FDA 1.5 RetroazioneStato 2015

Fondamenti di Automatica Retroazione dello statopag. 1

Fondamenti di Automatica

Controllo con retroazione dello stato

Dott. Ing. Marcello BonfDipartimento di Ingegneria - Universit di Ferrara

Tel. +39 0532 974839E-mail: [email protected]


Controllo con retroazione dello statoRETROAZIONE STATO-INGRESSO


Controllo di un sistema LTI

Come visto nellintroduzione, la strategia di controllo pi efficace e robusta, nella maggior parte delle applicazioni pratiche, quella in retroazioneNel controllo in retroazione, il segnale di controllo che viene applicato allingresso del sistema da controllare (plant) calcolato sulla base dello stato o delluscita del plant stesso Retroazione algebrica (o statica): il segnale di

controllo funzione solo del valore corrente dello stato (o delluscita)

Retroazione dinamica: il controllore a sua volta un sistema dinamico, avente un proprio vettore di stato distinto da quelle del plant


Controllo di un sistema LTI - 1

Lobiettivo del progetto di una retroazione algebrica, per un sistema LTI, quello di rendere il sistema in catena chiusa stabile rispetto allorigine (x = 0)Fare riferimento solo allo stato zero non significa perdere generalit, in quanto qualsiasi altro stato x1 diverso da 0 pu essere ricondotto allorigine tramite la semplice traslazione x = x x1Inoltre, lo stato zero pu anche essere rappresentativo delle piccole variazioni rispetto ad un moto o a un punto di equilibrio per un sistema nonlineare, per il quale si considera il modello linearizzato per approssimazione (sviluppo in serie di Taylor, vedi pag. 108-111 - Analisi)


Retroazione algebrica stato-ingresso

Dato il sistema da controllare:

con x Rn e u Rr e per il quale si suppone che lo stato sia interamente accessibile, si realizzi la retroazione algebrica stato-ingresso:

S

H

++v(t) u(t) x(t)

Cy(t)


Retroazione algebrica stato-ingresso - 1

Il sistema in catena chiusa (closed-loop), o sistema controllato, risulta:

Teorema: gli autovalori di (A+BH) sono assegnabili arbitrariamente in funzione della matrice H (r x n) se e solo se il sistema da controllare completamente raggiungibile e controllabile



Ci significa che dati gli n autovaloriche si vogliono assegnare con la retroazione, il sistema di n equazioni:

ammette soluzione negli (n x r) parametri della matrice H se e solo se il sistema completamente raggiungibile e controllabileSe r = 1 (sistema a singolo ingresso) la soluzione unica [n incognite con (n x 1) parametri]



Gli autovalori devono essere scelti in modo che se complessi, siano presenti in coppia con il relativo complesso coniugatoOvviamente, lobiettivo di stabilizzazione del sistema controllato richiede che tutti gli autovaloriassegnati abbiano parte reale negativa (o modulo inferiore a uno, per sistemi discreti)



Se il sistema da controllare non completamente raggiungibile e controllabile, scomponendolo:

ed effettuando la retroazione stato-ingresso:



Si ottiene che la retroazione NON modifica gli autovalori della parte non raggiungibile-controllabile:

Se questultima asintoticamente stabile, allora il sistema stabilizzabile tramite la retroazioneAltrimenti, il problema di stabilizzazione del sistema controllato NON risolvibile


Osservazioni

La retroazione algebrica stato-ingresso pu stabilizzare il sistema da controllare (plant), ma NON pu modificarne la raggiungibilit e controllabilit, che dipendono essenzialmente dal modo in cui si combinano A e B (che rimarr analogo passando ad A+BH e B)Le propriet di osservabilit e ricostruibilit possono invece essere influenzate dalla retroazione, in base alla scelta degli autovalori assegnati per progetto (es. autovalori uguali possono dare luogo a modi non distinguibili)


Osservazioni (sullosservabilit..)

Esempio: si consideri un sistema con matrici

Il sistema ha autovalori -1,-2 e -3 ed sia raggiungibile-controllabile che osservabile-ricostruibile


Osservazioni (sullosservabilit..) - 1

Per rendere pi rapida la dinamica del secondo e terzo stato, viene progettata una retroazione stato-ingresso tale da posizionare entrambi gli autovalori corrispondenti in -5

Cos facendo per, la matrice di osservabilit risulta di rango 2, quindi il sistema chiuso in retrazione non pi completamente osservabile

q1 q2 -5q1-6q2


Osservazioni (sullosservabilit..) - 2

In generale, possono anche esistere sistemi non osservabili in catena aperta che, tramite opportuno controllo in retroazione, diventino osservabili in catena chiusa. Es:

risulta essere: NON osservabile in catena aperta, ma osservabile in

catena chiusa, SE c1 = 0, c2 = 1 e H=[1 1] Osservabile in catena aperta, ma NON osservabile in

catena chiusa, SE c1 = 1, c2 = 1 e H=[2 1] Osservabile sia in catena aperta che chiusa, SE c1 = 1,

c2 = 1 e H=[1 1]


Osservazioni pratiche

Esistono diversi metodi numerici per risolvere il problema dellassegnazione degli autovaloriIl programma di calcolo Matlab di Mathworkssupporta il progetto di controllo con le funzioni:K = place(A,B,p)

che assegna al sistema caratterizzato da (A,B) gli autovalori contenuti nel vettore p, ek = acker(A,b,p)

applicabile ai sistemi ad ingresso singolo, cheimplementa una formula detta di Ackermann


Osservazioni pratiche - 1

NOTA: oltre alle osservazioni precedenti sulla possibile perdita di osservabilit causata dal progetto di una retroazione stato-ingresso che assegni stesso valore numerico a pi autovalori, pu essere interessante notare che le funzioni place(A,B,p) e acker(A,b,p) possono avere problemi numerici e/o fornire errori di esecuzione nel caso in cui il vettore p degli autovalori desiderati contenga valori ripetuti!


Osservazioni pratiche - 2

Studente: ma se assegnare valori identici agli autovalori pu far perdere losservabilit e la cosa non consigliabile nella pratica (tant vero che quel software di calcolo pu dare errori..), perch tutti gli esercizi desame su questo argomento richiedono appunto "di progettare una retroazione tale che il sistema ad anello chiuso abbia il maggior numero di autovalori in -xx"?

Docente: oh beh, dal punto di vista numerico la difficolt di soluzione del problema non cambia si risparmia qualche carattere nel testo dellesercizio e se dovessi mettere tutti valori diversi vi direi gi QUANTI autovalori risultano assegnabili con i dati del problema!


Controllo con retroazione dello statoRETROAZIONE USCITA-INGRESSO


Retroazione algebrica uscita-ingresso

Dato il sistema da controllare:

si realizzi la retroazione algebrica uscita-ingresso:

S

K

++v(t) u(t) x(t)

Cy(t)


Retroazione algebrica uscita-ingresso - 1

Il sistema in catena chiusa (closed-loop), o sistema controllato, risulta:

Teorema: la retroazione algebrica delluscita sullingresso modifica gli autovalori della sola parte osservabile-ricostruibile e raggiungibile-controllabile del sistema da controllare (autovaloridella matrice )NON detto che tali autovalori siano assegnabili arbitrariamente



Infatti, partendo dalla forma minima del sistema da controllare e scomponendo ulteriormente le parti raggiungibile-controllabile e non:

dalla retroazione uscita-ingresso risulta:



La retroazione NON modifica gli autovalori della parte non raggiungibile-controllabile ( )

La parte non osservabile-ricostruibile non influenza luscita, pertanto non interessata da tale retroazione

Lassegnazione degli autovalori non comunque arbitraria, in quanto i gradi di libert nel progetto sono fissati dal prodotto tra numero di ingressi e numero di uscite (m x r), il quale pu essere inferiore al numero di autovalori da modificare


Controllo con retroazione dello statoOSSERVATORI DELLO STATO


Il problema della stima asintotica

Problema della stima asintotica dello stato: Dato un sistema S LTI (A,B,C), costruire un sistema dinamico, detto osservatore (o stimatore) asintotico dello stato, che, disponendo solamente di misure dellingresso u(.) e delluscita y(.), fornisca una stima dello stato x del sistema S. Lerrore di stima deve annullarsi asintoticamente, cio deve essere:


Osservatore asintotico in catena aperta

Detto anche osservatore modello:

Stimatore asintotico in catena aperta

Sistema

u yx


Osservatore asintotico in catena aperta - 1

Lerrore di stima risulta:

La convergenza a 0 dellerrore dipende da:

Pertanto lerrore di stima tende a zero quando il tempo tende allinfinito solo se il sistema sotto osservazione asintoticamente stabile


Osservatore asintotico in catena chiusa

Detto anche osservatore identit:

Sistema

u yx

B

K

Cw

+

-

+

+

Stimatore asintotico in catena chiusa


Osservatore asintotico in catena chiusa - 1

Losservatore identit un sistema dinamico avente il seguente modello differenziale:

Definendo ancora lerrore di stima:

controlloredellosservatore:



Teorema: gli autovalori di (A+KC) sono assegnabili arbitrariamente in funzione di K (m x n)se il sistema sotto osservazione completamente osservabile e ricostruibile ( in forma minima)

Lobiettivo di progetto dellosservatore richiede che questo sia asintoticamente stabile, cio che lerrore di stima tenda a zero

Pertanto, gli autovalori da assegnare devono essere a parte reale negativa



Se il sistema sotto osservazione non in forma minima, si pu scomporre:

e nel progetto dellosservatore risulta:



Pertanto, non vengono modificati gli autovaloridella parte non osservabile-ricostruibilePer sistemi NON in forma minima, lerrore di stima tende a zero (per t inf.) quando gli autovalori di

sono gi a parte reale negativa e K1 progettata in modo da rendere tali anche quellidi


Richiamo sulla dualit

Per il principio di dualit, le propriet di raggiungibilit e controllabilit di un sistemacorrispondono a quelle di osservabilit e ricostruibilit di un sistema duale (e viceversa)Pertanto, le tecniche di progetto sviluppate per risolvere il problema di assegnazione degli autovalori di un sistema controllato (stabilizzazione) si applicano direttamente anche al progetto degli osservatori asintotici in catena chiusa (osservatori identit):

Retroazione stato-ingresso Osservatore per il sistema duale


Controllo con retroazione dello statoRETROAZIONE STATO STIMATO-INGRESSO


Utilizzo pratico degli osservatori asintotici

Nelle applicazioni ingegneristiche, il vettore di stato non sempre accessibile tramite misure dirette (C non ha rango = n)La retroazione stato-ingresso per pi potente di quella uscita-ingressoPertanto, il progetto di osservatori con prestazioni dinamiche adeguate (riduzione dellerrore di stima in tempi brevi) risulta di fondamentale importanza per la realizzazione dei sistemi di controllo con retroazione stato (stimato)-ingresso


Retroazione stato stimato-ingresso

Stato stimato tramite osservatore e retroazionato:Sistema

u yx

B

K

Cw

+

-

+

+

Stimatore asintotico in catena chiusa

HControllore

v

+

+


Retroazione stato stimato-ingresso - 1

Il sistema complessivo risulta:


Retroazione stato stimato-ingresso - 2

In forma diagonale a blocchi:

Gli autovalori del sistema in catena chiusa sono lunione di quelli di A+BH (assegnabili arbitrariamente se il sistema completamente raggiungibile-controllabile) con quelli di A+KC (assegnabili arbitrariamente se il sistema completamente osservabile-ricostruibile) .Il progetto del controllo indipendente dal progetto dellosservatore (principio di separazione)


Osservazioni finali

Il controllore realizzabile nella pratica, in quanto utilizza una stima dello stato che ottiene dal modello del sistema e dai segnali di ingresso e uscita (osservatore asintotico)

Perch il controllore risolva il problema di regolazione a zero dello stato, con una velocit arbitraria, il sistema da controllare deve essere completamente raggiungibile e completamente osservabile

Le prestazioni del sistema controllato sono pi vicine al caso ideale (retroazione statica dello stato vero del sistema) quanto pi velocemente va a 0 lerrore di stima.

E bene che gli autovalori della matrice A+KC siano pi negativi dellautovalore pi negativo della matrice A+BH

E per bene NON esagerare nel progetto dello stimatore. Se A+KC ha autovalori molto negativi c il rischio di amplificare eventuali rumori di misura sulluscita (che nella pratica saranno sempre presenti, grandi o piccoli che siano..)


Osservazioni finali - 1

TUTTI i risultati visti in precedenza si applicano anche ai sistemi discretiOvviamente, per tali sistemi le considerazioni fatte sulla parte reale degli autovalori (che deve essere negativa) vanno riviste in termini di modulo degli autovalori (che deve essere inferiore a uno)


CONTROLLO con RETROAZIONE dello STATO- Retroazione stato-ingresso- Retroazione uscita-ingresso- Osservatori dello stato- Retroazione stato stimato-ingresso

FINE

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