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Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica

Secondo modulo – Parte seconda (fondamenti dei fenomeni di trasporto del calore)

Aniello (Daniele) Mennella

Dipartimento di Fisica

Aniello Mennella Corso di fisica generale con elementi di fisica tecnica A.A. 2013-2014

Lezione 5

Meccanismi di trasporto del calore


Sommario

● Trasporto per conduzione

● Trasporto per convezione

● Trasporto per irraggiamento

Abbiamo visto che il calore è l'energia che viene trasferita fra due corpi quando fra essi esista una differenza di temperatura. Abbiamo anche visto come sia possibile calcolare quest'energia in condizioni di equilibrio o flusso in stato stazionario.

In questa parte ci occupiamo di studiare i meccanismi con cui il calore viene trasferito. Questi meccanismi sono di tre tipi, ognuno dei quali si basa su un particolare meccanismo fisico


Fenomeni di trasporto del calore

Trasporto per conduzione


Osservazioni empiriche

● Immaginiamo di scaldare una sbarra di metallo a un'estremità e di misurare la temperatura in vari punti della sbarra. Osserveremo che la temperatura si alzerà fino a raggiungere un profilo che rappresenta l'equilibrio fra l'energia che forniamo con la fiamma e la dissipazione nell'ambiente.

● All'interno della sbarra il calore viene trasportato dall'estremità calda a quella fredda. Ci domandiamo: qual è il meccanismo alla base di questo trasporto?

● La temperatura è legata al movimento termico degli atomi del materiale. Quando noi scaldiamo l'estremità della sbarra gli atomi aumentano la velocità del loro movimento termico e trasmettono questa energia cinetica agli atomi vicini che, a loro volta aumentano la loro velocità.


● Sperimentalmente si osserva che la potenza termica trasferita per conduzione, (cioè la variazione di energia termica nell'unità di tempo), ha le seguenti caratteristiche:

Osservazioni empiriche

1. È direttamente proporzionale alla differenza di temperatura, ΔT (T

2 T

1), fra le due estremità

2. È direttamente proporzionale alla sezione, A, del materiale attraverso il quale si propaga il calore

3. È inversamente proporzionale allo spessore, Δx, del materiale attraverso il quale si propaga il calore

temperaturaT

1temperatura

T2


● Possiamo quindi scrivere la seguente relazione:

La legge di conduzione termica (legge di Fourier)

● La costante k è detta conducibilità termica del materiale che misura la capacità di un materiale di condurre il calore

temperaturaT

2

● Il segno “–” va messo per fare in modo che risulti una quantità positiva.

● Per Δx → 0 otteniamo la forma differenziale della legge di Fourier

detta anche legge di Fourier del trasporto del calore

temperaturaT

1


Conducibilità termica

● Se ricaviamo la conducibilità termica dalla legge di Fourier otteniamo

da cui risulta che le unità di misura di k sono W m-1 °C-1

● Come il calore specifico rappresenta la capacità di un materiale di immagazzinare energia termica, così la conducibilità termica rappresenta la capacità di un materiale di trasportare energia termica


Iso

lan

ti

Conducibilità termica

● In generale i materiali elettricamente conduttori, come il rame, l'argento, l'oro ecc., sono anche buoni conduttori termici, molto migliori rispetto a materiali isolanti come il vetro, la plastica, ecc.

● La conducibilità termica dei materiali varia su molti ordini di grandezza

Co

nd

utt

ori

● I materiali cristallini, come il diamante possono essere dotati di un'elevata conducibilità termica, pur non essendo buoni conduttori elettrici.

Cristallo


Conducibilità termica nei gas

● Nei gas il calore viene trasportato da due meccanismi: gli urti delle molecole che si muovono per moto traslazionale, vibrazionale e rotazionale e la diffusione di molecole con velocità maggiore nella direzione di quelle con velocità minore.

● Quando due molecole con diversa energia cinetica collidono, parte dell'energia cinetica della molecola con energia maggiore viene trasferita a quella con energia minore.

● Poiché la temperatura è la misura dell'energia cinetica delle molecole il trasferimento dell'energia cinetica da un punto a un altro del gas si rileva come una variazione di temperatura

● Applicando la teoria cinetica dei gas si può dimostrare che

dove M è la massa molare del gas, n è la densità di molecole e il libero cammino medio delle molecole nel gas (la distanza media che una molecola riesce a percorrere senza urtarne un'altra).


● Inoltre la relazione di proporzionalità ci dice che kgas

è generalmente indipendente dalla pressione. Infatti se aumentiamo la pressione aumenta la densità delle molecole (il che gioca a favore di un aumento di k

gas) ma diminuisce il libero cammino medio (e quindi ogni

molecola può trasferire energia su un tratto più breve). In questo modo i due effetti grosso modo si compensano e non si ha dipendenza dalla pressione.

Conducibilità termica nei gas

● Il fatto che la conducibilità termica diminuisce all'aumentare di M si spiega perché a parità di energia cinetica (temperatura) la velocità quadratica media delle molecole è inferiore per molecole di massa maggiore


Conducibilità termica nei liquidi

● Il meccanismo di trasporto del calore nei liquidi è lo stesso che per i gas (urti e diffusione).

● Nei liquidi le forze intermolecolari sono maggiori che nei gas, il che porta a una maggiore capacità di condurre il calore

● La conducibilità termica dei liquidi assume valori intermedi fra quella dei solidi e quella dei gas

● Come nei gas la conducibilità termica diminuisce all'aumentare della massa molare

● Diversamente dai gas la conducibilità termica diminuisce all'aumentare della temperatura (con lacune eccezioni, come l'acqua).

● Metalli liquidi, come il mercurio, sono i migliori conduttori termici liquidi e sono utilizzati dove è necessario ottenere un trasporto di calore efficiente in fase liquida (per esempio negli impianti nucleari)


Conducibilità termica nei solidi

● Nei solidi il calore viene trasportato da due meccanismi: la vibrazione degli atomi nella struttura del solido e il movimento degli elettroni liberi (nei materiali conduttori dove abbiamo degli elettroni nella banda di conduzione).

● Nei conduttori la conducibilità termica è dovuta per la maggior parte agli elettroni. Questo spiega perché nei metalli conducibilità elettrica e termica sono fortemente correlate (i migliori conduttori elettrici sono anche migliori conduttori termici)

● Nei materiali cristallini, come il diamante, non abbiamo elettroni in movimento, ma le vibrazioni collettive degli atomi in una struttura ordinata causano elevate conducibilità termiche

● Le leghe metalliche hanno in generale una conducibilità termica peggiore che i metalli puri. Questo perché l'inclusione di una sostanza estranea nel reticolo atomico aumenta il disordine nella struttura cristallina e riduce la distanza media di propagazione dei moti vibrazionali.


Dati di conducibilità termica


Esercizio – dissipazione attraverso un tetto

Il tetto di una casa riscaldata elettricamente la le dimensioni di 6 m x 8 m ed è spesso 25 cm. Il materiale è un cemento don una conducibilità termica k = 0.8 W / m • °C. Le temperature alle due estremità del tetto misurate nel corso di un periodo di 10 ore durante una notte sono 15°C e 4°C. Determinare (a) la potenza termica dissipata durante la notte e (b) il costo relativo assumendo un costo dell'energia elettrica di 0.15 € / kWh

● La potenza dissipata attraverso il tetto è data da:

dove A è l'area del tetto e Δx lo spessore


Esercizio – dissipazione attraverso un tetto

Il tetto di una casa riscaldata elettricamente la le dimensioni di 6 m x 8 m ed è spesso 25 cm. Il materiale è un cemento don una conducibilità termica k = 0.8 W / m • °C. Le temperature alle due estremità del tetto misurate nel corso di un periodo di 10 ore durante una notte sono 15°C e 4°C. Determinare (a) la potenza termica dissipata durante la notte e (b) il costo relativo assumendo un costo dell'energia elettrica di 0.15 € / kWh

● L'energia dissipata durante la notte, in kWh è data semplicemente da

● Il costo dell'energia dissipata durante le 10 ore è dato da:


Esercizio – misura della conducibilità

Un modo di misurare la conducibilità termica dei materiali è rappresentato nella figura. Due campioni identici del materiale di cui vogliamo misurare k sono posti uno sopra l'altro e circondati da materiale isolante. Fra i campioni si inserisce una resistenza elettrica e le due estremità sono collegate a un circuito di liquido che serve a mantenere la temperatura costante (la stessa alle due estremità). Due termocoppie sono inserite nei due campioni alla stessa distanza (a) dalla resistenza e misurano la differenza di temperatura su un tratto L (identico per le due termocoppie).

Quando si raggiungono condizioni di stato stazionario la potenza dissipata dalla conduzione di temperatura è uguale alla potenza elettrica della resistenza che può essere calcolata conoscendo la tensione e la corrente



In un esperimento vogliamo misurare la conducibilità di due cilindri di 5 cm di diametro e 10 cm di lunghezza. Le due termocoppie in ciascun campione sono posizionate a 3 cm di distanza. Dopo un transiente iniziale nella resistenza elettrica scorre una corrente di 0.4 A a 110 V ed entrambi i termometri differenziali misurano una differenza di temperatura di 15 °C. Calcolare la conducibilità termica del campione

3 cm ΔT = 15 °C

3 cm ΔT = 15 °C

Resistenza: 0.4 A, 110 V

Campione5 cm

Isolante


3 cm ΔT = 15 °C


3 cm ΔT = 15 °C


Campione5 cm ● Cominciamo a calcolare la potenza elettrica dissipata dalla resistenza

● Ora la potenza si ripartirà equamente fra i due campioni di materiale, per cui la potenza termica dissipata da ciascun campione sarà

● Applichiamo la legge di Fourier

da cui otteniamo

Isolante



● Risolviamo numericamente

1. Di che tipo di materiale potrebbe trattarsi? Un isolante? Un metallo poco conduttivo? Un buon conduttore elettrico? Un cristallo?

2. Paragonare il numero ai valori di k di materiali noti e discutere il paragone

3. Perché abbiamo bisogno di due campioni? Avremmo potuto fare la misura con un campione solo? Con quali svantaggi?

Domande possibili a valle del risultato

3 cm ΔT = 15 °C

3 cm ΔT = 15 °C


Campione5 cm

Isolante


Cp = ρ c

p, [C

p] = J / m3 • °C

● Richiamiamo il concetto di calore specifico a pressione costante, cp, che

rappresenta la quantità di calore immagazzinata da un corpo della massa di 1 kg quando la sua temperatura si innalza di 1 °C.

Capacità termica e diffusività termica

● Se moltiplichiamo cp per la densità del materiale, ρ, otteniamo quella che

viene definita capacità termica e che indichiamo con Cp. La capacità

termica rappresenta la capacità di un materiale di immagazzinare calore per unità di volume.

[cp] = J / kg • °C

● Il rapporto fra la conducibilità termica e la capacità termica viene definita diffusività termica e rappresenta la velocità con cui il calore si propaga all'interno di un materiale.


Capacità termica e diffusività termica

Diffusività termica Conducibilità termica



Trasporto per convezione


La convezione

● Quando il calore si viene trasportato grazie al movimento di un liquido o di un gas si parla di trasporto convettivo.

● Se consideriamo, ad esempio, un blocco solido che si raffredda in presenza di un flusso di aria, il calore viene dapprima trasportato dall'interno verso la superficie per conduzione e successivamente viene rimosso per convezione

● Le molecole di aria in movimento trasportano l'energia termica sia grazie al movimento causale delle molecole del gas (conduzione) che grazie al movimento fluidodinamico della massa d'aria

● Il movimento dell'aria aumenta molto l'efficienza del raffreddamento anche se rende più difficile il calcolo del trasferimento di calore


La convezione

● La convezione può essere naturale, quando il movimento dei fluidi è determinato dai gradienti termici presenti naturalmente nel sistema, forzata quando il flusso è instaurato artificialmente (mediante un ventilatore, una turbina, ecc.)

● Anche nei casi in cui vi sia un cambiamento di fase si ha un trasporto di calore convettivo (ad esempio il vapore che sale da una pentola di acqua che bolle, il movimento delle gocce di acqua che condensano su una superficie fredda).


La legge di Newton del trasporto convettivo

● Il trasporto di calore per convezione è complesso e dipende fortemente dal dettaglio delle condizioni di flusso. In generale, comunque, si osserva che la potenza termica dissipata per convezione è proporzionale al gradiente di temperatura e alla superficie del solido che attraverso la quale avviene il trasporto

● Possiamo quindi scrivere la legge generale del trasporto convettivo:

dove As e T

s sono l'area e la temperatura della superficie attraverso la

quale avviene il trasporto di calore e T∞ la temperatura in un punto

sufficientemente lontano dalla superficie. La costante h è il coefficiente di trasporto convettivo (unità di misura: W / m2 • °C).


Il coefficiente di trasporto convettivo

● Il coefficiente di trasporto convettivo non è una proprietà intrinseca né del materiale che dissipa il calore né del fluido utilizzato per la convezione

● Va determinato sperimentalmente e il suo valore dipende dal tipo di fluido, dalle condizioni di flusso (laminare o turbolento), dalla rugosità della superficie, dalla velocità del flusso, ecc.

● Nella tabella vediamo gli intervalli di variazione tipici di questo coefficiente per alcuni casi di rilievo


Il numero di Nusselt

● Consideriamo il trasferimento di calore fra due superfici (a temperature T2 > T1) attraverso uno strato di spessore L attraverso il quale vi sia un flusso di un fluido

● Il flusso (potenza per unità di superficie) trasportato per conduzione sarà

● Il flusso trasportato per convezione sarà

● Il rapporto fra i due flussi (che viene definito numero di Nusselt) è

e rappresenta quanto è efficace la convezione rispetto alla conduzione nel trasporto di calore


Convezione in flusso laminare e turbolento

● Il movimento del fluido può avvenire in condizioni di flusso laminare (quando la velocità degli strati del fluido è regolare e orientata lungo la direzione del flusso) o turbolento (nel qual caso il fluido si muove di moto caotico con grande variabilità della velocità del fluido)

● Le condizioni di flusso (laminare o turbolento) sono regolate dal rapporto fra le forze inerziali (determinate dalla velocità) e viscose nel fluido. In generale si ha flusso turbolento per fluidi poco viscosi e/o che si muovono con velocità elevata.

● Questo bilancio è espresso dal numero di Reynolds

dove ρ e v sono la densità e la velocità del fluido, L

c la lunghezza caratteristica

del sistema, μ la viscosità.


Numero di Reynolds e condizioni di flusso

● In generale possiamo identificare i seguenti tre regimi di flusso sulla base del numero di Reynolds

Si ha per basse velocità e/o fluidi molto viscosi

Il flusso è laminare. Il fluido si muove lungo strati paralleli in modo ordinato.




È un regime di transizione in cui le forze inerziali e quelle viscose hanno lo stesso peso

Il flusso presenta ancora zone in cui il moto è laminare ma vi sono anche regioni in cui si inizia ad evidenziare turbolenza.




Il regime è turbolento

Il fluido si muove in modo disordinato con presenza di zone vorticose.


Convezione in flusso laminare e turbolento

● Il trasporto di calore attraverso un fluido in condizioni di flusso turbolento è molto più efficace rispetto al caso di flusso laminare.

● Infatti se il flusso è laminare il calore passa da una linea di flusso all'altra solo per diffusione

● Se il flusso è turbolento allora è il fluido stesso che trasporta il calore in quanto la velocità non è diretta solo lungo la direzione del flusso

Trasporto di calore perpendicolarmente alla

direzione del flusso solo per diffusione

Trasporto di calore perpendicolarmente alla

direzione del flusso anche per il movimento del fluido



Trasporto per irraggiamento


La radiazione di corpo nero

● Un corpo nero è un oggetto che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente (e quindi non ne riflette).

● Per la conservazione dell'energia, tutta la radiazione assorbita viene re-irradiata con uno spettro che dipende dalla temperatura assoluta del corpo ed è indipendente dalle caratteristiche della radiazione assorbita.

● Qualunque corpo a temperatura T è sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto degli atomi che lo compongono. Se T è costante (equilibrio termodinamico) allora lo spettro della radiazione è di corpo nero.


La legge di Planck

● La potenza emessa da un corpo nero (per unità di superficie e frequenza) in funzione della frequenza è data dalla legge di Planck:

h = 6.62607 x 10-34 J • s (costante di Planck)

k = 1.38065 x 10-23 J / K (costante di Boltzmann)

c = 2.99792458 x 108 m / s (velocità della luce nel vuoto)

● La funzione B() d rappresenta la potenza per unità di superficie emessa in un piccolo intervallo di frequenze [, + d]


Corpi neri


dove σ è la costante di Stefan Boltzmann data da:

La legge di Stefan-Boltzmann● Se abbiamo un corpo in equilibrio termodinamico, tutto il volume del corpo

emette radiazione di corpo nero. La radiazione emessa all'interno del corpo, però, viene immediatamente riassorbita. Per questo motivo solo la superficie del corpo viene considerata come emettitore della radiazione che effettivamente si propaga nello spazio.

● Il flusso emesso da un corpo nero può essere ottenuto integrando la legge di Planck su tutte le frequenze, ovvero:

Possiamo quindi scrivere:


Emissività

● Se un corpo con superficie a temperatura Ts emette come un corpo nero

allora la potenza termica emessa è

dove As è l'area della superficie emissiva

● Nei casi reali l'emissione è meno efficiente che in un corpo nero perfetto, così che la legge di Stefan-Boltzmann può essere generalizzata come segue:

dove ε è un parametro adimensionale, compreso fra 0 e 1 chiamato emissività. Un corpo nero perfetto, che emette il 100% della radiazione assorbita, è caratterizzato da ε = 1.


Emissività di alcuni materiali a 300 K

● In tabella vengono riportati i coefficienti di emissività a temperatura ambiente di vari materiali

● Da notare come i metalli abbiano (generalmente) un'emissività molto bassa (ovvero sono molto riflettenti)

● Domanda: la carta bianca e la carta nera hanno entrambi un'emissività molto alta, sono, pertanto, corpi quasi neri. Discutere l'affermazione e come la differenza in emissività sia legata al colore della carta


Assorbività e riflettività● Un altro parametro che caratterizza le proprietà radiative della superficie è

l'assorbività (o coefficiente di assorbimento), ovvero la capacità di un corpo di assorbire la radiazione incidente

● Come l'emissività, anche l'assorbività è un numero puro compreso fra 0 e 1

● Il parametro (1 – α) è detto riflettività e descrive la capacità di una superficie di riflettere la radiazione incidente

Lo scambio radiativo di una superficie con l'ambiente è regolato dall'assorbività della superficie. Parte della radiazione viene assorbita e parte viene riflessa


Legge di Kirchhoff

● Se il corpo è in equilibrio termodinamico con la radiazione (ovvero se la temperatura del corpo e della radiazione incidente è la stessa) allora la quantità di radiazione assorbita deve essere uguale a quella incidente; questo implica che emissività e assorbività ad ogni frequenza coincidono

● In generale sia l'emissività che l'assorbività dipendono dalla temperatura e dalla frequenza

in condizioni di equilibrio termodinamico

● Se non vi è equilibrio termodinamico il trasferimento di calore è regolato dal bilancio fra emissività e assorbività (un corpo che assorbe più energia di quanta ne emette aumenterà la sua temperatura e viceversa)


Scambio radiativo con l'ambiente● Nel caso in cui il corpo si trovi racchiuso in una superficie a temperatura

costante allora lo scambio radiativo fra le due superfici è dato da:

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