Esercizi propedeutici all’insegnamento Matematica Corso Base · Linguaggio, elementi di logica,...

Esercizi propedeutici all’insegnamento

Matematica Corso Base

Prof.ssa G. RotundoProf. R. Benini

Facoltà di EconomiaSapienza Università di Roma

a.a. 2014/15

Indice

Prefazione 1

1 Linguaggio, elementi di logica, insiemi, insiemi di numeri reali 2

2 Elementi di algebra 7

3 Equazioni e disequazioni 10

4 Errori 26

Bibliografia 28

I

Prefazione

I seguenti argomenti sono preliminari per la fruizione proficua di Matematica corso base presso laFacoltà di Economia. Si suppone che lo studente, alla fine delle scuole secondarie superiori, abbiaacquisito concetti e metodi di risoluzione soprattutto riguardo a:

1. Insiemi: esempi e notazioni, operazioni fra insiemi, insiemi numerici.

2. Calcolo letterale: proprietà delle potenze, monomi, polinomi, frazioni a termini letterali.

3. Equazioni e disequazioni: risoluzione, ed, in particolare, risoluzione di equazioni e disequazionidi I e di II grado.

4. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.

5. Equazioni e disequazioni fratte e prodotti.

6. Equazioni e disequazioni irrazionali.

7. Equazioni e disequazioni con valori assoluti.

8. Sistemi di equazioni e disequazioni in una variabile.

9. Riferimento cartesiano e distanza tra due punti.

10. Equazione della retta.

11. La parabola ed altre coniche.

Il materiale qui raccolto intende offrire un supporto per la verifica delle conoscenze propedeuticheed indicare il modo di colmare eventuali lacune senza in alcun modo sostituirsi al percorso scolastico.I libri consigliati per la preparazione sono riportati alla fine di questa raccolta. I capitoli che seguonoindividuano le sezioni da studiare in riferimento al materiale bibliografico, limitatamente ad alcunipunti del programma propedeutico, e propongono quiz di verifica.

1

1 Linguaggio, elementi di logica, insiemi,insiemi di numeri reali

Dopo aver consultato i riferimenti bibliografici, rispondere alle seguenti domande:

1. Il simbolo ∀ significa

� per ogni

� esiste

� è unico

2. Il simbolo ∃ significa

� per ogni

� esiste

� è unico

3. Il simbolo ! significa

� per ogni

� esiste

� è unico

4. Il simbolo | si legge� per ogni

� esiste

� tale che

5. Determinare il minimo comune multiplo (m.c.m.) ed il massimo comune divisore (M.C.D.)della coppia di numeri 6 e 24

� m.c.m.: 6, M.C.D.: 24;

� m.c.m.: 144, M.C.D.: 4;

� m.c.m.: 12, M.C.D.: 24;

� m.c.m.: 24, M.C.D.: 6.

6. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

� m.c.m.(15, 18) = 60;

� m.c.m.(15, 12) = 60;

� M.C.D.(30, 18) = 3;

� 15 e 12 sono primi tra loro.

2

7. Quale di queste affermazioni è vera?

� Se p è pari, allora p è divisibile per 4;

� p è divisibile per 6 se e solo se p è divisibile per 2 e per 3;

� se p è divisibile per 3, allora p è dispari;

� se p è dispari, allora p è divisibile per 3.

8. Si consideri il teorema Se un numero è dispari, allora il suo quadruplo è pari ; quale delleseguenti affermazioni è corretta?

� i numeri pari non soddisfano l’ipotesi del teorema;

� per i numeri dispari non vale la tesi del teorema;

� è vero anche il teorema inverso;

� se un numero non soddisfa l’ipotesi del teorema, allora non soddisfa neanche la tesi.

9. Se l’affermazione Se gli studenti studiano, saranno promossi è vera, allora possiamo dire che:

� Saranno promossi solo gli studenti che hanno studiato;

� se uno studente studia, sarà promosso col massimo dei voti;

� se uno studente non studia, sarà bocciato;

� se uno studente è stato bocciato, vuol dire che non ha studiato.

10. L’equazione che trascrive la frase sono dati due numeri tali che la radice quadrata della sommadel primo con il quadrato del secondo è uguale al quadrato della somma del primo con la radicequadrata del secondo è:

�√

x+ y2 = x2 +√y;

�√x+ y2 = (x+

√y)2;

�√x+ y2 = x+ y2;

�√x+ y2 = (x+

√y)2;

11. Nell’enunciato del Teorema di Pitagora dato un qualunque triangolo rettangolo, il quadratocostruito sull’ipotenusa ha area uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti :

� la tesi è dato un qualunque triangolo rettangolo

� la tesi è il quadrato costruito sull’ipotenusa ha area uguale alla somma delle aree deiquadrati costruiti sui cateti ;

� la tesi è uguale alla ipotesi;

� il teorema non contiene ipotesi.

12. Si consideri la seguente proposizione:p =x è un numero naturale multiplo di 10.Quale tra le seguenti proposizioni q è una condizione sufficiente per p:

� q = x è un numero naturale multiplo di 2 ;



3

Linguaggio, elementi di logica, insiemi, insiemi di numeri reali

� q = x è un numero naturale multiplo di 20.

13. Consideriamo le tre proposizioni:p = Pluto è un caneq = Pluto è un mammiferor = Pluto è giallo.Possiamo affermare che

� q è una condizione sufficiente per p;

� r è una condizione sufficiente per p;

� q è una condizione necessaria per p;

� q è una condizione necessaria e sufficiente per p e r.

14. La frase non tutti gli studenti della Tuscia sono residenti a Viterbo è equivalente all’afferma-zione:

� alcuni residenti a Viterbo non sono studenti della Tuscia;

� alcuni studenti della Tuscia non sono residenti a Viterbo;

� non tutti i residenti a Viterbo sono studenti della Tuscia;

� alcuni studenti della Tuscia sono residenti a Viterbo.

15. Mettere in relazione correttamente le coppie di numeri 4/3 e 3/2

� 4/3 < 3/2;

� 4/3 > 3/2;

� 4/3 = 3/2;

� 4/3 e 3/2 non sono confrontabili.

16. Il numero −(0.075)−1 è

� un numero razionale negativo;

� un numero irrazionale positivo;

� un numero irrazionale negativo;

�√0.075.

17. Calcolare la somma di 2/8 - 5/12

� i due numeri non si possono sommare;

� 3/4;

� -1/6;

� 16/24.

18. Consideriamo gli insieme A = {a, b, ∗, 10} , B = {c, �, 13} e C = {a,4, ∗, 13, 17}; alloral’insieme D {a, ∗, 13} è uguale a

� (A ∪B) ∩ C

� A ∩B ∩ C

4

� A ∩ (B ∪ C)

� (A ∩B) ∪ C

19. Dati gli insieme A = {x ∈ R : 0 < x < 5} e B = {x ∈ R : 2 ≤ x < 8}, qual è l’insieme A ∩ B?

� {x ∈ R : 2 ≤ x < 5}

� {x ∈ R : 0 < x < 8}

� {x ∈ R : 2 < x < 8}

� {x ∈ R : 0 < x ≤ 5}

20. Se a è un numero reale diverso da zero:

� −a è sempre negativo;

� −a2 è sempre negativo;

� 2a > a;

�1

aè maggiore di 0;

�1

anon esiste.

21. Se a e b sono numeri reali positivi, allora, per ogni intero naturale n:

� an + bn = (a+ b)n;

� anbn = (ab)2n;

� anbn = (ab)n;

� nessuna delle altre risposte.

22. I due numeri1

2e 0.5:

� sono diversi perché il primo è un razionale e il secondo un decimale;

� sono diversi perché il primo è minore del secondo;

� sono diversi perché il secondo è minore del primo;

� sono uguali.

23. Di numeri razionali x tali che1

4< x <

1

2ne esistono

� solo uno ed è1

3;

� solo due

� solo un numero finito maggiore di due;

� infiniti.

5

Linguaggio, elementi di logica, insiemi, insiemi di numeri reali

Riferimenti bibliografici (mirati, parziali)

[Blasi] capp. 1-2[Castellani] capp. 1-2[Gozzi] par. 1.1, 1.2, 1.3[Ricci] cap. 0

6

2 Elementi di algebra

1. Il numero1

3+

1

7soddisfa la condizione

�1

2<

1

3+

1

7<

2

3;

�1

3<

1

3+

1

7<

1

2;

�1

3+

1

7>

2

3;

�1

3+

1

7<

1

3;

2. Il numero 3−43 si può rappresentare come

� 3√−12;

� 3− 4

3;

� − 3√81;

�1

3√81

.

3. L’espressione3 · 8−5

4 · 8−3è uguale a

� 6 · 8−3

� 6 · 8−1

� 3 · 8−2

� 6 · 8−4

4. La radice quadrata del numero(1

2

)−3� è uguale a 2

√2;

� non esiste;

� è uguale a1√8;

� è uguale a√2

5. Se x =3√26, allora:

� x = 2;

� x = 22;

7

Elementi di algebra

� x non è un numero reale;

� x non è un numero intero.

6. Su una pagina internet viene scritto che 250 è la metà di 2100. L’affermazione è sbagliataperché la metà di 2100 è

� 2200;

� 299;

� 1100;

� 150.

7. Scomporre il numero 3094 in fattori primi

� 2, 7, 13, 17;

� 3094 è un numero primo;

� 2, 7, 11, 17;

� nessuna delle precedenti risposte è esatta.

8. Se a < 0, allora an < 0 con n intero naturale; è vero?

� sì;

� sì, se e solo se n è pari;

� no, vale an > 0 per ogni n;

� sì, se e solo se n è dispari.

9. Semplificare l’espressione(1

3x2y3

)/

(2

3xy2)

�1

2xy;

� x2y

� x2y3

�2

9xy2.

10. Semplificando la seguente espressione

5ax(x2+

x

5

)· (7x)−2 − (a2b)3 · (a−5b) :

(7

4b4)

si arriva a:

� 5ab

� 1

� nessuna delle precedenti

11. Calcolare

a) 23 · 24 · 22

8

b) | − (−3)2| − 52

c) | − 2.7| − |2.7|d)√40 +

√10

e)√| − 169|

f) ln1/6 6

g) ln2(√

8 ·√2)

h) (3x− 2)2

i) (3x− 2) (3x− 2)

12. Si può calcolare3

0?

� Si

� No

13. Per ogni a < 0 vale

� −a2 < 0

� −a3 < 0

�1

a> 0

� 2a > a

14. Ai saldi compro una maglietta che, scontata, costa 8 euro. Prima dei saldi costava 10 euro.Quanto è costata in meno, rispetto al prezzo prima dei saldi?

� 20%

� 15%

� 25%

� 40%

15. Quale dei seguenti numeri è uguale a log21

16?

� -4;

� −1

4;

�1

4;

� 4.


[Blasi] par 2.1[Castellani] cap. 2[Gozzi] cap. 12[Ricci] cap. 0

9

3 Equazioni e disequazioni

1. L’insieme delle soluzioni della disequazionex2 − 1

x2 − 3x+ 2≤ 0 è:

� −1 ≤ x ≤ 1

� −1 < x ≤ 2

� −1 ≤ x < 1

� x > 2

2. La disequazione 23x−1 < 24x+2 è verificata se e solo se:

� −3 < x

� −3 < x < 0

� 3 < x

� 0 < x

3. Se x è tale che x2 > 4, allora

� x > 2

� x > 0

� x3 > 8

� Nessuna delle risposte precedenti è corretta.

4. La disequazione√x+ 1 < 2 è verificata se e solo se:

� x < 3

� x ∈ R� x ≥ 1

� −1 ≤ x ≤ 3

5. La disequazionex2 + 4

−x+ 2< 0 è verificata se e solo se:

� x < 2

� 2 < x

� −2 < x < 2

� 0 > x

6. La soluzione di 5− 6x = 0 è:

� x < 56

� 65 < x

10

� x = 56

� x = 0

7. La soluzione di x+x

x− 1=

4

x− 1è:

� x = 2

� x = 2 e x = −2� x = 1

4

� x = 0

8. La disequazione 5− 6x < 2x+ 1 è verificata se e solo se:

� x < 56

� 2 < x

� x > 12

� x = 12

9. La disequazione −2x−13 + 1 < 12 −

3−2x6 è verificata se e solo se:

� x < 2

� x > 23

� −2 < x < 3

� 0 > x

10. La disequazione x2 − 3x+ 1 > 0 è verificata se e solo se:

� x > 3−√5

2

� x < 3−√5

2 e x > 3+√5

2

� x3−√5

2

� 3+√5

2 > x > 3−√5

2

11. La disequazione −3x2 + x+ 2 ≥ 0 è verificata se e solo se:

� −23 ≤ x ≤ 1

� sempre

� x ≥ −23 e x ≤ 1

� 3+√5

2 > x > 3−√5

2

12. La disequazione 3x2 − 3x+ 34 < 0 è verificata se e solo se:

� −23 ≤ x ≤ 1

� mai

� x ≥ −23 e x ≤ 1

� 3+√5

2 > x > 3−√5

2

11

Equazioni e disequazioni

13. La disequazione x2 + x+ 12 > 0 è verificata se e solo se:

� −23 ≤ x ≤ 1

� sempre

� x ≥ −23 e x ≤ 1

� 3+√5

2 > x > 3−√5

2


� 2 ≤ x ≤ 3

� x > 3 e x < 2

� x ≥ −23

� x = 2 e x = 3

15. La disequazionex2 − 1

x+ 1> 0 è verificata se e solo se:

� x ≥ 1

� x > 1 e x < 2

� x ≥ −1� x = 1 o x = −1


x− 1> 0 è verificata se e solo se:

� x ≤ 1

� x > −1 e x 6= 1

� x ≥ −1� x = 1 o x = −1

17. La disequazionex2 − x+ 5

4x2 + x− 3> 0 è verificata se e solo se:

� x ≤ −1 o x ≥ 34

� x < −1 o x > 34

� x ≥ −1� x = 1 e x = 3

4

18. La disequazione |x− 5| < 3 è verificata se e solo se:

� x ≤ −1 o x ≥ 3

� x < −1 o x > 5

� 2 < x < 8

� x > 28

19. La disequazione |x2 − 1| < 15 è verificata se e solo se:

� x ≤ −1 o x ≥ 3

12

� x < −4 o x > 4

� −4 < x < 4

� x > 14

20. La disequazione |x− 1| > 1 è verificata se e solo se:

� x ≤ −1 o x ≥ 2

� x < 0 o x > 2

� 0 < x < 2

� x > 12

21. La disequazione |1 + 2− x

x| > 2 è verificata se e solo se:

� x ≤ −1 o x ≥ 1

� 0 < x < 1 o 0 > x > −1� −1 < x < 1

� x > 12

22. La disequazione |4− x2| − |3− x| > x è verificata se e solo se:

� x ≤ −√7 o −1 < x < 1 o x ≥

√7

� 0 < x < 1 o 0 > x > −√7

� −1 < x < 1

� x > 17

23. La disequazione 5x− 3 > 2 è verificata se e solo se:

� x > 1

� x ≥ 1

� −1 < x < 1

� x < 1

24. La disequazione 5(2 + x) + 4 > 4(1− x)− x è verificata se e solo se:

� x > 1

� x ≥ 1

� −1 < x

� x < 1

25. La disequazione 2x− 1 + 3x > −2x+ 1 è verificata se e solo se:

� x > 27

� per nessun valore della x ∈ R� −1 < x

� x < 1

13


26. La disequazione x+32 −

4x+18 < 1 è verificata se e solo se:

� x > 23

� per nessun valore della x ∈ R� −1 < x

� x < 1

27. La disequazione 5x2 + 8x+ 4 < 0 è verificata se e solo se:

� x > 14

� per nessun valore della x ∈ R� x > 0

� x < 1

28. La disequazione 4x2 − 3x+ 7 > 0 è verificata se e solo se:

� x > 12

� ∀x ∈ R� x > 0

� x < 1

29. La disequazione 3x2 + 1 < 0 è verificata se e solo se:

� x > 13

� per nessun valore della x ∈ R� x > − 1√

3

� x < 1√3

30. La disequazione 2

(x+ 3

3− 1

)<

1 + x2

5è verificata se e solo se:

� x > 13

� 13 < x < 3

� x < 13 o x > 3

� x > − 1√3


4+

5

6<

x

4− x2 − 1

3è verificata se e solo se:

� x > 13

� 13 < x < 3

� x > 37 o x < 0

� 0 < x < 37


� −8 < x < 8

14

� x < −8 o x > 8

� x > 38 o x < 0

� x 6= 8

33. La disequazione x5 − 4x3 ≥ 0 è verificata se e solo se:

� 0 < x < 2

� −2 < x < 2

� −2x < 0

� −2 ≤ x ≤ 0 o x ≥ 2

34. La disequazione 2x3 − 4x2 − 2x ≤ 0 è verificata se e solo se:

� 0 < x < 1−√2

� 1−√2 < x < 0

� x ≤ 1−√2 o 0 ≤ x ≤ 1 +

√2

� −2 ≤ x ≤ 0 o x ≥ 2

35. La disequazione4− x2

x2 − 1≥ 0 è verificata se e solo se:

� −2 ≤ x < −1 o 1 < x ≤ 2

� 1 ≤ x ≤ 2

� −2 ≤ x ≤ −1� −2 < x < 2

� −1 ≤ x ≤ 1

36. La disequazione3x2 − x− 2

6x2 − x− 7< 0 è verificata se e solo se:

� −1 < x ≤ −23 o 1 ≤ x < 7

6

� −1 ≤ x ≤ −23

� −23 ≤ x ≤ 1

� −1 < x ≤ 76

� 1 ≤ x ≤ 76

37. La disequazione1

x+ 2− 1

x− 2< 1 +

1

4− x2è verificata se e solo se:

� −1 ≤ x ≤ 2

� x < −2 o −1 < x < 1 o x > 2

� −1 ≤ x ≤ 1

� x ≤ −2� −2 ≤ x ≤ 2

38. La disequazione |x− 2| < 3 è verificata se e solo se:

15


� −1 ≤ x ≤ 5

� −1 < x < 5

� −1 ≤ x ≤ 1

� −5 < x ≤ −1� −5 ≤ x ≤ 5

39. La disequazione∣∣∣∣x+ 1

x− 1

∣∣∣∣ < 4 è verificata se e solo se:

� 3 ≤ x ≤ 5

� x < 35 o x > 5

3

� x > 53

� x < 53

� −5 ≤ x ≤ 3

40. La disequazione∣∣∣∣ 5

2 + x

∣∣∣∣ > 1 è verificata se e solo se:

� 3 ≤ x ≤ 5

� −7 < x < −2 o −2 < x < 3

� x > 73

� x < 53

� −7 ≤ x ≤ −2

41. La disequazione |x+ 2| < 1 + |x− 1| è verificata se e solo se:

� 3 ≤ x ≤ 5

� x < 35

� x > 53

� x < 53

� x < 0

42. Determinare in R gli insiemi I delle soluzioni dele seguenti equazioni e disequazioni di primogrado:

• 5x− 4 = 3(x− 3) : I = −−−• 3(2x+ 1) > 2 + 6x): I = −−−

43. Determinare in R gli insiemi I delle soluzioni dele seguenti equazioni di secondo grado:

• x2 − 2x+ 1 = 0; I = ...

• 3x2 + 4x+ 5 = 0; I = ...

• x2 − 9 = 0; I = ...

• 3x2 + 7 = 0; I = ...

44. Determinare in R gli insiemi I delle soluzioni dele seguenti disequazioni di secondo grado:

16

• x2 + 2 ≥ 0; I = ...

• 2x2 − x− 3 > 0; I = ...

• x2 − 9 = 0; I = ...

• 3x2 + 7 = 0; I = ...

45. Determinare inR gli insiemi I delle soluzioni dele seguenti equazioni e disequazioni polinomialie fratte:

• (x2 − 4)(x2 − 5x+ 6) = 0; I = ...

• 5

3− x+

10

x+ 3= 0; I = ...

• x(x− 3)

x+ 1≤ 0; I = ...

46. Determinare in R gli insiemi I delle soluzioni del seguente sistema di disequazioni:{3x− 1 ≤ 5x+ 2−(8x+ 3)− 2x > −6x

47. Risolvere in R il seguente problema impostando un’equazione: Dopo un aumento del 25%, ilprezzo P di una lavatrice passato a 750 euro. Determinare il prezzo P in precedenza.

48. Determinare in R gli insiemi I delle soluzioni delle seguenti equazioni e disequazioni conmodulo:

• |x| ≥ 0; I = ...

• |x− 2| ≥ 0; I = ...

• |x+ 3| ≥ 2x− 5; I = ...

49. Quali delle seguenti affermazioni è giusta:

� 8x3 − 8x2 + 2x = 2x(2x− 1)2

� 8x3 − 8x2 + 2x = 0 per x = 0 e x = 12

� 8x3 − 8x2 + 2x = 0 per x = 0 e x = 2


� 25x2 + 16− 40x = (5x− 4)2

� 25x2 + 16− 40x = 0 per x = 0 e x = 45

� 25x2 + 16− 40x = 0 per x = 0 e x = 54


� 3x5 − 27x = 3x(x2 + 3)(x2 − 3)

� 3x5 − 27x = 0 per x = 0 e x = 9

� 3x5 − 27x = 0 per x = 0 e x = 27


17


� (x+ 2)2 − 49 = (x− 9)(x− 5)

� (x+ 2)2 − 49 = 0 per x = 0 e x = 7

� (x+ 2)2 − 49 = 0 per x = −2 e x = 49

53. x2 − 17x+ 30 = 0

� per x = 15 e x = 2

� per x = 0 e x = 17

� per x = −2 e x = −15

54. x2 + 32x+ 1

2 = 0

� per x = −1 e x = 12

� per x = −2 e x = −1� per x = −1

2 e x = −1

55. x4 + x3 + x2 = 0

� per x = −1 e x = 12

� per x = 0

� per x = −1, x = 12 e x = 1

56. x2 − 12x+ 35 = 0

� per x = −1 e x = 12

� per x = 5 e x = 7

� per x = −1 e x = 1

57. 4x2 − 5x+ 1 = 0

� per x = 1 e x = 14

� per x = 1 e x = 4

� per x = −1 e x = 1

58. 8− 2x− x2 = 0

� per x = 2 e x = 14

� per x = 2 e x = 4

� per x = 2 e x = −4

59. Quali delle seguenti affermazioni è vera:

�2x2 − 4x+ 2

x2 − 1= 0 per x = 1 e x = −1

�2x2 − 4x+ 2

x2 − 1=

2(x− 1)

x+ 1

�2x2 − 4x+ 2

x2 − 1= 0 per x = −1


18

�6a3x

2x2 − 8a2· x+ 2a

4ax2risulta uguale a

3a2

4x(x− 2a)

�6a3x

2x2 − 8a2· x+ 2a

4ax2= 0 per x = 2a

�6a3x

2x2 − 8a2· x+ 2a

4ax2= 0 per x = 0


�

(x2 − 3x− 4

x2 − 16

)2

=x2 + 2x+ 1

x2 + 8x+ 16

�

(x2 − 3x− 4

x2 − 16

)2

= 0 per x = 1

�

(x2 − 3x− 4

x2 − 16

)2

= 0 per x = −4

62. Dato p(x) =

(x2 − 1

x2 + 1

):

(x+ 1

x2 + 1

)Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = x− 1

� p(x) = 0 per x = −1� p(x) è definito solo per x 6= −1

63. Dato p(x) =x2 − 1

2x2 − 3x− 14+

x+ 3

2x− 7Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 1 e x = −1� p(x) è definito solo per x 6= 7

2

� p(x) = 2x2+5x+5(x+2)(2x−7)

64. Dato p(x) =1

x2 − 4Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 2 e x = 4

� p(x) non si può calcolare per x = 2 e x = −2� p(x) è definito solo per x 6= 2

65. Dato p(x) =5x

−3x2 + 4x− 1Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 13 e x = 1

� p(x) non si può calcolare per x = 1 e x = 13

� p(x) è definito solo per x 6= 1

66. Dato p(x) =3x(x− 1)

3x2 − 2x− 1Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = −13 e x = 1

� p(x) non si può calcolare per x = 1 e x = −13

19



67. Dato p(x) =8(x− 1)

x3 + 2x2 − 3xQuali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = −3, x = 0 e x = 1

� p(x) non si può calcolare per x = −3, x = 0, e x = 1


68. Dato p(x) =5x

x(x+ 1)2(x+ 5x+ 6)Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = −3, x = −2, x = −1 e x = 0

� p(x) non si può calcolare per x = −3, x = −2, x = −1 e x = 0


69. Dato p(x) =x2 + 5x+ 6

3x3 − 27xQuali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 2

� p(x) = x+23x(x−3)


70. Dato p(x) =(x2 − x)(x2 − 10x+ 16)

x4 − 16Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = −2

� p(x) = x(x−1)(x−8)(x+2)(x2+4)

� p(x) è definito solo per x 6= −4

71. Dato p(x) =

(1

x− 1+ 1

)· x

2 − x

x2Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = −2� p(x) = 1


72. Dato p(x) =

(2

x− 1− 4x

x2 − 1

):x− 1

x+ 1Quali delle seguenti affermazioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 0

� p(x) = 21−x


73. Dato p(x) =

(1− 2x

x2 + x+ 1

)(1− 2

x3 + 1

)x− 1

x3 − 1

x2 + x+ 1

x+ 1Quali delle seguenti afferma-

zioni è vera:

� p(x) = 0 per x = 0

� p(x) = x−1(x+1)2

20


74. Dato p(x) = (x− 3)(x+ 3)− (2x− 1)2

� p(x) = −14� p(x) + 14 = 0 per x = 2 e x = −2

3

� p(x) è definito solo per x = 2 e x = −23

75. Data l’uguaglianza x2 − (4− x)2 + x(13 − x) = 13(1 + x)

� è valida ∀x ∈ R� non è mai valida

� è definita solo per x = 2 e x = −23

76. Data l’uguaglianza (3x− 1)2 + 2(x+ 4) = 8 + 5x2

� è valida ∀x ∈ R� è verificata per x1,2 = 1

2

� è definita solo per x = 2 e x = −2

77. Data l’uguaglianzax2 − 4x+ 6

x2 − 3x+ 2− 27

x− 2= 1− 26 + x

x− 1

� è valida ∀x ∈ R� è verificata per x = 7 e x = −3� è definita solo per x = 1 e x = −2

78. La soluzione della seguente equazione: 3x−√2 = 0 è:

� x =√23

� x = 3√2

� x = − 3√2

� x = −√23

79. La soluzione della seguente equazione:2

3(x− 1) +

1

6(x+ 2) = x+ 3− 1

3(2x+ 1) + 1 è:

� x = 8

� x = 6

� x = −8� x = −6

80. La soluzione della seguente equazione: 8− x2 = 7x2 − 16 è:

� x2 = 8 e x2 = 167

� x = ±√3

� x = 8 e x = 167

� x = ±3

21


81. La soluzione della seguente equazione: 5x2 − 4√5x− 5 = 0 è:

� x = ±√55

� x =√5 o x = − 1√

5

� x =√5 o x =

√55

� x = ±5

82. La soluzione della seguente equazione:x+ 1

3x− 1=

5x− 2

2x+ 1è:

� x = 1

� x = 1 o x = 113

� x = 13

� x = −1 o x = − 113

83. La soluzione della seguente equazione:5− 6x

6x+

6− x

3x2 + 9x− 1

4x− x2= −1 è:

� x = −10� x = 3

� x = 3 e x = −10� x = 3 o x = −10

84. La soluzione della seguente equazione:x+ 1

x− 1+

x+ 2

x− 2=

2x+ 13

x+ 1è:

� x = −5 o x = 65

� x = 5 o x = −65

� x = 5 e x = 65

� x = 5 o x = 65

85. La soluzione della seguente equazione:1

x2 − 3x+ 2− 1

6x2 + 6x− 12=

1

x2 − 2x+ 1è:

� x = −1 e x = 10

� x = −1 o x = 10

� x = 1, x = 3 ed x = 1


86. La soluzione della seguente equazione:(x+ 1)(x− 1)

b+

1

a+ b= − x

a+ bè:

� x = −1 o x = aa+b

� per b 6= 0 e a 6= −b: x = −1 o x = aa+b

� per b 6= 0 e a 6= −b: x = 1 o x = − aa+b


87. La soluzione della seguente equazione:x2

a+ 1=

2x− 1

aè:

22

� x = a+1±√a+1

a

� per a = 0 e a = −1 perde significato; per a < −1 impossibile; per a > −1 e a 6= 0:x = a+1±

√a+1

a

� per a = 0 e a = 1 perde significato; per a < 1 impossibile; per a > 1 e a 6= 0:x = a+1±

√a+1

a


88. La soluzione della seguente equazione:(x2 − 1)2

4− x2 + 1

2+ 1 = 0 è:

� x = 4 e x = 2

� x2 = 1 e x2 = −1� x = ±1� nessuna delle precedenti

89. L’equazione (x+ 2)(4x2 − 1) = 0 ha

� tre soluzioni distinte

� due soluzioni distinte

� una sola soluzione

� non ha soluzioni positive

90. Verificare se x = 1 è soluzione della equazione 2x− 3 = −3x+ 2

� sì

� no, la soluzione è x = 32 e x = 2

3

� no, la soluzione è x = 15

� non ha soluzioni positive

91. Indicare quale delle seguenti risposte è la soluzione della equazione x2(x2−25)−4(x2−25) = 0

� x = ±2� x = ±5� x = ±2, x = ±5� non ha soluzioni positive

� non ci sono soluzioni

92. Indicare quale delle seguenti risposte è la soluzione della equazione 2(x+ 1)(x+ 1)2 − 2(x2 +2x− 3)(x+ 1) = 0

� x = 1

� x = −1� nessuna elle precedenti

� non ci sono soluzioni

93. Le soluzioni reali della disequazione |x| ≥ x sono:

23


� ∀x ∈ R� x ≥ 0

� x ≥ 1

� −1 ≤ x ≤ 1

94. L’equazione x2 + 2x+ 1 = 0 ha come soluzioni reali

� x = −1� x = 2

� x = −2−√−8 e x = −2 +

√−8

� nessuna soluzione reale

95. Quali numeri reali soddisfano l’equazione (x− 3)(x2 − 4x+ 4) = 0 ?

� 3, 2, −2� 0, 3, 2, −2� 3, 2

� nessuno, perché è un’equazione di terzo grado

96. è data l’equazione di quinto grado x5 − 2x4 + 3x3 + 2x2 − 3x = 1. Per verificare se x = 1 èuna soluzione:

� si applica la regola di Ruffini

� si cerca sui libri la formula risolutiva delle equazioni di quinto grado

� si sostituisce il valore 1 al posto di x, x2, x3, x4 e x5, si eseguono le operazioni previsteal primo membro. Se si ottiene 1, allora x = 1 è soluzione

� si sostituisce il valore 1 al posto di x, x2, x3, x4 e x5, si eseguono le operazioni previsteal primo membro. Se si ottiene 0, allora x = 1 è soluzione

97. Risolvere il seguente problema impostando un a equazione: Dopo uno sconto del 15% il prezzodi una maglia è diventato 100 euro. Determinare il prezzo P in precedenza:

� P = 150

� P = 90

� P = 100

� P = 118

98. Risolvere il seguente problema impostando un a equazione: Dopo uno sconto x il prezzo diuna maglia è passato da 50 a 40 euro. Determinare il fattore di sconto:

� x = 10%

� x = 10

� x = 20%


99. Risolvere il seguente problema impostando un’equazione: Dopo un aumento del 20% il prezzodi un dvd è diventato 100 euro. Determinare il prezzo P in precedenza:

24

� P = 80%

� x = 120/100

� x = 83, (3)

� x = 98%

100. Risolvere il seguente problema impostando un a equazione: Una ditta di elettrodomestici havenduto in un anno 2000 forni a microonde di un certo modello, a un costo x; è stato stimatoche, se nell’anno successivo il prezzo di vendita di quel modello aumenterà di 100 euro, allorail ricavo totale dalla vendita di 2000 forni sarà di 250000 euro. Determinare x:

� P = 25%

� x = 75

� x = 25

� nessuna delle precedenti risposte


[Blasi] p 23 (formula risolutiva dell’equazione di grado 2)[Gozzi] par. 3.1, 3.2[Malafarina] cap. 4

25

4 Errori

Spiegare gli errori di matematica nelle immagini che seguono.

26

Bibliografia

[Attias] A. Attias, P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica – 700 esercizi svolti. CISU ed.I capitoli 1-8 trattano gli argomenti preliminari.

[Blasi] A. Blasi, Matematica corso base, Kappa ed. (2001)

[Castellani] M. Castellani, F. Gozzi, M. Buscema, F. Lattanzi, L. Mazzoli, A. Veredice, Precorsodi matematica, Esculapio ed., ISBN 978-88-7488-226-7

[Gozzi] M. Castellani, F. Gozzi, Matematica di base, Esculapio ed.

[Malafarina] G. Malafarina, Matematica per i precorsi, II ed, McGraw-Hill, ISBN 978-88-386-6371-0

[Patri1] S. Patrì, Brevi lezioni in video http://www.memotef.uniroma1.it//brevi

[Patri2] S. Patrì, Alcuni argomenti preliminari http://www.memotef.uniroma1.it/node/6234

[Ricci] G. Ricci, Matematica generale, McGraw-Hill, ISBN 978-88-386-6305-5

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Esercizi propedeutici all’insegnamento Matematica Corso Base · Linguaggio, elementi di logica,...

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