Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA · 2013-03-02 · Carlo Pagani &...

Lezione n. 7 (4 ore)

Carlo Pagani (A-G) & Flavia Maria Groppi (H-Z)Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected] & [email protected]

Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e NaturaliCorsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni

Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Statica e dinamica dei fluidi

Fisica x Informatica - Lez 7 - 2011/12Carlo Pagani & Flavia Groppi 2

Secondo il tipo e le condizioni ambientali la materia può trovarsi in uno dei tre stati: solido, liquido, gassoso.

• un solido ha una forma ed un volume definiti,

• un liquido ha una volume definito ma non una forma

• un gas libero non ha né forma né volume definiti.

Ci sono sostanze che possono essere solide, liquide o gassose (oppure una combinazione di queste) in funzione della temperatura e della pressione.

Un fluido è un insieme di molecole che sono sistemate in modo casuale e vengono tenute insieme da deboli forze di coesione e da forze esercitate dalle pareti del contenitore. Fluidi sono sia i liquidi sia i gas.

Meccanica dei Fluidi


Il solo tipo di forza che può esercitare un fluido è quella perpendicolare ad una superficie con cui è in contatto. Ad es. la forza esercitata da un fluido su di un oggetto è sempre perpendicolare alle superfici dell’oggetto. Tale forza ha origine dall’urto delle molecole del fluido con la superficie. Ciascuna collisione dà luogo ad una inversione del vettore velocità della molecola perpendicolare alla superficie.

Dal teorema dell’impulso e dalla terza legge di Newton, ciascuna collisione produce una forza perpendicolare alla superficie. Dal punto di vista macroscopico la somma di queste forze si distribuisce su tutta l’area della superficie ed è in relazione con la grandezza detta pressione.

AFp

La pressione


La pressione p è la componente normale alla superficie della forza per unità di superficie. Nel SI si misura in N·m-2 = Pa(pascal) le cui dimensioni sono [m-1 · kg · s-2]

1 Pa = 1 N m-2 = 1 kg m-1 s-2

L’atmosfera esercita una pressione sulla superficie terrestre dovuta alla forza di gravità esercitata dalla terra sulla massa d’aria che agisce su 1 m2 di suolo; si misurava in atmosfere

1 atm ≈ 1.013 ·105 Pa

Un multiplo del pascal ampiamente utilizzato perché di valore simile all’atmosfere è il bar.

1 bar ≝ 1·105 Pa

Unità di misura della pressione


Prendiamo un liquido di densità a riposo e scegliamo un campione del liquido contenuto in un immaginario cilindro di base A che si estende dalla distanza generica d dalla superficie del liquido sino alla profondità (d+h). Dato che il campione è fermo per la seconda legge di Newton la forza risultante sul campione deve essere nulla.

Dove p è la pressione esercitata dal fluido, p0 la pressione atmosferica esercitata sul cilindro se d = 0.La pressione in un liquido aumenta linearmente con la profondità h dentro il liquido. La pressione è la stessa in tutti i punti che hanno la stessa profondità e questo risultato è indipendentemente dalla forma del contenitore: Legge di Stevino

0 0 0 gmApApFy hAVm

hAgAppA 0 hgpp 0

Legge di Stevino: p = p(h)


Sulla base del risultato ottenuto, si può enunciare la legge di Pascal: ogni variazione di pressione applicata ad un fluido chiuso è trasmessa integralmente in ogni punto del fluido e alle pareti del contenitore.Un’importante applicazione della legge di Pascal è la pressa idraulica..

Una forza F1 viene applicata ad un piccolo pistone di area A1. La pressione viene trasmessa attraverso il fluido ad un grande pistone di area A2 e viene esercitata una forza F2 sul secondo pistone.

11

22

2

2

1

1 FAAF

AF

AFp

Legge di Pascal

Attenzione: l’energia si conserva in quanto:

12

122211 essendo x

AAxxFxF


Lo strumento per misurare la pressione atmosferica è il barometroinventato da Torricelli (1608-1647). Un lungo tubo chiuso ad un’estremitàviene riempito con mercurio (Hg) e poi rovesciato in un recipiente pieno di mercurio.

All’estremità chiusa del tubo si forma un vuoto totale e la pressione è zero. In A la pressione dovuta alla colonna di mercurio deve essere uguale alla pressione nel punto B dovuta alla pressione atmosferica.

Quando varia la pressione atmosferica varia l’altezza h della colonna di mercurio. L’altezza della colonna di mercurio per una pressione pari a 1 atm = 1.013 105 Pa è:

Il manometro a tubo aperto serve a misurare la pressione di un gas contenuto in un recipiente.

m 760.0)sm 80.9( )mkg 106.13(

Pa 10013.12-3-3

50

g

phHg

hgp Hg 0

hgpp 0

Misure di pressione


La forza di galleggiamento è una forza (spinta) verso l’alto che si esercita su di un oggetto circondato da un liquido (fluido). Il Principio di Archimede afferma che: Ogni oggetto immerso totalmente o parzialmente in un fluido subisce una spinta verso l’alto la cui intensità è uguale al peso del fluido spostato dall’oggetto. (E’ una conseguenza della legge di Stevino)

Ai lati del cubo le forze che si esercitano sono uguali e contrarie e la risultante delle forze orizzontali è zero. La forza sulla superficie superiore del cubetto esercitata dal fluido è minore di quella esercitata sulla superficie inferiore. La forza verticale di spinta, B, esercitata dal fluido sull’oggetto di volume Vog = Vfl è quindi (Stevino):

Notiamo che fl Vfl = Mfl è la massa del fluido spostato dalla presenza del cubetto, mentre la spinta B = Mfl g èproprio uguale al peso del fluido spostato.

gMgVVgAhgAdgdhg

ApApFFFB

flflflogflflflfl

altobassoaltobassofluido

))((

Il Principio di Archimede


Oggetto completamente immerso: Un oggetto di volume Vogcompletamente immerso in un fluido di densità fl è sottoposto ad una spinta di Archimede pari a: B = fl g Vog = fl g Vfl . Poiché l’oggetto ètotalmente immerso Vog = Vfl (volume del fluido spostato). Se l’oggetto ha densità og, il suo peso è Mog g = og Vog g. La forza risultante su di esso è:

Se l’oggetto ha densità minore di quella del liquido la forza risultante èpositiva e l’oggetto accelera verso l’alto, se l’oggetto ha densità maggiore del fluido la forza risultante è negativa e l’oggetto affonda.

gVgMBF ogogflog )(

Il Principio di Archimede - 2


Corpo galleggiante: Un oggetto di volume Vog in equilibrio statico che galleggia sulla superficie di un fluido. Il volume Vfl del fluido spostato dall’oggetto è solo una frazione del volume totale Vog dell’oggetto. Il volume del fluido spostato dall’oggetto corrisponde a quel volume dell’oggetto al di sotto della superficie del fluido. Poiché l’oggetto è in equilibrio, la spinta di Archimede è equilibrata dalla forza di gravità diretta verso il basso che si esercita sull’oggetto.

gVgVgMBF ogogflflog 0

og

fl

fl

og

VV

Il Principio di Archimede - 3


In un fluido si possono caratterizzare due tipi principali di flusso: flusso stazionario o laminare quando i cammini seguiti da ciascuna particella del fluido sono scorrevoli e non si intersecano tra loro. In condizione di flusso stazionario, lavelocità del fluido in ogni punto rimane costante nel tempo. Per velocità superiori ad un certo valore critico, il flusso diventa turbolento.Il termine viscosità viene usato per definire il grado di attrito interno nel flusso di un fluido. L’attrito interno è associato alla resistenza tra due strati adiacenti di liquido in moto relativo.La viscosità rappresenta una forza di tipo non conservativo, parte dell’energia cinetica viene convertita in energia interna (termica) quando strati di fluido slittano reciprocamente.

Dinamica dei fluidi


Dinamica dei fluidi - 2

Per studiare in modo semplice il moto dei fluidi facciamo le seguenti semplificazioni:

• Fluido non viscoso: l’attrito interno viene trascurato. Un oggetto in moto in esso non è soggetto a forze d’attrito viscose.

• Fluido incompressibile: la densità del fluido rimane costante nel tempo, indipendente dalla pressione nel fluido;

• Fluido stazionario: la velocità in ogni punto del fluido non varia nel tempo;

• Fluido irrotazionale: il momento angolare del fluido in ogni punto è nullo (non ci sono vortici).

Le prime due assunzioni sono le proprietà del fluido ideale, le seconde due sono legate alla descrizione delle modalità di fluire dei fluidi.


Il cammino seguito da una particella di un fluido che si muove in regime di flusso stazionario è detto linea di corrente. La velocità di ogni particella del flusso risulta tangente in ogni punto alla sua linea di corrente. Un insieme di linee di corrente formano un tubo di flusso.

Equazione di continuità dei fluidi: il prodotto dell’area e della velocità del fluido, in tutti i punti di un tubo è costante. Tale prodotto è detto portata, Q

2211 xAxA

Il volume di un fluido incompres-sibile è una grandezza che si conserva:

txA

txA

2211

QAA 2211 vv

Equazione di continuità


Quando un fluido si muove in una regione in cui la sua velocità e/o la sua altezza al di sopra della superficie terrestre cambia, la pressione cambia. Il teorema di Bernoulli mostra esplicitamente la dipendenza della pressione dalla velocità e dall’altezza. Consideriamo il flusso di un fluido ideale attraverso un tubo di sezione variabile in un intervallo di tempo t.

Viene svolto del lavoro sul sistema da parte del fluido esterno che si trova in contatto con le due estremità del fluido del sistema e quindi l’energia cinetica e potenziale variano di conseguenza. L’equazione di continuità dell’energia è:

WUK Tra lo stato iniziale e finale varia solo x1 e x2

21

22 )(

21)(

21 vv mmK 12 )()( ygmygmU

Teorema di Bernoulli


Teorema di Bernoulli applicato ad un fluido ideale dice che la somma della pressione, dell’energia cinetica per unità di volume e dell’energia potenziale gravitazionale per unità di volume è costante per tutti i punti di una linea di corrente:

VpVpxApxApxFxFW 212221112211

WUK VpVpygmygmmm 2112

21

22 )()()(

21)(

21 vv

211221

22 )()()(

21)(

21 ppyg

Vmyg

Vm

Vm

Vm

vv

cost21 2 ygp v

Teorema di Bernoulli - 2

22221

211 2

121 ygpygp vv


L’ultima relazione esprime la seconda avendo dato dei nomi ai suoi 3 termini che hanno le dimensioni di y, cioè di una lunghezza. In particolare

altezza piezometrica, indica quanto deve essere alta una colonna del fluido in oggetto per produrre la pressione p sul fondo; altezza d’arresto, ovvero l’altezza cui giunge un corpo lanciato verso l’alto con velocità valtezza geometrica.

Per un condotto orizzontale essendo y1 = y2 si ha:

Se il condotto ha sezione (area) costante si ricava che deve essere costante anche la velocità. Ne consegue che la pressione è costante in tutto il condotto. Se invece l’area della sezione diminuisce, per mantenere costante la portata deve aumentare la velocità e ciò comporta una diminuzione della pressione.

cost21 2 ygp v cost

2

2

ygg

p v

cost gap hhh

gp

gp

22

22

2

21

1vv


gha 22v

gphp

yhg


Si può calcolare la variazione di pressione in funzione de raggio r del condotto:

2

1

222

122

2112 1

2)(

2 vvvvv pp 2

2

21

2

1

1

22211 r

rSSQSS

vvvv

4

22

212

112 12 r

rpp v

Se r2 è minore di r1, data la dipendenza dalla quarta potenza del rapporto tra i raggi, bastano piccole variazioni di r2 per produrre forti sbalzi di pressione: addirittura p2 può diventare minore della pressione atmosferica creando così l’effetto di aspirazione.

Nota: se il fluido non è in movimento, cioè se v = 0, la legge di Bernoulli coincide con quella di Stevino



Strati adiacenti di un fluido sottoposto ad un carico di scorrimento sono posti in moto relativo. Consideriamo due superfici piane e parallele una fissa ed una in moto verso destra sotto l’azione di una forza F. A causa di questo moto una parte del liquido ABCD viene spostata in AEFD dopo un breve intervallo di tempo e il liquido ha subito una deformazione dovuta allo scorrimento. La superficie superiore si muove con velocità v.

Questa equazione dice che la velocità di deformazione relativa è v /l. Il coefficiente di viscosità per il fluido è definito come:

Nel sistema SI la viscosità si misura in N · s· m-2 , cioè ha le dimensioni [lunghezza-1 · massa · tempo-1]

ltlx v

/

lx

relativa nedeformazio

vv AlF

lAF

//

Viscosità


A velocità sufficientemente alte il moto del fluido cambia da laminare a moto irregolare e causale, che viene detto turbolento. La velocità a cui inizia il moto turbolento dipende dalla geometria del mezzo che contiene il fluido e dalla viscosità del fluido.Sperimentalmente si è trovato che il passaggio a moto turbolento ècaratterizzato da un parametro adimensionale detto numero di Reynolds RN dato da:

Alcuni esperimenti mostrano che se RN è minore di 2000 il moto di un fluido in un tubo è laminare; la turbolenza avviene se RN > 3000

dRN

v

Moto turbolento


Esercizi Lezione 7Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

15-2: Una donna di 50.0 kg sta in equilibrio su un tacco di una coppia di tacchi a spillo. Sapendo che iltacco è circolare e ha raggio R = 0.500 cm, determinare la pressione che esercita sul pavimento, in Pa e in atm. [ p=6,24 MPa = 61.6 atm]

15-3: Una molla di un misuratore di pressione relativa ha una costante elastica di 104 N/m e il pistone sul quale si esercita la pressione da misurare ha il diametro D=2.00 cm. Determinare la profondità in acqua alla quale va immerso il misuratore perché la molla risulti compressa di 5.00 mm. [ h=16.2 m ]

15.4: Calcolare l’area minima di contatto di una ventosa circolare completamente svuotata d’aria in grado di sostenere il peso di una persona di 80 kg. [ A=77.4 cm2 ]

15-5: Pascal fece una copia del barometro di Torricelli utilizzando vino rosso di Bordeaux (b=984 kg/m3) al posto del mercurio (Hg=13.6 103 kg/m3). Determinare l’altezza della colonna di vino che fu necessaria per equilibrare la pressione atmosferica. [ h=10.5 m ]

15-6: Una pallina da ping-pong ha un diametro di 3.80 cm e una densità media di 8.40·10-2 g/cm3. Deteminate la forza necessaria per tenerla completamente immersa nell’acqua. [ F=0.258 N ]

15-7: Un cubo di legno di 20.0 cm di lato con una densità di 0.65 kg/dm3 galleggia sull’acqua. Determinare a) la distanza tra la faccia superiore del cubo e il pelo dell’acqua, b) il volume di ferro (Fe=7.8·103 kg/m3) che bisogna appoggiare sopra il cubo affinché la sua faccia superiore sia a livello dell’acqua. [ h=7.00 cm , VFe=3.6·10-4 m3]


Esercizi Lezione 7 - continua15-8: Determinare la quantità di elio (in metri cubi) necessaria per sollevare un pallone fino all’altezza di 8 000 m, con un carico di 400 kg (He=180 g/m3) Si consideri che il volume del pallone rimangacostante e che la densità dell’aria diminuisca con l’altezza z secondo la relazionecon 0=1.25 kg/m3. [ V=1.43·103 m3]

15-9: Una sfera di plastica galleggia in acqua con il 50% del suo volume immerso. Quasta stessa sfera galleggia in olio con il 40% del volume immerso. Determinare la densità dell’olio e della sfera. [olio=1.25·103 kg/m3, sfera=500 kg/m3]

15-10: Un largo serbatoio di raccolta acqua è riempito fino all’altezza h0=10 m. Nel serbatoio viene aperto un foro all’altezza h=2m dal fondo. Utilizzando il teorema di Bernoulli determinare, prima in forma generale e quindi numerica, la velocità di uscita dell’acqua e la distanza dal serbatoio alla quale arriva il getto. [ , x = 8 m ]

Un recipiente contiene dell’acqua di densità 1.00 g/cm3 sulla quale galleggia uno strato d’olio di densitàpari a 0.92 g/cm3. All’interfaccia tra l’acqua e l’olio è presente un corpo immobile. Sapendo che 1/3 del volume di tale corpo è circondato da olio, si determini la densità del corpo. [ co=973 kg/m3 ]

Tre ragazzi, tutti di ugual massa pari a 37,4 kg, costruiscono una zattera con tronchi del diametro di 32 cm e lunghezza di 1.77 m. Sapendo che la densità del legno utilizzato è le=758 kg/m3, determinare il numero di tronchi necessario per tenere a galla i tre ragazzi. [ 3.26 ⇒ 4 tronchi ]

8000/0)( zez

)(4)()(2 00 hhhhxhhg v







FISICATermologia, calorimetria e

1° principio della termodinamica

Fisica x Informatica – Lez. 8 - 2011/12Carlo Pagani & Flavia Groppi 2

Termodinamica: introduzione

Abbiamo visto che, in presenza di sole forze conservative, si ha la conservazione dell’energia meccanica:

K + U = Costante.Nella realtà però si hanno quasi sempre anche forze non conservative (p. es. attriti). Quindi, se si vuole mantenere un corpo in movimento, si deve compiere del lavoro. Per esempio fornire energia con un motore per mantenere la velocità costante.

Come possiamo ottenere questo lavoro?Quanta è l’energia dissipata per attrito ?

La termodinamica è nata proprio per studiare questi problemi.

Combustibile Calore (fluido caldo) Lavoro

Reazione Chimica Macchina Termica


La Temperatura è una delle 7 grandezze fondamentali del sistema SI.

La Temperatura è la conseguenza dell’energia cinetica con cui si muovono gli atomi e le molecole che costituiscono la materia: solida, liquida o gassosa.

La temperatura si misura in gradi Kelvin [K]. La scala dei gradi Kelvin parte da 0 in corrispondenza di quello che è chiamato lo zero assoluto.Lo zero assoluto è la temperatura alla quale l’energia cinetica associata al movimento degli atomi (molecole) è nulla.La scala delle temperature in gradi Kelvin è definita prendendo come valore zero lo zero assoluto, ed assegnando il valore 273.15 K alla temperatura del punto triplo dell’acqua (coesistenza in equilibrio degli stati solido liquido e gassoso), che rappresenta lo zero della scala dei gradi centigradi (Celsius).

La Temperatura - 1

Gassosa SolidaLiquida


La Temperatura - 2

PRINCIPIO ZERO della Termodinamica: equilibrio termico.

Se due corpi isolati sono messi in contatto tra di loro, dopo un sufficiente tempo, assumeranno la stessa temperatura, detta temperatura di equilibrio termico.

Corollario: se due corpi A e B si trovano in equilibrio termico con un terzocorpo T, allora essi sono in equilibrio termico tra di loro.

Questa legge zero, che appare ovvia, è la conseguenza dello scambio di energia cinetica tra le molecole dei due corpi che entrano incontatto. Gli urti sono di tipo elastico e si ha quindi trasferimento diquantità di moto tra le molecole del corpo più caldo verso quelle del corpo più freddo. L’energia così assorbita viene poi, nello stesso modo, ridistribuita tra le molecole del corpo più freddo che ha ricevuto energia da quello più caldo. L’opposto succede al corpo che ha ceduto energia.


Temperatura - 3

Le relazioni tra le temperature misurate con diverse scale di misura sono le seguenti:

TK [K] = TC [°C] + 273.15 ovvero TC [°C] = TK [K] - 273.15K = gradi Kelvin °C = gradi Celsius (centigradi)

La relazione tra i gradi Celsius e i gradi Fahrenheit è più complicata perché quest’ ultima non usa come riferimento il punto triplo dell’acqua:

TC [°C] = (5 / 9) ‧ (TF [°F] – 32) ovvero TF [°F] = (9 / 5) ‧ (TC [°C]) + 32La temperatura si misura con i termometri che utilizzano uno degli effetti che la temperatura ha sulla materia, per esempio quella di dilatarla.


Temperatura e calore

Il calore è una forma di energia, quindi si misura in joule [J].

Il calore è l’energia che viane trasferita tra un sistema ed un’altro, per esempio tra uno di noi e l’ambiente circostante, a causa della differenzadi temperatura esistente tra di essi.

Il calore è l’energia trasferita da un sistema ad un’altro che si trova a a temperatura più bassa: il calore va dalla temperatura più alta a quella piùbassa.

Usando il sistema SI, il calore va espresso in joule, come ogni altra forma di energia. Una unità di misura molto diffusa del calore è la caloria [cal].1 cal = la quantità di calore (energia) necessaria per innalzare la temperatura di 1 g di

acqua pura da 14.5 °C a 15.5 °C. Molto usata la chilocaloria: 1 Cal = 1000 cal

1 cal = 4,186 J 1 Cal = 1 kcal = 4186 J


Dilatazione Termica nei solidi – 1

Quasi tutti i corpi se riscaldati si dilatano e se raffreddati riducono il loro volume. Questo è il fenomeno della dilatazione termica.

Nei solidi si descrive il fenomeno attraverso il coefficiente di dilatazione termica (lineare). Il coefficiente di dilatazione termica, indicato con , è in genere debolmente dipendente dalla temperatura.

Presa una barra di un qualunque materiale, la sua lunghezza L dipenderàdalla temperatura T cui si trova al momento della misura (attenzione che questo vale anche per il metro che si usa per misurarla):

L(T) = L(To) + L(To) (T-To) ⇒ L/L = T

Nel caso del volume, per i materiali “isotropi” (cioè che hanno le stessa proprietà indipendentemente dalla direzione), si ha una legge analoga e il coefficiente di dilatazione volumica = 3 (poiché << 1)

V/V = T


Dilatazione termica nei solidi - 2

I valori di sono molto piccoli ma possono produrre effetti disastrosi.


Calore specifico di solidi e liquidi

La capacità termica C di un oggetto è la costante di proporzionalità tra la quantità di calore e la variazione di temperatura cheessa produce:

Q = C T = C (Tf – Ti )Il calore specifico cs è la capacità termicaper unità di massa. Non è più riferitoall’oggetto ma alla massa unitaria dellasostanza che lo compone:

Q = cs m T = cs m (Tf – Ti )

I calori specifici delle sostanze in tabella hanno valori molto differenti. Se guardiamo invece l’ultima colonna, che riporta i calori specifici molari, i valori sono molto simili.

Da un punto di vista termodinamico, statistico, il comportamento di sistema non dipende tanto dalla sua massa ma piuttosto dal numero di componenti elementari (atomi o molecole) di cui il sistema ècomposto. Questa unità di misura è detta mole [ mol ]. La mole è una delle 7 unità di misura fondamentali del sistema internazionale SI.

1 mol = l’insieme di “costituenti elementari” (building blocks) pari al numero degli atomi di 12C (carbonio 12) contenuti in 12 g.

mole è l’abbreviazione di “grammo-molecola”. Una mole di sostanza data sono tanti grammi quanto è il valore del suo peso molecolare.


La mole e il numero di Avogadro

Il numero di costituenti elementari che definiscono 1 mol (una mole) èdetto Numero di Avogadro, NA.

NA = 6.022 x 1023 [mol-1]

Ogni sostanza pura ha una massa molecolare A [g mol-1]. A è circa datodalla somma delle masse dei costituenti (vedi dopo).

La massa M [kg] di n [mol] moli di una sostanza è quindi data da:

M [kg] = n [mol] · A [g·mol-1] · 10-3

Analogamente il numero di moli n [mol] di una sostanza di massa M [kg] è:

n [mol] = 103 · M [kg] / A [g·mol-1]


Peso atomico e peso molecolare

Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero atomico Z. Il numero di massa A (neutroni+protoni nel nucleo) è una prima stima del peso atomico. Per l’idrogeno è circa 1. Per parecchi elementi leggeri è circa il doppio del numero atomico. Il carbonio ha Z=6, e A=12.

6 x 12 + 1 x 14 = 86 !


Calore latente

Il calore latente, di fusione e di evaporazione, è la quantità di calore, per unitàdi massa, necessario per passare dallo stato solido allo stato liquido e dallo stato liquido allo stato gassoso. La quantità di calore è misurata a temperatura costante, rispettivamente temperatura di fusione e di evaporazione. Il calore latente è detto anche calore di trasformazione.I calore latenti di fusione ed evaporazione sono indicati rispettivamente:

Lv = calore (latente) di evaporazioneLF = calore (latente) di fusione

Nota: durante il passaggio di stato, la temperatura del sistema rimane costante in quanto l’apporto di calore è assorbito dal calore latente, alla temperatura di equilibrio.


Densità

La densità di una sostanza è definita come il rapporto tra la massa m [kg] della sostanza e il suo volume V [m3]. E’ più propriamente chiamata massa volumica. [kg m-3]

Volumi uguali di sostanze differenti hanno masse diverse e, conseguentemente, diverse densità. Le densità dei gas sono inferiori rispetto a quelli dei solidi e dei liquidi in quanto le molecole di un gas sono relativamente distanti tra loro. Un volume di gas contiene una frazione relativamente grande di spazio vuoto.

Vm


Pressione

Se si immette aria in un pneumatico, si aumenta il numero di molecole di gas all’interno del pneumatico stesso e la forza complessiva che queste esercitano contro le sue pareti aumenta.

La molecole di aria all’interno del pneumatico sono libere di migrare in tutto il suo volume. Tuttavia non possono uscirne. Gli urti che si producono continuamente tra le molecole del gas e le pareti del pneumatico permettono al gas di esercitare una forza contro ogni parte della superficie delle pareti (principio di Pascal).

La pressione è il modulo della forza agente perpendicolarmente ad una superficie, diviso per l’area A della superficie stessa

La pressione è una grandezza scalare

L’unità di misura della pressione è il pascal [Pa].

barPams

KgmNP

AF

P 522 10


Riassunto delle Definizioni

TermodinamicaLa termodinamica è la branca della fisica che studia le modalità con cui i corpi si scambiano calore e come questo possa essere trasformato in lavoro.

SistemaSi definisce sistema l’insieme dei corpi che si sta studiando.

AmbienteSi definisce ambiente tutto ciò che non appartiene al sistema.

Stato del sistemaSi definisce stato del sistema l’insieme delle condizioni fisiche del sistema stesso specificate dalle osservabili fisiche come: pressione,volume e temperatura.

Funzione di statoSi definisce funzione di stato del sistema una osservabile il cui valore dipende solo dallo stato in cui si trova il sistema e non dalle modalità con cui è stato raggiunto.

Equilibrio TermicoDue sistemi sono detti in equilibrio termico se, quando sono portati a contatto termico, ènulla la quantità totale di energia termica che si trasmette (→ Legge zero)


1° Principio della Termodinamica

Quando un sistema assorbe una quantità di calore Q e compie una quantità di lavoro L, l’energia interna del sistema Eint varia di una quantitàEint. La relazione tra le grandezze è la seguente:

Il primo principio della termodinamica è un principio di conservazione dell’energia. L’equivalente del principio di conservazione dell’energia meccanica.

Il lavoro ha segno positivo se è fatto dal sistema, è negativo se fatto sul sistema.

Il calore è positivo se è assorbito dal sistema, negativo se è ceduto dal sistema.

dLdQdELQEEE if intint,int,int


Lavoro compiuto dal sistema

Considerando il sistema rappresentato in figura, al quale viene fornita una quantità di calore (energia), a causa dell’aumento di temperatura del gas, il sistema si espande e compie lavoro.

Il lavoro è compiuto dal sistema (il suo volume aumenta) e quindi è positivo.Dalla relazione del 1° Principio

notiamo che la variazione dell’energia interna del sistema (da cui deriva tra l’altro la sua variazione di temperatura) è minore del calore fornito

f

i

V

VdVpdLL

dVpAdspdspAsdFdL

))(())((

int,int,int LQEEE if


Esercizi Lezione 8Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).

16-2: L’azoto liquido ha il punto di ebollizione a -195,81 °C, alla pressione atmosferica. Esprimere questa temperatura in: a) gradi Fahrenheit, b) gradi kelvin. [ a) -320 °F, b) 77.3 K ]

Convertire nelle altre 2 unità di misura (K, °C, °F) le seguenti temperature: 451 °F, 0 K, 100 °C, 310 K, 86 °F, -40 °C. [451°F=238°C=506K; 0K=-273.15°C=524°F; 100°C=212°F=373K; 310K=36.85°C=98.3°F; 86°F=30°C=303K; -40°C=233K=-40°F]

17-1: Un ferro di cavallo di 1.5 kg inizialmente a 600 °C è lasciato cadere in un secchio contenente 20.0 kg di acqua a 25 °C. Sapendo che il calore specifico del ferro è cFe = 448 J kg-1 K-1, determinare la temperatura finale del sistema. (Nota: trascurare il calore specifico del recipiente e assumere che soltanto una trascurabile quantità di acqua vaporizzi). [ T = 29.6 °C = 302.8 K ]

T.E. - In un bicchiere grande si mettono 100 g di ghiaccio alla temperatura di 0 C° e poi si versa una lattina di CocaCola da 0.5 litri, alla temperatura ambiente di 25 °C. Supponendo che non ci sia scambio di calore con il mondo esterno e che la CocaCola si comporti come l’acqua, determinare:

a) di equilibrio alla quale si porta il sistema nel caso in cui il calore trovato al punto il calore massimo che la CocaCola potrebbe cedere se si portasse a 0 °C [ Qmax = 52.3 kJ= 12.5 kcal ]

b) la temperatura precedente sia sufficiente a scogliere tutto il ghiaccio (il calore latente di fusione dell’acqua è: LF = 0.333 MJ/kg.). [ Tf = 7.6 °C = 280.7 K ]


Esercizi Lezione 8 - continua

Esercizi da: John R. Gordon, Ralph V. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES).17-3: In un recipiente isolato si aggiungono 250 g di ghiaccio a 0 °C a 600 g di acqua a 18 °C. Determinare : a) la temperatura finale del sistema, b) la quantità rimanente di ghiaccio. [ a) 0°C, b) 114 g ]

17-2: Un proiettile di piombo di massa 3.00 g alla temperatura di 30.0 °C e alla velocità di 240 m/s colpisce un blocco di ghiaccio a 0 °C rimanendovi conficcato. Determinala la quantità di ghiaccio che fonde ( cPb = 128 J kg-1 K-1 , LF = 333 kJ/kg). [ mg = 0.294 g ]

17-5: Un sistema termodinamico subisce una trasformazione durante la quale la sua energia interna diminuisce di 500 J. Sapendo che durante la trasformazione si compie sul sistema un lavoro pari a 220 J, determinare l’energia trasferita al sistema, o fornita dal sistema, sotto forma di calore. [ Q= -720 J ]

16-3: L’elemento attivo di un certo laser è costituito da una sbarretta di vetro lunga 30.0 cm con un diametro di 1.50 cm. Sapendo che la temperatura della sbarretta aumenta di 65.0 °C e che il suo coefficiente di dilatazione lineare è = 9.00 x 10-6 K-1, trovare l’aumento: a) della lunghezza, b) del diametro, c) del volume [ a) L= 1.76 x 10-4 m, b) =8.78 x 10-6 m, c) V= 93.0 x 10-9 m3 ]

Determinare il numero di moli ed il numero di molecole contenute in una bottiglia di acqua minerale da 1.5 litri. (Aacqua = 18 g/mol) [ n = 83.3 mol; N = 5.02·1025 ]







FISICATrasformazioni termodinamiche,

legge dei gas perfetti e teoria cinetica

Fisica x Informatica - Lez. 9 - 2011/12Carlo Pagani & Flavia Groppi 22

Trasformazioni Termodinamiche

Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che: lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze pressione, volume e temperatura.

Queste grandezze: p, V e T sono dette variabili di stato.

Una trasformazione termodinamica rappresenta l’evoluzione del sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio da infiniti stati intermedi contigui. Vari sono i modi di passare da uno stato iniziale ad uno stato finale

Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo,così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma pV - con il volume del sistema, V, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica, cioè l’evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a uno stato finale


Esempi di trasformazioni Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma pV, con l’indicazione del lavoro compiuto dal sistema.

Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente, passando per stati di equilibrio.

dL F ds (pA)(ds) (p)(Ads) p dV L dL p dV

Vi

Vf


Trasformazioni particolari

Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non si verifica nessun trasferimento di calore con l’ambiente esterno.

Trasformazione a volume costante o isocora: durante la trasformazione il volume del sistema non cambia.

Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1° Principio.

Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema.

Trasformazione di espansione libera: è l’espansione di un gas da un recipiente a un ambiente in cui ci sia il vuoto. E’ anomala perché non passa da stati di equilibrio però possiamo scrivere.

int LE

LQ

QE int

0 0Δ 0 int T ELQ


Espansione libera

L’espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata. Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché, non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili.


Legge dei gas perfetti (ideali)

In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è:

pV = nRT [J].Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase.

– p [Pa] è la pressione – [Pa] = [Nm-2] = [kgms-2] [m-2] = [kgm-1 s-2] = [Jm-3]– V [m3] è il suo volume– n [mol] è il numero di moli di cui è composto– R [Jmol-1 K-1] è la costante dei gas – R = 8.31 [Jmol-1 K-1]– T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema

p [Jm-3] ·V [m3] = n [mol] ·R [Jmol-1 K-1] ·T [K] La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica:

R = k NA

NA = numero di Avogadro = 6.02 ·1023 [mol-1]k = costante di Boltzmann = 1.38·10-23 [J/K]


Note sulla legge dei gas perfetti

Si può esprimere utilizzando k e N=n·NA (N è quindi il numero di molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene

p V = N k TIn una trasformazione isoterma (T=costante) si ha, quindi:

p V = n R T = cost ⇒ p V = costNotiamo che in una trasformazione isoterma è necessario uno scambio di energia con l’ambiente esterno. Infatti se il sistema si espande da Vi a Vf > Vi , esso compie un lavoro che, a T = cost, deve essere compensato da un apporto esterno di energia: Eint = 0 = Q – L

In una trasformazione isocora (V=costante) si haV = (nRT)/p = cost ⇒ (nRT)/p = cost

In una trasformazione isobara (p=costante) si hap = (nRT)/V = cost ⇒ (nRT)/V = cost


Esercizio: Lavoro isoterma

Una mole di ossigeno O2 (supposto gas ideale) si espande a temperatura ambiente di 310 K da un volume Vi di 12 litri a un volume Vf di 19 litri. Determinare il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l’ambiente deve fornire al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione deve essere sufficientemente lenta !Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto al volume del gas:

J 11801219ln 310 31.8 1

ln ln

1 )(

1 costante1

costante ma

11

KKmolJmol

VV

nRTVnRTL

VdVnRTdV

VnRTL

VVTRnp

TRnVpdVpL

i

fVV

V

V

V

V

V

V

f

i

f

i

f

i

f

i

Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma pV la trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas durante l’espansione è rappresentato dall’area colorata sottesa dall’isoterma tra i punti Vi e Vf:Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante la trasformazione deve compensare il lavoro svolto.Eint = 0 = Q – L ⇒ Q = L = 1180 J = 0.28 kcal = 0.28 Cal

pi = 21.5 barpf = 13.6 bar


Teoria cinetica dei gas - I

Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un

recipiente cubico di lato L.

Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il lorocomportamento sia puramente statistico. La velocità media v è data dallarelazione: e i valori medi delle componenti della velocitànelle 3 direzioni sono uguali:

Consideriamo ora una molecola in moto lungo l’asse x con velocità media vx.

Se la molecola parte a t=0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo L/vx e ritorna alla partenza dopo Δt = 2L/vx

Supponiamo l’urto elastico. L’impulso ceduto è Jx =px = (-mvx) - (mvx) =- 2mvx

La forza esercitata dalla parete sulla molecola è

Quella sulla parete è uguale e opposta !9

Lm

Lm

tp

tJF x

x

xxxi

2

/22 v

vv

2222zyx vvvv

3/ anche e 22 22 vvvvvvv zyxzyx


Teoria cinetica dei gas - II

La forza che ogni molecola esercita sulla parete in questione è quindi:

Mentre la forza totale esercitata dalle Nmolecole per il moto lungo l’asse x, è data da:

Passando alla pressione si ha:

• Usando la legge dei gas si trova:

10

LmF x

i

2v

KVN

V

mN

LmN

LF

p xtot

322

1

32

3

2

3

2

2,

vv

LmNF x

xtot

2

,v

Velocità quadratica media

Energia cineticamedia

TkNTNkNNTRnVp A

A

TkKdoveKNTkNTRnVp23

32


P e T dalla teoria cinetica

Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica (statistica) legata all’energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in ultima analisi alla loro velocità quadratica media.Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle pareti.Abbiamo infine capito il significato dell’importantissima costante di Boltzmann, k[J/K] che rappresenta proprio un’unità elementare di energia per grado di temperatura dato che l’energia cinetica media delle molecole è:

Questa è, nel caso del gas ideale, l’energia interna per molecola monoatomica!

Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica media, nota la temperatura T

3323

21 22

MTRTRMTkm qmqmqm vvv

vqm = velocità quadratica media

M = massa molare (massa di 1 mol)

K 32

kT

AA NkRmNM eBasta ricordare che:


Esempio

L’aria è una miscela di azoto (N2’ (M(N2) = 28.0 u)) ossigeno (O2, (M(O2) = 32.0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) = 39.9 u)). Alla temperatura di 20 °C (293 K) la velocità quadratica media di ciascun gas sarà:

Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell

12

smmkTAr

smmkTN

smmkTO

mkT

qm

qm

qmqm

/4281066.19.39

2931038.133)(

/5111066.128

2931038.133)(

/4781066.132

2931038.133)(3

27

23

27

23

2

27

23

2

v

v

vv


Calori specifici molari dei gas - 1

Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di calore specifico molare.Un’altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura: a volume costante o a pressione costante.Ricordando che l’espressione dell’energia cinetica media delle molecole èproporzionale alla temperatura e che l’energia interna è la somma delle energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere:

Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro:

Il CV ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N2, O2, H2, aria. Ecc.) si ha:

TRnTkNnKNnETkK AA 23

23

int23

K)] [J/(mol 5.12 ma

23

23

intint

intint

RCTRnETn

ETn

QC

TCnEQLQE

VV

V

K)] [J/(mol 8.20 25

25

int RCTRnE V gas bi-atomico

gas mono-atomico


Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, Cp, notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il volume del sistema deve variare, poiché pV∝T e p=costante.Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L≠ 0. In sostanza, dalla solita formula si ha: Q=Eint+L. Dalle formule già ricavate:

int23

23

int

int

RCCRCCTCnERCTRnE

TRnVpLLQETCnQ

VppV

VV

p

14

Calori specifici molari dei gas - 2

In tabella sono riportati i calori specifici molari a volume costante di alcuni gas, monoatomici, biatomici e poliatomici. Si noti come per i gas monoatomici reali il valore sia molto simile a quello ottenuto per i gas ideali. Lo stesso vale per i biatomici.

Nota: questa previsione teorica concorda molto bene con i dati sperimentali

RCC Vp gas mono- e poli-atomici


Trasformazioni adiabatiche - I

Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali trasformazioni subite dal gas sul piano p-V:• Trasformazione isoterma: pV = costante, iperbole• Trasformazione isobara: p = costante, tratto orizzontale• Trasformazione isocora: V = costante, tratto verticale

Possiamo rappresentare sul piano p-V anche le trasformazioni adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia con l’esterno: Q = 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore) oppure eseguite in un ambiente ben isolato.

Per le trasformazioni adiabatiche vale che:

15

V

pffii C

CVpVp

pV

;

costante


Trasformazioni adiabatiche - II

Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione:

si dimostra facilmente dalla proprietà dQ = 0 e dall’espressione che abbiamo ricavato per la variazione dell’Energia interna. Infatti si ha:

16

costanteVpcost.VTcost.VT

VdV

VdV

VdV

TdTovvero

VdV

VdV

VdV

TdT

CC

dTRndEdEaria...) ,N ,O ,(H atomico-bi gas

CC

dTRndEdEAr...) (He, atomico-mono gas

VdVTRndVVpdVpdLdEdQ

V

pint222

V

pint

1

int

int

int

ln)1(ln

)1()571(

52)1()

351(

32

40.157

25

67.135

23

)(0

:abbiamo casi i entrambi in quindi

costantepV V

pC

C 5/3 = 1.67 per gas mono-atomico7/5 = 1.40 per gas bi-atomico


Esercizi Lezione 9Un bollitore viene riempito con un litro d’acqua a 20 °C. Supponendo che non ci sia scambio termico con l’ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda l’acqua consuma 1200 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 220 V, determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l’acqua alla temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta l’acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione, lasciando accesa la resistenza riscaldante. LV = 2256 kJ/kg. [ a) R = 40.3, b) tebol. = 279 s, c) tevap. = 1880 s ]

In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (330 cc) alla temperatura ambiente di 27 °C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0° C. [ Tfin = 2.2 °C ]

17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante da 300 K a 420 K. Calcolare: a) l’energia trasferita al gas come calore, b) l’incremento dell’energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) Q = n CpT = 3.5 kJ, b) Eint = nCVT = 2.5 kJ, c) Lsul gas = - Ldal gas = Eint – Q = - 1.0 kJ ]

17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 300 K e alla pressione di 0.400 atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1.2 atm. Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell’energia interna del gas, d) il calore che il gas riceve dall’ambiente. 1 atm = 1.013 x 105 Pa. [ a) 0.0410 m3, b) L = -5.48 kJ, c) Eint = 0, d) Q = -5.58 kJ ]


Esercizi Lezione 9 - continua

17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m3, seguendo una trasformazione quasi-statica data dalla relazione p =V2, dove = 5.00 atm/m6. Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione. [ L = 1.18 x 106 J ]

16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del diametro di 30.0 cm, alla temperatura di 20 °C e alla pressione di 1 atm, determinare: a) da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell’elio, d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell’energia cinetica media degli atomi. f) il valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell’elio èM = 4.00 g/mol. [ V = 1.41 x 10-2 m3, a) n = 0.588 mol, b) N = 3.54 x 1023, c) 2.35 g, d) 6.65 x 10-27

kg, e) 6.07 x 10-21 J, f) 1.35 x 103 m/s ]

17-6: Un gas ideale inizialmente a 300 K è sottoposto a una trasformazione isobara alla pressione di 2.50 kPa. Se durante la trasformazione il gas aumenta il suo volume da 1.00 m3 a 3.00 m3 e riceve una quantità di calore Q=12.5 kJ, determinare: a) la variazione dell’energia interna, b) la temperatura finale del gas [ Eint = 7500 J, Tf = 900 K ]

17-9: Un campione di 2.00 moli di gas perfetto biatomico si espande lentamente e adiabaticamente da una pressione di 5 atm e un volume di 12 litri a un volume di 30.0 litri. Determinare: a) la pressione finale del gas, b) le temperature iniziale e finale, c) le tre grandezze che compaiono nel primo principio della termodinamica. [ 1.39 atm=1.4·105 Pa, Ti = 366 K e Tf = 253 K, Eint = -4.7 kJ, Q = 0, L = 4.7 kJ ]

Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA · 2013-03-02 · Carlo Pagani &...

Documents

Transcript of Anno accademico 2011/12, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA · 2013-03-02 · Carlo Pagani &...