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Fisica per MedicinaLezione 2 - Matematica e Cinematica

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

17 ottobre 2017

Indice

Richiami di matematicaEsponenziale e logaritmoFunzioni trigonometricheCalcolo infinitesimale

CinematicaVelocità ed accelerazioneTipi di moto

2/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 2 - Matematica e Cinematica – Dr. Cristiano Fontana – 17 ottobre 2017

Proprietà delle potenze

Definizioni

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n volte

(1)

anm =

m√

an (2)

Valori notevoli

0n = 0 n 6= 0 (3)

a0 = 1 a 6= 0 (4)

00 = indeterminata (5)

Potenze colla stessa base

an · am = an+m (6)an

am = an−m (7)

(an)m = an·m (8)

Potenze collo stessoesponente

(a · b)n = an · bn (9)(ab

)n=

an

bn (10)


Logaritmi

DefinizioniIl logaritmo è definito come lafunzione inversa della potenza:

an = b ⇔ loga b = n (11)

ovvero

loga (an) = n. (12)

È definito solo per b > 0, b ∈ R.

Valori notevoli

loga 1 = 0 (13)loga a = 1 (14)

Identità

loga(x · y) = loga x + loga y (15)

loga

(xy

)= loga x − loga y (16)

y · loga x = loga xy (17)1y· loga x = loga

y√

x (18)

loga x =logb xlogb a

(19)


Funzione esponenziale e logaritmo naturale I

2 1 0 1 2 3 4 52

1

0

1

2

3

4

5

ExponentialLogarithm

La funzione esponenziale è unaparticolare funzione moltoimportante, è definita come:

exp (x) = ex (20)

ove e è detto numero di Nepero evale

e ≈ 2.71828 . . . (21)

La sua funzione inversa è illogaritmo naturale:

log (ex) = x . (22)


Funzione esponenziale e logaritmo naturale II

2 1 0 1 2 3 4 52

1

0

1

2

3

4

5

ExponentialLogarithm

Proprietà dell’esponenzialeOgni potenza può esserericondotta all’esponenziale:

ax = ex·log a (23)


Fattoriale

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120 Factorial Il fattoriale di un numero è definitocome

n! =n∏

i=1

i = n·(n−1) · · · 3·2·1 (24)

per sua natura è definito solo suinumeri naturali. Per convenzione sidefinisce anche

0! = 1. (25)


Funzioni trigonometriche I

θ

r s

x

y

(x0,y0)

sin θ

cos θ

Le funzioni trigonometriche sonofunzioni di un angolo, che mettonoin relazione i lati di un triangolorettangolo.

cos θ =x0

r=

adiacenteipotenusa

(26)

sin θ =y0

r=

oppostoipotenusa

(27)

tan θ =y0

x0=

sin θ

cos θ(28)

Un suggerimento. . . Coseno e seno sono in ordine alfabetico come xe y .


Funzioni trigonometriche II

Valori notevoliθ θ cos θ sin θ◦ rad

0 0 0 1

30 π6

√3

212

45 π4

√2

2

√2

2

60 π3

12

√3

2

90 π2 0 1

180 π -1 0

360 2π 1 0

Identità trigonometrichehttps://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A0_trigonometrica


Limiti

M

L - L

L +

LimitFunction

Un limite rappresenta un metodo di esprimere il valore a cui tende unafunzione attorno ad un punto x0, che può trovarsi anche all’infinito. Siindica colla notazione:

limx→x0

f (x) = L (29)

ove L può essere finito o infinito.


https://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A0_trigonometrica

Limite finito attorno ad un punto finito

x - x x +

L -

L

L +

LimitFunction

Formalmente si dice L è il limite di f (·) per x che tende a x0, se perogni ε > 0, ε ∈ R esiste un δ > 0, δ ∈ R tale che 0 < |x − x0| < δ allora|f (x)− L| < ε; ovvero

limx→x0

f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε

(30)


Limite finito all’infinito

M

L - L

L +

LimitFunction

Formalmente si dice L è il limite di f (·) per x che tende a ∞, se perogni ε > 0, ε ∈ R esiste un M > 0, M ∈ R tale che M < x allora|f (x)− L| < ε; ovvero

limx→∞

f (x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃M > 0 : M < x ⇒ |f (x)− L| < ε (31)


Limite infinito attorno ad un punto finito

x - x x +

0

N Function

Formalmente f (·) ha limite +∞ per x che tende a x0, se per ogniN > 0, N ∈ R esiste un δ > 0, δ ∈ R tale che 0 < |x − x0| < δ alloraN < f (x); ovvero

limx→x0

f (x) = +∞ ⇔ ∀N > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ ⇒ N < f (x)

(32)


Limite infinito all’infinito

M0

N

Function

Formalmente f (·) ha limite +∞ per x che tende a +∞, se per ogniN > 0, N ∈ R esiste un M > 0, M ∈ R tale che M < x allora N < f (x);ovvero

limx→∞

f (x) = +∞ ⇔ ∀N > 0 ∃M > 0 : M < x ⇒ N < f (x) (33)


Calcolo di limiti

Datolim

x→x0f (x) = Lf e lim

x→x0g(x) = Lg (34)

allora valgono:

limx→x0

[f (x)± g(x)

]= Lf ± Lg (35)

limx→x0

[f (x) · g(x)

]= Lf · Lg (36)

limx→x0

f (x)g(x)

=Lf

Lgse Lg 6= 0 (37)

Limiti notevoli e forme indeterminatehttps://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevolehttps://it.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminata


Derivata

x

f(x )

TangentFunction

La derivata rappresenta il coefficienteangolare della retta tangente al puntoconsiderato di una funzione, ovvero iltasso di variazione istantaneo dellafunzione. È definita tramite il limite delrapporto incrementale:

dfdx

(x0) = f ′(x0) = limε→0

f (x0 + ε)− f (x0)

ε(38)


https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_notevole

https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminata

Calcolo di derivate

Le derivate sono applicazioni lineari e vale:

ddx

a = 0 a ∈ R (39)

ddx

a · f (x) = ad

dxf (x) (40)

ddx

[f (x) + g(x)

]=

ddx

f (x) +d

dxg(x) (41)

ddx

[f (x) · g(x)

]= f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x) (42)

ddx

f (x)g(x)

=f ′(x) · g(x)− f (x) · g′(x)

g(x)2 (43)

ddx

f(

g(x))= f ′

(g(x)

)· g′(x) (44)

Regole di derivazionehttps://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione


Integrale

0a b

0

+-

FunctionPositive areaNegative area

L’integrazione è l’operazione inversa delladerivazione.∫

f (x)dx = F (x) (45)

F ′(x) = f (x) (46)(47)

La funzione F (·) è detta primitiva e, nelcaso di funzioni ad una variabile,rappresenta l’area sottesa dal loro grafico:

F (b)− F (a) =∫ b

af (x)dx (48)

(49)


https://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione

Calcolo di integrali

Gli integrali sono applicazioni lineari e vale:∫a · f (x)dx = a

∫f (x)dx (50)∫ [

f (x) + g(x)]

dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx (51)∫

f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x)dx (52)

Integrali comunihttps://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_pi%C3%B9_comuni


Indice

Richiami di matematicaEsponenziale e logaritmoFunzioni trigonometricheCalcolo infinitesimale

CinematicaVelocità ed accelerazioneTipi di moto


https://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_pi%C3%B9_comuni

Posizione

La posizione di un punto è una grandezza vettoriale (espressa permezzo delle sue coordinate).

~r =

xyz

(53)


Posizione e distanza

La distanza è una grandezza vettoriale?No, è una grandezza scalare: è il modulo del vettore differenza tra duepunti.

d =∣∣∆~r ∣∣ = ∣∣~r2 −~r1

∣∣ (54)


Traiettoria

È l’insieme delle posizioni durante il moto.


Velocità

È una grandezza vettoriale che indica il rapporto tra lo spazio percorsoed il tempo impiegato per percorrerlo.

Velocità media

〈v〉 = ∆x∆t

(55)

Velocità istantaneaDerivata della posizione in funzione del tempo:

~v =d~rdt

= lim∆t→0

∆~r∆t

(56)


Direzione della velocità

Il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria.


VelocitàAnalisi dimensionale

Essendo una grandezza derivata la sua unità di misura è espressacome una combinazione di altre unità fondamentali.

[v ] =[∆x ][∆t ]

=[L][t ]

=ms

(57)

Esempi:I Limiti di velocità nel SI:

50kmh

= 50kmh

·1000mkm

· 13600 s/h

=503.6

ms

= 13.9 m/s (58)

I Velocità della luce nel vuoto:

3 · 108 m/s = 3 · 108 m/s · 0.001 km/m = 300 000 km/s (59)


Accelerazione

È una grandezza vettoriale che indica il rapporto tra una variazione divelocità ed il tempo impiegato per avere questa variazione.

Accelerazione media

〈a〉 = ∆v∆t

(60)

Accelerazione istantaneaÈ la derivata seconda della posizione in funzione del tempo, ovvero laderivata della velocità in funzione del tempo.

~a =d2~rdt2 =

d~vdt

= lim∆t→0

∆~v∆t

(61)


Direzione dell’accelerazioneL’accelerazione può avere una direzione qualunque ma può esserescomposta in due componenti:

~a = ~aT + ~aC (62)

ove:I ~aT è la componente tangenziale (parallela alla velocità) che

rappresenta la variazione del modulo della velocità,I ~aC è la componente perpendicolare alla velocità, che rappresenta

la variazione della direzione della velocità. È spesso dettaaccelerazione centripeta.


AccelerazioneAnalisi dimensionale

[a] =[∆v ][∆t ]

=[v ][t ]

=[L][t2]

=ms2 (63)

Esempi:I Accelerazione di una Lamborghini (0-100 km/h in 2.5 s):

〈a〉 = ∆v∆t

=100 km/h

2.5 s=

100/3.62.5

m/s2 = 11.1 m/s2 (64)

I Accelerazione di gravità:

g = 9.8 m/s2 (65)


Quantità di moto

La quantità di moto è una grandezza vettoriale definita come:

~p = m~v (66)

In generale per un sistema a più corpi:

~p =∑

i

mi~vi (67)

Analisi dimensionale:

[p] = [m][v ] = [M][L][t ]

= N · s (68)


Legge oraria

Un moto può essere descritto completamente dalla sua legge oraria,ovvero dalla relazione che lega la sua posizione al tempo trascorso.

~r(t) =

x(t)y(t)z(t)

(69)

Da cui è possibile ricavare le espressioni della velocità edaccelerazione, derivando le funzioni delle componenti:

~v(t) =d~rdt

(t) =

vx(t)vy (t)vz(t)

, ~a(t) =d2~rdt2 (t) =

ax(t)ay (t)az(t)

(70)


Moto uniforme I

Un oggetto non soggetto ad accelerazioni si muove di moto uniforme.Per praticità, possiamo assumere che la direzione del moto sia l’assex e possiamo considerare il moto come unidimensionale.

~r(t) =

x(t)00

r(t) = x(t) (71)

Per ottenere x(t) integriamo l’accelerazione:

a = 0 (72)

v(t) =∫

0 dt = v0 (73)

x(t) =∫

v(t)dt =∫

v0 dt = v0 · t + x0 (74)


Moto uniforme II

Riassumiamo:

a = 0 (75)v(t) = v0 (76)x(t) = v0 · t + x0 (77)

ove v0 e x0 sono costanti arbitrarie legate alle condizioni iniziali.

v(0) = v0 (Velocità iniziale) (78)x(0) = x0 (Posizione iniziale) (79)


Moto uniformemente accelerato I

Un oggetto soggetto ad accelerazione costante si muove di motouniformemente accelerato. Prendiamo in considerazione un moto con~a‖~v0 e quindi unidimensionale.Per ottenere x(t) integriamo l’accelerazione:

a = a0 (80)

v(t) =∫

a0 dt = a0t + v0 (81)

x(t) =∫

v(t)dt =∫

a0t + v0 dt =12

a0t2 + v0t + x0 (82)


Moto uniformemente accelerato II

Riassumiamo:

a = a0 (83)v(t) = a0t + v0 (84)

x(t) =12

a0t2 + v0t + x0 (85)

Esempi:I Quanto spazio percorre la Lamborghini per arrivare a 100 km/h?

∆t =∆va

=100 km/h11.1 m/s2 = 2.5 s (86)

x(∆t) =12

a∆t2 =12· 11.1 m/s2 · (2.5 s)2 = 34.7 m (87)


Moto di un proiettile IMoto parabolico in due dimensioni

Un corpo sulla terra è soggetto ad un’accelerazione, in primaapprossimazione, costante, pari a g = 9.8 m/s2. Condizioni iniziali:

~a(t) =

00−g

~v(0) =

v0 cos θ0

v0 sin θ

~r(0) =

000

(88)

ove θ è l’angolo di lancio. Possiamo considerare solo il piano xz edignorare y .La legge oraria diventa quindi:

~r(t) =(

v0 cos θ tv0 sin θ t − g

2 t2

)(89)


Moto di un proiettile IIEquazione della traiettoria

Dalla legge oraria

~r(t) =(

v0 cos θ tv0 sin θ t − g

2 t2

)

{x = v0 cos θ tz = v0 sin θ t − g

2 t2 (90)

si ricava

t =x

v0 cos θ(91)

(92)

quindi

z(x) =v0 sin θ

v0 cos θx − g

2v20x

x2 = tan θ x − g2v2

0xx2 (93)


Moto di un proiettile IIIMassima altezza

0 1 2x [m]

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z [m

]

Il punto di massima altezza èraggiunto quando

vz(t) = v0z − gt = 0 ⇒ t =v0z

g(94)

quindi

x =v2

0 sin θ cos θg

(95)

z =v2

0 sin2 θ

2g(96)


Moto di un proiettile IVGittata

0 1 2x [m]

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

z [m

]

Cerchiamo gli zeri dell’equazionedella traiettoria

z(x) = 0 (97)

quindi

xmax = 2x (98)

=2v2

0 sin θ cos θg

(99)

=v2

0 sin(2θ)g

(100)

che è massima quando sin(2θ) èmassimo, ovvero quando θ = 45◦.


Moto di un proiettile VApplicazioni pratiche


Moto di un proiettile VIEsempio

Determinare g in px/s2 e v0 inpx/s.Possiamo usare le formule di z (96)e t (94):

z =v2

0 sin2 θ

2g(101)

∆t = 2t =2v0 sin θ

g(102)

ottenendo:

g = 321 px/s2 (103)v0 = 600 px/s (104)


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