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E.Smerieri & L.Faè Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Il Teorema di Sovrapposizione

degli effettiLaboratorio Liceo Scientifico M.L. King – Genova

26 marzo 2007

Progetto Lauree Scientifiche Genova - 2007

Linearità e sovrapposizione

• La sovrapposizione è valida ogni qualvolta la relazione tra due grandezze è di semplice proporzionalità

• Matematicamente un elemento descritto dall’equazione y = f(x) si

dice lineare se per essa valgono le seguenti proprietà

)( , )( 2211 xfyxfy )( 2121 xxfyy

)( 11 xfy )( 11 xafya


• Il teorema vale per circuiti con generatori che forniscono tensioni di forma qualsiasi e costituiti da soli elementi linearicostituiti da soli elementi lineari.

• Si dimostra che se un circuito è realizzato con componenti R - L - C a parametri costanti e da generatori ideali la sua risposta è lineare.

La sovrapposizione degli effettinei circuiti elettrici

La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad ogni singolo generatore agente da solo e passivando ogni singolo generatore agente da solo e passivando gli altri.gli altri.


Alcuni esempi

1. Circuito resistivo con una lampadina e con due generatori in continua

2. Circuito puramente resistivo (con tre resistenze) e due generatori in continua

3. Circuito RC con due generatori in continua

4. Circuito con due resistenze e un diodo e due generatori in continua


Circuito con la lampadina

E

I [A] V [V] R[]

0,067 0,102 1,5

0,090 0,187 2,1

0,122 0,564 4,6

0,137 0,743 5,4

0,159 1,022 6,4

0,189 1,451 7,7

0,190 1,481 7,8

0,200 1,681 8,4

0,220 2,04 9,3

0,230 2,23 9,7

0,250 2,53 10,1

0,260 2,72 10,5

0,270 2,98 11,0

0,280 3,20 11,4

0,290 3,48 12,0

0,310 3,96 12,8

Dalla tabella voltamperometrica della prima esperienza effettuata si trova che in corrispondenza di una tensione di circa 4V la corrente è 310 mA


Con la lampadina NON vale il teorema di sovrapposizione

E1

E1

E2

I [A] V [V]

0,067 0,102

0,090 0,187

0,122 0,564

0,137 0,743

0,159 1,022

0,189 1,451

0,190 1,481

0,200 1,681

0,220 2,04

0,230 2,23

0,250 2,53

0,260 2,72

0,270 2,98

0,280 3,20

0,290 3,48

0,310 3,96

E1 = 1.02 V I1=159 mA

E2 = 2.98 V I2=270 mA

ma in questo caso

E1+ E2 = 4 V

I1+ I2 = 429 mAE2


Un altro semplice esempioCircuito Lineare

1. Studio con le Leggi di Kirchoff2. Studio con il teorema di sovrapposizione degli effetti


Studio con i Principi di Kirchoff

213

33222

33111

III

IRIRE

IRIRE

Si trova facilmente

I1 = 2.87 mA I2 = 0.93 mA I3 = 3.8 mA


Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti



mA 797.3819.0978.2

mA 930.0377.1447.0

mA 866.2558.0424.3

''3

'33

''2

'22

''1

'11

III

III

III

Il segno meno per I2 indica semplicemente che la corrente circolanel verso opposto a quello prescelto come positivo.

Il risultato è lo stesso di quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff


Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti

• Primo caso : condensatore inizialmente SCARICO

• Secondo caso : condensatore inizialmente CARICO a 2 V


Circuito RC - Condensatore scarico


Circuito RC - Condensatore carico


Il circuito RC e la sovrapposizione degli effetti - Considerazioni

1. Nel Primo caso con il condensatore inizialmente SCARICO il Teorema di sovrapposizione fornisce risultati corretti

2. Nel Secondo caso con il condensatore inizialmente CARICO il Teorema di sovrapposizione non fornisce risultati corretti

Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o induttivi) sono scarichiinduttivi) sono scarichi


Un semplice esempiodi circuito non lineare

1. Studio con le Leggi di Kirchoff2. Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti (si vedrà

che non è applicabile)


Studio con i Principi di Kirchoff

21

222

111

III

VIRE

VIRE

D

D

D

Si trova facilmente, considerando VD ≈ 0.7 V,

I1 = 6.5 mA I2 = 1.13 mA ID = 7.63 mA



mA 312.7873.0439.6

mA 052.1141.1069.0

mA 435.6069.0504.6

'''

''2

'22

''1

'11

DDD III

III

III

Il RISULTATO ottenuto è ERRATO.È differente da quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff.

Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare soltanto se gli elementi circuitali sono linearisoltanto se gli elementi circuitali sono lineari


Strumentazione disponibilePrimo Alimentatore

Il generatore fornisce tensioni continue variabilida circa 1.5 V a 30 V e corrente massima 1A

Regolazione

Uscita


Strumentazione disponibileMultimetro digitale

COM

10A

V – mA -

Funzione


• Molto economico

• Tensione d’uscita stabilizzata e variabile a scatti con valori 1.5V- 3V- 4.5V- 6V-7.5V- 9V-12V

Variatore di tensione

Strumentazione disponibileSecondo Alimentatore


Circuiti per le esperienze proposte

Circuito a)

Circuito b)

1. Studio con Kirchoff2. Studio con la sovrapposizione degli effetti


Esperienza 1a : Kirchoff1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)

2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando le Leggi di Kirchoff

3. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il calcolo con quelli misurati


Esperienza 2a: Sovrapposizione

1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)

2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione

3. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a) applicando il teorema di sovrapposizione



Esperienza 2a: Sovrapposizione

Il Teorema di sovrapposizione si può applicare Il Teorema di sovrapposizione si può applicare perchè la resistenza è un elemento circuitale lineareperchè la resistenza è un elemento circuitale lineare


Esperienza 1b : Kirchoff1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)

2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando le Leggi di Kirchoff


Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V


Esperienza 2b: Sovrapposizione

1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)

2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione

3. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b) applicando il teorema di sovrapposizione


Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V


Esperienza 2b: Sovrapposizione

Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare perchè il diodo è un elemento circuitale non lineareperchè il diodo è un elemento circuitale non lineare

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