Il problema della quadratura Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole...

Il problema della quadraturaData una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b],

si vuole valutare l’integrale:

a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nell’intervallo di integrazione

In tutti i metodi di quadratura si effettua una somma di valori della funzione integranda

Un buon metodo di quadratura deve:valutare l’integrale con la maggior precisione possibile sfruttare il minor numero possibile di valori della

funzione integranda

b

a

dxxfI )(

Notazioni Supponiamo di avere una serie di N ascisse equispaziate x1, x2, ... , xN

: x1=a; xN=b h = distanza tra ciascuna coppia di ascisse (b-a) = (N-1)h xk=xk+(k-1)h con k=1,...,N poniamo f(xi)=fi

Formule chiuse: utilizzano nel calcolo i valori di f1 e fN

Formule aperte: non utilizzano nel calcolo uno o entrambi i valori di f1 e fN possono essere utili se il valore di f in uno degli estremi di

integrazione è infinito (purché la singolarità sia integrabile)

x1=a x2 xN=bx

y

xi

fi=f(xi)

h

Regola del trapezioConsiste nell’approssimare l’integrale nell’intervallo

tra xj e xj+1 nel modo seguente:

Se f(x)≥0, tale valore rappresenta l’area del trapezio di basi fj e fj+1 e altezza h

in sostanza, nell’intervallo tra xj e xj+1 la f(x) viene approssimata da un polinomio di primo grado

Il valore dell’integrale calcolato con la regola del trapezio differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h3 per la derivata seconda della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]

La formula del trapezio è esatta per polinomi fino al primo grado

fhOffhdxxfj

j

x

x

jj

3

1

1

2

1

2

1)(

Regola del trapezio estesaUtilizziamo la regola del trapezio N-1 volte negli

intervalli [x1,x2], [x2,x3], ..., [xN-1,xN]:

nel calcolo precedente si è assunto N-1≈N, il che è vero per N grande

La precisione migliora con il quadrato del numero di punti utilizzati per il calcoloraddoppiando i punti l’errore diminuisce di un

fattore 4

fN

abOfffffh

fN

abONfffffh

fhONffhffhffhdxxf

NN

NN

NN

x

x

N

2

3

1321

3

3

1321

313221

2

1

2

1

11

2

1

2

1

12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1)(

1

Applicazione della regola del trapezio

Si procede per approssimazioni successive:nella prima iterazione si utilizzano i valori di f(x) negli estremi

di integrazionenella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in

corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente

alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari

1

2

3

4

...

itera

zion

i

Implementazione dell’algoritmo (1)Poniamo b-a=Δ e indichiamo con In l’integrale

calcolato nella n-esima iterazione. Alla prima iterazione si ha:

Alla seconda iterazione avremo:

Alla terza iterazione si avrà:

bfafI

2

1

2

11

222

1

2

1

22

1

2 12 afIbfafafI

4

3

442

1

2

1

4

3

242

1

4

2

3

afafI

bfafafafafI

Implementazione dell’algoritmo (2)Generalizzando il risultato trovato in

precedenza possiamo concludere che:

Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 4.

In generale, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

22

12111 2

1222

1n

innnnn iafII

11 nnn III

Esempi (1)Supponiamo di voler calcolare l’integrale

con una precisione ε=10-6. Si ha:

785398.041

11

02

dxx

I

Iterazione (n) In

1 0.75

2 0.775

3 0.782794

4 0.784747

5 0.785235

6 0.785357

7 0.785388

8 0.785396

9 0.785398

10 0.785398



693147.02ln12

1

dxx

I

Iterazione (n) In

1 0.75

2 0.708333

3 0.697024

4 0.694122

5 0.693391

6 0.693208

7 0.693162

8 0.693151

9 0.693148

10 0.693147

11 0.693147

Regola di Simpson (1)Consideriamo l’intervallo tra xj-1 e xj+1

Usiamo la seguente notazione:xj-1=xj-h; f(xj-1)=fj-1

f(xj)=fj

xj+1=xj+h; f(xj+1)=fj+1

Nell’intervallo in esame approssimiamo la f(x) con una parabola passante per i tre punti (xj-1,fj-1), (xj,fj), (xj+1,fj+1):

scrivendo l’equazione della parabola in questa forma è automaticamente rispettata la condizione f(xj)=fj

I coefficienti a e b si determinano imponendo le condizioni;f(xj-h)=fj-1

f(xj+h)=fj+1

2)( jjj xxbxxafxf

Regola di Simpson (2)

L’integrale tra xj-1 e xj+1 della f(x) è dato da:xj xj+1xj-1

fj

fj+1

fj-1

h h

x

y

332

2

3

22

32

)(1

1

1

1

bhhfxxb

xxa

xf

dxxxbxxafdxxf

j

hx

hxjjj

x

x

jjj

x

x

j

j

j

j

j

j

Regola di Simpson (3)Calcoliamo quindi il coefficiente b:

Sommando membro a membro le due equazioni si ha:

Sostituendo il valore di b nella formula dell’integrale:

Il valore dell’integrale calcolato con la formula di Simpson differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h5 per la derivata quarta della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1]

La formula di Simpson è esatta per polinomi fino al terzo grado

jj

jj

jj

jj

jj

jj

ffbhah

ffbhah

fbhahf

fbhahf

fhxf

fhxf

12

12

12

12

1

1

)(

)(

2

1111

2

2

222

h

fffbfffbh jjj

jjj

)4(511

3

3

1

3

4

3

1

3

22)(

1

1

fhOfffhbhhfdxxf jjjj

x

x

j

j

Formula di Simpson estesa

Dividiamo l’intervallo [a,b] negli (N-1)/2 intervalli:[x1,x3], [x3,x5], ..., [xN-2,xN]

a=x1; b=xN

h=(b-a)/(N-1)Si ha:

4124321)4(

5

12543321

1

3

1

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

3

1

12

1

3

1

3

4

3

1

3

1

3

4

3

1

3

1

3

4

3

1)(

NOfffffffhf

N

abO

N

fffhfffhfffhdxxf

NNN

NNN

b

a

xa=x1 x2 x3 x4 x5 xN-2 xN-1 xN=b...

2h 2h 2h

Applicazione della regola di SimpsonL’algoritmo è molto simile a quello usato per la regola del

trapezioAnche in questo caso si procede per approssimazioni successive:

nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente


nella n-esima iterazione si sfrutta il risultato ottenuto con la regola del trapezio nell’iterazione precedente

1

2

3

4

...

itera

zion

i

Implementazione dell’algoritmo (1)Poniamo ancora b-a=Δ Per la n-esima iterazione poniamo:

Sn = integrale calcolato con la regola di Simpson

Tn = integrale calcolato con la regola del trapezio

Alla prima iterazione si ha:

notare che S1=0 perché nella prima iterazione si considerano solo due punti, mentre per applicare la regola di Simpson ne occorrono tre

bfafT

S

2

1

2

1

0

1

1

Implementazione dell’algoritmo (2)Alla seconda iterazione si ha:

Alla terza iterazione si ha:

222

1

2

1

22

1

2

23

4

23

1

3

1

23

4

3

1

2

12

12

afTbfafafT

afTbfafafS

4

3

442

1

2

1

4

3

242

1

4

4

3

3

4

43

4

43

1

3

1

4

3

3

4

23

2

43

4

3

1

4

2

3

2

3

afafT

bfafafafafT

afafT

bfafafafafS

Implementazione dell’algoritmo (3)Alla n-esima iterazione si avrà:

Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 16.

Come nel caso precedente, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

2

2

2

12111

2

12111

21

222

1

21

23

4

23

1

n

n

innnnn

innnnn

iafTT

iafTS

11 nnn SSS



785398.041

11

02

dxx

I

Iterazione (n)

Tn Sn

1 0.75 0

2 0.775 0.783333

3 0.782794 0.785392

4 0.784747 0.785398

5 0.785235 0.785398



693147.02ln12

1

dxx

I

Iterazione (n)

Tn Sn

1 0.75 0

2 0.708333 0.694444

3 0.697024 0.693254

4 0.694122 0.693155

5 0.693391 0.693148

6 0.693208 0.693147

Calcolo di integrali impropriCasi di integrali impropri estesi ad intervalli finiti:

la funzione integranda ha limite finito in uno degli estremi di integrazione, ma non può essere calcolata (esempio sinx/x per x0)

la funzione ha limite superiore + e/o limite inferiore - la funzione ha una singolarità integrabile in uno dei due estremi

di integrazione (esempio x-1/2 per x 0) la funzione ha una singolarità integrabile in un punto noto

dell’intervallo di integrazione (ci si può ricondurre al caso precedente)

la funzione ha una singolarità integrabile in un punto non noto dell’intervallo di integrazione (questo caso non verrà studiato)

In tutti i casi in esame, per poter effettuare il calcolo, è necessario che l’integrale esista e sia finitose l’integrale non esiste oppure è infinito, qualunque procedura di

calcolo sarà priva di senso e darà risultati errati!Studieremo il calcolo di integrali impropri con una singolarità

in corrispondenza di uno degli estremi di integrazione (o di entrambi) in tal caso non è possibile usare una formula chiusa, perché

implicherebbe il calcolo del valore della funzione integranda in corrispondenza della singolarità

Regola del punto medioLa regola del punto medio consiste nell’approssimare

l’integrale tra xj e xj+1 nel modo seguente:

ove fj+1/2 è il valore della funzione nel punto medio dell’intervallo [xj,xj+1]

se f(x)>0, l’integrale viene approssimato con l’area del rettangolo di base h=xj+1-xj e altezza fj+1/2

21

1

)(

j

x

x

hfdxxfj

j

x

y

xj xj+1xj+1/2

fj

fj+1/2

fj+1

Regola estesa del punto medio

Dividiamo l’intervallo [a,b] negli N-1 intervalli:[x1,x2], [x2,x3], ... , [xN-1,xN]

a=x1; b=xN

h=(b-a)/(N-1)Si ha:

xa=x1 x3/2 x2 x5/2 x3 xN-1 xN-1/2 xN=b...

h h h

b

a

Nfffhdxxf 2/)1(2/52/3)(

Applicazione della regola del punto medio (1)

L’algoritmo è simile a quelli visti per la regola del trapezio e per la regola di Simpson

In questo caso, però, per poter usare il risultato ottenuto dopo ogni iterazione come punto di partenza per l’iterazione successiva, in ciascuna iterazione occorrerà suddividere gli intervalli di partenza in 3 parti invece che in 2questa complicazione nasce dal fatto che si

utilizzano i valori della funzione nei punti medi di ciascun intervallo invece che negli estremi

Applicazione della regola del punto medio (2)

nella n-esima iterazione vengono aggiunti 23n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi dei nuovi intervalli


in ciascuna iterazione si sfrutta il risultato ottenuto nell’iterazione precedente

1

2

3

...

itera

zion

i

Implementazione dell’algoritmo (1)L’integrale calcolato nella n-esima iterazione

è:

dove Δ=b-aOccorre cercare una formula ricorsiva che

permetta di legare In+1 a In

Applicando la definizione precedente si ha:

13

111 2

1

33

n

knnn kafI

n

knnn kafI

3

11 2

1

33

Implementazione dell’algoritmo (2)La sommatoria con l’indice k che varia da 1 a 3n può

essere spezzata in 3 sommatorie distinte:nella prima raggruppiamo i termini con k=1,4,7,...,3n-2

in tali termini k=3k1-2 con k1=1,2,...,3n-1 nella seconda raggruppiamo i termini con k=2,5,8,...,3n-

1 in tali termini k=3k2-1 con k2=1,2,...,3n-1

nella terza raggruppiamo i termini con k=3,6,9,...,3n

in tali termini k=3k3 con k3=1,2,...,3n-1

1

1

1

3

1

2

1

1

1

3

1

2

1

1

3

111

3

131

3

121

3

111

3

13

3

12

3

111

6

1

36

5

333

1

6

1

32

1

36

5

33

2

13

32

33

32

53

33

n

nnn

nnn

knnnn

kn

kn

knn

kn

kn

knnn

kafkafI

kafkafkaf

kafkafkafI

Implementazione dell’algoritmo (3)Nel passare da un’iterazione alla successiva il

numero di punti utilizzati per il calcolo viene triplicato, e dunque la precisione del calcolo migliora di un fattore 9.

Come negli altri casi, la procedura iterativa viene fermata quando:

dove ε è la precisione richiesta per il calcoloL’algoritmo sviluppato per il calcolo di integrali

impropri può essere usato anche per il calcolo di integrali “normali”

Il tempo di calcolo richiesto per un integrale improprio è in genere maggiore rispetto a quello richiesto per un integrale “normale” per via della singolarità

11 nnn III

EsempioSupponiamo di voler calcolare l’integrale improprio


1ln1

0

dxxI

Iterazione (n) In

1 -0.693147

2 -0.896696

3 -0.965451

4 -0.988471

5 -0.996156

6 -0.998718

7 -0.999573

8 -0.999858

9 -0.999953

10 -0.999984

11 -0.999995

12 -0.999998

13 -0.999999

14 -1.000000

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