Fisica x Inf 13-14 Lez.06 · Flavia Groppi & Carlo Pagani 14 Fisica x Informatica – Lez. 6 -...

Lezione n. 6 (4 ore)

Flavia Maria Groppi (A-G) & Carlo Pagani (H-Z)Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected] & [email protected]

Università degli Studi di MilanoCorso di Laurea in InformaticaAnno accademico 2013/14, Laurea Triennale

FISICA

Lavoro ed energia (cinetica e potenziale)

Fisica x Informatica – Lez. 6 - 2013/14Flavia Groppi & Carlo Pagani 2

L’energia

La definizione di energia non è univoca ! Da un punto di vista squisitamente tecnico l’energia è una grandezza fisica scalare associata allo stato o condizione di uno o più corpi.

A patto di definire in modo corretto:– Il valore da attribuire alla grandezza energia per un dato sistema– Le regole con cui essa si trasferisce

In un sistema chiuso la quantità complessiva di energia rimane sempre invariata, cioè si conserva

principio di conservazione dell’energia !

L’unità di misura SI dell’energia è il joule (J), dal nome del fisico inglese James P. Joule (1818-1889).


Energia cineticaL’energia associata allo stato di moto di un corpo è l’energia cinetica.

Un corpo di massa m e velocità v (finché v è molto inferiore alla velocitàdella luce, ovvero v << c ) possiede un’energia cinetica pari a:

Dunque:

Alcuni esempi:piccione in volo:locomotiva:…protone di LHC: ≃ 1 10-6 J…fascio di protoni di LHC: ≃ 350 106J !!

K = ½ m v2

JsmkgKsmkgm 22;/0.2;0,1 22 v

JsmkgKsmhkmkgtm 72275 109.3109.3;/8,27/100;10100 v

][][ 22

smkgJ


Lavoro

L’energia trasferita ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo tramite una forza è il lavoro L

Il lavoro è in effetti un trasferimento di energia, dunque è una grandezza scalare e si misura anch’esso in joule (J)

Intuitivamente il lavoro incarna il familiare concetto di “fatica”, ma attenzione:

– il lavoro è proporzionale sia allo spostamento effettuato sia alla forzaimpiegata

– Una forza che accresca l’energia del corpo effettua un lavoro positivo, una che lo riduca effettua un lavoro negativo

– la componente della forza che “lavora” è quella che induce direttamente lo spostamento, cioè quella parallela alla spostamento

– senza variazione di energia non vi è lavoro: sostenere un peso fermo non comporta lo svolgimento di lavoro !


Quindi con un espressione di valore generale, nel caso di forza costante applicata ad una massa puntiforme:

Ovvero il lavoro è il prodotto scalare dei vettori forza e spostamentoDunque il lavoro è positivo se la forza ha una componente nella direzione dello

spostamento (lavoro motore), ed è negativo se la forza ha una componente opposta allo spostamento (lavoro resistente)

Definizione di lavoro

Possiamo mettere in relazione le formule viste finora per un caso semplice: corpo in moto monodimensionale, senza attrito.

dFL

dFmm

accunifmotoda

maFamF

x

x

x

xx

22

22

0

0

21

21

*.).(2

;

vv

vv

cosdFdFL

aaa

attxxda

tat22

121*

20

220002

000

0vvvvvvvvvvvv


Teorema dell’energia cinetica

L’equazione appena ricavata contiene un risultato dal valore ancor piùgenerale, e noto come il teorema dell’energia cinetica:

Ovvero:

=

• Il teorema è valido per un corpo puntiforme (appunto, particella), oppure per un corpo esteso ma rigido.

• Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti singolarmente da ciascuna forza.

LKKK

LdFKKmm x

0

02

02

21

21 vv

Variazione di energia cinetica di una particella

Lavoro totale svolto sulla particella

dLdxFdxamdtddtmdmdmdK )/)(()(21 2 vvvvv


Lavoro nel caso generale

Nel caso più generale in cui ad una particella è applicata una forza non costante, dunque variabile in modulo o direzione,Il lavoro è espresso da un integrale di linea.

• Caso monodimensionale:

• Caso bidimensionale:

– I vettori forza e spostamento variano entrambilungo una traiettoria l

),( BAl

sdFL

A

Bl

f

i

x

xjx

jjj

dxxFxFL

xesimojnelFdimediovaloreFxFL

)(lim

;

)0(


Lavoro delle forze gravitazionale ed elastica

Lavoro Lg della forza gravitazionale:

- in salita- in discesa

Lavoro Le della forza elastica:

– Conosciamo l’espressione della forza di richiamo elastica, la legge di Hooke, quindi applichiamo quanto appena visto:

mgdmgdL

mgdmgdL

mgdhhmgL

mgF

g

g

g

g

)0cos(

)180cos(

)cos()cos()( 12

x

K

m

22

222

21

21

21

21)(

fie

ifxx

x

x

x

xe

xkxkL

xxkxkdxkxdxFL f

i

f

i

f

i


Potenza

La potenza è legata alla rapidità con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro.

Potenza media:

Potenza istantanea:

L’unità SI della potenza è il watt (W):

Attenzione, in questo ambito sono citate spesso anche altre grandezze:

• cavallo-vapore (CV): 1 CV = 735.5 W

• wattora (Wh): 1 Wh = (1 W) (3600 s) = 3.6 103 J

Il wattora è una misura di energia!

v

FdtdLP

tLP

sJW


L’energia potenziale

Abbiamo già visto come associare un valore di energia, l’energia cinetica, allo stato di moto di un corpo. Il suo valore dipende dalla velocità.

Un corpo può però possedere anche altri stati, relativi ad altre forze in gioco e dipendenti da altre grandezze fisiche:

– Pensiamo alla forza gravitazionale: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza èdetta energia potenziale gravitazionale Ug.

• Il suo valore dipende dalla distanza tra i due corpi

– Consideriamo ora la forza elastica: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza èdetta energia potenziale elastica Ue.

• Il suo valore dipende dalla estensione dell’elemento elastico rispetto al suo punto neutro


Energia potenziale e forze conservative

Dunque: • per le forze elastica e gravitazionale è possibile associare ad ogni punto

dello spazio una funzione scalare detta energia potenziale.• l’energia potenziale di un corpo in un punto P è definita come l’opposto

del lavoro necessario alla forza in esame per portare il corpo stesso da un punto di riferimento a cui si associa energia potenziale nulla, fino al punto P.

P

rifhrif

hP

LU

• Le forze elastica e gravitazionale appartengono ad una categoria di forze dette conservative.

Se il lavoro compiuto da una forza su un corpo da un punto A ad un punto B è indipendente dalla

traiettoria percorsa e dipendente esclusivamente dai punti A e B, la forza è conservativa.


Forze conservative, e non

La prima conseguenza della stessa definizione di forza conservativa èrelativa al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chiuso:

– Il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è zero.

La forza peso, la forza gravitazionale, la forza elastica e la forza elettrostatica sono tutte forze conservative.Se nel sistema agiscono solo forze conservative, i problemi relativi al movimento dei corpi sono molto semplificati.Forze come quelle d’attrito, di resistenza del mezzo e forza magnetostatica sono non conservative.

0;; 1,1,2,1, ababaababab LLLLL


Espressioni dell’energia potenziale

Ora siamo in possesso della relazione necessaria a determinare l’espressione dell’energia potenziale per le forze note:

• Energia potenziale gravitazionale: (asse y diretto verso l’alto)

• Energia potenziale elastica:

f

i

x

x

dxxFUL )(

mgyyU

ymgymgdymgU f

i

f

i

yy

y

y

2

E’ sempre possibile (e necessario) fissare una configurazione di

riferimento per il calcolo del potenziale: ad essa poniamo Ui = 0

ed yi = 0 o xi = 0

2

222

21

21

21

21)(

kxxU

xkxkxkdxkxU ifxx

x

x

f

i

f

i


L’energia meccanica di un sistema è data dalla somma dell’energia potenziale U e dell’energia cinetica K di tutti i corpi che lo compongono:

Ora, se è verificato che:– Il sistema si può assumere come isolato, cioè non viene considerata alcuna

forza esterna al sistema– Nel sistema agiscono solo forza conservative

vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:

Mentre l’energia cinetica e potenziale, singolarmente, possono variare la loro somma rimane invariata!

Dati due istanti qualsiasi del moto nel sistema in esame, 1 e 2, vale che:

Conservazione dell’energia

UKEmecc

costante222,111, UKEUKE meccmecc

0 dEdUdKdUdLdxFdK


Conservazione dell’energia - 2

Esempio 1: il moto di un pendolo• “travaso” ciclico dell’energia potenziale

U in energia cinetica K!

Esempio 2: la caduta libera• Trasformazione dell’iniziale energia

potenziale in energia cinetica!


Conservazione dell’energia - 3

Abbiamo anticipato che in sistemi conservativi lo studio del moto dei corpi risulta notevolmente semplificato … valutiamo questo esempio:

Conoscendo v0, y0 e y, come determinare la velocità v ?

Agisce solo la forza di gravità e non vi è attrito.

Applicando “ciecamente” il 2° principio della dinamica dovremmo conoscere l’espressione esatta della curvatura della pista !!

La conservazione dell’energia ci offre una semplice via d’uscita:

yygy

mgymEmgymE meccmecc

020

0200,

2

2)(2

12

1

vvv

vv Neppure la massa del corpo è

necessaria alla soluzione!


Esercizio: conservazione dell’energiaI dati del problema sono:

Se la liana ha una tensione di rottura Tmax = 950 N, arriverà Tarzan da Jane o la liana si romperà ?Valutiamo Il bilancio delle forze ponendoci nel sistema di riferimento non inerziale solidale con Tarzan:

L’equilibrio sulla liana:

v è sempre tangente all’arco percorso(= perpendicolare alla liana).

Per la conservazione dell’energia meccanica, assumendo U=0 nel punto più basso:

Quindi:

NTmhmLNPTarzan 950;2.3;18;688 max

Tarzan

L

h

T

PT

PT sin

Fc LmPT T

T

2

cos v

2100 2

1 vTT mEhPUE NNPLhPT TT 9509322

max


Curve di potenziale

Lo studio del grafico della funzione energia potenziale è particolarmente significativo. Assumiamo un caso unidimensionale, vale che:

)()()(

)()(

aledifferenziformaindx

xdUxF

xxFLxU

La forza associata ad una funzione di energia potenziale è data graficamente dall’inverso della

pendenza della funzione stessa !

In particolare:

• la condizione di energia cinetica nulla identifica il punto di inversione del moto

• un minimo nella curva di potenziale (derivata prima nulla) identifica un possibile punto di equilibrio del moto


- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l t e z z a

Ener

gia

Pote

nzia

le

Curve di potenziale - 2

Potenziale gravitazionale: nessun possibile punto di equilibrio

Potenziale elastico: esiste una condizione di equilibrio

Forza Pesom = 1 kg g = 9.8 m/s2

- 5

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l l u n g a m e n t o

Ener

gia

Pote

nzia

le

Forza ElasticaK = 3.5 N/m 2

21)( xkxU

mghhU )(


Energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale è conservativa, dunque ammette un potenziale.Per il calcolo dell’energia potenziale gravitazionale:

– Diversamente dal caso della forza peso, scelgo che la configurazione di riferimento caratterizzata da potenziale nullo U=0 sia quella in cui i due corpi siano separati da una distanza infinita.

– Calcolo il potenziale di un corpo di massa m a distanza R dalla terra (massa M) assumendo che il corpo raggiunga tale punto (punto P) muovendosi dall’infinito sempre in direzione radiale (posso scegliere qualsiasi traiettoria!)

– Faccio uso della definizione stessa di energia potenziale:

– E quindi per la funzionepotenziale:

RmMGRUU

RmMG

rmMGdr

rmMGUU

drrFrdrFLUUUUU

P

RR

P

RR

Pinizialefinale

)(

01

cos

2

= 180°)

U

r

mMGrU


Indipendenza del cammino

Essendo il Lavoro dato dal prodotto scalare,

Il risultato è indipendente dal cammino di integrazioneNei tratti del tipo B-C , D-E e F-G la forza è perpendicolare allo spostamento e il prodotto scalare è nullo.

Nota: siccome il campo gravitazionale è conservativo, esso è descritto da un campo scalare, Potenziale. U = U(r).La forza gravitazionale si ottiene dal Potenziale attraverso la relazione:

0

)( rdrFL

rr

mMGrr

mMGdrdr

drrdUrF

2

)()(


Velocità di Fuga

La velocità di fuga è la velocità minima che deve avere un corpo per sfuggire al campo gravitazionale di un oggetto di massa molto piùgrande: è il caso tipico di un missile che deve sfuggire al campo gravitazionale terrestre per poter esplorare altri pianeti.Poiché l’energia potenziale del campo gravitazionale è data da:

Per poter sfuggire il missile deve avere un’energia cinetica minima ugualeall’energia potenziale che lo trattiene quando è sulla superficie delpianeta. Quindi, detta M la massa del pianeta e R il suo raggio, si ha:

RmMGrU )(

RMG

RmMGmUKE

fuga

fugatotale

2

021 2

v

v


Energia del moto armonicoApplicando le espressioni dell’energia cinetica e dell’energia potenziale elastica all’oscillatore armonico si ottiene:

– L’ energia potenziale:

– L’energia cinetica:

– L’energia meccanica è dunque costante:

txkxktU m222 cos

21

21

kmtxk

txmmtK

m

m

222

2222

sin21

sin21

21

poiché

v

2222

21

21

21

mmm xmmxktKtUtE v

1)(sin)(cos 22 tt:che ricordare basta


Conservazione con Forze Esterne

Il principio di Conservazione dell’Energia è di grande aiuto nellasoluzione di molti problemi anche in presenza di forze esterne, come:

– quelle di attrito, che tendono a dissipare parte dell’energia del sistema– quelle da impulsi eserni che cambiano la quantità di moto del sistema

Basta pensare che nel sistema chiuso l’energia si conserva e chequindi la variazione dell’energia totale del sistema da uno stato inizialead uno finale deve essere uguale all’energia fornita al sistemadall’esterno, cioè, in meccanica, al lavoro compiuto dalle forze esterne.

Emecc finale= Emecc iniziale+Lforze esterneNotiamo che:

– nel casso di forze dissipative di attrito il lavoro compiuto dalle forze esterne(di attrito) è negativo (Efinale < Einiziale )

– nel caso di forze impulsive esterne (quelle interne hanno effetto nullo per il 3°principio) la variazione della quantità di moto produce una variazionecongruente dell’energia cinetica (e quindi di quella totale) del sistema


Esescizi Lezione 6

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

6-3: Una forza F = (6 i - 2 j) N agisce su una particella che compie uno spostamento r = (3 i + j) m. Trovare: a) il lavoro svolto dalla forza sulla particella, b) l’angolo tra F e r. [ a)16 J, b) = 36.9° = 0.644 rad ]

6-6: Una cassa di 40.0 kg inizialmente ferma viene spinta per 5.00 m lungo un pavimento orizzontale scabro con una forza costante orizzontale di 130 N. Se il coefficiente di attrito dinamico tra cassa e pavimento è d=0.300, determinare: a) il lavoro compiuto dalla forza applicata, b) l’energia dissipata per attrito. c) il lavoro compiuto dalla forza normale, d) il lavoro compiuto dalla gravità, e) la variazione dell’energia cinetica della cassa e f) la velocità finale della cassa. [ a) 650 J, b) 588 J, c) 0, d) 0, e) 62 J, f) 1.76 m/s ]

7-1 (modificato): Una sferetta di massa M=10.0 g scivola senza attrito lungo la guida mostrata in figura. Se la sferetta viene lasciata andare da un’altezza h = 50 cm, si determini la sua velocità nella posizione A. [ vA = 3.13 m/s ]

7-6: Un blocco di 5.00 kg viene fatto salire lungo un piano inclinato (vedi figura) con una velocità iniziale vi = 8.00 m/s. Il blocco si ferma dopo aver percorso 3.00 m lungo il piano. Determinare: a) la varia-zione di K, b) la variazione di U, c) la forza di attrito, considerata costante, d) il coefficiente di attrito dinamico d. [ a) K = - 160 J, b) U = 73.5 J, c) Fd = 28.8 N, d) d = 0.679 ]

hA

3 m

30.0 °

v i


Esescizi Lezione 6 - continua

7-10: Un blocco di 10 kg è lasciato libero nel punto A della pista mostrata in figura. La pista è priva di attrito, fatta eccezione per il tratto orizzontale BC lungo 6 m. Il blocco scende lungo la guida e colpisce una molla di costante elastica k = 2250 N/m, determinandone una compressione di 0.300 m rispetto alla lunghezza iniziale di riposo. Sulla base dei dadi determinale il coefficiente di attrito dinamico d presente nel tratto BC. [d = 0.328 ]

h=

3m

A

BC = 3 mB C

x=0.300 m

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