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Anno Accademico 2011-2012

Fisica Generale I

Mario Vadacchino

16 marzo 2012

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Indice

1 Significato della fisica 1

1.1 Le grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 I campioni delle unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Operazioni con le grandezze fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 La coerenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Lincertezza della misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Gli ordini di grandezza della natura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

A I vettori 8

A.1 Lalgebra dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

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Capitolo 1

Significato della fisica

1.1 Le grandezze fisiche

La fisica e un modello per tutte le scienze naturali, ma e diventata un modello anche pertutte le altre scienze da quelle economiche a quelle politiche, quindi ovviamente anche perlIngegneria, che puo in realta essere definita come Fisica Applicata.

Il potere della fisica e dovuto essenzialmente a tre elementi: lutilizzo dellesperimento,della misura e della matematica. Non sempre e possibile fare esperimenti, si pensi alla-strofisica, ma si puo sempre misurare e la misura viene considerata essenziale perche unadisciplina possa essere considerata scienza.

La fisica e una scienza sperimentale; con lesperimento e possibile individuare iparametri importanti nella descrizione di un fenomeno fisico e con la misura quantificarnela rilevanza. La matematica permette di elaborare i dati sperimentali e costruire le leggifisiche che sono relazioni matematiche tra grandezze fisiche.

Misurare il valore di una grandezza fisica vuole dire confrontarla con una grandezza del-lo stesso tipo assunta come unita di misura: lunita di misura e definita quantitativamenteda un campione.

Il Sistema Internazionale di Unita di Misura

Grandezza fondamentale Simbolo Unita di misura Simbolo

lunghezza l metro mmassa m chilogrammo kgtempo t secondo scorrente elettrica I ampere Atemperatura termodinamica T kelvin Kquantita di sostanza n mole molintensita luminosa I candela cd

Tabella 1.1: Le grandezze fondamentali del SI

Le leggi fisiche permettono di descrivere il comportamento di tutti i fenomeni dellanatura: sono quindi necessarie molte grandezze fisiche. Si e accertato che tutte le grandezzefisiche necessarie sono esprimibili in funzione di sette, che sono quindi dette grandezzefondamentali e costituiscono il cosiddetto Sistema Internazionale di Unita di Misura,indicato con SI; il SI e riportato nella figura 1.1, dove sono riportate per tutte le grandezzefondamentali il simbolo, lunita di misura ed il simbolo dellunita di misura.

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CAPITOLO 1. SIGNIFICATO DELLA FISICA 2

Da queste sette grandezze fondamentali, cui si devono aggiungere le grandezze adi-mensionate angolo solido e angolo piano, si ricavano tutte le altre, che sono quindi dettegrandezze derivate; la grandezza derivata superficie ad esempio si misura in m2 e, come

vedremo, la grandezza derivata velocita si misura inm

s; ad alcune grandezze derivate sono

attribuiti nomi particolari.Nella meccanica si utilizzano come grandezze la massa, che si misura in kilogrammi,

la lunghezza, che si misura in metri ed il tempo, che si misura in secondi.E sempre necessario definire in modo operativo lapparato e la tecnica con le quali si

fa la misura; non e possibile quindi introdurre una grandezza fisica senza definire in modopreciso le modalita con le quali puo essere misurata.

1.1.1 I campioni delle unita di misura

I campioni delle unita di misura debbono avere alcune peculiari caratteristiche: devono esserecostanti nel tempo, definite con una precisione adeguata alle tecniche di misura disponibilied essere disponibili a tutti1.

Lunghezza

Dallottobre del 1983 il campione di metro e la lunghezza d percorsa dalla luce nellintervallodi tempo lungo (299.792.458)

1s. Assumendo esatto per definizione il valore della velocita

della luce di 299.792.458 ms1 si ha infatti d = 1 m. Si utilizza questa definizione perche iltempo e la grandezza che si riesce a misurare meglio e perche la velocita della luce e, secondola relativita, una costante.

Massa

Il campione di massa e la massa di un cilindro di lega di platino ed iridio conservato alBureau International des Poids et Mesures di Parigi. Attualmente questo campione nonrispetta piu i criteri di costanza nel tempo richiesti, perche accumula sulla sua superficiecirca 1 g allanno di contaminanti. Sono quindi incorso ricerche per la sua sostituzione.

Tempo

Il campione di tempo e dato da un intervallo di tempo lungo 9.192.631.770 volte il periodo dioscillazione della radiazione elettromagnetica emessa dallatomo di Cesio nella transizioneiperfine dello stato fondamentale; ha unaccuratezza di 1013 s, che equivale ad unaincertezza di 1 s in 350.000 anni.

Per quanto riguarda il tempo e necessario definire anche una scala dei tempi chepermetta di determinare il quando di un evento: serve a questo scopo il CoordinateUniversal Time (CTU), che deve adeguarsi alla misura del tempo quale ricavabile dallarotazione della Terra. Questa misura del tempo ha unimportanza pratica enorme, bastipensare che sulla sua precisione sono basati i sistemi GPS. Poiche il periodo di rotazionedella Terra non e costante lUTC deve ogni tanto essere corretto.

1.1.2 Operazioni con le grandezze fisiche

Una grandezza fisica si esprime come

= aA (1.1)

1Molte utili informazioni su tutte le problematiche relative alla misura delle grandezze fisiche si possonotrovate nel sito del Bureau International des Poids et Mesures di Parigi che e lente intenazionale delegatoa rendere operativo il SI: www.bipm.org/

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dove e la grandezza, a un numero e A e lunita di misura; si dice che A e la dimensionedi ; e sempre necessario indicare la dimensione della grandezza. Alle grandezze fisiche siapplicano, con qualche limitazione, le regole dellalgebra. Si potra quindi scrivere

1 + 2 = a1A+ a2A = (a1 + a2)A (1.2)

e:

= abAB (1.3)

Ma altre operazioni, pur possibili in algebra, non hanno senso in fisica, come

+ (1.4)

Non e quindi possibile sommare od eguagliare grandezze diverse, mentre e possibile molti-plicarle.

1.2 La coerenza

Limpossibilita di una operazione come quella mostrata nella 1.4 e una conseguenza dellalegge di coerenza cui debbono obbedire tutte le relazioni tra grandezze fisiche. Si posso-no sommare o sottrarre solo grandezze che hanno la stessa dimensione e possono essereeguagliate solo grandezze equidimensionali. Quindi nelle leggi fisiche, che sono relazioni deltipo

= ... (1.5)

e necessario che i due termini delleguaglianza abbiano la stessa dimensione. Il controllodella correttezza dimensionale delle equazioni della fisica si chiama analisi dimensionale;essa e molto utile per verificare lesattezza di una formula.

Lanalisi dimensionale permette inoltre di acquisire informazioni preliminari sulla for-ma di dipendenza di una grandezza fisica di un sistema dalle altre grandezze.

Consideriamo un sistema che studieremo in seguito: il pendolo semplice, cioe unamassa m appesa ad un filo di lunghezza h e cerchiamo di individuare come deve dipendere il

periodo di oscillazione del pendolo T, che ha le dimensioni di un tempo, dalle altre grandezzeche presumibilmente influenzano il comportamento di questo sistema, che sono la massa m,la sua lunghezza h, laccelerazione di gravita g e langolo di oscillazione rispetto alla verticale. In generale si potra scrivere

T = Cmhg (1.6)

dove C e una costante adimensionata. Se scriviamo la 1.6 in termini delle dimensioni siottiene

t = C m ll

t2= l+ m t2 (1.7)

dove si e utilizzato il fatto che, come vedremo in seguito, laccelerazione ha le dimensionidi una lunghezza divisa per un tempo al quadrato e che langolo non ha dimensioni. Si haquindi che deve essere

+ = 0 (1.8)

= 0 (1.9)

2 = 1 (1.10)

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da cui si ricava

=1

2(1.11)

= 0 (1.12)

= 1

2

(1.13)

In conclusione si che ha il periodo del pendolo ha la forma

T = C

l

gf() (1.14)

che mostra la corretta dipendenza da l e da g; vedremo in seguito che C = 2 ed anchecome calcolare f().

Supponiamo di voler individuare, utilizzando la stessa tecnica, quale relazioni legail tempo di caduta tc di una massa m allaltezza di caduta h ; si puo assumere in effettiche questo tempo dipenda dallaltezza h, dalla massa delloggetto m e dallaccelerazione digravita g. Avremo quindi

tc = Cm

h

g

(1.15)dove C e una costante adimensionata. Lequazione dimensionale da quindi

t = Cmll

t2= Cml+t2 (1.16)

La coerenza impone quindi la condizione

+ = 0 (1.17)

= 0 (1.18)

2 = 1 (1.19)

da cui si ricava

=1

2(1.20)

= 0 (1.21)

= 1

2(1.22)

Il tempo di caduta avra quindi landamento dato dalla

t = C

h

g(1.23)

che come verificheremo in seguito e proprio quella corretto.

1.3 Lincertezza della misura

Ogni misura, se effettuata con sufficiente precisione, e affetta da incertezze: questo significache i risultati di diverse misurazioni della stessa grandezza costante sono differenti lunodallaltro. Sorgono allora due problemi: il primo e come individuare il valore da attribuirealla grandezza misurata ed il secondo e valutare laffidabilita della misura.

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La teoria della misura permette di risolvere questi problemi, utilizzando le dueregole seguenti. Si attribuisce alla grandezza misurata il valore ottenuto facendo la mediadei risultati ottenuti. Il risultato della misura si puo rappresentare con lespressione =(a a)A, dove a e il valore medio e a e lincertezza. La rilevanza dellincertezza nelvalutare il risultato della misura e meglio rappresentata dalla incertezza relativa definita

dallaa

aLa teoria della misura permette di calcolare a; ed inoltre la probabilita che il valoredella grandezza misurata sia compreso tra a + a e aa.

Accenniamo brevemente2 alle modalita con le quali si possono calcolare i valori di a ea.

Supponiamo di avere fatto una sola misura di una grandezza e che questa misurasia stata ottenuta leggendo una scala graduata; il costruttore dellapparato di misura dauna indicazione dellincertezza della misura nella scala graduata. Per esempio nel costruireun metro se le tacche sono distanti 1 mm vuole dire che secondo il costruttore lincertezzanellutilizzare questo strumento nel misurare una lunghezza e al meglio di 1 mm. Si potraquindi dire che, se la misura ha dato come risultato 0, 87 m, il valore piu plausibile dellagrandezza e compreso tra 0, 86 m e 0, 88 m. Si tratta di una valutazione molto grezza, mache e soddisfacente in molti casi.

Molte grandezze non sono misurate direttamente, ma sono calcolate misurando altregrandezze: se vogliamo ad esempio misurare la superficie di un rettangolo di lati e dovremo misurare queste due lunghezze e poi calcolare = ; la grandezza da misurare siricava quindi dal prodotto di due altre grandezze. In tal caso si pu o assumere che lincertezza

in e data dallas

s=

a

a+

b

bdove

a

ae

b

bsono le incertezze relative rispettivamente

di e . Supponiamo ora di voler misurare il perimetro della stesso rettangolo, cioe =2( + ); si ha in tal caso che lincertezza di e p = 2(a + b). Queste semplicivalutazioni delle incertezze forniscono valori in generale maggiori di quelli ottenuti con unateoria piu raffinata.

In molti casi e possibile effettuare piu misure della stessa grandezza; in tal caso cisi deve innanzitutto garantire che la grandezza che vogliamo misurare resti costante trauna misura e laltra e che le misure siano una indipendente dallaltra. Ipotizziamo quindi

di avere fatto N misure della grandezza

, ed indichiamo con ai il risultato della i-esimamisura; a causa delle perturbazioni causali ed inevitabili che influenzano il risultato dellamisura infatti le varie misure daranno risultati diversi. Assumeremo come risultato dellamisura il valore medio

a =1

N

Ni=1

ai (1.24)

Si definisce scarto della misura ai lespressione di = ai a. Si capisce che quando gli scartidi sono piccoli, la misura e migliore, cioe il valore medio e prossimo a quello vero; quandogli scarti sono grandi il valore medio puo essere piu lontano da quello vero. La somma degliscarti puo quindi essere utilizzata per valutare quanto il valore medio e prossimo a quellovero; ma siccome e

Ni=1 d

i = 0

si utilizza lespressione

a =

1N

Ni=1

(di)2 (1.25)

2Per una esposizione piu completa si puo consultare il testo di John R. Taylor; Introduzione allanalisidegli errori. Zanichelli

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a si chiama deviazione standard. Un analisi piu approfondita, che qui non possiamosviluppare mostra che e meglio utilizzare per la deviazione standard lespressione

a =

1

N 1

Ni=1

(di)2 (1.26)

Quindi il risultato di una misura della grandezza si scrivera

= (a a)A. (1.27)

Lincertezza nella conoscenza del valore di e inevitabile; la teoria della misura permette dicalcolare quale e la probabilita che il valore vero di sia compreso nei limiti dati dalla 1.27.In molti casi, ma qui non possiamo dimostrarlo, questa probabilita vale 0, 68; se questaprobabilita non pare sufficiente allora potremo dire che il risultato della misura e

= (a 2a)A. (1.28)

lincertezza e aumentata ma avremo che la probabilita che il vero valore sia compreso neilimiti della 1.28 e aumentata e vale 0, 954.

Vediamo ora in modo pratico e molto semplificato quale e lutilizzo dellincertezza.Supponiamo che una teoria abbia previsto che una certa lunghezza deve valere 1 m e che lemisure effettuate per verificare la teoria abbiano dato come risultato 0, 9 m; senza conoscerelincertezza non possiamo dire nulla. Se infatti la deviazione standard fosse 0, 05 m avremoche il valore vero della grandezza e compreso tra 0, 85 m e 0, 95 m con una probabilita 0, 68e quindi con la stessa probabilita la teoria e errata.

Nella vita di tutti i giorni si sentono i risultati di misure economiche come il tasso diinflazione, senza che sia indicato lincertezza della misura. Se non e nota lincertezza non sipuo trarre alcuna conclusiona da queste misure.

1.4 Gli ordini di grandezza della natura

La fisica e larte dellapprossimazione: e quindi molto importante individuare che cosa epiccolo e che cosa e grande. Non esistono grandezze piccole e grandi in assoluto; esistonograndezze piccole o grandi solo in confronto con altre. Molti problemi di meccanica possonoessere risolti supponendo che si svolgano in un piano (raggio della Terra ); daltro cantoil raggio della Terra, che vale 6, 4 106 m, e, in molti problemi, trascurabile rispetto a quellodellorbita terrestre che vale 1, 5 1011 m: in questi casi la terra puo essere considerata unpunto. Il campo di variazione in natura delle grandezze della meccanica e enorme e puoessere cos sintetizzato

Lunghezze

La quasar piu lontana: 2 1026 m

Lunghezza donda della luce nel visibile: 107 m

Raggio del protone: 2 1015 m

Tempi

Vita media del protone: 1039 s

Eta delluniverso: 5 1017 s

Vita media della particella piu instabile conosciuta: 1023 s

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Masse

Universo noto: 1053 kg

Elefante: 5 103 kg

Elettrone: 9 1031 kg

Si puo avere unidea sintetica di questi ordini di grandezza nel linkhttp : //images.4channel.org/f/src/589217 scale of universe enhanced.swf

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Appendice A

I vettori

Le grandezze fisiche necessarie a descrivere la natura devono avere caratteristiche matema-tiche diverse: la temperatura T in un punto dello spazio e completamente definita dando unnumero seguito dallindicazione della scala termica adottata; scriveremo quindi in generaleche la temperatura in un punto vale T(x, y, z; t) dove {x, y, z} sono le coordinate del punto

e t e il tempo. Diversa e la situazione se vogliamo definire la grandezza fisica spostamentodi una particella da un punto O ad un punto P. In tale caso non e sufficiente dire chelo spostamento e stato di a metri, perche in tal modo diciamo solo che P sta sulla sferadi raggio a con centro in O; dobbiamo quindi anche dire in quale direzione e avvenuto lospostamento; individuiamo cos ancora due punti sulla sfera. Se diciamo anche il verso dellaspostamento allora P e individuato in modo univoco.

Le grandezze fisiche che sono definite con un numero, come la temperatura, si chiamanoscalari, quelle che hanno bisogno di tre dati, come lo spostamento, si chiamano vettori.Esistono in fisica anche grandezze che hanno bisogno per essere definite da nove dati e questesi chiamano tensori.

A.1 Lalgebra dei vettori

Con una semplificazione non molto rigorosa dal punto di vista matematico si puo ipotizzareche un vettore sia linsieme di tre numeri; si comprende quindi come le regole di calcolo deivettori siano particolari. Un vettore e rappresentabile con una freccia, come il figura A.1.La retta mm e la direzione del vettore, a e la norma o lampiezza, indicata anche con la

m

m

av

Figura A.1: Il vettore

|a| e v il verso; nella rappresentazione grafica la norma puo essere rappresentata in scala.

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APPENDICE A. I VETTORI 9

Prodotto

E possibile effettuare tra i vettori a, b e c e lo scalare s tre tipi differenti di prodotti. Ilprimo tipo e definito dalla

a = sb (A.1)

Il vettore a ha modulo s|b|, la stessa direzione di b e verso concorde con b se s > 0 ed

opposto se s < 0.Il secondo tipo di prodotto e quello scalare definito dalla

a b = s (A.2)

Il risultato e uno scalare che vales = |a||b| cos (A.3)

dove e langolo tra i due vettori; questo prodotto e commutativo: e quindi a b = b a. Siha inoltre che la norma e data dalla |a|2 = a a. Se si ha che a b = 0, con a = 0 e b = 0,allora a e b sono ortogonali

Il terzo tipo di prodotto e quello vettoriale definito dalla

a b = c (A.4)

Il risultato e un vettore c che ha direzione perpendicolare al piano definito dai due vettoria e b, modulo dato dalla |a||b| sin , dove e langolo tra i due vettori. Il verso di c equello nel quale avanza un cavaturaccioli che ruota nel verso che porta a su b. Il prodottovettoriale non e commutativo: si ha infatti che a b = b a. Se a b = 0, con a = 0 eb = 0, allora i vettori a e b sono paralleli.

Dalle definizioni si ricava che non ha senso loperazione a b c, mentre sono possibilile operazioni a b c ed anche loperazione a b c. Per questultima moltiplicazione,detta prodotto triplo, si ha che

a b c = b(a c) c(a b) (A.5)

che e la cosiddetta regola BAC CAB.

Somma e sottrazione

La somma di due vettori e definita dalla

a + b = d (A.6)

e un operazione commutativa; la differenza e definita dalla

a b = a + (1b) = d (A.7)

e non e commutativa; si ha infatti b a = (a b)

Le componenti dei vettori

Molti calcoli con i vettori sono piu facilmente eseguiti utilizzando la rappresentazione dei

vettori in un definito sistema di riferimento, in particolare un sistema cartesiano, rappresen-tato nella figura A.2. I tre versori i,j e k, che definiscono la terna ortogonale cartesiana,sono caratterizzati dalle seguenti proprieta

i i = j j = k k = 1

i j = j k = k i = 0

i j = k; j k = i; k i = j

i i = jj = k k = 0

(A.8)

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La rappresentazione cartesiana di un vettore a puo essere scritta quindi come

a = ax i + ayj + az k (A.9)

dove ax, ay e az sono le componenti di a nel sistema cartesiano. Riferendosi alla figura A.2si noti come si possa scrivere

ax = |a| cos

ay = |a| cos

az = |a| cos

(A.10)

dove langolo e langolo tra a e i, langolo quello tra a e j e langolo tra a e k. I coseniche appaiono nella A.10 si chiamano coseni direttori

x

y

z

ij

k

a

ax

ay

az

Figura A.2: Il vettore nel sistema di riferimento cartesiano

Le operazioni sui vettori sopra indicate possono essere espresse in termini delle lorocomponenti cartesiane, utilizzando le A.8; per quanto riguarda la somma si ha

a + b = (ax + bx) i + (ay + by)j + (az + bz) k (A.11)

e per quanto riguarda la differenza si ha

a b = (ax bx) i + (ay by)j + (az bz) k (A.12)

analogamente per quanto riguarda i prodotti si ha

sb = sbx i + sbyj + sbz k

a b = axbx + ayby + azbz

a b = (aybz azby) i + (azbx axbz)j + (axby aybx) k

(A.13)

Il prodotto vettoriale a b puo anche essere espresso con il determinante

a b =

i j k

ax ay az

bx

by

bz

(A.14)

I prodotti tripli

Il prodotto triplo a b c non ha senso; ha senso invece il prodotto a b c che si chiamaprodotto misto. Si ha inoltre che

a b c = b(a c) c(a b) (A.15)

La relazione A.15 e nota come regola BAC-CAB.

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La derivata di un vettore

Nella meccanica molte grandezze fondamentali sono vettori, in particolare vettori che di-pendono dal tempo: si possono quindi esprimere nella forma a = a(t); in molte leggi dellaMeccanica appaiono derivate di vettori fatte rispetto al tempo.

a(t)

a(t + t)

a = a(t + t) a(t)

Figura A.3: La variazione del vettore

Facendo riferimento alla figura A.3 si definisce la derivata di a rispetto al tempolespressione

dadt

= limt0

a(t + t) a(t)t

(A.16)

La derivata di un vettore e un vettore in generale non parallelo al vettore. Se il vettoredefinito in un sistema cartesiano di coordinate come nella A.3 e se il sistema di riferimentoe fisso si ha allora

da

dt=

daxdt

i +daydt

j +dazdt

k (A.17)

Alla derivata dei vettori si applicano le stesse regole che si applicano alle derivate dellefunzioni; si ha ad esempio

dsa

dt=

ds

dta + s

da

dtd(a b)

dt

=da

dt

b + a db

dtd(a b)

dt=

da

dt b + a

db

dt

(A.18)

Si noti come in questo caso, data la non commutativita del prodotto vettoriale, lordine deifattori deve essere conservato.

Consideriamo ora un vettore a che abbia norma costante rispetto al tempo, abbia cioe

|a|2 = a a = cost; essendo quindid(a a)

dt= 0 si ricava che

da

dt a = 0 (A.19)

In questo caso particolare quindi i vettorida

dte a sono perpendicolari.

Lintegrazione di un vettore

Supponiamo che nel piano della figura A.4 sia definito il campo vettoriale a(x, y) = ax(x, y) i+ay(x, y)j; si chiama integrale di linea da A a B lespressione

I =

BA

a(x, y) ds (A.20)

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dove ds = dx i + dyj e tangente alla linea AB in ogni suo punto. Si ha quindi

I =

BA

ax(x, y)dx +

BA

ay(x, y)dy (A.21)

a

ds

x

y

A

B

Figura A.4: Lintegrale lungo una linea

Per calcolare la A.21 bisogna conoscere lequazione della traiettoria; bisogna cioeconoscere le funzioni x = f(y) e y = f(x)

Gli operatori vettoriali

Ci sono in fisica molti operatori che si applicano ai vettori e producono vettori o scalari edanche operatori che si applicano a scalari e producono vettori; di tutti questi descriveremoqui solo il gradiente.

Sia nota la funzione scalare = f(x, y, z); si chiama gradiente di e si indica lespressione

=

xi +

yj +

zk (A.22)

Come si vede loperatore , detto nabla, opera su di uno scalare e produce un vettore.

La relazione di Poisson

Si consideri il vettore A(t) ruotante intorno al vettore = k; dalla figura A.5 si ricava chein un sistema di riferimento cartesiano il vettore e dato dalla

A(t) = Ao sin cos (t) i + Ao sin sin (t)j + Ao cos k (A.23)

Applicando la A.17 e ponendo =d

dtsi ricava

dA(t)

dt= Ao sin sin (t) i + Ao sin cos (t)j (A.24)

La A.24 puo essere espressa in modo piu compatto da quella che talvolta e chiamatarelazione di Poisson

dA(t)

dt= A(t) (A.25)

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i

j

k

A

Figura A.5: Il vettore rotante

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