Estensioni Supersimmetriche del Modello Standard e ...coriano/tesi/morelli.pdfTesi di Laurea...

Universita degli Studi di LecceFacolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di Fisica

Tesi di Laurea

Estensioni Supersimmetriche del ModelloStandard e Meccanismo di Stueckelberg

Laureando: Simone Morelli

Relatore: Dr. Claudio Coriano

Anno Accademico 2004-2005

Ringraziamenti

I miei piu sentiti ringraziamenti vanno al mio relatore, Claudio Coriano. Lo ringrazio

perche il suo costante impegno, la sua inesauribile dedizione e la disponibilita incon-

dizionata che mi ha sempre dimostrato durante la realizzazione di questa tesi sono, in

assoluto, valori umani da non dare per scontati. Un ringraziamento particolare e ri-

volto anche a Marco poiche il suo aiuto, i suoi consigli e.... la sua pazienza sono stati di

fondamentale importanza per poter arrivare a tagliare questo importante traguardo.

Grazie alla mia speciale compagna di studi Elisa per aver condiviso con me gioie

e dolori “accademici”, la nostra amicizia ha costituito il nostro sostegno reciproco.

Ringrazio tutti i miei amici che mi sono stati vicini durante la realizzazione della tesi,

nonostante i miei sbalzi di umore!!! Senza il loro sostegno l’impegno richiesto dal

lavoro di tesi sarebbe risultato senz’altro un ostacolo insormontabile. Grazie a mio

fratello e ai miei genitori che mi sono sempre stati accanto, l’intero lavoro di tesi e

dedicato a loro.

i

Contents

Introduzione2

Capitolo 1. Teorie di gauge 31.1 Invarianza di gauge abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana . . . . . . . . 7

Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria 152.1 Rottura spontanea di una simmetria globale continua . . . . . . . . . 16

2.2 Il meccanismo di Higgs abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane . . . . . . . . 23

Capitolo 3. Il Modello Standard 253.1 Le masse dei bosoni di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Accoppiamento dei fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 I termini di massa per i fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Capitolo 4. Anomalie chirali 314.1 Simmetrie classiche e quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Simmetrie chirali in QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Anomalie delle correnti chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Teorie di gauge libere da anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Cancellazione delle anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ii

Contents iii

Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg 435.1 Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Stueckelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard 516.1 Due gruppi U(1) anomali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Assegnazione delle cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Estensione del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Capitolo 7. Supersimmetria 657.1 Indici puntati e non puntati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.3 Spinori di Weyl e di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.4 Relazioni tra spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.5 Formule di Fierz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.6 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac) . . . . . . 75

7.7 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Weyl) . . . . . . 78

7.8 Operatori di Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.9 Superspazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.10 Di!erenziazione rispetto alle variabili di Grassmann . . . . . . . . . . 81

7.11 Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann . . . . . . . . . . . . 83

7.12 Supercampi e trasformazioni di supersimmetria . . . . . . . . . . . . 85

7.13 Supercampi chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7.14 Supercampi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.15 Intensita di campo supersimmetrica abeliana . . . . . . . . . . . . . . 94

7.16 Lagrangiana e azione dai campi chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.17 Lagrangiana e azione dai campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.18 Teorie di gauge supersimmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

iv Contents

Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale 1058.1 Supercampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.2 Lagrangiana supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.3 Espansione in componenti di LSoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.4 Espansione in componenti di LSusy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5 Bosoni di gauge e gaugini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.6 Lagrangiana on-shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8.7 Spinori a quattro componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.8 Lagrangiana a quattro componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.9 Il potenziale di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale 1279.1 Neutralino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.2 Chargino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico 13510.1 Estensione dell’MSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Introduzione

Il Modello Standard delle interazioni fondamentali e la struttura teorica portante sulla

quale si fonda tutta la nostra conoscenza attuale in fisica delle particelle elementari.

Come e noto, tale teoria non e una teoria completa, giacche, ad esempio, non introduce

una massa per i neutrini ed e anche soggetta ad una forte dipendenza delle costanti

di rinormalizzazione del settore scalare da un cuto! che puo essere molto piu grande

della scala elettrodebole (problema della gerarchia di gauge).

La supersimmetria, introdotta negli anni ’70 come metodo per risolvere il prob-

lema delle gerarchie di gauge raddoppia lo spettro della teoria mediante l’introduzione

di una nuova simmetria globale, detta supersimmetria i cui gradi di liberta campis-

tici sono raccolti in supermultipletti. Ogni supermultipletto ha un numero bilanciato

di gradi di liberta fermionici e bosonici e contiene la medesima carica sotto trasfor-

mazioni di gauge nonche la stessa massa. Ovviamente la supersimmetria come sim-

metria deve essere rotta per diventare fenomenologicamente accettabile. Ad esempio

i quarks sono accompagnati da partners scalari detti “squarks”, anche questi aventi

la stessa carica di colore dei quarks, ma di statistica bosonica. Non avendo nessun

esperimento condotto fino ad ora rilevato degli “squarks”, e naturale che la massa dei

quarks e degli “squarks” deve essere di!erente. Questo implica che la supersimmetria

deve essere rotta. Il problema della rottura della supersimmetria e pertanto un ele-

mento cruciale per rendere la teoria valida sul piano sperimentale. Al momento l’unico

modo per rompere la superimmetria e quello di introdurre i cosiddetti “soft breaking

terms”, che mentre danno massa ai partners supersimmetrici al contempo non gener-

ano nuovamente le divergenze quadratiche nel settore scalare che sono responsabili,

appunto, del problema delle gerarchie di gauge.

Recentemente ci sono stati dei tentativi di incorporare alcune idee provenienti

dalle teorie di unificazione di stringa nell’ambito di modelli supersimmetrici e!ettivi

(minimali e non minimali) mediante sia una estensione supersimmetrica del modello

1

2 Introduzione

standard con gruppi di gauge abeliani addizionali, sia proponendo un meccanismo di

cancellazione delle anomalie diverso dal Modello Standard. La presenza di gruppi di

gauge addizionali abeliani e una delle caratteristiche essenziali di queste teorie che

devono necessariamente dare luogo a bosoni di gauge molto pesanti in modo da non

contraddire la fenomenologia elettrodebole nota. Una delle domande da porsi e la

seguente: come si puo rompere una simmetria abeliana senza intaccare il meccanismo

di Higgs tradizionale del Modello Standard? La risposta e contenuta nel ben noto

meccanismo detto “di Stueckelberg” che fornisce un metodo per dare massa a bosoni

di gauge abeliani senza per questo intaccare il meccanismo di Higgs tradizionale.

Entrambi i meccanismi (di Higgs e di Stueckelberg) sono responsabili della rottura

delle simmetrie in questi modelli.

In questa tesi passeremo in rassegna il Modello Standard, la sua estensione super-

simmetrica minimale, descriveremo il settore del neutralino nel modello non minimale

e ci avvieremo verso una discussione del meccanismo di Stueckelberg in questi modelli.

Estensioni supersimmetriche del meccanismo di Stueckelberg sono state presentate di

recente nella letteratura. Queste estensioni sono caratterizzate dalla presenza di un

settore di gauge addizionale del tipo U(1)Y ! U(1)X contenente, appunto, il gruppo

di ipercarica U(1)Y and un gruppo U(1)X privo di anomalie chirali. Dimostreremo

che un meccanismo di cancellazione delle anomalie non canonico richiede forme di

Chern-Simons ed operatori di dimensione 5 che introducono un assione nello spettro.

Questa analisi, che e preliminare e precede ogni estensione supersimmetrica, verra

da noi studiata in un capitolo dedicato alla cancellazione delle anomalie chirali in

semplici modelli del tipo U(1) ! U(1). Vedremo che, almeno per i modelli studiati,

otteniamo l’ indicazione che accoppiamenti di tipo Chern-Simons non sono su"ci-

enti per garantire la cancellazione delle loro anomalie dando consistenza a queste

teorie. L’ultima parte della tesi vertera su una analisi del modello di Stueckelberg

supersimmetrico.

Capitolo 1

Teorie di gauge

L’espressione “simmetria dinamica” (Gross[1]) indica una simmetria talmente restrittiva

da determinare completamente la struttura della lagrangiana del sistema fisico in

questione. L’esempio piu importante di tali simmetrie e senz’altro costituito dalle

simmetrie di gauge locali su cui e basato il Modello Standard della fisica delle par-

ticelle elementari. Le teorie dinamiche “costruite” sull’imposizione dell’invarianza

rispetto a trasformazioni di gauge locali sono chiamate “teorie di gauge” ed e tanto

sorprendente come tutte le interazioni fino ad oggi considerate fondamentali emergano

nell’ambito di tali teorie che la procedura di imporre l’invarianza di gauge su una teo-

ria libera per ottenere la teoria di interazione del sistema fisico considerato puo essere

assunta a principio dinamico: il “principio di simmetria di gauge”. La Cromodinamica

Quantistica, o QCD per brevita, che rappresenta la moderna teoria delle interazioni

forti, e ottenuta, per l’appunto, applicando il principio di gauge al gruppo SU(3)

di colore, cosı come la teoria unificata elettrodebole di Glashow-Salam-Weinberg e

basata sul gruppo di gauge ottenuto dal prodotto SU(2)!U(1). Il “prototipo” delle

teorie di gauge e la ben nota Elettrodinamica Quantistica, o QED, che e una teoria

di gauge abeliana; essa, infatti, puo essere “costruita” imponendo che la lagrangiana

dell’elettrone libero sia invariante rispetto a trasformazioni locali del gruppo U(1) e

rinormalizzabile.

1.1 Invarianza di gauge abeliana

Consideriamo (gauge[2]) la densita di lagrangiana per un campo fermionico libero

3

4 Capitolo 1. Teorie di gauge

LF = !(i"µ#µ "m)! . (1.1)

Chiaramente essa possiede una simmetria globale U(1) corrispondente all’invarianza

della teoria rispetto a cambiamenti di fase costante

!(x)#!!(x) = e"iq!!(x), (1.2)

!(x)#!!(x) = !(x)eiq! . (1.3)

In virtu del Teorema di Noether la corrispondente corrente conservata risulta

essere

Jµ = q!"µ! (1.4)

che e la ben nota corrente elettromagnetica. Adesso vogliamo estendere l’invarianza

della lagrangiana fermionica a trasformazioni di gauge locali, cioe consideriamo trasfor-

mazioni di fase con parametro $ = $(x)

!(x)#!!(x) = e"iq!(x)!(x), (1.5)

!(x)#!!(x) = !(x)eiq!(x). (1.6)

Sostituendo ai campi i loro trasformati si trova che la lagrangiana fermionica si

trasforma nel seguente modo

L!F = LF + q!"µ!#µ$ = LF + Jµ#µ$(x) , (1.7)

cioe la teoria libera non possiede invarianza per trasformazioni di gauge locali.

Si puo comunque ottenere l’invarianza ricalibrando la lagrangiana LF con l’aggiunta

di un termine di interazione tra la corrente fermionica Jµ e un nuovo campo Aµ,

ottenendo cosı la nuova lagrangiana L di espressione

1.1. Invarianza di gauge abeliana 5

L = LF "e

qJµAµ . (1.8)

Allora, considerato che J !µ = Jµ, la richiesta di invarianza L! = L diventa

L!F "e

qJµA!

µ = LF + Jµ#µ$ "e

qJµA!

µ

= LF "e

qJµAµ ; (1.9)

quindi la richiesta di invarianza impone la seguente legge di trasformazione per il

campo Aµ

e

qJµAµ + Jµ#µ$ =

e

qJµA!

µ (1.10)

nella quale si puo elidere Jµ ad ambo i membri, in quanto diverso da zero, e

ottenere cosı il seguente vincolo

A!µ = Aµ +

q

e#µ$(x) (1.11) abelian

(q = e) che riproduce la ben nota trasformazione di gauge che lascia invariante

l’azione dell’ elettromagnetismo.

Quindi, imponendo sulla lagrangiana fermionica libera l’invarianza rispetto a trasfor-

mazioni di fase locali, siamo stati costretti ad introdurre nella lagrangiana un campo

vettoriale Aµ, detto campo di gauge, mediante un termine “aggiunto a mano” che

e esattamente il termine di accoppiamento tra un fermione ed un fotone: "JµAµ.

Allora volendo trattare a tutti gli e!etti il nuovo campo Aµ come un campo fisico, si

deve aggiungere alla lagrangiana L il termine cinetico per il fotone che ovviamente

dovra essere invariante rispetto alla trasformazione (abelianabelian1.11); questo limita la scelta ad

un termine cinetico del tipo

" 1

4Fµ"F

µ" (1.12)


dove Fµ" = #µA" " #"Aµ e il tensore del campo elettromagnetico con la solita

normalizzazione. Si noti, in particolare, che un eventuale termine di massa m2#A

µAµ

e proibito dalla richiesta di invarianza di gauge; questo impone che la particella di

gauge, ovvero il fotone, sia priva di massa. Quindi la richiesta di invarianza della

lagrangiana fermionica libera per trasformazioni di fase locali ci porta, automatica-

mente, a considerare la lagrangiana di interazione dell’ Elettrodinamica Quantistica

LQED = "1

4Fµ"F

µ" + !(i"µ#µ "m)! " e

qJµAµ . (1.13)

Gli ultimi due termini della LQED

!(i"µ#µ "m)! " e

qJµAµ = !(i"µ#µ "m)! " e!"µAµ! (1.14)

possono essere scritti in forma piu compatta introducendo l’operatore di “derivata

covariante” per lo spinore, definito come

Dµ ! = (#µ + ieAµ)!, (1.15)

che rispetto a trasformazioni di gauge locali abeliane si trasforma in

D!µ !! = (#µ + ieA!

µ)U! =!#µ + ie

"Aµ +

q

e#µ$

#$U! . (1.16)

Utilizzando il risultato #µU = "iq#µ$U e banale verificare la seguente legge di

trasformazione “covariante”

D!µ !! = UDµ ! , (1.17)

quindi, evidentemente, la combinazione !Dµ! risulta gauge-invariante. Allora la

lagrangiana della Elettrodinamica Quantistica diventa semplicemente

LQED = "1

4Fµ"F

µ" + !(i"µDµ "m)! . (1.18)

,

1.2. Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana 7

1.2 Teorie di Yang-Mills: Invarianza di gauge non abeliana

In questo paragrafo estendiamo il “principio di gauge” ai gruppi di simmetria non

abeliani ((mike[3])). La piu semplice generalizzazione e costituita dallo studio del gruppo

di simmetria SU(2) di iIsospin. Il campo fermionico sia, nella rappresentazione fon-

damentale di SU(2) I = 12 , il doppietto di spinori

! =

%!1

!2

&(1.19)

che sotto una trasformazione del gruppo diventa

!#!! = e"ig 12 $i%i! (i = 1, 2, 3), (1.20)

dove gli angoli $i = g%i di rotazione nello spazio dell’isospin sono stati costruiti

con gli %i che sono parametri reali e inserendo la costante reale g in analogia con la

carica q che compare nelle trasformazioni del gruppo U(1) dell’elettromagnetismo;

nella rappresentazione fondamentale del gruppo SU(2) i generatori $i2 sono matrici

2!2 che, ovviamente, soddisfano la relazione di commutazione dell’algebra del gruppo

!&i

2,&j

2

$= i%ijk

&k

2(i, j, k = 1, 2, 3), (1.21)

dove il tensore totalmente antisimmetrico di Levi-Civita %123 = 1 rappresenta le

costanti di struttura del gruppo, mentre le &i sono le matrici di Pauli

&1 =

%0 1

1 0

&, &2 =

%0 "i

i 0

&, &3 =

%1 0

0 "1

&.

Vogliamo studiare prima di tutto la simmetria della lagrangiana fermionica libera

LF = !(i#/ " m)! sotto trasformazioni globali (parametri %i costanti) del gruppo

SU(2)

!(x)#!!(x) = U !(x), (1.22)

!(x)#!!(x) = !(x) U † . (1.23)


La lagrangiana rispetto a tali trasformazioni risulta invariata, infatti

L!F = !U †(i#/"m)U! = !(i#/"m)! = LF , (1.24)

avendo utilizzato l’unitarieta della matrice U . Allora, in virtu del teorema di

Noether, la corrispondente quantita conservata risulta essere la corrente di isospin

Jµi = g!"µ 1

2&i! . (1.25)

Adesso vogliamo studiare la simmetria della LF rispetto a trasformazioni locali

(con parametri %i = %i(x)) del gruppo SU(2), quindi consideriamo

!(x)# !!(x) = U(x) !(x), (1.26)

!(x)# !!(x) = !(x) U †(x) ; (1.27)

sostituendo si trova che la lagrangiana fermionica libera non e invariante a causa

della dipendenza della matrice di trasformazione dal punto dello spazio-tempo; si

ottiene infatti

L!F = !U †(i"µ#µ "m)U! = LF + !i"µU †(#µU)! . (1.28)

Seguendo una procedura analoga a quella del caso abeliano, costruiamo la la-

grangiana gauge-invariante aggiungendo un termine di interazione tra la corrente di

isospin Jµi e i nuovi campi Ai

µ (g svolge il ruolo di costante di accoppiamento proprio

come la carica e dell’elettromagnetismo)

L = LF " Jµi Ai

µ = LF " g!"µ

'1

2&iA

iµ

(! = LF " g!"µAµ! (1.29)

dove e stato introdotto un campo di gauge Aiµ (i=1,2,3) per ogni generatore del

gruppo di simmetria considerato (in generale, per un gruppo di simmetria SU(n), ci


saranno n2"1 campi di gauge), e la matrice Aµ che agisce direttamente sul doppietto

! ha la seguente espressione

Aµ(x) =1

2&iA

iµ(x) =

1

2

%A3

µ A1µ " iA2

µ

A1µ + iA2

µ "A3µ

&. (1.30)

Adesso la richiesta di invarianza L! = L diventa

L!F " g!!"µA!µ!

! = LF + !i"µU †(#µU)! " g!"µU †A!µU!

= LF " g!"µAµ! (1.31)

che significa imporre la seguente legge di trasformazione finita per Aµ(x)

A!µ(x) = UAµ(x)U † +

i

g(#µU)U †; (1.32) finita

per trovare l’espressione della trasformazione infinitesima espandiamo al primo

ordine l’esponenziale U = e"ig 12 $i%i

U = 1" ig'(x), (1.33)

U † = 1 + ig'(x) (1.34)

dove, per snellire la notazione, e stata introdotta la matrice 2!2 hermitiana '(x) =12&i%i(x). Allora, andando a sostituire nella trasformazione finita (

finitafinita1.32), si trova al

primo ordine in %

A!µ(x) = Aµ(x) + #µ'(x) + ig[Aµ(x), '(x)] ; (1.35)

e usando esplicitamente Aµ = 12&iAi

µ(x), insieme alle parentesi di commutazione

tra i generatori)

$i2 , $j

2

*= i%ijk

$k2 si ottiene la trasformazione infinitesima per ogni

singolo campo di gauge Aµi


A!µ

i(x) = Aµi(x) + #µ%i(x)" g%ijkAµ

j(x)%k(x), (1.36) infinites

in cui notiamo la presenza del terzo termine (dipendente dalla “carica” g) che

non ha analogo nell’elettromagnetismo, e che nasce dal fatto che i tre campi di gauge

(A1µ, A

2µ, A

3µ) si trasformano come un vettore nello spazio interno dell’isospin, cioe sono

le componenti di un tripletto (I = 1) nella rappresentazione aggiunta di SU(2). A

questo punto e utile introdurre la derivata covariante per il doppietto !

Dµ ! = (#µ + igAµ)! (1.37)

che rispetto a trasformazioni di gauge locali non abeliane si trasforma in

D!µ !! = (#µ + igA!

µ)U! =

+#µ + ig

'UAµ(x)U † +

i

g(#µU)U †

(,U!

= UDµ! + [(#µU)" (#µU)]! = UDµ! ; (1.38)

quindi, evidentemente, la lagrangiana cosı costruita

L = !(i"µDµ "m)! (1.39)

risulta gauge-invariante. Per completare la costruzione della lagrangiana dobbi-

amo aggiungere un termine per i campi di gauge che, separatamente, deve essere

invariante rispetto alle trasformazioni date dalla (infinitesinfinites1.36). Per inciso notiamo che, come

il fotone, anche i campi di gauge di un generico gruppo SU(n) sono privi di massa

poiche il corrispondente termine AiµA

iµ romperebbe l’invarianza di gauge. In analo-

gia con il termine cinetico dell’elettromagnetismo, per ognuno degli n2 " 1 campi di

gauge, abbiamo

" 1

4F i

µ"Fiµ" , (1.40) cinetic

a condizione che la definizione del tensore F iµ" dei campi di gauge sia opportuna-

mente generalizzata. Se definiamo Fµ" come


Fµ"(x) =1

2&iF

iµ"(x) (1.41)

e usiamo la relazione di normalizzazione tr(&i&j) = 2(ij allora il termine di la-

grangiana per i campi di gauge puo essere riscritto piu convenientemente

" 1

4F i

µ"Fiµ" = "1

2tr(Fµ"F

µ") . (1.42)

Definendo Fµ" in termini delle derivate covarianti

Fµ" = DµA" "D"Aµ (1.43)

si verifica la legge di trasformazione

F !µ" = UFµ"U

† (1.44)

che, evidentemente, lascia invariante il termine cinetico (cineticcinetic1.40) dei campi di gauge,

poiche la traccia e invariante rispetto a trasformazioni unitarie. Esplicitamente risulta

Fµ" = #µA" " #"Aµ + ig[Aµ, A" ], (1.45)

ovvero in termini dei singoli campi di gauge

F iµ" = #µA

i" " #"A

iµ " g%ijkA

jµA

k" . (1.46)

Nel tensore F iµ" dell’i-esimo campo di gauge va notata la presenza del termine

“extra” dipendente dalla carica g che rende la teoria molto diversa dalla QED; infatti

quando si va ad esplicitare il prodotto F iµ"F

iµ" nella lagrangiana si trovano dei termini

cubici e quartici nei campi di gauge che descrivono auto-interazioni tra i bosoni vettori

e questo si verifica perche i bosoni vettori stessi trasportano carica g, al contrario dei

fotoni che, quindi, non possono interagire tra loro. Questa di!erenza rispetto alla


QED discende proprio dal fatto che il gruppo di gauge considerato, nel caso specifico

SU(2) ma in generale SU(n), e non abeliano (ovvero le costanti di struttura del

gruppo sono diverse da zero). La discussione dell’invarianza rispetto a trasformazioni

locali del gruppo SU(2) puo essere estesa ad un generico gruppo SU(n). In generale

una teoria invariante rispetto a trasformazioni locali di un gruppo di simmetria non

abeliano e detta teoria di Yang-Mills e, come e noto, la Cromodinamica Quantistica

(per brevita QCD) e proprio una teoria di Yang-Mills con simmetria di gauge “esatta”

del gruppo SU(3) di colore. Essa viene costruita (Ryder[4]) applicando alla simmetria di

colore del modello a quark una procedura analoga a quella eseguita per il gruppo

SU(2) di isospin. Infatti i fermioni della teoria, ovvero i quarks, vengono assegnati

alla rappresentazione fondamentale di tripletto del gruppo SU(3)

q =

-

./qR

qG

qB

0

12 , (1.47)

che rispetto ad una trasformazione locale del gruppo diventa

q# q ! = e"ig 12&a%a(x)q (a = 1, ..., 8), (1.48)

dove gli %a sono i parametri reali che specificano la trasformazione, mentre i gen-

eratori &a2 , nella rappresentazione fondamentale del gruppo, sono matrici 3!3 che,

ovviamente, soddisfano la relazione di commutazione dell’algebra di SU(3)

+)a

2,)b

2

,= ifabc

)c

2, (1.49)

dove le fabc sono le costanti di struttura, e le )a sono le note matrici di Gell-

Mann con normalizzazione tr()a)b) = 2(ab. Come al solito, si parte dalla lagrangiana

fermionica libera

LF = q(i"µ#µ "m)q (1.50)


e richiedendone l’invarianza rispetto a trasformazioni di gauge locali siamo con-

dotti a costruire una nuova lagrangiana L aggiungendo “a mano” un termine di

interazione fermione-campo di gauge

L = LF " gq"µ

'1

2)aA

aµ

(q = LF " gq"µAµq , (1.51)

dove e stato introdotto un campo di gauge Aaµ (gluone) per ogni generatore del

gruppo, e la matrice Aµ che agisce direttamente sul tripletto q e data da

Aµ =1

2)aA

aµ =

1

2

-

./A3

µ + 1#3A8

µ A1µ " iA2

µ A4µ " iA5

µ

A1µ + iA2

µ "A3µ + 1#

3A8

µ A6µ " iA7

µ

A4µ + iA5

µ A6µ + iA7

µ " 2#3A8

µ

0

12 . (1.52)

Ripetendo la costruzione gia ampiamente descritta per il gruppo SU(2), e facendo

attenzione a rimpiazzare le costanti di stuttura %ijk del gruppo SU(2) con le costanti

di struttura fabc del gruppo SU(3), otteniamo la trasformazione infinitesima per i

singoli campi di gauge

A!µ

a(x) = Aµa(x) + #µ%a(x)" gfabcAµ

b(x)%c(x) , (1.53)

in cui la presenza del terzo termine (dipendente dalla carica g) indica che gli

8 gluoni (Aµa; a = 1, ..., 8) sono le componenti di un ottetto nella rappresentazione

aggiunta di SU(3). Successivamente si introduce la derivata covariante per il tripletto

Dµq = (#µ + igAµ)q (1.54)

che, rispetto a trasformazioni di gauge locali, si trasforma in modo “covariante”

Dµq # (Dµq)! = UDµq . (1.55)

Infine, per completare la costruzione della lagrangiana invariante di gauge, ag-

giungiamo il termine cinetico dei campi di gauge (non si possono inserire i termini di

massa per i gluoni poiche romperebbero l’invarianza)


" 1

4F a

µ"Faµ" = "1

2tr(Fµ"F

µ") (1.56)

avendo introdotto, per ogni campo di gauge, il tensore F aµ" cosı definito

F aµ" = #µA

a" " #"A

aµ " gfabcA

bµA

c" . (1.57)

Allora la lagrangiana completa della Cromodinamica Quantistica diventa

LQCD = q(i"µ#µ "m)q " gq"µ

'1

2)aA

aµ

(q " 1

4F a

µ"Faµ" (1.58)

= q(i"µDµ "m)q " 1

4F a

µ"Faµ" , (1.59)

nella quale va sottolineata la presenza di termini cubici e quartici di auto-interazione

tra i gluoni, provenienti dallo sviluppo del termine cinetico dei campi di gauge.

Per concludere vale la pena fare un’ultima osservazione; dai risultati ottenuti

nei paragrafi precedenti e chiaro (Ross[5]) che aggiungendo gli opportuni termini alla

derivata #µ si “costruisce” una derivata covariante che ci permette di scrivere una

lagrangiana invariante rispetto a trasformazioni di gauge, simultaneamente, in tutti

gli spazi interni di trasformazione che si vogliono considerare

Dµ = #µ + ig1Bµ + ig2&i

2W i

µ + ig3)a

2Aa

µ , (1.60)

in cui, per chiarezza, abbiamo rinominato i campi di gauge e le costanti di accop-

piamento dei gruppi di simmetria U(1), SU(2) ed SU(3). Tuttavia non esiste alcun

principio teorico che indichi quali spazi interni di trasformazione esaminare per avere

una descrizione completa dei costituenti elementari della natura: quarks, leptoni e

i campi di gauge che ne permettono l’interazione. Ad oggi i dati sperimentali sug-

geriscono di costruire tale descrizione sul gruppo SU(3) di colore per le interazioni

forti, e sul gruppo SU(2)! U(1) elettrodebole.

Capitolo 2

Rottura spontanea di simmetria

Nel precedente capitolo abbiamo visto che la simmetria di gauge non e compatibile

con la presenza dei termini di massa per i corrispondenti campi di gauge. L’invarianza

di gauge quindi puo funzionare per la QED, poiche e noto che il fotone ha massa nulla,

ma come puo essere applicata alla descrizione delle interazioni deboli che sono mediate

da bosoni vettori con masse dell’ordine di 100 GeV? Benche a priori nulla ci vieti di

rompere esplicitamente la simmetria inserendo nella lagrangiana dei termini di massa

per i campi di gauge, questo di fatto e proibito dal vincolo di rinormalizzabilita. Si

deve allora trovare un modo per applicare l’invarianza di gauge alle interazioni deboli

che permetta di generare le masse dei bosoni vettori senza per questo distruggere la

rinormalizzabilita della corrispondente teoria. Questo e possibile mediante la rottura

spontanea della simmetria di gauge. La natura ci fornisce molti esempi di rottura

spontanea di simmetria, tra cui, in particolare, quello dei materiali ferromagnetici: al

di sopra della temperatura di Curie il ferro e paramagnetico e gli spin degli elettroni di

valenza sono distribuiti isotropicamente, ma quando la temperatura scende al di sotto

del punto di Curie avviene una transizione di fase e il ferro diventa ferromagnetico. Gli

spin, o equivalentemente i momenti magnetici degli elettroni di valenza, si orientano

spontaneamente in una direzione comune non fissata a priori; lo spazio all’interno del

materiale ferromagnetico non e piu isotropo poiche mostra una direzione preferenziale

risultando, pertanto, magnetizzato.

15

16 Capitolo 2. Rottura spontanea di simmetria

2.1 Rottura spontanea di una simmetria globale continua

Consideriamo (Bailin[6]) un campo scalare complesso * = 1#

2(*1 + i*2)ei' (dove per conve-

nienza abbiamo fattorizzato una fase () descritto da una lagrangiana

L = (#µ*)(#µ*$)" V (*,*$) (2.1)

che risulta invariante rispetto ad una trasformazione globale del gruppo U(1)

*(x)#*!(x) = e"iq!*(x), (2.2)

*$(x)#*! $(x) = eiq!*$(x) (2.3)

(con q e # costanti reali) purche valga la seguente relazione per il potenziale

V (*, *$) = V (**$) (2.4)

la cui forma

V (*,*$) = µ2**$ +1

4)(**$)2 (2.5)

e fissata dalla richiesta di rinormalizzabilita; si richiede ) > 0 a"nche il potenziale

sia limitato inferiormente per *#$. Allora se µ2 e positivo V ha un minimo assoluto

solo in * = 0; invece se µ2 e negativo V possiede un minimo in un valore di * %= 0

|*c|2 = "2µ2

), (2.6) min

e se ( e la fase arbitraria di *c di modo che

*c =1&2

vei'; (2.7) minimo

2.1. Rottura spontanea di una simmetria globale continua 17

allora , per il potenziale V, abbiamo tutta una circonferenza di minimi degeneri

nel piano di assi coordinati (*1, *2), di raggio v tale che (*12 + *2

2) = v2, con v =

("4µ2/))1/2. Ogni particolare scelta di *c rompe spontaneamente la simmetria U(1)

globale, infatti rispetto ad una trasformazione di gauge lo stato fondamentale |*c >

viene trasformato in un di!erente stato fondamentale |e"iq!*c >. Poiche < 0|*|0 >=

*c allora dalle relazioni (minmin2.6) e (

minimominimo2.7) segue che solo *1 ha valore di aspettazione non

nullo sul vuoto che possiamo scrivere come

< 0|*i|0 >= v(i1 (i = 1, 2). (2.8)

Allora, senza perdere di generalita, possiamo definire dei nuovi campi *i aventi

valore di aspettazione nullo sul vuoto

*i = *i " v(i1 (i = 1, 2), (2.9)

in termini dei quali la lagrangiana assume la seguente espressione

L =1

2(#µ*1)(#

µ*1) +1

2(#µ*2)(#

µ*2) + µ2*12+ ... (2.10)

in cui abbiamo omesso per brevita le costanti e i termini quartici e cubici di

interazione in *1 e *2. I primi due termini della lagrangiana sono i termini cinetici

dei nuovi campi, mentre dal terzo termine notiamo che *1 ha acquisito una massa

(positiva) al quadrato data da "2µ2, mentre non compare il corrispondente termine di

massa per *2 che nel nostro modello appare, quindi, come un campo scalare a massa

nulla, detto bosone di Goldstone. Come e noto dal teorema di Goldstone, questi modi

senza massa sono conseguenza della rottura spontanea della simmetria continua di un

sistema fisico. Infatti, consideriamo un gruppo di simmetria di gauge non abeliano

G, ed n campi scalari reali che si trasformano come una rappresentazione del gruppo

*(x) =

-

....../

*1

*2

.

.

*n

0

1111112. (2.11)


Rispetto ad una trasformazione di gauge globale infinitesima risulta

*(x) # *!(x) = *(x) + (*(x) (*(x) = " igT a#a*(x) (2.12)

dove g ed #a sono costanti reali, e i generatori T a sono matrici hermitiane n! n

che soddisfano l’algebra di Lie del gruppo [T a, T b] = ifabcT c. Poiche, in generale,

siamo interessati a lagrangiane della forma

L =1

2(#µ*)T (#µ*)" V (*) , (2.13)

allora, utilizzando le equazioni del moto unitamente alla conservazione della cor-

rente di Noether associata alla simmetria globale del nostro modello, otteniamo

#V T

#*T a* = 0 '* . (2.14)

Rompendo spontaneamente la simmetria risulta che il potenziale V ha un minimo

in un certo v che fissa il valore di aspettazione sul vuoto degli operatori di campo

< 0|*(x)|0 >= v, (2.15)

in corrispondenza del quale

#V

#*

333(=v

= 0 . (2.16) condiz

Quindi, in generale, lo stato fondamentale |v > non e invariante rispetto a trasfor-

mazioni di gauge, cioe

(1" ig#aT a)v %= v '#a << 1 , (2.17)

e questo significa che per almeno un valore dell’indice a deve risultare iT av %= 0.

Possiamo definire dei nuovi campi traslati

2.1. Rottura spontanea di una simmetria globale continua 19

* = *" v (2.18)

con valore di aspettazione nullo sul vuoto < 0|*|0 >= 0, ed esprimere la L in

termini di questi nuovi campi utilizzando la condizione di minimo (condizcondiz2.16)

L =1

2

'(#µ*i)(#

µ*i)" *i*j#2V

#*i#*j

333(=v

(" V (v) + O(*3), (2.19)

dal secondo termine della quale si capisce che le masse dei campi *i sono gli

autovalori della “matrice di massa” definita come

(m2)ij (#2V

#*i #*j

333( =v

. (2.20)

Derivando rispetto a * la relazione di simmetria )V T

)( T a* = 0, troviamo in * = v

(m2)iT av = 0 (a = 1, ..., N) , (2.21)

percio (m2) possiede almeno un autovettore corrispondente ad un autovalore nullo,

e di conseguenza *T iT av e un bosone di Goldstone. Supponiamo che lo stato fon-

damentale |v > sia invariante rispetto a trasformazioni di gauge appartenenti al sot-

togruppo massimale S di G. Allora possiamo scegliere i generatori T a(a = 1, .., N)

di G in modo che i primi M generino il sottogruppo S. Allora, poiche |v > e lasciato

invariante dalle trasformazioni di S, vale che

T av = 0 (a = 1, ..,M) (2.22)

mentre per i rimanenti N "M vettori vale che

T av %= 0 (a = M + 1, .., N) (2.23)

e ne segue che ci sono N "M bosoni di Goldstone.


2.2 Il meccanismo di Higgs abeliano

Il meccanismo di Higgs consiste nell’applicare la rottura spontanea ad una simmetria

di gauge locale allo scopo di generare le masse dei bosoni vettori senza per questo

perdere la rinormalizzabilita della corrispondente teoria di gauge. Consideriamo la

lagrangiana con simmetria U(1) globale, definita nel paragrafo precedente

L = (#µ*)(#µ*$)" µ2**$ " 1

4)(**$)2 ; (2.24)

l’imposizione della simmetria di gauge locale U(1) porta alla costruzione della

lagrangiana dell’Elettrodinamica Scalare

LSQED = (Dµ*)(Dµ*)$ " µ2*$*" 1

4)(**$)2 " 1

4Fµ"F

µ" , (2.25)

in cui Fµ" = #µA" " #"Aµ e il tensore invariante del campo di gauge Aµ, mentre

Dµ* = (#µ + iqAµ)* e (Dµ*)$ = (#µ " iqAµ)*$ sono le derivate gauge-covarianti di

U(1). Quando µ2 e positivo la simmetria U(1) locale non e rotta e chiaramente la

lagrangiana descrive (a parte il termine *4 di auto-interazione) l’accoppiamento di

una particella scalare con massa µ e carica q con il campo elettromagnetico Aµ di

massa nulla. Invece quando µ2 < 0 la simmetria e rotta spontaneamente e l’operatore

di campo * prende valore di aspettazione sul vuoto

< 0|*|0 >=1&2vei' v = ("4µ2/))1/2 (2.26)

con fase ( arbitraria. Come nel paragrafo precedente esprimiamo * in termini dei

campi reali *1 e *2 in modo da poter cambiare variabili passando ai campi traslati

*i (i = 1, 2) con valore di aspettazione nullo sul vuoto. Nelle nuove variabili la derivata

covariante diventa

Dµ* =ei'

&2[#µ*1 + i(#µ*2 + qvAµ) + iqAµ(*1 + i*2)], (2.27)

in cui troviamo il campo di gauge Aµ accoppiato al bosone di Goldstone *2. Allora

vale il seguente sviluppo

2.2. Il meccanismo di Higgs abeliano 21

|Dµ*|2 =1

2|(#µ*1 " qAµ*2) + i(#µ*2 + qvAµ + qAµ*1)|2 (2.28)

che contribuisce alla lagrangiana con i seguenti termini

|Dµ*|2 =1

2(#µ*1)

2 +1

2(#µ*2)

2 +1

2q2v2AµA

µ + qvAµ#µ*2 + ... (2.29)

dove sono stati omessi i termini di interazione. Quindi nelle nuove variabili

l’espressione della lagrangiana diventa

L =1

2(#µ*1)

2 +1

2(#µ*2)

2 + µ2*12+

1

2q2v2AµA

µ + qvAµ#µ*2 + ... (2.30)

Lo spettro del nostro modello e costituito da un bosone di Goldstone *2 a massa

nulla, da una particella scalare massiva *1 con massa m2(*1) = "2µ2 e, finalmente,

anche da un bosone vettore Aµ massivo con massa m(A!) = qv. Tuttavia la presenza

del termine qvAµ#µ*2 suggerisce che in realta non e questo la spettro “fisico” da

considerare. Infatti siamo partiti da un campo di gauge a massa nulla Aµ con due

gradi di liberta trasversali e gli abbiamo dato massa “mescolandolo” con il bosone di

Goldstone in modo da ottenere un nuovo campo di gauge A!µ = Aµ + 1

qv#µ*2 al quale

e stato attaccato un grado di liberta longitudinale. In realta sfruttando l’invarianza

di gauge possiamo eliminare *2 dalla lagrangiana, infatti confrontando l’espressione

A!µ = Aµ + 1

qv#µ*2 con la generica trasformazione di gauge Aµ#Aµ + #µ# notiamo

che A!µ puo essere ottenuto da Aµ mediante un’opportuna trasformazione di gauge,

tale che

#(x) =1

qv*2(x) . (2.31)

Questo suggerisce che l’intera dipendenza della lagrangiana dal modo “spurio” di

Goldstone puo essere cancellata da una scelta di gauge. Poiche per costruzione vale

che

* =1&2(v + *1 + i*2)e

i' (2.32)


allora, rispetto ad una trasformazione di gauge *#e"iq!(x)*, si ha

*! =1&2(v + *!1 + i*!2)e

i', (2.33)

quindi scegliendo q# = arctan (2

v+(1(gauge unitaria) si ottiene *!2 = 0. Ribattez-

zando *!1 ( H, rispetto a questa trasformazione di gauge si ha

*#*! =1&2(v + H) (2.34)

e la derivata covariante acquisisce la seguente espressione

Dµ*# (Dµ*)! =ei'

&2(#µH + iqv + iqA!

µH), (2.35)

dove, ovviamente, A!µ rappresenta il campo trasformato nella scelta di gauge uni-

taria. Sostituendo nella lagrangiana del nostro modello i vari termini trasformati, e

usando il valore v/&

2 che minimizza il potenziale, si ottiene

L =1

2[(#µH)(#µH) + 2µ2H2]

"1

2µ2v2 " )

16(H4 + 4vH3)

"1

4F !

µ"F!µ" +

1

2q2A!

µA!µ(v2 + 2vH + H2) , (2.36)

dove F !µ" = #µA!

" " #"A!µ. Cosı il bosone di Goldstone e stato “mangiato” dal

campo di gauge trasformato A!µ che ha acquisito una massa qv; c’e anche un altro

campo che ha preso massa, esso e il campo scalare H di Higgs, reale con massa

("2µ2)1/2. Quindi il numero totale di gradi di liberta era 4 in partenza ed e rimasto

inalterato; invece di avere un bosone di gauge Aµ a massa nulla con 2 gradi di liberta

trasversali e un campo complesso * composto da due campi reali, adesso abbiamo un

bosone vettore massivo A!µ con due modi trasversali e uno longitudinale, piu un campo

H scalare reale. In questa situazione, chiaramente, l’invarianza di gauge e rotta ma

2.3. Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane 23

si puo dimostrare che la rinormalizzabilita della teoria e comunque preservata. In

realta, in una teoria di gauge spontaneamente rotta, la simmetria e semplicemente

“nascosta” dalla scelta dello stato fondamentale, solo che nella gauge unitaria, usata

per eliminare i modi di Goldstone spuri, questo non e evidente.

2.3 Il meccanismo di Higgs per teorie di gauge non abeliane

Consideriamo un gruppo di simmetria G non abeliano ed n campi scalari reali

*(x) =

-

....../

*1

*2

.

.

*n

0

1111112. (2.37)

Poiche siamo interessati ad un’invarianza di gauge locale sostituiamo la derivata

#µ con la derivata covariante Dµ = #µ + igT aAaµ, dove i generatori T a (a = 1, ..., N)

sono matrici n ! n che soddisfano l’algebra di Lie del gruppo [T a, T b] = ifabcT c. La

lagrangiana completa invariante di gauge e

L =1

2(Dµ*)T (Dµ*)" V (*)" 1

4F a

µ"Faµ" (2.38)

in cui

F aµ" = #µA

a" " #"A

aµ " gfabcAb

µAc" . (2.39)

Quando la simmetria e spontaneamente rotta alcuni operatori di campo prendono

valore di aspettazione sul vuoto

< 0|*(x)|0 >= v (2.40)


e ovviamente

#V

#*

333(=v

= 0 ; (2.41)

allora possiamo definire dei nuovi campi traslati * = * " v che hanno valore di

aspettazione nullo sul vuoto < 0|*|0 >= 0, in termini dei quali vale che

(Dµ*)T (Dµ*) = (#µ*)T (#µ*) + 2g(#*T )iT avAaµ

+ g2AaµA

bµvT T aT bv + ... (2.42) deriv

dove sono stati omessi i termini cubici e quartici di interazione. Supponiamo di

scegliere i generatori T a in modo che i primi M generino il sottogruppo massimale S

di G che e lasciato invariante dalla rottura spontanea di simmetria, allora risulta che

T av = 0 (a = 1, ..,M) (2.43)

mentre

T av %= 0 (a = M + 1, .., N), (2.44)

quindi nella (derivderiv2.42) gli N"M modi di Goldstone *T iT av(a = M+1, .., N) risultano

accoppiati ai corrispondenti bosoni di gauge. Allora i bosoni di gauge Aaµ con a =

1, ...,M restano a massa nulla poiche non sono accoppiati ai modi di Goldstone,

mentre i rimanenti N "M bosoni di gauge prendono massa. Infatti il terzo termine

della (2.42) da massa ai bosoni vettori; le masse sono trovate diagonalizzando la

“matrice di massa”

(M2A)ab ( g2vT T aT bv (a, b = 1, .., N) (2.45)

dove per a, b = 1, ..,M risulta che (M2A)ab = 0 e quindi i primi M bosoni di gauge

restano a massa nulla.

Capitolo 3

Il Modello Standard

3.1 Le masse dei bosoni di gauge

Il modello unificato dell’interazione elettrodebole di Glashow, Salam e Weinberg e una

teoria di gauge spontaneamente rotta “costruita” sul gruppo di simmetria SU(2) !U(1) di Glashow (

Peskin[7],

Martin[8]). Sia il campo scalare * nella rappresentazione spinoriale

di SU(2) con carica 1/2 sotto il gruppo U(1), che sotto una trasformazione di gauge

diventa

* # ei*a$aei+/2*, (3.1)

dove &a = +a/2. Allora la derivata SU(2)!U(1)-covariante ha la seguente espres-

sione

Dµ* = (#µ " igAaµ&

a " i1

2g!Bµ)* (3.2)

dove Aaµ e Bµ sono i bosoni di gauge dei gruppi SU(2) ed U(1), e g, g! sono le

rispettive costanti d’accoppiamento. Se il campo * acquista valore di aspettazione

sul vuoto

< * >=1&2

%0

v

&(3.3) aspettaz

allora dal modulo quadro della derivata covariante emergono i termini di massa

dei bosoni vettori

25

26 Capitolo 3. Il Modello Standard

1

2( 0 v )

'gAa

µ&a +

1

2g!Bµ

( 'gAbµ& b +

1

2g!Bµ

( %0

v

&(3.4)

che valutati esplicitamente, usando &a = +a/2, diventano

1

2

v2

4

)g2(A1

µ)2 + g2(A2µ)2 + ("gA3

µ + g!Bµ)2*; (3.5)

quindi compaiono tre bosoni vettori massivi

W±µ =

1&2(A1

µ) iA2µ), mW =

v

2g (3.6)

Z0µ =

14g2 + g!2

(gA3µ " g!Bµ), mZ =

v

2

4g2 + g!2 (3.7)

mentre il quarto bosone vettore, “ortogonale” a Z0µ, rimane a massa nulla

Aµ =14

g2 + g!2(g!A3

µ + gBµ), mA = 0 (3.8)

e sara identificato con il campo elettromagnetico. Consideriamo l’accoppiamento

tra un campo fermionico, che si trasforma secondo una rappresentazione di SU(2) e

con carica Y di U(1), e i rispettivi campi di gauge, allora la derivata covariante ha

una espressione

Dµ = #µ " igAaµT

a " ig!Y Bµ (3.9)

che in termini degli autostati di massa dei bosoni vettori diventa

Dµ = #µ " ig&2(W+

µ T+ + W"µ T")" i

14g2 + g!2

Zµ(g2T 3 " g!2Y )

"igg!4

g2 + g!2Aµ(T 3 + Y ) (3.10)

3.1. Le masse dei bosoni di gauge 27

dove T± = (T 1± iT 2), di modo che nella rappresentazione spinoriale di SU(2)

risulti T± = 12(+

1± i+2) = +±. E!ettuando le seguenti identificazioni, rispettiva-

mente, per la carica elettrica

e =gg!4

g2 + g!2, (3.11)

e per l’operatore di carica

Q = T 3 + Y (3.12)

otteniamo per il termine di accoppiamento con il campo elettromagnetico l’espressione

usuale ieAµQ. Inoltre definiamo l’angolo di Weinberg $w (angolo di mixing) in modo

che valga il seguente cambiamento di base da (A3, B) a (Z0, A)

%Z0

A

&=

%cos $w " sin $w

sin $w cos $w

&%A3

B

&(3.13)

quindi

cos $w =g4

g2 + g!2, sin $w =

g!4g2 + g!2

. (3.14)

Infine riorganizzando il termine di accoppiamento con lo Z0

g2T 3 " g!2Y = (g2 + g!2)T 3 " g!2Q (3.15)

otteniamo la forma usuale per la derivata covariante

Dµ = #µ " ig&2(W+

µ T+ + W"µ T")" i

g

cos $wZµ(T 3 " sin2 $wQ)" ieAµQ, (3.16) der cov

dove e stata usata la relazione

g =e

sin $w. (3.17)


3.2 Accoppiamento dei fermioni

La derivata covariante costruita nel precedente paragrafo permette l’accoppiamento

dei bosoni vettori con i campi fermionici una volta che i numeri quantici di questi

ultimi siano specificati. A questo scopo si tenga presente l’evidenza sperimentale

che il bosone W si accoppia solo agli stati left-handed di quarks e leptoni, quindi e

necessario riprodurre il diverso accoppiamento tra componenti left-handed e right-

handed dei campi fermionici con i bosoni di gauge delle interazioni deboli. E noto

che il termine cinetico per i campi di Dirac si separa in

!i#/! = !Li#/!L + !Ri#/!R. (3.18)

Quando si accoppia il bispinore ! ad un campo di gauge assegniamo !L e !R a

di!erenti rappresentazioni del gruppo di gauge utilizzando due distinte derivate co-

varianti, cosı possiamo fare in modo che solo la componente left-handed dei campi

fermionici dei quarks e dei leptoni sia accoppiata ai bosoni W. Assegniamo le compo-

nenti left-handed fermioniche a doppietti di SU(2)

L =

%,e

e"

&

L

, QL =

%u

d

&

L

, (3.19)

(sono sottintese le tre generazioni), mentre le componenti right-handed a singoletti

di SU(2) indicati come

eR; uR, dR. (3.20)

Una volta assegnato il valore di T 3 ad un campo fermionico, il valore di Y cor-

rispondente e determinato dalla relazione Q = T 3 + Y . Per i campi right-handed

eR, uR, dR risulta che T 3 = 0, e Y viene assegnato in modo da riprodurre i valori noti

delle cariche Q. Per i campi left-handed i valori assegnati sono Y = "1/2 per il doppi-

etto leptonico e Y = +1/6 per il doppietto di quark, le cui componenti corrispondono

a T 3 = ±1/2.

Nella lagrangiana del Modello Standard i termini di interazione elettrodebole tra

leptoni e quarks nascono da

3.3. I termini di massa per i fermioni 29

L = L(iD/)L + eR(iD/)eR + QL(iD/)QL + uR(iD/)uR + dR(iD/)dR. (3.21)

In ogni termine compare una derivata covariante diversa, in cui T a e Y sono va-

lutati nella rappresentazione alla quale appartengono i campi fermionici su cui agis-

cono. Per estrarre le conseguenze fisiche degli accoppiamenti fermioni-campi di gauge

dobbiamo lavorare in termini degli autostati di massa dei bosoni vettori utilizzando

l’espressione (der covder cov3.16) per la derivata covariante, allora i termini cinetici diventano

L = L(i#/)L + eR(i#/)eR + QL(i#/)QL + uR(i#/)uR + dR(i#/)dR

+g(W+µ Jµ+

W + W"µ Jµ"

W + Z0µJ

µZ) + eAµJ

µEM , (3.22)

dove le correnti indicate hanno le seguenti espressioni

JµEM = e"µ("1)e + u"µ

'+

2

3

(u + d"µ

'"1

3

(d; (3.23)

Jµ+W =

1&2(,L"µeL + uL"µdL); (3.24)

Jµ"W =

1&2(eL"µ,L + dL"µuL); (3.25)

JµZ =

1

cos $w

!,L"µ

'1

2

(,L + eL"µ

'"1

2+ sin2 $w

(eL

+ eR"µ(sin2 $w)eR

+ uL"µ

'1

2" 2

3sin2 $w

(uL + uR"µ

'"2

3sin2 $w

(uR

+ dL"µ

'"1

2+

1

3sin2 $w

(dL + dR"µ

'1

3sin2 $w

(dR

$. (3.26)

3.3 I termini di massa per i fermioni

I termini di massa per i fermioni non possono essere semplicemente aggiunti “a mano”

poiche tutti i termini del tipo m!! = m(!L!R + !R!L) violano l’invarianza di


gauge, in quanto le componenti left-handed !L e le componenti right-handed !R di

un campo fermionico appartengono a di!erenti rappresentazioni di SU(2), quindi

possiedono numeri quantici diversi, e hanno di!erenti cariche di U(1). Per dare

massa ai leptoni ed ai quarks dobbiamo utilizzare il meccanismo di rottura spontanea

di simmetria. Come detto nel paragrafo precedente, per dare massa ai bosoni vettori

W e Z assumiamo che un campo scalare *, nella rappresentazione spinoriale di SU(2)

con carica 1/2 sotto il gruppo U(1), prenda valore di aspettazione (aspettazaspettaz3.3). Con il campo

* dotato di questi numeri quantici possiamo costruire un termine gauge-invariante di

accoppiamento tra eL, eR e lo stesso *

Le = ")eL · * eR + h.c., (3.27)

in cui compare il prodotto scalare di SU(2) tra i doppietti L ed *, e )e e una

costante di accoppiamento adimensionale. Sostituendo al doppietto * il suo valore di

aspettazione otteniamo

Le = ")eveLeR + h.c. (3.28)

cioe l’elettrone ha acquisito una massa

me =1&2)ev. (3.29)

Allo stesso modo possiamo scrivere i termini di massa per i quarks

Lq = ")d QL · * dR " )u %ab QLa *†b uR + h.c. (3.30)

e sostituendo il valore di aspettazione di * questi termini diventano

Lq = " 1&2)d v dL dR "

1&2)u v uL uR + h.c., (3.31)

quindi i quarks d e u hanno acquisito massa rispettivamente

md =1&2)dv , mu =

1&2)uv. (3.32)

Capitolo 4

Anomalie chirali

Lo strumento principale nella dimostrazione della rinormalizzabilita di un teoria e

rappresentato (Zee[9]) dall’utilizzo delle identita di Ward che sono una espressione dell’

invarianza di gauge della teoria considerata. Tuttavia in teorie con correnti assiali

si possono presentare dei contributi cosiddetti “anomali” alle identita di Ward, cosı

che la rinormalizzabilita viene perduta. Un importante vincolo per la costruzione di

qualunque modello fisico e, quindi, l’organizzazione di queste “anomalie” in modo

tale che si cancellino; il Modello Standard ne e l’esempio piu mirabile.

4.1 Simmetrie classiche e quantistiche

Decomponendo un campo di Dirac !(x) in componenti left- e right-handed

!(x) = !(x)L + !(x)R =1

2(1" "5)!(x) +

1

2(1 + "5)!(x) (4.1)

la lagrangiana fermionica assume l’espressione

L = !(i#/"m)! = !Li#/!L + !Ri#/!R "m(!L!R + !R!L), (4.2)

in cui il termine cinetico connette parte left- con parte left- e right- con right-, men-

tre il termine di massa connette parte left- con right- e viceversa. La trasformazione

di fase globale

31

32 Capitolo 4. Anomalie chirali

!#ei!! (4.3)

evidentemente lascia la lagrangiana invariata, e applicando il teorema di Noether

otteniamo la corrente vettoriale associata a tale simmetria

Jµ = !"µ! (4.4)

la quale soddisfa la legge di conservazione #µJµ = 0. Sotto questa simmetria le

componenti left- e right- del bispinore si trasformano come

!L = ei!!L !R = ei!!R. (4.5)

Se m = 0 allora la L e dotata di un’altra simmetria, nota come simmetria chirale

(conservazione del numero di fermioni left-handed e separatamente del numero di

fermioni right-handed), sotto la trasformazione

!#ei!#5!, (4.6)

e il teorema di Noether ci dice che la corrente assiale

J5µ = !"µ"5! (4.7)

e conservata: #µJµ5 = 0. Questa equazione di conservazione e valida, come

equazione di campo classica, non solo nella teoria di fermione libero a massa nulla,

ma anche nelle teorie di gauge QED e QCD a massa nulla. Sotto questa simmetria

le componenti left- e right- del bispinore si trasformano in maniera opposta

!L = e"i!!L, !R = ei!!R. (4.8)

In fisica si parla di simmetria classica se una trasformazione *#* + (* lascia

l’azione S(*) invariata, si parla di simmetria quantistica se resta invariato l’integrale

4.1. Simmetrie classiche e quantistiche 33

sui cammini5

D* eiS((). Purtroppo nella seppur “semplice” teoria di fermione a

massa nulla L = !i"µ#µ! risulta che, mentre classicamente le correnti assiale e

vettoriale sono conservate, quantisticamente la conservazione della corrente assiale

va perduta. Questo “accidente” prende il nome di anomalia, o anomalia assiale, o

anomalia chirale. Se rendiamo gauge-invariante la teoria di fermione a massa nulla

otteniamo

L = !i"µ(#µ " ieAµ)! " 1

4Fµ"F

µ" , (4.9)

dove il campo vettoriale Aµ rappresenta il fotone. Si verifica che (Zee[9]) classicamente

#µJµ5 = 0, (4.10)

ma quantisticamente compare il termine anomalo

#µJµ5 =

e2

(4-)2'µ",-Fµ"F,-, (4.11)

ovvero, quantisticamente, la quadri-divergenza della corrente assiale non e piu

nulla. Notiamo che per la lagrangiana di un fermione massivo

L = !(i"µ#µ "m)! (4.12)

risulta che l’invarianza sotto trasformazioni !# ei!#5! e rovinata dal termine di

massa, cioe gia classicamente la corrente assiale non e conservata; in questo caso di

fermione massivo l’anomalia si manifesta comunque, dal punto di vista quantistico,

nella presenza di un termine aggiuntivo nella quadri-divergenza. Infatti classicamente

risulta che

#µJµ5 = 2m!i"5!, (4.13)

e quantisticamente

#µJµ5 = 2m!i"5! +

e2

(4-)2'µ"&-Fµ"F&-. (4.14)


4.2 Simmetrie chirali in QCD

Discutiamo le simmetrie chirali in QCD tenendo in considerazione soltanto i quarks

piu leggeri u e d, approssimando la loro massa a zero. In questa approssimazione la

lagrangiana fermionica di QCD diventa

L = uiD/u + diD/d, (4.15)

in cui sono stati messi a zero i termini di massa "mddd " muuu. Questa la-

grangiana possiede simmetria di isospin, cioe resta invariata sotto trasformazioni di

SU(2) unitarie che agiscono sui campi. Poiche nella nostra approssimazione non com-

paiono i termini di massa allora non si “mescolano” la parte left- di un quark con la

parte right-, e risulta che la lagrangiana considerata e invariante separatamente sotto

le trasformazioni unitarie

%u

d

&

L

# UL

%u

d

&

L

%u

d

&

R

# UR

%u

d

&

R

. (4.16) simm

Complessivamente, quindi, la lagrangiana di QCD a massa nulla e invariante sotto

il gruppo di simmetria SU(2)L ! SU(2)R ! U(1)L ! U(1)R. Se indichiamo con Q il

doppietto di quarks, allora le componenti chirali sono indicate come

QL =

'1" "5

2

( %u

d

&

L

, QR =

'1" "5

2

( %u

d

&

R

(4.17)

e le correnti associate alla simmetria in questione sono

JµL = QL"µQL, Jµ

R = QR"µQR, (4.18) corr

JµaL = QL"µ&aQL, Jµa

R = QR"µ&aQR, (4.19) corr2

dove &a = +a/2 sono i generatori di SU(2). La somma tra le correnti JµL e Jµ

R che

compaiono in (corrcorr4.18) da la cosiddetta corrente del numero barionico

4.3. Anomalie delle correnti chirali 35

Jµ = Q"µQ, (4.20)

mentre la somma tra le correnti JµaL e Jµa

R scritte nella (corr2corr24.19) da le correnti di

isospin

Jµa = Q"µ&aQ. (4.21)

Le correnti Jµ e Jµa cosı costruite sono associate alle trasformazioni di simme-

tria (simmsimm4.16) con UL = UR. Invece le di!erenze tra le correnti left- e right- scritte

rispettivamente nella (corrcorr4.18) e nella (

corr2corr24.19) danno le correnti assiali

Jµ5 = Q"µ"5Q, Jµ5a = Q"µ"5&aQ. (4.22)

Si verifica che la legge di conservazione classica di queste correnti non e soddisfatta

dalla corrente assiale Jµ5, mentre la conservazione delle correnti Jµ5a non e distrutta

dalla presenza di anomalie come vedremo nel prossimo paragrafo.

4.3 Anomalie delle correnti chirali

A questo punto ci chiediamo se le simmetrie chirali della QCD discusse nel paragrafo

precedente sono a!ette da anomalia. Iniziamo con il considerare le modifiche alle

leggi di conservazione chirale apportate dall’accoppiamento delle correnti assiali di

quarks Jµ5a e Jµ5 con i campi gluonici della QCD, cioe consideriamo l’accoppiamento

di fermioni con massa nulla ad un campo di gauge non abeliano. L’anomalia nel caso

non abeliano “contiene” il risultato abeliano in cui la carica e sia stata sostituita con

l’appropriata carica g di SU(3), e l’intensita di campo F*+ abeliana con quella non

abeliana F c*+, ovvero l’anomalia per le correnti assiali di isospin e

#µJµ5a = " g2

16-2'*+µ"F c

*+F dµ" tr[ &atctd ], (4.23)


in cui la somma prevista dalla traccia e fatta sui colori e sui sapori, e dove F c*+ e il

tensore del campo di gauge (gluone), &a e una matrice di isospin, e le tc sono matrici

di colore. Risulta che

tr[&atctd] = tr[&a]tr[tctd] = 0 · tr[tctd] = 0, (4.24)

poiche tr[&a] = 0. Quindi la conservazione “classica” delle correnti assiali di isospin

Jµ5a non e a!etta da anomalie. Pero nel caso della corrente assiale Jµ5 (singoletto di

isospin) nella traccia non compare piu la matrice &a di isospin e l’anomalia non e piu

nulla, infatti calcolando le traccia sui sapori nf (nel nostro caso nf = 2)

tr[ tctd ] =1

2nf(

cd (4.25)

si ottiene la seguente anomalia:

#µJµ5 = "g2nf

32-2'*+µ"F c

*+F cµ" . (4.26)

Quindi la corrente assiale Jµ5 non e conservata “quantisticamente” in QCD.

Sebbene le correnti assiali di isospin Jµ5a non ricevano un contributo anomalo dalle

interazioni in QCD, esse comunque sono a!ette da un’anomalia che scaturisce dall’

interazione dei quarks con l’elettromagnetismo. Si verifica, infatti, che l’anomalia

elettromagnetica delle correnti assiali di isospin e

#µJµ5a = " e2

16-2'*+µ"F*+Fµ" tr[ &aQ2 ], (4.27)

dove Fµ" e il tensore del campo elettromagnetico e Q e la matrice diagonale delle

cariche elettriche

Q =

%23 0

0 "13

&, (4.28)

4.4. Teorie di gauge libere da anomalie 37

e la traccia corre sui sapori e sui colori. Poiche le matrici nella traccia non dipen-

dono dal colore allora la somma sul colore da semplicemente un fattore 3. La traccia

sui sapori da risultato diverso da zero per a = 3, infatti in questo caso si ottiene

#µJµ53 = " e2

32-2'*+µ"F*+Fµ" . (4.29)

4.4 Teorie di gauge libere da anomalie

Consideriamo una teoria di fermioni a massa nulla. Poiche la lagrangiana non contiene

termini di massa allora i due stati di elicita !L e !R del bispinore di Dirac ! non

vengono “mescolati”; i termini cinetici nella base di autostati di elicita sono scritti

come

L = !†Li+ · #!L + !†

Ri+ · #!R. (4.30)

Costruiamo l’accoppiamento di questo sistema fisico ad un campo di gauge as-

segnando i campi left-handed !L ad una rappresentazione r del gruppo di gauge G

e i campi right-handed !R ad una rappresentazione di!erente, in particolare ci in-

teressa il caso in cui gli !R siano invarianti sotto il gruppo G. Allora la lagrangiana

gauge-invariante diventa

L = !†Li + ·D!L + !†

Ri+ · #!R, (4.31)

dove la derivata covariante ha la seguente espressione: Dµ = #µ " igAaµt

ar . In

quattro componenti la lagrangiana diventa

L = !i"µ

'#µ " igAa

µtar

'1" "5

2

((!. (4.32)

Questa lagrangiana e invariante sotto la trasformazione di gauge locale


! #'

1 + i.ata'

1" "5

2

((! (4.33)

Aaµ # Aa

µ +1

g#µ.

a + fabcAbµ.

c. (4.34)

Poiche i fermioni right-handed sono campi liberi possiamo trascurare la presenza

di questi campi e considerare solo la lagrangiana gauge-invariante per i fermioni left-

handed. In e!etti nel Modello Standard l’idea di campi di gauge che si accoppiano solo

a fermioni left-handed e di fondamentale importanza per comprendere l’interazione

con i bosoni W. Nella piu generale teoria di gauge per fermioni di massa nulla possi-

amo assegnare i fermioni left-handed ad una qualunque, arbitraria, rappresentazione r

del gruppo di gauge G; a livello classico, infatti, non c’e alcuna restrizione sulla rapp-

resentazione r alla quale assegnare i fermioni left-handed, ma a livello delle correzioni

quantistiche ad un loop molte scelte possibili diventano inconsistenti a causa della

anomalia assiale. In una teoria di gauge per fermioni left-handed di massa nulla con-

sideriamo i diagrammi a triangolo in cui i bosoni di gauge non abeliani interagiscono

con la corrente associata alla simmetria di gauge

Jµa = !"µ

'1" "5

2

(ta!. (4.35)

Si verifica che

< p, ,, b; k,), c|#µJµa|0 >=

g2

8-2'*"+&p*k+ Aabc, (4.36)

dove Aabc e una traccia sulle matrici del gruppo nella rappresentazione r, ovvero

Aabc = tr[tar{tbr, tcr}]. Questo significa che la corrente Jµa non e conservata a meno

che Aabc non si annulli, e, poiche l’intera costruzione di una teoria gauge-invariante

e basata sull’esistenza di una esatta simmetria globale, allora la non-conservazione

della corrente Jµa risulta davvero “problematica”. L’unico modo per superare questa

di"colta consiste nel richiedere la condizione

Aabc = 0. (4.37)

4.4. Teorie di gauge libere da anomalie 39

Ad esempio si consideri la teoria di gauge elettrodebole; organizziamo le compo-

nenti left- handed di quarks e leptoni di prima generazione in doppietti di SU(2)

QL =

%u

d

&

L

, L =

%,

l

&

L

, (4.38)

e i bosoni W siano i campi di gauge che si accoppiano a questo gruppo di SU(2).

Valutiamo Aabc sostituendo ta = &a = +a/2, e se usiamo la relazione {+b, +c} = 2(bc

otteniamo

Aabc =1

8tr[+a · 2(bc] = 0. (4.39)

Se i fermioni QL e L si accoppiano anche all’elettromagnetismo allora il fattore

Aabc in questo caso diventa

tr[Q{& b, & c}], (4.40)

in cui Q e la matrice delle cariche elettriche, e semplificando si ottiene

1

2tr[Q](bc, (4.41)

in cui la somma prevista dalla traccia deve essere fatta sulle cariche elettriche del

doppietto di quarks QL (con un fattore 3 per tener conto del colore) e del doppietto

leptonico L, ovvero

tr[Q] = 3(2

3" 1

3) + (0" 1) = 0. (4.42)

Risulta, quindi, che la teoria elettrodebole descritta dai doppietti left-handed QL

e L puo essere consistentemente combinata con la QED solo se vengono presi in

considerazione un egual numero di doppietti per quarks e leptoni. In alcuni casi e

possibile semplificare il calcolo di Aabc notando che e un invariante del gruppo di


gauge G totalmente simmetrico nei tre indici nella rappresentazione aggiunta. Per

alcuni gruppi tale invariante non esiste quindi Aabc = 0; ad esempio in SU(2) la

rappresentazione aggiunta ha spin 1 e la composizione di due spin 1 da come risultati

simmetrici spin 0 piu spin 2 ma e escluso lo spin 1, quindi in SU(2) non esiste un

tensore simmetrico che accoppi due spin 1 a dare uno spin 1, ovvero in una teoria di

gauge SU(2) deve risultare che Aabc = 0.

4.5 Cancellazione delle anomalie

Abbiamo visto che una corrente assiale che e conservata a livello delle equazioni del

moto classiche puo acquistare una quadri-divergenza diversa da zero tramite i dia-

grammi ad un loop che accoppiano questa corrente assiale ad una coppia di bosoni

di gauge. Le teorie in cui i bosoni di gauge si accoppiano a correnti chirali possono

essere rese gauge-invarianti solo se il contributo anomalo si annulla, e si dimostra che

una volta annullato il contributo anomalo dai diagrammi a triangolo allora, automati-

camente, si annullano anche gli altri contributi anomali ad un loop a quadrato e a

pentagono. Precisamente i termini anomali si sommano a zero quando si somma su

tutte le specie fermioniche che possono circolare in questi diagrammi. Nel modello

di Glashow-Salam-Weinberg l’evidenza sperimentale che le correnti dell’interazione

debole siano left-handed ci ha forzati a considerare un accoppiamento chirale con i

campi di gauge. Il termine anomalo di un diagramma a triangolo di tre bosoni di

gauge Aaµ, A

b" , A

c& e proporzionale a

tr["5ta{tb, tc}], (4.43)

in cui la traccia prevede la somma su tutte le specie fermioniche, l’anticommutatore

viene dal considerare la somma di due diagrammi a triangolo in cui i fermioni circolano

in direzioni opposte. La presenza della "5

"5 =

%"1 0

0 1

&(4.44)

4.5. Cancellazione delle anomalie 41

Figure 4.1: Tutte i possibili diagrammi a triangolo.

tiene conto del fatto che l’anomalia e associata alle correnti chirali, e da un fattore

"1 per fermioni left-handed e invece un fattore 1 per fermioni right-handed. Quindi

per teorie come la QED e la QCD in cui i bosoni di gauge si accoppiano ugualmente

ai fermioni left- e right-handed risulta che le anomalie si annullano automaticamente.

Per valutare le anomalie del Modello Standard lavoriamo con i bosoni di gauge di

SU(2) ! U(1) che compaiono prima del mixing di Weinberg a dare gli autostati di

massa. Stiamo considerando fermioni di massa nulla, con diversi numeri quantici per

i fermioni left- e right-. Consideriamo non solo le anomalie dei diagrammi a triangolo

con tre bosoni di SU(2)!U(1), ma anche le anomalie dei diagrammi in cui compaiono

i bosoni di SU(2)!U(1) assieme ai bosoni di SU(3) di colore. Naturalmente possiamo

omettere i diagrammi a triangolo con tre bosoni di SU(3) o di un bosone di SU(3) con

due gravitoni poiche in questi casi gli accoppiamenti godono di simmetria left-right

quindi le anomalie sono automaticamente annullate.

Tutte le possibili anomalie si devono cancellare se vogliamo che le identita di Ward

della teoria di gauge SU(2)!U(1) siano verificate. Utilizzando la nota proprieta delle

matrici di Pauli {+a, +b} = 2(ab si verifica che la traccia sopra indicata tr["5ta{tb, tc}]si annulla, quindi l’anomalia di tre bosoni di gauge di SU(2) e sempre zero. Le

anomalie contenenti un bosone di SU(3) o un bosone di SU(2) in ogni caso sono

proporzionali a

tr[ta] = 0 o tr[&a] = 0. (4.45)

Le altre anomalie non triviali sono quelle di un bosone di U(1) con due bosoni

di SU(2) o due bosoni di SU(3), l’anomalia di tre bosoni di U(1) e infine l’anomalia

di un bosone di U(1) con due gravitoni. L’anomalia di un bosone di U(1) con due

bosoni di SU(3) e proporzionale al fattore

tr[ tatbY ] =1

2(ab ·

6

q

Yq, (4.46)

dove la somma7

q corre sui quarks left- e right-handed con un fattore (-1) per


ogni contributo da un quark left-handed. Utilizzando le cariche assegnate ai quarks

di prima generazione calcoliamo esplicitamente la somma

6

q

Yq = "2 · 1

6+ (

2

3) + ("1

3) = 0. (4.47)

Per l’anomalia di un bosone U(1) con due bosoni di SU(2) si ottiene un fattore

tr[&a& bY ] =1

2(ab

6

L

YL (4.48)

in cui la somma corre sui fermioni left-handed L e QL, quindi

6

L

YL = "("1

2)" 3 · 1

6= 0 (4.49)

dove il fattore 3 tiene conto del colore dei quarks. L’anomalia di tre bosoni di

U(1) e proporzionale alla somma sui leptoni e quarks left-handed e right-handed

tr[Y 3] = "2("1

2)3 + ("1)3 " 3[2(

1

6)3 " (

2

3)3 " ("1

3)3] = 0. (4.50)

Infine l’anomalia gravitazionale con bosone di gauge U(1) e proporzionale a

tr[Y ] = "2("1

2) + ("1)" 3[2(

1

6)" (

2

3)" (

1

3)] = 0. (4.51)

Dunque il Modello Standard e completamente libero da tutte le possibili anomalie

assiali tra le correnti di gauge.

Capitolo 5

Meccanismo di Stueckelberg

Dai risultati di teoria di stringa risulta possibile generare modelli fenomenologici di

bassa energia (dell’ordine di 10-100 Tev) la cui simmetria di gauge e

U(3)! U(2)! U(1). (5.1)

Modelli di questo genere emergono dalla cosiddetta “teoria delle brane”. Queste

simmetrie sono riscrivibili come

SU(3)! SU(2)! U(1)a ! U(1)b ! U(1)c, (5.2)

dove, in generale, gli U(1) addizionali rispetto al Modello Standard sono anomali,

cioe contengono accoppiamenti chirali. L’origine delle anomalie e dovuta al fatto che

i fermioni !i della teoria hanno cariche assiali e vettoriali rispetto ai gruppi abeliani

U(1). Gli accoppiamenti tipici infatti sono della forma

!("µgV " "µ"5gA)Dµ!, (5.3)

in cui la derivata covariante e cosı costruita

Dµ = (#µ + i ga qa Aaµ + i gb qb Ab

µ + i gc qc Acµ). (5.4)

In generale questi accoppiamenti generano correnti assiali del tipo

43

44 Capitolo 5. Meccanismo di Stueckelberg

!"µ"5! = Jµ5 (5.5)

che non sono conservate, e siccome la presenza di anomalie danneggia la rinormal-

izzabilita della teoria e necessario che queste si cancellino. Per avere una teoria con

simmetria di gauge vicina al Modello Standard bisogna rendere pesanti i bosoni di

gauge dei gruppi addizionali. Naturalmente questo potrebbe essere fatto con una mod-

ifica del meccanismo di Higgs, ma risulterebbe molto complicato; invece un metodo

alternativo e costituito dal meccanismo di Stueckelberg che consiste nell’introdurre

un campo scalare in grado di dare massa ai gruppi di gauge abeliani, pur mantenendo

la rinormalizzabilita del modello considerato. Va notato comunque che fino ad oggi

il meccanismo di Higgs rappresenta l’unico modo per dare massa ai bosoni di gauge

non abeliani preservando la rinormalizzabilita.

5.1 Proca

Un campo di spin 1 massivo Vµ, in generale complesso, puo essere descritto (Ruegg[10]) da

una lagrangiana di Proca

L = "1

2F †

µ"Fµ" + m2V †

µ V µ (5.6)

con intensita di campo

Fµ" = #µVµ " #"Vµ. (5.7)

Le equazioni del moto che discendono dalla lagrangiana sono

#µFµ" + m2V" = 0 (5.8)

e derivando si ottiene la condizione di Lorentz

5.2. Stueckelberg 45

#"#µFµ" + m2#"V" = 0 * # · V = 0 (5.9)

dove e stata sfruttata l’antisimmetria del tensore Fµ" negli indici. Sfortunata-

mente, si dimostra che la quantizzazione di questo modello prevede le seguenti par-

entesi di commutazione:

[Vµ(x), V"(y)] =)V †

µ (x), V †" (y)

*= 0, (5.10)

)Vµ(x), V †

" (y)*

= " i

'gµ" +

1

m2#µ#"

($m(x" y), (5.11) commutat

dove $m(x" y) e la funzione di Jordan-Pauli, tale che in presenza di un termine

di massa valga la condizione

(#2 + m2)$m(x) = 0. (5.12)

Ovviamente il commutatore (commutatcommutat5.11) di!erisce da quello che appare in QED per

la presenza del termine + 1/m2, e si puo dimostrare che proprio la presenza di

questo termine rende la teoria non rinormalizzabile poiche da origine a divergenze

(quadratiche) ad alte energie, non eliminabili mediante la procedura di rinormaliz-

zazione.

5.2 Stueckelberg

Per risolvere il problema della non rinormalizzabilita Stueckelberg introdusse un

campo scalare B, detto appunto campo di Stueckelberg, tale che

(#2 + m2)B(x) = 0, (5.13)

con regole di quantizzazione


[B(x), B(y)] = 0, (5.14))B(x), B†(y)

*= i$m(x" y). (5.15)

La lagrangiana considerata e

LSt = "#µA†" #µA" + m2A†

µAµ + #µB

†#µB "m2B†B (5.16)

che descrive un campo massivo carico di spin 1 accompagnato dallo scalare di

Stueckelberg. Il vantaggio di questa formulazione e l’assenza dalle parentesi di com-

mutazione di termini con derivate che renderebbero problematico il comportamento

ad alte energie. La lagrangiana LSt possiede 5 gradi di liberta contati come comp-

lessi, invece dei tre su"cienti a descrivere un campo vettoriale massivo, che vengono

ridotti a quattro imponendo una condizione alla Gupta-Bleuler (indispensabile per

una hamiltoniana definita positiva)

S(x)|phys >= 0, (5.17)

dove l’operatore S e costruito prendendo le componenti

S(x) = ( # · A + mB(x) )("), (5.18)

cioe e stato decomposto #µAµ = (#µAµ)(+) + (#µAµ)("), dove (#µAµ)(+) contiene

gli operatori di creazione, mentre (#µAµ)(") contiene gli operatori di distruzione, e

analogo discorso vale per la trasformata di Fourier del campo B. In e!etti i gradi

di liberta scendono a tre considerato che la lagrangiana di Stueckelberg possiede una

simmetria di gauge

Aµ # A!µ = Aµ + #µ#(x), (5.19)

B # B! = B + m#(x), (5.20)


in cui la funzione di gauge complessa #(x) soddisfa l’equazione

(#2 + m2)#(x) = 0. (5.21)

In e!etti l’invarianza di gauge diventa evidente se riscriviamo la L come

L = " 1

2F †

µ"Fµ" + m2

'A†

µ "1

m#µB

†( '

Aµ " 1

m#µB

(

" (#µA†µ + mB†)(#"A

" + mB), (5.22)

dove Fµ" = #µA" " #"Aµ. Vale la pena osservare che se si definisce il campo

vettoriale

Vµ = Aµ "1

m#µB (5.23)

allora si verifica che

LSt = LProca " (# · A† + mB†)(# · A + mB), (5.24)

e la LSt coincide con la LProca sugli stati fisici

< phys|#"A" + mB|phys! >= 0. (5.25)

La lagrangiana per un modello con campo di gauge U(1) massivo e costituita dalla

somma di una parte di gauge

Lg = "1

4(#µA" " #"Aµ)2 +

1

2(#µB "mAµ)2, (5.26)

di una parte scalare


Ls = |#µ%" ieAµ%|2 " )

'%†%" f 2

2

(2

, (5.27)

e di una parte fermionica

Lf = !(i#/ + gA/"M)!, (5.28)

in cui e, g, ) ed m, f, M sono parametri di cui i primi tre adimensionali, mentre gli

ultimi tre con dimensione di una massa. Sono tutti termini usuali eccezion fatta per

la massa del fotone m accompagnata dallo scalare di Stueckelberg B. Si introducono

le derivate covarianti

Dµ% = #µ%" ieAµ%, Dµ! = #µ! " igAµ!. (5.29)

Il valore di aspettazione del campo scalare complesso % e dato da

< % >=f&2

(5.30)

che e un numero reale. Naturalmente se f %= 0 la simmetria di gauge U(1) risulta

spontaneamente rotta e il fotone acquisisce massa tramite entrambi i meccanismi, di

Higgs e di Stueckelberg; in ogni caso m %= 0, quindi il bosone del modello risulta

massivo.

Un esempio piu completo e rappresentato da un modello con simmetria G!U(1).

Possiamo usare il meccanismo di Stueckelberg contemporaneamente al meccanismo

di Higgs per dare massa ai bosoni di gauge del gruppo G ed al bosone di gauge del

gruppo abeliano U(1). La lagrangiana invariante di gauge e una somma di termini

associati rispettivamente ai campi di gauge, agli scalari e ai campi fermionici:

L = Lg + Ls + Lf . (5.31)


La lagrangiana di gauge Lg contiene gli usuali termini cinetici per i campi vettoriali/W µ e V µ, ma anche il termine di massa alla Stueckelberg per V µ, assieme al termine

cinetico per il campo di Stueckelberg B (con ipercarica ed isospin nulli):

Lg = "1

4/F 2

µ" "1

4F 2

µ" +1

2(mVµ " #µB)2 (5.32)

dove le intensita per i campi di gauge sono

Fµ" = #µV" " #"Vµ, (5.33)

/Fµ" = #µ/W" " #"

/Wµ + g /Wµ , /W" . (5.34)

La lagrangiana scalare e data da

Ls = |Dµ%|2 " )

'%†%" f 2

2

(2

, (5.35)

dove % e un doppietto di isospin debole; la derivata covariante e rappresentata

dall’operatore

Dµ% =

'#µ " i

g

2/& · /Wµ " i

g!

2Vµ

(%. (5.36)

I minimi del potenziale sono posti in |%†%| = f2

2 e il valore di aspettazione sul

vuoto e < % >= f#2, con f reale.

51

Capitolo 6

Cancellazione delle anomalie nonstandard

In questo capitolo cercheremo di evidenziare, mediante lo studio di un modello non

supersimmetrico basato su una semplice teoria del tipo U(1) ! U(1), i problemi che

emergono quando si richiede una cancellazione delle anomalie di tipo non tradizionale

-come invece avviene per l’ipercarica- utilizzando operatori addizionali di dimensione

4 e superiori. Il primo tentativo che verra da noi fatto sara quello di considerare in-

terazioni di dimensione 4, l’interazione di Chern-Simons, che, a prima vista, potrebbe

sembrare l’interazione giusta per avere un nuovo meccanismo di cancellazione. Dal

nostro studio emerge che tale cancellazione utilizzando solo Chern-Simons non e suf-

ficiente a rendere la teoria libera da anomalie, e si ricade nell’ambito del meccanismo

gia noto, cioe quello del Modello Standard. La soluzione del problema, quindi, sembra

indicare che solo mediante l’introduzione di un termine assionico aF F la cancellazione

non standard appare possibile.

Iniziamo quindi a studiare una versione semplificata del modello che contiene un

gruppo di gauge della forma U(1)A!U(1)B, ed un campo di Higgs * (campo scalare

complesso) che genera la rottura di simmetria come nel Modello Standard. Oltre a

questo abbiamo anche un addizionale campo scalare a che genera la massa per uno

dei due bosoni di gauge. Successivamente passeremo a studiare un modello con tre

U(1), del tipo U(1)! U(1)! U(1). La lagrangiana e data da

L = |(#µ + igBµ)*|2 " 1

4F 2

A "1

4F 2

B + (#µa + MBµ)2 + )(|*|2 " v2)2

+ !i"µ[#µ + ieAµ + ig"5Bµ]! + LCS (6.1)

52 Capitolo 6. Cancellazione delle anomalie non standard

dove LCS definisce la lagrangiana di Chern-Simons

LCS = E1AµB"FA,-%

µ",- + E2AµB"FB,-%

µ",-. (6.2)

Va notato che il termine di Chern-Simons non e invariante sotto trasformazioni

di gauge. Come vedremo la richiesta di invarianza di gauge per una teoria anomala

imporra delle condizioni sui coe"cienti E1 ed E2 che sono al momento arbitrari.

Analizziamo brevemente la struttura di questa lagrangiana; oltre ai campi *, a, e i

due campi di gauge Aµ e Bµ corrispondenti ai gruppi U(1)A e U(1)B rispettivamente,

compare un accoppiamento del campo fermionico ! sia con Aµ che con Bµ. Questo

accoppiamento e di tipo vettoriale per A, invece e di tipo vettor- assiale per B. Stiamo

dando massa al bosone di gauge B mediante il meccanismo di Stueckelberg. Data la

presenza di accoppiamenti assiali del fermione con il bosone di gauge B, la teoria, in

generale, e anomala.

Scegliamo una parametrizzazione polare per il campo scalare *

* = 0 ei./v (6.3)

la cui trasformazione di gauge puo essere riscritta in termini delle componenti

polari, ed e!ettuiamo una trasformazione di gauge (A:

(AAµ = #µ 'A,

(Aa = 0,

(A0 = 0,

(A1 = 0,

(ABµ = 0,

(A! = "i e 'A !,

(6.4)

la cui struttura richiede qualche precisazione. Innanzitutto abbiamo introdotto

un parametro di gauge %A(x) ed e facile riconoscere nelle equazioni precedenti la

53

trasformazione tipica di un campo di gauge abeliano. Inoltre, pero, assumiamo che il

campo di Stueckelberg sia invariante sotto trasformazioni di gauge di A, ma trasformi

solo secondo B.

Se e!ettuiamo una trasformazione di gauge su B otteniamo

(BAµ = 0,

(BBµ = #µ 'B,

(Ba = "M'B,

(B0 = 0,

(B1 = "i g v 'B,

(B! = "i g 'B !,

(6.5)

Notiamo che il campo di Stueckelberg a e gauge-variante per trasformazioni di B.

Il nostro obiettivo sara quello di ottenere una teoria gauge-invariante dalla com-

binazione con il termine di Chern-Simons, pertanto adesso calcoliamo (AL. Notiamo

che la lagrangiana e gauge-invariante eccetto per il termine di Chern-Simons, quindi

la sua variazione e pari a quella del termine di Chern-Simons

(AL = (ALCS

= "1

2FB

µ"(E1'AF µ"A + E2'AF µ"

B ) + #µ(...) = 0 (6.6) cs0

dove abbiamo usato l’integrazione per parti ed omesso termini che ammontano a

derivate totali. Per derivare questa relazione abbiamo usato l’equazione

(A

8E1AµB"F

A,-'

µ",-9

= E1#µ'AB"FA,-'

µ",-

= #µ(...)" 1

2E1'AFB

µ"FA,-'

µ",-.

(6.7)


Figure 6.1: Un diagramma anomalo a triangolo con bosoni di gauge esterni (XYZ).

Definendo

F , F ( 1

2Fµ"F,-%

µ",- (6.8)

possiamo riscrivere (cs0cs06.6) nella forma

(AL = "E1'AFB , FA " E2'AFB , FB. (6.9) cs1

Analogamente se e!ettuiamo una trasformazione di gauge di B avremo

(BL = "E1'BFA , FA " E2'BFA , FB + 'BAFA , FA = 0. (6.10) cs2

dove alla variazione dei termini di Chern-Simons abbiamo anche addizionato il con-

tributo dell’anomalia A ottenuto variando il diagramma (BAA) a triangolo rispetto

alla linea assiale. Analizzando (cs1cs16.9) e (

cs2cs26.10) notiamo che l’unica soluzione possibile

e quella di avere una teoria senza termini di Chern-Simons, cioe E1 = E2 = 0, come

emerge dall’equazione (cs1cs16.9). Allo stesso modo, si vede che il termine di anomalia nella

equazione (cs2cs26.10) rimane sbilanciato e la teoria, pertanto, risulta gauge-variante. Come

curare questo problema? Ci sono due alternative. Eliminare le anomalie di U(1)B

mediante assegnazione di cariche, come visto nei capitoli precedenti, ma questo ci

porta alla soluzione di tipo U(1)Y , con U(1)B ridotto ad una “copia” del gruppo di

ipercarica e questo non e fisicamente accettabile, oppure si puo ricorrere ad un oper-

atore di dimensione 5 che permette di cancellare l’anomalia e rendere la lagrangiana

invariante di gauge, questo e ottenuto mediante il termine assionico

Laxion = 2a

MFA , FA. (6.11)

Infatti sotto una trasformazione di gauge di B avremo

6.1. Due gruppi U(1) anomali 55

(BLaxion = 21

M(BaFA , FA

=2

MFA , FA +

2!

MFB , FB

(6.12)

variazione che puo cancellare i due triangoli anomali (BBB) e (BAA) scegliendo

opportunamente 2 e 2!. Abbiamo visto quindi che il campo di Stueckelberg puo essere

usato per cancellare le anomalie in maniera non-canonica grazie al suo accoppiamento

alla divergenza di una funzione di correlazione data dal diagramma a triangolo. La

rinormalizzabilita della teoria e comunque sacrificata.

6.1 Due gruppi U(1) anomali

Consideriamo un modello con due gruppi U(1) anomali e un ulteriore gruppo U(1)

non anomalo. Usiamo solo Chern-Simons, vogliamo evitare la presenza dell’assione

per preservare la rinormalizzabilita della teoria.

L = |(#µ + iqBµ)*|2 " 1

4F 2

A "1

4F 2

B "1

4F 2

C

+ ! i "µ[ #µ + ieAµ + ig"5Bµ + ig!"5Cµ ] !

+ {E1AµB"A,- + E2AµB"B,- + E3AµC"A,-

+E4AµC"B,- + E5AµB"C,- + E6AµC"A,-

+ E7BµC"B,- + E8BµC"C,- + E9BµC"A,-}'µ",- (6.13) lag1

in cui abbiamo introdotto tutti i possibili termini di interazione di Chern-Simons.

La simmetria in questione e rappresentata dal prodotto U(1)A!U(1)B !U(1)C , con

U(1)A privo di anomalie. Richiedendo l’invarianza di gauge (AL = 0 e (BL = 0

otteniamo la condizione

(AL = "1

2[E1BµA,- + E2Bµ"B,- + E3Cµ"A,- + E4Cµ"B,-


+ E5Bµ"C,- + E6Cµ"A,-] = 0 (6.14)

poiche non c’e contributo all’anomalia da U(1)A, si ottiene quindi

E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = E6 = 0. (6.15)

Adesso calcoliamo la variazione

(BL = "1

2[E7Cµ"B,- + E8Cµ"C,-] , (6.16)

in cui non abbiamo tenuto conto del termine E9BµC"A,- poiche le variazioni di

questo termine sono date da

(A(BµC"A,-) = 0,

(B(BµC"A,-) = "1

2Cµ"C,-. (6.17) t1

Da questa equazione si vede immediatamente che questo termine contenente E9

dovrebbe cancellare una anomalia del tipo (BCA) che dovrebbe essere proporzionale

a C , A ma che non esiste in quanto il diagramma (BCA) non e anomalo, pertanto

porremo E9 = 0.

Infine consideriamo la variazione

(CL = ((E7BµC"B,- + E8BµC"C,-)

=1

2(E7Bµ"B,- + E8Bµ"C,-) . (6.18)

In definitiva si sono ottenute le seguenti variazioni dei possibili termini di Chern-

Simons

(AL = 0 # E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = E6 = 0 (6.19)

(BL %= 0 # E7Cµ"B,- + E8Cµ"C,- %= 0 (6.20)

(CL %= 0 # E7Bµ"B,- + E8Bµ"C,- %= 0. (6.21)

6.2. Assegnazione delle cariche 57

Nelle equazioni/disequazioni precedenti le variazioni non nulle sono appunto bilan-

ciate da contributi anomali. In altre parole, i termini di Chern-Simons con variazioni

di gauge non nulle sono le interazioni che, sommate ai corrispondenti diagrammi a

triangolo anomali della teoria, rendono l’interazione complessiva libera da anomalie.

6.2 Assegnazione delle cariche

A questo punto, abbiamo la speranza di poter definire un meccanismo di cancel-

lazione delle anomalie che faccia intervenire solo operatori di tipo Chern-Simons, che

permettono di conservare la rinormalizzabilita della teoria. Pertanto approfondiamo

questo studio assegnando delle cariche specifiche ai fermioni in modo tale da generare

anomalie tali da essere poi cancellate da E7 ed E8. Per rendere il modello su"cien-

temente interessante prendiamo due fermioni chirali accoppiati ai 3 gruppi abeliani.

La parte fermionica della lagrangiana (lag1lag16.13) assume la forma

6

i

!i i "µ[ #µ + iqi"5Aµ + ipi"5Bµ + iri"5Cµ ] !i (6.22)

dove le cariche sono date nella tabella (tabbtabb6.1). Abbiamo scelto per semplicita

q1 = q, q2 = "q e q3 = 0. Notare che abbiamo reso chirale anche l’accoppiamento di

A, ma abbiamo imposto, nella scelta delle cariche per A, la condizione di cancellazione

“tradizionale”. Infatti ogni anomalia del tipo (AXY) con X ed Y due bosoni A, B, C,

di cariche qX , qY si cancella automaticamemte giacche queste sono proporzionali a

(q " q + 0 )qXqY . Ricordiamo infatti che dobbiamo far circolare i tre fermioni nel

loop e sommare le corrispondenti cariche se si vuole calcolare il loro contributo totale

all’anomalia.

A B C

!1 q p1 r1

!2 -q p2 r2

!3 0 p3 r3

Table 6.1: Assegnazione delle cariche per il modello anomalo U(1)3. tabb


Abbiamo visto che solo termini di Chern-Simons del tipo (BL = E7Cµ"B,- +

E8Cµ"C,- possono sopravvivere e devono essere bilanciati da anomalie dell’interazione

a triangolo appropriate. Le rimanenti anomalie devono necessariamente cancellarsi

mediante assegnazione di carica, cioe sommando sulle cariche dei fermioni del modello.

Notiamo altresi che i termini di Chern-Simons non nulli sono collegati ad anomalie

del tipo (XCC) e (XCB), con X bosone di gauge abeliano generico. D’ora in avanti

resta inteso che dato un diagramma a triangolo del tipo (XYZ), la quadri-divergenza

sia sempre presa rispetto al primo bosone di gauge, in questo caso X.

Consideriamo il trianglo (BBB) e facciamo circolare i tre fermioni. La corrispon-

dente anomalia sara della forma B , B, dove d’ora in poi indicheremo FBµ" con Bµ" .

Avremo la condizione di cancellazione

p31 + p3

2 + p33 = 0 (6.23)

giacche la struttura della variazione (BLCS contiene solo C , B e C , C. Dal

triangolo (BAA) avremo una anomalia A , A che anche deve essere nulla e fornisce

p1q2 + p2q

2 = 0. (6.24)

Analogamente per (CCC) avremo

r31 + r3

2 + r33 = 0, (6.25)

in modo che l’anomalia C , C si cancelli. Consideriamo adesso il contributo

anomalo del diagramma (BCC) la cui anomalia e C , C. Ovviamente la sua cancel-

lazione puo essere ottenuta mediante la forma di Chern-Simons E8. Quindi avremo

la disuguaglianza

p1r21 + p2r

22 + p3r

23 %= 0 (6.26)

che deve essere cancellata dalla (BL + E8Cµ"C,-.

Analogamente, per la cancellazione di (BBC) avremo

6.2. Assegnazione delle cariche 59

A B C

!1 q p1 r1

!2 -q -p1 -r1

!3 0 0 0

Table 6.2: Assegnazione delle cariche finali. t2

p21r1 + p2

2r2 + p23r3 %= 0 (6.27)

perche cancellata dal termine in E7. Vediamo le conseguenze di questa scelta.

Siamo partiti con l’assegnazione delle cariche mostrata in tabella e provando a risol-

vere le equazioni si ottiene

p1q2 + p2q

2 = 0 * p1 = "p2 (6.28)

p31 + p3

2 + p33 = 0 * p3 = 0. (6.29)

Adesso consideriamo le anomalie generate nella variazione di gauge di (CL ad un

loop. Avremo

r1p21 + r2p

22r3p

23 = 0; p3 = 0 * r1 = "r2 (6.30)

r31 + r3

2 + r33 = 0 * r3 = 0 (6.31)

per la cancellazione di (CBB) e di (CCC) rispettivamente. Risolvendo queste

equazioni si trova che le cariche del modello sono quelle indicate nella tabella (t2t26.2)

il che implica che, siamo ritornati ad una cancellazione usuale, rendendo vano l’uso

delle forme di Chern-Simons. Infatti, per avere una cancellazione con Chern-Simons

dovremmo avere che almeno l’anomalia (BCC) venga cancellata dal termine E8 ma,

invece, non e necessario poiche la cancellazione avviene con le cariche. Notiamo anche

che

(BBC) = p21r1 + p2

2r2 = 0 (6.32)


senza la necessita di usare il termine in E7. La di"colta di avere cancellazioni non

usuali e ampiamente dimostrato da questo modello. Proviamo adesso a vedere come

le nostre considerazioni possono essere estese al Modello Standard.

6.3 Estensione del Modello Standard

Consideriamo pertanto lo spettro fermionico completo del Modello Standard e so!er-

miamoci sulla prima generazione. Il discorso sulle altre generazioni sara chiaramente

il medesimo. Abbiamo

%u

d

&

L

, uR, dR,

%,

e

&

L

, eR (6.33)

ed assumiamo che questi stati abbiano cariche abeliane sotto

U(1)Y ! U(1)B ! U(1)C (6.34)

in cui, adesso, l’ipercarica Y ha preso il posto del fattore A.

L’assegnazione dell’ipercarica e la medesima del Modello Standard, ma definiamo

con pi ed ri le cariche abeliane aggiuntive. La cancellazione dell’anomalia (YYY)

richiede la condizione

Tr[Y 3] = 0 (6.35)

che e soddisfatta grazie all’assegnazione delle ipercariche. Passiamo adesso alle

altre possibili anomalie. L’anomalia (BBB) fornisce la condizione

6p31 + 3p3

2 + 3p33 + 2p3

4 + p35 = 0, (6.36)

mentre l’anomalia (CCC)

6.3. Estensione del Modello Standard 61

Y B C

%u

d

&

L

1/6 p1 r1

uR "2/3 p2 r2

dR 1/3 p3 r3

%,

e

&

L

"1/2 p4 r4

eR 1 p5 r5

Table 6.3: Assegnazione di cariche nel Modello Standard con simmetria SU(3) !SU(2)! U(1)Y ! U(1)B ! U(1)C . Assumiamo che B e C siano anomali. t3

6r31 + 3r3

2 + 3r33 + 2r3

4 + r35 = 0. (6.37)

Inoltre dal triangolo (BCB) otteniamo

6p21r1 + 3p2

2r2 + 3p23r3 + 2p2

4r4 + p25r5 %= 0 (6.38)

poiche questo contributo puo essere cancellato dal termine in E7, cosı come il

contributo di (BCC)

+ 6r21p1 + 3r2

2p2 + 3r23p3 + 2r2

4p4 + r25p5 %= 0 (6.39)

che puo essere cancellato dal termine in E8. Vediamo adesso quali sono le con-

dizioni addizionali che emergono dalla cancellazione delle anomalie. Consideriamo

il contributo (BY Y ) + Y , Y ma non abbiamo un termine corrispondente di tipo

Chern-Simons con cui cancellare questo contributo, quindi avremo


6

'1

6

(2

p1 + 3

'"2

3

(2

p2 + 3

'1

3

(2

p3 + 2

'"1

2

(2

p4 + p5 = 0. (6.40)

Lo stesso accade per il contributo (CY Y ) + Y , Y per il quale vale la condizione

6

'1

6

(2

r1 + 3

'"2

3

(2

r2 + 3

'1

3

(2

r3 + 2

'"1

2

(2

r4 + r5 = 0. (6.41)

A questo punto prendiamo in considerazione le anomalie non abeliane. Avremo

le condizioni

B SU(3) SU(3) + 2p1 + p2 + p3 = 0, (6.42)

C SU(3) SU(3) + 2r1 + r2 + r3 = 0, (6.43)

B SU(2) SU(2) + 3p1 + p4 = 0, (6.44)

C SU(2) SU(2) + 3r1 + r4 = 0, (6.45)

dove due dei bosoni di gauge sono non abeliani. Il calcolo di queste relazioni

richiede una breve spiegazione. Nella derivazione, ad esempio, dell’anomalia non

abeliana (B SU(3) SU(3)) sotto trasformazioni di gauge di B, si deve tener presente

che l’anomalia e proporzionale alla traccia7

i Tr(2ipi)a)b) dove 2i e un fattore di

degenerazione. In pratica scriveremo

6

i

Tr(2ipi)a)b) = (2p1 + p2 + p3)Tr()a)b) (6.46)

con fattori di degenerazione 21 = 2, 22 = 1, 23 = 1 riferiti al doppietto (u, d)L e

ai due singoletti uR e dR. La traccia si riferisce ad indici di colore, in questo caso.

6.3. Estensione del Modello Standard 63

Figure 6.2: Anomalie non abeliane di un bosone X = (B, C) con SU(2) ed SU(3). anom

I leptoni non vanno inclusi nel loop giacche non hanno carica di SU(3). In modo

analogo si ottengono le altre relazioni.

Ricapitolando abbiamo collezionato le seguenti equazioni:

6p31 + 3p3

2 + 3p33 + 2p3

4 + p35 = 0 (6.47)

6r31 + 3r3

2 + 3r33 + 2r3

4 + r35 = 0 (6.48)

6p21r1 + 3p2

2r2 + 3p23r3 + 2p2

4r4 + p25r5 %= 0 (6.49)

6r21p1 + 3r2

2p2 + 3r23p3 + 2r2

4p4 + r25p5 %= 0 (6.50)

6

'1

6

(2

p1 + 3

'"2

3

(2

p2 + 3

'1

3

(2

r3 + 2

'"1

2

(2

p4 + p5 = 0 (6.51)

6

'1

6

(2

r1 + 3

'"2

3

(2

r2 + 3

'1

3

(2

r3 + 2

'"1

2

(2

r4 + r5 = 0 (6.52)

2p1 + p2 + p3 = 0 2r1 + r2 + r3 = 0 - (anomalia C3) (6.53)

3p1 + p4 = 0 3r1 + r4 = 0 - (anomalia C2) (6.54)

Non esiste una soluzione di questo insieme di equazioni che verifichi al tempo

stesso le disuguaglianze presenti. In altri termini si trova che la cancellazione e tale da

ridurre anche le diseguaglianze ad equazioni algebriche ordinarie, e che quindi portano

ad assegnazioni di carica ordinarie e pertanto non e richiesto alcun termine di Chern-

Simons. Esiste pero una soluzione per cui l’anomalia C3 e non nulla. Ad esempio

potremmo porre a zero tutte le disuguaglianze ed imporre, invece, che l’anomalia non

abeliana C3 sia non zero. Questo e possibile, a patto, pero di introdurre due campi

assionici a e b accoppiati nel modo

aTr[G ,G] + bTr[G ,G] (6.55)

dove a ha carica di U(1)B e b ha carica di U(1)C . Questo sarebbe su"ciente ad

avere una cancellazione non standard con


2p1 + p2 + p3 %= 0, 2r1 + r2 + r3 %= 0. (6.56)

Capitolo 7

Supersimmetria

7.1 Indici puntati e non puntati

Sia F lo spazio vettoriale(muller[11],

likken[12],

Wess[13],

weinberg[14],

sonius[15],

west[16]) degli spinori !A a due compo-

nenti (A=1,2), allora possiamo costruire lo spazio duale F $; gli elementi di F $ sono

mappe lineari da F in C

(*A) : F #C, (7.1)

cosı per ogni ! . F risulta che

*(!) ( *A!A . C. (7.2) prodotto

Con questo resta fissata la convenzione sugli indici non puntati secondo cui vale

la distinzione

!A . F, *A . F $ (7.3)

e volendo interpretare la legge di composizione (prodottoprodotto7.2) come moltiplicazione matri-

ciale risulta che uno spinore *A con indice in alto non puntato deve essere considerato

un vettore riga, mentre uno spinore !A con indice in basso non puntato rappresenta

un vettore colonna. Consideriamo la matrice ' anti-simmetrica 2! 2, definita da

65

66 Capitolo 7. Supersimmetria

' =

%0 1

"1 0

&( 'AB = ('AB)T , (7.4)

dove

'"1 =

%0 "1

1 0

&( 'AB = ('AB)"1; (7.5)

allora, con queste convenzioni sugli indici per ' e '"1, possiamo considerare la

mappa lineare

('AB) : F # F $

!A # !A = 'AB!B; (7.6)

la mappa inversa e data dalla matrice inversa, ovvero la ' con indici in basso

('AB) : F $ # F

!A # !A = 'AB !B. (7.7)

Analogamente, consideriamo lo spazio vettoriale F $ degli spinori a due componenti

con indice puntato in alto: !A . F $, allora possiamo costruire lo spazio duale F ( F $$

i cui elementi sono mappe lineari da F $ in C

(!A) : F $#C, (7.8)

di modo che

!(*) = !A*A . C, (7.9) prod2

7.1. Indici puntati e non puntati 67

e con questo resta fissata la convenzione sugli indici puntati secondo la quale vale

la distinzione

!A . F , *A . F $. (7.10)

La corretta interpretazione della legge di composizione (prod2prod27.9) come prodotto matri-

ciale richiede che uno spinore !A con indice in basso puntato debba essere considerato

come vettore riga, mentre uno spinore *A

con indice in alto puntato sia considerato

come vettore colonna. Consideriamo la matrice 2! 2

' =

%0 1

"1 0

&( 'AB = ('AB)T (7.11)

con inversa

'"1 =

%0 "1

1 0

&( 'AB = ('AB)"1, (7.12)

allora possiamo abbassare o alzare gli indici puntati degli spinori contraendoli

rispettivamente con '"1 e con '

('AB) : F $ # F

!B # !A = 'AB!

B. (7.13)

e cosı pure

('AB) : F # F $

!B # !A

= 'AB!B. (7.14)


7.2 Matrici di Pauli

Introducendo per convenienza la seguente notazione per la matrice identita

+0 =

%1 0

0 1

&, (7.15)

allora possiamo organizzare le matici di Pauli e l’identita in un’espressione com-

patta

+µ = (+0,/+) = (+0; +1, +2, +3). (7.16)

Le matrici + presentano la seguente struttura spinoriale

+µ =!+µ

AA

$(7.17)

e gli indici spinoriali possono essere innalzati nel seguente modo

+µ AA = +µ AA = 'AB'AB+µ

BB, (7.18) Pauli

dove e stato usato il tensore “metrico” (anti-simmetrico) per contrarre gli indici

'AB = 'AB =

%0 1

"1 0

&. (7.19)

Esplicitamente dalla (PauliPauli7.18) si ottiene

+0 = +0 (7.20)

+i = "+i, (i = 1, 2, 3). (7.21)

Le matrici + verificano la relazione di completezza

7.3. Spinori di Weyl e di Dirac 69

+µ

AA+BB

µ = 2 ( BA ( B

A(7.22)

e inoltre si verifica che

Tr [ +µ+" ] = 2gµ" . (7.23)

Le seguenti matrici anti-simmetriche sono i generatori di SL(2, C) nelle rappre-

sentazioni spinoriali8

12 , 0

9e

80, 1

2

9rispettivamente

+µ" ( i

4(+µ+" " +"+µ) , (7.24)

+µ" ( i

4( +µ+" " +"+µ) , (7.25)

e sono legate dalla relazione (+µ")† = +µ" ; in particolare si verifica che

Tr [ +µ" ] = Tr [ +µ" ] = 0, (7.26)

Tr [ +µ"+,-] =1

2(gµ,g"- " gµ-g",) +

i

2'µ",-, (7.27)

Tr [ + µ"+ ,-] =1

2(gµ,g"- " gµ-g",)" i

2'µ",-. (7.28)

La loro struttura in componenti e ereditata dalle matrici +, risultando

(+µ") BA =

i

4

"+µ

AA+"AB " +"

AA+µAB

#, (7.29)

(+µ")AB

=i

4

"+µAA+"

AB" +"AA+µ

AB

#. (7.30)

7.3 Spinori di Weyl e di Dirac

Consideriamo i due spinori di Weyl a due componenti


1A . F, (A = 1, 2)

3A . F $, (A = 1, 2)

(7.31)

dove gli spazi vettoriali 2-dimensionali F ed F $ sono due rappresentazioni comp-

lesse inequivalenti di SL(2,C), i cui elementi sono, rispettivamente, gli spinori di Weyl

left-handed con indice A non puntato in basso e gli spinori di Weyl right-handed

con indice A puntato in alto; possiamo costruire lo spazio 4-dimensionale D, somma

diretta di F ed F $

D ( F / F $ (7.32)

che e lo spazio degli spinori a quattro componenti di Dirac. Quindi uno spinore

di Dirac puo essere ottenuto da due spinori di Weyl tramite la costruzione

! =

%1A

3A

&. F / F $ (7.33)

che e, appunto, uno spinore di Dirac scritto nella rappresentazione di Weyl. Es-

plicitamente a"nche il calcolo con gli indici spinoriali abbia senso deve risultare la

seguente convenzione sulle righe e le colonne, rispettivamente per lo spinore

(!)a =

%1A

3A

&(7.34)

(dove a = 1, 2, 3, 4; A = 1, 2; A = 1, 2) e per il suo trasposto

(!T )b =81B, 3B

9(7.35)

(dove b = 1, 2, 3, 4; B = 1, 2; B = 1, 2). Ricordiamo che nella rappresentazione di

Weyl (chirale) le matrici " di Dirac assumono l’espressione

7.3. Spinori di Weyl e di Dirac 71

"µ =

%0 +µ

+µ 0

&, (7.36)

e la matrice "5 = i"0"1"2"3 e data da

"5 =

%"12%2 0

0 12%2

&. (7.37)

Lo spinore di Dirac aggiunto ! = !†"0 in rappresentazione di Weyl risulta (e

esplicitata la corretta struttura degli indici per "0)

! = !+"0 =81A!

, 3 $A

9%

0 +0AB

+ 0 AB 0

&=

"3 $

A+ 0 AB, 1A!

+0AB

#

=83B, 1B

9, (7.38)

e notiamo che il suo trasposto e

!T

=

%3B

1B

&. (7.39)

Il coniugato di carica di uno spinore di Dirac in rappresentazione di Weyl e definito

! = !c = C !T; (7.40)

allora utilizzando la matrice C di coniugazione di carica in rappresentazione di

Weyl, con la corretta struttura degli indici risulta che

(!c)a = Cab( !T

)b

=

%(i+2+ 0) B

A 0

0 (i+2+0)AB

&%3B

1B

&

=

%(i+2+ 0) B

A 3B

(i+2+0)AB

1B

&; (7.41)


ricordiamo che +0 = + 0 = 12%2; + i = "+i (i = 1, 2, 3), allora si verifica che

8i+2+ 0

9AB=

%0 1

"1 0

&AB

=8'AB

9, (7.42)

8i+2+ 0

9AB

=

%0 "1

1 0

&

AB

= ('AB) , (7.43)

quindi gli elementi della matrice di coniugazione di carica sono

( i +2+ 0 ) BA = 'AC ( i +2+ 0 )CB = 'AC 'CB = ( B

A , (7.44)

( i +2+0 )AB

= 'AC ( i +2+0 )CB = 'AC'CB = (AB; (7.45)

quindi, in conclusione, lo spinore coniugato di carica e

(!C)a =

%3A

1A

&, (7.46)

cioe la coniugazione di carica scambia 1 con 3. Uno spinore di Majorana, ), e uno

spinore di Dirac a quattro componenti che soddisfa la condizione

) = )C (7.47)

cioe, esplicitamente

) =

%1A

3A

&(

%3A

1A

&= ()C), (7.48)

allora uno spinore di Majorana in rappresentazione di Weyl e scritto come

) =

%1A

1A

&. (7.49) Majorana

7.4. Relazioni tra spinori 73

Uno spinore di Majorana possiede solo due componenti complesse indipendenti ed

e equivalente ad uno spinore a due componenti di Weyl.

Ricordiamo che nella rappresentazione di Weyl gli operatori di proiezione chirale

PL =

%1 0

0 0

&, PR =

%0 0

0 1

&(7.50)

agiscono sugli spinori di Dirac come segue

!L = PL ! =

%1A

0

&, !R = PR ! =

%0

3A

&. (7.51)

7.4 Relazioni tra spinori

Prima di tutto notiamo che la “metrica” ' soddisfa le relazioni

'AB 'CD = (AD (B

C " (AC (B

D, (7.52)

'AB 'CD = ( DA

( CB" ( C

A( DB

, (7.53)

'AB 'BC = (AC , (7.54)

'AB 'BC = ( CA

. (7.55)

Postuliamo che le componenti degli spinori di Weyl siano numeri di Grassmann,

cioe richiediamo (adel[17]):

{!A , !B } = {!A , !B } = {!A , !B } = 0, (7.56)

{4A , 4 B } = {4A , 4B } = {4 A , 4 B } = 0, (7.57)

e anti-commutano non solo tra loro, ma anche con altri numeri di Grassmann.

Possiamo calcolare l’espressione


!A4A = 'AB !B 4A = '12 !2 41 + '21 !1 42 = !2 41 " !1 42 (7.58)

che non si annulla grazie al postulato di anticommutazione. In particolare valgono

le espressioni

!A 4A = "4A !A, (7.59)

!A 4 A = "4 A !A, (7.60)

e fissiamo una volta per tutte la convenzione di somma sugli indici spinoriali

puntati e non puntati intendendo che

! 4 ( !A 4A, (7.61)

! 4 ( !A 4 A. (7.62)

Cosı, ad esempio, un’espressione del tipo !+µ4 e da intendersi come la somma

!+µ4 ( !A+µ

AA4 A. A questo punto conviene far presenti alcune relazioni utili nei

calcoli con gli spinori. Siano !, $, e 4 spinori a due componenti (Weyl), allora si

verifica che

! 4 = 4 !, (7.63)

! 4 = 4 !, (7.64)

(!4)† = 4 !, (7.65)

!+µ4 = "4 + µ!, (7.66)

(! + µ 4 )† = 4+ µ!, (7.67)

$A$B = " 1

2'AB $$, (7.68)

$A$B =1

2'AB $$, (7.69)

$A

$B

=1

2'AB $ $, (7.70)

7.5. Formule di Fierz 75

$A $B = " 1

2'AB $ $. (7.71)

7.5 Formule di Fierz

Le formule di Fierz per il riordinamento degli spinori permettono di scambiare l’ordine

tra gli spinori, all’interno di espressioni piu o meno complicate, tenendo conto della

loro natura di numeri di Grassmann. Le elenchiamo qui di seguito:

$! $4 = " 1

2$$ !4, (7.72) Fierz2

$ ! $4 = " 1

2$ $ !4, (7.73)

$! 4A =1

2$+µ4 !A+µ AA =

1

2$+µ4 (!+µ)A, (7.74)

$ ! 4A =1

2$ +µ4 !A+AA

µ =1

2$ +µ4 (! +µ)A, (7.75)

!1+µ41 !2+

"42 =1

2gµ" !1!2 4142. (7.76) Fierz

E da notare in particolare l’ultima relazione che sara molto utile nei calcoli suc-

cessivi, e si tenga presente che la metrica utilizzata e gµ" = diag(+1,"1,"1,"1).

7.6 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac)

Una fondamentale simmetria della fisica delle particelle e rappresentata dal gruppo di

Poincare delle rotazioni e traslazioni nello spazio-tempo di Minkowski, i cui generatori

soddisfano le relazioni di commutazione

[Mµ" , M,-] = "i(3µ,M"- " 3µ-M", " 3",Mµ- + 3"-Mµ,), (7.77)

[Mµ" , P,] = i(3",Pµ " 3µ,P"), (7.78)

[Pµ, P" ] = 0; (7.79)


i 6 generatori Mµ" del gruppo di Lorentz e i 4 generatori Pµ del gruppo delle

traslazioni costituiscono la base dell’algebra di Lie (del gruppo) che e uno spazio

vettoriale a dieci dimensioni.

Per costruire un’estensione dell’algebra di Poincare ad una algebra di Lie estesa

si considera:

1) L0 : algebra di Poincare

2) L1 = span {Qa} a = 1, 2, 3, 4;

3) Il prodotto L0 ! L1#L1 definito da

a) Pµ 0Qa = [Pµ, Qa] = 0,

b) Mµ" 0Qa = [Mµ" , Qa] = "(+4µ")abQb,

dove le matrici antisimmetriche +4µ" = i

4 ["µ, "" ] formano una rappresentazione 4-

dimensionale dell’algebra di Lorentz, cioe

[+4µ" , +

4,-] = "i(3µ,+

4"- " 3µ-+

4", " 3",+

4µ- + 3"-+

4µ,). (7.80)

Il punto (3.a) implica che i Q si trasformano banalmente sotto traslazioni, mentre

il punto (3.b) implica che i Q si trasformano come spinori sotto trasformazioni di

Lorentz omogenee. Si definisce il prodotto sullo spazio L1 che, in accordo con la

teoria generale delle algebre di Lie estese, deve essere simmetrico e chiuso su L0:

0 : L1 ! L1 # L0

Qa, Qb # Qa 0Qb = QaQb + QbQa = {Qa, Qb},

(7.81)

e si puo dimostrare che l’estensione corretta dell’algebra, consistentemente con

l’identita di Jacobi sui generatori Qa e Qb, richiede un prodotto L1 ! L1 dato da

{Qa, Qb} = c ("µC)ab Pµ, (7.82)

in cui il coe"ciente c e arbitrario e puo essere riassorbito nei Q. Dalla costruzione

e!ettuata e chiaro che il sottospazio L1 e generato dai Qa che costituiscono quat-

tro operatori complessi con otto componenti indipendenti, quindi sarebbe necessario

specificare i prodotti

7.6. Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Dirac) 77

Qa 0Qb = {Qa, Qb}, Qa 0Qb = {Qa, Qb}, Qa 0Qb = {Qa, Qb};

(7.83)

tuttavia ci si puo limitare al caso in cui Q sia uno spinore di Majorana (restrizione

che non modifica la struttura dell’algebra), quindi Q e Q non risultano piu indipen-

denti, e dalla condizione di Majorana Q = QC si possono dimostrare le relazioni

{Qa, Qb} = 2 ("µ)ab Pµ, (7.84) antic

{Qa, Qb} = 2 (C"1"µ)ab Pµ, (7.85)

in cui e stato scelto il coe"ciente c = "2. Quindi, in conclusione, la super-algebra

di Poincare cosı come e stata costruita risulta essere un’algebra a 14 generatori: 4

generatori delle traslazioni Pµ, 6 generatori delle trasformazioni di Lorentz Mµ" , e 4

“cariche spinoriali” Qa (spinori di Majorana) che soddisfano le seguenti relazioni:

[Mµ" , M,-] = "i(3µ,M"- " 3µ-M", " 3",Mµ- + 3"-Mµ,),

[Mµ" , P,] = i(3",Pµ " 3µ,P"),

[Pµ, P" ] = 0,

[Pµ, Qa] = 0,

[Mµ" , Qa] = "(+4µ")abQb,

{Qa, Qb} = 2 ("µ)ab Pµ,

{Qa, Qb} = 2 (C"1"µ)ab Pµ

{Qa, Qb} = "2 ("µC)ab Pµ

(7.86)

(ricordiamo che gli indici a,b corrono da 1 a 4). Infine e bene notare che se

si vuole includere nella superalgebra di Poincare una qualche simmetria interna si

deve considerare un insieme di N cariche spinoriali Q*A, Q

*A (. = 1, ..., N) dove N e


la dimensione della rappresentazione del gruppo di simmetria interna; l’algebra con

N = 1 e detta algebra supersimmetrica, mentre l’algebra con N > 1 e un’algebra

supersimmetrica estesa.

7.7 Estensione supersimmetrica dell’algebra di Poincare (Weyl)

E possibile esprimere l’anticommutatore (anticantic7.84) dell’algebra di Poincare estesa in ter-

mini di spinori a due componenti di Weyl. Ricordiamo, infatti, la stretta connessione

tra spinore di Weyl e spinore di Majorana:

Q =

%QA

QA

&; (7.87)

quindi partendo dalla (anticantic7.84) in quattro componenti

{Qa, Qb} = QaQb + QbQa = 2 ("µ)ab Pµ, (7.88)

in rappresentazione di Weyl si ottiene

%QA

QA

&8QB, QB

9+

8QB, QB

9%

QA

QA

&= 2

%0 (+µ)AB

(+µ)AB 0

&Pµ (7.89)

cioe

%QAQB + QBQA QAQB + QBQA

QAQB + QBQ

AQ

AQB + QBQ

A

&= 2

%0 (+µ)AB

(+µ)AB 0

&Pµ, (7.90)

quindi si ottengono le seguenti relazioni di anticommutazione:

{QA, QB} = 0, (7.91) prima

7.8. Operatori di Casimir 79

{QA, QB} = 2 +µ

ABPµ, (7.92)

{QA, QB} = 2 + µ ABPµ, (7.93)

{QA, QB} = 0; (7.94) ultima

inoltre utilizzando

+4µ" =

%(+2

µ")B

A 0

0 (+ 2µ")

AB

&(7.95)

(ricordiamo che + µ"2 = i

4 (+µ+ " " +"+ µ) e + µ"2 = i

4 (+µ+" " +"+µ)) allora il

commutatore [Mµ" , Qa] = " (+4µ")ab Qb diventa

[Mµ" , QA] = " (+2µ")

BA QB, (7.96)

)Mµ" , QA

*= " (+ 2

µ")AB

QB. (7.97)

7.8 Operatori di Casimir

Per poter classificare le rappresentazioni della super-algebra di Poincare identifichi-

amo gli invarianti di Casimir, i cui autovalori specificano la rappresentazione consider-

ata. Si puo verificare che P 2 = P µPµ e un operatore invariante. Inoltre consideriamo

il vettore di Pauli-Ljubanski

W µ =1

2'µ",-M",P- (7.98)

al quale sommiamo un nuovo vettore costruito come

Xµ =1

2Q"µ"5Q (7.99)

allora otteniamo


Bµ = Wµ +1

4Xµ; (7.100)

a questo punto definito il tensore

Cµ" = BµP" "B"Pµ, (7.101)

e si puo dimostrare che C2 = Cµ"Cµ" e un altro operatore invariante, cioe commuta

con tutti i generatori della super-algebra:

)C2, Qa

*= 0,

)C2, Pµ

*= 0,

)C2, Mµ"

*= 0.

(7.102)

In particolare notiamo che nel sistema a riposo Pµ = (m,/0) si puo scrivere

C2 = 2m4JkJk (7.103)

dove Jk e un momento angolare:

[Jk, Jl] = i'klmJm, (7.104)

allora J2 = JkJk e un operatore invariante, con autovalori j(j + 1) con j intero

o semi-intero. Ricapitolando abbiamo individuato i due operatori di Casimir P 2 e

C2, i cui autovalori m2 e j(j + 1) vengono usati per “etichettare” le rappresentazioni

irriducibili (e quindi i multipletti di particelle) della super-algebra di Poincare.

7.9. Superspazio 81

7.9 Superspazio

I punti nel superspazio sono le supercoordinate, ovvero le 4 coordinate xµ dello spazio-

tempo di Minkowski e 4 parametri di Grassmann costanti (indipendenti dalle xµ):

$A = 1,2 , $B = 1,2, (7.105)

che sono spinori di Weyl indipendenti che si trasformano rispettivamente sotto la

auto-rappresentazione di SL(2, C) e la sua complessa coniugata. Si puo dimostrare

che la parte della superalgebra di Poincare specificata dalle relazioni di anticommu-

tazione (primaprima7.91)#(

ultimaultima7.94) puo essere convertita nei seguenti commutatori

[ $AQA, $BQB

] = 2 $A+µ

AB$

BPµ, [ $AQA, $BQB ] = 0, [ $AQ

A, $BQ

B] = 0,

(7.106)

dove $A e $A sono numeri di Grassmann che anticommutano tra loro e anche con

le cariche spinoriali QA e QA, in questo modo possiamo lavorare con un’algebra di

Lie regolare che coinvolge solo commutatori.

7.10 Di!erenziazione rispetto alle variabili di Grassmann

Le variabili di Grassmann a causa della loro natura anticommutante sono trattate

come “oggetti” discreti, per i quali non ha senso parlare di derivata come rapporto

tra due incrementi infinitesimi; il calcolo di!erenziale e definito formalmente come

#B$A =#$A

#$B= (B

A, #B$A =#$A

#$B= ( A

B , (7.107)

#B

$A =#$A

#$B

= (BA, #B $

A=

#$A

#$B

= ( AB

; (7.108)

si verifica facilmente che


#$B

#$A=

#

#$A('BC $C) = 'BC ( C

A = 'BA, (7.109)

e analogamente per gli altri casi. Per alzare o abbassare gli indici si usa la metrica

'

'AB #

#$B= " #

#$A, 'AB

#

#$B= " #

#$A, (7.110)

'AB #

#$B

= " #

#$A

, 'AB

#

#$B

= " #

#$A

. (7.111)

Poiche $ e $ anticommutano si verifica che

:#

#$A,

#

#$B

;=

<#

#$A

,#

#$B

==

<#

#$A,

#

#$B

== 0, (7.112)

:#

#$A, $B

;= (A

B, (7.113)

<#

#$A

, $B

== (B

A, (7.114)

e siccome $ e $ sono considerate indipendenti risulta che

#$B

#$A

=#$

B

#$A= 0. (7.115)

Infine valgono le relazioni

#

#$A$$ = 2 $A, (7.116)

#

#$A

$ $ = "2 $A, (7.117)

#

#$A

#

#$A$$ = 4, (7.118)

#

#$A

#

#$A

$ $ = 4. (7.119)

7.11. Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann 83

7.11 Integrazione rispetto alle variabili di Grassmann

Siccome le variabili di Grassmann sono “oggetti” discreti l’integrale non ha il signi-

ficato di area sottesa da una curva, ma si definisce piuttosto un funzionale I che ad

ogni curva f(a), con a numero di Grassmann, associa un c-numero

>da f(a) = I[f ]. (7.120)

Poiche an = 0 per n 1 2 allora per f risulta lo sviluppo di Taylor

f(a) = f(0) + f (1) · a, (7.121)

quindi l’integrale5

da f(a) resta definito una volta assegnati

>da1 := 0, (7.122) integr1

>da a := 1, (7.123) integr2

e formalmente non c’e di!erenza tra derivare e integrare rispetto a variabili di

Grassmann, infatti

>da f(a) = f (1) =

#

#af(a). (7.124)

Considerato che un superspazio e parametrizzato non da una sola variabile di

Grassmann a ma da 4 variabili anticommutanti {$1, $2} e {$1, $

2} allora per consis-

tenza con le posizioni (integr1integr17.122) e (

integr2integr27.123) si richiede che

>d$1d$2 1 =

>d$1[

>d$21] = 0, (7.125)

>d$1d$2 $1 = "

>d$2[

>d$1$1] = "

>d$21 = 0, (7.126)


>d$1d$2 $2 =

>d$1 1 = 0, (7.127)

>d$1d$2 $1$2 = "

>d$1[

>d$2$2]$1 = "

>d$1 $1 = "1, (7.128)

(e lo stesso vale per i $), dove

{d$A, d$B} = {d$A, $B} = 0, (7.129)

{d$A, d$B} = {d$A, $B} = 0. (7.130)

Si definiscono i seguenti elementi di volume per la parte anticommutante del su-

perspazio

d2$ = "1

4d$A d$A = "1

4d$A d$B 'AB, (7.131)

d2$ = "1

4d$A d$

A= "1

4d$A d$B 'AB, (7.132)

d4$ = d2$ d2$, (7.133) elemvol

di modo che siano verificate le relazioni

>d2$ =

>d2$ = 0, (7.134)

>d2$ $A =

>d2$ $A = 0, (7.135)

>d2$ $$ = 1, (7.136)

>d2$ $ $ = 1, (7.137)

>d4$ $$ $ $ =

>d2$ d2$ $$ $ $ = 1. (7.138)

Infine risulta che le funzioni delta definite sulle variabili di Grassmann hanno

espressione

7.12. Supercampi e trasformazioni di supersimmetria 85

(2($) = $$, (7.139)

(2($) = $ $, (7.140)

(4($, $) = (2($) (2($), (7.141)

risultando implicitamente da

>d2$ f($) (2($) = f(0), (7.142)

>d2$ g($) (2($) = g(0), (7.143)

>d4$ h($, $) (4($, $) = h(0, 0). (7.144)

7.12 Supercampi e trasformazioni di supersimmetria

Un generico supercampo % e un operatore definito sul superspazio da intendersi in

termini del suo sviluppo in serie di potenze nelle variabili $ e $. Tale espansione

risulta finita per la natura anticommutante delle variabili di Grassmann:

%(x, $, $) = f(x) + $A*A(x) + $A 4A(x) + ($$) m(x) + ($ $) n(x)

+ ($+µ$) Vµ(x) + ($$)$A)A(x) + ($ $)$A!A(x) + ($$)($$) d(x),

(7.145)

e dalla richiesta che %(x, $, $) sia uno scalare (o pseudoscalare) di Lorentz risultano

fissate le proprieta di trasformazione delle componenti del supercampo: f(x), m(x),

n(x) sono funzioni scalari complesse, Vµ(x) e un quadrivettore, *A e !A sono spinori di

Weyl left-handed, 4A e )A

sono spinori di Weyl right-handed ed infine d(x) e un campo

scalare. Consideriamo tre operatori unitari che sono tre diverse rappresentazioni del

gruppo di supersimmetria su funzioni definite nel superspazio:


L(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$Q + i$ Q), (7.146)

L1(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$Q) · exp (i$ Q) (7.147)

L2(x, $, $) = exp ("ixµPµ + i$ Q) · exp (i$Q) (7.148)

in cui Pµ, Q e Q sono operatori hermitiani. Questi operatori L1, L2 ed L3 sono

tre rappresentazioni di una stessa trasformazione di supersimmetria (per dimostrarlo

si usi la formula di Campbell-Baker-Hausdor!)

L(x, $, $) = L1(xµ + i$+µ$, $, $)

= L2(xµ " i$+µ$, $, $), (7.149)

che agiscono su tre diverse definizioni di supercampo

%(x, $, $) = %1(xµ + i$+µ$, $, $)

= %2(xµ " i$+µ$, $, $), (7.150)

dove %1 e %2 rappresentano il supercampo % con coordinate bosoniche traslate.

Sotto una trasformazione finita di supersimmetria T* (con . parametro di trasfor-

mazione) i tre supercampi diventano

T*%(x, $, $) = L(0, .,.) %(x, $, $) L"1(0, .,.)

= L(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .) %(x0, $0, $0)!

L"1(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .)

= %(x" i.+$ + i$+., $ + ., $ + .), (7.151)

T*%1(x, $, $) = L1(i.+., ., .) %1(x, $, $) L"11 (i.+., ., .)


= L1(x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .) %1(x0, $0, $0)!

L"11 (x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .)

= %1(x + 2i$+. + i.+., $ + ., $ + .), (7.152)

T*%2(x, $, $) = L2("i.+., ., .) %2(x, $, $) L"12 ("i.+., ., .)

= L2(x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .) %2(x0, $0, $0)!

L"12 (x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .)

= %2(x" 2i.+$ " i.+., $ + ., $ + .), (7.153)

dove T* indica una particolare trasformazione di supersimmetria. Quindi T* che

agisce sul supercampo % corrisponde all’applicazione dell’operatore L(0, .,.), men-

tre T* per agire su %1 o su %2 richiede rispettivamente l’applicazione degli opera-

tori L1(i.+., ., .) o L2("i.+., ., .), questo perche L, L1 ed L2 corrispondono alla

stessa trasformazione ma in di!erenti rappresentazioni. Adesso consideriamo T* con

parametro di trasformazione . infinitesimo; vogliamo calcolare la variazione infinites-

ima del campo:

(S% = T*%(x, $, $ ) " %(x, $, $ )

= %(x + i$+." i.+$, $ + ., $ + .)" %(x, $, $ ). (7.154)

Sviluppando in serie di Taylor otteniamo

(S% = %(x, $, $ ) + i ($+µ." .+µ$) #µ%(x, $, $ )

+ .#

#$%(x, $, $ ) + .

#

#$%(x, $, $ ) + ....." %(x, $, $ )

=

:.

#

#$+ .

#

#$+ i ($+µ." .+µ$)#µ + ...

;%(x, $, $ ) (7.155) Qgen

e poiche al primo ordine si ha


L(0, .,.) = exp (i.Q + i . Q) 2 1 + i.Q + i . Q,

L"1(0, .,.) = exp ("i.Q" i . Q) 2 1" i.Q" i . Q,

allora risulta che

(S% = (1 + i.Q + i . Q) %(x, $, $) (1" i.Q" i . Q)" %(x, $, $)

= i [ . Q, %(x, $, $ ) ] + i [ . Q, %(x, $, $ ) ] (7.156)

e si verifica che, al primo ordine, la variazione del campo diventa

(S% = i.Q %(x, $, $) + i . Q %(x, $, $) =?

i .A QA + i .A QA

@%(x, $, $). (7.157)

Allora dal confronto con la (QgenQgen7.155) si ottengono le seguenti espressioni per i

generatori Q e Q:

QA = "i (#A " i +µ

AB$

B#µ), (7.158)

QA

= "i ( #A " i + µ AB$B#µ). (7.159)

Allo stesso modo si puo procedere per i supercampi di tipo %1 e %2 e si ottengono

le rappresentazioni di!erenziali per i generatori di tipo 1 e 2

Q(1)A = " i

#

#$A, (7.160)

Q(1)

A = " i

'#

#$A

" 2 i $A+µ

AB'BA#µ

(, (7.161)

Q(2)A = " i

"#A " 2 i +µ

AB$

B#µ

#, (7.162)

Q(2)

A = i #A. (7.163)


Per concludere calcoliamo le leggi di trasformazione delle componenti di super-

campo rispetto a trasformazioni di supersimmetria; la variazione di un supercampo e

associata alle variazioni delle sue componenti

(S%(x, $, $) =).A#A + .A#A + i$+µ.#µ " i.+µ$#µ

*%(x, $, $)

= (Sf(x) + $A(S*A(x) + $A(S4 A(x) + ($$) (Sm(x)

+ ($ $) (Sn(x) + ($+µ$) (SVµ(x) + ($$)$A (S)A(x)

+ ($ $)$A(S!A(x) + ($$)($ $) (Sd(x), (7.164)

che, esplicitamente, risultano essere

(Sf(x) = .*(x) + . 4(x),

(S*(x) = 2 .Am(x) + (+µ.)A{i#µf(x) + Vµ(x)},

(S4 A(x) = 2 . An(x) + (.+µ')A{i#µf(x)" Vµ(x)},

(S m(x) = . )(x)" i

2#µ*(x)+µ.,

(S n(x) = .!(x) +i

2.+µ#µ4(x),

(SVµ(x) = .+µ)(x) + !(x)+µ. +i

2.#µ*(x)" i

2#µ4(x).,

(S)A(x) = 2 . Ad(x) +

i

2. A#µVµ(x) + i(.+µ')A#µm(x),

(S!A(x) = 2.Ad(x)" i

2.A#µVµ(x) + i(+µ.)A#µn(x),

(Sd(x) =i

2#µ

8!(x)+µ." )(x)+µ.

9.

(7.165) d

Si noti che la variazione del campo d(x), cioe della componente di ordine piu alto

nello sviluppo del generico supercampo %, e una derivata totale spazio-temporale,

allora per il teorema della divergenza l’integrale spazio-temporale di questa quantita

risulta automaticamente invariante sotto trasformazioni di supersimmetria poiche ab-

biamo a che fare con un integrale di superficie che si annulla, se i campi decrescono con


su"ciente rapidita all’infinito. Questa considerazione e di fondamentale importanza

nella costruzione di una densita di lagrangiana super-simmetrica invariante, come si

vedra in seguito.

7.13 Supercampi chirali

Definiamo la derivata covariante per un supercampo %(x, $, $) come

DA = #A + i +µ

AB$

B#µ, (7.166)

DA = 'ABDB = " #A " i $C + µ CA #µ, (7.167)

DA = " #A " i $B+µ

BA#µ, (7.168)

DA

= 'AB DB = #A

+ i + µ AC $C #µ, (7.169)

e per supercampi %1(x, $, $) e %2(x, $, $)

D(1)A = #A + 2 i +µ

AB$

B#µ, (7.170)

D(1)

A = " #A, (7.171)

D(2)A = #A, (7.172)

D(2)

A = " #A " 2 i $B+µ

BA#µ. (7.173)

Queste appena definite sono derivate “covarianti” nel senso che risultano invarianti

sotto trasformazioni di supersimmetria, ovvero

[DA, (S] %(x, $, $) = 0, [ DA, (S ] %(x, $, $) = 0,!D(1)

A , (S

$%1(x, $, $) = 0, [ D

(1)

A , (S ] %1(x, $, $) = 0,

!D(2)

A , (S

$%2(x, $, $) = 0, [ D

(2)

A , (S ] %2(x, $, $) = 0.

7.13. Supercampi chirali 91

E da notare la proprieta D3 = D3

= 0. In termini delle derivate covarianti si

possono definire i seguenti operatori di proiezione (sono idempotenti e si sommano

ad uno)

&+ := " 1

16 #2D

2D2, &" := " 1

16 #2D2D

2, (7.174)

che soddisfano i vincoli

D&+ = 0, D&" = 0. (7.175)

poiche, come abbiamo gia notato, vale che D3 = D3

= 0. I supercampi che

soddisfano i seguenti vincoli

%" = &+%, %+ = &"%, (7.176)

sono definiti, rispettivamente, come supercampi chirali left- e right-handed, e sono

tali che

D %" = 0, D %+ = 0. (7.177)

Per trovare l’espressione esplicita di un supercampo chirale left-handed e!ettuiamo

il cambiamento di variabili

yµ = xµ + i $+µ$,

$!A = $A, $ !A

= $A; (7.178)

in termini di questo nuovo set di variabili le derivate covarianti diventano

DA # D(1)A = #A + 2 i +µ

AA$

A #

#yµ, (7.179)

DA # D(1)

A = " #A, (7.180)


e siccome per un generico supercampo vale che

%(x, $, $ ) = %(y " i$+$, $, $ ) ( %1(y, $, $ ) (7.181)

allora per un supercampo left-handed che deve soddisfare il vincolo D(1)

A %1(y, $, $) =

" )

)!A%1(y, $, $) = 0 risulta che %1(y, $, $) ( %1(y, $), e lo sviluppo diventa semplice-

mente

%1(y, $) = A(y) +&

2 $ !(y) + ($$) F (y), (7.182)

dove A(y) ed F (y) sono dei campi scalari complessi, e ! e uno spinore left-handed.

Espandendo le componenti A, ! e F in termini dell’argomento yµ = xµ + i $+µ$

otteniamo

%1(y, $) = A(y) +&

2 $ !(y) + ($$) F (y)

= A(x + i$+$) +&

2 $ !(x + i$+$) + ($$) F (x + i$+$)

= A(x) + i ($+µ$)#µA(x)" 1

2($+µ$)($+"$)#

µ#"A(x)

+&

2$!(x) +&

2 i $A($+µ$)#µ!A(x) + $$F (x)

= A(x) + i ($+µ$)#µA(x)" 1

4($$)($ $)#2A(x)

+&

2 $ !(x) +i&2

($$) $A#µ!A(x)+µ

AB'BA + ($$)F (x)

( %"(x, $, $). (7.183)

Per il supercampo chirale right-handed %+ introduciamo le nuove variabili

zµ = xµ " i $+$,

$!A = $A, $ !A

= $A, (7.184)

allora le derivate covarianti diventano

7.14. Supercampi vettoriali 93

DA # D(2)A = #A,

DA # D(2)

A = " #A " 2 i $A+µ

AA

#

#zµ; (7.185)

siccome per un generico supercampo vale che

%(x, $, $ ) = %(z + i$+$, $, $ ) ( %2(z, $, $ ) (7.186)

allora per un supercampo right-handed che deve soddisfare il vincolo D(2)A %2(z, $, $) =

" ))!A %2(z, $, $) = 0 risulta che %2(z, $, $) ( %2(z, $), e lo sviluppo diventa semplice-

mente

%2(y, $) = A$(z) +&

2 $ !(z) + ($ $) F $(z), (7.187)

dove ! e uno spinore right-handed; sviluppando le componenti di argomento zµ =

xµ " i $+$ si ottiene

%2(z, $) = A$(x)" i ($+µ$)#µA$(x)" 1

4($$)($ $)#2A$

+&

2 $ !(x)" i

2($ $)$+µ#µ!(x) + ($ $)F $(x)

( %+(x, $, $). (7.188)

I campi %" e %+ sono uno l’hermitiano coniugato dell’altro e appartengono a due

rappresentazioni diverse: %" e un supercampo di tipo 1, %+ di tipo 2.

7.14 Supercampi vettoriali

Un supercampo vettoriale soddisfa la condizione di realta


V (x, $, $ ) = V †(x, $, $ ) (7.189)

in cui V e V † sono definiti dallo sviluppo in serie di potenze delle variabili $ e $,

infatti per V vale lo sviluppo

V (x, $, $) = C(x) + $*(x) + $ *(x) + $$M(x) + $ $M$(x)

+ $+µ$Vµ(x) + ($$)$ )(x) + ($ $)$)(x) + ($$)($ $)D(x), (7.190)

con C(x) e D(x) campi reali scalari, Vµ(x) campo vettoriale reale, ) e * campi

spinoriali ed M(x) campo scalare complesso. Un esempio di supercampo vettori-

ale e il prodotto di un supercampo chirale right-handed per un supercampo chirale

left-handed, infatti e soddisfatta la condizione di realta (%+%")† = %+%" (si deve

ricordare che %+ = %†"). Anche la somma %+ + %" e un supercampo vettoriale,

infatti

(%+ + %")† = %†+ + %†

" = %" + %+, (7.191)

dove

%+ + %" = A(x) + A$(x) +&

2 $ !(x) +&

2 $ !(x) + ($$) F (x) + ($ $) F $(x)

+ i $+µ$ #µ[ A(x)" A$(x) ]" i&2

($$) $ +µ#µ!(x)

" i&2

($ $) $+µ#µ!(x)" 1

4($$)($ $) #2[ A(x) + A$(x) ]. (7.192) somma

Sfruttando la proprieta che un campo right-handed %+ e l’hermitiano coniugato

del campo left-handed %" d’ora in poi possiamo snellire la notazione indicandoli

rispettivamente come %+ e %.

7.15 Intensita di campo supersimmetrica abeliana

La generalizzazione supersimmetrica di una trasformazione di gauge e data da

7.15. Intensita di campo supersimmetrica abeliana 95

V (x, $, $) # V !(x, $, $) = V (x, $, $) + %(x, $, $) + %+(x, $, $)

( V (x, $, $) + i(#(x, $, $)" #+(x, $, $)) (7.193) trasfg

dove % ( i# e un supercampo chirale. Consideriamo una particolare scelta per il

campo vettoriale V = V †:

V (x, $, $) = C(x) + $*(x) + $ *(x) + ($$)M(x)

+ ($ $)M$(x) + $+µ$Vµ(x) + ($$)$

')(x)" i

2+µ#µ*(x)

(

+ ($ $)$

')(x)" i

2+µ#µ*(x)

(+ ($$)($ $)

'D(x)" 1

4#2C(x)

(

(7.194)

tale che sotto trasformazioni di gauge (trasfgtrasfg7.193) le componenti ) e D siano invarianti,

infatti utilizzando la (sommasomma7.192) si verifica che

C(x) # C !(x) = C(x) + A(x) + A$(x),

*(x) # *!(x) = *(x) +&

2 !(x),

M(x) # M !(x) = M(x) + F (x),

Vµ(x) # V !µ(x) = Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)),

)(x) # )!(x) = )(x),

D(x) # D!(x) = D(x),

(7.195)

quindi il campo vettoriale Vµ(x) si trasforma in

Vµ(x) # V !µ(x) = Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)) (7.196)


che corrisponde ad una trasformazione di gauge abeliana. Inoltre possiamo costru-

ire il tensore associato Fµ" = #µV""#"Vµ che risulta invariante sotto trasformazioni di

gauge supersimmetriche (trasfgtrasfg7.193), in completa analogia con la teoria di gauge abeliana

dell’elettromagnetismo. La scelta di gauge di Wess-Zumino consiste nel considerare

un particolare campo chirale % tale che le componenti C !, *! ed M ! del supercampo

vettoriale trasformato V ! si annullino, e in tal caso si ottiene

VWZ(x, $, $) = $+µ$ [ Vµ(x) + i#µ(A(x)" A$(x)) ] + ($$) $ )(x) + ($ $) $)(x)

+ ($$)($ $) D(x), (7.197)

in cui Vµ rappresenta il campo di gauge e ) e il suo partner supersimmetrico

detto in generale “gaugino” (ma in particolare per una teoria abeliana prende il nome

di “fotino”), mentre D e un campo ausiliario. La gauge di Wess-Zumino non fissa

completamente la liberta di gauge poiche non stabilisce alcuna condizione sulla parte

immaginaria del campo scalare A responsabile dello “shift” del campo vettoriale Vµ;

con la scelta ImA = 0 si ottiene

VWZ(x, $, $) = $+µ$Vµ(x) + ($$)$ )(x) + ($ $)$)(x) + ($$)($ $) D(x). (7.198)

La scelta di gauge alla Wess-Zumino e di particolare utilita nel calcolo delle potenze

del campo vettoriale VWZ poiche risulta che

V 2WZ =

1

2$$ $ $ VµV

µ (7.199)

in cui e stata usata la relazione (FierzFierz7.76), quindi vale anche che

V 3WZ = 0 (7.200) WESS

poiche $3 = 0. In seguito la scelta di Wess-Zumino risultera molto utile nella

costruzione delle teorie di gauge supersimmetriche in cui si dovranno calcolare termini

esponenziali del tipo eV , che si semplificano in

7.16. Lagrangiana e azione dai campi chirali 97

eV ( 1 + V +1

2V 2 = 1 + $+µ$Vµ + $$ $ ) + $ $ $) + $$ $ $(D +

1

4VµV

µ) (7.201)

L’intensita di campo supersimmetrica per un supercampo vettoriale V (x, $, $) e

costruita come

WA = " 1

4(D D)DA V (x, $, $), (7.202)

W A = " 1

4(DD)DA V (x, $, $), (7.203)

dove WA e W A sono rispettivamente un supercampo chirale left-handed e right-

handed. Per semplificare il calcolo dello sviluppo in componenti di questi due super-

campi chirali esprimiamo WA nelle coordinate (y, $, $) e W A nelle coordinate (z, $, $),

allora nella gauge di Wess-Zumino per il supercampo vettoriale V si calcolano le

seguenti espansioni in componenti:

WA(y, $) = )A(y) + 2 D(y) $A + (+µ"$)AFµ"(y)" i ($$) +µ

AB#µ)

B(y) , (7.204) int1

W A(z, $) = )A(z) + 2 D(z) $A " 'AB(+µ"$)BFµ"(z) + i ($$) (#µ)(z)+µ)A , (7.205) int2

e poiche questi sviluppi in componenti contengono solo i campi D, ) e il tensore

Fµ" che sono invarianti supersimmetrici di gauge allora, evidentemente, anche WA e

W A risultano invarianti sotto le trasformazioni di gauge (trasfgtrasfg7.193).

7.16 Lagrangiana e azione dai campi chirali

Abbiamo gia evidenziato (vedi (dd7.165)) che nello sviluppo di un supercampo la com-

ponente di ordine piu alto ($$ $ $) si trasforma come una derivata totale sotto trasfor-

mazioni di supersimmetria, quindi il suo integrale sullo spazio-tempo e invariante

sotto tali trasformazioni. Allora si consideri l’ azione

I =

>d4x

>d4$ L (

>d4x

>d2$ d2$ L, (7.206)


in cui l’elemento di volume e stato gia indicato nella (elemvolelemvol7.133). Per costruire un

accoppiamento supersimmetrico calcoliamo il prodotto tra supercampi e selezioniamo

la componente di ordine piu alto dello sviluppo. Considerando i, j = 1, 2, .., N campi

chirali si ottiene la piu generica lagrangiana rinormalizzabile supersimmetrica

L = %+i %i +

'gi%i +

1

2mij%i%j +

1

3)ijk%i%j%k

((2($)

+

'g$i %

+i +

1

2m$

ij%+i %+

j +1

3)$ijk%

+i %+

j %+k

((2($)

( %+i %i +

+'gi%i +

1

2mij%i%j +

1

3)ijk%i%j%k

((2($) + h.c.

,. (7.207) lagrsup

L’azione, quindi, puo essere scritta come la somma di un termine cinetico, uno di

massa e uno di interazione:

Icin =

>d4x

>d4$ %+

i %i, (7.208)

Imass =1

2

>d4x

>d2$ mij %i%j, (7.209)

Iint =1

3

>d4x

>d2$ )ijk %i%j%k, (7.210)

dove gli accoppiamenti mij ed )ijk sono simmetrici negli indici. Possiamo riorga-

nizzare i termini in

L = Lcin + Lpot, (7.211)

in cui

Lcin = %+i %i

333!! ! !

, (7.212)

Lpot =

'gi%i +

1

2mij%i%j +

1

3)ijk%i%j%k

(333!!

+

'g$i %

+i +

1

2m$

ij%+i %+

i +1

3)$ijk%

+i %+

j %+k

(333! !

, (7.213)

7.17. Lagrangiana e azione dai campi vettoriali 99

dove i pedici indicano che, nell’azione, l’integrale in d4$ = d2$d2$ rimuove le fun-

zioni delta lasciando solo il coe"ciente del termine di ordine appropriato dell’espansione

in serie di potenze. Quindi, in conclusione, si scrive l’azione nella forma

I =

>d4x

>d4$

A%+

i %i +)W [%] (2($) + W [%†] (2($)

*B, (7.214)

in cui e stato introdotto il funzionale W [%] detto superpotenziale; esso e un poli-

nomio nei supercampi al massimo di ordine tre (requisito di rinormalizzabilita).

7.17 Lagrangiana e azione dai campi vettoriali

La generalizzazione supersimmetrica del tensore del campo elettromagnetico e data

dai campi chirali WA e W A. La generalizzazione supersimmetrica gauge-invariante

dell’azione di una pura teoria di gauge abeliana e

I =

>d4x

>d4$

?WAWA ( 2($) + W AW

A( 2($)

@. (7.215)

Partiamo dagli sviluppi (int1int17.204) e (

int2int27.205) e calcoliamo i prodotti WAWA e W AW

A

che dipenderanno rispettivamente dalle variabili (y, $) e (z, $). Nella costruzione

dell’integrale d’azione dobbiamo prendere in considerazione che la componente ($$)

di WAWA resta invariata sotto il cambiamento di coordinate yµ#xµ, e lo stesso vale

per la componente $$ del prodotto W A WA

sotto il cambiamento zµ#xµ, quindi le

componenti che ci interessano possono essere scritte in x, e si trova che

($$) WAWA

333!!

= $$ [ 4D2(x)" 2i)(x)+µ#µ)(x)" 1

2Fµ"(x)F µ"(x)" i

2Fµ"(x)F µ" $(x)],

($ $) W AWA333! !

= $ $ [ 4D2(x) + 2i#µ)(x)+µ)(x)" 1

2Fµ"(x)F µ"(x) +

i

2Fµ"(x)F µ" $(x)].

Questo significa che l’azione diventa esplicitamente

I =

>d4x [ 8D2(x)" Fµ"(x)F µ"(x)" 4i)(x)+µ#µ)(x) ]. (7.216)


7.18 Teorie di gauge supersimmetriche

Per un gruppo di gauge U(1) definiamo la trasformazione globale del generico campo

scalare %i come

%!i = e"iqi& %i (7.217)

dove qi sono le cariche dei supercampi e ) e l’angolo di rotazione. Poiche una

costante e un caso particolare di supercampo scalare si verifica che DA) = DA) = 0,

quindi il supercampo trasformato %!i essendo un prodotto di supercampi scalari e

ancora scalare, cioe DA %!i = 0. Si verifica che sotto una trasformazione U(1) globale la

lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) risulta invariante. Per trasformazioni di fase U(1) locali dobbiamo

considerare la funzione dello spazio-tempo ) = )(x), quindi

%!i = e"iqi&(x) %i, (7.218)

ma allora %!i non e piu un supercampo scalare poiche

DA %!i = "iqiDA()(x)) e"iqi&(x) %i %= 0. (7.219)

A"nche %!i risulti un supercampo scalare, cioe soddisfi il vincolo DA%!

i = 0,

dobbiamo introdurre una # = #(x, $, $ ) tale che

DA #(x, $, $ ) = 0, (7.220)

ovvero # deve essere un supermultipletto scalare. Quindi per ottenere una simme-

tria U(1) locale siamo costretti ad introdurre un nuovo supercampo scalare #(x, $, $),

cosı la trasformazione U(1) locale e identificata da

% !i = e"iqi!(x,!,!) %i , DA#(x, $, $) = 0;

%! †i = %†

i eiqi!†(x,!,!) , DA#†(x, $, $) = 0.

(7.221)

7.18. Teorie di gauge supersimmetriche 101

Pero la lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) non e invariante sotto questa trasformazione, poiche

il termine cinetico diventa

L!cin = %!+i %!

i

333!! ! !

= eiqi(!†"!)%+i %i

333!! ! !

%= %+i %i. (7.222)

Per ottenere un termine cinetico invariante introduciamo un supercampo che ne

compensi la trasformazione. Si considera, infatti, un supercampo vettoriale V (x, $, $)

che sotto trasformazioni di gauge supersimmetriche diventa

V !(x, $, $) = V (x, $, $) + i [ #(x, $, $)" #†(x, $, $) ], (7.223) ldt

allora il termine cinetico gauge-invariante viene costruito come

Lcin = %+i eqiV %i

333!! ! !

. (7.224)

In definitiva l’azione supersimmetrica U(1) gauge-invariante e data da

I =

>d4x

>d4$ {WAWA (2($) + W AW

A(2($)

+ %†i eqiV %i + W [$] (2($) + W [%†] (2($)}. (7.225)

La costruzione di una derivata gauge-covariante per una teoria di gauge non

abeliana e analoga al caso abeliano. Sia G il gruppo di gauge non abeliano con

algebra di Lie g, allora gli elementi di base dell’algebra di Lie sono gli operatori her-

mitiani Ta, a = 1, 2, ..N dove N e la dimensione di g. Sia U(g) una rappresentazione

unitaria del gruppo di simmetria interna G con g . G, allora i supercampi % e %† si

trasformano in

%! = U(g) %, %! † = %† U †(g), (7.226)

cioe esplicitamente


%!i = Uij(g) %j, %! †

i = %†j U †

ji(g), (7.227)

dove gli indici i, j corrono da 1 alla dimensione della rappresentazione. Un ele-

mento g . G e rappresentato da

g = e"i !aTa (7.228)

dove i T a sono i generatori, allora per la rappresentazione U(g) abbiamo

U(g) = U(e"i !aTa) ( e"i! (7.229)

dove # e una matrice quadrata di dimensione quella della rappresentazione, data

da

# ij = (#a(Ta) ij), (7.230)

cioe le matrici ((Ta)ij) sono i generatori Ta dell’algebra di Lie g nella particolare

rappresentazione. Quindi la generalizzazione ad una trasformazione di fase globale

non abeliana e

%! = e"i! %, %! † = %† ei!†(7.231)

dove

DA# = 0, DA#† = 0, (7.232)

in modo che il supercampo chirale rimanga chirale anche dopo la trasformazione.

La lagrangiana (lagrsuplagrsup7.207) e invariante sotto trasformazioni di gauge locali non abeliane

purche si generalizzi la legge di trasformazione (ldtldt7.223) del supercampo vettoriale in

7.18. Teorie di gauge supersimmetriche 103

eV "= e"i !†

eV ei !, V ij = V a(Ta)ij, (7.233)

cosı l’espressione

Tr [ %†eV % ] (7.234)

e invariante sotto trasformazioni di gauge non abeliane. L’estensione supersim-

metrica dell’intensita di campo, in analogia al caso abeliano, adesso e

WA = "1

4D D e"V DA eV (7.235)

W A = "1

4DD e"V DA eV , (7.236)

dove il supercampo vettoriale V e una matrice

Vij = V a(Ta)ij (7.237)

e i Ta sono i generatori nella rappresentazione aggiunta.

105

Capitolo 8

Modello Standard supersimmetricominimale

Le estensioni supersimmetriche del Modello Standard rientrano in due tipologie: pos-

sono essere estensioni minimali, cioe contenenti un minimo numero di parametri e

campi necessario a descrivere leptoni e quarks, oppure possono essere non minimali

e in questo caso aumenta il numero di parametri e campi ma, tipicamente, senza il

conforto di un significativo aumento del potere predittivo della modello. Tra le varie

estensioni del Modello Standard quella con piu alta predittivita e rappresentata dal

Modello Standard supersimmetrico minimale. Questo modello e costruito sul gruppo

di gauge SU(3)! SU(2)! U(1).

8.1 Supercampi

Tutti i campi leptonici del Modello Standard sono “promossi” a supercampi chirali e,

per ogni generazione, organizziamo i supercampi leptonici left-handed in un doppietto

di SU(2)

L(x, $, $) =

%,l(x, $, $)

l(x, $, $ )

&

L

= L(x) + i$+µ$#µL(x) " 1

4$$ $ $ #µ#µL(x) +

&2 $L(x)

106 Capitolo 8. Modello Standard supersimmetrico minimale

+i&2$$ $ +µ#µL(x) + $$FL(x),

(8.1)

in cui L rappresenta le componenti fermioniche (doppietto di spinori di Weyl a due

componenti) ed L i superpartners bosonici (sleptoni), mentre FL e il campo ausiliario

leptonico, secondo la notazione

L =

%L1

L2

&, L =

%L1

L2

&, FL =

%f "

f l

&, (8.2)

(gli apici numerano le componenti dei doppietti). I supercampi leptonici right-

handed sono invece organizzati in un singoletto di SU(2) (come nel Modello Standard

si assumono neutrini solo left-handed):

E(x, $, $) = lR(x)

= E(x) + i $+µ$ #µE(x) " 1

4$$ $ $ #µ#µE(x) +

&2$E(x)

+i&2

$$ $+µ#µE(x) + $$FE(x),

(8.3)

in cui E sono le componenti fermioniche (spinore di Weyl a due componenti),

mentre E sono le componenti bosoniche; il campo ausiliario e indicato con FE. I

doppietti di supercampi scalari di Higgs sono

H1(x, $, $) =

%H1

1 (x, $, $)

H21 (x, $, $)

&

= H1(x) + i $+µ$ #µH1(x) " 1

4$$ $ $ #µ#µH1(x)

+&

2 $H1(x) +i&2

$$ $+µ#µH1(x) + $$ F1(x),

(8.4)

8.1. Supercampi 107

H2(x, $, $) =

%H1

2 (x, $, $)

H22 (x, $, $)

&

= H2(x) + i $+µ$ #µH2(x) " 1

4$$ $ $ #µ#µH2(x)

+&

2 $H2(x) +i&2

$$ $+µ#µH2(x) + $$ F2(x),

(8.5)

in cui le componenti bosoniche Hi, i relativi superpartners fermionici Hi (Higgsini,

spinori di Weyl a due componenti) e i campi ausiliari sono espressi come

H1 =

%H1

1

H21

&, H1 =

%H1

1

H21

&, F1 =

%F 1

1

F 21

&, (8.6)

H2 =

%H1

2

H22

&, H2 =

%H1

2

H22

&, F2 =

%F 1

2

F 22

&; (8.7)

le componenti “in alto” di H1 sono neutre mentre le componenti “in basso” hanno

carica -1, mentre per H2 le prime componenti hanno carica +1 e le seconde sono

neutre. Analogamente organizziamo i quark in doppietti di SU(2) left-handed

Q(x, $, $) =

%ul(x, $, $)

dl(x, $, $)

&

L

= Q(x) + i $+µ$ #µQ(x) " 1

4$$ $ $ #µ#µQ(x) +

&2 $Q(x)

+i&2

$$ $+µ#µQ(x) + $$ FQ(x),

(8.8)

e in singoletti right-handed

u(x, $, $) = uR(x, $, $) = u(x) + i $+µ$ #µu(x)


" 1

4$$ $ $ #µ#µu(x) +

&2 $ u(x) +

i&2

$$ $+µ#µu(x) + $$ Fu(x),

(8.9)

d(x, $, $) = dR(x, $, $) = d(x) + i $+µ$ #µd(x)

" 1

4$$ $ $ #µ#µd(x) +

&2 $ d(x) +

i&2

$$ $+µ#µd(x) + $$ Fd(x).

(8.10)

I supercampi vettoriali di gauge relativi a SU(3), SU(2) e U(1) presentano la

seguente espansione nella gauge di Wess-Zumino

U l(x, $, $) = " $+µ$ U lµ(x) + i $$ $ )

l(x) " i $ $ $)l(x) +

1

2$$ $ $ Dl(x),

V a(x, $, $) = " $+µ$ V aµ (x) + i $$ $ )

a(x) " i $ $ $)a(x) +

1

2$$ $ $ Da(x),

V !(x, $, $) = " $+µ$ V !µ(x) + i $$ $ ) !(x) " i $ $ $)!(x) +

1

2$$ $ $ D !(x),

(8.11)

e sull’algebra dei generatori dei tre gruppi di Lie indichiamo gli sviluppi

V ! = V !Y, (8.12)

V = V aT a (a = 1, 2, 3), (8.13)

U = U lSl (l = 1, ...8); (8.14)

U lµ , V a

µ e V !µ sono i bosoni di gauge mentre )l , )a e )! sono i loro superpartners

(gaugini) ovvero spinori di Weyl a due componenti; i campi D sono ausiliari.

8.2 Lagrangiana supersimmetrica

La lagrangiana supersimmetrica e costituita da una parte invariante sotto trasfor-

mazioni di supersimmetria LSusy e da una parte cui compete la rottura della super-

8.2. Lagrangiana supersimmetrica 109

simmetria Lsoft che consiste nella somma di termini di massa scalari L1 e di termini

di massa di gauge L2:

L1 = ">

d4$ [ M2LL†L + m2

EE†E + M2QQ†Q + m2

uu†u + m2

d d †d

+ m21H

†1H1 + m2

2H†2H2 " m2

3%ij(H i

1Hj2 + h.c.) ] (4($, $), (8.15) smt

L2 =1

2

>d4$ [ (MW a *W a

* + M !W !*W !* + MlW

l *W l*) + h.c. ] (4($, $), (8.16)

in cui, ad esempio, M2LL†L = m2

" , †, + m2ll †LlL .

LSusy e data dalla somma dei termini cinetici dei campi leptonici, adronici, di

gauge, di Higgs e comprende i termini di superpotenziale:

LSusy = LLepton + LQuark + LGauge + LHiggs

=

>d4$ [ L†e 2gV +g"V "

L + E†e g"V "E ]

+

>d4$ [ Q†e g U+2gV +g"V "

Q + u†e g U+g"V "u + d †e g U+g"V "

d ]

+1

4

>d4$ [ W a*W a

* + W !*W !* + W l*W l

* ] (2($) + h.c.

+

>d4$ [ H†

1e2gV +g"V "

H1 + H†2e

2gV +g"V "H2 + W (2($) + W (2($)],

(8.17)

dove, rispettivamente, g!, g e g sono le cariche dei gruppi U(1), SU(2) e SU(3).

Le intensita di campo per i tre gruppi di gauge sono

W !* = "1

4D D D*V !,

W SU(2)* = " 1

8gD D e"2gV D*e2gV ,

W SU(3)* = " 1

4gD D e"gUD* e gU .

(8.18)


Il superpotenziale W e un polinomio nei campi al massimo di ordine tre (rinor-

malizzabilita) nel quale distinguiamo due diversi contributi:

W = WHiggs + WY ukawa

= µ %ijH i1H

j2 + %ij [ fH i

1LjE + f1H

i1Q

j d + f2Hj2Q

iu ] (8.19)

dove µ e un parametro di massa ed f , f1 ed f2 sono costanti di accoppiamento di

Yukawa.

8.3 Espansione in componenti di LSoft

Poiche l’integrazione in d4$ = d2$d2$ di una funzione moltiplicata per una (4($, $) ($2 $

2proietta la componente di ordine zero nelle variabili di Grassmann, allora (

gates[18],

freund[19]) per i termini di massa degli scalari (

smtsmt8.15) otteniamo

L1 = "M2LL†L"m2

EE†E "m21H

†1H1 "m2

2H†2H2

+ m23%

ij(H i1H

j2 + h.c.) " M2

QQ†Q"m2uu

†u"m2dd

†d, (8.20)

dove M2LL†L = m2

" , †, + m2ll †l . Per trovare i termini di massa di gauge es-

plicitiamo in componenti i prodotti W a*W a* , W !*W !

* e MlW l *W l*; per semplificare

i calcoli lavoriamo nella base di coordinate y = x + i$+$ in cui la derivata covariante

assume l’espressione

D*(y, $, $) =#

#$*+ 2i+µ

**$* #

#yµ, D* = " #

#$* . (8.21)

Nella nuova base, scelta la gauge di Wess-Zumino, si ottiene

V a(y " i$+$, $, $) = " $+µ$ V aµ (y) + i $$ $ )

a(y)" i $ $ $)a(y)

+1

2$$ $ $ [Da(y) + i#µV a

µ (y)], (8.22)

8.4. Espansione in componenti di LSusy 111

allora si ha lo sviluppo

W* = " 1

8gD D e"2gV D*e2gV

= " 1

8gD D

'1" 2gV " 1

2(2g)2V V

(D*

'1 + 2gV +

1

2(2g)2V V

(

= " 1

8gD D(1" 2gV aT a " 2g2V aV bT aT b)!

'#

#$*+ 2i+µ

**$* #

#yµ

(!

(1 + 2gV aT a + 2g2V aV bT aT b)

= T a[i)a* " $*Da + (+µ")+

*$+V aµ" " $2+µ

**(#µ)*a " gfabcV b

µ)*c

)] = T aW a* , (8.23)

avendo introdotto la usuale intensita di campo non abeliana

V cµ" = #µV" " #"Vµ " gfabcV a

µ V b" . (8.24)

Per cui facendo il prodotto W*aW a* , moltiplicando per (4($, $) ed integrando in

d4$, e facendo lo stesso per W !*W !* e per W l *W l

*, si ottiene esplicitamente

L2 = "M

2()a)a + )

a)

a)" M !

2()!)! + ) !) !)" Ml

2()l)l + )

l)

l). (8.25)

8.4 Espansione in componenti di LSusy

Per calcolare LSusy esplicitiamo il termine cinetico relativo ai quarks:

>d4$ Q†e gU+2gV +g"V "

Q, (8.26) cineQ

da questo si ricavano i termini cinetici dei supercampi di Higgs e dei Leptoni

ponendo la carica di SU(3) g = 0, e per i singoletti di SU(2) si deve porre a zero

anche la carica g.

Si sviluppa in serie l’esponenziale e g U + 2 g V + g" V ", ricordando che lavoriamo nella

gauge di W-Z quindi vale la (WESSWESS7.200), poi moltiplichiamo per lo sviluppo di Q† a sinistra


e per lo sviluppo di Q a destra, infine proiettiamo le componenti $$ $ $ per e!ettuare

l’integrale in d4$ e otteniamo il risultato

>d4$ Q†e g U+2gV +g"V "

Q = #µQ†#µQ +1

2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q

+1

2Q†(2g2T aT bV aµV b

µ + 2gg!Y T aV aµV !µ + gg!Y SlU lµV !

µ + 2ggU lµSlT aV aµ

+1

2g2U lµUm

µ SlSm +1

2g ! 2Y 2V !µV !

µ)Q" i

2Q†(2gT aV a

µ

+ g!Y V !µ + gU l

µSl)#µQ +

i

2#µQ†(2gT aV a

µ + g!Y V !µ + gU l

µSl)Q

+i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + g)lSl)Q" i Q+ µ#µQ"

i&2Q(2gT a)

a

+ g!Y )!+ g)

lSl)Q +

1

2Q+ µ(2gT aV a

µ + g!Y V !µ + gU l

µSl)Q + F †

QFQ (8.27)

L’espressione puo essere semplificata definendo la derivata covariante

Dµ = #µ + igT aV aµ + ig!

Y

2V !

µ + igSl

2U l

µ (8.28)

allora il termine cinetico diventa

>d4$ Q†e g U+2gV +g"V "

Q

= (DµQ)†(DµQ)" iQ+ µDµQ

+1

2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q +

i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + gSl)l)Q

" i&2Q(2gT a)

a+ g!Y )

!+ gSl)

l)Q + F †

QFQ + t.d. (8.29)

dove t.d. indica derivate spaziali totali che si annullano nell’integrale d’azione

per il teorema della divergenza. Per l’espansione del superpotenziale basta notare che

compaiono termini con prodotti di due o tre supercampi chirali che possiamo calcolare

nella base di coordinate (y, $, $) e per e!ettuare l’integrazione richiesta ne prendiamo

le componenti "$$ ottenendo


>d4$

)W (2($) + W (2($)

*

=

>d4$ [ µ%ijH i

1Hj2 + %ij(fH i

1LjE + f1H

i1Q

j d + f2Hj2Q

iu) ] (2($) + h.c.

= µ%ij [ H i1F

j2 + F i

1Hj2 " H i

1Hj2 ]

+ f%ij [ F i1L

jE + H i1F

jLE + H i

1LjFE " H i

1LjE " H i

1LjE " EH i

1Lj ]

+ f1%ij[F i

1Qj d + H i

1FjQd + H i

1QjFd " H i

1Qj d"H i

1Qjd" H i

1Qjd]

+ f2%ij[F j

2 Qiu + Hj2F

iQu + Hj

2QiFu " Hj

2Qiu"Hj

2Qiu" Hj

2Qiu] + h.c. (8.30)

Per scrivere lo sviluppo della lagrangiana mancano solo i termini cinetici dei campi

di gauge. Ad esempio, fissando l’attenzione sul termine di SU(2), dobbiamo calcolare

1

4

>d4$ W a*W a

* (2($) ( 1

4W a*W a

*

333!!

; (8.31)

gia sappiamo che

W a* = [ i)a

* " $*Da + (+µ")+* $+ V a

µ" " $$ +µ**(#µ)

*a " gfabc V bµ )

*c) ], (8.32)

allora calcoliamo il prodotto W a*W a* e ne prendiamo le componenti "$$, cioe

1

4W a*W a

*

333!!

= " i

2)

a+ µ(#µ)

a " gfabcV bµ)c) +

i

2#µ( )

a+µ )a) +

1

4DaDa

" 1

8V aµ"V a

µ" "i

16%µ",- V a

µ" V a,-

= " i

2)

a+µDµ)

a +i

2#µ( )

a+µ )a) +

1

4DaDa

" 1

8V aµ"V a

µ" "i

16%µ",- V a

µ" V a,-. (8.33)

Nel primo termine si riconosce la derivata covariante SU(2)!U(1) che agisce sul

gaugino )a nella rappresentazione aggiunta di SU(2), infatti



Y

2V !

µ, (8.34)

e nella rappresentazione aggiunta vale che

Dµ)a = [Dµ]ab)b

=

'#µ(

ab + ig (T cadj)

ab V cµ + ig!

Yadj

2V !

µ

()b

= #µ)a " gfabcV b

µ)c, (8.35)

con Yadj = 0, e (T cadj)

ab = "if cab.

Considerando l’hermitiamo coniugato dell’espressione precedente e sommando, e

ripetendo il calcolo per il termine cinetico di SU(3) e di U(1) si ottiene

1

4

>d4$

8[W a*W a

* + W !*W !* + W l*W l

*] (2($) + h.c.9

= "i)a+µDµ)

a " i) ! + µDµ)! " i)

l+µDµ)

l

" 1

4(V aµ"V a

µ" + V !µ"V !µ" + U lµ"

U lµ") +

1

2(DaDa + D!D! + DlD l), (8.36) tc

in cui vale la pena indicare l’espressione esplicita della derivata SU(3)-covariante:

Dµ)l =

'#µ(

lm +ig

2(T n

adj)lm Un

µ + ig (T cadj)

ab V cµ + ig!

Yadj

2V !

µ

()m

= #µ)l " g

2f lmnUm

µ )n, (8.37)

con Yadj = 0, (T cadj)

ab = 0, e (T ladj)

mn = "if lmn.

La lagrangiana completa “o!-shell” e data da

L = (DµQ)†(DµQ) " iQ+µDµQ +1

2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gSlDl)Q


+i&2Q†(2gT a)a + g!Y )! + gSl)l)Q " i&

2Q(2gT a)

a+ g!Y ) ! + gSl)

l)Q + F †

QFQ

+ (Dµu)†(Dµu) " iu +µDµu +1

2u†(g!Y D! + gSlDl)u +

i&2

u†(g!Y )! + gSl)l)u

" i&2u(g!Y ) ! + gSl )

l)u + F †

uFu

+ (Dµd )†(Dµd ) " i d+ µDµd +1

2d †(g!Y D! + gSlDl)d +

i&2

d †(g!Y )! + gSl)l)d

" i&2d(g!Y ) ! + gSl)

l)d + F †

dFd

+ (DµL)†(DµL) " i L +µDµL + L†(gT aDa + g!Y

2D!)L

+ i&

2L†(gT a)a + g!Y

2)!)L " i

&2 L(gT a)

a+ g!

Y

2) !)L + F †

LFL

+ (DµE)†(DµE) " i E +µDµE + E†g!Y

2D!E + i

&2E†g!

Y

2)!E

" i&

2 Eg!Y

2) !E + F †

EFE

" i)a+µDµ)

a " i) ! + µDµ)! " i)

l+µDµ)

l

" 1

4(V aµ"V a

µ" + V !µ"V !µ" + U lµ"

U lµ") +

1

2(DaDa + D!D! + DlDl)

+ (DµH1)†(DµH1) " iH1+

µDµH1 + H†1(gT aDa + g!

Y

2D!)H1

+ i&

2H†1(gT a)a + g!

Y

2)!)H1 " i

&2 H1(gT a)

a+ g!

Y

2) !)H1 + F †

1F1

+ (DµH2)†(DµH2) " iH2+

µDµH2 + H†2(gT aDa + g!

Y

2D!)H2

+ i&

2H†2(gT a)a + g!

Y

2)!)H2 " i

&2 H2 (gT a)

a+ g!

Y

2) !)H2 + F †

2F2

+?

µ%ij[H i1F

j2 + F i

1Hj2 " H i

2Hj2 ] + f%ij[F i

1LjE + H i

1FjLE + H i

1LjFE " H i

1LjE

" H i1L

jE " EH i1L

j] + f1%ij[F i

1Qj d + H i

1FjQd + H i

1QjFd " H i

1Qj d"H i

1Qjd

" H i1Q

jd] + f2%ij[F j

2 Qiu + Hj2F

iQu + Hj

2QiFu " Hj

2Qiu"Hj

2Qiu" Hj

2Qiu] + h.c.

@

""M2

LL†L + m2EE†E + m2

1H†1H1 + m2

2H†2H2 "m2

3%ij(H i

1Hj2 + h.c.)


+ M2QQ†Q + m2

uu†u + m2

dd†d

#" M

2() a) a + )

a)

a)" M !

2()!)! + ) !) !)

" Ml

2()l)l + )

l)

l) + t.d. (8.38)

Per ottenere la lagrangiana “on-shell” si devono eliminare i campi ausiliari Fi e

Di tramite le equazioni del moto applicate ad Laux = LF + LD, dove

LF = F †LFL + F †

EFE + F †1F1 + F †

2F2 + F †QFQ + F †

uFu + F †dFd

+µ%ij[H i1F

j2 + F i

1Hj2 + H i

1†F j

2

†+ F i

1†Hj

2

†]

+f%ij[F i1L

jE + H i1F

jLE + H i

1LjFE + F i

1†Lj

†E† + H i

1†F j

L

†E† + H i

1†Lj

†F †

E]

+f1%ij[H i

1QjFd + H i

1FjQd + F i

1Qj d + H i

1†Qj

†F †

d + H i1†F j†

Q d † + F i1†Qj†d †]

+f2%ij[Hj

2QiFu + Hj

2FiQu + F j

2 Qiu + Hj2

†Qi

†F †

u + Hj2

†F i†

Q u† + F j†2 Qi†u†], (8.39)

LD =1

2(DaDa + DlDl + D!D!) + L†(gT aDa + g!

Y

2D!)L + E†g!

Y

2D!E

+H†1(gT aDa + g!

Y

2D!)H1 + H†

2(gT aDa + g!Y

2D!)H2

+1

2Q†(2gT aDa + g!Y D! + gDlSl)Q

+1

2d †(g!Y D! + gDlSl)d +

1

2u †(g!Y D! + gDlSl)u.

(8.40)

Concentriamo la nostra attenzione sulla lagrangiana elettrodebole ed eliminiamo

i campi ausiliari Fi e Di; prima di tutto “estraiamo” i termini che ci interessano

trascurando i termini relativi ai quarks, otteniamo

LF = F †LFL + F †

EFE + F †1F1 + F †

2F2

+ µ 'ij[ H i1F

j2 + H i †

1 F j †2 + F i

1Hj2 + F i †

1 Hj †2 ]

+ f 'ij[ F i1L

jE + F i †1 Lj †E† + H i

1FjLE + H i †

1 F j †L E†

+ H i1L

jFE + H i †1 Lj †F †

E ], (8.41)


e analogamente (per chiarezza esplicitiamo i valori di ipercarica Y )

LD =1

2(DaDa + D!D! )

+ L†(gT aDa " 1

2g!D!)L + E†g!D!E

+ H†1(gT aDa " 1

2g!D!)H1 + H†

2(gT aDa +1

2g!D!)H2. (8.42)

Tramite le equazioni del moto

#L#*" #µ

#L#(#µ*)

= 0 (8.43)

possiamo calcolare i campi ausiliari in termini dei campi fisici, derivando volta per

volta rispetto al campo ausiliario * = Fi o * = Di che ci interessa eliminare; poiche

i campi ausiliari non possiedono termini cinetici le equazioni di Euler-Lagrange si

semplificano in

#L#*

= 0. (8.44)

Applicando le equazioni alla LF (deriviamo rispetto ai campi Fi) si ottengono le

identificazioni

F j†L = "f'ijH i

1E, (8.45)

F †E = "f'ijH i

1Lj, (8.46)

F i †1 = "µ'ijHj

2 " f'ijLjE, (8.47)

F j†2 = "µ'ijH i

1. (8.48)

Sostituendo nella LF ai campi ausiliari Fi le loro espressioni in termini dei campi

fisici si ottiene


LF = "µ2 H†1H1 " µ2 H†

2H2 " µf [ H†2L E + L†H2 E† ]

" f 2[ L†L E†E + H†1H1(L

†L + E†E)"H†1L(H†

1L)† ], (8.49)

in cui appaiono i termini di massa per i bosoni di Higgs, e i termini di interazione

Higgs-leptoni e leptoni-leptoni. Applicando le equazioni del moto alla LD si trovano

le seguenti espressioni per i campi ausiliari Di :

Da = "g!L†T aL + H†

1TaH1 + H†

2TaH2

$, (8.50)

D! =g!

2L†L" g!E†E +

g!

2H†

1H1 "g!

2H†

2H2, (8.51)

e sostituendo queste espressioni nella LD si ottiene

LD = "g2

2( L†T aL + H†

1TaH1 + H†

2TaH2 )( L†T aL + H†

1TaH1 + H†

2TaH2 )

" g!2

8( L†L" 2E†E + H†

1H1 "H†2H2 )2, (8.52)

in cui compaiono i termini di interazione Higgs-Higgs, Higgs-sleptone e sleptone-

sleptone.

8.5 Bosoni di gauge e gaugini

Come nel Modello Standard si definiscono i campi di gauge

Aµ(x) = cos $w V !µ(x) + sin $w V 3

µ (x), (8.53)

Zµ(x) = " sin $w V !µ(x) + cos $w V 3

µ (x), (8.54)

W±µ (x) =

V 1µ (x)) iV 2

µ (x)&

2, (8.55)

8.5. Bosoni di gauge e gaugini 119

ma in supersimmetria compaiono anche i partners fermionici dei campi di gauge,

ovvero i gaugini di spin-1/2

)A(x) = cos $w )!(x) + sin $w )3(x), (8.56)

)Z(x) = " sin $w )!(x) + cos $w )3(x), (8.57)

)±(x) =)1(x)) i)2(x)&

2. (8.58)

Con queste definizioni la derivata covariante elettrodebole diventa


Y

2V !

µ

= #µ +ig&2T+W+

µ +ig&2T"W"

µ + ie QAµ +ig

cos $w[ T 3 "Q sin2 $w ]Zµ, (8.59)

in cui T± = T 1 ± iT 2 e l’operatore di carica Q (diagonale con autovalori in unita

della carica elementare “e”) ha la nota espressione

Q = T 3 +Y

2. (8.60)

Quindi se Dµ agisce su un doppietto di SU(2) si ha che T a = +a/2, e Dµ e una

matrice 2 ! 2, mentre per un singoletto di SU(2) si ha che T a = 0, e Dµ non e una

matrice. Sempre seguendo la guida del Modello Standard definiamo le intensita di

campo Aµ" , Zµ" e W±µ" :

Aµ" = #µA" " #"Aµ, (8.61)

Zµ" = #µZ" " #"Zµ, (8.62)

W±µ" = #µW

±" " #"W

±µ . (8.63)

Al fine di semplificare la scrittura della lagrangiana definiamo le quantita


Aµ" = cos $w V !µ" + sin $w V 3

µ"

= Aµ" + ie( W+µ W"

" "W"µ W+

" ), (8.64)

Zµ" = " sin $w V !µ" + cos $w V 3

µ"

= Zµ" + ig cos $w( W+µ W"

" "W"µ W+

" ) (8.65)

W+µ" =

V 1µ" " iV 2

µ"&2

= W+µ" + ie (AµW

+" "W+

µ A") + ig cos $w(ZµW+" "W+

µ Z"), (8.66)

W"µ" =

V 1µ" + iV 2

µ"&2

= W"µ" " ie (AµW

"" "W"

µ A")" ig cos $w(ZµW"µ "W"

µ Z"), (8.67)

in termini dei quali saranno scritti “termini cinetici” che contengono interazioni

tra i bosoni di gauge.

8.6 Lagrangiana on-shell

Nei paragrafi precedenti abbiamo eliminato i campi ausiliari, e con l’introduzione

dei “termini cinetici” per i campi di gauge si ottiene la seguente espressione per la

lagrangiana elettrodebole supersimmetrica

LSUSY = (DµL)†(DµL) + (DµE)†(DµE)" i L+µDµL" i E+µDµE

+ ig(L†T+L)+ " )+LT"L) + ig(L†T"L)" " )"LT+L)

+&

2ie Qi(L† iL i)A " )AL iLi)

+

&2ig

cos $W(T 3

i "Qi sin2 $W )[L† iL i)Z " )ZL iLi]

+&

2ie(E† E)A " )AE E)"&

2igsin2 $W

cos $W(E† E)Z " )ZE E)

8.6. Lagrangiana on-shell 121

" i )++µ#µ)+ " i )"+µ#µ)

" " i )A+µ#µ)A " i )Z +µ#µ)Z

+ g cos $W [()Z +µ)" " )++µ)Z)W+µ " ()Z +µ)+ " )"+µ)Z)W"

µ

+ ()++µ)+ " )"+µ)")Zµ]

+ e[()A+µ)" " )++µ)A)W+µ " ()A+µ)+ " )"+µ)A)W"

µ

+ ()++µ)+ " )"+µ)")Aµ]

" 1

4(W+ µ"W"

µ" +W"µ"W+µ" +Aµ"Aµ" + Zµ"Zµ")

+ (DµH1)†(DµH1) + (DµH2)

†(DµH2)

" i ¯H1+µDµH1 " i ¯H2+

µDµH2

+ ig(H†1T

+H1)+ " )+ ¯H1T

"H1) + ig(H†1T

"H1)" " )" ¯H1T

+H1)

+&

2ie Qi(H† i1 H i

1)A " )A¯H

i

1Hi1)

+

&2ig

cos $W(T 3

i "Qi sin2 $W )[H† i

1 H i1)Z " )Z

¯Hi

1Hi1]

+ ig(H†2T

+H2)+ " )+ ¯H2T

"H2) + ig(H†2T

"H2)" " )" ¯H2T

+H2)

+&

2ie Qi(H† i2 H i

2)A " )A¯H

i

2Hi2)

+

&2ig

cos $W(T 3

i "Qi sin2 $W )[H† i

2 H i2)Z " )Z

¯Hi

2Hi2]

" 'ij [ µ( H i1 H j

2 + ¯Hi

1¯H

j

2 ) + f( H i1L jE + ¯H1

iL jE† )

+ f(H i1L

jE + H i †1 L jE + EH i

1 Lj + E ¯H1

iLj † )]

" µ2 H†1H1 " µ2 H†

2H2 " µf [ H†2L E + L†H2 E† ]

" f 2[ L†L E†E + H†1H1(L

†L + E†E)"H†1L(H†

1L)† ]

" g2

2( L†T aL + H†

1TaH1 + H†


1TaH1 + H†

2TaH2 )

" g!2

8( L†L" 2E†E + H†

1H1 "H†2H2 )2 + t.d. (8.68) lagron


8.7 Spinori a quattro componenti

Al fine di scrivere la lagrangiana elettrodebole nel formalismo a quattro componenti

introduciamo gli spinori di Majorana (si veda (MajoranaMajorana7.49))

A(x) =

%"i)A(x)

i)A(x)

&, (8.69)

Z(x) =

%"i)Z(x)

i)Z(x)

&, (8.70)

e gli spinori di Dirac

W (x) =

%"i)+(x)

i)"(x)

&, (8.71)

W c(x) =

%"i)"(x)

i)+(x)

&, (8.72)

(8.73)

in cui W c e il coniugato di carica di W c(x). Il “photino” A(x) e lo “zino” Z(x)

sono campi a carica nulla, mentre i “wino” W (x) e W c(x) hanno carica ±e. Abbiamo

visto che il settore di Higgs comprende due stati carichi e due neutri, allora in quattro

componenti introduciamo i due stati di “Higgsino” carichi rappresentati da due spinori

di Majorana

H1 =

%!1

H1

!1H1

&, (8.74)

H2 =

%!2

H2

!2H2

&, (8.75)

(8.76)

e i due stati di “Higgsino” carichi rappresentati da due spinori di Dirac

8.8. Lagrangiana a quattro componenti 123

H =

%!1

H2

!2H1

&, (8.77)

Hc =

%!2

H1

!1H2

&. (8.78)

(8.79)

Infine, come noto, i leptoni sono degli spinori di Dirac

l =

%lLlR

&. (8.80)

(8.81)

8.8 Lagrangiana a quattro componenti

Si puo dimostare che nella rappresentazione di Weyl per le matrici " di Dirac la

lagrangiana on-shell (lagronlagron8.68) in due componenti si riscrive come

LSUSY = (DµL)†(DµL) + (DµE)†(DµE)" i L"µDµL" i E"µDµE

" g[{L1W L2 + L2W c L1}+ h.c.] +&

2e [{L2A L2 " ¯AE E}+ h.c.]

"&

2g

cos $w[{(T 3

i "Qi sin2 $w) LiZ Li " sin2 $w

¯ZE E}+ h.c.]

" i ¯W"µ#µW " i

2¯A"µ#µA"

i

2¯Z"µ#µZ

" g cos $w[ ¯Z"µW W"µ + ¯W"µZ W+

µ "¯W"µW Zµ]

" e[ ¯A"µW W"µ + ¯W"µA W+

µ "¯W"µW Aµ]

" 1

4W+ µ"W"

µ" "1

4W"µ"W+

µ" "1

4Zµ"Zµ" "

1

4Aµ"Aµ"

+ (DµH1)†(DµH1)" µ2H†

1H1 + (DµH2)†(DµH2)" µ2H†

2H2


" ¯H(i"µ#µ " µ)H " i

2¯H1"

µ#µH1 "i

2¯H2"

µ#µH2 "µ

2¯H1H2 "

µ

2¯H2H1

" g&2[ ( ¯H"µPRH1 " ¯H"µPLH2)W

+µ + h.c.] + e ¯H"µH Aµ

+g

2 cos $W[ (1" 2 sin2 $W ) ¯H"µH " 1

2( ¯H1"

µ"5H1 " ¯H2"µ"5H2) ]Zµ

" g[ ( ¯WPRH H11 + ¯HPRW H2

2 + ¯H1PRW H21 + ¯WPRH2 H1

2 ) + h.c.]

+&

2e[ ( ¯APRH H21 "

¯HPRA H12 ) + h.c.]

" g&2 cos $W

[ { ¯ZPRH1 H11 "

¯H2PRZ H22

" (1" 2 sin2 $W )( ¯ZPRH H21 "

¯HPRZ H12 )}+ h.c.]

+ f [{ ¯HL1 E " ¯H1L2 E + EL1 H2

1 " EL2 H11 + EHc L1 " EH1 L2}+ h.c.]

" µf [H†2L E + h.c.]" f 2[L†L E†E + H†

1H1(L†L + E†E)"H†

1L(H†1L)†]

" g2

2( L†T aL + H†

1TaH1 + H†


1TaH1 + H†

2TaH2 )

" g2 tan2 $w8

( L†L" 2E†E + H†1H1 "H†

2H2 )2 + t.d. (8.82)

PL e PR sono i proiettori left- e right-handed la cui espressione e nota.

8.9 Il potenziale di Higgs

Il potenziale scalare e costituito dai termini

VMSSM = VD + VF + VSoft, (8.83)

dove

VD = "LD VF = "LF VSoft = "LSMT , (8.84)

8.9. Il potenziale di Higgs 125

le cui espressioni sono state scritte precedentemente. Per il settore di Higgs del

modello il potenziale VHiggs (e un caso particolare di generico potenziale per un doppi-

etto di Higgs) ha l’espressione

V = (m21 + µ2)H†

1H1 + (m22 + µ2)H†

2H2 "m23 'ij(H i

1Hj2 + h.c.)

+g2

2(H†

1TaH1 + H†

2TaH2)(H

†1T

aH1 + H†2T

aH2)

+g!2

8(H†

1H1 "H†2H2)

2, (8.85)

che puo essere riscritto come

V = m21 H†

1H1 + m22 H†

2H2 "m23 'ij(H i

1Hj2 + h.c.)

+1

8(g2 + g!2)(H†

1H1 "H†2H2)

2 +g2

2|H†

1H2|2, (8.86)

in cui e stata sfruttata l’arbitrarieta dei parametri m21 e m2

2 per riassorbire la µ.

Senza perdere di generalita possiamo supporre i parametri di massa m2i (i = 1, 2, 3)

reali e i valori di aspettazione dei campi di Higgs non negativi. Come nel Modello

Standard la simmetria di gauge SU(2)! U(1) deve essere rotta spontaneamente las-

ciando una simmetria U(1)EM non rotta; questo significa che le componenti cariche

dei doppietti di Higgs non possono sviluppare valore di aspettazione, allora risulta

che

< H1 >=

%v1

0

&(8.87)

< H2 >=

%0

v2

&(8.88)

, (8.89)

e sul vuoto il potenziale diventa

V = m21 v2

1 + m22 v2

2 " 2m23 v1v2 +

1

8(g2 + g!2)[v2

1 " v22]

2. (8.90)

127

Capitolo 9

Il Modello Standard supersimmetriconon minimale

In questo capitolo passiamo allo studio di una estensione dell’MSSM detta non min-

imale, in quanto il superpotenziale dell’MSSM viene modificato con l’aggiunta di un

supercampo di singoletto S che non ha carica rispetto al gruppo di gauge SU(3)C !SU(2)L ! U(1)Y (

hugonie[20],

menon[21],

ellis[22]). Il superpotenziale e dato da

WNMSSM =1

3kS 3 + )SHu · Hd + h$ L · HdLR + htQ · HuTR + hbQ · HdBR, (9.1)

in cui oltre agli accoppiamenti di Yukawa gia presenti nell’MSSM per i quarks e i

leptoni, adesso compaiono due nuovi termini in S, di cui uno cubico di autointerazione

e uno di interazione con i supercampi di Higgs. Quando la simmetria elettrodebole e

rotta spontaneamente le componenti scalari di Higgs neutre e la componente scalare

del supercampo S sviluppano i valori di aspettazione

< H0u > = hu, < H0

d > = hd, < S > = s. (9.2) valasp

In questo modello il parametro µ dell’MSSM e sostituito dal valore di aspettazione

s del supercampo di singoletto moltiplicato per ), ovvero dal confronto con l’MSSM

si vede che µ ( ) < S >. Esplicitamente i doppietti di supercampi sono indicati

come

Q =

%TL

BL

&, L =

%,$L

&L

&; (9.3)

128 Capitolo 9. Il Modello Standard supersimmetrico non minimale

Hu =

%H+

u

H0u

&, Hd =

%H0

d

H"d

&. (9.4)

Il prodotto di SU(2) tra doppietti di supercampi e definito in termini della metrica

' come segue

Hu · Hd = %ijH iuH

jd = H+

u H"d " H0

uH0d , (9.5)

dove ricordiamo l’espressione della metrica

'ij =

%0 1

"1 0

&. (9.6)

Le espansioni del singoletto S, di Hu e di Hd in termini della coordinata traslata

yµ = xµ + i$+µ$ sono

S(y, $) = S(y) +&

2 $ S(y) + $$FS(y), (9.7)

Hu(y, $) = Hu(y) +&

2 $ Hu(y) + $$Fu(y), (9.8)

Hd(y, $) = Hd(y) +&

2 $ Hd(y) + $$Fd(y). (9.9)

in cui ricordiamo che le componenti con la tilde indicano i partner fermionici

che, per chiarezza di notazione, possiamo indicare come S ( !s per il “singlino”,

Hu ( !u e Hd ( !d per gli “Higgsini” (ricordiamo che !u e !d sono doppietti).

Analizziamo brevemente il metodo per calcolare il potenziale dal superpotenziale del

nostro modello. Il potenziale e definito come l’integrale

V =

>d4$ [W (*i) (2($) + W (*†i ) (2($)] =

>d2$ W (*i) + h.c., (9.10)

dove *i e il generico supercampo, nel nostro caso i *i sono espressi nella variabile

traslata y. E importante tener presente la relazione

>d2$ W (*1, ..*n) =

6

i,j

WiFi "1

2Wij!i!j (9.11)

129

in cui abbiamo definito

Wi =#W

#Ai,

Wij =#2W

#Ai#Aj,

(9.12)

dove Wij rappresenta la matrice di massa fermionica. L’azione e, in generale,

definita da

I =

>d4x

?>d4$ *†i*i +

>d2$ W (*1, ...*n) +

>d 2$ W (*†i , ..*

†n)

@

=

>d4x

?>d4$(*†i*i) + WiFi "

1

2Wij!i!j + W iF

$i "

1

2W ij!i!j

@,

(9.13)

e se esplicitiamo il termine cinetico5

d4$ *†i*i abbiamo

I =

>d4x{(i#µ!i+

µ!i " A$i #

2Ai + |Fi|2 + t.d.) + WiFi "1

2Wij!i!j

+ W iF$i "

1

2W ij!i!j}. (9.14)

Per eliminare i campi ausiliari Fi ed F $i si utilizzano le equazioni del moto, il loro

semplice calcolo ci fornisce le sostituzioni

#L#F $

i (x)= Fi(x) + W $

i = 0 # Fi(x) = "W $i ,

#L#Fi(x)

= F $i (x) + Wi = 0 # F $

i (x) = "Wi.

(9.15)

Andando a sostituire nell’azione si ottiene


I =

>d4x

!i#µ!i+

µ!i " A$i #

2Ai " |Wi|2 "1

2Wij!i!j "

1

2W ij!i!j

$+ t.d. (9.16)

9.1 Neutralino

Il settore gaugino-higgsino-singlino del modello contiene termini non diagonali; per

ottenere gli autostati di massa dobbiamo diagonalizzare i termini della lagrangiana in-

teressati cosı da far emergere gli stati di “neutralino” 40i (i = 1, ..., 5). La lagrangiana

rilevante ai fini della determinazione degli autostati di massa del neutralino e data

dai seguenti termini di massa

L =1

2M1)1)1 +

1

2M2)

32)

32

+)(s !0u !0

d + hu !0d !s + hd !0

u !s)" k s!s!s

+ig1&

2)1(hu!

0u " hd!

0d)"

ig2&2

)32(hu!

0u " hd!

0d), (9.17) neutralin

in cui abbiamo denotato con !s la componente fermionica (singlino) del super-

campo di singoletto, e con !0u e !0

d le componenti fermioniche neutre (higgsini neutri)

dei doppietti di supercampi di Higgs. I termini 12M1)1)1 + 1

2M2)32)

32 sono termini

di massa rispettivamente del gaugino )1 di U(1) e del gaugino neutro )32 di SU(2).

Analizziamo in particolare il seguente contributo

)SHu · Hd # )(S +&

2$S...)(Hu +&

2$Hu...)(Hd +&

2$Hd...)

= )!S(&

2$Hu) · (&

2$Hd) + (&

2$S)(&

2$Hu) ·Hd + (&

2$S)Hu · (&

2$Hd)$

= )

+2S("1

2$$)Hu · Hd + 2("1

2$$)SHu ·Hd " 2("1

2$$)(SHd) ·Hu

,

= ")!SHu · Hd + SHu ·Hd " SHd ·Hu

$$$, (9.18)

in cui e stata usata la relazione nota (Fierz2Fierz27.72)

9.1. Neutralino 131

($!)($4) = "1

2$$(!4),

e in cui l’ultimo termine e stato calcolato tenendo conto dell’antisimmetria della

metrica ':

($S)Hu · ($Hd) = ($S)H iu'

ij($Hjd) = ($S)($Hj

d)Hiu'

ij

= "($S)($Hjd)'

jiH iu = "($S)($Hd) ·Hu . (9.19)

In definitiva si ottiene il contributo

)SHu · Hd|!! # ")(SHu · Hd + SHu ·Hd " SHd ·Hu)

= ")(SHu · Hd + SHu ·Hd + SHu · Hd). (9.20)

Allora esplicitando i prodotti tra i doppietti e assegnando i valori di aspettazione

hu, hd e s alle componenti scalari, gia indicati in (valaspvalasp9.2), si ottiene il risultato

)(s !0u !0

d + hu !0d !s + hd !0

u !s). (9.21)

Allo stesso modo per il contributo in $$ dal termine cubico si calcola

k

3S3 # k

3(S +

&2$S...)(S +

&2$S...)(S +

&2$S...)

=k

3! 3! S ! 2($S)($S) = 2k("1

2$$)S(SS),

(9.22)

ovvero

k

3S3|!! # "kS(SS)# "ks!s!s. (9.23)


Nella base !0 T = ("i)1, "i)32, !0

u, !0d, !s) si puo riorganizzare la lagrangiana

(neutralinneutralin9.17) come

L = "1

2(!0)TM0(!

0) + h.c. (9.24)

dove compare la matrice simmetrica (i neutralini nel formalismo di Dirac a quattro

componenti sono spinori di Majorana)

M0 =

-

....../

M1 0 g1hu/&

2 "g1hd/&

2 0

0 M2 "g2hu/&

2 g2hd/&

2 0

g1hu/&

2 "g2hu/&

2 0 "µ ")hd

"g1hd/&

2 g2hd/&

2 "µ 0 ")hu

0 0 ")hd ")hu 2ks

0

1111112, (9.25)

e ricordiamo che µ = )s. Questa matrice 5! 5 viene diagonalizzata tramite una

matrice unitaria U di modo che

U$M0U"1 = M/0

i= diag(m1, m2, m3, m4, m5) (9.26)

e si ottengono 5 autostati 40i = Uij!0

j di massa crescente, il primo dei quali e da

identificare con il neutralino piu leggero, rappresentato dalla seguente combinazione

di photino )1, zino )32, higgsini neutri !0

u e !0d, e singlino !s:

U1j!0j = U11("i)1) + U12("i)3

2) + U13(!0u) + U14(!

0d) + U15(!s). (9.27)

Nel formalismo di Dirac a quattro componenti organizziamo quasti 5 autostati

di massa in spinori di Majorana (coincidono con le proprie antiparticelle) secondo la

notazione

40i =

%40

i

4 0i

&, (i = 1, ..., 5). (9.28)

9.2. Chargino 133

9.2 Chargino

Gli autostati di massa di “chargino” 4i (i = 1, 2) sono spinori di Dirac e nascono

dall’accoppiamento tra i wino )+, )" e gli Higgsini carichi !+u , !"

d . Ricordiamo le

espressioni dei gaugini carichi di SU(2)

)" =1&2()1

2 + i)22), )+ =

1&2()1

2 " i)22). (9.29)

Se definiamo gli spinori di Dirac

!+ =

%"i)+

!+u

&, !" =

%"i)"

!"d

&, (9.30)

allora si puo dimostrare che la lagrangiana contenente i termini di massa degli

stati di “chargino” puo essere riorganizzata come segue:

L = "1

2(!+, !")

%0 XT

X 0

&%!+

!"

&+ h.c., (9.31)

in cui

X =

%M2 g2hu

g2hd µ

&. (9.32)

Gli autostati di massa in due componenti sono 4+i = Vij!

+j e 4"i = Uij!

"j con

(i, j = 1, 2), cioe

4+i = Vi1("i)+) + Vi2(!

+u ) (i = 1, 2), (9.33)

4"i = Ui1("i)") + Ui2(!"d ) (i = 1, 2), (9.34)

dove U e V sono matrici di rotazione


U =

%cos $U sin $U

" sin $U cos $U

&, V =

%cos $V sin $V

" sin $V cos $V

&. (9.35)

che diagonalizzano la matrice X

UXV T = MD. (9.36)

Notiamo che definendo

" =4

tr2(XT X)" 4det(XT X), (9.37)

allora vale che

tan $U =g22(h

2u " h2

d) + µ2 "M22 " "

2g2(M2hd + µhu), tan $V =

g22(h

2d " h2

u) + µ2 "M22 " "

2g2(M2hu + µhd). (9.38)

In termini di spinori di Dirac a quattro componenti

4i =

%4+

i

4"i

&(i = 1, 2) (9.39)

si puo riscrivere la lagrangiana come

L = "4"MD4+ + h.c. = "m/14141 "m/24242, (9.40)

dove la matrice MD e diagonale e le masse m/1 ed m/2 hanno espressione

m/1 = cos $U(M2 cos $V + g2hu sin $V ) + sin $U(g2hd cos $V + µ sin $V ), (9.41)

m/2 = sin $U(M2 sin $V " g2hu cos $V )" cos $U(g2hd sin $V " µ cos $V ). (9.42)

Capitolo 10

Il Modello di Stueckelbergsupersimmetrico

La supersimmetrizzazione del meccanismo di Stueckelberg e stata proposta recente-

mente in (Nath1[23],

Nath2[24],

Nath3[25]), dove la simmetria di gauge dell’MSSM (che e la stessa

del Modello Standard) viene aumentata ad incorporare ulteriori U(1). Consideriamo

una estensione U(1) supersimmetrica dell’MSSM tramite l’introduzione di un super-

campo vettoriale abeliano addizionale e di un supercampo chirale detto appunto di

Stueckelberg. Il settore bosonico conterra un nuovo bosone di gauge Z !, il settore

fermionico neutro presentera 2 addizionali fermioni che si mescoleranno con i 4 stati

di neutralino gia esistenti nell’MSSM a dare una matrice di massa 6! 6.

10.1 Estensione dell’MSSM

Il meccanismo di Stueckelberg genera la massa per un bosone di gauge abeliano in un

modo gauge invariante e rinormalizzabile. Si considera una estensione della simmetria

di gauge SU(2)L ! U(1)Y del Modello Standard tramite l’aggiunta di un addizionale

gruppo U(1)X di gauge, allora il campo di gauge corrispondente si accoppia al campo

scalare assionico come previsto dal meccanismo di Stueckelberg a dare un nuovo

bosone vettore massivo Z !. Ricordiamo che il meccanismo di Stueckelberg non e in

grado di preservare simmetrie di gauge non abeliane. Introduciamo il multipletto

chirale di Stueckelberg di componenti

135

136 Capitolo 10. Il Modello di Stueckelberg supersimmetrico

S = (0 + i+, 4, FS), (10.1)

dove 0 + i+ e la componente scalare, 4 e la componente fermionica e FS e un

campo ausiliario. La lagrangiana di Stueckelberg ha espressione

LSt =

>d2$ d2 $ (M1C + M2B + S + S)2, (10.2) Stueck

dove abbiamo introdotto

C = (Cµ, )C , DC) (10.3)

che e il multipletto di gauge vettoriale per il gruppo U(1)X addizionale, oltre al

multipletto vettoriale B per il gruppo di ipercarica U(1)Y che ha componenti

B = (Bµ, )B, DB). (10.4)

Le trasformazioni di gauge rispetto ai due gruppi abeliani U(1)Y e U(1)X sono

rispettivamente

(Y B = #Y + #Y , (Y S = "M2#Y , (10.5)

(XC = #X + #X , (XS = "M1#X . (10.6)

Le espressioni esplicite dei supercampi vettoriali nella gauge di Wess- Zumino sono

C = "$+µ$Cµ + i $$ $ )C " i $ $ $)C +1

2$$ $ $DC , (10.7)

B = "$+µ$Bµ + i $$ $ )B " i $ $ $)B +1

2$$ $ $DB, (10.8)

e il supercampo di Stueckelberg ha espressione

10.1. Estensione dell’MSSM 137

S =1

2(0 + i+) + $4 + i$+µ$

1

2(#µ0 + i#µ+) + $$FS +

i

2$$ $ +µ#µ4

+1

8$$ $ $(#20 + i#2+) (10.9) superc

in cui la componente scalare 0 + i+ contiene come grado di liberta complesso

l’assione + che e l’analogo del campo assionico reale che compare nei modelli non

supersimmetrici. Calcoliamo l’espressione esplicita in componenti della lagrangiana

(StueckStueck10.2), partendo dallo sviluppo

(M1C + M2B + S + S)2333!! ! !

= [M21 C2 + M2

2 B2 + (S + S)2 + 2M1C + M2B

+ 2M1C(S + S) + 2M2B(S + S)]333!! ! !

(10.10)

in cui lo sviluppo dei termini M21 C2, M2

2 B2 e 2M1CM2B si e!ettua tenendo conto

della relazione (FierzFierz7.76), si ottiene quindi

M21 C2

333!!! !

= M21 ("$+µ$Cµ)("$+"$C")

333!!! !

=M2

1

2CµCµ (10.11)

M22 B2

333!!! !

= M22 ("$+µ$Bµ)("$+"$B")

333!!! !

=M2

2

2BµBµ (10.12)

2M1CM2B333!!! !

= 2M1M2("$+µ$Cµ)("$+"$B")333!!! !

= M1M2CµBµ. (10.13)

Per calcolare il termine (S + S)2 partiamo dal supercampo (supercsuperc10.9) e ne facciamo

l’hermitiano coniugato

S† =1

2(0 + i+)† + $ 4" i$+µ$

1

2(#µ0 + i#µ+)† + $ $F †

S +i

2$ $ $+µ#µ4

+1

8$$ $ $(#20 + i#2+)†

=1

2(0" i+) + $ 4" i$+µ$

1

2#µ(0" i+) + $ $F †

S +i

2$ $ $+µ#µ4

+1

8$$ $ $ #2(0" i+). (10.14)


Adesso esplicitiamo la somma S +S raggruppando i termini dello stesso ordine in

$ e $

S + S† = [1

2(0 + i+) +

1

2(0 + i+)† ] + $4 + $4 + $$FS + $ $F †

S

+i$+µ$1

2[#µ(0 + i+)" #µ(0 + i+)†] +

i

2$$ $ +µ#µ4

+i

2$ $$+µ#µ4 +

1

8$$ $ $#2[(0 + i+) + (0 + i+)†]

= 0 + $4 + $4 + $$FS + $ $F †S

+i$+µ$1

2(2i#µ+) +

i

2$$$+µ#µ4

+i

2$ $$+µ#µ4 +

1

4$$ $ $ #20 (10.15)

quindi il contributo del quadrato (S + S†)2 e dato dai seguenti termini

(S + S†)2333!! ! !

= 2 01

4$$ $ $ #20

+ ($4) i $ $$+µ#µ4 + ($ 4) i $$ $ +µ#µ4

+ ("$+µ$#µ+)("$+"$#"+) + 2 $$FS $ $F †S

333!! ! !

=1

20 #20" i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4

+1

2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2

= "1

2(#µ0) (#µ0)" i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4

+1

2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2 + t.d. (10.16)

in cui per il penultimo termine e stata utilizzata la relazione (FierzFierz7.76). Per ar-

rivare all’espressione esplicita della LSt restano da calcolare ancora due termini il cui

sviluppo e analogo, infatti consideriamo

2M1C(S + S)333!! ! !

= 2M1("$+µ$Cµ + i$$$ )C " i$ $$)C +1

2$$$ $DC)!

10.1. Estensione dell’MSSM 139

!(0 + $4 + $4 + $$FS + $ $F †S " $+µ$#µ+

+i

2$$$+µ#µ4 +

i

2$ $$+µ#µ4 +

1

4$$ $ $ #20)

333!! ! !

= 2M1{("$+µ$Cµ)("$+µ$#µ+) + (i$$$ )C)($4)

+ ("i$ $$)C)($4) + (1

2$$$ $DC)0}

333!! ! !

= 2M1(1

2Cµ#µ+ " i)C4 + i)C4 +

1

2DC0)

= M1Cµ#µ+ " 2iM1)C4 + 2iM1)C4 + M1DC0, (10.17)

e analogamente per il termine contenente il supercampo vettoriale B si ottiene

2M2B(S + S)333!! ! !

= 2M2(1

2Bµ#µ+ " i)B4 + i)B4 +

1

2DB0)

= M2Bµ#µ+ " 2iM2)B4 + 2iM2)B4 + M2DB0. (10.18)

In definitiva collezionando tutti i termini calcolati si trova che

LSt =M2

1

2CµCµ +

M22

2BµBµ + M1M2C

µBµ "1

2(#µ0)(#µ0)

"i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4 +1

2(#µ+)(#µ+) + 2|FS|2

+M1Cµ#µ+ " 2iM1)C4 + 2iM1)C4 + M1DC0 + M2B

µ#µ+

"2iM2)B4 + 2iM2)B4 + M2DB0, (10.19)

che puo essere riorganizzata nella forma piu compatta

LSt =1

2(M1C + M2B + #µ+)2 " 1

2(#µ0)2 " i4+µ#µ4" i4 +µ#µ4 + 2|FS|2

+ 0(M1DC + M2DB) + 2i4(M1)C + M2)B)" 2i4(M1)C + M2)B). (10.20)

In analogia con il termine cinetico del campo di gauge abeliano gia calcolato (veditctc8.36) nel modello MSSM adesso si trova che il termine cinetico dei campi di gauge

per i gruppi abeliani e


Lgkin =1

4(Bµ"B

µ" + Cµ"Cµ")" i)B+µ#µ)B " i)C+µ#µ)C

+1

2(D2

B + D2C) (10.21)

dove sono state definite le usuali intensita di campo abeliane

Bµ" = #µB" " #"Bµ, Cµ" = #µC" " #"Cµ. (10.22)

La derivata covariante sotto i due gruppi abeliani U(1)Y ed U(1)X in generale e

definita dall’operatore

Dµ = #µ + igY Y Bµ + igXQXCµ. (10.23)

in cui Y e QX sono gli operatori di carica dei gruppi abeliani, mentre gY e gX

sono le costanti di accoppiamento. Per semplicita si puo assumere che i supercampi di

materia di quarks, leptoni e scalari di Higgs gia noti dall’MSSM siano neutri sotto il

gruppo di gauge addizionale U(1)X , mentre si assume l’esistenza di campi di materia

cosiddetti “nascosti” che, invece, possiedono carica sotto il gruppo U(1)X ma sono

neutri sotto il gruppo di gauge dell’MSSM. Se indichiamo lo sviluppo di un generico

supercampo di materia di componenti (fi, zi, Fi) con l’espressione

*i = zi +&

2 $ fi + i$+µ$#µzi + $$Fi +i&2

$$ $ +µ#µfi +1

4$$$ $#2zi (10.24)

allora la lagrangiana corrispondente e data dall’usuale espressione

Lmatter = "|Dµzi|2 " ifi+µDµf i +"

&2(igY Y zif i)B + igXQXzif i)C + h.c.)

+gY DB(ziY zi) + gXDC(ziQXzi) + |Fi|2 (10.25)

da confrontare con la lagrangiana dell’MSSM.

10.2. Conclusioni 141

10.2 Conclusioni

In questo lavoro di tesi abbiamo analizzato alcune estensioni supersimmetriche del

Modello Standard, in particolare il Modello Standard Supersimmetrico Minimale, o

MSSM, e quello non minimale, o NMSSM. In questo secondo caso ci siamo so!ermati

sul calcolo della matrice di massa per gli stati di neutralino e di chargino. Abbiamo poi

proseguito con lo studio di estensioni del Modello Standard contenenti simmetrie di

gauge addizionali quali, ad esempio, gruppi abeliani e ci siamo chiesti che ruolo possa

avere il meccanismo di cancellazione delle anomalie nella sua formulazione non stan-

dard. Questo meccanismo, che trova giustificazione in modelli avanzati provenienti

dalla teoria di stringa, fa intervenire forme di Chern-Simons ed accoppiamenti assion-

ici. Abbiamo visto, mediante lo studio di un modello specifico, che e molto di"cile

avere meccanismi di cancellazione non standard delle anomalie senza l’introduzione di

un campo assionico. Questo punta decisamente verso il meccanismo di Stueckelberg,

giacche, in questo meccanismo il relativo campo puo sia dare massa ai bosoni di gauge

addizionali della teoria, sia permettere la cancellazione delle anomalie in forma nuova.

Abbiamo quindi intrapreso lo studio di una estensione particolare dell’MSSM che con-

tiene il multipletto di Stueckelberg, presentato di recente da Kors e Nath. Nella loro

formulazione, comunque, il gruppo di gauge U(1) addizionale non e anomalo. Vi

sono delle domande a cui, con ulteriori studi, sarebbe possibile dare una risposta,

ad esempio: e possibile giungere ad un meccanismo di Stueckelberg supersimmetrico

“anomalo”, in cui la forma di Chern-Simons gioca un ruolo determinante, insieme al

multipletto di Stueckelberg nella cancellazione delle anomalie?

Bibliography

Gross [1] F. Gross, “Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory”, Wiley Science

Paperback edition, 1999.

gauge [2] C. Quigg, “Gauge Theories of the Strong, Weak and Electromagnetic Interac-

tions”, Westview Press, 1997.

mike [3] M. Guidry, “Gauge Field Theories, An Introduction with Applications ”, Wiley

Science Paperback, 1999.

Ryder [4] L. H. Ryder, “Quantum Field Theory”, Cambridge University Press, 1987.

Ross [5] G.G. Ross, “Grand Unified Theories”, Benjamin-Cummings Publishing Com-

pany, 1985.

Bailin [6] D. Bailin and A. Love “Introduction to Gauge Field Theory”, Institute of Physics

publishing Bristol and Philadelphia.

Peskin [7] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, “An Introduction to Quantum Field Theory”,

Perseus Books, 1995.

Martin [8] A. Martin and F. Halzen, “Quarks and Leptons. An introductory Course in

Modern Particle Physics”, John Wiley, 1984.

Zee [9] A. Zee, “Quantum Field Theory in a nutshell”, Princeton University Press, 2003.

Ruegg [10] H. Ruegg and M. Ruiz-Altaba, “The Stueckelberg Field”, hep-th/0304245 v2,

Jul. 2003.

muller [11] H. J. Muller-Kirsten and A. Wiedemann, “Supersymmetry - An Introduction

with Conceptual and Calculational Details”, World Scientific Publishing, Singa-

pore, 1987.

142

BIBLIOGRAPHY 143

likken [12] J. D. Lykken, “Introduction to Supersymmetry”, hep-th/9612114v1, Dec.1996.

Wess [13] J. Wess and J. Bagger, “Supersymmetry and Supergravity”, Princeton University

Press, 1992.

weinberg [14] S. Weinberg, “Quantum Theory of Fields” vol. 3, Cambridge University Press,

Cambridge, 2000.

sonius [15] M. Sohnius, “Introducing supersymmetry”, Phys. Rep. 128, 1985.

west [16] P. West, “Introduction to Supersymmetry and Supergravity”, World Scientific,

Singapore, 1986.

adel [17] A. Bilal, “Introduction to Supersymmetry”, hep-th/0101055 v1, Jan.2001.

gates [18] S. Gates, T. Grisaru, M. Pocek and W. Siegel, “Superspace or One Thousand

and One Lessons in Supersymmetry”, Benjamin-Cummings Readings 1983.

freund [19] P. Freund, “Introduction to Supersymmetry”, Cambridge University Press, Cam-

bridge, 1986.

hugonie [20] D. G. Cerdeno, C. Hugonie, D. E. Lopez-Fogliani, C. Munoz and A. M. Teixeira,

“Theoretical Prediction for the Direct Detection of Neutralino Dark Matter in

the NMSSM”, hep-ph/0408102 v3, Jan. 2005.

menon [21] A. Menon, D. E. Morrissey and C. E. Wagner, “Electroweak Baryogenesis and

Dark Matter in a Minimal Extension of the MSSM”, Phys. Rev. D 70, 2004.

ellis [22] J. Ellis, J. F. Gunion, H. E. Haber, L. Roszkowski and F. Zwirner, “Higgs Bosons

in a Nonminimal Supersymmetric Model”, Phys. Rev. D 39, 1989.

Nath1 [23] B. Kors and P. Nath, “A Supersymmetric Stueckelberg U(1) Extension of the

MSSM”, hep-ph/0406167 v2, Sep. 2004.

Nath2 [24] B. Kors and P. Nath, “How Stueckelberg Extends the Standard Model and the

MSSM”, hep-ph/0411406 v1, Nov. 2004.

Nath3 [25] B. Kors and P. Nath, “Aspects of the Stueckelberg Extension ”, hep-ph/0503208

v2, Jul. 2005.

Estensioni Supersimmetriche del Modello Standard e ...coriano/tesi/morelli.pdfTesi di Laurea...

Documents

Transcript of Estensioni Supersimmetriche del Modello Standard e ...coriano/tesi/morelli.pdfTesi di Laurea...