Fisica Applicata alla Biologia
Guido Tiana (Dipartimento di Fisica, email: [email protected]))
pagina web: http://www.mi.infn.it/~tiana/fisica_bio
Aula 303, lunedi e martedi, 14.30-16.30
Cosa dovete sapere: cos’è un campo elettricoun po’ di trigonometriaqualcosa sulle derivate e ricordarsi vagamente cos’è un integrale
Libri: qualunque libro di eletrtomagnetismo e ottica (es. Halliday-Resnick-Walker, Fondamentidi Fisica: elettrologia,magnetismo e ottica)
il campo elettrico E (ripasso...)
q Ecariche generano campi elettrici
!
r E (x) =
1
4"#$
q
r2
r u r
r E tot (x) =
1
4"#$
qi
ri
2
r u ri
i
%
q1q2
q3
x
!
r E tot (x) =
1
4"#$
dq
r2
r u r%
dq
x
distribuzione discreta
distribuzione continua
E qcampi elettrici producono forze sulle cariche
qE
FEqFrr
=
→
→
→
per due cariche puntiformi
Energia potenziale
r
qqrU 21
4
1)(
!"=
per un sistema di cariche !"
=ji ij
ji
r
qqU
042
1
#$
L'energia totale del sistema si conserva: K + U = costante
Potenziale elettricoper una carica in un campo generato da altre cariche
0q
UV
!=!
e' equivalente alla conoscienza del campox
VEx
!
!"=
y
VEy
!
!"=
z
VEz
!
!"=, ,
sdEVVV
A
B
BA
rr!"="=# $e' uniforme nei conduttori
Esempio
Se l’assone fosse nel vuoto e fosse infinitamente sottile e lungo: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
y
x
P
!
dr E (P) =
dq
4"#0r2
r u r =
$dx
4"#0r2
r u r (dove λ=dq/dx e’ la densita’ lineare di carica)
dE
dq
r
ϑ
!
dEx(P) =
"dx
4#$0r2sin%
!
dEy (P) ="dx
4#$0r2cos%
!
Ex(P) = dE
x" = 0
!
Ey (P) = dEy ="dx
4#$0(x
2+ y
2)
•y
x2
+ y2
%&
&
'' ="
2#$0y
r2r / y =cos ϑ
http://integrals.wolfram.com
1mM di Cl- = 1023 x 10-3 dm-3
la sezione dell’assone del calamaro e’ Σ=1mm2=10-4dm2, quindici sono 1020 x 10-4 = 1016 ioni/dmquindi λ=-e x 1016 dm-1=-10-19C x 1017m-1=-10-2 C/m
alla distanza y=1mm E=-10-2 Cm-1/(10-10 CN-1m-2 x 10-3m) = -1011 N/C (E IL POTENZIALE??)
e’ tanto? il campo che il nucleo produce sull’elettrone e’ E=10-19C/(10-10 CN-1m-2 x 10-20m) = 1011N/C
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
!
r E "
r u nd# =
qtot
$0#
% = 0
Σ
E = 0
Caso piu’ realistico: distribuzione cilindrica di carica negativa, circondata dauna distribuzione cilindrica di ugual carica positiva.
• l’eventuale campo sarebbe necessariamente perpendicolare al cilindro (x simmetria)• uso la legge di Gauss
Elettroforesi
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
-- - - -
- -
-- -
-
-DNA
ΔV
Strategia: 1) calcolo il campo elettrico tra le due piastre2) calcolo il moto del DNA attraverso F = qE
→ →
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
Com'e' fatto il campo elettrico tra le due piastre?(carica uniforme e piastre infinite)
PdE(P)→
La carica non e' puntiforme!
...non posso usare
!
r E (x) =
1
4"#$
q
r2
r u r
Considero la piastra come compostada aree infinitesime dA, che possoconsiderare praticamente puntiformi,e sommo (integro) tutti i contributi dE.
dA
!
dr E (x) =
1
4"#$
dq
r2
r u r
r E tot (x) = d
r E i
i
%
!= itotEdxErr
)(
dE→
dEx
dEz
0== yx EE perche' ogni contributo dEx delsemipiano positivo di x e'cancellato esattamente dalvettore del semipiano negativo
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
P
dE(P)→
dA
xy
z
!= itotEdxErr
)(Tutto consegue da
dEx
dEz
Ez non dipende da x, y, z perche' se le piastresono abbastanza grandi...
P
Ez
P'
Ez
QUINDI... E(P) = Ez = costante(e punta verso la piastra negativa)
(i vettori corrispondenti ai contributi infinitesimi formano una specie di semicerchio identici in ogni punto)
Sarebbe diverso se le piastre fossero piccole:
P
P'
z
VEz
!
!"=
Tra le due piastre e' applicata una differenza di potenziale ΔV (ad opera di unqualche generatore).
In generale , ma noi sappiamo che Ez non dipende da z
Quale funzione V se derivata rispetto a z produce la costante Ez ? V = - Ez • z
( cioe' )zEzEdzEVz
z
z
z
z!"=#"="=!
!!
$ 0
0
Quindi.... Ez = -ΔV / ΔzΔz Ez
Esempio:Se metto una carica positiva q0 in prossimita’ della lastra carica positivamente, con che velocita’ urtera’ lalastra carica negativamente?
L’energia si conserva: all’inizio l’energia e’ solo potenziale U=q0ΔValla fine e’ solo cinetica K=1/2 mv2
quindi 1/2mv2 = q0ΔV, e quindi v = (2q0 ΔV/m)1/2
ΔV = - Ez • Δz
Calcolo del moto del DNA
se mettessi tra le piastre un liquido viscoso: vFFE
rrr!"=
γ e' il coefficiente di frizione viscosa
γ = 6 π η R N (Legge di Stokes)η e' il coefficiente di viscosita'R il raggio della sferaN il numero effettivo di sfere
R
FE = q N E (dato che la carica totale del DNA e' qN)
→ →
vFamE
rrr!"=Quindi l'equazione di Newton e'
FE e' costante nel tempo, v aumenta nel tempo, quindi ad un certo punto FE = γ v
l'accelerazione e' zero ed il DNA si muove di moto rettilineo uniforme
vFE
rr!"=0
RN
qNEFv E
!"# 6==
rr
NON DIPENDE DA N (l'elettroforesi non funziona)
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
-- - - -
-
Devo usare un gel! (un gel e' una "soluzione" di polimeri intrecciati)
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
-- - - -
-gel La catena si muove
come se fosse inun tubo.
per E piccolo γgel dipende debolmente da N
!
1
" gel=
1
6#$N 2a1+
N(qaE)2
12 (kT)2
%
& '
(
) *
se N << 12 (kT)2/(qaE)2 γgel va come N2
v=qNE/γgel proporz. a 1/N
se N >> 12 (kT)2/(qaE)2 γgel ancora proporz. a Nv=qNE/γgel indipend. da N
elettroforesi funziona!
elettroforesi non funziona!
per E grande γgel proporzionale a N elettroforesi non funziona!Duke et al. Phys. Rev. Lett. 3260, 69 (1992)
Per esempio,
ΔV = 100 V E=ΔV/h=10V/0.1m=103 J/Ch = 0.1 mq = 10-19 CT = 300 Ka = 10-8 m
N = 12 (kT)2/(qaE)2 = 12 (300K 10-23 J/K)2 / (10-19C 10-8m 103 J/C)2 = 10 10-42 J2 / 10-48 J2 = 107
Corrente elettrica
dt
dq
t
qi t =
!
!= "! 0lim si misura in C/s = Ampere (A)
- --
- --
ΔV
La forza elettrica e' bilanciata dagli urti delle cariche (DNA) con il mezzo cheriempie le due piastre. Per materiali semplici
R
Vi
!= dove R e' la resistenza e si misura in V/A=Ohm
Questo vale per esempio per gli elettroni nei conduttori metallici.
Esempio
100 V
200 V
Zona pianeggiante, tempo sereno: ΔV=100V ogni metro,quindi c’e’ un campo E=100 V/m (la terra e’ carica negativamente)..
In totale ΔV=400000 V tra la terra e il limite dell’atmosfera (50km).
Un conduttore modifica nelle sue vivinanze la forma del campo.
Nell’atmosfera ci sono degli ioni, generati dai raggi cosmici,che si muovono con resistenza R=400 Ohm.
Ci sara’ una corrente di cariche positive verso la terra pari ai =400000 V / 400 Ohm =1000 A
Dato che la terra ha raggio r = 40000 Km, cioe’ superficie S = 1015 m2, la corrente che attraversa la superficieterrestre e’ 1000A / 1015 m2 = 10-12 A/m2 (cioe’ piccola, a livello locale)
Perche’ l’atmosfera non si scarica in pochi minuti?
Ci sono 40000 fulmini al giorno sulla terra, che riportano 103A di carica negativa sulla terra.
Esercizio:
Sia dato un anello di raggio R con carica q uniformemente distribuita su di esso.Che direzione ha il campo elettrico?Aumenta o diminuisce all'aumentare della distanza di P dall'anello?(+ difficile) Calcolare esattamente il campo.
P
E(P) ?
q
Suggerimento: la densita' di carica sull'anello e' λ=q/2πR, quindi un elementino infinitesimo di anello di lunghezza dL avra' carica λdL.
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