Facoltà di Ingegneria Università degli studi di...

Campi Elettromagnetici e Circuiti I a.a. 2013/14 Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 1

Circuiti del primo ordine

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica

Facoltà di IngegneriaUniversità degli studi di Pavia

Campi Elettromagnetici e Circuiti I


Sommario

• Definizione• Circuito RC autonomo: risposta naturale,

costane di tempo, potenza ed energia• Circuito RL autonomo: risposta naturale,

costane di tempo, potenza ed energia• Risposta al gradino di un circuito RC• Risposta completa di un circuito del primo

ordine• Risposta al gradino di un circuito RL



Un circuito del primo ordine è caratterizzato da un’equazione differenziale del primo ordine

I circuiti del primo ordine sono di due tipi: RL o RC



L’eccitazione può essere di due tipi

• autonoma: il circuito non comprende generatori indipendenti ed evolve nel tempo grazie all’energia immagazzinata nel condensatore (RC) o nell’induttore (RL)

• forzata: il circuito comprende generatori indipendenti che ne determinano il comportamento nel tempo


Circuito RC autonomo

v+

–

C

iC

R

iR

Ipotesi:

v(t) = ? (per t > 0)

202

1)0( VCw

0)0( Vv


Circuito RC autonomo

v+

–CiC

RiR

0Rv

dtdvC

0RCv

dtdv RCtAtv /e)(

RCtVtv /0e)(

0)0( Vv

0 RC ii


Circuito RC autonomo: risposta naturale

v

t

/0e)( tVtv

La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento

di sorgenti esterne di eccitazione

RCcostante di tempo 0

V0

3e 01

0VV -


Circuito RC autonomo: costante di tempo

t

/0e)( tVtv RC

costante di tempo

= 1

0

1

/

0

e t

Vv

1 2 3 4

= 0.5

= 2

t e–t/

0.367882 0.135343 0.049794 0.018325 0.00674


Circuito RC autonomo: potenza ed energia

/0e)( tVtv

v+

–CiC

RiR

/0 e)()( tR R

VRtvti

/22

0 e)( tR R

Vivtp

Potenza dissipata nel resistore:

)e1(21e)( /22

00

/22

00

tt tt

R -VCdtR

Vdtptw

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:

)0(21)( 2

0 wVCwR Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nel condensatore all’istante iniziale (t = 0)


Circuito RC autonomo: riassunto

/0e)( tVtv

Il calcolo della risposta naturale di un circuito RCautonomo richiede:

• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (V0)

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo = RC


Circuito RL autonomo

Ipotesi:

i(t) = ? (per t > 0)

202

1)0( ILw

0)0( Ii +

–L vL RvR

i

+

–


i

+

–L vL RvR

+

–

Circuito RL autonomo

0 iRdtdiL

0 iLR

dtdi LRtAti /e)(

LRtIti /0e)(

0)0( Ii

0 RL vv


Circuito RL autonomo: risposta naturale

i

t

/0e)( tIti

La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento

di sorgenti esterne di eccitazione

RL /costante di tempo 0

I0

3e 01

0II -


Circuito RL autonomo: potenza ed energia

/0e)( tIti /

0e)( tR IRiRtv

/220 e)( t

R IRivtp

Potenza dissipata nel resistore:

)e1(21e)( /22

00

/2200

tt tt

R -ILdtIRdtptw

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:

)0(21)( 2

0 wILwR Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nell’induttore all’istante iniziale (t = 0)

i

+

–L vL RvR

+

–


Circuito RL autonomo: riassunto

/0e)( tIti

Il calcolo della risposta naturale di un circuito RLautonomo richiede:

• la conoscenza o il calcolo della correntesull’induttore all’istante iniziale (I0)

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo all’induttore per la determinazione della costante di tempo = L/R


Risposta al gradino di un circuito RC

v+

–C

R

+–SV

0t

v(t) = ?

Ipotesi:

0)0( Vv


Risposta al gradino di un circuito RC: t = 0+

v non può cambiare istantaneamente:

0)0()0( Vvv

v+

–C

R

+–SV


Risposta al gradino di un circuito RC: t > 0

0

RVv

dtdvC S

0

RC

Vvdtdv S

RCtS AVtv /e)( 0)(

RCVv

dtVvd SS

/0 e )()( t

SS VVVtv

0)0( Vv

RC

v+

–C

R

+–SV


Circuito RC: risposta completa

v

t

La risposta completa rappresenta il comportamento di un circuito alla applicazione improvvisa di un

generatore, supponendo il condensatore già carico

RCcostante di tempo

0

VS

0e )(0

)( /0

0

tVVVtV

tv tSS

V0


)(tv t > t0

Circuito RC: risposta completa

v

tt0+0

v(t0)

+ risposta forzata o regime

)(v

risposta naturale o transitorio

/)(0

0e ])()([ ttvtv

t0

v()


Circuito RC: riassunto

Il calcolo della risposta completa di un circuito RC richiede:

• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (v(t0))

• il calcolo della tensione a regime sul condensatore (v())

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo = RC


Risposta completa di circuiti del I ordine

La risposta completa di un circuito del primo ordine è sempre del tipo:

• valori iniziali x(t0–) e x(t0

+); • valore a regime x();• costante di tempo = RC oppure = L/R

0/)(

0

000e ])()([)(

)()(

ttxtxxtttx

tx tt

dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante in cui commuta l’interruttore. Si richiede il calcolo di:


Risposta al gradino di un circuito RL

L

R

+–SV

0tt

i(t) = ?

Ipotesi:

00 )( Iti

i


Risposta al gradino di un circuito RL

000 )()( Ititi

RVi S)(

RL

• valori iniziali:

• valore a regime:

• costante di tempo:

L

R

+–SV

0tt i


Circuito RL: risposta completa

RL /costante di tempo

0/)(

0

00

0e )( ttR

VIR

VttI

ti ttSS

i

tt0+0

I0

t0

RVS

Facoltà di Ingegneria Università degli studi di...

Documents

Transcript of Facoltà di Ingegneria Università degli studi di...