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ESERCIZI DI MICROECONOMIA

Economia Applicata all’Ingegneria 1

Docente: Prof. Ing. Donato Morea

Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”

Facoltà di Ingegneria - Dipartimento di Ingegneria Industriale Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

A.A. 2012-2013

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ESERCIZIO 1 - Equilibrio di mercato e spostamenti delle curve di domanda e di offerta La quantità domandata di un certo bene è descritta dalla funzione:

p (D)

mentre la quantità offerta è descritta dalla funzione:

(S)

a) Determinare la configurazione di equilibrio del mercato.

b) Determinare (anche graficamente) come cambia l’equilibrio di mercato a seguito di uno shock positivo sull’offerta tale per cui la nuova curva di offerta è e di uno shock

negativo sulla domanda per cui la domanda cala del 20%.

Soluzione

a) L’equilibrio di mercato si ha in corrispondenza del livello di prezzo per cui la quantità domandata è uguale alla quantità offerta. Il prezzo di equilibrio si ottiene, quindi, uguagliando la domanda all’offerta:

da cui si ottiene p* = 2 . Sostituendo tale valore di equilibrio per il prezzo nella funzione di domanda (o nella funzione di offerta) si ottiene che la quantità scambiata in equilibrio è Q* = 9 .

b) Per determinare il nuovo equilibrio di mercato, è necessario conoscere le nuove funzioni di

domanda e di offerta. Per quanto riguarda la curva di offerta, essa è descritta dalla funzione Q '= 6 p + 2 (S’). Osserviamo che la curva di offerta si è spostata parallelemente a se stessa, in quanto non è cambiata la pendenza della curva ma solo la sua intercetta. Per determinare la nuova curva di domanda, dobbiamo, invece, tenere presente che, per ogni livello di prezzo, la quantità domandata è diminuita del 20%; quindi, per dato p, la quantità domandata sarà pari all’80% di quella che era in precedenza, cioè:






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2

(D’)

Il nuovo equilibrio di mercato si ottiene uguagliando Q D ' e Q S' :

da cui si ottiene p*'= e, per sostituzione, Q*'= . Quindi, sia il prezzo che la quantità

scambiata in equilibrio sono diminuiti a seguito dello spostamento delle curve di domanda e di offerta. Per rappresentare graficamente le curve di domanda e di offerta nel piano cartesiano con la quantità in ascissa e il prezzo in ordinata, è necessario utilizzare le curve di domanda e di offerta inverse (in cui, cioè, il prezzo è funzione della quantità).

D: (domanda diretta) ⇒ (domanda inversa)

S: (offerta diretta) ⇒ (offerta inversa)

D’: (domanda diretta) ⇒ (domanda inversa)

S’: (offerta diretta) ⇒ (offerta inversa)

Possiamo, ora, rappresentare graficamente le quattro curve ed i due equilibri E ed E’:






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ESERCIZIO 2 - Controllo sui prezzi Le funzioni di domanda e di offerta su un determinato mercato sono rispettivamente:

a) Determinare l’equilibrio del mercato. b) Determinare come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dell’Autorità

Pubblica, di un tetto di prezzo pari a .

E

D D’

2

15/16

S

S’

61/8 9 Q

p

E’






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c) Determinare come si modifica l’equilibrio a seguito dell’introduzione, da parte dell’Autorità Pubblica, di un pavimento di prezzo pari a .

Soluzione a) L’equilibrio di mercato si ottiene uguagliando domanda e offerta:

da cui si ottiene e, per sostituzione, .

b) La fissazione di un tetto di prezzo non è altro che l’impostazione di un livello di prezzo massimo

oltre il quale non è consentito effettuare transazioni sul mercato.

In corrispondenza di un tetto di prezzo pari a , la quantità che i consumatori sono

disposti ad acquistare è pari a mentre la quantità che i produttori sono

disposti a vedere è pari a . Sul mercato, si verifica, quindi, un eccesso di

domanda pari a 3. A seguito del tetto di prezzo, la quantità effettivamente scambiata sul

mercato è pari a 2, poiché questa è la quantità massima che i produttori sono disposti a vedere

a tale prezzo.

Rappresentiamo graficamente l’effetto del tetto di prezzo: le curve di domanda e di offerta

inversa sono rispettivamente e .






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c) La fissazione di un pavimento di prezzo consiste nell’imposizione di un prezzo minimo sotto il quale non è possibile effettuare scambi sul mercato in oggetto. In corrispondenza di un pavimento di prezzo pari a , la quantità che i consumatori

desiderano acquistare è , mentre la quantità che i produttori desiderano vendere

è Qs (8) = 4. Quindi, la quantità effettivamente scambiata sul mercato è pari a 1 e sul mercato vi è un eccesso di offerta pari a 3.

p

Q

Eccesso di

domanda

D

S

E

E’

6

4

2 3 5






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ESERCIZIO 3 - Elasticità

In un determinato mercato, la domanda e l’offerta inverse sono rappresentate rispettivamente dalle funzioni:

a) Determinare l’equilibrio di mercato.

p

Q

D

S

8

6

1 3 4

E

Eccesso di

offerta






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b) Calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio. c) Calcolare l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in corrispondenza del punto in cui il

prezzo è pari a 30. d) Determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a 1 (in valore

assoluto).

Soluzione

a) Per determinare la quantità scambiata sul mercato in equilibrio, uguagliamo le curve di domanda e di offerta inverse:

Otteniamo, quindi, e , per sostituzione, .

b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata rispetto al prezzo è data dalla formula:

dove indica la derivata della quantità rispetto al prezzo, cioè la pendenza della curva di

domanda (diretta).

Poiché la curva di domanda in oggetto è lineare, cioè ha pendenza costante, la derivata è

costante. La pendenza della curva di domanda inversa è: . Quindi, la pendenza della

curva di domanda diretta è pari a (alternativamente, si può ricavare la curva di

domanda diretta, che è pari a da cui si vede immediatamente che la

derivata rispetto a p è pari a – 30).






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Il valore dell’elasticità della domanda al prezzo nel punto di equilibrio è, quindi:

Procediamo allo stesso modo per determinare l’elasticità della quantità dell’offerta al prezzo

nel punto di equilibrio. La pendenza della curva di offerta inversa è pari a , la

pendenza della curva di offerta diretta è . L’elasticità della curva di offerta nel punto

di equilibrio è, quindi:

c) Per calcolare l’elasticità della domanda nel punto in cui il prezzo è pari a 30, dobbiamo innanzitutto determinare la quantità corrispondente a tale prezzo sulla curva di domanda. Sostituendo p = 30 nell’equazione della curva di domanda diretta:

Quindi, l’elasticità in tale punto è:

d) Per determinare le coordinate del punto in cui l’elasticità della domanda è pari a – 1, imponiamo, appunto, che l’elasticità assuma tale valore [sappiamo già dal punto a) che la pendenza della curva di domanda è costante e pari a ]:






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da cui . Sostituendo questa espressione nella curva di domanda diretta, otteniamo:

da cui e per sostituzione Abbiamo, quindi, determinato le coordinate della

curva di domanda in cui l’elasticità al prezzo è unitaria (in valore assoluto). Al fine di vedere come varia l’elasticità puntuale lungo la curva di domanda, può essere utile rappresentare graficamente la curva di domanda ed associare i valori dell’elasticità che abbiamo determinato ai vari punti della curva a cui corrispondono.

Dalla figura, possiamo notare che l’elasticità è più elevata (in valore assoluto) nella parte alta della curva di domanda (fino ad arrivare a - ∞ nell’intersezione con l’asse verticale) e decresce progressivamente man mano che ci si muove verso il basso lungo la curva di domanda (fino ad arrivare a zero nell’intersezione con l’asse orizzontale). Si noti che, in presenza di una funzione

50

40

30

80

p

900 1200 1500 2400 Q

D






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lineare, il punto di elasticità unitaria è esattamente il punto medio della porzione della curva di domanda che giace nel quadrante positivo.

ESERCIZIO 4 - Funzioni di domanda ed offerta non lineari

Si consideri un mercato in cui la domanda e l’offerta sono rappresentate dalle seguenti funzioni:

a) Determinare l’equilibrio di mercato. b) Calcolare l’elasticità della domanda e dell’offerta rispetto al prezzo nel punto di equilibrio.

Soluzione

a) Determiniamo, innanzitutto, la configurazione di equilibrio:

da cui si ottiene p* = 5 e, quindi, Q* = 8.

b) Ricordiamo che l’elasticità della quantità domandata al prezzo è data dalla formula:

Calcoliamo, quindi, la pendenza della curva di domanda:






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Si noti che, poiché la funzione di domanda non è lineare, la pendenza non è costante lungo la curva. Quindi, l’elasticità della domanda nel punto di equilibrio è pari a:

L’elasticità della quantità offerta al prezzo è invece:

Calcoliamo, quindi, la pendenza della curva di offerta:

Come la funzione di domanda, anche la funzione di offerta non è lineare, quindi, la pendenza non è costante lungo la curva. Allora, l’elasticità dell’offerta nel punto di equilibrio è pari a:






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ESERCIZIO 5 - Interpolazione della curva di domanda Si ipotizzi che la funzione di domanda di un certo bene sia lineare. Si è osservato che, in corrispondenza di un prezzo pari a 5, la quantità domandata è pari a 30. Inoltre, si stima che l’elasticità puntuale in corrispondenza di tale punto della curva di domanda sia pari al 40%. Determinare l’equazione della curva di domanda di tale bene.

Soluzione

L’equazione della curva di domanda è:

dove a e b sono i parametri incogniti che dobbiamo determinare. Il parametro b, cioè l’opposto della pendenza della curva, può essere ricavato dall’informazione che abbiamo sull’elasticità. In particolare, sappiamo che l’elasticità della domanda è pari in valore assoluto a 0,4, quindi sostituiamo questo valore e quelli di p e Q dati nella formula dell’elasticità (poiché si tratta di una funzione lineare, la sua pendenza sarà costante):

da cui si ottiene b = 2,4 . Ora, sostituiamo il valore di b, insieme a quelli di p e Q, nell’equazione della curva di domanda:

dalla quale si ottiene a = 42.






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Una volta determinati i valori di entrambi i parametri a e b, possiamo, quindi, scrivere l’equazione della curva domanda come:

ESERCIZIO 6 - Scelte del consumatore, curve di Engel e curve di domanda

Un consumatore ha preferenze rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

a) Determinare la scelta ottimale del consumatore se il suo reddito monetario è pari a 210 ed i

prezzi dei beni sono e .

b) Determinare l’ottimo del consumatore nel caso in cui il reddito passi da 210 a 180. c) Determinare le curve di Engel per i due beni. d) Determinare come cambia la scelta del consumatore nel caso in cui il prezzo del bene x passi

da 15 a 20. e) Determinare la curva di domanda per il bene x e per il bene y.

Soluzione

a) L’ottimo del consumatore si ottiene risolvendo il sistema

in cui la prima equazione rappresenta la condizione di tangenza tra curva di indifferenza ed il vincolo di bilancio e la seconda il vincolo di bilancio del consumatore. Nel nostro caso, il saggio marginale di sostituzione, è dato dal rapporto:






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Possiamo, quindi, scrivere il sistema:

Dalla prima equazione si ottiene:

Sostituendo questa espressione nel vincolo di bilancio, si ottiene

Risolvendo questa equazione in troviamo:

e , per sostituzione:

Quindi, l’equilibrio del consumatore è dato dal paniere:






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b) Dato il nuovo reddito del consumatore, il sistema da risolvere è ora:

dalla prima equazione otteniamo, come nel caso precedente:

e, sostituendo nella seconda:

per cui:

Il nuovo equilibrio è, quindi:

Rappresentiamo graficamente lo spostamento del vincolo di bilancio a seguito dell’aumento del reddito del consumatore ed il relativo ottimo del consumatore medesimo. Vincolo di bilancio prima dell’aumento del reddito:






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Vincolo di bilancio dopo l’aumento del reddito:

c) Le curve di Engel esprimono la relazione tra il reddito a disposizione del consumatore e la

domanda di ciascuno dei due beni. A livello qualitativo, dal confronto tra gli equilibri E ed E’, si può notare come al diminuire del reddito diminuisca la quantità domandata di entrambi i beni: x e y sono pertanto beni normali. Per ricavare algebricamente le curve di Engel, occorre risolvere il sistema seguente (uguale ai precedenti, tranne che per il fatto che non assegniamo un valore numerico al reddito ma lo indichiamo con un generico R):

y

x

3

7/4

3/2

7/2

6 7 12 14

E

E’






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Risolvendo, otteniamo:

che sono le curve engeliane, rispettivamente per il bene x e per il bene y. Come osservato in precedenza, tali funzioni esprimono una relazione positiva tra reddito e consumo per entrambi i beni, in quanto sono rette con pendenza positiva. Rappresentiamo le curve di Engel sul piano cartesiano. Per convenzione, si indica il reddito in ordinata e la quantità consumata del bene in ascissa, quindi le due curve di Engel inverse sono R = 30x ed R = 120y .

d) Nel caso in cui p x ' = 20 (al reddito iniziale R=210), l’ottimo del consumatore si ottiene

risolvendo il sistema:

y

R R

x






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Dalla prima equazione, si ricava:

che, sostituita a y nel vincolo di bilancio, dà:

Per cui:

Quindi, all'aumentare del prezzo di x, il consumo del bene x diminuisce, mentre quello del bene y rimane invariato.






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e) Analizziamo, più approfonditamente, la relazione tra prezzo e consumo dei due beni ricavando le curve di domanda per il bene y e per il bene x (al livello di reddito iniziale). Per fare ciò, impostiamo un sistema simile a quelli dei precedenti punti, lasciando però indicati i prezzi dei due beni come px e py.

Dalla prima equazione, si ricava:

che sostituiamo nella seconda per ottenere:

7/2

14 21/2

E’’

E

21/4 7 x

y






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20

da cui si ricava:

e, sostituendo nell’equazione per y:

Queste equazioni sono le curve di domanda rispettivamente del bene x nonché del bene y ed esprimono la relazione tra prezzo di un bene e quantità domandata dello stesso. Risulta, quindi, evidente che entrambi i beni, in questo caso, seguono la legge della domanda, in quanto all’aumentare del prezzo diminuisce la quantità domandata del bene in oggetto (e viceversa). Inoltre, in questo esempio, nell’equazione della curva di domanda per il bene x non compare il prezzo del bene y (e lo stesso vale per la domanda di y rispetto al prezzo di x): questo significa che i due beni sono indipendenti, in quanto al variare del prezzo di y, la domanda per il bene x rimane invariata. In particolare, si può verificare che l’elasticità incrociata della domanda del bene y rispetto al prezzo del bene x è nulla (e lo stesso vale per quella di x rispetto a py ). L’elasticità incrociata della domanda di y rispetto al prezzo di x è definita come il rapporto tra la variazione percentuale della quantità domandata di y e la variazione percentuale del prezzo di x, ovvero:

L’elasticità incrociata è, dunque, il prodotto tra la derivata della funzione di domanda di y rispetto al prezzo di x in un punto e il rapporto tra i valori del prezzo e della quantità domandata in quel punto. Nel nostro caso, la derivata prima della funzione di domanda di y rispetto al prezzo di x è nulla in ogni punto, per cui il valore dell’elasticità incrociata è sempre zero. Questo significa che i due beni sono indipendenti, ovvero al variare del prezzo di uno dei due beni la quantità domandata dell’altro rimane invariata.






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ESERCIZIO 7 - Effetto reddito ed effetto sostituzione Si consideri un individuo con funzione di utilità:

a) Determinare il paniere ottimale dato il reddito di 1200 ed i prezzi px = 1 e py = 4 . b) Determinare il paniere ottimale se p x’ = 4 e il reddito rimane invariato. c) Scomporre la variazione intervenuta nella domanda ottimale del bene x a seguito della

variazione di p x in effetto reddito ed effetto sostituzione.

Soluzione

a) Il saggio marginale di sostituzione tra x e y è:

L’equilibrio del consumatore si ottiene risolvendo il sistema:

Dalla prima equazione, si ottiene:






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e, sostituendo nella seconda equazione del sistema:

da cui:

Quindi, l’equilibrio del consumatore è .

b) Al nuovo prezzo di x, l’equilibrio del consumatore si ottiene risolvendo il sistema:

Dalla prima equazione:

e, sostituendo nella seconda, si ottiene:

Per cui:

Quindi, il nuovo equilibrio è .






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c) L’effetto prezzo, ovvero l’effetto totale della variazione del prezzo di x sulla quantità domandata del bene x stesso, è:

Quindi, l’effetto prezzo è negativo: all’aumentare del prezzo, la quantità domandata di x diminuisce. Tale bene rispetta quindi la legge di domanda. Vogliamo scomporre l’effetto prezzo totale in effetto sostituzione ed effetto reddito, in modo da distinguere quale parte della variazione della quantità domandata è dovuta esclusivamente alla variazione dei prezzi relativi e quanto invece è dovuto al fatto che il potere d’acquisto del consumatore è diminuito a seguito dell’aumento del prezzo di x. Per fare ciò, immaginiamo di dare all’individuo, successivamente all’aumento del prezzo di x, una compensazione di reddito tale da consentirgli di raggiungere lo stesso livello di utilità che raggiungeva nel punto E (prima dell’aumento). Questo ci consente di disegnare una parallela al nuovo vincolo di bilancio che sia tangente alla curva di indifferenza di partenza (passante per E). Questo vincolo di bilancio fittizio, che ha pendenza pari al nuovo vincolo di bilancio ma è tangente alla curva di indifferenza iniziale, riflette il fatto che immaginiamo di aumentare il reddito nominale dell’individuo in modo da isolare l’effetto di sostituzione. Occorre dunque calcolare le coordinate del punto Ec, cioè del punto di tangenza tra la curva di indifferenza passante per E e il vincolo di bilancio fittizio con pendenza pari al nuovo rapporto tra i prezzi. Per trovare il punto Ec, dobbiamo risolvere il seguente sistema:

La prima equazione esprime il fatto che il livello di utilità associato a Ec deve essere lo stesso di quello associato ad E; la seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza passante per Ec sia tangente al vincolo di bilancio fittizio la cui pendenza è pari al nuovo rapporto tra i prezzi.






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Calcoliamo, innanzitutto, il valore dell’utilità nel punto E:

Quindi, il sistema diviene:

Dalla seconda equazione, si ricava:

e, sostituendo nella prima:

Da questa, si ricava:

E, per sostituzione:

Le coordinate del punto sono, quindi, .






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Possiamo, ora, scomporre l’effetto prezzo in effetto reddito ed effetto sostituzione. 1) Effetto sostituzione

L’effetto sostituzione misura l’effetto sulla quantità domandata derivante dal fatto che, a seguito dell’aumento del prezzo di x, è cambiato il prezzo relativo dei due beni e quindi il bene y è diventato relativamente meno costoso. L’effetto sostituzione si misura nel passaggio da E ad

Se, quindi, a seguito dell’aumento del prezzo di x il consumatore viene compensato in modo da mantenere inalterato il livello di utilità, la variazione della quantità domandata di x sarà negativa: aumentando il prezzo relativo di x, il consumatore sarà portato a diminuire la sua domanda per tale bene, poiché è diventato relativamente più costoso rispetto al bene y (cioè passando da E ad Ec cresce mentre x cala: ↑ x ↓⎞ effetto sostituzione negativo).

2) Effetto reddito

L’effetto reddito di una variazione di prezzo misura come varia la quantità domandata di x a seguito esclusivamente della diminuzione del reddito reale a disposizione del consumatore (a parità di prezzi relativi). Vediamo, innanzitutto, come cambia la quantità domandata al variare del reddito. Nel passaggio da E c ad E’, la variazione della quantità domandata è

Quindi, da E c ad E’, la quantità domandata diminuisce. A seguito della diminuzione del reddito che è avvenuta nel passaggio da Ec ad E’, l’individuo ha deciso di consumare una minore quantità del bene x. Ciò, significa che il bene x è un bene normale (al diminuire del reddito disponibile ne diminuisce il consumo da parte dell’individuo). In termini di effetto reddito della variazione di prezzo, questo significa che






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all’aumentare del prezzo di x il reddito reale diminuisce e, poiché il bene è un bene normale, anche la quantità domandata diminuisce. Quindi, in questo caso, l’effetto reddito ha segno negativo (se px aumenta, considerando esclusivamente la diminuzione di reddito reale che questo aumento comporta, si avrà una diminuzione della quantità domandata del bene x: px ↑ R ↓ x ↓ ⎞ l’effetto reddito, cioè l’effetto dell’aumento del prezzo sulla quantità domandata attraverso una diminuzione del potere d’acquisto, è negativo). Poiché l’effetto sostituzione e l’effetto reddito, in questo caso, hanno segno concorde, negativo per entrambi, l’effetto prezzo derivante dalla somma dei due effetti sarà negativo: all’aumentare del prezzo di x, la quantità domandata di x diminuisce, sia perché è aumentato il prezzo relativo di questo bene sia perché è diminuito il reddito reale a disposizione del consumatore. Di seguito, graficamente, la scomposizione dell’effetto prezzo totale in effetto reddito ed effetto sostituzione.

150

200

150 267 400

EC

E

E’

x

y

Effetto

sostituzione

Effetto

reddito






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Trattazione analitica di effetto reddito ed effetto sostituzione L’effetto prezzo, ovvero l’effetto totale della variazione del prezzo di x sulla quantità domandata del bene x stesso, è:

La variazione totale di x in seguito alla variazione di px può essere scomposta in effetto reddito ed effetto sostituzione nel modo seguente:

Il primo addendo rappresenta l’effetto sostituzione, che abbiamo calcolato essere pari a:

L’effetto reddito è, invece:

Vediamo, innanzitutto, come cambia la quantità domandata al variare del reddito. Il reddito necessario all’individuo per acquistare il paniere Ec, ai nuovi prezzi è:






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Quindi, la compensazione necessaria a consentire al consumatore di raggiungere lo stesso livello di utilità, precedente all’aumento dei prezzi sarà:

Nel caso di un aumento di prezzo, la compensazione necessaria a fare restare il consumatore sulla stessa curva di indifferenza deve essere positiva, perché il suo reddito reale diminuisce. Vediamo come cambia la quantità domandata nel passaggio da Ec a E’ (a seguito cioè di una diminuzione del reddito reale):

Questa variazione relativa è la prima componente dell’effetto reddito. Per quanto riguarda la seconda componente, essa è pari a:

Tale componente è negativa poiché, all’aumentare del prezzo del bene, il reddito reale a disposizione del consumatore diminuisce. L’effetto reddito è, quindi, pari a:






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Sommando effetto sostituzione ed effetto reddito (entrambi negativi) otteniamo l’effetto totale dell’aumento del prezzo di x sulla quantità domandata di tale bene, già calcolato in precedenza:

ESERCIZIO 8 - Beni sostituti Le preferenze di un consumatore per lo zucchero di barbabietola (bene x) e lo zucchero di canna (bene y) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

I prezzi dei beni è nonché ed il reddito a disposizione dell’individuo è pari a 20.

Determinare la scelta ottimale del’individuo.

Soluzione

Poiché la funzione di utilità è lineare, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e pari a:

Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e, quindi, che il punto di ottimo sarà una soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. Per sapere quale dei due ed in che quantità, occorre considerare la pendenza delle curve di indifferenza (che indica in che proporzione l'individuo è disposto a scambiare un bene con l'altro) e quella del vincolo di bilancio (che indica il rapporto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS pari






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a 3 significa che il consumatore è disposto a cedere 3 unità di y per una di x. Invece, sul mercato, il bene y è, invece, scambiato contro due unità di x (la pendenza del vincolo di bilancio,ovvero il

rapporto è pari a 1/2). Di conseguenza, il consumatore preferirà spendere il suo reddito solo

nell’acquisto del bene x, acquistandone una quantità pari a:

ESERCIZIO 9 - Produzione e costi

Un’impresa utilizza una tecnologia descritta dalla seguente funzione di produzione:

y

x 4

2

E






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I prezzi dei fattori lavoro e capitale sono rispettivamente e . Nel breve periodo, la

dotazione di capitale è fissa e pari a .

a) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di breve periodo. b) Determinare la domanda di lavoro nel breve periodo. c) Determinare la combinazione ottima di fattori nel caso in cui si voglia produrre una quantità

pari a 100. d) Dimostrare che la stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema

duale di massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200.

e) Determinare l’espressione delle curve di costo totale, medio e marginale di lungo periodo.

Soluzione

a) Determiniamo, tramite la funzione di produzione, l’impiego del fattore lavoro in funzione della

quantità prodotta, tenendo presente che, nel breve periodo, il capitale è fisso:

Quindi, il costo totale di breve periodo è:

Il costo medio e marginale di breve periodo sono, rispettivamente:






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b) Per determinare la domanda ottimale di lavoro di breve periodo, occorre impostare la

massimizzazione del profitto:

Dalla massimizzazione del profitto rispetto al lavoro, si ottiene:

Questa è, appunto, la funzione di domanda di lavoro in funzione del prezzo.

c) La scelta ottimale dell’impresa si determina individuando l’isocosto più vicino all’origine

tangente all’isoquanto che corrisponde ad una quantità pari a 100. Quindi, occorre risolvere il seguente sistema:






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in cui, la prima equazione esprime l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione tecnica

ed il rapporto tra i prezzi dei fattori e la seconda impone che il

livello di produzione sia pari a 100.

Dalla prima equazione si ottiene , che, sostituita nella seconda, dà:

da cui si ottiene e .

I costi totali sostenuti dall’impresa sono pari a:

d) La stessa scelta ottimale dei fattori può essere ottenuta risolvendo il problema duale di

massimizzazione dell’output sotto un vincolo di costo, imponendo che l’impresa possa sostenere una spesa massima per l’acquisto dei fattori pari a 1200. Il sistema da risolvere, in questo caso, è:

da cui si ottiene e .

e) Per determinare le curve di costo di lungo periodo, occorre, innanzitutto, determinare come si

modifica la domanda ottimale di lavoro e capitale (che nel lungo periodo non è più un input fisso) in funzione del livello di produzione. Riscriviamo, quindi, il sistema utilizzato nel punto c) lasciando, però, indicato come q un generico livello di output.






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da cui ricaviamo le domande ottimali di K e L in funzione di q:

La curva di costo totale di lungo periodo è, quindi:

Nel lungo periodo, .

ESERCIZIO 10 - I costi di produzione Si consideri un’impresa con la seguente funzione di produzione:

I prezzi di mercato dei fattori sono ed ed il saggio marginale di sostituzione

tecnica, calcolato come rapporto tra la produttività marginale del capitale e la produttività marginale del lavoro, è:






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a) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di breve periodo, supponendo che

nel breve periodo l’impresa sia vincolata ad utilizzare una quantità di lavoro .

b) Determinare le funzioni di costo totale, marginale e medio di lungo periodo.

Soluzione

a) Se il fattore di produzione lavoro è fisso nel breve periodo, la funzione di produzione

diventa:

Quindi, la domanda dell’input variabile K in funzione dell’output è :

Il costo totale di breve periodo è, quindi:

Questo è il costo economico per l’impresa, ovvero il costo per l’acquisto dei fattori variabili nel breve periodo (in questo caso il capitale). La spesa totale nei fattori comprende invece anche il costo per il fattore che nel breve periodo è fisso per l’impresa (il lavoro), ma che non rientra nei costi economici in quanto il fattore fisso non ha un impiego alternativo (e quindi un costo opportunità) nel breve periodo.






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Il costo marginale e il costo medio di breve periodo sono:

b) Nel lungo periodo, tutti gli input sono variabili, quindi, per ricavare la funzione di costo di

lungo periodo, occorre determinare prima le funzioni di domanda di entrambi i fattori in funzione dell’output:

Quindi, dato che , il sistema diventa:

da cui si ricava che le funzioni di domanda dei due fattori in funzione del livello di produzione sono:






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Quindi, la funzione di costo di lungo periodo è:

I costi marginali e medi associati a questa funzione di costo di lungo periodo sono:

Il fatto che i costi medi di lungo periodo sono costanti indica che la funzione di produzione in oggetto ha rendimenti di scala costanti.

ESERCIZIO 11 - Concorrenza perfetta In un mercato perfettamente concorrenziale operano, nel breve periodo, 50 imprese identiche caratterizzate dalla seguente funzione di produzione:

con e il prezzo dei fattori K e L dato da e , rispettivamente.






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La funzione di domanda di mercato è: .

Determinare: a) l’offerta di breve periodo dell’impresa e del mercato; b) il prezzo e la quantità di equilibrio del mercato, nonché la quantità prodotta e il profitto realizzato

dalla singola impresa nel breve periodo; c) il prezzo e la quantità di equilibrio e il numero delle imprese operanti nel mercato nel lungo

periodo.

Soluzione a) Per ricavare la funzione di offerta della singola impresa occorre innanzitutto determinare la

curva di costo di breve periodo di ciascuna impresa. Per fare ciò, sostituiamo il valore fisso di K nella funzione di produzione:

Quindi, la funzione di domanda dell’input lavoro in funzione della quantità prodotta è:

La funzione di costo di breve periodo è:

Si noti che tale funzione non include il costo per il capitale, poiché nel breve periodo tale costo, essendo appunto fisso, non entra nel novero dei costi “economici”, ma piuttosto dei costi contabili.






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Quindi, la funzione di costo marginale di breve periodo è:

La condizione di massimizzazione dei profitti richiede nel breve periodo che , ovvero:

Quindi, la curva di offerta di breve periodo dell’impresa i è:

Moltiplicando per il numero delle imprese presenti sul mercato nel breve periodo, otteniamo la curva di offerta aggregata:

b) Per trovare l’equilibrio di mercato, uguagliamo domanda e offerta di breve periodo:

da cui si ottiene e , mentre la quantità prodotta da ciascuna impresa è

ed i relativi profitti sono: .8

c) Poiché nel breve periodo le imprese presenti sul mercato hanno un profitto positivo, nel lungo

periodo nuove imprese decideranno di entrare sul mercato finché i profitti non si annulleranno, ovvero finché il prezzo non sarà uguale al costo medio minimo di lungo periodo






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(questo perché deve valere anche la condizione che il prezzo sia uguale al costo marginale, ma

implica che il prezzo sia uguale al costo medio minimo, poiché il costo marginale interseca la curva di costo medio nel suo punto di minimo).

Supponiamo che la funzione di costo di lungo periodo sia uguale a quella di breve periodo, ovvero:

Quindi, la funzione costo medio è:

Per trovare il punto di minimo di tale curva di costo medio, uguagliamo a zero la derivata prima rispetto a q:

da cui si ottiene a cui corrisponde, sostituendo nella funzione di offerta ,

. Per ricavare il numero delle imprese presenti sul mercato nel lungo periodo, determiniamo la quantità della domanda:

In equilibrio, deve valere l’uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta, ovvero:






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dove è il numero di imprese che vogliamo determinare. Sostituiamo, quindi, il valore di :

da cui si ottiene che:

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