FACOLTA˚ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI...

UNIVERSITA DEGLI STUDI DELL’INSUBRIA

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Fisica

Effetti non linearinell’espansione

dei condensati di Bose

Tesi di Laurea Triennale in Fisica

Relatore:Chiar.mo Prof.ALBERTO PAROLA

Tesista:

GABRIELLA MOSCAmatr. 610690

Anno Accademico 2004-2005

Errare e umano, ma per incasinare

veramente tutto ci vuole

un computer.

A mio nonno Gabriele,

a mio nonno Angelo

e a mia zia Agnese.

INDICE 1

Indice

Introduzione 3

1 Cenni di statistica 5

1.1 Il principio di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 La statistica di Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 I condensati di Bose 11

2.1 La temperatura di Bose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Bosoni in trappole magnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 L’equazione di Gross-Pitaevski 20

3.1 Effetto delle interazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Il sistema a due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Estensione al caso di N corpi . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Studio della forma delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 L’equazione di Eulero quantistica 31

5 Espansione dei condensati di Bose 34

5.1 Analisi del fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Ipotesi conclusive sulle ragioni del fenomeno . . . . . . . . . . . 49

INDICE 2

Elenco delle figure 53

Bibliografia 54

Ringraziamenti 1

Introduzione 3

Introduzione

In questo elaborato ci si occupa di un particolare aspetto della condensazione di

Bose-Einstein (BEC) e cioe quello che avviene durante la libera espansione di un

condensato gassoso (es. 7Li e 87Rb).

La BEC e una particolare configurazione della materia in cui lo stato fondamentale

(quello ad energia minima) e macroscopicamente occupato e cioe, seN rappresen-

ta il numero totale di particelle edN0 il numero di quelle nello stato fondamentale,

il rapporto N0

N∼ 1. Si puo giungere a questo stato solamente se le particelle in

questione obbediscono alla statistica di Bose e cioe:

nα =1

eβ(εα−µ) − 1(1)

dove nα e il numero medio di particelle che occupano lo stato caratterizzato dal

numero quantico α, εα e l’energia associata a questo stato e µ e il potenziale chim-

ico e β = 1kBT

.

Se le particelle obbediscono a questa statistica e possibile porre nel medesimo sta-

to un numero arbitrariamente grande di particelle. Affinche tutte le particelle si

trovino nello stato fondamentale (condizione di puro condensato) ci si deve porre

a T = 0 ed in questa condizione ideale si svolge il lavoro presentato.

Per mantenere gli atomi confinati si e soliti utilizzare delle trappole magnetiche

in modo da evitare collisioni con una parete di confinamento materiale poiche

aumenterebbero l’energia del sistema. Al fine pero di studiare le proprieta del

Introduzione 4

condensato, una volta raggiunta la BEC si toglie la barriera magnetica e si va a

studiare l’espansione libera della nube di particelle.

Tipicamente la distribuzione della densita di particelle all’istante iniziale e una

gaussiana: se si trascurano totalmente gli effetti delle interazioni tra le particelle

al trascorrere del tempo la distribuzione rimane di tipo gaussiano con semplice-

mente un aumento della varianza (σ). Tuttavia seppur diluiti i condensati di

Bose sono soggetti ad interazioni non trascurabili e l’evoluzione temporale del

sistema puo essere descritta tramite l’equazione di Gross-Pitaevskii (equazione di

Schroedinger non lineare). In questo caso si e andati ad esaminare l’espansione

tramite soluzioni numeriche, notando cosı un curioso effetto: all’aumentare del

numero di particelle del condensato la loro espansione non e piu simile a quella

di particella libera, si nota anzi che all’avanzare del tempo si forma al centro uno

svuotamento della densita, che si concentra invece ad una determinata distanza

dall’origine.

In questo elaborato si tentera di capire le ragioni di questo fenomeno e le con-

dizioni sotto cui puo avvenire (si tenga presente che negli esperimenti sinora ef-

fettuati non e stato ancora osservato, ma non si e nemmeno mai operato in questa

direzione).

Cenni di statistica 5

Capitolo 1

Cenni di statistica

1.1 Il principio di simmetria

Due o piu particelle si definiscono identiche se hanno le medesime proprieta

fisiche permanenti (massa, carica, spin, etc.) e possono pertanto essere distinte

solamente attraverso il valore di una qualche osservabile (es. il momento o la po-

sizione): se per esempio in un atomo si hanno due elettroni caratterizzati da due

momenti differenti non ha alcun senso dire quale di essi abbia un dato momento e

quale l’altro.

In un sistema di N particelle sara possibile rappresentare gli stati mediante una

funzione d’onda siffata:

|ψ⟩

= |x1, ω1

⟩⊗ |x2, ω2

⟩...⊗ |xN , ωN

⟩

elemento dello spazio H = [L 2(R3)]2s+1 ⊗ ...⊗ [L 2(R3)]2s+1 dove il prodotto

tensoriale si intende effettuato N volte, le osservabili saranno operatori autoag-

giunti di H della forma:

A = A(x1, p1, S1; ...; xN , pN , SN) (1.1)


Siccome le particelle sono indistinguibili, possono essere associate delle osserv-

abili solo a quelle funzioni degli operatori x1, p1, S1, ..., xN , pN , SN che siano

invarianti rispetto ad una qualunque loro permutazione. Anche l’Hamiltoniana,

essendo associata all’energia del sistema, dovra pertanto godere di tale proprieta.

Si va ora per semplicita ad analizzare il caso di due particelle identiche (ma i

risultati si possono estendere senza troppe difficolta al caso di N particelle), e si

definisce un operatore siffatto (detto operatore di scambio):

P(1,2)ψ(r1, r2) = ψ(r2, r1) (1.2)

chiaramente esso commutera con l’Hamiltoniana del sistema data la richiesta

precedente e pertanto sara una costante del tempo e le sue autofunzioni saran-

no le medesime di H . Inoltre e immediato verificare che P(1,2) e unitario ed e

l’inverso di se stesso, da questo segue che gli unici autovalori ammessi per esso

saranno λ1,2 = ±1, pertanto in generale varra che:

P(1,2)ψ(r1, r2) = ±ψ(r1, r2) (1.3)

E quindi chiaro che le autofunzioni di P(1,2) (e H) si potranno suddividere in

simmetriche o antisimmetriche rispetto allo scambio dei due indici. La medesima

cosa si puo fare perN particelle identiche definendo un operatore di scambio nella

seguente maniera:

P(i,j)ψ(r1, ..., ri, ...rj, ..., rN) = ψ(r1, ..., rj, ..., ri, ..., rN) (1.4)

dove al variare di i e j sulle N particelle si possono definire altrettanti operatori

di scambio, tutti godenti delle medesime propieta:

• commutano con l’Hamiltoniana globale del sistema, non dipendono quindi

dal tempo

• sono l’inverso di loro stessi


• sono unitari

quindi anche in questo caso gli unici autovalori assumibili sono λ = ±1, con soli

due tipi di autofunzioni ammesse: simmetriche ed antisimmetriche rispetto allo

scambio dei due indici i e j. Siccome gli autovalori dell’operatore di scambio

in relazione ad una data autofunzione non dipendono dal tempo, la simmetria o

antisimmetria di una data funzione descrivente il complesso delle particelle iden-

tiche che costituiscono il sistema sara una proprieta permanente caratterizzante le

particelle stesse.

Si considera un’Hamiltoniana che ammetta una soluzione globale fattorizzata (1.5)

ed autovalori siffatti (1.6)1:

φa1,...,aN (1, ..., N) = φa1(1), ..., φaN (N) (1.5)

Wa1,...,aN =N∑

i=1

wai (1.6)

dove a1, ..., aN indicano il set di numeri quantici n, l, ml, ms in corrispondenza

di ciascuna delle N particelle, e gli interi da 1 a N sono i numeri di particella. In

relazione a quanto detto prima anche

φa1(j1), ..., φaN (jN ) (1.7)

dove (j1, ..., jN ) e una permutazione di (1, ..., N), e ancora autofunzione diH cor-

rispondente al medesimo autovalore dato dall’eq (1.6); e possibile scrivere le due

atufunzioni simmetrica ed antisimmetrica che corrispondono sempre al medesimo

autovalore, eq. (1.6):

φAa1,...,aN(1, ..., N) = CA

∑

P

εPφa1(j1), ..., φaN (jN ) (1.8)

1si fa cio per pervenire alla spiegazione del principio di esclusione di Pauli: serve infatti a tal

fine poter considerare anche gli stati di particella singola


φSa1,...,aN(1, ..., N) = CS

∑

P

φa1(j1), ..., φaN (jN ) (1.9)

dove la sommatoria si intende su tutte le permutazioni che danno luogo a termini

differenti, εP agisce nella seguente maniera:

εP =

+1 per permutazioni pari

−1 per permutazioni dispari

CA e CS sono degli opportuni coefficienti di normalizzazione.

E interessante riscrivere la (1.8) nella seguente forma:

φAa1,...,aN(1, ..., N) = CA

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

φa1(1) φa1(2) . . . φa1(N)

φa2(1) φa2(2) . . . φa2(N)...

... . . ....

φaN (1) φaN (2) . . . φaN (N)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(1.10)

se due o piu elementi del set di numeri quantici a1, ..., aN sono identici (cioe ad

esempio ai=aj) allora l’autofunzione antisimmetrica risulta nulla in quanto nel

determinante si andrebbero a formare due righe uguali.

Pertanto per un set di particelle identiche caratterizzate da autofunzioni globali

antisimmetriche non e possibile assumere numeri quantici di particella singola

identici, quanto detto e anche una spiegazione del principio di esclusione di Pauli

per gli elettroni che infatti sono particelle caratterizzate da una funzione d’onda

antisimmetrica. Per quelle invece descritte da una funzione globalmente simmet-

rica non esiste alcuna restrizione di questo tipo e pertanto non puo sussistere il

principio di esclusione.

In conclusione tutte le particelle ad oggi note possono essere fatte rientrare in una

di queste due classi:

• fermioni: sono caratterizzati da funzione d’onda completamente antisim-

metrica;


• bosoni2: hanno funzione d’onda completamente simmetrica.

Esiste un teorema, detto spin-statistica (che non si dimostrera in questa sede) in

quale afferma che: sono fermioni tutte le particelle a spin semintero e bosoni tutte

quelle a spin intero. In questo elaborato si andranno a studiare alcune proprieta

di particelle appartententi al secondo gruppo, per le quali e cioe teoricamente

possibile ottenere uno stato globale in cui tutte hanno i medesimi numeri quantici.

1.2 La statistica di Bose-Einstein

Si consideri un sistema di N bosoni identici non interagenti in cui α denota un

set di numeri quantici di particella singola, da questo discende che l’energia del

sistema sara:

Wα1,α2,...,αN =

N∑

i=1

wαi (1.11)

si va quindi ad indicare con nα il numero di occupazione dello stato di particella

singola α,che equivale a dire quante volte nell’eq (1.11) si ripete un particolare α.

Per i bosoni non esistono vincoli su questo numero proprio a causa di quello che

e stato detto nella precedente sezione pertanto in generale varra che

nα = 0, 1, 2, ..., N (1.12)

Si puo ora riscrivere l’eq (1.11) nella seguente maniera:

Wn0,n1,... =∑

α

nαwα (1.13)

dove n0, n1, ... sono i numeri di occupazione relativi ai vari α distinti. Allora al

variare di questi ultimi si costruiscono tutti gli stati energetici del sistema e quindi

2furono cosı definite in onore di Bose che fu il primo ad occuparsene nel 1924 e a studiarne la

statistica che verra illustrata nella sezione successiva (sez. 1.2)


la funzione di partizione potra venir scritta cosı

Z =∑

n0,n1,...

e−βPα nαwα (1.14)

dove β = 1kT

(con k = costante di Boltzmann) e la somma e estesa al variare di

tutti gli n0, n1, ... che soddisfino questa condizione:

∑

α

nα = N (1.15)

in questa maniera pero non si puo ottenere una espressione esplicita della (1.14),

risulta quindi utile passare all’insieme gran canonico ed alla funzione di partizione

Zgr in cui non viene imposto alcun vincolo sui numeri di occupazione nα. Il nu-

mero (medio) di particelle e implicitamente definito tramite il potenziale chimico

µ, si ha infatti:

Zgr =∑

n0,n1,...

e−βPα nα(wα−µ) =

∑

nα

∏

α

e−β(wα−µ)nα (1.16)

dove per semplicita con nα si indica il variare del complesso di numeri n0, n1, ...,

e la sommatoria include tutti i possibili nα, opportunamente pesati da µ, e quindi

la (1.16) diviene

Zgr =∏

α

∞∑

n=0

e−β(wα−µ)n =∏

α

1

1− e−β(wα−µ)(1.17)

A questo punto e possibile ottenere il numero medio di occupazione per stato3

nα =

∞∑

n=0

∏

α′e−β(wα′−µ)n = −∂ lg(Zgr)

∂βwα=

1

eβ(wα−µ) − 1(1.18)

Il potenziale chimico sara poi implicitamente ricavabile dalla seguente relazione:

N =∑

α

nα (1.19)

3nel caso di fermioni si otterrebbe invece questa statistica e: nα = 1eβ(wα−µ)+1

I condensati di Bose 11

Capitolo 2

I condensati di Bose

2.1 La temperatura di Bose

Si consideri sempre un insieme di N particelle di spin nullo obbedienti alla sta-

tistica di Bose, si supponga che esse non siano interagenti e per semplicita si

immagini di porle in una scatola cubica di lato L, l’Hamiltoniana del sistema sara

pertanto:

H =N∑

i=1

p2i

2m=

N∑

i=1

hi (2.1)

dove hi indica l’Hamiltoniana di particella singola, le autofunzioni saranno quindi

espresse in forma fattorizzata

ψ =N∏

i=1

φi (2.2)

dove ciascuna φ soddisfa l’equazione agli autovalori di particella singola, cioe

hφ = εαφ. Si puo ricavare immediatamente una base per lo spazio di queste

autofunzioni:

u = eik·r (2.3)


quindi l’energia risulta

W =N∑

i=1

2k2

2m(2.4)

E pero necessario tenere conto delle dimensioni finite della scatola, che richiede

l’introduzione di condizioni al contorno. Imponendo condizioni di periodicita al

contorno k risulta quantizzato

k =2π

L(nx, ny, nz) con nx,y,z = 0,±1,±2, ... (2.5)

Facendo riferimento all’eq (1.18) si puo scrivere per il numero di occupazione per

uno stato k la seguente:

nk =1

eβ(2k2

2m−µ)−1

(2.6)

Siccome a T = 0 (zero assoluto) tutte le particelle sono nello stato fondamen-

tale, cioe quello con k = 0, quando T e sufficientemente piccolo si puo sup-

porre,nell’ipotesi che al variare della temperatura la funzione che rappresenta la

distribuzione di particelle si deformi con continuita, che lo stato fondamentale ri-

manga macroscopicamente occupato a dispetto di tutti gli altri stati. Riguardo al

potenziale chimico si puo subito capire che deve essere negativo affinche la (2.6)

risulti positiva per qualunque k. La relazione (1.19) diventa dunque:

N =∑

k

nk ' N0 +

∫ ∞

−∞d3n nk = N0 +

(L

2π

)3 ∫ ∞

−∞d3k nk = (2.7)

= N0 +V

(2π)34π

∫ ∞

0

dk k2nk (2.8)

Il numero di particelle che si trovano sullo stato fondamentale si indica con N0

e non viene calcolato all’interno dell’integrale in quanto la discontinuita tra il

numero di occupazione di questo stato e quello di qualunque altro stato (anche

immediatamente successivo) a temperature sufficientemente basse non permette


di eseguire correttamente il passaggio al limite dell’integrale1; nella (??) si e

passati alle coordinate sferiche , dato che non vi e dipendenza angolare in nk

l’integrale sull’angolo solido e pari a 4π, per quanto riguarda la parte radiale

k =√k2x + k2

y + k2z . Ora si effettua il cambio di variabile x = 2k2

2me si esplicita

l’espressione rispetto all’integrale (che e una funzione parametrica di z = βµ)

(N −N0)

V

2(2π)3

4π

(2β

2m

)3/2

= f(z) =

∫ ∞

0

dx

√x

e(x−z) − 1(2.10)

La funzione f(z) non puo essere valutata analiticamente. Tuttavia, un limite

superiore per N − N0 puo essere ottenuto notando che f(z) < f(0). Inoltre

f(0) =

∫ ∞

0

dx

√x

ex − 1= Γ

(3

2

)ζ

(3

2

)(2.11)

dove

Γ(s) =

∫ ∞

0

ts−1e−t dt (2.12)

ζ(p) =∞∑

k=1

k−p (2.13)

La funzione Γ(

32

)assume il valore

√π/2 mentre la zeta di Riemann ζ

(32

)' 2.612[4],

quindi l’eq (2.10) risulta maggiorata nel seguente modo

(N −N0)

V

2(2π)3

4π

(2β

2m

)3/2

≤√π

2ζ

(3

2

)(2.14)

L’eq (2.14) fornisce un limite inferiore al numero di particelle nel condensato N0.

La temperatura alla quale tale limite inferiore si annulla viene definita la tem-

peratura di condensazione di Bose TB: al di sotto di questa temperatura avviene1se si ignorasse questo fatto e si ponesse anche lo stato fondamentale all’interno dell’integrale

l’eq (2.10) diverrebbe:

N

V

2(2π)3

4π

(2β

2m

)3/2

= f(z) =

∫ ∞

0

dx

√x

e(x−z) − 1(2.9)

e avrebbe soluzione solo per T sufficientemente alta oppure per NV = ρ sufficientemente bassa


appunto la condensazione di Bose-Einstein (BEC) e cioe un numero macroscopi-

co di particelle occupa lo stato fondamentale.

Equivalentemente si puo dire che la TB e la temperatura piu bassa per cui esistono

soluzioni all’equazione

N

V(kTB)−

32

[2(2π)3

4π

(2

2m

) 32

]=

√π

2ζ

(3

2

)(2.15)

Siccome a T = TB vale l’eq (2.16), mentre a T < TB vale l’eq (2.17):

N = V (kTB)32

[4π

2(2π)3

(2

2m

)− 32

] √π

2ζ

(3

2

)(2.16)

N −N0 = V (kT )32

[4π

2(2π)3

(2

2m

)− 32

] √π

2ζ

(3

2

)(2.17)

allora facendo il rapporto tra le due si ottiene che

N0

N= 1−

(T

TB

) 32

(2.18)

Si vuole ora dare una stima “grezza” dell’ordine di grandezza della TB . Si consid-

eri per esempio la specie bosonica piu leggera tra gli atomi, l’idrogeno e si prenda

una densita tipica per un gas: ρ = 1026 atomim3 ; si ottiene che

TB =2π2

mHk

( ρ

2.612

) 23 ' 0.5K (2.19)

di fatto, come poi verra illustrato in seguito non si e riusciti ad ottenere la BEC con

l’idrogeno, bensı con particelle di massa piu elevata, inoltre le densita tipiche sono

molto piu basse per ragioni che verranno spiegate nella sezione successiva [2.2]:

tutto questo, insieme al fatto che praticamente le particelle sono confinate da un

potenziale esterno, porta ad un ulteriore abbassamento di TB che arriva ad essere

di circa cinque ordini di grandezza piu piccola.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2

N0/N

T/TB

Andamento di N0/N al variare di T/TB

f(x)

Figura 2.1: Andamento di N0/N al variare della temperatura


2.2 Bosoni in trappole magnetiche

Affinche la BEC sia trattabile teoricamente con sufficiente verosimiglianza alla

realta e necessario realizzarla in sistemi debolmente interagenti: pertanto si utiliz-

zano gas che non solidificano nemmeno per T → 0. Per fare cio si deve diluire

il gas al punto tale che le uniche interazioni probabili siano quelle a due corpi:

in questo modo tramite queste ultime si stabilisce l’equilibrio termodinamico, ma

non e possibile che la materia solidifichi (a questo scopo sono infatti necessari per

lo meno tre corpi per poter garantire la conservazione dell’energia e del momento

e permettere la formazione di stati legati).

Dato che, come illustrato nella sezione precedente [2.1], le temperature a cui ci si

trova sono molto basse, si e soliti confinare i condensati in trappole magnetiche

(magnetic optic traps) evitando cosı scambi energetici tramite urti con un’even-

tuale parete di confinamento materiale.

Cio e chiaramente possibile solo se l’atomo o la molecola in questione sono dotati

di momento magnetico diverso da zero. Per questa ragione non e stato possi-

bile utilizzare l’elemento con la TB piu alta, l’idrogeno: esso quando ha gli spin

antiallineati tende a formare molecole ed ha un’energia di polarizzazione troppo

elevata. E poi noto che la molecola H2 non ha momento magnetico.

La scelta e pertanto ricaduta su atomi di maggiore massa che pero ben si adatta-

vano al confinamento magnetico. Spesso le trappole confinanti sono ben approssi-

mate da potenziali armonici, pertanto ora si va a considerare l’Hamiltoniana di un

sistema di bosoni non interagenti e sottoposti ad un potenziale esterno armonico

al fine di descrivere con piu verosimiglianza il sistema che sperimentalmente si va

a realizzare:

H =N∑

i=1

p2i

2m+ Vext =

N∑

i=1

p2i

2mi

+m

2ω2r2 (2.20)


ω = ωx, ωy, ωz e la frequenza nelle tre dimensioni del potenziale armonico: per

semplicita le tre componenti sono prese identiche. Per le particelle singole l’Hamil-

toniana h e la seguente

h =p2

2m+m

2ω2r2 (2.21)

questo e il problema di un oscillatore armonico tridimensionale, gli autovalori di

h sono noti e risultano:

εn = ω(nx + ny + nz +

3

2

)(2.22)

Di conseguenza, a patto di porre µ = µ− 32ω, le equazioni (2.7, 2.8) diventano

N ∼ N0 +

∫ ∞

−∞d3n

1

eβω(nx+ny+nz) − 1= (2.23)

= N0 +

∫ ∞

−∞d3n

e−βω(nx+ny+nz)

1− eβω(nx+ny+nz)= (2.24)

= N0 +

∞∑

ν=0

∫ ∞

−∞d3n e−βω(ν+1)(nx+ny+nz) = (2.25)

= N0 +∞∑

ν=0

[∫ ∞

−∞dn e−βω(ν+1)n

]3

= N0 +∞∑

ν=0

1

[βω(ν + 1)]3= (2.26)

= N0 +1

(βω)3

∞∑

ν=1

1

ν3= N0 +

1

(βω)3ξ(3) (2.27)

dove ζ(3) =∑∞

ν=11ν3 . Tramite la (2.27) si ottiene la temperatura critica di con-

densazione TC , differente da TB per la presenza del potenziale esterno (ε0 = 32ω)

TC = N13ωk

1

[ζ(3)]13

' N13ωk

0.94 (2.28)

Si noti che anche per valori di densita bassi TC e piu piccola di TB . La soluzione

per lo stato fondamentale della (2.21) e di tale forma

φ0(r) =(mωπ

) 34e−r

2/2a2

con a =

√mω

(2.29)


Di conseguenza a T = 0 la densita di particelle, dato che tutte saranno sullo stato

fondamentale sara:

nT=0(r) = |φ(r)|2 = Ne−r2/a2

(2.30)

mentre a T →∞ vale il limite classico (statistica di Boltzmann)

nT→∞(r) ∝ e−βh ∝ e−βm2ω2r2

(2.31)

quindi in entrambi i limiti la densita di particelle e una funzione gaussiana che

pero si allarga all’aumentare della temperatura, infatti

σT=0 =

√2mω

mentre σT→∞ =

√kT

mω(2.32)

e se si tiene conto che kT ω si vede immediatamente che

σT=0

σT→∞=

√2ωkT 1 (2.33)

Infine si fa notare che in presenza del potenziale armonico l’eq (2.18) diviene:

N0

N= 1−

(T

TC

)3

(2.34)


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2

N0/N

T/TC

Andamento di N0/N al variare di T/TC

In presenza di potenziale armonicoParticelle libere

Figura 2.2: Andamento di N0

Nal variare di T

TC

Pertanto il numero di particelle che si trova nello stato di condensato diminuisce

piu velocemente all’aumentare della temperatura rispetto al caso in assenza di

potenziale.

L’equazione di Gross-Pitaevski 20

Capitolo 3

L’equazione di Gross-Pitaevski1

3.1 Effetto delle interazioni

Sino a questo punto e stato considerato il caso di un gas di bosoni non interagenti,

ma per quanto esso sia rarefatto, non e corretto trattarlo come un gas perfetto in

quanto le interazioni a due corpi hanno una probabilita di avvenire non trascur-

abile e rivestono un ruolo fondamentale nella termodinamica del sistema. La de-

scrizione che si fara in seguito deriva dalla decisione di trattare le particelle come

sfere rigide, ciascuna originante il seguente potenziale singolare:

V (r) =

0 se r > a

∞ se r ≤ a(3.1)

dove a e il raggio della particella. Ovviamente questo potenziale non e fisico,

ma con un’ accettabile verosimiglianza permette una buona semplicifazione del

problema.

1E conosciuta anche come equazione di Schroedinger non lineare


3.1.1 Il sistema a due corpi

Per prima cosa e utile nonche piu semplice considerare gli effetti delle interazioni

nel caso di due particelle, l’Hamiltoniana sara quella del centro di massa

H =−2

2µ∇2 + V (r) con µ = m/2 (3.2)

V (r) e chiaramente il potenziale definito nella (3.1). Si metta ora il sistema in una

scatola sferica di raggio R (che verra poi fatto tendere ad infinito), si vorra quindi

che φ(R) = 0. Il problema assume quindi tale forma:

− 2

2µ∇2φ = εφ se a < r < R

φ(a) = 0

φ(R) = 0

(3.3)

Ora lo si affrontera in due casi:

1. In assenza del potenziale di sfera rigida (V (r) = 0)

L’hamiltoniana comprende solo il termine cinetico, si cercano

soluzioni a simmetria sferica cioe con l = 0 2, pertanto

φ(r) =e±ikr

r

ε = 2k2

2µ(3.4)con questa soluzione si ha pero una singolarita per

r → 0, per ovviare a questo problema si usa una combinazione

lineare delle soluzioni:

φ(r) = Asin kr

r−→r→0

A (3.5)

dato che φ(R) = 0⇒ kR = nπ; la costante A si determinera in base

alla condizione di normalizzazione della funzione d’onda pertanto

A =√

k2nπ2 .

2 l e il numero quantico da cui dipende la forma dell’autofunzione nei problemi a simmetria

sferica [1]


2. Considerando anche il potenziale di sfera rigida

In questo caso la soluzione dell’eq (3.4) e accettabile in quanto non e

presente il problema della singolarita nell’origine dato che si impone

che φ(r) = 0 per r ≤ a. La soluzione piu generale si puo scrivere

in questa maniera:

φ = αeikr

r+ β

e−ikr

rdove α = Be−iδ e β = −Beiδ (3.6)

dove δ ∈ [0, 2π], tramite la formula di addizione per il seno si puo

verificare che la (3.6) e equivalente alla seguente

φ = B(2i)sin(kr − δ)

r= B′

sin(kr − δ)r

(3.7)

Affinche le condizioni al contorno siano rispettate deve valere che:

ka− δ = γπ

kR− δ = ηπ(3.8)

dove γ, η ∈ N. Dalla (3.8) si ottiene la quantizzazione per k

k =nπ

R− a −→R→∞nπ

R

(1 +

a

R

)=nπ

R+nπa

R2(3.9)

L’energia sara:

ε =2k2

2µ' 2

2µn2π2

(nπR

)2 (1 +

a

R

)2

(3.10)

in cui e stata effettuata la seguente approssimazione:

k2 =(nπR

)2 1

(1− aR)

2 '(nπR

)2 (1 + 2a

R

).

Si evince pertanto che la variazione di energia dovuta alla presenza del

potenziale di sfera rigida risulta:

∆ε =2

2µ

(nπR

)2 2a

R(3.11)


L’idea chiave per trattare le interazioni tra due corpi e che sia possibile

“inventare” un potenziale fittizio tale che, se aggiunto ad H0 (Hamiltoniana che

trascura le interazioni), fornisca uno spettro energetico uguale al primo ordine

perturbativo a quello che si troverebbe con il potenziale di sfera rigida.

H = − 2

2µ∇2 + gδ3(r) gδ3(r) = termine perturbativo (3.12)

da cui

∆ε =⟨φ∣∣gδ3(r)

∣∣φ⟩

=∫d3r gδ3(r) sin2(kr)

k2r2 k2A2 =

= gA2k2 = g n2π

2R3

(3.13)

Se si uguaglia l’eq (3.13) alla (3.11) si ottiene che:

g =2

2µ4πa (3.14)

Si vorrebbe pero trattare un caso piu generale di quello delle sfere rigide, infatti

l’interazione puo essere sia attrattiva sia repulsiva, cioo equivale a chiedere che a

non corrisponda esattamente al raggio della particella considerata, e possa anzi

assumere sia valori positivi sia negativi, viene allora ridefinito come lunghezza di

scattering as. Esso sara l’unico parametro da cui dipendera il particolare tipo di

interazione nel problema a due corpi e verra determinato dai dati sugli

esperimenti di scattering. Pertanto si riscrive g nella seguente maniera:

g =4π2asm

(si ricorda che

m

2= µ

)(3.15)

3.1.2 Estensione al caso di N corpi

Si vuole a questo punto generalizzare i risultati ottenuti per i due corpi al caso di

N bosoni identici interagenti. Richiedendo sempre che siano soddisfatte le

condizioni di rarefazione del gas tali per cui abbiano una probabilita di verificarsi


non trascurabile solo le interazioni a due corpi l’Hamiltoniana del sistema si puo

cosı approssimare al primo ordine perturbativo:

H =

N∑

i=1

(p2i

2m+ V (ri)

)+

1

2gN∑

i6=jδ(ri − rj) (3.16)

V (ri) e un qualunque potenziale esterno ad es.m2ω2r2

i . Si supponga che lo stato

fondamentale della hamiltoniana (3.16) sia ben rappresentato da una forma

fattorizzata

|ψ(r1, ..., rN)⟩

= |φ(r1)⟩⊗ ...⊗ |φ(rN)

⟩(3.17)

in cui la condizione di normalizzazione diventa

‖ψ(r1, ..., rN)‖2 =

N∏

i=1

‖φ(ri)‖2 (3.18)

Si noti che l’eq. (3.17) e’ completamente simmetrica rispetto allo scambio di

indici, come voluto nel caso di bosoni. Questa forma della funzione d’onda

assume che tutte le particelle condividano il medesimo stato, cioe’ che

N0/N → 1. A questo punto e possibile applicare l’approssimazione di campio

autoconsistente o di Hartree-Fock: la soluzione dell’equazione (3.16) si trovera


con la seguente procedura variazionale al primo ordine tesa a minimizzare E

E = minφ

⟨ψ|H|ψ

⟩= min

φ

N∑

i=1

∫d3r φ

?(r)

[p2

2m+ V (r)

]φ(r)+

+g

2

∑

i6=j

∫d3rid3rj δ3(ri − rj)|φ(ri)|2|φ(rj)|2

=

= minφ

N

∫d3r φ

?(r)

[p2

2m+ V (r)

]φ(r)+

+g

2

∑

i6=j

∫d3r|φ(r)|4

=

= minφ

N

∫d3r φ

?(r)

[p2

2m+ V (r)

]φ(r)+

+g

2N(N − 1)

∫d3r|φ(r)|4

(3.19)

Pertanto E risultera essere un funzionale di φ, non si puo allora trascurare il fatto

che sulla funzione d’onda e presente un vincolo e cioe∫d3r |φ(r)|2 = 1, si

introduce un moltiplicatore di Lagrange µ che ne tenga conto, in modo da poter

cercare i minimi liberi di E − µ∫d3r |φ(r)|2.

Per valutare φ si procede come segue:

1. hp: φ(r)→ φ(r) + δφ(r) =⇒ E → E + δE;

2. si esplicita la variazione di E nella (3.19) richiedendo che

∀δφ =⇒(δE − µ

∫d3r δ|φ(r)|2

)> 0.

Si ottiene quindi la seguente espressione (la dipendenza da r non viene espressa


esplicitamente, inoltre N(N − 1) ' N 2 e h = p2

2m+ V (r))

δE = N

∫d3r

[δφ∗hφ+ φ∗hδφ+

+gN

2

(2φφ∗2δφ+ 2φ∗φ2δφ∗

)− µ(δφ∗φ+ δφφ∗)

]=

si tenga presente che per l’autoaggiuntezza di h vale⟨φ∗|h|δφ

⟩=⟨δφ|h|φ∗

⟩

= N

∫d3r δφ

∗ (hφ+ gNφ|φ|2 − µφ)

+ δφ(hφ∗ + gN |φ|2φ∗ − µφ∗

)

se si tiene conto che in generale φ = <eφ+ i=mφ =⇒ δ<eφ+ iδ=mφ

= 2N

∫d3r δ<eφ

[h<eφ+ gN |φ|2<eφ− µ<eφ

]+

+ δ=mφ[h=mφ+ gN |φ|2=mφ− µ<eφ

]

(3.20)

Nell’ultimo integrale della (3.20) sono presenti esclusivamente quantita reali, in

generale non si puo avere che ∀δφ =⇒ δE > 0, a questo scopo si deve richiedere

che gli elementi tra parentesi quadre si annullino entrambi:

h=mφ+ gN |φ|2=mφ = µ=mφ

h<eφ+ gN |φ|2<eφ = µ<eφ

⇒ hφ+ gN |φ|2φ = µφ

l’equazione finale quindi e:

hφ+ gN |φ|2φ = µφ (3.21)

Essa prende nome di equazione agli autovalori di Gross-Pitaevskii ed ha la

forma di un’equazione di Schroedinger non lineare in quanto comprende il

termine |φ|2. In assenza di interazioni (g = 0) si riduce ad una normale

equazione di Schroedinger e pertanto, nel caso di un confinamento armonico, la

soluzione per lo stato fondamentale coincide con quella dell’equazione (2.29)


che e una gaussiana. Volendo studiare anche l’evoluzione dinamica del sistema si

e’ portati a generalizzare l’equazione di Gross-Pitaevskii nel seguente modo:

Φ(r, t) = φ(r)e−iµt/ (3.22)

l’equazione di Gross-Pitaevskii assume la seguente forma

hΦ(r, t) + gN |Φ(r, t)|2Φ(r, t) = i∂Φ(r, t)

∂t(3.23)

La validita delle equazioni (3.21, 3.23) dipende dal fatto che la lunghezza di

scattering as sia molto piu piccola rispetto alla distanza media delle particelle ed

inoltre che il numero di atomi nel condensato sia abbondantemente maggiore di

1.3

E importante notare che la dinamica delle interazioni e tutta quanta gestita dalla

lunghezza si scattering as tramite il parametro g (si veda l’eq. (3.14)), nella

sezione seguente ed anche nei capitoli successivi verra esaminato meglio questo

concetto.

3.2 Studio della forma delle soluzioni

Non e possibile risolvere analiticamente l’equazione di Gross-Pitaevskii, anche

se esistono metodi numerici abbastanza semplici (Edwards e Burnett, 1995;

Ruprecht et al., 1995; Dalfovo e Stringari, 1996; Edwards, Dodd et al., 1996b;

Holland e Cooper, 1996): si e trovato un buon accordo tre le soluzioni cosı

ottenute ed i dati sperimentali. E pero interessante andare a studiare l’effetto di g

su una soluzione approssimata: siccome quando questo parametro e nullo

quando c’e‘ confinamento armonico (d’ora innanzi si considerera sempre questo3Per le specie atomiche utilizzate per realizzare la BEC gli esperimenti danno: as=2.75 nm

per 23Na, as=5.77 nm per 87Rb, as=-1.45 nm per 7Li; inoltre il numero di atomi nei condensati e

tipicamente tra 105e107.


tipo di potenziale) la soluzione per lo stato fondamentale e una gaussiana si puo

immaginare gN |φ|2 come un termine perturbativo dell’equazione di

Schroedinger canonica. Questo andra ad agire sulla varianza ( σ√2

per la scrittura

adottata in seguito) della gaussiana: si ipotizza quindi che l’effetto del potenziale

d’interazione modifichi solamente la larghezza della nube facendola allargare se

il potenziale e repulsivo oppure collassare se attrattivo, ma lasci il tipo di

distribuzione autosimilare (risultati numerici confermano questa ipotesi [2]). Si

scrive allora l’autofunzione della (3.21) in questa forma

φσ(r) = A(σ)e−r2/σ2

(3.24)

A(σ) si potra determinare in base alla condizione di normalizzazione

A(σ) =

(2

π

) 32

σ−3 (3.25)

sostituente l’espressione trovata in (3.24) per φ in

E = N

∫d3r

φ?(r)

[p2

2m+ V (r)

]φ(r)+

+g

2N(N − 1)

∫d3r|φ(r)|4

(3.26)

si trova che

E(σ)

N=

32

4m

2

σ2+

3

4mω2σ

2

2+

gN

2(2π)3/2

23/2

σ3(3.27)

Se g = 0 nella (3.27) si ha esattamente l’energia dell’oscillatore armonico

quantistico, al crescere di gN il minimo dell’energia si sposta per valori di σ via

via piu grandi: cio comporta un allargamento della nube.

Quando invece g < 0 si ha che

E(σ) −→

∞ se σ →∞−∞ se σ → 0

e sono allora possibili due configurazioni:


1. Non esiste alcun minimo relativo, pertanto le particelle guadagnano

sempre piu energia quanto piu sono vicine, cio porta ad un vero e proprio

collasso della nube (si e riusciti a fare cio con il 7Li utilizzando un numero

sufficiente di particelle). In questo caso l’equazione di Gross-Pitaevskii

non e piu valida perche la condizione per cui la lughezza di scattering sia

maggiore della distanza interatomica non e piu rispettata.

2. Si ha un minimo relativo, questo avviene se gN < 0, ma il suo modulo non

e troppo grande: questo equivale ad avere una situazione di equilibrio

metastabile, cioe la nube puo trovarsi localmente in equilibrio, ma con

un’opportuna perturbazione sulla larghezza della distribuzione il sistema

abbandona questa configurazione per collassare su se stesso come nel caso

precedente.

Il passaggio dal caso 1. al caso 2. puo avvenire per una stessa specie atomica

(quindi g fissato) facendo variare N .

−60

−40

−20

0

20

40

60

0 1 2 3 4 5

E(σ

)/N

σ

g > 0caso 1.caso 2.

Figura 3.1: Variazione di E/N in funzione di σ (in unita arbitrarie) in

corrispondenza di tre differenti valori per g

L’equazione di Eulero quantistica 30

Capitolo 4

L’equazione di Eulero quantistica

Quando si vuole studiare l’evoluzione dinamica del sistema si deve considerare

l’eq (3.23) che si riporta qui per comodita:

hΦ(r, t) + gN |Φ(r, t)|2Φ(r, t) = i∂Φ(r, t)

∂t(4.1)

A questo punto e opportuno riscrivere Φ(r, t) nella seguente maniera, che non

toglie in alcun modo generalita alla trattazione:

Φ(r, t) =√n(r, t)eiS(r,t) (4.2)

dove n(r, t) e S(r, t) sono due funzioni reali. Si fa ora agire l’eq (4.1) su Φ

riscritta come in (4.2), come sempre si trascura di scrivere esplicitamente la

dipendenza da t ed r di n ed S

ieiS[

n

2√n

+√niS

]= −

2

2meiS[∇2n · 2√n− |

−→∇· n|24n3/2

+i

2√n

−→∇· S−→∇· n+

+ i√n∇2 · S +

i

2√n

−→∇· n−→∇· S −√n|−→∇· S|2]+

+ Vext√neiS + gNn3/2eiS

(4.3)


si divide poi il tutto per eiS , a questo punto si separa nell’eq (4.3) la parte reale da

quella immaginaria ottenendo cosı due equazioni

a. parte reale

n√n

= − m

(1√n

−→∇· n−→∇· S +√n∇2 · S

)(4.4)

puo essere interpretata come un’equazione di continuita infatti la (4.4) e

cosı riscrivibile:

∂n

∂t= −

m

−→∇·(n−→∇· S

)= −∇·

(mn−→∇· S

)(4.5)

Siccome la

ponendo ~J =mn−→∇· S la (4.5) diviene :

∂n

∂t+∇· ~J = 0 (4.6)

quindi ~J e la corrente di particelle nel condensato, segue pertanto

~J = n~v =⇒ ~v =m

−→∇· S (4.7)

si e cosı definita anche la velocita delle particelle che e irrotazionale infatti:

−→∇ × ~v =m

−→∇ × (−→∇· S) = 0 (4.8)

Cio implica che qualora tutte le particelle si trovassero nello stato

fondamentale del condensato non sarebbe possibile creare vortici in una

topologia semplicemente connessa.

b. parte immaginaria

−√nS = − 2

2m

(∇2 · n2√n− |∇· n|

2

4n3/2−√n|−→∇· S|2

)+ Vext

√n+ gNn3/2

(4.9)


si divide la (4.9) per√n ed m e si applica il gradiente sia a destra sia a

sinistra dell’uguale, tenendo conto della (4.7) si ottiene:

∂~v

∂t=2

2m2

−→∇·(∇2 · n

2m− |∇· n|

2

4n2

)− 1

2

−→∇·v2−−→∇· Vextm

+gN

−→∇· nm

(4.10)

con alcuni semplici passaggi e possibile riorganizzare la (4.10) nella

seguente maniera

m∂~v

∂t+−→∇·(Vext + gnN − 2

2m√n∇·2 √n+

mv2

2

)= 0 (4.11)

L’equazione di Eulero classica per un fluido irrotazionale ha questa forma:

m∂~v

∂t+m~v ∇· ~v − ~F +

1

n

−→∇P (4.12)

Perche sia valida si richiede vengano rispettate le seguenti condizioni:

• le forze esterne devono essere conservative =⇒ ~F = −−→∇Ω;

• la velocita si deve poter derivare da un potenziale di velocita =⇒~v = −−→∇ϕ;

• la densita deve essere costante o funzione della sola pressione.

E immediato verificare che queste condizioni sono rispettate dalla (4.11) a patto

di definire una pressione siffatta: P = 1/2Ngn2, l’unica differenza tra la (4.11) e

l’equazione di eulero classica e il termine 2

2m√n∇·2√n che assume il nome di

quantum pressure, viene cioe visto come una pressione dovuta ad effetti

quantistici e non contemplata nel caso classico.

Nel capitolo successivo si vedra l’importanza rivestita da questa analogia.

Espansione dei condensati di Bose 33

Capitolo 5

Espansione dei condensati di Bose

5.1 Analisi del fenomeno

Tramite una soluzione numerica con il metodo delle differenze finite[3] si e

voluta trovare la soluzione all’equazione di Gross-Pitaevskii dinamica (3.23),

con condizione iniziale una distribuzione gaussiana di particelle.

Al fine di snellire il codice sono stati riscalati r e t in variabili adimensionali

modo tale che l’equazione di Gross-Pitaevskii apparisse sotto questa forma:

i∂Φ′(r′, t′)

∂t′= −1

2∇2Φ′(r′, t′) + γ|Φ′|2Φ′ (5.1)

per poter ricondurre l’eq (5.1) alla (3.23) si e imposto che

r = αr′

t = βt′

α = σ

(5.2)

dove σ e la varianza della gaussiana iniziale divisa per la radice di due. Tenendo

conto di questo e del fatto che si vuole mantenere anche Φ′ normalizzata ad uno

si trova:

β =mσ2

γ =

gN

2σ(5.3)


Quindi la funzione d’onda all’istante iniziale riscalata ha questa forma:

Φ′(r′, 0) =

(2

π

)3/4

e−r′2

(5.4)

Nelle condizioni inziali del problema e possibile specificare il valore del termine

d’interazione γ (ridefinito nelle nuove variabili), il tempo ed il raggio massimi su

cui il programma calcola la soluzione ed il numero di iterazioni da effettuare. La

varianza reale della gaussiana σ sara un parametro fondamentale per riportare i

valori ottenuti alle unita fisiche, infatti compare sia nell’espressione di α sia in

quella di β.

Il programma inizialmente come output fornisce |Φ′t′(r′)|2 per alcuni valori

fissati del tempo. Parametri mantenuti fissi nelle varie soluzioni sono il raggio

riscalato R′ in cui si immagina contenuto tutto il sistema pari a 12 r/σ ed il

tempo scala su cui far avvenire l’espansione, pari a 0.1(t)/(mσ2) Siccome la

condizione iniziale e una gaussiana ed e semplicemente dimostrabile che

l’espansione libera nel tempo di un pacchetto d’onda gaussiano rimane sempre lo

stesso tipo di distribuzione[1], con un semplice aumento della sua varianza, ci si

aspettava di osservare un effetto analogo anche in presenza di interazione. Infatti,

dato che quando sperimentalmente si osserva l’espansione dinamica di un

condensato si elimina la trappola magnetica, nelle condizioni iniziali del

problema e stato imposto che il potenziale esterno fosse nullo. L’equazione di

Gross-Pitaevskii dinamica risulta cosı identica all’equazione di Schroedinger per

una particella libera in uno spazio tridimensionale, a differenza del termine non

lineare dovuto agli effetti delle interazioni. Andando ad esaminare i dati ottenuti

si osserva un effetto che si discosta da queste aspettative: quello che si vede dal

confronto tra i due grafici, oltre all’ovvio fatto che la presenza di un termine di

interazione repulsivo acceleri l’espansione, e che l’evoluzione non e

autosimilare, anzi si nota che la gaussiana man mano che passa il tempo si

appiattisce ed infine inizia a formarsi un picco spostato rispetto all’origine. Si


premette qui che per tutti i grafici di seguito esposti per associare un tempo fisico

ai momenti dell’evoluzione computata dal sistema si e assunta una σ reale di

5 · 10−5 µm, che e un valore abbastanza comune per un condensato di Bose.

Figura 5.1: Sinistra: espansione di un condensato con termine di interazione

γ = 500 a diversi istanti. Destra: espansione di un condensato in cui pero e stato

annullato il termine d’interazione.

Legenda: rosso t = 9 · 10−3s, verde t = 2.7 · 10−2s, magenta t = 7.2 · 10−2s,

azzurro t = 9 · 10−2s

La cosa si fa piu evidente se si aumenta il valore del termine di interazione γ: in

quello riportato di seguito e pari a 1000 unita riscalate, la legenda e la medesima

del plot precedente.


Figura 5.2: Sinistra: espansione di un condensato con termine di interazione

γ = 1000 a diversi istanti. Destra: espansione di un condensato in cui pero e

stato annullato il termine d’interazione

In questo caso e piu marcata la formazione di un picco lontano dall’origine.1 Si

riportano anche i grafici della distribuzione dei momenti per entrambi i valori di

γ:

1si puo osservare un ingrandimento dei picchi per entrambi i γ nelle immagini (5.7, 5.8)


Figura 5.3: Trasformata di Fourier della funzione d’onda per γ = 500. La legenda

e la medesima di quella in fig (5.1)

Figura 5.4: Trasformata di Fourier della funzione d’onda per γ = 1000. La

legenda e la medesima di quella in fig (5.1)


Dai dati riportati si vede che la maggior parte delle particelle e caratterizzata ( nei

limiti del principio di indeterminazione di Heisenberg) da valori del momento

prossimi a p = 0. Si formano pero, soprattutto all’avanzare del tempo anche dei

picchi secondari a momenti maggiori, il fenomeno e accentuato se si prende il

termine di interazione maggiore dove, per t = 0.09 s i picchi a momento piu

elevato coinvolgono un numero di particelle piu grande di quello relativo al picco

primario.E a questo punto logico chiedersi cosa causi la formazione di picchi

distanti dall’origine: e utile esaminare i contributi che caratterizzano l’espansione

del condesato sulla base dell’analogia tra l’equazione di Gross-Pitaevskii e

l’equazione di Eulero. I termini che governano l’espansione sono:

2

2m√n∇2√n = pressione quantistica e gNn = interazione

ed e quindi ovvio che il fenomeno sia dovuto ad uno di essi o ad entrambi. E

utile al fine di capire questo fare una riflessione: per γ piccoli (< 500) l’effetto

non si nota e l’espansione della gaussiana appare molto simile a quella della

particella libera, inoltre il termine di pressione quantistica non rientra tra i

parametri modificabili (anche se va poi riscalato opportunamente sulla base della

varianza reale del condensato preso in considerazione) pertanto questo ha

mantenuto sempre lo stesso peso.

Parrebbe dunque logico supporre che per una distribuzione sufficientemente

larga (dove il termine di quantum pressure e piccolo) il fattore che caratterizza

l’evoluzione dinamica del sistema sia il termine di interazione.

Al fine di verificare la fondatezza di questa ipotesi si fanno calcolare al

programma separatamente i termini:

γ|Φ′|2 e1

2|Φ′|∇2|Φ′|

essi vengono poi disposti su due grafici paralleli con la stessa scala al fine di

confrontarli a diversi momenti dell’espansione:


Figura 5.5: Termine di interazione (a sinistra) confrontato con il termine di pres-

sione quantistica (a destra) per γ = 500.



Figura 5.6: Termine di interazione (a sinistra) confrontato con il termine di pres-

sione quantistica (a destra) per γ = 1000.




Si notano due cose:

• fin dove la densita di particelle e sensibilmente diversa da zero predomina

il termine di interazione;

• quando la densita di particelle si fa trascurabile in termine di pressione

quantistica diviene molto grande e predomina.

Ha senso chiaramente dare piu peso all’azione di questi due termini in

corrispondenza dei punti in cui la densita di particelle e abbastanza grande :

secondo tale ragionamento la dinamica del sistema e quindi dominata proprio dal

termine di interazione. Inoltre, dove la densita e molto piccola, si deve tenere

presente che il programma calcola il valore di Φ in maniera discretizzata, per il

termime di pressione quantistica cio vuole dire che il programma si trova a

calcolare il laplaciano di una quantita decisamente piccola che viene poi diviso

per la stessa: in questo modo ha di fronte una forma di indeterminazione che,

vista la finitezza della griglia spaziale, da luogo alle fluttuazioni osservate.

Per evidenziare cio‘ si riportano di seguito alcuni grafici in cui si confrontano

ingrandimenti della densita di particelle e la pressione quantistica.


Figura 5.7: Sinistra: ingrandimento della densita di particelle per γ = 500. De-

stra: termine di pressione quantistica per γ = 500. Legenda: rosso t = 9 ·10−3s,

verde t = 2.7 · 10−2s, magenta t = 5.4 · 10−2s, azzurro t = 9 · 10−2s

Figura 5.8: Sinistra: ingrandimento della densita di particelle per γ = 1000.

Destra: termine di pressione quantistica per γ = 1000. Legenda: rosso t =

9 · 10−3s, verde t = 2.7 · 10−2s, magenta t = 7.2 · 10−2s, azzurro t = 9 · 10−2s


Figura 5.9: Sinistra: maggior ingrandimento della densita di particelle per γ =

500. Destra: termine di pressione quantistica per γ = 500. Legenda: rosso

t = 9·10−3s, verde t = 2.7·10−2s, magenta t = 5.4·10−2s, azzurro t = 9·10−2s

Figura 5.10: Sinistra: mggior ingrandimento della densita di particelle per γ =

1000. Destra: termine di pressione quantistica per γ = 1000. Legenda: rosso

t = 9·10−3s, verde t = 2.7·10−2s, magenta t = 7.2·10−2s, azzurro t = 9·10−2s


Dato che pare accettabile trascurare il termine di pressione quantistica si vuole

vedere se l’evoluzione temporale data dall’equazione di Gross-Pitaevskii e

compatibile con l’evoluzione temporale dell’equazione di Eulero classica della

forma:

m∂~v

∂t+−→∇·(gnN +

mv2

2

)= 0 (5.5)

Questa viene fatta calcolare da un programma in fortran dove viene introdotta

riscalata in modo conforme alla (5.1) dando come condizione iniziale la

gaussiana (5.4) e lasciando come parametro libero γ. Si presentano i grafici

comparati di cio che si ottiene risolvendo l’equazione di Eulero (5.5) e l’eq di

Gross-Pitaevskii partendo dalle medesime condizioni iniziali e con lo stesso

termine di interazione:

Figura 5.11: Confronto tra l’eq di Eulero e di Gross-Pitaevskii per γ =

500. Legenda: i colori corrispondono agli stessi istanti temporali specificati in

fig. (5.1)


Figura 5.12: Confronto con l’eq di Eulero per γ = 1000. Legenda: i colori

corrispondono agli stessi istanti temporali specificati in fig. (5.1)

Quando il profilo di densita si fa piu ripido nella soluzione all’equazione di

Eulero si accumula una serie molto fitta di massimi e minimi non presente invece

nella soluzione all’equazione di Gross-Pitaevskii. Cio segnala l’insorgere di una

instabilita numerica nel codice per la soluzione dell’equazione di Eulero.

E istruttivo a questo punto effettuare alcune considerazioni:

• il termine di interazione essendo repulsivo e dipendente dalla densita di

particelle domina laddove le particelle sono maggiormente concentrate,

quindi all’inizio dell’espansione tendera a spingerele con maggiore forza al

centro della gaussiana rispetto alle code, pertanto al centro le particelle

avranno una velocita media maggiore delle altre;

• data la simmetria sferica del problema non vi e modo perche queste

particelle veloci possano superare quelle piu lente (non e cioe possibile che

le aggirino lungo qualche direzione preferenziale), cio fa si che quelle

spinte con maggiore velocita si addensino laddove le particelle sono


sensibilmente piu lente portando ad una sovrapposizione di diversi strati

del condensato: questo causerebbe la concentrazione di densita periferica

che si osserva.

• in un condensato a T = 0 non sono ammessi fenomeni di viscosita, quindi

non sono possibili scambi di momento ad opera di fenomeni dissipativi tra

strati paralleli di particelle;

• trascurando interamente il termine di pressione quantistica si ha

esattamente la situazione descritta dall’equazione di Eulero classica che

permette la formazione di fenomeni di shock (shell di fluido che si

addensano creando una discontinuita nelle proprieta fisiche del sistema), il

fatto che i grafici (5.11, 5.12) mostrino la formazione di strutture molto

irregolari suggesice la possibile presenza di instabilita numeriche, causate

dalla presenza dello shock, nel codice di integrazione dell’equazione di

Eulero;

• per ovviare a questo problema e stato aggiunto al programma un termine di

viscosita artificiale dipendente dal profilo di velocita. Questa procedura e

analoga a quella sviluppata in fluidodinamica per adeguare l’equazione di

Eulero al caso di un fluido reale.

Si riportano di seguito i grafici ottenuti con l’aggiunta del termine correttivo:


Figura 5.13: Sinistra: soluzione all’equazione di Eulero modificata con γ = 500.

Destra: soluzione all’eq. di Gross-Pitaevskii con γ = 500. Legenda: i colori

corrispondono agli stessi istanti temporali specificati in fig. (5.1)


Figura 5.14: Sinistra: soluzione all’equazione di Eulero modificata con γ =

1000. Destra: soluzione all’eq. di Gross-Pitaevskii con γ = 1000. Legenda: i

colori corrispondono agli stessi istanti temporali specificati in fig. (5.1)

Per entrambi i valori di γ i due grafici sono ora molto simili, con qualche

differenza significativa solamente una volta superato il picco di densita, dove la

curva diviene piu ripida: infatti fin dove non avviene l’ammassamento degli strati

di densita del condensato il termine correttivo e trascurabile e diviene importante

invece da quel punto in poi dato che

viscosita artificiale ∝(−→∇~v

)2

Il termine correttivo non e pero contemplato esplicitamente nell’equazione di

Gross-Pitaevski, nonostante cio la sua soluzione si comporta come se esso fosse

presente. Siccome l’unico termine non presente nell’equazione di Eulero classica

e la pressione quantistica, pare ragionevole supporre che sia proprio questa a

svolgere nella dinamica dell’espansione del condensato un ruolo analogo a

quello della viscosita artificiale. Infatti, seppur non di natura dissipativa, la


pressione quantistica rende regolare il profilo di densita eliminandone le

discontinuita e la sua azione e trascurabile dove il profilo di densita e piatto,

mentre diviene marcata proprio dal punto in cui avviene la sovrapposizione degli

strati di particelle.

5.2 Ipotesi conclusive sulle ragioni del fenomeno

Per quanto visto nella sezione precedente (5.1) il fenomeno studiato e causato dal

termine di interazione, ma non e possibile trascurare nemmeno la pressione

quantistica in quanto riveste un compito di regolarizzazione. Ci si puo chiedere a

questo punto per quale ragione sperimentalmente non e mai stato osservato

questo effetto. Per prima cosa si trova a partire dal termine di interazione γ il

termine di interazione fisico g, in tabella sono riassunti i risultati ottenuti per23Na e 87Rb:

Tabella 5.1: Confronto con parametri fisici

as m σ γ = 500 γ = 1000

23Na 2.75 nm 23 · 10−27Kg 50µm N∼ 105 − 106 atomi N∼ 106 atm

87Rb 5.77 nm 87 · 10−27Kg 50µm N∼ 105 atomi N∼ 7 · 106 atm


I valori riportati in tab. (5.1) per il numero di particelle sono normalmente

ottenuti in laboratorio, per quanto riguarda as e σ si rimanda a [2], quindi

parrebbe strano il fatto che la cosa non sia mai stata osservata.

In realta esiste una semplice spiegazione: il metodo comunemente utilizzato per

la realizzazione di condensati di Bose, si basa sul confinamento magneto-ottico

degli atomi in trappole approssimativamente rappresentabili in termini di un

potenziale armonico. Nel limite di γ 1 il profilo di densita della nube prima

dell’espansione e accuratamente descritto dall’approssimazione di

Thomas-Fermi, ottenuta dalla (3.21) trascurando il laplaciano di φ. In queste

condizioni il profilo risultante assume una forma parabolica .

L’equazione di Eulero con una tale condizione iniziale ammette una soluzione

analitica autosimilare:

Hp. Siano date un’equazione di Eulero ed un’equazione di continuita siffatte:

∂n

∂t+∇· (n~v) = 0 (5.6)

m∂~v

∂t+−→∇·[gn+

mv2

2

]= 0 (5.7)

inoltre ~v abbia la seguente forma:

~v(r, t) = Wt~r (5.8)

in cui Wt e un’opportuna funzione del tempo con W0 = 0, la condizione

iniziale sia infine siffatta:

n(r, 0) = n0

(1− αr2

)(5.9)

con α ed n0 costanti.


Ts. Allora l’eq (5.6) ammette la seguente soluzione autosimilare:2

n(r, t) = R−3t n0

[1− α

(r

Rt

)2]

(5.10)

dove Rt e un fattore riscalante dipendente solo dal tempo e tale che

R0 = 1.

Dim. Si inserisce la forma data per ~v(r, t) nell’equazione di continuita

ottenendo dopo alcuni passaggi (si tralascia il problema al raggio dove la

soluzione non e derivabile:

Rt

RtR−3t n0

[−3 + 5α

r2

R2t

]= 0 (5.11)

la (5.11) puo essere verificata solo se

Wt =R

R(5.12)

sostituendo l’espressione cosı trovata per Wt nell’equazione di Eulero si

trova

mrR

R− 2gn0R

−5αr = 0 =⇒ R =2gn0α

mR−4 (5.13)

pertanto sotto le condizioni date, per Wt soddisfacente la (5.12) e per Rt

soddisfacente la (5.13), la soluzione all’equazione di Eulero e la (5.10).

Una volta dati n0 e α la soluzione e unica.

Nell’approssimazione di Thomas-Fermi si ha un profilo di densita iniziale

parabolico come quello in (5.9) fin dove la soluzione e positiva, e zero altrove:

n(r, 0) =

n0 (1− αr2) per r ≤√

1/α

0 per r >√

1/α(5.14)

2si definisce autosimilare in quanto, a patto di riscalare r al variare del tempo perRt e la densita

di particelle per R−3t , essa e identica per tutti i tempi.


quindi si evolvera nel tempo in maniera autosimilare come descritto nella

dimostrazione ed il termine di riscalamento Rt soddisfera l’equazione

differenziale (5.13).

Ovviamente della (5.10) si accetteranno solo le densita di particelle non negative,

la soluzione sara cioe:

n(r, t) =

R3tn0

[1− α

(rRt

)2]

se r ≤ Rt/√α

0 se r > Rt/√α

(5.15)

Ecco quindi spiegato perche l’effetto non e mai stato osservato in laboratorio.

Comunque questo effetto potra essere messo in evidenza in evidenza in futuri

esperimenti sui condensati di Bose preparando opportunamente lo stato iniziale,

agendo ad esempio sulla geometria della trappola magnetica.

E infine interessante osservare che questo genere di fenomenologia puo trovare

un analogo nell’ambito dell’ottica non lineare in cui la propagazione di onda

elettromagnetica in un mezzo opportuno e descritta attraverso un’equazione di

Schroedinger non lineare formalmente analoga all’equazione di Gross-Pitaevskii.

Elenco delle figure 52

Elenco delle figure

2.1 Andamento di N0/N al variare della temperatura . . . . . . . . . 15

2.2 Andamento di N0

Nal variare di T

TC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Variazione di E/N in funzione di σ . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Variazione di E/N hhh in funzione di σ . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1 Soluzione numerica con γ = 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.2 Soluzione numerica con γ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Trasformata di Fourier per la funzione d’onda a γ = 500 . . . . . 38

5.4 Trasformata di Fourier per la funzione d’onda a γ = 1000 . . . . . 38

5.5 Termini dell’eq di Eulero con γ = 500 . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.6 Termini dell’eq di Eulero con γ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . 40

5.7 Densita di particelle confrontata con pressione quantistica γ = 500 42

5.8 Densita di particelle confrontata con pressione quantistica γ = 1000 42

5.9 Ingrandimento della (5.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.10 Ingrandimento della (5.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.11 Confronto con l’eq di Eulero per γ = 500 . . . . . . . . . . . . . 44

5.12 Confronto con l’eq di Eulero per γ = 1000 . . . . . . . . . . . . . 45

5.13 Soluzione eq. di Eulero e GP γ = 500 . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.14 Soluzione eq. di Eulero e GP γ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . 48

Bibliografia 53

Bibliografia

[1] Prosperi, Cirelli, Introduzione alla fisica teorica

[2] Dalfovo F., Lev P. Pitaevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. Theory of

Bose-Einstein condensation in trapped gases

[3] W. H. Press et al. Numerical Recipes in Fortran77 Second Edition

pag.842-844

[4] G.V. Chester Phys. Rev. 94,2 pag 246-252

[5] D.R Tilley, J. Tilley Superfluidity and Superconductivity Third Ed.

[6] H. Lamb Hydrodynamics 6th ed. (Cambridge Univ. Press, 1953), pag 20-25

Grazie!

Beh, decisamente c’e‘ un sacco di gente che devo ringraziare· · ·mumblemumble · · ·Inizio con il ringraziare il Prof. Alberto Parola, per la pazienza e l’attenzione con

cui mi ha seguita e per avermi dato la possibilita di svolgere un lavoro che ho

reputato molto interessante.

Ringrazio anche Sam e Valeria per la loro disponibilita‘ (oltre che per la

simpatia!, si Sam lo so che questi ringraziamenti non possono essere scambiati

con la pizza al caviale che ti devo..ma ci ho provato comunque!).

Un grazie molto speciale alle mie amiche Marzia ed Eleonora, senza di voi l’uni

non sarebbe stata la stessa cosa!!!

Bhe, potrei scordarmi degli astrofichi? Ringrazio tutta la Calcacrew (Dott.

CalcaDotti, Dott. CalcaSesa ( mi raccomando non perdere di vista gli ordini di

grandezza!), Dott. CalcaSbirulatti, Dott. CalcaTerra), vi ringrazio per le

spiegazioni e delucidazioni che mi avete dato, ma soprattutto per il fatto che non

mi avete ancora soppressa ne sottoposta a torture come ogni tanto minacciate di

fare (poi chi vi compra il te ed i biscotti???).

Ringrazio Gigi, Giona, Marco ed il team dei matematici, siete completamente

pazzi!

2

Devo anche un grazie speciale a Luca e Francesco che sono sempre stati molto

disponibili e gentili.

Grazie anche a tutti i miei compagni con i quali ho passato questi tre anni: e stato

un bel gruppo!

Voglio anche ringraziare Daniele per tutte le studiate fatte insieme e il tempo

passato a sopportarmi, Jader per gli aiuti tecnici ed Andrea (con il suo

Gabui!!!!!!).

Non posso scordarmi di certo delle mie amiche Laura, Alessandra Salamanchina,

Alessandra, Anna, Simona, Elena, Paola e Silvia, ma nemmeno dei miei

carissimi amici Mauro e Davide.

Lo so che in una tesi(na) di fisica non si potrebbe, che sono i nostri nemici...ma

mi tocca anche ringraziare degli... Ingegneri( adesso che non mi si annulli la

laurea per questo, anche se so che ho creato le condizioni): Tajo, Paolino, Flertz,

Toto e Cris. Un grazie speciale a Giu che mi ha insegnato che quando devo fare

una cosa non devo curarmi delle condizioni al contorno per quanto magari

spiacevoli (a meno che non sia un’integrazione di equazioni differenziali!), senza

con cio aver paura di risultare egoista.

Ringrazio infine la mia famiglia e mia mamma che ce la sta mettendo tutta.

So che ho dimenticato molta gente, ma abbiate pazienza: sono un po stanchina e

devo ancora fare la presentazione!!!!!!!!!!

E...arrivederci alla prossima laurea!

FACOLTA˚ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI...

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