Esercitazioni di Algebra e Geometria · A+A, B+(B+B) e (B+C)+C. a) A+B: l’operazione non è...

1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2011 2012

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Anno Accademico 2011 ndash 2012

Dottssa Elisa Pelizzari

e-mail elisapeliliberoit

presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti)

Esercitazioni lunedigrave 1430 ndash 1630

venerdigrave 1430 ndash 1630

Ricevimento studenti venerdigrave 1300 ndash 1400


Matrice

Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave

una lsquotabellarsquo con m righe n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al

campo K Esempi di campi sono

Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali

C il campo dei numeri complessi

Esempio minus3 0 2 4 radic2

egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali


La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente

= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave

= 13helliphellip

dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione

(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna


Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2

= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

con isin R e gli indici = 12 e $ = 123

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo

stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate

razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate

reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate

complesse

Casi particolari

a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n


b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5


Esempi = 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali


Operazioni con le matrici La somma di matrici Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso


numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave


c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite


f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via


Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K


Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D


Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio


mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto


Esempio Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito


Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene moltiplicando la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B

Osservazioni 1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero

delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21


3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC


Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire

ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN rge2

b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile

calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave

definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j

allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)

In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di

ordine n su K ed egrave detta matrice

identica


Esempio

Esercizio da svolgere Date le matrici

determinare quando possibile AB BA CD DC A2

BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)


Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse

entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q

3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn

Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano

queste ldquooperazionirdquo


Somma di matrici

Per ogni isin Kmn valgono le seguenti

proprietagrave 1) Proprietagrave associativa + + + = + + +

Dimostrazionehellip

2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro

Esiste B isin Kmn tale che + B = B + = dove B e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente

Da dimostrare

3) Esistenza dellrsquoopposto

Esiste la matrice C isin Kmn tale che C + = B = + C Se la matrice ha per entrate gli elementi aij

allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento

- aij

Da dimostrare


Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo

quindi (Kmn +) egrave un gruppo

4) Proprietagrave commutativa + = +

Da dimostrare

Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo

commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip


Prodotto di uno scalare per una matrice

Per ogni isin Kmn e per ogni D E isin K valgono

le seguenti proprietagrave

1) D + E+ ∙ = D ∙ + E ∙ (da dimostrare) 2) D ∙ + + = D ∙ + D ∙ (da dimostrare) 3) D ∙ E+ ∙ = D ∙ E ∙ + (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione hellip


Prodotto tra matrici

1) Proprietagrave associativa

Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq + = + (da dimostrare)

2) Proprietagrave distributive

Siano isin Kmn isin Knp + + = + (da dimostrare)

Siano isin Kpm isin Knp + + = + (da dimostrare) 3) Elemento neutro sinistro destro

Siano isin Kpm e GH isin Kpp

IJK = K (da dimostrare)

Siano isin Kpm e G isin Kmm

KIL = K (da dimostrare)


Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice IM elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile

garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della

matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista C tale

che C G C

Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo

ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo

Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale

la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto

eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla


La matrice trasposta

Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si

definisce trasposta di K la si indica con KN O

oppure P una matrice di Knm di entrate aji

Per esteso

Con notazione sintetica

t


Per costruire la matrice trasposta trascrivo la

i-esima riga di nella i-esima colonna di O

(scambio le righe con le colonne) o viceversa

Esempi


Matrice

Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave

una lsquotabellarsquo con m righe n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al

campo K Esempi di campi sono

Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali

C il campo dei numeri complessi

Esempio minus3 0 2 4 radic2

egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali



= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13


= 13helliphellip





= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯






complesse

Casi particolari




= ⋮ isin Km1




=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn







=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51


=

-




2223 isin M6(R)





Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi



= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13


= 13helliphellip





= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯






complesse

Casi particolari




= ⋮ isin Km1




=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn







=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51


=

-




2223 isin M6(R)





Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi



= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯






complesse

Casi particolari




= ⋮ isin Km1




=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn







=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51


=

-




2223 isin M6(R)





Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi



= ⋮ isin Km1




=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn







=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51


=

-




2223 isin M6(R)





Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi




=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51


=

-




2223 isin M6(R)





Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi




Osservazioni






O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi





O+A=A+O=A



somma egrave









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi









e cosigrave via






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi






Esempio












mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi











mentre





Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi


Esempio Date










e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi








e B matrice di

R21



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi



e B matrice

di R12

Esempi











identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi










identica


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi


Esempio



BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi


Somma di matrici



Dimostrazionehellip



Da dimostrare




- aij

Da dimostrare





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi





Da dimostrare























che C G C











Per esteso


t





Esempi





















che C G C











Per esteso


t





Esempi






Per esteso


t





Esempi





Esempi

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