FISICA GENERALE II prova scritta del 19/05/2014 Problema 1 Una densità di carica lineare uniforme λ, nota, è distribuita su un filo rettilineo indefinito. Una distribuzione di carica superficiale uniforme σ, ignota, è distribuita su un cilindro cavo di raggio R e avente l'asse coincidente con il filo rettilineo. Quanto vale σ affinché l'intensità del campo elettrico all’esterno del cilindro sia doppia rispetto a quella dovuta al solo filo? Svolgimento Per il teorema di Gauss si ha per il solo filo: !Efilo ⋅d
!S =
S∫ Efilo ⋅2πrh =
λhεo
⇒!Efilo(r) =
λ2πεor
r̂ ,
Per il cilindro cavo invece si ha: !Esup ⋅d
!S =
S∫ Esup ⋅2πrh =
σ 2πRhεo
⇒!Esup (r) =
Rσrεo
r̂ .
Sommando si ottiene: !E(r) =
"Esup (r)+
"Efilo(r) =
1εor
σR+ λ2π
!
"#
$
%& r̂ .
Imponendo Efilo(r)+Esup (r) = 2Efilo(r) si ha: 1εor
σR+ λ2π
!
"#
$
%&=
λεoπr
,
da cui σ =λ2πR
Problema 2 Un protone, massa m e carica q, si muove in un campo d'induzione magnetica costante di modulo B. I) Se la velocità iniziale è perpendicolare al campo e vale v, descrivere la legge oraria del moto della particella? II) Il protone è inserito in un condensatore a piatti piani e paralleli, distanti d, e ha velocità v parallela ai piatti. Nel condensatore c'è lo stesso campo di induzione magnetica, ortogonale a v e al campo elettrico. Che d.d.p bisogna applicare ai capi del condensatore affinché la velocità resti costante? Svolgimento Sul protone agisce la forza di Lorentz
BvqFB
!!!×⋅= ,
che è costantemente perpendicolare alla traiettoria. Pertanto il protone descrive una traiettoria circolare: Essendo poi la forza di Lorentz a lavoro nullo il modulo della velocità è costante. La legge oraria è data da:
tt ⋅=ωθ )( , dove ω è la velocità angolare corrispondente a:
ω =vR= costan te ,
con R raggio della circonferenza. Si ha inoltre che:
RvmmaqvBF rB
2
=== ⇒ mvqRB = . (*)
Dalla (*) si ha mqBRv // = , e quindi:
tmqBt ⋅=)(θ ,
con
ω ≡qBm=emB .
ii) Posta ΔV la d.d.p. tra le armature del condensatore. Sul protone agiscono la forza elettrica di Coulomb e la forza di Lorentz (sia k è il versore relativo al campo elettrico=:
( ) ( )kEvBqkqvBkqEBvqEqFFF BEˆˆˆ −=⋅+−=×+=+=
!!!!!!
Affinché la velocità resti costante si deve avere che 0=+= BB FFF
!!!, ossia
vBE = ⇒ vBdV=
Δ ⇒ ΔV = d ⋅ v ⋅B .
Problema 3 Due correnti i1 e i2 scorrono con versi opposti su due cilindrici co-assiali di raggi rispettivamente R1 e R2 e lunghezza indefinita. Determinare il modulo del campo magnetico a distanza r1< R1 e r2> R2 dall’asse dei cilindri. Svolgimento Per il teorema della circuitazione di Ampere applicato ad una circonferenza di raggio r1 e centro sull’asse dei due gusci, si trova ∫ ===⋅ 02)()( 0111 concirrBsdrB µπ
!! 0)( 1 =⇒ rB ,
essendo nulla la corrente concatenata alla circonferenza di raggio r1.
Per il calcolo del modulo di )( 2rB!
si ha invece: !B(r2 ) ⋅d
!s = B(r2 )2πr2 = µ0iconc = µ0 i1 − i2( )!∫ ⇒ B(r2 ) =µ0i1 − i22πr2
.
FISICA GENERALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATRICOLA Esercizio 1 Nei punti P1 (a,0) e P2(0,a) del piano Oxy sono disposte due cariche puntiformi uguali con carica Q. Determinare i) la differenza di potenziale tra i punti O(0,0) e D(a,a) e tra i punti D e B (a / 2,a / 2 ) ; ii) il lavoro compiuto dal campo per spostare una carica puntiforme q che si muove da D ad O. Svolgimento i) Ponendo il potenziale all’infinito uguale a zero si ha:
V (A) =V1(D)+V2 (D) =14πε0
QxD
+14πε0
QyD
= 2 14πε0
Qa
,
con xD = yD = DP1 = DP2 = a ;
V (O) =V1(O)+V2 (O) =14πε0
QxO+
14πε0
QyO
= 2 14πε0
Qa
,
con xO = yO =OP1 =OP2 = a . La differenza di potenziale tra O e D è nulla: ΔV1 =V (O)−V (D) = 0 . Si ha poi:
V (C) =V1(C)+V2 (C) =14πε0
Qxc+
14πε0
Qyc= 2 ⋅ 2 1
4πε0Qa
,
poiché xC = yC =CP1 =CP2 = a / 2
ΔV2 =V (C)−V (A) = 2 ⋅14πε0
Qa
2 −1( ) .
ii) Il lavoro compiuto dal campo elettrico generato dalle due cariche per spostare q da A a O è nullo: LAO = −q ⋅ ΔV1 = 0 , Esercizio 2 (Vedi Mencuccini Silvestrini es II.11) Tre condensatori di capacità CA = C, CB = 2C e CC = 3C rispettivamente, sono disposti come in figura. L'elettrodo (A) del condensatore di capacità CA è tenuto a potenziale V1 = 20 V, mentre l'elettrodo (B) del condensatore di capacità CB è tenuto a potenziale V2 = 80 V.
Qual è il potenziale V3 dell'elettrodo (C) del condensatore di capacità CC? Esercizio 3 Un filo conduttore rettilineo di lunghezza indefinita è percorso da corrente I. Un cilindro conduttore cavo, con asse coincidente con il filo, di raggio interno R1 e raggio esterno R2 è percorso da una densità di corrente J uniforme con direzione opposta a I. Determinare se e a che distanza dall’asse del sistema il campo d'induzione magnetica è nullo. Svolgimento Il campo di induzione magnetica in un generico punto dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei campi dovuti alle correnti che percorrono il filo e il cilindro:
)()()( rBrBrB cilindrofilo
!!!+= .
E' evidente che il campo B non può essere nullo all'interno cilindro cavo essendo dovuto solo dalla corrente che percorre il filo indefinito
rirBfilo π
µ2
)( 0= .
All’esterno del cilindro, 2Rr > , per la legge di Ampere si trova:
!B(r) =
!Bfilo(r)+
!Bcilindro(r) =
µ0i2πr
−µ0Jπ R2
2 − R12( )
2πr
"
#$$
%
&''t̂ ,
B A
C
V2 V1
V3
Se | Bfilo(r) |>|!Bcilindro(r) |
per r > R2 non c'è alcun punto nello spazio in cui il campo si
annulla.
Se | Bfilo(r) |=|!Bcilindro(r) | per r > R2 il problema è banale.
Per 21 RrR << si ha:
( ) trRrJ
rirBrBrB cilindrofilo
ˆ22
)()()(2100⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=+=
ππµ
πµ!!!
.
Il valore del campo di induzione magnetica è zero per
( ) 021
2 =−− RrJi π ⇒ r = iπ J
+ R12 .
FISICA GENERALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATRICOLA Problema 1 Una densità di carica volumetrica ρ costante è distribuita su sfera di raggio R1. Una seconda sfera vuota di raggio R2, contenente la prima e con essa concentrica, ha una densità superficiale di carica costante σ. Il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r < R2). Svolgimento a) Utilizzando il teorema di Gauss, sfruttando la simmetria sferica, imponendo la condizione che 0=E
! per r > R2, si ha:
!E ⋅d!S =
S2
∫ Qtot
εo=1εo
ρ43πR1
3 +σ 4πR22#
$%
&
'(= 0⇒ ρ = −3σ R2
2
R13 ,
essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura. b) Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≥ r : E ⋅dS =
S1
∫ E ⋅ 4πr2 = ρεo
43πr3 ⇒ E(r) = −σ R2
2rεoR1
3
Utilizzando il teorema di Gauss su una superficie sferica con R1 ≤ r < R2: E ⋅dS =
S1
∫ E ⋅ 4πr2 = ρεo
43πR1
3 ⇒ E(r) = −σ R22
εor2
Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere. Il segno meno indica direzione entrante. Problema 2 Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B? b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?
R
R
2R
R
R
2R
A
B
E
E
Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = 2E /8R = E/4R La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e i = 2E /4R = E/2R, pertanto W = E i = E2/2R Problema 3 Un campo magnetico B(t) uniforme, variabile nel tempo secondo la legge B(t)=Bo exp(-t/τ), è presente in una regione di spazio in cui è posta una spira circolare di raggio r. La spira giace in un piano perpendicolare a B ed è caratterizzata da una resistenza interna R. Quale sarà il valore di R e se al tempo t* l’intensità di corrente indotta vale I? In che verso circola la corrente indotta? Svolgimento Il flusso del campo magnetico B
! nella spira è:
Φ!B( ) =
!B
S∫ ⋅ n̂dS = BS = πr2Boe
−t/τ .
Pertanto si che la corrente indotta è data da:
i(t) = εR= −
1Rddt
Φ(B)[ ] = −πr2BoτR
e−t/τ .
Se al tempo t* i(t*) = I si ricava che :
R = πr2Boτ I
e−t*/τ .
Assumendo che il campo magnetico sia diretto lungo l'asse z positivo, e quindi che la spira giace sul piano xy, la corrente circola in verso antiorario.
FISICA GENERALE II prova scritta del NOME COGNOME N MATRICOLA Problema 1 Una carica elettrica, caratterizzata da una densità di carica dipendente dal raggio secondo la legge ρ(r)= a(r–3/4R), è distribuita su una sfera di raggio. Determinare: i) il campo elettrico E
!generato dalla distribuzione di carica; ii) la
differenza di potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito. Svolgimento i) Il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è radiale per la simmetria sferica del problema. i)Applicando il teorema di Gauss a) per r ≤ R si ha:
!E(r)d
!S
S∫ =
Qint (S)ε0
⇒ E(r)4πr2 =ρ(r)dτ
τ
∫ε0
=a(r −3 / 4R)4πr2 dr
0
r
∫ε0
,
E(r)4πr2 = πar3
ε0(r − R) ,
da cui si ha E(r ≤ R) = a
4ε0(r − R)r ;
b) per Rr > :
04)
43()(
4)()(0
0
2
0
2
0
=−
==⇒=∫∫
∫ ε
π
ε
τρπ
ετ
R
tot
S
drraRardrrrEQSdrE
!!,
0)( => RrE
!.
ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera è data daç
ΔV ≡V (0)−V (∞) =E(r)dr =
E(r ≤ R)dr +
E(r > R)dr = a
4ε0R
∞
∫0
R
∫0
∞
∫ r(r − R)dr0
R
∫ + 0
quindi
SO R
ΔV = −a4ε0
16
Problema 2 a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.
Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6). b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0
Problema 3 Un campo magnetico disposto lungo l'asse z positivo ha modulo dato dalla legge B(x)= kx2. Una spira rettangolare posta sul piano xy ha lati a, noto, e b incognito. Questa si muove lungo x con velocità costante v. Quale sarà il valore di b affinché la forza elettromotrice indotta nella spira valga f quando il primo estremo della spira si trova in x’ e il secondo in x'+b?. Svolgimento Il flusso di B su un elemento infinitesimo di superficie dS = adx è dato da B(x)dS = kx2adx quindi
Φ(B!") = B
!"
S∫ ⋅ n̂dS = kx2adx
x
x+b
∫ = ka x3
3$
%&
'
()x
x+b
=ka3(3x2b+3b2x + b3) .
La forza elettromotrice è pertanto:
)2()3/( 2322
bxbkavdt
bxbbxdkadtd
+−=++
−=Φ
−=ε .
Imponendo che ε sia uguale a f per x=x':
ε = kav(2 ⋅ x 'b+ b2 ) = f si può ricavare b.
FISICA GENERALE II Prova scritta di gennaio Problema 1 Una sfera di raggio R1 = 25 cm è caratterizzata da una densità di carica volumetrica ρ costante. Sulla superficie di una seconda sfera di raggio R2 = 40 cm è disposta, invece, una carica elettrica caratterizzata da una densità superficiale di carica costante σ = 10-6 C/m2. Le due sfere si trovano nel vuoto e sono concentriche; la prima è massiccia, la seconda è costituita da un guscio molto sottile internamente vuoto. Sapendo che il campo elettrico per r > R2 è nullo, determinare il valore di ρ, il campo all'interno della prima sfera (R1 ≥ r), e il campo nello spazio compreso fra le due sfere R1 ≤ r < R2).
Svolgimento a) Il problema può essere risolto utilizzando la legge di Gauss e la sua simmetria sferica. Sommando le cariche contenute all’interno della sfera piena di raggio R1 e sulla superficie della sfera cava di raggio R2 rispettivamente, e imponendo la condizione che 0=E
per r > R2, segue che:
!E !d!S =
S2
" Qtot
!o=1!o
"43#R1
3 +$ 4#R22#
$%
&
'(= 0) " = *3$ R2
2
R13 + *30,1!10
*6 Cm3 ,
essendo ρ e σ entrambi costanti rispettivamente sul volume e la superficie di integrazione. La superficie S2 è tratteggiata in figura. b) Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica S interna a S1 (R1 ≥ r ): !E !d!S =
S1
" E ! 4!r2 = "#o
43!r3 # E(r) = $$ R2
2r#oR1
3
Applicando ancora la legge di Gauss alla superficie sferica S1 che racchiude solo la prima sfera si ottiene (R1 ≤ r < R2): !E !d!S =
S1
" E ! 4!r2 = "#o
43!R1
3 # E(r) = $$ R22
#or2
R2
σ
ρ
O
R1
Il campo è diretto radialmente rispetto al centro delle sfere ed il segno meno indica direzione entrante. Nell’ultimo passaggio abbiamo usato la relazione precedentemente trovata che lega ρ e σ. Problema 2 Le pile inserite nella rete indicata in figura hanno resistenza interna trascurabile. a) Quanto vale la d.d.p. tra i punti A e B? b) Se si cortocircuitano A e B, quanto risulta la potenza erogata da ciascuna pila?
Il circuito equivalente è dato da un generatore di tensione pari a 2E e una resistenza equivalente pari a 8 R, pertanto la corrente che circola nel circuito è data da i = 2E /8R = E/4R La resistenza equivalente tra i punti A e B è pari a 4R quindi VAB = 4iR = E Quando si cortocircuitano A e B la parte destra del circuito viene "eliminata" per cui si ha che la resistenza equivalente di tutto il circuito è pari a 4R e i = 2E /4R = E/2R, pertanto W = E i = E2/2R Problema 3 In una regione dello spazio è presente un campo magnetico B(t) uniforme, che varia nel tempo secondo la legge B(t)=Bo exp(-t/τ), con Bo= 2T e τ= 3s. Su un piano perpendicolare a B è posta una spira circolare di raggio L =10 cm e resistenza R. Determinare il verso della corrente indotta ed il valore della resistenza R della spira sapendo che l’intensità della corrente indotta al tempo t*=6s è di 0.006 A.
R
R
2R
R
R
2R
A
B
E
E
Svolgimento Il flusso del campo magnetico B
nella spira è:
( ) τπ /2ˆ t
oS
eBLBSdSnBB −==⋅=Φ ∫
.
In questo caso è il campo magnetico a variare e l’espressione della corrente è:
[ ] τ
τπε /
2
)(1)( to eRBLB
dtd
RRti −−=Φ−== .
Imponendo la condizione data della corrente al tempo t*=6s si ricava il valore della resistenza:
Ω==⇒= − 47.0*)(
006.0*)( */2
τ
τπ to etiBLRAti .
Allo studente resta da definire il verso della corrente, tenendo presente che l’effetto si oppone alla causa che lo ha generato. La causa è la variazione temporale del campo magnetico che diminuisce nel tempo. Come risponde il sistema? Prova scritta di febbraio Problema 1 In una sfera di raggio R = 10 cm è distribuita una carica elettrica con densità di carica dipendente dal raggio ρ(r)= ar–3/4aR (dove a=6µC/m4). Calcolare: i) il campo elettrico E
generato dalla distribuzione di carica; ii) la differenza di
potenziale fra il centro della sfera ed un punto all’infinito. Svolgimento i) La carica del sistema è distribuita radialmente per cui il campo elettrico prodotto, sia internamente che esternamente alla sfera, è anch’esso radiale )(rEE
= . In questo
E(r)
SO R
caso è semplice calcolare il modulo del campo elettrico E(r) con il teorema di Gauss. Per r ≤ R si ha:
0
0
2
0
2
0
int4)4
3()(4)(
)()(
ε
π
ε
τρπ
ετ
∫ −=
∫=⇒=∫
r
S
drraRardrrrE
SQSdrE
,
E(r)4!r2 = !ar3
"0(r ! R) ,
cioè
E(r ! R) = ar4!0
(r " R) o anche !E(r ! R) = a
4!0(r " R)!r .
Per Rr > risulta:
04)
43()(
4)()(0
0
2
0
2
0
=−
==⇒=∫∫
∫ ε
π
ε
τρπ
ετ
R
tot
S
drraRardrrrEQSdrE
,
0)( => RrE
.
ii)La differenza di potenziale fra il centro della sfera e il punto all’infinito si può, ora, calcolare agevolmente:
!V "V (0)#V ($) =!E(r)d!r =
!E(r % R)d!r +
!E(r > R)d!r = a
4!0R
$
&0
R
&0
$
& r(r # R)dr0
R
& + 0
ovvero
!V = "a4!0
16= 2.82 #104V = 28.2kV
Problema 2 a) Per la rete mostrata in figura, calcolare la resistenza equivalente vista dai morsetti AB.
Dati: Rk = R = 8 Ω (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
b) Determinare il valore della resistenza R in maniera tale che la resistenza equivalente, vista dai morsetti AB, valga R0
Problema 3 Una spira rettangolare di lati a = 20 cm e b trasla in direzione x con velocità costante v=20 m/s in presenza di un campo magnetico perpendicolare ad essa e di modulo B(x)= kx2 con k= 5 T/m2. Determinare quale deve essere la lunghezza del lato b affinché la f.e.m. indotta nella spira valga f = 1 V quando x’= 10 cm. Nel disegno, linee di campo di lunghezza diversa indicano qualitativamente variazioni del campo magnetico.
Svolgimento Ai fini del calcolo del flusso scegliamo un elemento infinitesimo di superficie dS = adx, e fissiamo un verso di percorrenza antiorario per la spira:
v
d
B
G
a
x
)33(33
ˆ)( 3223
2 bxbbxkaxkaadxkxdSnBBbx
x
bx
xS
++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⋅=Φ
++
∫∫ .
La forza elettromotrice è in generale:
)2()3/( 2322
bxbkavdt
bxbbxdkadtd
+−=++
−=Φ
−=ε .
Andando ad imporre la condizione iniziale (f = 1 V quando x= 10 cm), si ottiene:
cmbVbbkavcm 5.121)1.02()10( 2 =⇒=+⋅=ε
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