Calcolo delle Probabilit`a - S.T.A.D. 2012-2013 Cenni storici · Il primo libro sul gioco...

Calcolo delle Probabilita - S.T.A.D. 2012-2013

Libri adottati

• Calcolo delle Probabilita, Sheldon Ross, Apogeo, 2007

• Incertezza e Probabilita, Romano Scozzafava, Zanichelli, 2003

• dispense e compiti di esame svolti disponibili sul sito del docente

Ulteriori approfondimenti

• dispense fornite dal docente

• Calcolo delle Probabilita, Giorgio Dall’Aglio, Zanichelli, 2001

• Calcolo delle Probabilita, Paolo Baldi, McGraw-Hill (2007, 2011)

• Teoria delle Probabilita, vol.1 e vol.2, Bruno de Finetti, Giu↵re (ristampa 2005)

• Calcolo delle Probabilita ed Elementi di Statistica, Luciano Daboni, Utet

G. Sanfilippo - CdP - STAD - - pag. 1

Cenni storici

• Il calcolo delle probabilita si e sviluppato fra il XV e il XVI secolo, prevalentementesulla base di studi e considerazioni teoriche riguardanti situazioni e problemi connessiai giochi d’azzardo. Il primo libro sul gioco d’azzardo (Liber de ludo aleae) e statoscritto, anche se pubblicato successivamente, agli inizi del 1500 da Gerolamo Cardano(matematico, fisico, medico e astrologo italiano).

• Si e soliti far risalire l’origini del CdP a certe questioni di scommessa poste dal Cavalierde Mere a Pascal e da questi discusse con Fermat.

• Lo sviluppo storico del calcolo delle probabilita e dovuto a grandi scienziati quali Galilei,Bernoulli, Pascal, Fermat, Laplace

• Nel secolo scorso la teoria delle probabilita si e sviluppata in molte direzioni grazie allavoro di famosi matematici, fra i quali Kolmogorov e Bruno de Finetti .

Figura 1: Kolmogorov e de Finetti


Problema del Cavalier De Mere

Esempio 1 Determinare il piu piccolo intero n tale che lanciando n volte un dado laprobabilita di avere almeno un 6 sia maggiore di 1

2

.

Supponiamo di lanciare n volte un dado e consideriamo l’evento

An : “ esce almeno una volta la faccia 6 su n lanci”.

I casi favorevoli ad An si ottengono piu facilmente sottraendo dai 6n casi possibili (giu-dicati ugualmente possibili) quelli nei quali non si presenta il 6, che sono 5

n. Pertantosi ottiene

P (An) =

6

n � 5

n

6

n.

L’intero n cercato e pari a 4 come si evince dalla Tabella 1

n=3 n=4

P (An) 0.42 0.52

Tabella 1: Valori di P (An) per n = 3, 4


Casi Possibili

Ti viene proposto un gioco. Hai due urne U1

, U2

contenenti palline di ugual forma e chepossono di↵erire per il colore: 1 bianca e 1 nera nella prima urna, 1 bianca e 4 nere nellaseconda. Vinci un premio se ad occhi bendati riesci ad estrarre una pallina bianca. In qualeurna ti conviene pescare?

1° Urna 2° Urna

Figura 2: In quale delle due urne ti conviene pescare?


Ora disegna nelle due urne palline bianche e nere in modo che sia piu conveniente pescarenella seconda urna.

1° Urna 2° Urna

Figura 3:


Per vincere un premio devi estrarre pallina bianca. In quale urna pescheresti?

1° Urna 2° Urna

Figura 4:


E in questo caso?

Mi conviene pescare da U1

, 2

Mi conviene pescare da U2

, 2

Indi↵erente, 2

1° Urna 2° Urna

100

50

Figura 5:


E in questa situazione in quale urna pescheresti?

1° Urna 2° Urna

3

7

Figura 6:

Perche?

Calcola, per ciascun’urna, il rapporto tra il numero delle palline bianche ed il totaledelle palline.

1

a Urna n. palline bianchen. palline totali = · · · ; Urna 2 n. palline bianche

n. palline totali = · · ·


Definizione classica

Si ha. 1

a Urna n. palline bianchen. palline totali =

1

3

= 0.3¯3 ; Urna 2 n. palline bianchen. palline totali =

3

10

= 0.3

• Osservando i rapporti si intuisce che e piu “probabile” estrarre una pallina bianca dalla1

a Urna.

• Infatti si ha 1 caso favorevole di estrarre la pallina bianca su 3 casi possibili.

• Nella 2

a Urna invece i casi favorevoli sono 3 e i casi possibili sono 10.

Criterio classico di valutazione della probabilita


Criterio classico di valutazione della probabilita

In molti problemi aleatori, per ragioni di simmetria o di mancanza di informazioni sulfenomeno studiato, i casi possibili sono giudicati ugualmente possibili.

In tali situazioni, per valutare il grado di attendibilita di un evento A, e del tutto naturalebasarsi sul numero di casi favorevoli a ciascuno degli eventi considerati.

Definizione 1 (Classica) Considerato un esperimento aleatorio con m casi possibili,giudicati ugualmente possibili, ed un evento E con rE casi favorevoli, la probabilitaP (E) di E e uguale al rapporto

rEm .

P (E) =

# casi favorevoli a E

# casi possibili=

rE

m.


Esempio 2 (lancio di 2 dadi). Indichiamo con X, Y il risultato dei due dadi e conZ = X + Y il totale. I casi possibili (le coppie (x, y)) sono 6 ⇥ 6 = 36;

P (Z = 3) =

2

36

=

1

18

,in quanto le coppie favorevoli sono due : (1, 2), (2, 1).Calcolare P (Z = h) per h = 2, 3, . . . , 12.

Figura 7:

P (X > Y ) =

15

36

=

5

12

, infatti vi sono 6 coppie favorevoli all’evento (X = Y ) e dellerestanti 30 quelle favorevoli all’evento (X > Y ) sono 15.


Esempio 3 Supponiamo di estrarre una carta da un mazzo di carte francesi (52 car-te). Calcolare la probabilita, per ciascuno dei seguenti eventi, come rapporto tra casifavorevoli su casi possibili.

1. A=“Si estrae una carta di cuori”, P (A) = · · ·= 1

4

2. B=“Si estrae una carta di quadri”, P (B) = · · ·= 1

4

3. C=“Si estrae una carta di colore rosso”, P (C) = · · ·= 1

2

.Osserva che P (C) = P (A) + P (B), perche?

4. D=“Si estrae un re ”, P (D) = · · ·= 1

13

.

5. E=“Si estrae una donna ”, P (E) = · · ·= 1

13

.

6. F=“Si estrae un fante ”, P (F ) = · · ·= 1

13

.

7. G=“Si estrae una figura”, P (G) = · · ·= 3

13

.Osserva che P (G) = P (D) + P (E) + P (F ).

8. H=“Si estrae un re o una carta rossa”, P (H) = · · ·=28

52

=

7

13

.Osserva che P (H) 6= P (C) + P (D).

Perche per P (H) non vale la “regola” della somma?


Eventi e insiemi

Hai osservato che la probabilita di un evento come quello denominato C e risultata ugualealla somma delle probabilita dei due eventi A e B. Invece per un evento come H

relativamente agli eventi C e D questo non avviene. Eppure si ha cheA e B uniti costituiscono C; C e D uniti costituiscono H.

Immaginiamo di associare a ciascun evento un insieme: ad esempio all’eventoA=“estrazione di una carta di cuori” associamo l’insieme A={le carte di cuori del mazzo}.Usiamo cioe la stessa lettera maiuscola per rappresentare l’evento e l’insieme.

Quindi all’evento B=“Estrazione di una carta di quadri” associamo l’insieme B =

{le carte di quadri del mazzo}. E cosı via... Osserviamo che C = A [ B e cheH = C[D. Pero notiamo che A\B = ; e C\D = { re di cuori, re di quadri 6= ;}.Dati due eventi E

1

, E2

e considerata la loro rappresentazione insiemistica diciamo che:E

1

, E2

si dicono INCOMPATIBILI se E1

\ E2

= ;,E

1

, E2

si dicono COMPATIBILI se E1

\ E2

6= ;.Ad esempio: A, B sono INCOMPATIBILI,mentre C, D sono COMPATIBILI.Sembra che dati due eventi incompatibili valga la seguente formula

P (E1

[ E2

) = P (E1

) + P (E2

), se E1

\ E2

= ;.

Dati invece due eventi qualsiasi E1

, E2

cosa possiamo dire della probabilita di E1

[ E2

?


Proprieta

Si puo dimostrare che vale la seguente proprieta

P (E1

[ E2

) = P (E1

) + P (E2

) � P (E1

\ E2

).

Pertanto, in riferimento all’esempio 3, si ha

P (H) = P (C [ D) = P (C) + P (D) � P (C \ D) =

1

2

+

1

13

�2

52

=

7

13

.

Esercizio 1 Supponendo di estrarre 5 carte da un mazzo di 52. Calcolare la probabilitadei seguenti eventi:

1. A=“Si ottiene una sola Coppia”

2. B=“Si ottiene una Doppia Coppia”

3. C=“Si ottiene Poker”

4. E=“Si ottiene il Full”

ATTENZIONE. La definizione classica e valida solo se i casi possibili sono consideratiugualmente possibili.Esempio. Sia E l’evento “Tu superi l’esame di maturita”. Poiche i casi possibili sono 2(superi o non superi) ritieni che P (E) =

1

2

?.


Figura 8: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili?


Casi PossibiliB=“La lancetta indica il Blu”V=“La lancetta indica il Verde”R=“La lancetta indica il Rosso”

Figura 9:

B, V, R sono ugualmente possibili? Ritieni che P (B) = P (V ) = P (R) =

1

3

?


Ei=“La lancetta indica il settore circolare i”i = 1, 2, . . . , 10

Figura 10: Casi possibili giudicati ugualmente possibili?


Extra

Consideriamo un dado come in figura. Si lancia una volta il dado. Supposto che sia uscitoun quadrato qual e la probabilita che la figura sia scura?

Figura 11:


Proposizioni logiche, eventi

• L’analisi di situazioni e problemi reali spesso comporta l’esame di fatti e aspetti incerti,che potranno successivamente risultare veri o falsi.

• Nell’esame di un problema aleatorio si possono distinguere sostanzialmente due aspetti:uno in cui si applica la logica del certo ed un’altro, successivo, in cui si applica la logica

del probabile.

• I fatti incerti sono formalizzati (in modo non ambiguo) mediante proposizioni logiche

che possono assumere il valore Vero oppure Falso.

• Una proposizione o a↵ermazione logica si indica con il termine di evento, che si puo

definire come un’entita logica a due valori: vero (V ) o falso (F ).

• In una prima fase, avendo un’informazione incompleta in relazione alfissato esperimento aleatorio, si analizzano i fatti incerti individuan-do l’insieme delle eventualita possibili (detto anche insieme dei casi

elementari, o insieme dei casi possibili, o insieme dei costituenti). Di tali casiuno e uno solo risultera vero.


Eventi

In astratto, l’insieme dei casi possibili potra essere rappresentato con uno spazio ⌦ e ognicaso elementare sara rappresentato con un punto di ⌦.Allora, ogni fissato sottoinsieme E di ⌦ rappresenta un evento, indicato con lo stessosimbolo, che sara vero oppure falso a seconda che il risultato dell’esperimento, ovvero ilcaso elementare che si verifica, corrisponde ad un punto che appartiene oppure no ad E.Due eventi particolari sono:

• l’evento certo, rappresentato dall’insieme ⌦, che risulta sicuramente vero;

• l’evento impossibile, rappresentato dall’insieme vuoto ;, che risulta sicuramente falso.

Gli eventi si indicano di solito con le lettere maiuscole:A , B , . . . , E , H , . . .

Dato un evento E, si definisce Indicatore di E la seguente quantita

|E| =

(1 se E e vero,

0 se E e falso.

Notare che si ha: |⌦| = 1, |;|=0.


Negazione.

L’evento contrario o negazione di un evento E e l’evento che e vero quando E e falso ede falso quando E e vero. L’evento contrario di E si indica con il simbolo Ec. Utilizzandogli indicatori si ha che |Ec| = 1 � |E|.

Ec=

(vero se E falso,

falso se E vero.

Figura 12: Negazione

Esempio 4 Supponiamo di fare 4 lanci di un dado.E = “Esce almeno 2 volte il numero 6.”Ec

= “Esce al piu una volta il numero 6,”


Operazioni e relazioni logiche

Implicazione. Un evento A implica un altro evento B se quando e vero A segue che evero anche B. In simboli si scrive A ✓ B.

A ✓ B equivale alla disuguaglianza |A| |B|.

!BA

Figura 13: A⇢B

Esempio 5 Supponiamo di fare 4 lanci di un dado.A = “Esce almeno una volta il numero 2.”B = “Esce almeno una volta un numero pari.”Si ha A ⇢ B.

Uguaglianza. Due eventi A e B si dicono uguali se ognuno dei due implica l’altro, cioese A ✓ B e B ✓ A.


Unione. L’unione o somma (logica) di due eventi A, B e l’evento che e vero quandoalmeno uno dei due eventi e vero ed e falso quando sia A che B sono falsi.Si indica con A _ B oppure A [ B.

Esempio 6 Lancio di un dado.A = “Esce il numero 1 o il numero 2”,B = “Esce il numero 2 o il numero 3 ”,A _ B = “Esce uno dei seguenti numeri 1, 2, 3”.

Proprieta Unione:

• associativa : (A _ B) _ C = A _ (B _ C) = A _ B _ C;

• commutativa : A _ B = B _ A.

Osservazioni:

A _ ⌦ = ⌦ ; A _ ; = A ; A _ A = A ; A _ Ac= ⌦ .


IntersezioneL’intersezione (logica) o prodotto (logico) di due eventi A, B e l’evento che e vero quandoentrambi gli eventi sono veri ed e falso quando almeno uno dei due eventi A, B e falso.

L’evento intersezione di A, B si indica con A^B, oppure A\B, o piu semplicemente AB.

Esempio 7 Lancio di un dado.A = “Esce il numero 1 o il numero 2”,B = “Esce il numero 2 o il numero 3 ”,AB = “Esce il numero 2”.

Proprieta Intersezione:

• associativa : (A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C) = A ^ B ^ C.

• commutativa : A ^ B = B ^ A.

Osservazioni:

A ^ ⌦ = A ; A ^ ; = ; ; A ^ A = A ; A ^ Ac= ; .


IncompatibilitaDue eventi A, B si dicono incompatibili se non possono essere entrambi veri, cioe seA ^ B = AB = ;.

Esempio 8 Lancio di un dado. SiaA = “Esce il numero 2” eB = “Esce un numero dispari” si haAB = “;”.


Proprieta degli indicatori:

|AB| = |A| · |B| ; |A _ B| = |A| + |B| � |AB| ,

con |A _ B| = |A| + |B| nel caso in cui AB = ;.Altre proprieta:

AB ✓ A ✓ A _ B , (|AB| |A| |A _ B|)

AB ✓ B ✓ A _ B , (|AB| |B| |A _ B|)

Proprieta distributive :

(A _ B) ^ C = AC _ BC , (A ^ B) _ C = (A _ C) ^ (B _ C) .

Formule di De Morgan :

(A _ B)

c= A

c ^ Bc

; (A ^ B)

c= A

c _ Bc

.


La corrispondenza tra i valori logici di due eventi A, B e quelli di AB e A_B e riportatanella Tabella 2.

A B AB A _ B

V V V VV F F VF V F VF F F F

Tabella 2: Tavola di Verita (Intersezione e Unione di due eventi)

Utilizzando gli indicatori:

|A| |B| |AB| |A _ B|1 1 1 11 0 0 10 1 0 10 0 0 0

Tabella 3: Tavola di Verita degli indicatori Intersezione e Unione


De Morgan

A B (A _ B)

c Ac ^ Bc(A ^ B)

c Ac _ Bc

V V F F F FV F F F V VF V F F V VF F V V V V

Tabella 4: Tavola di Verita delle leggi di De Morgan

Calcolare la tavola di verita per l’evento Ac _ B.

A B Ac _ B

V V VV F FF V VF F V

Tabella 5: Tavola di Verita per l’evento Ac _ B


Diagrammi di Venn.

Consentono una rappresentazione geometrica degli eventi, utile per esaminare le relazionie operazioni logiche.

A B&%'$

✓⌘◆⇣

⌦

C&%'$

D&%'$

Eventi Insiemicerto universoimpossibile vuotocontrario complementareimplicazione inclusioneincompatibili disgiuntiunione unioneintersezione intersezione

Tabella 6: Corrispondenza tra insiemi ed eventi.


Partizione. Una famiglia di eventi {H1

, H2

, . . . , Hn} costituisce una partizione di ⌦ sevalgono le seguenti due proprieta :

1. Hi ^ Hj = ; , i 6= j ; 2. H1

_ H2

_ · · · _ Hn = ⌦ .

Utilizzando gli indicatori si puo facilmente verificare che la 1. e la 2. sono equivalenti a

|H1

| + |H2

| + · · · + |Hn| = 1 . (1)

Esempio 9 Lancio di un dado.Hi = “Esce il numero i” i = 1, 2, . . . , 6

Gli eventi H1

, H2

, . . . , H6

formano una partizione di ⌦.

Esempio 10 Lancio di un dado.Hi = “Esce il numero i” i = 1, 2, . . . , 5

Gli eventi H1

, H2

, . . . , H5

non formano una partizione di ⌦.

Esempio 11 Lancio di un dado.A = “Esce un numero maggiore o uguale a 3”B = “Esce un numero minore o uguale a 3”Gli eventi A, B non formano una partizione di ⌦ (perche?)


Decomposizione di un evento. Dato un evento arbitrario E ed una partizione {H, Hc},si ha:

E = E ^ ⌦ = E ^ (H _ Hc) = EH _ EH

c. (2)

Piu in generale, data una partizione {H1

, H2

, . . . , Hn}, si ha:

E = E ^ ⌦ = EH1

_ EH2

_ · · · _ EHn (3)

e|E| = |EH

1

| + |EH2

| + · · · + |EHn| . (4)

⌦

Figura 14: Decomposizione

In molti casi le formule (2) e ( 3) sono utili per calcolare la probabilita di E.


Proprieta fondamentali della probabilita

Utilizzando la Definizione (1) si possono dimostrare le seguenti proprieta di base (assiomi)della probabilita.

• P1. P (E) � 0, per ogni evento E;(il numero r di casi favorevoli e non negativo e quindi r

m � 0)

• P2. P (⌦) = 1 ;(per l’evento certo ⌦, si ha r = m e quindi r

m = 1)

• P3. se AB = ;, allora P (A _ B) = P (A) + P (B) (proprieta additiva).Dim. di P3.Da AB = ;, segue rAB = 0 e quindi

rA_B = rA + rB � rAB = rA + rB.

Pertanto

P (A _ B) =

rA_B

m=

rA + rB

m=

rA

m+

rB

m= P (A) + P (B) .


In particolare, nel caso B = Ac, applicando P2 e P3 si ottiene

P (Ac) = 1 � P (A) .

Se AB = ;, ponendo C = (A _ B)

c, si ha

P (C) = 1 � P (A _ B) = 1 � P (A) � P (B) ,

e quindi per la partizione {A, B, C} vale P (A) + P (B) + P (C) = 1 .

Se E1

, . . . , En sono a due a due incompatibili, si ha che i due eventi A = E1

_· · ·_En�1

,B = En sono incompatibili. Infatti

A ^ B = (E1

_ · · · _ En�1

) ^ En = E1

En _ E2

En _ · · ·En�1

En = ;.

Pertanto, applicando ripetutamente tale risultato agli altri eventi, si ha

P (E1

_ · · · _ En) = P (E1

_ · · · _ En�1

) + P (En) =

P (E1

_ · · · _ En�2

) + P (En�1

) + P (En) =

· · · = P (E1

) + P (E2

) + · · · + P (En) ,

In particolare se E1

, . . . , En formano una partizione di ⌦ si ha:

P (E1

) + P (E2

) + · · · + P (En) = 1 .


Proprieta di monotonia. Se A ✓ B, si ha

B = B ^ ⌦ = B ^ (A _ Ac) = AB _ A

cB = A _ A

cB , A ^ A

cB = ; ,

e da P1, P3 segue

P (B) = P (A _ AcB) = P (A) + P (A

cB) � P (A) .

Probabilita di A _ B.Dati due eventi compatibili A e B, si ha

A _ B = A _ AcB , P (A _ B) = P (A) + P (AcB) ,

B = AB _ AcB , P (AcB) = P (B) � P (AB) ,

e quindiP (A _ B) = P (A) + P (B) � P (AB) .


Iterando la formula delle probabilita dell’unione di due eventi, per l’unione di tre eventiarbitrari A, B, C, si ottiene

P (A _ B _ C) = · · · =

= P (A) + P (B) + P (C)+

�P (AB) � P (AC) � P (BC) + P (ABC) ,

equivalente (cfr. De Morgan) anche alla formula

P (A _ B _ C) = 1 � P (AcB

cC

c).

In generale per n eventi E1

, E2

, . . . , En si ha

P (E1

_ E2

_ . . . _ En) =

nX

i=1

P (Ei) �X

i<j

P (EiEj) +

X

i<j<k

P (EiEjEk) + . . .

+(�1)

n+1

P (E1

E2

· · ·En).

Esercizio 2 Problema delle concordanze o degli accoppiamenti (vedi S. Ross, Calcolodelle Probabilita)


Aspetti critici della definizione classica

1) Scelta appropriata dei casi da giudicare ugualmente possibili.

Esempio 12 Un esperimento aleatorio consiste in due lanci di una moneta.

E : in almeno un lancio esce Testa.

Casi possibili:

1. C1

: esce Testa al primo lancio (e l’esperimento termina),

2. C2

: esce Croce al primo lancio e Testa al secondo lancio,

3. C3

: esce Croce in entrambi i lanci,

C1

e C2

sono favorevoli ad E.

Allora, la probabilita di E e 2

3

?

Non ragionevole!

Non e ragionevole giudicare i tre casi ugualmente possibili.

Infatti, P (C1

) =

1

2

(se Testa o Croce al primo lancio si giudicano ugualmente possibili).

C2

ed C3

sono ugualmente possibili e la loro unione logica coincide con l’evento Croce al

primo lancio;


In base alla proprieta additiva hanno ciascuno probabilita 1

4

e quindi una valutazione piuadeguata di P (E) e 3

4

.

Tale valutazione e quella che si ottiene direttamente se si considerano come casi possibili(ugualmente possibili) i seguenti quattro, i primi tre dei quali sono quelli favorevoli ad E:

1. esce Testa in entrambi i lanci;

2. esce Testa al primo lancio e Croce al secondo lancio;

3. esce Croce al primo lancio e Testa al secondo lancio;

4. esce Croce in entrambi i lanci.


2) La Definizione 1 non e applicabile sempre.

Esempio 13 Se uno studente sostiene un esame vi sono due casi possibili (lo studentepuo essere promosso o bocciato). Nessuno, pero, si sognerebbe di concludere che laprobabilita di essere promosso e pari a 1

2

.

Come si vede gia da questo esempio banale, la valutazione della probabilita di uno o piueventi richiede metodi generali e solo in casi particolari ci si puo basare sulla Definizione 1.3) Circolarita.

Il termine ugualmente possibili utilizzato nella “Definizione Classica“ non puo significarealtro che ugualmente probabili e quindi ... il concetto di probabilita viene definito mediantese stesso. A tale riguardo e istruttiva questa riflessione di Poincare: ...Siamo costretti adefinire il probabile dal probabile.


Impostazioni

• classica;

• frequentista;

Definizione 2 (frequentista) Considerata una successione di prove indipendentie ripetute nelle stesse condizioni e indicando, per un dato evento E, con fN lafrequenza relativa di ”successo” sulle prime N prove si pone

P (E) = lim

N!+1fN .

• Assiomatica;

– P (E) � 0, 8E 2 A, (non-negativita);– P (⌦) = 1, (normalizzazione);– P (A _ B) = P (A) + P (B), 8A, B 2 A, tali che AB = ;, (proprieta

additiva).

• Soggettiva.


Richiami di calcolo combinatorio

Esempio 14 Tre localita A, B, C sono collegate nel seguente modo : per andare daA a B vi sono 3 percorsi distinti : p

1

, p2

, p3

; da B a C vi sono 2 percorsi distinti :s

1

, s2

.

&%'$

Ap

1

p2

p3

&%'$

Bs

1

s2 &%

'$C

I percorsi distinti (per almeno un tratto) che vanno da A a C passando per B nonsono 3 + 2, ma 3 ⇥ 2 = 6, cioe i seguenti :

(p1

, s1

) , (p1

, s2

) , (p2

, s1

) , (p2

, s2

) , (p3

, s1

) , (p3

, s2

) .

Il principio della moltiplicazione interviene spesso nel calcolo combinatorio.


Nell’Esempio 14 la scelta di un percorso richiede l’esecuzione di una procedura in duepassi, con un certo numero di alternative in ogni passo:

1. si sceglie il tratto da A a B (3 alternative);

2. si sceglie il tratto da B a C (2 alternative);

il numero di modi in cui si puo svolgere l’intera procedura e pari al prodotto delle alternativein ogni passo (3 ⇥ 2 = 6).

Ogni percorso corrisponde ad una coppia ordinata (pi, sj) , i = 1, 2, 3; j = 1, 2.


Disposizioni

In generale, dato un insieme S formato da n oggetti a1

, a2

, . . . , an, puo essere utilecontare, per un intero r, il numero di disposizioni o gruppi ordinati distinti (↵

1

, . . . , ↵r),con ↵i 2 S, i = 1, . . . , r, che si possono formare utilizzando gli elementi di S.

Due gruppi ordinati di↵eriscono se contengono almeno un elemento diverso oppure secontengono gli stessi elementi ma in ordine diverso. Per scegliere un gruppo ordinato siesegue una procedura di r passi.


Disposizioni

Disposizioni con ripetizione. Le componenti ↵1

, . . . , ↵r possono essere (in parte oanche tutte) coincidenti. In questo caso si parla di disposizioni con ripetizione di classe r

di n oggetti. Le alternative in ogni passo sono sempre n; pertanto, in base al principiodella moltiplicazione visto nell’Esempio (14), indicando con D0

n,r il numero di disposizionicon ripetizione si ha

D0n,r = n ⇥ · · · ⇥ n = n

r. (5)

Disposizioni semplici o senza ripetizione. Se ↵i 6= ↵j, per i 6= j. In questo caso siparla di disposizioni semplici o senza ripetizione (di classe r di n oggetti) e dev’essereovviamente r n. Indicando con Dn,r il numero di disposizioni senza ripetizione si ha

Dn,r = n(n � 1) · · · (n � r + 1) . (6)

In particolare, per r = n si ha n � r + 1 = 1, da cui segue :

Dn,n = n ⇥ (n � 1) · · · ⇥ 2 ⇥ 1 = n! . (7)


Permutazioni

Il numero di disposizioni di n oggetti di classe n, cioe Dn,n, si indica con Pn, e rappresentail numero di permutazioni o ordinamenti di n oggetti.

Pn = n!

l simbolo n! si legge n fattoriale e rappresenta il prodotto di tutti i numeri da 1 sino a n.Ad esempio : 3! = 3 ⇥ 2 ⇥ 1 = 6 ; 5! = · · · = 120.Per convenzione si pone 0! = 1. La definizione di n! puo esser data in forma ricorsiva:

n! =

(n ⇥ (n � 1)! se n 2 N1 se n = 0.

(8)

Inoltre :

Dn,r = n(n � 1) · · · (n � r + 1) =

n!

(n � r)!. (9)

Ad esempio : D5,2 = 5 ⇥ 4 =

5!

3!

; D10,4 = 10 ⇥ 9 ⇥ 8 ⇥ 7 =

10!

6!

.


Combinazioni

Consideriamo per l’insieme S = {a1

, a2

, . . . , an} il calcolo del numero di gruppi nonordinati distinti [↵

1

, . . . , ↵r], dove ↵i 2 S, i = 1, . . . , r, che si possono formareutilizzando gli elementi di S.

Due gruppi non ordinati si dicono distinti se di↵eriscono per almeno un elemento.

Distinguiamo due casi:

• ↵i 6= ↵j, se i 6= j. In questo caso si parla di combinazioni semplici (di classe r di n

oggetti) e dev’essere ovviamente r n. Ogni combinazione semplice rappresenta unsottoinsieme di r oggetti di S e si indica con il simbolo {↵

1

, . . . , ↵r}.• le componenti ↵

1

, . . . , ↵r possono essere (in parte o anche tutte) coincidenti. Inquesto caso si parla di combinazioni con ripetizione (di classe r di n oggetti).


Combinazioni Semplici. Il numero di combinazioni semplici si indica con il simbolo Cn,r

e rappresenta il numero di sottoinsiemi distinti di r oggetti che si possono formare con glielementi di S.

Osservando che ogni combinazione semplice da luogo ad r! disposizioni semplici (distinteper l’ordine), segue:

Dn,r = r! ⇥ Cn,r ,

e quindi :

Cn,r =

Dn,r

r!=

n!

r!(n � r)!=

✓n

r

◆. (10)

Il simbolo

✓n

r

◆si legge coe�ciente binomiale n su r. Ovviamente essendo:

✓n

r

◆=

✓n

n � r

◆=

n!

r!(n � r)!,

segue che Cn,r = Cn,n�r.


Esempio

Si ha �2

0

�=

2!

2!0!

= 1�n0

�=

n!

n!0!

= 1�nn

�=

n!

0!n!

= 1�90

6

�=

90!

6!84!

=

90·89·88·87·86·85·84!6!84!

Un’altra formula utile e la seguente :

✓n

r

◆=

✓n � 1

r � 1

◆+

✓n � 1

r

◆,

ovvero: Cn,r = Cn�1,r�1

+ Cn�1,r. Infatti si ha

⇣n

r

⌘=

n!

r!(n � r)!=

(n � r + r) · (n � 1)!

r!(n � r)!=

=

r(n � 1)!

(r � 1)!r(n � r)!+

(n � r)(n � 1)!

r!(n � r)(n � r � 1)!


Proprieta del coe�ciente binomiale

1.�n

k

�=

n!

k!(n�k)!

2.�n

0

�=

�nn

�= 1;

�n1

�=

� nn�1

�= n;

3.�n

k

�=

� nn�k

�, k = 0, 1, . . . , n;

4.�n

k

�=

�n�1

k�1

�+

�n�1

k

�

5. 2

n=

Pnk=0

�nk

�

6.�n

k

�=

nk

�n�1

k�1

�

Figura 15: Triangolo di Pascal o di Tartaglia: Ogni numero (non di frontiera) nel triangoloe la somma dei due numeri superiori,

�nk

�=

�n�1

k�1

�+

�n�1

k

�


Binomio di Newton

Osserviamo che, volendo costruire un generico sottoinsieme I ✓ S, si deve eseguire unaprocedura di n passi, con 2 alternative in ogni passo. Infatti, occorre decidere per ciascunodegli elementi a

1

, . . . , an se includerlo oppure no in I.

Pertanto, il numero di sottoinsiemi di S, compreso il sottoinsieme vuoto ; e lo stesso S, edato da

nX

r=0

✓n

r

◆= 2

n,

come segue anche dalla formula del binomio di Newton ponendo a = b = 1:

(a + b)n

=

nX

k=0

✓n

k

◆a

kb

n�k=

nX

k=0

✓n

k

◆a

n�kb

k


Dimostriamo per induzione lo sviluppo della potenza n-esima di un binomio, ovvero di

(a + b)n

=

nX

k=0

⇣n

k

⌘a

kb

n�k=

nX

k=0

⇣n

k

⌘a

n�kb

k, n 2 N (11)

E’ facile osservare che la (11) e vera per n = 1 per n = 2,. Infatti si ha

(a + b)1

=

1X

k=0

⇣1

k

⌘a

1�kb

k=

⇣1

0

⌘a

1�0

b0

+

⇣1

1

⌘a

1�1

b1

= a + b

(a + b)2

=

2X

k=0

⇣2

k

⌘a

2�kb

k=

⇣2

0

⌘a

2�0

b0

+

⇣2

1

⌘a

2�1

b1

+

⇣2

2

⌘a

2�2

b2

Supponiamo che la (11) sia valida per n � 1 e dimostriamo che la (11) e vera per n .Sia per ipotesi

(a + b)n�1

=

Pn�1

k=0

�n�1

k

�an�1�kbk

=

= an�1

+

�n�1

1

�an�2b +

�n�1

2

�an�3b2

+

+ . . . +

�n�1

k

�an�1�kbk

+ . . . +

�n�1

n�2

�abn�2

+ bn�1.

(12)


Moltiplicando ambo i membri della (12) per (a + b), si ricava

(a + b)n= a

⇥an�1

+

�n�1

1

�an�2b +

�n�1

2

�an�3b2

+

+ . . . +

�n�1

k

�an�1�kbk

+ . . . +

�n�1

n�2

�abn�2

+ bn�1

⇤+

+b⇥an�1

+

�n�1

1

�an�2b +

�n�1

2

�an�3b2

+

+ . . . +

�n�1

k

�an�1�kbk

+ . . . +

�n�1

n�2

�abn�2

+ bn�1

⇤=

= an+ [1 +

�n�1

1

�]an�1b + [

�n�1

1

�+

�n�1

2

�]an�2b2

+ . . .

+[

�n�1

k�1

�+

�n�1

k

�]an�kbk

+ . . . + [

�n�1

n�2

�+

�n�1

n�1

�]abn�1

+ bn.(13)

Ricordiamo che si ha

1 +

�n�1

1

�=

�n�1

0

�+

�n�1

1

�=

�n1

��n�1

1

�+

�n�1

2

�=

�n2

��n�1

2

�+

�n�1

3

�=

�n3

�...�n�1

k�1

�+

�n�1

k

�=

�nk

�...�n�1

n�2

�+

�n�1

n�1

�=

� nn�1

�.

Pertanto la relazione (13) diventa

(a + b)n=

= an+

�n1

�an�1b +

�n2

�an�2b2

+ . . . +

�nk

�an�kbk

+ . . . +

� nn�1

�abn�1

+ bn=

=

Pnk=0

�nk

�an�kbk.


⇧

Esempio 15 (Ambo nel Gioco del Lotto) Si vuole valutare la probabilita dell’uscitadi un fissato ambo(ad es. 1,10).Poiche non interessa l’ordine con il quale compaiono gli elementi dellacinquina l’insieme dei casi possibili che possono essere giudicati ugualmente possibili ecostituito dalle cinquine che si possono formare con 90 numeri. il loro numero e

�90

5

�.

Pertanto la probabilita di ogni cinquina e 1

(

90

5

)

. I casi favorevoli all’evento “uscita

dell’ambo” sono le cinquine che assieme ai numeri 1 e 10 contengono altri tre intericompresi tra 1 e 90. Il loro numero e pari a

�88

3

�. La probabilita cercata e data da

p =

�88

3

��

90

5

� = 0.00249.

Si sarebbe pervenuto allo stesso risultato se avessimo considerato come casi possibili ledisposizioni di 90 numeri in 5 posti (in numero pari a

�90

5

�· 5!) e come casi favorevoli

le cinquine ordinate in cui compaiono i numeri 1 e 10 (in numero pari a�

88

3

�· 5! ).


Formula di Stirling

n! ⇠p

2⇡nn+

1

2e�n


Esercizi di Calcolo Combinatorio

Esercizio 3 Supponendo di estrarre 5 carte da un mazzo di 52. Calcolare la probabilitadei seguenti eventi:

1. A=“Si ottiene una sola Coppia”

2. B=“Si ottiene una Doppia Coppia”

3. C=“Si ottiene Poker”

4. E=“Si ottiene il Full”

Osserviamo che i casi possibili giudicati ugualmente possibili, poiche non interessal’ordine con il quale compaiono gli elementi e pari a m =

�52

5

�= 2598960 (vedi

http://en.wikipedia.org/wiki/Poker_probability)).

1. Coppia. Osserviamo che la coppia puo essere di ciascuno dei 13 ranghi e di 2 dei 4semi. Le rimanenti 3 carte possono essere qualsiasi 3 dei rimanenti 12 ranghi e ciascunacarta puo essere di 1 qualsiasi dei 4 semi. Quindi, il numero totale di casi favorevoliall’evento A e pari a

rA =

⇣13

1

⌘⇣4

2

⌘⇣12

3

⌘⇣4

1

⌘⇣4

1

⌘⇣4

1

⌘= 1098240 .


Pertanto si ha

P (A) =

rA

m=

�13

1

��4

2

��12

3

��4

1

�3

�52

5

� =

�13

1

��4

2

��12

3

��4

1

�3

5!

52 · 51 · 50 · 49 · 48=

1098240

2598960

=

352

833

= 0.4226.

2. Doppia Coppia. Le due coppie possono essere qualsiasi 2 dei 13 ranghi e ciascunacoppia puo essere di 2 dei 4 semi. La carta rimanente puo essere 1 qualsiasi dei rimanenti11 ranghi e di 1 qualsiasi dei 4 semi. Quindi si ha

P (B) =

�13

2

��4

2

�2

�11

1

��4

1

��

52

5

� =

�13

2

�· (

4

1

)

·(

3

1

)

2

· (

4

1

)

·(

3

1

)

2

11 ·�

4

1

��

52

5

� =

=

13·12·4·3·4·3·11·42·2·2

52 · 51 · 50 · 49 · 48= ...

4. Poker

P (C) =

�13

1

��4

4

��12

1

��4

1

��

52

5

�

...

4. Full

P (E) =

�13

1

��4

3

��12

1

��4

2

��

52

5

�


Esercizio 4 (de Mere ) Giocando a dadi e piu probabile ottenere almeno una volta 6con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 6 con 24 lanci di due dadi?

Esercizio 5 Se in una stanza ci sono n persone qual e la probabilita che almeno duepersone festeggino il compleanno nello stesso giorno dell’anno1. Sugg. Considerarel’evento ”tutti gli n compleanni sono diversi”.

1R. von Mises, ’Uber Aufteilungs- und Besetzungs-Wahrscheinlichkeiten, Revue de la Faculte des Sciences de l’Universit ed’Istanbul, N. S. vol. 4 (1938-39), pp. 145-163. W. Feller, Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. 1, 3rd ed.S. Ross, Calcolo delle Probabilita, Apogeo, 2007, Capitolo 2


Problema delle concordanze

Da completare . . .

P (Ac1

Ac2

· · ·Acn) =

nX

k=0

(�1)

k 1

k!


Combinazioni con ripetizione.2

Infine, in relazione al numero C 0n,k di combinazioni (con ripetizione) di classe k di n

oggetti, con un opportuno ragionamento combinatorio si potrebbe verificare che risulta :

C0n,k =

✓k + n � 1

k

◆=

✓k + n � 1

n � 1

◆.

In particolare si dimostra che il numero di soluzioni intere non negative di un’ equazione

x1

+ x2

+ . . . + xn = k

e pari a ⇣k + n � 1

k

⌘=

⇣k + n � 1

n � 1

⌘

.

2Questo argomento verra trattato in seguito


Infatti, supponiamo di disporre k palline (indistinguibili) in n urne, dove xr ,r = 1, . . . , n

individua il numero di palline presenti nella r � esima urna. Il numero di dislocazionidistinte (poiche le palline sono indistinguibili si ha che due dislocazioni saranno distintese esiste almeno un’urna che nelle due dislocazioni ha un numero diverso di palline) edato appunto dalle combinazioni con ripetizione di n elementi di classe k. Osserviamoper analogia che le n urne individuano gli n elementi e per ogni dislocazione il numero dipalline contenute nella r � esima urna individua il numero di ripetizioni (potendo esserenullo) dell’oggetto r � esimo.

Scambiando k con n si ha

C0k,n =

⇣n + k � 1

n

⌘=

⇣n + k � 1

k � 1

⌘

e l’equazione divienex

1

+ x2

+ . . . + xk = n.


Coe�ciente multinomiale.3

Dati k interi nr � 0, r = 1, 2, . . . , k, tali che n1

+ n2

+ · · · + nk = n, si definiscecoe�ciente multinomiale il seguente:

n!

n1

!n2

! · · ·nk!.

Esso individua il numero di modi in cui n palline distinte si possono ripartire in k urne inmodo che la r � esima urna contenga nr elementi.

scatola 1 scatola 2 . . . scatola nn

1

n2

. . . nk

Infatti, indicando con Ui, i = 1 . . . k la generica urna, vi sono� n

n1

�scelte possibili per le

palline dell’urna U1

; per ognuna di tale scelta vi sono�n�n

1

n2

�scelte possibili per le palline

dell’urna U2

; per ogni scelta fatta nelle urne U1

, U2

vi sono�n�n

1

�n2

n3

�scelte possibili

per le palline dell’urna U3

; e cosı via sino ad avere�n�n

1

�...�nk�1

nk

�scelte possibili per le

palline dell’urna Uk. Dalla regola della moltiplicazione si ottiene

3Questo argomento verra trattato in seguito


⇣ n

n1

⌘⇣n � n1

n2

⌘⇣n � n1

� n2

n3

⌘. . .

⇣n � n1

� . . . � nk�1

nk

⌘=

n!(n � n1

)!(n � n1

� n2

)! · · · (n � n1

� . . . � nk�1

)

n1

!(n � n1

)!(n � n1

� n2

)!n2

! · · · 0!nk!=

n!

n1

!n2

! · · ·nk!,

dove nk = n � (n1

+ n2

+ · · · + nk�1

).

Esempio 16 Dieci ragazzi vogliono formare tre squadre di calcetto, due con cinquecomponenti e una con sei componenti. Le suddivisioni possibili sono date da

16!

5!5!6!

= 2

0018

0016.

Esempio 17 La probabilita di ottenere un poker (evento C) estraendo 5 carte da unmazzo di 52 carte e pari a

P (C) =

�13

1

��4

4

��12

1

��4

1

��

52

5

�


Osserviamo che�

13

1

��12

1

�=

�13

1,11,1

�, quindi

P (C) =

�13

1,11,1

��4

4

��4

1

�

�52

5

� .

Inoltre si ha ⇣13

1

⌘⇣12

1

⌘=

⇣13

11, 1, 0, 0, 1

⌘

Piu in generale indicando, tra i casi favorevoli, con d0

il numero di ranghi che nondevono comparire, con d

1

il numero di ranghi singoli che devono comparire, con d2

ilnumero di ranghi doppi che devono comparire, con d

3

il numero di ranghi tripli chedevono comparire e con d

4

il numero di ranghi quadrupli che devono comparire, per ilpoker si ha (d

0

, d1

, d2

, d3

, d4

) = (11, 1, 0, 0, 1).Denotiamo con d = (d

0

, d1

, d2

, d3

, d4

) il vettore di molteplicita dei ranghi. Percalcolare la probabilita che estraendo 5 carte si ottenga un fissato vettore d =

(d0

, d1

, d2

, d3

, d4

) si puo usare la seguente formula

P (d) =

�13

d0

,d1

,d2

,d3

,d4

�Q4

i=0

�4

i

�i

�52

5

� .

Le probabilita di ottenere poker, tris, doppia coppia e coppia si possono facilmentecalcolare utilizzando la formula precedente (vedi Figura 16).


1 Review of Probability

Table 1.3 The five-card poker-hand frequencies. For each expression that is the of two the first is the number of ways to choose the hand's and the second is the number of ways to choose the suits for the chosen denominations.

rank number of ways

flush* ( \0) (i) 40

four of a kind ( 1:3 ) [C) (4)J lLl,O.O.l 1 4 624

full house [ (i)] 3,744

flush [ - (\0) J (i) 5,108

C2) [(i) 5- 10,200

three of a kind [ (i) 2 (i)] 54,912

two ( 1'l HCH4)2J 10, 1,2,0.0 l 2

one ( 1:3 )W):3(4)J n.:u.o,o " 1 2 1,098,240

no pair [C;') (\0)] [(i)5- 1,302,540

smn 2,598,960

flush

1.1.11. sequences. F'or the purposes of this need to know only a few of the rules of twenty-one, or blackjack.

vVe assume that the game is dealt from a single standard 52-card deck. Aces have value 1 or 11 as specified below, court cards (J, Q, K) have value 10, and every other card has value equal to its nominal value. Suits are irrelevant. The dealer receives two cards initially (one face up) and additional cards one at a time as needed to achieve a total of 17 or greater. The first ace has value 11 unless that would result in a total greater than 21, in which case it has value 1. Every subsequent ace has value 1. A total that includes an ace valued as 11 is called a soft total; every other total is called a ho.-rd totrtl. For if the dealer is dealt he then has a soft total of 16 and

another card. If his third card is a 6, he then has a hard total of 12 and another card. If his fourth card is a 7, he then has a hard total of 19, which is his final total.

Let us define a twenty-one-deale-r sequence to be a finite sequence a 1 , ••• , ak

of integers, none of which exceeds 10, and at most four of which are 1 L n _1 ,. __ L. 4-hr.

1.1 Combinat.orics and Probability 9

smallest .j 2': 2 for \Vhich

a 1 + · · · + a:i 2': 17

or t E {a 1 , ... , aj} and 7 :::; a 1 + · · · + a:i :::; 11.

Observe that (1.14) signifies a hard total of a 1 + · · · + ai and that, since 1s play the role of aces, (1.15) signifies a soft total of a1 + · · · + aj + 10. the order of the terms is crucial: 8, 8, 10 is a twenty-one-dealer sequence bnt 10, 8, 8 and 8, 10, 8 are not. In general, if a 1 , ... , ak is a twenty-one-dealer sequence, then its length k satisfies 2 :::; k :::; 10.

How many twenty-one-dealer sequences are there? vVe do not know how to answer this question using combinatorial analysis. Therefore, we resort to the crude but effective method of enumerating all such sequences. By ordering them in reverse-lexicographical order, we ensure that no sequence is overlooked. The list is displayed in Table 1.4, and we see that the answer to our question is 48,532.

Although the twenty-one-dealer sequences are obviously not equally likely, we can nevertheless apply Theorem 1.1.1 to find the probability of each such sequence. Letting

k1 := 1 { 1 :::; i :::; k : a; = j} I, j=1,2, ... ,10, (1.16)

we find that the probability of the twenty-one-dealer sequence 0.1, a2, ... , ak:

is (4)k,, (4)k2 • • • (4)k:9 (16)k,o

(52)k ( 1.17)

Here the random experiment consists merely of dealing out k cards in suc-cession.

\Ve now regard these 48,532 sequences as the outcomes of a random ex-periment and use Table 1.4 and ( 1.1) to find the probabilities of the various possible dealer final totals. The totals of interest are 17, 19, 20. and 21, with 22-26 collectively describing a dealer bust. Further, a two-card 21 (a natuml) :-;hcmld be distinguished from a 21 comprising three or more cards.

For example.

P(dealer h2L"> two-card 21) = P(lO, 1) + P(l. 10)

= 2 (4)1 (16h = 32 >=:::: 0.048265460.

(52)2 663 ( 1.18)

The remaining cases require the use of a computer, and n;snlts are displayed in Table 1.5. . •

Vve have limited our attention so far to finite sample spaces, bnt this is far too restrictive. \Ve could extend (1.1) to countably infinite sample

J • .L: ___ , f,,..,.. rnr.-..Y<)r-.L-_, 1-hn r::::!nrinrn

Figura 16:


sanfilippo

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Calcolo delle Probabilit`a - S.T.A.D. 2012-2013 Cenni storici · Il primo libro sul gioco...

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