Eserciutazioni Tecnica

Richiami di calcoloRichiami di calcoloRichiami di calcolo Richiami di calcolo delle probabilitdelle probabilitààpp

Politecnico di Torino - IngegneriaTecnica delle Costruzioni – Probabilità

1

Riferimenti bibliograficig

1. G. Vicario, R. Levi “Calcolo delle probabilità e statistica per ingegneri”, Progetto Leonardo

2 S Bernstein R Bernstein “Calcolo delle probabilità”2. S. Bernstein, R. Bernstein Calcolo delle probabilità , Mc Graw-Hill


2

Perché parlare di probabilità?Perché parlare di probabilità?

Gli EVENTI che si verificano quotidianamente nonGli EVENTI che si verificano quotidianamente non sono prevedibili con CERTEZZA.

Esempi:Esempi:- condizioni meteorologiche;- risultati di eventi sportivi;- ….


3

Il concetto di probabilitàIl concetto di probabilità

Cosa si intende per probabilità di un evento?Cosa si intende per probabilità di un evento?

1. Definizione classica

2. Definizione frequentista

3. Definizione soggettivista3. Definizione soggettivista

4. Definizione assiomatica


4

1. Definizione classica

La probabilità P(A) di un evento A è definita come il rapporto tra il numero NA dei risultati favorevoli (ovvero il numero dei risultati che determinano A) e il numero N

dei risultati possibili:dei risultati possibili:NAP A=)(N

)(

purché i risultati siano ugualmente possibili e mutuamente escludentisimutuamente escludentisi

E’ una definizione aprioristica, in quanto la probabilità P(A) è definita senza far ricorso ad

alcuna effettiva prova sperimentale.


5

Esempio Considerato l’esperimento casuale del lancio di una moneta non truccata, il numero dei risultati possibili di un lancio è 2. La probabilità di ottenere “testa” da un singolo lancio è pari a:g p

Numero di casi favorevoli

1)( =testaP2

)(

Numero di facce, ovvero numero di risultati possibili


6

Esempio Considerato l’esperimento casuale del lancio di un dado simmetrico e omogeneo il numero dei risultati possibili di un lancio è 6 La probabilità omogeneo, il numero dei risultati possibili di un lancio è 6. La probabilità di ottenere un numero pari da un singolo lancio è pari a:

3 1 Infatti il numero dei risultati favorevoli è 3 ed essi 3 1( )6 2

P pari = =Infatti il numero dei risultati favorevoli è 3 ed essi corrispondono alle facce 2, 4, 6. I risultati possibili sono, in questo caso, mutuamente escludentisi.

Esempio Si consideri l’esperimento casuale del lancio di due dadi simmetrici ed omogenei. La probabilità di totalizzare 8 da un singolo lancio è data da:

{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }26354453628 +∪+∪+∪+∪+= PP

Gli eventi sono, in questo caso, qmutuamente escludentisi e le probabilità dei singoli eventi

sono uguali tra loro

( ){ } 1 1 12 66 6 36

P + = ⋅ =

Per eventi mutuamente escludentisi, la probabilità dell’evento unione è pari alla

somma delle probabilità dei singoli eventi{ } 1 58 5

36 36P = ⋅ =


7

somma delle probabilità dei singoli eventi

Esempio Si consideri l’esperimento casuale dell’estrazione di una carta da un p pmazzo di 52 carte ben mescolate.

Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure unap ppcarta di fiori?

Si potrebbe pensare erroneamente che il numero dei risultati Si potrebbe pensare erroneamente che il numero dei risultati favorevoli siano la somma degli assi (4) e delle carte di fiori (13).

In realtà, l’asso di fiori soddisfa sia al requisito di essere un asso, sia al requisito di essere una carta di fiori. I due risultati non sono mutuamente escludentisi.

5216

=P Il numero dei risultati favorevoli è quindi 16 e non 17


8

2. Definizione frequentistaSi definisce frequenza assoluta nA , o semplicemente

frequenza, di un evento A il numero delle volte in cui si è presentato l’evento favorevole.

Si definisce frequenza relativa fA il rapporto tra il Si definisce frequenza relativa fA il rapporto tra il numero delle volte in cui si è presentato l’evento

favorevole e il numero N delle volte in cui è ripetutol’esperimento nelle medesime condizioni.

Anf =OSS: La probabilità dell’evento A è il limite della

AfN

= frequenza relativa quando il numero Ndelle prove tende ad infinito

E’ d fi i i t i i i t l d fi i iE’ una definizione a posteriori, in quanto la definizione della probabilità P(A) implica l’ipotesi preliminare che le

prove siano ripetute in condizioni identichePolitecnico di Torino - IngegneriaTecnica delle Costruzioni – Probabilità

9

prove siano ripetute in condizioni identiche.

Esempio Considerato l’esperimento casuale del lancio di una moneta non truccata, si vuole stimare la probabilità di ottenere “testa” da un singolo lancio.

Si eseguono N=500 lanci e si calcolano la frequenza assoluta nTESTA e la frequenza relativa fTESTArelativa fTESTA.

Lancio Risultato1 CROCE2 TESTA3 CROCE4 TESTA5 CROCE6 CROCE7 TESTA8 TESTA9 CROCE10 TESTA


10

Frequenza assoluta “nTESTA”Frequenza assoluta nTESTA

300

250

ta

150

200

nza assolut

La frequenza assoluta aumenta al crescere del numero di

50

100

Freq

ue al crescere del numero di prove (aumenta il numero di

lanci in cui si ottiene “TESTA”)

0

50

0 100 200 300 400 500 6000 100 200 300 400 500 600

Numero prove


11

Frequenza relativa “fTESTA”Frequenza relativa fTESTA

0.8

0.9

1.0

0 5

0.6

0.7

za relativa

0.3

0.4

0.5

Freq

uenz

Tende a 0.5 al crescere del

0.0

0.1

0.2e de a 0 5 a c esce e de

numero di prove

0 100 200 300 400 500 600

Numero prove


12

3 Definizione soggettivista3. Definizione soggettivista

La probabilità di un evento è il grado di fiducia che si ha a p obab tà d u e e to è g ado d duc a c e s anel verificarsi di esso.


13

4. Definizione assiomaticaLa formalizzazione matematica risale a Kolmogorov (1933)

4. Definizione assiomatica

Si definisce fenomeno aleatorio un fenomeno empiricocaratterizzato dalla proprietà che la sua osservazione in uncaratterizzato dalla proprietà che la sua osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati.

Si definisce spazio campione Ω l’insieme costituito da tutte le possibili osservazioni (tutti i risultati possibili a priori)

Si definisce evento A un qualsiasi insieme di risultati ω, ovvero un sottoinsieme dello spazio campione Ω relativo al medesimo fenomeno aleatorio


14

Se un risultato ω ∈ A , si dice che esso Ωrealizza l’evento A. Se l’insieme A ⊂ Ωè costituito da un solo elemento ω, allora A si chiama evento elementare,

Aω

allora A si chiama evento elementare, altrimenti A è un evento composto. Ω⊂∈ Aω

La totalità degli eventi forma lo spazio degli eventi.


15

Logica degli eventi

1. Dati due eventi A,B ⊂ Ω , si Bdice che A implica B se A ⊂ B A

2. Due eventi A,B ⊂ Ω sono incompatibiliovvero mutuamente escludentisi se non esiste alcun risultato ω che realizzi sia A

BAesiste alcun risultato ω che realizzi sia A

che B, ovvero se A ∩ B = ∅ dove ∅ è l’insieme vuoto.

A

3. Se due eventi A,B ⊂ Ω non sono incompatibili l’insieme non vuoto Bincompatibili, l insieme non vuotoA ∩ B è costituito da tutti i risultati ωche realizzano sia A sia B.

BA

BA∩


16

BA∩

4 Dati due eventi A B ⊂ Ω l’insieme4. Dati due eventi A,B ⊂ Ω , l insieme è costituito da tutti i risultati A∪Bche realizzano A oppure B.

BA

5. Dato un evento A⊂ Ω , se esso non si realizza, allora si realizza l’evento complementare detto\A AΩ A

Acomplementare detto evento negazione dell’evento A.

\A A= Ω A


17

Esempio Si consideri una struttura costituita da due aste incernierate. pVediamo quale relazione sussiste tra gli insiemi “crollo della struttura”, “rottura dell’asta 1” e “rottura dell’asta 2”.


18

La struttura reticolare crolla se cede l’asta 1 oppure l’asta 2:La struttura reticolare crolla se cede l asta 1 oppure l asta 2:

crollo della struttura = rottura dell’asta 1 ∪ rottura dell’asta 2

La rottura dell’asta 1 si verifica quando la sollecitazione S1 supera la resistenza R1.

La stessa cosa vale per la seconda asta. Consideriamo il caso in cui R1 = R2 = R Dimostrare che vale la seguente relazione Consideriamo il caso in cui R1 = R2 = R. Dimostrare che vale la seguente relazione tra gli insiemi “rottura dell’asta 1” e “rottura dell’asta 2”:

2astadell' rottura

1 astadell' rottura


19

Assiomi di Kolmogoroff

Ad ogni evento A è possibile associare la probabilità P(A) che si verifichi l’evento.

La probabilità è una funzione che soddisfa i seguenti assiomi:P(Ω) = 1P(A) ≥ 0se A1,A2,…,An,… sono eventi mutuamente escludentisi(Ai ∩ Aj = ∅) per i ≠ j con i, j=1, 2, …, n,…, allora:

[ ]∑∞∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ii APAP U ∑

==⎥⎦

⎢⎣ 11 iiU

(proprietà additiva della funzione probabilità tra due eventi tra loro )


20

incompatibili)

Conseguenze degli assiomiConseguenze degli assiomi

1.Per il primo assioma, vale( ) ( )1i iP A P A= −

( ) ( ) 1=∪=Ω ii AAPPPer il primo assioma, valePoichè Ai e il suo complementare sono incompatibili, facendoricorso al terzo assioma, si ottiene

( ) ( ) 1∪Ω ii AAPP

( ) ( ) 1=+ ii APAP

2.L’insieme vuoto è il complementare di Ω , quindi ( ) 0P Φ =

( ) ( )1P PΦ = − Ω

3.Applicando il terzo assioma agli eventi incompatibili A e (A \ A )

( ) ( )i j i jA A P A P A⊂ ⇒ ≤Applicando il terzo assioma agli eventi incompatibili Ai e (Aj \ Ai) ,si ha . Poichè l’insieme(Aj \ Ai) non è vuoto per ipotesi, risulta

( ) ( )( ) ( ) ( )ijiijij AAPAPAAAPAP \\ +=∪=( ) 0\ ≥AAP(Aj \ Ai) non è vuoto per ipotesi, risulta ( ) 0\ ≥ij AAP


21

4 ( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i jA A P A A P A P A P A A∩ ≠ Φ ⇒ ∪ = + − ∩4. Questa proprietà è la generalizzazione del secondo assioma per eventi non incompatibili.Si id i l’ i

( ) ( ) ( ) ( )i j i j i j i jA A P A A P A P A P A A∩ ≠ Φ ⇒ ∪ = + ∩

Si consideri l’evento unione:

( )jiiji AAAAA ∩∪=∪ ( )jj

Unione di due eventi incompatibili

ΩjA

incompatibili

AA ∩

iAji AA ∩


22

ji AA ∩

Per il terzo assioma, risulta (*)( ) ( ) ( )jiiji AAPAPAAP ∩+=∪, ( )

Sapendo che anche l’evento Aj è esprimibile come unione di due

eventi incompatibili , il terzo assioma

( ) ( ) ( )jiiji

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∩∪∩= jijj AAAAA ieventi incompatibili , il terzo assioma

permette di scrivere (**)( ) ( ) ( )jijij AAPAAPAP ∩+∩=

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ jijj i

Dalle relazioni (*) e (**) si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )i j i j i jP A A P A P A P A A∪ = + − ∩( ) ( ) ( )


23

Probabilità condizionataProbabilità condizionata

Si definisce probabilità condizionata dell’evento A datoSi definisce probabilità condizionata dell’evento Ai dato l’evento Aj , con Ai e Aj eventi qualunque, il rapporto:

( )P A A∩( ) ( )

( )| i j

i jj

P A AP A A

P A

∩=

( ) 0jP A ≠( ) 0jP A ≠

Indica la probabilità che si verifichi l’evento Aisapendo che A si è verificatosapendo che Aj si è verificato.


24

OSSERVAZIONI:

Se , allora e quindi:ji AA ⊂ iji AAA =∩

( )( ) ( )( ) ( )| i

i j ij

P AP A A P A

P A= >

Se , allora e quindi:

( )ji AA ⊃ jji AAA =∩

( )P A( ) ( )

( )| 1j

i jj

P AP A A

P A= =

Se Ai e Aj sono incompatibili, allora Ai ∩ Aj = ∅e quindi:

( )j

q

( ) 0| =ji AAP


25

Esempio Si consideri l’esperimento casuale del lancio di due dadi simmetrici p ped omogenei, nel quale la somma dei risultati è un numero pari (Aj). La probabilità di totalizzare 8 da un singolo lancio è :

( ) ( )( )

| i ji j

P A AP A A

∩=( ) ( )

|i jjP AProbabilità che si verifichi l’evento

Ai [Ai = {8} ={(2+6)∪(3+5) ∪…}]sapendo che Aj si è verificato

[A { i}] Esempio già svolto

{ } { } 55

88 PiP

[Aj = {pari}]. Esempio già svolto

{ } { }{ }

{ }{ } 18

55.0

36888 ===∩

=pariP

PpariP

pariPpariP


26

Eventi indipendentip

Due eventi Ai e Aj si dicono statisticamente indipendentiue e e i e j s d co o stat st ca e te d pe de tse il verificarsi di uno non influisce sulla probabilità chesi verifichi l’altro.

Esempio Si consideri l’esperimento casuale del lancio di un dado non truccato. Stabilire se gli eventi A={ottengo un numero dispari dal lancio del dado} e B={ottengo il numero 1 dal lancio del dado} sono indipendenti.

Lo spazio campione Ω è {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dalla definizione, se gli Lo spazio campione Ω è {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dalla definizione, se gli eventi A e B sono indipendenti, il verificarsi di un evento non influenza la probabilità che l’altro si verifichi.Ad esempio si calcola P(B|A) e P(B): queste due probabilità sono Ad esempio, si calcola P(B|A) e P(B): queste due probabilità sono uguali se gli eventi sono indipendenti.


27

• P(B|A) = probabilità di ottenere il risultato “1”, sapendo che si è verificato un ( | ) p prisultato dispari.

( ) 11

ABP( ) ( )31

216

)(| ==

∩=

APABPABP

Infatti: A={1, 3, 5}, B={1} e B∩A={1}

• P(B) = probabilità di ottenere il risultato “1” è pari a 1/6

Si osserva che P(B|A) e P(B): non sono uguali quindi gli eventi A e B non sono Si osserva che P(B|A) e P(B): non sono uguali, quindi gli eventi A e B non sono indipendenti.


28

Eventi indipendentip

Nel caso di due eventi Ai e Aj statisticamente indipendentie caso d due e e i e j stat st ca e te d pe de tvalgono le seguenti relazioni:

• ( ) ( ) ( )i j i jP A A P A P A∩ =

( )• se( ) ( ) ( )

( ) ( )| ji j i i

j

P AP A A P A P A

P A= = ( ) 0jP A ≠

• se

( )j

( ) ( ) ( )( ) ( )| i

j i j jP A

P A A P A P AP A

= = ( ) 0iP A ≠( ) ( ) ( ) ( )|j i j jiP A ( )i


29

OSS: Il concetto di indipendenza è diverso dal concetto di incompatibilità: due eventi incompatibili [la cui intersezione è l’insieme vuoto] sono dipendenti statisticamente!Infatti il verificarsi di un evento esclude il verificarsiInfatti il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dell’altro.

Se due eventi A e A sono statisticamente indipendentiSe due eventi Ai e Aj sono statisticamente indipendenti, allora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( ) ( )i j i j i jP A A P A P A P A P A∪ = + −

Dati n eventi essi si dicono statisticamente indipendentiDati n eventi, essi si dicono statisticamente indipendentise e solo se, per qualunque sottoinsieme {A1,…, An} di neventi, si verifica la seguente condizione:

( )∏==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

ii

n

ii APAP

11I


30

Teorema delle probabilità totaliTeorema delle probabilità totali

Sia A A una collezione di eventi mutuamenteSia A1,…, An una collezione di eventi mutuamente

escludentisi ed esaustivi ( ) e P(Ai) ≠ 0 per n

iAΩ =Uogni i=1, 2, …, n.

1i=

n

∑

Qualunque sia l’evento C, si ha:

( ) ( ) ( )1

| i ii

P C P C A P A=

= ⋅∑


31

Formula di BayesFormula di Bayes

Sia A A una collezione di eventi mutuamenteSia A1,…, An una collezione di eventi mutuamente

escludentisi ed esaustivi ( ) e P(Ai) ≠ 0 per n

iAΩ =Uogni i=1, 2, …, n.

1i=

Ω⊂CQualunque sia ,si ha:

( ) ( )APACP |( ) ( ) ( )( ) ( )∑

= n

jj

iii

APACP

APACPCAP|

||

=j 1


32

Esempio Un edificio crolla. Le possibili cause di crollo sono:A) deterioramento;)B) eccessivo sovraccarico;C) esplosione;D) errore di progettazione;D) errore di progettazione;E) errore in fase di costruzione.

Si suppone che le cause siano mutuamente escludentisi ed esaustiveSi suppone che le cause siano mutuamente escludentisi ed esaustive

i iBD spazio campione

A

D

E

C


33

Sulla base di analisi effettuate su altri edifici della stessa tipologia, Si conosce la probabilità di ciascuna causa:p• P(A)=0.40;• P(B)=0.35;• P(C)=0.05;P(C) 0.05;• P(D)=0.10;• P(E)=0.10.

Sulla base di indagini su crolli di edifici della stessa tipologia, si conosce la probabilità di crollo condizionale a ciascuna causa:

P(crollo | A) 0 60;• P(crollo | A)=0.60;• P(crollo | B)=0.35;• P(crollo | C)=0.70;• P(crollo | D)=0.40;• P(crollo | E)=0.40.

Si chiede di determinare la causa di crollo più probabile..


34

Applicando la formula di Bayes, si ottiene la probabilità che ciascuna causa sia il motivo del crollo.

Ad esempio, per la causa A: { } { } { }{ }crolloP

APAcrolloPcrolloAP ⋅=

||

P(crollo) = P(crollo | A)P(A) + P(crollo | B)P(B) + P(crollo | C)P(C) +P(crollo | D)P(D) + P(crollo | E)P(E) =

= 0 6·0 4 + 0 35·0 35 + 0 7·0 05 + 0 4·0 1 + 0 4·0 1 =

{ }

= 0.6 0.4 + 0.35 0.35 + 0.7 0.05 + 0.4 0.1 + 0.4 0.1 = = 0.4775

P(A | crollo) 0 6 0 4 / 0 4775 0 50P(A | crollo) = 0.6·0.4 / 0.4775 = 0.50P(B | crollo) = 0.35·0.35 / 0.4775 = 0.26P(C | crollo) = 0.7·0.05 / 0.4775 = 0.07P(D | crollo) = 0.4·0.1 / 0.4775 = 0.08P(E | crollo) = 0.4·0.1 / 0.4775 = 0.08

Si conclude che il deterioramento (causa A) sia la causa più probabile di crollo dell’edificio.


35

Esempio L’urna A contiene 2 palline bianche e 3 nere; l’urna B ne contiene 4 bianche e 1 nera, l’urna C ne contiene 3 bianche e 4 nere. Si sceglie a caso un’urna e si estrae una pallina bianca. La probabilità che provenga dall’urna C è calcolata nel seguente modo.

spazio campioneEA

C

E

B

L’ t A i di l’ t i di lli d ll’ A A l t L’evento A indica l’estrazione di una pallina dall’urna A. Analogamente, si definiscono gli eventi B e C. Ovviamente gli eventi A, B, C sono mutuamente escludentisi ed esaustivi. Quindi le probabilità di scegliere una delle tre urne sono uguali tra loro e pari a 1/3.L’evento E indica l’estrazione di una pallina bianca, evento che può presentarsi in concomitanza con qualunque degli eventi A B C


36

presentarsi in concomitanza con qualunque degli eventi A, B, C.

Applicando la formula di Bayes, si ottiene la probabilità di aver estratto una pallina bianca dall’urna C.p

{ } { } { }{ }

CEPCPECP || ⋅={ } { }EP

ECP |

La probabilità di estrarre una pallina bianca da una qualsiasi urna è pari a:

{ } ( ) ( ) ( ){ }=∩∪∩∪∩= CEBEAEPEP( ){ } ( ){ } ( ){ }=∩+∩+∩= CEPBEPAEP

{ } { } { } { } { } { }{ } { } { } { } { } { }=++= CEPCPBEPBPAEPAP

10557

73

31

54

31

52

31

=⋅+⋅+⋅=105735353


37

La probabilità P{E|A} di estrarre una pallina bianca dall’urna A è pari a:

{ } ( ) 2Abianche{ } ( )( ) 5

2=

+=

urnaA

urnaA

nerebianchebiancheAEP

In modo analogo si calcolano P{E|B} e P{E|C}In modo analogo si calcolano P{E|B} e P{E|C}

{ } ( )( ) 5

4=

+=

urnaB

urnaB

nerebianchebiancheBEP

{ } ( )( ) 7

3=

+=

urnaC

urnaC

nerebianchebiancheCEP

In conclusione:

{ } { } { }{ }

1 353 7

57P C P E C

P C E⋅⋅

= = ={ } { } 57 19105

P E


38

Variabili aleatorieVariabili aleatorieVariabili aleatorieVariabili aleatorie


39

Variabili aleatorie

La variabile aleatoria X : Ω→R è definita come una f i t d i i l i i Ωfunzione avente come dominio lo spazio campione Ω

e come codominio l’insieme dei numeri reali

Esempio Si consideri l’esperimento del lancio di due dadi non truccati.Lo spazio campione Ω contiene i 36 possibili risultati:Ω= {(1 1) (1 2) (6 5) (6 6)}Ω {(1,1), (1,2), … , (6,5), (6,6)}

Si definisce, a titolo di esempio, la variabile aleatoria X che rappresenta la somma dei risultati di due lanci di un dado non rappresenta la somma dei risultati di due lanci di un dado non truccato.


40

Risultato Risultato Valore della Risultato Risultato Valore della 1° lancio 2° lancio variabile X

1 1 21 2 31 3 4

1° lancio 2° lancio variabile X4 1 54 2 64 3 71 3 4

1 4 51 5 61 6 7

4 3 74 4 84 5 94 6 101 6 7

2 1 32 2 42 3 5

4 6 105 1 65 2 75 3 82 3 5

2 4 62 5 72 6 8

5 3 85 4 95 5 105 6 11

3 1 43 2 53 3 6

6 1 76 2 86 3 9

3 4 73 5 83 6 9

6 4 106 5 116 6 12


41

Le variabili aleatorie sono classificate in:

discrete (es. risultato del lancio di un dado, il numero diveicoli che attraversano un incrocio in un’ora )veicoli che attraversano un incrocio in un ora,…)

continue (es. azioni applicate alle strutture, resistenzedei materiali, …)


42

Funzione di distribuzione cumulativa( ti )

La funzione di distribuzione cumulativa di una v.a. X

(v.a. continue) ( )xFX

esprime la probabilità che X assuma valori inferiori o uguali al numero reale x:

( )X

La funzione di distribuzione cumulativa misura la probabilità

( ) ( )xXPxFX ≤=

La funzione di distribuzione cumulativa misura la probabilità che X(ω) assuma valori minori o uguali al numero reale x e gode delle seguenti proprietà:

è sempre non negativaè monotona non decrescente tra 0 e 1lim x → -∞ Fx(x) ≡ Fx (- ∞) = 0lim x → +∞ Fx(x) ≡ Fx (+ ∞) = 1

( ) ( ( )Politecnico di Torino - IngegneriaTecnica delle Costruzioni – Probabilità

43

è continua a destra lim ξ → x+ Fx(ξ) ≡ Fx (x+) = Fx(x)

La probabilità che una variabile aleatoria X assuma valori in un intervallo (x x ] è data da:valori in un intervallo (x1, x2] è data da:

( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP XX −=≤<

Infatti: ],(],(],( 2112 xxxx ∪−∞=−∞

( ) ( ) ( ) ( )

Gli eventi a secondo membro sono incompatibili, quindi

( ) ( ) ( ) ( ) =≤<+≤==≤ 21122 xXxPxXPxFxXP X

( ) ( )211 xXxPxFX ≤<+= ( ) ( )211 xXxPxFX ≤<+

OSS: Nel caso di variabili aleatorie continue, la probabilità che X assuma il valore è nulla perchè è un insieme di misura nulla Quindiil valore x1 è nulla, perchè x1 è un insieme di misura nulla. Quindi per le variabili aleatorie continue vale:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221121 xFxFxXxPxXPxXxP XX −=≤<+==≤≤


44

Funzione di densità di probabilità (v.a. continue)

Data una variabile aleatoria X continua, si definiscela funzione f ( ):R [0 + ) tale per cuila funzione fx(x):R→[0,+∞) tale per cui

( ) ( )x

X XF x f x dx= ⋅∫

è detta funzione di densità di probabilità e gode delle

( ) ( )X Xf−∞∫

seguenti proprietà

1. ( ) Rxxf X ∈∀≥ ,0

2.

( )f X ,

( ) 1=∫+∞

dxxf X


45

∫∞−

L’integrale della funzione di densità di probabilità misura la probabilità che X assuma valori inferiori o eguali alla probabilità che X assuma valori inferiori o eguali al

numero reale x

La quantità elementare dP = dFx(x) = fx(x)·dx misura la probabilità elementare che X assuma valori nell’intervallo

(x, x+dx]( , ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdttfxFdxxFdxxXxP X

dxx

XXX ∫+

==−+=+≤<

Dalla definizione di densità di probabilità, si ricava:

x

( ) ( )dx

xdFxf XX =

dxQuindi la funzione densità di probabilità è uguale alla derivata prima della funzione didistribuzione cumulativa della variabile aleatoria.


46

PDF

fX(x)

( ) ( )b

X XF b f x dx= ⋅∫

a b

−∞∫

CDFFX(x)

( ) ( ) ( )X XP a X b F b F a< ≤ = −

FX(b)

FX(a)FX(b)


47

Il percentile p% della variabile X è p pdefinito come il valore argomentale (ossia il valore della variabile) yp l a cui probabilità cumulata vale proprio

p % FX(x)

cui probabilità cumulata vale proprio p/100

Il percentile rappresenta in definitiva la lettura in modo inverso della funzione di

probabilità cumulata FX

ya

FX(a)CDF

ypa


48

Momenti di variabili aleatorie I momenti sono importanti indicatori di determinate

proprietà della generica variabile aleatoria X( )proprietà della generica variabile aleatoria X(ω)

Si definisce momento di ordine q di una variabile qaleatoria X(ω) dotata di funzione di densità di

probabilità, la quantità:

{ } ( )dxxfxXE Xqq ∫

+∞

∞−

=per q intero positivo

( )dxxfx Xq∫

+∞

||

per q intero positivo,se esiste finito l’integrale

∞−

OSS: Poichè fx(x) ≥ 0 , i momenti di ordine pari sono sempre non negativi.


49

Momento del primo ordine - valore atteso(valore medio)(valore medio)

Si definisce valore atteso μX di una variabile aleatoria X(ω) il

{ } ( )XE X x f x dx+∞

= ⋅∫

momento del primo ordine

{ } ( )XE X x f x dx−∞∫

Esso è un parametro di posizione della distribuzione e si può i t t il b i t d ll di t ib i diinterpretare come il baricentro della distribuzione di

probabilità definita dalla funzione di densità di probabilità fx(x)

Proprietà del valore atteso: Proprietà di linearitàDate n variabili aleatorie X1, X2,…, Xn, la media di una loro combinazione lineare è uguale alla combinazione lineare delle medie:

Questa proprietà deriva dalla proprietà di linearità dell’integrale che definisce il valore atteso. { } { } { } { }nnnn XEaXEaXEaXaXaXaE +++=+++ ...... 22112211


50

p p p p g

Momento del secondo ordine

I momenti di ordine superiore al primo vengonospesso calcolati rispetto al valore medio μX della

variabile aleatoria Xvariabile aleatoria X

Si definisce varianza il momento centrale del secondo ordine ed è calcolato nel seguente modo:ordine ed è calcolato nel seguente modo:

[ ] ( ){ } ( ) ( )2 22X X X XVar X E X x f x dxσ μ μ

+∞

= = − = −∫{ }−∞

Esso è un parametro di posizione della distribuzione e si può interpretare come il momento di inerzia della distribuzione di probabilità definita dalla funzione di densità di probabilità fx(x)

rispetto alla retta baricentrica x = μX.

OSS: La varianza misura la dispersione della distribuzione rispetto al suo valore medio.Si definisce deviazione standard la radice quadrata positiva della varianza.


51

Al crescere della varianza, diminuisce la probabilità che tutte , ple realizzazioni x della variabile aleatoria X siano

concentrate attorno al valore medio μX.

3,10 == σμ

5,10 == σμ


52

Vettori aleatoriVettori aleatoriVettori aleatoriVettori aleatori


53

Vettori aleatori

Il vettore aleatorio X a n dimensioni è definito come

Vettori aleatori

e o e a ea o o a d e s o è de o co el’insieme di n variabili aleatorie che opera la

trasformazione associando ad l’ennupla:{ }1 2, ,..., nX X X

nRΩ→ ω p

{ }1 2, ,..., nnx x x R∈


54

Funzione di distribuzione cumulativa Si definisce funzione di distribuzione cumulativa

congiunta del vettore aleatorio X, la funzione:

T l f i i l b bilità h i ifi hi t tti

( ) ( ) ( ) ( ){ }nn xXxXxXPF ≤∩∩≤∩≤= ...2211xX

Tale funzione misura la probabilità che si verifichino tuttigli eventi , , .. , .( )11 xX ≤ ( )22 xX ≤ ( )nn xX ≤

La funzione di distribuzione cumulativa gode delle seguenti proprietà:• è sempre non negativaè sempre non negativa• è monotona non decrescente tra 0 e 1

• −∞→ixlim ( ) 0=xXF ij xx \∀

•

• è continua a destra in ciascuna variabile

j

+∞→ixlim ( ) 1=xXF ij xx \∀


55

è continua a destra in ciascuna variabile.

Funzione di densità di probabilitàFunzione di densità di probabilità

Si definisce funzione di densità di probabilità congiuntaS de sce u o e d de s tà d p obab tà co g u tadel vettore aleatorio X, la funzione:

( ) ( )n

n

xxxFf

∂∂∂∂

=...21

xx XX

e gode delle seguenti proprietà:

n21

( ) nRf ∈∀≥ xxX ,01.

∫ ∫+∞ +∞

2. ( ) 1... ... 21 =∫ ∫∞− ∞−

ndxdxdxf xX


56

Funzione di distribuzione marginaleFunzione di distribuzione marginale

Si definisce funzione di distribuzione marginaleSi definisce funzione di distribuzione marginaledel vettore aleatorio X, la funzione:

+ +

( ) ( ) 1 2 1 1... ... ... 1iX i i i nXF x f x dx dx dx dx dx

+∞ +∞

− +−∞ −∞

= ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫ uur

r


57

Esempio: vettore composto da due variabili X e Yse p o etto e co posto da due a ab e

- La funzione di distribuzione cumulativa congiunta si esprime come:

- Funzione di densità di probabilità congiunta

densità di probabilità congiuntadensità di probabilità congiuntase X e Y sono indipendenti probabilità di estrazione della coppia di

valori x , y in un intervallo dx dy

- La probabilità marginale di una variabile (escludendo cioè l’effetto dell’altra) vale


58

Momenti congiunti di vettori aleatori

Si considerano due variabili aleatorie X e Y.

Si definisce momento congiunto di ordine (p+q), l’integrale doppio:

{ } ( )∫ ∫+∞+∞

p e q sono interi{ } ( )∫ ∫∞− ∞−

= dxdyyxfyxYXE XYpqpq , p e q sono interi

positivi

Si definisce momento centrale congiunto di ordine (p+q) il seguente integrale doppio:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ),p q p qX Y X Y XYE X Y x y f x y dx dyμ μ μ μ

+∞ +∞

−∞ −∞

− − = − − ⋅ ⋅∫ ∫


59

Il momento centrale congiunto di secondo ordine è d tt idetto covarianza:

( ) ( ) ( ){ }, X YCov X Y E X Yμ μ= − − =( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ),X Y XYx y f x y dx dyμ μ

+∞ +∞

−∞ −∞

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫∞ ∞

( ) { } { } { } { }, Y X X Y X YCov X Y E XY E X E Y E X Yμ μ μ μ μ μ= − ⋅ − ⋅ + ⋅ = − ⋅( ) { } { } { } { }, Y X X Y X YCov X Y E XY E X E Y E X Yμ μ μ μ μ μ+

E’ possibile costruire la matrice di covarianza:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

XXCovXXCovXXCovXXCovXXCovXXCov

,...,,,...,,

22212

212111

E possibile costruire la matrice di covarianza:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=Σ

nnnn

n

XXCovXXCovXXCov

XXCovXXCovXXCov

,...,,............

,...,,

21

22212


60

Si definisce coefficiente di correlazione, la quantità:( )( ) ( )

YX

YXCovYXσσ

ρ ,, =

E’ una misura dell’interdipendenza lineare di due variabili aleatorie.

Se le variabili X e Y non sono correlate (lineramente) ( ), 0X Yρ =

Due variabili aleatorie si dicono statisticamente indipendenti se lo( ) ( )sono gli eventi e . Vale la seguente relazione:( )xX ≤ ( )yY ≤

( ) ( ){ } ( ) ( )P X x Y y P X x P Y y≤ ∩ ≤ = ≤ ⋅ ≤{ }

( ) ( ) ( ),XY X YF x y F x F y= ⋅ ( ) ( ) ( ),XY X Yf x y f x f y= ⋅( ) ( ) ( ),XY X YF x y F x F y ( ) ( ) ( ),XY X Yf y f f y

{ } ( ) ( )q p q pX YE X Y x f x dx y f y dy

+∞ +∞

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫


61

−∞ −∞

Due variabili aleatorie indipendenti sono anche non correlate:p

è lid l’i li i i

{ } YXXYE μμ= ( ) 0=XYCovma non è valida l’implicazione inversa.


62

Algebra delle variabili casuali


63


64

Le distribuzioni e loroLe distribuzioni e loroLe distribuzioni e loroLe distribuzioni e loroLe distribuzioni e loro Le distribuzioni e loro applicazione nella applicazione nella

Le distribuzioni e loro Le distribuzioni e loro applicazione nella applicazione nella ppppmodellazione delle modellazione delle caratteristiche deicaratteristiche dei

ppppmodellazione delle modellazione delle caratteristiche deicaratteristiche deicaratteristiche dei caratteristiche dei

materiali e delle azionimateriali e delle azionicaratteristiche dei caratteristiche dei

materiali e delle azionimateriali e delle azioni


65

Resistenze dei materiali

Le distribuzioni utilizzate sono, in generale, la

Resistenze dei materiali

e d st bu o ut ate so o, ge e a e, adistribuzione normale e la log-normale.

Resistenze: Coefficiente di variazione Distribuzione

Compressione CLS 15 % LNp

Trazione acciaio 8 % LN


66

1. Distribuzione normale N(μ ,σ)

Valore medio μ

1. Distribuzione normale N(μ ,σ)

Valore medio

Deviazione standard

μσ

Funzione di densità di probabilità (PDF)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=2

21exp

21

σμ

πσxxf X

Funzione di distribuzione l ti (CDF)

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

( ) ∫ ⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ −

−=x

X dttxF21exp1 μ

cumulativa (CDF)( ) ∫

∞− ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

X dtxF2

exp2 σπσ


67

Distribuzione normale N(μ ,σ)

- simmetrica rispetto al valor medio μ- 2 flessi a μ ± σ

PDFσσ

μ

CDF

- antisimmetrica rispetto al punto (μ,0.5)F (μ) = 0 5- FX(μ) = 0.5


68

μ

La PDF e la CDF cambiano forma e posizione al variare di μ e σ

μ controlla la posizione sull’asse delle ascissep μ σ delle ascisse

PDF CDF


69

La PDF e la CDF cambiano forma e posizione al variare di μ e σ

σ controlla l’apertura della PDF e la pendenza della CDFe posizione al variare di μ e σ la pendenza della CDF

μ μ

PDF CDF


70

OSS: È utile definire una variabile standardizzata Z

xz μσ−

= 21( ) ( ) zf⎡ ⎤⎢ ⎥σ ( ) ( ) exp

22f z zϕ

π= = ⋅ −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦riconduce il problema allo studio di una gaussiana con μ =0 e σ =1

La CDF Φ(z) è data ovviamente dall’integrale della φ(z):

21( ) ( ) exp22

z zF z z dzπ−∞

⎡ ⎤= Φ = −∫ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

I valori della Φ(z) sono tabellati Sono inoltre tabellati anche i valori z della

⎣ ⎦

Sono inoltre tabellati anche i valori zp della variabile standardizzata corrispondenti a valori

percentili p “notevoli”.


71


72

Si dimostra che sostituendo σ = (x-μ) / z nella definizione di fX(x)

2 2

1 1

( ) ( )x zXx zf x dx z dzϕ⋅ = ⋅∫ ∫

( ) ( )XF x z= ΦLe probabilità calcolate con la variabile

normalizzata Z sono uguali alle probabilità calcolate con la variabile probabilità calcolate con la variabile

effettiva XEssendo la distribuzione φ(z) simmetrica, Φrisulta antisimmetrica rispetto al punto (0,0.5) per cui

Φ (-z) = 1 - Φ (z) CDF normalizzata

p

CDF normalizzata

Tenendo conto del cambio di variabile, si può facilmente calcolare i percentili xpa partire dai percentili della variabile z

x = μ + σ · zFX (a)

xp μ + σ zp


73

zpa

2. Distribuzione log-normale N(μL ,σL)

Valore medio

Deviazione standard

Lμ

LσDeviazione standard

Parametro

L

ζ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

1ln Lσζ

Parametro

ζ

λ

⎟⎠

⎜⎝

2Lμ

ζ

( ) 21ln ζμλ −=Parametro

Funzione di densità di ( ) ( )⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

2ln1exp1 λxxf

λ ( )2

ln ζμλ = L

probabilità (PDF)

Funzione di

( ) ( )⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−=2

exp2 ζπζx

xf X

( ) ⎤⎡ ⎞⎛x t2

l11 λFunzione di distribuzione cumulativa (CDF)

( ) ( )∫+ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

x

X dttt

xF0

ln21exp

21

ζλ

πζ


74

( )5,10 == LLLN σμ

( )5,10 == NNN σμ


75

Variazione della PDF e della CDF al variare ζ per λ = 1

PDF CDF

ζζζζ

ζζζ

Moda Mediana


76

Variazione della PDF e della CDF al variare λ per ζ = 1

PDF CDF

λλ

λ

λ

λ

λ

λλ

Mediana


77

AzioniAzioni

Le distribuzioni utilizzate dipendono dal tipo di azione:e d st bu o ut ate d pe do o da t po d a o e

Azione Coefficiente di variazione DistribuzioneAzione Coefficiente di variazione Distribuzione

Carichi permanenti:

Permanente portato 10 % Np

Peso proprio CLS 6 % N

Peso proprio acciaio 4 % Np p

Carichi variabili: 20 % G


78

1. Gumbel G(μG ,σG)(μG , G)

Parametro fattore di formaαParametro fattore di scala

Valore medio βμ 5772.0+

β

Valore medio

Deviazione standard

αβμ +=G

πσ =GDeviazione standard

Funzione di densità di

6ασG

( ) ( ) ( )( )[ ]ββfFunzione di densità di probabilità (PDF)

Funzione di

( ) ( ) ( )( )[ ]βαβαα −−−−−= xxxf X expexp

Funzione di distribuzione cumulativa (CDF)

( ) ( )( )[ ]βα −−−= xxFX expexp


79

( )

( )1,2 == βα

( )10,2 == βα

( )1,1 == βα

( )10,1 == βα


80

Distribuzioni di base


81

Parametri statistici di funzioni di variabili aleatorievariabili aleatorie


82

Frattile di variabili aleatorie


83

Sicurezza strutturaleSicurezza strutturale

Obiettivo dell’esercitazione: acquisire le conoscenzenecessarie per rispondere alle seguenti domande:

Qual è la definizione di sicurezza strutturale?C i l t l i di t tt ?Come si valuta la sicurezza di una struttura?Quanto deve essere sicura una struttura?Quali sono le differenze tra i metodi probabilistici di livelloQuali sono le differenze tra i metodi probabilistici di livelloIII, II, I e semi‐probabilistico?Come si applicano i metodi probabilistici di livello III, II, I esemi‐probabilistico?

D.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

1

Quando si può ritenere sicura una struttura?Quando si può ritenere sicura una struttura?


2

Metodi di valutazione della sicurezzaMetodi di valutazione della sicurezza

deterministicitensioni ammissibili

deterministicitensioni ammissibili VECCHIE normative

(ma non solo…)calcolo a rotturacalcolo a rottura

(ma non solo…)

di livello 3di livello 3

probabilistici di livello 2probabilistici di livello 2 NUOVE normative

di livello 1(semiprobabilistico)di livello 1(semiprobabilistico)


3

Norme Tecniche per le Costruzioni NTC 2008Norme Tecniche per le Costruzioni NTC 2008


4

Classi d’usoClassi d uso


5


6

Metodi probabilistici – come si effettua la verificaMetodi probabilistici come si effettua la verifica di sicurezza?

(confronto tra resistenza (R) e sollecitazione (S))(confronto tra resistenza (R) e sollecitazione (S))

i ll 3Livello 3: Pr,struttura ≤ Pr,target

Livello 2: β ≥ βLivello 2: βstruttura ≥ βtarget

Livello 1 e semi‐probabilistico: Rd ≥ SdLivello 1 e semi probabilistico: Rd ≥ Sd


7

Metodi probabilistici – in cosa differiscono?Metodi probabilistici in cosa differiscono?

llaccuratezza nella verifica della sicurezza

metodoSemi‐prob. Livello1 Livello 2 Livello 3


8

facilità di utilizzo da parte di un

f i iprofessionista

metodoSemi‐prob. Livello1 Livello 2 Livello 3


9

Quale metodo utilizzare?Quale metodo utilizzare?

Metodo semi‐probabilistico: progettazione ordinaria

Metodo di livello 2:soluzione di problemi di rilevanza tecnica ed economica);calibrazione dei fattori parziali γ (comitati normatori)calibrazione dei fattori parziali γ (comitati normatori).

Metodo di livello 3:ricerca;consulenza.


10

Quanto deve essere sicura una struttura?Quanto deve essere sicura una struttura?

Intuitivamente…

Livello diLivello di sicurezza richiesto


11

tipologia di struttura

In pratica…Il livello di sicurezza (affidabilità) richiesto è fissato dalle normative.( )

EN1990: il livello di affidabilità richiesto dipende da:d li à di i i di di i dicause e modalità di raggiungimento di una condizione di stato

limite;possibili conseguenze in termini di perdite di vite umane perditepossibili conseguenze in termini di perdite di vite umane, perdite economiche e sociali.

Rischio per la vita e perdite economiche e sociali

Esempi

Alto Centrali nucleari ospedaliAlto Centrali nucleari, ospedali, ponti, tribune degli stadi,

strutture militari strategiche

Medio Edifici residenziali e ufficiMedio Edifici residenziali e uffici

Basso Edifici per l’agricoltura, serre, pali della luce


12

avversione dell’opinione pubblica rispetto alle conseguenze di un crollo strutturale;


13

costo degli interventi necessari per ridurre il rischio di raggiungimento della condizione di stato limite.

Rischio per la vita e perdite economiche e

socialiEsempi

Valore minimo dell’indice βtarget

(periodo di 50 anni)sociali (periodo di 50 anni)

Alto

Centrali nucleari, ospedali, ponti, tribune d li t di t tt

4.3 → Pr target= 8.5∙10‐6degli stadi, strutture militari strategiche

r,target

Medio Edifici residenziali e uffici 3.8 → Pr,target= 7.2∙10‐5

BassoEdifici per l’agricoltura, serre, pali della luce

3.3 → Pr,target= 4.8∙10‐4


14

Metodi probabilistici per la valutazioneMetodi probabilistici per la valutazione dell’affidabilità strutturale

Obiettivo dell’esercitazione: acquisire le conoscenze necessarie perapplicare i metodi probabilistici (livello III, II e semi‐probabilistico) aiproblemi di affidabilità strutturale (condizioni di stato limite SLU e SLE).Sulla base delle nozioni acquisite, è possibile rispondere alle seguentidomande:

come si definisce la funzione di stato limite per condizioni SLU e SLE?come si calcola la probabilità di insuccesso con i metodi di livello IIIco e s ca co a a p obab à d successo co e od d e o(integrazione diretta e metodo Monte Carlo)?come si stima l’indice di affidabilità mediante il metodo FORM?quali sono le differenze tra i metodi MVFOSM e AFOSM (metodiquali sono le differenze tra i metodi MVFOSM e AFOSM (metodiprobabilistici di livello II)?


1

La funzione di stato limiteLa funzione di stato limite

In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad uno specificorequisito è interpretabile come uno stato della struttura, raggiunto il quale,essa non è in grado di soddisfare il requisito.

Per un dato requisito di stato limite, si definiscono un dominio diinsuccesso (nel quale il requisito non è soddisfatto) e un dominio disuccesso (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini èsuccesso (nel quale il requisito è soddisfatto); il confine tra i due domini èdetto stato limite.

La funzione di stato limite permette di esprimereanaliticamente la condizione di stato limite. Questa funzionedi d i l d tt X di i bili l t idipende, in generale, da un vettore X di n variabili aleatorie.


2

EsempiEsempi

1) Condizione di stato limite ultimo (SLU) per sforzo normale di) ( ) pun’asta tesa (asta 2‐3) di una struttura reticolare.

8

P Dati :‐ grandezze deterministiche:

6 7

8 PP • L=2 m• A2‐3 =1742mm2

• α=8°

1

L L L L2 3 4

α 8

‐ grandezze aleatorie:• P: N(22, 4.4) kN

5α

L L L2 3 4• fy: N(265, 18) N/mm2


3

SLU per l’asta 2 3: essa si rompe se lo sforzo normale NSLU per l asta 2‐3: essa si rompe se lo sforzo normale NS,2‐3dovuto ai carichi supera lo sforzo normale resistente NR,2‐3:

( )αtgPNS 2

332, =−

yR fAN 3232, −− =

Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle2 variabili aleatorie P e fy:y

g(P,fy) = NR,2‐3‐NS,2‐3 = A2‐3fy‐3P/(2tg(α))


4

Rappresentazione graficaRappresentazione grafica

condizione di stato limite

d i i di i

g(P,fy) = 0

dominio di insuccessog(P,fy) < 0

dominio di successog(P,fy) > 0


5

2) Condizione di stato limite di esercizio (SLE) dideformazione di una trave in calcestruzzo armato.

Dati :‐ grandezze deterministiche:• L=6 mq

‐ grandezze aleatorie:• q: N(12, 2.4) kN/m • EI: N(12160, 610) kNm2( , )


6

SLE di deformazione: la funzionalità della struttura vieneSLE di deformazione: la funzionalità della struttura vienemeno se la freccia v in mezzeria supera il valore limite L/250:

qLv45

=q

EI384 v

Per questo problema, la funzione di stato limite dipende dalle2 variabili aleatorie q e EI:

g(q,EI) = L/250‐v = L/250 ‐ 5qL4/(384EI)


7

Rappresentazione graficaRappresentazione grafica

condizione di stato limiteg(q,EI) = 0

dominio di insuccessog(q,EI) < 0

dominio di successog(q,EI) > 0


8

Metodi probabilistici di livello IIIMetodi probabilistici di livello III

La verifica dell’affidabilità strutturale consiste nelLa verifica dell affidabilità strutturale consiste nelverificare che Pi ≤ Pi,target

probabilità di insuccesso (il termine vale sia per le condizioni SLU sia per le SLE)

La probabilità di insuccesso Pi è definita dal seguente integrale:

( )[ ] ∫=≤=iD

nnXni dxdxdxxxxfXXXgPP ...),...,,(0,...,, 212121

dominio nel quale g(x) ≤ 0


9

q g( )

La probabilità di insuccesso Pi può essere calcolata mediante:La probabilità di insuccesso Pi può essere calcolata mediante:integrazione diretta (analitica / numerica);metodo Monte Carlo.

1) Integrazione diretta:Condizione di stato limite ultimo (SLU):‐ Condizione di stato limite ultimo (SLU):

== ∫ nnXi dxdxdxxxxfP ...),...,,( 2121∫iD

( ) ∫=≤= SR dsdrsrfSRP ),(,

iD

)( XXXgR = )( XXXgS),...,,( 21 mR XXXgR = ),...,,( 21 nmmS XXXgS ++=


10

Il calcolo di Pi è facile se R ed S sono indipendenti oppure R edIl calcolo di Pi è facile se R ed S sono indipendenti oppure R edS sono a distribuzione normale.Se R ed S sono indipendenti si effettua un’integrazione perstrisce orizzontali o verticali.

Strisce orizzontali: [ ]∫∫ ∫+∞+∞ +∞

−=⎥⎤

⎢⎡

= drrFrfdrdssfrfP SRSR )(1)()()(Strisce orizzontali: [ ]∫∫ ∫∞−∞−

⎥⎦

⎢⎣

drrFrfdrdssfrfP SRr

SRi )(1)()()(

Di


11

∫∫ ∫+∞+∞ ⎤⎡ s

Strisce verticali: ∫∫ ∫∞−∞− ∞−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= dssFsfdsdrrfsfP RSRSi )()()()(

DDi


12

Se R ed S sono a distribuzione normale, si definisce Z = R‐S:Se R ed S sono a distribuzione normale, si definisce Z R S:

( )ZZZNZ σμ ;→

22 σσσ +=SRZ μμμ −=SRZ σσσ +=

L b bili à P ò i l d

SRZ μμμ

La probabilità Pi può essere stimata nel seguente modo:

( ) ( ) ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

Φ=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

≤−

=≤=≤= ZZZi

ZPZPSRPP μμμ0( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Φ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

≤≤≤ZZZ

i PZPSRPPσσσ

0

CDF distribuzione N(0,1)


13

‐ Condizione di stato limite di esercizio (SLE):Condizione di stato limite di esercizio (SLE):

[ ] ∫=≤= nnXni dxdxdxxxxfXXXgPP ...),...,,(0),...,,( 212121 ∫iD

In generale, la funzione di stato limite con riferimento agli SLE,In generale, la funzione di stato limite con riferimento agli SLE,è scritta nel modo seguente:

g(X X X ) = valore limite ‐ E(X X X )g(X1,X2,…,Xn) = valore limite ‐ E(X1,X2,…,Xn)

ff d ll i i liEffetto delle azioni applicate: es. spostamento verticale

La difficoltà del calcolo di Pi dipende, di volta in volta,dall’espressione di g(X1,X2,…,Xn).


14

2) Metodo Monte Carlo:2) Metodo Monte Carlo:Il metodo Monte Carlo permette di stimare la Pi mediante Nsimulazioni.Il metodo prevede i seguenti passi:a) definizione della funzione di stato limite g(X1,X2,…,Xn) e

caratterizzazione delle variabili aleatorie (X X X )caratterizzazione delle variabili aleatorie (X1,X2,…,Xn)mediante distribuzione, valore medio, varianza edeventuali correlazioni tra variabili;eventuali correlazioni tra variabili;

b) esecuzione di un ciclo di N simulazioni. In ogni simulazione:si genera un valore casuale per ognuna delle variabilialeatorie (X1,X2,…,Xn);si valuta la funzione di stato limite con i valori casualiappena generati Se g(x x x ) ≤ 0 ci si trova nelappena generati. Se g(x1,x2,…,xn) ≤ 0, ci si trova neldominio di insuccesso o sulla superficie di stato limite.Se g(x1,x2,…,xn) > 0, si è nel dominio di successo.


15

Se g(x1,x2,…,xn) 0, si è nel dominio di successo.

c) concluso il ciclo di simulazioni, si stima la probabilità Pic) concluso il ciclo di simulazioni, si stima la probabilità Piutilizzando la definizione frequentista di probabilità di unevento:

NNP i

i =numero di casi sfavorevoli (g ≤ 0)

Ni

numero totale di simulazioni


16

Metodi probabilistici di livello IIMetodi probabilistici di livello II

La verifica dell’affidabilità strutturale consiste nelLa verifica dell affidabilità strutturale consiste nelverificare che βi ≥ βi,target

Il metodo più semplice (e più utilizzato) è il metodo FORM, chepresenta due varianti:pMVFOSMAFOSM


17

1) Metodo MVFOSM

L’i di di ffid bili à β è d fi i il lL’indice di affidabilità β è definito come il rapporto tra valoremedio e deviazione standard della funzione di stato limite.

),...,,( 21 nXXXgZ =Z

Z

σμβ = dove:

Mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato ai terminidel primo ordine è possibile ottenere delle approssimazioni di

eμZ e σZ:

),...,,(21 nXXXZ g μμμμ ≅

( )jij

n

i

n

j iZ XX

Xg

Xg ,cov

1 1

2

∂∂

∂∂

≅ ∑∑= =

σ


18

jj i

2) Metodo AFOSM

L’i di di ffid bili à b è d fi i l i i diL’indice di affidabilità b è definito come la minima distanzatra la funzione di stato limite e l’origine dello spazio dellevariabili aleatorie a distribuzione normale standard N(0 1)variabili aleatorie a distribuzione normale standard N(0,1).

La soluzione del problema mediante il metodo AFOSMrichiede quattro passi:a) si scrive l’espressione della funzione di stato limite

(X X X ) il bl ig(X1,X2,…,Xn) per il problema in esame;

b) si trasformano le variabili aleatorie (X1 X2 X ) in variabilib) si trasformano le variabili aleatorie (X1,X2,…,Xn) in variabilialeatorie indipendenti a distribuzione normale standard(X’1,X’2,…,X’n);


19

c) si scrive l’espressione della funzione di stato limiteg(X’1,X’2,…,X’n) in funzione delle variabili (X’1,X’2,…,X’n);

d) si calcola l’indice di affidabilità β come distanza dellasuperficie di stato limite (g(X’ X’ X’ )=0) dall’originesuperficie di stato limite (g(X 1,X 2,…,X n)=0) dall originedello spazio (X’1,X’2,…,X’n).


20

Metodo semi‐probabilisticoMetodo semi‐probabilistico

La verifica dell’affidabilità strutturale consiste nelLa verifica dell affidabilità strutturale consiste nelverificare che:

SLU: Rd ≥ Sd

SLE: Ed ≤ valore limite


21

Analisi di affidabilità di una struttura inAnalisi di affidabilità di una struttura in acciaio nelle condizioni di esercizio

Dati:• L= 6 m

q

g• g: N(9.5, 1) kN/m• q: N(3.6, 1.4) kN/m

( ) / 2

g

v• Es: N(210000, 8400) N/mm2

La trave è costituita da un profilato IPE 270.

La f n ionalità della str tt ra ris lta insoddisfacente se loLa funzionalità della struttura risulta insoddisfacente se lospostamento verticale v in mezzeria supera il valore limiteL/250 (valore di normativa).


L/250 (valore di normativa).

1

Caratteristiche geometriche del profilato IPE


2

Verifica con il metodo di livello 3Verifica con il metodo di livello 3

La probabilità di insuccesso è definita nel seguente modo:

( )[ ] ∫=≤= nnXni dxdxdxxxxfXXXgPP ...),...,,(0,...,, 212121( )[ ] ∫iD

nnXni fg ), ,,(, ,, 212121


dove:‐ X1 è il carico permanente g;X è il carico variabile q‐ X2 è il carico variabile q;

‐ X3 è il modulo elastico Es;


3

Funzione di stato limite

Assumendo un comportamento elastico lineare, in quanto siid d l di i i di i i l f i distanno considerando le condizioni di esercizio, la funzione di

stato limite è la seguente:

( ) 4( )IE

LqgLvLEqgs

s

4

3845

250250),,(g +

−=−=

Conviene, per effettuare i calcoli, riscrivere la funzione di statolimite nel seguente modo:

( ) 214

3845

250),,(g YYLqgIELEqg ss −=+−=

La funzione di stato limite contiene ora la differenza tra duevariabili aleatorie Y1 e Y2 a distribuzione normale (più semplice


4

1 2da trattare)

Y1: N(291.8, 11.7) kNm3Y1: N(291.8, 11.7) kNm

Y2: N(221.1, 29.1) kNm3

Dato che Y1 ed Y2 sono a distribuzione normale, si definisce1 2Z = Y1‐Y2 :

( )NZ ( )ZZZNZ σμ ;→

322 kNm431=+= YYZ σσσ

3kNm 8.7021=−= YYZ μμμdove:

kNm4.3121=+= YYZ σσσ


5

La probabilità Pi viene calcolata nel seguente modo:p i g

( ) =≤=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≥= 0

250ZPLvPPi

⎠⎝ 250

( ) 2102.126.2 −⋅=−Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Φ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤

−=

Z

Z

Z

Z

Z

ZZPσμ

σμ

σμ

⎠⎝⎠⎝ ZZZ

Verifica dell’affidabilità strutturale:

2target,

2 106102.1 −− ⋅=<⋅= ii PP


6

Verifica con i metodi di livello 2Verifica con i metodi di livello 2

1) Metodo MVFOSM

L’indice di affidabilità β è definito come il rapporto tra valoremedio e deviazione standard della funzione di stato limite.

),...,,(g 21 nXXXZ =Z

Z

σμβ =

Nel caso in esame, la funzione di stato limite è stata scrittacome segue:

( ) 4384

5250

),,(g LqgIELEqg ss +−=384250


7

Mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato ai terminidel primo ordine è possibile ottenere delle approssimazioni diμZ e σZ:

( ) 34 kNm 8.70384

5250

),,(g =+−=≅ LILqgEEqgZ ss

μμμμμμμ

( ) =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

≅ ∑n

iZ X

2

Vargσ ( ) =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝∂

≅ ∑=i

ii

Z XX

1

Varμ

σ

222 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛32

2

22

22

kNm 4.31ggg=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=sE

sqg Eqg

σσσμμμ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝ μμμ

Il valore dell’indice di affidabilità β è pari a: 26.2== Zμβ


8

β pZσ

β

2) Metodo AFOSM)

Si introduce la variabile aleatoria qtot=g+q, in modo da ottenereuna rappresentazione grafica del problemauna rappresentazione grafica del problema.La soluzione del problema di sicurezza mediante il metodoAFOSM comprende quattro passi:1) Si scrive l’espressione della funzione di stato limite g(qtot, Es):

45)( LIELE 4384250

),(g LqIEEq totsstot −=

0)( =Eqg 0),( =stot Eqg


9

2) Si trasformano le variabili (aleatorie) qtot ed Es in variabilialeatorie indipendenti a distribuzione normale standard q’toted E’s:

t tq μ− EsE μ−

totq

qtottot

totq

qσ

μ='

s

s

E

Ess

EE

σμ

='

3) Si riscrive la funzione di stato limite in funzione delle3) S sc e a u o e d stato te u o e de evariabili q’tot ed E’s :

( ) ( ) 4'5')''(g LqIELEq σμσμ ++= ( ) ( )384250

),(g LqIEEqtottotss qtotqEsEstot σμσμ +−+=

0)','( =stot Eqg

075.70'11.29'67.11 =+− tots qE


10

4) Si calcola la distanza della funzione di stato limite g(q’tot, E’s)=0dall’origine dello spazio (q’tot, E’s)

Per definizione l’indice di affidabilità β è il valore di questaPer definizione, l indice di affidabilità βHL è il valore di questadistanza. In altri termini, βHL è pari alla distanza del punto(q’tot *, E’s*) dall’origine.(q tot , s ) g

*)'*,'( stot Eq


11

0''49.2 =+ tots qE

075.70'11.29'67.11 =+− tots qE

*09.2*' =totq

26.2=HLβ84.0'* −=sE HLβ

Con entrambi i metodi MVFOSM e AFOSM la verifica diCon entrambi i metodi MVFOSM e AFOSM, la verifica diaffidabilità è soddisfatta:

51262 =>= ββD.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica

Corso di “Tecnica delle Costruzioni”12

5.126.2 target =>= ββ

Verifica con il metodo semi‐probabilisticoVerifica con il metodo semi probabilistico

L’affidabilità strutturale viene verificata utilizzando leindicazioni delle normative (NTC 2008 – paragrafo 4.2.4.2Verifiche agli stati limite di esercizio).

Bisogna verifica che:250LEd ≤

Valore della freccia in mezzeria sulla based ll bi i i i d ll i idella combinazione caratteristica delle azioni


13

Combinazione caratteristica delle azioni:Combinazione caratteristica delle azioni:

{ }iKiKjKd QQPGEE ,,01,, ;;; ψ= 1;1 >≥ ij

I valori caratteristici dei carichi sono:9 5 kN/‐ gk=9.5 kN/m

‐ qk=6 kN/m

Verifica:

( )5 4 LLqg +( )250

m 024.0m 022.0384

5 LIE

LqgEs

kkd =<=

+=


14

Analisi di sicurezza di una struttura in acciaio

Dati:• L= 6 m

q

g• g: N(9.5, 1) kN/m• q: N(3.6, 1.4) kN/m

( ) / 2

g

• fy: N(280, 22.4) N/mm2

La trave è costituita da un profilato IPE 270.

La rott ra della str tt ra si erifica q ando il momentoLa rottura della struttura si verifica quando il momentosollecitante in mezzeria supera il momento resistente.


1



2


La probabilità di rottura è definita nel seguente modo:

( )[ ] ∫=≤= nnXnr dxdxdxxxxfXXXgPP ...),...,,(0,...,, 212121( )[ ] ∫iD

nnXnr fg ), ,,(, ,, 212121


dove:‐ X1 è il carico permanente g;X è il carico variabile q‐ X2 è il carico variabile q;

‐ X3 è la tensione di snervamento fy


3


Assumendo un comportamento elastico‐perfettamentel i l’ i i l f i di li i è lplastico per l’acciaio, la funzione di stato limite è la seguente:

( ))(2LqgfWMMf +( )

8),,(g qgfWMMfqg yplSRy −=−=

d il d l l i d ll i W è i 484000 3dove il modulo plastico della sezione Wpl è pari a 484000 mm3.Si definisce la variabile aleatoria Z = MR‐MS :

( )ZZZNZ σμ ;→kNm6.76=−=

SR MMZ μμμdove:

kNm 3.1322 =+=SR MMZ σσσ

SR MMZ μμμ


4

SR

La probabilità P viene calcolata nel seguente modo:La probabilità Pr viene calcolata nel seguente modo:

( ) ( ) =≤=≤= 0ZPMMPP SR( ) ( ) =≤=≤= 0ZPMMPP SRr

( ) 91067475 −Φ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

Φ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

≤− ZZZZP μμμ ( ) 1067.47.5 ⋅=−Φ=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝−Φ=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

≤=Z

Z

Z

Z

Z

ZPσσσ

Verifica di sicurezza:

9 5target,

9 102.71067.4 −− ⋅=<⋅= rr PP


5


1) Metodo MVFOSM


),...,,(g 21 nXXXZ =Z

Z

σμβ =

Nel caso in esame, la funzione di stato limite è scritta comesegue:

( )8

),,(g2LqgfWfqg yply

+−=

8


6


( )( )kNm 6.76

8),,(g

2=

+−=≅

LW qg

fplfqgZ yy

μμμμμμμ

( ) =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

≅ ∑n

iZ X

2

Vargσ ( ) =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝∂

≅ ∑=i

ii

Z XX

1

Varμ

σ

222 ⎞⎛⎞⎛⎞⎛kNm 3.13ggg 22

22

2

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=yf

yqg fqg

σσσμμμ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝ μμμ



7

β pZσ

β

2) Metodo AFOSM)

Si introduce la variabile aleatoria qtot=g+q, in modo da ottenereuna rappresentazione grafica del problemauna rappresentazione grafica del problema.La soluzione del problema di sicurezza mediante il metodoAFOSM comprende quattro passi:1) Si scrive l’espressione della funzione di stato limite g(qtot, fy):

)(g2LqfWfq tot=

0)( =fqg

8),(g fWfq yplytot −=

0),( =ytot fqg


8

2) Si trasformano le variabili (aleatorie) qtot ed fy in variabilialeatorie indipendenti a distribuzione normale standard q’toted f’y:

qtotq μ− yfyff

μ−'

totq

qtottot

totq

qσ

μ='

y

y

f

fyyf

σ='

3) Si riscrive la funzione di stato limite in funzione delle3) S sc e a u o e d stato te u o e de evariabili q’tot ed f’y :

( ) ( ) 2L( ) ( )8

'')','(g LqfWfqtottotyy qtotqfyfplytot σμσμ +−+=

0)','( =ytot fqg

057.76'76.7'84.10 =+− tots qE


9

4) Si calcola la distanza della funzione di stato limite g(q’tot, fy’)=0dall’origine dello spazio (q’tot, fy’)

Per definizione l’indice di affidabilità β è il valore di questaPer definizione, l indice di affidabilità βHL è il valore di questadistanza. In altri termini, βHL è pari alla distanza del punto(q’tot *, fy’*) dall’origine.(q tot , y ) g

'*)*,'( ytot fq


10

0''72.0 =+ toty qf

05776'767'8410 f 057.76'76.7'84.10 =+− toty qf

34.3*' =totq 75=β67.4'* −=y

totfq 7.5=HLβ

Con entrambi i metodi MVFOSM e AFOSM la verifica diCon entrambi i metodi MVFOSM e AFOSM, la verifica disicurezza è soddisfatta:

8375 =>= ββD.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica


8.37.5 target =>= ββ

Verifica con il metodo semi‐probabilisticoVerifica con il metodo semi probabilistico

La sicurezza strutturale viene verificata utilizzando leindicazioni delle normative.

i ifi h MM ≤Bisogna verifica che: RdSd MM ≤

Valore del momento sollecitante in mezzeriasulla base della combinazione delle azioniper situazioni persistenti e transitorieper situazioni persistenti e transitorie


12

Momento sollecitante M :Momento sollecitante MSd:

Combinazione delle azioni per situazioni persistenti eCombinazione delle azioni per situazioni persistenti etransitorie :

1;1 >≥ ij{ }iKiiQkQPjKjGd QQPGEE 0;11 ;;; ψγγγγ=

I valori caratteristici dei carichi sono:‐ gk=9 5 kN/m

{ }iKiiQkQPjKjGd QQ ,,0,;1,1,,, ;;; ψγγγγ

gk=9.5 kN/m‐ qk=6 kN/m

I fattori parziali lato azioni sono:− γG=1.35

1 5− γQ=1.5

Quindi:( )

kNm2.982=

+=

LqgM kQkG

Sdγγ


13

Quindi: kNm 2.988

MSd

Momento resistente M :Momento resistente MRd:

Viene calcolato nel seguente modo:Viene calcolato nel seguente modo:

kNm 3.108== ykplRd

fWM

Il fattori parziale γM0 lato resistenza è uguale a 1.05.

0mp γ

Verifica: kNm 3.108kNm 2.98 =<= RdSd MM


14

f d dVerifica di sicurezza di un capannone industriale in acciaio


1

Elementi strutturaliElementi strutturali‐ Travi principali reticolari (capriate);‐ travi secondarie (arcarecci);travi secondarie (arcarecci); ‐ pilastri;‐ controventi di falda;

arcarecciocapriata‐ controventi longitudinali (verticali);‐ pannelli di copertura.

controventocontrovento


pilastro2

Carichi applicati ad un capannone in acciaioCarichi applicati ad un capannone in acciaio

Carichi verticali:‐ peso proprio degli elementi strutturali;‐ carichi permanenti portati (impianti, finiture, copertura);‐ neve.Questi carichi vengono riportati in fondazione attraverso letravi secondarie le travi principali e i pilastritravi secondarie, le travi principali e i pilastri.

Carichi orizzontali:‐ vento;‐ sisma;

i hi ti d ll tt t ti l‐ carichi generati dalle attrezzature presenti nel capannone.Questi carichi vengono riportati in fondazione dai controventiverticali.


3

verticali.

Effetti delle azioni verticaliEffetti delle azioni verticali

Problema: trasferire i carichi verticali dalla copertura alle fondazioni.


4

Passo 1: la forza concentrata, applicata ai pannelli della copertura, siscarica sulle travi secondarie (arcarecci).

Trave secondaria


5

Passo 2: le reazioni delle travi secondarie si scaricano sulle traviprincipali (capriate).

Trave secondaria

Trave principale


6

Passo 3: le reazioni delle travi principali si scaricano sui pilastri e, diconseguenza, in fondazione.

Trave secondaria

Trave principale

pilastro


7

pilastro

EsempioEsempioSi considera un capannone situato nella zona di Torino.


8

Sezione trasversale

Altezza in gronda: 5.1 mAltezza in colmo: 5 7 mAltezza in colmo: 5.7 mPendenza della copertura: 10% (≈ 5.7°)

570

5


9

La coperturap

Funzione: protezione della struttura e di ciò che contiene nei riguardi degli agenti atmosfericiriguardi degli agenti atmosferici.


10


11

Esempio: pannello di copertura in poliuretano.


12


13

Come si collega il pannello di copertura alla travesecondaria (arcareccio)?secondaria (arcareccio)?


14


15


16

Giuntura dei pannelli di copertura nella zona di colmo


17

Scelta progettuale per la copertura: pannello di spessore40mm40mm.Schema statico: trave semplicemente appoggiata su due travisecondarie (appoggi)( pp gg )

5 7° α = 5 7°α = 5.7° α = 5.7


18

Carichi applicati:peso proprio: g =0 088 kN/m2‐ peso proprio: gk=0.088 kN/m2


19

gk=0.088 kN/m2

α = 5.7°


20

Carichi applicati:neve: per stabilire l’intensità di questo carico variabile si fa‐ neve: per stabilire l intensità di questo carico variabile, si fa

riferimento alla norma NTC 2008 (paragrafo 3.4 “Azione dellaneve”).)

Il carico della neve sulla copertura è definito nel seguentemodo:


21

‐ Coefficiente di forma μi della copertura: dipende dalla suapendenza (α = 5 7° nel nostro caso)pendenza (α = 5.7 nel nostro caso).

‐ Coefficiente di esposizione CE: dipende dalla topografia delluogo di costruzione.

‐ Coefficiente termico CT: dipende dalla tipologia della


22

costruzione. Si assume CT=1.

‐ Carico neve al suolo qsk: dipende dalle condizioni climatichelocalilocali.

Consideriamo q =1 5 kN/m2Consideriamo qsk=1.5 kN/m .Il carico neve sulla copertura qs risulta essere pari a:

2kN/m 2.15.18.0 =⋅=⋅⋅⋅= TEskis CCqq μ


23

La condizione di carico da considerare è fissata nellanormativa.


24

Per il capannone in esame, la condizione di carico è laPer il capannone in esame, la condizione di carico è laseguente:

qs=1.2 kN/m2

057


25

Ricapitolando, sulla copertura agiscono:Ricapitolando, sulla copertura agiscono:‐ peso proprio: gk=0.088 kN/m2

‐ neve: qk=1.2 kN/m2

Si considera una striscia di lamiera larga 1 m:


26

La striscia di lamiera larga 1 m può essere ora considerataLa striscia di lamiera larga 1 m può essere ora consideratauna trave semplicemente appoggiata, soggetta ai carichi gk eqk, di cui si possono calcolare le reazioni vincolari.

qk=1.2 kN/m

gk=0.088 kN/m

V2

V1

α = 5.7°


27

Travi secondarie (arcarecci)( )

Funzione: trasferire i carichi dal manto di copertura alle travi principali (capriate)principali (capriate).

Trave secondariaTrave secondaria


28

Scelta progettuale per le travi secondarie: profilo IPE 140.Schema statico: trave semplicemente appoggiata (luceSchema statico: trave semplicemente appoggiata (luceLs=4m) su due travi principali (capriate).

Trave principale

Trave secondaria


29

Trave secondaria

Carichi applicati alle travi secondarie: sono le reazionivincolari (cambiate di segno) della striscia larga 1 m dellavincolari (cambiate di segno) della striscia larga 1 m dellacopertura.

Trave principale

Copertura (fascia larga 1 m)

Trave principale


30

Ogni metro di copertura scarica sulle travi secondarie duereazioni verticali Quindi la trave secondaria centrale dellareazioni verticali. Quindi, la trave secondaria centrale dellafigura seguente sono soggette ad un carico verticale(uniformemente distribuito) somma delle reazioni V1 e V4.( ) 1 4

qk=1.2 kN/m

gk=0.088 kN/mqk=1.2 kN/m

qk 1.2 kN/m

V20 088 k /V1

2gk=0.088 kN/mV4

V3


31

Schema statico e carichi applicati alla trave secondaria‐ peso proprio copertura: gk1=0.18 kN/m‐ peso proprio trave secondaria (IPE 140): gk2=0.13 kN/mneve: q 2 4 kN/m‐ neve: qk=2.4 kN/m

0 13 kN/

qk=2.4 kN/m

gk1=0.18 kN/m

gk2=0.13 kN/m

k1

Ls=4 ms


32



33

La trave secondaria è sollecitata a flessione deviata, cheLa trave secondaria è sollecitata a flessione deviata, cheviene studiata scomponendola in due flessioni rette secondole direzioni dei due assi principali d’inerzia della sezionetrasversale.

Fn=F cos(α)Ft=F sin(α)


34

Analisi di sicurezza della trave secondaria

q (carico neve)

g1 (peso proprio copertura)

g2 (peso proprio IPE 140)

g1 (peso proprio copertura)

L =4 mDati:• g : N(0 18 0 02) kN/mLs=4 m • g1: N(0.18, 0.02) kN/m• g2: N(0.13, 0.01) kN/m • q: N(2.4, 0.53) kN/mq ( , ) /• fy: N(280, 22.4) N/mm2

La rottura della struttura si verifica quando sollecitazione inmezzeria (flessione deviata) supera la resistenza.


35

Momento sollecitante M : si considera la componenteMomento sollecitante MSx: si considera la componentenormale dei carichi.

g1n=g1 cos(α): N(0.18, 0.02) kN/mg2n=g2 cos(α): N(0.13, 0.01) kN/m

/qn=q cos(α): N(2.39, 0.53) kN/m

Il momentoM è uguale a:( ) 2

21 snnnS

LqggM ++=Il momentoMSx è uguale a:

Il momento resistenteMRx è uguale a:

8SxM =

yxplRx fWM ,=Rx gdove Wpl,x=88340 mm3

ili d il d ll b bili i i i

yxplRx f,

Utilizzando il modello probabilistico si ottiene:MSx: N(5.4, 1.1) kNmM : N(24 7 2 0) kNm


36

MRx: N(24.7, 2.0) kNm

Momento sollecitante M : si considera la componenteMomento sollecitante MSy: si considera la componentetangenziale dei carichi.

g1t=g1 sin(α): N(0.02, 0.002) kN/mg2t=g2 sin(α): N(0.01, 0.001) kN/m

/qt=q sin(α): N(0.24, 0.05) kN/m

Il momentoM è uguale a:( ) 2

21 stttS

LqggM ++=Il momentoMSy è uguale a:

Il momento resistenteMRy è uguale a:

8SyM =

yyplRy fWM ,=Ry gdove Wpl,y=19250 mm3

ili d il d ll b bili i i i

yyplRy f,

Utilizzando il modello probabilistico si ottiene:MSy: N(0.5, 0.1) kNmM : N(5 4 0 4) kNm


37

MRy: N(5.4, 0.4) kNm


La probabilità di rottura è definita nel seguente modo:

( )[ ] ∫=≤= nnXnr dxdxdxxxxfXXXgPP ...),...,,(0,...,, 212121( )[ ] ∫iD

nnXnr fg ), ,,(, ,, 212121


dove:‐ X1 è il carico permanente g1;X è il carico variabile g‐ X2 è il carico variabile g2;

‐ X3 è il carico variabile q;‐ X4 è la tensione di snervamento fy


38

X4 è la tensione di snervamento fy


Assumendo un comportamento elastico‐perfettamentel i l’ i i l f i di li i è lplastico per l’acciaio, la funzione di stato limite è la seguente:

⎤⎡ MM=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

Ry

Sy

Rx

Sxy M

MMMfqgg 1),,,(g 21

( ) ( )=

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡ ++

+

++

−=stttsnnn

fW

Lqgg

fW

Lqgg 221

221

881

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

yyplyxpl fWfW ,,

( ) ( ) ( ) ( ) ⎤⎡ ++++ LqggLqgg 22 sincos αα( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡ ++

+

++

−=yypl

s

yxpl

s

fW

Lqgg

fW

Lqgg

,

21

,

21

8sin

8cos

1

αα


39

⎥⎦⎢⎣yypyp

Conviene, per effettuare i calcoli, riscrivere la funzione di statolimite nel seguente modo:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎤

⎢⎡ ++++ ss WLqggWLqggfWWf

221

221 sincos)( αα( ) ( ) ( ) ( )

=⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

+−= xpls

ypls

yyplxply WqggWqggfWWfqgg ,21

,21

,,21 88),,,(g

Y1 Y2

La funzione di stato limite contiene ora la differenza tra due

21 YY −=

La funzione di stato limite contiene ora la differenza tra duevariabili aleatorie Y1 e Y2 a distribuzione normale (più sempliceda trattare).)


40

Y1: N(0.48, 0.04) kNm4Y1: N(0.48, 0.04) kNm

Y2: N(0.15, 0.03) kNm4

Dato che Y1 ed Y2 sono a distribuzione normale, si definisce1 2Z = Y1‐Y2 :

( )NZ ( )ZZZNZ σμ ;→

422 kNm050=+= YYZ σσσ

4kNm 32.021=−= YYZ μμμdove:

kNm05.021=+= YYZ σσσ


41

La probabilità Pi viene calcolata nel seguente modo:p i g

( ) =≤=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≥+= 01 ZP

MM

MMPP SySx

r ⎟⎠

⎜⎝ MM RyRx

( ) 121081776 −Φ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

Φ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

≤− ZZZZP μμμ ( ) 1081.77.6 ⋅=−Φ=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝−Φ=⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

≤=Z

Z

Z

Z

Z

ZPσσσ

Verifica dell’affidabilità strutturale:

5target,

12 102.71081.7 −− ⋅=<⋅= rr PP


42


Metodo MVFOSM


),...,,(g 21 nXXXZ =Z

Z

σμβ =

Nel caso in esame, la funzione di stato limite è stata scrittacome segue:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

++−= xpl

sypl

syyplxply WLqggWLqggfWWfqgg ,

221

,

221

,,21 8sin

8cos),,,(g αα

⎥⎦⎢⎣


43


4, kNm 32.0),,(g

21=≅

yfqggZ μμμμμ

( ) =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

≅ ∑n

iZ X

2

Vargσ ( ) =⎟⎟⎠

⎜⎜⎝∂

≅ ∑=i

ii

Z XX

1

Varμ

σ

2222⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛

4222

1

2

1kNm 05.0gggg

21=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=yf

sqgg Eqgg

σσσσμμμμ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝



44

β pZσ

β

La verifica di sicurezza è soddisfatta:

8.37.6 target =>= ββ


45

Verifica con il metodo semi‐probabilisticoVerifica con il metodo semi‐probabilistico

La sicurezza strutturale viene verificata utilizzando leLa sicurezza strutturale viene verificata utilizzando leindicazioni delle normative.

MMBisogna verifica che: 1≤+Rdy

Sdy

Rdx

SdxMM

MM

I momenti sollecitanti MSdx e MSdy in mezzeria sono valutati sulla basedella combinazione delle azioni per situazioni persistenti e transitorie


46

Momenti sollecitanti M e M :Momenti sollecitanti MSdx e MSdy:

Combinazione delle azioni per situazioni persistenti eCombinazione delle azioni per situazioni persistenti etransitorie :

1;1 >≥ ij{ }iKiiQkQPjKjGd QQPGEE 0;11 ;;; ψγγγγ=

I valori caratteristici dei carichi sono:‐ g k=0 18 kN/m

{ }iKiiQkQPjKjGd QQ ,,0,;1,1,,, ;;; ψγγγγ

g1k=0.18 kN/m‐ g2k=0.13 kN/m‐ qk=2.4 kN/mk

I fattori parziali lato azioni sono:1 35− γG=1.35

− γQ=1.5


47

Quindi:( ) ( ) kNm8cos 2

21 =++

= skkkSdx

LqggM αQ

8Sdx

( ) ( ) kNm 8.08

sin 221 =++

= skkkSdy

LqggM α8

Momenti resistenti MRdx e MRdy :Vengono calcolati nel seguente modo:

kNm 8.190

, ==m

ykxplRdx

fWM

γkNm 3.4

0, ==

m

ykyplRdy

fWM

γ

Il fattori parziale γM0 lato resistenza è uguale a 1.05.

MVerifica: 159.0 <=+

Rdy

Sdy

Rdx

SdxMM

MM


48

Combinazione delle azioni agli SLU diCombinazione delle azioni agli SLU di un solaio e di una trave di un edificio di

i il bi icivile abitazione

Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

D.L. Allaix 1

Pianta di un piano dell’edificiop

trave

700rompitratta

447

00

l i

4700

solaio(AICAP, “Guida all’usodell’Eurocodice 2”)


D.L. Allaix 2

Si intendono come solai le strutture bidimensionali pianepcaricate ortogonalmente al proprio piano, con prevalentecomportamento resistente monodirezionale. (NTC 2008, par.4 1 9)4.1.9)

Tipologie:p g• solai misti di c.a. e c.a.p. e blocchi forati in laterizio;• solai misti di c.a. e c.a.p. e blocchi diversi dal laterizio;

l i li i l’ i i di i f bb i i• solai realizzati con l’associazione di componenti prefabbricatiin c.a. e c.a.p.


D.L. Allaix 3

Solai gettati in opera con g platerizi di alleggerimento

Solai con travetti prefabbricati a traliccio e laterizi di alleggerimentolaterizi di alleggerimento


D.L. Allaix 4

Solaio a travetti in c.a.p.


D.L. Allaix 5


D.L. Allaix 6

Limiti dimensionali per solai misti di c.a. e c.a.p. e blocchip pforati in laterizio (Circolare 2 febbraio 2009 contenente le Istruzioni perl’applicazione delle “Nuove norme tecniche per le costruzioni” di cui alDM 14 gennaio 2008 par C 4 1 9 1 2)DM 14 gennaio 2008 , par. C.4.1.9.1.2)

i ≤ 15s

s

bn ≥ 8 cmbn ≥ 1/8 i

bp ≤ 52 cmn


D.L. Allaix 7

SolaioSolaio

1 m

A

1 m

B CA

5 7 m

B C

5 7 m 5.7 m5.7 m


D.L. Allaix 8

Analisi dei carichiAnalisi dei carichi

Carichi permanenti:- carichi permanenti strutturali (g1): peso proprio del solaio(travetti soletta in cls e pignatte);(travetti, soletta in cls e pignatte);- carichi permanenti non strutturali (g2): intonaco, sottofondo,pavimento, elementi divisori interni.p ,

Elementi divisori interni (NTC 2008 par. 3.1.3.1)


D.L. Allaix 9

(Biasioli, Taliano, “Eurocodice 2 – Calcolo di edificio multipiano”)

Carichi permanenti strutturali:1) Peso proprio del solaio (a): 3.2 kN/m2

2) Incidenza cordoli: 0.5 kN/m2

Totale permanenti strutturali g 3 7 kN/m2Totale permanenti strutturali gk1=3.7 kN/m2

Carichi permanenti non strutturali:Carichi permanenti non strutturali:1) Sottofondo (b): 0.9 kN/m2

2) Pavimento (c): 0.3 kN/m2


D.L. Allaix 10

3) Intonaco (d): 0.2 kN/m2

Questi carichi sono considerati comecompiutamente definiti. (gk2 =1.40 kN/m2 )

4) Muratura di partizione interna: 1 3 kN/ 24) Muratura di partizione interna: 1.3 kN/m2.Considerando un interpiano di 2.8 m, si ottiene uncarico a metro lineare 3.64 kN/m.

In accordo con le norme NTC 2008, si considera uncarico uniformemente distribuito gk3 =1.60 kN/m2 per igk3 pdivisori interni.

Elementi divisori interni (NTC 2008 par. 3.1.3.1)


D.L. Allaix 11

Sovraccarichi accidentali:Sovraccarichi accidentali:

Si considera un sovraccarico dii il bit i if tcivile abitazione uniformemente

distribuito qk=2 kN/m2.


D.L. Allaix 12

Combinazione delle azioni allo SLU STRCombinazione delle azioni allo SLU STR

Ai fini della verifica allo SLU si considera la combinazionefondamentale delle azioni (NTC 2008, par. 2.5.3):


D.L. Allaix 13

Sezione D (campata A-B) – MmaxSezione D (campata A B) Mmax

γGgk3=1.5·1.6=2.4 kN/m γQqk=1.5·2=3 kN/m

γGgk1=1.3·3.7=4.81 kN/m γGgk2=1.3·1.4=1.82 kN/m

2 mA B CD

Sezione D (campata A-B) – Mmin

γQqk=1.5·2=3 kN/m

γGgk2=1·1.4=1.4 kN/m γGgk3=1.5·1.6=2.4 kN/m

γGgk1=1·3.7=3.7 kN/mγGgk1 1 3.7 3.7 kN/m

2 mA B CD


D.L. Allaix 14


D.L. Allaix 15

Appoggio B – MmaxAppoggio B Mmax

γGgk2=1·1.4=1.4 kN/m γGgk1=1·3.7=3.7 kN/m

A B CA B C

Appoggio B – M iAppoggio B Mmin

γGgk3=1.5·1.6=2.4 kN/mγQqk=1.5·2=3 kN/m

γGgk1=1.3·3.7=4.81 kN/m

γGgk3 1.5 1.6 2.4 kN/m γGgk2=1.3·1.4=1.82 kN/m

A B C


D.L. Allaix 16


D.L. Allaix 17

Sezione E (campata B-C) – MmaxSezione E (campata B C) Mmax

γGgk3=1.5·1.6=2.4 kN/m γQqk=1.5·2=3 kN/m

γGgk2=1.3·1.4=1.82 kN/m γGgk3

γGgk1=1.3·3.7=4.81 kN/m

EA B C2 m

Sezione E (campata B-C) – Mmin

γQqk=1.5·2=3 kN/m

γ g =1 3 7=3 7 kN/m

γGgk3=1.5·1.6=2.4 kN/m γQqk 1.5 2 3 kN/m

γGgk2=1.·1.4=1.4 kN/m

2 m

γGgk1=1.·3.7=3.7 kN/m

EA B C


D.L. Allaix 18


D.L. Allaix 19

Diagramma di momento flettenteDiagramma di momento flettente


D.L. Allaix 20

Diagramma di taglioDiagramma di taglio


D.L. Allaix 21

Trave P8-P9-P10-P11Trave P8 P9 P10 P11

4.7

m0 7

m47

04.

7

5 7 5 7

4.7

m

Si adotta uno schema di trave continua su quattro appoggi. La

5.7 m 5.7 m


D.L. Allaix 22

larghezza di competenza della trave è pari a 7.125 m.

Analisi dei carichiAnalisi dei carichi

Carichi permanenti :1) Peso proprio della trave (si considera una soluzione in spessore di solaio:b =0 65 m; h =0 23 m): g =3 8 kN/mbtrave=0.65 m; htrave=0.23 m): gk1=3.8 kN/m

2) Peso proprio del solaio e permanenti non strutturali compiutamented fi i i (3 7 1 4) 7 125 36 3 kN/definiti: gk2=(3.7+1.4)·7.125=36.3 kN/m

3) Carichi permanenti non strutturali: gk3 =1.60·7.125=11.4 kN/m

Carico variabile: qk =2.0·7.125=14.3 kN/m


D.L. Allaix 23

Sezione A (campata P8-P11) – MmaxSezione A (campata P8 P11) Mmax

γGgk3=1.5·11.4=17.1 kN/m γQqk=1.5·14.3=21.5 kN/m

γGgk1=1.3·3.8=4.9 kN/m γGgk2=1.3·36.3=47.2 kN/m

P8 P9 P10 P112 m A

Sezione A (campata P8-P11) – MminγQqk=1.5·14.3=21.5 kN/m

γGgk1=1·3 8=3 8 kN/mγGgk2=1·36.3=36.3 kN/m

γGgk3=1.5·11.4=17.1 kN/m γQqk

γGgk1 1 3.8 3.8 kN/m

P8 P9 P10 P112 m A


D.L. Allaix 24

Diagramma di momento flettenteDiagramma di momento flettente


D.L. Allaix 25

Diagramma di taglioDiagramma di taglio


D.L. Allaix 26

Combinazione delle azioni agli SLU diCombinazione delle azioni agli SLU di un muro di sostegno in c.a.

Funzione delle opere di sostegno: queste opere sono definite nelle NTC 2008 come “opere geotecniche atte a sostenere in sicurezza un corpo di terreno o di materiale con comportamento simile”. (NTC 2008, par. 6.5)


D.L. Allaix 1

Tipologie delle opere di sostegno (NTC 2008, par. 6.5):p g p g ( p )

• muri, per i quali la funzione di sostegno è affidata al pesoi d l ll d l diproprio del muro e a quello del terreno direttamente agente su

di esso (ad esempio muri a gravità (a,b), muri a mensola (c),muri a contrafforti (d));muri a contrafforti (d));

(L ll C F i “P i i ” H li 2011)


D.L. Allaix 2

(Lancellotta, Costanzo, Foti, “Progettazione geotecnica”, Hoepli, 2011)

Esempi di impiego dei muri di sostegno:


D.L. Allaix 3

• paratie, per le quali la funzione di sostegno è assicurataparatie, per le quali la funzione di sostegno è assicurataprincipalmente dalla resistenza del volume di terreno postoinnanzi l’opera e da eventuali ancoraggi e puntoni;

(Lancellotta, Costanzo, Foti, “Progettazione geotecnica”, Hoepli, 2011)( g g p )


D.L. Allaix 4

• strutture miste, che esplicano la funzione di sostegno anchestrutture miste, che esplicano la funzione di sostegno ancheper effetto di trattamenti di miglioramento e per la presenza diparticolari elementi di rinforzo e collegamento (ad esempio,ture, terra rinforzata, muri cellulari).

(Lancellotta, Costanzo, Foti, “Progettazione geotecnica”, Hoepli, 2011)


D.L. Allaix 5

Azioni statiche agenti su un muro di sostegno (NTC 2008, par.Azioni statiche agenti su un muro di sostegno (NTC 2008, par.6.5.2):

• peso proprio del terreno e del materiale di riempimento;• sovraccarichi;• acqua;• acqua;• azioni dovute ad eventuali ancoraggi presollecitati;• al moto ondoso;;• urti e collisioni;• variazioni di temperatura;• ghiaccio.


D.L. Allaix 6

Stati limite ultimi: considerazioni generali (NTC 2008 par 2 6 1):Stati limite ultimi: considerazioni generali (NTC 2008, par. 2.6.1):

• EQU: lo stato limite di equilibrio come corpo rigido.q p g• STR: lo stato limite di resistenza della struttura compresi glielementi di fondazione.

GEO l t t li it di i t d l t• GEO: lo stato limite di resistenza del terreno.

(Gulvanessian, Calgaro, Holicky, “Guida all’Eurocodice: criterigenerali di progettazione strutturale EN 1990” 2011)


D.L. Allaix 7

generali di progettazione strutturale - EN 1990 , 2011)

SLU da considerare nel progetto di un muro di sostegno (NTCSLU da considerare nel progetto di un muro di sostegno (NTC2008, par. 6.5.3.1.1):

a) SLU di tipo geotecnico (GEO) e di equilibrio di corporigido (EQU):

• stabilità globale del complesso opera di sostegno terreno;• stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno;• scorrimento sul piano di posa;• collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno;p ;• ribaltamento;

b) SLU di tipo strutturale (STR):raggiungimento della resistenza negli elementi strutturali.

Si deve accertare che la condizione Ed ≤ Rd sia soddisfatta perogni stato limite considerato.


D.L. Allaix 8

g

dove Ed e Rd sono, rispettivamente, i valori di progetto deglidove Ed e Rd sono, rispettivamente, i valori di progetto deglieffetti delle azioni e delle corrispondenti resistenze.

Per gli SLU di tipo geotecnico (GEO) e di equilibrio di corporigido (EQU), il valore di calcolo Ed degli effetti delle azioni è(NTC 2008 6 2 3 1):(NTC 2008, par. 6.2.3.1):

oppure

valore di progetto delle valori di valori di

progetto deisi considera

γE = γFazioni progetto dei

parametri geotecnici

progetto dei parametri

geometrici

γE γF


D.L. Allaix 9

g

Il valore di calcolo Rd della resistenza del sistema geotecnico èIl valore di calcolo Rd della resistenza del sistema geotecnico èdato da:

l diIl coefficiente γR

valore di progetto delle

azionivalori di

progetto delle

valori di progetto dei parametri

è applicato direttamente alla

resistenza del proprietà del

terreno

parametri geometricisistema


D.L. Allaix 10

Per gli SLU di tipo strutturale (STR), il valore di calcolo EdPer gli SLU di tipo strutturale (STR), il valore di calcolo Ed

degli effetti delle azioni è:

{ }direpiFd aFEE ;,,γ=

l di l i di ttvalore di progetto delle

azioni

valori di progetto dei dati

geometrici


D.L. Allaix 11

Il valore di calcolo Rd della resistenza dell’elemento strutturaleIl valore di calcolo Rd della resistenza dell elemento strutturaleè dato da:

⎫⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= diM

iKid a

XRR ;

,

,

γη

l di tt

⎭⎩ iM ,γ

valore di progetto delle resistenze dei

materiali

valori di progetto dei parametri geometrici


D.L. Allaix 12

I valori dei fattori parziali sono indicati nelle norme NTC 2008. Per alcunepverifiche, le norme permettono di scegliere tra due approcci progettualidistinti.Tali approcci utilizzano diverse combinazioni di gruppi di coefficientiTali approcci utilizzano diverse combinazioni di gruppi di coefficientiparziali (NTC par. 6.2.3.1).

Approccio 1:Approccio 1:• combinazione 1 (A1C1: A1+M1+R1): si utilizzano i coefficienti A1 per leazioni, M1 per i parametri geotecnici e R1 per la resistenza del sistema. È

l t tili t l t t li it STRgeneralmente utilizzata per lo stato limite STR.• combinazione 2 (A1C2: A2+M2+R2): si utilizzano i coefficienti A2 per leazioni, M2 per i parametri geotecnici e R2 per la resistenza del sistema. Ègeneralmente utilizzata per lo stato limite GEO.

Approccio 2: (A1+M1+R3): è prevista un’unica combinazione dicoefficienti parziali. Si utilizzano i coefficienti A1 per le azioni, M1 per iparametri geotecnici e R3 per la resistenza del sistema.


D.L. Allaix 13


D.L. Allaix 14


D.L. Allaix 15

In particolare, per i muri di sostegno (NTC cap. 6.5.3.1.1):• la verifica di stabilità globale (GEO) deve essere effettuatasecondo l’approccio 1 – combinazione 2: A2+M2+R2


D.L. Allaix 16

• la verifica dell’equilibrio di corpo rigido (EQU) deve essereeffettuata utilizzando i coefficienti parziali della colonna EQU per leazioni e la colonna M2 per i parametri geotecnici.


D.L. Allaix 17

• le verifiche dello scorrimento sul piano di posa e del collasso per caricolimite dell’insieme fondazione-terreno (GEO) devono essere effettuate

d l’ i 1 ( l i ili A1 C2) / l’ i 2secondo l’approccio 1 (generalmente si utilizza A1-C2) e/o l’approccio 2.

Approccio 1Approccio 1


D.L. Allaix 18

Approccio 2Approccio 2


D.L. Allaix 19

SLU di tipo geotecnico (GEO) e di equilibrio di corpo rigidoSLU di tipo geotecnico (GEO) e di equilibrio di corpo rigido (EQU):

• stabilità globale del complesso opera di sostegno-terreno;

(Aversa “Eurocodice 7: strutture di sostegno” Rivista Italiana di(Aversa, Eurocodice 7: strutture di sostegno , Rivista Italiana diGeotecnica, 2 (1996), p. 66-91)


D.L. Allaix 20


• scorrimento sul piano di posa


D.L. Allaix 21


• collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno


D.L. Allaix 22


• ribaltamento


D.L. Allaix 23

Esempio: muro di sostegno in calcestruzzo armatoEsempio: muro di sostegno in calcestruzzo armato

P t i t i i ( l i

q=20 kN/m2

Parametri geotecnici (valori caratteristici):γtk=19 kN/m3 Sabbia φ’k=36° e ghiaia

Peso specifico del muro:γcls=25 kN/m3


D.L. Allaix 24

Verifica dell’equilibrio di corpo rigido (EQU)q p g ( Q )

La verifica consiste nel confronto tra i momenti stabilizzante eribaltante, calcolati rispetto all’estremità di valle della fondazione(punto A), dovuti alle azioni applicate al muro:

Azioni:

dribdstab MM ,, ≥

- peso proprio Pm del muro incls (Pm = P1 + P2 + P3);peso del terreno P gravante Sq- peso del terreno Pt gravantesulla fondazione;

- spinta Sq dovuta alP3

Ptq

Sqsovraccarico q;

- spinta del terreno St;A

P2

St


D.L. Allaix 25

P1

Effetto di ciascuna azione nei confronti dello stato limite EQU:Q

Azione Simbolo Effetto

S

Peso del muro in cls Pm stabilizzante

Peso del terreno gravante sulla fondazione

Pt stabilizzante

P3Pt

SqSpinta dovuta al sovraccarico Sq ribaltante

Spinta dovuta al terreno St ribaltante

AP2

St

AP1


D.L. Allaix 26

I fattori parziali da utilizzare in verifica sono:p


D.L. Allaix 27

Calcolo del peso del muro e del terrapieno sulla mensola dip pmonte

Il d l l l t if i t d t i i di 1 diIl peso del muro, calcolato con riferimento ad una striscia di 1 m diprofondità, è pari alla somma dei contributi degli elementi 1-2-3 che locompongono.Il valore di calcolo di ciascun contributo è pari a:

( ) kN/m 275.04.2259.011 =⋅⋅⋅== AP clsGd γγ

PPt

( ) kN/m 9.75.35.021259.022 =⋅⋅⋅⋅== AP clsGd γγ

( ) kN/62353302590AP P3( ) kN/m 6.235.33.0259.033 =⋅⋅⋅== AP clsGd γγ

Il valore di calcolo del peso del muro è pari alla

AP1

P2

Il valore di calcolo del peso del muro è pari allasomma dei tre contributi P1d, P2d e P3d.


D.L. Allaix 28

Il valore di calcolo del peso del terreno sulla mensola di monte è ottenutodalla seguente espressione:

( ) kN/m 8.775.33.1199.0 =⋅⋅⋅== ttdGtd AP γγ ( )ttdGtd

dove γtd è il valore di calcolo del peso specifico delterreno, ottenuto applicando il fattore parziale γγ = 1 al, pp p γγvalore caratteristico γtk :

3kN/m1919γγ tk

P3

PtkN/m19

1===

γγγγ tk

td

Note le azioni P1d, P2d, P3d e Ptd è possibile calcolare

P2

Note le azioni P1d, P2d, P3d e Ptd è possibile calcolareil momento stabilizzante Mstab,d moltiplicandociascuna azione per la distanza del suo punto diapplicazione dal punto A A

P1

2applicazione dal punto A.


D.L. Allaix 29

AzioneFattore parziale

Valore di calcolo [kN/m]

Distanza rispetto ad A [m]

Md [kNm/m]

P1= γcls A1 γG = 0.9 27.0 1.20 32.4P1 γcls A1 γG 0.9 27.0 1.20 32.4

P2 = γcls A2 γG = 0.9 7.9 0.73 5.8

P3 = γcls A3 γG = 0.9 23.6 0.95 22.4

Pm = P1+P2+P3 58.5 60.6

P A 0 9Pt = γt At γG = 0.9 77.8 1.75 136.2

Il alore di calcolo del momento stabilizzante è g ale a:Il valore di calcolo del momento stabilizzante è uguale a:

kNm/m 8.1962.1366.604.228.54.32, =++++=dstabM


D.L. Allaix 30

Calcolo della spinta del terreno e della spinta dovuta alp psovraccarico.

Utili d l t i di R ki i tti il l di l l d ll i tUtilizzando la teoria di Rankine, si ottiene il valore di calcolo della spintaSt del terreno (agente sulle superficie verticale BC) :

C

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= amurotdGtd khS 2

21 γγ

Sq

⎠⎝

dove il coefficiente di spinta attiva ka èottenuto dall’espressione:

S

p

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2'

4tan2 d

ak ϕπ

A

St⎠⎝


D.L. Allaix 31

B

dove:

3kN/m 191

19===

γγγ tk

td 1γγ

ϕ’d è il valore di calcolo dell’angolo di resistenza al taglio, ottenutoapplicando il fattore parziale γϕ’ = 1.25 alla tangente del valore

( ) ( )°=⎟

⎞⎜⎛=⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

= −− 23036tantan'tantan' 11 ϕϕ k

pp p γϕ gcaratteristico ϕ’k :

=⎟⎠

⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= 2.3025.1

tantan'ϕγ

ϕ d

Quindi:

331.02'

4tan2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= d

ak ϕπ

⎞⎛⎞⎛ kN/m 4.55331.0419211.1

21 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= amurotdGtd khS γγ


D.L. Allaix 32

La forza Std è applicata a 1.33m dalla base della fondazione (1/3dell’altezza del muro).

Il valore di calcolo della spinta Sq dovuta al sovraccarico è uguale a:

C

p q g

kN/m 7.39331.04205.12 =⋅⋅⋅== amuroQqd kqhS γ

La forza Sqd è applicata a 2m dalla basedella fondazione (1/2 dell’altezza delmuro)

Sq mur

o

muro).

S

h m

A

St

BPolitecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

D.L. Allaix 33

A B

Note le azioni Std e Sqd, è possibile calcolare il momento ribaltante Mrib,dlti li d i i l di t d l t di li imoltiplicando ciascuna azione per la distanza del suo punto di applicazione

dal punto A.



Distanza rispetto ad A [m]

Md [kNm/m]

S 0 5 h2 k 1 1 55 4 1 33 73 8Std = γG 0.5 γtd h2muro ka γG = 1.1 55.4 1.33 73.8

Sqd = γQ q hmuro ka γQ = 1.5 39.7 2.00 79.5

Il valore di calcolo del momento ribaltante è uguale a:

kNm/m3153579873 =+=M kNm/m3.1535.798.73, =+=dribM

Risulta soddisfatta la verifica dell’equilibrio di corpo rigido (Mstab,d=196.8kNm/m)kNm/m).


D.L. Allaix 34

Verifica dello scorrimento sul piano di posaVerifica dello scorrimento sul piano di posa

La verifica consiste nel confronto tra il valore di calcolo Hd dellarisultante delle forze orizzontali agenti sul muro e il valore di calcolodella corrispondente resistenza:

dd RH ≤con:

( )R

ddd

NRγ

δtan=

dove:- Nd è il valore di calcolo della risultante delle forze verticali agentisulla fondazione;- δd è l’angolo di attrito dell’interfaccia fondazione-terreno. Siassume δd = ϕ’d


D.L. Allaix 35

assume δd ϕ d

Azioni:- peso proprio Pm del muro in

cls (P = P + P + P );cls (Pm = P1 + P2 + P3);- peso del terreno Pt gravante

sulla fondazione; P3Pt

Sq

- spinta Sq dovuta alsovraccarico q;

- spinta del terreno St;

P3

Stspinta del terreno St;

P1

P2

La verifica deve essere effettuata con almeno uno dei seguentiapprocci:approcci:- approccio A1-C2 (fattori parziali A2+M2+R2);- approccio A2 (fattori parziali A1+M1+R3).


D.L. Allaix 36

A1-C2

A2A2


D.L. Allaix 37

Parametri geotecnici:

Parametro geotecnicoFattore parziale

Valore di calcoloFattore parziale

Valore di calcolo

Approccio A1‐C2 Approccio A2

parziale parziale

γtd [kN/m3] γγ=1 19.0 γγ=1 19.0

ϕ 'd [°] γϕ'=1.25 30.2 γϕ'=1 36.0


D.L. Allaix 38

A i A1 C2 A i A2

AzioneFattore Valore di calcolo

[ / ]Fattore Valore di calcolo

[ / ]


Azioneparziale [kN/m] parziale [kN/m]

P1d = γG γcls A1 γG = 1 30.0 γG = 1 30.0

P2d = γG γcls A2 γG = 1 8.8 γG = 1 8.8

P3d= γG γ l A3 γG = 1 26 3 γG = 1 26 3P3d = γG γcls A3 γG = 1 26.3 γG = 1 26.3

Ptd = γG γtd At γG = 1 86.5 γG = 1 86.5

Nd = P1d+P2d+P3d+Ptd 151.5 151.5

Std = γG 0.5 γtd h2muro ka γG = 1 50.3 γG = 1.3 51.3

Sqd = γQ q hmuro ka γQ = 1.3 34.4 γQ = 1.5 31.2

Hd = Std+Sqd 84.8 82.4


D.L. Allaix 39

La verifica risulta essere soddisfatta:

Fattore Valore di calcolo Fattore Valore di calcoloApproccio A1‐C2 Approccio A2



Fattore parziale


Hd = Std+Sqd ‐ 84.8 ‐ 82.4

R N t (δ )/ 1 88 0 1 1 100 0Rd=Ndtan(δd)/γR γR = 1 88.0 γR = 1.1 100.0


D.L. Allaix 40

Verifica della capacità portanteVerifica della capacità portante

La verifica consiste nel confronto tra il valore di calcolo Nd dellarisultante delle forze verticali agenti sulla fondazione e il valore dicalcolo della corrispondente resistenza:

dd RN ≤con:

R

Rd

BqRγ

lim=

dove:- qlim è la capacità portante della fondazione;- ΒR è la larghezza ridotta della fondazione


D.L. Allaix 41

Lmonte

Azioni:- peso proprio Pm del muro in cls

(P = P + P + P );(Pm = P1 + P2 + P3);- peso del terreno Pt gravante sulla

fondazione; P3 Pt

Sq

- sovraccarico q agente, sul piano dicampagna, in corrispondenza dellamensola di monte della

Stmensola di monte dellafondazione;

- spinta Sq dovuta al sovraccarico q;i d l S

P1

P2

- spinta del terreno St;

La verifica deve essere effettuata con almeno uno dei seguentigapprocci:- approccio A1-C2 (fattori parziali A2+M2+R2);

approccio A2 (fattori parziali A1+M1+R3)Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e GeotecnicaCorso di “Tecnica delle Costruzioni”

D.L. Allaix 42

- approccio A2 (fattori parziali A1+M1+R3).

A1-C2

A2A2


D.L. Allaix 43

Parametri geotecnici:

Parametro geotecnicoFattore parziale

Valore di calcoloFattore parziale

Valore di calcolo


parziale parziale

γtd [kN/m3] γγ=1 19.0 γγ=1 19.0

ϕ 'd [°] γϕ'=1.25 30.2 γϕ'=1 36.0ϕ [ ] γϕ γϕ


D.L. Allaix 44

Calcolo della forza verticale Ndd

Questa forza verticale dipende dal peso del muro (P1d+ P2d+P3d) e dal pesodel terreno (P ) e dal sovraccarico agenti sulla mensola di valle (N ):del terreno (Ptd) e dal sovraccarico agenti sulla mensola di valle (Nqd):

qdtddddd NPPPPN ++++= 321

AzioneFattore Valore di calcolo

Fattore parzialeValore di calcolo


Azioneparziale [kN/m]

Fattore parziale[kN/m]

P1d = γG γcls A1 γG = 1 30.0 γG = 1.3 39.0

P2d = γG γcls A2 γG = 1 8.8 γG = 1.3 11.4

P3d = γG γcls A3 γG = 1 26.3 γG = 1.3 34.1

Ptd = γG γtd At γG = 1 86.5 γG = 1.3 112.4

Nqd = γq q Lmonte γQ = 1.3 33.8 γQ = 1.5 39.0

N = P +P +P +P +N 185 3 235 9


D.L. Allaix 45

Nd= P1d+P2d+P3d+Ptd+Nqd 185.3 235.9

Calcolo della resistenza Rdd

Rd

BqRγ

lim=Rγ

Per il caso in esame, il carico limite è uguale a:

γγγ iNBq Rtd21

lim =

dove:- BR=B-2e è la larghezza ridotta della fondazione (“e” è l’eccentricità di Ndi tt l b i t d ll f d i B 2 4 è l l h d llrispetto al baricentro della fondazione; B=2.4 m è la larghezza della

fondazione) ;- Nγ=56.31;

-3

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

d

d

NHiγ


D.L. Allaix 46

L’eccentricità “e” di Nd rispetto al baricentro della fondazione può esserecalcolata come segue:

LmonteAMB

d

A

Ne −=

2

SqL’eccentricità eA della risultante N rispetto P3 Pt

q

S

risultante Nd rispetto all’estremità di valle della fondazione (punto A)

PP2

St

A P1

B

A


D.L. Allaix 47


Valore di calcolo

Distanza rispetto

MdA

[kN / ]

Fattore parziale

Valore di calcolo

Distanza rispetto

MdA

[kN / ]

Approccio A2Approccio A1‐C2

parziale[kN/m] ad A [m] [kNm/m] parziale

[kN/m] ad A [m] [kNm/m]

P1d = γG γcls A1 γG = 1 30.0 1.20 36.0 γG = 1.3 39.0 1.20 46.8

P A 1 8 8 0 73 6 4 1 3 11 4 0 73 8 3P2d = γG γcls A2 γG = 1 8.8 0.73 6.4 γG = 1.3 11.4 0.73 8.3

P3d = γG γcls A3 γG = 1 26.3 0.95 24.9 γG = 1.3 34.1 0.95 32.4

Ptd = γG γtd At γG = 1 86.5 1.75 151.3 γG = 1.3 112.4 1.75 196.7

Nqd = γq q Lmonte γQ = 1.3 33.8 1.75 59.2 γQ = 1.5 39.0 1.75 68.3

Nd = P1d+P2d+P3d+Ptd+Nqd 185.3 235.9

2Std = γG 0.5 γtd h2muro ka γG = 1 50.3 1.33 67.1 γG = 1.3 51.3 1.33 68.4

Sqd = γQ q hmuro ka γQ = 1.3 34.4 2.00 68.9 γQ = 1.5 31.2 2 62.3

Hd = Std+Sqd 84.8 82.43

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

d

d

NHiγDa questa tabella si ricavano anche i valori di:

- approccio A1-C2: iγ=0.160


D.L. Allaix 48

- approccio A2: iγ=0.275

L’eccentricità “eA” di Nd rispetto al punto A è uguale a:

d

ANqdAPtdAdPAdPAdPA N

MMMMMe ,,,3,2,1 +

++++=

d

ASqdAStd

d

NMM

N,, +

−

Si ottengono i seguenti valori:

Approccio A1‐C2 Approccio A2Valore [m] Valore [m]

e 0 77 0 94

eA Nd

eA 0.77 0.94

e 0.43 0.26

BR 1.53 1.88

BA


D.L. Allaix 49

La verifica della capacità portante risulta essere soddisfatta:

Fattore Valore di calcolo Fattore Valore di calcoloApproccio A1‐C2 Approccio A2



Fattore parziale


Nd= P1d+P2d+P3d+Ptd+Nqd ‐ 185.3 ‐ 235.9q

Rd=qlimBR/γR γR = 1 200.2 γR = 1.4 371.9


D.L. Allaix 50

Calcolo delle sollecitazioni (M, V) allo stato limite STR( , )

Le sezioni più sollecitate del muro sono:- la sezione di attacco tra il muro e la fondazione (A-A);- le sezioni di attacco tra il muro e le due mensole di fondazione(sezioni B-B e C-C).(sezioni B B e C C).

A A B C


D.L. Allaix 51B C

La verifica viene effettuata secondo l’approccio A1-C1 (fattoriparziali A1+M1).p )

Sezione A-A: attacco muro-fondazione

Azioni:- spinta Sq dovuta al sovraccarico q;

i t d l t S- spinta del terreno St;

A AA A


D.L. Allaix 52


D.L. Allaix 53

Parametri geotecnici: Parametro geotecnicoFattore parziale

Valore di calcolo

[k / 3] 1 19 0γtd [kN/m3] γγ=1 19.0

ϕ 'd [°] γϕ'=1 36.0

Sulla base di questi valori è stata calcolata la distribuzione delleSulla base di questi valori è stata calcolata la distribuzione delletensioni orizzontali indotte dal terreno e dal sovraccarico.

z

Sq 3.5

m

3.5

m

StA A

33

StA A22.4

kN/m27.8

kN/m2qkγ zkγγ


D.L. Allaix 54

aQqkγ atdG zkγγ

Si ottengono i seguenti valori di sollecitazione nella sezione A-A:Si ottengono i seguenti valori di sollecitazione nella sezione A A:

MSd = -93.5 kNm/mV 66 5 kN/VSd = -66.5 kN/m


D.L. Allaix 55

Sezione B-B: attacco fondazione-muro

Azioni:- peso della fondazione inp

calcestruzzo;- pressioni esercitate dal terreno

sulla fondazionesulla fondazione.

La distribuzione delle pressioni esercitate dalterreno può essere ottenuta in questo esempio

B

terreno può essere ottenuta, in questo esempio,mediante la formula di presso-flessione:

Sforzo normale agente sulla

0.6 mI

eNA

N dd +=σ

gfondazione, e sua eccentricitàgià calcolati con l’approccioA2 nella verifica di capacitàIA

Area e momento di inerzia della

pportante

162.1 kN/m

34.5 kN/m


D.L. Allaix 56

Area e momento di inerzia dellafondazione: b=1m, h=2.4 m

Schema di calcolo:

0.6 m

kN/m 25.16=fondazioneclsG hγγ

B

162.1 kN/m

130.2kN/m

Bz

kN/m kN/m

Si ottengono i seguenti valori di sollecitazione nella sezione B-B:

M 24 3 kN /MSd = 24.3 kNm/mVSd = -77.9 kN/m


D.L. Allaix 57

Sezione C-C: attacco fondazione-muro

A i i

Lmonte = 1.3 m

Azioni:- peso della fondazione in

calcestruzzo; mcalcestruzzo;- peso del terreno Pt gravante sulla

fondazione;i t l i di

h=3.

5 m

C

- sovraccarico q agente, sul piano dicampagna, in corrispondenza dellamensola di monte della

1.3 m

fondazione;

162.1 kN/m

34.5 kN/m


D.L. Allaix 58

Schema di calcolo:kN/m39=qLγ

kN/m 5.86=htdGγγ

kN/m39=monteQqLγ

kN/m 25.16=fondazioneclsG hγγ

C

103.6 kN/m

34.5kN/m

Cz

1.3 m

kN/m kN/m

Si ottengono i seguenti valori di sollecitazione nella sezione C-C:

MSd = -63.5 kNm/mVSd = 82.8 kN/m


D.L. Allaix 59

b d ll d lCombinazione delle azioni SLU degli elementi strutturali della copertura di

una tribuna da stadio


1

EsempiEsempi


2


3

Elementi strutturaliElementi strutturali

Trave secondaria

Trave principale

C t t di f ldControvento di falda

Tirante

Pilastro


4

Carichi applicati alla copertura di una tribunaCarichi applicati alla copertura di una tribuna

Carichi verticali:‐ peso proprio degli elementi strutturali;‐ carichi permanenti portati (lamiera di copertura);‐ neve.Questi carichi vengono riportati in fondazione attraverso letravi secondarie le travi principali e i pilastritravi secondarie, le travi principali e i pilastri.

Carichi ortogonali e paralleli alla lamiera di copertura:‐ vento (viene riportato in fondazione attraverso:

le travi secondarie, le travi principali e i pilastri;il t t di f ldil controvento di falda.


5

EsempioTrave principale Esempiop p

Trave d i

La tribuna è realizzata a secondaria

3m Torino (239 m s.l.m.)

m m

Controvento

3 9m

Pilastro 3m

1m 1m 1m 1m 1m 1m

Tirante


6

6m

Vista laterale

α = 5°5m 9m

4.5 4.9

1m 5m1m 5m


7

1. Lamiera di copertura


Scelta progettuale: lamiera SG 40/1000, spessore 0.6 mm.


Scelta progettuale: lamiera SG 40/ 000, spessore 0.6 mm.


8



9

1.1 Schema statico

1.1 Schema statico

Trave semplicemente appoggiata su due travi secondarie(profili a C)

1m


10

1.2 Carichi applicati1.2 Carichi applicati – peso proprio della lamiera

‐ peso proprio: gk=5.89 kg/m2≈0.06 kN/m2


11

Schema di carico del peso proprio della lamiera

1.2 Carichi applicati – peso proprio della lamiera

gk=0.06 kN/m2

Schema di carico del peso proprio della lamiera

gk 0.06 kN/m


12

‐ neve: per stabilire l’intensità di questo carico variabile, si fariferimento alla norma NTC 2008 (paragrafo 3 4 “Azione della

1.2 Carichi applicati – carico della neve

riferimento alla norma NTC 2008 (paragrafo 3.4 Azione dellaneve”).

Il carico della neve sulla copertura è definito nel seguentemodo:


13

‐ Coefficiente di forma μi della copertura: dipende dalla suapendenza (α = 5° nel nostro caso)


pendenza (α = 5 nel nostro caso).

‐ Coefficiente di esposizione CE: dipende dalla topografia delluogo di costruzione.

‐ Coefficiente termico CT: dipende dalla tipologia della


14

costruzione. Si assume CT=1.

‐ Carico neve al suolo qsk: dipende dalle condizioni climatichelocali


locali.

Consideriamo q =1 39[1+(239/728)2]=1 54 kN/m2Consideriamo qsk=1.39[1+(239/728) ]=1.54 kN/m .Il carico neve sulla copertura qs risulta essere pari a:

2kN/m 23.154.18.0 =⋅=⋅⋅⋅= TEskis CCqq μ


15

La condizione di carico da considerare è fissata nella


normativa (paragrafo 3.4.5.2 “Copertura ad una falda”).


16

La distribuzione del carico neve è la seguente:


La distribuzione del carico neve è la seguente:

qs=1.23 kN/m2

α = 5°

5m 9m

4.5 4.

1m 5m


17

1m 5m

Schema di carico della neve1.2 Carichi applicati – carico della neve

q 1 23 kN/m2qneve,k=1.23 kN/m2


18

‐ vento: per stabilire l’intensità di questo carico variabile, si fa

1.2 Carichi applicati – carico del vento

p q ,riferimento alla norma NTC 2008 (paragrafo 3.3 “Azioni delvento”) e le “Istruzioni per l’applicazione delle Nuove normetecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio 2008”(paragrafo C3.3 “Azioni del vento”).

Le azioni del vento sulla copertura sono costituite da:‐ pressioni e depressioni agenti normalmente alla copertura;p p g p ;‐ azioni tangenti alla copertura.


19

‐ pressione del vento (NTC paragrafo 3.3.4 “Pressione delvento”):


vento ):

(generalmente c =1)(generalmente cd=1)


20

‐ pressione cinetica di riferimento:1.2 Carichi applicati – carico del vento

La velocità di riferimento vb dipende dalla zona geografica edè l l l dè calcolata nel seguente modo:

Nel nostro esempio, la tribuna si trova a Torino ad


21

un’altitudine di 239 m s.l.m.


Quindi: m/s250 == bb vv 0,bb

222 N/m 3912525.15.021

=⋅⋅== bb vq ρ


22

2

‐ coefficiente di esposizione ce:1.2 Carichi applicati – carico del vento

(generalmente ct=1)(g t )

La categoria di esposizione del sito dipende dalla classe dirugosità del terreno e dalla distanza del sito di costruzione


23

dalla costa.



24

Tornando alla tabella 3.3.II, si ottiene:


Il ffi i t di i i è d fi it l t dIl coefficiente di esposizione è definito nel seguente modo:

dove l’altezza massima z=4.9 m della copertura è minore diz =12 m Pertanto:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 4810/12l10/12l1230

/ln7/ln2

0min0min2 =+= zzczzckc ttre

zmin=12 m. Pertanto:


25

( ) ( )[ ] 48.17.0/12ln177.0/12ln123.0 2 =⋅+⋅⋅=

‐ coefficiente di forma cp:


si fa riferimento alle “Istruzioni per l’applicazione delle Nuovenorme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio2008” (paragrafo C3.3.10.3 “Tettoie e pensiline isolate”)


26

Si ottiene il seguente valore del coefficiente di forma cp:

( )( ) ( )( )


( )( ) ( )( ) 3.15sin12.1sin12.1 ±=°+±=+±= αpc

Con i valori di qb, ce, cp, cd, si può ottenere la pressione delvento p agente in direzione ortogonale alla copertura:qb=391 N/m2

ce=1.48c =±1 3cp=±1.3cd=1

( ) 2kN/m750131481391 ±±cccqp ( ) kN/m75.013.148.1391 ±=⋅±⋅⋅== dpeb cccqp


27

‐ azione tangenziale del vento (NTC paragrafo 3.3.5 “Azionetangenziale del vento”):


tangenziale del vento ):

Il coefficiente d’attrito cf dipende dalla scabrezza dellat Il l è i t t l f C3 3 11copertura. Il suo valore è riportato al paragrafo C3.3.11

“Coefficiente di attrito” nelle “Istruzioni per l’applicazionedelle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D Mdelle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M.14 gennaio 2008”.


28


Nell’esempio, la copertura è una lamiera grecata. Quindi siassume cf=0.04.f

Con i valori di qb, ce, cf, si può ottenere la pressione del ventopf tangente alla copertura:pf g pqb=391 N/m2

ce=1.48cf=0.04

2kN/m020040481391 =⋅⋅== fbf ccqpD.L. Allaix Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica


kN/m02.004.048.1391febf ccqp

Schema 1 di carico del vento1.2 Carichi applicati – carico del vento

Direzione del vento

q t k=p=0 75 kN/m2qvento,k p 0.75 kN/m

qventof,k=pf=0.02 kN/m2


30


Direzione del vento




31


Direzione del vento




32


Direzione del vento




33


Dire ioneDirezione del vento


Direzione del ventodel vento


34


Dire ioneDirezione del vento


Direzione del ventodel vento


35

Ricapitolando, sulla lamiera grecata agiscono:

1.2 Carichi applicati

Ricapitolando, sulla lamiera grecata agiscono:‐ peso proprio della lamiera: gk1=0.06 kN/m2

‐ neve: qneve,k=1.23 kN/m2,

‐ vento (in direzione normale): qvento,k=±0.75 kN/m2

‐ vento (in direzione tangenziale): qventof,k=0.02 kN/m2


36

2. Travi secondarie

2 Travi secondarie

Le travi secondarie sono costituite da profilati UPN 80.

2. Travi secondarie

Schema statico: travesemplicemente appoggiata sup pp ggdue travi principali (AB e CD), diluce 3m. C D

Carichi applicati:‐ carichi trasmessi dalla lamiera 3m

A Bdi copertura (peso proprio dellalamiera, neve e vento);

i UPN 80‐ peso proprio UPN 80.


37


2.1 Carichi applicati – peso proprio della trave secondaria

pp

‐ peso proprio trave secondaria (UPN 80): gk1=0.086 kN/m

gk1 y

gk1,x

gk1gk1,y

gk1,y=gk1cos(α)=0.086 kN/m,y

gk1,x=gk1sin(α)=0.008 kN/m


38



39

Per determinare i carichi applicati dalla lamiera alle travi


Per determinare i carichi applicati dalla lamiera alle travisecondarie, si considera una striscia di lamiera larga 1 m:

1m


40

La striscia di lamiera larga 1 m può essere considerata una


La striscia di lamiera larga 1 m può essere considerata unatrave semplicemente appoggiata, soggetta al peso proprio eai carichi variabili della neve e del vento.

Peso proprio della lamiera:

gk2=0.06 kN/m

R1

R3R1=gk2Lc sen(α)=0.003 kN

R2

R3

R2=R3=gk2Lc cos(α)/2=0.032 kN


41

Carico della neve:


qneve,k=1.23 kN/m

Carico della neve:

R4

R5

R6

R5

R4=qneve,kLc cos(α)sen(α)=0.610 kN,

R5=R6=qneve,kLccos2(α)/2=0.053 kN


42

Carico del vento – schema 1:


qvento,k=0.75 kN/m

q =0 02 kN/m

Carico del vento schema 1:

qventof,k=0.02 kN/m

R77

R9

R8

R7=qventof,kLc=‐0.02 kN,

R8=R9=qvento,kLc/2=‐0.375 kN


43



qvento,k=0.75 kN/m

q =0 02 kN/m


qventof,k=0.02 kN/m

R1010

R12

R11

R10=qventof,kLc=‐0.02 kN,

R11=R12=qvento,kLc/2=0.375 kN


44



qvento,k=0.75 kN/m

q =0 02 kN/m


qventof,k=0.02 kN/m

R1313

R15

R14

R13=qventof,kLc=0.02 kN,

R14=R15=qvento,kLc/2=‐0.375 kN


45



qvento,k=0.75 kN/m

q =0 02 kN/m


qventof,k=0.02 kN/m

R1616

R18

R17

R16=qventof,kLc=0.02 kN,

R17=R18=qvento,kLc/2=0.375 kN


46

Le reazioni vincolari, cambiate di segno, rappresentano i


Le reazioni vincolari, cambiate di segno, rappresentano icarichi applicati dalla lamiera alle travi secondiarie.

E i i d ll l iEsempio peso proprio della lamiera:gk1=0.06 kN/m

R1 R3

R2 R3 R1=gk1Lc sen(α)=0.006 kN

R1R2 R2=R3=gk1Lc cos(α)/2=0.032 kN


47

Sulla trave secondaria si appoggiano due pannelli di lamiera.


Sulla trave secondaria si appoggiano due pannelli di lamiera.

2R2R3

R12R2

Avendo considerato una striscia diAvendo considerato una striscia dilamiera larga 1 m, le reazioni R sonodei carichi uniformementedei carichi uniformementedistribuiti applicati alla travesecondaria.


48

Sulla trave secondaria agiscono i seguenti carichi trasmessi


Sulla trave secondaria agiscono i seguenti carichi trasmessidalla lamiera di copertura:

Peso proprio della lamiera:

2R2R1

2R2 R1=0.006 kN/m

R2=0.032 kN/m2


49

Carico della neve:2.1 Carichi applicati

R42R5 R4=0.107 kN/m

R5=0 610 kN/mR5 0.610 kN/m

Carico del vento (schema 1):

R72R8 R7=0.02 kN/m

R8=0.375 kN/m8 /


50

Carico del vento (schema 2):2.1 Carichi applicati

R102R11 R10=0.02 kN/m

R11=0 375 kN/mR11 0.375 kN/m

Carico del vento (schema 3):

R132R14 R13=0.02 kN/m

R14=0.375 kN/m14 /


51

Carico del vento (schema 4):2.1 Carichi applicati

R162R17 R16=0.02 kN/m

R17=0 375 kN/mR17 0.375 kN/m


52

Schema riassuntivo dei carichi


I carichi applicati alla trave secondaria hanno componentilungo gli assi x e y.

y

gk1,y, 2R2, 2R5 , 2R11, 2R17

y

g R R R R

R7, R10

xx

y

gk1,x, R1, R4, R13, R16

y

2R8, 2R14


53

Schemi riassuntivi dei carichi


Carichi applicati alla trave secondaria – componente y.

qvento 3k y=2R14=0.75 kN/m

qvento 4k,y=2R17=0.75 kN/m


qvento 3k,y 2R14 0.75 kN/m

q k =2R5=1 221 kN/m


gk2,y=2R2=0.064 kN/m

qneve k,y=2R5=1.221 kN/m

gk1,y=0.086 kN/m

L =3 myz


54

LTs=3 my


Carichi applicati alla trave secondaria – componente x.

qvento 3k x=R13=0.02 kN/m

qvento 4k,x=R16=0.02 kN/m


qvento 3k,x R13 0.02 kN/m

q k =R4=0 107 kN/m


gk2,x=R1=0.006 kN/m

qneve k,x=R4=0.107 kN/m

gk1,x=0.008 kN/m

L =3 mxz


55

LTs=3 mx

2.2 Combinazione delle azioni – SLU STR2.2 Combinazione delle azioni

A titolo di esempio, si effettua la combinazione delle azioniper i tagli Vx e Vy agente nella sezione A all’appoggio e per imomenti flettenti M e M nella sezione mezzeria Bmomenti flettenti Mx e My nella sezione mezzeria B.

A B

LTs=3 m

A B

i fi i d ll ifi ll S i id l bi iAi fini della verifica allo SLU si considera la combinazionefondamentale delle azioni (NTC 2008, par. 2.5.3):


56

Sezione A – Taglio Vsd,y,MAX

2.2 Combinazione delle azioni

Vy(gk1,y)=gk1,yLTS=0.129 kNVy (gk2,y)=gk2,yLTS=0.096 kNV (q k )=q k L =1 831 kN

Vx(gk1,x)=gk1,xLTS=0.011 kNVx (gk2,x)=gk2,xLTS=0.008 kNVx (qneve k x)=qneve k xLTS=0.16 kNVy (qneve k,y)=qneve k,yLTS=1.831 kN

Vy(qvento 1k,y)=qvento 1k,yLTS=‐1.125 kNVy(qvento 2k,y)=qvento 2k,yLTS=1.125 kN

Vx (qneve k,x) qneve k,xLTS 0.16 kNVx (qvento 1k,x)=qvento 1k,xLTS=‐0.03 kNVx (qvento 2k,x)=qvento 2k,xLTS=‐0.03 kNV ( ) L 0 03 kNVy(qvento 3k,y)=qvento 3k,yLTS=‐1.125 kN

Vy(qvento 4k,y)=qvento 4k,yLTS=1.125 kNVx (qvento 3k,x)=qvento 3k,xLTS=0.03 kNVx (qvento 4k,x)=qvento 4k,xLTS=0.03 kN

Vsd,y,MAX=

VVsd,x=


57

Sezione A – Taglio Vsd,y,MIN


Vy(gk1,y)=0.129 kNVy (gk2,y)=0.096 kNV (q k )=1 831 kN

Vx(gk1,x)=0.011 kNVx (gk2,x)=0.008 kNVx (qneve k x)=0.16 kNVy (qneve k,y)=1.831 kN

Vy(qvento 1k,y)=‐1.125 kNVy(qvento 2k,y)=1.125 kN

Vx (qneve k,x) 0.16 kNVx (qvento 1k,x)=‐0.03 kNVx (qvento 2k,x)=‐0.03 kNV ( ) 0 03 kNVy(qvento 3k,y)=‐1.125 kN

Vy(qvento 4k,y)=1.125 kNVx (qvento 3k,x)=0.03 kNVx (qvento 4k,x)=0.03 kN

Vsd,y,MIN=

Vsd,x=


58

Sezione A – Taglio Vsd,x,MAX







Vsd,x,MAX=

VVsd,y=


59

Sezione A – Taglio Vsd,x,MIN







Vsd,x,MIN=

Vsd,y=


60

Sezione B – Momento Msd,x,MAX2/


Mx(gk1,y)=gk1,yLTS2/8=0.097 kNmMx(gk2,y)=gk2,yLTS2/8=0.072 kNmMx(qneve k y)=qneve k yLTS2/8=1.373 kNm

My(gk1,x)=gk1,xLTS2/8=‐0.008 kNmMy(gk2,x)=gk2,xLTS2/8=‐0.006 kNmMy(qneve k x)=qneve k xLTS2/8=‐0.12 kNmMx(qneve k,y) qneve k,yLTS /8 1.373 kNm

Mx(qvento 1k,y)=qvento 1k,yLTS2/8=‐0.844 kNmMx(qvento 2k,y)=qvento 2k,yLTS2/8=0.844 kNmM (q ) q L 2/8 0 844 kNm

y(qneve k,x) qneve k,x TS /My(qvento 1k,x)=qvento 1k,xLTS2/8=0.023 kNmMy(qvento 2k,x)=qvento 2k,xLTS2/8=0.023 kNmM (q )=q L 2/8= 0 023 kNmMx(qvento 3k,y)=qvento 3k,yLTS2/8=‐0.844 kNm

Mx(qvento 4k,y)=qvento 4k,yLTS2/8=0.844 kNmMy(qvento 3k,x)=qvento 3k,xLTS /8=‐0.023 kNmMy(qvento 4k,x)=qvento 4k,xLTS2/8=‐0.023 kNm

Msd,x,MAX=

MMsd,y=


61

Sezione B – Momento Msd,x,MIN


Mx(gk1,y)=0.097 kNmMx(gk2,y)=0.072 kNmM (q k )=1 373 kNm

My(gk1,x)=‐0.008 kNmMy(gk2,x)=‐0.006 kNmMy(qneve k x)=‐0.12 kNmMx(qneve k,y)=1.373 kNm

Mx(qvento 1k,y)=‐0.844 kNmMx(qvento 2k,y)=0.844 kNm

My(qneve k,x) 0.12 kNmMy(qvento 1k,x)=0.023 kNmMy(qvento 2k,x)=0.023 kNmM ( ) 0 023 kNMx(qvento 3k,y)=‐0.844 kNm

Mx(qvento 4k,y)=0.844 kNmMy(qvento 3k,x)=‐0.023 kNmMy(qvento 4k,x)=‐0.023 kNm

Msd,x,MIN=

MMsd,y=


62

Sezione B – Momento Msd,y,MAX







Msd,y,MAX=

MMsd,x=


63

Sezione B – Momento Msd,y,MIN







Msd,y,MIN=

MMsd,x=


64

Effetto della viscoelasticità su strutture costruite per fasi 1/196

Eff tt d ll i l ti ità Effetto della viscoelasticità su una struttura costruita

per fasip

Politecnico di TorinoDipaartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaTecnica delle Costruzioni


Il seguente esercizio riguarda l’applicazione del 5oIl seguente esercizio riguarda l applicazione del 5o

principio della viscoelasticità lineare per una struttura omogenea a vincoli rigidi costruita per fasi.g g p

Schema statico finale della struttura

0 1 2 3 4

45m 45m 45m 45m



Sezione tipoSezione tipo

12m

0.3m

6m 2.4m1 85m 0.4m

0.25m

2.4m1.85m

6.8m

20 3 12 2 0 4 1 85 0 25 6 8 3 6 1 48 1 7 6 78A m= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = + + =0.3 12 2 0.4 1.85 0.25 6.8 3.6 1.48 1.7 6.78A m= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = + + =

( ) ( )2 12 2.4 1.85 6 28.8 7.85 36.7u m= ⋅ + + + = + =

2 2 6 78A2 2 6.78 0.369 36936.7

cA m mmu

⋅= = = 25 6.78 170 /cg A kN mγ= ⋅ = ⋅ =



Fasi di costruzione

1 t 0 g Getto dell 4 campate in stabilimento

Fasi di costruzione

1. t=0 g Getto dell 4 campate in stabilimento

2. t=28 gg Disarmo delle travi ed azione del peso proprio

3 t=30 gg Saturazione dell’appoggio 13. t=30 gg Saturazione dell appoggio 1

4. t=45 gg Saturazione dell’appoggio 2

5 t=60 gg Saturazione dell’appoggio 35. t=60 gg Saturazione dell appoggio 3

0 1 2 3 4



Schemi statici corrispondenti alle varie fasi

Schema 0 28 gg<t<30 gg

Schemi statici corrispondenti alle varie fasi

0 1 2 3 4


0 1 2 3 4


0 1 2 3 4

Schema 3 60 gg<t

0 1 2 3 4

Schema 3 60 gg<t

0 1 2 3 4



Procedura di calcolo

1 Risol e e ciasc no schema statico isto p ima in modo elastico e

Procedura di calcolo

1. Risolvere ciascuno schema statico visto prima in modo elastico e calcolare i momenti di continuità.

2. Calcolare le funzioni di influenza che mostrano l’influenza del ( )j zαvincolo j sui precedenti:1,j-1.

3. Calcolare le funzioni tenendo contro delle dimensioni della sezione dell’umidità relative e del tempo (es vengono fornite in

j

1 0( , , )t t tξdella sezione, dell umidità relative e del tempo (es. vengono fornite in forma grafica nei Bollettini CEB)

4. Applicare il 5o principio della viscoelasticità lineare



1 Soluzione elastica lineareSchema 0

1. Soluzione elastica lineare

Schema 1

0 1 2 3 4Schema 1

0 1 2 3 4

2(1) (1) (1)

1 2 30 08

el el elglM M M= − = =

Schema 2 0 1 2 3 4

2 2(2) (2) (2)

1 2 3 010 10

el el elgl glM M M= − = − =

Schema 3

0 1 2 3 410 10

2 2 23 2 3gl gl gl

0 1 2 3 4

(3) (3) (3)1 2 3

3 2 328 28 28

el el elgl gl glM M M= − = − = −



2 Valutazione dei coefficienti ( )j zα2. Valutazione dei coefficienti ( )j zα

Le funzioni riportano i valori delle azioni interne (nel caso in esame si ( )j zαutilizzeranno solo i momenti flettenti per questione di semplicità) calcolati nello schema statico j-1 (quello precedente all’introduzione del vincolo posticipato j) per effetto della reazione data dal vincolo posticipato j inserito come azione unitaria.

j

I vincoli in considerazione sono cerniere che non lasciano più possibilità di movimento relativo diventando dei vincoli completi e dunque le reazioni che si svilupperanno saranno dei momenti flettentisvilupperanno saranno dei momenti flettenti. In tal modo potranno essere calcolate 3 funzioni per i vincoli posticipati . ( )j zα



Valutazione delle funzioni ( )j zα

0 1 2 3 4Azione del vincolo 1 sullo schema 0

1 1M =

11( )zα 1,1 1α =

Azione del vincolo 2 sullo schema1

0 1 2 3 42 1M =

11

4−2 ( )zα

1,2 2,21 14α α= − =

Azione del vincolo 3 sullo schema 20 1 2 3 43 1M =

4115

1415−

3( )zα1,3 2,3 3,3

1 4 115 15α α α= = − =



3 Calcolo delle funzioni ( ) ( ) ( )t

t t t R t dJ tξ τ τ= ∫3. Calcolo delle funzioni1

1 0 0( , , ) ( , ) ( , )t

t t t R t dJ tξ τ τ= ∫% 50RH = 40ckf MPa= t0 = 28 gg

1st vincolo – chiusura 1 t1 = 30 ≅ 28 gg

2 200 (45,30,28) 0.45 2 369 (45,30,28) 0.402 400 (45,30,28) 0.39

c c

c

A u mm A mmA u mm u

ξξ

ξ= ⇒ = ⎫

= ⇒ =⎬= ⇒ = ⎭

1

( , , )c ξ ⎭

2 200 (60,30,28) 0.50 2 369 (60,30,28) 0.462 400 (60 30 28) 0 45

c cA u mm A mmA u mm u

ξξ

ξ= ⇒ = ⎫

= ⇒ =⎬= ⇒ = ⎭2 400 (60,30,28) 0.45cA u mm uξ= ⇒ = ⎭

2 200 ( ,30,28) 0.77 2 369 ( ,30,28) 0.76c cA u mm A mmξ

ξ= ⇒ ∞ = ⎫

= ⇒ ∞ =⎬ ( , , )2 400 ( ,30,28) 0.76cA u mm u

ξξ ⎬= ⇒ ∞ = ⎭



Evaluation of functions ( ) ( ) ( )t

t t t R t dJ tξ τ τ= ∫Evaluation of functions1

1 0 0( , , ) ( , ) ( , )t

t t t R t dJ tξ τ τ= ∫% 50RH = 40ckf MPa= 0 28t days=

2nd vincolo – chiusura 2 t1 = 45 gg

2 200 (60,45,28) 0.25 2 369 (60,45,28) 0.222 400 (60,45,28) 0.22

c c

c

A u mm A mmA u mm u

ξξ

ξ= ⇒ = ⎫

= ⇒ =⎬= ⇒ = ⎭

2 200 ( , 45,28) 0.67 2 369 ( , 45,28) 0.682 400 ( ,45,28) 0.68

c c

c

A u mm A mmA u mm u

ξξ

ξ= ⇒ ∞ = ⎫

= ⇒ ∞ =⎬= ⇒ ∞ = ⎭

3rd vincolo – chiusura 3

2 200 ( 60 28) 0 64A ξ ⎫

t1 = 60 gg2 200 ( ,60,28) 0.64 2 369 ( ,60,28) 0.632 400 ( ,60,28) 0.63

c c

c

A u mm A mmA u mm u

ξξ

ξ= ⇒ ∞ = ⎫

= ⇒ ∞ =⎬= ⇒ ∞ = ⎭



4 Applicazione del 5o Principio della viscoelasticità lineare4. Applicazione del 5 Principio della viscoelasticità lineare

Calcolo delle sollecitazioni interne

Fase 1 0M z= ∀

Fase 2 Momenti di trave in semplice appoggio 0M M MFase 2 Momenti di trave in semplice appoggio 1 2 3 0M M M= = =

Fase 3 t=30 gg Momenti di trave in semplice appoggio 1 2 3 0M M M= = =2

Phase 3 t=45 gg 2

(1)1 1 (45,30,28) 0.40

8el glM M ξ= ⋅ = − ⋅

2 3 0M M= =2 3

Fase 4 t=60 gg 2

(2)2 2 (60,45,28) 0.22

10el glM M ξ= ⋅ = − ⋅(1) (2)(60 30 28) (60 45 28)el elM M Mξ ξα= + =( ) ( )

1 1 21,2

2 2

(60,30,28) (60, 45,28)

10.46 0.228 4 10

M M M

gl gl

ξ ξα= ⋅ + ⋅ ⋅ =

= − ⋅ + ⋅ ⋅


8 4 10


Fase 5 t=∞ ggFase 5 t=∞ gg

2(3)

3 33( ,60,28) 0.6328

el glM M ξ= ⋅ ∞ = − ⋅28

(2) (3)2 2

2 2

, 32 3( , 45, 28) ( ,60,28)el elM M Mξ ξα= ⋅ ∞ + ⋅ ⋅ ∞ =2 24 30.68 0.63

10 15 28gl gl

= − ⋅ + ⋅ ⋅

(1) (2) (1,2 1,3

3)1 1 2 3

2 2 2

( ,30,28) ( , 45,28) ( ,60,28)

1 1 30.76 0.68 0.63

el el elM M M M

gl gl gl

ξ ξ ξα α= ⋅ ∞ + ⋅ ⋅ ∞ + ⋅ ⋅ ∞ =

= − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅0.76 0.68 0.638 4 10 15 28

+

I valori numerici sono mostrati nelle slides seguenti


Eserciutazioni Tecnica

Documents

Transcript of Eserciutazioni Tecnica