Esercizi di teoria dei segnali

Laura DossiArnaldo Spalvieri

Gli autori desiderano ringraziare gli ingg. Fabio Marchisi e Raffaele Canavesiper il preziosissimo contributo alla stesura della dispensa.

i

Indice

1 Segnali deterministici e sistemi: analisi a tempo continuo e

discreto, dominio del tempo e della frequenza 11.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5 Esercizio 9 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Esercizio 10 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.7 Esercizio 11 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.8 Esercizio 12 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.9 Esercizio 13 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.10 Esercizio 14 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.11 Esercizio 15 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.12 Esercizio 16 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Segnali e sistemi a tempo continuo . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Esercizio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Esercizio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.3 Esercizio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4 Esercizio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.5 Esercizio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.6 Esercizio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.7 Esercizio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.8 Esercizio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.9 Esercizio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

1.3.10 Esercizio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.11 Esercizio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.12 Esercizio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.13 Esercizio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.14 Esercizio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.1 Esercizio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.2 Esercizio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.3 Esercizio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4.4 Esercizio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.5 Esercizio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.6 Esercizio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.4.7 Esercizio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.4.8 Esercizio 38 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.5 Segnali e sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . 591.5.1 Esercizio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.5.2 Esercizio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.5.3 Esercizio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.5.4 Esercizio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.5.5 Esercizio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.5.6 Esercizio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.5.7 Esercizio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.6 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.6.1 Esercizio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2 Segnali aleatori 742.1 Probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.1.1 Esercizio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.2 Esercizio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2 Processi parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.1 Esercizio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.2 Esercizio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2.3 Esercizio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.4 Esercizio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.5 Esercizio 53 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2.6 Esercizio 54 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3 Processi non parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.1 Esercizio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.2 Esercizio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.3.3 Esercizio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

iii

2.3.4 Esercizio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.3.5 Esercizio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.3.6 Esercizio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3.7 Esercizio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.3.8 Esercizio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.3.9 Esercizio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.3.10 Esercizio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.3.11 Esercizio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.3.12 Esercizio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.3.13 Esercizio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.3.14 Esercizio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.3.15 Esercizio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3.16 Esercizio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3.17 Esercizio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.3.18 Esercizio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.3.19 Esercizio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.3.20 Esercizio 74 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3.21 Esercizio 75 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3.22 Esercizio 76 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.3.23 Esercizio 77 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.4 Segnale dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.4.1 Esercizio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.4.2 Esercizio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.4.3 Esercizio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.4.4 Esercizio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.4.5 Esercizio 82 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Appendice 133

A Proprieta della Trasformata e della Serie di Fourier 133A.1 Proprieta della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . 133A.2 Proprieta della Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B Trasformate di Fourier 139B.1 Segnali a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.2 Sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

iv

Capitolo 1

Segnali deterministici e sistemi:analisi a tempo continuo ediscreto, dominio del tempo edella frequenza

1

1.1 Serie di Fourier

1.1.1 Esercizio 1

Sia dato x(t) = xT1(t) + xT2(t) in cui T1 e T2 rappresentano i periodi deisegnali xT1(t) e xT2(t) rispettivamente.E` intuitivo convincersi del fatto che se esiste un T tale che x(t + T ) = x(t),questo T deve comprendere un numero intero di T1 e T2; inoltre il piu` piccolofra i possibili T che rispettano la condizione sopra citata sara` il m.c.m fra T1e T2.Si puo` quindi affermare che: dato un segnale x(t) somma di due segnali perio-dici di periodo T1 e T2 esso sara` periodico di periodo T con T = m.c.m(T1, T2)se tale m.c.m esiste (in questo casi i periodi sono tra loro commensurabili).Se non esiste il m.c.m(T1, T2) allora il segnale x(t) non e` periodico (e i periodisi dicono incommensurabili).

Si presentano qui di seguito tre esercizi a sostegno dellaffermazione fatta.

1) Somma di segnali periodici di periodo uno multiplo dellaltroDato

x(t) = xT1(t) + xT2(t) = sen(2pit) + cos(4pit+ )

sia f1 e T1 frequenza e periodo di xT1 ed f2 e T2 frequenza e periodo dixT2 allora:

T1 = 1s, f1 = 1Hz;

T2 = 0.5s, f2 = 2Hz.

In questo caso, dove una frequenza e multipla dellaltra, risulta:

T = m.c.m(T1, T2) = max(T1, T2) = 1s,

f =1

T= min(f1, f2).

Ricordando che sen(2pit) = cos(2pit pi/2) risulta immediato scriverex(t) in serie di Fourier in forma polare:

x(t) = 21

2cos(2pit pi

2) + 2

1

2cos(4pit+ ),

in cui A1 = A2 = 1/2 e 1 = pi/2, 2 = .Nel grafico di figura 1 sono riportati in ascissa il tempo t e in ordinatarispettivamente xT1(t), xT2(t), xT (t).

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21

0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 21

0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 22

1

0

1

2

2) Somma di segnali periodici con periodi commensurabiliDato

x(t) = xT1 + xT2 = cos(pi

3t)+ sen

(pi

7t pi

8

),

risultaT1 = 6s, f1 = 1/6Hz, T2 = 14s, f2 = 1/14Hz.

Sia T = m.c.m(T1, T2), T esiste se e solo se esistonom,n Z+ : mT1 = nT2.In questo caso

T = m.c.m.(6, 14) = (3 2, 7 2) = 42,che e il periodo di x(t), inoltre f = 1/T = 1/42.E` facile trovare lo sviluppo in forma polare di x(t)

x(t) = cos(2pi16t) + sen(2pi

1

14t pi

8)

= +21

2cos(2pi7

1

42t+ pi) + 2

1

2cos(2pi3

1

42t 5

8pi),