ORARIO marted Aula A22 ore [10.30 - 12.30] Mercoled Aula C11 ore [8.30-9.30]- Gioved Aula F5 ore [10.30 - 12.30]27/10/10-Richiamo sui campi: il campo scalare, il concetto di gradiente28/10/10 Loperatore nabla; il teorema dArchimede, il teorema della divergenza, il flusso di un campo attraverso una superficie1/11/10 Def di divergenza, divergenza di campo colombiano, esercizi??teorema della divergenza, applicazioni9/11/10 Significato fisico del rotore; rotore di un campo di velocit rigido; angolo solido ed angolo solido con segno. Il flusso di campo gravitazionale attraverso superficie chiusa tramite langolo solido. Lequazione: G 4 . Esercizio: la somma dei vettori rappresentanti una superficie chiusa nullo. Introduzione al teorema di Stokes10/11/10 Lequazione di Laplace nel caso della temperatura, soluzione dellequazione di Poisson in regione illimitata.?? Il teorema di Stokes, nuova definizione del rotore; la carica elettrica16/11/10 La legge di Coulomb, sistema MKS e CGS18/11/10 Applicazioni del teorema di Gauss al calcolo dei campi??? il potenziale2/12/10 Il dipolo elettrico14/12/14 coeff. di mutua capacita e mutua influenza, capacit di condensatore piano e sferico; energia di un condensatore16/12/10 I limiti dellelettromagnetismo, il problema della stabilit dellatomo, equazione di continuitFISICA IISono arcinote le esperienze che mostrano che una bacchetta di vetro strofinata con una pelle di gatto ( non ditelo alla societ protettrice degli animali! ) attira piccoli pezzi di carta ecc. ecc., come pure noto il fatto che le foglioline di un elettroscopio divergono se viene avvicinata una bacchetta di vetro dopo essere stata strofinata ( elettrizzata). Tali e mille altre esperienze possono essere spiegate se si ammettono i seguenti fatti: le particelle che costituiscono la materia possiedono una propriet che si chiama: carica elettrica. Tale propriet pu essere di due tipi: positiva e negativa. Particelle con cariche dello stesso tipo se ravvicinate si respingono, mentre se sono di tipo diverso, si attirano. Comparazione delle caricheSi dir che due particelle hanno cariche uguali se, poste alternativamente nella medesima posizione rispetto ad un terzo corpo carico, subiscono la medesima forza. Risulta che due particelle che hanno carica uguale se testate con un corpo C, hanno carica uguale anche se testate con un qualunque corpo C,quindi quella che si data una buona definizione di uguaglianza di carica, intrinseca alla coppia, in quanto indipendente da C. Risulta sperimentalmente che fondendo tra loro corpi con carica positiva e negativa, si possono ottenere corpi che con sono n attratti n respinti da corpi carichi. Si dice quindi che le cariche positive hanno compensato le negative ed ecco dunque il motivo per cui le cariche vengono detto positive e negative e non, ad esempio, alte e basse. Si dir che un corpo A ha carica doppia, tripla, di un secondo B, se posta di fronte ad un terzo corpo carico C, risente di una forza doppia, tripla, di quella che risentirebbe B e che ha una carica -2 volte, -3 volte quella di B, se risente di una forza doppia, tripla, di quella di B, ma diretta in senso opposto. Anche ora, come prima, la carica non risulta dipendere dal corpo di prova C.Quanto detto sopra ha chiaramente carattere discorsivo; il caso ora di passare ad aspetti quantitativi.Si fissi in modo preciso ed univoco un modo di caricamento di un dato corpo. (ad esempio: si strofini per un assegnato periodo di tempo il corpo con una pelle di gatto dalle caratteristiche specificate, esercitando una forza tal dei tali per un ben determinato tempo, movendo il corpo con velocit assegnata.) Alla fine di tale caricamento sul corpo vi sar presente una carica che verr detta unitaria. Dalla misura delle forze elettriche che si esercitano allora su altri corpi,sar allora possibile associare ad ognuno di questi un valore per la carica elettrica posseduta.Legge di Coulomb (1785).1Consideriamo due corpi, di dimensioni trascurabili (rispetto alla reciproca distanza), quindi considerati puntiformi e siano fermi in un sistema di riferimento inerziale. Possiedano poi carica q1 e q2. Il primo sia collocato in un punto individuato dal vettore r1 ed il secondo dal vettore r2 Le cariche siano immerse nel vuoto e siano a distanza enorme dalle altre eventuali cariche. Risulta allora sperimentalmente che sul primo agisce una forza data da:32 12 12 1 1r rr rf q q Ke sul secondo una forza:f2 = f1Osservazione: siccome corpi puntiformi non esistono, la legge di sopra significa che, tanto pi due corpi sono piccoli e tanto meglio la loro forza dinterazione quella di sopra Osservazione: quasi nessun testo riferisce di un lavoro di Gauss del 1835 che corregge la formula di Coulomb quando le cariche sono in moto con velocit relativa v (ma senza accelerazione!). Anche se tale formula non verr probabilmente usata in seguito, la riporto per curiosit:)] cos231 ( ) ( 1 [2 232 12 12 1 1 +cvq q Kr rr rfIn questa formula c la velocit della luce nel vuoto (circa 300000 km/h) e langolo tra ve 2 1r r . Il terminecorrettivoallaleggedi Coulombdunqueproporzionaleal rapportoal quadratodellavelocit relativa diviso quella della luce: nelle normali esperienze dunque un termine estremamente piccolo e questo giustificailfattochevienesempretrascurato. Nelcasoincuicisianopresenti puredelle accelerazioni, lespressione della forza diventa poi molto pi complicata e si presentano gravi problemi per la determinazione dei moti delle cariche perch, fino ad ora, la prima equazione cardinale diceva:ma = f, dove f era una funzione nota di r e v, f = f(r,v,t), ma ora, se dipende dallaccelerazione, f = f(r,v,a,t) e quindi: f = ma = f(r,v,a,t) e le cose si complicano (Vedi comunque Feynmann, vol I, formula 28.3)La formula.32 12 12 1 1r rr rf q q Kesprime in termini matematici il fatto che tale forza diretta lungo la retta che congiunge i due punti (r2 - r1) infatti un vettore che ha direzione della retta che passa per i due punti e che, al variare della distanza reciproca, decresce come il quadrato di questa distanza. Che dipenda poi dal prodotto delle due cariche, deriva dalla definizione che si data sopra di multiplo di una data carica. La quantit K una costante, nel senso che non varia al variare delle posizioni, al variare della carica, al variare del tempo nel quale si esegue lesperienza (Se gli antiche Romani avessero eseguito lesperienza,avendo caricato i punti materiali con il medesimo procedimento seguito da noi ed avessero posto i due punti alla medesima distanza reciproca alla quale li mettiamo noi, avrebbero trovato la medesima forza che troviamo noi e questo vuol dire che il K il medesimo e cio non dipende dal tempo). Dipende per ovviamente dalla definizione di unit di carica. Se infatti assumiamo come unit di carica una che dieci volte superiore, mentre prima due cariche unitarie a distanza unitaria si respingevano con una forza numericamente data da K, ora due cariche unitarie ( cio dieci volte pi grosse di prima) si respingono con una forza che 100 volte la precedente. Se vogliamo scrivere linterazione come:32 12 12 1 1~r rr rf q q K, occorrer prendere K K 100~. Fatte dunque queste considerazioni, risulta dunque che, se si gi definita lunit di carica prima della determinazione sperimentale della legge di Coulomb, la costante K da determinarsi sperimentalmente. Viceversa, si pu assegnare un valore arbitrario alla costante K e definire in tal modo lunit di carica. ( si fissi, ad esempio, la costante K pari a 17,81. Lunit di carica allora sar quella che, posta ad una distanza unitaria da unaltra uguale, risente di una forza pari a 17,81 newton). Se si segue questa seconda strada, non si sceglier ovviamente per K il numero a caso 17,81, ma quello che semplifica maggiormente la formula di sopra, cio il numero 1. In tale sistema una carica sar unitaria se, posta di fronte ad una distanza unitaria da una uguale, risente di una forza unitaria. In tale modo lunit di carica viene ad essere non ununit fondamentale, ma dipendente dalle unit di lunghezza, massa e tempo, nel senso che , se noi mutiamo queste, muta lunit di carica. Per ragioni storiche, chi usa per la meccanica il sistema CGS ( centimetro per le lunghezze, grammo per la massa e secondo per il tempo), pone K = 1 [ quindi per lui lunit di carica quella che, posta ad un cm da una uguale, risente di una forza di una dine e prende il nome di Franklin, 2(simbolo: Fr) o anche statcoulomb (simbolo: statC)], mentre chi usa il sistema MKS adotta una definizione per lunit di carica indipendente dalle unit di lunghezza, massa e tempo ( quale sia questa unit di carica lo si vedr in seguito) e la costante K viene allora ad essere soggetta a misura. A questo punto i seguaci del sistema MKS si dividono in due schiere: c chi preferisce scrivere la costante Kcome: 01` Ke chi la scrive invece come: 041 ` K. Si dice che i primi seguono il sistema MKS, mentre i secondi, il sistema MKS razionalizzato. Sarebbe quindi pi chiaro scrivere allora:zato razionaliz zato razionaliz nonK0 041 1 `Noi seguiremo il sistema MKS razionalizzato e quindi dovrei ora dare la definizione di unit di carica, ma questa si preferisce darla in seguito. Comunque, definita eattamente pi avanti questa unit di carica, la costante e0 assoggettabile a misura sperimentale. Tale costante prende il nome di : costante dielettrica del vuoto. La sua misura migliore fornisce il valore: 8.854187817 10-12 nel sistema MKS. Si ha quindi: K = 8.987551785 109 9 109 Alla carica unitaria si d il nome di Coulomb, simbolo C. Una carica unitaria dunque tale che, posta di fronte ad una uguale, alla distanza di 1 metro, sottoposta ad una forza di (circa) 9 10 9 newton( una forza enorme! Mai in pratica si potr caricare un corpo di un Coulomb! )Esercizio: determinare a quanti Franklin corrisponde 1 CoulombCi si pu chiedere ora: la carica che un corpo pu avere una quantit variabile con continuit o varia a scatti, come, ad esempio il numero di persone in una stanza? La risposta si e no! mi spiego meglio: lacqua contenuta in un bicchiere variabile con continuit o no? Se assumiamo un punto di vista macroscopico, la quantit dacqua chiaramente una quantit che pu variare di poco quanto si vuole, ma a rigore, se si assume un punto di vista microscopico, siccome lacqua composta da molecole, qualunque quantit dacqua sar espressa da un numero intero di molecole e quindi una quantit che varia in modo discreto. Lestrema piccolezza della molecola, sia per quanto riguarda il suo peso che il suo volume, fa s che nella vita quotidiana la quantit dacqua possa considerarsi una grandezza continua. Analogo discorso vale per la carica elettrica. Ogni carica elettrica positiva (negativa) un multiplo intero della carica del protone (elettrone). La carica poi del protone , con incredibile precisione, pari al valore assoluto di quella dellelettrone. Pi precisamente si ha: 2010 0 in qualche punto di questa superficie, in altri punti dovrebbe aversi < 0 (altrimenti il teorema di Gauss applicato ad una superficie chiusa contenente la cavit e tutta interna al conduttore condurrebbe ad un assurdo). Consideriamo allora una linea di campo che parte dalla zona con >0 per arrivare a R. La direzione poi del campo, per motivi di simmetria, sar radiale. dunque:rRE0il potenziale sar una funzione (r) tale per cui d/dr = E e quindi (r) = ) ln(00rr R= ) ln(200rrLQ (R) = ) ln(200RrLQ (r0 il punto dove il potenziale viene messo a 0). Ma qui sorge un fatto piuttosto imbarazzante: si era detto sopra infatti che il potenziale viene messo nullo allinfinito, quindi r0 dovrebbe dunque essere infinito, ma allora il potenziale sulla superficie del cilindro sarebbe infinito! Questo fatto anomalo deriva dallaver fatto una supposizione irreale: qualunque cilindro reale ha una lunghezza finita, la sua carica contenuta in una regione finita ed il potenziale si potr sempre definire nullo allinfinito. Proseguendo comunque formalmente si avrebbe: C = Q/(r) = ) ln(200RrL Quindi, per quanto detto, non ha senso parlare di propriet di oggetti infinitamente lunghi, se ci di cui si vuol parlare conduce ad assurdit. necessario quindi considerare il cilindro di lunghezza finita (2L). Il conto esatto del potenziale per presenta grosse difficolt matematiche, per cui sar necessario fare qualche approssimazione ( purch non conducano ad assurdi!) Osserviamo a tal fine che, se il cilindro infinitamente lungo, il campo elettrico al suo interno nullo e quindi ogni punto del suo interno si trova allo stesso potenziale dei punti della superficie laterale. Possiamo supporre allora che anche nel nostro cilindro finito il potenziale del punto pi distante dai bordi, cio del suo centro, sia allo stesso potenziale di corrispondenti punti sulla superficie, che il valore che deve dividere la carica per ottenere la capacit. Vediamo ora il cilindro costituito da tanti anelli carichi e determiniamo il potenziale in un punto dellasse. Lanello, di altezza dz, porta una carica dq = 2Rdz. Un punto sul suo asse a distanza z dal piano dellanello ha potenziale:)2RLarcsinh(R 4Q)2RLarcsinh(2122410 02 /0 2 202 20LRdzz RRdzz RRdL + +e quindi:)2( arcsin40RLhL R QC [ ricordare che arcsinh(x) = ln(x+1+x2) ]CondensatoriConsideriamo un conduttore 1 cavo, scarico, di superficie esterna S2 e superficie interna S1. nella cavit di questo conduttore vi un conduttore 2, di superficie S0, che non tocca il primo. Su 2 venga depositata una carica Q. allora immediato vedere, tramite il teorema di Gauss, che su S1 viene a crearsi una densit di carica tale per cui la carica totale che si trova su S1 Q. si consideri infatti una superficie di forma uguale ad S1 ma leggermente pi grande, che contenga S1 e che venga quindi a trovarsi tutta nel metallo del conduttore 1. in ogni suo punto E nullo, dato che nel conduttore e quindi il flusso del campo elettrico nullo. Ma al suo interno c sicuramente la carica Q messa da noi e quindi deve esserci anche una carica Q che deve allora ovviamente essere distribuita su S1. Essendo poi il conduttore 1 scarico, sulla S2 verr a trovarsi una carica Q. Se colleghiamo ora a terra il conduttore 1, la carica presente su S2 lascia il conduttore 55che resta soltanto con la Q sulla sua faccia interna. Diciamo allora che abbiamo costruito un condensatore ad influenza totale ( perch ogni linea di forza che parte da un conduttore, finisce sullaltro) al quale abbiamo comunicato una carica Q. La capacit C di un condensatore definita dal rapporto:) 2 ( ) 1 ( QC `dove (1) e (2) sono i potenziali dei due conduttori, od armature. Tale differenza di potenziale si chiama pure voltaggio e si indica con V e si misura, ovviamente in volt. Lunit di capacit ovviamente il farad.Problema: esprimere la capacit di un condensatore in termine dei coefficienti cr,sRisposta: il conduttore 1 porti una carica Q, mentre il 2 una carica Q. allora:'+ + ) 2 (2 , 2) 1 (1 , 2) 2 (2 , 1) 1 (1 , 1 c c Qc c Qe quindi:'+ +Qc c c cc cQc c c cc c21 12 22 1121 11 ) 2 (21 12 22 1112 22 ) 1 (e allora 22 12 21 1121 12 22 11) 2 ( ) 1 (c c c cc c c c QC+ + + `Problema Sia abbiano due superfici conduttrici cilindriche indefinite, di sezione normale circolare, di raggio r1 ed r2 (> r1) disposte coassialmente. Determinare la capacit, per unit di lunghezza, di siffatto condensatoreProblema si abbiano due strati conduttori, ognuno delimitato da due superfici piane parallele ed indefinite. I due conduttori siano disposti parallelamente. Sulla superficie di uno, per fissare le idee, il superiore, viene depositata, per unit di superficie, una carica 1, mentre sullaltro, linferiore, una carica, sempre per unit di superficie, 2. Determinare il campo elettrico in tutto lo spazio e le densit di carica 1,1 ,1,2 ,2,1 , 2,2 sulla quattro superfici.Risposta: per motivi di simmetria, il campo E sar sempre perpendicolare alle lastre. Al di sopra dellarmatura superiore valga E1; nellarmatura sar 0, fra le due armature sar E2, nellarmatura inferiore sar 0 e sotto linferiore sar E3 ( tali valori indicano le componenti lungo lasse z perpendicolare alle piastre). Viste le lastre ad una grande distanza, queste si comportano, dato che non riusciamo ad individuare la loro struttura interna, come uno strato di carica con densit = 1 + 2. il campo generato da uno strato ha il medesimo valore da una parte come dallaltra (verso opposto) e vale /20. Quindi avr:0 2 , 2 0 1 , 1 0 2 1 0 3 1/ / 2 / ) ( 2 / + E EDove le ultime due uguaglianze derivano dalla relazione tra campo elettrico e densit di carica nelle immediate vicinanze di un conduttore. Deve essere poi 2 2 , 2 1 , 2 1 2 , 1 1 , 1; + +e quindi:' +1 , 1 2 , 22 , 1 1 , 22 12 , 12 11 , 122 Detta d la distanza tra le due lastre, la differenza di potenziale vale poi: V = 1,2d / 0 Se ora 1 = - 2, si creato un condensatore piano, la cui capacit, riferita ad una superficie S allora data da:dSC0 capacit di condensatore pianoSe le due lastre di superficie S non sono inserite nel resto del conduttore, la capacit di questo sistema non esattamente quella trovata, per effetto dei bordi, (infatti la densit di carica non sar uniforme e quindi non 56sar pi V=Ed) ma lo sar approssimativamente quanto pi piccolo d rispetto a S( non si pu dire: quanto pi piccolo d rispetto ad S perch non hanno le stesse dimensioni!)Problema: Mostrare che per un condensatore piano i coefficienti ci,j, valgono:Sdc c Sdc c01 , 2 2 , 102 , 2 1 , 1 Risposta: Partiamo dalla relazione fondamentale:'+ + ) 2 (2 , 2) 1 (1 , 2) 2 (2 , 1) 1 (1 , 1 c c Qc c QSi gi visto che i c sono simmetrici, cio: c1,2 = c2,1 = y. Daltra parte, sempre per simmetria, c1,1 = c2,2 = x. Quindi la relazione di sopra si scrive:' + +Q y xQ y x) 1 ( ) 2 () 2 ( ) 1 ( e quindi risolvendo: dSc c ydS Qc c x0 1 , 2 2 , 1 02 12 , 2 1 , 1; Energia di un sistema di caricheSupponiamo di portare n cariche puntiformi q1, q2, qn , tutte inizialmente a distanza reciproca infinita, fino alle posizioni r1, r2,rn Per spostare la prima carica non occorre evidentemente alcun lavoro, ma per spostare la seconda e le successive, s, dato che occorre spostarle in un campo elettrico creato dalle precedenti gi allocate. Ci si propone ora di valutare tale lavoro. Osserviamo che, per portare una carica q2, inizialmente a distanza infinita da una carica q1 , ad una distanza reciproca r12, occorre fornire un lavoro 122 101241rq qL che chiamo: lavoro di assemblaggio della coppia (1,2). Supponiamo ora di aver gi collocato m cariche al loro posto, avendo compiuto un lavoro L. Collochiamo ora al suo posto la carica successiva. Per fare ci, occorre compiere del lavoro contro il campo dovuto alla carica 1, 2, m.Il lavoro totale in questa fase quello di assemblaggio della coppia (1,m+1), pi il lavoro di assemblaggio della coppia (2,m+1)+ pi il lavoro di assemblaggio della coppia (m,m+1). Ne consegue allora che il lavoro totale per sistemare tutte le cariche quello di assemblaggio di tutte le coppie. Se calcoliamo nj ij iL1 ,, conteggiamo effettivamente tutte le coppie, ma ognuna di queste viene conteggiata du volte( ad esempio compare L37 e L73) mentre dovrebbe essere conteggiata una volta sola. Si rimedia a ci diveidendo semplicemente al somma per 2. Ancora unosservazione: nella doppia sommatoria compaiono anche addendi con indici uguali che sarebbero infinito! Occorre allora escluderli dalla sommatoria. Per il lavoro totale di assemblaggio di n cariche posso dunque scrivere: nj ij i j ij inj ij ij i totalerq qL L1 , 0 1 ,8121 Osservo ora che la doppia sommatoria pu essere eseguita nel seguente ordine:

,_

nini jj j ijinj i j ij inj ij i totalerqqrq qL L1 1 0 1 , 0 1 ,818121 Ma il termine tra parentesi altro non che il potenziale generato nel punto dove si trova la carica i da tutte le altre e quindi ho:

,_

nii inini jj j iji totaleqrqq L1 0 1 1 08181 Nel caso in cui le cariche costituiscono un sistema continuo, la formula di sopra diventa:57

,_

Spazio Spazio Spazitotaled d d continuo sistema L r r r r rr rrr3 3 30) ( ) (21'') ' (41) (21) ( dove (r) il potenziale nel punto generico r generato dalla distribuzione di carica stessa.Se le cariche, dalla loro posizione attuale, si riportano allinfinito, in tale processo forniscono il lavoro L. quindi tale espressione pu a buon diritto ritenersi come una forma di energia (energia elettrostatica) che indico con U, accumulata nelle cariche. Si pu dunque scrivere: spazio lo TuttodV u U L ) (rcon u(r)=-(r)(r)/2Quanto sopra scritto si lascia interpretare dicendo che lenergia totale si pu vedere come una somma ( tale il significato infatti di un integrale) di tanti termini, ognuno contenuto in un elemento dV il cui valore u. quindi, a buon diritto u(r) si lascia intendere come densit di energia elettrostatica. Secondo tale interpretazione, l dove non c carica (e/o non c potenziale) non c neppure energia elettrostatica. Del resto il ritenere che dove non ci sono cariche non ci sia energia elettrostatica, pu parere naturale. Sempre secondo linterpretazione di sopra, lenergia che si dovuta spendere per formare la data distribuzione del campo, risiede dunque nelle varie cariche secondo la formula scritta sopra. Se si hanno dunque due cariche, Q e q il lavoro compiuto per portarle da distanza reciproca infinita ad una distanza r, lavoro che sappiamo essere pari a KQq/r e che misura lenergia elettrostatica accumulata, deve essere visto come: U = Q (generato dalla carica q nel punto dove c la carica Q)/2+ q (generato dalla carica Q nel punto dove c la carica q)/2 E cio:U = KQq/(2r) + KqQ/(2r)E lespressione trovata giusta!Il fatto importante per da notare che lespressione: spazio lo tuttodV ) ( ) (21r r , mentre fornisce il valore esatto del lavoro compiuto e quindi dellenergia elettrostatica accumulata, non vincola obbligatoriamente a ritenere u come espressione della densit di energia elettrostatica. In altri termini, possibile ( e presto lo far!) manipolare matematicamente lespressione ottenendo un integrale, eseguito sempre su tutto lo spazio, col medesimo valore di prima, il cui integrando per sia diverso (laffermazione ovvia a priori: se due integrali fatti su una certa regione sono uguali, non detto che gli integrandi siano uguali!)Cio posso avere: spazio lo tutto spazio lo tuttodV u dV u ) (~) ( r rcon) (~) ( r r u u Ho detto: accumulata nelle cariche. Ma questa energia forse posseduta parzialmente dalluna carica e parzialmente da unaltra? No, una carica sempre la stessa, sia che sia in presenza di altre che sola; non possibile, esaminandola sia pur attentamente, scorgere in lei alcunch che possa farci subodorare che abbia talora una maggiore e talora una minore energia. chiaro che questa energia, pari a L, appartiene alla struttura, delle cariche, alla loro disposizione reciproca, oltre che, ovviamente, dal loro valore. Dovr quindi essere esprimibile in termini di un qualcosa univocamente associato a questa struttura. E che cosa c di univocamente associato ad una struttura di cariche? Ma il campo elettrico creato da queste! Ed possibile esprimere tale lavoro L in termini del campo elettrico generato dalle cariche? Certo! quello che faccio ora. Essendo infatti: E = /0, sostituendo ho: spazio lo tutto spazio lo tuttodV dV L E r r r ) (2) ( ) (210 58Ora risulta, che se E un generico campo vettoriale e un generico campo scalare, si ha (per provarlo basta eseguire le derivazioni)E E E ) (Ottengo quindi:[ ] spazio lo tutto spazio lo tuttodV dV L E E E r ) (2) (20 0Ma essendo E = -, ho:[ ] + spazio lo tuttodV L E E E) (20Applicando il teorema della divergenza, ho: + spazio lo tutto inito all erficied dV Linf ' sup0 0) (2 2S E E E Dove la superficie allinfinito unimmaginaria superficie che racchiude tutto lo spazio.Vediamo pi da vicino questultimo integrale. La superficie immaginaria che racchiude tutto lo spazio pu essere pensata come una sfera di raggio R (che poi si immaginer infinito) che contiene tutta la carica delluniverso ( indicata con Q) Il potenziale allora varr sulla superficie di tale sfera:R eQ04 ed il campo elettrico: 304 RQ RE e quindi 4RRE ed allora RddRd SRS E4Integrando su tutto langolo solido ottengo un qualcosa di proporzionale a 1/R Ora, perch la mia sfera possa contenere tutta la carica delluniverso, il suo raggio deve andare allinfinito, ma allora lintegrale zero!Si ha dunque: spazio lo tuttodV L E E20Che la formula che si voleva ottenere. Lei suggerisce di considerare unenergia associata al campo elettrico E con una densit di energia pari a:E E 20uLa formula trovata, associando al campo unenergia, fornisce concretezza fisica al campo elettrico che, ricordiamolo, fino ad ora era stato introdotto come un puro flatus vocis per evitare la poco accettabile idea di unazione a distanza.La formula trovata stata dedotta nel caso del campo elettrostatico, ma, anticipando le cose, si vedr che vale anche nel caso generale di campo non statico.Per una deduzione leggermente diversa, vedi Becker pag. 110Esercizio: Determinare, servendosi della formula per la densit denergia elettrostatica in termini del campo,la pressione elettrostatica che vige sulla superficie di un conduttore carico, gi ottenuta precedentemente con altro ragionamento.Risposta: Supponiamo che una superficietta infinitesima del conduttore,sotto la pressione elettrostatica, si sposti verso lesterno di uno spostamento infinitesimo dx. Per fare s che questa trasformazione avvenga passando per stati di equilibrio, eserciteremo dallesterno una pressione verso linterno del conduttore pari alla pressione elettrostatica (a rigore, di un infinitesimo inferiore perch possa avvenire questa trasformazione) In questo modo noi, raccogliamo lavoro. Quanto prescisamente? La forza p dS, lo spostamento dx e quindi il lavoro raccolto dL = pdSdx. Ma dSdx altro non che il volumetto infinitesimo dV del cilindretto di base dS ed altezza dx che viene creato in questa deformazione del conduttore, quindi dL=pdV. Ora, in questo volumetto, prima della deformazione, essendo estremamente prossimo alla superficie del conduttore, era presente un campo E il cui valore dato, come si visto sopra, da: E = /0. Lenergia elettrostatica che era contenuta in lui era dunque data da udV, con u = 0E2/2 = 0(/0)2/2 = 2/2 0.Dopo la deformazione il volumetto in questione viene a trovarsi allinterno del conduttore, dove il campo nullo e quindi lenergia elettrostatica diminuita della quantit 2/2 0 dV Questa energia stata raccolta 59dalla mia mano che ha ricevuto, come si visto unenergia pari a pdV. Uguagliando le due quantit e sopprimendo il dV comune si ottiene: p= 2/2 0Esercizio: calcolare il lavoro necessario per costruire una sfera di carica di raggio R e densit costante .Risposta: chiaro che occorrer compiere un lavoro positivo perch, costruita una sfera di raggio minore, per accrescerla occorrer vincere la repulsione elettrostatica tra la nuova carica che si porta e la gi costituita. Per calcolare tale lavoro, potremo usare la formula della densit di energia ed integrare su tutto lo spazio. Il campo elettrico generato da una sfera carica con carica Q :'R r seRr QR r serQ3020414 EQuindi: + Sfera Esterno Sfera spazio lo tuttodVrQdV rRQdV4200 2 2300 01)4(2)4(2 2 E EEssendo: dV = 4r2 dr, ho: + + RQ RRQdrrQdr rRQRR14 )4(2 54 )4(214 )4(24 )4(220052300220004 2300 RQRQRQ0202022038 40 +Questo lavoro misura dunque anche lenergia accumulata nella nostra distribuzione di carica. Ma, secondo questa formula, si nota un fatto importante: la carica elementare non pu essere puntiforme! Infatti lespressione trovata per lenergia diverge se R 0. Beh, direte voi, lidea di un qualcosa di puntiforme solo unastrazione matematica; in natura nulla puntiforme. Quando noi nei nostri conti supponiamo qualcosa come puntiforme, solo perch le dimensioni in gioco sono molto maggiori di quelle del corpo. Benissimo, ma allora sorge questo problema: come fanno le parti dellelettrone a stare insieme? Sorgono forse delle altre forze, di natura non elettrica? La presenza di tali forze, studiate in dettaglio da Poincar,solleva problemi a non finire. Forse che le legge dellelettrodinamica non valgono a dimensioni del raggio dellelettrone? Pare di si. Comunque il raggio dellelettrone si pu stimare con il seguente ragionamento: come tutti sanno, ad una massa m corrisponde (e viceversa) unenergia data da: E = mc2 Supponendo che la massa dellelettrone sia tutta di origine elettromagnetica, il suo raggio (se si immagina lelettrone una sfera carica con densit uniforme) si pu stimare ponendo: 202202203203c mQR c mRQee 1.69 10-13 cmQuesto valore (od un suo prossimo che pu variare a seconda di come si immagini distribuita la carica allinterno della sfera o se anche la forma stessa non propriamente sferica) detto raggio classico dellelettrone e determina i limiti dellapplicabilit dellelettrodinamica classica. Bisogna per tener presente che in realt tali limiti sono ancora pi ristretti per lesistenza dei fenomeni quantistici che entrano in gioco per distanze dellordine dicmmc1010 4 . 2 hAltro modo di risolvere il problema: supponiamo di costruire la nostra sfera portando via via sulla sfera che si gi formata, delle croste sferiche di spessore infinitesimo. Calcoliamo il lavoro per portare dallinfinito una siffatta crosta e sommiamo su tutte le croste. Procediamo: quando la sfera nel suo accrescersi giunta ad avere raggio r (< di R), il potenziale da lei generato sulla sua superficie lo stesso di quello che avremmo se tutta la carica fosse concentrata nel suo centro e quindi :rr rcarica13441) (30 60La carichetta dq che si porta ora, avendo forma di crosta sferica, si scriver: dr r dq24 e quindi il lavoro per portarla al suo posto, sar:drrdr rrdq r dL04 22023443) ( Il lavoro totale si otterr integrando tra 0 e R ottenendo cos:L=RQR drrdLR205 20 0 04 220315434 Altro modo di risolvere il problema: applicando direttamente la formula: spazio lo tuttodV L ) ( ) (21r r Calcoliamo il potenziale generato dalla sfera in un generico punto distante r dal centro della sfera:RQ r RdrrQdrrrd d d rRRr RRr r14 6) ( 14 434) (0 02 220230 + + + r E r E r EScrivendo dQ = 4r2dr, ho:dq r) (21Problema: Lespressione : spazio lo tuttodV E E20 chiaramente sempre maggiore di 0, mentre lespressione: nj ij ij ij iq q1 , 1081r r o la sua analoga nel caso continuo, da cui derivata, possono benissimo essere pure negative! Come mai questa differenza? (vedi Becker pag. 109-110)Esercizio: Un condensatore di capacit C porta una carica Q (unarmatura Q e laltra Q) Calcolare il lavoro compiuto per caricare il condensatore.Risposta: partiamo dalla formula: spazio lo tuttodV L ) ( ) (21r r Lintegrazione su tutto lo spazio si riduce allintegrazione sulle due armature, dato che fuori non c carica. Ma su ogni armatura il potenziale costante e vale 1 sulluna e 2 sullaltra. Quindi : 222 12211212121) (21) (21) ( ) (21CVCQQV Q Q dV dV dV Larmatura armatura spazio lo tutto + r rEsercizio: Consideriamo un condensatore a lastre piane e parallele, carico con una carica Q. con che forza si attirano le armature?Risposta Trascurando gli effetti ai bordi, la carica si trova tutta sulla faccia interna, dando luogo ad una densit superficiale . Ma sappiamo allora che presente una pressione elettrostatica pe = 2/20 e quindi la forza sar: f = peS = S2/20. Altro ragionamento: le due cariche sono due strati di carica. Il campo generato da uno strato : E = /20. La carica dellaltra armatura immersa in tale campo e quindi risente di una forza f = QE = Q /20Macchine elettrostatiche vedere gli appunti scannerizzati a pag. 44Condensatori in serie ed in parallelo un semplice esercizio vedere che due condensatori di capacit C1 e C2 messi in parallelo ( le due armature di un condensatore sono collegate elettricamente alle due dellaltro) sono equivalenti ad un unico condensatore di capacit C data da:C = C1 + C2 un semplice esercizio vedere che due condensatori di capacit C1 e C2 messi in serie ( unarmatura di un condensatore collegata elettricamente ad una dellaltro e le due restanti portano una carica Q e -Q) sono equivalenti ad un unico condensatore di capacit C data da:612 11 1 1C C C+ Esercizio: Supponiamo di avere n cariche puntiformi fisse nello spazio. Il campo da esse generato si annuller (forse) in certi punti dello spazio i quali certamente non coincidono con la posizione di alcuna carica. La nullit del campo vuol dire che una carica ferma messa in questi punti resta nel posto, dato che non c forza che la mette in moto. Ci vogliamo chiedere se qualcuno di questi punti dove sia annulla il campo e dove non c carica, pu essere punto di equilibrio stabile. Un punto di equilibrio stabile se, ovviamente di equilibrio ed inoltre se, allontanata di sufficientemente poco in direzione qualsivoglia un carica, su di lei sorge una forza diretta verso la primitiva posizione che tende dunque a riportare la carica nella posizione di equilibrio. Pensiamo ad una pallina in fondo ad una buca: comunque si sposti la pallina ( purch per di poco), essa viene sospinta verso il punto pi basso dove era prima e quindi il fondo di una buca un punto di equilibri stabile. Non cos invece la sommit di un colle: se noi spostiamo la pallina, non lungo la cresta del colle, ma nella direzione di un versante, anche se la spostiamo di pochissimo, la pallina cade e si allontana sempre pi dalla sua posizione primitiva. Ebbene, tornando al quesito si pu dire che: nessun punto di un campo elettrostatico dove il campo nullo di equilibrio stabileInfatti, per assurdo, ammettiamo O punto di equilibrio stabile per una carica positiva (negativa). Considerata allora una superficie sferica di centro O e raggio sufficientemente piccolo, in ogni punto di questa il campo sarebbe diretto verso il centro ( nella direzione di r). ma allora il flusso di E attraverso questa superficie sarebbe diverso da 0 e la qual cosa implicherebbe, per la prima equazione di Maxwell in forma integrata, la presenza di una carica allinterno, cosa esclusa.Stando cos le cose,ci si pu chiedere come mai la materia, che in ultima analisi altro un insieme di cariche, possa essere stabile. Il quesito veramente fondamentale, nel senso che per rispondere adeguatamente, non sufficiente la Fisica che si studiata fino ad ora, ma occorre ricostruirla dalle fondamenta, costruendo cos quella Fisica detta moderna che si andata costruendo nella prima met del 900 e che si articola nella Meccanica quantistica e nella teoria della relativit. La Fisica moderna molto pi difficile a comprendersi di quella che si studia in questo corso, sostanzialmente perch tratta di aspetti della realt che sono estremamente lontani dalle nostre concezioni, opinioni, intuizioni che ci siamo formati nel nostro mondo che sostanzialmente caratterizzato da corpi delle dimensioni dal micron in su e da velocit piccole rispetto a quella della luce. Ma quando si indagano fenomeni del microcosmo, concetti quali quello di traiettoria di una particella che sono cos chiari alla nostra intuizione, svaniscono e perdono di senso. Al loro posto sorgono nuovi concetti, alla nostra mente estremamente nebulosi, quali quello di funzione donda complessa in uno spazio di Hilbert ad infinite dimensioni ecc. ecc. ma allora, si dir la Fisica viene meno al suo compito principale che quello di spiegare il mondo? Si e no: per far andare bene le cose basta porre come fine della Fisica uno meno ambizioso: il fine quello di costruire una teoria coerente che possa permettere di fare delle predizioni su esperimenti che poi siano confermate. Che i suoi concetti base ci siano pi o meno nebulosi non importa. La Fisica moderna, con le sue astruserie astratte ed antiintuitive, e con le sue splendide previsioni puntualmente verificate assolve a pieni voti il compito che le stato additato.Ritornando al problema della stabilit della materia, prima di dichiarare che non dovuta alla nostra debolezza nel manipolare bene le leggi della meccanica e dellelettromagnetismo lincapacit di spiegare la stabilit della materia, ma che sono le leggi stesse che usiamo impotenti a comprenderla nella foresta delle deduzioni che da loro si possono trarre, cercher di abbozzare qualche tentativo di spiegazione. Come prima cosa si potrebbe giustamente obiettare che la mancanza di stabilit si ha in un campo elettrostatico, ma le carche dal punto di vista microscopico sono in moto vorticoso: la teoria cinetica della materia vanta antiche tradizioni!. Ebbene, se consideriamo allora le equazioni pi complete, che trattano le cariche in moto, si vede che la situazione ancora peggiore! Essendo le cariche in moto, si potr parlare di equilibrio dinamico. La terra non in equilibrio rispetto al sole, ma la sua orbita si, nel senso che essa non cambia ( sempre la medesima ellisse). Per le cariche in moto, anche un equilibrio dinamico inaccettabile: una carica accelerata irraggia energia e quindi un elettrone ruotante intorno ad un nucleo perde energia ed in una frazione infinitesima di secondo precipita nel nucleo. In conclusione: le leggi complete dellelettromagnetismo non solo non risolvono il problema, ma anzi lo acuiscono.In secondo luogo si pu far presente che, oltre alla forza elettrica, possono intervenire altre forze tra la particelle e che la stabilit dovuta allazione di queste. In effetti, se una carica in moto, su di lei pu agire anche unaltra forza, oltre allelettrica: la cosiddetta forza magnetica che verr analizzata pi avanti nel corso, ma si dimostra che lei non pu fornire una spiegazione.62Si potrebbe allora avanzare lipotesi che la materia sia effettivamente instabile; se noi la crediamo stabile solo perch i tempi di un suo decadimento sono talmente lunghi che noi non ce ne accorgiamo. Al contrario, si risponde, se il mondo fosse retto dalla leggi della meccanica e dellelettromagnetismo classico, sarebbe sparito dopo il suo sorgere nel volgere di un amen.Voglio ora limitarmi a dare solo una vaga idea di come la nuova meccanica possa spiegare questo problema partendo da un suo principio controintuitivo. Si tratta del principio di indeterminazione di Heisenberg che ora illustro intuitivamente.Come ben noto, la misura di ogni grandezza suscettibile di variare con continuit, affetta da un errore. La fisica classica ammette per che, a prezzo di enormi fatiche e spese, magari anche in un tempo futuro, lerrore che si commette nella misura pu essere reso piccolo a piacere, anche se mai nullo. E su questo fatto anche la nuova meccanica, cio la meccanica quantistica daccordo. Per lei per sorge un fatto nuovo e precisamente osserva che esistono coppie di grandezze, dette coniugate che hanno questa propriet: che anche teoricamente impossibile, oltre che di fatto, escogitare un apparecchio che riesca a misurare contemporaneamente le due grandezze coniugate in modo tale da rendere piccolo a piacere lerrore di misura delluna e dellaltra. In altri termini, se vogliamo misurare luna grandezza con un errore stratosfericamente piccolo, possiamo farlo, ma questo strumento, non importa come fatto, perturba necessariamente laltra grandezza ed in modo non esattamente prevedibile, sicch una misura di questa non pu essere eseguita con un errore piccolo a piacere. Esempio tipico di una coppia di grandezze coniugate, sono la coordinata x (o y o z) di un punto materiale e la componente rispetto ad x (o y o z) della sua quantit di moto. Detto x e px lerrore nella misura della coordinata e della quantit di moto (indicata con p) lungo la coordinata, sia ha limportantissima relazione, la cui scoperta risale ad Heisenberg, detta: principio dindeterminazione:2h x pxLa grandezzah una costante fondamentale della fisica. stata introdotta allinizio del 900 dal famoso fisico Plank ed in suo onore si chiama: costante di Plank ridotta. Nel sistema MKS vale:-3410 1.054 hLestrema piccolezza di questa costante fa s che, nel caso di fenomeni macroscopici questo vincolo praticamente non sussista e quindi la meccanica classica (che tratta oggetti macroscopici) procede come se la costante di Plank fosse nulla e quindi ritiene che una grande precisione nella misura di una grandezza non limiti la precisione della misura di unaltra.Naturalmente linterpretazione che si data della formula e cio che i due delta siano i due errori sulle misure, uninterpretazione molto alla buona;occorrerebbe infatti, se si vuole stabilire una stretta disuguaglianza, definire esattamente che cosa sintende perx e xp perch, bene precisarlo, non sono esattamente lerrore nel senso che si visto nella teoria degli errori, cio il valore assoluto della differenza tra la misura di una grandezza ed il suo valore vero. Comunque la definizione precisa non ci interessa per i nostri scopi.Veniamo ora alla questione della stabilit della materia ed in particolare dellatomo didrogeno costituito da un protone e da un elettrone. Il problema : come pu essere stabile questa struttura? Perch lelettrone non cade sul protone? A tal fine osserviamo che, dato che la massa del protone di oltre 1800 volte maggiore di quella dellelettrone, si pu immaginare il protone fermo (o animato di moto rettilineo uniforme) e che intorno a lui si muova lelettrone ( deve essere in moto per non cadere sul protone!) Qualcuno, che conosce la meccanica ma non lelettrodinamica, potrebbe notare darela seguente semplice risposta: lelettrone si muove in un campo di forze centrale, essendo la forza colombiana ed il protone assimilabile ad un punto.. Ma noi sappiamo che in un campo centrale si conserva il momento della quantit di moto rispetto al polo. Se lelettrone dovesse collidere sul protone, nel momento della collisione si annullerebbe il momento della quantit di moto, perch il raggio vettore sarebbe nullo (questo ragionamento si presta in realt a qualche critica). Dovendo il momento della quantit di moto conservarsi, non ci pu essere collasso. Il fatto per che le equazioni complete dellelettrodinamica prevedono che una carica accelerata irraggi energia nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche. Irraggiando energia, come se venisse frenata ed allora chiaro che alla fine cade nel nucleo. Ed i conti mostrano che questa fine avviene in un batter docchio. Vediamo ora come Heisenbergsalvi la stabilit. Se lelettrone ad una distanza r dal nucleo, la sua energia totale, cio cinetica pi potenziale elettrica :rqmprqmv Etotale202 202412 4121 63Ora :p p r r ,e dalla relazione di Heisenberg 2h p rsi ha:rqr m rqmpEtotale 4

,_

420220212 21 12) ( hLa formula implica che lelettrone non pu cadere sul nucleo (vorrebbe dire r=0): infatti la funzione di destra tende allinfinito se r tende a 0, ma questo assurdo perch lenergia del sistema sicuramente limitata! interessante trovare per quale valore di r lenergia totale minima. Derivando rispetto a r e ponendo uguale a 0 la derivata, si ottiene:m qr220481 h Sostituendo i valori, si ottiene:. ) 10 5 . 0 (8110m r cio 1/8 del raggio dellatomo didrogenoUn riesame retrospettivo-------------RIVEDERE------------------Si detto che lesponente nella legge di Coulomb vale -2 con una precisione meravigliosa. Tale precisione si ottenuta con esperimenti molto indiretti: sostanzialmente osservando che se un conduttore carico A, si tocca la parete interna di una cavit di un secondo conduttore B che contiene il primo, A si scarica completamente. Laffermazione segue dal teorema di Gauss che vale solo se lesponente proprio 2. Se lesponente nella legge di Coulomb fosse anche solo lievemente diverso da 2, il conduttore interno dopo il contatto non sarebbe completamente scarico. Siccome la neutralit di un corpo si pu accertare con precisione, ecco una precisa conferma al valore dellesponente. Che si possa determinare con precisione lesponente con una misurazione diretta della forza, una pia illusione, anche perch la legge vale per corpi puntiformi e il ritenere una dato corpo come puntiforme non che unapprossimazione. Ne consegue dunque che la forza elettrica tra due corpi carichi le cui dimensioni non siano completamente trascurabili rispetto alla loro distanza, seguir solo approssimativamente la legge di C e tanto meglio quanto pi grande sar la loro distanza. Siamo quindi indotti a scrivere, per il campo elettrico ( o per il potenziale) in un punto, lontano ma non troppo da delle cariche che lo creano: + + + 3 2r r rQtotale il problema stimare questi coefficienti. Nella formula il primo termine predomina decisamente sul secondo al crescere della distanza ed il secondo sul terzo. Quindi il secondo, il terzo e gli altri si potranno trascurare,ma in un caso per il secondo termine ha unimportanza notevole: precisamente quando la carica totale nulla! Ma se nulla il campo non dovrebbe essere nullo? A rigore non detto!. Considerate infatti due cariche puntiformi di valore opposto. Viste da lontano, sono un corpo con carica nulla, ma un campo , anche se debole, c. Consideriamo un punto P infatti sulla retta passante per le due cariche. sso ha distanza diversa dai due punti e quindi il campo generato da una carica non annulla rigorosamente il campo generato dallaltra!. Ebbene, il nostro compito di andare a stimare il potenziale in un punto generico P a distanza grande (ma non troppo!) rispetto alla distanza che separa le due cariche.Sia dunque la carica -Q nel punto -dr/2 e la carica +Q nel punto +dr/2 (sicch le due sono separate dal vettore dr) e vogliamo il potenziale nel punto R.Con tutto rigore :1]1

+2 / 2 / 41) (0r R r RRdQdQ Ora : 4 / ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( 2 /2 22dr d R d d d + + + + + r R r R r R r R . Analogamente:4 / ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( 2 /2 22dr d R d d d + r R r R r R r Re quindi:64Rrr Rr R r Rr R r Rr R r Rr R r RR 1111]1

+1111]1

+11]1

+ ++ 1]1

+2222 22 22 2 2 20] ) ( 1 [1 111 114 / ) ( 4 / ) (2 / 2 /) ( 4RQRdRdQRdQRRdQRdQRdr d RQdr d RQdQdQ Dove si sono tralasciati gli infinitesimi dordine superiore e si usata lapprossimazione: 2 / 1 1 + +Valida per piccino. Per il potenziale di dipolo possiamo dunque scrivere3041) (rdipolor pr Facendo il gradiente, col segno cambiato, si ottiene per il campo elettrico di dipolo:]) ( 3[413 50r rdipolop r r pE Esercizio due dipoli, di momento p1 e p2 solo allineati ad una distanza reciproca z. trovare la forza dinterazione.Risposta: Se sono messi: -,+,-,+ oppure +,-,+,- la forza sar di attrazione, altrimeti di repulsione. Per quanto riguarda lintensit, si ha che il campo E generato dal dipolo 1 esercita, sulle due cariche del dipolo 2 una forza la cui intensit data da:2 ) 1 ( 2 ) 1 () ( ) (dipolo dipolo dipolo dipoloq d z q z f + E EDove con d si indicata la distanza reciproca delle cariche del dipolo 2.Ottengo quindi:402 123 30164]) (2 2[4 zp pqd z zpfdipolo + Equazione di continuitCon un analogo ragionamento si pu mostrare che la carica indistruttibile, cio non pu annichilirsi n crearsi n variare a seconda del suo stato di moto. Infatti, per assurdo, supponiamo che una certa carica Q, presente al tempo 0 in un certo volume V possa, al tempo t1 risultare aumentata ( o ridotta) di una quantit q senza che sia avvenuto del passaggio di carica attraverso la superficie che racchiude il volume (il verificarsi di questo fatto significherebbe che la carica potrebbe crearsi o distruggersi). Consideriamo una sfera con centro in un punto del volume V e di raggio R tanto grande che la luce, partita dal centro al tempo 0, non sia ancora arrivata al tempo t1 sulla superficie della sfera Consideriamo ora il flusso del campo E al tempo 0 attraverso questa superficie. Esso vale, per il teorema di Gauss, Q/0 Al tempo t1 il campo elettrico non pu essere mutato, per il principio di Einstein, quindi il suo flusso deve essere sempre Q/0, ma questo contro Gauss che vuole il flusso al tempo t1 pari a: (Q + q)/0 . Laffermazione della indistruttibilit della carica pu ricevere una veste matematica operando nel seguente modo: si definisce dapprima il concetto di densit di corrente mediante la seguente osservazione: si abbia nello spazio una distribuzione di carica caratterizzata da una densit di carica variabile da punto a punto e supponiamo che questa carica sia in moto. Abbiamo quindi un campo scalare (r,t) dipendente dalla posizione e dal tempo ed un campo di velocit v(r,t), anche lui dipendente dalla velocit e dal tempo Ebbene, il vettore densit di corrente in un punto r al tempo t definito come:j(r,t)` (r,t)v(r,t)( diretto come v se + positivo, altrimenti diretto in senso opposto).Pu anche darsi, come succede nei conduttori, che in ogni punto (macroscopico, sintende!) la densit di carica sia nulla e questo perch si ha unaltissima densit di carica positiva ( i nuclei degli atomi) ed una contemporanea altissima densit di carica negativa ( gli elettroni degli atomi), le due densit essendo pari in valore assoluto. Ora succede che le cariche positive, che costituiscono il reticolo del cristallo, sono ferme,65mentre le cariche negative, od almeno una parte di loro, e precisamente quelle cariche che si chiamano cariche di conduzione e che sono costituite dagli elettroni pi esterni degli atomi, si muovono sotto lazione, ad esempio di un campo elettrico, creando quindi una corrente. Si ha allora un fatto apparentemente paradossale: la presenza di una corrente ( dovuta al moto delle cariche negative) pur essendo in ogni punto nullo. Per ovviare a tale difficolt, basta allargare leggermente la definizione data di densit di corrente, introducendo una densit di cariche negative, - definita ovviamente come la somma di tutte (e sole) le cariche negative contenute nellunit di volume e la loro velocit v- ed una densit di cariche positive + e la loro velocit v+ Avremo quindi, per estensione della definizione: + + v v j `Si abbia ora una generica superficie attraversata da questo flusso j di cariche in moto. Ebbene, la corrente elettrica I che passa attraverso questa superficie, altro non che, per definizione di corrente elettrica: Sd I S j `Una corrente che passa attraverso una determinata superficie sar unitaria se trasporta, attraverso questa superficie, una carica unitaria ( 1 C) in un tempo unitario (1s). Lunit di corrente si chiama Ampre (simbolo: A).Seguendo la strada che abbiamo percorso, si ha che il Coulomb ununit fondamentale, mentre lAmpre derivata. In realt, siccome pi semplice ed pi preciso misurare correnti anzich cariche, si preferisce dare la definizione che riporto sotto dellAmpre, definizione che prescinde da quella di carica e definire quindi il coulomb cos: si consideri un filo percorso da una corrente di 1 ampre. Si faccia idealmente una sezione di tale filo. La carica allora che viene trasportata dalla corrente attraverso la sezione, nel tempo di un secondo , per definizione, 1 coulomb. Vengo ora alla definizione dellAmpre. un fatto sperimentale che due fili paralleli ed indefiniti percorsi da corrente si attraggono o si respingono a seconda dei versi di queste correnti. Ebbene, lAmper definito come quella corrente che, percorrendo due fili rettilinei indefiniti e paralleli, distanti un metro tra di loro, fa s che la forza reciproca, per metro del filo, sia di 2 10-7 N.4Dopo questa lunga digressione, torniamo al problema di dare veste matematica al principio di conservazione della carica elettrica. La carica Q contenuta un in volume V al tempo t si pu scrivere come: VdV t z y x t Q ) , , , ( ) ( La carica che esce nellunit di tempo dal volume attraverso la superficie S che lo delimita :SdS jSe (come ) la carica si conserva, allora la diminuzione nellunit di tempo della carica contenuta in V deve essere proprio pari aSdS j. Deve cio essere: S V Vd dVtt z y xdV t z y xdtddtdQS j) , , , () , , , (Per il teorema della divergenza sar poi: V S VdV d dVtt z y xdtdQ) () , , , (j S jTrasportando tutto sotto il medesimo segno dintegrale, si ha:0 ) ( + dVtVjPer larbitrariet del volume su cui si integra, si ha allora:0 + tjEquazione di conservazione della carica od equazione di continuit4 bene precisare che il diametro dei due fili deve potersi considerare trascurabile rispetto al metro di distanza che li separa per poter considerare la corrente come distribuita uniformemente attraverso la sezione dei fili66Dal punto di vista matematico, la relazione trovata pone un legame tra due grandezze, la e la j che a tutta prima si sarebbe potuto pensare che potessero essere due funzioni completamente arbitrarie, mentre la relazione di continuit ci dice che cos non .Altra osservazione: il principio di Einstein summenzionato ci fa capire anche che la legge di Coulomb non pu avere valore assoluto. Se fosse rigorosamente valida infatti, una carica in P, molto distante da Q avvertirebbe immediatamente una messa in moto di Q, da una variazione della distanza tra le due, ma ci escluso. Ripeto, la legge di Coulomb vale per cariche statiche ( o, approssimativamente per cariche in moto con basse velocit, nel senso che, quanto pi bassa la velocit, tanto meglio vale la legge)Il teorema del rotore ( o di Stokes)Consideriamo una linea chiusa orientata, arbitraria immersa in un campo vettoriale A(x,y,z) e la circuitazione del campo lungo la linea chiusa, cio r A d. La curva chiusa in questione pu essere vista come il bordo di una superficie limitata da questa curva. Attraverso questa superficie, che si trova immersa nel campo A, vi sar un flusso di questo stesso campo, cio si potr calcolare SdS A. Ebbene, sotto larghe ipotesi, vale la relazione:Teorema di Stokes Sd d S A l ADimostrazione:Considero dapprima il caso in cui la linea chiusa un triangolino rettangolo infinitesimo PQR. Fissiamo allora un sistema dassi cartesiano ortogonale con lorigine nellangolo retto (punto P) e disposto in modo che il lato PQ giaccia lungo lasse x ed il lato PR lungo lasse y. Sar allora: PQ = dx i; RP = -dy j; QR = (dy j dx i) Orientiamo il triangolo percorrendo il bordo cos: PQR. allora il vettore che rappresenta il nostro triangolo sar il vettore: dS = (dx dy )k/2.Calcolo ora la circuitazione del campo (circuitazione che chiamo lavoro anche se il campo non un campo di forza).Per calcolare con sufficiente precisione i lavori nei tre tratti, converr assumere per il campo il valore intermedio tra gli estremi del segmento interessato. Precisamente scriver:nel tratto PQ:[A(P)+ A(Q)] (dx i) nel tratto QR[ A(Q) +A ](dy j - dx i) Nel tratto RP[ A +A(P) ]( -dy j )Sommando, ottengo subito:{- [Ax - Ax(P)] dx+[Ay(Q) Ay(P)] dy}Ora osservo che : + dyyAP A R Axx x) ( ) (con infinitesimo dordine superiore a dyed pure: + dxxAP A Q Ayy y) ( ) (con infinitesimo dordine superiore a dxLa circuitazione risulta allora essere, a meno di infinitesimi superiore a dS ( infatti, siccome dx dy un infinitesimo dello stesso ordine dellarea del triangolino dS, infinitesimo dordine superiore a dS):) (212dy dxdy dxyAxAdxy + +

,_

l ACalcolo orail flusso del rotore di A attraverso il triangoloDevo dunque fare: 67( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0dy dxdS dS dS dz y x z z y y x xA A A A A A S A + + + + e quindi:2dy dxyAxAdxy

,_

S ASi dunque dimostrato che, a meno di infinitesimi superiori allarea, il flusso del rotore di un campo attraverso la sup. di un triangolo rettangolo infinitesimo pari alla circuitazione del campo lungo il perimetro.Vengo ora al caso in cui il circuito non sia pi infinitesimo, ma che sia costituito da una generica linea chiusa . A tal fine considero una rete, a maglie strettissime (al limite infinitesime) e la maglia sia costituita da triangolini rettangoli. Immagino ora di tendere questa maglia sul circito e di tagliare via con una forbice la rete debordante oltre . Ora, se ci immaginiamo loperazione, dovrebbe risultare chiaro che il circuito pu essere immaginato come costituito da alcuni rami di maglie della rete, precisamente da quei rami che non sono comuni a due maglie. Ciamer tali rami, rami scoperti. La circuitazione del campo A lungo allora altro non che la somma dei lavori lungo i rami scoperti. Ora avviene che la somma dei lavori lungo i soli rami scoperti pari, a sua volta, alla somma dei lavori lungo tutti i rami, sia scoperti che a comune con altre maglie. La cosa dovuta al fatto che nel calcolare il lavoro lungo un tratto comune a due maglie, una volta questo tratto percorso in un verso (considerato il tratto come appartenente ad una maglia) ed una volta lo stesso tratto percorso in senso inverso (considerato tale tratto come appartenente ala maglia confinante con la precedente) e quindi il contributo al lavoro lungo i tratti comuni nullo.In formule si ha dunque: tratti i tutti scoperti trattid d d r A r A r AMa la somma lungo tutti i tratti altro non che la somma delle circuitazioni lungo tutte le maglie. Essendo ognuna infinitesima, per quanto si dimostrato sopra, ogni circuitazione pari al flusso del rotore attraverso la maglia e la somma di questi flussi altro non che, per definizione di flusso, il flusso del rotore attraverso la superficie che ha come bordo la linea Il teorema dunque dimostratoOsservazione: Ma, si pu osservare, di superfici che hanno un assegnato bordo ne esistono a iosa! Pensiamo, ad esempio, ad una superficie sferica tagliata da un piano per il suo centro. Lintersezione tra piano e superficie una circonferenza. Orientiamola. Questa bordo sia di un cerchio, sia di una semisfera, diciamo quella di sinistra. Ora uguaglieremo la circuitazione di A al flusso del rotore di A attraverso il cerchio od attraverso la semisfera? Capite bene che il fatto che deve capitare per toglierci dall imbarazzo didover precisare attraverso quale superficie si deve calcolare il flusso, che tale flusso sia il medesimo attraverso tutte le superfici che hanno quella data linea come bordo! Se fosse cos allora non sarebbe necessario specificare attraverso quale superficie va calcolato tale flusso forse troppo sperare che avvenga un simile fatto? Ora considerate bene questa cosa: dire che il flusso indipendente dalla superficie (sempre che il bordo sia comune!) la stessa cosa che dire che il flusso attraverso la superficie chiusa (con al normale orientata verso lesterno) costituita dallunione di due superfici con medesimo bordo, nullo. E che cosa garantisce che il flusso di un vettore F attraverso una superficie chiusa arbitraria sia nullo? Ma chiaramente, per il teorema della divergenza, che sia: div F = 0 ! Quindi, nel nostro caso, non sorgerebbe nessuna difficolt nel teorema di Stokes se fosse:0 ) ( AMa cos proprio! Basta applicare la definizione di rotore e poi la definizione di divergenza e si ottiene che il primo membro identicamente nullo (tenere presente il teorema sullinvertibilit delle derivate seconde miste!)! ( osservate poi questo fatto assai curioso!Il rotore di A formalmente un prodotto vettore tra loperatore vettoriale nabla ed il vettore A. Ma il prodotto vettore tra due, ortogonale alluno come allaltro. Quindi questo prodotto vettore ortogonale al vettore nabla. Ma fare la divergenza di un vettore, altro non che, formalmente, fare il prodotto scalare del vettore con il vettore nabla. Quindi, se faccio il prodotto scalare tra nabla ed un vettore a lui perpendicolare ( A ), dovrei ottenere 0 e proprio cos!)Si detto dunque che la relazione:0 ) ( Asi pu dimostrare molto semplicemente svolgendo i calcoli indicati dalloperatore nabla. Viceversa, si pu mostrare che, se vale il teorema di Stokes e quello della divergenza, allora si pu dimostrare in modo intuitivo, senza svolgere calcoli opachi, che la divergenza 68di un rotore nulla. Infatti, consideriamo una arbitraria superficie chiusa immersa in un campo vettoriale A. Sulla superficie tracciamo una piccolissima circonferenza che viene a dividere S in due parti: un cerchietto, che linterno della circonferenza, che indico con S1 ed il resto della superficie S, che chiamo S2. Calcoliamo la circuitazione di A lungo tale circonferenza. Per il teorema di Stokes, del quale si ammessa la validit, tale circuitazione sar pari al flusso di rot A attraverso S2. facendo tendere a 0 il raggio della circonferenzina, la circuitazione tende a zero; il flusso del rotore , che uguale tende dunque anche lui a 0 e la superficie attraverso la quale si calcola il flusso tende alla superficie chiusa S. Si ottiene quindi che il flusso del rot A attraverso una generica superficie chiusa 0. Ma tale flusso, per il teorema della divergenza, altro non che lintegrale nel volume racchiuso da S della divergenza del rotore di A. integrale che dunque nullo. Per larbitrariet del volume, si ha la tesi.La corrente elettrica giunto il momento di abbandonare i fenomeni elettrici statici per considerare ci che avviene quando le cariche sono in moto. Supponiamo dunque di avere una distribuzione di carica variabile da punto a punto (una nuvola di carica) e di metterla in moto con una velocit variabile da punto a punto e variabile eventualmente anche con il tempo t . La quantit:) , ( ) ( ) , ( t t r v r r j `prende il mome di densit di corrente elettrica (ma molte volte laggettivo elettrica si sottintende, si omette). Per capire il significato fisico di tale vettore, consideriamo una superficietta infinitesima dS collocata nel punto r e facciamo il prodotto scalare di j e dS. S v S j d d Ma vdS altro non che il volume che fluitoo, nellunit di tempo, attraverso la superficie dS e quindi jdS misura la carica che passata nellunit di tempo attraverso la superficie dS. Il prodotto scalare di un vettore a con uno rappresentante una superficie infiitesima dS viene significativamente denominato flusso delvettore a attraverso la superficie dS e se il vettore a in questione il vettore densit di corrente elettrica, tale flusso prende il nome di intensit di corrente elettrica attraverso la superficie dS (ma molto spesso la specifica: attraverso la superficie dS si omette, se chiara dal contesto). Lunit per lintensit della corrente elettrica , nel sistema MKS,lAmpre (simbolo A). Diremo che una superfici attraversata da una corrente elettrica di 1 A se attraverso di lei passa in 1 secondo una carica elettrica di 1 Coulomb.Analogamente, negli altri sistemi di unit di misura, la corrente attraverso una superficie sar unitaria se attraverso quella superficie passa una carica unitaria nellunit di tempo. Dunque nel sistema MKS lunit di corrente , per come si proceduto, ununit derivata dallunit di carica. Si vedr per in seguito che di fatto si preferisce procedere in senso inverso e cio definire in altro modo lunit di corrente e definire la carica unitaria ( il Coulomb) come quella trasportata in 1 s attraverso una superficie quando questa attraversata da una corrente di 1 A (Naturalmente laltro modo di definire lAmpre sar tale da fornire per lunit di carica ci che si precedentemente definito, cio quella carica che posta ad un metro da una uguale, risente di una forza di circa 9109 N)Spesso e volentieri (allinterno dei conduttori o nelle soluzione elettrolitiche) avviene di avere una distribuzione di cariche puntiformi fisse nello spazio ( ma non sono fisse le cariche positive in una soluzione elettrolitica) ( tipico esempio: i nuclei degli atomi di un certo materiale che se anche non sono proprio fermi,sono per termicamente vibranti intorno a determinate loro posizioni medie fisse), con una densit tale da poterle considerare come costituenti un continuo di carica. Tale distribuzione quindi sar descitta da una distribuzione di carica positiva indicata con +(r). Finemente miscelata a questa carica positiva ferma, presente poi una carica negativa di esattamente pari valore, indicata con - ,ma in moto. Avviene quindi che in ogni punto la densit di carica totale 0, pur essendo presente una densit di corrente dovuta al moto delle cariche negative. Una quindi pi generale definizione di densit di corrente j sar allora data da:) , ( ) ( ) , ( ) ( t t r v r r v r j + ++ `con ++ `totaledove- una quantit negativa e + una positiva. v+ e v- sono poi le velocit delle cariche positive e negative.In elettrostatica si visto che il campo E allinterno dei conduttori nullo perch altrimenti il campo metterebbe in moto le cariche libere di muoversi provocando effetti macroscopici, quali il riscaldamento del materiale che invece non si osserva. Supponiamo ora di non essere pi in condizioni di statiche, 69mantenendo forzatamente una certa differenza di potenziale V agli estremi di un lungo e sottile conduttore (filo elettrico) Essendo presente una d.d.p., vi sar dunque un campo elettrico che metter in noto gli elettroni di conduzione del metallo. Risulta che per molti materiali, specialmente per i metalli, il vettore densit di corrente j proporzionale al campo elettrico nel dato punto, secondo un coefficiente di proporzionalit che dipende dal materiale e dal suo stato. Si scriver pertanto per questi conduttori, che vengono detti ohmici) ( ) ( r E r j legge di Ohm: non dipende da ELa costante viene detta conducibilit elettrica del materiale ed il suo inverso, resistivit elettrica. Alcuni valori:Argento = 0.167 10-7unit MKSRame = 0.172 10-7unit MKSAlluminio = 0.283 10-7unit MKSMercurio = 9.600 10-7unit MKSGermanio = 0.45 unit MKSSilicio = 640 unit MKSVetro = 1012unit MKSQuarzo fuso = 7.5 1017unit MKSNotare quanto estesa la gamma dei valori!Osservazione: sembra un po strano legare il campo elettrico, che una forza (su di una carica unitaria) mediante un coefficiente di proporzionalit, ad una densit di corrente, che una velocit (per la carica contenuta nellunit di volume). Sarebbe forse stato pi logico pensare ad un legame tra il campo e la derivata della densit di corrente! Ma una relazione del genere si era gi vista nel caso di attriti viscosi. quindi logico pensare che anche qui ci sia una forma di attrito, ma di chi e contro cosa? Vediamo meglio la questione. Se il reticolo cristallino fosse infinito e i nuclei disposti con assoluta regolarit nello spazio, allora si potrebbe dimostrare che gli elettroni di conduzione sarebbero completamente liberi di muoversi, non risentendo di alcuna forza dovuta ai nuclei (la forza esercitata da uno controbilanciata da gli altri intorno). Manulla perfetto a questo mondo! Il metallo contiene certamente delle impurezze che contribuiscono a rendere il reticolo non pi ideale. Inoltre i nuclei vibrano, per lagitazione termica, intorno alle loro posizioni medie ed inoltre, cosa importante, la limitatezza del conduttore interrompe bruscamentela regolarit del reticolo e proprio questa interruzione fa sorgere delle forze che impediscono, o per lo meno ostacolano, luscita degli elettroni dal metallo. Questa mancanza di assoluta simmetria si pu dipingere dicendo che ogni tanto lelettrone di conduzione urta con latomo, cede parte della sua energia cinetica, e rimbalza in una direzione del tutto casuale. Indichiamo con il tempo intercorso in media tra due successivi urti di un elettrone. Indicando con Vtermica la velocit che un elettrone possiede per il fatto di essere in un corpo a temperatura T, questa velocit rappresenter anche la velocit che il nostro generico elettrone possieder subito dopo un urto. Trovandosi ora nel campo elettrico E, al generico tempo t dopo lurto, avr allora una velocit (e = carica elettrone, m =sua massa):v(t) = Vtermica +eEt/mLespressione mostra che la velocit composta da una parte, la termica, che mediamente nulla (la media fatta sui vari elettroni) a causa del comportamento caotico dellagitazione termica. Laltra parte invece ha la medesima direzione per tutti gli elettroni (nellintorno di un punto macroscopico, sintende, dove E il medesimo per tutti) e mediamente vale allora: eE/m. Potremo quindi dire che la velocit media, che d luogo alla corrente elettrica macroscopica :m e m t e m t etermica termica/ 0 / / E E V E V v + + + la densit di carica dovuta agli elettroni di conduzione, che moltiplicata per la trovata fornisce la j, , indicando con n il numero di elettroni di conduzione nellunit di volume: = ne e quindi si ha:j= ne2E/mPer la conducibilit elettrica si ha dunque: = ne2/mLa legge di Ohm dice che non dipende da E. La formula di sopra mostra allora che la legge vera se (e solo se) non dipende da E. vero questo? Indichiamo con l la distanza (media) tra due centri di collisione 70(non coincide con la distanza media di due atomi, ma sar maggiore, per quel discorso sul reticolo quasi perfetto e si chiama libero cammino medio) Il tempo sar allora dato da: = l / velocit. Di quale velocit si tratta? Della trovata di sopra? No di certo, perch, se non si ha campo elettrico, non che non ci siano pi collisioni! Ai fini dellintervallo temporale tra due collisioni fondamentale fare entrare in gioco anche la velocit termica. Come ordine di grandezza la velocit che entra in gioco sar allora:Vtermica + eE/mPotremo allora scrivere, come ordine di grandezza:meEVltermica+Se nellespressione trovata Vtermica >> eE/m` velocit di drift (e soltanto in questo caso), potremo scrivere:termicatermicaVlmeEVl+e quindi per la conducibilit elettrica si ha:termicatermicamVl nemeEV ml ne2 2) (+indipendente dal campo elettrico come vuole OhmEsercizio: stimare il valore di Vtermica per lelettrone di conduzioneRisposta anticipando ci che forse studierete in seguito (o che forse non studierete mai), la teoria cinetica della materia permette di dire che la velocit di una particella che si trova in un bagno a temperatura T , per il fatto di trovarsi a quella temperatura, sottoposta ad un moto di agitazione termica, al cui velocit media data dalla relazione:kT mVtermica23212dove T la temperatura assoluta del corpo ( semplicemente data da 273+ temperatura centigrada) e k una famosa costante, detta costante di Boltzman e che vale, nel sistema MKS, 1.3810-23. Si ha allora subito (a T =300):s KmmkTVtermica/ 11710 1 . 9300 ) 10 38 . 1 ( 3 33123 decisamente una bella velocit!Esercizio Stimare il tempo medio che intercorre tra due collisioni di un elettrone col reticolo del rameRisposta dalla formula che fornisce , si ha subito: = m/(e2n) e quindi: = [1/(0.172 10-7)](9.1 10-31)/[(1.6 10-19)2 (0.845 1029)]=2.44 10-14 sEsercizio Stimare il libero percorso medio l dellelettrone di conduzioneRisposta: si ha. L = Vtermica = 117000x2.44 10-14 = 0.28 10-8 mEsercizio Determinare per quali valori del campo elettrico la velocit di drift comparabile con la velocit termicaRispostadeve aversi: 117000 = 1.6x10-19x2.44x10-14/(9.1x10-31) E e quindi 810 27 . 0 E V/mEsercizio Stimare lordine di grandezza del campo elettrico che si ha nei fili elettrici di casa nostraRisposta La corrente che circola nei fili di casa , come ordine di grandezza, dellAmpre, e la sezione del filo dellordine del millimetro. Si ha quindi:I = Sj = (0.001)2E e quindi: E 1.72 10-7/10-6 0.17 V/mCome si vede, tale campo elettrico enormemente inferiore a quello per il quale la velocit di drift comparabile con la termica e quindi la legge di Ohm pienamente giustificataEsercizio Stimare la velocit di drift per i fili della corrente di casa71Risposta La velocit di drift : eE/m e quindi (1.6 10-19)(0.17)(2.44 10-14)/(9.1 10-31) 7 10-2 cm/sLavreste immaginata cos piccola? Esercizio Viene deposta allinterno di un conduttore ohmico una carica Q . Stimare il tempo impiegato per raggiungere lequilibrio elettrostatico.Risposta: Dallequazione di continuit, usando la legge di Ohm, si ha:te tt t t t000) ( 0 0 ) ( 0 ) ( 0 + + + + E E jQuindi, dopo un tempo pari a 0/ la carica si ridotta di un fattore e. Per il rame, tale tempo vale: (0.172 10-7 x 8.85 10-12) = 0.15 10-18 secondiPer il silicio tale tempo vale: (640 x 8.85 10-12) = 0.56 10-8 secondiPer il vetro tale tempo vale: (1012 x 8.85 10-12) = 8.85 secondiPer il quarzo tale tempo vale:(7.5 1017 x 8.85 10-12) = 76 giorniDa notare che la carica non si sposta dalla posizione iniziale alla superficie. Infatti, se cos avvenisse, dovrebbe succedere che la in un punto del conduttore dovrebbe passare da zero ad un certo valore quanto passa per di li la carica, ma la formula di sopra mostra che se in un punto ad un istante la nulla, tale resta.Esercizio Si pu immaginare che un elettrone, in moto lungo lasse x sotto lazione di un campo elettrico costante subisca un urto ogni secondi con un atomo del reticolo. Si pu ipotizzare che, in seguito a tale urto ceda parte dellenergia cinetica al reticolo (che quindi si riscalda (effetto Joule)) e con probabilit p inverta la sua velocit e con probabilit (1-p) non la inverta. Determinare il moto della carica a livello macroscopico (determinare cio il moto della carica per intervalli di tempo molto superiori a ).Risposta: sia ) (nv e ) (+nv la velocit dellelettrone un attimo prima ed un attimo dopo aver compiuto lennesimo urto contro il reticolo. ) (+nv , con probabilit p, pari af) (nve, con probabilit (1-p), pari a - f) (nv .Il fattore f, < 1, tiene conto della perdita di energia cinetica. La velocit media quindi, subito dopo lurto ennesimo allora:) ( ) ( ) ( ) () 1 2 ( ) ( ) 1 ( + + n n n nv p f v f p pfv vConfondendo il valore attuale della velocit con il suo valore medio, scriver:) ( ) () 1 2 ( + n nv p f vLa velocit un attimo prima del successivo urto, sar data da quella di sopra incrementata, per la presenza del campo elettrico E, della quantit:mE(m denota la massa dellelettrone). Quindi scriver:mEv vn n+ + +) ( ) (1Con laiuto della relazione precedente, posso allora scrivere:mEv p f vn n+ +) ( ) (1) 1 2 (e quindi subito:[ ] mEv p f v vn n n+ +) ( ) ( ) (1) 1 2 ( 1Dividendo per ottengo:mEvmEvp f v vddvn nn n n+ +1]1

+) ( ) () ( ) (1) () 1 2 ( 1 Essendo f R, il campo B non dipende da R e cio il campo il medesimo di quello generato da un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente ISi invece si vuole il campo in un punto interno (r < R), si ragiona come prima: la circuitazione di B sarebbe sempre data da: B = 2rB, ma la corrente concatenata sarebbe ora: I = r2j. Uguagliando, si ha:rjB20OsservazioneSupponiamo, come capita sovente, che la corrente sia costretta a fluire entro fili di diametro molto piccolo rispetto alle distanze dai fili ai punti nei quali vogliamo determinare il campo. Risulta allora che la formula generale: spazio lo tuttod '') ' ( ) ' (4) (330rr rr r r jr B si pu semplificare un po. Infatti, detta dS la sezione normale del filo, dl la lunghezza di un trattino infinitesimo del filo, si ha che dV = dS dl e quindi j dV = j dS dl = Idl t dove t un versore diretto come j. Ma t , diretto lungo la tangente al filo e quindi dl t si pu scrivere pi semplicemente dl. Quindi si ha:81j dV = Idle quindi si avr: spazio lo tuttodV'') ' ( ) ' (4) (30r rr r r jr B fili i tuttidI30') ' ( ) ' (4) (r rr r r lr BIndicando semplicemente con r il vettore che parte dallelementino di integrazione dl ed arriva al punto dove vogliamo trovare il campo, la formula di sopra viene a scriversi:fili i tuttirdI304) (r lr BQuindi, in pratica, per determinare la direzione ed il verso generato dalla corrente che percorre un filo rettilineo, possiamo immaginare di stringere il filo con la mano destra posizionando il pollice nel verso della corrente, lorientamento delle dita fornisce allora la direzione ed il verso delle linee del campo B.Consideriamo ora un elementino di filo dl percorso da una corrente I. con un ragionamento analogo al precedente, si ha che la forza magnetica agente su questo elementino, se immerso in un campoB , data da:B l f Id dEsercizio Consideriamo due fili rettilinei indefiniti paralleli percorsi da una corrente I1 e I2. Sia D la loro distanza. Calcolare la forza che si esercita tra i due, per unit di lunghezza.Risposta. Il primo genera, dove c il secondo, un campo perpendicolare al secondo di intensit DIB20 Se nel secondo la corrente concorde (discorde) col primo, si avr allora, su di un tratto dl una forza di attrazione (repulsione) data semplicemente dal prodotto del campo trovato moltiplicato I2 dl. Quindi ho:Ddl I Idl I B df22 1 02 allora la forza per unit di lunghezza data da:DI IDI If2 172 1 010 22 Questa formula usata per definire lAmpreEsercizio Una carica q entra , con velocit v, in una regione dove esiste un campo B, uniforme e costante. Determinare il moto della carica.Risposta: Il campo B sia diretto come lasse z. :a i j k k j i B v f m B v B v q B v v v q qy x z y x + + + ) ( ) (Proiettando lungo i tre assi ottengo:x yy xzqBv aqBv aa 0la prima equazione fornisce subito: z = z0 +v0z t.Moltiplico ora ambo i membri della terza equazione per lunit immaginaria i e sommo alla seconda. Ho allora:ax + iay = qB/m(vy ivx) = i qB/m(vy/i vx) = - i qB/m(- vy/i + vx) = - i qB/m(vx +i vy)Ponendo y xiv v Z + `, lequazione scritta risulta essere:82m iqBZdtdZ/ Che fornisce subito: m iqBte Z t Z/0) ( e quindi ancora, integrando una seconda volta: m iqBteiqBmZt iy t x/ 0) ( ) ( +Tenendo presente la relazione di Eulero: sin cos i ei+ ed uguagliando la parte reale di destra alla parte reale di sinistra e la parte immaginaria alla parte immaginaria, si ha la soluzione:m qBm qBt v m qBt v i m qBt v qBt vi m qBt i qBtm qBiv vi t iy t xx y y x y x/)] / sin( ) / cos( [ ) / sin( cos)] / sin( ) [cos(/) ( ) (0 0 0 0 0 0 + + + +qBm qBt v m qBt vm t yqBm qBt v m qBt vm t xy xy x) / sin( ) / cos() () / cos( ) / sin() (0 00 0+La traiettoria del moto dunque un elica con lasse lungo z. la proiezione nel piano x-y una circonferenza percorsa uniformemente e di raggio qBmvr0e percorsa con velocit angolare = qB/mEsercizio: nel piano orizzontale x-y fissato nellorigine O un filo elettrico flessibile e di sezione trascurabile, che passa poi in un piccolo foro, senza attriti, di coordinate :(L,0). Il filo sostiene poi una massa M sottoposta al suo peso. Risulta quindi che il filo sottoposto ad una tensione T = Mg. Si consideri ora la presenza di un campo magnetico uniforme e costante diretto come z di valore B. Si vuol determinare la forma del filo quando percorso da una corrente I procedente da O verso LRisposta: su di un elementino dl la forza magnetica df = IdlB ortogonale allelementino stesso. Ne risulta quindi che la tensione T si mantiene inalterata lungo tutto il filo. Introduco ora un versore n, variabile da punto a punto, ortogonale al generico trattino di filo dl. Ho allora per la forza magnetica sul tratto dl:df = (IBdl)nDaltra parte, indicando con e i versori tangenti al filo agli estremi dellelementino dl del filo, si ha che la forza dffilo esercitata del resto del filo su questo elemento data da:) ' ( ' , , , , T T T dfilofMa , trascurando gli infinitesimi dordine superiore:dl dldld n ,, ,'dove il raggio di curvatura della curva assunta dal filo. Impomendo che la risultante delle forze agenti sul tratto dl nulla, si ha:dlTIB d dfilon f f

,_

+ 0Da cui si ottiene subito:IBT Il raggio di curvatura assunto dal filo dunque costante e questo significa che la curva un arco di cerchio.Supponiamo che la corrente nel filo sia via via crescente partendo dal valore 0. La andr quindi diminuendo partendo dal valore (filo rettilineo, corrente 0) finch, ad un certo punto, per un valore della corrente che chiamer I0, il filo assumer la forma di un semi-cerchio di diametro OL e quindi sar =0 = OL/2. Al crescere ulteriore di I, non pu ulteriormente diminuire, essendo il filo obbligato a passare per O e L. Ne consegue quindi che una soluzione statica non sar allora pi possibile: la massa M salir fino ad urtare il piano orizzontale, a meno che non venga aumentata. La configurazione allora del filo sar allora sempre un arco di cerchio, con >0, I > I0 e T > Mg. Quindi, mentre prima del valore I0 della corrente il raggio di curvatura diminuisce al crescere della corrente, poi cresce al crescere di questa (o resta fisso se il filo non pu pi fuoriuscire dal forellino se ha esaurito la sua lunghezza)83Esercizio: calcolare il campo magnetico nei punti dellasse di una spira circolare di raggio R e percorsa da una corrente I costante.Risposta: La spira sia nel piano x-y con centro nellorigine. nella formula: fili i tuttirdI304) (r lr B si ha (vedi figura) dl = ds (-sin i + cos j); r = z k R(cos i + sin j). Nel prodotto vettore posso tralasciare tutti i termini lineari in cos ed in sin. Infatti, dovendo poi integrarsi su tutti i valori di tra 0 e 2, il contributo di tali termini nullo. Resta dunque: 3 2 223 2 22 223 2 2) (1) (cos sin) () sin (cos ) cos sin (R zd RR zd RR zRds++ ++ + k kj i j i Lintegrale dunque banalissimo: lintegrale di una costante e si ha allora:k B3 2 220) (2) (R zRI z+Se z >> R, con ottima approssimazione si ha:k B3202 zI R A questo punto opportuno ricordare lespressione del campo elettrico generato da un dipolo in un punto dellasse del dipolo medesimo:3021zp, ESi vede quindi che, se introduciamo il vettore H, detto: campo magnetico:H=B/0si ha subito, in punti sullasse molto distanti dalla corrente:3*032002121z zI R , k Hdove il vettore * detto momento magnetico della spira ed , per definizione, * = 0IS(S il vettore che rappresenta la spira, quindi ortogonale al suo piano, lungo come la sua area ed orientato in modo che la corrente I, percorrendo la spira, lasci la superficie di questa alla sinistra). Si dimostra che anche se la spira non ha forma circolare, il campo B (o H) sul suo asse a grande distanza da questa dato dalla stessa formula di sopra. Per questo motivo una piccola spira percorsa da corrente prende il nome di dipolo magneticoEsercizio: calcolare il campo magnetico nei punti del piano di una spira circolare di raggio R e percorsa da una corrente I costante.Risposta: Dal disegno di sotto (dove D la distanza del punto P nel quale si calcola il campo dal centro della spira) risulta:) cos( 22 2 2 DR R D r + e poi anche:rRR DR2) cos() cos( ,sicch: + dDR R DR DRIrdI Pfili i tutti32 2030) cos( 2) cos(4) (4) ( kr lBQuindi, facendo uno sviluppo in serie di D, per D che tende ad , si ha, tralasciando i termini in D5:84 ++ ++ +422332 32 2)] ( cos21529)[ cos(1 ) ( cos 3 ) cos() cos( 2) cos(DR RD DDR R DR D e quindi integrando ottengo:32041) ( ) (DI RP k B E quindi ottengo che se il punto P molto distante dalla spira (D >> R), si ha, tralasciando termine dellordine di 1/D5:3*041D , HA grande distanza dalla spira, non sar possibile differenziare la forma della spira da una circolare e quindi verosimilmente ( e cos risulta) anche se la spira non ha forma circolare, il campo B (o H) a grande distanza da questa dato dalle stesse formule di sopra.Si ottenuto quindi che il campo H generato da una spira, a grande distanza da questa, per punti sulasse o nel piano, il medesimo del campo E di un dipolo elettrico lungo la sua direzionee nel piano diametrale. Ripetendo allora i ragionamenti fatti per determinare il campo di un dipolo in ogni punto dello spazio, si ottiene allora che:a grandi distanza da una spira in un punto individuato dal vettore r che ha origine nella spira ( non importa precisare esattamente il punto, perch a grandi distanze la spira pu essere considerata puntiforme). Si ha:1]1

3*5*0) ( 341r r , ,r rHRicordo che per il dipolo elettrico :1]1

3 50) ( 341r rp r r pE Per questa analogia dei campi, una piccola spira percorsa da corrente prende il nome di dipolo magnetico. Le due facce della spira, che corrispondono nel caso elettrico alle cariche negativa e positiva, sono sono dette ora poli; precisamente polo Nord la faccia da cui escono le linee di B e polo Sud la faccia nella quale entrano le linee di B. Si ha dunque, che se noi facciamo la sostituzione:*0 0, , plespressione del campo E generato dal dipolo elettrico si trasforma nellespressione del campo H generato dal dipolo magnetico. Mi chiedo ora se lanalogia si spinge oltre e precisamente se la forza che agisce tra due dipoli elettrici si trasforma nella forza tra due dipoli magnetici facendo semplicemente le sostituzioni indicate sopra. A tal fine svolgo il seguenteEsercizio: due piccole spire circolari sono percorse da una corrente I1 e I2 esse giacciono su piani paralleli a distanza z ed i loro assi coincidono con lassez. Trovare la forza reciproca..Risposta Se le correnti sono equiverse, ci sar una forza di attrazione, altrimenti di repulsione. Quindi una forza lungo z. La spira 1 produce dove c la spira 2 un campo magnetico. La componente radiale di tale campo magnetico produrr sulla corrente I2 una forza lungo z il cui valore sar dato semplicemente da:rB I R f2 22 Per valutareBr si pu procedere cos:consideriamo un cilindretto di base la spira 2 ed altezza infinitesima h. Scriviamo che il flusso di B attraverso lui nullo. Il flusso attraverso le due basi vale (a parte un segno):h RzRh z zRh z z224*1 223 3*1 223*13*132]) (1 1[2]) ([21 + +Il flusso attraverso la superficie laterale :h R Br 22Uguagliando i due flussi si ha:8542*134 zR Bre quindi, per la forza, si ha subito:4*2*104*1222641 342z zI R f Per i dipoli elettrici allineati, ricordo che la forza era:42 10641zp p f Si visto dunque che lanalogia tra campo di dipolo elettrico e magnetico vale, oltre che per i campi, anche per le forze dinterazione, almeno se i due dipoli sono allineati, ma si pu mostrare che vale in generale e cio anche quando i dipoli non sono allineati.A questo punto, nulla vieta di immaginare il dipolo magnetico costituito in analogia con il dipolo elettrico, cio da due masse magnetiche infinite, di segno opposto, ad una distanza reciproca infinitesima. Si dunque indotti a porre:d Smagneticaq I*0* `,Le due grandezze: q*magnetica e d non sono per ora univocamente determinate dalla relazione di sopra, dato che solo il loro prodotto risulta fissato e pari a 0IS; si pu pensare dunque che la q*magnetica soffra di una indeterminazione dovuta ad un fattore moltiplicativo arbitrario.La forza dinterazione elettrica tra dipoli sorgeva da una forza dinterazione coulombiana tra cariche inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Siccome si visto che linterazione tra dipoli magnetici ha la medesima espressione dellinterazione tra dipoli elettrici, ne deriva che la forza dinterazione tra cariche magnetiche pure lei inversamente proporzionale al quadrato della distanza e siavr dunque fra due cariche magnetiche:32 12 10*2*114r rr rf magnetica magneticaq qLegge di Coulomb per la magnetostaticaCarica magnetica unitaria sar dunque quella che, posta di fronte ad una uguale alla distanza unitaria (cio un metro), risente di una forza di 1/40 = 63325,7 N.E come una carica elettrica puntiforme generava un campo elettrico E, cos una carica magnetica genera un campo magnetico H dato da:3*041rqmagneticarH mentre :H B0 e quindi il campo dinduzione magnetica generato da carica magnetica puntiforme dato da:3*41rqmagneticarBOsservazione. Questo modo di procedere, cio lintroduzione di cariche magnetiche puntiformi, che generano un campo magnetico mediante la legge di Coulomb magnetica, un po demod, imperversava invece tempo addietro. Come mai questo cambio di moda? la ragione pi forte forse nel fatto che cariche magnetiche isolate non sono mai state trovate. La pi piccola unit di carica elettrica stata trovata ( lelettrone o il protone). La pi piccola unit magnetica trovata non la singola carica, ma il dipolo (magnetico), cio una corrente che percorre una piccolissima spira. Se si trovasse una carica magnetica isolata, il flusso di H attraverso una superficie chiusa che la contiene sarebbe q*magnetica/0 (il teorema di Gauss vale per qualunque campo centrale che dipende dallinverso del quadrato della distanza!) e quindi il flusso di B sarebbe q*magnetica e quindi sarebbe violata lequazione di Maxwell che vuole nulla la divergenza di B. Se 86per noi ci limitiamo ad una trattazione della magnetostatica macroscopica e cio ci manteniamo sempre a distanze notevoli dalle spire elementari di corrente che costituiscono i dipoli magnetici (e queste spire elementari altro non sono che le correnti prodotte negli atomi dal moto degli elettroni che ruotano intorno ai nuclei, cio le cosiddette correnti ampriane), una descrizione in termini di dipoli magnetici pu essere molto utile. Cos una barretta magnetica (calamita) altro non che un agglomerato di dipoli magnetici tutti ugualmente orientati.Esercizio: trovare il campo sullasse di un solenoide cilindrico nel punto di ascisse z (il solenoide un filo avvolto uniformemente su di una superficie cilindrica. Le spire sono molto vicine tra loro, sicch ogni spira pu considerarsi piana) se il solenoide costruito con n1 spire per unit di lunghezza e nel filo scorre una corrente I1. Il solenoide si estende da: -L1 a 0Risposta: Il solenoide pu considerarsi come un insieme infinito di anelli, ognuno di altezza dx e raggio R1 e quindipercorso da una corrente dI = n1I1dx. Il generico anello dista z+L1-x dal punto dellasse nel quale vogliamo trovare il campo, con x che va da 0 a L1. Il campo di un siffatto anello in un punto dellasse distante z+L1-x dal suo piano vale (si visto sopra):3 2121211 10) ) ((2R x L zRdx I n dB+ +Integrando trovo il campo:11]1

++ +++ + 212 21211 1 1 003 212121 1 10) (2) ) ((2) (1R zzR L zz L I nR x L zdzR I n dB z BL Se il solenoide infinitamente lungo e se si vuole il campo in un punto interno, basta porre nella formula precedente: z = - L1 con 0la soluzione qualitativamente uguale alla precedente ed analiticamente :( ) Q t12Q0( ) + C R C2R24 L C e

_,

( ) C R C2R24 L C t2 L C C2R24 L CVediamo ora pi da vicino la soluzione nel caso limite in cui sia R = 0. Essa :) cos( ) (0t Q t Q dove LC1 Per la corrente (che la derivata col segno cambiato), :) sin( ) (0t Q t I Allistante t = 0 si ha:Q = Q0I = 0Mentre allistante t = / 2 si ha:Q = 0 I = Q0Inizialmente il condensatore aveva dunque una carica Q0, quindi unenergia CQ221 che rappresentava il lavoro che abbiamo speso per caricarlo. Ma allistante t = / 2 il condensatore scarico ed allora ci si pu