile, si dimostra che ogni scelta di componenti marginali del v.v.a. \possiede ancora una legge Normale Multivariata.

La f.c.m. di un v.v.a. possiede proprietà analoghe rispetto alla f.c. di una v.a.Più esattamente, si hanno i seguenti Teoremi.


probabilizzato con f.c.m. , allora si ha per ogni Ð ß ß T Ñ l Ð>Ñl Ÿ " > −H Y ‘: :\ \5

e in particolare , dove rappresenta l'origine di ,:\5Ð!Ñ œ " ! œ Ð!ßá ß !ÑT ‘

mentre è uniformemente continua su .:\5Ð>Ñ ‘

Dimostrazione. Risulta simile a quella dei Teoremi 7.1.3. e 7.1.4.

Teorema 7.3.3. Se è un v.v.a definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato con f.c.m. , la f.c. della v.a. trasformataÐ ß ß T ÑH Y :\ " 5Ð> ßá ß > Ñ

] œ + , \ + − , œ Ð, ßá ß , Ñ −3œ"5

3 3 " 55, dove e , risulta‘ ‘T

: : :] " 5Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð>, ßá ß >, Ñ œ Ð +>Ñ Ð>,Ñexp expi i\ \ ,

dove .> − ‘Dimostrazione. Si ha

:

: :

] 3 3

3œ"

5

3œ"

5

3 3

" 5

Ð>Ñ œ Ò Ð >] ÑÓ œ +> , >\

œ Ð +>Ñ , >\

œ Ð +>Ñ Ð, >ßá ß , >Ñ œ Ð +>Ñ Ð>,Ñ

E exp E exp

exp E exp

exp exp

i i i

i i

i i ,

\ \



Come conseguenza del precedente Teorema si ottiene che la f.c. della v.a.] œ \

3œ"5

3 è data da

: :] Ð>Ñ œ Ð>ßá ß >Ñ\ ,

un risultato che riveste notevole importanza pratica nel determinare la legge dellav.a. .]

Esempio 7.3.2. Si consideri il v.v.a. con legge Normale Multivariata\a . O5 \ \Ð ß Ñ. Tenendo presente l'Esempio 7.3.1, per il Teorema 7.3.3 la f.c. dellav.a. trasformata è data da] œ + , \

3œ"5

3 3

:] \\

\\

#

Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð>,Ñ Ð>,Ñ Ð>,Ñ

#

œ Ð+ , Ñ> Ð, ,Ñ>

#

exp exp

exp

i i

i ,

TT

TT

.O

.O

che risulta essere la f.c. di una v.a. con legge . Dunque,a . OÐ+ , ß , ,ÑT T\ \

ogni combinazione lineare (e quindi anche la somma) delle componenti di unv.v.a. con legge Normale Multivariata possiede legge Normale.

Teorema 7.3.4. Dato il v.v.a. definito sullo spazio\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

probabilizzato con f.c.m. , se esiste finito,Ð ß ß T Ñ Ò\ á\ ÓH Y :\ "<

5<Ð> ßá ß > Ñ" 5 E " 5

:\ " " 5 5 è derivabile volte rispetto a , , volte rispetto a e< > á < >

`

` `

==:\

"=

5=

> ßáß> œ!"=

5=Ð> ßá ß > Ñ" 5

> á >œ Ò\ á\ Ó

" 5

" 5

" 5i E ,

dove , , mentre .= œ "ßá ß < 3 œ "ßá ß 5 = œ =3 3 33œ"5

Dimostrazione. Risulta analoga a quella del Teorema 7.1.6.


probabilizzato con f.r. e f.c.m. , seÐ ß ß T Ñ JH Y \ \:F œ ÓB ß C Ó ‚â‚ ÓB ß C Ó B C 3 œ "ßá ß 5" " 5 5 3 3, con , , è un insieme la cuifrontiera è un insieme di continuità di , alloraJ\

TÐ\ − FÑ œ Ð>Ñ .>" Ð > B Ñ Ð > C Ñ

Ð# Ñ >lim

exp expXÄ∞ 5

ÒX ßX Ó 3œ"

53 3 3 3

\1

5

i ii

.:

191Capitolo 7


I seguenti Teoremi forniscono alcuni risultati di particolare rilevanza nel casoin cui le componenti del v.v.a. sono indipendenti.\


probabilizzato con f.c.m. , allora si haÐ ß ß T ÑH Y :\Ð> ßá ß > Ñ" 5

: :\ \ 3

3œ"

5

Ð> ßá ß > Ñ" 5 œ Ð> Ñ3

,

se e solo se sono indipendenti.\ ßá ß\" 5

Dimostrazione. Se sono v.a. indipendenti, allora dal Teorema\ ßá ß\" 5

4.2.5 si ottiene

: :\ 3 3 3 3 \ 3

3œ" 3œ" 3œ"

5 5 5

Ð>Ñ œ Ð > \ Ñ œ Ò Ð > \ ÑÓ œ Ð> Ñ ÞE exp E exp i i 3

Inversamente, se , allora per il Teorema 7.3.5, denotando: :\ \ 33œ"5Ð>Ñ œ Ð> Ñ

3

con , si ottieneF œ ÓB ß C Ó ‚â‚ ÓB ß C Ó" " 5 5

T Ð\ − FÑ œ Ð> Ñ .> á.>" Ð >B Ñ Ð >C Ñ

Ð# Ñ >lim

exp expXÄ∞ 5

ÒX ßX Ó 3œ"

53 3

\ 3 " 51

5

3

i ii

:

e, tenendo presente i Teoremi A.7 e A.11, si ha

TÐ\ − FÑ œ .>" Ð >B Ñ Ð >C Ñ

# >

œ TÐ\ − ÓB ß C ÓÑ

3œ"

5

XÄ∞ ÒX ßX Ó

3 33

3œ"

5

3 3 3

limexp exp

1

i ii

,

:\ 33Ð> Ñ

che dalla Definizione 3.6.1 implica l'indipendenza delle v.a. .\ ßá ß\" 5

Il Teorema 7.3.5 implica la proprietà di unicità della f.c.m., ovvero, dati i

v.v.a. e , allora si ha se e solo se . Inoltre, tenendo presente\ ] \ œ ] œ_

: :\ ]

il Teorema 7.3.3, se sono v.a. indipendenti, la f.c. della v.a.\ ßá ß\" 5

trasformata , dove e , risulta] œ + , \ + − , œ Ð, ßá ß , Ñ −3œ"5

3 3 " 55‘ ‘T


: : :] " 5 3

3œ"

5

Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð, >ßá ß , >Ñ œ Ð +>Ñ Ð, >Ñexp expi i .\ \3

In particolare, se è la somma di v.a. indipendenti, la relativa f.c.] œ \3œ"5

3 5risulta

: :]

3œ"

5

Ð>Ñ œ Ð>Ñ \3 .

Dunque, quando le possiedono la stessa legge che coincide con quella di una\3

data v.a. , ovvero quando per ogni , si ottiene\ Ð>Ñ œ Ð>Ñ 3 œ "ßá ß 5: :\ \3

: :]5Ð>Ñ œ Ð>Ñ\ .

In generale, si può dimostrare in modo semplice ma laborioso che se \ ßá ß\" 8

sono v.v.a. indipendenti con componenti marginali, la f.c.m. del v.v.a.5trasformato risulta] œ \

3œ"8

3

: :] " 5 " 5

3œ"

8

Ð> ßá ß > Ñ œ Ð> ßá ß > Ñ \3 .

Esempio 7.3.3. Si consideri la v.a. con legge Esponenziale ridotta .^ Ð!ß "ß "ÑZDunque, dall'Esempio 7.1.5 la f.c. della v.a. è data da^

:^"Ð>Ñ œ Ð" >Ñi .

Di conseguenza, se sono v.a. indipendenti con la stessa legge della^ ßá ß^" 5

v.a. , la v.a. possiede f.c. data da^ ] œ \3œ"5

3

:]" 5 5Ð>Ñ œ ÐÐ" >Ñ Ñ œ Ð" >Ñi i .

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.1.5, la v.a. possiede legge]Gamma ridotta .ZÐ!ß "ß 5Ñ

Esempio 7.3.4. Si consideri la v.a. con legge Chi-quadrato . Dunque,\ ;"#

dall'Esempio 7.1.7 la f.c. di è data da\

:\"Î#Ð>Ñ œ Ð" # >Ñi .

193Capitolo 7

Di conseguenza, se sono v.a. indipendenti con la stessa legge di ,\ ßá ß\ \" 8

la v.a. possiede f.c. data da] œ \3œ"8

3

:]"Î# 8 8Î#Ð>Ñ œ ÐÐ" # >Ñ Ñ œ Ð" # >Ñi i .

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.1.7, la v.a. possiede legge Chi-]quadrato .;8

#

Esempio 7.3.5. Si consideri le v.a. indipendenti , rispettivamente con\ ßá ß\" 8

legge Normale . Tenendo presente l'Esempio 7.1.6, la v.a.a . 5Ð ß Ñ\ \#

3 3

] œ \3œ"5

3 possiede f.c. data da

:] \ ]

3œ"

5\# #

]# #

Ð>Ñ œ > œ > >

# #

> exp expi i ,. .5 5

3

3

dove e . Dunque, la v.a. possiede legge. . 5 5] \3œ" ] 3œ" \8 8# #œ œ ]

3 3

Normale , un risultato che conferma un caso particolare di quantoa . 5Ð ß Ñ] ]#

ottenuto nell'Esempio 7.3.2.

Esempio 7.3.6. Si consideri il v.v.a. con legge Normale Multivariata\a . O5 \ \ " 8Ð ß Ñ \ ßá ß\. Se sono v.v.a. indipendenti con la stessa legge delv.v.a. , sulla base dei risultati ottenuti nell'Esempio 7.3.1, il v.v.a.\] œ \

3œ"8

3 possiede f.c.m. data da

:] \\\ \

8

Ð>Ñ œ > œ Ð8 Ñ > > > > Ð8 Ñ>

# # exp expi i .. .

O OT TT T

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.3.1, il v.v.a. possiede legge]Normale Multivariata . a . O5 \ \Ð8 ß 8 Ñ

7.4. Funzioni generatrici multivariate

Quando si dispone di un v.v.a. discreto con componenti marginali e a valori5su (o su un suo sottoinsieme) si può estendere il concetto di funzione5

generatrice. Più esattamente, si ha la seguente definizione.

Definizione 7.4.1. Dato il v.v.a. discreto definito sullo\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

spazio probabilizzato a valori su e con f.p.c. , si diceÐ ß ß T Ñ W © :H Y 5\


funzione generatrice multivariata di probabilità (f.g.m.) (o semplicementefunzione generatrice multivariata) del v.v.a. la funzione tale\ K À Ò!ß "Ó Ä\

5 ‘che

K\ " 5 \ " 5

3œ" 3œ"

5 5

3 3\ B

ÐB ßáßB Ñ−W

Ð> ßá ß > Ñ œ > œ > : ÐB ßá ß B ÑE 3 3

" 5

,

con la convenzione che .! œ "!

Se nella f.g.m. relativa al v.v.a. si pone per ogni , si\ > œ " 6 Á 3 œ "ßá ß 56

ottiene

K K\ 3 \ 33\Ð"ßá ß > ßá ß "Ñ œ Ò> Ó œ Ð> ÑE 3

3 ,

ovvero la f.g. della componente marginale . In modo analogo, ponendo \ > œ "3 6

per ogni , si ottiene6 Á 3ß 4 œ "ßá ß 5

K K\ 3 4 3 43 4\ \

Ð\ ß\ ÑÐ"ßá ß > ßá ß > ßá ß "Ñ œ Ò> > Ó œ Ð> ß > ÑE 3 4

3 4 ,

che costituisce la f.g.m. del v.v.a. . In generale, ponendo pari all'unità inÐ\ ß\ Ñ3 4

modo opportuno alcune componenti del vettore , si ottengono leÐ> ßá ß > Ñ" 5

f.g.m. di tutte le possibili scelte di componenti marginali del v.v.a. .\

Esempio 7.4.1. Si consideri il v.v.a. con legge Multinomiale .\ Ð8ß :Ñ`Dunque, per il Teorema Multinomiale si ha

K\ " 5

ÐB ßáßB Ñ−W 3œ" 3œ"

5 5

3 3B B

" 5

ÐB ßáßB Ñ−W " 5 3œ" 3œ"

5 5

3 3 3 3B

8

Ð> ßá ß > Ñ œ > :8

B á B

œ Ð: > Ñ œ : >8

B á B

" 5

3 3

" 5

3 ,

dove è definito nella Sezione 6.5. Inoltre, risultaW § 5

K K\ 3 \ 3 3 3 38

3Ð> Ñ œ Ð"ßá ß > ßá ß "Ñ œ Ð; : > Ñ ,

dove , ovvero ogni componente marginale possiede; œ " : œ : \3 3 6 36Á3œ"5

legge Binomiale . In modo analogo, si dimostra che ogni scelta diUÐ8ß : Ñ3componenti marginali del v.v.a. possiede ancora legge Multinomiale.\

195Capitolo 7

La f.g.m. di un v.v.a. possiede proprietà analoghe alla f.g. di una v.a. Inparticolare, la f.g.m. è definita per ogni e risulta ,> − Ò!ß "Ó K Ð"ßá ß "Ñ œ "5

\

mentre . Si ha inoltre il seguente Teorema.K Ð!ßá ß !Ñ œ : Ð!ßá ß !Ñ\ \

Teorema 7.4.2. Dato il v.v.a. discreto definito sullo\ œ Ð\ ßá ß\ Ñ" 5T

spazio probabilizzato a valori su con f.p.c. e f.g.m. , siÐ ß ß T Ñ W © : KH Y 5\ \

ha

: Ð Ñ œ"

B xáB x > á >\

" 5

B áB\

"B

5B

> ßáß> œ!

B ßá ß BÐ> ßá ß > Ñ

" 5" 5 ` K

` `

" 5

" 5

" 5

per .Ð Ñ −B ßá ß B" 5 5

Dimostrazione. Risulta simile a quella del Teorema 7.2.2.

Dal precedente Teorema segue anche la proprietà di unicità della f.g.m.,

ovvero, dati i v.v.a. e , allora si ha se e solo se .\ ] \ œ ] œ_

K K\ ]


spazio probabilizzato a valori su con f.g.m. , seÐ ß ß T Ñ W © KH Y 5\

EÒ\ á\ Ó < > á <"<

5<

\ " " 5" 5 esiste finito, è derivabile volte rispetto a , , volteK

rispetto a e>5

` K

` `

=\

"=

5=

> ßáß> œ" 3œ"

5

3 3 3 3Ð> ßá ß > Ñ" 5

> á >œ \ Ð\ "ÑáÐ\ = "Ñ

" 5

" 5

E ,

dove , , mentre .= œ "ßá ß < 3 œ "ßá ß 5 = œ =3 3 33œ"5

Dimostrazione. Risulta simile a quella del Teorema 7.2.3.

Esempio 7.4.2. Si consideri il v.v.a. con legge Multinomiale .\ Ð8ß :Ñ`Dunque, dal Teorema 7.4.3 si ha

EÒ\ Ó œ : > œ 8:>

3 6 6 33 6œ"

5 8

> ßáß> œ"

`

` " 5

,

per cui il vettore delle medie del v.v.a. è dato da . Inoltre, si ha\ œ 8:.\

EÒ\ Ð\ "ÑÓ œ : > œ 8Ð8 "Ñ:>

3 3 6 63#

6œ"

5 8

> ßáß> œ"

3#`

`

# " 5


e

EÒ\ \ Ó œ : > œ 8Ð8 "Ñ: :> >

3 4 6 6 3 43 4 6œ"

5 8

> ßáß> œ"

`

` `

# " 5

.

Dunque, risulta e Cov , e dunque laVarÒ\ Ó œ 8: Ð" : Ñ Ò\ ß\ Ó œ 8: :3 3 3 3 4 3 4

matrice di varianza-covarianza è data da diag . O\ œ 8Ð Ð:Ñ :: ÑT


spazio probabilizzato a valori su con f.g.m. , la f.g.m.Ð ß ß T Ñ W © KH Y 5\

della v.a. trasformata risulta] œ \3œ"5

3

K] Ð>Ñ œ K Ð>ßá ß >Ñ\ ,

dove .> − ‘Dimostrazione. Si ha

K] Ð>Ñ œ E E > œ > œ Ð>ßá ß >Ñ

3œ"5

3 3\ \

3œ"

5

\K ,


Il seguente Teorema fornisce l'espressione della f.g.m. nel caso in cui lecomponenti del v.v.a. risultano indipendenti.\


spazio probabilizzato a valori su con f.g.m. , allora si haÐ ß ß T Ñ W © KH Y 5\

K K\ \ 3

3œ"

5

Ð> ßá ß > Ñ" 5 œ Ð> Ñ3

,

se e solo se sono indipendenti.\ ßá ß\" 5

Dimostrazione. Se sono v.a. indipendenti, allora dal Teorema\ ßá ß\" 5

4.2.5 si ottiene

K K\ " 5 \ 3

3œ" 3œ" 3œ"

5 5 5

3 3\ \Ð> ßá ß > Ñ œ > œ Ò> Ó œ Ð> Ñ ÞE E 3 3

3

Inversamente, se , dal Teorema 7.4.2 si haK K\ " 5 \ 33œ"5Ð> ßá ß > Ñ œ Ð> Ñ

3

197Capitolo 7

: ÐB ßá ß B Ñ œ"

B xáB x > á >

Ð> Ñ

œ œ : ÐB Ñ" Ð> Ñ

B x >

\ " 5" 5

B áB3œ"5

\ 3

"B

5B

> ßáß> œ!

3œ" 3œ"

5 8

3

B\ 3

3B

> ßáß> œ!\ 3

` K

` `

` K

`

" 53

" 5

" 5

33

3

" 5

3

,

che dal Teorema 3.6.1 implica l'indipendenza delle v.a. .\ ßá ß\" 5

Tenendo presente il Teorema 7.4.4, se sono v.a. indipendenti, la\ ßá ß\" 5

f.g. della v.a. trasformata risulta] œ \3œ"5

3

K K]

3œ"

5

Ð>Ñ œ Ð>Ñ \3 .

Dunque, quando le v.a. possiedono la stessa legge che coincide con quella di\3

una data v.a. , ovvero quando per ogni , si ottiene\ Ð>Ñ œ Ð>Ñ 3 œ "ßá ß 5K K\ \3

K K]5Ð>Ñ œ Ð>Ñ\ .

In generale, si può dimostrare in modo semplice ma laborioso che se \ ßá ß\" 8

sono v.v.a. indipendenti con componenti marginali, la f.g.m. del v.v.a.5trasformato risulta] œ \

3œ"8

3

K K] " 5 " 5

3œ"

8

Ð> ßá ß > Ñ œ Ð> ßá ß > Ñ \3 .

Esempio 7.4.3. Si consideri la v.a. con legge di Bernoulli . Dunque,\ Ð"ß :ÑUdall'Esempio 7.2.1 la f.g. di è data da\

K\Ð>Ñ œ ; :> .

Di conseguenza, se sono v.a. indipendenti con la stessa legge della\ ßá ß\" 8

v.a. , la v.a. possiede f.g. data da\ ] œ \3œ"8

3

K]8Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ .

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.2.1, la v.a. possiede legge]Binomiale .UÐ8ß :Ñ


Esempio 7.4.4. Si consideri la v.a. con legge Binomiale Negativa ,\ Ð"ß :ÑUaovvero con legge Geometrica. Dunque, dall'Esempio 7.2.3 la f.g. della v.a. è\data da

K\Ð>Ñ œ:

" ;> .

Di conseguenza, se sono v.a. indipendenti con la stessa legge della\ ßá ß\" 5

v.a. , la v.a. possiede f.g. data da\ ] œ \3œ"5

3

K]

5

Ð>Ñ œ:

" ;> .

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.2.3, la v.a. possiede legge]Binomiale Negativa .Ua Ð5ß :Ñ

Esempio 7.4.5. Si consideri il v.v.a. con legge Multinomiale .\ Ð"ß :Ñ`Dunque, dall'Esempio 7.4.1 la f.g.m. del v.v.a. è data da\

K\ " 5 3 3

3œ"

5

Ð> ßá ß > Ñ œ : > .

Di conseguenza, se sono v.v.a. indipendenti con la stessa legge del\ ßá ß\" 8

v.v.a. , il v.v.a. possiede f.g.m. data da\ ] œ \3œ"5

3

K] " 5 3 3

3œ"

5 8

Ð> ßá ß > Ñ œ : > .

Dunque, tenendo ancora presente l'Esempio 7.4.1, il v.v.a. possiede legge]Multinomiale .`Ð8ß :Ñ

7.5. Leggi additive e infinitamente divisibili

In questa sezione vengono considerate due importanti famiglie di leggi chesono caratterizzate da particolari comportamenti rispetto alla somma di v.a.indipendenti. In particolare, si ha la seguente definizione.

Definizione 7.5.1. Sia data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ J − ©H Y ) K ‘ con f.r. che dipende da un vettore di parametri . La\ß

7)

199Capitolo 7

v.a. e la relativa legge si dicono se, date le v.a.\ additive rispetto a )indipendenti e con rispettive f.r. e , la f.r. della v.a.\ \ J J" # \ ß \ ß" " " ") )

Ð\ \ Ñ J ß −" # \ \ ß " # risulta essere per ogni ." # " #) ) ) ) K

Tenendo presente la proprietà di unicità della f.c., la Definizione 7.5.1 puòessere anche data in termini della f.c. della v.a. . Evidentemente, se la v.a.:\ß) \\ e la rispettiva legge risultano additive rispetto a , si verifica che)

: : :\ ß \ ß \ \ ß " " # # " # " #) ) ) )Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>Ñ ,

per ogni . Ovviamente, nel caso di una v.a. discreta a valori su) ) K" #ß − \W © , una analoga definizione può essere data in termini della corrispondentef.g. , ovvero si haK\ß)

K K K\ ß \ ß \ \ ß " " # # " # " #) ) ) )Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð>Ñ ,

per ogni . Si noti che il vettore di parametri può non comprendere) ) K )" #ß −l'intero insieme di parametri che caratterizzano la legge in questione, ma soltantoil sottoinsieme di parametri rispetto ai quali si vuole verificare l'additività. Inquesto caso, i rimanenti parametri devono invece essere costanti.

Esempio 7.5.1. Si consideri la v.a. con legge Normale . In questo\ Ð ß Ña . 5#

caso, si pone con . La legge risulta additiva rispetto) . 5 K ‘œ Ð ß Ñ œ ‚ Ó!ß∞Ò# T

al vettore di parametri , in quanto dall'Esempio 7.3.5 si ha)

: :

:

\ ß \ ß \ \\ \# # # #

\ \\ \# # #

\ \ ß

" " # # " #

" #

" #

" #

" # " #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ > > > >

# #

œ Ð Ñ> Ð Ñ>

#

œ Ð>Ñ

exp exp

exp

i i

i

,

. .5 5

. .5 5

ovvero, in altri termini, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente conlegge Normale e , possiede legge Normalea . 5 a . 5Ð ß Ñ Ð ß Ñ\ \\ \

# #" #" #

a . . 5 5Ð ß Ñ\ \ \ \# #

" # " #.

Esempio 7.5.2. Si consideri la v.a. con legge Gamma . In questo\ Ð!ß ,ß 5ÑZcaso, si pone con , ovvero si vuole verificare l'additività) Kœ 5 œ Ó!ß∞Òrispetto al parametro e non al parametro . La legge è additiva rispetto a , in5 , )quanto tenendo presente l'Esempio 7.1.7 si ha


: :

:

\ ß \ ß5 5

Ð5 5 Ñ\ \ ß

" " # #" #

" #" # " #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð" ,>Ñ Ð" ,>Ñ

œ Ð" ,>Ñ œ Ð>Ñ

i i

i .

Dunque, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge GammaZ Z ZÐ!ß ,ß 5 Ñ Ð!ß ,ß 5 Ñ Ð!ß ,ß 5 5 Ñ" # " # e , possiede legge Gamma . In particolare,se la v.a. possiede legge Chi-quadrato , dalla precedente espressione con\ ;8

#

, œ # 5 œ 8Î# 8 e , la legge risulta additiva rispetto al parametro . Dunque, lasomma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge Chi-quadrato e;8

#"

; ;8 8 8# ## " #, possiede legge Chi-quadrato . Si noti infine che l'additività non vale

per il parametro di scala . In effetti, se si considera il vettore di parametri,) Kœ Ð,ß 5Ñ œ Ó!ß∞Ò ‚ Ó!ß∞ÒT con , si ha

: :

:

\ ß \ ß " #5 5

\ \ ß " #Ð5 5 Ñ

" " # #" #

" # " #" #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð" , >Ñ Ð" , >Ñ

Á Ð>Ñ œ Ð" Ð, , Ñ>Ñ

i i

i .

In altre parole, la somma di due v.a. indipendenti, con legge Gamma ZÐ!ß , ß 5 Ñ" "

e , non possiede legge Gamma .Z ZÐ!ß , ß 5 Ñ Ð!ß , , ß 5 5 Ñ# # " # " #

Esempio 7.5.3. Si consideri la v.a. con legge Binomiale . In questo\ Ð8ß :ÑUcaso, si pone con , ovvero si vuole verificare l'additività) Kœ 8 œ Ö"ß #ßá×rispetto al parametro e non al parametro . La legge risulta additiva rispetto a8 :8, in quanto tenendo presente l'Esempio 7.2.1 si ha

K K

K

\ ß \ ß8 8

8 8\ \ ß

" " # #" #

" #" # " #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ Ð; :>Ñ

œ Ð; :>Ñ œ Ð>Ñ .

Quindi, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge BinomialeU U UÐ8 ß :Ñ Ð8 ß :Ñ Ð8 8 ß :Ñ" # " # e , possiede legge Binomiale . Risulta immediatoverificare che l'additività non vale per il parametro . Dunque, se si considera il:vettore di parametri con , la legge non risulta) Kœ Ð8ß :Ñ œ Ö"ß #ßá× ‚ Ó!ß "ÒT

additiva rispetto a .)

Esempio 7.5.4. Si consideri la v.a. con legge di Poisson . Si pone \ Ð Ñ œc - ) -con . La legge risulta additiva rispetto al parametro , in quantoK -œ Ó!ß∞Òtenendo presente l'Esempio 7.2.2 si ha

K K

K\ ß \ ß " #

" # \ \ ß

" " # #

" # " #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ Ð Ð> "ÑÑ Ð Ð> "ÑÑ

œ ÐÐ ÑÐ> "ÑÑ œ Ð>Ñ

exp expexp

- -

- - .

201Capitolo 7

Dunque, la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con legge di Poissonc - c - c - -Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ" # " # e , possiede legge di Poisson .

Esempio 7.5.5. Si consideri la v.a. con legge Binomiale Negativa .\ Ð5ß :ÑUaSi pone con , ovvero si vuole verificare l'additività rispetto) Kœ 5 œ Ö"ß #ßá×al parametro e non al parametro . La legge risulta additiva rispetto a , in5 : )quanto tenendo presente l'Esempio 7.2.3 si ha

K K

K

\ ß \ ß

5 5

5 5

\ \ ß

" " # #

" #

" #

" # " #

) )

) )

Ð>Ñ Ð>Ñ œ: :

" ;> " ;>

œ œ Ð>Ñ:

" ;>

,

ovvero si ha che la somma di due v.a. indipendenti, rispettivamente con leggeBinomiale Negativa e , possiede legge Binomiale NegativaUa UaÐ5 ß :Ñ Ð5 ß :Ñ" #

Ua Ð5 5 ß :Ñ" # . In modo analogo alla legge Binomiale, risulta inoltreimmediato verificare che l'additività non vale per il parametro . Dunque, se si:considera il vettore di parametri con , la) Kœ Ð5ß :Ñ œ Ö"ß #ßá× ‚ Ó!ß "ÒT

legge non è additiva rispetto a .)

Definizione 7.5.2. Si consideri la v.a. definita sullo spazio probabilizzato\Ð ß ß T Ñ \H Y . La v.a. e la rispettiva legge sono dette seinfinitamente divisibili

per ogni si ha , dove è un v.v.a.8 œ "ß #ßá \ œ \ Ð\ ßá ß\ Ñ_

3œ"8

3 " 8T

indipendenti e ugualmente distribuite.

Tenendo presente la proprietà di unicità della f.c., la Definizione 7.5.2 puòessere data in modo alternativo utilizzando la f.c. In questo caso, se la v.a. ha\f.c. : :\ \, mentre è la f.c. comune alle componenti marginali del v.v.a.

8

Ð\ ßá ß\ Ñ \" 8T, allora la v.a. è infinitamente divisibile se per ogni

8 œ "ß #ßá si ha

: :\ \Ð>Ñ œ Ð>Ñ8

8 .

Nel caso in cui la v.a. è discreta a valori su , una analoga definizione\ W © può essere data in termini della f.g., nel senso che la precedente condizione èequivalente a

K K\ \Ð>Ñ œ Ð>Ñ8

8 .

Per una v.a. infinitamente divisibile vale inoltre il seguente teorema.


Teorema 7.5.3. Data la v.a. definita sullo spazio probabilizzato ,\ Ð ß ß T ÑH Yse la v.a. è infinitamente divisibile lo è anche la trasformata ,\ ] œ + ,\dove .+ß , − ‘

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 7.3.3, si ha

: : :] \ \Ð>Ñ œ Ð +>Ñ Ð,>Ñ œ Ð +>Ñ Ð,>Ñ œ Ð Ð +>Î8Ñ Ð,>ÑÑexp exp expi i i ,:\8 8

8 8

da cui segue che , ovvero la v.a. è infinitamente] œ Ð+Î8 ,\ Ñ ]_

3œ"8

3

divisibile.

In generale, dal precedente Teorema, è immediato verificare che, se una leggeridotta è infinitamente divisibile, lo è anche la relativa legge con parametro diposizione e di scala. Dunque, è sufficiente verificare che legge ridotta siainfinitamente divisibile per concludere che la legge con parametro di posizione edi scala è a sua volta infinitamente divisibile.

Esempio 7.5.6. Si consideri la v.a. con legge Normale . Dal momento\ Ð!ß "Ñache per ogni si ha8 œ "ß #ßá

: :\

# # 8

88Ð>Ñ œ œ œ Ð>Ñ

> >

# #8exp exp \ ,

la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge Normale\a Ð!ß "Ñ 8 è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti con leggeNormale per ogni . In base al Teorema 7.5.3 è inoltrea Ð!ß "Î8Ñ 8 œ "ß #ßásufficiente verificare che legge Normale ridotta è infinitamentea Ð!ß "Ñdivisibile per concludere che la legge Normale è a sua voltaa . 5Ð ß Ñ#

infinitamente divisibile.

Esempio 7.5.7. Si consideri la v.a. con legge Gamma ridotta . Dal\ Ð!ß "ß 5ÑZmomento che per ogni si ha8 œ "ß #ßá

: :\5 5Î8 8 8

8Ð>Ñ œ Ð" >Ñ œ ÐÐ" >Ñ Ñ œ Ð>Ñi i ,\

la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge Gamma\ridotta è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti conZÐ!ß "ß 5Ñ 8legge Gamma per ogni .ZÐ!ß "ß 5Î8Ñ 8 œ "ß #ßá

Esempio 7.5.8. Si consideri una v.a. con f.c.\

203Capitolo 7

:\Ð>Ñ œ Ð l>l Ñexp α ,

dove . La legge associata alla v.a. è detta diα − Ó!ß #Ó \ legge Stabile simmetricaparametro e, ovviamente, contiene come casi particolari la legge perα a Ð!ß #Ñα αœ # œ " (si veda l'Esempio 7.1.6) e la legge di Cauchy ridotta per (si vedal'esempio 7.1.9). Dal momento che per si haα − Ó!ß #Ó

∞ ∞

∞ ∞

\l Ð>Ñl .> œ Ð l>l Ñ .> œ " ∞"

: exp α >α

,

sulla base del Teorema 7.1.10 la v.a. è assolutamente continua. La d.p.\relativa non può essere ottenuta in forma chiusa, eccetto che per i due casiparticolari precedentemente citati. Inoltre, tenendo presente il Teorema 7.1.6,E E EÒ\Ó − Ó!ß "Ó Ò\Ó Ò\ Ó non è definito se , mentre esiste finito ma non seα #

α α− Ó"ß #Ò œ #. Ovviamente, i momenti di ogni ordine esistono finiti se . Dalmomento che per ogni legge della famiglia si ha

: :\"Î 8 8

8Ð>Ñ œ Ð l>l Ñ œ Ð Ð l8 >l Ñ œ Ð>Ñexp expα α α\ ,

la legge Stabile simmetrica è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. \con legge Stabile simmetrica di parametro è equivalente in legge alla sommaαdi v.a. indipendenti del tipo , , dove ogni v.a. possiede8 8 \ 3 œ "ßá ß 8 \"Î

3 3α

ancora legge Stabile simmetrica di parametro .α

Esempio 7.5.9. Si consideri la v.a. con legge Binomiale . Dal\ Ð7ß :ÑUmomento che si ha

K\7 7Î8 8Ð>Ñ œ Ð; :>Ñ œ ÐÐ; :>Ñ Ñ ,

la legge è infinitamente divisibile solamente se è multiplo di . Dunque, la7 8legge Binomiale non è infinitamente divisibile.

Esempio 7.5.10. Si consideri la v.a. con legge di Poisson . Dal momento\ Ð Ñc -che si ha

K K\8 8

8Ð>Ñ œ Ð Ð> "ÑÑ œ Ð ÐÐ Î8ÑÐ> "ÑÑÑ œ Ð>Ñexp exp- - \ ,

la legge è infinitamente divisibile. In altri termini, una v.a. con legge di\Poisson è equivalente in legge alla somma di v.a. indipendenti con leggec -Ð Ñ 8di Poisson per ogni .c -Ð Î8Ñ 8 œ "ß #ßá



Lukacs (1970) è . I classici testi diuna monografia sulle funzioni caratteristicheFeller (1968, 1971) trattano estesamente le funzioni generatrici e caratteristiche.Un testo più recente sulle funzioni caratteristiche è Sasvári (2013). Wilf (2006) èun testo espressamente dedicato alle funzioni generatrici. Infine, una trattazioneesauriente delle leggi infinitamente divisibili viene data in Sato (1999) e Steutele van Harn (2004). Le leggi stabili sono estesamente considerate in Uchaikin eZolotarev (1999) e Zolotarev (1986).

Capitolo 8

Convergenze

8.1. Convergenza in legge

Un insieme numerabile di v.a. è detta e vieneÐ\ ß\ ßáÑ" # successione di v.a.indicata con . Se la successione viene indicizzata come , siÐ\ Ñ Ð\ ß\ ßáÑ8 8 " ! "

adotta eventualmente la notazione . Dal momento che alla successioneÐ\ Ñ8 8 !

Ð\ Ñ ÐJ Ñ8 8 " \ 8 " è associata la corrispondente successione di f.r. , risulta8

interessante definire il concetto di convergenza per una successione di f.r.Formalmente, la cosiddetta è data nella seguenteconvergenza in leggedefinizione.

Definizione 8.1.1. Se è una successione di v.a., a cui corrisponde laÐ\ Ñ8 8 "

successione di f.r. , si dice che la successione di v.a. ÐJ Ñ\ 8 "8converge in legge

(o ) alla v.a. con f.r. se per ogni tale che siin distribuzione \ J B\ ˜J ÐBÑ œ !\

ha

lim8

\ \J ÐBÑ œ J ÐBÑ8

e si scrive per .\ Ä \ 8 Ä ∞8_

In pratica, la definizione di convergenza in legge implica che la f.r. della v.a.\ \ B J8 \ converga puntualmente a quella della v.a. per ogni per cui ècontinua. Si noti inoltre che la convergenza in legge non richiede che le v.a. dellasuccessione e la v.a. siano definite su uno stesso spazio probabilizzato. In\effetti, la condizione della Definizione 8.1.1 riguarda solamente le f.r. eintroduce la cosiddetta della successione di f.r. allaconvergenza debole ÐJ Ñ\ 8 "8

f.r. . Data la biunivocità esistente fra legge e f.r. di una v.a., se J ÐT Ñ\ \ 8 "8

denota la successione di leggi corrispondente alla successione di f.r. eÐJ Ñ\ 8 "8

se è la legge relativa alla f.r. , la convergenza debole può essere ancheT J\ \

definita mediante la condizione

206 Convergenze

lim8

\ \T ÐFÑ œ T ÐFÑ8

per ogni la cui frontiera (ovvero l'insieme di punti di discontinuità diF − Ð ÑU ‘"F \) ha probabilità nulla secondo .T

Nel caso in cui la v.a. sia degenere e tale che , allora si ha\ TÐ\ œ -Ñ œ "J ÐBÑ œ ÐBÑ J B Á -\ \Ò-ß∞Ò" e è continua per . Dunque, la condizione dellaDefinizione 8.1.1 si riduce a

lim8

\ Ò-ß∞ÒJ ÐBÑ œ ÐBÑ8

"

per ogni . In questo caso, con un leggero abuso in notazione generalmenteB Á -adottato nei testi di Teoria della Probabilità, la convergenza in legge viene

denotata come per .\ Ä - 8 Ä ∞8_

Esempio 8.1.1. Si consideri la successione di v.a. tale che la v.a. Ð\ Ñ \8 8 " 8

possiede legge Beta ridotta . Tenendo presente quanto dettoUXÐ!ß "ß " "Î8ß "Ñnella Sezione 6.9, si ha

J ÐBÑ œ B ÐBÑ ÐBÑ\""Î8

Ó!ß"Ò Ò"ß∞Ò8" " ,

da cui

lim8

\ Ó!ß"Ò Ò"ß∞ÒJ ÐBÑ œ B ÐBÑ ÐBÑ8

" " .

Dal momento che la precedente espressione fornisce la f.r. di una v.a. con\

legge Uniforme su , allora si ha per .Ó!ß "Ò \ Ä \ 8 Ä ∞8_

Esempio 8.1.2. Si consideri la successione di v.a. tale che la v.a. Ð\ Ñ \8 8 " 8

possiede legge Uniforme su . Tenendo presente quanto detto nellaÒ "Î8ß "Î8ÓSezione 6.9, si ha

J ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ8B "

#\ Ò"Î8ß"Î8Ó Ó"Î8ß∞Ò8

" " ,

da cui

lim8

\ Ö!× Ó!ß∞ÒJ ÐBÑ œ ÐBÑ ÐBÑ"

#8" " .

207Capitolo 8

Risulta immediato verificare che la precedente espressione non costituisce unaf.r. Tuttavia, si consideri la v.a. degenere concentrata sullo e che possiede\ !f.r. data da . Dal momento che e J ÐBÑ œ ÐBÑ J ÐBÑ J ÐBÑ\ 8 \ \Ò!ß∞Ò" lim

8

coincidono per ogni , allora si ha per .B Á ! \ Ä ! 8 Ä ∞8_

Esempio 8.1.3. Sia una successione di v.a. indipendenti definite sulloÐ^ Ñ8 8 "

stesso spazio probabilizzato e tale che la v.a. possiede leggeÐ ß ß T Ñ ^H Y 8

Esponenziale ridotta per ogni . Inoltre, si consideri la successione diZÐ!ß "ß "Ñ 8v.a. , dove . Tenendo presente i risultati della SezioneÐ] Ñ ] œ ^8 8 " 8 "Ÿ3Ÿ8 3max6.8, dall'assunzione di indipendenza si ha

J ÐBÑ œ TÐ^ Ÿ Bßá ß^ Ÿ BÑ œ TÐ^ Ÿ BÑ œ J ÐBÑ

œ Ð" Ð BÑÑ ÐBÑ œ Ð" Ð BÑÑ ÐBÑ

] " 8 3 ^

3œ" 3œ"

8 8

3œ"

8

Ó!ß∞Ò Ó!ß∞Ò8

8 3

exp exp" " .

Si consideri infine l'ulteriore successione di v.a. , con .Ð\ Ñ \ œ ] 88 8 " 8 8 logIn questo caso, si ha

J ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ œ TÐ] 8 Ÿ BÑ œ TÐ] Ÿ B 8Ñ

œ J ÐB 8Ñ œ Ð" Ð B 8ÑÑ ÐBÑ

œ " ÐBÑÐ BÑ

8

\ 8 8 8

]8

Ó 8ß∞Ò8

Ó 8ß∞Ò

8

8

log loglog exp log

exp

"

"

log

log ,

da cui

lim lim exp expexp

8 8\

8

Ó 8ß∞ÒJ ÐBÑ œ " ÐBÑ œ Ð Ð BÑÑÐ BÑ

88 " log .

La precedente espressione fornisce la f.r. di una v.a. con legge di Gumbel\

ridotta (si veda l'Esempio 6.6.1) e quindi si ha che per . In altre\ Ä \ 8 Ä ∞8_

parole, la successione delle f.r. relative ai massimi (“centrati” con un opportunoparametro di posizione) di v.a. indipendenti con legge Esponenziale ridotta8converge alla f.r. relativa ad una legge di Gumbel ridotta.

I prossimi Teoremi risultano fondamentali per ottenere la convergenza in leggemediante la convergenza delle f.c. o delle f.g. In effetti, dal momento che la f.c. ola f.g. determinano in maniera univoca la f.r. di una v.a., è naturale aspettarsi che

208 Convergenze

la convergenza in legge si possa stabilire tramite la successione delle f.c. o dellef.g.

Teorema 8.1.2. (Teorema di Lévy) Se è una successione di v.a. aÐ\ Ñ8 8 "

cui corrisponde la successione di f.c. e se è una v.a. con f.c. ,Ð Ñ \: :\ 8 " \8

allora per se e solo se\ Ä \ 8 Ä ∞8_

lim8

\ \: :8Ð>Ñ œ Ð>Ñ

per ogni .> − ‘Dimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.349).

Nel caso in cui la v.a. sia degenere e concentrata su , allora si ha\ -:\Ð>Ñ œ Ð ->Ñexp i , e la condizione del Teorema di Lévy si riduce alla condizione

lim exp8

\: 8Ð>Ñ œ Ð ->Ñi

per ogni .> − ‘

Esempio 8.1.4. Sia una successione di v.a. tale che la v.a. possiedeÐ^ Ñ ^8 8 " 8

legge Chi-quadrato . Tenendo presente che dalla Sezione 6.8 si ha ;8#

8EÒ^ Ó œ 8e , si consideri la successione di v.a. standardizzate , doveVarÒ^ Ó œ #8 Ð\ Ñ8 8 8 "

\ œ Ð^ 8ÑÎ #88 8 . Dunque, dall'Esempio 7.1.7 e dal Teorema 7.1.5 si ha

:\

8Î#

8Ð>Ñ œ Ð > 8Î#Ñ "

>

8Î#exp i .

i Inoltre, dalle proprietà dell'espansione in serie della funzione logaritmica incampo complesso, per ogni tale che risulta- − l-l "‚

logÐ" -Ñ œ - - 9Ð- Ñ"

## # ,

da cui

log " œ 9Ð8 Ñ> > >

8Î# 8Î# 8

i i .

#"

Dunque, si ha

209Capitolo 8

:\

#"

8Ð>Ñ œ 89Ð8 Ñ

>

#exp ,

da cui

lim exp8

\

#

:8Ð>Ñ œ

>

# .

Risulta immediato riconoscere che la precedente espressione è la f.c. relativa auna v.a. con legge Normale ridotta e perciò si ottiene infine che\ Ð!ß "Ña

\ Ä \ 8 Ä ∞8_

per .

Esempio 8.1.5. Analogamente all'Esempio 8.1.4, si consideri la successione div.a. , tale che la v.a. possiede legge Chi-quadrato . Si consideriÐ^ Ñ ^8 8 " 8 8

#;inoltre la successione di v.a. , dove . Tenendo presenteÐ\ Ñ \ œ ^ Î88 8 " 8 8

l'Esempio 7.1.7, si ottiene

:\

8Î#

8Ð>Ñ œ "

# >

8 i

.

Dunque, si ha

lim exp8

\: 8Ð>Ñ œ Ð >Ñi .

Risulta immediato riconoscere che la precedente espressione è la f.c. di una v.a.

degenere concentrata su e dunque per .\ " \ Ä " 8 Ä ∞8_

Esempio 8.1.6. Si consideri la successione di v.a. dove la v.a. Ð^ Ñ ^8 8 " 8

possiede legge di Poisson e dove è una successione tale chec - -Ð Ñ Ð Ñ8 8 8 "

- -8 8 8Ä ∞ 8 Ä ∞ Ò^ Ó œ per . Tenendo presente che dalla Sezione 6.2 si ha Ee , si consideri la successione di v.a. standardizzate , doveVarÒ^ Ó œ Ð\ Ñ8 8 8 8 "-

\ œ Ð^ ÑÎ8 8 8 8- - . Dunque, dall'Esempio 7.1.2 e dal Teorema 7.1.5 si ha

:\ 8 8 88

8Ð>Ñ œ >

>exp exp - - -

-

ii .

Inoltre, dalle proprietà dell'espansione in serie della funzione esponenziale incampo complesso, per ogni risulta- − ‚

210 Convergenze

expÐ-Ñ œ " - - 9Ð- Ñ"

## # ,

da cui

exp i i .

> > >œ " 9Ð Ñ

#- - --

8 8

#

88"

Dunque, si ha

:\ 8

#

8"

8Ð>Ñ œ 9Ð Ñ

>

#exp - - ,

da cui

lim exp8

\

#

:8Ð>Ñ œ

>

# .

Risulta immediato riconoscere che la precedente espressione è la f.c. relativa auna v.a. con legge Normale ridotta e perciò si ottiene infine che\ Ð!ß "Ña

\ Ä \ 8 Ä ∞8_

per .

Teorema 8.1.3. Se è una successione di v.a. discrete a valori suÐ\ Ñ8 8 "

W © Ð Ñ \8 \ 8 " a cui corrisponde la successione di f.g. e se è un'ulterioreK8

v.a. discreta a valori su con f.g. , allora per se eW © \ Ä \ 8 Ä ∞ K\ 8_

solo se

lim8

\ \K K8Ð>Ñ œ Ð>Ñ

per ogni .> − Ò!ß "ÓDimostrazione. Si veda Gut (2005, p.240).

Esempio 8.1.7. Si consideri la successione di v.a. dove la v.a. Ð\ Ñ \8 8 " 8

possiede legge Binomiale e dove è una successione tale cheUÐ8ß : Ñ Ð: Ñ8 8 8 "

l'ulteriore successione converge alla costante . TenendoÐ8: Ñ − Ó!ß∞Ò8 8 " -presente l'Esempio 7.2.1, si ha

K\ 8 88 8

8

8Ð>Ñ œ Ð" : : >Ñ œ "

8: Ð> "Ñ

8 .

211Capitolo 8

Dunque, si ha

lim lim exp8 8

\8

8

K8Ð>Ñ œ " œ Ð Ð> "ÑÑ

8: Ð> "Ñ

8 - .

Risulta immediato riconoscere che la precedente espressione è la f.g. di una v.a.

\ Ð Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞ con legge di Poisson e dunque per . Questo risultato èc - 8_

in effetti già noto dalla Sezione 6.2.

Esempio 8.1.8. Si consideri la successione di v.a. dove la v.a. Ð\ Ñ \8 8 " 8

possiede legge Binomiale Negativa e dove è una successioneUa Ð8ß : Ñ Ð: Ñ8 8 8 "

tale che l'ulteriore successione con converge allaÐ8; Î: Ñ ; œ " :8 8 8 " 8 8

costante . Tenendo presente l'Esempio 7.2.3, si ha- − Ó!ß∞Ò

K\8 8 8

8

8 8

8Ð>Ñ œ œ "

: Ð8; Î: ÑÐ" >Ñ

" ; > 8 .

Dunque, si ha

lim lim exp8 8

\8 8

8

K8Ð>Ñ œ " œ Ð Ð> "ÑÑ

Ð8; Î: ÑÐ" >Ñ

8 - .

Risulta immediato riconoscere che la precedente espressione è la f.g. di una v.a.

\ Ð Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞ con legge di Poisson e dunque per . Questo risultato èc - 8_

in effetti già noto dalla Sezione 6.3.

Teorema 8.1.4. Sia una successione di v.a. e una v.a. tale cheÐ\ Ñ \8 8 "

\ Ä \ 8 Ä ∞ 1 À Ä8_

per . Se è una funzione continua, allora si ha‘ ‘

1Ð\ Ñ Ä 1Ð\Ñ 8 Ä ∞8_

per .Dimostrazione. Posto e , tenendo presente il Lemma] œ 1Ð\ Ñ ] œ 1Ð\Ñ8 8

di Fatou (Teorema A.7), si ha

lim lim E exp E lim exp E exp8 8 8

] 8 8 ]: :8Ð>Ñ œ Ò Ð >] ÑÓ œ Ò Ð >] ÑÓ œ Ò Ð >] ÑÓ œ Ð>Ñi i i

e la tesi segue dal Teorema 8.1.2.

Esempio 8.1.9. Analogamente all'Esempio 8.1.4, si consideri la successione div.a. standardizzate dove , mentre la v.a. Ð\ Ñ \ œ Ð^ 8ÑÎ #8 ^8 8 " 8 8 8

possiede legge Chi-quadrato . Nel medesimo Esempio è stato verificato che;8

#

212 Convergenze

\ Ä \ 8 Ä ∞ \ Ð!ß "Ñ8_

per , dove la v.a. possiede legge Normale ridotta .aTenendo presente quanto detto nella Sezione 6.8, se si considera la funzione

continua , allora si ha per , dove la v.a. trasformata1 À B Ä B \ Ä ] 8 Ä ∞# #8

_

] œ \# #" possiede legge Chi-quadrato .;

8.2. Convergenza in probabilità

Un secondo concetto di convergenza, detto , è datoconvergenza in probabilitànella seguente definizione.

Definizione 8.2.1. Se è una successione di v.a. definite sullo spazioÐ\ Ñ8 8 "

probabilizzato , allora si dice che la successione Ð ß ß T ÑH Y converge inprobabilità alla v.a. , definita sul medesimo spazio probabilizzato, se per ogni\& ! si ha

lim8

8T Ðl\ \l Ñ œ !&

e si scrive per .\ Ä \ 8 Ä ∞8T

In pratica, la definizione di convergenza in probabilità richiede che laprobabilità dell'evento che si realizza quando le v.a. e differiscono tenda a\ \8

! \ TÐ\ œ -Ñ œ ". Nel caso in cui la v.a. sia degenere e tale che , allora lacondizione della Definizione 8.2.1 si riduce a

lim8

8T Ðl\ -l Ñ œ !&

e con un abuso in notazione quasi universalmente adottato nei testi di Teoria

della Probabilità, la convergenza in probabilità viene denotata con per\ Ä -8T

8 Ä ∞.

Esempio 8.2.1. Data la v.a. che possiede legge Normale ridotta , si\ Ð!ß "Ñaconsideri la successione di v.a. tale che . Si vuoleÐ\ Ñ \ œ Ð" "Î8Ñ\8 8 " 8

verificare che la successione di v.a. converge in probabilità alla v.a. . Dal\momento che

213Capitolo 8

TÐl\ \l Ñ œ " TÐl\ \l Ÿ Ñ œ " TÐl\l Ÿ 8 Ñ

œ " .D œ # # Ð8 Ñ" D

# #

8 8

8

8 #

& & &

1F &

&

&

exp ,

allora si ha

lim lim8 8

8T Ðl\ \l Ñ œ # # Ð8 Ñ œ !& F &

e quindi per .\ Ä \ 8 Ä ∞8T

Esempio 8.2.2. Data la v.a. che possiede legge ridotta di Cauchy (si veda^l'Esempio 4.1.4), si consideri la successione di v.a. tale che .Ð\ Ñ \ œ ^Î88 8 " 8

Si vuole verificare che la successione di v.a. converge in probabilità ad una v.a.degenere concentrata su . In effetti, si ha!

T Ðl\ l Ñ œ " TÐl\ l Ÿ Ñ œ " TÐl^l Ÿ 8 Ñ

œ " .D œ " Ð8 Ñ" #

Ð" D Ñ

8 8

8

8

#

& & &

1 1&

&

&

arctan ,

da cui

lim lim arctan8 8

8T Ðl\ l Ñ œ " Ð8 Ñ œ !#

& &1

e quindi per .\ Ä ! 8 Ä ∞8T

Il seguente teorema fornisce la condizione sufficiente per la convergenza inprobabilità ad una v.a. degenere.

Teorema 8.2.2. Sia una successione di v.a. definite sullo spazioÐ\ Ñ8 8 "

probabilizzato . Se esiste un per cui si haÐ ß ß T Ñ !H Y $

lim E8

8Òl\ -l Ó œ !$ ,

allora per .\ Ä - 8 Ä ∞8T

Dimostrazione. Dalla disuguaglianza di Markov (Teorema 4.3.6), per si& !ha

214 Convergenze

TÐl\ -l Ñ œ TÐl\ -l Ñ ŸÒl\ -l Ó

8 88

& &&

$ $$

$

E

e quindi dall'ipotesi fatta risulta .lim8 8T Ðl\ -l Ñ œ !&

Dal momento che , si nota che perE Var EÒÐ\ -Ñ Ó œ Ò\ Ó Ð Ò\ Ó -Ñ8 8 8# #

$ œ # la condizione data nel Teorema 8.2.2 è equivalente alle condizionilim E lim Var8 8 8 8Ò\ Ó œ - Ò\ Ó œ ! e .

Esempio 8.2.3. Si consideri la successione di v.a. indipendenti tale cheÐ\ Ñ8 8 "

la v.a. possiede legge Binomiale per ogni . Inoltre, si consideri\ Ð"ß :Ñ 88 Ul'ulteriore successione di v.a. , dove e .Ð^ Ñ ^ œ W Î8 W œ \8 8 " 8 8 8 33œ"

8Essendo

E EÒ^ Ó œ Ò\ Ó œ :8 8 ,

allora

E Var VarÒÐ^ :Ñ Ó œ Ò^ Ó œ Ò\ Ó œ" :;

8 88 8 8

# ,

da cui . Dunque, si può concludere che lim E8 8 8 8# T

ÒÐ^ :Ñ Ó œ ! ^ œ W Î8 Ä :per . Dal momento che rappresenta la percentuale di successi in 8 Ä ∞ W Î8 88

esperimenti indipendenti dicotomici con probabilità di successo pari a (ovvero:quando si considera lo schema delle prove ripetute, vedi Esempio 1.5.2), allora ilprecedente risultato stabilisce che la percentuale di successi converge allaprobabilità di successo nel singolo esperimento. Questa particolare convergenzain probabilità costituisce in effetti la Legge Debole dei Grandi Numeri di JakobBernoulli e sarà analizzata nella sua forma generale in questa Sezione.

La condizione del Teorema 8.2.2 è sufficiente, ma non necessaria, per laconvergenza in probabilità verso una v.a. degenere. In effetti, tale convergenza sipuò verificare senza che converga verso zero. Ad esempio, questoEÒÐ\ -Ñ Ó8

#

può accadere con successioni di v.a. che non possiedono primo o secondomomento finito.

Esempio 8.2.4. Si consideri la successione di v.a. discrete , tale che laÐ\ Ñ8 8 "

v.a. prende valori sull'insieme con legge essenziale\ W œ Ö!ß 8×8

T Ð\ œ !Ñ œ " "Î8 TÐ\ œ 8Ñ œ "Î88 8 e . La successione di v.a. converge in

215Capitolo 8

probabilità ad una v.a. degenere concentrata sullo . In effetti, per risulta! 8&TÐl\ l Ñ œ ! 88 & &, mentre per si ha

TÐl\ l Ñ œ " TÐ\ œ !Ñ œ"

88 8& .

Dunque, si ottiene , da cui per . Tuttavia,lim8 8 8T

T Ðl\ l Ñ œ ! \ Ä ! 8 Ä ∞&è immediato verificare che e quindi . Inoltre, si haE lim EÒ\ Ó œ 8 Ò\ Ó œ ∞8 8

# #8

EÒ\ Ó œ "8 , da cui

lim E8

8Ò\ Ó œ " ,

ovvero la successione delle medie non converge verso .Ð Ò\ ÓÑ !E 8 8 "

Esempio 8.2.5. Si consideri la v.a. assolutamente continua che ammette d.p.^data da

0 ÐBÑ œ D ÐDÑ^ "

Ò"ß∞Òα α " .

La legge associata a questa v.a. è detta Legge di Potenza di parametro , doveαα − Ó!ß∞Ò Ð\ Ñ \ œ ^Î8. Si consideri inoltre la successione di v.a. , dove .8 8 " 8

Si vuole verificare che per ogni la successione di v.a. converge in probabilitàαad una v.a. degenere concentrata sullo . In effetti, si ha!

T Ðl\ l Ñ œ " TÐl\ l Ÿ Ñ œ " TÐl^l Ÿ 8 Ñ

œ " D .D œ Ð8 Ñ

8 8

"

8 "

& & &

α & &α α ,

da cui

lim lim8 8

8T Ðl\ l Ñ œ Ð8 Ñ œ !& & α

e quindi per . Tuttavia, è immediato verificare che per \ Ä ! 8 Ä ∞ − Ó!ß "Ó8T

αrisulta .lim E8 8

#Ò\ Ó œ ∞

I prossimi Teoremi riguardano il legame esistente tra la convergenza inprobabilità e la convergenza in distribuzione. Più esattamente, si dimostra che laconvergenza in probabilità implica la convergenza in distribuzione, mentre laproposizione inversa è vera quando si ha la convergenza in distribuzione versouna v.a. degenere.

216 Convergenze

Teorema 8.2.3. Date una v.a. e una successione di v.a. definite\ Ð\ Ñ8 8 "

sullo stesso spazio probabilizzato , se per allora siÐ ß ß T Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞H Y 8T

ha per .\ Ä \ 8 Ä ∞8_

Dimostrazione. Se , allora risulta& !

J ÐBÑ œ TÐ\ Ÿ BÑ œ TÐÖ\ Ÿ B× ∩ Öl\ \l Ÿ ×Ñ

TÐÖ\ Ÿ B× ∩ Öl\ \l ×Ñ

Ÿ TÐÖ\ Ÿ B × ∩ Öl\ \l Ÿ ×Ñ TÐl\ \l Ñ

Ÿ TÐ\ Ÿ B Ñ TÐl\ \l Ñ

\ 8 8 8

8 8

8 8

8

8&

&

& & &

& & .

Dalla definizione di convergenza in probabilità si ha lim8 8T Ðl\ \l Ñ œ !&e dunque

lim sup8

\ \J ÐBÑ Ÿ J ÐB Ñ8

& .

In modo analogo si ottiene

lim inf8

\ \J ÐBÑ J ÐB Ñ8

& .

Dal momento che è arbitrario, per ogni per cui è continua si ha& B J\

J ÐBÑ œ J ÐB Ñ Ÿ J ÐBÑ

Ÿ J ÐBÑ Ÿ J ÐB Ñ œ J ÐBÑ

\ \ \Ä! 8

8\ \ \

Ä!

lim lim inf

lim sup lim&

&

8

8

&

& ,

da cui segue , ovvero per .lim8 \ \ 8J ÐBÑ œ J ÐBÑ \ Ä \ 8 Ä ∞8

_

Teorema 8.2.4. Data una successione di v.a. definite sullo spazioÐ\ Ñ8 8 "

probabilizzato , allora per se e solo se perÐ ß ß T Ñ \ Ä - 8 Ä ∞ \ Ä -H Y 8 8T _

8 Ä ∞.Dimostrazione. Sulla base del Teorema 8.2.3 si deve dimostrare solo

l'implicazione inversa. Se , si ha& !

TÐl\ -l Ñ œ " TÐl\ -l Ÿ Ñ

œ " J Ð- Ñ J Ð- Ñ TÐ\ œ - Ñ

Ÿ " J Ð- Ñ J Ð- Ñ

8 8

\ \ 8

\ \

& &

& & &

& &8 8

8 8 .

Dal momento che per , ovvero per ogni\ Ä - 8 Ä ∞ J ÐBÑ œ ÐBÑ8 8 \ Ò-ß∞Ò_

lim8

"

B Á - J Ð- Ñ œ " J Ð- Ñ œ !, allora si ha e . Dunque, si halim lim8 \ 8 \8 8& &

217Capitolo 8

lim8

\ \Ð" J Ð- Ñ J Ð- ÑÑ œ !8 8

& & ,

da cui segue che per .\ Ä - 8 Ä ∞8T

Esempio 8.2.6. Analogamente all'Esempio 8.1.5, si consideri la successione div.a. , tale che la v.a. possiede legge Chi-quadrato , e la successioneÐ^ Ñ ^8 8 " 8 8

#;di v.a. , dove . Nel medesimo esempio è stato verificato cheÐ\ Ñ \ œ ^ Î88 8 " 8 8

\ Ä " 8 Ä ∞ \ Ä "8 8T_

per e dunque dal Teorema 8.2.4 si ha anche che per8 Ä ∞.

Si introducono di seguito alcuni risultati sulla convergenza per successioni ditrasformate di v.a. In particolare, viene dato il cosiddetto Teorema di Cramér-Slutsky, che prende nome dallo statistico matematico svedese Harald Cramér(1893-1985) e dal probabilista ed economista russo Evgeny Evgenievich Slutsky(1880-1948).


sullo stesso spazio probabilizzato , se per eÐ ß ß T Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞H Y 8T

1 À Ä 1Ð\ Ñ Ä 1Ð\Ñ 8 Ä ∞‘ ‘ è una funzione continua, allora si ha per .8T

Dimostrazione. Sia una costante per cui si ha con- ! TÐl\l -Ñ Î#$$ ! 1 8. Inoltre, dal momento che è continua, allora per abbastanza elevatoesiste un tale che$ $ &œ Ð Ñ

T Ðl1Ð\ Ñ 1Ð\Ñl Ñ œ TÐÖl1Ð\ Ñ 1Ð\Ñl × ∩ Öl\l Ÿ -×Ñ

TÐÖl1Ð\ Ñ 1Ð\Ñl × ∩ Öl\l -×Ñ

Ÿ TÐÖl\ \l ×Ñ TÐÖl\l -×Ñ

Ÿ œ# #

8 8

8

8

& &

&

$

$ $$ ,

da cui segue che per .1Ð\ Ñ Ä 1Ð\Ñ 8 Ä ∞8T

Teorema 8.2.6. (Teorema di Cramér-Slutsky) Si considerino duesuccessioni di v.a. e definite sullo stesso spazio probabilizzatoÐ\ Ñ Ð] Ñ8 8 " 8 8 "

Ð ß ß T Ñ \ \ Ä \H Y e la v.a. definita sul medesimo spazio probabilizzato. Se e8_

] Ä - 8 Ä ∞8T

per , allora si ha

218 Convergenze

\ ] Ä \ -8 8_

,

\ ] Ä \ -8 8_

,

\ ] Ä -\8 8_

,

\ \

] -Ä - Á !

8

8

_ , ,

per .8 Ä ∞Dimostrazione. Si dimostra la prima relazione. Per , si ha& !

J ÐBÑ œ TÐ\ ] Ÿ BÑ œ TÐÖ\ ] Ÿ B× ∩ Öl] -l Ÿ ×Ñ

TÐÖ\ ] Ÿ B× ∩ Öl\ -l ×Ñ

Ÿ TÐÖ\ Ÿ B - × ∩ Öl] -l Ÿ ×Ñ TÐl] -l Ñ

Ÿ TÐ\ Ÿ B - Ñ TÐl] -l

\ ] 8 8 8 8 8

8 8 8

8 8 8

8 8

8 8&

&

& & &

& &Ñ .

Dalla definizione di convergenza in probabilità si ha elim8 8T Ðl] -l Ñ œ !&

dal momento che , se è un punto di continuità per , si ha\ Ä \ ÐB - Ñ J8 \_

&

lim sup8

\ ] \J ÐBÑ Ÿ J ÐB - Ñ8 8

& .

In modo analogo, se è un punto di continuità per , si ottieneÐB - Ñ J& \

lim inf8

\ ] \J ÐBÑ J ÐB - Ñ8 8

& .

Dal momento che può essere scelto piccolo in modo arbitrario e dal momento&che l'insieme dei punti di discontinuità di è al più numerabile (TeoremaJ\

3.2.6), per ogni per cui è continua si haÐB -Ñ J\

lim8

\ ] \J ÐBÑ œ J ÐB -Ñ8 8

,

ovvero per . Le altre relazioni si verificano in modo\ ] Ä \ -8 8_

8 Ä ∞analogo.

Esempio 8.2.7. Si consideri la successione di v.a. , dove la v.a. possiedeÐ^ Ñ ^8 8

legge di Student con gradi di libertà. Tenendo presente la Sezione 6.10, la> 8

219Capitolo 8

v.a. può essere rappresentata come , dove la v.a. ^ ^ œ \ Î ] Î8 \8 8 8 8 8possiede legge Normale ridotta , mentre la v.a. possiede legge Chi-a Ð!ß "Ñ ]8

quadrato . Dall'Esempio 8.2.6 si ha che per . Inoltre, dal;8#

8T

] Î8 Ä " 8 Ä ∞momento che la funzione è continua, allora dal Teorema 8.2.5 si ha1 À B È Bche per . Infine, tenendo presente che banalmente si ha] Î8 Ä " 8 Ä ∞8

T

\ Ä ^ ^ Ð!ß "Ñ8_

, dove la v.a. possiede legge Normale ridotta , dal Teoremaa

8.2.6 si ha dunque che per .^ Ä ^ 8 Ä ∞8_

Il seguente Teorema fornisce un celebre risultato, ovvero la cosiddetta LeggeDebole dei Grandi Numeri, nella sua forma più comune.

Teorema 8.2.7. (Legge Debole dei Grandi Numeri) Sia unaÐ\ Ñ8 8 "

successione di v.a. non correlate definite sullo spazio probabilizzato ,Ð ß ß T ÑH Ytali che per ogni si ha e . Data l'ulteriore8 Ò\ Ó œ Ò\ Ó - ∞E Var8 8.

successione di v.a. , dove , allora si ha perÐW Î8Ñ W œ \ W Î8 Ä8 8 " 8 3 83œ"8 T .

8 Ä ∞.Dimostrazione. Se , dal momento che^ œ W Î88 8

E EÒ^ Ó œ Ò\ Ó œ8 3

3œ"

8 .

e, dal momento che le v.a. della successione sono non correlate, si ha

Var VarÒ^ Ó œ Ò\ Ó " -

8 88 3#

3œ"

8 .

Inoltre, dalla disuguaglianza di Chebyshev (Teorema 4.3.7), per si ha& !

TÐl^ l Ñ Ÿ Ò^ Ó -

88

8

# #. &

& &

Var .

Dunque, risulta

lim8

8T Ðl^ l Ñ œ !. & ,

ovvero per .W Î8 Ä 8 Ä ∞8T.

220 Convergenze

Un'ulteriore versione fondamentale della Legge Debole dei Grandi Numeri èstata ottenuta in un approccio generale dal probabilista russo AleksandrYakovlevich Khinchin (1894-1959) e viene data di seguito.

Teorema 8.2.8. (Legge Debole dei Grandi Numeri di Khinchin) SiaÐ\ Ñ8 8 " una successione di v.a. indipendenti con la medesima legge definitesullo spazio probabilizzato , tali che per ogni si ha . DataÐ ß ß T Ñ 8 Ò\ Ó œH Y .E 8

l'ulteriore successione di v.a. , dove , allora si haÐW Î8Ñ W œ \8 8 " 8 33œ"8

W Î8 Ä 8 Ä ∞8T. per .

Dimostrazione. Dal Teorema 7.1.7 si ha

:\8Ð>Ñ œ " > 9Ð>Ñi ..

Inoltre, dal Teorema 7.3.6 e dal Teorema 7.1.5 si ha

:W Î8"

8

8Ð>Ñ œ " 9Ð8 Ñ

>

8 i

,.

da cui

lim exp8

\: 8Ð>Ñ œ Ð >Ñi ..

Dunque, tenendo presente il Teorema 8.1.2 si ha per , ovveroW Î8 Ä 8 Ä ∞8_.

dal Teorema 8.2.4 si ottiene infine che per .W Î8 Ä 8 Ä ∞8T.

8.3. Convergenza quasi certa

Un terzo concetto di convergenza, detto , è dato nellaconvergenza quasi certaseguente definizione.


probabilizzato , allora si dice che la successione Ð ß ß T ÑH Y converge quasicertamente alla v.a. , definita sul medesimo spazio probabilizzato, se l'evento\

Ö − À \ Ð Ñ œ \Ð Ñ× œ Ö \ œ \×= H = =lim lim8 8

8 8

si verifica , ovvero se;Þ-Þ

221Capitolo 8

T \ œ \ œ " lim8

8 ,

e si scrive per .\ Ä \ 8 Ä ∞8;Þ-Þ

Nel caso in cui la v.a. sia degenere e tale che , allora la\ TÐ\ œ -Ñ œ "condizione della Definizione 8.3.1 si riduce a

T \ œ - œ " lim8

8 ,

e con il solito abuso in notazione, la convergenza quasi certa viene denotata con

\ Ä - 8 Ä ∞8;Þ-Þ

per .Risulta inoltre interessante notare che, dalla definizione di limite, l'evento

Ö \ œ \× 7 8lim8 8 si verifica se per ogni intero esiste un intero tale che perogni si verifica l'evento . Dunque, anche tenendo5 8 Öl\ \l Ÿ 7 ×5

"

presente la definizione di limite superiore di una successione di eventi, si ha

Ö \ œ \× œ Öl\ \l Ÿ 7 ×

œ Öl\ \l Ÿ 7 ×

lim

lim lim sup

88 5

7œ"8œ"

∞ ∞ ∞

5œ8

"

7 88

"

,

ovvero, dal momento che è una successioneÐ Öl\ \l Ÿ 7 ×Ñlim sup8 8 7 ""

decrescente di eventi e in base al Teorema 2.2.10, la condizione dellaDefinizione 8.3.1 è equivalente a

T \ œ \ œ T Öl\ \l Ÿ 7 ×

œ T Öl\ \l Ÿ 7 × œ "

lim

lim lim sup

88 5

7œ"8œ"

∞ ∞ ∞

5œ8

"

7 88

" .

Il seguente Teorema stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchèsi verifichi la convergenza quasi certa.


sullo stesso spazio probabilizzato , allora per se eÐ ß ß T Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞H Y 8;Þ-Þ

solo se per ogni si ha& !

222 Convergenze

lim8

5œ8

∞

5T Öl\ \l Ÿ × œ " & ,

o equivalentemente che

lim8

5œ8

∞

5T Öl\ \l × œ ! & .

Dimostrazione. Posto

G œ Öl\ \l Ÿ 7 ×8ß7 5

5œ8

∞" ,

si noti che la successione di eventi è crescente per ogni intero .ÐG Ñ 78ß7 8 "

Inoltre, la condizione della Definizione 8.3.1 è verificata se e solo se per ogniintero si ha7

T G œ " 8œ"

∞

8ß7 .

Tenendo presente la definizione di limite di successione crescente di eventi, dalTeorema 2.2.10 si ottiene inoltre

T G œ T G œ TÐG Ñ 8œ"

∞

8ß7 8ß7 8ß78 8

lim lim ,

da cui segue la prima parte. Inoltre, dalla relazione di De Morgan si ha

G œ Öl\ \l 7 ×8ß7 5

5œ8

∞"

-

,

da cui segue la seconda parte.

Esempio 8.3.1. Si consideri la successione di v.a. dell'Esempio 8.2.1.Ð\ Ñ8 8 "


223Capitolo 8

T Öl\ \l × œ T Öl\l 5 ×

œ TÐl\l 8 Ñ œ

5œ8 5œ8

∞ ∞

5 & &

& # # Ð8 ÑF &

allora risulta

lim lim8 8

T Öl\ \l × 5œ8

∞

5 & œ # # Ð8 Ñ œ !F &

e quindi per .\ Ä \ 8 Ä ∞8;Þ-Þ

Esempio 8.3.2. Si consideri la successione di v.a. dell'Esempio 8.2.2.Ð\ Ñ8 8 "


T Öl\ l × œ T Öl^l 5 ×

œ TÐl^l 8 Ñ œ

5œ8 5œ8

∞ ∞

5 & &

& " Ð8 Ñ#

1&arctan ,

allora risulta

lim lim arctan8 8

T Öl\ l × 5œ8

∞

5 & œ " Ð8 Ñ œ !#

1&

e quindi per .\ Ä ! 8 Ä ∞8;Þ-Þ

Dal Teorema 8.3.2 si intuisce come la convergenza quasi certa implichi unacondizione molto più forte di quella richiesta nella convergenza in probabilità. Ineffetti vale il seguente Teorema.


sullo stesso spazio probabilizzato , se per allora siÐ ß ß T Ñ \ Ä \ 8 Ä ∞H Y 8;Þ-Þ

ha per .\ Ä \ 8 Ä ∞8T

Dimostrazione. Dato , per ogni si ha& ! 8

224 Convergenze

TÐl\ \l Ñ Ÿ T Öl\ \l ×8 5

5œ8

∞

& & .

Dunque, se per , dal Teorema 8.3.2 e dalla precedente relazione\ Ä \ 8 Ä ∞8;Þ-Þ

si ha , ovvero per .lim8 8 8T

T Ðl\ \l Ñ œ ! \ Ä \ 8 Ä ∞&

Esempio 8.3.3. Si consideri la successione di v.a. discrete dell'EsempioÐ\ Ñ8 8 "

8.2.4, assumendo l'indipendenza delle v.a. Evidentemente, anche in questo caso

si ha per . Dunque, in base al Teorema 8.3.3, se vi è\ Ä ! 8 Ä ∞8T

convergenza quasi certa la successione deve necessariamente convergere versouna v.a. degenere concentrata sullo . Tuttavia, per ogni si ha! !%TÐl\ l Ñ œ "Î88 & , e quindi

T Öl\ l × œ TÐl\ l Ñ œ œ ∞"

8 8œ" 8œ" 8œ"

∞ ∞ ∞

8 8& & .

Dunque, dal Lemma di Borel-Cantelli (Teorema 2.7.1) si ottiene cheTÐ l\ l Ñ œ "lim sup8 8 & , ovvero la successione non può converge quasicertamente a .!

Il seguente Teorema fornisce condizioni sufficienti per la convergenza quasicerta verso una v.a. degenere.

Teorema 8.3.4. Data una successione di v.a. definite sullo stessoÐ\ Ñ8 8 "

spazio probabilizzato , allora per se per ogni si haÐ ß ß T Ñ \ Ä - 8 Ä ∞H Y &8;Þ-Þ

8œ"

∞

8T Ðl\ -l Ñ ∞& .

Alternativamente, per se esiste un per cui si ha\ Ä - 8 Ä ∞ !8;Þ-Þ

$

8œ"

∞

8EÒl\ -l Ó ∞$ .

Dimostrazione. Dalla disugualianza di Bonferroni (Teorema 2.2.8), segue che

225Capitolo 8

T Öl\ \l × Ÿ TÐl\ -l Ñ 5œ8 5œ8

∞ ∞

5 5& & .

Dal momento che l'ipotesi di convergenza della serie 8œ"∞

8T Ðl\ -l Ñ&implica

lim8

5œ8

∞

5TÐl\ -l Ñ œ !& ,

segue la prima parte del Teorema. Tenendo presente la disuguaglianza diMarkov (Teorema 4.3.6), si ha inoltre

5œ8 5œ8 5œ8

∞ ∞ ∞

5 5 5T Ðl\ -l Ñ œ TÐl\ -l Ñ Ÿ Òl\ -l Ó"

& &&

$ $ $$

E .

Dal momento che l'ipotesi di convergenza della serie implica8œ"∞ EÒl\ -l Ó8

$

lim8

5œ8

∞ EÒl\ -l Ó5$ œ ! ,

allora si ha la seconda parte.

Esempio 8.3.4. In modo simile all'Esempio 8.2.3, si consideri la successione div.a. indipendenti tale che la v.a. possiede legge Binomiale Ð\ Ñ \ Ð"ß :Ñ8 8 " 8 Uper ogni . Inoltre, si consideri l'ulteriore successione di v.a. , dove8 Ð^ Ñ8 8 "

^ œ W Î8 W œ \8 8 8 33œ"8 e . Tenendo presente la seconda condizione del

Teorema 8.3.4, posto , dal momento che possiede legge Binomiale$ œ % W8

UÐ8ß :Ñ si ha

E EÒÐ^ :Ñ Ó œ ÒÐW 8:Ñ Ó œ " $: ; :;Ð" ':;Ñ

8 8 88 8

% %% # $

# #

,

dove l'ultima relazione è stata ottenuta attraverso l'applicazione laboriosa, maovvia, del Teorema 7.1.6. Dunque, dalla definizione della funzione Zeta diRiemann (si veda Esempio 7.2.7), risulta

8œ"

∞

EÒÐ^ :Ñ Ó œ $: ; Ð#Ñ :;Ð" ':;Ñ Ð$Ñ ∞8% # #' ' ,

226 Convergenze

dove e . Dunque, si può concludere che' 1 ' ' 1Ð#Ñ œ Î' Ð$Ñ Ð%Ñ œ Î*!# %

^ œ W Î8 Ä : 8 Ä ∞8 8;Þ-Þ

per . Questa particolare convergenza quasi certacostituisce un caso particolare della Legge Forte dei Grandi Numeri.

Il seguente Teorema fornisce la cosiddetta Legge Forte dei Grandi Numeri,nella sua forma introdotta da Andrej Kolmogorov.

Teorema 8.3.5. (Legge Forte dei Grandi Numeri di Kolmogorov) SiaÐ\ Ñ8 8 " una successione di v.a. indipendenti con la medesima legge definitesullo spazio probabilizzato , tali che per ogni si ha . DataÐ ß ß T Ñ 8 Ò\ Ó œH Y .E 8

l'ulteriore successione di v.a. , dove , allora si haÐW Î8Ñ W œ \8 8 " 8 33œ"8

W Î8 Ä 8 Ä ∞8;Þ-Þ

. per .Dimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.85).

8.4. Convergenza in media

Un ulteriore concetto di convergenza, che è usualmente detto convergenza inmedia di ordine in media quadratica: (o semplicemente quando ), viene: œ #definito di seguito. La convergenza in media sarà centrale nello sviluppo dellateoria dell'integrazione stocastica presentata nel Capitolo 10.


probabilizzato e se , allora si dice che la successioneÐ ß ß T Ñ : − Ó!ß∞ÒH Yconverge in media di ordine : alla v.a. , definita sul medesimo spazio\probabilizzato, se si ha

lim E8

8:Òl\ \l Ó œ !

e si scrive per .\ Ä \ 8 Ä ∞8P:

La convergenza in media di ordine risulta effettivamente equivalente alla:convergenza in norma di ordine considerata in Teoria della Misura. Questo è il:motivo per cui questo tipo di convergenza viene indicata con il simbolo (siP:

veda l'Appendice A). Nel caso in cui la v.a. sia degenere e tale che\TÐ\ œ -Ñ œ ", allora la condizione della Definizione 8.4.1 si riduce a

227Capitolo 8

lim E8

8:Òl\ -l Ó œ !

e si scrive per con il solito abuso in notazione.\ Ä - 8 Ä ∞8P:

Esempio 8.4.1. Si consideri una successione di v.a. indipendenti con laÐ\ Ñ8 8 "

medesima legge e tali che per ogni si ha e . Si8 Ò\ Ó œ Ò\ Ó œ ∞E Var8 8#. 5

consideri inoltre l'ulteriore successione di v.a. con . DalÐW Î8Ñ W œ \8 8 " 8 33œ"8

momento che e , allora si haE VarÒW Ó œ 8 ÒW Ó œ 88 8#. 5

lim E lim lim limE Var

8 8 8 88

# 8 8# #

# #ÒÐW Î8 Ñ Ó œ œ œ œ !

ÒÐW 8 Ñ Ó ÒW Ó

8 8 8.

. 5 .

Dunque, risulta per . Inoltre, dal momento che si haW Î8 Ä 8 Ä ∞8P#

.

E EÒlW Î8 lÓ Ÿ ÒÐW Î8 Ñ Ó8 8# "Î#

. .

per la disuguaglianza di Lyapunov (Teorema 4.3.2), allora risulta anche

W Î8 Ä 8 Ä ∞8P"

. per .

La convergenza in media di ordine implica la convergenza in probabilità.:Questo risultato era già stato in effetti evidenziato nel Teorema 8.2.2 nel caso diconvergenza ad una variabile degenere e viene generalizzato nel seguenteTeorema.


sullo stesso spazio probabilizzato , se esiste un per cui si haÐ ß ß T Ñ : − Ó!ß∞ÒH Y

\ \ 8 Ä ∞ \ Ä \ 8 Ä ∞8 8T

ÄP:

per allora risulta per .Dimostrazione. Dalla disuguaglianza di Markov (Teorema 4.3.6), per si& !

ha

TÐl\ \l Ñ œ TÐl\ \l Ñ ŸÒl\ \l Ó

8 8: : 8

:

:& &

&

E

e dal momento che dalle ipotesi fatte si ha , allora risultalim E8 8:Òl\ \l Ó œ !

anche , ovvero per .lim8 8 8T

T Ðl\ \l Ñ œ ! \ Ä \ 8 Ä ∞&

Per quanto riguarda la relazione fra convergenza quasi certa e convergenza inmedia di ordine , in generale non si possono fare affermazioni. In effetti, ci:

228 Convergenze

sono casi in cui vi è convergenza quasi certa, ma non quella in media di ordine :e viceversa. I seguenti esempi evidenziano queste situazioni.

Esempio 8.4.2. Si consideri una v.a. con legge Uniforme su e la^ Ó!ß "Òsuccessione dove . Evidentemente la v.a. èÐ\ Ñ \ œ # Ð^Ñ \8 8 " 8 8

8Ò!ß"Î8Ò"

discreta ed è definita su con probabilità eÖ!ß # × T Ð\ œ !Ñ œ " "Î888

T Ð\ œ # Ñ œ "Î888 . Tenendo presente il Teorema 8.3.2, si ha

lim lim lim8 8 8

5œ8

∞

5 8T Öl\ l × œ TÐ\ Ñ œ œ !"

8 & & ,

ovvero . Tuttavia, dal momento che\ Ä !8;Þ-Þ

lim E lim8 8

8:

8:

Òl\ l Ó œ œ ∞#

8 ,

non vi è convergenza in media per nessun valore di .:

Esempio 8.4.3. Si consideri una v.a. con legge Uniforme su e sia data^ Ó!ß "Òinoltre la successione dove con ,Ð\ Ñ \ œ Ð^Ñ 8 œ # 48 8 " 8 Ò4# ßÐ4"Ñ# Ò

7" 7 7

4 œ Ö!ß "ßá ß # "× 7 − \ œ Ð^Ñ \ œ Ð^Ñ7" #Ò!ß"Ò Ò!ß"Î#Ò e . Dunque, , , " "

\ œ Ð^Ñ \ œ Ð^Ñ \ œ Ð^Ñ \ œ Ð^Ñ$ % & 'Ò"Î#ß"Ò Ò!ß"Î%Ò Ò"Î%ß"Î#Ò Ò"Î#ß$Î%Ò" " " ", , , ,\ œ Ð^Ñ \( "Ò$Î%ß"Ò" e così via. In questo caso, è una v.a. degenere tale cheTÐ\ œ "Ñ œ " \" 8, mentre è una v.a. di Bernoulli di parametroTÐ\ œ "Ñ œ # 8 œ # 4 "8

7 7 per . Dal momento che

lim E lim8 7

8: 7:Òl\ l Ó œ # œ ! ,

allora per ogni valore di . Tuttavia, dal Teorema 8.3.2, si ha\ Ä ! :8P:

lim lim8 8

5œ8

∞

5 "T Öl\ l × œ TÐ\ œ "Ñ œ " & ,

ovvero la successione non può converge quasi certamente a . !

Il prossimo teorema fornisce una condizione per la quale la convergenza quasicerta implica la convergenza in media di ordine .:

229Capitolo 8


sullo stesso spazio probabilizzato , se per eÐ ß ß T Ñ \ \ 8 Ä ∞H Y 8 Ä;Þ-Þ

Öl\ l Ÿ ] × ;Þ-Þ ] Ò] Ó ∞ \ Ä \8 8: per una v.a. tale che , allora si ha perE

P:

8 Ä ∞.Dimostrazione. Si noti che dalle assunzioni si ha .E EÒl\ l Ó Ÿ Ò] Ó ∞8

: :

Inoltre, dal momento che , allora risulta anche e\ Ä \ Òl\l Ó Ÿ Ò] Ó ∞8;Þ-Þ : :E E

Öl\l Ÿ ] × ;Þ-Þ Öl\ \l Ÿ #] × ;Þ-Þ ! Dunque, si ha , da cui per ogni si8 &ottiene

E E

E

E

Òl\ \l Ó œ Òl\ \l Ðl\ \lÑ

Òl\ \l Ðl\ \lÑÓ

Ÿ # Ò] Ðl\ \lÑÓ

8 8 8: :

Ò!ß Ò

8 8:

Ò ß∞Ò: : :

Ò ß∞Ò 8

"

"

"

&

&

&& .

Dal momento che , allora , si ha anche\ Ä \ Ò] Ðl\ \lÑÓ œ !8 8 8;Þ-Þ :

Ò ß∞Òlim E " &

che . Dunque, essendo arbitrario, dalla precedente relazione segue che\ Ä \8T

&lim E8 8

:Òl\ \l Ó œ !, ovvero si ha la tesi.

8.5. Teoremi limite

Si considerano di seguito alcuni teoremi di convergenza che hanno importantiaspetti applicativi in ambiti come la statistica inferenziale. Questi classicirisultati sono comunemente denominati come Teoremi Centrali del Limite (dovecentrale va inteso nel senso di fondamentale) sulla base di una traduzioneleggermente impropria dalla terminologia inglese, ma di uso comune nellaletteratura italiana.

Teorema 8.5.1. (Teorema Centrale del Limite di Lindeberg-Lévy) SiaÐ\ Ñ8 8 " una successione di v.a. indipendenti con la medesima legge e definitesullo spazio probabilizzato , tali che per ogni si ha eÐ ß ß T Ñ 8 Ò\ Ó œH Y .E 8

VarÒ\ Ó œ ∞ Ð^ Ñ8 8 8 "#5 . Si consideri inoltre la successione di v.a. con

^ œ œW ÒW Ó W 8

ÒW Ó 88

8 8 8

8

EVar

.

5e . Se la v.a. possiede legge , allora perW œ \ ^ Ð!ß "Ñ ^ Ä ^8 3 83œ"

8 a_

8 Ä ∞.

230 Convergenze

Dimostrazione. Se , si ha e . Sulla] œ Ð\ ÑÎ Ò] Ó œ ! Ò] Ó œ "3 3 3 3. 5 E Varbase del Teorema 7.1.6, per la f.c. della v.a. può essere espressa come> Ä ! ]3

:] 3

# #

3# # #

3Ð>Ñ œ " > Ò] Ó Ò] Ó 9Ð> Ñ œ " 9Ð> Ñ

Ð >Ñ >

# #i .

iE E

Dal momento che

^8

3œ"

8

œ ]"

8 3 ,

allora si ottiene

: :^ ]

8#

"8

8 3Ð>Ñ œ œ " 9Ð8 Ñ

> >

8 #8 .

Dunque, si ha

lim exp8

^

#

:8Ð>Ñ œ

>

# ,

ovvero dal Teorema di Lévy (Teorema 8.1.2) si ottiene la tesi.

Questa versione di Teorema Centrale del Limite è stata appunto introdotta daPaul Lévy e dal probabilista finnico Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932). IlTeorema 8.5.1 contiene come caso particolare la versione primitiva del TeoremaCentrale del Limite data da Abraham de Moivre, nella quale si assume cheÐ\ Ñ8 8 " sia una successione di v.a. indipendenti con la medesima legge e taleche ogni v.a. ammette legge di Bernoulli . Dal momento che\ Ð"ß :Ñ8 UW œ \ Ð8ß :Ñ8 33œ"

8 ammette legge Binomiale (si veda l'Esempio 7.4.3), ilUTeorema Centrale del Limite dato da De Moivre fornisce la convergenza in leggedella successione di v.a. standardizzate , dove ,Ð^ Ñ ^ œ ÐW 8:ÑÎ 8:;8 8 " 8 8 ad una v.a. con legge per .a Ð!ß "Ñ 8 Ä ∞

La seguente versione di Teorema Centrale del Limite può essere applicata asuccessioni di v.a. indipendenti con differenti medie e varianze. Il Teorema, oltreche da Paul Lévy e da Jarl Lindeberg, prende nome dal probabilista croatoVilibald (William) Srecko Feller (1906-1970).

231Capitolo 8

Figure 8.5.1. Vilibald (William) Srecko Feller (1906-1970).

Teorema 8.5.2. (Teorema Centrale del Limite di Lindeberg-Lévy-Feller)Sia una successione di v.a. indipendenti definite sullo spazioÐ\ Ñ8 8 "

probabilizzato , tali che e per ogni .Ð ß ß T Ñ Ò\ Ó œ Ò\ Ó œ ∞ 8H Y . 5E Var8 8 8 8#

Posto , si consideri inoltre la successione di v.a. con@ œ Ð^ Ñ8# #

3œ"8

3 8 8 " 5

^ œ Ð\ Ñ"

@8 3 3

8 3œ"

8 . .

Se per ogni si ha& !

lim E8 8

#3œ"

8

3 3 3 3#

Ó @ ß∞Ò"

@ÒÐ\ Ñ Ðl\ lÑÓ œ ! . ." & 8

,

allora per , dove la v.a. possiede legge .^ Ä ^ 8 Ä ∞ ^ Ð!ß "Ñ8_

aDimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.359).

La prossima versione di Teorema Centrale del Limite è dovuta a Lyapunov.Nelle medesime ipotesi del Teorema Centrale del Limite dato da Lindeberg-Lévy-Feller, questa versione richiede su una condizione più forte, ma spesso piùfacile da verificare.

Teorema 8.5.3. (Teorema Centrale del Limite di Lyapunov) Sia Ð\ Ñ8 8 "

una successione di v.a. indipendenti definite sullo spazio probabilizzatoÐ ß ß T Ñ Ò\ Ó œ Ò\ Ó œ ∞ 8H Y . 5, tali che e per ogni . PostoE Var8 8 8 8

#

@ œ Ð^ Ñ8# #

3œ"8

3 8 8 " 5 , si consideri inoltre la successione di v.a. con

232 Convergenze

^ œ Ð\ Ñ"

@8 3 3

8 3œ"

8 . .

Se esiste un tale che per ogni e che$ # Òl\ l Ó ∞ 8E 8$

lim E8

8Î#

3œ"

8

3 3"

@Òl\ l Ó œ !

$$ . ,

allora per , dove la v.a. possiede legge .^ Ä ^ 8 Ä ∞ ^ Ð!ß "Ñ8_

aDimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.362).

Esempio 8.5.1. Si consideri la successione di v.a. indipendenti tale cheÐ\ Ñ8 8 "

la v.a. possiede legge Binomiale . Risulta dunque .\ Ð"ß : Ñ @ œ : ;8 8 3 38#

3œ"8U

Inoltre, dal momento che , segue cheÖl\ : l Ÿ "× ;Þ-Þ3 3

E E EÒl\ : l Ó œ ÒÐ\ : Ñ l\ : lÓ Ÿ ÒÐ\ : Ñ Ó œ : ;3 3 3 3 3 3 3 3 3 3$ # # .

Dunque, considerando il Teorema 8.5.3 con , si ha$ œ $

" " "

@ @Òl\ l Ó Ÿ : ; œ

@8 8$Î# $Î#

3œ" 3œ"

8 8

3 3 3 3$

8

E .

e la relativa condizione è dunque soddisfatta se . In questo caso, selim8 8@ œ ∞si considera la successione di v.a. , conÐ^ Ñ8 8 "

^ œW :

: ;8

8 33œ"8

3œ"8

3 3

"

@Ð\ : Ñ œ

8 3œ"

8

3 3 e , si ha per dove la v.a. possiede leggeW œ \ ^ Ä ^ 8 Ä ∞ ^8 3 83œ"

8 _

a Ð!ß "Ñ. Questo risultato costituisce in effetti una estensione del TeoremaCentrale del Limite dato da De Moivre. In particolare, se esiste tale che- − Ó!ß "Ò: − Ó-ß " -Ò ; − Ó-ß " -Ò @ 8-3 3 8

#, allora si ha anche e da cui segue , ovverola condizione di Lyapunov è soddisfatta. La condizione di Lyapunov può esseresoddisfatta perfino se . Ad esempio, se , allora si halim8 8 8

": œ ! : œ 8

@ œ 3 38

3œ" 3œ"

8 8" #

233Capitolo 8

e quindi la condizione è verificata dal momento che la serie non3œ"∞ "3

converge, mentre risulta .3œ"∞ # #3 œ Î'1

Si considera infine un teorema di convergenza, comunemente detto metodoDelta, che è spesso di notevole utilità pratica per lo studio di successioni di v.a.

Teorema 8.5.4. (Metodo Delta) Sia una successione di v.a.Ð\ Ñ8 8 "

indipendenti con la medesima legge e definite sullo spazio probabilizzatoÐ ß ß T Ñ Ð^ ÑH Y . Sia inoltre la successione di v.a. con8 8 "

^ œ 8\

88 )

< ,

dove e sono opportune costanti, tale che per e dove la v.a.) < ^ Ä ^ 8 Ä ∞8_

^ Ð!ß "Ñ 1 À Ä possiede legge . Se è una funzione continua ea ‘ ‘differenziabile tale che , data la successione di v.a. con1 Ð Ñ Á ! Ð] Ñw

8 8 ")

] œ 81Ð\ Ñ 1Ð Ñ

l1 Ð Ñl8

8

w )

) < ,

si ha per .] Ä ^ 8 Ä ∞8_

Dimostrazione. Si veda Billingsley (1995).

Esempio 8.5.2. Sia una successione di v.a. indipendenti e con laÐW Î8Ñ8 8 "

medesima legge tale che ogni v.a. ammette legge di Binomiale . DalW Ð8ß :Ñ8 UTeorema Centrale del Limite dato da De Moivre la successione di v.a. Ð^ Ñ8 8 "

con

^ œ 8W Î8 :

:Ð" :Ñ8

8 è tale che per , dove la v.a. possiede legge . Dunque,^ Ä ^ 8 Ä ∞ ^ Ð!ß "Ñ8

_a

se è una funzione continua e differenziabile tale che , per la1 À Ä 1 Ð:Ñ Á !‘ ‘ w

successione di v.a. conÐ] Ñ8 8 "

] œ 81ÐW Î8Ñ 1Ð:Ñ

l1 Ð:Ñl :Ð" :Ñ8

8

w ,

234 Convergenze

si ha per . In particolare, se si richiede ,] Ä ^ 8 Ä ∞ l1 Ð:Ñl :Ð" :Ñ œ "8w_

allora deve risultare , ovvero si ottiene che1Ð:Ñ œ # :arcsin] œ # 8 Ð W Î8 :Ñ8 8 arcsin arcsin .

Questa particolare scelta della funzione è detta in generale trasformazione1stabilizzatrice, in quanto permette di ottenere una costante al denominatore dellaprecedente definizione della v.a. . Questo risultato è spesso utile nella]8

statistica inferenziale.

8.6. Convergenza di vettori aleatori

I concetti di convergenza possono essere estesi al caso di v.v.a. Per quantoriguarda la notazione adottata in questo capitolo, denota come al solito lam † mdistanza euclidea in . Inoltre, se rappresenta la f.r.c. di un v.v.a. con ‘5

\J \ 5componenti marginali, è un punto di continuità di se laB œ ÐB ßá ß B Ñ J" 5 \

T

frontiera dell'insieme ha probabilità nulla.Ó ∞ß B Ó ‚â‚ Ó ∞ßB Ó" 5

Definizione 8.6.1. Se è una successione di v.v.a. (ognuno dei qualiÐ\ Ñ8 8 "

possiede componenti marginali) a cui corrisponde la successione di f.r.c.5ÐJ Ñ \\ 8 "8

, si dice che la successione di v.v.a. al v.v.a. conconverge in leggef.r.c. se per ogni punto di continuità di si haJ B − J\ \

5‘

lim8

\ \J ÐBÑ œ J ÐBÑ8

e si scrive per . Se è una successione di v.v.a. definiti\ Ä \ 8 Ä ∞ Ð\ Ñ8 8 8 "_

sullo spazio probabilizzato , si dice che la successione di v.v.a.Ð ß ß T ÑH Yconverge in probabilità al v.v.a. , definito sul medesimo spazio probabilizzato,\se per ogni si ha& !

lim8

8T Ðm\ \m Ñ œ !&

e si scrive per . Se è una successione di v.v.a. definiti\ Ä \ 8 Ä ∞ Ð\ Ñ8 8 8 "T

sullo spazio probabilizzato , si dice che la successione di v.v.a.Ð ß ß T ÑH Yconverge quasi certamente al v.v.a. , definito sul medesimo spazio\probabilizzato, se l'evento

235Capitolo 8

Ö − À \ Ð Ñ œ \Ð Ñ× œ Ö \ œ \×= H = =lim lim8 8 8 8

si verifica e si scrive per . Se è una successione di;Þ-Þ \ Ä \ 8 Ä ∞ Ð\ Ñ8 8 8 ";Þ-Þ

v.v.a. definiti sullo spazio probabilizzato , si dice che la successione diÐ ß ß T ÑH Yv.v.a. al v.v.a. , definito sul medesimo spazioconverge in media di ordine : \probabilizzato, se

lim E8

8:Ðm\ \m Ñ œ !

per e si scrive per .: − Ó!ß∞Ò \ Ä \ 8 Ä ∞8P:

La gran parte dei risultati ottenuti per successioni di v.a. possono essereopportunamente estesi al caso di v.v.a. Di conseguenza, vengono considerati nelseguito solo alcuni Teoremi che hanno interesse specifico per v.v.a.

Il prossimo Teorema consente di determinare la convergenza in legge di unasuccessione di v.v.a. attraverso la convergenza in legge di combinazioni linearidegli elementi della successione ed è dovuto a Harald Cramér e allo statisticomatematico norvegese Herman Ole Andreas Wold (1908-1992).

Teorema 8.6.2. (Teorema di Cramér-Wold) Data una successione di v.v.a.

Ð\ Ñ 5 \ Ä \8 8 " 8(ognuno dei quali possiede componenti marginali), allora _

per se e solo se per ogni .8 Ä ∞ - \ Ä - \ - −T T8

5_‘


Esempio 8.6.1. Si consideri la successione di v.v.a. tale che ogni v.v.a.Ð^ Ñ8 8 "

^ Ð ß Ñ8 5 \ \ possiede legge Normale Multivariata e l'ulteriore successione dia . Ov.v.a. dove . Dall'Esempio 7.3.2 è noto che la v.a. Ð\ Ñ \ œ 8 ^ - ^8 8 " 8 8 8

" T

possiede legge Normale . Dunque, la v.a. è tale chea . OÐ- ß - -Ñ - \T T T\ \ 8

EÒ- \ Ó œ -"

8T T

8 \.

e

VarÒ- \ Ó œ - -"

8T T

8 \#O .

Di conseguenza, dal Teorema 8.2.2 segue che per e quindi- \ Ä ! 8 Ä ∞T8

T

dal Teorema 8.2.4 si ottiene che per . Dunque, dal Teorema- \ Ä ! 8 Ä ∞T8

_

236 Convergenze

8.6.2 risulta infine che per , ovvero la successione di v.v.a.\ Ä ! 8 Ä ∞8_

converge in legge ad un v.v.a. degenere concentrato sul vettore a componentinulle.

Teorema 8.6.3. Data una successione di v.v.a. (ognuno dei qualiÐ\ Ñ8 8 "

possiede componenti marginali) e se il v.v.a. è degenere e tale che5 \

TÐ\ œ -Ñ œ " - − \ Ä \ 8 Ä ∞ con , allora per se e solo se ogni‘58

T

componente marginale del v.v.a. converge in probabilità alla rispettiva\8

componente marginale del v.v.a. . Analogamente, per se e\ \ Ä \ 8 Ä ∞8;Þ-Þ

solo se ogni componente marginale del v.v.a. converge quasi certamente alla\8

rispettiva componente marginale del v.v.a. .\Dimostrazione. Si veda Billingsley (1995, p.378).

Esempio 8.6.2. Si consideri la successione di v.v.a. tale che il v.v.a. Ð^ Ñ ^8 8 " 8

possiede legge Multinomiale con e l'ulteriore`Ð8ß :Ñ : œ Ð: ßá ß : Ñ" 5T

successione di v.v.a. dove . Dall'Esempio 7.4.1 è noto cheÐ\ Ñ \ œ 8 ^8 8 " 8 8"

la -esima componente marginale del v.v.a. ha legge Binomiale e4 ^ Ð8ß : Ñ8 4Udunque dall'Esempio 8.3.4 si ottiene che la -esima componente marginale del4v.v.a. converge quasi certamente ad una v.a. degenere concentrata su .\ :8 4

Quindi, dal Teorema 8.6.3 si ha infine che per , ovvero la\ Ä : 8 Ä ∞8;Þ-Þ

successione di v.v.a. converge quasi certamente al v.v.a. degenere concentratosul vettore .:

Teorema 8.6.4. (Teorema Centrale Multivariato del Limite) Sia Ð\ Ñ8 8 "

una successione di v.v.a. indipendenti con la medesima legge (ognuno dei qualipossiede componenti marginali) e definiti sullo spazio probabilizzato5Ð ß ß T Ñ 8 Ò\ Ó œ Ò\ Ó œH Y . O, tali che per ogni si ha e doveE Var8 \ 8 \

detÐ Ñ ∞ Ð^ ÑO\ 8 8 ". Si consideri inoltre la successione di v.a. con

^ œ ÐW 8 Ñ"

88 8 .

e . Se la v.a. possiede legge Normale Multivariata ,W œ \ ^ Ð!ß Ñ8 3 5 \3œ"8 a O

allora per .^ Ä ^ 8 Ä ∞8_


Esempio 8.6.3. Si consideri la successione di v.v.a. tale che ogni v.v.a.Ð\ Ñ8 8 "

^ Ð"ß :Ñ8 possiede legge Multinomiale . Inoltre, dall'Esempio 7.4.5 risulta che`

237Capitolo 8

il v.v.a. possiede legge Multinomiale . Dunque, il Teorema CentraleW Ð8ß :Ñ8 `Multivariato del Limite fornisce la convergenza in legge della successione div.v.a. , dove , ad un v.v.a. che possiede leggeÐ^ Ñ ^ œ 8 ÐW 8:Ñ8 8 " 8 8

"Î#

a5Ð!ß Ð:Ñ :: Ñ 8 Ä ∞diag per .T

Teorema 8.6.5. (Metodo Delta Multivariato) Sia una successioneÐ\ Ñ8 8 "

di v.v.a. indipendenti con la medesima legge (ognuno dei quali possiede 5componenti marginali) e definiti sullo spazio probabilizzato . SiaÐ ß ß T ÑH Yinoltre la successione di v.v.a. con , tale cheÐ^ Ñ ^ œ 8Ð\ Ñ8 8 " 8 8 )

^ Ä ^ 8 Ä ∞ ^8_

per , dove il v.v.a. possiede legge Normale Multivariataa R ) ‘ R5

5Ð!ß Ñ −, mentre e è una matrice simmetrica definita positiva. Se1 À Ä E œ 1ÐBÑ‘ ‘5 2 `

`B Bœ è una funzione continua e differenziabile tale che

)

è una matrice non nulla, data la successione di v.v.a. conÐ] Ñ8 8 "

] œ 8Ð1Ð\ Ñ 1Ð ÑÑ ] Ä ] 8 Ä ∞ ^8 8 8 ) , si ha per , dove il v.v.a. possiede_

legge Normale Multivariata .a R2Ð!ß E EÑT



I testi di Ferguson (1996), Serfling (1980) e consideranovan der Vaart (1998) estesamente gli argomenti relativi alle convergenze probabilistiche, con specialeattenzione alle applicazioni statistiche. Il testo di Petrov (1995) è espressamentededicato ai teoremi limite. I testi con approccio alla probabilità basato sullaTeoria della Misura hanno ampie parti dedicati alle convergenze e ai teoremilimite, come ad esempio Ash e Doléans-Dade (2000), Billingsley (1995), Gut(2005) e .Resnick (2014)

238 Convergenze


Capitolo 9

Processi aleatori

9.1. Concetti preliminari

Molti esperimenti o fenomeni aleatori danno luogo ad un insieme direalizzazioni all'evolversi di un “parametro”, come ad esempio il tempo. Inquesto caso, l'interesse si concentra sull'analisi di collezioni di v.a. indicizzate suun determinato insieme, che nella Teoria della Probabilità sono dette processialeatori. Formalmente, si ha la seguente definizione.

Definizione 9.1.1. Se è un insieme di indici, una collezione di v.a.“ © Ò!ß∞Ò\ œ Ð\ Ñ Ð ß ß T Ñ> >−“ definita sullo spazio probabilizzato è detta H Y processoaleatorio (p.a.) se l'applicazione , dove , è\ À ‚ Ä \Ð>ß Ñ œ \ Ð Ñ“ H ‘ = =>

misurabile rispetto alla -algebra . Per un dato , la v.a. è detta5 U “ Y “Ð Ñ Œ > − \>

stato del p.a. a tempo Al contrario, per un dato , l'applicazione>Þ −= H> È \ Ð Ñ> = = è detta del p.a. associata con .traiettoria

Anche se in generale si possono considerare spazi molto generali per , si noti“che nella precedente Definizione l'insieme è stato assimilato per semplicità ad“un insieme di tempi. Nel seguito si assumerà principalmente che o che“ œ“ œ Ò!ß∞Ò (o eventualmente un loro sottoinsieme). Più esattamente, il p.a. saràdetto se card è finita o numerabile o sea tempo discreto a tempo continuoÐ Ñ“card non è numerabile. Inoltre, quando , il p.a. si riduce ad unaÐ Ñ œ“ “ successione di v.a. e si enfatizzerà questo fatto adottando l'indice piuttosto che8l'indice .>

Esempio 9.1.1. Si consideri una successione di v.a. a componentiÐ^ Ñ8 8 "

indipendenti con legge di Bernoulli di parametro e si definisca il p.a. a tempo:discreto dove e In questo caso, si ha\ œ Ð\ Ñ \ œ ^ \ œ !8 8 ! 8 3 !3œ"

8 ;Þ-Þovviamente . Inoltre, per quanto visto nella Sezione 6.1, per un“ œdeterminato lo stato è una v.a. con legge Binomiale , mentre8 " \ Ð8ß :Ñ8 Uuna traiettoria è una successione non decrescente a valori su tale che gli

240 Processi aleatori

incrementi fra due termini successivi sono nulli o pari all'unità. In un ambito digioco d'azzardo, piuttosto che la successione originale , si consideraÐ^ Ñ8 8 "

invece la successione , con , ovvero si ottiene il p.a. aÐ] Ñ ] œ #^ "8 8 " 8 8

tempo discreto dove . In questo\ œ Ð\ Ñ \ œ ] œ # ^ 88 8 ! 8 3 33œ" 3œ"8 8

caso, il p.a. viene assimilato ad una successione di giocate in cui si vince\un'unità con probabilità e si perde un'unità con probabilità ad ogni: Ð" :Ñgiocata. Lo stato risulta dunque la v.a. che rappresenta la somma vinta (o\8

perduta) a tempo , mentre una traiettoria è la successione delle somme vinte (o8perdute). Con un termine pittoresco, questo p.a. è detto passeggiata aleatoria esarà analizzato in dettaglio nella Sezione 9.3.

Esempio 9.1.2. Sia e sia una partizione“ œ Ò!ß X Ó ! œ > > á > œ X! " 8

di . Inoltre, si consideri il v.v.a. e si definisca il p.a. aÒ!ß X Ó ^ œ Ð^ ßá ß^ Ñ! 8"T

tempo continuo dove\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó

\ œ ^ Ð>Ñ> 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

.

Per un determinato , lo stato è una v.a. caratterizzata dalla stessa> − Ò> ß > Ò \3 3" >

legge della v.a. , mentre una traiettoria è una funzione semplice. Di^3

conseguenza, questo p.a. è detto semplice. Questo tipo di p.a. sarà fondamentalenel calcolo stocastico introdotto nel Capitolo 10.

Definizione 9.1.2. Si consideri uno spazio probabilizzabile . SeÐ ß ÑH Y“ 5 Y© Ò!ß∞Ò Ð Ñ, una è una collezione di -algebre per cui si hafiltrazione > >−“

Y Y Y “= > > >−§ § =ß > − = Ÿ > \ œ Ð\ Ñ per ogni tali che . Inoltre, dato il p.a. “

definito sullo spazio probabilizzato , sia la piùÐ ß ß T Ñ œ ÐÖ\ À = Ÿ >×ÑH Y Y 5> =

piccola -algebra che contiene gli eventi del tipo con e5 U ‘Ö\ − F× F − Ð Ñ=

= Ÿ >. In questo caso, la corrispondente filtrazione viene detta filtrazionenaturale per il p.a. .\

Per comodità, si assume usualmente che e .infÐÖ> À > − ×Ñ œ ! œ Ögß ×“ Y H!

Inoltre, uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y a cui è associata la filtrazioneÐ ÑY> >−“ è detto . spazio di probabilità con filtrazione Una filtrazione può essereinterpretata come l'incremento di informazione nel p.a. che si ottiene al passaredel tempo. In effetti, può essere vista come l'informazione disponibile ad unY>

osservatore del p.a. fino a tempo .>

241Capitolo 9

Esempio 9.1.3. Si consideri di nuovo il p.a. dell'Esempio 9.1.1. Si noti che\ogni traiettoria del p.a. può essere posta in corrispondenza biunivoca con unpunto dell'intervallo , dal momento che ogni determinazione dellaÒ!ß "Ósuccessione può essere vista come l'insieme delle cifre nellaÐ^ Ñ8 8 "

rappresentazione binaria di un punto in . In questo caso, si può considerareÒ!ß "Óla filtrazione con e dove è la -algebra generata dagliÐ Ñ œ Ögß ×Y Y H Y 58 8 ! ! 8

intervalli del tipo con . Evidentemente, laÒ# Ð3 "Ñß # 3Ò 3 œ "ßá ß #8 8 8

partizione binaria di che genera diventa sempre più “fine” all'aumentareÒ!ß "Ó Y8

di e la relativa -algebra diventa contemporaneamente più “ricca”.8 5

Definizione 9.1.3. Sia sullo spazio di probabilità\ œ Ð\ Ñ> >−“ un p.a. definitoÐ ß ß T Ñ Ð Ñ \H Y Y con filtrazione . Il p.a. è detto se è misurabile> >−“ adattato \> rispetto a per ogni . Inoltre il p.a. è detto Y “> > − \ progressivamentemisurabile se l'applicazione è misurabile rispetto alla -algebraÐ=ß Ñ È \ Ð Ñ= = 5=

U Y “ÐÒ!ß >ÓÑ > −Œ > per ogni .

Dalla Definizione 9.1.3 è evidente che un p.a. è adattato se la filtrazione è\naturale.

Definizione 9.1.4. Sia un p.a. definito\ œ Ð\ Ñ> >−“ sullo spazio di probabilitàÐ ß ß T Ñ \H Y . Il p.a. è detto se le corrispondenti traiettorie sonocontinuocontinue Inoltre, il p.a. è detto se le corrispondenti;Þ-Þ continuo a destratraiettorie sono continue a destra ;Þ-Þ

Esempio 9.1.4. Si consideri di nuovo il p.a. semplice introdotto nell'Esempio\9.1.2. È immediato verificare che le traiettorie del p.a. non sono continue \ ;Þ-ÞIn effetti, risulta , mentre per si ha Ö\ œ ^ × ;Þ-Þ ! Ö \ œ ^ ×> 3 Ä! > 3"3 3

& lim& &

;Þ-Þ 3 œ "ßá ß 8 \ ;Þ-Þ \, dove . Dunque, il p.a. non è continuo Tuttavia, il p.a. è continuo a destra , dal momento che ;Þ-Þ Ö \ œ ^ × ;Þ-Þlim& &Ä! > 3

3

Definizione 9.1.5. Si consideri i p.a. e definiti\ œ Ð\ Ñ ] œ Ð] Ñ> >− > >−“ “ sullospazio di probabilità . Si dice che il p.a. è una del p.a.Ð ß ß T Ñ ]H Y modificazione\ > − se per ogni si ha“

TÐÖ − À \ Ð Ñ œ ] Ð Ñ×Ñ œ "= H = => > .

Inoltre, si dice che i p.a. e sono se si ha\ ] indistinguibili

TÐÖ − À \ Ð Ñ œ ] Ð Ñß a> − ×Ñ œ "= H = = “> > .


Risulta evidente dalla precedente Definizione che se i p.a. e sono\ ]indistinguibili, allora il p.a. è anche una modificazione del p.a. , mentre non\ ]è vero il contrario. Sulla base di queste classi di equivalenza fra p.a., si puòselezionare il p.a. più opportuno ai fini teorici all'interno di una classe, come adesempio un p.a. continuo.

Esempio 9.1.5. Si consideri i p.a. e definiti\ œ Ð\ Ñ ] œ Ð] Ñ> >>−Ò!ß∞Ò >−Ò!ß∞Ò sullospazio di probabilità , dove e . Inoltre, i p.a.Ð ß ß T Ñ œ Ò!ß∞Ò œ ÐÒ!ß∞ÒÑH Y H Y U\ ] \ œ ! ] œ Ð>Ñ \ ] e sono tali che , mentre . Dunque, i p.a. e non> > Ö ×" =

sono indistinguibili, in quanto per . Tuttavia, il p.a. è una\ Ð Ñ Á ] Ð Ñ > œ ]> >= = =modificazione del p.a. , in quanto\

TÐÖ − À \ Ð Ñ Á ] Ð Ñ×Ñ œ != H = => > .

e dunque

TÐÖ − À \ Ð Ñ œ ] Ð Ñ×Ñ œ " TÐÖ − À \ Ð Ñ Á ] Ð Ñ×Ñ œ "= H = = = H = => > > > .

9.2. Martingale

Le cosiddette “martingale” costituiscono una vasta classe di p.a. con proprietànotevoli. Il termine “martingala” ha origine nel gioco d'azzardo, anche se la suaetimologia non è del tutto chiara. La prima apparizione del termine in ambitoprobabilistico è dovuta al matematico Jean Ville (1910-1989) e lo studio diquesti p.a. è stato profondamente influenzato dal probabilista Joseph Leo Doob(1910-2004), che ne ha costruito le basi teoriche.

Definizione 9.2.1. Se , un p.a. adattato definito“ © Ò!ß∞Ò Q œ ÐQ Ñsia > >−“

sullo spazio di probabilità con filtrazione e tale cheÐ ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y> >−“

EÒlQ lÓ ∞ > − Q> per ogni . Si dice che è una se per ogni“ martingala! Ÿ = > si ha

Ö ÒQ ± Ó œ Q ×E > = =Y ,;Þ-Þ

mentre si dice che è una seQ super-martingala

Ö ÒQ ± Ó Ÿ Q ×E > = =Y ,;Þ-Þ

e infine si dice che è una seQ sub-martingala

243Capitolo 9

Ö ÒQ ± Ó Q ×E > = =Y .;Þ-Þ

Figura 9.2.1. .Joseph Leo Doob (1910-2004)

È evidente che la proprietà di martingala dipende dalla filtrazione e dallamisura di probabilità che sono state considerate. Inoltre, dalla DefinizioneT9.2.1, per ogni si ha>

Ö ÒQ ± Ó œ Q × ;Þ-ÞE > ! !Y ,

ovvero, una martingala può essere considerato in effetti un p.a. che rimane“costante in media”. Analogamente, una super-martingala è un p.a. che“decresce in media” e una sub-martingala è un p.a. che “cresce in media”.

Risulta importante sottolineare che ogni martingala ammette sempre unamodificazione continua a destra che è unica, a meno di p.a. indistinguibili (siveda Pascucci, 2011, p.115). Dal momento che questa condizione non èrestrittiva, nel seguito verrà considerata tacitamente la versione continua a destradi ogni martingala.

Esempio 9.2.1. Si consideri una successione di v.a. a componentiÐ\ Ñ8 8 "

indipendenti tale che per ogni . Si definisca inoltre il p.a. aEÒ\ Ó œ - ∞ 88

tempo discreto tale cheQ œ ÐQ Ñ8 8 !

Q œ \8 3

3œ"

8


con e sia filtrazione naturale, ovvero si assuma cheÖQ œ !× ;Þ-Þ! Ð ÑY8 8 ! la Y 58 " 8œ ÐÖ\ ßá ß\ ×Ñ. Tenendo presente le assunzioni fatte sul p.a. , perQogni si ha8

E E E EÒlQ lÓ œ Òl \ lÓ Ÿ Ò l\ lÓ œ Òl\ lÓ ∞8 3 3 3

3œ! 3œ! 3œ!

8 8 8 .

Inoltre, dal momento che ÖEÒQ ± Ó œ Q × ;Þ-Þ8 8 8Y sulla base del Teorema 5.2.1e che la -algebra generata da è indipendente dalla -algebra , si ha 5 5 Y\ ;Þ-Þ8 8"

E EE E

E

ÒQ ± Ó œ ÒQ \ ± Ó

œ ÒQ ± Ó Ò\ ± Ó

œ Q Ò\ Ó œ Q -

8 8" 8" 8 8"

8" 8" 8 8"

8" 8 8"

Y Y

Y Y

.

Procedendo in modo iterativo, per con , dalla precedente7 − 7 8espressione si ha ;Þ-Þ

EÒQ ± Ó œ Q Ð8 7Ñ-8 7 7Y .

Quindi, il p.a. è una martingala se , Q - œ ! una super-martingala se e una- !sub-martingala se - !Þ

Esempio 9.2.2. una successione di v.a. indipendenti con laSi consideri Ð] Ñ8 8 "

medesima legge, tali che e , dove , eTÐ] œ "Ñ œ : TÐ] œ "Ñ œ ; ; œ " :8 8

una successione di v.a. tale che conÐY Ñ Y œ 1 Ð] ßá ß ] Ñ8 8 " 8 8 " 8"

T ÐY !Ñ œ " ÒY Ó ∞ 8 −8 8 e per ogni . Si definisca il p.a. a tempoE discreto tale cheQ œ ÐQ Ñ8 8 !

Q œ Y ]8 3 3

3œ"

8con e sia filtrazione naturale, ovvero si assume cheÖQ œ !× ;Þ-Þ! Ð ÑY8 8 ! la Y 58 " 8 8œ ÐÖ] ßá ß ] ×Ñ Y. Dalle assunzioni fatte si noti che la v.a. è misurabilerispetto a Y8". Questo p.a. può essere assimilato ad un insieme di giocate ad ungioco d'azzardo con esito dicotomico, in cui si vince con probabilità e si perde:con probabilità , e dove si scommette una quantità di denaro pari a all' -; Y 88

esima giocata. In questo caso, dalQ8 rappresenta la somma vinta (o perduta)giocatore all' -esima giocata. Nella terminologia del gioco d'azzardo, la8successione di v.a. ÐY Ñ8 8 " è detta . Risulta evidente il motivostrategia di giocoper cui la v.a. dipende solo dal v.v.a. . In effetti, il giocatoreY Ð] ßá ß ] Ñ8 " 8"

T

può prendere la decisione sulla somma da scommettere all' -esima giocata solo8

245Capitolo 9

basandosi sugli esiti delle giocate precedenti.Ð8 "Ñ Tenendo presente che lev.a. sono indipendenti e che , per ogni si haY8 e ] Òl] lÓ œ " 88 8E

E E E

E E E

ÒlQ lÓ œ Òl ] lÓ Ÿ Ò l ] lÓ

œ Òl Òl] lÓ œ ÒlY lÓ ∞

8 3 3

3œ! 3œ!

8 8

3œ! 3œ!

8 8

3 3

Y Y

Y lÓ

3 3

3 .

Inoltre, sulla base del Teorema 5.2.1, dal momento che la -algebra generata da5]8 8" 8" è indipendente dalla -algebra e che , si5 Y YY8 è misurabile rispetto a ha ;Þ-Þ

E EE E

EE

ÒQ ± Ó œ ÒQ ± Ó

œ ÒQ ± Ó Ò ± Ó

œ Q Ò ± Ó

œ Q Y Ò] Ó œ Q Y Ð#: "Ñ

8 8" 8" 8"

8" 8" 8"

8" 8"

8" 8 8 8" 8

Y Y

Y Y

Y

Y ]

Y ]

Y ]

8 8

8 8

8 8

.

Quindi, il p.a. èa prescindere dalla strategia di gioco adottata dal giocatore, Quna martingala se , : œ "Î# una super-martingala se e una sub-: "Î#martingala se . Di conseguenza, per qualsiasi strategia di gioco: "Î#considerata, un gioco equo rimane equo, un gioco sfavorevole rimanesfavorevole e un gioco favorevole rimane favorevole. Questo esempio mostrache è impossibile determinare una strategia di gioco per cui un gioco d'azzardosfavorevole può essere trasformato in un gioco favorevole.

Di seguito vengono dati due esempi di importanti martingale. Ulteriori esempidi martingale, super-martingale e sub-martingale verranno considerati nell'analisidelle passeggiate aleatorie nella Sezione 9.3 e del moto Browniano nella Sezione9.4.

Esempio 9.2.3. Si consideri una v.a. \ con e si consideri il p.a.EÒl\lÓ ∞Q œ ÐQ Ñ> >−“ tale che

Q œ> EÒ\ ± ÓY> ,

dove è una filtrazione. TÐ ÑY> >−“ enendo presente la disuguaglianza di Jensencondizionata (Teorema 5.2.3), per ogni si ha= >

E E E E E EÒlQ lÓ œ Òl Ò\ ± ÓlÓ Ÿ Ò Òl\l ± ÓÓ œ Òl\lÓ ∞> > >Y Y .


Inoltre, sulla base del Teorema 5.2.6 si ha ÖE E EÒ Ò\ ± Ó ± Ó œ Ò\ ± Ó×Y Y Y> = = ;Þ-Þse , da cui si ha Y Y= >§ ;Þ-Þ

E E E EÒQ ± Ó œ Ò Ò\ ± Ó ± Ó œ Ò\ ± Ó œ Q> = > = = =Y Y Y Y .

Quindi, il p.a. è una martingala, anche detta . QuestoQ martingala di Doobesempio evidenzia una procedura pratica per costruire una martingala.

Esempio 9.2.4. Sia data un'urna che contiene palline rosse e palline blu. Si< ,consideri inoltre un esperimento aleatorio nel quale si estrae una pallina dall'urnae, dopo averne verificato il colore, si reimmette la pallina nell'urna conun'ulteriore pallina dello stesso colore. La procedura viene successivamenteripetuta con le stesse modalità. Questo esperimento aleatorio è detto schemadell'urna di Pólya dal momento che è stato proposto dal matematico GeorgePólya (1887-1985). Se è la v.a. che rappresenta il numero di palline rosse\8

nell'urna alla -esima ripetizione dell'esperimento, si consideri la successione di8v.a. . Si noti che si può scrivere , dove ogni v.a. èÐ\ Ñ \ œ < ^ ^8 8 " 8 3 33œ"

8tale che se la pallina estratta all' -esima estrazione è rossa e ^ œ " ^ œ !3 3ialtrimenti. Dalla costruzione dell'esperimento aleatorio risulta immediatoverificare che

EÒ^ ± \ œ BÓ œB

3 " < ,3 3" ,

dove . Si consideri dunque il p.a. B œ <ß < "ßá ß < 3 " Q œ ÐQ Ñ8 8 ! taleche e con filtrazione naturale.Q œ \ ÎÐ8 < ,Ñ Q œ <ÎÐ< ,Ñ Ð Ñ8 8 ! 8 8 !YPer ogni si ha8

E EE

ÒlQ lÓ œ ÒQ Ó œ Ÿ "Ò 8 <

8 88\ Ó

8 < , 8 < , .

Inoltre, tenendo presente i , sil Teorema 5.2.1 e che E EÒ^ ± Ó œ Ò^ ± \ Ó8 8" 8 8"Yha ;Þ-Þ

E E EÒQ ± Ó œ Ò\ ± Ó Ò^ ± ÓÑ

œ \ \

œ \ œ Q

8 8" 8" 8" 8 8"

8"8"

8" 8"

Y Y Y"

8 < ,Ð

"

8 < , 8 " < ,"

8 " < ,

.

Procedendo in modo iterativo, per con , si ha dunque 7 − 7 8 ;Þ-Þ

247Capitolo 9

EÒ\ ± Ó œ \ œ Q8 7 7 7Y"

7 < , ,

ovvero dalla Definizione 9.2.1 il p.a. è una martingala.Q

Di seguito viene introdotta la definizione di tempo di arresto. Anche se iltempo di arresto può essere considerato in generale per un qualsiasi p.a., questoconcetto risulta particolarmente importante nell'ambito delle martingale.

Definizione 9.2.2. Si consideri lo spazio di probabilità . Se Ð ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y8 8 !

è una filtrazione, un è un'applicazionetempo di arresto discreto7 H 7 Y À Ä ∪ Ö∞× Ö Ÿ 8× − 8 −, tale che l'evento per ogni . Inoltre, se8

Ð ÑY> >−Ò!ß∞Ò è una filtrazione, un è un'applicazionetempo di arresto continuo7 H 7 YÀ Ä Ò!ß∞Ò ∪ Ö∞× Ö Ÿ >× − > − Ò!ß∞Ò, tale che l'evento per ogni .>

Intuitivamente, si può pensare ad un tempo d’arresto come al momento in cuisi prende una decisione relativa ad un fenomeno aleatorio nel tempo (peresempio, la decisione di raddoppiare la scommessa ad un certo istante in unaserie di giocate ad un gioco d'azzardo). I vincoli sugli eventi, ovveroÖ Ÿ 8× − Ö Ÿ >× −7 Y 7 Y8 > e , si basano sul fatto che tale decisione devedipendere solo dalle informazioni disponibili fino a quel momento. Si noti infineche un tempo di arresto non è in effetti una v.a. in senso proprio in quantopotrebbe sussistere che , ovvero il tempo di arresto potrebbe nonTÐ ∞Ñ "7essere finito.

Esempio 9.2.5. Si consideri di nuovo il p.a. introdottoQ œ ÐQ Ñ8 8 !

nell'Esempio 9.2.2 e sia dato il tempo di arresto

7 œ ÐÖ8 − À ] œ "×Ñmin 8 .

Nell'interpretazione in termini di gioco d'azzardo, il tempo di arresto può7essere visto come l'istante in cui il giocatore ottiene la prima vincita. Si noti che7 Y 5 è in effetti un tempo di arresto, dal momento che è la -algebra generata8

dal v.v.a. eÐ] ßá ß ] Ñ" 8T

Ö œ 8× œ Ö] œ "ßá ß ] œ "ß ] œ "× −7 Y" 8" 8 8 ,

per cui


Ö Ÿ 8× œ Ö œ 3× −7 7 Y3œ"

8

8 .

Per quanto visto nella Sezione 6.3, la v.a. è caratterizzata dalla leggeÐ "Ñ7Geometrica di parametro , ovvero la relativa f.p. è data da:

: ÐBÑ œ :; ÐBÑ7B"

Ö"ß#ßá×" .

Dunque, in questo caso si ha TÐ ∞Ñ œ "7 .

Definizione 9.2.3. Si consideri lo spazio di probabilità e sia Ð ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y> >−“

una filtrazione. In questo caso

Y Y 7 “7 œ ÖI − À I ∩ Ö >×ß > − ×

è detta . Inoltre, 5 7-algebra associata al tempo di arresto se è unaQ œ ÐQ Ñ> >−“

martingala e è un tempo di arresto, allora posto 7 Q œ QÐ Ð Ñß Ñ7 7 = = , il p.a.Q œ ÐQ Ñ7

7 “•> >− è detta .martingala arrestata al tempo di arresto 7

Il prossimo Teorema riveste un'importanza notevole, dal momento cheevidenzia che una martingala arrestata conserva ancora le caratteristiche dimartingala.

Teorema 9.2.4. (Teorema del campionamento opzionale di Doob) SiaQ œ ÐQ Ñ Ö Ÿ X×> >− " # " #“ una martingala e e tempi di arresto tali che 7 7 7 7;Þ-Þ X ! ;Þ-Þ dove . Si ha

EÒQ ± Ó œ Q7 7 7# " "Y .

In particolare, il p.a. è una martingala. Inoltre, se è unaQ œ ÐQ Ñ Q77•> >−“

super-martingala, si ha ;Þ-Þ

EÒQ ± Ó Ÿ Q7 7 7# " "Y

e il p.a. è una super-martingala, mentre se è una sub-martingala, si haQ Q7

;Þ-Þ

EÒQ ± Ó Q7 7 7# " "Y

e il p.a. è una sub-martingala.Q 7

Dimostrazione. Si veda Revuz e Yor (2005, p.123).

249Capitolo 9

Esempio 9.2.6. Si consideri il p.a. introdotto nell'Esempio 9.2.2 eQ œ ÐQ Ñ8 8 !

si assuma inoltre una successione di v.a. tale cheÐY Ñ8 8 "

Y œ # Ð] Ñ8 38"

3œ"

8"

Ö"× " .

Si consideri inoltre il tempo d'arresto introdotto nell'Esempio 9.2.5 e la 7martingala arrestata . dunque che ilQ œ ÐQ Ñ7

7•8 8 ! Dal Teorema 9.2.4, si ha p.a. è una martingala se , una super-martingala se o unaQ : œ "Î# : "Î#7

sub-martingala se .: "Î# Nell'interpretazione in un ambito di gioco d'azzardo,la strategia di gioco basata sulla successione di v.a. è comunementeÐY Ñ8 8 " detta (con una terminologia ovviamente fuorviante). In pratica,martingalaseguendo questa strategia, il giocatore scommette un'unità alla prima giocata.Nel caso in cui perda, il giocatore raddoppia la scommessa e continua in questomodo fino a quando non ottiene la prima vincita e conclude il gioco. Si noti che

Q œ Ð Ñ Y Ð Ñ

œ Ð Ñ # Ð Ñ

œ Ð Ñ Ð# "Ñ Ð Ñ

7•8 " "

" "

" "

Ö"ßáß8× Ö8"ß8#ßá×

3œ"

8

3

Ö"ßáß8× Ö8"ß8#ßá×

3œ"

83"

Ö"ßáß8× Ö8"ß8#ßá×8

7 7

7 7

7 7

.

In pratica, se (ovvero il giocatore guadagna un'unità allaQ œ Q œ " œ 87 7•8 7prima vincita concludendo il gioco), mentre seQ œ Q œ Ð# "Ñ7•8 8

8

7 8 # " 8 (ovvero il giocatore perde unità all' -esima giocata precedente la8

prima vincita). Dunque, poichè TÐ ∞Ñ œ " TÐ7 , si ha anche .Q œ "Ñ œ "7

Dal momento che questo risultato vale per ogni , la martingala sembra:apparentemente una strategia di gioco vincente (il giocatore termina il gioco conun'unità vinta). Tuttavia, si deve tenere presente che questa strategia presupponeuna disponibilità illimitata di denaro e di tempo da parte del giocatore(ovviamente un'assunzione irrealistica). Inoltre, tenendo presente l'Esempio9.2.5, si ha

EÒQ Ó œ Q TÐ œ 8Ñ œ Ð# "Ñ:;

œ : Ð#;Ñ "

7" 8"

8œ" 8œ"

∞ ∞8" 8"

8œ!

∞8

7

.


Dunque, risulta per , ovvero la perdita attesa nellaEÒQ Ó œ ∞ : Ÿ "Î#7"

giocata prima della vincita finale è infinita. Sorprendentemente, questo risultatosi ha anche per un gioco equo, ovvero anche nel caso in cui .: œ "Î#

Teorema 9.2.5. (Disuguaglianze di Doob) Sia unaQ œ ÐQ Ñ8 >−“

martingala Per ogni e vale la disuguaglianzaÞ X ! !-

T lQ l Ÿ ÒQ Ó Ÿ ÒlQ Ó" " sup E E

>−Ò!ßX Ó> X X-

- -” ! l .

Inoltre, per e vale la disuguaglianza: " ; œ :ÎÐ: "Ñ

E sup E >−Ò!ßX Ó

> X: :lQ l ; ÒlQ Ól: .

Dimostrazione. Si veda Pascucci (2011, p.113).

9.3. Passeggiate aleatorie

La passeggiata aleatoria è uno dei p.a. più semplici (anche se fondamentali)nella teoria della probabilità. Più esattamente, la passeggiata aleatoria è unprocesso a tempo discreto che viene formalmente definito come segue.

Definizione 9.3.1. Sia con uno spazio di probabilità conÐ ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y8 8 !

filtrazione. Sia inoltre Ð] Ñ8 8 " una successione di v.a. indipendenti con lamedesima legge, tali che e dove .TÐ] œ "Ñ œ : TÐ] œ "Ñ œ ; ; œ " :8 8

Si dice il p.a. dove epasseggiata aleatoria \ œ Ð\ Ñ \ œ ]8 8 ! 8 33œ"8

Ö\ œ !× ;Þ-Þ!

Evidentemente, vista l'indipendenza degli elementi della successione Ð] Ñ8 8 ",si può scegliere la filtrazione naturale Ð ÑY8 8 ! tale che . IY 58 " 8œ ÐÖ] ßá ß ] ×Ñtempi sono anche detti della passeggiata aleatoria. Inoltre, nel caso8 − passiparticolare in cui , la passeggiata aleatoria è detta . Il: œ "Î# simmetricaseguente Teorema fornisce la legge del generico stato della passeggiata aleatoria.

Teorema 9.3.2. Sia una passeggiata aleatoria. Per ogni \ œ Ð\ Ñ 8 −8 8 ! la f.p. dello stato \8 è data da

251Capitolo 9

: ÐBÑ œ : ; ÐBÑ8

Ð8 BÑÎ#\

Ð8BÑÎ# Ð8BÑÎ#Ö8ß#8ßáß8#ß8×8 " .

Inoltre, e .E VarÒ\ Ó œ 8Ð: ;Ñ Ò\ Ó œ %8:;8 8

Dimostrazione. Si noti che sussiste , dove e\ œ #Z 8 Z œ ^8 8 8 33œ"8

Ð^ Ñ8 8 " è una successione di v.a. indipendenti con legge di Bernoulli diparametro . Per quanto visto nella Sezione 6.1, la v.a. possiede legge: Z8

Binomiale . Dunque, dal momento che la v.a. è una trasformataUÐ8ß :Ñ \8

lineare della v.a. è immediato ottenerne la relativa f.pZ8 . Inoltre, per le proprietàdel valore atteso si ha

E EÒ\ Ó œ # ÒZ Ó 8 œ #8: 8 œ 8Ð: ;Ñ8 8

e

Var VarÒ\ Ó œ % ÒZ Ó œ %8:;8 8 .

0 20 40 60 80 100

10

5

0

5

10

Figura 9.3.1. Una traiettoria della passeggiata aleatoriacon e passi.: œ ")Î$( 8 œ "!!

Esempio 9.3.1. Si consideri il gioco d'azzardo della roulette introdottonell'Esempio 2.6.3. Si supponga inoltre un giocatore ostinato (con disponibilitàillimitate) che scommette un'unità sul rosso ad ogni giocata. La successione dellesomme vinte (o perdute) dal giocatore è una passeggiata aleatoria con : œ ")Î$(se la roulette è di tipo Monte Carlo (evitando di considerare per semplicità leregole basate su o quando si presenta lo zero). Sulla basela partage en prisondel Teorema 9.3.2, la probabilità di essere in attivo dopo giocate è data8 œ #!


da 5œ""!

\: Ð#5Ñ œ !Þ$'&#!

, quella di essere in pareggio è data da: Ð!Ñ œ !Þ"(& : Ð#5Ñ œ !Þ%'!\ \5œ"!

"#! #!

e quella di essere in perdita è data da .Inoltre, le medesime quantità dopo 8 œ "!! giocate sono rispettivamente date da

5œ" 5œ&!&! "

\ \ \: Ð#5Ñ œ !Þ$&& : Ð!Ñ œ !Þ!(( : Ð#5Ñ œ !Þ&')"!! "!! "!!

, e .

Il seguente Teorema evidenzia che la passeggiata aleatoria è una martingala,una sub-martingala o una super-martingala a secondo dei valori assunti da .:

Teorema 9.3.3. La passeggiata aleatoria è una martingala se\ œ Ð\ Ñ8 8 !

: œ "Î# : "Î# : "Î#Þ, una super-martingala se e una sub-martingala se Dimostrazione. Sulla base della Definizione 9.3.1, dal momento che

EÒl] lÓ œ "3 si ha

E E EÒl\ lÓ œ Òl lÓ Ÿ Òl] lÓ œ 8 ∞8 3

3œ" 3œ"

8 8 ]3 .

Inoltre, tenendo presente che ÖEÒ\ ± Ó œ \ ×8 8 8Y sulla base del Teorema;Þ-Þ5.2.1 e che la -algebra generata da è indipendente dalla -algebra , si5 5 Y]8 8"

ha ;Þ-Þ

E E EE

Ò\ ± Ó œ Ò\ ± Ó Ò] ± Ó

œ \ Ò] Ó œ \ #: "8 8" 8" 8" 8 8"

8" 8 8"

Y Y Y

.

In modo analogo alla precedente relazione, si ha ;Þ-Þ

E E E EE E

Ò\ ± Ó œ Ò\ ± Ó Ò] ± Ó Ò] ± Ó

œ \ Ò] Ó Ò] Ó œ \ #Ð#: "Ñ8 8# 8# 8# 8" 8# 8 8#

8# 8" 8 8#

Y Y Y Y

.

Procedendo in modo iterativo, per con , si ha dunque 7 − 7 8 ;Þ-Þ

EÒ\ ± Ó œ \ Ð8 7ÑÐ#: "Ñ8 7 7Y .

Dalla precedente espressione e dalla Definizione 9.2.1 segue il risultato.

Esempio 9.3.2. Si consideri il gioco d'azzardo della testa e croce introdottonell'Esempio 1.1.1 e si supponga di nuovo un giocatore ostinato (condisponibilità illimitate) che scommette un'unità sulla croce ad ogni giocata. Se lamoneta è bilanciata, ovvero , allora la successione delle somme vinte (o: œ "Î#perdute) dal giocatore è una passeggiata aleatoria che è anche una martingala. Latesta e croce è dunque un gioco equo. Nel caso della roulette consideratonell'Esempio 9.3.1, la passeggiata aleatoria è invece una super-martingala, dal

253Capitolo 9

momento che La roulette non è dunque un gioco d'azzardo: œ ")Î$( "Î#Þvantaggioso.

Risulta interessante ottenere alcune proprietà della traiettoria di unapasseggiata aleatoria. In questo ambito, è conveniente introdurre le seguentedefinizione.

Definizione 9.3.4. Sia una passeggiata aleatoria. Posto \ œ Ð\ Ñ8 8 ! 8 œ #5con , la quantità con5 − ? œ TÐ\ œ !Ñ 8 8

? œ TÐ\ œ !Ñ œ Ð:;Ñ#5

5#5 #5

5 e

? œ TÐ\ œ !Ñ œ !#5" #5"

è detta in passi. probabilità di ritorno all'origine 8

Dunque, non è nulla solo se è pari. Il seguente Teorema fornisce alcune? 88

caratteristiche della successione delle probabilità di ritorno all'origine.

Teorema 9.3.5. La successione ? œ Ð? Ñ8 8 ! ammette funzione generatricedata da

K Ð>Ñ œ > ? Ð" %:;> Ñ? 8

8œ!

∞8 # "Î# = .

Inoltre, posto con , per si ha8 œ #5 5 − 5 Ä ∞

? µ Ð%:;Ñ"

5#5

51.

Dimostrazione. Dal momento che sussiste la serie

5œ!

∞5 "Î##5

5B œ Ð" %BÑ ,

la funzione generatrice della successione ? è data da


K Ð>Ñ œ > ? œ > ?

œ Ð:;> Ñ œ#5

5

? 8 #5

8œ!

∞ ∞8 #5

5œ!

5œ!

∞# 5

Ð" %:;> Ñ# "Î# .

Inoltre, per l'approssimazione di Stirling applicata al coefficiente5 Ä ∞binomiale nell'espressione di fornisce?#5

#5 %

5µ

5

5

1 ,

da cui si ottiene la seconda parte.

Dal Teorema 9.3.5, per si ottiene in particolare che: œ "Î#

? µ"

5#5 1

.

Dunque, la probabilità di ritorno all'origine per una passeggiata aleatoriasimmetrica tende ad annullarsi all'aumentare dei passi.

La seguente definizione introduce un particolare tempo di arresto nell'ambitodelle passeggiate aleatorie.

Definizione 9.3.6. Sia una passeggiata aleatoria. Il tempo di\ œ Ð\ Ñ8 8 !

arresto

75 8œ ÐÖ8 ! À \ œ 5×Ñmin ,

dove , è detto . In particolare,5 − ™ tempo del primo passaggio per 5

7! 8œ ÐÖ8 ! À \ œ !×Ñmin

è detto .tempo del primo ritorno all'origine

Evidentemente, il tempo del primo ritorno all'origine 7! può prendere valorisolo sui numeri pari. Il seguente Teorema fornisce la distribuzione di e le7!relative caratteristiche.

Teorema 9.3.7. Sia una passeggiata aleatoria\ œ Ð\ Ñ8 8 ! . La funzionegeneratrice della successione con è data da@ œ œ 8Ð@ Ñ @ œ TÐ Ñ8 8 " 8 7!

255Capitolo 9

K Ð>Ñ œ > @ œ " Ð" %:;> Ñ@ 8

8œ"

∞8 # "Î# .

Posto con , si ha8 œ #5 5 − Ö"ß #ßá×

@ œ TÐ œ #5Ñ œ Ð "Ñ Ð%:;Ñ"Î#

5#5 !

5" 57 e

@ œ TÐ œ #5 "Ñ œ !#5" !7 .

Inoltre, risulta

@ œ?

#5 "#5

#5

e per si ha5 Ä ∞

@ µ Ð%:;Ñ"

% 5#5

$

5 1.

Infine, risulta

8œ"

∞

8 !@ œ TÐ ∞Ñ œ " l: ;l7 .

Dimostrazione. Gli eventi , , sono incompatibili eÖ œ 3× 3 œ "ß #ßá ß 87!dunque risulta

TÐ\ œ !Ñ œ TÐ\ œ ! ± ÑT Ð Ñ8 8

3œ"

8 7 7! !œ 3 œ 3 .

Inoltre, si ha TÐ\ œ ! ± Ñ œ TÐ\ œ !Ñ8 837! œ 3 dal momento che, se siverifica Ö7! 44œ3

8œ 3× ], allora può essere considerato come il passo di ordineÐ8 3Ñ di una nuova passeggiata aleatoria. Dunque, dalla precedente espressionerisulta

? œ ? @8 83

3œ"

8 3 .

Moltiplicando e sommando opportunamente la precedente espressione si ha


8œ! 8œ! 3œ"

∞ ∞ 88 8

8 83> ? œ > ? @3 .

Tenendo presente la definizione di convoluzione di funzioni generatrici e poichè? œ "! , si ottiene

K Ð>Ñ œ " K Ð>ÑK Ð>Ñ? ? @ ,

ovvero

K Ð>Ñ œ " K Ð>Ñ@ ?"

e la prima parte segue dal Teorema 9.3.5. Inoltre, considerando l'espressionedella serie binomiale, la funzione generatrice della successione può essere@scritta come

K Ð>Ñ œ " Ð %:;> Ñ œ Ð "Ñ Ð%:;Ñ >"Î# "Î#

5 5@

5œ! 5œ"

∞ ∞# 5 5" 5 #5 ,

da cui segue la seconda parte. La terza parte segue dall'identità combinatoria

Ð "Ñ œ"Î# #5 #

5 5 #5 "5"

#5 applicata all'espressione di e dal Teorema 9.3.5. Infine, si ha@#5

8œ"

∞

8 @@ œ K Ð"Ñ œ " l: ;l .

Esempio 9.3.3. Si consideri di nuovo il gioco d'azzardo della roulette. In questocaso, sulla base del Teorema 9.3.7, la probabilità del tempo di ritorno all'originedopo giocate è data da 8 œ #! @ œ !Þ!!*#! . Inoltre, la probabilità che il tempo diritorno all'origine sia finito risulta . Dunque, in modoTÐ ∞Ñ œ $'Î$(7!sorprendente per il giocatore ingenuo (anche se con disponibilità illimitate), laprobabilità che il tempo di ritorno all'origine non sia finito è dato da" TÐ ∞Ñ œ "Î$(7! .

Si deve evidenziare che non è in generale una funzione generatrice delleK@

probabilità. In effetti, la successione non costituisce in generale una legge@essenziale, dal momento che dal Teorema 9.3.7 si ha Da questoTÐ ∞Ñ Ÿ "Þ7!

257Capitolo 9

Teorema è evidente che esclusivamente per una passeggiataTÐ ∞Ñ œ "7!aleatoria simmetrica. Dunque, è una v.a. propria solamente per . In7! : œ "Î#questo caso, si ha il seguente risultato.

Teorema 9.3.8. Sia una passeggiata aleatoria simmetrica\ œ Ð\ Ñ8 8 ! . Laf.p. della v.a. è data da7!

: ÐBÑ œ Ð "Ñ ÐBÑ"Î#

BÎ#7!

BÎ#"Ö#ß%ßá× " .

Inoltre, si ha EÒ Ó œ7! ∞. Infine, p data la successioneosto con e 8 œ #5 5 − D œ ÐD Ñ8 8 ! dove

D œ TÐ #5Ñ#5 !7

e

D œ !#5" ,

si ha D œ ?.Dimostrazione. Per la v.a. ha f.g. data da: œ "Î# 7!

K Ð>Ñ œ " Ð" > Ñ7!# "Î#

e Teorema 9.3.7. Inoltre, si hala prima parte segue immediatamente dal

K7!Ð"Ñ # "Î#Ð>Ñ œ >Ð" > Ñ ,

e dunque

E limÒ Ó œ K7!>Ä"

7!Ð"ÑÐ>Ñ œ ∞ Þ

Per quanto riguarda l'ultima parte, la funzione poichè , D œ Ò Ð #5ÑÓ#5 !Ö"ß#ßá×E " 7

generatrice della successione D è data da


K Ð>Ñ œ > D œ > Ò Ð #5ÑÓ

œ > Ð #5Ñ œ >

" > " K Ð>Ñ

" > " >œ

D 8 !

8œ!

∞ ∞8 #5

5œ!

Ö"ß#ßá×

5œ! 5œ!

∞#5 #5

Ö"ß#ßá× !

Î#"

# #

E

E E

E

"

"

7

77

77

!

!!œ .

Tenendo presente l'espressione di si haK Ð>Ñ7! e dal Teorema 9.3.5,

K Ð>Ñ œ Ð" > Ñ œ K Ð>ÑD ?# "Î# ,


Dal Teorema 9.3.8 segue quindi che, pur essendo TÐ ∞Ñ œ "7! per: œ "Î#, si ha comunque EÒ Ó œ7! ∞. Inoltre, dal medesimo Teorema segueanche una relazione notevole fra le successioni ? D e per una passeggiataaleatoria simmetrica. In effetti, da questa relazione si ha che la probabilità di nonritornare all'origine in passi è pari alla probabilità di ritornare all'origine in #5 #5passi quando ovvero .: œ "Î#ß T Ð #5Ñ œ TÐ\ œ !Ñ7! #5

Esempio 9.3.4. Si consideri il gioco d'azzardo della testa e croce analizzatonell'Esempio 9.3.2. In questo caso, la probabilità del tempo di ritorno all'originedopo giocate è data da 8 œ #! TÐ\ œ !Ñ œ !Þ"('#0 , per cui risulta ancheTÐ #!Ñ œ !Þ"('70 .

Il prossimo Teorema fornisce un risultato classico per la passeggiata aleatoriasimmetrica, ovvero la cosiddetta . Se si considera i primi legge dell'arcoseno #8passi di una passeggiata aleatoria, questa legge fornisce la distribuzionedell'ultimo tempo di ritorno all'origine.

Teorema 9.3.9. (Legge dell'arcoseno) Sia una passeggiata\ œ Ð\ Ñ8 8 !

aleatoria simmetrica. Si consideri la v.a. ,48 6œ ÐÖ6 − Ö"ßá ß 8× À \ œ !×Ñmaxdetta ultimo tempo di ritorno all'origine in passi. Posto con , se8 8 œ #5 5 − α 4#6ß#5 #5œ TÐ œ #6Ñ, si ha

α#6ß#5 #6 #5#6#5œ ? ? œ #

#6 #5 #6

6 5 6 ,

259Capitolo 9

per , ovvero la f.p. della v.a. è data da6 œ !ßá ß 5 48

p .48ÐBÑ œ # ÐBÑB 8 B

BÎ# Ð8 BÑÎ# 8

Ö!ß#ßáß8×"

Inoltre, risulta

lim arcsin8

8 Ò!ß"Ó Ó"ß∞ÒT Ð Î8 Ÿ BÑ œ B ÐBÑ ÐBÑ#

41

" " ,

ovvero per , dove è una v.a. con legge Beta di tipo 48Î8 Ä ^ 8 Ä ∞ ^_

UXÐ!ß "ß "Î#ß Ñ"Î# che ammette d.p. data da

0 ÐBÑ œ ÐBÑ"

BÐ" BÑ^ Ò!ß"Ó

1 " .

Dimostrazione. Per quanto riguarda la prima parte, tenendo presente che se siverifica Ö\ œ !×#6 , allora i successivi passi possono essere considerati come unanuova passeggiata aleatoria, dal Teorema 9.3.8 si ha

α

7

#6ß#5 #6 #6# #5

#6 #6# #5 #6

#6 #6# #5

#6 ! #6 #5#6

œ TÐ\ œ !ß\ Á !ßá ß\ Á !Ñ

T Ð\ œ !ÑT Ð\ Á !ßá ß\ Á ! ± \ œ !Ñ

T Ð\ œ !ÑT Ð\ Á !ßá ß\ Á !Ñ

T Ð\ œ !ÑT Ð #5 #6Ñ œ ? ?

œ

œ

œ .

Per quanto riguarda la seconda parte, dal Teorema 9.3.5 si ha

α1

#6ß#5 µ"

6Ð5 6Ñ .

Dunque, posto per , si haB œ 6Î5 6 œ !ßá ß 5

T Ð Î8 Ÿ BÑ µ"

3Ð5 3Ñ4

18

3œ!

5B ,

da cui, tenendo presente la definizione di integrale di Riemann, si ottiene

lim lim8

85

3œ!

5B

!

B

T Ð Î8 Ÿ BÑ œ œ .?" "

3Ð5 3Ñ ?Ð" ?Ñ4

1 1 .

La seconda parte segue dunque dalla definizione di convergenza in legge e dairisultati della Sezione 6.9.


Si noti che α α 4#6ß#5 #5#6ß#5 8œ . Inoltre, si deve sottolineare che non è untempo di arresto. La legge dell'arcoseno fornisce un risultato sulla legge dellav.a. che può risultare controintuitiva. In effetti, la f.p. della v.a. 4 48 8 mostra lacosiddetta “forma ad U” (si veda la Figura 9.3.2), così come la d.p. della v.a.limite della successione di v.a. mostra la medesima forma. In effetti,Ð Î8Ñ48 8 "

anche se , la probabilità del tempo di ritorno all'origine in passi èEÒ Ó œ 8Î# 848molto più elevata per valori prossimi a e a che a . Dal momento che la! 8 8Î#v.a. limite può essere interpretata come la proporzione di tempo dall'ultimoritorno all'origine, la legge dell'arcoseno è ancora più sorprendente per .8 Ä ∞

0 10 20 30 40 50

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Figura 9.3.2. Funzione di probabilità per la legge dell'arcoseno con .8 œ &!

Per concludere, viene considerato un risultato classico nella Teoria dellaProbabilità, ovvero la cosiddetta . In questo rovina del giocatore d'azzardoproblema, un giocatore ostinato con capitale iniziale pari ad unità fronteggia in+giocate ripetute un secondo giocatore con capitale iniziale pari a unità. Il gioco,continua fino a quando il primo giocatore esaurisce il proprio capitale o riesce avincere il capitale del secondo giocatore. In questo caso, l'obiettivo è quello dideterminare la probabilità di rovina, che viene ottenuta nel seguente risultato.

Teorema 9.3.10. (La rovina del giocatore d'azzardo) Sia una\ œ Ð\ Ñ8 8 !

passeggiata aleatoria. Se , si consideri il tempo di arresto+ß , − 7 7 7 7œ Ð ß Ñ T Ð ∞Ñ œ " : Á "Î#min + , . Si ha . Inoltre, per

TÐ\ œ +Ñ œ " TÐ\ œ ,Ñ œ" Ð;Î:Ñ

Ð;Î:Ñ Ð;Î:Ñ7 7

,

+ , ,

261Capitolo 9

mentre se : œ "Î#

TÐ\ œ +Ñ œ " TÐ\ œ ,Ñ œ,

+ ,7 7 .

Dimostrazione. Per quanto riguarda la prima parte, si ponga e si- œ + ,definisca il tempo di arresto

) œ minÐÖ8 − Ö"ß #ßá× À ] œ "ßá ß ] œ "×ÑÐ8"Ñ-" Ð8"Ñ-- .

Dal momento che per fissato si ha8

TÐ] œ "ßá ß ] œ "Ñ œ :Ð8"Ñ-" Ð8"Ñ--- ,

la v.a. è caratterizzata da una legge Geometrica di parametro e dunque) :-

EÒ Ó ∞ Ö - ×) 7 ) 7. Inoltre, dal momento che si deve necessariamente;Þ-Þrealizzare almeno nell'intervallo se .ÖÐ8 "Ñ- "ßá ß Ð8 "Ñ- -× œ 8)Dunque, risulta , da cui si ha anche E EÒ Ó - Ò Ó ∞7 ) TÐ ∞Ñ œ "7 .

Per quanto riguarda la seconda parte per , si noti che : Á "Î# Q œ ÐQ Ñ8 8 !

con è una martingala. In effetti, dal momento che Q œ Ð;Î:Ñ ÒÐ;Î:Ñ Ó œ "8\ ]8 3E

per , si ha3 œ "ßá ß 8

E E EÒlQ lÓ œ Ò Ð;Î:Ñ Ó œ ÒÐ;Î:Ñ Ó œ " ∞8

3œ" 3œ"

8 8] ] 3 3 ,

mentre risulta ;Þ-Þ

E E

E E

ÒQ ± Ó œ ÒÐ;Î:Ñ Q ± Ó

œ ÒÐ;Î:Ñ Ó ÒQ ± Ó œ Q

8 8" 8" 8"]

]8" 8" 8"

Y Y

Y

8

8

e dunque, in modo iterativo, per con , si ha 7 − 7 8 ;Þ-Þ

EÒ\ ± Ó œ \8 7 7Y .

Dunque, dal Teorema 9.2.4 si ha che

E EÒQ Ó œ ÒQ Ó œ " ∞7 ! .

Dal momento che i due eventi

E œ Ö\ œ +× œ ÖQ œ × œ Ö ×7 7 Ð;Î:Ñ+ 7 7+ ,

e


F œ Ö\ œ ,× œ ÖQ œ × œ Ö ×7 7 Ð;Î:Ñ, 7 7+ , ,

sono incompatibili ed esaustivi, si ha

E E EÒQ Ó œ ÒQ ± ÓT Ð ÒQ ± Ó

œ Ð;Î:Ñ T Ð\ œ +Ñ Ð;Î:Ñ T Ð\ œ ,Ñ œ "

7 7 7

7 7

E EÑ F TÐFÑ+ ,

e la tesi segue tenendo presente che . Nel casoTÐ\ œ +Ñ TÐ\ œ ,Ñ œ "7 7

che , dal Teorema 9.3.3 si ha che è una martingala. Dunque, dal: œ "Î# \Teorema 9.2.4 si ha che

E EÒ\ Ó œ Ò\ Ó œ ! ∞7 ! .

In modo simile a quanto visto in precedenza, si ha

E E EÒ\ Ó œ Ò\ ± ÓT Ð Ò\ ± Ó

œ Ð +ÑT Ð\ œ +Ñ ,TÐ\ œ ,Ñ œ !7 7 7

7 7

E EÑ F TÐFÑ

,

da cui segue la seconda parte.

Dal precedente Teorema, si evidenzia che il gioco termina dal momento;Þ-Þche a prescindere dai valori di e e di . Inoltre, nel caso che ilTÐ ∞Ñ œ "7 + , :secondo giocatore sia infinitamente ricco, ovvero se , allora si ha, Ä ∞

TÐ\ œ +Ñ œ "7 ,

se , mentre;Î: "

TÐ\ œ +Ñ œ;

:7 +

,

se . Dunque, sorprendentemente, la rovina del primo giocatore contro un;Î: "giocatore infinitamente ricco avviene anche se il gioco è equo.;Þ-Þ

Esempio 9.3.5. Si consideri di nuovo il gioco d'azzardo della roulette. Come èstato visto nell'Esempio 9.3.2, la roulette non è un gioco equo essendo: œ ")Î$( e inoltre la casa da gioco dispone solitamente di capitali molto piùelevati dei giocatori, ovvero è molto più grande di . Quindi, , + T Ð\ œ +Ñ7 èprossimo ad uno nei casi usuali. Tuttavia, supponendo che , ovvero che la, œ +casa da gioco disponga dello stesso capitale del giocatore ostinato, per si+ œ &!ha e per si ha .TÐ\ œ &!Ñ œ !Þ*$( + œ "!! TÐ\ œ "!!Ñ œ !Þ**'7 7

Inoltre, supponendo che , ovvero che la casa da gioco disponga della, œ +Î#

263Capitolo 9

metà del capitale rispetto al giocatore ostinato, per si ha+ œ &!TÐ\ œ &!Ñ œ !Þ(&% + œ "!! TÐ\ œ "!!Ñ œ !Þ*$$7 7 e per si ha . Dunque,anche se il gioco della roulette è solo leggermente sfavorevole, questo fattoconferisce comunque un vantaggio determinante alla casa da gioco.

9.4. Moto Browniano

Il moto Browniano è uno dei p.a. fondamentali nella Teoria della Probabilità.Questo p.a. prende nome dal botanico Robert Brown (1773-1858), che per primoaveva notato il moto erratico delle particelle nei fluidi. Il probabilista NorbertWiener ha determinato numerose proprietà del relativo modello (1894-1964) matematico e per questo motivo il p.a. è anche detto processo di Wiener.

Figura 9.4.1. .Norbert Wiener (1894-1964)

Definizione 9.4.1. Sia con uno spazio di probabilità conÐ ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y> >−Ò!ß∞Ò

filtrazione. Il o è un p.a. moto Browniano processo di Wiener F œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò

tale chei) ;TÐF œ !Ñ œ "!

ii) per ogni , la v.a. è caratterizzata dalla legge Normale! Ÿ = > F F> =

a Ð!ß > =Ñ;iii) il p.a. ha incrementi indipendenti, ovvero per ogni F ! Ÿ > á >" 8 lev.a. sono indipendenti;F ßF F ßá ßF F> > > > >" # " 8 8"

iv) il p.a. ha traiettorie continue F ;Þ-Þ


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Figura 9.4.2. Una traiettoria del moto Browniano.

Per quanto riguarda la costruzione del moto Browniano, si può consultare Kuo(2006, p.23), dove a tale fine sono analizzati tre principali metodi. Il motoBrowniano può essere anche ottenuto come limite in legge di una versionegenerale di passeggiata aleatoria “scalata” i cui passi tendono a zero. Piùesattamente, si ha il seguente Teorema che prende il nome dal matematicoMonroe David Donsker (1924-1991).

Teorema 9.4.2. (Teorema di Donsker) Sia con unoÐ ß ß T Ñ Ð ÑH Y Y> >−Ò!ß∞Ò

spazio di probabilità con filtrazione. Sia inoltre Ð] Ñ8 8 " una successione di v.a.indipendenti con la medesima legge, tali che e e siaE VarÒ] Ó œ ! Ò] Ó œ "8 8

\ œ ] \ œ ! ;Þ-Þ8 3 !3œ"8 e Se è una passeggiata aleatoria^ œ Ð^ Ñ8 8ß> >−Ò!ß"Ó

scalata tale che

^ œ Ð\ Ð8> Ú8>ÛÑ] Ñ"

88ß> Ú8>Û Ú8>Û" ,

dove rappresenta il più grande intero minore o uguale a , allora ÚBÛ B ^ Ä F8_

per , dove .8 Ä ∞ F œ ÐF Ñ> >−Ò!ß"Ó

Dimostrazione. Si veda Capasso (2015, p.430).

In particolare, il Teorema di Donsker vale per la passeggiata aleatoriasimmetrica, per cui si ha . Il Teorema diTÐ] œ "Ñ œ TÐ] œ "Ñ œ "Î#8 8

Donsker può essere considerato come la versione funzionale del TeoremaCentrale del Limite (Teorema 8.4.1). Molte proprietà del moto Browniano

265Capitolo 9

possono essere quindi ottenute nel “limite” da quelle della passeggiata aleatoriasimmetrica (si veda Bhattacharya e Waymire, 2016).

Di seguito vengono considerati una serie di Teoremi che forniscono alcunedelle principali proprietà del moto Browniano.

Teorema 9.4.3. Sia dato Per ogni , il moto Browniano . F œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò > !

la v.a. è caratterizzata dalla , per ogni F =ß > !> legge Normale . Inoltrea Ð!ß >Ñsi ha .CovÒF ßF Ó œ Ð=ß >Ñ= > min

Dimostrazione. Dall'assunzione ) della Definizione 9.4.1 si ottiene chei

F œ>_F F> ! e dunque la prima parte segue dalle assunzioni ) e ) i ii della

Definizione 9.4.1. Per quanto riguarda la seconda parte, banalmente si ha che

F œ ÐF F Ñ F = >> > = =_

per . Tenendo presente dellal'assunzione ) iiiDefinizione 9.4.1 si ha che e dunqueEÒÐF F ÑF Ó œ !> = =

Cov .ÒF ßF Ó œ ÒF F Ó œ ÒÐF F ÑF F Ó œ ÒF Ó œ == > = > > = = = =# #E E E

La seconda parte segue immediatamente scambiando gli indici e .= >

Il seguente Teorema mostra che il moto Browniano è un p.a. Gaussiano,ovvero un p.a. per cui ogni scelta finita di stati possiede legge NormaleMultivariata.

Teorema 9.4.4. Sia dato , il moto Browniano . Se F œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò > á >" 5

allora il v.v.a. possiede legge NoÐF ßá ßF Ñ> >" 5rmale Multivariata a O5Ð!ß Ñ

dove O œ ÐminÐ> ß > ÑÑ3 4 .Dimostrazione. Innanzitutto, si noti che

@ F á @ F œ Ð@ á @ ÑF Ð@ á @ ÑÐF F Ñ

á @ ÐF F Ñ" > 5 > " 5 > # 5 > >

5 > >

" 5 " # "

5 5"

e che le v.a. sono indipendenti sulla baseF ß ÐF F Ñßá ß ÐF F Ñ> > > > >" # " 5 5"

della assunzione ) della Definizione 9.4.1. Dunque, posto laiii @ œ Ð@ ßá ß @ Ñ ß" 5T

f.c.m. del v.v.a. è data daÐF ßá ßF Ñ> >" 5

:Ð@Ñ œ Ð @ F Ñ œ Ò Ð Ð@ á @ ÑF ÑÓ ‚

‚ Ò Ð Ð@ á @ ÑÐF F ÑÑÓ ‚â‚ Ò Ð @ ÐF F ÑÑÓ

E exp E exp

E exp E exp

3œ"

5

3 > " 5 >

# 5 > > 5 > >

i i

i i .

3 "

# " 5 5"


Inoltre, dal Teorema 9.4.3 si ha che la v.a. possiede legge Normale ,F Ð!ß > Ñ> ""a

mentre dalla assunzione ) della Definizione 9.4.1 si ha che la v.a. ii F F> >3 3"

possiede legge Normale ( ). Dunque, tenendoa Ð!ß > > Ñ 3 œ #ßá ß 53 3"

presente l'Esempio 7.1.6, risulta

:Ð@Ñ œ ‚ ‚> Ð@ á @ Ñ Ð> > ÑÐ@ á @ Ñ

# #

‚â‚ Ð> > Ñ@

#

œ œ " @ @

# #

exp exp

exp

exp exp

" " 5 # " # 5# #

5 5" 5#

3œ" 3 " 4 3"

5 5 5

3 3 3 43#> ? # > ? ?

= =

TO

e quindi, sulla base dell'Esempio 7.3.1, segue la tesi.

Il seguente Teorema mostra che il moto Browniano è in effetti una martingala.

Teorema 9.4.5. Sia dato il moto Browniano . Il p.a. è unaF œ ÐF Ñ F> >−Ò!ß∞Ò

martingala.Dimostrazione. Sulla base del Teorema 9.4.3 e dalla disuguaglianza di

Lyapunov (Teorema 4.3.2), per ogni si ha>

E EÒlF lÓ Ÿ ÒF Ó œ > ∞> ># "Î# "Î# .

Inoltre, tenendo presente la dimostrazione del Teorema 9.4.3 e le assunzioni ) eiiiii) della Definizione 9.4.1, risulta

E E EE

ÒF ± Ó œ ÒF F ± Ó ÒF ± Ó

œ ÒF F Ó F œ F> = > = = = =

> = = =

Y Y Y

,


I seguenti Teoremi mostrano che se il moto Browniano viene riflesso, otraslato, o scalato, o invertito rispetto al tempo, si ottiene di nuovo un motoBrowniano.

Teorema 9.4.6. Sia dato il moto Browniano . PostoF œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò

\ œ F \ œ Ð\ Ñ> > > >−Ò!ß∞Ò il p.a. è un moto Browniano.Dimostrazione. Innanzitutto, si ha ,TÐ\ œ !Ñ œ TÐ F œ !Ñ œ "! ! . Inoltre

per ogni , sussiste per la! Ÿ = > \ \ œ ÐF F Ñ œ F F> = > = > =_

267Capitolo 9

simmetria della legge Normale rispetto all'origine. Dunque, dall'assunzione )iidella Definizione 9.4.1, la v.a. possiede legge Normale .\ \ Ð!ß > =Ñ> = aDal momento che trasformate di v.a. indipendenti sono indipendenti (vediTeorema 3.7.3), allora le v.a. e risultano\ \ œ ÐF F Ñ \ œ F> = > = = =

indipendenti sulla base dell'assunzione ) della Definizione 9.4.1. Quindi, ancheiile -algebre e sono indipendenti. In modo analogo, per ogni5 YY\ \ \> = =

! Ÿ > á > \ ß\ \ ßá ß\ \" 8 > > > > > le v.a. sono indipendenti." # " 8 8"

Infine, è evidente che il p.a. ha traiettorie continue Dunque, dalla\ ;Þ-ÞDefinizione 9.4.1 il p.a. è un moto Browniano. \

Teorema 9.4.7. Sia dato il moto Browniano . Se e postoF œ ÐF Ñ ? !> >−Ò!ß∞Ò

\ œ F F \ œ Ð\ Ñ> >? ? > >−Ò!ß∞Ò il p.a. è un moto Browniano.Dimostrazione. Risulta evidente che , TÐ\ œ !Ñ œ "! . Inoltre per ogni

! Ÿ = > \ \ œ F F, la v.a. è caratterizzata dalla legge Normale> = >? =?

a Ð!ß > =Ñ sulla base dell'assunzione ) della Definizione 9.4.1. Tenendoiipresente la medesima assunzione, è immediato verificare che le -algebre5Y\ \ \> = =

e sono indipendenti eY che le v.a. \ ß\ \ ßá ß\ \> > > > >" # " 8 8"

sono indipendenti. Infine, è evidente che il p.a. ha traiettorie continue \ ;Þ-ÞDunque, dalla Definizione 9.4.1 il p.a. è un moto Browniano. \

Teorema 9.4.8. Sia dato il moto Browniano . Se e postoF œ ÐF Ñ - Á !> >−Ò!ß∞Ò

\ œ -F \ œ Ð\ Ñ> >>Î- >−Ò!ß∞Ò# il p.a. è un moto Browniano.Dimostrazione. Si ha , TÐ\ œ !Ñ œ TÐ-F œ !Ñ œ "! ! . Inoltre per ogni

! Ÿ = > \ \ œ -ÐF F Ñ, si ha . Dunque, dall'assunzione ) della> = >Î- =Î-# # iiDefinizione 9.4.1 e dal Teorema 9.4.3, risulta

E E EÒ\ \ Ó œ -Ð ÒF Ó ÒF ÓÑ œ !> = >Î- =Î-# #

e

Var Var VarÒ\ \ Ó œ - Ð ÒF Ó ÒF Ó # ÒF ßF ÓÑ œ > => =#

>Î- =Î- >Î- =Î-# # # #Cov .

Tenendo presente l'Esempio 7.3.2, allora la v.a. è caratterizzata dalla\ \> =

legge Normale . Dal momento che trasformate di v.a. indipendentia Ð!ß > =Ñsono indipendenti (vedi Teorema 3.7.3), le v.a. e\ \ œ -ÐF F Ñ> = >Î- =Î-# #

\ œ -F= =Î-# risultano indipendenti sulla base dell'assunzione ) dellaiiDefinizione 9.4.1 e anche le -algebre e sono indipendenti. In modo5 YY\ \ \> = =

analogo, per ogni ! Ÿ > á > \ ß\ \ ßá ß\ \" 8 > > > > > le v.a. " # " 8 8"


risultano indipendenti. Infine, è evidente che il p.a. ha traiettorie continue \ ;Þ-ÞDunque, dalla Definizione 9.4.1, il p.a. è un moto Browniano. \

Teorema 9.4.9. Sia dato il moto Browniano . PostoF œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò

\ œ >F > ! \ œ ! ;Þ-Þ \ œ Ð\ Ñ> ! >"Î> >−Ò!ß∞Ò se e il p.a. è un moto Browniano.Dimostrazione. Evidentemente si ha TÐ\ œ !Ñ œ "! dalle assunzioni fatte.

D possiede legge Normale e dunque laal Teorema 9.4.3, la v.a. F Ð!ß "Î>Ñ"Î> a

v.a. possiede legge Normale , mentre per ogni si ha\ Ð!ß >Ñ ! Ÿ = >> a

E E EÒ\ \ Ó œ > ÒF Ó = ÒF Ó œ !> = "Î> "Î=

e

Var Var VarÒ\ \ Ó œ > ÒF Ó = ÒF Ó #>= ÒF ßF ÓÑ œ > => =# #

"Î> "Î= "Î> "Î=Cov .

Dal momento il v.v.a. possiede legge Normale Multivariata sullaÐF ßF Ñ"Î> "Î=

base del Teorema 9.4.4 e poichè è una combinazione\ \ œ >F =F> = "Î> "Î=

lineare di questo v.v.a., si ha dunque che la v.a. possiede legge Normale\ \> =

a Ð!ß > =Ñ. Inoltre, risulta

Cov .ÒÐ\ \ Ñ\ Ó œ Ò\ \ Ó Ò\ Ó œ => ÒF F Ó = ÒF Ó œ !> = = > = =# # #

"Î> "Î= "Î=E E E E

Il v.v.a. possiede legge Normale Multivariata essendo unaÐ\ ß Ð\ \ ÑÑ= > =

trasformata affine del v.v.a. ed inoltre le sue componenti sonoÐF ßF Ñ"Î> "Î=

indipendenti tenendo presente la precedente relazione. Dunque, anche le -5algebre e sono indipendenti. In modo analogo, per ogniY\ \ \> = =

Y! Ÿ > á > \ ß\ \ ßá ß\ \" 8 > > > > > le v.a. risultano indipendenti.

" # " 8 8"

Dal momento che il moto Browniano è continuo , risulta;Þ-Þ

T Ð \ œ !Ñ œ TÐ >F œ !Ñ œ "lim lim>Ä! > >Ä! "Î>

e quindi il p.a. ha traiettorie continue Dunque, dalla Definizione 9.4.1, il\ ;Þ-Þp.a. è un moto Browniano. \

I prossimi Teoremi evidenziano che le traiettorie del moto Browniano sonomolto “irregolari”. In effetti, anche se le traiettorie di questo p.a. sono continue;Þ-Þ ;Þ9Þper definizione, queste sono non differenziabili Inoltre, la variazione diun moto Browniano è infinita , mentre la rispettiva variazione quadratica è;Þ-Þfinita (per una discussione approfondita di queste quantità si veda Klebaner,2005)

269Capitolo 9

Teorema 9.4.10. Sia dato il moto Browniano . Allora, leF œ ÐF Ñ ;Þ-Þ> >−Ò!ß∞Ò

traiettorie del moto Browniano non sono differenziabili ;Þ9ÞDimostrazione. Si veda Capasso (2015, p.138).

Teorema 9.4.11. Sia dato un moto Browniano . Si consideriF œ ÐF Ñ> >−Ò!ßX Ó

inoltre la partizione ! œ > > á > œ X!ß8 "ß8 8ß8 e le successioni di v.a.ÐZ Ñ / ÐZ Ñ8 8 " 8ß# 8 ", dove

Z œ lF F l8 > >

3œ!

8"3"ß8 3ß8

e

Z œ ÐF F Ñ8ß# > >

3œ!

8"#

3"ß8 3ß8 .

Allora, se , si halim max8 3"ß8 3ß8Ð> > Ñ œ !

TÐ Z œ ∞Ñ œ "lim8

8

e

lim E8

8ß##ÒÐZ XÑ Ó œ ! .

Dimostrazione. Si veda Klebaner (2005, p.63).

La seguente definizione introduce il cosiddetto tempo di primo passaggio delmoto Browniano.

Definizione 9.4.12. Sia il moto Browniano. Il tempo di arrestoF œ ÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò

7+ >œ Ö> − Ó ∞Ò À F œ +×inf 0, ,

dove , è detto .+ − ‘ tempo del primo passaggio per +

Teorema 9.4.13. Sia il moto Browniano.F œ ÐF Ñ> +>−Ò!ß∞Ò La v.a. ammette7

d.p. data da


0 ÐBÑ œ B l+l +

# #B7+

1

$Î##

exp "Ó!ß∞ÒÐBÑ .

Inoltre, si ha EÒ Ó œ7+ ∞.Dimostrazione. Si veda Klebaner (2005, p.75).

Dal precedente Teorema è immediato verificare che il tempo del primopassaggio del moto Browniano possiede in effetti la legge di Lévy introdottanella sua versione ridotta nell'Esempio 4.1.3. Il prossimo Teorema fornisce unrisultato classico la legge dell'arcoseno per il moto Browniano che fornisce ladistribuzione dell'ultimo tempo di ritorno all'origine.

Teorema 9.4.14. (Legge dell'arcoseno per il moto Browniano) SiaF œ ÐF Ñ Ò!ß "Ó> >−Ò!ß"Ó il moto Browniano su e si consideri la v.a.7 7œ Ö> − Ò!ß "Ó À œ !×sup B . La v.a. ammette d.p. data da>

0 ÐBÑ œ ÐBÑ"

BÐ" BÑ7

1 "Ò!ß"Ó .

ovvero è una v.a. con legge Beta di tipo .7 UXÐ!ß "ß "Î#ß Ñ"Î#Dimostrazione. Si veda Klebaner (2005, p.75).


I testi di Bass (2011), Bhattacharya e Waymire (2016), Koralov e Sinai (2007),Knill (2009) e sono espressamente focalizzatiMishura e Shevchenko (2017) sulla teoria dei processi stocastici. Ampie parti dei testi avanzati di Ash eDoléans-Dade (2000), Billingsley (1995), Çinlar (2010), Dudley (2004),Kallenberg (2002) e . Per unStroock (2013) sono dedicati ai processi stocasticiapproccio introduttivo a questo argomento si possono consultare i testi diBrzezniak e Zastawniak (2002), ´ Durrett (2012), Resnick (2005) e Tijms (2003). Itesti di Capasso e Bakstein (2015) e Revuz e Yor (2005) considerano in modoesaustivo i processi stocastici a tempo continuo. I processi a tempo discreto, conparticolare enfasi sulle martingale, sono considerati in Brzezniak e Zastawniak´(2002), Pascucci (2011) e . In particolar modo le applicazioniWilliams (1992)delle martingale al gioco d'azzardo sono analizzate in E Per unathier (2010).introduzione alle passeggiate aleatorie si può consultare il testo di Klafter eSokolov (2011), mentre è fondamentale il capitolo dedicato a questo argomento

271Capitolo 9

in Feller (1968). Il moto Browniano è considerato in dettaglio nei testi di Mörterse Peres (2010) e .Schilling e Partzsch (2012)

Capitolo 10

Calcolo stocastico

10.1. Introduzione all'integrazione stocastica

Il problema dell'integrazione stocastica può esser fatto risalire a LouisBachelier (1870-1946). Se rappresenta il prezzo di un bene al variare del\>

tempo, nella sua tesi di laurea (1900), Louis BachelierThéorie de la spéculationpropose di modellare gli incrementi infinitesimi del prezzo in modoproporzionale agli incrementi infinitesimi del moto Browniano, ovvero (con unasimbologia moderna) introdusse la relazione euristica dove.\ œ .F> >55 − Ó!ß∞Ò. In questo caso, la precedente relazione porta intuitivamente aconcludere che . Tuttavia, anche se questo modello può essere\ œ \ F> ! >5discretamente valido per descrivere la dinamica del prezzo nel breve periodo, ingenerale non è realistico. In effetti, tenendo presenti le proprietà del motoBrowniano, il prezzo può assumere valori negativi con probabilità crescente\>

all'aumentare del tempo.

Figura 9.2.1. Kiyosi .Itô (1915-2008)

274 Calcolo stocastico

L'inconveniente del modello potrebbe essere aggirato supponendo chel'incremento infinitesimo del prezzo, rapportato al prezzo stesso, siaproporzionale agli incrementi infinitesimi del moto Browniano considerando larelazione euristica , ovvero . Anche se questa.\ Î\ œ .F .\ œ \ .F> > > > > >5 5ultima espressione potrebbe ricordare una equazione differenziale ordinaria,evidentemente presenta una difficoltà teorica dal momento che il motoBrowniano non è differenziabile e quindi non ha significato matematico. Ilq.o.problema è stato risolto da Kiyosi Itô (1915-2008), che ha datoun'interpretazione rigorosa alla precedente relazione con una formulazione intermini di integrale del tipo \ œ \ \ .F> ! = =!

>5 . Nel secondo termine di

quest'espressione compare appunto il cosiddetto integrale stocastico di Itô.Di seguito vengono introdotte le basi per la costruzione dell'integrale

stocastico di partendo da una classe elementare di processi, al fine di ottenereItô la definizione generale . nella prossima sezione

Definizione 10.1.1. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione dove . Sia inoltreÐ Ñ X !Y> >−Ò!ßX Ó ! " 8 una! œ > > á > œ X

partizione di e sia dato un v.v.a. tale che ogni v.a. Ò!ß X Ó ^ œ Ð^ ßá ß^ Ñ ^! 8" 3T

è misurabile rispetto a con per . Il p.a.Y> 3#

3EÒ^ Ó ∞ 3 œ !ßá ß 8 "

\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó è detto sesemplice

\ œ ^ Ð>Ñ> 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

.

La classe dei p.a. semplici è denotata con .fX#

Si noti che la misurabilità delle v.a. rispetto alle -algebre implica che il^3 >5 Y3

p.a. semplice sia adattato alla . Inoltre, l'assunzione\ filtrazione Ð ÑY> >−Ò!ß∞Ò

E EÒ^ Ó ∞ Ò\ Ó ∞ > − Ò!ß X Ó3# # #

> X implica che per ogni . Infine, è uno spaziofvettoriale, dal momento che è immediato verificare che per ogni+\ ,] − fX

#

\ß ] − +ß , −f ‘X# e .

Definizione 10.1.2. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione e il moto Browniano adattato allaÐ Ñ F œ ÐF ÑY> > >−Ò!ß∞Ò>−Ò!ß∞Ò

filtrazione. Dato il p.a. , l' di è definito come\ − \fX# integrale stocastico di Itô

275Capitolo 10

MÐ\Ñ œ ^ ÐF F Ñ3œ!

8"

3 > >3" 3

e si scrive

MÐ\Ñ œ \ .F!

X

> > .

Dalla Definizione 10.1.2 è evidente che l'integrale di Itô di un p.a. semplice èuna v.a. Inoltre, risulta opportuno sottolineare la differenza teorica fra l'integraledi Itô e l'integrale di Lebesgue di un p.a. semplice. Più esattamente, l'integraledel p.a. semplice risulta\

!

X

> 3 3" 3

3œ!

8"

\ .> œ ^ Ð> > Ñ .

Dunque, anche l'integrale del p.a. è ovviamente una v.a. Tuttavia, l'integrale delp.a. è basato su incrementi deterministici, al contrario dell'integrale di Itô, dovegli incrementi sono proporzionali agli incrementi di un moto Browniano. Ingenerale, si noti che l'integrale di un p.a. (le cui traiettorie sono integrabili ) èq.c.una v.a., dal momento che ad ogni realizzazione del processo viene associato unintegrale di Lebesgue.

Si noti inoltre che per semplicità di notazione si pone anche

+ !

, X

> > > >Ò+ß,Ò\ .F œ Ð>Ñ\ .F" ,

dove e .+ß , − Ò!ß X Ó + ,Il seguente Teorema evidenzia che l'integrale stocastico di è una v.a. conItô

media nulla e secondo momento finito quando il p.a. è semplice.

Teorema 10.1.3. Se , l'integrale stocastico di è una v.a. tale che\ − fX# Itô

EÒMÐ\ÑÓ œ ! e

Var E E EÒMÐ\ÑÓ œ ÒMÐ\Ñ Ó œ Ò\ Ó .> œ \ .> ∞# # #

! !

X X

> > .


Dimostrazione. Per semplicità di notazione si assuma che J3 > >œ F F Þ3" 3

Dal momento che la v.a. è misurabile rispetto a e che l'incremento è^3 > 3Y J3

indipendente dalla -algebra per l'assunzione ) della Definizione 9.4.1,5 Y>3 iiitenendo presente i Teoremi 5.2.1 e 5.2.4 si ha

E E E E E E EÒ^ Ó œ Ò Ò^ ± ÓÓ œ Ò^ Ò ± ÓÓ œ Ò^ Ò ÓÓ œ !3 3 3 3 > 3 3 > 3 3J J Y J Y J3 3

,

in quanto sussiste sulla base dell'assunzione ) della DefinizioneEÒ Ó œ !J3 ii9.4.1. Quindi, risulta

E EÒMÐ\ÑÓ œ Ò^ Ó œ !3œ!

8"

3 3J .

Inoltre, si ha

MÐ\Ñ œ ^ ^#

3œ! 4œ!

8" 8"

3 4 3 4 J J .

Tenendo presente i precedenti commenti, per e assumendo , si ha3 Á 4 3 4

E E E E E

E E

Ò^ ^ Ó œ Ò Ò^ ^ ± ÓÓ œ Ò^ ^ Ò ± ÓÓ

œ Ò^ ^ Ò ÓÓ œ !

3 4 3 4 3 4 3 4 > 3 4 3 4 >

3 4 3 4

J J J J Y J J Y

J J4 4

,

mentre per , si ha3 œ 4

E E E E E

E E E

Ò^ Ó œ Ò Ò^ ± ÓÓ œ Ò^ Ò ± ÓÓ

œ Ò^ Ò ÓÓ œ Ò^ ÓÐ> > Ñ3 3 3 3 3 3# # # # # #

> >

3 3 3# # #

3" 3

J J Y J Y

J3 3

,

dal momento che dall'assunzione ) della Definizione 9.4.1.EÒ Ó œ > >J3#

3" 3 iiDunque, risulta

E EÒMÐ\Ñ Ó œ Ò^ ÓÐ> > Ñ# #

3œ!

8"

3 3" 3 .

Inoltre, tenendo presente che per , si ha" "Ò> ß> Ò Ò> ß> Ò3 3" 4 4"Ð>Ñ Ð>Ñ œ ! 3 Á 4

277Capitolo 10

! !

X X

>#

3œ! 4œ!

8" 8"

3 4 Ò> ß> Ò Ò> ß> Ò

!

X

3œ! 3œ!

8" 8"

3 3# #

Ò> ß> Ò 3" 3

\ .> œ ^ ^ Ð>Ñ Ð>Ñ .>

œ ^ Ð>Ñ .> œ ^ Ð> > Ñ

" "

"

3 3" 4 4"

3 3" ,

da cui

E E E ! !

X X

> > 3# # #

3œ!

8"

3" 3\ .> œ Ò\ Ó .> œ Ò^ ÓÐ> > Ñ .

Il teorema segue dalle precedenti relazioni.

Esempio 10.1.1. Si assuma il p.a. semplice , dove\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ß&Ó

\ œ ^ Ð>Ñ ^ Ð>Ñ ^ Ð>Ñ> ! " #Ò!ß"Ò Ò"ß#Ò Ò#ß&Ó" " " ,

e è un v.v.a. degenere con .^ œ Ð^ ß^ ß ^ Ñ T Ð^ œ "ß ^ œ #ß ^ œ "Ñ œ "! " # ! " #T

In questo caso, l'integrale stocastico di Itô è dato da

MÐ\Ñ œ ^ ÐF F Ñ ^ ÐF F Ñ ^ ÐF F Ñ

œ F #ÐF F Ñ ÐF F Ñ

! " ! " # " # & #

" # " & #_

.

Dunque, dall'assunzione ) della Definizione 9.4.1, si ha che è una v.a.iii MÐ\Ñcaratterizzata dalla legge Normale . In effetti dal Teorema 10.1.3 risultaa Ð!ß )ÑEÒMÐ\ÑÓ œ ! e

Var E E EÒMÐ\ÑÓ œ Ò^ Ó Ò^ Ó $ Ò^ Ó œ )! " ## # # .

Esempio 10.1.2. Si assuma il p.a. semplice , dove\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ß"Ó

\ œ ^ Ð>Ñ> ! Ò!ß"Ó" ,

mentre è una v.a. caratterizzata dalla legge di Bernoulli di parametro . In^ "Î#!

questo caso, l'integrale stocastico di Itô è dato da

MÐ\Ñ œ ^ ÐF F Ñ œ ^ F! " ! ! "_

.

Dunque, la f.r. della v.a. è data daMÐ\Ñ


J ÐBÑ œ TÐÖMÐ\Ñ Ÿ B× ± Ö^ œ !×Ñ TÐÖMÐ\Ñ Ÿ B× ± Ö^ œ "×Ñ" "

# #

œ TÐ^ Ÿ BÑ TÐF Ÿ BÑ œ ÐBÑ ÐBÑ" " " "

# # # #

MÐ\Ñ ! !

" Ò!ß∞Ò0 " F .

Dunque, è una v.a. mista, dal momento che la corrispondente f.r. è unaMÐ\Ñcombinazione convessa di una f.r. di una v.a. degenere nello zero e una v.a. conlegge Normale ridotta. Inoltre, risulta eEÒMÐ\ÑÓ œ !

Var EÒMÐ\ÑÓ œ Ò^ Ó œ"

#!# .

I seguenti Teoremi forniscono rispettivamente la proprietà di linearitàl'integrale stocastico di integrali stocastici di Itô e la covarianza fra due Itô nelcaso di p.a. semplici.

Teorema 10.1.4. Dati i p.a. , per ogni si ha\ß] − +ß , −f ‘X#

MÐ+\ ,] Ñ œ +MÐ\Ñ ,MÐ] Ñ .

Dimostrazione. diSi consideri la partizione ! œ > > á > œ X! " 8

Ò!ß X Ó, in modo tale che

\ œ ^ Ð>Ñ> 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

e

] œ Y Ð>Ñ> 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

.

dove le v.a. e sono misurabili rispetto a con e ^ Y Ò^ Ó ∞ ÒY Ó ∞3 3 > 3 3# #Y

3E E

per . Se le due partizioni per i p.a. e sono differenti, è3 œ !ßá ß 8 " \ ]sempre possibile considerare una partizione comune considerando unraffinamento delle due partizioni originali. Dunque, si ha

+\ ,] œ Ð+^ ,Y Ñ Ð>Ñ> > 3 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

.

Assumendo le notazioni della dimostrazione del Teorema 10.1.3, risulta

279Capitolo 10

MÐ+\ ,] Ñ œ Ð+^ ,Y Ñ

œ + ^ , Y œ +MÐ\Ñ ,MÐ] Ñ

3œ!

8"

3 3 3

3œ! 3œ!

8" 8"

3 3 3 3

J

J J ,

da cui segue il risultato.

Teorema 10.1.5. Dati i p.a. , si ha\ß] − fX#

CovÒ Ó œ \ ]MÐ\Ñß MÐ] Ñ ÒMÐ\ÑMÐ] ÑÓ œ Ò Ó .> œ \ ] .>E E E ! !

X X

> >> > .

Dimostrazione. Tenendo presente l'identità

+, œ Ð+ ,Ñ + ," " "

# # ## # # ,

dove , e il Teorema 10.1.3, si ha+ß , − ‘

E E E E

E E E

E

ÒMÐ\ÑMÐ] ÑÓ œ ÒÐMÐ\Ñ MÐ] ÑÑ Ó ÒMÐ\Ñ Ó ÒMÐ] Ñ Ó" " "

# # #

œ Ð\ ] Ñ .> \ .> ] .>" " "

# # #

œ \ ] .>

# # #

! ! !

X X X

> ># # #

> >

!

X

> >

,

da cui segue il risultato.

10.2. Integrale di Itô

La seguente classe di p.a. è centrale nella definizione generale dell'integralestocastico di Itô. In effetti, gli elementi di questa classe saranno le “funzioniintegrande” opportune per cui l'integrale stocastico è definito.


Definizione 10.2.1. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione . Ð ÑY> >−Ò!ß∞Ò >−Ò!ßX ÓX

#>La classe è costituita dai p.a. adattati` \ œ Ð\ Ñ

alla filtrazione e tali che .EÒ \ .>Ó ∞!

X>#

Esempio 10.2.1. Si consideri il p.a. \ œ ÐF Ñ> >−Ò!ßX Ó. Tenendo presente laDefinizione 9.4.1 si ha

E E ! ! !

X X X

> ># #

#

F .> œ ÒF Ó .> œ > .> œ ∞X

# ,

ovvero . Si consideri inoltre il p.a. \ − `X# \ œ ÐF Ñ>

#>−Ò!ßX Ó. Tenendo presente

che in base al Teorema 9.4.3 si ha EÒF Ó œ $>>% # (si veda anche l'Esempio 7.1.8),

allora risulta

E E ! ! !

X X X

> >% % # $F .> œ ÒF Ó .> œ $> .> œ X ∞ ,

ovvero si ha anche .\ − `X#

È immediato verificare che . Inoltre, il seguente Teorema forniscef `X X# #§

una semplice condizione per verificare se un p.a. appartiene alla classe ,`X#

mentre il Teorema successivo evidenzia che la classe è densa nella classefX#

`X# .

Teorema 10.2.2. Se il p.a. è adattato alla filtrazione e\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó

limitato, ovvero se esiste tale che per ogniO ! l\ Ð Ñl O> =Ð>ß Ñ − Ò!ß X Ó ‚ \ −= H `, allora .X

#

Dimostrazione. Dalle assunzioni si ha

E E ! !

X X

># # #\ .> Ÿ O .> œ XO ,

e sulla base della Definizione 10.2.1 segue il Teorema.

Teorema 10.2.3. Per ogni p.a. tale che esiste una\ œ Ð\ Ñ \ −> >−Ò!ßX Ó X#`

successione di p.a. , dove con , cheÐ\ Ñ \ œ Ð\ Ñ \ −8 8 " 8 >ß8 8>−Ò!ßX Ó X#f

approssima il p.a. , ovvero\

281Capitolo 10

lim E8 !

X

> >ß8# Ð\ \ Ñ .> œ ! .

Dimostrazione. Si veda Da Prato (2014).

Sulla base dei precedenti risultati, si può dunque introdurre la versionegenerale del Itô di un p.a. definito su come limite inl'integrale stocastico di `X

#

media quadratica di una successione di integrali stocastici relativi ad unasuccessione di p.a. semplici.

Definizione 10.2.4. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione e un moto Browniano adattato allaÐ Ñ F œ ÐF ÑY> > >−Ò!ß∞Ò>−Ò!ß∞Ò

filtrazione. Dato il p.a. \ − MÐ\Ñ`X# , si dice che è l'integrale stocastico di Itô

del p.a. se\

lim E8

8#ÒÐMÐ\Ñ MÐ\ ÑÑ Ó œ !

per ogni successione di p.a. tali che e si scriveÐ\ Ñ \ −8 8 " 8 X#f

MÐ\Ñ œ \ .F!

X

> > .

Evidentemente, la precedente Definizione implica che l'integrale stocastico diItô può essere definito in termini di convergenza in media quadratica, ovverorisulta

MÐ\ Ñ Ä MÐ\Ñ8P#

per . Inoltre, in modo equivalente a quanto fatto per i p.a. semplici, per8 Ä ∞comodità di notazione si pone anche

+ !

, X

> > > >Ò+ß,Ò\ .F œ Ð>Ñ\ .F" .

Nel caso particolare in cui è un processo deterministico,\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó

ovvero se con , l'integrale di Itô si riduce a\ œ 1Ð>Ñ 1 À Ä> q.c. ‘ ‘


MÐ\Ñ œ 1Ð>Ñ .F!

X

> ,

che è anche detto .integrale di WienerDal seguente Teorema si evince che l'integrale stocastico è ben definito, nel

senso che non dipende dalla scelta della successione di p.a. semplici.

Teorema 10.2.5. Per ogni , l'integrale stocastico di p.a. Itô \ − MÐ\Ñ`X#

non dipende dalla successione di p.a. semplici che approssimano il p.a.Ð\ Ñ8 8 "

\.Dimostrazione. Si consideri due successioni e cheÐ\ Ñ Ð] Ñ8 8 " 8 8 "

approssimano in , ovvero tali che e\ Ò Ð\ \ Ñ .>Ó œ !`X# #

8 > >ß8!

Xlim E lim E8 > >ß8!

X #Ò Ð\ ] Ñ .>Ó œ ! . Tenendo presente la disuguaglianza

Ð+ ,Ñ Ÿ #+ #,# # # ,

dove , si ha+ß , − ‘

E E E ! ! !

X X X

>ß8 >ß8 > >ß8 > >ß8# # #Ð\ ] Ñ .> Ÿ # Ð\ \ Ñ .> # Ð\ ] Ñ .>

e dunque

lim E8 !

X

>ß8 >ß8# Ð\ ] Ñ .> œ ! .

Inoltre, dai Teoremi 10.1.3 e 10.1.4 si ha

E E EÒÐMÐ\ Ñ MÐ] ÑÑ Ó œ ÒMÐ\ ] Ñ Ó œ Ð\ ] Ñ .>8 8 8 8 >ß8 >ß8# # #

!

X ,

da cui, sulla base del precedente risultato, si ha

lim E8

8 8#ÒÐMÐ\ Ñ MÐ] ÑÑ Ó œ ! ,

da cui segue il Teorema sulla base delle assunzioni fatte e della Definizione10.2.4.

283Capitolo 10

In modo parallelo per quanto visto per i p.a. semplici si hanno i seguentiTeoremi.

Teorema 10.2.6. Se , l'integrale stocastico di è una v.a. tale che\ − `X# Itô

EÒMÐ\ÑÓ œ ! e

Var E E EÒMÐ\ÑÓ œ ÒMÐ\Ñ Ó œ Ò\ Ó .> œ \ .> ∞# # #

! !

X X

> > .

Dimostrazione. Si consideri una successione di p.a. che approssimaÐ\ Ñ8 8 "

il p.a. in . Per quanto riguarda la prima parte, tenendo presente che\ `X#

EÒMÐ\ ÑÓ œ !8 dal Teorema 10.1.3 e sulla base della disuguaglianza di Jensen(Teorema 4.2.6) si ha

E E E EÒMÐ\ÑÓ œ ÒMÐ\ \ ÑÓ Ÿ ÒMÐ\ \ Ñ Ó œ ÒÐMÐ\Ñ MÐ\ ÑÑ Ó# # # #8 8 8

e quindi per segue che dalla Definizione 10.2.4. Per quanto8 Ä ∞ ÒMÐ\ÑÓ œ !Eriguarda la seconda parte, dal momento che è uno spazio vettoriale, si ha`X

#

E E E ! ! !

X X X

> >ß8# # #

"Î# "Î# "Î#

> >ß8Ð\ \ Ñ .> \ .> \ .> .

Dal momento che sulla base del Teorema 10.2.3,lim E8 > >ß8!

X #Ò Ð\ \ Ñ .>Ó œ !la precedente relazione implica che

lim E E8 ! !

X X

>ß8 ># # \ .> œ \ .> .

In modo simile, la Definizione 10.2.4 implica che

lim E E8 ! !

X X

>ß8 > > >

# # \ .F œ \ .F ,

ovvero

lim E E8

8# #ÒMÐ\ Ñ Ó œ ÒMÐ\Ñ Ó .

Inoltre, dal momento che , dal Teorema 10.1.3 si ha\ −8 X#f


E E

! !

X X

>ß8 >

#

>ß8#\ .F œ \ .>

e quindi i due limiti precedenti coincidono.

Teorema 10.2.7. Dati i p.a. , per ogni si ha\ß] − +ß , −` ‘X#

MÐ+\ ,] Ñ œ +MÐ\Ñ ,MÐ] Ñ .

Dimostrazione. Si consideri due successioni di p.a. semplici eÐ\ Ñ8 8 "

Ð] Ñ \ ]8 8 " X# che approssimano rispettivamente i p.a. e in , ovvero tali che`

lim E lim E8 > >ß8 8 > >ß8! !

X X# #Ò Ð\ \ Ñ .>Ó œ ! Ò Ð] ] Ñ .>Ó œ ! e . Tenendo presentela disuguaglianza nella dimostrazione del Teorema 10.2.5, dal momento che

E

E E

!

X

> > >ß8 >ß8#

# # # #

! !

X X

> >ß8 > >ß8

Ð+\ ,] +\ ,] Ñ .> Ÿ

Ÿ #+ Ð\ \ Ñ .> #, Ð] ] Ñ .> ,

allora dalle precedenti relazioni risulta

lim E8 !

X

> > >ß8 >ß8#Ò Ð+\ ,] +\ ,] Ñ .>Ó œ ! ,

ovvero la successione di p.a. semplici approssima il p.a.Ð+\ ,] Ñ8 8 8 "

+\ ,] in . Dunque, dalla Definizione 10.2.4 si ha`X#

lim E8

8 8#ÒÐMÐ+\ ,] Ñ MÐ+\ ,] ÑÑ Ó œ ! ,

ovvero, tenendo presente il Teorema 10.1.4, risulta anche

lim E8

8 8#ÒÐMÐ+\ ,] Ñ +MÐ\ Ñ ,MÐ] ÑÑ Ó œ ! .

Inoltre, si ha

E

E E

ÒÐ+MÐ\Ñ ,MÐ] Ñ +MÐ\ Ñ ,MÐ] ÑÑ Ó Ÿ

Ÿ #+ ÒÐMÐ\Ñ MÐ\ ÑÑ Ó #, ÒÐMÐ\Ñ MÐ\ ÑÑ Ó

8 8#

# # # #8 8 ,

285Capitolo 10

e poichè risulta e lim E lim E8 8 8 8# #ÒÐMÐ\Ñ MÐ\ ÑÑ Ó œ ! ÒÐMÐ] Ñ MÐ] ÑÑ Ó œ !

dalla Definizione 10.2.4, si ha che

lim E8

8 8#ÒÐ+MÐ\Ñ ,MÐ] Ñ +MÐ\ Ñ ,MÐ] ÑÑ Ó œ ! .

Confrontando i precedenti limiti si ottiene il teorema.

Teorema 10.2.8. Dati i p.a. , si ha\ß] − `X#

CovÒ Ó œ \ ]MÐ\Ñß MÐ] Ñ ÒMÐ\ÑMÐ] ÑÓ œ Ò Ó .> œ \ ] .>E E E ! !

X X

> >> > .

Dimostrazione. È analoga a quella del Teorema 10.1.5.

Esempio 10.2.2. Se è un p.a. per cui risulta che , si\ œ \ œ Ð>ÑÐ\ Ñ> Ò!ßX Ó Ò!ßX Ó> "

vuole verificare che

MÐ\Ñ œ .F œ F!

X

> X .

Evidentemente, è un p.a. semplice e dunque . Inoltre, si può\ \ − `X#

banalmente scegliere la successione con e quindi sussisteÐ\ Ñ \ œ \8 8 " 8

MÐ\ Ñ œ ÐF F Ñ œ F8 > > X

3œ!

8"3"ß8 3ß8

.

Evidentemente, si ha

MÐ\ Ñ Ä F8 XP#

e dalla Definizione 10.2.4 risulta

MÐ\Ñ œ FX .

Dunque, in questo caso l'integrale stocastico di Itô è una v.a. caratterizzata dalegge Normale . Inoltre, dal Teorema 10.2.6 risulta che ea Ð!ß X Ñ ÒMÐ\ÑÓ œ !EVarÒMÐ\ÑÓ œ X .

Esempio 10.2.3. Se , si vuole verificare che\ œ ÐF Ñ> Ò!ßX Ó


MÐ\Ñ œ F .F œ ÐF XÑ"

#!

X

> > X# .

Precedentemente, nell'Esempio 10.2.1 è stato verificato che . Dunque,\ − `X#

posto , si consideri la successione di p.a.! œ > > á > œ X!ß8 "ß8 8ß8

semplici , dove eÐ\ Ñ \ œ Ð\ Ñ8 8 " 8 >ß8 >−Ò!ßX Ó

\ œ F Ð>Ñ>ß8 >

3œ!

8"

Ò> ß> Ò3ß8 3ß8 3"ß8" .

Inoltre, dal momento che l'integrale stocastico non dipende dalla scelta dellasuccessione, si ponga . Inoltre, tenendo presente l'identità> œ 3XÎ83ß8

+Ð, +Ñ œ Ð, + Ñ Ð, +Ñ" "

# ## # # ,

dove , si ha+ß , − ‘

MÐ\ Ñ œ F ÐF F Ñ

œ ÐF F Ñ ÐF F Ñ" "

# #

œ F ÐF F Ñ" "

# #

8 > > >

3œ!

8"

3œ! 3œ!

8" 8"

> ># # #

> >

X# #

3œ!

8"

> >

3ß8 3"ß8 3ß8

3"ß8 3ß8 3"ß8 3ß8

3"ß8 3ß8 .

Dunque, tenendo presente il Teorema 9.4.11 si ha

" " "

# # #F ÐF F Ñ Ä ÐF XÑX X

# # #

3œ!

8"

> >P

3"ß8 3ß8

#

per e dalla Definizione 10.2.4 risulta8 Ä ∞

MÐ\Ñ œ ÐF XÑ"

# X# .

In questo caso, l'integrale di Itô è una trasformata lineare del quadrato di una v.a.caratterizzata dalla legge Normale . Inoltre, dal Teorema 10.2.6 si ha chea Ð!ß X ÑE VarÒMÐ\ÑÓ œ ! ÒMÐ\ÑÓ œ X Î# e . Si noti infine che il risultato ottenuto#

nell'integrazione stocastica è simile a quello che si ha in un ambito di

287Capitolo 10

integrazione con funzioni deterministiche, eccetto la presenza di un secondotermine. Questo termine è dovuto al fatto che la variazione di un motoBrowniano non è nulla (vedi Teorema 9.4.11).

Dai due precedenti esempi, è evidente che non è opportuno calcolarel'integrale di Itô mediante la Definizione 10.2.4. Tecniche pratiche diintegrazione saranno presentate negli Esempi 10.3.5-10.3.8 sulla base dellaFormula di Itô introdotta nel prossimo paragrafo. Tuttavia, nel caso di unprocesso deterministico, si può ottenere un risultato generale. In particolare, ilseguente teorema fornisce la legge di un integrale di Wiener.

Teorema 10.2.9. Sia un p.a. tale che q.c. con\ œ Ð\ Ñ \ œ 1Ð>Ñ> >>−Ò!ßX Ó

1 À Ä 1Ð>Ñ .> ∞ MÐ\Ñ œ 1Ð>Ñ.F‘ ‘. Se , l'integrale di Wiener è una ! !

X X#>

v.a. caratterizzata dalla legge Normale .a Ð!ß 1Ð>Ñ .>Ñ!

X #

Dimostrazione. Tenendo presente il Teorema 10.2.5, si consideri lasuccessione di p.a. semplici , dove conÐ\ Ñ \ œ Ð\ Ñ8 8 " 8 >ß8 >−Ò!ßX Ó

\ œ 1Ð> Ñ Ð>Ñ>ß8 3

3œ!

8"

Ò> ß> Ò "3 3"

,

che approssima il p.a. . Dalla Definizione 10.1.2 si ha\

MÐ\ Ñ œ 1Ð> ÑÐF F Ñ8 3 > >

3œ!

8"3" 3

.

Gli incrementi di un moto Browniano sono indipendenti per l'assunzione )iiidella Definizione 9.4.1 e ogni incremento possiede legge Normale perl'assunzione ) della Definizione 9.4.1. Dunque, tenendo presente l'Esempioii7.3.5, la v.a. possiede legge Normale con eMÐ\ Ñ ÒMÐ\ ÑÓ œ !8 8E

VarÒMÐ\ ÑÓ œ 1Ð> Ñ Ð> > Ñ8 3 3" 3

3œ!

8"# .

Inoltre, dalla definizione dell'integrale di Riemann, si ha

lim Var8

8!

X#ÒMÐ\ ÑÓ œ 1Ð>Ñ .> .


Dal momento che sulla base della Definizione 10.2.4 si ha perMÐ\ Ñ Ä MÐ\Ñ8P#

8 Ä ∞ MÐ\Ñ, allora è necessariamente caratterizzata dalla legge Normalea Ð!ß 1Ð>Ñ .>Ñ

!

X # .

Esempio 10.2.4. Se è tale che , allora si ha il seguente\ œ Ð\ Ñ \ œ >> >>−Ò!ßX Ó

integrale di Wiener

MÐ\Ñ œ > .F!

X

> .

Sulla base del Teorema 10.2.9, la v.a. è dunque caratterizzata dalla leggeMÐ\ÑNormale .a Ð!ß X Î$Ñ$

Seguendo un percorso analogo a quello che si conduce nella teoriadell'integrazione ordinaria, di seguito viene dato il concetto di processo integrale.

Definizione 10.2.10. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione e un moto Browniano adattato allaÐ Ñ F œ ÐF ÑY> > >−Ò!ß∞Ò>−Ò!ß∞Ò

filtrazione. Dato il p.a. \ − `X# , si dice il p.a.processo integrale

Q œ ÐQ Ñ> >−Ò!ßX Ó tale che

Q œ \ .F> = =!

> .

Il seguente Teorema considera le principali caratteristiche del processointegrale.

Teorema 10.2.11. Se èQ œ ÐQ Ñ> >−Ò!ßX Ó è un processo integrale, allora Qunico e . Inoltre, è una martingala rispetto alla filtrazione;Þ-Þ Q − Q`X

#

Ð ÑY> >−Ò!ß∞Ò con traiettorie continue ;Þ-ÞDimostrazione. Si veda Da Prato (2014).

Esempio 10.2.5. Dall'Esempio 10.2.3, si consideri il processo integraleQ œ ÐQ Ñ> >−Ò!ßX Ó tale che

Q œ F .F œ ÐF >Ñ"

#> = =

!

>

># .

289Capitolo 10

Tenendo presente l'Esempio 10.2.1, si ha

E E

E

! !

X X

> ># % #

! !

X X

>% #

$

Q .> Ÿ ÐF > Ñ .>"

%

œ F .> > .> œ ∞" " X

% % $ ,

e dunque risulta a conferma della prima parte del Teorema 10.2.11.Q − `X#

Inoltre, si ha

E EÒlQ lÓ Ÿ ÒF Ó œ > ∞" >

# #> >

# .

Tenendo presente che il moto Browniano è una martingala (Teorema 9.4.5), perogni risulta= >

E E E E

E

Ò ± Ó œ ÒÐ ± Ó # Ò ± Ó Ò ± Ó

ÒÐ Ó #

F F F Ñ F F F

œ F F Ñ F F œ > = F> =# # #

> = > =

> =# # #

= = =

Y Y Y Y= = = =# ,

ovvero

EÒ ± Ó œF > F => =# #Y= ,

da cui infine risulta

EÒ ± Ó œQ Q> =Y= .

Dunque, a conferma della seconda parte del Teorema 10.2.11, si ha che il p.a. Qè una martingala.

10.3. Formula di Itô

Di seguito viene considerata un'ampia classe di processi aleatori, detti processidi Itô, che generalizza la famiglia dei processi integrali presentata nellaprecedente sezione. Inoltre, viene introdotta la cosiddetta formula di Itô, chepermette di determinare la struttura di una trasformata di un processo di Itô e cherisulta fondamentale per il calcolo differenziale stocastico.


Definizione 10.3.1. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione . Un p.a. Ð ÑY> >−Ò!ß∞Ò >−Ò!ßX Ó>\ œ Ð\ Ñ è detto o processo di Itô processodi diffusione se si ha

\ œ \ .= .F> ! = = =! !

> > α " ,

dove e sono p.a. tali che .α α α `œ Ð Ñ œ Ð Ñ ß −> >>−Ò!ßX Ó >−Ò!ßX Ó X#" " "

Quando si considera il processo di Itô, è uso comune adottare la seguentenotazione alternativa

.\ œ .> .F> > > >α " ,

e denominare come . La precedente espressione.\> differenziale stocasticoviene detta anche . Tuttavia, si deve evidenziare chenotazione differenziale di Itôil differenziale stocastico non ha un significato matematico ben definito edovrebbe sempre essere inteso nel senso rigoroso della Definizione 10.3.1. Lanotazione differenziale di Itô va dunque vista solamente come un modoefficiente di scrivere il processo di Itô.

Esempio 10.3.1. Considerato il p.a. e tenendo presente l'Esempio\ œ ÐF Ñ> Ò!ßX Ó

10.2.2, si ha

F œ .F> =!

> .

Dunque, il moto Browniano è un processo di Itô, dal momento che è immediatoverificare che , essendo e .α ` αß − œ ! œ "" "X

#> >

Esempio 10.3.2. Considerato il p.a. e tenendo presente l'Esempio\ œ ÐF Ñ>#

Ò!ßX Ó

10.2.3 si ha

F œ .= # F .F>#

! !

> >

= = Dunque, è un processo di Itô, dal momento che , essendo e\ ß − œ "α ` α" X

#>

"> >œ F (vedi anche Esempio 10.2.1). Inoltre, in notazione differenziale si puòscrivere

.F œ .> #F .F>#

> > .

291Capitolo 10

Il seguente Teorema fornisce le caratteristiche principali del processo di Itô.

Teorema 10.3.2. Se il p.a. è un processo di Itô, allora ha\ œ Ð\ Ñ \> >−Ò!ßX Ó

traiettorie continue Inoltre, è una martingala se il p.a. è;Þ-Þ \ œ Ð Ñα α> >−Ò!ßX Ó

tale che .α> œ !Dimostrazione. Segue immediatamente dalle assunzioni e dal Teorema

10.2.10.

Il seguente Teorema considera la celebrata formula di Itô, che fornisce il effettila rappresentazione integrale di una trasformata del processo di Itô.

Teorema 10.3.3. (Formula di Itô per trasformate univariate) Se il p.a. è\un processo di Itô e è una funzione con derivata seconda continua,1 À Ä‘ ‘allora

1Ð\ Ñ œ 1Ð\ Ñ 1 Ð\ Ñ .= 1 Ð\ Ñ .F 1 Ð\ Ñ .="

#> ! = = = = = =

! ! !

> > >w w ww #

= α " " ,

ovvero in notazione differenziale di Itô si ha

.1Ð\ Ñ œ 1 Ð\ Ñ .> 1 Ð\ Ñ .F 1 Ð\ Ñ .>"

#

œ 1 Ð\ Ñ .\ 1 Ð\ Ñ .>"

#

> > > > > > >w w ww #

>

w ww #> > > >

α " "

" .

Dimostrazione. Si veda Da Prato (2014).

È importante notare che nel precedente Teorema la funzione non può1dipendere da . Di seguito vengono date alcune esemplificazioni di questa>importante formula.

Esempio 10.3.3. Si consideri il moto Browniano e la funzione\ œ ÐF Ñ> Ò!ßX Ó

1ÐBÑ œ B 7 − Ö"ß #ßá× \7 con . Dal momento che è stato verificato che è unprocesso di Itô nell'Esempio 10.3.1, dal Teorema 10.3.3 si ha

F œ 7 F .F F .=7Ð7 "Ñ

#> = =7 7" 7#

! !

> >

= ,

ovvero in notazione differenziale si ha


.F œ 7F .F F .>7Ð7 "Ñ

#> > >7 7" 7#

> .

In effetti, questa relazione generalizza quella ottenuta nell'Esempio 10.3.2 nelcaso particolare .7 œ #

Esempio 10.3.4. Si consideri il p.a. tale che\ œ Ð\ Ñ> Ò!ßX Ó

.\ œ \ .> \ .F"

#> > > > .

Se si suppone che , il p.a. è un processo di Itô con \ − \ œ Ð\ Î#Ñ` αX#

> >−Ò!ßX Ó

e . In questo caso, considerata la funzione , dal" œ Ð\ Ñ 1ÐBÑ œ ÐBÑ> >−Ò!ßX Ó logTeorema 10.3.3 si ottiene

log log logÐ\ Ñ œ Ð\ Ñ .= .F .= œ Ð\ Ñ F" "

# #> ! = ! >

! ! !

> > > ,


. Ð\ Ñ œ .Flog > > .

Si deve concludere dunque che , ovvero si è determinata la\ œ \ ÐF Ñ> ! >expstruttura del p.a. che soddisfa alla relazione differenziale stocastica\.\ œ Ð"Î#Ñ\ .> \ .F \ −> > > > X

#. Inoltre, risulta in effetti , dal momento che`tenendo presente il Teorema 9.4.3 si ha , e quindiE exp expÒ ÐF ÑÓ œ Ð>Î#Ñ>

E exp E exp exp ! !

X X

> >ÐF Ñ .> œ Ò ÐF ÑÓ .> œ # ÐXÎ#Ñ # ∞ .

Si consideri inoltre un generalizzazione del p.a. , ovvero\

.\ œ \ .> \ .F> > > >. 5 ,

dove e . Dunque, si ha e . Dal. ‘ α . 5− − Ó!ß∞Ò œ Ð \ Ñ œ Ð \ Ñ5 "> >>−Ò!ßX Ó >−Ò!ßX Ó

Teorema 10.3.3, considerata ancora la funzione , si ottiene quindi1ÐBÑ œ ÐBÑlog

log log

log

Ð\ Ñ œ Ð\ Ñ .= .F .="

#

œ Ð\ Ñ Ð Î#Ñ> F

> ! =! ! !

> > >#

! >#

. 5 5

. 5 5 ,


293Capitolo 10

. Ð\ Ñ œ Ð Î#Ñ .> .Flog > >#. 5 5 .

Si deve concludere dunque che

\ œ \ ÐÐ Î#Ñ> F Ñ> ! >#exp . 5 5 .

Il p.a. è detto e riveste grande importanza nelle\ moto Browniano geometricoapplicazioni finanziarie. Inoltre, seguendo una terminologia comunementeadottata, è detto , mentre è detto . 5parametro di tendenza parametro divolatilità. Il cosiddetto moto Browniano geometrico ridotto si ha per e. œ !5 .œ " œ ! \ .\ œ \ .F. Si noti infine che per il p.a. si riduce a , ovvero> > >5

si ha in termini di integrale di Itô. Quindi, si è ottenuta la\ œ \ \ .F> ! = =!

>5

risposta formale al problema introdotto all'inizio della Sezione 10.1 e che hacondotto a considerare l'integrale di Itô.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

1

2

3

4

5

6

7

Figura 10.3.1. Una traiettoria del moto Browniano geometricocon e .. 5œ " œ "

Il seguente Teorema estende la formula di Itô nella situazione in cui siconsidera due processi di Itô e una loro trasformata. La formula può essereancora generalizzata al caso di più processi di Itô (per maggiori dettagli, si vedaDa Prato, 2014, p.121).

Teorema 10.3.4. (Formula di Itô per trasformate bivariate) Se i p.a. e \ ]sono processi di Itô tali che

.\ œ .> .F> \ß> \ß> >α "


e

.] œ .> .F> ] ß> ] ß> >α " ,

mentre è una funzione con derivate parziali seconde continue, allora1 À Ä‘ ‘#

1Ð\ ß ] Ñ œ 1Ð\ ß ] Ñ

.= .=`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

.F .F`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

> > ! !

! !

> >

Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ\ß= ] ß=

! !

> >

Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ\ß= = ] ß= =

= = = =

= = = =

α α

" "

" ` 1ÐBß CÑ " `1ÐBß CÑ

# `B # `C.= .=

.=` 1ÐBß CÑ

`B`C

! !

> >#

#Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ

\ß= ] ß=# #

!

> #

Ð\ ß] Ñ\ß= ] ß=

= = = =

= =

" "

" " .

Equivalentemente, in notazione differenziale stocastica si ha

.1Ð\ ß ] Ñ œ .> .>`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

.F .F`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

" ` 1ÐBß CÑ

# `B

> > \ß> ] ß>Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ

Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ\ß> > ] ß> >

#

#Ð\ ß]

> > > >

> > > >

> >

α α

" "

Ñ Ð\ ß] Ñ\ß> ] ß># #

#

#

#

Ð\ ß] Ñ\ß> ] ß>

" "

" "

.> .>" ` 1ÐBß CÑ

# `C

.>` 1ÐBß CÑ

`B`C

> >

> >

,

ovvero

.1Ð\ ß ] Ñ œ .\ .]`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

.> .>" ` 1ÐBß CÑ " ` 1ÐBß CÑ

# `B # `C

` 1ÐBß CÑ

`B`C

> > > >Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ

# #

# #Ð\ ß] Ñ Ð\ ß] Ñ

\ß> ] ß># #

#

Ð\ ß]

> > > >

> > > >

>

" "

>Ñ\ß> ] ß>" " .> .

295Capitolo 10

Dimostrazione. Si veda Da Prato (2014, p.121).

Esempio 10.3.5. Si consideri i p.a. di Itô e , dove . Evidentemente,\ ] .] œ .>>

] œ " è in effetti un processo deterministico. In questo caso, essendo eα] ß>

"] ß> œ !, la formula di Itô del Teorema 10.3.4 si riduce a

.1Ð\ ß >Ñ œ .\ .>`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ

`B `C

.>" ` 1ÐBß CÑ

# `B

> >Ð\ ß>Ñ Ð\ ß>Ñ

#

#Ð\ ß>Ñ

\ß>#

> >

>

" ,

che è anche detta . Al fine di esemplificare questa formula,formula ridotta di Itôsupponiamo che sia il moto Browniano, ovvero , e si consideri\ .\ œ .F> >

inoltre la funzione . Dunque, calcolando le derivate1ÐBß CÑ œ ÐB CÎ#Ñexpparziali, dalla precedente espressione si ottiene

.1ÐF ß >Ñ œ 1ÐF ß >Ñ .F> > > .

Se si pone con , si è determinato quindi il^ œ Ð^ Ñ ^ œ Ð >Î# F Ñ> > >Ò!ßX Ó expp.a. che soddisfa alla relazione differenziale stocastica . Tenendo.^ œ ^ .F> > >

presente l'Esempio 10.3.4, il p.a. è dunque un moto Browniano geometrico^ridotto. Più generalmente, data la funzione 1ÐBß CÑ œ Ð B Ð Î#ÑCÑexp 5 . 5#

con e , si ha. ‘− − Ó!ß∞Ò5

.1ÐF ß >Ñ œ 1ÐF ß >Ñ .F 1ÐF ß >Ñ .>> > > >5 . ,

ovvero, se si pone con , si è^ œ Ð^ Ñ ^ œ ÐÐ Î#Ñ> F Ñ> > >Ò!ßX Ó#exp . 5 5

determinato quindi il p.a. che soddisfa alla relazione differenziale stocastica.^ œ ^ .C ^ .F> > > >. . Tenendo presente l'Esempio 10.3.4, si è ottenuta dunqueuna formulazione alternativa del moto Browniano geometrico.

Esempio 10.3.6. Nella formula ridotta di Itô dell'Esempio 10.3.5 si consideri ilp.a. tale che . In questo caso, la formula può essere espressa come\ .\ œ .F> >

.1ÐF ß >Ñ œ .F .>`1ÐBß CÑ `1ÐBß CÑ " ` 1ÐBß CÑ

`B `C # `B> >

ÐF ß>Ñ ÐF ß>Ñ

#

# > >

.

Si assuma che sia una soluzione della cosiddetta equazione del calore, data1dalla seguente equazione differenziale


`1ÐBß CÑ " ` 1ÐBß CÑ

`C # `B œ !

#

# .

In questo caso, la precedente formula ridotta di Itô si semplifica ulteriormentecome

.1ÐF ß >Ñ œ .F`1ÐBß CÑ

`B> >

ÐF ß>Ñ

>

,

ovvero

!

>

ÐF ß=Ñ= >

`1ÐBß CÑ

`B.F œ 1ÐF ß >Ñ

=

,

che fornisce un'utile espressione per l' .integrazione stocastica per sostituzioneNel caso particolare dell'integrale di Itô considerato nell'Esempio 10.2.3, unaconveniente soluzione dell'equazione del calore è data da ,1ÐBß CÑ œ ÐB CÑÎ##

da cui si ottiene immediatamente

!

>

= = >#F .F œ ÐF >Ñ

"

# .

Come ulteriore caso particolare, se si vuole ottenere l'integrale di Itô del motoBrowniano geometrico ridotto considerato\ œ Ð Ð >Î# F ÑÑexp > >−Ò!ßX Ó

nell'Esempio 10.3.4, una conveniente soluzione dell'equazione del calore è datada , da cui si ottiene immediatamente1ÐBß CÑ œ ÐB CÎ#Ñexp

!

>

= = >exp expÐF =Î#Ñ .F œ Ð >Î# F Ñ .

Questo risultato conferma effettivamente che il moto Browniano geometricoridotto soddisfa alla relazione differenziale stocastica . Per ulteriori.\ œ \ .F> > >

dettagli sulle soluzioni dell'equazione del calore si veda Calin (2015, p.157).

Esempio 10.3.7. Si consideri i processi di Itô e e la funzione .\ ] 1ÐBß CÑ œ BCCalcolando le derivate parziali e sostituendo opportunamente, dal Teorema10.3.4 si ha dunque

.Ð\ ] Ñ œ ] .> \ .> ] .F \ .F .>

œ ] .\ \ .] .>> > > \ß> > ] ß> > \ß> > > ] ß> > \ß> ] ß>

> > > > \ß> ] ß>

α α " " " "

" " .

297Capitolo 10

Questa espressione è detta anche formula di Siintegrazione stocastica per parti. noti infine che il risultato ottenuto nell'integrazione stocastica è simile a quelloche si ha in un ambito di integrazione con funzioni deterministiche, eccetto lapresenza di un terzo termine. Questo termine è dovuto al fatto in generale iprocessi di Itô e non sono indipendenti, in quanto sono trasformate dello\ ]stesso moto Browniano.

Esempio 10.3.8. Nell'Esempio 10.3.7 si consideri il caso particolare per cui i p.a.\ ] .\ œ 2Ð>Ñ.> .] œ 1ÐF Ñ.> 2 À Ä e sono tali che e dove è una> > > ‘ ‘funzione derivabile e è una funzione con derivata seconda continua.1 À Ä‘ ‘In questo caso, tenendo presente la Formula di Itô (Teorema 10.3.3) si ha

.Ð2Ð>Ñ1ÐF ÑÑ œ 2 Ð>Ñ1ÐF Ñ.> 2Ð>Ñ.1ÐF Ñ

œ 2 Ð>Ñ1ÐF Ñ.> 2Ð>Ñ1 ÐF Ñ.F 2Ð>Ñ1 ÐF Ñ.>"

#

> > >w

w w ww> > > > ,

ovvero

! ! !

> > >w w ww

= = = = =!>2Ð=Ñ1 ÐF Ñ .F œ 2Ð=Ñ1ÐF Ñ 2 Ð=Ñ1ÐF Ñ .= 2Ð=Ñ1 ÐF Ñ .=

"

# ,

che costituisce un'utile espressione pratica per l'integrazione stocastica per parti.Nel caso particolare dell'integrale di Itô considerato nell'Esempio 10.2.3, posto2Ð>Ñ œ " 1ÐBÑ œ B Î# e , si ha#

! !

> >

= = > ># #F .F œ F .= œ ÐF >Ñ

" " "

# # # ,

un risultato che è già stato verificato nel medesimo Esempio. Come ulteriorecaso particolare, posto e , si ottiene2Ð>Ñ œ > 1ÐBÑ œ B

! !

> >

= > == .F œ >F F .= ,

che fornisce un interessante relazione fra l'integrale di Wiener e l'integrale delmoto Browniano. Per ulteriori esemplificazioni del calcolo pratico dell'integraledi Itô si veda Calin (2015).


10.4. Equazioni differenziali stocastiche

Il calcolo differenziale classico è stato sviluppato principalmente al fine diporre in termini di equazioni differenziali i principi fondamentali che governanoi fenomeni fisici nel tempo. Il calcolo differenziale stocastico è stato introdottocon simili scopi nel caso di sistemi che si evolvono con una componentealeatoria. Evidentemente, questo tipo di modelli fornisce una descrizione piùefficiente dei fenomeni reali.

La seguente definizione introduce una classe di equazioni differenziali che haimportanza fondamentale nelle applicazioni.

Definizione 10.4.1. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione . Siano inoltre e due funzioni tali che Ð Ñ + ,Y> >−Ò!ß∞Ò

#+ À Ä‘ ‘ e, À Ä \ œ Ð\ Ñ‘ ‘#

> >−Ò!ßX Ó. rocesso di Itô è detto Un p soluzione dell'equazionedifferenziale stocastica

.\ œ +Ð\ ß >Ñ .> ,Ð\ ß >Ñ .F> > > >

con , se è una v.a. misurabile rispetto alla -condizione iniziale \ œ G G! 5algebra , i p.a. e sono tali cheY! > >>−Ò!ßX Ó >−Ò!ßX Ó+ œ Ð+Ð\ ß >ÑÑ , œ Ð,Ð\ ß >ÑÑ

+ß , − `X# e risulta

\ œ G +Ð\ ß =Ñ .= ,Ð\ ß =Ñ .F> = = =! !

> > ,

per ogni .>

Il seguente Teorema fornisce le condizioni per l'esistenza e l'unicità di unasoluzione di un'equazione differenziale stocastica, che in questo caso viene dettasoluzione forte.

Teorema 10.4.2. Si consideri uno spazio di probabilità Ð ß ß T ÑH Y confiltrazione . Siano inoltre e due funzioni Ð Ñ + ,Y> >−Ò!ß∞Ò

# #+ À Ä , À Ä‘ ‘ ‘ ‘ e tali che esiste per cuiP !

l+ÐBß >Ñ +ÐCß >Ñl l,ÐBß >Ñ ,ÐCß >Ñl Ÿ PlB Cl ,

per ogni e , e esiste per cuiBß C − > − Ò!ß X Ó O !‘

l+ÐBß >Ñl l,ÐBß >Ñl Ÿ OÐ" lBlÑ ,

299Capitolo 10

per ogni e . Inoltre, sia una v.a. misurabile rispetto alla -B − > − Ò!ß X Ó G‘ 5algebra , tale che . In questo caso, l'equazione differenzialeY!

#EÒG Ó ∞stocastica

.\ œ +Ð\ ß >Ñ .> ,Ð\ ß >Ñ .F> > > > ,

con condizione iniziale , possiede un'unica soluzione con traiettorie\ œ G \!

continue e tale che .EÒ \ .>Ó ∞!

X>#

Dimostrazione. Si veda Da Prato (2014, p.134).

Esempio 10.4.1. Si consideri l'equazione differenziale stocastica

.\ œ \ .> \ .F> > > > > >. 5 ,

con condizione iniziale , dove e sono funzioni\ œ G À Ä À Ä! . 5‘ ‘ ‘ ‘continue in . Dunque, in questo caso si ha e . LaÒ!ß X Ó +ÐBß >Ñ œ B ,ÐBß >Ñ œ B. 5> >

prima condizione del Teorema 10.4.2 risulta soddisfatta, in quanto

l+ÐBß >Ñ +ÐCß >Ñl l,ÐBß >Ñ ,ÐCß >Ñl œ Ðl l l lÑlB Cl Ÿ PlB Cl. 5> > ,

dal momento che esiste per cui essendo e funzioniP ! l l l l Ÿ P. 5 . 5> >

continue in . Anche la seconda condizione del Teorema 10.4.2 risultaÒ!ß X Ósoddisfatta in modo simile, in quanto

l+ÐBß >Ñl l,ÐBß >Ñl œ Ðl l l lÑlBl Ÿ OÐ" lBlÑ. 5> > .

Dunque, esiste una soluzione forte. Si consideri inoltre i processi di Itô e ,Y Ztali che e e la trasformata.Y œ .F .Z œ .>> > > >5

1Ð?ß @Ñ œ - ? Ð Î#Ñ .=exp !

@

= =#. 5 ,

dove è una determinazione della v.a. . Si tenga presente che in questo caso la- Gsi può applicare la formula ridotta di Itô dell'Esercizio 10.3.5, data la struttura deip.a. e . Dunque, sostituendo opportunamente nella formula ridotta di Itô, siY Zottiene

.1ÐY ß >Ñ œ 1ÐY ß >Ñ .> 1ÐY ß >Ñ .F> > > > > >. 5 .

Data l'equivalenza di questa espressione con l'equazione differenziale stocasticainiziale, la soluzione è tale che\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó


\ œ 1ÐY ß >Ñ œ G Ð Î#Ñ .= .F> > = = =! !

> >

=#exp . 5 5 .

Questo p.a. è detto , dal momento che è statomodello di Black e Scholesintrodotto dal matematico Fischer Sheffey Black (1938-1995) e dall'economistaMyron Samuel Scholes (1941-). Il modello è in effetti una generalizzazione delmoto Browniano geometrico introdotto nell'Esempio 10.3.4 che si ottiene per. 5> >œ œ. 5 e funzioni costanti. Il modello di Black and Scholes rivesteun'importanza fondamentale nella matematica finanziaria.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.00

2

4

6

8

10

Figura 10.4.1. Una traiettoria del modello di Black e Scholescon e .. 5> >œ > œ "


.\ œ \ .> .F> > >. 5 ,

con condizione iniziale , dove . Dunque, in questo caso si\ œ G ß − Ó!ß∞Ò! . 5ha e . La prima condizione del Teorema 10.4.2+ÐBß >Ñ œ B ,ÐBß >Ñ œ. 5risulta soddisfatta, in quanto

l+ÐBß >Ñ +ÐCß >Ñl l,ÐBß >Ñ ,ÐCß >Ñl œ l llB Cl. .

Anche la seconda condizione del Teorema 10.4.2 risulta soddisfatta, in quanto

l+ÐBß >Ñl l,ÐBß >Ñl œ l llBl l l. 5 .

Quindi, esiste una soluzione forte. Tenendo presente la formula di integrazioneper parti dell'Esercizio 10.3.6, con il p.a. tale che , si ha] ] œ Ð >Ñ> exp .

301Capitolo 10

.Ð\ Ð >ÑÑ œ Ð >Ñ .\ Ð >Ñ\ .>

œ Ð >Ñ .F> > >

>

exp exp expexp

. . . .

.5 .

Dalla precedente relazione risulta dunque

exp expÐ >Ñ\ œ G Ð =Ñ .F. .> =5 !

>

,

ovvero, la soluzione dell'equazione differenziale stocastica è tale\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ßX Ó

che

\ œ Ð >ÑG Ð >Ñ Ð =Ñ .F> =exp exp exp. . .5 !

>

.

Questo p.a. è detto , dal momento che è statoprocesso di Ornstein e Uhlenbeckintrodotto dai fisici Leonard Salomon Ornstein (1880-1941) e George EugeneUhlenbeck (1900-1988). Anche questo modello ha grande rilevanza nellamatematica finanziaria.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Figura 10.4.2. Una traiettoria del processo di Ornstein e Uhlenbeckcon e .. 5œ " œ "


.\ œ Ð- \ Ñ .> .F"

" >> > > ,


con condizione iniziale e , dove . Dunque, in questo caso\ œ ! - − > − Ò!ß "Ò! ‘si ha e . La prima condizione del Teorema+ÐBß >Ñ œ Ð- BÑÎÐ" >Ñ ,ÐBß >Ñ œ "10.4.2 risulta soddisfatta, in quanto

l+ÐBß >Ñ +ÐCß >Ñl l,ÐBß >Ñ ,ÐCß >Ñl œ lB Cl"

" > .


l+ÐBß >Ñl l,ÐBß >Ñl œ l- Bl ""

" > .

Dunque, esiste una soluzione forte. Si consideri l'ulteriore processo di Itô] œ Ð] Ñ ] œ Ð" >Ñ .> ]> >>−Ò!ß"Ò

", tale che . Evidentemente, è un processodeterministico. Dalla formula di integrazione per parti dell'Esempio 10.3.6, si ha

.Ð\ ] Ñ œ .\ \ .> œ .> .F" " - "

" > Ð" >Ñ Ð" >Ñ " >> > > > ># #

,

ovvero

" " "

" > Ð" =Ñ " =\ œ \ - .= .F> ! =

! !

> >

# .

Dunque, la soluzione dell'equazione differenziale stocastica è\ œ Ð\ Ñ> >−Ò!ß"Ò

tale che

\ œ -> Ð" >Ñ .F"

" => =

!

> .

Questo p.a. è detto in modo pittoresco , dal momento che èponte Brownianoequivalente ad un moto Browniano le cui traiettorie si originano in eÐ!ß !Ñterminano in .Ð"ß -Ñ

Il seguente Teorema fornisce un metodo per ottenere la soluzione di unparticolare tipo di equazione differenziale stocastica. La tecnica è anche dettametodo del fattore d'integrazione.

Teorema 10.4.3. Si consideri uno spazio di probabilità conÐ ß ß T ÑH Yfiltrazione . Sia dato un processo di Itô , che èÐ Ñ \ œ Ð\ ÑY> >>−Ò!ß∞Ò >−Ò!ßX Ó

soluzione dell'equazione differenziale stocastica

303Capitolo 10

.\ œ +Ð\ ß >Ñ .> ,Ð>Ñ\ .F> > > > ,

dove è una funzione continua. Sia dato inoltre il p.a. , À Ä ] œ Ð] Ñ‘ ‘ > >−Ò!ßX Ó

con

] œ ,Ð=Ñ .= ,Ð=Ñ .F"

#> =

! !

> >#exp .

Si ha

.Ð\ ] Ñ œ +Ð\ ß >Ñ] .>> > > > .

Dimostrazione. Se è il processo di Itô tale che^ œ Ð^ Ñ> >−Ò!ßX Ó

.^ œ .> ,Ð>Ñ .F,Ð>Ñ

#> >

#

e tenendo presente che , dalla formula di Itô (Teorema 10.3.3) si ha] œ Ð^ Ñ> >exp

.] œ Ð^ Ñ .^ Ð^ Ñ,Ð>Ñ .> œ ,Ð>Ñ ] .> ,Ð>Ñ] .F"

#> > > > > > >

# #exp exp .

Inoltre, dalla formula di integrazione stocastica per parti introdotta nell'Esempio10.3.7 si ottiene

.Ð\ ] Ñ œ ] Ð

Ð,Ð>Ñ ] .> ,Ð>Ñ] .F Ñ ,Ð>Ñ \ ] .>

œ

> > ># #

> > > > >

+Ð\ ß >Ñ .> ,Ð>Ñ\ .F Ñ

\

+Ð\ ß >Ñ] .>

> > >

>

> >


Si noti che il risultato fornito nel Teorema 10.4.3 permette di ricondurrel'equazione differenziale stocastica originale ad una equazione differenzialeordinaria, che in pratica può essere risolta con l'utilizzo di metodi standard. Nelleapplicazioni usuali, molte equazioni differenziali stocastiche sono esprimibilinella forma considerata nel Teorema 10.4.3 e dunque questo risultato fornisce unmetodo di soluzione molto efficiente.

Esempio 10.4.4. Si consideri l'equazione differenziale stocastica relativa almodello di Black e Scholes dell'Esempio 10.4.1. In questo caso, applicando ilTeorema 10.4.3 si ha


] œ .= .F"

#> = =

! !

> >

=#exp 5 5 ,

mentre

.Ð\ ] Ñ œ \ ] .>> > > > >. .

Dunque, tenendo presente che , si ha] œ "!

\ ] œ G .=> > =!

>

exp . ,

ovvero

\ œ G Ð Î#Ñ .= .F> = = =! !

> >

=#exp . 5 5 ,

che conferma il risultato ottenuto nell'Esempio 10.4.1.


.\ œ .> \ .F> > >. 5 ,

con condizione iniziale e dove . Dunque, in questo caso si ha\ œ G ß −! . 5 ‘+ÐBß >Ñ œ ,ÐBß >Ñ œ B. 5 e . La prima condizione del Teorema 10.4.2 risultasoddisfatta, in quanto

l+ÐBß >Ñ +ÐCß >Ñl l,ÐBß >Ñ ,ÐCß >Ñl œ l llB Cl5 .


l+ÐBß >Ñl l,ÐBß >Ñl œ l l l Bl. 5 .

Quindi, esiste una soluzione forte. In questo caso, applicando il Teorema 10.4.3si ha

] œ > F#

> >

#

exp 55 ,

mentre

.Ð\ ] Ñ œ ] .>> > >. ,

ovvero, tenendo presente che ,] œ "!

305Capitolo 10

\ ] œ G ] .=> > =!

>

. .

Dunque, la soluzione dell'equazione differenziale stocastica è tale che\

\ œ > F G = F .=# #

> > =

# #

!

>

exp exp 5 55 . 5 .

Un ulteriore metodo di soluzione è basato sulle cosiddette equazionistocastiche esatte. Si consideri l'equazione differenziale stocastica dellaDefinizione 10.4.1 e si voglia determinare una soluzione forte del tipo\ œ 1ÐF ß >Ñ> > . In questo caso, l'equazione differenziale stocastica si riduce a

.1ÐF ß >Ñ œ +Ð1ÐF ß >Ñß >Ñ .> ,Ð1ÐF ß >Ñß >Ñ .F> > > > .

Inoltre, tenendo presente la formula ridotta di Itô (Esempio 10.3.6), l'equazionedifferenziale stocastica è esatta se esiste una funzione per cui si ha1

+Ð1ÐBß CÑß CÑ œ `1ÐBß CÑ " ` 1ÐBß CÑ

`C # `B

#

#

e

,Ð1ÐBß CÑß CÑ œ`1ÐBß CÑ

`B .

Si noti che in questo caso sussiste la relazione

`+Ð1ÐBß CÑß CÑ `,Ð1ÐBß CÑß CÑ " ` ,Ð1ÐBß CÑß CÑ

`B `C # `Bœ

#

# .

In effetti, dalla formula ridotta di Itô, per questa scelta della funzione si ha1

.\ œ .1ÐF ß >Ñ> > ,

ovvero

\ œ 1ÐF ß >Ñ> > .

Esempio 10.4.5. Si consideri il caso specifico dell'equazione differenzialestocastica


.\ œ \ .> \ .F> > > >. 5 .

Evidentemente, le condizioni del Teorema 10.4.2 sono soddisfatte e quindi esisteuna soluzione forte. In questo caso, essendo , si ha,Ð1ÐBß CÑß CÑ œ 1ÐBß CÑ5

51ÐBß CÑ œ`1ÐBß CÑ

`B ,

da cui

1ÐBß CÑ œ Ð B 2ÐCÑÑexp 5 ,

dove è una funzione da determinare. Inoltre, essendo 2 +Ð1ÐBß CÑß CÑ œ 1ÐBß CÑ.risulta

. 5 5 55

exp exp expÐ B 2ÐCÑÑ œ Ð B 2ÐCÑÑ2 ÐCÑ Ð B 2ÐCÑÑ#

w#

,

da cui

2ÐBÑ œ Ð Î#Ñ> -. 5#

con . Dunque, si ottiene- − ‘

1ÐBß CÑ œ ÐÐ Î#Ñ> B -Ñexp . 5 5# .

Dal momento che , si deve quindi concludere che1Ð!ß !Ñ œ Ð-Ñexp

\ œ \ ÐÐ Î#Ñ> F Ñ> ! >#exp . 5 5 ,

ovvero si è ottenuto il moto Browniano geometrico dell'Esempio 10.3.4.

Esempio . 10.4.6 Si consideri l'equazione differenziale stocastica

.\ œ +Ð\ Ñ .> ,Ð\ Ñ .F> > > >

e si voglia determinare l'esistenza di una soluzione forte del tipo . In\ œ 1ÐF Ñ> >

questo caso, la precedente equazione differenziale stocastica si riduce a

.1ÐF Ñ œ +Ð1ÐF ÑÑ .> ,Ð1ÐF ÑÑ .F> > > > .

Dalla formula di Itô del Teorema 10.3.3 si ha inoltre

307Capitolo 10

.1ÐF Ñ œ 1 ÐF Ñ .> 1 ÐF Ñ .F"

#> > > >

ww w .

Dunque, l'equazione differenziale stocastica è esatta se esiste una funzione per1cui si ha

+Ð1ÐBÑÑ œ 1 ÐBÑ"

#ww

e

,Ð1ÐBÑÑ œ 1 ÐBÑw ,

ovvero sussiste la relazione

+Ð1ÐBÑÑ œ , Ð1ÐBÑÑ1 ÐBÑ"

#w w .

In effetti, per questa scelta risulta

.\ œ .1ÐF Ñ> > ,

ovvero

\ œ 1ÐF Ñ> > .

Si consideri il caso specifico dell'equazione differenziale stocastica

.\ œ \ .> " \ .F"

#> > >>

# .

Le condizioni del Teorema 10.4.2 sono facilmente verificate e quindi esiste unasoluzione forte. Sulla base della precedente relazione si ottiene la seguenteequazione differenziale

1 ÐBÑ œ " 1ÐBÑw # ,

la cui soluzione è data da

1ÐBÑ œ ÐB -Ñsinh ,

con . Dunque, si deve concludere che- − ‘

\ œ ÐF Ð\ ÑÑ> > !sinh arcsinh .



I testi di Applebaum (2009), Chung e Williams (1990), Karatzas e Shreve(1991), Kuo (2006), Le Gall (2016), Klebaner (2005), Medvegyev (2007),Øksendal (2003), Pascucci (2011), Protter (2003) e sono dedicatiShreve (2004)al calcolo stocastico. Testi avanzati su questo argomento sono Borodin (2017),Capasso e Bakstein (2015), Cohen e Elliott (2015), Da Prato (2014) e Revuz eYor (2005). Per un approccio introduttivo al calcolo stocastico si possonoconsultare i testi di Calin (2015)Brzezniak e Zastawniak (2002), , ´ Choe (2016) eWiersema (2008).

Appendice A

Elementi di integrazione

Sia uno spazio misurabile. Un'applicazione è seÐ ß Ñ 1 À ÄH Y H ‘ misurabile

1 ÐFÑ œ Ö − À 1Ð Ñ − F× −" = H = Y

per ogni . In questo caso, è anche detta funzione Boreliana suF − Ð Ñ 1U ‘Ð ß ÑH Y . Per le funzioni misurabili valgono i seguenti risultati.

Teorema A.1. Se è uno spazio misurabile, allora:Ð ß ÑH Yi) è una funzione misurabile se e solo se per ogni ;1 1 ÐÓ ∞ß BÓÑ − B −" Y ‘ii) se e sono funzioni misurabili, la funzione prodotto è misurabile1 2 12(assumendo che sia ben definita in base alla convenzione e! † ∞ œ !∞ † ! œ !);iii) se e sono funzioni misurabili e se , la combinazione lineare1 2 +ß , − ‘+1 ,2 è una funzione misurabile (assumendo che sia ben definita);iv) se è una successione di funzioni misurabili, allora , ,Ð1 Ñ 1 18 8 " 8 8 8 8sup inflim sup lim inf8 8 8 81 1 e sono funzioni misurabili.

Dimostrazione. Vedi Billingsley (1995).

Risulta immediato dimostrare che la funzione indicatrice dell'insieme è"E Euna funzione misurabile se . Una è una combinazioneE − Y funzione semplicelineare di funzioni indicatrici, ovvero

: œ +3œ"

8

3 E" 3 ,

dove , mentre . Dal Teorema A.1 si ha dunqueE ßá ßE − + ßá ß + −" 8 " 8Y ‘che una funzione semplice è misurabile.

Teorema A.2. Se è uno spazio misurabile e è una funzioneÐ ß Ñ 1H Ymisurabile, allora esiste una successione di funzioni semplici tali cheÐ Ñ:8 8 "

! Ÿ Ÿ Ÿ á Ÿ 1 œ 1: : :" # 8 8 e .lim

310 Elementi di integrazione


Una successione di funzioni semplici come quella considerata nel precedenteTeorema può essere sempre costruita scegliendo come segue:8

:8

3œ"

8#

8 ÒÐ3"Ñ# ß3# Ò Ò8ß∞Òœ Ð1Ñ 8 Ð1Ñ3 "

#8

8 8" " .

La definizione di integrale di una funzione misurabile rispetto ad una misuraprocede per vari passi, partendo dalla definizione di integrale di una funzionesemplice non negativa.

Definizione A.3. Se è uno spazio misurato e è una funzioneÐ ß ß ÑH Y . :semplice non negativa, ovvero , l'integrale di è dato da+ ßá ß + !" 8 :

: . .. œ + ÐE Ñ3œ"

8

3 3 ,

con la convenzione che .! † ∞ œ !

Si noti che l'integrale è sempre ben definito, anche se può risultare: . :. œ ∞. Inoltre, anche se non ha una rappresentazione univoca, nel sensoche differenti scelte di e possono dare luogo ad una stessaE ßá ßE + ßá ß +" 8 " 8

funzione semplice , tuttavia è possibile dimostrare che tutte le differenti:rappresentazioni producono lo stesso valore per (si veda Billingsley,: ..1995). Tenendo presente il Teorema A.2, è quindi immediato dare la definizionedi integrale per una funzione misurabile non negativa.

Definizione A.4. Sia uno spazio misurato e una funzioneÐ ß ß Ñ 1H Y .misurabile non negativa. Se è una successione di funzioni semplici nonÐ Ñ:8 8 "

negative tali che , l'integrale di è dato da! Ÿ Ÿ Ÿ á Ÿ 1 1: :" #

1 . œ .. : .sup8

8 .

Si noti che l'integrale non dipende dalla scelta di una particolare successione difunzioni elementari. Si definisca inoltre come parte positiva di la funzione11 œ Ð1ß !Ñ 1 1 œ Ð1ß !Ñ max min e come parte negativa di la funzione . Lefunzioni e sono misurabili e non negative, mentre risulta e1 1 1 œ 1 1

311Appendice A

l1l œ 1 1 . In questo caso, si ha la seguente definizione generale di integraleper una funzione misurabile.

Definizione A.5. Sia uno spazio misurato e una funzioneÐ ß ß Ñ 1H Y .misurabile. L'integrale esiste se e solo se almeno uno degli integrali 1.. 1 . 1 . . . o è finito e in questo caso si pone

1 . œ 1 . 1 .. . . .

Se entrambi gli integrali e sono finiti, la funzione è detta 1 . 1 . 1 . .integrabile. Se entrambi gli integrali non sono finiti (ovvero, si ha la forma deltipo ), allora l'integrale non è definito.∞∞

L'insieme di tutte le funzioni integrabili rispetto a viene indicato con .. .P Ð Ñ"

In generale, l'insieme delle funzioni per cui , dove , viene l1l . ∞ : !: .indicato con . Inoltre, l'integraleP Ð Ñ: .

m1m œ l1l .:: .

è detta norma di ordine di , mentre l'integrale: 1

Ø1ß 2Ù œ 12 . .

è detto prodotto interno. Inoltre, se allora l'integrale di su èE − 1 − P Ð Ñ EY ."

definito come

E

E1 . œ 1 .. ." .

Per enfatizzare l'argomento di , per il precedente integrale si adotta talvolta1anche la notazione

E E

1 . œ 1Ð Ñ . Ð Ñ. = . = .

Nel caso particolare in cui e , mentre è la misura diH ‘ Y U ‘ . -œ œ Ð Ñ œLebesgue, allora l'integrale di su (detto integrale di Lebesgue su ) viene1 E Escritto semplicemente come


E E

1 . œ 1ÐBÑ .B. .

Qualora (dove gli estremi dell'intervallo sono eventualmente nonE œ Ò+ß ,Ófiniti), allora l'integrale di Lebesgue si scrive

E +

,

1 . œ 1ÐBÑ .B. .

La precedente scrittura può apparire ambigua, dal momento che non distinguel'intervallo dall'intervallo . Tuttavia, poichè ,Ò+ß ,Ó Ó+ß ,Ò ÐÖ+×Ñ œ ÐÖ,×Ñ œ !- -allora gli integrali estesi ad uno qualsiasi degli intervalli , , e Ó+ß ,Ò Ó+ß ,Ó Ò+ß ,Ò Ò+ß ,Ó

coincidono. Infine, si può dimostrare che l'integrale coincide con+

,1ÐBÑ.B

quello di Riemann, quando questo è definito (vedi Billingsley, 1995). Tuttavia,vi sono funzioni per cui l'integrale di Lebesgue è definito, mentre l'integrale diRiemann non è definito.

In modo simile, quando e , mentre è la misura diH ‘ Y U ‘ . -œ œ Ð Ñ œ5 5 5

Lebesgue in , allora l'integrale di Lebesgue di su (detto integrale di‘5 1 ELebesgue su ) viene scritto comeE

E E

" 5 " 51 . œ 1ÐB ßá ß B Ñ .B á.B. .

Qualora , allora l'integrale di Lebesgue si scriveE œ Ò+ ß , Ó ‚â‚ Ò+ ß , Ó" " 5 5

E + +

, ,

" 5 " 51 . œ á 1ÐB ßá ß B Ñ .B á.B." 5

" 5

.

Di nuovo, si può dimostrare che questo integrale coincide con quello diRiemann, quando questo è definito. Di seguito vengono considerate alcuneproprietà dell'integrale.

Teorema A.6. Sia uno spazio misurato e :Ð ß ß Ñ 1ß 2 − P Ð ÑH Y . ."

i) se , allora+ß , − ‘

Ð+1 ,2Ñ œ + 1 , 2. . .. . . ;

ii) se , allora1 Ÿ 2 ;Þ9Þ

313Appendice A

1 Ÿ 2. .. . ;

iii) se e , allora 1 ! ;Þ9Þ 1. œ ! 1 œ ! ;Þ9Þ .Dimostrazione. Vedi Billingsley (1995).

Dal Teorema A.6 segue che due funzioni equivalenti rispetto1ß 2 − P Ð Ñ" . ;Þ9Þa , ovvero solo per un insieme di misura nulla, hanno lo stesso integrale.. 1 Á 2Inoltre, dal Teorema A.6 è immediato ottenere la disuguaglianza

, 1. Ÿ l1l .. .

per cui si ha che una funzione misurabile è integrabile se e solo se è1 l1lintegrabile. Inoltre, una funzione è finita Il prossimo Teorema1 − P Ð Ñ ;Þ9Þ" .fornisce le condizioni per cui le operazioni di limite e di integrazione possonoessere scambiate. La prima parte del Teorema è legata al nome del matematicofrancese Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929), mentre la seconda parte delTeorema è legata al nome del matematico italiano Beppo Levi (1875-1961).

Teorema A.7. Sia uno spazio misurato e una successione diÐ ß ß Ñ Ð1 ÑH Y . 8 8 "

funzioni di :P Ð Ñ" .i) (Lemma di Fatou) se per ogni , allora1 ! 88

lim inf lim inf8 8

8 81 œ 1. .. . ;

ii) (Teorema della convergenza dominata di Beppo Levi) Se edlim8 81 œ 1 ;Þ9Þesiste una funzione tale che , allora e2 − P Ð Ñ l1 l Ÿ 2 ;Þ9Þ 1 − P Ð Ñ" "

8. .

1 œ 1 œ 1. . .. . .lim lim8 8

8 8 ;


Sia uno spazio misurato e una funzione misurabile da alloÐ ß ß Ñ 1 Ð ß ÑH Y . H Yspazio misurabile . In questo caso, la misura immagine di mediante èÐ ß Ñ 1A Z ( .definita come

( .œ Ð1 ÐEÑÑ"


per ogni . La misura immagine è anche detta misura indotta da . IlE − 1Z (seguente Teorema fornisce un espressione per l'integrale rispetto alla misuraimmagine.

Teorema A.8. Sia uno spazio misurato e sia la misura immagineÐ ß ß ÑH Y . (di mediante . Se è una funzione Boreliana e la funzione è. 1 2 2 ‰ 1 œ 2Ð1Ñintegrabile, allora

2 œ Ð2 ‰ 1Ñ. .( . .


Se e è la misura di Lebesgue in , si supponga cheH ‘ . - ‘œ œ5 5 5

1 À Ä 1‘ ‘5 5 . Sia inoltre un diffeomorfismo, ovvero un'applicazione biunivocadi un insieme aperto su un insieme aperto di differenziabile con continuità‘ ‘5 5

e tale che la sua inversa sia differenziabile con continuità. In questo caso, ilTeorema A.8 si riduce a

F" 5 " 5

1 ÐFÑ" 5 " 5 " 5

2ÐC ßá ß C Ñ .C á.C œ

œ 2Ð1ÐB ßá ß B ÑÑlN Ð1ÐB ßá ß B ÑÑl .B á.B"

,

dove è lo jacobiano relativo a .N Ð1ÐB ßá ß B ÑÑ 1" 5

Sia uno spazio misurato e una funzione Boreliana non negativa suÐ ß ß Ñ 0H Y /Ð ß Ñ À ÄH Y ( Y ‘. In questo caso, l'applicazione , data da

( /ÐEÑ œ 0 .E

per ogni , è una misura. In questo contesto, la funzione Boreliana vieneE − 0Ydetta , mentre è detta dalla densità .densità misura definita( 0

Teorema A.9. (Teorema di Radon-Nikodym) Siano e due misure( /definite sullo spazio misurabile . Se è assolutamente continua rispetto aÐ ß ÑH Y (/ / (, ovvero implica che , allora esiste una funzione BorelianaÐEÑ œ ! ÐEÑ œ !non negativa tale che è la misura definita dalla densità . Inoltre, è unica0 0 0(;Þ9Þ 2 rispetto a , ovvero se è una funzione Boreliana non negativa tale che/( / YÐEÑ œ 2 E − 0 œ 2 ;Þ9Þ

E . per ogni , allora Dimostrazione. Vedi Billingsley (1995).

315Appendice A

In pratica, il Teorema A.9, che prende nome dal matematico austriaco JohannKarl August Radon (1887-1956) e dal matematico polacco Otto MarcinNikodym (1887-1974), fornisce l'esistenza di una classe di funzioni non negative0 ;Þ9Þ 0 che coincidono rispetto a e per questo motivo viene definita come una/versione della densità. Si noti che il Teorema di Radon-Nikodym fornisce sia unmodo di costruire una misura, ma anche un metodo per calcolare la misura diogni . In effetti, se è una misura di cui sono ben note le proprietà (qualeE − Y /la misura di Lebesgue) allora, una volta determinata la densità , il valore della0misura può essere ottenuto per integrazione. In generale, ogni integrazionerispetto a può essere ricondotta ad un'integrazione rispetto a , come si ottiene( /dal seguente Teorema.

Teorema A.10. Sia uno spazio misurato e sia la misura definitaÐ ß ß ÑH Y / (dalla densità . Se è una funzione Boreliana e la funzione è integrabile,0 2 20allora

2 œ 20. .( / .


Il seguente Teorema evidenzia come un calcolare un integrale rispetto ad unamisura prodotto per mezzo di una integrazione iterata.

Teorema A.11. (Teorema di Fubini) Siano e dueÐ ß ß Ñ Ð ß ß ÑH Y . H Y ." " " # # #

spazi misurati e sia una funzione misurabile su . Se 1 Ð ‚ ß Œ Ñ 1 !H H Y Y" 5 " #

allora la funzione

2Ð Ñ œ 1Ð ß Ñ Ð Ñ= = = . =# " # " " .

esiste rispetto a ed è misurabile su , mentre;Þ9Þ . H# #

1 1Ð ß Ñ Ð Ñ Ð Ñ.Ð Œ Ñ œ . .. = = . = . =" " # " " # #.# .


Il Teorema può essere esteso a spazi misurati ed è legato al nome del5matematico italiano Guido Fubini (1879-1943), anche se più correttamente


dovrebbe essere denominato Teorema di Fubini-Tonelli, dal momento che è statoesteso e perfezionato dal matematico italiano Leonida Tonelli (1885-1946).

Riferimenti bibliografici

Il classico testo di riferimento per la Teoria della Misura è Halmos (1974).Ulteriori testi sulla Teoria della Misura e integrazione sono Ambrosio et al.(2011), Cohn (2013), Schilling (2005), Taylor (2006), Wheeden e Zygmund(2015). Un testo esaustivo sull'argomento è Bogachev (2007, volume I e II),mentre testi introduttivi sono Capinski e Kopp (2007), Kubrusly (2015) e´Ovchinnikov (2013).

Appendice B

Notazioni e abbreviazioni

Capitolo 1

H spazio fondamentaleg evento impossibileÖ ×= evento elementareI eventocard cardinalità di un eventoÐIÑX classe di eventic HÐ Ñ insieme delle partiÐI Ñ M3 3−M classe di eventi insieme di indiciÐI Ñ M œ Ö"ßá ß 8×3 3œ"

8 classe di eventi ÐI Ñ M œ Ö"ß #ßá×8 8 " successione di eventi ÐI Ñ M œ Ö!ß "ßá×8 8 ! successione di eventi I- evento opposto

3−M 3I evento unioneI ∪ I M œ Ö"ß #×" # evento unione

3œ"8

3I M œ Ö"ßá ß 8× evento unione 8œ"∞

8I M œ Ö"ß #ßá× evento unione 8œ!∞

8I M œ Ö!ß "ßá× evento unione 3−M 3I evento intersezione

I ∩ I M œ Ö"ß #×" # evento intersezione 3œ"8

3I M œ Ö"ßá ß 8× evento intersezione 8œ"∞

8I M œ Ö"ß #ßá× evento intersezione 8œ!∞

8I M œ Ö!ß "ßá× evento intersezione I Ï I" # evento differenzalim inf8 8I limite inferiore di successione di eventilim sup8 8I limite superiore di successione di eventilim8 8I limite di successione di eventiÐ ÑX3 3−M classe di classi di eventiÐ Ñ M œ Ö"ß #ßá×X8 8 " successione di classi di eventi

318 Notazioni e abbreviazioni

Ð Ñ M œ Ö!ß "ßá×X8 8 ! successione di classi di eventi 3−M 3X unione di classi di eventi8œ"∞

8X unione di classi di eventi M œ Ö"ß #ßá×8œ!∞

8X unione di classi di eventi M œ Ö!ß "ßá×3−M 3X intersezione di classi di eventi8œ"∞

8X intersezione di classi di eventi M œ Ö"ß #ßá×8œ!∞

8X intersezione di classi di eventi M œ Ö!ß "ßá×Y 5 -algebra5 X 5 XÐ Ñ -algebra generata dalla classe Ð ß ÑH Y spazio probabilizzabile œ Ö!ß "ß #ßá× insieme degli interi non negativi™ œ Ö!ß „ "ß „ #ßá× insieme dei numeri interi ™œ Ö7Î8 À 7ß 8 − ß 8 Á !× insieme dei numeri razionali‘ insieme dei numeri reali‚ insieme dei numeri complessiÒ+ß ,Ó œ ÖB − À + Ÿ B Ÿ ,×‘ intervallo chiuso Ó+ß ,Ò œ ÖB − À + B ,×‘ intervallo apertoÓ+ß ,Ó œ ÖB − À + B Ÿ ,×‘ intervallo aperto a sinistra e chiuso a destraÒ+ß ,Ò œ ÖB − À + Ÿ B ,×‘ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destraU ‘ 5Ð Ñ -algebra di BorelÐ ß Ñ‘ U ‘Ð Ñ spazio misurabileH H" 5‚â‚ 5 spazio fondamentale prodotto di spaziI ‚â‚I 5" 5 evento rettangolare di eventiY Y" 5ŒâŒ 5-algebra prodotto di spazi5‘5 spazio EuclideoU ‘ 5 ‘Ð Ñ5 5 -algebra di Borel su

3−M 3H spazio fondamentale prodotto insieme indiciM3−M 3I evento rettangolare3−M 3Y 5-algebra prodotto

Capitolo 2

.Ð † Ñ misuraÐ ß ß ÑH Y . spazio misuratoTÐ † Ñ misura di probabilitàÐ ß ß T ÑH Y spazio probabilizzato"EÐ † Ñ E funzione indicatrice dell'insieme

319Appendice B

- ‘Ð † Ñ misura di Lebesgue su Ð ß Ñ‘ U ‘ -Ð Ñß spazio misuratoTÐ † ± I!Ñ probabilità condizionataT Œá Œ T" 5 probabilità prodotto- ‘5 5Ð † Ñ misura di Lebesgue su Ð ß ß Ñ‘ -5 5U ‘Ð Ñ5 spazio misurato prodotto

3−M 3T probabilità prodotto

Capitolo 3

\ variabile aleatoria (v.a.)T Ð † Ñ \\ legge (o distribuzione) della v.a. Ð ß Ð Ñß T Ñ‘ U ‘ \ spazio probabilizzato

œ_

uguaglianza in leggeJ Ð † Ñ \\ funzione di ripartizione della v.a. (f.r.): Ð † Ñ \\ funzione di probabilità della v.a. (f.p.)Ú † Û funzione parte intera0 Ð † Ñ \\ densità di probabilità della v.a. (d.p.)Ð\ ßá ß\ Ñ" 5

T vettore di variabili aleatorie (v.v.a.)\ 33 -esima componente marginale del v.v.a.J Ð † Ñ \\ funzione di ripartizione del v.v.a. (f.r.c.)J Ð † Ñ \\ 33

funzione di ripartizione della v.a. (f.r.m.): Ð † Ñ \\ funzione di probabilità del v.v.a. (f.p.c.): Ð † Ñ \\ 33

funzione di probabilità della v.a. (f.p.m.)0 Ð † Ñ \\ densità di probabilità del v.v.a. (d.p.c.)0 Ð † Ñ \\ 33

densità di probabilità della v.a. (d.p.m.)

Capitolo 4

EÒ\Ó \ valore atteso della v.a. .\ valore atteso della v.a. \\ Ð\ß !Ñ \ parte positiva della v.a. max\ Ð\ß !Ñ \ parte negativa della v.a. min.\ß< momento di ordine della v.a. < \VarÒ\Ó \ varianza della v.a.


5\# varianza della v.a. \

Cov covarianza tra le v.a. e Ò \ \\ ß\ Ó" # " #

5\ ß\ " #" # covarianza tra le v.a. e \ \

3\ ß\ " #" # coefficiente di correlazione tra le v.a. e \ \

sgn funzione segnoÐ † Ñ Ð † Ñ Ð † Ñ" "Ó!ß∞Ò Ó∞ß!Ò

O\ matrice di varianza-covarianzadetÐ ÑO\ varianza generalizzata

Capitolo 5

EÒ\ ± I Ó I! ! valore atteso condizionato all'evento EÒ\ ± ÓY 5 Y! ! valore atteso condizionato alla -algebra Y 5\ -algebra indotta dalla v.a. \EÒ\ ± \ Ó \ \# " # " valore atteso condizionato di a T Ð † Ñ \ Ö\ œ B ×\ ±\ œB # " "# " "

legge condizionata di all'evento : \ Ö\ œ B ×\ ±\ œB # " "# " "

f.p. condizionata di all'evento 0 \ Ö\ œ B ×\ ±\ œB # " "# " "

d.p. condizionata di all'evento

Capitolo 6

UÐ8ß :Ñ 8 : legge Binomiale di parametri e c - -Ð Ñ legge di Poisson di parametro Ua Ð5ß :Ñ 5 : legge Binomiale Negativa di parametri e \ Ð8ßHßRÑ 8 H R legge Ipergeometrica di parametri , e `Ð8ß :Ñ 8 : legge Multinomiale di parametri e a . 5 . 5Ð ß Ñ# legge Normale di parametri e 9Ð † Ñ ^ d.p. della v.a. con legge Normale ridottaFÐ † Ñ ^ f.r. della v.a. con legge Normale ridottaZÐ+ß ,ß 5Ñ + , 5 legge Gamma di parametri , e >Ð5Ñ funzione Gamma di Eulero#Ð5ß DÑ funzione Gamma incompleta;8# legge Chi-quadrato con gradi di libertà8

UX α αÐ+ß ,ß ß Ñ + ," " legge Beta di parametri , , e FÐ ß Ñα " funzione Beta di EuleroM Ð ß ÑD α " funzione Beta incompleta regolarizzata

321Appendice B

J 8 88 ß8 " #" # legge di Snedecor con e gradi di libertà

> > 88 legge di Student con gradi di libertàa . O5 \ \Ð ß Ñ legge Normale MultivariataWÐ Ñα α legge di Dirichlet di parametro

Capitolo 7

i 1 unità immaginariadÐ † Ñ parte realeeÐ † Ñ parte immaginarial † l modulo:\Ð † Ñ \ funzione caratterisitica della v.a. (f.c.)K Ð † Ñ \\ funzione generatrice della v.a. (f.g.)'Ð=Ñ funzione zeta di Riemann:\Ð † Ñ funzione caratterisitica multivariata (f.c.m.)K Ð † Ñ\ funzione generatrice multivariata (f.g.m.)

Capitolo 8

Ð\ Ñ8 8 " successione di v.a.Ð\ Ñ8 8 ! successione di v.a.

Ä_

convergenza in legge

ÄT

convergenza in probabilità

Ä;Þ-Þ

convergenza quasi certa

Ä :P:

convergenza in media di ordine

Capitolo 9

Ð\ Ñ8 >−“ processo aleatorio (p.a.)Ð ÑY> >−“ filtrazioneÐQ Ñ> >−“ martingala7 tempo di arrestoY 5 77 -algebra associata al tempo di arresto


ÐQ Ñ7 “•> >− martingala arrestata al tempo di arresto 7+ ” , Ð+ß ,Ñ max+ • , Ð+ß ,Ñ minÐF Ñ> >−Ò!ß∞Ò moto Browniano7+ tempo di primo passaggio per +

Capitolo 10

MÐ\Ñ \ integrale stocastico di del p.a. ItôfX

# classe dei p.a. semplici`X

# classe dei p.a. integrabili.\ \> differenziale stocastico del p.a.

Bibliografia

Ambrosio, L., Da Prato, G. e Mennucci, A. (2011) Introduction to MeasureTheory and Integration, Edizioni della Normale, Scuola Normale Superiore,Pisa.

Applebaum, D. (2009) , CambridgeLévy Processes and Stochastic CalculusUniversity Press, Cambridge.

Ash, R.B. (2008) , Dover, New York.Basic Probability TheoryAsh, R.B. e Doléans-Dade, C.A. (2000) ,Probability and Measure Theory

Academic Press, New York.Athreya, K.B. e Lahiri, S.N. (2006) ,Measure Theory and Probability Theory

Springer, New York.Bass, R.F. (2011) , Stochastic Processes Cambridge University Press,

Cambridge.Bhattacharya, R.N. e Waymire, E.C. (2016) Stochastic Processes with

Applications, seconda edizione, Society for Industrial and AppliedMathematics, Philadelphia.

Billingsley, P. (1995) , terza edizione, Wiley, NewProbability and MeasureYork.

Blom, G., Holst, L. e Sandell, D. (1994) Problems and Snapshots from the Worldof Probability, Springer, New York.

Bogachev, V.I. (2007) , volume I, Springer, Berlin.Measure TheoryBogachev, V.I. (2007) , volume II, Springer, Berlin.Measure TheoryBorodin, A.N. (2017) , Birkhäuser, Basel.Stochastic ProcessesBorovkov, A.A. (2013) , quinta edizione, Springer, London.Probability TheoryBoucheron, S., Lugosi, G. e Massart, P. (2013) Concentration Inequalities,

Oxford University Press, Oxford.Brzezniak, Z. e Zastawniak, T. (2002) ´ Basic Stochastic Processes, Springer,

London.Calin, O. (2015) An Informal Introduction to Stochastic Calculus with

Applications, World Scientific Publishing, Singapore.Capasso, V. e Bakstein, D. (2015) An Introduction to Continuous-Time

Stochastic Processes, terza edizione, Birkhäuser, New York.

324 Bibliografia

Capinski, M. e Kopp, P. (2007) , seconda´ Measure, Integral and Probabilityedizione, Springer, NewYork.

Charalambides, C.A. (2005) ,Combinatorial Methods in Discrete DistributionWiley, New York.

Chaumont, L. e Yor, M. (2005) ,Exercises in Probability Cambridge UniversityPress, Cambridge.

Choe, G.H. (2016) Stochastic Analysis for Finance with Simulations, Springer,New York.

Chung, K.L. (2001) , terza edizione, AcademicA Course in Probability TheoryPress, San Diego.

Chung, K. e Williams, R. (1990) , secondaIntroduction to Stochastic Integrationedizione, Birkhäuser, Boston.

Çinlar, E. (2010) , Springer, New York.Probability and StochasticsCohen, S.N. e Elliott, R.J. (2015) , secondaStochastic Calculus and Applications

edizione, Birkhäuser, New York.Cohn, D.L. (2013) , seconda edizione, Birkhäuser, New York.Measure TheoryDa Prato, G. (2014) ,Introduction to Stochastic Analysis and Malliavin Calculus

terza edizione, Edizioni della Normale, Scuola Normale Superiore, Pisa.Devroye, L. (1986) , Springer, NewNon-uniform Random Variate Generation

York.Dubins, L.E. e Savage, L.J. (1965) , McGraw-Hill,How to Gamble If You Must

New York.Dudley, R.M. (2004) , Real Analysis and Probabiliy Cambridge University Press,

Cambridge.Durrett, R. (2012) Essentials of Stochastic Processes, seconda edizione,

Springer, New York.Erickson, M. (2010) , CRC Press, Boca Raton.Pearls of Discrete MathematicsEthier, S.N. (2010) The Doctrine of Chances, Springer, Berlin.Feller, W. (1968) ,An Introduction to Probability Theory and its Applications

volume I, terza edizione, Wiley, New York.Feller, W. (1971) ,An Introduction to Probability Theory and its Applications

volume II, seconda edizione, Wiley, New York.Ferguson, T.S. (1996) , Chapman & Hall, NewA Course in Large-sample Theory

York.de Finetti, B. (1970) , volume 1, Wiley, New York.Theory of Probabilityde Finetti, B. (1970) , volume 2, Wiley, New York.Theory of ProbabilityForbes, C., Evans, M., Hastings, N. e Peacock, B. (2011) Statistical

Distributions, quarta edizione, Wiley, New York.Gordon, H. (1997) , Springer, New York.Discrete Probability

325Bibliografia

Gorroochurn, P. (2012) ,Wiley, New York.Classic Problems of ProbabilityGraham, R.L., Knuth, D.E. e Patashnik, O. (1994) ,Concrete Mathematics

seconda edizione, Addison-Wesley, Reading.Grimmett, G.R. e Stirzaker, D.R. (2001) One Thousand Exercises in Probability,

Oxford University Press, Oxford.Gut, A. (2005) , seconda edizione, Springer,Probability: a Graduate Course

New York.Hald, A. (1998) , WileyA History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930

New York.Hald, A. (2003) History of Probability and Statistics and Their Applications

before 1750, Wiley, New York.Halmos, P.R. (1974) , Springer, New York.Measure TheoryHamming, R.W. (1991) , Addison-Wesley, Reading.The Art of ProbabilityIsaac, R. (1995) , Springer, New York.The Pleasures of ProbabilityJacod, J. e Protter, P. (2004) , seconda edizione, Springer,Probability Essentials

New York.Johnson, N., Kemp, A. e Kotz, S. (2005) , terzaUnivariate Discrete Distributions

edizione, New York, Wiley.Johnson, N. e Kotz, S. (1977) , New York,Urn Models and Their Applications

Wiley.Johnson, N., Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1994) Continuous Univariate

Distributions, volume 1, seconda edizione, New York, Wiley.Johnson, N., Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1995) Continuous Univariate

Distributions, volume 2, seconda edizione, New York, Wiley.Johnson, N., Kotz, S. e Balakrishnan, N. (1997) Discrete Multivariate

Distributions, New York, Wiley.Kallenberg, O. (2002) , seconda edizione,Foundations of Modern Probability

Springer, New York.Karatzas, I. e Shreve, S.E. (1991) ,Brownian Motion and Stochastic Calculus

seconda edizione, Springer, New York.Khoshnevisan, D. (2007) , American Mathematical Society,Probability

Providence.Klafter, J. e Sokolov, I.M. (2011) , First Steps in Random Walks Oxford

University Press, Oxford.Klebaner, F. (2005) ,Introduction to Stochastic Calculus with Applications

seconda edizione, World Scientific Publishing, Singapore.Knill, O. (2009) ,Probability and Stochastic Processes with Applications

Overseas Press, New Dehli.

326 Bibliografia

Kolmogorov, A.N. (1933) ,Grundbegriffe der WahrscheinlichkeitsrechnungSpringer, Berlin. Traduzione inglese: Kolmogorov, A.N. (1956) Foundationsof the Theory of Probability, Chelsea, New York.

Koralov, L.B. e Sinai, Y.G. (2007) Theory of Probability and RandomProcesses, seconda edizione, Springer, New York.

Kotz, S., Balakrishnan, N. e Johnson, N.L. (2000) Continuous MultivariateDistributions, volume 1, seconda edizione, New York, Wiley.

Kubrusly, C.S. (2015) , Springer, New York.Essentials of Measure TheoryKuo, H. (2006) , Springer, New York.Introduction to Stochastic IntegrationLe Gall, J.F. (2016) Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus,

Springer, Berlin.Leadbetter, R., Cambanis, S. e Pipiras, V. (2014) A Basic Course in Measure

and Probability Theory for Applications, Cambridge University Press,Cambridge.

Lehmann, E.L. e Casella, G. (1998) , secondaThe Theory of Point Estimationedizione, Springer, New York.

Letta, G. (1993) , Zanichelli, Bologna.Probabilità ElementareLin, Z. e Bai, Z. (2010) Probability Inequalities, Springer, New York. Lovász, L., Pelikán, J. e Vesztergombi, K. (2003) Discrete Mathematics:

Elementary and Beyond, Springer, New York.Lukacs, E. (1970) , seconda edizione, Griffin, London.Characteristic FunctionsMedvegyev, P. (2007) , Oxford University Press,Stochastic Integration Theory

Oxford.Mishura, Y. e Shevchenko, G. (2017) Theoretical and Statistical Aspects of

Stochastic Processes, Elsevier, Amsterdam.Mörters, P. e Peres, Y. (2010) , Cambridge University Press,Brownian Motion

Cambridge.Mosteller, F. (1987) ,Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions

seconda edizione, Dover Publications, New York.Olofsson, P. (2015) Probabilities - The Little Numbers that Rule Our Lives,

seconda edizione, Wiley, New York.Ore, Ø. (1953) Princeton University Press,Cardano: The Gambling Scholar,

Princeton.Ovchinnikov, S. (2013) Measure, Integral, Derivative, Springer, New York.Øksendal, B. (2003) , sesta edizione, Springer,Stochastic Differential Equations

Berlin.Pascucci, A. (2011) g, Bocconi &PDE and Martingale Methods in Option Pricin

Springer Series, Springer Italia, Milan.

327Bibliografia

Petkovic, M.S. (2009) , AmericanFamous Puzzles of Great MathematiciansMathematical Society, Providence.

Petrov, V.V. (1995) , Clarendon Press,Limit Theorems of Probability TheoryOxford.

von Plato, J. (1994) Creating Modern Probability, Cambridge University Press,Cambridge.

Protter, P. (2003) , secondaStochastic Integration and Differential Equationsedizione, Springer, New York.

Rao, M.M. (2005) Conditional Measures and Applications, seconda edizione,Chapman & Hall, New York.

Rao, M.M. e Swift, R.J. (2006) , secondaProbability Theory with Applicationsedizione, Springer, New York.

Resnick, S.I. (2005) , Birkhäuser, Boston.Adventures in Stochastic ProcessesResnick, S.I. (2014) , Birkhäuser, Boston.A Probability PathRevuz, D. e Yor, M. (2005) ,Continuous Martingales and Brownian Motion

terza edizione, Springer, New York. Romano, J.P. e Siegel, A.F. (1986) Counterexamples in Probability and

Statistics, Wadsworth, London.Rosenthal, J. (2006) , secondaA First Look at Rigorous Probability Theory

edizione, World Scientific Publishing, Singapore.Sasvári, Z. (2013) , DeMultivariate Characteristic and Correlation Functions

Gruyter, Berlin.Sato, K. (1999) , CambridgeLévy Processes and Infinitely Divisible Distributions

University Press, Cambridge.Schilling, R. (2005) , Cambridge UniversityMeasures, Integrals and Martingales

Press, Cambridge.Schilling, R.L. e Partzsch, L. (2012) , De Gruyter, Berlin.Brownian MotionSerfling R.J. (1980) , Wiley, New York.Approximation Theorems of StatisticsShreve, S. (2004) ,Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models

Springer, New York.Steutel, F.W. e van Harn, K. (2004) Infinite Divisibility of Probability

Distributions on the Real Line, Dekker, New York.Steyer, R. e Nagel, W. (2017) Probability and Conditional Expectation, Wiley,

Chichester.Stroock, D.W. (2013) Mathematics of Probability, American Mathematical

Society, Providence.Székely, G.J. (1986) Paradoxes in Probability Theory and Mathematical

Statistics, Kluwer, Dordrecht.

328 Bibliografia

Taylor, M.E. (2006) , American MathematicalMeasure Theory and IntegrationSociety, Providence.

Tijms, H.C. (2003) , Wiley, Chichester.A First Course in Stochastic ModelsTijms, H.C. (2012) , terza edizioneUnderstanding Probability , Cambridge

University Press, Cambridge.Uchaikin, V.V. e Zolotarev, V.M. (1999) , De Gruyter,Chance and Stability

Utrecht.van der Vaart, A.W. (1998) Cambridge University Press,Asymptotic Statistics,

Cambridge.Venkatesh, S.S. (2012) The Theory of Probability: Explorations and

Applications, Cambridge University Press, Cambridge.Walsh, J.B. (2012) Knowing the Odds: An Introduction to Probability, American

Mathematical Society, Providence.Wheeden, R.L. e Zygmund, A. (2015) ,Measure and Integral, seconda edizione

CRC Press, Boca Raton.Whittle, P. (2000) Probability via Expectation, quarta edizione, Springer, New

York.Wiersema, U. (2008) , Wiley, Hoboken.Brownian Motion CalculusWilf, H.S. (2006) , Peters, Wellesley.GeneratingfunctionologyWilliams, D. (1992) Cambridge University Press,Probability with Martingales,

Cambridge.Wise, G.L. e Hall, E.B. (1993) Counterexamples in Probability and Real

Analysis, Oxford University Press, Oxford.Zolotarev, V.M. (1986) , AmericanOne-dimensional Stable Distributions

Mathematical Society, Providence.

Fondamenti di Probabilità - unisi.it...matematico, tanto che nel (scritto verso il 1560, maLiber de...

Documents

Transcript of Fondamenti di Probabilità - unisi.it...matematico, tanto che nel (scritto verso il 1560, maLiber de...