ESTENSIONI SEMPLICI

e

TEOREMA DELL’ELEMENTO

PRIMITIVO

Estensioni semplici:Estensioni semplici: proprietà proprietà

Teorema Dell’ Elemento Teorema Dell’ Elemento

Primitivo: obiettivo Primitivo: obiettivo provare che ogni provare che ogni

estensione di gradoestensione di grado

finito è finito è semplice.semplice.

Estensioni di campiEstensioni di campi

DEFINIZIONEDEFINIZIONEUn ampliamentoampliamento o un’ estensione estensione di un

campo F èun qualunque campo K K che contenga FF.

Il campo R dei reali è un’estensione di Q.Il campo dei complessi C è un ampliamento di

R e Q.

Dato un campo Dato un campo F F ed una sua estensione ed una sua estensione KK , , vediamo vediamo come è possibile costruire degli ampliamenti come è possibile costruire degli ampliamenti intermedi tra intermedi tra K K ed ed F.F.

Sia S un sottoinsieme di K.Sia S un sottoinsieme di K. Indicheremo con Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti F(S) l’intersezione di tutti i i sottocampi di K contenenti F ed Ssottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il , ovvero il più più piccolo sottocampo contenente F ed S.piccolo sottocampo contenente F ed S. Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto aggiungendo il sottoinsieme S.aggiungendo il sottoinsieme S.

Se si dice che Se si dice che è un’estensione è un’estensione

semplice del campo .semplice del campo .

Chi sono esattamente gli elementi di ?Chi sono esattamente gli elementi di ?

PROPOSIZIONEPROPOSIZIONE Sia un’estensione di e sia . Allora

DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE

Poniamo Poniamo

Pertanto dato che è un campo che Pertanto dato che è un campo che

contiene ed .contiene ed .

Vale anche l’inclusione inversa, , poichéVale anche l’inclusione inversa, , poiché

gli elementi di devono stare in qualunque gli elementi di devono stare in qualunque campo campo

contenente ed .contenente ed .

ESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICIESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICI

1) 1) Sia e . Risulta Sia e . Risulta

2) 2) SiaSia ed . Risultaed . Risulta

Poiché , le espressioni in si Poiché , le espressioni in si

possono ridurre nel seguente modo possono ridurre nel seguente modo

Ma Ma

ee

sono entrambi elementi di . Quindi gli elementi sono entrambi elementi di . Quindi gli elementi di di

possono scriversi tutti nella forma possono scriversi tutti nella forma con con

In definitivaIn definitiva

Osserviamo che il diverso comportamento delle due Osserviamo che il diverso comportamento delle due estensioni dipende dalla natura dell’elemento estensioni dipende dalla natura dell’elemento

cheche si sta aggiungendo.si sta aggiungendo. DEFINIZIONEDEFINIZIONE Sia un campo e un’ estensione di . Sia un campo e un’ estensione di . Un elemento si dice Un elemento si dice algebricoalgebrico su su se esiste un polinomio non nullo se esiste un polinomio non nullo tale chetale che

Un elemento si diceUn elemento si dice trascendente trascendente su se su se non non

è algebrico.è algebrico.

Se ed gli elementi di Se ed gli elementi di algebrici algebrici

su si chiamano su si chiamano numeri algebricinumeri algebrici . .

Inoltre, possiamo pensare ogni campo come Inoltre, possiamo pensare ogni campo come spazio spazio

vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo .vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo .

DEFINIZIONEDEFINIZIONE Dato un campo ed una sua estensione si Dato un campo ed una sua estensione si definisce definisce gradogrado dell’estensione sul campo , dell’estensione sul campo , e si indica con , la dimensione di comee si indica con , la dimensione di come spazio vettoriale su .spazio vettoriale su . DEFINIZIONEDEFINIZIONE Un’estensione di un campo si dice Un’estensione di un campo si dice finita finita sese il suo grado èil suo grado è finito. Si dice finito. Si dice infinita infinita inin caso contrario.caso contrario. TEOREMATEOREMA Dati un’estensione di un campo ed un Dati un’estensione di un campo ed un

elemento elemento , è algebrico se e solo se è , è algebrico se e solo se è un’ estensione finita.un’ estensione finita.

Ora, sia .Ora, sia .

Costruiamo l’estensione e calcoliamo il Costruiamo l’estensione e calcoliamo il suosuo

grado su .grado su .

Aggiungeremo prima , ottenendo Aggiungeremo prima , ottenendo l’estensione l’estensione

, e poi aggiungeremo l’elemento a , e poi aggiungeremo l’elemento a . .

è algebrico su , di grado 2, dato che il è algebrico su , di grado 2, dato che il suo suo

polinomio minimo è .polinomio minimo è .

Ora aggiungiamo a . Ora aggiungiamo a .

Il polinomio è irriducibile su .Il polinomio è irriducibile su .

Pertanto l’estensione Pertanto l’estensione

ha grado 2 su . ha grado 2 su .

In definitiva In definitiva

Dato che una base di su è Dato che una base di su è

e una base di su è , una base di e una base di su è , una base di

su è data dasu è data da

e e

Osserviamo che .Osserviamo che .

Notiamo anche cheNotiamo anche che

e e

sono elementi di e quindisono elementi di e quindi

Inoltre Inoltre

Ne segue che Ne segue che

cioè cioè

Teorema dell’Elemento Teorema dell’Elemento PrimitivoPrimitivo

Sia un campo di caratteristica zero oppureSia un campo di caratteristica zero oppure

finito e sia un’estensione di finito e sia un’estensione di gradogrado

finito di . finito di .

Allora esiste tale che Allora esiste tale che

Un tale elemento prende il nome di Un tale elemento prende il nome di elemento elemento

primitivo primitivo . .

DIMOSTRAZIONEDIMOSTRAZIONE

Se è un campo finito , è un’estensione di Se è un campo finito , è un’estensione di gradogrado

finito di . Allora è un campo finito e quindi finito di . Allora è un campo finito e quindi

il gruppo è ciclico. Se è un generatore il gruppo è ciclico. Se è un generatore

di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è

potenza di per cui ed è potenza di per cui ed è

un’estensione semplice di .un’estensione semplice di .

Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2.Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2.

E’ sufficiente provare che se alloraE’ sufficiente provare che se allora

per un opportuno .per un opportuno .

Siano . Osserviamo che, poiché la Siano . Osserviamo che, poiché la

dimensione di su è finita, abbiamo che dimensione di su è finita, abbiamo che

è un’estensione algebrica di .è un’estensione algebrica di .

Quindi, in particolare, e sono algebriciQuindi, in particolare, e sono algebrici

su .su .

Siano e i polinomi minimi rispettivamente Siano e i polinomi minimi rispettivamente

di e su e sia il campo di spezzamento di e su e sia il campo di spezzamento

di di su .su .

Allora esistono e tali che Allora esistono e tali che

Inoltre, sono a due a due distinte come anche Inoltre, sono a due a due distinte come anche

, poiché i polinomi e sono irriducibili su , poiché i polinomi e sono irriducibili su

un campo di caratteristica zero. un campo di caratteristica zero.

Ora, essendo una radice di coincide con Ora, essendo una radice di coincide con

una delle radici , ed essendo unauna delle radici , ed essendo una

radice di coincide con una delle radici radice di coincide con una delle radici

..

Senza perdere di generalità, assumiamoSenza perdere di generalità, assumiamo

e .e .

L’idea è di trovare un elemento tale che L’idea è di trovare un elemento tale che

Come scegliamo un elemento arbitrarioCome scegliamo un elemento arbitrario

dell’insieme dell’insieme

Questo insieme è non vuoto poiché è infinito, Questo insieme è non vuoto poiché è infinito,

invece l’insieme che si sottrae a è finito. invece l’insieme che si sottrae a è finito.

Per come è scelto vale Per come è scelto vale

cioè .cioè .

Poniamo . Poniamo .

Ovviamente così per dimostrare Ovviamente così per dimostrare

che basta provare l’altra che basta provare l’altra

inclusione, cioèinclusione, cioè

(*)(*)

Poniamo .Poniamo .

Sia il polinomio minimo di su . Sia il polinomio minimo di su .

Vogliamo dimostrare che è lineare.Vogliamo dimostrare che è lineare.

Infatti, se proviamo ciò e Infatti, se proviamo ciò e

quindi . quindi .

Vale , pertanto Vale , pertanto

in .in .

Poniamo .Poniamo .

Vale Vale

quindi in .quindi in .

Pertanto ogni radice di è radice sia di Pertanto ogni radice di è radice sia di cheche

di .di .

Ora le radici diOra le radici di sonosono , inoltre, inoltre

se si ha se si ha

Ne segue che è l’unica radice comune di Ne segue che è l’unica radice comune di

ed .ed .

Pertanto è l’unica radice di .Pertanto è l’unica radice di .

Segue che è potenza del polinomio .Segue che è potenza del polinomio .

Però e Però e

sono a due a due distinte. Ne che segue sono a due a due distinte. Ne che segue

dunque .dunque .

Da ciò segue che anche . Da ciò segue che anche .

Così abbiamo provato che Così abbiamo provato che

ee

e quindi che .e quindi che .

Da (*), per induzione su n si ottiene che seDa (*), per induzione su n si ottiene che se

allora esiste tale cheallora esiste tale che

Allora vale la tesi, perchè, essendo finita, Allora vale la tesi, perchè, essendo finita,

esistono tali che esistono tali che . .

Abbiamo così provato che ogni estensione Abbiamo così provato che ogni estensione finitafinita

di un campo di caratteristica zero è di un campo di caratteristica zero è semplice.semplice.

ESEMPIO ESEMPIO

SiaSia e sianoe siano

concon

Per c=1 la condizione Per c=1 la condizione

è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3.è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3.

Applicando il teorema segue che Applicando il teorema segue che

Donatella PassabìDonatella Passabì