Fisica Applicata alla Biologia

Guido Tiana (Dipartimento di Fisica, email: tiana@mi.infn.it))

pagina web: http://www.mi.infn.it/~tiana/fisica_bio

Aula 303, lunedi e martedi, 14.30-16.30

Cosa dovete sapere: cos’è un campo elettricoun po’ di trigonometriaqualcosa sulle derivate e ricordarsi vagamente cos’è un integrale

Libri: qualunque libro di eletrtomagnetismo e ottica (es. Halliday-Resnick-Walker, Fondamentidi Fisica: elettrologia,magnetismo e ottica)

il campo elettrico E (ripasso...)

q Ecariche generano campi elettrici

!

r E (x) =

1

4"#$

q

r2

r u r

r E tot (x) =

1

4"#$

qi

ri

2

r u ri

i

%

q1q2

q3

x

!

r E tot (x) =

1

4"#$

dq

r2

r u r%

dq

x

distribuzione discreta

distribuzione continua

E qcampi elettrici producono forze sulle cariche

qE

FEqFrr

=

→

→

→

per due cariche puntiformi

Energia potenziale

r

qqrU 21

4

1)(

!"=

per un sistema di cariche !"

=ji ij

ji

r

qqU

042

1

#$

L'energia totale del sistema si conserva: K + U = costante

Potenziale elettricoper una carica in un campo generato da altre cariche

0q

UV

!=!

e' equivalente alla conoscienza del campox

VEx

!

!"=

y

VEy

!

!"=

z

VEz

!

!"=, ,

sdEVVV

A

B

BA

rr!"="=# $e' uniforme nei conduttori

Esempio

Se l’assone fosse nel vuoto e fosse infinitamente sottile e lungo: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

y

x

P

!

dr E (P) =

dq

4"#0r2

r u r =

$dx

4"#0r2

r u r (dove λ=dq/dx e’ la densita’ lineare di carica)

dE

dq

r

ϑ

!

dEx(P) =

"dx

4#$0r2sin%

!

dEy (P) ="dx

4#$0r2cos%

!

Ex(P) = dE

x" = 0

!

Ey (P) = dEy ="dx

4#$0(x

2+ y

2)

•y

x2

+ y2

%&

&

'' ="

2#$0y

r2r / y =cos ϑ

http://integrals.wolfram.com

1mM di Cl- = 1023 x 10-3 dm-3

la sezione dell’assone del calamaro e’ Σ=1mm2=10-4dm2, quindici sono 1020 x 10-4 = 1016 ioni/dmquindi λ=-e x 1016 dm-1=-10-19C x 1017m-1=-10-2 C/m

alla distanza y=1mm E=-10-2 Cm-1/(10-10 CN-1m-2 x 10-3m) = -1011 N/C (E IL POTENZIALE??)

e’ tanto? il campo che il nucleo produce sull’elettrone e’ E=10-19C/(10-10 CN-1m-2 x 10-20m) = 1011N/C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

!

r E "

r u nd# =

qtot

$0#

% = 0

Σ

E = 0

Caso piu’ realistico: distribuzione cilindrica di carica negativa, circondata dauna distribuzione cilindrica di ugual carica positiva.

• l’eventuale campo sarebbe necessariamente perpendicolare al cilindro (x simmetria)• uso la legge di Gauss

Elettroforesi

+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

-- - - -

- -

-- -

-

-DNA

ΔV

Strategia: 1) calcolo il campo elettrico tra le due piastre2) calcolo il moto del DNA attraverso F = qE

→ →

+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

Com'e' fatto il campo elettrico tra le due piastre?(carica uniforme e piastre infinite)

PdE(P)→

La carica non e' puntiforme!

...non posso usare

!

r E (x) =

1

4"#$

q

r2

r u r

Considero la piastra come compostada aree infinitesime dA, che possoconsiderare praticamente puntiformi,e sommo (integro) tutti i contributi dE.

dA

!

dr E (x) =

1

4"#$

dq

r2

r u r

r E tot (x) = d

r E i

i

%

!= itotEdxErr

)(

dE→

dEx

dEz

0== yx EE perche' ogni contributo dEx delsemipiano positivo di x e'cancellato esattamente dalvettore del semipiano negativo

+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

P

dE(P)→

dA

xy

z

!= itotEdxErr

)(Tutto consegue da

dEx

dEz

Ez non dipende da x, y, z perche' se le piastresono abbastanza grandi...

P

Ez

P'

Ez

QUINDI... E(P) = Ez = costante(e punta verso la piastra negativa)

(i vettori corrispondenti ai contributi infinitesimi formano una specie di semicerchio identici in ogni punto)

Sarebbe diverso se le piastre fossero piccole:

P

P'

z

VEz

!

!"=

Tra le due piastre e' applicata una differenza di potenziale ΔV (ad opera di unqualche generatore).

In generale , ma noi sappiamo che Ez non dipende da z

Quale funzione V se derivata rispetto a z produce la costante Ez ? V = - Ez • z

( cioe' )zEzEdzEVz

z

z

z

z!"=#"="=!

!!

$ 0

0

Quindi.... Ez = -ΔV / ΔzΔz Ez

Esempio:Se metto una carica positiva q0 in prossimita’ della lastra carica positivamente, con che velocita’ urtera’ lalastra carica negativamente?

L’energia si conserva: all’inizio l’energia e’ solo potenziale U=q0ΔValla fine e’ solo cinetica K=1/2 mv2

quindi 1/2mv2 = q0ΔV, e quindi v = (2q0 ΔV/m)1/2

ΔV = - Ez • Δz

Calcolo del moto del DNA

se mettessi tra le piastre un liquido viscoso: vFFE

rrr!"=

γ e' il coefficiente di frizione viscosa

γ = 6 π η R N (Legge di Stokes)η e' il coefficiente di viscosita'R il raggio della sferaN il numero effettivo di sfere

R

FE = q N E (dato che la carica totale del DNA e' qN)

→ →

vFamE

rrr!"=Quindi l'equazione di Newton e'

FE e' costante nel tempo, v aumenta nel tempo, quindi ad un certo punto FE = γ v

l'accelerazione e' zero ed il DNA si muove di moto rettilineo uniforme

vFE

rr!"=0

RN

qNEFv E

!"# 6==

rr

NON DIPENDE DA N (l'elettroforesi non funziona)

+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

-- - - -

-

Devo usare un gel! (un gel e' una "soluzione" di polimeri intrecciati)

+ + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - -

-- - - -

-gel La catena si muove

come se fosse inun tubo.

per E piccolo γgel dipende debolmente da N

!

1

" gel=

1

6#$N 2a1+

N(qaE)2

12 (kT)2

%

& '

(

) *

se N << 12 (kT)2/(qaE)2 γgel va come N2

v=qNE/γgel proporz. a 1/N

se N >> 12 (kT)2/(qaE)2 γgel ancora proporz. a Nv=qNE/γgel indipend. da N

elettroforesi funziona!

elettroforesi non funziona!

per E grande γgel proporzionale a N elettroforesi non funziona!Duke et al. Phys. Rev. Lett. 3260, 69 (1992)

Per esempio,

ΔV = 100 V E=ΔV/h=10V/0.1m=103 J/Ch = 0.1 mq = 10-19 CT = 300 Ka = 10-8 m

N = 12 (kT)2/(qaE)2 = 12 (300K 10-23 J/K)2 / (10-19C 10-8m 103 J/C)2 = 10 10-42 J2 / 10-48 J2 = 107

Corrente elettrica

dt

dq

t

qi t =

!

!= "! 0lim si misura in C/s = Ampere (A)

- --

- --

ΔV

La forza elettrica e' bilanciata dagli urti delle cariche (DNA) con il mezzo cheriempie le due piastre. Per materiali semplici

R

Vi

!= dove R e' la resistenza e si misura in V/A=Ohm

Questo vale per esempio per gli elettroni nei conduttori metallici.

Esempio

100 V

200 V

Zona pianeggiante, tempo sereno: ΔV=100V ogni metro,quindi c’e’ un campo E=100 V/m (la terra e’ carica negativamente)..

In totale ΔV=400000 V tra la terra e il limite dell’atmosfera (50km).

Un conduttore modifica nelle sue vivinanze la forma del campo.

Nell’atmosfera ci sono degli ioni, generati dai raggi cosmici,che si muovono con resistenza R=400 Ohm.

Ci sara’ una corrente di cariche positive verso la terra pari ai =400000 V / 400 Ohm =1000 A

Dato che la terra ha raggio r = 40000 Km, cioe’ superficie S = 1015 m2, la corrente che attraversa la superficieterrestre e’ 1000A / 1015 m2 = 10-12 A/m2 (cioe’ piccola, a livello locale)

Perche’ l’atmosfera non si scarica in pochi minuti?

Ci sono 40000 fulmini al giorno sulla terra, che riportano 103A di carica negativa sulla terra.

Esercizio:

Sia dato un anello di raggio R con carica q uniformemente distribuita su di esso.Che direzione ha il campo elettrico?Aumenta o diminuisce all'aumentare della distanza di P dall'anello?(+ difficile) Calcolare esattamente il campo.

P

E(P) ?

q

Suggerimento: la densita' di carica sull'anello e' λ=q/2πR, quindi un elementino infinitesimo di anello di lunghezza dL avra' carica λdL.