FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del  19/05/2014   Problema 1 Una densità di carica lineare uniforme λ, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme σ, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio R e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo. Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all’esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo? Svolgimento Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo: !Efilo ⋅d

!S =

S∫ Efilo ⋅2πrh =

λhεo

⇒!Efilo(r) =

λ2πεor

r̂ ,

Per il cilindro cavo invece si ha: !Esup ⋅d

!S =

S∫ Esup ⋅2πrh =

σ 2πRhεo

⇒!Esup (r) =

Rσrεo

r̂ .

Sommando si ottiene: !E(r) =

"Esup (r)+

"Efilo(r) =

1εor

σR+ λ2π

!

"#

$

%& r̂ .

Imponendo Efilo(r)+Esup (r) = 2Efilo(r) si ha: 1εor

σR+ λ2π

!

"#

$

%&=

λεoπr

,

da cui σ =λ2πR

Problema 2 Un protone, massa m e carica q, si muove in un campo d'induzione magnetica costante di modulo B. I) Se la velocità iniziale è perpendicolare al campo e vale v, descrivere la legge oraria del moto della particella? II) Il protone è inserito in un condensatore a piatti piani e paralleli, distanti d, e ha velocità v parallela ai piatti. Nel condensatore c'è lo stesso campo di induzione magnetica, ortogonale a v e al campo elettrico. Che d.d.p bisogna applicare ai capi del condensatore affinché la velocità resti costante? Svolgimento Sul protone agisce la forza di Lorentz

BvqFB

!!!×⋅= ,

che è costantemente perpendicolare alla traiettoria. Pertanto il protone descrive una traiettoria circolare: Essendo poi la forza di Lorentz a lavoro nullo il modulo della velocità è costante. La legge oraria è data da:

tt ⋅=ωθ )( , dove ω è la velocità angolare corrispondente a:

ω =vR= costan te ,

con R raggio della circonferenza. Si ha inoltre che:

RvmmaqvBF rB

2

=== ⇒ mvqRB = . (*)

Dalla (*) si ha mqBRv // = , e quindi:

tmqBt ⋅=)(θ ,

con

ω ≡qBm=emB .

ii) Posta ΔV la d.d.p. tra le armature del condensatore. Sul protone agiscono la forza elettrica di Coulomb e la forza di Lorentz (sia k è il versore relativo al campo elettrico=:

( ) ( )kEvBqkqvBkqEBvqEqFFF BEˆˆˆ −=⋅+−=×+=+=

!!!!!!

Affinché la velocità resti costante si deve avere che 0=+= BB FFF

!!!, ossia

vBE = ⇒ vBdV=

Δ ⇒ ΔV = d ⋅ v ⋅B .

Problema 3 Due correnti i1 e i2 scorrono con versi opposti su due cilindrici co-assiali di raggi rispettivamente R1 e R2 e lunghezza indefinita. Determinare il modulo del campo magnetico a distanza r1< R1 e r2> R2 dall’asse dei cilindri. Svolgimento Per il teorema della circuitazione di Ampere applicato ad una circonferenza di raggio r1 e centro sull’asse dei due gusci, si trova ∫ ===⋅ 02)()( 0111 concirrBsdrB µπ

!! 0)( 1 =⇒ rB ,

essendo nulla la corrente concatenata alla circonferenza di raggio r1.

Per il calcolo del modulo di )( 2rB!

si ha invece: !B(r2 ) ⋅d

!s = B(r2 )2πr2 = µ0iconc = µ0 i1 − i2( )!∫ ⇒ B(r2 ) =µ0i1 − i22πr2

.

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    COGNOME    N  MATRICOLA     Esercizio 1 Nei punti P1 (a,0) e P2(0,a) del piano Oxy sono disposte due cariche puntiformi uguali con carica Q. Determinare i) la differenza di potenziale tra i punti O(0,0) e D(a,a) e tra i punti D e B (a / 2,a / 2 ) ; ii) il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica puntiforme q che si muove da D ad O. Svolgimento i) Ponendo il potenziale all’infinito uguale a zero si ha:

V (A) =V1(D)+V2 (D) =14πε0

QxD

+14πε0

QyD

= 2 14πε0

Qa

,

con xD = yD = DP1 = DP2 = a ;

V (O) =V1(O)+V2 (O) =14πε0

QxO+

14πε0

QyO

= 2 14πε0

Qa

,

con xO = yO =OP1 =OP2 = a . La differenza di potenziale tra O e D è nulla: ΔV1 =V (O)−V (D) = 0 . Si ha poi:

V (C) =V1(C)+V2 (C) =14πε0

Qxc+

14πε0

Qyc= 2 ⋅ 2 1

4πε0Qa

,

poiché xC = yC =CP1 =CP2 = a / 2

ΔV2 =V (C)−V (A) = 2 ⋅14πε0

Qa

2 −1( ) .

ii) Il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalle due cariche per spostare q da A a O è nullo: LAO = −q ⋅ ΔV1 = 0 , Esercizio 2 (Vedi Mencuccini Silvestrini es II.11) Tre  condensatori  di  capacità  CA  =  C,  CB  =  2C  e  CC  =  3C  rispettivamente,  sono  disposti  come  in  figura.  L'elettrodo  (A)  del  condensatore  di  capacità  CA  è  tenuto  a  potenziale  V1  =  20  V,  mentre  l'elettrodo  (B)  del  condensatore  di  capacità  CB  è  tenuto  a  potenziale  V2  =  80  V.  

Qual  è  il  potenziale  V3  dell'elettrodo  (C)  del  condensatore  di  capacità  CC?     Esercizio 3 Un filo conduttore rettilineo di lunghezza indefinita è percorso da corrente I. Un cilindro conduttore cavo, con asse coincidente con il filo, di raggio interno R1 e raggio esterno R2 è percorso da una densità di corrente J uniforme con direzione opposta a I. Determinare se e a che distanza dall’asse del sistema il campo d'induzione magnetica è nullo.    Svolgimento Il campo di induzione magnetica in un generico punto dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei campi dovuti alle correnti che percorrono il filo e il cilindro:

)()()( rBrBrB cilindrofilo

!!!+= .

E' evidente che il campo B non può essere nullo all'interno cilindro cavo essendo dovuto solo dalla corrente che percorre il filo indefinito

rirBfilo π

µ2

)( 0= .

All’esterno del cilindro, 2Rr > , per la legge di Ampere si trova:

!B(r) =

!Bfilo(r)+

!Bcilindro(r) =

µ0i2πr

−µ0Jπ R2

2 − R12( )

2πr

"

#$$

%

&''t̂ ,

B  A  

C  

V2  V1  

V3  

Se | Bfilo(r) |>|!Bcilindro(r) |

per r > R2 non c'è alcun punto nello spazio in cui il campo si

annulla.

Se | Bfilo(r) |=|!Bcilindro(r) | per r > R2 il problema è banale.

Per 21 RrR << si ha:

( ) trRrJ

rirBrBrB cilindrofilo

ˆ22

)()()(2100⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=+=

ππµ

πµ!!!

.

Il valore del campo di induzione magnetica è zero per

( ) 021

2 =−− RrJi π ⇒ r = iπ J

+ R12 .

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    COGNOME    N  MATRICOLA    Problema 1 Una densità di carica volumetrica ρ costante è distribuita su sfera di raggio R1. Una seconda sfera vuota di raggio R2, contenente la prima e con essa concentrica, ha una densità superficiale di carica costante σ. Il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r < R2). Svolgimento a) Utilizzando il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria sferica, imponendo la condizione che 0=E

! per r > R2, si ha:

!E ⋅d!S =

S2

∫ Qtot

εo=1εo

ρ43πR1

3 +σ 4πR22#

$%

&

'(= 0⇒ ρ = −3σ R2

2

R13 ,

essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura. b) Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≥ r : E ⋅dS =

S1

∫ E ⋅ 4πr2 = ρεo

43πr3 ⇒ E(r) = −σ R2

2rεoR1

3

Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≤ r < R2: E ⋅dS =

S1

∫ E ⋅ 4πr2 = ρεo

43πR1

3 ⇒ E(r) = −σ R22

εor2

Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere. Il segno meno indica direzione entrante. Problema 2 Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B? b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?  

R

R

2R

R

R

2R

A  

B  

E

E

Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = 2E /8R = E/4R La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e i = 2E /4R = E/2R, pertanto W = E i = E2/2R Problema 3 Un campo magnetico B(t) uniforme, variabile nel tempo secondo la legge B(t)=Bo exp(-t/τ), è presente in una regione di spazio in cui è posta una spira circolare di raggio r. La spira giace in un piano perpendicolare a B ed è caratterizzata da una resistenza interna R. Quale sarà il valore di R e se al tempo t* l’intensità di corrente indotta vale I? In che verso circola la corrente indotta? Svolgimento Il flusso del campo magnetico B

! nella spira è:

Φ!B( ) =

!B

S∫ ⋅ n̂dS = BS = πr2Boe

−t/τ .

Pertanto si che la corrente indotta è data da:

i(t) = εR= −

1Rddt

Φ(B)[ ] = −πr2BoτR

e−t/τ .

Se al tempo t* i(t*) = I si ricava che :

R = πr2Boτ I

e−t*/τ .

 Assumendo che il campo magnetico sia diretto lungo l'asse z positivo, e quindi che la spira giace sul piano xy, la corrente circola in verso antiorario.    

FISICA  GENERALE  II  prova  scritta  del      NOME    COGNOME    N  MATRICOLA     Problema 1 Una carica elettrica, caratterizzata da una densità di carica dipendente dal raggio secondo la legge ρ(r)= a(r–3/4R), è distribuita su una sfera di raggio. Determinare: i) il campo elettrico E

!generato dalla distribuzione di carica; ii) la

differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito. Svolgimento i) Il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è radiale per la simmetria sferica del problema. i)Applicando il teorema di Gauss a) per r ≤ R si ha:

!E(r)d

!S

S∫ =

Qint (S)ε0

⇒ E(r)4πr2 =ρ(r)dτ

τ

∫ε0

=a(r −3 / 4R)4πr2 dr

0

r

∫ε0

,

E(r)4πr2 = πar3

ε0(r − R) ,

da cui si ha E(r ≤ R) = a

4ε0(r − R)r ;

b) per Rr > :

04)

43()(

4)()(0

0

2

0

2

0

=−

==⇒=∫∫

∫ ε

π

ε

τρπ

ετ

R

tot

S

drraRardrrrEQSdrE

!!,

0)( => RrE

!.

ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera è data daç

ΔV ≡V (0)−V (∞) =E(r)dr =

E(r ≤ R)dr +

E(r > R)dr = a

4ε0R

∞

∫0

R

∫0

∞

∫ r(r − R)dr0

R

∫ + 0

quindi

 

SO                R                                        

ΔV = −a4ε0

16

Problema 2 a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.

Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0

  Problema 3 Un campo magnetico disposto lungo l'asse z positivo ha modulo dato dalla legge B(x)= kx2. Una spira rettangolare posta sul piano xy ha lati a, noto, e b incognito. Questa si muove lungo x con velocità costante v. Quale sarà il valore di b affinché la forza elettromotrice indotta nella spira valga f quando il primo estremo della spira si trova in x’ e il secondo in x'+b?. Svolgimento Il flusso di B su un elemento infinitesimo di superficie dS = adx è dato da B(x)dS = kx2adx quindi

Φ(B!") = B

!"

S∫ ⋅ n̂dS = kx2adx

x

x+b

∫ = ka x3

3$

%&

'

()x

x+b

=ka3(3x2b+3b2x + b3) .

La forza elettromotrice è pertanto:

)2()3/( 2322

bxbkavdt

bxbbxdkadtd

+−=++

−=Φ

−=ε .

Imponendo che ε sia uguale a f per x=x':

ε = kav(2 ⋅ x 'b+ b2 ) = f si può ricavare b.    

FISICA  GENERALE  II      Prova  scritta  di  gennaio      Problema 1 Una sfera di raggio R1 = 25 cm è caratterizzata da una densità di carica volumetrica ρ costante. Sulla superficie di una seconda sfera di raggio R2 = 40 cm è disposta, invece, una carica elettrica caratterizzata da una densità superficiale di carica costante σ = 10-6 C/m2. Le due sfere si trovano nel vuoto e sono concentriche; la prima è massiccia, la seconda è costituita da un guscio molto sottile internamente vuoto. Sapendo che il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r < R2).

Svolgimento a) Il problema può essere risolto utilizzando la legge di Gauss e la sua simmetria sferica. Sommando le cariche contenute all’interno della sfera piena di raggio R1 e sulla superficie della sfera cava di raggio R2 rispettivamente, e imponendo la condizione che 0=E

per r > R2, segue che:

!E !d!S =

S2

" Qtot

!o=1!o

"43#R1

3 +$ 4#R22#

$%

&

'(= 0) " = *3$ R2

2

R13 + *30,1!10

*6 Cm3 ,

essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura. b) Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica S interna a S1 (R1 ≥ r ): !E !d!S =

S1

" E ! 4!r2 = "#o

43!r3 # E(r) = $$ R2

2r#oR1

3

Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica S1 che racchiude solo la prima sfera si ottiene (R1 ≤ r < R2): !E !d!S =

S1

" E ! 4!r2 = "#o

43!R1

3 # E(r) = $$ R22

#or2

R2

σ

   

 

ρ

 O

R1

 

 

Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere ed il segno meno indica direzione entrante. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato la relazione precedentemente trovata che lega ρ e σ. Problema 2 Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B? b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?  

Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = 2E /8R = E/4R La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e i = 2E /4R = E/2R, pertanto W = E i = E2/2R Problema 3 In una regione dello spazio è presente un campo magnetico B(t) uniforme, che varia nel tempo secondo la legge B(t)=Bo exp(-t/τ), con Bo= 2T e τ= 3s. Su un piano perpendicolare a B è posta una spira circolare di raggio L =10 cm e resistenza R. Determinare il verso della corrente indotta ed il valore della resistenza R della spira sapendo che l’intensità della corrente indotta al tempo t*=6s è di 0.006 A.

R

R

2R

R

R

2R

A  

B  

E

E

Svolgimento Il flusso del campo magnetico B

nella spira è:

( ) τπ /2ˆ t

oS

eBLBSdSnBB −==⋅=Φ ∫

.

In questo caso è il campo magnetico a variare e l’espressione della corrente è:

[ ] τ

τπε /

2

)(1)( to eRBLB

dtd

RRti −−=Φ−== .

Imponendo la condizione data della corrente al tempo t*=6s si ricava il valore della resistenza:

Ω==⇒= − 47.0*)(

006.0*)( */2

τ

τπ to etiBLRAti .

 Allo studente resta da definire il verso della corrente, tenendo presente che l’effetto si oppone alla causa che lo ha generato. La causa è la variazione temporale del campo magnetico che diminuisce nel tempo. Come risponde il sistema? Prova  scritta  di  febbraio    Problema 1 In una sfera di raggio R = 10 cm è distribuita una carica elettrica con densità di carica dipendente dal raggio ρ(r)= ar–3/4aR (dove a=6µC/m4). Calcolare: i) il campo elettrico E

generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di

potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito. Svolgimento i) La carica del sistema è distribuita radialmente per cui il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è anch’esso radiale )(rEE

= . In questo

E(r)    

 

SO                R                                        

caso è semplice calcolare il modulo del campo elettrico E(r) con il teorema di Gauss. Per r ≤ R si ha:

0

0

2

0

2

0

int4)4

3()(4)(

)()(

ε

π

ε

τρπ

ετ

∫ −=

∫=⇒=∫

r

S

drraRardrrrE

SQSdrE

,

E(r)4!r2 = !ar3

"0(r ! R) ,

cioè

E(r ! R) = ar4!0

(r " R) o anche !E(r ! R) = a

4!0(r " R)!r .

Per Rr > risulta:

04)

43()(

4)()(0

0

2

0

2

0

=−

==⇒=∫∫

∫ ε

π

ε

τρπ

ετ

R

tot

S

drraRardrrrEQSdrE

,

0)( => RrE

.

ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera e il punto all’infinito si può, ora, calcolare agevolmente:

!V "V (0)#V ($) =!E(r)d!r =

!E(r % R)d!r +

!E(r > R)d!r = a

4!0R

$

&0

R

&0

$

& r(r # R)dr0

R

& + 0

ovvero

!V = "a4!0

16= 2.82 #104V = 28.2kV

Problema 2 a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.

Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0

  Problema 3 Una spira rettangolare di lati a = 20 cm e b trasla in direzione x con velocità costante v=20 m/s in presenza di un campo magnetico perpendicolare ad essa e di modulo B(x)= kx2 con k= 5 T/m2. Determinare quale deve essere la lunghezza del lato b affinché la f.e.m. indotta nella spira valga f = 1 V quando x’= 10 cm. Nel disegno, linee di campo di lunghezza diversa indicano qualitativamente variazioni del campo magnetico.

Svolgimento Ai fini del calcolo del flusso scegliamo un elemento infinitesimo di superficie dS = adx, e fissiamo un verso di percorrenza antiorario per la spira:

v

d

B

G

 

a

x

 

)33(33

ˆ)( 3223

2 bxbbxkaxkaadxkxdSnBBbx

x

bx

xS

++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⋅=Φ

++

∫∫ .

La forza elettromotrice è in generale:

)2()3/( 2322

bxbkavdt

bxbbxdkadtd

+−=++

−=Φ

−=ε .

Andando ad imporre la condizione iniziale (f = 1 V quando x= 10 cm), si ottiene:

cmbVbbkavcm 5.121)1.02()10( 2 =⇒=+⋅=ε