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Esercitazioni di Statistica Corsi di Laurea Infermiesristica Pediatrica e Ostetricia - I anno - a.a 2007-2008 1

Distribuzioni di frequenza di due variabili Esercizio In un collettivo di studenti è stato rilevato il voto riportato all’esame di statistica e quello riportato all’esame di fisica Studente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Voto statistica 20 20 20 23 23 20 27 27 20 27 23 23 27 27 Voto fisica 25 27 30 25 27 27 28 25 28 25 25 25 30 28


1) Riportare i risultati in una tabella specificando anche i totali di

riga e di colonna. Indicare chiaramente il titolo della tabella ed il significato delle righe e delle colonne

2) Calcolare il voto mediano dell’esame di statistica

3) Qual è la proporzione di studenti che hanno ottenuto un voto di

statistica pari a 23 sul totale degli studenti

4) Qual è la proporzione di studenti che hanno ottenuto un voto di statistica pari a 23 sul totale di studenti che hanno avuto un voto di fisica pari a 27?


1) Distribuzione di frequenza assoluta Voto fisica Voto statistica 25 27 28 30 Totale 20 1 2 1 1 5 23 3 1 0 0 4 27 2 0 2 1 5 Totale 6 3 3 2 14 2) N è pari quindi si devono considerare i voti riportati delle unità statistiche che occupano le posizioni: N/2 e (N/2) + 1 Ossia: N/2 = 14/2 = 7 e (N/2) +1 = 7+1 = 8 quindi: mediana = 23


3) 4 (n. di studenti con voto di statistica pari a 23) / 14 (totale studenti) = 0,29

4) 1 (n. di studenti con voto di statistica pari a 23 tra quelli con voto di fisica pari a 27)/

3 (totale studenti con voto di fisica pari a 27) = 0,33


Esercizio:

1) Costruire una tabella con i seguenti valori; i dati (fittizi) si

riferiscono all’associazione tra osteoporosi e peso rispetto al

peso forma in un gruppo di pazienti, di sesso femminile, di

oltre 65 anni visto in un reparto di medicina.

Il peso è definito come “sovrappeso” o “normopeso”.

L’osteoporosi come presente o assente.

75 pazienti nel reparto hanno evidenza radiologica di

osteoporosi, di cui 42 sovrappeso ed i restanti normopeso;

164 non hanno evidenza di osteoporosi, di cui 90 normopeso.


2) Definire la proporzione di pazienti con osteoporosi sul totale di

pazienti

3) Definire la proporzione di pazienti sovrappeso con osteoporosi

sul totale di pazienti con osteoporosi

4) Disegnate il diagramma a barre della distribuzione di

frequenza (assoluta) dei pazienti con osteoporosi. In questo

grafico non si considerino i pazienti senza osteoporosi

5) Calcolare l’odds ratio e l’intervallo di confidenza al 95%.

Valutare se esiste un’associazione statisticamente significativa

tra malattia e peso.


1)

2) 75/239 = 0,31

3) 42/75= 0,56

Osteoporosi Presente Assente Totale Sovrappeso 42 (a) 74 (b) 116 (a+b) Normopeso 33 (c) 90 (d) 123 (c+d)

Totale 75 (a+c) 164 (b+d) 239


4)

Pazienti con osteoporosi

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

sovrapeso normopeso

freq

uenz

a as

solu

ta


5) Odds ratio = (42*90)/(74*33) = 3780/2442 = 1,5

eORESOR

ORIC))(ln()ln(

)(*

2Ζ±= α

dcbaORES

1111))(ln( +++=

eORIC 901

331

741

421

*96,15,1ln)(

+++±=

IC95% (OR) =(e-0,14; e0,96)

IC95%(OR) = (0,9 ; 2,6)

Conclusione: I soggetti sovrappeso hanno un rischio 1,5 volte

superiore di contrarre malattia rispetto ai normopeso, anche se

questo valore non è statisticamente significativo.


( )∑

−=

attattoss

2

2χ

H0: non esiste associazione tra malattia e peso

Osteoporosi Presente Assente Totale Sovrappeso 42 (attesi = 75*116/239 =

36,4) 74 (attesi = 79,6) 116 (a+b)

Normopeso 33 (attesi = 38,6) 90 (attesi = 84,4) 123 (c+d)

Totale 75 (a+c) 164 (b+d) 239


χ2 = (42-36,4)2 + (74-79,6) 2 + (33-38,6) 2 + (90-84,4) 2 = 2,4

36,4 79,6 38,6 84,4

sulle tavole trovo per (1 grado di libertà) χ2 = 3,84

2,4 < 3,84 quindi non rifiuto H0


2,4

Rifiuto

H0

Non rifiuto

H0


Distribuzione chi-quadro (l’area compresa tra un dato valore di χ2 e ∞)

Distribuzione Chi quadrato

1 coda 2 code Probabilità 0,001 0,01 0,025 0,05 0,1 0,002 0,02 0,05 0,1 gradi libertà 1 10,83 6,64 5,02 3,84 2,71 10,83 6,64 5,02 3,84

2 13,82 9,21 7,38 5,99 4,61 13,82 9,21 7,38 5,99 3 16,27 11,35 9,35 7,82 6,25 16,27 11,35 9,35 7,82 4 18,47 13,28 11,14 9,49 7,78 18,47 13,28 11,14 9,49 5 20,52 15,09 12,83 11,07 9,24 20,52 15,09 12,83 11,07 6 22,46 16,81 14,45 12,59 10,65 22,46 16,81 14,45 12,59 7 24,32 18,48 16,01 14,07 12,02 24,32 18,48 16,01 14,07 8 26,13 20,09 17,54 15,51 13,36 26,13 20,09 17,54 15,51 9 27,88 21,67 19,02 16,92 14,68 27,88 21,67 19,02 16,92 10 29,59 23,21 20,48 18,31 15,99 29,59 23,21 20,48 18,31 11 31,26 24,73 21,92 19,68 17,28 31,26 24,73 21,92 19,68 12 32,91 26,22 23,34 21,03 18,55 32,91 26,22 23,34 21,03 13 34,53 27,69 24,74 22,36 19,81 34,53 27,69 24,74 22,36 14 36,12 29,14 26,12 23,69 21,06 36,12 29,14 26,12 23,69 15 37,70 30,58 27,49 25,00 22,31 37,70 30,58 27,49 25,00 16 39,25 32,00 28,85 26,30 23,54 39,25 32,00 28,85 26,30 17 40,79 33,41 30,19 27,59 24,77 40,79 33,41 30,19 27,59 18 42,31 34,81 31,53 28,87 25,99 42,31 34,81 31,53 28,87 19 43,82 36,19 32,85 30,14 27,20 43,82 36,19 32,85 30,14 20 45,32 37,57 34,17 31,41 28,41 45,32 37,57 34,17 31,41


Esercizio

Il rilevamento dei gruppi sanguigni effettuato in tre località diverse

ha dato i seguenti risultati:

Gruppo sanguigno

Località I Località II Località III

A 100 70 122 B 70 38 80

AB 15 20 48

0 185 122 176


1) Qual è il gruppo sanguigno più frequente?

2) Qual è la frequenza relativa del gruppo sanguigno B nella

località I?

3) Rispetto al totale complessivo, che percentuale rappresenta il

gruppo AB della località III

4) Tra i soggetti con gruppo 0, quale quota percentuale va

attribuita alla località II?


1) Il gruppo sanguigno più frequente è il gruppo 0.

2) 70/370= 0,19

3) 48/1046 = 0,05 = 5%

4) 122/483 = 0,25 =25%

Gruppo sanguigno Località I % Località II % Località III % Totale

A 100 27 70 28 122 29 292 B 70 19 38 15 80 19 188

AB 15 4 20 8 48 11 83

0 185 50 122 49 176 41 483 Totale 370 100 250 100 426 100 1046


Esercizio

In un ospedale piemontese nell’ultimo anno sono stati registrati 512

parti. Sono nati 260 maschi e 252 femmine. Il peso del neonato è

stato tra 1 e 2 kg per 59 maschi e 81 femmine, tra 2 e 3 kg per 102

maschi e 114 femmine, tra 3 e 4 kg per 72 maschi e 50 femmine,

tra 4 e 5 kg per i restanti neonati.

1) Riportate i risultati in una tabella, completando i dati mancanti.

Indicate chiaramente il titolo della tabella e il significato delle righe e

delle colonne. Calcolate sia la frequenza assoluta sia la frequenza

relativa percentuale sul totale di 512 neonati


2) Stabilire la tipologia delle variabili “peso” e “sesso” motivandone

la risposta

3) Disegnate l’istogramma con la frequenza assoluta dei diversi

pesi tra i soli maschi

4) Qual è la proporzione di femmine con peso tra 1 e 2 kg sul totale

delle femmine nate?

5) Indicate a parole il significato del simbolo >=


1)

2) La variabile “peso” è di tipo numerico continuo; è il risultato di

un’operazione di misura e può assumere tutti i valori all’interno di

un intervallo.

La variabile “sesso” è di tipo categorico nominale. Non è possibile

effettuare un ordinamento tra le modalità.

Maschi Femmine Totale n Frequenza relativa

percentuale n Frequenza relativa

percentuale

1<=x<2 59 12% 81 16% 140 2<=x<3 102 20% 114 22% 216 3<=x<4 72 14% 50 10% 122 4<=x<5 27 5% 7 1% 34

Totale 260 51% 252 49% 512


3)

Frequenza assoluta dei pesi dei neonati maschi

0

20

40

60

80

100

120

1<=x<2 2<=x<3 3<=x<4 4<=x<5

peso del neonato

freq

uenz

a as

solu

ta


4) Proporzione di femmine con peso tra 1 e 2 kg sul totale delle

femmine nate:

81/252=0,32

5) >= significa maggiore o uguale


Esercizio

In un reparto di un ospedale, nell’ultimo mese sono stati ricoverati

230 pazienti. Si sono registrati 98 fumatori e 132 non fumatori.

Per i soggetti con età (in anni compiuti) tra 0 e 20 anni, i fumatori

sono stati 4 e i non fumatori 22; tra i 20 e i 40 anni I fumatori erano

45 e i non fumatori 47; tra i 40 e 60 anni 39 fumatori e 45 non

fumatori; tra i 60 e gli 80 anni 10 fumatori e 16 non fumatori. I

soggetti rimanenti avevano un’età compresa tra gli 80 e i 100 anni.


a. Riportare i risultati in una tabella, completando i dati mancanti.

Indicate chiaramente il titolo della tabella ed il significato delle

righe e delle colonne. Calcolate sia la frequenza assoluta, sia

la proporzione, sul totale di 230 ricoveri.

b. Stabilire la tipologia della variabile “età” e motivarne la risposta.

c. Disegnare l’istogramma con la proporzione dei fumatori nelle

diverse età sul totale di soggetti

d. Qual è la proporzione di fumatori con età compresa tra 40 e 60

anni sul totale dei fumatori? E sul totale dei soggetti?

e. Qual è la percentuale di non fumatori con età compresa tra i 60

e gli 80 anni sul totale dei soggetti?


1)

2. L’età è una variabile discreta in quanto risulta da un conteggio e

assume valori interi

Fumatori Non fumatori Totale n Proporzione n Proporzione n

0<=x<20 4 0,02 22 0,10 26 20<=x<40 45 0,20 47 0,20 92 40<=x<60 39 0,17 45 0,19 84 60<=x<80 10 0,04 16 0,07 26

80<=x<100 0 0 2 0,01 2 Totale 98 0,43 132 0,57 230


3.

Proporzione di fumatori nelle diverse classi d'età

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0<=x<20 20<=x<40 40<=x<60 60<=x<80 80<=x<100età

freq

uenz

a re

lativ

a

4. Proporzione di fumatori tra i 40 e i 60 anni sul totale dei fumatori:

39/98 =0,40. Proporzione di fumatori tra i 40 e i 60 anni sul totale

dei soggetti: 39/230 =0,17


5. Percentuale di non fumatori con età compresa tra i 60 e gli 80

anni sul totale dei soggetti: 16/230 = 0,07

0,07*100 = 7%


Esercizio: L’elenco seguente comprende i pazienti ricoverati nel vostro reparto nell’ultimo mese (n=neoplasia; a=altro)

età durata della degenza sesso tipo di malattia 25 5 M A 33 16 M A 34 8 M A 37 2 M N 37 8 M A 39 7 M N 45 18 F N 48 5 F N età durata della degenza sesso tipo di malattia 50 4 F A 52 7 F N 55 8 F N 59 8 F A 75 12 F N


a) Sintetizzate i risultati completando la seguente tabella. Inserite i

dati mancanti, seguendo le indicazioni fornite dal titolo della tabella

e dalle intestazioni delle righe e delle colonne.

Distribuzione di frequenza dei ricoveri nel reparto , per

sesso e durata del ricovero

Durata del ricovero

<= 7 giorni

> 7 giorni TOTALE

Maschi Sesso

Femmine

TOTALE


b) Calcolate: media, deviazione standard e coefficiente di

variazione dell’età. Indicate chiaramente le formule. c) Disegnare un istogramma con le frequenze della durata di

ricovero tra maschi e femmine.

d) Rappresentare le variabili età e durata della degenza con un

diagramma di dispersione e) Valutare se esiste un’associazione statisticamente significativa

tra sesso e tipo di malattia. Calcolare l’odds ratio e il relativo I.C

95%


a)

b) Media = Σ xi /n = 45,3

DS = [Σ (xi- x )2 / (n-1)] ½ = 13,3 Coefficiente di variazione % = DS/Media = 29 %

Distribuzione di frequenza dei ricoveri nel reparto , per sesso e durata del ricovero

Durata del ricovero

<= 7 giorni > 7 giorni TOTALE

Maschi 3 (2,8) 3 6 Sesso

Femmine 3 4 7

TOTALE 6 7 13


c)

Frequenza assoluta del numero di ricoveri per sesso

0

1

2

3

4

maschi femmine

<=7 giorni>7 giorni


d)

Durata della degenza in funzione dell'età

02468

101214161820

20 30 40 50 60 70 80

Età

Dur

ata

della

deg

enza


H0: non esiste associazione tra tipo di malattia e sesso

χ2 = (2-3,2)2 + (4-2,8) 2 + (5-3,8) 2 + (2-3,2) 2 =

3,2 2,8 3,8 3,2

= 0,45 + 0,51 + 0,38 + 0,45 = 1,79

sulle tavole trovo (1 grado di libertà) χ2 = 3,84

1,79 < 3,84 quindi non rifiuto H0

Distribuzione di frequenza dei ricoveri nel reparto , per sesso e tipo di malattia

Tipo di malattia

neoplasia altro TOTALE

Femmine 5 (attesi: 3,8) 2 (attesi: 3,2) 7 Sesso

Maschi 2 (attesi: 3,2) 4 (attesi:2,8) 6

TOTALE 7 6 13


OR = 20/4 = 5 I.C. 95% : (0,47;52,96) Le femmine hanno un rischio 5 volte superiore rispetto ai maschi di sviluppare una neoplasia.


I risultati di uno studio (di tipo caso-controllo) sono riassunti nella

seguente tabella:

Casi di tumore del

polmone

Controlli Totale

Fumatori ed ex

fumatori

86 120 206

Non Fumatori 14 80 94

Totale 100 200 300


a. Come indicatore di associazione decidete di calcolare l’Odds

Ratio. Scrivete la formula ed il risultato che ottenete.

b. Come interpretate il valore di Odds Ratio che avete ottenuto? c. Indicate il test statistico che ritenete appropriato nel caso dato,

tra i seguenti.

Chi-quadrato Test z Test t per dati appaiati Test t per dati non appaiati

d. Avete fissato l’errore di 1° tipo al 5%. Defini te l’errore di 1° tipo

(anche detto errore alfa) e. Applicate il test che avevate scelto, effettuando i calcoli

necessari. Presentate chiaramente formule e risultati. Indicate il valore di probabilità corrispondente al risultato del test, avvalendovi delle tabelle allegate.


a. OR = 4,1

b. I soggetti fumatori ed ex fumatori hanno un rischio 4,1 volte superiore di sviluppare tumore del polmone rispetto ai non fumatori

c. Chi quadrato d. Alfa è la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è vera e. H0: non esiste associazione tra fumo e malattia


χ2 = (86-68,7)2/ 68,7+ (120-137,3) 2 / 137,3 + (14-31,3) 2 / 31,3+

(80-62,7) 2 / 62,7 = 4,4 + 2,2 + 9,6 + 4,8 = 21

sulle tavole trovo (1 grado di libertà) χ2 = 3,84

21 > 3,84 quindi rifiuto H0

Casi di tumore del

polmone

Controlli Totale

Fumatori ed ex

fumatori

86 (attesi: 68,7) 120 (attesi: 137,3) 206

Non Fumatori 14 (attesi: 31,3) 80 (attesi: 62,7) 94

Totale 100 200 300

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