Fisica Terrestre Parte IVGravità e Gravimetria

A. CaporaliDipartimento di Geologia, Paleontologia e GeofisicaUniversità di Padova

Potenziale gravitazionaleForza gravitazionale tra due masse puntiformi a una distanza r:

Potenziale gravitazionale di una massa puntiforme posta nell’origine ovvero di una sfera omogenea di massa m, a una distanza r:

Potenziale di una sfera ruotante intorno ad un asse con velocità angolare : occorre considerare anche il potenziale centrifugo

12321 r

r

mGmF

r

GmU

2

cos222 r

r

GmU

x

y

Equipotenziale di una sfera ruotante

Equipotenziale = luogo dei punti di coordinate r, , tali che U(r,)=U0=costanteLa figura di equilibrio di una massa fluida è una equipotenziale detta ‘sferoide’Gravità dello sferoide

2sin

cos

22

222

rr

U

rr

Gm

r

U

U

t

t

Lo sferoide terrestre

)sin1()( 2 far

La sezione della equipotenziale U0=cost è una ellisse:

1/f = 298.257; a = 6378137 m sono i valori convenzionali (WGS84)

2

cos222 r

r

GmU

12

f ;2

1

)sin1(2

sin

21

2

cos1)(

3232

0

223232

0

232

0

Gm

r

GmU

Gma

faGm

r

Gm

r

U

Gm

Gm

r

U

Gmr

r

a

Valori numerici nel potenziale terrestre

grandezza simbolo Valore

Raggio equatoriale a 6378137 +/- 2 m

appiattimentof

1/298.257

Velocità angolare 7292115*10-11 rad/sec

Massa gravitazionale Terrestre

Gm 3986005 * 108m3/sec2

Conseguenze osservabili dello schiacciamento terrestre

Precessione degli equinozi: periodo 26000 anni, ampiezza 23.5° (obliquità dell’eclittica rispetto all’equatore

Precessione della linea nodale dell’orbita di un satellite (inclusa la luna):Ampiezza: è uguale all’inclinazione dell’orbita sull’equatore; periodo dipende dal raggio orbitale

Precessione Euleriana: moto geografico dell’asse di rotazione rispetto all’asse z di massimo momento di inerzia: ampiezza circa 15 metri; periodo osservato 430 gg.Richiede che l’asse istantaneo di rotazione e l’asse di massimo momento di inerzia formino un angolo non nullo

23.5°

eclittica

Gravità e Anomalie orizzontali e verticali

Gravità normale: campo gravitazionale dello sferoide(viene calcolata in ogni punto con una espressione adottata convenzionalmente

(IGSN71)

Gravità terrestre: campo gravitazionale effettivo della Terra( Gravità osservata: può essere pensata come il gradiente di un potenziale W)

Anomalia di gravità: differenza tra gravità terrestre e gravità normale

Deviazione della verticale: componenti orizzontali (est e nord) della anomalia di gravità. Misurano la pendenza del geoide (W0=cost) rispetto allo sferoide di riferimento (U0=cost)

Anomalia gravitazionale: componente dell’anomalia lungo la normale allo sferoide

Ur ),(

Wrg ),,(

gg

gg

Formule per la gravità normale e anomalie su grande scala

=9.78031846(1+0.005278895sin2+0.000023462 sin4), ove è la latitudine del punto sull’ellissoide

Riduzione delle anomalie gravimetriche in superficieLa definizione di anomalia gravimetrica assume che la g sia misurata sul geoide. In pratica la misura viene invece fatta sulla superficie topografica, che può avere una separazione dal geoide anche di migliaia di metri.Si rende necessario pertanto riportare una misura di g ad altezza topografica qualsiasi al valore che avrebbe se fatta sulla superficie del geoide.La prima correzioni da apportare è quella ‘di aria libera’: detta H la quota della stazione, per H>0 la gravità misurata viene aumentata di 2/r per un abbassamento di un metro.

geoide

sferoide

N

H

Molla a riposoMolla

allungata2/r~2x9.8/6378000

=0.3 * 10-5 1/s2

= 0.3 mGal/m

Ove 1 mGal= 10-5 m/s2

Anomalia di Bouguer (1/2)

dVGdg 4

2

2 44;4r

GMgGMdVGgrdg

d

g

hGgAhGdVGAgdg 244;2

Anomalia di Bouguer (2/2)L’integrale di superficie è esteso alla superficie di un cilindro: solo gli integrali sulle due basi contribuiscono, e lo fanno in modo in modo uguale, per simmetria. L’integrale sulla superficie curva è nullo perché g e l’elemento di area dsono ortogonali.L’integrale di volume è il prodotto della densità per la porzione di strato di materia intercettato dalla superficie cilindrica.

In definitiva, l’accelerazione prodotta da una lastra è

Ove h è espresso in metri e si è assunta una densità media della crosta 2670 kg/m3

Per riportare allo sferoide la gravità misurata sulla superficie topografica, che si assume pianeggiante, dobbiamo aumentare, per ogni metro di quota, di 0.3 mGal (aria libera), e diminuire di 0.11 mGal (piastra di Bouguer), in definitiva aumentare di 0.19 mGal per metro.

d

d

g

g

A

A

hmGalh

hhGg

*11.0

*2670*10*67.6*28.62 11

Correzione topografica, e da corpi sommersi (1/2)

Campo prodotto da una distribuzione sferica di massa con contrasto di densità, posta a profodità (o altezza) b e distanza orizzontale x:

Il primo termine rappresenta il valore assoluto della forza, il secondo il fattore di proiezione cosper avere la componente normale

2222

3

3

4

bx

b

bx

RGg

b

R

g

x

Correzione topografica, e da corpi sommersi (2/2)

b

x

2/322 bx

b

maxmax

2

3

max

35.022

)(

3

4

)0(

gg

bxg

b

GRgxg

Esempio: una cupola di sale

La curva di best fit in basso corrisponde a b= 6 km, 4GR3/3b2=10 mGal

Assumendo che il sale abbia densità 2200 kg/m3 e i sedimenti circostanti 2400 kg/m3, si ottiene R=4 km

NB: non possiamo risolvere per R e separatamente

-0.035

Campo di una distribuzione rettilinea di massa

gN

Cerchio ausiliario

x

b

Piano topografico

Distribuzione lineare cilindrica di massa (sezione)

2R

dVGdg 4

22

2222 2

*44;2bx

RGgGRdVGgbxdg

Applichiamo il teorema di Gauss a una superficie cilindrica di lunghezza l (NB: il risultato sarà poi indipendente da l!) coassiale con l’asse della distribuzione di massa di densità in eccesso o difetto rispetto alla densità circostante

Poiché il gravimetro misura la sola componente verticale della g, dobbiamo moltiplicare g per il coseno dell’angolo rispetto alla verticale

22

2

2222

2 22

bx

bRG

bx

b

bx

RGg N

g(x=0)=gmax=-2GR2/b g(x=b)=gmax/2

Isostasia, orogeni: equilibrio statico

T = 30 km

hhHgHH)gρ(h

H)gρ(h

gHP

mm

m

5.4 equilibrioAll'

unitaria base di areaper immersa, massa della peso il è

aread' unitàper spostato, fluido del peso il è

m

h

H

In equilibrio, il peso del fluido spostato eguaglia la forza peso:

P

All’equilibrio, la topografia h viene sostenuta da una radice di profondità proporzionale H sufficiente a creare una spinta isostatica uguale e opposta

Isostasia, orogeni: sviluppo di un bacino flessurale per un supporto elasticoLa trattazione isostatica non considera l’elasticità del supporto e assume che l’unico sostegno venga dalla spinta isostatica, come per un galleggiante.

Quando si considera che il supporto è elastico, la profondità della radice H sarà inferiore che nel caso puramente isostatico perché alla spinta isostatica si sommano le forze elastiche nel supporto

Tali forze sono responsabili dello sviluppo di bacini flessurali ai fianchi, che tendono a riempirsi di sedimenti

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Isostasia e orogeni: effetti gravimetricig

m

h

H

Teorema: in un orogeno compensato isostaticamente l’anomalia di aria libera è zero

BghGhr

g 22

Corr. arialibera

Corr. Bouguer

Anomalia di Bouguer causata da difetto di massa di spessore H

hGHGgg mBB 22 : di Modello Segue che l’anomalia di aria libera g-+2h/r si annulla

Isostasia e fosse oceanicheA. Compensazione isostatica

m

w

H

h

TP=Tg

hhhHgHHhThTgm

wmw 4.3

27003200

10002700)(

B. Gravimetria (g è misurata sul fondo dell’oceano, in superfice):

hGHGg

ghGhr

g

wmB

Bw

)(2)(2

)(22

Segue che anche negli oceani compensati l’anomalia di aria libera si annulla