es_fis2

Vittorio Mussino: [email protected] Dipartimento di Fisica Politecnico di Torino ____________________________________

Parte 1 1

FISICA II

(ESERCIZI SVOLTI E COMMENTATI)


Parte 1 2


Parte 1 3

1) Due cariche puntiformi uguali q+ , ferme alla distanza 02d luna dallalta, esercitano unazione sulla

carica 0q+ ferma in un punto dellasse della loro congiungente. Calcolare La forza complessiva esercitata su 0+ , q la posizione nella quale lintensit della forza esercitata risulta massima ed il suo valore.

(rappresentazione 01)

La forza elettrostatica , esercitata dalle due cariche positive tFG

q+ sulla carica , data dalla risultante delle due forze

0q+

(1) ( )t 1F x F F= +G G 2G essendo

01 12

0 01 2 2

0 02 22

0

qq1F u4 r qq1F F

qq1 4 rF u4 r

= = = =

G G

G G

Osservando il sistema di riferimento in figura, si deduce che 2 2

0r x d= + 2yG

y

( ) ( )1 x y xu cos u sin u cos u sin u= + = G G G GG G G 2 xu cos u sin u= +

con 0 0

2 20

d dsinr x d

= = + 2 20x xcosr x d

= = + Sostituendo nella relazione (1) si ottiene

(1) ( ) ( )0t 1 2 x 0 3 22 2 20 0 0qq1 1 xF x F F 2 cos u qq u

4 r 2 x d= + = = +

G G Gx

G G

Per calcolare il massimo dellintensit di tale forza, si annulli la derivata prima (rispetto ad x) del modulo della relazione (1), ossia

( )( )

2 2t 0

0 5 22 20 0

dF x d 2x1 qq 0dx 2 x d

= = +

ossia

02x d

2=

In tali punti la forza (1) assume il massimo valore dellintensit

0max x2

0 0

qq3F u9 d

= G G

2) Due sferette (uguali per dimensioni e massa), elettrizzate con identica carica q+ , sono sospese a fili

indeformabili lunghezza 0l e massa trascurabile. I punti di sospensione sono posizionati a distanza

02d luno dallaltro e, nella posizione di equilibrio strabile, i fili formano un angolo rispetto alla verticale. Determinare il valore delle cariche di elettrizzazione.


Considerato il sistema di riferimento in figura, su ognuna delle sferette agiscono


Parte 1 4

la forza di Coulomb C x2

0

1 qqF u4 x

= G G

la forza peso yP mg u=

G G la tensione

T Tu=G G essendo

( )0 0 0 0x 2d 2l sin 2 d l sin= + = + x y xu cos u sin u sin u cos u2 2

y= + + + = +

G G G G G

0

Nella condizione di equilibrio stabile, la risultante delle tre forze deve essere nulla

CF P T+ + =G G G

e tale relazione vale anche per le componenti

(2) asse x: ( ) x x20 0 01 qq T u 0

4 2 d l sin

= + G

(3) asse y: ( )y yT mg u 0 =G Le due componenti della tensione valgono T

G

xT Tsin= yT T cos= Dalla (3) si ricava il modulo della tensione

mgTcos

= e dalla (2) si ricava il valore della carica di elettrizzazione

( )0 0 0q 2 d l sin 2 mg tan= + 3) Quattro cariche puntiformi uguali q+ sono posizionate ai vertici di un quadrato ideale di lato 0l .

Calcolare la forza agente su una qualsiasi delle cariche, il valore di una carica 0q , posta al centro del quadrato, affinch la risultante di tutte le forze

agenti su ciascuna carica sia nulla.

(rappresentazione 03) Dato un sistema di riferimento come in figura, le forze agenti sulla carica q+ posta nellorigine sono

1 x20 0

1 qqF u4 l

= G G ( )2 20 0

1 qqF u4 l 2

= G G 3 y2

0 0

1 qqF u4 l

= G G

essendo il versore definito dalla relazione uG

x y x2 2u cos u sin u u u

2 2= + = +G G G G yG

La forza risultante pari a

( )2tot 1 2 3 x y20 0

8 2 qF F F F u u16 l+= + + = +

G G G G G G con modulo


Parte 1 5

( ) ( ) 22 2tot tot tot 2x y0 0

1 4 2 qF F F8 l+= + =

Posizionando la carica al centro del quadrato, affinch non sia esercitata alcuna azione su ognuna delle cariche poste ai vertici del quadrato, deve vale

0qq+

( )( )

0x y2

0 0tot 2

tot x y20 0

qq2F u4 l

F F 08 2 qF u16 l

= + + = + = +

u

u

G G GG G

G G G

totF F =

ossia

01q q 1 42

= + 2 4) Tre cariche puntiformi uguali q+ sono posizionate ai vertici di un ideale quadrato di lato 0l .

Calcolare sia il campo sia il potenziale elettrostatico nel vertice libero. Nellipotesi che la carica puntiforme 0q+ si sposti dallinfinito fino al vertice libero, calcolare il lavoro speso.


Dato un sistema di riferimento come in figura, il campo elettrostatico nel vertice libero dato da (4) A BE E E E

= + + OG G G G

con

A x20 0

1 qE u4 l

= G G ( )O 20 0

1 qE u4 l 2

= G G B y2

0 0

1 qE u4 l

= G G

essendo il versore definito dalla relazione uG

x y x2 2u cos u sin u u u

2 2= + = +G G G G yG

Sostituendo nella (4) i valori si ricava

( )x y20 0

4 2 qE u16 l

+= + uG G G

il cui modulo vale 2 2x y 2

0 0

1 2 2 qE E E8 l

+= + = Per il principio di sovrapposizione degli effetti, il potenziale elettrostatico pari alle somma dei potenziali elettrostatici determinati dalle tre cariche

(4) * A BV V V V= + + Ocon

A B0 0

1 qV V4 l

= = O 0 01 qV

4 l 2=

2 sostituendo in (4) si ricava

0 00

1 q 4 2V4 8l 2

+= = 0ql

Il lavoro speso per trasferire la carica dallinfinito fino al vertice libero vale 0q+


Parte 1 6

( ) 00 00 0

qq4 2L q V V q V8 l

+= = = 5) Tre cariche puntiformi uguali q+ sono posizionate ai vertici di un ideale triangolo equilatero di lato

0l . Calcolare sia il potenziale elettrostatico sia la forza agente su ognuna delle cariche. Nellipotesi che una delle cariche sia libera di muoversi, determinare la sua energia cinetica quando essa si allontanata fino a non pi risentire alcuna azione da parte del sistema delle cariche.


Considerato il riferimento in figura, il potenziale elettrostatico nel vertice C vale

C A B0 0 0 0

1 q 1 qV V V4 l 4 l

= + = + ossia

C0 0

1 qV2 l

= Il campo elettrostatico nel punto C la sovrapposizione dei due campi elettrostatici

A 20 0

1 qE4 l

= AuG G B B2

0 0

1 qE u4 l

= G G

essendo i versori definiti da

A x y x1 3u cos 60 u sin 60 u u u2 2

= + = +D DG G G G

( ) ( )yG

B x y x1 3u cos 90 30 u sin 90 30 u u u2 2

= + + + = +D D D DG G G G yG Il campo dato da CE

G

C A B x y2 20 0 0 0

1 q 1 1 3 3 3 qE E E u u u4 l 2 2 2 2 4 l

= + = + + = G G G

yG G G

e la forza agente sulla carica posizionata in C vale q+2

C C 20 0

3 qF qE4 l

= + = yuG G G

Il campo elettrostatico un campo conservativo e quando una delle cariche del sistema si muove, spostandosi dal vertice nel quale posizionata fino allinfinito (ossia fino in un punto nel quale risulti nulla lazione del campo elettrostatico generato dalle altre), ad essa applicabile la conservazione dellenergia meccanica

( ) ( )2

C C C0 0C

1 qT 0 U qVT U T U 2 l

T 0 U 0

= = + =+ = + =

2

C0 0

1 qT U2 l

= = 6) Tre cariche puntiformi uguali q+ sono posizionate ai vertici di un ideale triangolo equilatero di lato

0l . Calcolare sia il potenziale elettrostatico sia il campo elettrostatico al centro del triangolo.

(rappresentazione 06) Il centro del triangolo un punto equidistante dai tre vertici


Parte 1 7

0A B C

lr r r r3

= = = = e scegliendo un riferimento come in figura si ricava

A A A20 0

1 q 1 qE u V4 r 4

= =r

G

G

B B B20 0

1 q 1 qE u4 r 4

= =r

G

G V

C C C20 0

1 q 1 qE u V4 r 4

= =r

G

G

Osservando che , i tre versori sono definiti dalle relazioni 30 = D

A x y x3 1u cos u sin u u u

2 2= + = +G G G G yG

( ) ( )B x y x y 3 1u cos 180 u sin 180 u cos u sin u u u2 2= + = + = +D DG G G G G G x yG C yu u= G G

Il potenziale elettrostatico la somma dei tre potenziali

tot A B C0

3 qV V V V4 r

= + + = Ossia

tot0 0

3 3 qV4 l

= Il campo elettrostatico complessivo vale

tot A B C x y20

1 q 3 3 1 1E E E E u 1 u4 r 2 2 2 2

= + + = + + G G G G G G

ossia

totE 0=G

7) Dato il riferimento { }O x, y , si consideri un campo elettrostatico piano ed uniforme 0 xu=0E EG G .

Calcolare: la differenza di potenziale fra il punto O ed i generico punto P, posto sulla bisettrice dellangolo lxy , a distanza 0OP l= ;

il lavoro compiuto per spostare la carica 0q dal punto O al punto P; lenergie potenziali elettrostatiche nei punti O e P, stabilendo se abbiano o meno valore differente.


La differenza di potenziale fra i punto O e P definita dalla relazione 0P P l

O P 0 0 0 0O O 0

2 2V V E dl E dlcos 45 E dl E l2 2

= = = = D 0GG o anche

P O 02V V V E l

2= = 0

Essendo il campo elettrostatico conservativo, vale la relazione

0E grad= VJJJJJJGG

e ricordando la definizione delloperatore gradiente, nel presente esercizio a causa della simmetria si ha


Parte 1 8

0 x xdVE u udx

= G G 0P P P

0 0 0O O O

2dV E dx E ds cos 45 E ds2

= = = l0 D

P O 02V V V E l

2 = = 0

come nel caso precedente. Il lavoro speso per spostare la carica dal punto O al punto P dato dalla relazione 0q

( )O P

P P

OP 0 0 0 O P 0 0 0O OU U

2L F dl q E dl q q E l2

= = = = G GG G V V

ossia

OP 0 0 02L q E l

20= <

da cui di deduce che , ragion per cui si ha ( )O PU U < 0P OU U<

Infatti, la carica si muoverebbe spontaneamente in verso opposto al campo e per portarla dal punto O al punto P deve essere spesa energia.

0q

8) Quattro cariche puntiformi uguali q+ sono posizionate ai vertici di un quadrato ideale di lato 0l .

Calcolare lenergia potenziale elettrostatica del sistema, il lavoro necessario per spostare la carica posizionata in A fino a P, punto intermedio del alto

opposto.

(rappresentazione 08) Lenergia potenziale elettrostatica definita dalla relazione

2 2i j

i j0 ij 0 0 0 0

q q1 1 1 1 1 q 1 1 qU 4 22 4 r 2 2 4 l 2 4 l 2

= = + ossia

2

0 0

4 2 qU8 l+=

Essendo il campo elettrostatico conservativo, il lavoro che compie su una carica in moto indipendente dal percorso seguito. Dalla relazione ( )AP A PL q V V= + con

A0 0 0 0 00

1 q 1 q 4 2 qV 24 l 4 8 ll 2

+= + =

P0 0 0 0 00

1 q 1 q 5 5 qV 24 l 2 4 5 ll 5 2

+= + = e sostituendo si ricava

AP0 0

2 2 5 6 qL20 l+ =

9) Due masse puntiformi, sospese a fili indeformabili di lunghezza 0l e agganciati ad un medesimo

punto, sono elettrizzate in modo identico. Calcolare il valore delle cariche in condizione di equilibrio.


Parte 1 9


Scelto un riferimento come in figura, le masse sono assimilabile a pendoli matematici e le forze agenti su ognuna di essi sono la

forza coulombiana e x20 0

1 qqF u4 d

= G G con 0 0d 2l sin=

forza peso y P mgu= G GG G tensione del filo T Tu=

essendo il versore definito dalla relazione ( ) ( )x y xu cos 90 u sin 90 u sin u cos u y= + + + = + D DG G G G G La condizione di equilibrio definita dalla relazione

CF P T 0+ + =G G G

che risulta valida anche per le componenti e precisamente

componente asse x) x20 0

1 qq Tsin u 04 d

= G

componente asse y) ( ) yT cos mg u 0 =G Si osservi che i valori del seno e del coseno dellangolo valgono

0

0

d 2sinl

= ( )20 00

l d 2cos

l =

Dalla componente asse y) si ottiene mgT

cos=

e dalla componente asse x) si ricava il valore della carica

0 0q 4l sin mg tan= A titolo di completezza, il campo elettrostatico nel punto di aggancio dei due fili ha modulo

O 20 0

1 qE2 l

= Ed il potenziale elettrostatico

O0 0

1 qV2 l

= 10) Si consideri una sferetta metallica di raggio R posta nellaria. Determinare il massimo valore di

carica superficiale che possibile localizzare senza che scocchi una scintilla. (sia scEG

il campo elettrostatico critico per il quale avviene la scarica).

A causa della simmetria della distribuzione superficiale di carica, il medesimo effetto determinato da una carica immagine di identico valore posizionata al centro delle sferetta. Considerando la superficie della sferetta come superficie gaussiana, la legge di Gauss impone

( ) N2 maxsc sc scariaS S

qE E n dS E 4 R = = = G G Gw

maxsc r2

aria

q1E u4 R

= G G

essendo il campo a simmetria radiale. Ossia 2

max aria sc aria scq 4 R E SE= =


Parte 1 10

( )max aria sc aria scq SE= = EG Il medesimo risultato si ottiene applicando la relazione che definisce il campo elettrostatico generato da un conduttore elettrizzato nellaria (teorema di Coulomb)

max

aria

E n= G G

Al valore critico vale e la densit superficiale di carica vale crE EG G

mqxmax 2

q4 R

= e sostituendo si ricava proprio la relazione precedente.

11) Nellorigine di un sistema di riferimento { },O x y, z , la carica 0q+ genera nel vuoto il campo

elettrostatico 0EG

che esercita unazione sulla carica q+ posta a distanza r = G . Ricavare la forza di interazione fra le due cariche e dimostrare se tale forza sia o meno conservativa.

P O

La forza coulombiana di interazione fra le cariche data da

0 00 0 r2 2

0 0

qq qq1 1F qE u4 r 4 r

= = = rr

GG G G e poich valgono la relazioni

2

1 d 1r dr r

= rru grar

= = drG JJJJJGG

si pu scrivere

(5) 00 0 0 00 0

qq1 d 1 1 1 1F qE qq qq grad grad4 dr r 4 r 4 r

= = = =

JJJJJJJJJJJJJJJJJJG

0

JJJJJJJJJGG G

La relazione che definisce lenergia potenziale elettrostatica di due cariche nel vuoto 0

00

qq1U4 r

= quindi sempre possibile esprimere la forza elettrostatica fra due cariche (grandezza vettoriale) come gradiente dellenergia potenziale elettrostatica ( rande lare) g zza sca

0 0F gradU= JJJJJJJGG

Il campo elettrostatico (grandezza vettoriale) si pu esprimere come gradiente del potenziale elettrostatico (grandezza scalare)

0EG

0V

00

0

q1V4 r

= ossia

0 0E grad= JJJJJJJGG

V La tabella comparativa la seguente

00 r2

0

q1E u4 r

= G G ( )q 00 r2

0

qq1F u4 r

= G G

( )grad JJJJJJJJJG" ( )grad JJJJJJJJJG" 0

00

q14 r

= V ( )q 00 0qq1U

4 r=


Parte 1 11

Si consideri un potenziale elettrostatico definito dalla relazione ( ) 4 30V x kx= +V

essendo k una costante arbitraria positiva. Il campo elettrostatico vale

( ) ( ) ( )4 3 1 30 xd 4E x gradV x V kx kx udx 3= = + = JJJJJJJJJJGG G

Si consideri un potenziale elettrostatico definito dalla relazione ( ) 2V r kr=

essendo k una costante arbitraria positiva. Calcolare sia il campo elettrostatico, nel generico punto P di un riferimento { }O x, y, z a distanza P O r = G dallorigine, sia la densit volumica di carica. La distanza r definita in coordinate cartesiane come 2 2 2y z2r x= + + e applicando la definizione di conservativit

(6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x yV r V r V rE r grad r u u ux y z = = + +

JJJJJJJJJGGz

G G GV

ossia ( ) ( )2 2 2V r k x y z 2kx x = + + = x ( ) ( )2 2 2V r k x y z 2ky y = + + = y ( ) ( )2 2 2V r k x y z 2kz z = + + = z

Sostituendo nella (6) si ottiene ( ) ( )x y zE r 2k xu yu zu 2kr= + + = G GG G G

con modulo ( ) 2 2E x, y, z 2k x y z2= + +

La densit volumica di carica deve soddisfare lequazione di Maxwell

( ) yx z0

EE E1divE r 6kx y z

= = + + = G

ossia 06k =

12) Due sferette conduttrici di massa m con una carica q sono poste su una retta orizzontale a distanza

02d reciprocamente. Una terza sferetta conduttrice, sempre di massa m e carica q+ , posta sullasse della congiungente delle due prime cariche. Sapendo che il sistema posizionato verticalmente, trovare la posizione di equilibrio.


Scelto un riferimento come in figura, si ponga langolo in A e B, x AC BC= = la distanza fra le due cariche q e la carica q+ , 2 20sin OC AC x d x = = 0cos OA AC d x = = La carica positiva in C sottoposta allazione delle due forze attrattive

2

A 20

1 qF4 x

= G

AuG

2

B B20

1 qF u4 x

= G G

essendo i due versori


Parte 1 12

y G

y

( ) ( )A x y xu cos 180 u sin 180 u cos u sin u= + = +D DG G G GG G G A xu cos u sin u= +

La forza attrattiva complessiva la risultante delle due forze precedenti

(7) 2 22

02A B y2 3

0 0

x d1 q 1F F F 2 sin u q u4 x 2 x

= + = = G G G

yG G

e nella condizione di equilibrio detta risultante uguale alla forza peso F P= G G

2 202

30

x d1 q m2 x

= g

Ponendo 2

0

1 q2 m

= g , la precedente equazione assume la forma

(8) 3 2 0x x= 2d quadrando la relazione (8) e ponendo ulteriormente 2y x= , si ricava la funzione da studiare

( ) 3 2 2 0f y y y d= + La ricerca dei valori di massimo e di minimo si attua annullando la derivata prima della funzione

( ) 2 2df y 3y 0dx

= = 3y3

= e studiando il segno della derivata seconda nei punti di annullamento della derivata prima

( )22

d f y6y

dy=

2

2

d 3fdy 3

+ > 0 minimo

2

2

d 3fdy 3

e la funzione ( )f y non interseca alcun punto dellasse delle ascisse: non esistono posizioni di equilibrio stabile. La carica q+ cade.

In corrispondenza del massimo si ha 20d 2 3 9 e la funzione < ( )f y interseca in due punti lasse delle ascisse: esistono due posizioni di equilibrio stabile

1 230 x x

3< < < <

In corrispondenza del valore nullo della derivata prima si ha 20d 2 3 9 e la funzione = ( )f y tangente allasse delle ascisse: esiste una sola posizione di equilibrio stabile.

13) Un condensatore piano, sconnesso dallalimentatore, ha le armature (superficie S e distanza d)

indotte completamente con una densit superficiale di carica . Una lastra conduttrice piana (spessore s d< ) elettricamente neutra posizionata fra le armature (per non a loro contatto). Calcolare sia la densit superficiale di carica che compare sulle superfici della lastra sia la differenza di potenziale fra le armature.


Trascurando leffetto di bordo e sconnettendo il condensatore carico dallalimentatore, esiste fra le armature un campo elettrostatico uniforme dato da


Parte 1 13

0

E n= G G

Quando la lastra conduttrice inserita fra le armature, tale campo determina una rilocalizzazione delle sue cariche libere poich su di esse agisce una forza

F e E= G G

Sulla superficie della lastra, prossima allarmatura positiva del condensatore, si localizza un eccesso di cariche negative che determina una distribuzione superficiale negativa (induzione elettrostatica). Sulla superficie opposta della lastra si ha una carenza di cariche negative che viene decodificata come distribuzione di cariche positive. Durante il processo di rilocalizzazione, allinterno della lastra, si genera un campo elettrostatico di verso opposto ad EG EG . Quando viene raggiunto lequilibrio elettrostatico si ha

E E = G G ed il processo di rilocalizzazione si ferma: sulle superfici della lastra si hanno due distribuzioni superficiali di carica pari a

Fra le armature del condensatore, in condizione di equilibrio elettrostatico, esiste un campo elettrostatico nello spazio ( ) . d sIn assenza di lastra conduttrice, fra le armature esiste una differenza di potenziale data da

d

A B 00

V V E dl d = = GG

In presenza della lastra conduttrice, la differenza di potenziale fra le armature vale

( )A B0

V V d s = 14) Il potenziale elettrostatico fra gli elettrodi (superficie S e distanza reciproca d) di un tubo elettronico

dato dalla relazione ( ) 4 30V x V kx= +

Sapendo che gli elettrodi sono contenuti in unampolla nella quale stato fatto il vuoto, calcolare il campo elettrostatico, la densit volumica di carica ed numero di cariche per unit di superficie fra gli elettrodi.


Nel riferimento in figura, essendo il campo elettrostatico conservativo deve valere la relazione

( ) ( ) ( ) 1 3 xx 4E x grad x kx ux 3= = =

JJJJJJJJJJGG GVV La densit volumica si ricava applicando la relazione

( ) ( )x0

E x 1divE xx

= = G

da cui si ricava derivando 2 3

04 kx9

= La carica contenuta nel volume di spazio fra gli elettrodi vale

( ) ( )d 1 300W

4q x dW x Sdx kS3

= = = d E dividendo tale relazione per la superficie si ricava la densit di carica per unit di superficie

1 30

q 4 kdS 3

= =


Parte 1 14

15) Il nucleo di un atomo di carbonio pu essere rappresentato, in prima approssimazione, con una sfera di raggio R uniformemente elettrizzata (carica totale 0Q , essendo

1910 C la carica dellelettrone). Un protone (massa 2710 k

e 1.6= pm 1.67 g

e carica p 1e= q = + ) viene accelerato da un dispositivo, assimilabile ad un condensatore piano fra le cui armature applicata una d.d.p.

55 10 V . Ipotizzando che il protone parta dal punto A di generazione con velocit iniziale nulla e che attraversi larmatura forata, posizionata ad una distanza 100 m dalla superficie del nucleo di carbonio, calcolare:

V 6.8= d 1=

la velocit del protone alluscita da B, il raggio del nucleo di carbonio sapendo che, nelle condizioni indicate, il protone raggiunge la

superficie del nucleo con velocit nulla.

(rappresentazione 15) Il moto del protone del dispositivo di accelerazione deve soddisfare la conservazione dellenergia meccanica

( ) ( )A BT U T U+ = + essendo AT = 0 A pU q V= 2B p

1T m2

= v BU 0= Sostituendo tali valori si ricava

p 7

p

qv 2 V 1.15 10 m

m= = s

Nel punto di impatto, sulla superficie del nucleo di carbonio, vale ancora la conservazione dellenergia meccanica

( ) ( )B PT U T U+ = + essendo

2B p p

1T m v q2

= = V p 0B0

q Q1U4 d

=

PT = 0 p 0P0

q Q1U4 R

= si osservi che e sostituendo si ottiene BU U< P

0

0 0

Q dR4 d V Q

= + Poich , accettabile lapprossimazione ed il secondo termine del denominatore diventa trascurabile. Il raggio del nucleo di carbonio ha valore

d R>> BU 0

140

0

Q dR 1.264 d V

= 10 m 16) In un riferimento { }O x, y come in figura, si consideri una distribuzione lineare (densit uniforme )

definita fra i valori 0,{ }y e }0y , dellasse y. Calcolare il campo elettrostatico in un punto dellasse x (il valore del campo risulta funzione di x).

{+ +



Parte 1 15

Si considerino le due cariche infinitesime dq , poste a distanza y dallorigine O del sistema di riferimento. I due campi elettrostatici generati nel generico punto P dellasse delle ascisse hanno identico modulo

1 2 2 20 0

1 dq 1 dydE dE4 r 4 r

= = = e le loro risultante, per motivi di simmetria, diretta lungo lasse delle ascisse. Si ponga OP x= la distanza fra origine del riferimento e generico punto P, r la distanza fra dq ed il punto P, langolo formato dalle congiungenti le cariche dq con lasse delle ascisse, 0 langolo che sottende lordinata 0y dal punto P. Il modulo della risultante dei due campi elettrostatici 1dE

G e 2dE

G vale

(9) ( ) 2 21 2 1dE x dE dE 2dE cos= + = Attenzione: il contributo della distribuzione { }0, y espresso dal termine 2, dalla figura si deduce che

y x tan= 2ddy x cos=

x r cos= 2

2 2

1 cosr x

= Sostituendo nella (9) e integrando fra i limiti

0y y= 0 = y = + 2 =

si ha

( ) ( )0

2

0

1E x d sin2 r

=

( ) [ ]00

1E x 1 sin2 r

=

Poich 20 0sin y x y = + 20 , la relazione diventa

( ) 02

0 0

y1E x 12 r x y

= +

17) Si consideri una distribuzione lineare di cariche positive (densit ) di lunghezza 02d di centro O.

calcolare sulla retta della distribuzione: il potenziale elettrostatico nel punto A, a distanza x d , A 0> trascurando la distribuzione compresa nel tratto ( )02d< e centro O, il potenziale

elettrostatico nel punto B alla distanza 02x

0 Bx x d0< <

(rappresentazione 17) Fissato un riferimento con origine nel centro O della distribuzione, si consideri la carica dq dx= alla distanza da O. Il potenziale elettrostatico nel punto A vale (figura a) 0x d , concentrica alla distribuzione, la legge di Gauss

impone

( )2

est int04 r

1E E n dS

= = qG G Gw

Essendo , il flusso vale EG G// n

( ) 2 2est0

E E 4 r 4 R = = G

da cui 2

est0

REr

= G Gn per r R>

Quando r R= , si ottiene R

0

E = G Gn per r R=

Quando r R< , non essendo presenti cariche allinterno della superficie gaussiana, il campo nullo GintE = 0 per r R<

Il campo elettrostatico attraverso la distribuzione superficiale presenta una discontinuit pari a

est int0

E E E n= = G G G G

Internamente alla distribuzione il campo elettrostatico nullo, ma non risulta nullo il potenziale elettrostatico che ha valore costante in tutti i punti e risulta uguale al valore che ha sulla superficie sferica di raggio r Quando r R= , si ottiene


Parte 1 17

0( ) Rint intrV V R E dr = =G G ( )int

0

V V R = = R per r R< Quando r R> , si ottiene

( ) eest estRV V R E dr = G G sostituendo il valore del campo e integrando

2

est0

RVr

= per r R> 19) Nel centro di una sfera di raggio R, costituita da un materiale dielettrico omogeneo ed isotropo di

costante dielettrica relativa e , posta una carica 0q+ . Determinare landamento del campo elettrostatico e del vettore induzione elettrostatica nei punti interni ed esterni della sfera, ipotizzando che la sfera sia nel vuoto.

La variabile rispetto alla quale determinare quanto richiesto sia r. Data una superficie sferica gaussiana, concentrica alla sfera data, di raggio r R< (superficie interna), la legge di Gauss impone che

( )2

2int int int 0 0

e 04 r

1 1E E n dS E 4 r q

= = = = G G

qGw ossia

( ) 0int 2e 0

q1E r4 r

= r R> (superficie esterna), la legge di Gauss impone che

( )2

2est int est 0

04 r

1E E n dS E 4 r

= = = G G

qGw ossia

( ) 0est 20

q1E r4 r

= A causa della simmetria radiale delle linee del campo elettrostatico, i due vettori ( )E rG e ( )D rG risultano paralleli e concordi e normali alla superficie della sfera di raggio R. Passando dal materiale dielettrico al vuoto, il vettore induzione dielettrica non presenta discontinuit per le componenti normali. Quindi

( ) ( )e 0D r E r= G G ed il suo modulo vale

( ) 02q1D r 4 r= 20) Cariche elettriche positive sono uniformemente distribuite con densit volumica + allinterno di

una superficie cilindrica indefinita di raggio R. Determinare sia il potenziale elettrostatico sia la differenza di potenziale fra lasse del cilindro ed il mantello laterale.


Si consideri una superficie gaussiana cilindrica, coassiale con il cilindro dato, di raggio r R< ed altezza infinitesima . Sul mantello di tale superficie il campo elettrostatico ha valore costante e simmetria cilindrica. La legge di Gauss impone che valga

dh


Parte 1 18

( ) N20 0 dW

1 1d E E n dS E 2 rdh dq r dh = = = = //

G G G

Ossia

0

1E r2

n= G G

La differenza di potenziale fra lasse del cilindro di raggio R ed il suo mantello definita da R 2

asse mantello 00

1V V E dr R4 = =

G G

21) Assumendo come riferimento linfinito, calcolare il campo ed il potenziale elettrostatico di una

distribuzione volumica sferica di cariche (densit volumica uniforme + ) di raggio R.

Il campo elettrostatico presenta una simmetria radiale con orientamento verso lesterno. Si consideri una superficie gaussiana sferica di raggio r, concentrica alla distribuzione: la normale alla superficie parallela e concorde con il vettore campo elettrostatico

nGEG

. La legge di Gauss permette di determinare il campo elettrostatico nei tre casi: r R< , il flusso vale

( )2

2 3int int int int

0 04 r

1 1 4E E n dS E 4 r q3

= = = = G G

rGw da cui

int0

1E3=

G Gr n per r R< Internamente alla distribuzione il campo elettrostatico cresce uniformemente dal valore nullo nel suo centro fino a raggiungere il massimo valore sulla sua superficie

0

1E R3=

G Gn per r R= r R> , il flusso vale

( )2

2 3est est est

0 04 r

1 1 4E E n dS E 4 r q3

= = = = G G

RGw da cui

3

est 20

1 RE3 r=

G Gn per r R >Esternamente alla distribuzione il campo elettrostatico decresce secondo la legge 21 r fino ad annullarsi allinfinito

La differenza di potenziale definita da in punti esterni alla distribuzione

3r r3est est est 2

0 0

1 1 1V V 0 E dr R dr3 r 3 = = = = Rr

G GV 3

est0

1 RV3 r= per r R>

in punti interni alla distribuzione ( ) ( ) 3R r r3int superficie superficie int est int 2R

0 0

1 1 1V V 0 V V V E dr E dr R dr3 r 3 = + = + = = Rr

G GG G


Parte 2 19

R r3int 2 R

0 0

1 1 1V V R dr r d3 r 3

r = + da cui

2 2int

0

1 1V R2 3 = r per r R<

sulla superficie della distribuzione 2

est0

1V3= R per r R=

22) Calcolare la capacit di un condensatore le cui armature sono due sfere conduttrici concentriche

totalmente indotte fra le quali vi il vuoto.

(rappresentazione 22) Ipotizzando che la distribuzione delle cariche positive sia sullarmatura centrale di raggio e quella delle cariche negative sullarmatura esterna di raggio , la capacit del condensatore definita come

1R

2R

(10) 1 2

qC = V V Fra le armature totalmente indotte esiste un campo elettrostatico a simmetria radiale orientato dallarmatura interna verso quella esterna. Si consideri una superficie gaussiana di raggio e la legge di Gauss relativa a tale superficie impone che

1R r R< < 2

( ) 20

1E E 4 r q = = G

20

1 qE4 r

= La normale alla superficie gaussiana risulta parallela e concorde con il campo elettrostatico nG

20

1 qE n4 r

= G G

e la differenza di potenziale fra le armature vale 2

1

R2 1

1 2 R0 1 2 0 1 2

R Rq 1 1 qV V E dr4 R R 4 R R

= = = G G

Sostituendo tale relazione nella (10) si ottiene 1 2

02 1

R RC 4R R

= Considerazioni varie la capacit di un condensatore una propriet geometrica del sistema di conduttori, se 1 2 la capacit sarebbe R R


Parte 2 20

Lunica ipotesi aggiuntiva che la carica puntiforme generi un campo a simmetria radiale. 23) Un condensatore a superfici piane e parallele (con laria come dielettrico) ha capacit C. Mantenendo

costante la carica sulle armature, quando la distanza iniziale fra le armature viene raddoppiata calcolare la variazione sia del potenziale elettrostatico sia del lavoro speso.

La costante dielettrica relativa dellaria sia a , la capacit del condensatore e la differenza di potenziale fra le armature sono definite dalle relazioni quando la distanza fra le armature vale d

1 aSCd

= 11 a

q qVC S

= = d

2 2

11 a

1 q 1 q dU2 C 2 S

= = distanza fra le armature vale 2d

2 aSC2d

= 22 a

q q 2VC S

= = d

2 2

22 a

1 q 1 q 2dU2 C 2 S

= = La differenza di capacit nei due casi vale

2 1 a1 SC C C2 d

= = La differenza di potenziale subisce una variazione

1 22 1

2 1 1 2

C C1 1V V V q qC C C C

= = =

a

q dVS

= La differenza di energia posseduta dal condensatore vale

2

2 1a

1 q dU U U2 S

= = 24) Calcolare la capacit equivalente del sistema di condensatori rappresentati in figura e la sua energia.

Determinare inoltre sia la d.d.p. ai capi dei singoli condensatori sia la carica sulle loro armature.

(rappresentazione 24) Applicando le relazioni per sistemi di condensatori in serie ed in parallelo si ricava ( )e123 1 2 3C C C C= + + ( ) ( )e1234 e

4123

1 1CCC

= + ( )e56 5 6C C C= + ( ) ( )e567 e

756

1 1CCC

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e 4 1 2 3 7 6tot 1234 567

1 2 3 4 5 6

C C C C C C CC C C

C C C C C C C+ + += + = ++ + + + +

5

7

La d.d.p. ai capi del condensatore equivalente ( )e1234C uguale a quella del condensatore equivalente ( )e

567C . Le cariche sulle armature del condensatore di capacit 4C sono uguali a quelle sulle armature del condensatore equivalente ( )e123C

( )e 123123 123 4 4

qC q qV

= = = C V


Parte 2 21

1234123 4 123 1 2 3

4 4

CqV V V V V V V V V VC C

= + = = = = = di capacit 7C sono uguali a quelle sulle armature del condensatore equivalente ( )e56C Sulle armature dei singoli condensatori si hanno le cariche

1 1 12

123 1 2 3 2 2 123

3 3 12

q C Vq q q q q C V

q C V

== + + = =

3

3

Con un ragionamento analogo per il condensatore di capacit equivalente ( )e567C si ricava 56 5 6q q q= +

Lenergia complessiva del sistema ( )e

tot tot1U C2

= V 25) In un blocco di materiale isolante stata scavata una semisfera di raggio 2r , riempita con un liquido

che presenta unalta resistivit . In tale liquido immerso un elettrodo concentrico semisferico di raggio 1 2r r< . Calcolare la resistenza di isolamento elettrico della parte di elettrodo immerso nel liquido e lintensit della corrente circolante attraverso il liquido stesso quando si applica una d.d.p.

V fra gli elettrodi.

(rappresentazione 25) Applicando la d.d.p. fra gli elettrodi semisferici e concentrici, per motivi di simmetria, le due superfici bagnate dal liquido sono equipotenziali. Nella regione di spazio compreso fra i due elettrodi, si considerino due superfici semisferiche concentriche di raggi 1 2r r r< < e r dr+ : la resistenza elettrica del liquido compreso fra tali superfici definita dalla relazione di Ohm

2 2

dr dr drdR4 rS 2

2r

= = =

Integrando fra i valori minimi e massimi di r, si ricava 2

1

r2 1

2r1 2

r rdrR2 r 2 r r

= = ed il valore dellintensit della corrente

1 2

2 1

r rV 2i VR r r

= =

26) Unasta di lunghezza 0l (resistenza elettrica trascurabile) scorre senza attrito con velocit v

G su due guide filiformi parallele conduttrici (resistivit e sezione calibra S) fra le quali interposto un generatore di forza elettromotrice E (con resistenza interna r). Sapendo che nellintervallo temporale

f it= lasta percorre lo spazio 0d , calcolare il lavoro compiuta dal generatore durante lo spostamento. Trascurare i fenomeni di autoinduzione che potrebbero presentarsi a causa della variazione del flusso magnetico concatenato.

t t


Al generico istante t lo spazio percorso dallasta sulle due guide vale x vt= e la corrente circolante nel circuito vale


Parte 2 22

tot

iR

= E essendo la resistenza totale del circuito definita dalla combinazione della resistenza del generatore e della sbarra

totxR r 2S

= + ossia

Si x rS 2 vtr 2S

= = + + E

E

La potenza erogata dal generatore definita da dL idt

= =P E 2 SdL i dt dtrS 2 vt

= = + E E integrando, rispetto alla variabile tempo, fra il valore it 0= e f 0t d v=

0d2 v

0

dtL SrS 2 vt

= + E 2

0dSL ln 1 2v r

= + E

S

27) Due fili conduttori, di lunghezza indefinita e distanti 0d fra loro, sono posti in un piano verticale.

Sapendo che il conduttore c percorso da una corrente di intensit 1i , determinare: lintensit della corrente circolante nel conduttore d affinch il vettore induzione magnetica,

calcolato in C sul prolungamento da A verso B (con 0d 2= ), sia nullo; BC per i valori delle intensit precedentemente definite, il vettore induzione magnetica nel punto D

(simmetrico di C dalla parte di A) e nel punto generico E, non appartenente allasse AB.

(rappresentazione 27) Il vettore induzione magnetica, nel caso di un conduttore filiforme indefinito, dato dalla relazione di Bit-Savart

(11) 0 iB2 r=

La corrente circolante nel conduttore c ha intensit e nel conduttore d intensit , nel punto C il vettore induzione magnetica vale

1i xi

0 11 1

C 1 20 x

2 2

iB n AC 32 ACB B B

iB n AC d2 BC

= = = + = =

0

0

d 2

2

G GG G G

G G

Dalla figura si osserva che 2 1n n= G G

e uguagliando i moduli si ricava 0 01 x

0 0

i i3 12 2d d2 2

=

da cui

x 11i i3

=


Parte 2 23

Con identico ragionamento si ricava il valore del vettore induzione magnetica nel punto D 0 1

1 1

D 1 20 x

2 2

iB n AD d2 ACB B B

iB n CD 32 BC

= = = + = =

0

0

2

d 2

G GG G G

G G

e poich i versori sono correlati dalla relazione 2 1n n = G G

0 01 xD 1

0 0

i iB n1 12 2d d2 2

1n =

G G G

1D 0

0

i8B n9 d

= 1G G

Il punto E abbia distanza dal punto A e distanza dal punto B: il vettore induzione magnetica in tale punto definito da

1r 2r

0 11 1

1E 1 2

0 0x 12 2

2 2

iB n2 r

B B Bi iB n

2 r 6 r

= = + n = =

G GG G G

G G G

il cui modulo vale 2 2 20 1

E 1 2 11 2

iB B B r 9r6 r r

22

= + = + e la cui direzione quella definita dalla diagonale risultante.

28) Un fascio di protoni, accelerato dalla d.d.p. MVV 7= , deve essere incurvato di 90 in un tratto

lungo 1.5m= utilizzando un campo magnetico agente in direzione normale al piano della traiettoria. Sapendo che la velocit iniziale del fascio nulla, che la carica del protone vale

1910 C e che la sua massa 2710 k0l

.6q 1= + m 1.7 g , determinare il valore del campo magnetico in modulo, direzione e verso. La permeabilit magnetica del vuoto vale

= ( )70 4 10 T m A = .


Su ogni singolo protone del fascio il campo magnetico BG

esercita unazione definita dalla forza di Lorentz

LF qv BG GG=

il cui modulo vale LF qvBsin qvB= =

Considerando la propriet del prodotto vettoriale, la forza LFG

normale sia alla velocit vG del protone (ricordare che il vettore velocit risulta essere sempre tangente in ogni punto alla traiettoria percorsa) sia al campo di induzione magnetica . Il verso diretto verso il centro della traiettoria, che risulta essere una circonferenza di raggio . La forza di Lorentz identificabile con la forza centripeta (forza centrale)

BG

0l2

L0

vF qvB ml

= =

(12) 0qv Bm

= l Il calcolo della velocit fattibile applicando il teorema dellenergia cinetica


Parte 2 24

N2

L

1 mv 0 q V2

=

(13) 21 mv q V2

= e, confrontando la (12) con la (13), si ricava il modulo del vettore induzione magnetica

0

1 mB 2 0.25Tl q

= =V La direzione imposta obbligatoriamente definita dalle propriet geometriche della forza di Lorentz.

29) Un fascio costituito da protoni e ioni positivi accelerato, partendo dalla quiete, applicando una

d.d.p. 4 V= . V 10Dopo una opportuna collimazione, il fascio attraversa una regione di spazio nella quale esiste un campo di induzione magnetica uniforme (modulo B 0.1T= ), agente ortogonalmente al piano sul quale si muove il fascio. I suoi componenti subiscono lazione di B

G e si raggruppano in due distinti

fasci che, dopo aver subito una inversione di 180, risultano spaziati di (i protoni descrivono una traiettoria semicircolare di raggio minore rispetto a quella descritta dagli ioni). Poich per i protoni il rapporto carica elettrica/massa vale

d 0.14m=

p 7

p

q9.6 10 C kg

m=

calcolare il medesimo rapporto per gli ioni del fascio.

(rappresentazione 29) I componenti del fascio, a causa della d.d.p., acquisiscono una velocit determinabile applicando il teorema dellenergia cinetica

21L q V mv 02

= = Precisamente per protoni

(14) 2p p p1q V m v2

= ioni

(15) 2i i1q V m v2

= i Sia i protoni sia gli ioni subiscono lazione del campo B

G che si identifica con la forza di Lorentz

LF qv B= G GG

la quale determina lincurvatura della traiettoria. Poich v B GG , la traiettoria una circonferenza con raggio calcolabile ricordando che LF

G uguale alla forza centripeta

protoni (16) N

2p p

p p1 p

m vq v Bsin

R =

ioni (17) N

2i i

i i1 i

m vq v BsinR

= Uguagliando la (14) con la (16) e la (15) con la (17) si ricava protoni


Parte 2 25

pp

p

m1R 2 V 0.145mB q

= = p 72 2p p

q V C2 9.6 10m B R k

= = g

ioni

ii

i

m1R 2B q

= V Secondo quanto enunciato fra due raggi di curvatura esiste la relazione

i P2R 2R d= + i P dR R 2= + quindi per gli ioni si ricava

i2 2

i i

q V2m B R

= Il valore del rapporto carica/massa vale

( )7i

22i p

q V C2 4.8m kB R d 2

= =+

10g

Attenzione: lo ione minimo che soddisfi il valore trovato il deutone (carica e massa

). Tuttavia, ogni ione che abbia un valore del rapporto

19q 1.6 10 = + C27m 3.3 10 kg = q m multiplo di quello del deutone

(ad esempio ionizzato due volte oppure ionizzato tre volte) soddisfa la relazione: il procedimento illustrato non permette di selezionare ioni differenti aventi per il medesimo rapporto

42He

63He

q m 30) Un filo conduttore sagomato, percorso da una corrente di intensit costante i, posto su un piano

normale alla direzione di un campo di induzione magnetica BG

uniforme. Sapendo che 0AB CD d= = e che il tratto pBC una semicirconferenza di raggio R, calcolare lazione che il campo BG esercita sul conduttore (in modulo, direzione e verso).


Per comodit si consideri verticale il piano contenete il conduttore. Su ogni suo singolo elemento del conduttore il campo esercita unazione definita dalla I legge di Laplace e precisamente B

G tratto AB : B ( )ABF i B A= G G AB 0 yF id Bu=G G (direzione verticale) tratto BC : BCdF i dl B=

G GBCdF iBdl iBRd u= = G (direzione radiale)

tratto CD : B ( )CDF i D C= G G CD 0 yF id Bu= G (direzione verticale) Nel tratto BC la forza magnetica ha direzione radiale ed possibile scomporla nella

componete orizzontale ( )BC BCxdF dF cos= 0( )BC x 0F iBR cos d= = tale componente non fornisce contributo in quanto fra { }0,90D il valore positivo mentre fra { }90 ,180D D il medesimo valore negativo.

componente verticale ( )BC BCydF dF sin= ( )BC y 0F iBR sin d 2iBR= =Quindi si ha e la forza totale la risultante delle tre forze che sono parallele e

concordemente dirette verticalmente verso il basso

( )BC BC yyF F 2iBR u= =G G G( ) ( )AD AB BC CD yyF F F F 2iBR d R u= + + = +G G G G G


Parte 2 26

31) La corrente di intensit costante 1i fluisce in un filo conduttore rettilineo indefinito e la corrente di intensit costante 2i in una spira conduttrice rettangolare ( AB CD a= = e BC DA b= ). Il filo e la spira sono complanari, inoltre il lato AB dista 0 ost

=d c= dal filo: calcolare lazione che il campo di

induzione magnetica 1BG

, generato dalla corrente 1i , esercita sulla spira.

(rappresentazione 31) Il campo definito dalla relazione di Bit-Savart e risulta normale al piano contenete filo e spira. Lazione che esso esercita su ogni lato della spira calcolabile applicando la I legge di Laplace e cio

1BG

lato AB : ( ) 0 11 00

iB d cost2 d= = (in quanto il lato ha distanza 0d cost= dal filo)

( ) ( )AB 2 1 00 1 2

AB x0

F i B A B di iF a u

2 d

= =

G G

G G

che risulta essere una forza attrattiva. lato BC : ( )1B x (variabile decrescente passando da B a C)

( )BC 2 1dF i dx B xG GG= (18) 0 1 2BC y

i idF dx u2 x

G G=

lato CD : ( ) 0 11 00

iB d b cost2 d b+ = = + (in quanto il lato ha distanza t dal filo) 0d b cos+ =

( ) ( )CD 2 1 00 1 2

CD x0

F i D C B d bi iF a

2 d bu

= += +

G G

G G

che risulta essere una forza repulsiva. lato DA : ( )1B x (variabile crescente passando da D ad A)

( )DA 2 1dF i dx B xG GG= (19) 0 1 2Da y

i idF dx u2 x=

G G Le due forze (18) e (19) hanno identica retta di azione, ma sono antiparallele. La loro risultante nulla, quindi non forniscono alcun contributo al calcolo della forza esercitata dal campo 1B

G sulla spira ed il loro

modulo vale 0 0

0 0

d b d b0 0 0BC B 1 2 1 2 DAd d

0

d bdxF dF i i i i ln2 x 2 d

+ +F += = = =

Essendo il modulo della forza minore di quello della forza CDFG

ABFG

ed avendo la stessa retta di azione, la

forza complessiva esercitato dal campo sulla spira di tipo attrattivo e vale 1BG

( )0tot AB CD 1 2 x0 0abF F F i i u

2 d d b= + = +

G G G G

32) Una rete elettrica costituita da tre fili conduttori rettilinei paralleli e indefiniti. I due fili esterni, a

distanza 0d luno dallaltro, sono percorsi nello stesso verso da correnti di intensit rispettivamente

1i e 2i , mentre il filo centrale percorso dalla corrente di intensit 3i nel verso opposto.


Parte 2 27

Determinare la posizione di equilibrio del filo centrale e calcolare la forza, per unit di lunghezza, agente sui due fili esterni.


Il filo conduttore centrale abbia distanza x dal primo conduttore, percorso dalla corrente di intensit . I campi di induzione magnetica, generati dalle correnti di intensit e , nei punti del conduttore centrale valgono

1i

1i 2i

( ) 0 11 ziB x u2 x=

G G ( ) 0 12 00

iB d x u2 d x z =

G G

Sullelemento del conduttore centrale sono esercitate le due forze 3 3i dl i dl u=G G

y

( )13 3 y 1dF i dl u B x= G GG ( )23 3 y 2 0dF i dl u B d x= G GG che hanno direzione antiparallela fra loro. Nella condizione di equilibrio, la risultante delle forze magnetiche agenti sul filo centrale deve essere nulla. Poich i vettori sono normali fra loro

0 01 1

0

i i2 x 2 d x =

ossia 1

01 2

ix di i

= + La corrente di intensit circolante nel conduttore centrale, genera campi di induzione magnetica nei punti dei due fili esterni di valore

3i

( ) 0 33 iB x u2 x=

G Gx ( ) 0 13 0 z

0

iB d x u2 d x =

G G

e sullelemento dei due fili conduttori le due forze magnetiche sono definite dalla I legge di Laplace dlG

( ) 31 1 y 3dF i dl u B x= G GG 0 1 331 i idF dl2 x=

( ) 32 2 y 3 0dF i dl u B d x= G GG 0 2 3320

i idF dl2 d x=

Dividendo le due relazioni per dlG

si ottengono le forze per unit di lunghezza 31 0 1 3

31dF i ifdl 2 x

= = 32 0 2 3

320

dF i ifdl 2 d x

= = 33) Si consideri una spira conduttrice costituita da un arco di raggio 1r e da un altro arco di raggio 2r ,

sottesi entrambi dal medesimo angolo , uniti da due elementi rettilinei di lunghezza 0l . La spira percorsa da una corrente di intensit costante 0i : calcolare il campo di induzione magnetica (in modulo, direzione e verso) nel centro O di curvatura della spira.


Il campo di induzione magnetica nel punto O ricavabile applicando la seconda relazione di Laplace OBG

0 0r0 02 2

dl u dldB i i u4 r 4 r = =

G GG G ai singolo rami della spira (principio di sovrapposizione degli effetti). Tratti BC e DA : lelemento infinitesimo dlG risulta essere parallelo concorde o discorde rispetto al

versore ruG . Il prodotto vettoriale nullo e nessun contributo fornito al calcolo del campo OB

G.

Tratto pAB : lelemento dlG risulta essere normale rispetto al versore ruG , inoltre 1dl r d=


Parte 2 28

0 0 0 0 0 0AB 2 0 0

1 1

i iB u dl u d4 r 4 r 4 r

1

i u = = =

G G G G

Tratto pCD : lelemento dlG risulta essere normale rispetto al versore ruG , inoltre 2dl r d= 00 0 0 0 0 0

CD 2 01 1

i iB u dl u d4 r 4 r 4 r

1

i u = = =

G G G G I due campi risultano antiparalleli fra loro ed essendo CD AB in quanto 1 2r r> , la loro risultante vale B B>

0O AB CD 0

2 1

1 1B B B i u4 r r

= + = G G G G

0 1 2O 0

1 2

r rB i4 r r

u =

G G

34) Un disco isolante di raggio R, elettrizzato uniformemente con cariche positive (densit superficiale di

ca ca 0), ruota attorno al suo asse di simmetria con velocit angolare uniforme G . Calcolare il momento di dipolo magnetico di un disco.

ri+


Il principio di equivalenza di Ampre definisce che il momento magnetico di una spira di superficie S, percorsa da una corrente di intensit , vale 0i

0i Sn= GGm essendo il versore normale alla spira, orientato concordemente con . Il disco uniformemente elettrizzato pu essere assimilato ad un insieme di spire circolari concentriche, di raggio

nG G( )0 r R e

larghezza infinitesima d , percorse da correnti di intensit il cui valore r didqdiT

= con

2T = spiradq dS 2 rdr= = Il momento magnetico della spira vale

2 3d di r n r dr= = nG GGm e integrando tale relazione si ricava il momento magnetico complessivo del disco

NR 3 2

disco 0S

1r dr n R R n4

= = 2G GGm 2

disco

i

1 R Sn4

= GG

m

disco iSn= GGm 2disco 1 R Sn4m = GG

21i R4

= 35) Un cavo coassiale pu essere schematizzato, in prima approssimazione, come un conduttore filiforme

circondato da un cilindro conduttore coassiale di raggio r. Il cavo coassiale chiuso da un resistore di resistenza R e inserendo un generatore di f.e.m. E si ha circolazione di una corrente di intensit i fra il conduttore centrale e quello esterno. Calcolare la forza per unit di superficie che il conduttore centrale esercita su quello esterno. Si tenga presente che nei due conduttori il verso di circolazione della corrente opposto.



Parte 2 29

Potendo approssimare il conduttore esterno con una cilindro di raggio r, si consideri un suo elemento infinitesimo di superficie , con d la lunghezza e d la larghezza. Tale elemento di superficie percorso dalle corrente di intensit d che si ricava considerando la proporzione fra la corrente che circola sulla superficie del mantello cilindrico e quella relativa alla superficie infinitesima

dS dsdh=i

s h

i : di 2 r : dh = (20) idi dh

2 r =

Il valore del vettore di induzione magnetica, generato dalla corrente che percorre il conduttore centrale, nei punti del mantello della superficie cilindrica esterna approssimabile con la relazione di Bit-Savart

0 iB2 r=

Su un elemento di conduttore cilindrico, percorso dalla corrente (20), detto campo esercita lazione ds BG

(21) dF di ds B= G GG

N 0dS

i i idF dhds B dS2 r 2 r 2 r

i= = 2

S 0dF ifdS 2 r

= = Per propriet del prodotto vettoriale la forza data dalla (21) ha direzione radiale rispetto al cavo coassiale e verso orientato esternamente.

36) Una lastra piana conduttrice di lunghezza infinita e larghezza h percorsa da una corrente di

intensit costante i. Considerando lo spessore della lamina trascurabile, calcolare il campo di induzione magnetica B

G in un generico punto P del piano mediano della lastra a distanza d da essa.


Scegliendo un riferimento { }O x, y, z come in figura, la lastra suddivisibile in un numero infinito di elementi conduttori rettilinei di larghezza , ognuno dei quali percorso dalla corrente di intensit ddy i . Tale valore ottenibile considerando la proporzione fra la corrente che fluisce sulla lastra e quella che fluisce nel conduttore infinitesimo

i : di h : dy = (22) idi dy

h =

Il generico elemento conduttore rettilineo (distanza y+ dal piano mediano) percorso dalla corrente di intensit genera nel punto P del piano mediano (a distanza d dal conduttore) il campo di induzione di dBG

0 didB2 r

= con direzione ed verso definiti dalle propriet geometriche della II relazione di Laplace. Osservando la figura, si deduce che per cui r cos d =

(23) 0PidB cos dy

2 hd=

Le due componenti del campo rispetto agli assi y e z valgono asse y: yyP PdB dB cos= yP PdB dB cos u=

G G (distanza y+ da piano mediano) asse z:

zP PdB dB sin u= G G z zzP PdB dB cos u= +

G G (distanza y+ da piano mediano) La corrente circolante nel conduttore rettilineo, simmetrico a distanza y rispetto al piano mediano, genera anchessa un campo di valore uguale a quello della (23), ma le sue componenti valgono B

G


Parte 2 30

asse y: yyP PdB dB cos= yP PdB dB cos u= G G (distanza y da piano mediano)

asse z: zzP PdB dB sin= zP PdB dB cos u= G G (distanza y da piano mediano)

Le due componenti zP

dBG

, essendo antiparallele, si compensano ed il valore del campo di induzione BG

la risultante delle altre due componenti yP

dBG

y yP P P PdB dB dB 2dB cos u= + = G yG G G

e sostituendo la (23) 20

P yidB cos dy u

hd=

G G Ricordando che

y d tan= 2ddy dcos= sostituendo in si ricava PdB

G

0P y

idB d uh

= G G

I limiti di integrazione sono per y 0= 0 =y h 2= harctan

2d =

harctan0 2dP y0

iB dh

u= G G

0P y

i hB arctanh 2d

u= G G

Quando il punto P distante dalla lamina ( ), la funzione trigonometrica pu essere approssimata d >> hh harctan2d 2d

ed il campo di induzione magnetica diventa 0

PiB

2 d

GyuG ( d h ) >>

37) Un cilindro omogeneo di legno (massa m, raggio R e lunghezza d) appoggiato su un piano liscio, inclinato di un angolo rispetto allorizzontale. Lungo il piano mediano, parallelo al piano inclinato, avvolto un filo conduttore in modo da costituire una bobina di N spire tutte uguali. Il sistema immerso in un campo di induzione magnetica B

G normale al piano orizzontale. Determinare

lintensit della corrente che deve circolare nella bobina affinch il cilindro resti in condizione di equilibrio stabile sul piano inclinato.


Il sistema sostanzialmente un corpo rigido e la sua posizione di equilibrio stabile su piano inclinato definita dallannullamento della risultante dei momenti meccanici, imputabili allazione della forza peso (applicata nel punto C del cilindro) G della interazione del campo B con il momento magnetico della bobina. Detti momenti meccanici devono avere lo stesso modulo, ma verso opposto. Rispetto allasse dato dal segmento di tangenza cilindro/piano, il momento meccanico

(24) ( ) ( )pO C O P= G GM (imputabile alla forza peso) determina il rotolamento del cilindro verso la base del piano inclinato. Mentre il momento meccanico


Parte 2 31

(25) ( ) ( )m bO B= G GGM m

(imputabile al momento magnetico) tende a contrastarlo. Essendo ( )b xNi Sn= GGm il momento magnetico della bobina, il verso di circolazione della corrente di intensit xi deve essere orario affinch si abbia

( ) ( )m pO O= G G

M M La relazione (25) diventa

(26) ( )mO xNi Sn B= G GGM

con la superficie della bobina ed S 2Rd= nG il versore normale, orientato secondo il verso di circolazione della corrente. Uguagliano i moduli di (24) e (26) si ottiene

t

x

P

mg sin R sin 90 2Ni RBd sin = D ossia

xmgi

2NBd=

Il momento meccanico ( )mOG

M anche possibile ricavarlo calcolando la forza magnetica complessiva

tot AB BC CD DF F F F F= + + +G G G G G

A

dovuta allazione che il campo esercita sui singoli lati della bobina. Tale azione data dalla I legge di Laplace

BG

xF i l B= GG G

lato AB 2R= ( )AB xF Ni B A B= G G

AB xF 2Ni RB= lato CD 2R=

( )CD xF Ni D C B= G G CD xF 2Ni RB=

Le due forze hanno identico modulo, verso opposto e stessa retta di azione. La loro risultante nulla, quindi non forniscono alcun contributo al calcolo di totF

G.

lato BC d= ( )BC xF Ni C B B= G G

AB xF Ni Bd= lato DA d=

( )DA xF Ni A D B= G G DA xF Ni Bd=

Le due forze hanno identico modulo, verso opposto, differente retta di azione: costituiscono una coppia di forze le cui componenti tangenti al mantello del cilindro valgono

BC DA xF F Ni Bdsin = = Il momento meccanico di detta coppia di forze

( )mO BC xM 2F R 2Ni RBd sin= =

proprio come ricavato precedentemente. 38) Si considerino due fili conduttori paralleli (distanza d) indefiniti, percorsi da una corrente di identica

intensit i costante in verso opposto. Calcolare il valore del campo BG

nei punti equidistanti dai due fili conduttori.


Parte 2 32

(rappresentazione 38) I punti nei quali deve essere calcolato il campo di induzione magnetica sono quelli della retta, normale alla congiungente dei due fili conduttori, posta a distanza d 2 da questi. Scelto un sistema di riferimento come in figura e fissato un punto P a distanza x dallorigine O, si ha

( )22r x d 2= + Il modulo dei campi , generati dalla corrente di identica intensit i circolante nei due conduttori filiformi, lo stesso e vale

( )B xG

( ) ( ) 01 2 iB x B x 2 r= =

Il campo complessivo di induzione magnetica la risultante dei due campi (27) ( ) ( ) ( )1 2B x B x B x= +G G G

essendo

( ) ( ) ( )( ) ( )1x 1

11y 1

B x B x cosB x

B x B x sin

= = G

( ) ( ) ( )( ) ( )2x 2

22y 2

B x B x cosB x

B x B x sin

= = G

Per propriet geometriche le due componenti rispetto lasse y risultano opposte fra loro, quindi non forniscono alcun contributo alla determinazione del valore di ( )B xG . Il campo complessivo risulta diretta lungo lasse x

( ) ( ) ( ) 01x 2x xiB x B x B x 2 cos u2 r= + =

G G G G con ( )cos d 2 r = . Sostituendo i valori di r e cos

( ) 0 x2 22dB x i ud 4x= +

G G

Approssimazioni:

quando x 0= , si ha il valore massimo ( ) 0 xiB 0 2 ud=

G G

quando x d>> , si ha ( ) 0 x2dB x i u2 x

G G quando x , il valore si annulla ( )B 0G =

39) Si consideri un cavo coassiale (un conduttore cilindrico interno di raggio 3r ed una guaina

conduttrice cilindrica esterna coassiale di raggi 1r ed 2r ). Sapendo che la corrente di intensit costante i circola in verso opposto nei due conduttori, calcolare il modulo del vettore induzione magnetica ( )B rG in funzione della distanza r dal centro del cavo.


Sezionando il cavo coassiale con un piano normale al suo asse, le linee del campo sono circonferenze concentriche con centro sullasse del cavo e si ipotizzi che il verso di circolazione della corrente nel conduttore centrale sia entrante nel piano della figura. Il teorema di Ampre impone che la circuitazione di

lungo una circonferenza di raggio r, concentrica con le linee di campo, valga

( )B rG

( )B rG( ) ( ) ( )0B r dl 2 rB r i r = = GGv

ossia

(28) ( ) ( )0 i rB r2 r=


Parte 2 33

)essendo la distanza r variabile fra (0 r . Conseguentemente il valore del campo di induzione magnetica risulta funzione della distanza dal centro del cavo coassiale. 30 r r : la circonferenza considerata concatena solamente una parte di corrente circolante nel

conduttore interno. Ricordando che lintensit della corrente il flusso del vettore densit di corrente jG

attraverso una sezione, si ha la proporzione

( ) 2 23 3i : i r j r : j r= ossia si ha

( ) 23 23

ri r ir

= Sostituendo tale valore nella (28) si ricava

( ) 03 3 23

rB r i2 r=

3 2 : la circonferenza considerata concatena completamente la corrente circolante nel conduttore interno, quindi ( )i r i= ed il campo di induzione magnetica vale r r r

( ) 02 1B r i2 r=

Quando si ha 3r r= ( ) (2 3 3 3B r B r ) . 2 1 : la circonferenza considerata concatena completamente la corrente circolante nel conduttore

interno ed una parte di quella circolante nella guaina cilindrica esterna. Ricordando che lintensit della corrente il flusso del vettore densit di corrente j

r r r G

attraverso una sezione, si ha la proporzione

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 2i : i r j r r : j r r= 2 ossia si ha

( ) 2 221 2 21 2

r ri r ir r=

Applicando il teorema di Ampre si ricava ( ) ( ) ( )1 1 0B r dl 2 rB r i i r = = 1 GGv

ossia

( ) 0 11 i iB r 2 r =

( ) 20 11 2 21 1

riB r r2 r r r

= Quando si ha 2r r= ( ) (1 2 2 2B r B r ) .

1r r> : la circonferenza contorna sia la corrente circolante nel conduttore interno sia quella circolante nel conduttore esterno. Poich il verso di circolazione delle correnti nei due conduttori antiparallelo, il valore del vettore di induzione magnetica totale nullo in quanto risultante di due vettori antiparalleli fra loro

( )B r0 0=G 40) Un lungo solenoide di raggio 0r , composto da n spire per unit di lunghezza, percorso da una

corrente stazionaria di intensit 0i . Sullasse del solenoide posizionato un filo conduttore rettilineo, percorso da una corrente stazionaria di intensit 1i . Calcolare il valore di 1i affinch a distanza

0r r 2 cost il campo BG

abbia una direzione che formi un angolo 45 = D con lasse del solenoide. = =


Parte 2 34

0


Allinterno del solenoide, percorso dalla corrente stazionaria di intensit , il campo di induzione magnetica vale uniforme e diretto parallelamente al suo asse. A distanza

0i

0 0B n i= 0r r 2= dallasse del solenoide, il campo generato dalla corrente stazionaria di intensit vale 1B

G1i

0 11

iB2 r=

Essendo i due campi normali fra loro, se il campo di induzione risultante deve formare un angolo con lasse del solenoide, i loro moduli devono essere uguali

0B B B= +G G G

1

45 = D0 1

0 1 0 0iB B n i

2 r= =

ossia 1 0i n r i0=

41) Unasta conduttrice rigida, omogenea e di lunghezza 0l ruota, con attrito trascurabile, attorno ad un

asse verticale passante per uno degli estremi con velocit angolare uniforme G . Sapendo che il sistema immerso in un campo di induzione magnetica B

G uniforme e parallelo allasse di rotazione,

calcolare la forza elettromotrice indotta.

(rappresentazione 41) Lasse di rotazione verticale passi per lestremo H dellasta conduttrice. La velocit periferica dellaltro estremo K vale

0v l= GGG

e nel tempo lestremo K descrive un arco di circonferenza dt

0ds l d= mentre lasta spazza larea

(29) 20 01 1d l ds l d2 2

= = Il flusso del campo attraverso a tale area vale B

G

( ) N 201d B B n d Bd Bl d2 = = =//G G G

La legge di Faraday- Lentz impone che sia ( ) 2 2i 0

d B 1 d 1Bl Bldt 2 dt 2

= = = 0G

E

e ricordando la definizione di velocit angolare si ricava 2

i 01 Bl2

= E Il segno negativo conseguente del fatto che il flusso, attraverso allarea spazzata dallasta durante la rotazione, tende ad aumentare nel tempo, ossia ( )d B dt 0 >G .

42) Una spira rettangolare ( 0 , AB CD d= = 0DA hBC = = ) conduttrice (resistenza elettrica R) si allontana con velocit vG uniforme da un filo conduttore indefinito, percorso da una corrente stazionaria di intensit i . Sapendo che un identico piano contiene sia il filo sia la spira, che il lato AD si mantiene sempre parallelo al filo e che al tempo iniziale t 0= la spira dista 0s dal filo, calcolare la forza elettromotrice indotta nella spira, lintensit della corrente indotta ed il suo verso di circolazione.


Parte 2 35


Scegliendo un riferimento come in figura, la corrente circolante nel filo conduttore genera un campo di induzione magnetica in accordo alla legge di Bit-Savart

( ) 0 0iB x2 x=

essendo x la distanza dal filo. Le linee di campo ( )B xG hanno simmetria cilindrica e le superfici di campo sono le superfici cilindriche che hanno come asse il filo conduttore. Attraverso la superficie 0 0l d = della spira il campo definisce il flusso ( )B xG

(30) ( ) ( ) ( )B x B x n B x = = G G G Per quando detto circa la simmetria delle linee di campo, si ha ( )B x nG G// . Attraverso alla superficie della spira, che si allontana dal filo, il flusso (30) non resta costante nel tempo in quanto il modulo di diminuisce secondo la legge ( )B xG 1 x . La legge di Faraday-Lentz impone che si generi una f.e.m. indotta data dalla relazione

(31) ( )

i

d B x

dt

= G

E

Suddividendo la spira in infiniti elementi di superficie infinitesima 0d h dx = , attraverso i quali si ha il flusso infinitesimo

(32) ( ) ( ) 0 0 0 dxd B x B x d i h2 x = =

G

La spira si sposta con velocit diretta lungo lasse x, quindi al generico tempo t il lato AD si trova nella posizione mentre il lato BC nella posizione

vGi 0x s v= + t tf 0 0x s d v= + + . Integrando la (32) si ottiene

( ) fi

x00 0 x

dxB x i h2 x =

G

( ) 0 0 0f0 0 0 0i 0

s d vtvB x i h ln i h ln2 v 2 s v

0

t + = = +

G + Applicando la definizione (31) si ricava la f.e.m. indotta

( )( )0i 0 0 0 0 0 0vi h d

2 s vt s d vt= + + +E

Poich la spira presenta una resistenza elettrica R, essa sede di una corrente indotta di intensit

( )( )i 0 0 0

i 00 0 0

d h vi iR 2 R s vt s d vt

= = + +E

+ circolante in verso orario: compensazione perch la variazione del flusso negativa (legge di Lentz)

( )d B x0

dt

G , quindi per la legge di Lentz la corrente indotta deve circolare in verso antiorario per generare un campo iB

G antiparallo rispetto a . B

G

Durante la discesa, le forze agenti sulla sbarretta sono G la forza peso P mg= G (orientata verticalmente verso il basso), la forza magnetica i 0F i d B=

GG G (orientata verticalmente verso lalto)

e la velocit costante di scivolamento viene raggiunta quando 2 2

0B d vF P sin mR

= =G G g ossia

2 20

mgRvB d sin

= 51) Una spira rettangolare rigida ( PQ RS a 20c= , m= = QR SP b 10cm= ) costituita da un

materiale conduttore di densit lineare = =

25 10 g cm ed percorsa da una corrente stazionaria di intensit 0i . La spira libera di ruotare, con attrito trascurabile, attorno al lato PQ parallelo allasse x del riferimento { },

=

P x y, z . Quando sulla spira agisce il campo di induzione zB Bu=G G ( 210 T )

ruota di un angolo 30 = D , raggiungendo la posizione di equilibrio. B 2=

Essendo la permeabilit magnetica del vuoto 70 4 10 H m = , calcolare:

il valore dellintensit 0i , il lavoro compiuto dalle forze magnetiche durante la rotazione.


Parte 2 44


La risoluzione del problema pu essere eseguita seguendo due procedimenti equivalenti e precisamente a) La spira possiede un momento magnetico

0 0i Sn i ab n= =G GGm ed il campo esercita unazione su di essa tramite un momento meccanico B

G

1 0

cos

B i abBsin u2

= = G G

xG G

M m

che determina la rotazione attorno allasse fisso PQ. La forza peso, applicata nel baricentro, definisce anchessa un momento meccanico

2 x1 bb P mg sin u2 2

= = GG G GM che tende ad opporsi alla rotazione della spira. La massa della spira vale

( ) ( )m 2a 2b 2 a b= + = + e quando la spira raggiunge la posizione di equilibrio, la risultante dei due momenti meccanici nulla

1 2 0+ =G G

M M La corrente circolante nella spira ha una intensit

0g a bi tan 2.12A

B a += =

Durante la rotazione, il momento delle forze magnetiche compie un lavoro 4

m 1 00L d i abBsin 30 4.24 1

= = = DM 0 J b) Le forze magnetiche agenti sui singoli lati della spira valgono

lato PQ: PQF 0= a causa della reazione del vincolo, lato QR ed SP: ( )QR 0 0 x 0 xF i b B i bBsin u i bBsin u= = = GG G G G e SP 0 0 xF i b B i bBsin u= = GG G G ; le

due forze si annullano, lato RS: ed il suo momento meccanico rispetto allasse di rotazione RS 0 0 yF i a B i aBu= =

G GG G

1 2 RS 0 xb F i abBcos u= = GG G GM

La forza peso, applicata nel baricentro, definisce anchessa un momento meccanico

2 x1 bb P mg sin u2 2

= = GG G GM che tende ad opporsi alla rotazione della spira. La massa della spira vale

( ) ( )m 2a 2b 2 a b= + = + e quando la spira raggiunge la posizione di equilibrio, la risultante dei due momenti meccanici nulla

1 2 0+ =G G

M M Anche con il presente procedimento si ottengono i precedenti risultati.

52) Una bobina formata da N 20= spire conduttrici, avvolte secondo due semicirconferenze uguali (di

raggio 20cm= ) posizionate su piani ortogonali fra loro. La bobina ruota con velocit angolare uniforme

a100 = rad s attorno allasse individuato dalla intersezione dei due pini contenenti le spire

ed immersa in un campo uniforme .5TB 0= , normale allasse di rotazione. Calcolare: la f.e.m. indotta ed il suo valore massimo, la potenza media sviluppata se la resistenza totale della bobina 10R = .


Parte 2 45


Attraverso alla superficie delle due mezze semicirconferenze il campo BG

determina un flusso ( )B G . Definiti con ed i due versori normali alle due superfici, il flusso vale 1n

G2nG

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 a aB N B n S B n S NB cos t cos t NB cos t sin t2 2 2 = + = + + = G G GG G

essendo a causa della rotazione della bobina. Ricordando che ( )t = t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1cos t sin t cos t sin t cos t cos sin t sin

2 42 2 2 2

4 = =

ossia

( ) ( ) ( )1 1cos t sin t cos t2 42

= + il flusso risulta essere definito dalla relazione

( ) ( ) ( )21 2 aB N B n S B n S NB cos t42 = + = + G G GG G

La f.e.m. indotta vale ( ) ( )2i d B aNB sin tdt 42 = = +

GE

ed il suo massimo valore

( ) 2i max aNB 22.2 V2= =E La potenza media sviluppata risulta essere ( )i max 24.7 W

2R = =EP

53) La spira conduttrice fissa (raggio 0cm= ) percorsa dalla corrente di intensit costante i 20 A1r 1 = .

Sullasse di tale spira vi il centro di una seconda spira conduttrice che si allontana dallaltra con velocit v 3m s= uniforme lungo lasse. Calcolare le f.e.m. indotta nella spira mobile quando la distanza fra le spire 5cm= . d


Lasse della spira fissa sia lasse x del riferimento e la corrente circoli in verso orario. Il campo di induzione magnetica orientato concordemente lungo lasse ed il suo valore nel generico punto x vale

BG

( )0 1x 3 22 21rB i

2 r x

=+

ed il suo flusso attraverso alla superficie 22S 2r= della spira mobile ( ) ( )

21 2

2 x x x 2 0 3 22 21

r r1B B n S i2 r x

= = +

G G G

La legge di Faraday-Lentz definisce che la f.e.m. indotta definita dalla relazione ( ) ( )N

2 x 2 xi

v

d B d B dxdt dx dt

= = G G

E


Parte 2 46

( )2

1 2i 0 5 22 2

1

r r3 iv x2 r x

= +

E

quando la f.e.m. indotta risulta avere valore x d 10cm= =

( )2

81 2i 0 5 22 2

1

r r3 iv d 4.8610 V2 r x

= =+

E

54) Una spira quadrata conduttrice cade verticalmente per effetto della forza di gravit. Durante in moto

verticale passa da una regione di spazio, nella quale agisce un campo BG

uniforme (con modulo .5T= e direzione orizzontale), ad una nella quale non esiste alcun campo. B 0

La massa della spira vale m 150g= , il lato 0l 0.5cm= e la resistenza elettrica . Calcolare: R 1.0= la velocit limite di caduta della spira quando attraversa il piano di separazione fra le due regioni

di spazio, lenergia persa per effetto Joule durante lintervallo temporale di attraversamento completo del

piano di separazione fra le due regioni di spazio. Attenzione: assumere che la velocit della spira, quando raggiunge il piano di separazione fra le due regioni di spazio, sia quella limite e che essa resti costante durante lintero attraversamento.


Assumendo un riferimento con lasse z orientato verso il basso (concorde con la direzione del moto), nel tempo la spira si sposta di un tratto dt dz vdt= spazzando unarea 0 0dS l dz vl dt= = . Il flusso del campo

attraverso a tale superficie vale BG

( ) N 0d B B n dS BdS Bvl dt = = =//

G G G La legge di Faraday-Lentz definisce che la f.e.m. indotta definita dalla relazione

( )i 0

d BBvl

dt= = E

e lintensit della corrente indotta vale i 0

iBvli

R R= = E

con verso di circolazione antiorario. Su ogni lato della spira il campo BG

esercita unazione che si esplica con una forza magnetica definita da

idF i dl B= GG G

ed essendo i vettori normali fra loro, il modulo vale

2 2 22 0 lim

i iB l vi R

R= =P

E nellintervallo temporale 0t l v= , impiegato dalla spira per il completo attraversamento del piano di separazione fra le due regioni di spazio, la potenza dissipata ha valore

2 2 20 lim

i 0B l v mgl 0.074J

R t= = = =P

U

Il valore corrisponde esattamente alla perdita di energia potenziale e ci non implica alcun aumento di energia cinetica: tale perdita determina un riscaldamento della spira.

55) Un lungo solenoide, costituito da n spire per unit di lunghezza (raggio R), percorso da una

corrente di intensit costante 0i . Lungo lasse del solenoide posizionato un filo rettilineo conduttore percorso da una corrente di intensit costante xi , che circola concordemente con 0i .


Parte 3 47

Determinare il valore dellintensit della corrente circolante nel filo rettilineo affinch nei punti a distanza r R 2= il vettore di induzione magnetica totB

G abbia una direzione che formi langolo

rispetto allasse del solenoide. 45 = D

(rappresentazione 55) Il campo , nei punti interni al solenoide, ha modulo dato dalla relazione 1B

G

(38) (direzione parallela allasse del solenoide) 0 0 0B n i cost= =nellapprossimazione che la lunghezza del solenoide sia assolutamente prevalente rispetto al diametro delle n spire. Il campo , generato dalla corrente di intensit circolante nel filo rettilineo, alla distanza ( )B rG xir R 2= da questo ha modulo definito dalla relazione di Bit-Savart

(39) ( ) 0 xiB r2 r= (direzione normale allasse del solenoide)

I due campi sono ortogonali fra loro e poich il campo risultante ( )tot 0B B B r= +G G G deve formare un angolo rispetto allasse, i due moduli (38) e (39) devono essere uguali 45 = D

0 x0 0

i n i2 r =

ossia x 0i n Ri0=

56) Si consideri un elettromagnete con i due poli di forma circolare (raggio .5m= ) posizionati

orizzontalmente e con il polo nord nella posizione inferiore. Trascurando leffetto di bordo, il campo di induzione magnetica nel volume di spazio fra i poli uniforme e nellintervallo temporale

t 10s= , lintensit del campo varia dal valore .1T

r 0

iB 0= al valore f .1T= . Calcolare il campo elettrico indotto fra i due poli.

B 1


Si consideri una circonferenza di raggio 0 r r (superficie 2S r = ), coassiale con i due poli e orientata in verso antiorario (coerentemente con la direzione del campo). Il flusso concatenato del campo B

G subisce

una variazione temporale lineare del tipo ( )B t iB k t= + per cui si ha una f.e.m. indotta alla quale associato un campo elettrico indotto non conservativo

(42) ( )

i

B

t

=

GE

con ( ) ( )B B t n =G G GGSIl versore normale alla superficie contornata dalla circonferenza di raggio sia orientato concordemente con lorientamento di della circonferenza.

n r ( ) ( )2 2B B tr r

t t

k = =

G

La (42) si pu scrivere 2

i ir k E dl E 2 r i = = = GGvE ossia

(43) i1 kr2

= E Il coefficiente k si ricava ricordando il suo significato, cio


Parte 3 48

( ) iB t BBk 0t t

= = = .1T E la relazione (43) vale numericamente

i1 NE kr 0.05r2 C

= = ora per

r 0 = i C= NE 0

r r = 2 N10C

iE 2.5 = Osservazione: avendo orientata la linea chiusa di integrazione in verso antiorario ( ), il segno meno che compare nel valore del campo elettrico indotto indica che

nGG // B

iEG

ha verso orario. 57) Due guide rettilinee parallele (distanza 0cm0d 1= ) giacciono in un piano normale alla direzione di un

campo BG

(con B 2T= ) uniforme. Due aste conduttrici AD BC d= = (con resistenza elettrica rispettivamente 1 5= e 2 0= ) possono muoversi con attrito trascurabile lungo le guide. Nellipotesi che il resistore con 1R sia fermo e quello con 2R si allontani con velocit costante

R R 1

v 5= 0cm s , calcolare lintensit ed il verso di circolazione della corrente indotta nel circuito ABCD. Ripetere il calcolo quando 2R e fermo ed 1R si muove con identica velocit.


Nel tempo il resistore di resistenza si sposta di un tratto ddt 2R x vdt= , spazzando larea dS dvdt= attraverso la quale si ha il flusso infinitesimo del campo B

G dato da ( ) 0d B B ndS Bd vd = = tG G G

La legge di Faraday-Lentz definisce la f.e.m. indotta ( )i 0

d BBd v

dt

= = G

E

La resistenza complessiva del circuito spira vale 1R R 2+ e la corrente indotta ha intensit i

i1 2

i 0R R

= = +E

.06A

con circolazione nel verso orario. Bloccando lasta di resistenza e muovendo quella di resistenza , il calcolo dellintensit della corrente indotta attraverso un analogo procedimento conduce allo stesso risultato.

2R 1R

58) Un lungo solenoide di raggio 0r , costituito da n spire per unit di lunghezza, percorso da una

corrente di intensit variabile secondo la relazione ( )i t i0 cos t= (essendo 0i il massimo valore della intensit e la pulsazione). Calcolare il campo elettrico indotto in funzione della distanza r dallasse del solenoide.


Il campo di induzione magnetica allinterno del solenoide ha modulo ( ) ( )0 0 0B t n i t n i cos t= =

ed diretto parallelamente allasse del solenoide. Si considerino i due casi


Parte 3 49

0r r< : si consideri una circonferenza di raggio r con il centro sullasse del solenoide. Attraverso alla sua superficie si ha il flusso ( ) ( ) 2B B t r = = G e la legge di Faraday-Lentz definisce la f.e.m. indotta ( )

i i

d BE dl

dt

= = G GGvE

Calcolando i valori dei due termini si ha ( ) ( )2 20

d B dB tr r n

dt dt

= = G G

sin t i iE dl E 2 r = GGve sostituendo si ricava il campo elettrico indotto (non conservativo) allinterno del solenoide

( )i 0 01E r n i r sin t2= 0r r> : considerando una circo

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