FDA 3.1 SensitivitaBandaMargini 2015

Fondamenti di Automatica FdT: robustezza e prestazionipag. 1

Fondamenti di Automatica

Funzioni di trasferimento:robustezza e prestazioni

Dott. Ing. Marcello BonfDipartimento di Ingegneria - Universit di Ferrara

Tel. +39 0532 974839E-mail: [email protected]


Funzioni di trasferimentoSENSIBILITA


Sistemi in retroazione

La tecnologia del sistema di controllo ad anello chiuso richiede sempre linstallazione di un trasduttore di misura, la cui influenza sulle propriet del sistema controllato spesso di notevole importanza (anche pratica)

controlloreyref impianto

(modello)ua y

trasduttore

attuatoreu

Sistema di controllo


Sistemi in retroazione - 1

Tramite modelli FdT e la riduzione degli schemi a blocchi:

-+

FdT di anello L(s) [anche = G(s)T(s)]

FdT diretta G(s)

Funzione di sensitivit


Sensibilit alle variazioni di parametri

Se un parametro dellimpianto difforme dal valore nominale ipotizzato in fase di progetto:

con


Sensibilit alle variazioni di parametri - 1

Tale variazione quindi equivalente ad un blocco indesiderato in parallelo alla FdT direttaLa corrispondente variazione della FdT complessiva (ad anello chiuso) :

Funzione di sensitivit



In relazione al modulo della risposta armonica:

Se (perci ) si pu scrivere:

Pertanto, lerrore relativo (dovuto alla variazione di un parametro nellimpianto) nella risposta del sistema ad anello chiuso molto inferiore a quello del sistema in catena diretta (alle frequenze per le quali il guadagno della FdT di anello elevato)



Se invece un parametro del trasduttore (o comunque del ramo di retroazione) ad essere difforme dal valore nominale:

con

allora (ricordando che L=GT)



La corrispondente variazione relativa della FdTcomplessiva (ad anello chiuso) :

La funzione di sensitivit complementare qui definita sempre tale che , pertanto se si vuole che la funzione di sensitivit sia , la funzione di sensitivit complementare sar

Funzione di sensitivit complementare



NON quindi possibile ridurre lerrore relativo introdotto nella risposta ad anello chiuso dal parametro del trasduttore, perch ci provocherebbe un peggioramento della sensibilit rispetto a variazioni dei parametri nellimpianto (o comunque nel ramo diretto), che si vuole invece minimizzare (e quindi si vuole L 1!) Ci dimostra limportanza della scelta dei trasduttori (e circuiti di acquisizione) e della loro qualit, per lingegneria dei sistemi di controllo


Si consideri lo schema modificato:

N.B.: G1 non necessariamente la FdT del solo controllore e G2 non necessariamente la FdT del solo impianto, ma ciascuna potrebbe includere leffetto di attuatori o altri elementi di interconnessione (punto di ingresso di d ignoto!)

Sensibilit ai disturbi

-+ + +


Si ha allora che:

N.B.: in questo caso (T(s) = 1), F(s) coincide con la funzione di sensitivit complementare Sc(s), che come detto in precedenza sempre t.c. la somma con la funzione di sensitivit

Sensibilit ai disturbi - 1


NOTA: la funzione di sensitivit S(s) influenza quindi anche leffetto del disturbo sulluscitaQuestultimo risulta quindi tanto pi attenuato quanto pi elevato il guadagno della FdT di anello (condizione che come detto riduce anche leffetto di variazioni parametriche nel ramo diretto)Nella pratica, non possibile ottenere fino a frequenze elevate (ANZI!), per cui necessario valutare adeguatamente entro quali frequenze lecito ipotizzare la presenza del disturbo, per attenuarlo opportunamente



Esempio: F.d.t. danello

Influenza di k sulla sensitivit S(s)



In sostanza il progetto di controllo richiede un compromesso sulla sensitivit S(s) alle varie frequenze


Illustrazione di Gunter Stein, Respect the unstable (IEEE Control Systems Magazine, Vol. 23 N. 4 2003)


Considerazioni analoghe si possono applicare in caso di rumori di misura (noise), cio di segnali indesiderati che entrino nellanello come segue:


-+

+

+


Funzioni di trasferimentoBANDA PASSANTE


Banda passante

Si definisce banda passante di una FdT G(s) la pulsazione alla quale il modulo della relativa funzione di risposta armonica inferiore di 3 dB rispetto al valore statico G(0)Per un sistema in retroazione, ipotizzando che il ramo di retroazione abbia FdT reale (T(s) = h > 0)

Pertanto, per le pulsazioni alle quali


Banda passante - 1

Anche se la FdT in catena diretta ha grandi variazioni di modulo, nella banda in cui la FdT di anello ha guadagno elevato la FdT del sistema in retroazione quasi costanteSi evidenzia anche che la FdT di un trasduttore ideale dovrebbe essere reale e con guadagno unitario (h = 1)Infine, il sistema in retroazione ha certamente banda passante pi ampia di uno in catena aperta composto dagli stessi elementi sul ramo diretto, come si pu evidenziare analizzando i diagrammi di Bode


Banda passante - 2


Banda passante - 3

Esempio:

Banda passante catena diretta

Banda passante anello chiuso ( > 1 se h > 0)


Banda passante - 4

NOTA: in generale, la banda passante di un sistema del primo ordine sempre legata alla sua costante di tempo ed :

Infatti:

Banda passante


Banda passante e prontezza di risposta del sistema

Poich come noto la costante di tempo esprime direttamente anche il tempo di assestamento per la risposta al gradino ( ), si possono fare le seguenti considerazioni: La prontezza di risposta di un sistema tanto

maggiore (Ta piccolo) quanto pi ampia la sua banda passante ( nel sis. 1 ordine)

La chiusura in retroazione serve appunto ad aumentare la banda passante e quindi la prontezza di risposta


Banda passante e prontezza di risposta del sistema-1

NOTA: Per i sistemi del secondo ordine, il tempo di assestamento legato alla pulsazione critica in un modo analogo a quello con cui legato alla banda passante nei sistemi del primo ordine:

In questo caso si pu dire (purch il coefficiente di smorzamento sia accettabile) che: La prontezza di risposta di un sistema del

secondo ordine tanto maggiore quanto pi elevata la sua pulsazione naturale


Funzioni di trasferimentoCRITERIO di NYQUIST / MARGINI di STABILITA


Stabilit e FdT di anello

La stabilit del sistema in retroazione:

si riconduce allo studio della FdT di anello (prodotto di tutte le FdT dei blocchi nel loop), in questo caso L(s) = C(s)P(s)T(s)

Per lo studio dei poli, si considera lequazione caratteristica (denominatore della FdT ad anello chiuso)

1 + L(s) = 0

-+


Stabilit e FdT di anello - 1

Lequazione 1 + L(s) = 0 peraltro una FdTrazionale a sua volta, con poli e zeriIn particolare, gli zeri di 1 + L(s) = 0 sono i polidella FdT del sistema chiuso in retroazioneTuttavia, la stabilit del sistema in retroazione pu essere studiata anche analizzando le informazioni relative alla sola FdT di anello L(s), sfruttando opportuni risultati teorici derivanti da studi nel dominio della frequenza


Criterio di Nyquist

Gli studi di Nyquist sui sistemi in retroazione (1932) introducono criteri grafici basati sui diagrammi polari della risposta armonica, su alcune considerazioni intuitive e su risultati teorici dellanalisi di funzioni complesse (principio dellargomento o lemma di Cauchy)Lintuizione base di Nyquist quella di determinare le condizioni limite nelle quali il sistema in retroazione ha un comportamento oscillatorio persistente, cio marginalmente (o semplicemente) stabile


Criterio di Nyquist - 1

Con riferimento allo schema ottenuto aprendo lanello considerato in precedenza:

supponendo che nel punto A vi sia un segnale sinusoidale con pulsazione , se nel punto B si ritrova un segnalesinusoidale con stessa pulsazione, ampiezza e fase, chiudendo lanello loscillazione si autososterrebbe



Affinch ci avvenga, occorre che sia stabilee che:

Ci significa che nellanalisi del diagramma polare (o diagramma di Nyquist) di L(j ), il punto (-1,0) del piano complesso il punto critico che determina il limite di stabilitSe il diagramma di Nyquist della FdT di anello (N.B: non quella del sistema chiuso in retroazione) passa per tale punto, il sistema ad anello chiuso sar marginalmente stabile



Qualora il diagramma di Nyquist non passi per il punto critico, necessario formalizzare i criteri per stabilire leffettiva stabilit o instabilitIntuitivamente, definita la pulsazione alla quale il diagramma di Nyquist di L(s) incrocia lasse reale negativo ( ), ragionevole pensare che se il guadagno di L(s) a tale pulsazione minore di uno, nel punto B dello schema a blocchi aperto visto in precedenza si avr la sinusoide entrante in A, ma attenuata in ampiezza, il che indicativo di comportamento stabile ad anello chiuso..





Formalmente, il principio dellargomento di funzioni complesse afferma che per ogni curva chiusa nel piano complesso della variabile s, variando s in modo da percorrere tale curva per un giro completo in senso orario, largomento di una funzione F(s) varia come segue:

con np = numero di poli di F(s) circondati da enz = numero di zeri di F(s) circondati da



Ovvero, la curva ottenuta nel piano complesso di F(s), mappando tramite F, circonda lorigine un numero di volte pari alla differenza tra il numero di poli e di zeri di F(s) circondati da

F(s)



Il criterio di Nyquist applica il principio dellargomento considerando la curva che racchiude il semipiano complesso a parte reale positiva (regione di instabilit), costituita dallasse immaginario (a partire da ) e da una circonferenza di raggioEventuali poli puramente immaginari sono esclusi dalla curva tramite semicirconferenze di raggio infinitesimo



Contando le rotazioni attorno allorigine della curva mappata tramite L1(s) = 1 + L(s) si pu determinare il numero di zeri (poli del sistema closed-loop) instabili



Equivalentemente, si possono contare le rotazioni attorno al punto critico (-1,0) del diagramma di Nyquist completo della FdT di anello L(s)



N.B.: Il diagramma di Nyquist completo (cio per ) si ottiene ribaltando rispetto allasse

reale il diagramma di Nyquist gi descritto

Teorema (criterio di Nyquist semplificato): sia L(s) una FdT di anello non avente poli a parte reale positiva (ed eventuali poli puramente immaginari siano semplici, cio con molteplicit unitaria); allora, il corrispondente sistema chiuso in retroazione stabile se il diagramma di Nyquist di L(s) non circonda n tocca il punto critico (-1,0)



Teorema (criterio di Nyquist): sia L(s) una FdT di anello avente P poli a parte reale positiva e sia N il numero di rotazioni del diagramma di Nyquist di L(s) attorno al punto critico (-1,0), conteggiate con segno positivo se compiute in senso orario, con segno negativo se compiute in senso antiorario.Il numero di poli a parte reale positiva del sistema chiuso in retroazione Z = P + N

N.B.: affinch una rotazione sia inclusa nel conteggio necessario che il punto critico non venga toccato



Esempio:

Due rotazioni in senso orario poli a parte reale positiva nel sistema closed-loop (instabile)



Esempio:

Due rotazioni in senso anti orario nessun polo(P = 2, N = -2 Z = 2 2 = 0) a parte reale > 0 nel sistema closed-loop (stabile)


Margini di stabilit

Il criterio di Nyquist utile soprattutto come giustificazione teorica al seguente metodo per quantificare la robustezza della stabilit in un sistema ad anello chiusoInfatti, un sistema closed-loop tanto pi lontano dallinstabilit quanto pi il diagramma di Nyquistdella sua FdT di anello L(s) lontano dal punto critico, se L(s) NON ha poli a parte reale > 0In tal caso, la distanza del diagramma di Nyquistdal punto critico si pu valutare con i margini di stabilit (margine di ampiezza e margine di fase)


Margini di stabilit - 1

Margine di ampiezza: inverso del guadagno di anello a (pulsazione di intersezione con lasse reale negativo)Margine di fase: angolo che occorre sottrarre alla fase della FdT di anello a (pulsazione di incrocio con la circonferenza di raggio unitario) per ottenere



I margini di ampiezza e fase si possono determinare anche sul diagramma di Bode, sempre considerando L(s):



N.B.: i margini di ampiezza e fase vanno considerati insiemeper valutare la robustezza della stabilit

Esempio con margine di fasemolto elevato (90)MA margine di ampiezzamolto piccoloattenzione ai sistemi concoppie di poli poco smorzatiO zeri alternati a poli



RUOLO dei margini di ampiezza e fase nel progetto robusto:

Margine di ampiezza: MAXvariazione del guadagno dianello che NON pregiudica lastabilit

Margine di fase: MAXvariazione dello sfasamento della FdT di anello che NONpregiudica la stabilit



VALORI TIPICI dei margini di ampiezza e fase che si desidera ottenere dal progetto di controllo:

Margine di ampiezza: 4 - 6 (12 - 16 dB)

Margine di fase: 45 - 60


FUNZIONI DI TRASFERIMENTO- Sensibilit- Banda passante- Criterio di Nyquist / Margini di stabilit

FINE

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