ESERCIZISVOLTIDIMATEMATICAbreviariomatematico.altervista.org/wp-content/uploads/2017/12/eserciziterzomoda.pdf[git]•...

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)

CD

Claudio Duchi

ESERCIZI SVOLTI DI MATEMATICATERZO MODA

Release: (e5f01c3) Autore:Claudio Duchi 2018-02-23

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)2

Sicuramente vi sono degli errori e delle imprecisioni, vi prego segnalarle.

Copyright © 2018, Claudio Duchi.Quanto segue è stato rilasciato con licenzac Creative Commons 3.0 Attribuzione − Non commerciale − Condividi

allo stesso modo − Non opere derivatePer informazioni visita il sito web http://creativecommons.org o spedisci una lettera a Creative Commons, 171

Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA.

b Attribuzione: devi riconoscere il contributo dell’autore originario.

n Non commerciale: non puoi utilizzare il contenuto di questo documento per scopi commerciali.

d Non opere derivate: non puoi alterare modificare o sviluppare questo documento.

a Condividi allo stesso modo: questo documento, se condiviso, deve rispettare tutte le condizioni della licenza.

sabato 24 febbraio 2018 20:38:46

http://creativecommons.org


Indice

Elenco delle figure 3

Esempi e contro esempi 4Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Contro esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 Distanza tra due punti 7

2 Punto Medio 9

3 Retta 103.1 Disegnare una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Passaggio per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Retta per un punto parallela a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Retta per un punto perpendicolare a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Fascio di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6.1 Retta per un punto parallela a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.2 Retta per un punto perpendicolare a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.3 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.7 Intersezioni fra rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Parabola 234.1 Disegnare una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Elementi della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Intersezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.5 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Esercizi di riepilogo geometria analitica 395.1 Perimetro figure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Rette parallele e perpendicolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Retta intersezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Soluzioni esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Appendice 50

Mezzi usati 51

Indice analitico 52

3


Elenco delle figure

3.1 Due punti una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Due punti una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Due punti una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Due punti una retta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Retta parallela a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6 Retta parallela a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 Retta parallela all’asse x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.8 Retta perpendicolare a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.9 Retta perpendicolare a retta data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Grafico parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Grafico parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Elementi della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Elementi della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Elementi della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.6 Elementi della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.7 Intersezioni con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.8 Intersezioni con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.9 Intersezioni con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.10 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.11 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.12 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.13 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.14 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.15 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Perimetro triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4 Perimetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4


Esempi e contro esempi

Esempi1.0.1 Distanza con stessa ordinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.2 Distanza con stessa ascissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.3 Distanza con stessa ordinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.4 Distanza con stessa ascissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.5 Distanza caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.0.6 Distanza caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.0.1 Calcolo del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.1 Retta nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.2 Retta nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.3 Retta nota parallela all’asse x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.4 Retta nota parallela asse y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.1 Verificare se una retta passa per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.1 Dati due punti trovare l’equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3.2 Dati due punti trovare l’equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.1 Dato un punto e una retta parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4.2 Dato un punto e una retta parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.3 Dato un punto e una retta parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5.1 Dato un punto e una retta perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.2 Dato un punto e una retta perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.1 Trovare l’equazione del fascio passante per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.2 Trovare l’equazione del fascio passante per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.3 Dati due punti trovare il coefficiente angolare della retta che passa per questi punti . . . . . . . . . . . . . . 183.6.4 Dato un punto e una retta parallela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.5 Dato un punto e una retta perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.6 Fascio di rette e retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.7 Fascio di rette e retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.6.8 Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.1 Date due rette trovare il punto di intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.2 Date due rette trovare il punto di intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7.3 Date due rette trovare il punto di intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.1 Disegnare una parabola nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Disegnare una parabola nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.1 Elementi di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Elementi di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.3 Elementi di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.4 Elementi di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1 Intersezione della parabola con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.2 Intersezione della parabola con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.3 Intersezione della parabola con gli assi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.1 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4.2 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.3 Parabola per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5.1 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.2 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.3 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5.4 Intersezioni retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)ESEMPI E CONTRO ESEMPI 6

Contro esempi3.3.1 Dati due punti trovare l’equazione della retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6.1 Dati due punti trovare il coefficiente angolare della retta che passa per questi punti . . . . . . . . . . . . . . 183.6.2 Fascio di rette e retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.7.1 Date due rette trovare il punto di intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21



1 Distanza tra due punti

Esempio 1.0.1. Distanza con stessa ordinata

Dati i punti A (1, 2) B (3, 2) calcolare la distanza tra A e B

I due punti hanno la stessa ordinata quindi:

d(AB) = |x1 − x2 | = |1 − 3| = |−2| = 2

Esempio 1.0.2. Distanza con stessa ascissa


I due punti hanno la stessa ascissa quindi:

d(AB) = |y1 − y2 | = |4 − 7| = |−3| = 3

Esempio 1.0.3. Distanza con stessa ordinata

Dati i punti A (3,−5) B (−6,−5) calcolare la distanza tra A e B

I due punti hanno la stessa ordinata quindi:

d(AB) = |x1 − x2 | = |3 − (−6)| = |3 + 6| = |9| = 9

Esempio 1.0.4. Distanza con stessa ascissa

Dati i punti A (6,−5) B (6,−2) calcolare la distanza tra A e B


d(AB) = |y1 − y2 | = |−5 − (−2)| = |−5 + 2| = |−3| = 3

Esempio 1.0.5. Distanza caso generale



d(AB) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√(3 − 4)2 + (5 − 2)2

=√(−1)2 + (3)2

=√

1 + 9

=√

10

7

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)8

Esempio 1.0.6. Distanza caso generale

Dati i punti A (2,−4) B (−5, 6) calcolare la distanza tra A e B


d(AB) =√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

=√(2 − (−5))2 + (−4 − 6)2

=√(2 + 5)2 + (−10)2

=√

49 + 100

=√

149



2 Punto Medio

Esempio 2.0.1. Calcolo del punto medio

Dati i punti A (2, 5) B (4, 3) calcolare le coordinate del punto medio M

xm =

x1 + x22

=2 + 4

2=

62= 3

ym =y1 + y2

2=

5 + 32

82= 4

9


3 Retta

3.1 Disegnare una retta

Esempio 3.1.1. Retta nota

Disegnare il grafico della retta y = x + 1

1. Costruiamo la tabella a doppia entratax y

2. Si attribuisce un valore alla x e si completa la tabella y = 1 + 1 = 2x y1 2

3. Si da un altro valore alla x si ottiene y = 2 + 1 = 3x y1 22 3

4. Ottengo le coppie A (1, 2) B (2, 3) che unite formano il grafico fig. 3.1

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

B

Figura 3.1: Due punti una retta

10

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)CAPITOLO 3. RETTA 11

Esempio 3.1.2. Retta nota

Disegnare il grafico della retta y = −2x + 1

1. Costruiamo la tabella a doppia entratax y

2. Si attribuisce un valore alla x e si completa la tabella y = −2 + 1 = −1x y1 -1

3. Si da un altro valore alla x si ottiene y = −2(−1) + 1 = 2 + 1 = 3x y1 2-1 3


−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

B


Esempio 3.1.3. Retta nota parallela all’asse x

Disegnare il grafico della retta y = 2

1. Costruiamo la tabella a doppia entratax y1 22 2

2. Ottengo le coppie A (1, 2) B (2, 2) che unite formano il grafico fig. 3.3 nella pagina seguente


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.2. PASSAGGIO PER UN PUNTO 12

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A B


Esempio 3.1.4. Retta nota parallela asse y

Disegnare il grafico della retta x = 2

1. Costruiamo la tabella a doppia entratax y2 12 2


−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

B


3.2 Passaggio per un punto

Esempio 3.2.1. Verificare se una retta passa per un punto

Data la retta y = 3x + 5 Verificare se la retta passa per i punti A (1, 8) B (−1, 3)

Verifico se la retta passa per il punto A (1, 8)



1. Sostituisco A (1, 8) nella retta y = 3x + 5

2. Ottengo8 = +3 · 1 +58 = 3 + 58 = 8

La retta passa per AVerifico se la retta passa per il punto B (−1, 3)

1. Sostituisco B (−1, 3) nella retta y = 3x + 5

2. Ottengo3 = +3 · (−1) +53 = −3 + 58 = 2

La retta non passa per B

3.3 Retta per due punti

Esempio 3.3.1. Dati due punti trovare l’equazione della retta

Data la coppia di punti A (1, 3) B (−1, 1) trovare l’equazione della retta che passa per questi punti.

1. Consideriamo la retta generica y = mx + q

2. Passaggio per A (1, 3) otteniamo 3 = 1 · m + q

3. Passaggio per B (−1, 1) otteniamo 1 = −1 · m + q

4. Allineo i due risultati e sottraggo3 = +1 · m +q1 = −1 · m +q2 = +2 · m 0

5. Semplifico e otteniamo m = 1

6. Prendo una delle precedenti relazioni e sostituisco il valore di m = 1 trovato

7.

3 = +1 · 1 +q3 = +1 +q

3 − 1 = +qq = +2

8. Quindi m = 1 q = 2 che sostituiti in y = mx + q otteniamo l’equazione cercata y = x + 2

Esempio 3.3.2. Dati due punti trovare l’equazione della retta

Data la coppia di punti A (−2, 3) B (3,−1) trovare l’equazione della retta che passa per questi punti.


2. Passaggio per A (−2, 3) otteniamo 3 = −2 · m + q

3. Passaggio per B (3,−1) otteniamo −1 = 3 · m + q

4. Allineo i due risultati e sottraggo+3 = −2 · m +q−1 = +3 · m +q+4 = −5 · m 0

5. Semplifico e otteniamo m = −45

6. Prendo una delle precedenti relazioni e sostituisco il valore di m = −45trovato


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.4. RETTA PER UN PUNTO PARALLELA A RETTA DATA 14

7.

−1 = +3 · (−45) +q

−1 = −125

+q

−1 +125= +q

q =75

8. Quindi m = −45

q =75che sostituiti in y = mx + q otteniamo l’equazione cercata y = −

45

x +75

Contro esempio 3.3.1. Dati due punti trovare l’equazione della retta

Data la coppia di punti A (3, 5) B (3, 2) trovare l’equazione della retta che passa per questi punti.


2. Passaggio per A (3, 5) otteniamo 5 = 3 · m + q

3. Passaggio per B (3, 2) otteniamo 2 = 3 · m + q

4. Allineo i due risultati e sottraggo5 = 3 · m +q2 = 3 · m +q

3 = 0 0

5. Impossibile, il metodo non funziona.

6. I punti A e B hanno la stessa ascissa.

7. In questo caso l’equazione è x = 3

3.4 Retta per un punto parallela a retta data

Esempio 3.4.1. Dato un punto e una retta parallela

Data la retta y = 3x + 4 Trovare la retta parallela alla retta data che passa per il punto A (2, 3)


2. Le due rette sono parallele quindi m = 3 otteniamo y = 3x + q

3. Passaggio per A (2, 3) otteniamo3 = 3 · 2 +q

3 − 6 = qq = −3

La retta cercata è y = 3x − 3 procedendo come con l’esempio 3.1.1 otteniamo



−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

Figura 3.5: Retta parallela a retta data


Data la retta y = −3x + 5 Trovare la retta parallela alla retta data che passa per il punto A (−2, 4)


2. Le due rette sono parallele quindi m = −3 otteniamo y = −3x + q

3. Passaggio per A (−2, 4) otteniamo4 = −3 · (−2) +q

4 − 6 = qq = −2

La retta cercata è y = −3x − 2 procedendo come con l’esempio 3.1.1 otteniamo

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

Figura 3.6: Retta parallela a retta data


Trovare la retta parallela all’asse x che passa per A (1, 2)

La retta cercata è y = 2 procedendo come con l’esempio 3.1.3 otteniamo


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.5. RETTA PER UN PUNTO PERPENDICOLARE A RETTA DATA 16

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

Figura 3.7: Retta parallela all’asse x

3.5 Retta per un punto perpendicolare a retta data

Esempio 3.5.1. Dato un punto e una retta perpendicolare

Data la retta y = 2x + 2 Trovare la retta perpendicolare alla retta data che passa per il punto A (2, 4)

1. Consideriamo la retta generica y = m2x + q

2. Le due rette sono perpendicolari quindi 2 · m2 = −1 otteniamo m2 = −12quindi y = −

12

x + q

3. Passaggio per A (2, 4) otteniamo4 = −

12· 2 +q

4 + 1 = qq = 5

La retta cercata è y = −12

x + 5 procedendo come con l’esempio 3.1.3 otteniamo

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

Figura 3.8: Retta perpendicolare a retta data




Data la retta y = −x + 3 Trovare la retta perpendicolare alla retta data che passa per il punto A (−1,−1)

1. Consideriamo la retta generica y = m2x + q

2. Le due rette sono perpendicolari quindi −1 · m2 = −1 otteniamo m2 = 1 quindi y = x + q

3. Passaggio per A (−1,−1) otteniamo−1 = −1 +q

−1 + 1 = qq = 0

La retta cercata è y = x procedendo come con l’esempio 3.1.1 otteniamo

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0A

Figura 3.9: Retta perpendicolare a retta data

3.6 Fascio di rette

Esempio 3.6.1. Trovare l’equazione del fascio passante per un punto

Dato il punto A (3, 4) trovare l’equazione del fascio di centro A

Partendo da y − y1 = m(x − x1) passaggio per A (3, 4)

y − 4 =m(x − 3)y =m(x − 3) + 4

L’equazione cercata è y = m(x − 3) + 4

Esempio 3.6.2. Trovare l’equazione del fascio passante per un punto

Dato il punto A (3, 4) trovare l’equazione del fascio di centro A

Partendo da y − y1 = m(x − x1) passaggio per A (−1,−2)

y + 2 =m(x + 1)y =m(x + 1) − 2

L’equazione cercata è y = m(x + 1)


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.6. FASCIO DI RETTE 18

Esempio 3.6.3. Dati due punti trovare il coefficiente angolare della retta che passa per questi punti

Dati i punti A (2, 5) e B (3, 7) trovare il coefficiente angolare della retta che passa per A E B

m =y2 − y1x2 − x1

Passaggio per A (2, 5) e B (3, 7)

m =7 − 53 − 2

m =21

m =2

Ilcoefficiente angolare m = 2

Contro esempio 3.6.1. Dati due punti trovare il coefficiente angolare della retta che passa per questipunti

Dati i punti A (2, 5) e B (2, 7) trovare il coefficiente angolare della retta che passa per A E B

m =y2 − y1x2 − x1

Passaggio per A (2, 5) e B (2, 7)

m =7 − 52 − 2

m =20

Impossibile

Non esiste il coefficiente angolare.

3.6.1 Retta per un punto parallela a retta data


Data la retta y = 3x + 4 Trovare la retta parallela alla retta data che passa per il punto A (2, 3)

Consideriamo l’equazione generica del fascio y − y1 = m(x − x1), se le due rette sono parallele m = 3 quindi

y − y1 =3(x − x1)

Passaggio per A (2, 3)

y − 3 =3(x − 2)y =3x − 6 + 3y =3x − 3

Otteniamo y = 3x − 3 lo stesso risultato dell’esempio 3.4.1

3.6.2 Retta per un punto perpendicolare a retta data




Data la retta y = 2x + 2 Trovare la retta perpendicolare alla retta data che passa per il punto A (2, 4)

Consideriamo l’equazione generica del fascio y − y1 = m(x − x1), se le due rette sono parallele m1 · m2 = −1 quindi

2m2 = −1 m2 = −12

y − y1 = −12(x − x1)

Passaggio per A (2, 4)

y − 4 = −12(x − 2)

y = −12

x + 1 + 4

y = −12

x + 5

Otteniamo y = −12

x + 5 lo stesso risultato dell’esempio 3.5.1

3.6.3 Retta per due punti

Esempio 3.6.6. Fascio di rette e retta per due punti

Dati due punti A (−5, 2) B (3, 6) trovare la retta che passa per questi punti.

1. Consideriamo l’equazione del fascio y − y1 = m(x − x1)

2. Passaggio per A (−5, 2) otteniamo y − 2 = m(x + 5)

3. Trovo il coefficiente angolare come con l’esempio 3.6.3

4. m =12

5.

y − 2 =12(x + 3)

y =12

x +32+ 2

y =12

x +72

Esempio 3.6.7. Fascio di rette e retta per due punti

Dati due punti A (3, 6) B (5, 2) trovare la retta che passa per questi punti.


2. Passaggio per A (3, 6) otteniamo y − 6 = m(x − 3)

3. Passaggio per B (5, 2) otteniamo 2 − 6 = m(5 − 3)

4. Semplifico −4 = m2

5. m = −2

6.

y − 6 = − 2(x − 3)y = − 2x + 6 + 6y = − 2x + 12


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.7. INTERSEZIONI FRA RETTE 20

Contro esempio 3.6.2. Fascio di rette e retta per due punti



2. Passaggio per A (2, 3) otteniamo y − 3 = m(x − 2)

3. Passaggio per B (2, 5) otteniamo 5 − 3 = m(2 − 3)

4. Semplifico 2 = 0

5. Impossibile. In questo caso la soluzione è:

6. x = 2

Esempio 3.6.8. Retta per due punti


1. Consideriamo l’equazioney − y1y2 − y1

=x − x1x2 − x1

2.

Passaggio per A (3, 6) B (5, 2)

y − 42 − 6

=x − 35 − 3

y − 4−4

=x − 3

2

y − 6 = − 4x − 3

2y = − 2(x − 3) + 6y = − 2x + 12

3.7 Intersezioni fra rette

Esempio 3.7.1. Date due rette trovare il punto di intersezione

Data le rette y = −2x + 4 e y = x + 1 trovare il loro eventuale punto di intersezione

Imposto il sistema {y = −2x + 4y = +x + 1

Risolvo il sistema formato dalle due rette in forma esplicita con il metodo del confronto.{y = −2x + 4y = +x + 1

{x + 1 = −2x + 4y = +x + 1{

3x = 3y = x + 1

{x = 1y = x + 1{

x = 1y = 1 + 1

{x = 1y = 2

Le due rette si incontrano in A (1, 2)



Esempio 3.7.2. Date due rette trovare il punto di intersezione

Data le rette y =12

x + 4 e y = −x + 1 trovare la loro eventuale intersezione.

Imposto il sistema y = +12

x + 4

y = −x + 1

Risolvo il sistema formato dalle due rette in forma esplicita con il metodo del confronto.y =12

x + 4

y = −x + 1

−x + 1 =12

x + 4

y = −x + 1{−2x + 2 = +x + 8y = −x + 1

{−2x − x = +8 − 2y = −x + 1{

−3x = +6y = −x + 1

{x = −2y = −x + 1{

x = −2y = 3

Le due rette si incontrano in A (−2, 3)

Contro esempio 3.7.1. Date due rette trovare il punto di intersezione

Data le rette y = 2x + 5 e y = 2x + 6 trovare il loro eventuale punto di intersezione

Le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare quindi non si incontrano, verifichiamo con il sistema{y = 2x + 5y = 2x + 6

Risolvo con il metodo del confronto.{y = 2x + 5y = 2x + 6

{2x + 5 = 2x + 6y = 2x + 6{

5 = 6y = 2x + 6

Le due rette non si intersecano.Esempio 3.7.3. Date due rette trovare il punto di intersezione

Data le rette x + 3y − 4 = 0 e 2x + 3y − 5 = 0 trovare il loro eventuale punto di intersezione

Imposto il sistema {x + 3y = 42x + 3y = 5


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)3.7. INTERSEZIONI FRA RETTE 22

Risolvo il sistema formato dalle due rette con il metodo della sostituzione.{x + 3y = 42x + 3y = 5

{x = −3y + 42x + 3y = 5{

x = 4 − 3y2(4 − 3y) + 3y = 5

{x = 4 − 3y8 − 6y + 3y = 5{

x = 4 − 3y−3y = 5 − 8

{x = 4 − 3y−3y = −3{

x = 4 − 3yy = 1

{x = 4 − 3y = 1{

x = 1y = 1



4 Parabola

4.1 Disegnare una parabola

Esempio 4.1.1. Disegnare una parabola nota

Disegnare il grafico della parabola y = 4x2 − 18x + 18

La parabola ha a > 0 quindi ha la concavità rivolta verso l’alto. La parabola ha l’asse parallelo all’asse y. L’asse haquindi equazione

x = −b

2a= −−182 · 4

=188=

94

Per trovare l’ordinata del vertice V sostituisco l’ascissa dell’asse nell’equazione della parabola

y =4x2 − 18x + 18

=4(94

)2− 18

94+ 18

=48116− 18

94+ 18

=814−

1624+ 18

=81 − 162 + 72

4

= −94

Il vertice ha quindi coordinate V(94,−

94

)Passaggio per punti

x = 1

y =4x2 − 18x + 18

=4(1)2 − 18 · 1 + 18=4

x = 2

y =4x2 − 18x + 18

=4(2)2 − 18 · 2 + 18= − 2

Ricapitolandox y1 42 -2

A (1, 4) B (2,−2) Per simmetria rispetto all’asse ottengo altri due punti.

23

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.1. DISEGNARE UNA PARABOLA 24

−1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

0

V

A A′

B B′

Figura 4.1: Grafico parabola

Esempio 4.1.2. Disegnare una parabola nota

Disegnare il grafico della parabola y = −2x2 + 8x − 6

La parabola a < 0 quindi ha la concavità rivolta verso il basso. Ha l’asse parallelo all’asse delle y. L’asse ha quindiequazione

x = −b

2a= −

8−4= +2

Per trovare l’ordinata del vertice V sostituisco l’ascissa dell’asse nell’equazione della parabola

y = −2 · 4 + 8 · 2 − 6 = 2

Il vertice ha quindi coordinate V (2, 2)

x = 0

y = − 2x2 + 8x − 6

= − 2(0)2 + 8 · 0 − 6= − 6

x = 1

y = − 2x2 + 8x − 6

= − 2(1)2 + 8 · 1 − 6=0

Ricapitolandox y0 -61 0

A (0,−6) B (1, 0) Per simmetria rispetto all’asse ottengo altri due punti.


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)CAPITOLO 4. PARABOLA 25

−2. 2. 4. 6.

−6.

−4.

−2.

2.

0

V

A A′

B B′

Figura 4.2: Grafico parabola

4.2 Elementi della parabola

Esempio 4.2.1. Elementi di una parabola

Trovare asse, fuoco, vertice e direttrice della parabola y =14

x2 − x − 2

a > 0 la parabola ha concavità rivolta verso l’alto. I coefficienti sonoa =

14

b = −1c = −2

L’asse della parabola è

x = −−b2a=−1

2−14

= 2

Per trovare le coordinate del fuoco F(−

b2a,1 − ∆

4a

), del vertice V

(−

b2a,−∆

4a

)e l’equazione della direttrice y = −

1 + ∆4a

,

bisogna conoscere il valore di ∆ e di 4a. Inizio con il calcolare

∆ = b2 − 4a = 1 − 4 ·14· (−2) = 3

4a = 4 ·14= 1

Quindi

1 − ∆4a

=1 − 3

1= −2

−∆

4a= −

31= −3

−1 + ∆

4a= −

1 + 31= −4


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.2. ELEMENTI DELLA PARABOLA 26

RicapitolandoF (2,−2)

V (2,−3)

y = −4

−8. −6. −4. −2. 2. 4. 6. 8. 10.

−8.

−6.

−4.

−2.

2.

0

Asse : x = 2

Fuoco = (2,−2)

V ertice = (2,−3)Direttrice : y = −4

Figura 4.3: Elementi della parabola


Trovare asse, fuoco, vertice e direttrice della parabola y = −x2 + 4

a < 0 la parabola ha concavità rivolta verso il basso. I coefficienti sonoa = −1b = 0c = 4


x = −−b2a=

0−2= 0


b2a,1 − ∆

4a

), del vertice V

(−

b2a,−∆

4a


1 + ∆4a

,


∆ = b2 − 4a = 0 − 4 · (−1) · 4 = 16

4a = 4 · (−1) = −4

Quindi

1 − ∆4a

=1 − 16−4

=−15−4=

154

−∆

4a= −

16−4=

164= 4

−1 + ∆

4a= −

1 + 16−4

=174

Ricapitolando

F(0,

154

)V (0, 3)

y =174



−3. −2. −1. 1. 2. 3.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

Direttrice V ertice = (0, 4)

Fuoco = (0,15

4)



Trovare asse, fuoco, vertice e direttrice della parabola y = −32

x2 +92

a < 0 la parabola ha concavità rivolta verso il basso. I coefficienti sonoa = −

32

b =92

c = 0


x = −−b2a= −

92·

1

2(−32)

=92·

13=

32


b2a,1 − ∆

4a

), del vertice V

(−

b2a,−∆

4a


1 + ∆4a

,


∆ = b2 − 4a =814− 4 · (−

32) · 0 =

814

4a = 4 ·(−

32

)= −6

Quindi

1 − ∆4a

=

(1 −

814

) (−

16

)=

4 − 814

(−

16

)=

7724

−∆

4a= −

814

(−

16

)=

8124=

278

−1 + ∆

4a=

(1 +

814

) (−

16

)=

4 + 814

(−

16

)=

8524

Ricapitolando

F(0,

774

)sabato 24 febbraio 2018 20:38:46

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.2. ELEMENTI DELLA PARABOLA 28

V(0,

278

)y =

8124

−0.5 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5

0.5

1.

1.5

2.

2.5

3.

3.5

4.

0

V

F



Trovare asse, fuoco, vertice e direttrice della parabola y =14

x2

a < 0 la parabola ha concavità rivolta verso il basso. I coefficienti sonoa =

14

b = 0c = 0


x = −−b2a= −

0

2 ·14

= 0


b2a,1 − ∆

4a

), del vertice V

(−

b2a,−∆

4a


1 + ∆4a

,


∆ = b2 − 4a = 0 − 0 = 0

4a = 4 ·(14

)= 1

Quindi

1 − ∆4a

=1 − 0

1= 1

−∆

4a= −

01= 0

−1 + ∆

4a=

1 + 01= −1



RicapitolandoF (0, 1)

V (0, 0)

y = −1

−6. −4. −2. 2. 4. 6.

−2.

2.

4.

6.

8.

0

F

V


4.3 Intersezioni

Esempio 4.3.1. Intersezione della parabola con gli assi

Trovare i punti di intersezione della parabola y = 3x2 + 2x + 5 con gli assi.

Intersezione asse x {y = 0y = 3x2 + 2x − 5

3x2 + 2x − 5 = 0

x1.2 =−2 ±

√4 + 60

6=

=−2 ±

√64

6=

=−2 ± 8

6=

x1 = −

106= −

53

x2 =66= 1

Intersezione asse y {x = 0y = 3x2 + 2x − 5

{x = 0y = 3 · 0 + 2 · 0 − 5{

x = 0y = −5

Quindi

A(−

53, 0

)B (1, 0)

C (0,−5)


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.3. INTERSEZIONI 30

−3. −2. −1. 1. 2. 3.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

0

BA

C

Figura 4.7: Intersezioni con gli assi


Trovare i punti di intersezione della parabola y = x2 + 2x + 1 con gli assi.

Intersezione asse x {y = 0y = x2 + 2x + 1

x2 + 2x + 1 = 0

x1.2 =−2 ±

√4 − 4

2=

=−2 ±

√0

2=

= −1

Intersezione asse y {x = 0y = x2 + 2x + 1

{x = 0y = 0 + 2 · 0 + 1{

x = 0y = 1

QuindiA (−1, 0)

B (0, 1)



−4. −3. −2. −1. 1. 2.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0A

B



Trovare i punti di intersezione della parabola y = −2x2 + 3x − 4 con gli assi.

Intersezione asse x {y = 0y = −2x2 + 3x − 4

− 2x2 + 3x − 4 = 0

x1.2 =−3 ±

√9 − 32−4

=

La parabola non interseca l’asse.Intersezione asse y {

x = 0y = −2x2 + 3x − 4

{x = 0y = −2 · 0 + 3 · 0 − 4{

x = 0y = −4

QuindiA (0,−4)


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.4. PARABOLA PER TRE PUNTI 32

−6. −4. −2. 2. 4. 6. 8.

−10.

−8.

−6.

−4.

−2.

2.

0

A


4.4 Parabola per tre punti

Esempio 4.4.1. Parabola per tre punti

Trovare la parabola che passa per i punti A (3, 5), B (2, 3) e C (−1, 5)

Consideriamo le parabola y = ax2 + bx + cCon il passaggio per i tre punti otteniamo

9a + 3b + c = 54a + 2b + c = 3a − b + c = 5

c = 5 − 9a − 3b4a + 2b + 5 − 9a − 3b = 3a − b + 5 − 9a − 3b = 5

c = 5 − 9a − 3b−5a − b = −2−8a − 4b = 0

c = 5 − 9a − 3b2a + b = 05a + b = 2

c = 5 − 9a + 6ab = −2a3a = 2

c = 5 − 3ab = −2a3a = 2

a =23

b = −43

c = 5 − 3 ·23

a =

23

b = −43

c = 3

otteniamoy =

23

x2 −43

x + 3



−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

0

A

B

C

Figura 4.10: Parabola per tre punti


Trovare la parabola che passa per i punti A (1, 0), B (3, 0) e C (0, 4)


a + b + c = 09a + 3b + c = 0c = 4

a + b + 4 = 09a + 3b + 4 = 0c = 4

c = 4a = −b − 49(−b − 4) + 3b + 4 = 0

c = 4a = −b − 4−9b − 36 + 3b + 4 = 0

c = 4a = −b − 4−6b − 32 = 0

c = 4a = −b − 46b = −32

c = 4

a = +626− 4

b = −626

a =

32 − 246

=86=

43

b = −326= −

163

c = 4

Quindiy =

43

x2 −163

x + 4


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.4. PARABOLA PER TRE PUNTI 34

−2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A B

C



Trovare la parabola che passa per i punti A (1, 3), B (3, 0) e C (0, 0)


a + b + c = 39a + 3b + c = 0c = 0

a + b = 39a + 3b = 0c = 0

c = 0b = −3aa − 3a = 3

c = 0b = −3aa − 3a = 3

c = 0−2a = 3b = 3a

c = 0

a = −32

b =92



−1. 1. 2. 3. 4.

−2.

−1.

1.

2.

3.

0

A B


Quindiy = −

32

x2 +92

x

4.5 Intersezioni retta parabola

Esempio 4.5.1. Intersezioni retta parabola

Trovare i punti di intersezione fra la retta y = 3x − 5 e la parabola di equazione y = 3x2 + 2x + 5

Imposto il sistema {y = 3x2 + 2x − 5y = 3x − 5

3x2 + 2x − 5 = 3x − 5

3x2 + 2x − 5 − 3x + 5 = 0

3x2 − x = 0x(3x − 1) = 0x1 = 03x − 1 = 0

x2 =13{

x1 = 0y = 3x − 5

{x1 = 0y = −5

x2 =13

y = 3x − 5

x2 =

13

y = 313− 5

x2 =

13

y = −4


Trovare i punti di intersezione fra la retta y = 2x + 7 e la parabola di equazione y = x2 + 2x + 6


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.5. INTERSEZIONI RETTA PARABOLA 36

Imposto il sistema {y = x2 + 2x + 6y = 2x + 7

x2 + 2x + 6 = 2x + 7

x2 + 2x + 6 − 2x − 7 = 0

x2 − 1 = 0x1 = +1x2 = −1{

x1 = +1y = 2 · 1 + 7

{x1 = 1y = 9{

x2 = −1y = 2 · (−1) + 7

{x2 = −1y = 5

−10. −5. 5. 10.

5.

10.

15.

0

A

B

Figura 4.13: Intersezioni retta parabola


Trovare i punti di intersezione fra la retta y = x + 3 e la parabola di equazione y = x2 + 3x + 5

Imposto il sistema {y = x2 + 3x + 5y = x + 3

x2 + 3x + 5 = x + 3

x2 + 3x + 5 − x − 3 = 0

x2 + 2x + 2 = 0

x1,2 =−2 ±

√4 − 4 · 1 · 22

Non ha soluzione.



−4. −3. −2. −1. 1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0



Trovare i punti di intersezione fra la retta y = x + 1 e la parabola di equazione y = 9x2 − 5x + 2

Imposto il sistema{y = 9x2 − 5x + 2y = x + 1

9x2 − 5x + 2 = x + 1

9x2 − 5x + 2 − x − 1 = 0

9x2 − 6x + 1 = 0

x1,2 =+6 ±

√36 − 4 · 1 · 918

x1,2 =+6 ±

√36 − 36

18

=618

=13

x1 =

13

y =13+ 1

x1 =

13

y =1 + 3

3

x1 =

13

y =43


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)4.5. INTERSEZIONI RETTA PARABOLA 38

−1.5−1.−0.5 0.5 1. 1.5 2.−0.5

0.5

1.

1.5

2.

2.5

3.

0

A




5 Esercizi di riepilogo geometria analitica

5.1 Perimetro figure

Esercizio 5.1.1: Calcola il perimetro del triangolo che ha per vertici A (−3, 2), B (3, 2) e C (0,−3) Soluzione apagina 41

Esercizio 5.1.2: Calcola il perimetro della che ha per vertici A (−3, 1), B (−1, 4), C (−6, 4) e D (−8, 1)Soluzione apagina 41

5.2 Rette parallele e perpendicolari

Esercizio 5.2.1: La retta 7x + 6y + 4 = 0 incontra l’asse y nel punto A. Trovare la retta perpendicolare e la rettaparallela alla retta 8x + 5y + 1 = 0 che passano per A Soluzione a pagina 42

Esercizio 5.2.2: Data la retta r di equazione y = 7x + 6, trovarne le intersezioni con gli assi. Indicato conA il punto di intersezione di r con l’asse x e con B il punto di intersezione con r l’asse y. Trovare la retta sperpendicolare a r che passa A. Trovare la retta t parallela a s che passa per B. Disegnare la rette. Soluzione apagina 43

Esercizio 5.2.3: Trovare la retta che passa per A (7, 6), parallela alla retta che passa per B (−13, 8) e C (5, 1)Soluzione a pagina 44

Esercizio 5.2.4: Data la retta−3x+14y−13 = 0, scrivi l’equazione della retta parallela e della retta perpendicolareche passano per A (−5,−2) Soluzione a pagina 45

5.3 Retta intersezioni

Esercizio 5.3.1: Dati i punti A (−13,−12), B (−15,−8),trovare l’equazione della retta che passa per questi punti.Trovare le coordinate dei punti di intersezione con gli assi della retta trovata. Disegnare la retta. Soluzione apagina 46

Esercizio 5.3.2: Date le rette y = 3x + 3 e y = −2x − 2 trovare, se esiste, il loro punto di intersezione A.Soluzionea pagina 47

39

[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)5.3. RETTA INTERSEZIONI 40

Esercizio 5.3.3: Date le rette y = −3x + 1 e x + y − 3 = 0 trovare,se esiste, il loro punto di intersezione A.Soluzione a pagina 48

Esercizio 5.3.4: Date le rette y = −2x + 5 e y = x + 1 trovare,se esiste, il loro punto di intersezione A. Trovarel’equazione della parallela a y = 5x + 4 che passa per il punto A. Soluzione a pagina 48


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)CAPITOLO 5. ESERCIZI DI RIEPILOGO GEOMETRIA ANALITICA 41

5.4 Soluzioni esercizi di riepilogo

Soluzione dell’esercizio 5.1.1 di pagina 39:Calcolo la distanza tra AB come con l’esempio 1.0.1 quindi

d(AB) = |−3 − 3| = |−6| = 6

Ora calcoliamo la distanza tra BC come con esempio 1.0.6

d(BC) =√(3)2 + (2 + 3)2

=√

34

Ora calcoliamo la distanza tra AC come con esempio 1.0.6

d(AC) =√(−3)2 + (2 + 3)2

=√

34

Conseguentemente il perimetro è2P = 6 +

√34 +

√34 = 6 + 2

√34

−4. −2. 2. 4. 6.

−4.

−2.

2.

4.

0

A B

C

Figura 5.3: Perimetro triangolo

Soluzione dell’esercizio 5.1.2 di pagina 39:Calcoliamo la lunghezza tra AB come con esempio 1.0.6

d(AB) =√(−3 + 1)2 + (1 − 4)2

=√

4 + 9

=√

13

Calcolo la distanza tra CB come con l’esempio 1.0.1 quindi

d(CB) = |−1 + 6| = |5| = 5

Ora calcoliamo la distanza tra CD come con esempio 1.0.6

d(CD) =√(−6 + 8)2 + (4 − 1)2

=√

4 + 9

=√

13

Calcolo la distanza tra DA come con l’esempio 1.0.1 quindi

d(DA) = |−3 + 8| = |5| = 5


[git] • Branch: master@e5f01c3 • Release: (2018-02-23)5.4. SOLUZIONI ESERCIZI DI RIEPILOGO 42

Conseguentemente il perimetro è

2P = 5 +√

13 + 5 +√

13 = 10 + 2√

13

−8. −6. −4. −2. 2. 4.

−4.

−2.

2.

4.

6.

8.

10.

0

A

BC

D

Figura 5.4: Perimetro

Soluzione dell’esercizio 5.2.1 di pagina 39:La retta 7x + 6y + 4 = 0 incontra l’asse y nel punto A. Trovare la retta perpendicolare e la retta parallela alla retta8x + 5y + 1 = 0 che passano per A. Troviamo le coordinate del punto A scrivo la retta 7x + 6y + 4 = 0 in formaesplicita

6y = − 7x − 4

y = −76

x −46

y = −76

x −23

Quindi q = −23per cui A

(0,−

23

). Per trovare la retta perpendicolare a 8x + 5y + 1 = 0 devo calcolarne il

coefficiente angolare. Scrivo la retta in forma esplicita.

5y = − 8x − 1

y = −85

x −15

m = −85utilizzando la formula

m1 · m2 = −1



Otteniamo

−85· m2 = − 1

85· m2 =1

m2 =58

Utilizzando l’equazione del fascio di rette, il valore di m2 trovato e le coordinate di A Otteniamo:

y +25=

58

x

y =58

x −25

Cioè l’equazione della retta perpendicolare cercata.Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare quindi

m1 = m2

quindi m2 = −85


y +25= −

85

x

y = −85

x −25

Cioè l’equazione della retta parallela cercata.

A

Soluzione dell’esercizio 5.2.2 di pagina 39:Data la retta r di equazione y = 7x + 6, trovarne le intersezioni con gli assi. Indicato con A il punto di intersezionedi r con l’asse x e con B il punto di intersezione con r l’asse y. Trovare la retta s perpendicolare a r che passa A.Trovare la retta t parallela a s che passa per B. Disegnare la rette.Intersezione con l’asse x di y = 7x + 6

7x + 6 =07x = − 6

x = −67

A(−

67, 0

)Intersezione con l’asse y A (0, 6)m = 7 utilizzando la formula

m1 · m2 = −1



Otteniamo

7 · m2 = − 1

m2 = −17


y = −17(x +

67)

y = −17

x −649


m1 = m2

quindi m2 = −17

Utilizzando l’equazione del fascio di rette, il valore di m2 trovato e le coordinate di B Otteniamo:

y − 6 = −17

x

y = −17

x + 6


−6.−5.5−5.−4.5−4.−3.5−3.−2.5−2.−1.5−1.−0.5 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

0

A

B

Soluzione dell’esercizio 5.2.3 di pagina 39:Trovare la retta che passa per A (7, 6) , parallela alla retta che passa per B (−13, 8) e C (5, 1)Troviamo il coefficiente angolare della retta che passa per B e C

y − 8 =(x + 13)1 − 8 =(5 + 13)−7 =18m

m = −718



Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare quindi

m1 = m2

quindi m2 = −718


y − 6 = −718(x − 7)

y = −718

x +4918+ 6

y = −718

x +15718


−20. −10. 10. 20. 30.

−10.

10.

20.

30.

0

A

B

C

Soluzione dell’esercizio 5.2.4 di pagina 39:Data la retta −3x + 14y − 13 = 0, scrivi l’equazione della retta parallela e della retta perpendicolare che passanoper A (−5,−2)Scrivo la retta in forma esplicita

−3x + 14y − 13 =014y = + 3x + 13

y =313

x +1314

m =314

utilizzando la formulam1 · m2 = −1

Otteniamo

314· m2 = − 1

m2 = −143




y + 2 = −143(x + 5)

y = −143

x −703− 2

y = −143

x −763


m1 = m2

quindi m2 =314


y + 2 =314(x + 5)

y =314

x +1514− 2

y = −314

x −1314


−10. −8. −6. −4. −2. 2. 4.

−4.

−2.

2.

4.

6.

0

A

Soluzione dell’esercizio 5.3.1 di pagina 39:Dati i punti A (−13,−12), B (−15,−8),trovare l’equazione della retta che passa per questi punti. Trovare le coordinatedei punti di intersezione con gli assi della retta trovata. Disegnare la retta.Consideriamo l’equazione

y − y1y2 − y1

=x − x1x2 − x1



Passaggio per A (−13,−12), B (−15,−8)

y + 12−8 + 12

=x + 13−15 + 13

y + 124=

x + 13−2

−2y − 24 =4x + 524x + 2y + 76 =02x + y + 38 =0

Otteniamo la retta cercata. Intersezione con l’asse x di 2x + y + 38 = 0

2x + 38 =02x = − 38

x = − 19

A (−19, 0)Intersezione con l’asse y B (0,−38)

[10pt]article pgf,tikz mathrsfs

−40. −30. −20. −10. 10. 20. 30. 40.

−40.

−30.

−20.

−10.

10.

0

A

B

C

D

Soluzione dell’esercizio 5.3.2 di pagina 39:Date le rette y = 3x + 3 e y = −2x − 2 trovare, se esiste, il loro punto di intersezione A.{

y = 3x + 3y = −2x − 2

{y = 3x + 33x + 5 = −2x − 2{

y = 3x + 35x = −3 − 2

{y = 3x + 35x = −5{

y = 3(−1) + 3x = −1

{y = 0x = −1

A (−1, 0)



−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

0

A

Soluzione dell’esercizio 5.3.3 di pagina 40:Date le rette y = −3x + 1 e x + y − 3 = 0 trovare,se esiste, il loro punto di intersezione A.{

x + y − 3 = 0y = −3x + 1

{x − 3x + 1 − 3 = 0y = −3x + 1{

−2x − 2 = 0y = −3x + 1

{y = −1y = −3(−1) + 1{

y = 4x = −1

A (−1, 4)

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0

A

Soluzione dell’esercizio 5.3.4 di pagina 40:Date le rette y = −2x + 5 e y = x + 1 trovare,se esiste, il loro punto di intersezione A. Trovare l’equazione della



parallela a y = 5x + 4 che passa per il punto A.{y = −2x + 5y = x + 1

{−2x + 5 = x + 1y = x + 1{

−3x = −4y = x + 1

y =

43

y =43+ 1

y =43

y =73

A(43,73

)Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare quindi

m1 = m2

quindi m2 = 5Utilizzando l’equazione del fascio di rette, il valore di m2 trovato e le coordinate di A Otteniamo:

y −73=5(x −

43)

y =5x −203+

73

y =5x −133


−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

0

a

A



Appendice

50


Mezzi usati

• I mezzi usati

– pdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Livehttp://www.tug.org/texlive

– Pacchetti usati1. Per la grafica il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ2. Per la matematica il pacchetto AMS3. Per le presentazioni Beamer

– Editor usati1. TEXstudiohttp://texstudio.sourceforge.net/

2. Tikzedthttp://www.tikzedt.org/index.html

3. QTikZhttp://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/

4. GeoGebra 5https://www.geogebra.org

• Aiuti e consigli

1. Forum del guIt Gruppo Utilizzatori Italiani di TEXhttp://www.guitex.org/home/it/forum

2. ArsTEXnica la rivista del guIt3. TEX ample.nethttp://www.texample.netda cui qualche immagine è stata tratta

4. TEX StackExchangehttp://tex.stackexchange.com

• Aggiornamenti http://breviariomatematico.altervista.org

51

http://www.tug.org/texlive

http://texstudio.sourceforge.net/

http://www.tikzedt.org/index.html

http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/

https://www.geogebra.org

http://www.guitex.org/home/it/forum

http://www.texample.net

http://tex.stackexchange.com

http://breviariomatematico.altervista.org


Indice analitico

C

Coefficiente

angolare, 21

52

ESERCIZISVOLTIDIMATEMATICAbreviariomatematico.altervista.org/wp-content/uploads/2017/12/eserciziterzomoda.pdf[git]•...

Documents

Transcript of ESERCIZISVOLTIDIMATEMATICAbreviariomatematico.altervista.org/wp-content/uploads/2017/12/eserciziterzomoda.pdf[git]•...